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Giovani L. Vasconcelos Rio de Janeiro, 09 de novembro de
2007
Modelos Não Gaussianos para Precificação de Opções
Universidade Federal de PernambucoUniversidade Federal de PernambucoDepartamento de FísicaDepartamento de Física
Colaboradores: Rogério Costa, Antônio Mário Ramos, José Augusto Carvalho Filho, Domingos Salazar
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O que são “Opções”?
Roteiro
Hipótese do mercado eficiente e
o movimento browniano
Modelo de Black-Scholes
Conclusões
Análise do Ibovespa
Breve histórico
Modelo Exponencial para Opções
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Mercado de Opções
Uma opção é um contrato que dá o direito, mas não a obrigação, de comprar ou vender um determinado ativo S por um preço K pré-
determinado (preço de exercício) em um tempo T futuro (vencimento).
se S(T) < K, o titular não exerce a opção.
se S(T) > K, o titular exerce a opção. Compra por K, revende no mercado por S e embolsa a
diferença (S-K).
Opção de Compra Opção de Compra (Call)(Call)Na data T do vencimento:
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Mercado de Opções
Surge então a seguinte Surge então a seguinte questão:questão:
Quanto deve valer um contrato de Quanto deve valer um contrato de opção?opção?
Quanto deve valer um contrato de Quanto deve valer um contrato de opção?opção?
Uma opção representa um direito. Logo, é necessário
que se pague por tal direito.
Para responder essa questão é necessário modelar a dinâmica de preços do ativo S de referência.
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1600’s - Holanda: “Bolha da Tulipa” Opções.
1900 - Louis Bachelier defende a tese “Théorie de la Especulation”, em que modela preços como um movimento browniano.
1955 - Paul Samuelson – Moderna teoria de apreçamento: logaritmo dos preços descreve um MB.
1970 - Eugene Fama – Hipótese do Mercado Eficiente
Breve Histórico
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1963 – Benoit Mandelbrot propõe distribuições de Levy (não-gaussianas) para
os retornos. 1973 – Opções começam a ser negociadas
na Bolsa de Opções de Chicago (CBOT). 1973 - Fischer Black, Myron Scholes e
Robert Merton desenvolvem o “Modelo de Black-Scholes” para opções.
1979 – Bovespa lança opções em ações. Década de 90 – Nasce a “Econofísica”.
Breve Histórico
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Breve Histórico 1997 - Merton e Scholes recebem o Nobel
de economia.
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Hipótese do Mercado Eficiente
Em um mercado eficiente o preço atual reflete toda
informação disponível.
O passado não contém qualquer informação que já não
esteja incorporada no preço atual.
Preços variam com a chegada de novas informações
flutuações imprevisíveis descrição probabilística
Variações futuras do preço são independentes das
variações anteriores.
preços seguem um movimento browniano!
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Movimento Browniano
1827- Robert Brown estuda grãos de pólen em suspensão na água e observa o movimento errático de partículas.
Reprodução (1992): partículas de gorduras do leite em suspensão .Microscópio original de Brown
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Movimento Browniano
1905- Einstein formula e resolve o problema
Tratamento estatístico: movimentos sucessivos são mutuamente independentes
processo de difusão
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Distribuição Gaussiana
probabilidade
posição
deslocamento quadrático médio:
2/12 ][ txExrms
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Retornos x(t) = ln[S(t)] seguem um movimento browniano:
x(t+1) = x(t) + flutuação aleatória
Em tempo contínuo:
Hipótese do Mercado Eficiente
Distribuiçao gaussiana (normal) para os retornos:
ruído brancoamplitude das flutuações
deriva
Preço S(t) segue uma distribuiçao log-normal.
