OBSAH

Úvod ....................................................................................................................................... 1

1. Vývoj matematiky ....................................................................................................... 22. Hlavné etapy vývoja

2.1 Obdobie tvorby elementárnych matematických pojmov ....................................... 2

2.2 Obdobie matematiky konštantných veličín ......................................................... 2

2.3 Obdobie matematiky premenných veličín ........................................................... 3

2.4 Obdobie matematiky zovšeobecnených kvantitatívnych a priestorových vzťahov..3

3. Úloha dejín matematiky ..................................................................................................... 4

4 Poznanie základných javov z histórie matematiky ................................................. 4

5 5 Psychické procesy najviac ovplyvňujúce rozvoj matematického myslenia ..... 4

6 Vo vývoji matematiky boli aj zásadné problematické situácie ............................ 4

7 Objavy ........................................................................................................................ 5

7.1 Babylončania ....................................................................................................... 5

7.2 Táles ................................................................................................................... 7

7.3 Archimedes ...........................................................................................................10

7.4 Matematická analýza ........................................................................................ 12

7.5 CARDANO A JEHO VÝSLEDKY................................................................. 12

7.6 BOMBELLIHO NÁPAD .................................................................................... 15

Záver ......................................................................................................................... 16

Bibliografický záznam............................................................................................... 17

0

ÚVOD

Matematika je prakticky tak dlho na svete ako ľudstvo. Prvé predstavy o číslach

a o jednoduchých rovinných útvaroch, ktorými sa začína vyučovanie geometrie, vznikli už

v dobe kamennej. Významné matematické predstavy vznikali v starovekom Grécku. Tále,

Pytagoras, Archimedes patria medzi významných matematikov. Dvadsiate storočie ponúklo

myšlienku : História matematiky môže pripomenúť veľké problémy... môže naučiť pokore

tvárou v tvár veľkým dielam minulosti (M.Kline, 1908-1992). Moderná doba je prejavom

rozšírenia matematickej kultúry. Zaujatie matematikou sa dá porovnať so záujmom

o mytológiu, literatúru alebo hudbu. Je to jedna z najvlastnejďích oblastí človeka, v nej sa

prejavuje ľudská podstata, túžba po intelektuálnej sfére života, ktorá je jedným z prejavov

harmónie sveta (H.Weyl, 1885-1995).

1

1. Vývoj matematiky

Matematické poznávanie má svoje historické, empirické, teoretické, logické a filozofické

základy i podmienky rozvoja. Historické základy matematiky ukazujú jej súvislosť so

spoločenskou praxou a naznačujú príslušné dobové podnety,

motivácie a vlastné vývojové tendencie. Prvotné matematické poznatky boli získané

empirickou cestou, overené praxou v medziach dobovej technológie, neskôr abstrakciou

zovšeobecnené, idealizované, realizované myšlienkovými experimentmi.

Teoretické základy matematiky sú tvorené systémom štruktúrnych a formálno-logických

postupov s deduktívno-axiomatickým poňatím výstavby. Filozoficko-gnozeologický podklad

obsahuje systém princípov a metód poznávacej činnosti v matematike (napr. vzťahy medzi

deduktívnou, induktívnou, axiomatickou a konštruktívnou metódou, modelovanie teórií,

pravdivosť a dokázateľnosť, konečné a nekonečné a pod.).

Matematika je živý, rozvíjajúci sa myšlienkový poznatkový organizmus, ktorý sa neustále

obsahovo rozširuje i prehlbuje.

2. Hlavné etapy vývoja

2.1 Obdobie tvorby elementárnych matematických pojmov

prehistória - 6. stor. pred n. l. početné záznamy − vrubovky asi pred 28 000 rokmi;

ornamenty na nádobách −asi 5. až 4. tisícročie pred n. l.;

Sumeri medzi Eufratom a Tigrisom mali číselné znaky asi 2800 rokov pred n. l.;

matematické úlohy a ich riešenie na staroegyptských dokumentoch (Rhindovom a

Moskovskom papyruse) asi 1800 rokov pred n. l.

