gödels stelling
DESCRIPTION
Gödels stelling. Gödel bepaalt het formele systeem. PM zijn de Principia Mathematica. Deze vormen een formeel systeem voor de wiskunde. Ze zijn beschreven door A.N. Whitehead and B. Russell. Gödel benoemt R. R is een formule in PM . Gödel benoemt R. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/2.jpg)
PM zijn de Principia Mathematica.Deze vormen een formeel systeem voor de wiskunde.Ze zijn beschreven door A.N. Whitehead and B. Russell.
Gödel bepaalt het formele systeem
![Page 3: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/3.jpg)
R is een formule in PM.
Gödel benoemt R
![Page 4: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/4.jpg)
Rn is de n-de formule R in PM.
Gödel benoemt R
( n behoort tot de natuurlijke getallen: n )
![Page 5: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/5.jpg)
Rn(n) is de n-de formule R met variabele n in PM.
Gödel benoemt R
( n behoort tot de natuurlijke getallen: n )
![Page 6: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/6.jpg)
Gödel noemt Rn(n) een klasseteken.
Gödel benoemt R
![Page 7: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/7.jpg)
K = { n }
K is de verzameling van natuurlijke getallen n ...
Gödel definieert K
![Page 8: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/8.jpg)
K = { n | }
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar ...
Gödel definieert K
![Page 9: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/9.jpg)
K = { n | Rn(n)}
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) ...
Gödel definieert K
![Page 10: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/10.jpg)
K = { n | (Rn(n))}
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet ...
Gödel definieert K
![Page 11: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/11.jpg)
K = { n | Bewijsbaar(Rn(n))}
K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet bewijsbaar is ...
Gödel definieert K
![Page 12: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/12.jpg)
K = { n | Bewijsbaar(Rn(n))} (1)
Volledig: K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet bewijsbaar is in het systeem PM.
Gödel definieert K
![Page 13: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/13.jpg)
Er is een klasseteken S.
Gödel benoemt S
![Page 14: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/14.jpg)
De formule S(n) stelt dat een natuurlijk getal n behoort tot K.
Gödel benoemt S
S(n) n K
En meer specifiek voor een natuurlijk getal q:
S(q) q K
![Page 15: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/15.jpg)
Als klasseteken is S identiek met een specifieke Rq
voor een bepaald natuurlijk getal q, in formule:
Gödel benoemt S en Rq
S Rq
![Page 16: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/16.jpg)
S(q) Rq (q)
En S(q) is identiek met Rq (q), in formule:
Gödel benoemt S en Rq
![Page 17: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/17.jpg)
De propositie Rq(q) is onbeslisbaar in PM.
Gödels stelling
(Een propositie is een bewering)
![Page 18: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/18.jpg)
Stel dat de propositie Rq(q) bewijsbaar is, dan zou hij ook waar zijn; maar dat betekent dat q tot K behoort, en dus Bewijsbaar(Rq(q)) waar zou zijn, in tegenstelling tot onze beginaanname.
In formule:
Uitwerking van Gödels stelling
Bewijsbaar(Rq(q)) Rq(q) S(q) q K Bewijsbaar(Rq(q))
![Page 19: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/19.jpg)
Als echter de ontkenning van Rq(q) bewijsbaar zou zijn, dan zou q niet behoren tot K, dat wil zeggen Bewijsbaar(Rq(q)) waar zijn.
In formule: Bewijsbaar(Rq(q)) (Rq(q)) (S(q)) q K Bewijsbaar(Rq(q))
Uitwerking van Gödels stelling
![Page 20: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/20.jpg)
Rq(q) zou dan dus bewijsbaar zijn tegelijkertijd met zijn ontkenning, wat onmogelijk is.
Uitwerking van Gödels stelling
![Page 21: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/21.jpg)
De analogie van dit resultaat en Richard's paradox is opvallend; er is ook een nauwe verwantschap met de paradox van de leugenaar, aangezien de onbeslisbare propositie Rq(q) precies stelt dat q tot K behoort, ofwel overeenkomstig (1), dat Rq(q) niet bewijsbaar is.
Reflexie over Gödels stelling
![Page 22: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/22.jpg)
We hebben dus een theorie, die zijn eigen onbewijsbaarheid stelt.De bewijsmethode, die we zojuist toepasten is klaarblijkelijk toepasbaar voor elk formeel systeem dat enerzijds voldoende expressief is om de definiëring van de bovengenoemde concepten toe te staan (in het bijzonder het concept "bewijsbare formule") en waarin aan de andere kant alle bewijsbare formules ook waar zijn.
Reflexie over Gödels stelling
![Page 23: Gödels stelling](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062501/5681678c550346895ddcac7f/html5/thumbnails/23.jpg)
Vanuit de opmerking dat Rq(q) zijn eigen onbewijsbaarheid stelt volgt onmiddellijk dat Rq(q) correct is, aangezien Rq(q) in feite onbewijsbaar is (omdat hij onbeslisbaar is).De stelling die onbeslisbaar is in het systeem PM wordt dus beslist door metawiskundige overwegingen. De exacte analyse van dit vreemde feit leidt tot het verrassende resultaat over consistentiebewijzen voor formele systemen.
Reflexie over Gödels stelling