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Ativo livre de risco (conta bancária):
Ativo de risco S segue um MB geométrico:
R(t) = + (t)
• Distribuição log-normal para S(t):
Modelo de Black-Scholes
rBdt
dB
StRdt
dS)(
volatilidade ruído brancotaxa média de retorno
taxa de juros
t
tS
SttSp
2
22
2 2
)2/(lnexp
2
1),(
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Abordagem Neutra a Risco (Merton)
Em um mundo “indiferente ao risco”:
O “preço justo” da opção C é o valor esperado do ganho futuro corrigido a tempo presente:
• Opção de compra:
= r
C(S,t) = e-r(T-t) E[C(S,T)]rn
C(S,T) = max(S-K,0)
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Fórmula de Black e Scholes
A fórmula de Black-Scholes encontra-se disponível em qualquer calculadora moderna com funções financeiras!
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Análise do Ibovespa
Os sucessivos retornos são independentes?
A distribuição é gaussiana?
RetornosIbovespa
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Expoente de Hurstdesvio padrão t H
H = 1/2 : sem memória (mov. browniano)
H ≠ 1/2 : efeitos de memória (correlação)
Memória persiste até 6 meses!
Similar a outros mercados emergentes.
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Dependência no tempo
movimento browniano
Plano Collor
Mercado brasileiro tornou-se mais eficiente com a abertura da economia
Costa e Vasconcelos, Physica A, 2003
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Scientific American Brasil, agosto de 2004
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Histograma dos Retornos
região linear distribuição exponencial!
J.A. Carvalho-Filho, 2004
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Modelo Exponencial para Retornos
Condição de normalização
Escolhendo covenientemente
Obtemos, usando as duas igualdades, as expressões
Consequentemente
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Cotações Cotações “Intraday”“Intraday”
Exponencial para > 1h
Lei de potência para < 1h
J.A. Carvalho-Filho, 2004
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Cotações Cotações “Intraday”“Intraday”
A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007
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variância:
Distribuições com lei de potência
Distribuição de Tsallis (ou q-gaussiana)
Cauda com lei de potência:
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Análise Empírica do IbovespaAnálise Empírica do Ibovespa
Distribuição de TsallisDistribuição de Levy
A. M. T. Ramos, 2007
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Ajuste Empírico ao IbovespaAjuste Empírico ao Ibovespa
A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007
q=1.64
q-gaussiana exponencialmente
truncada
q-gaussiana
q=1.75
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Aplicando a abordagem neutra a risco:
Modelo Exponencial para OpçõesModelo Exponencial para Opções
Resulta uma fórmula explícita para o preço da opção:
Dois parâmetros não conhecidos e
neutralidade a risco:
McCauley, Gunaratne, Physica A 2003
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Comparação entre os Modelos para Comparação entre os Modelos para OpçãoOpção
T = 14 diasT = 36 dias
Série IBOVL, vencimento 13/12/2006
gaussiano é melhor exponencial é melhor
A. M. T. Ramos, 2007
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Próximo do vencimento o modelo exponencial é melhor
Em alguns casos o ajuste exponencial apresenta resíduo bem menor do que o gaussiano.
Comparação entre os Modelos para Comparação entre os Modelos para OpçãoOpção
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Outros Modelos Alternativos de Outros Modelos Alternativos de OpçõesOpções
Modelos com Distribuição de Lévy Truncada (A. Matacz, Int. J. Theor. Appl. Finance, 2000)
Modelos com processos de Lévy
(“Lévy Processes in Finance”, Wim Schoutens, 2001)
Modelo q-Gaussiano (L. Borland, PRL 2002): fórmula explícita aproximada.
Modelo de “Black-Scholes Fracionário” (C.
Necula, 2002; Cajueiro e Barbachan, 2003): retornos seguem um movimento browniano fracionário, H ≠ 1/2.
Modelos com Volatilidade Estocástica.
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Conclusões e Conclusões e DesafiosDesafios
Retornos seguem uma distribuição exponencial para 1 h < < 30 dias, e q-gaussiana para < 1 h.
Presença de correlações (H > 0.5) no Ibovespa antes, e mais eficiência (H 0.5), após o Plano Collor.
O modelo exponencial descreve melhor o mercado de opções do Ibovespa próximo do vencimento.
Efeitos não-gaussianos são abundantes no mercado financeiro.
Como utilizar modelos não-gaussianos de opções para gerar estratégias de investimento?
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