2.2 Obdobie matematiky konštantných veličín

6. stor. pred n. l. −4. stor. n. l.− vytvorenie matematiky ako vedy v Grécku

Táles− zaviedol pomery a úmery, pracoval s podobnosťou trojuholníkov;

Pytagoras − kult a mystika čísel, nesúmerateľnosť úsečiek;

Euklides− dedukcia z axióm, Základy;

Archimedes− povrchy a objemy, pravidelné telesá; Apollonios, Diofantos;

Potom do konca 16. stor.− obdobie elementárnej matematiky v stredoveku

Boethius prekladal Platóna, Euklida do latinčiny

2

Alcuin z Yorku, Al Chvárizmí, zachovali arabskú M pre Európu

Leonardo Pisánsky(13.stor.) zhrnul dobové poznatky a zaviedol indicko-arabský zápis číslic;

Thomas Bradwardinusa Nicole Oresmezačiatkom 14. stor. dosiahli pozoruhodné matematické

výsledky;

V riešení rovníc vyšších stupňov uspeli začiatkom 16. stor. Tartaglia, Cardano, Bombelli,

Viete.

.

2.3. Obdobie matematiky premenných veličín

17. −1/2 19. storočia

− zavedenie analytickej geometrie (Descartes, Fermat);

− diferenciálny a integrálny počet (Newton, Leibniz);

− rozvoj matematickej analýzy (Bernoulliovci, Laplace, Lagrange, Fourier, Cauchy,

Euler, Gauss);

−objav neeuklidovskej geometrie (Lobačevskij, Bolyai, Gauss).

2.4. Obdobie matematiky zovšeobecnených kvantitatívnych a priestorových vzťahov

od 1/2 19 stor.

Cantor − teória množín;

Russell, Whitehead– rozvoj formálnej logiky;

Galois, Abel − teória grúp;

Wiener − kybernetika, počítače;

Gödel − nemožnosťúplne formalizovať matematiku a dokázať bezospornosť;

Kto sa obmedzuje len na súčasné,

Bez vedomosti o minulom,

Ten nikdy súvislosti nepochopí.

G. W. Leibniz

Dejiny matematiky sú spoločenskovedná i matematická disciplína, významná hlavne pre

didaktiku a vyučovanie matematiky. História matematiky odráža vývoj celej ľudskej

civilizácie. Z matematiky sa stal nástroj ľudského ducha na správne a presné myslenie.

3

3. Úloha dejín matematiky

−nájsť zákonitý, historicky objektívny postup vývoja

matematik v spoločenských a kultúrnych súvislostiach z pôvodných prameňov;

zhrnúť a interpretovať materiál z minulosti do zovšeobecňujúcich záverov;

objasniť predmet matematiky a jeho zmeny, vzťah k iným vedám;

- presne stanoviť vnútornú logiku vývoja matematiky ,príčiny špecifík jej rozvoja,

obsah a vývoj základných problémov

ukázať spoločenské zázemie i praktické aplikácie matematiky

4. Poznanie základných javov z histórie matematiky umožňuje

− poznať a prehĺbiť význam matematiky a jej prakticko'spoločenského uplatnenia;

zvýrazniť motiváciu štúdia matematiky všeobecne a niektorých konkrétnych

didaktických postupov zvlášť;

− lepšie chápať filozoficko' metodologické pozadie matematických abstrakcií

a idealizácií v nadväznosti na celú štruktúru ľudského myslenia

− sprístupniť dobové spoločenské zázemie a úlohu ľudských osobností

významných matematikov;

− popularizovať okolnosti tvorivého bádania v matematických disciplínach

5. Psychické procesy najviac ovplyvňujúce rozvoj matematického myslenia

−schopnosť poznávať časovo'priestorové súvislosti;

pamäť, schopnosť uchovať si vo vedomí to, čo vnímal, pozoroval, prežil;

predstavivosť, schopnosť myšlienkovo abstrahovať a idealizovať, definovať

pojmy a uvažovať o nich;

viera v kauzalitu, myšlienkové spájanie podobných

javov, ich príčin a následkov;

schopnosť tvoriť algoritmy, pravidlá hry ,harmonickú spoluprácu.

6. Vo vývoji matematiky boli aj zásadné problematické situácie

1.kríza:objav iracionálnych čísel, nesúmerateľnosť úsečiek, napr. na vyjadrenie √2 nestačí

konečný počet číslic (neukončený neperiodický rozvoj);

2.kríza:pojem nekonečne malej veličiny, definícia limity, problém spojitosti;

3.kríza:existencia aktuálneho nekonečna, mohutnosť nekonečných množín, paradoxy teórie

množín a matematickej logiky;

4

Pozorované javy sveta, v ktorom žijeme, vieme skúmať aj matematicky (zdôraznením

merateľného a vyčísliteľného, schopnosťou kvantifikovať, abstrahovať a zovšeobecňovať

pravidelnosti, študovať špeciálne ideálne myšlienkovo-logické štruktúry, vytvárať

modely na základe dedukcie v axiomatickej sústave definícií, viet a logických dôkazov,

algoritmizovať úspešné myšlienkové postupy, vylučovať protirečenia a vnímať aj vlastné

systémovo-metodologické obmedzenia).

Matematika sa stala medzi svetom porozumenia medzi prírodou a ľudskou mysľou, putom

medzi človekom a svetom, v ktorom žije, sprostredkujúcou sférou medzi konkrétnym

zmyslovým a ideálnym duchovným prostredím.

História matematiky môže pripomenúť veľké problémy a veľké ciele, ..., môže naučiť pokore

tvárou v tvár veľkým dielam minulosti

(M. Kline, 1908–1992).

Na dějinách matematiky můžete sledovat celý myšlenkový vývoj lidstva. Vezměte si jména

velkých filozofůa zjistíte, že to byli matematici. Od Platóna až po Husserla.(P. Vopĕnka,

*1935)

Matematika bez svojej histórie neexistuje.

7. OBJAVY

7.1 Babylončania

Babylonská civilizácia v Mezopotámii vystriedala sumerskú a akkadskú civilizáciu. Od

obdobia starobabylonskej ríše - okolo roku 2000 p.n.l. už existovala pomerne dobre vyvinutá

matematika. Tisícky matematických a ekonomických tabuliek bolo najdených a rozlúštených.

Odhalujú pozoruhodné znalosti aritmetiky - riešenie lineárnych a kvadratických rovníc,

množstvo geometrických konštrukcií a výpočtov. Babylonská matematika po ďalších 1500

5

rokov zdá sa veľmi nezmenila. Môže to byť skreslené tým, že z tohoto obdobia máme len

veľmi málo matematických tabuliek.

Babyloňania zdedili mnohé poznatky po sumeroch a akkadoch. Prebrali od nich číslený

systém. Bol to systém so základom 60. Sumérsky a akkadsky systém nebol pozičný.

Babyloňania zaviedli pozičný systém čo bolo nepochybne najväčším výkonom týkajúci sa

číselného systému. I keď babylonský číselný systém bol pozičný o základe 60, mal v sebe

pozostatky desiatkového systému a to preto, že 59 čísel sa skladá zo symbolu "jednotky" a

symbolu "desiatky".

V tabuľke je zobrazených 59 symbolov, skladajúcich sa z uvedených dvoch symbolov -

"jednotky" a "desiatky".

Babyloňania delili deň na 24 hodín, každá hodina mala 60 minút a každá minúta 60 sekúnd.

Toto pretrvalo 4000 rokov. Ak napíšeme 5h 25´ 30´´, ide vlastne o zlomky 25/60 a 30/3600 -

teda o šesdesiatkovú sústavu.

    Snáď najúžasnejšia na schopnosti babyloňanov bola konštrukcia tabuliek ako pomôcku pre

6

výpočty. Dve tabuľky z roku 2000 p.n.l. , ktoré sa našli v Senkerahu na rieke Eufrat v r. 1854

udávajú štvorce čísel do 59 a tretiu mocninu čísel do 32. Napríklad:

  82 =    1, 4 =   1 x 60 + 4 =     64      atď. až po 592

592== 58, 1 = 58 x 60 + 1 = 3481

     Naše desiatkové číslo 424000 by sa zapísalo klinovým babylonským písmom ako:

To jest:    1 x 603 + 57 x 602 + 46 x 60 + 40

7.2 Táles

Úsečka AC je priemer, uhol pri bode B má konštantnú veľkosť 90° (pravý uhol)

7

Tálesova veta: keď AC je priemer, potom uhol v bode B bude pravý.

V geometrii Tálesova veta (pomenovaná podľa gréckeho filozofa Tálesa z Milétu) hovorí, že

ak A, B, C sú body na kružnici, kde AC je priemer kružnice, potom uhol ABC je pravý uhol.

Dôkaz

Obrázok ku dôkazu.

Pri dôkaze použijeme nasledovné tvrdenia:

súčet vnútorných uhlov v trojuholníku sa rovná 180°,

základňové uhly rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké.

Nech je stred kružnice. Keďže platí , a sú

rovnoramenné trojuholníky a na základe rovnosti základňových uhlov rovnoramenných

trojuholníkov, a . Označme uhly a

8

. Tri vnútorné uhly trojuholníka sú potom , a . Súčet vnútorných

uhlov každého trojuholníka je 180°:

z toho vyplýva po úprave

,

čo bolo treba dokázať.

Zovšeobecnenie

Tálesova veta je špeciálnym prípadom nasledovnej vety:

Nech sú dané tri body , a na kružnici so stredom , potom uhol je

dvakrát taký veľký ako uhol .

Dôkaz tejto vety je podobný ako dôkaz Tálesovej vety uvedený vyššie.

Aplikácie

Konštrukcia dotyčnice využitím Tálesovej vety.

Tálesovu vetu môžeme použiť na konštrukciu dotyčnice danej kružnice, ktorá pretína daný

bod (pozri obrázok). Nech je daná kružnica k so stredom O a vonkajší bod P mimo kružnice,

chceme skonštruovať (na obrázku červenú) dotyčnicu (dotyčnice) kružnice k, ktorá pretína

9

bod P. Označme bod, v ktorom sa (zatiaľ neznáma) dotyčnica t dotýka kružnice ako T. Zo

symetrie je zrejmé, že polomer OT je kolmý na túto dotyčnicu. Nájdime stred H na úsečke

spájajúcej body O a P a obkreslime kružnicu so stredom H cez tieto body. Podľa Tálesovej

vety je hľadaný bod T priesečník tejto kružnice s danou kružnicou k, pretože to je bod na

kružnici k, ktorý tvorí s bodmi O a P pravouhlý trojuholník OTP.

Pretože spomínané dve kružnice sa pretnú v dvoch bodoch, týmto spôsobom môžeme

zostrojiť obe dotyčnice.

História

Táles nebol prvý, ktorý formuloval túto vetu, keďže Egypťania aj Babylončania ju poznali,

pravdepodobne empiricky, pretože sa nenašli žiadne dokumenty s jej dôkazom. Veta je

pomenovaná po Tálesovi, ktorému sa pripisuje jej prvý dôkaz. Táles použil svoje vlastné

výsledky o základňových uhloch rovnoramenného trojuholníka a súčte vnútorných uhloch

trojuholníku.

7.3 Archimedes

Archimedes bol prvý, ktorý sa významne zaoberal nielen priamkami a rovinami, ale taktiež

krivkami, oblými plochami, ich obsahom a objemom tvarov, ktoré vymedzovali. Aby to

mohol zvládnuť využíval ako jeden z mála Eudoxovu exhaustívnu metódu, ktorá bola

vytvorená pre výpočet plôch alebo objemov konkrétnych obrazcov, či telies. Dokázal

konkrétne výsledky zobecniť a našiel obecné pravidlá pre objem elipsoidu alebo paraboloidu.

Obecné vzťahy pre objemy telies údajne skúšal najskôr hľadať tak, že telesá vyrábal z dreva,

vážil ich. Podľa zmeny váhy usudzoval zmeny objemov a tie odhadoval obecnou

zákonitosťou pre objem. Vzorec, o ktorom vďaka tomu už tušil, ako vyzerá, potom obecne

odvodil. Odvodil tiež, že pomer medzi objemom valca: 2πr2 (s výškou rovnou jeho priemeru),

gule: 4/3πr3 a kužeľa: 2/3πr3 do nej vpísaných je 3:2:1. (údajne vďaka tomuto výsledku Cicero

podľa zvláštneho tvaru valca s vloženou guľou našiel zabudnutý Archimedov hrob)

Archimedes sa zaoberal určením približnej hodnoty čísla π (pí) - konštanty udávajúcej pomer

obvodu kruhu k jeho priemeru. Na dosiahnutie správneho výsledku využíval postupy,

podobné modernému integrálnemu počtu. Prostredníctvom dôkazu sporom mohol úlohu

10

týkajúcu sa kruhu riešiť s takmer ľubovoľným stupňom presnosti. Za pomoci exhaustívnej

metódy určil približnú hodnotu čísla π. Najskôr opísal väčší mnohouholník okolo kruhu

a menší vpísal do kruhu. Potom počet strán mnohouholníka zväčšoval až na 96 a nakoniec

spočítal ich dĺžky a vydelil ich priemerom. Správne tak určil, že číslo π leží v intervale:

(približne 223/71=3,1408 <π <22/7=3,1429).

Archimedes dokázal, že plocha kruhu je rovná hodnote π vynásobené druhou mocninou

polomeru kruhu. A to tak, že pomocou exhaustívnej metódy zistil, že kruh si môžeme

prekresliť na pravouhlý trojuholník s odvesnami o (obvod kruhu) a r (polomer kruhu). Z toho

dostaneme vzťah S=1/2or. A ak máme obvod o definovaný ako pomer obvodu kružnice

k jeho priemeru tak vieme vyjadriť obvod o=πd =2πr, keď tento vzorec na výpočet obvodu

kruhu dosadíme do vzorca na výpočet obsahu dostávame S=πr2.

Pri meraní gule Archimedes používal odmocninu z 3, ktorú udal ako hodnotu medzi 265/153

(približne 1,7320231) a 1351/780 (približne 1,7320512). Skutočná hodnota je zhruba

1,7320508. K tomuto výsledku však Archimedes neuvádza spôsob, akým k nemu dospel.

Obsah pod parabolou

Archimedova genialita sa prejavila aj v jednom veľmi komplikovanom odvetví matematiky.

Toto odvetvie sa zaoberá krivkami. Archimedes sa snažil vypočítať obsah pod parabolou.

Metóda, akou to dokázal udivuje ľudí stále. Spočíva v jednoduchom zákone páky, ktorý

poznáme z fyziky. Zákon páky znie: sila pôsobiaca na jedno rameno páky vynásobená dĺžkou

ramena sa rovná sile pôsobiacej na druhé rameno páky vynásobenej dĺžkou druhého ramena.

m1.v1=m2.v2

Výpočet segmentu paraboly

V diele Kvadratúra paraboly Archimedes dokázal, že oblasť ohraničená parabolou a priamkou

je 4/3 násobok plochy vpísaného trojuholníka. Celý matematický problém vyjadril ako súčet

nekonečného geometrického radu s kvocientom 4–1 .

Za predpokladu, že prvé číslo v rovnici je plocha trojuholníka, je druhé číslo súčet dvoch

trojuholníkov, ktorých "základne" (najdlhšej strany) sú "ramená" (kratšej strany) prvého

trojuholníka. Takto súčet postupuje do nekonečna. Tento postup použil nielen na stanovenie

obsahu plochy pod parabolou, ale stanovil aj objem rotačného paraboloidu, elipsoidu a

11

hyperboloidu.

Metóda je založená na podobnom princípe, aký sa dnes používav integrálnom počte

7.4 Matematická analýza

Matematická analýza je časť matematiky, v ktorej základnými pojmami sú: pojem limity,

pojem funkcie, pojem derivácie a pojem integrálu. Základnými časťami matematickej analýzy

sú diferenciálny počet a integrálny počet, teória funkcií reálnej a komplexnej premennej,

teoria diferenciálnych rovníc a i. Poskytuje prostriedky na kvantitatívne skúmanie zmien,

závislostí veličín od iných veličín a podobne; zaoberá sa funkciami a rovnicami, ktorých

riešením sú funkcie.

7.5 CARDANO A JEHO VÝSLEDKY

Úplné a správne všeobecné riešenie kubickej rovnice publikoval GIROLAMO CARDANO

(1501 – 1576) v roku 1545 vo svojej známej knihe Ars magna sive de regulis algebraicis.

Cardano vedel, že pred ním nezávisle na sebe sa dopracovali k podobným výsledkom aj

TARTAGLIA (Niccolo Fontana) (1500 – 1557) a Scipione del FERRO (1465 – 1526), preto

vo svojej knihe ich s úctou spomína. Cardanov vzorec sa stal známym práve vďaka

spomínanej publikácii, ale správne by sa mal nazývať Tartaglia – Cardanov vzorec. Tento

vzorec sa zrodil na základe riešenia rovnice x3+ px=q . Cardanovým prínosom do riešenia

tohto problému bolo práve to, že ako prvý dokázal, že každá kubická rovnica tvaru

ax 3+bx 2+cx+d=0 sa dá upraviť na taký tvar, ktorý už neobsahuje kvadratický člen.

Príklad 1.

Upravme pomocou novej premennej rovnicu x3−3x2−3 x+11=0 tak, aby neobsahovala

kvadratický člen! Nech x= y+h , kde y je nová premenná a hodnotu h zvolíme tak, aby

12

rovnica neobsahovala člen y2

. Po dosadení dostaneme: ( y+h )3−3 ( y+h )2−3 ( y+h )+11=0

. Po vykonaní operácií upravíme rovnicu podľa klesajúcich mocnín y :

y3+ (3 h−3 ) y2+( 3 h2−6 h−3 ) y+( h3−3h2−3h+11)=0 . Aby koeficient kvadratického člena

bol nulový, zvolíme h=1 . Vtedy dostaneme rovnicu y3−6 y+6=0 , ktorá má tvar:

y3+ py+q=0 .

Príklad 2.

Riešme kubickú rovnicu y3+ py=q , kde p ,q sú kladné racionálne čísla!

Cardano svoje riešenia demonštroval na rovnici x3+6 x=20 . Najprv sa budeme zaoberať

riešením tejto rovnice. Cardano použil substitúciu x=u+v za podmienky u . v=−6

3=−2

.

Táto posledná podmienka nám zaručí, že po dosadení do rovnice (u+v )3+6 (u+v )=20

z nej dostaneme u3+v3=20 a samozrejme platí aj u

3 v3=−8 .

Z druhého vzťahu dostaneme u3=− 8

v3. Dosadením do prvej rovnice dostaneme

v6−20 v3−8=0 .

Riešením tejto kvadratickej rovnice dostaneme v3=20±√432

2=10±6 √3

a teda

u3=20−v3=10∓6√3 . Keďže podľa x=u+v sú u a v zameniteľné, stačí, ak berieme do

úvahy iba hodnoty v3=10+6√3 a u

3=10−6√3 .

Pretox=u+v=3√10−6√3+3√10+6 √3≈¿ ¿

¿√−0 , 392304+ 3√20 , 362304≈−0 ,7320502+2, 7320507=¿2 ,0000005≈2

A skutočne platí, že x=2 je koreňom pôvodnej rovnice x3+6 x=20 . Táto metóda je ale

pomerne ťažkopádna, lebo je veľmi ťažké na základe tých „odmocninových“ výrazov usúdiť,

13

že výsledok je presne 2. V dobe vreckových kalkulačiek to nie je až takým problémom, ale

v dobe Cardana matematikom robilo dosť problémov vyčísliť neprehľadné iracionálne

výrazy. Väčším problémom tejto metódy je, že pomocou nej dostaneme iba jeden koreň, hoci

by sme čakali tri. Bohužiaľ, ďalšie dva korene nemôžeme zistiť dovtedy, kým sa

neoboznámime s komplexnými číslami. A Cardano ešte nemohol počítať s komplexnými

koreňmi.

Na ďalší problém poukazuje riešenie príkladu 4, ale predtým vyriešme nasledujúci príklad:

Príklad 3.

Riešme pôvodnú kubickú rovnicu y3+ py=q !

Nech y=u+v a u⋅v=− p

3

Potom (u+v )3+ p (u+v )=q , čiže u3+v3=q a súčasne

u3 v3=−( p3 )

3

. Z toho

u3=−( p3v )

3

.

Dosadením do prvej rovnice dostaneme v6−qv3−( p

3 )3=0

.

Z toho v3=q

2±√( q

2 )2+( p

3 )3

a u3=q−v3=q

2∓√( q

2 )2+( p

3 )3

.

Berúc do úvahy zameniteľnosť u a v dostaneme:

x=u+v=3√ q2+√( q

2 )2+( p

3 )3+

3√ q2−√( q

2 )2+( p

3 )3

.

14

Príklad 4.

Tartaglia – Cardanov vzorec (z predchádzajúceho príkladu) spôsobil nemalé problémy pre

dobových matematikov aj pri riešení nasledujúcej rovnice: x3=15 x+4 .

Ľahko zistíme, že jedným koreňom rovnice je x1=4 . Na základe rozkladu na koreňové

činitele ľahko zistíme, že ďalšími koreňmi sú x2=−2+√3 a x3=−2−√3 . O správnosti

riešenia sa môžeme presvedčiť dosadením do pôvodnej rovnice. Ak použijeme vzorec

z predchádzajúceho príkladu, dostaneme vzťah:

x=3√2+√−121+3√2−√−121 , ktorý ďalej nedokážeme upravovať, dokonca vďaka výrazu

√−121 ani definovať na množine reálnych čísel. Ako teda môže vzniknúť z toho hociktorý

zo spomínaných troch koreňov? Je to známy problém casus irreducibilis, ktorý v dobe

Cardana nemohli riešiť, lebo nepoznali komplexné čísla. Len pomocou Targalia –

Cardanovho vzorca nemožno riešiť také kubické rovnice, ktoré majú tri reálne korene.

7.6 BOMBELLIHO NÁPAD

RAFAEL BOMBELLI (1526 – 1572) bol prvý, ktorý dostal smelý nápad, že súčtom takých

dvoch ,,čudných“ čísel, aké sme dostali v príklade 4 môže byť 4. Čiže 3√2+√−121+ 3√2−√−121=4 , lebo rovnica, z ktorej sme získali tie dva korene má jeden

koreň rovný 4. Ak je to pravda, môže platiť iba vtedy, ak nereálne (imaginárne) časti daných

koreňov sa líšia iba v znamienku a súčet reálnych častí je 4. Predpokladal teda, že 3√2+√−121=3√2+11√−1 .

Je to číslo tvaru 2+a√−1 , kde (2+a√−1 )3=2+11√−1 . Z toho úvahou dostal, že a=1 .

Ak to platí, tak naozaj: x=3√2+11√−1+ 3√2−11√−1=2+√−1+2−√−1=4 .

Táto smelá úvaha Bombelliho bola prvým krokom do sveta komplexných čísel. On bol

prvým, ktorý ,,opustil“ ríšu reálnych čísel.

15

Záver

Mnohé matematické objavy sa stali súčasťou nášho každodenného života a je

niekedy užitočné sa zamyslieť aj nad tým, ako uvažovali naši predkovia – matematici

dávnych čias, čo ich priviedlo, resp. prinútilo k tomu, aby hľadali stále nové, ešte neobjavené

súvislosti. Odvtedy ako sme sa pozreli na svet očami matematiky, objavili sme veľké

tajomstvo, prírodné modely ukazujú na podstatné princípy, podľa ktorých funguje celý vesmír.

(J. Stewart)

16

BIBLIOGRAFICKÝ ZÁZNAM

http://www.google.sk/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CDgQFjAC&url=http%3A%2F%2Fmath.ku.sk%2Ftkacik%2Fpredmety%2Fdownload%2Fhm%2Fprace%2Fprezentacie%2FCislo_i.pptx&ei=rUmZUd33BcTo7AaekYGYDQ&usg=AFQjCNGjEQnDPTfd5nFKNlxfLYfh2hB4Ng

http://www.google.sk/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CC0QFjAA&url=http%3A%2F%2Fmath.fce.vutbr.cz%2F~pribyl%2Fworkshop_2006%2Fprispevky%2FLengyelfalusy.rtf&ei=OEqZUcT4Jo2O7AbCroDgDQ&usg=AFQjCNFZaSzOFTjDvojh5MwEm40lNxuByw

http://www.era.topindex.sk/files/s88.pdf

http://www.zstribecskato.sk/cms/moduly/komentar/prilohy/vvoj_matematiky.pdf

http://www.csvs.cz/aula/clanky/09-2004-2-niekolko-fragmentov.pdf

http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/animat/animat.pdf

http://pohodovamatematika.sk/zaujimavosti/criepky-z-historie/epocha-elementarnej-matematiky/

http://www.avozarm.sk/Cina.htm

http://math.ku.sk/tkacik/download/publikacie/historia2.pdf

17