Chương 1

TƯƠNG TÁC CỦA NEUTRON VỚI VẬT CHẤT

1.1 GIỚI THIỆU

Neutron cùng với proton là thành phần cơ bản của hạt nhân nguyên tử. Neutron được khám phá sau đó hơn hai thập kỹ qua việc nghiên cứu các hạt trung hòa điện tích tồn tại trong nguyên tử. Do neutron trung hòa điện tích nên nó dễ dàng tương tác với hạt nhân và không tương tác trực tiếp với electron. Do kích thước hạt nhân của nguyên tử cỡ 1/1000 kích thước đám mây electron nên cơ hội để neutron tương tác với một hạt nhân là rất nhỏ, cho phép neutron di chuyển một khoảng cách dài qua vật chất. Cũng như hạt tự do, neutron là “công cụ” quan trọng và duy nhất được dùng cho nhiều ứng dụng: trong y học dùng để bắn phá các hạt nhân nhằm phá hủy tế bào ung thư (ví dụ như liệu pháp bắt neutron), nghiên cứu vật chất trong cơ thể và sinh học, chuẩn đoán hình ảnh qua việc định vị dễ dàng các nguyên tử nhẹ, đặc biệt là hydro, để khảo sát tính chất của vật liệu từ (neutron chiếm giữ mômen từ và làm từ trường càng nhỏ), để theo dõi vết chuyển động của nguyên tử (năng lượng neutron nhiệt hầu như trùng với năng lượng chuyển động của nguyên tử), và để duy trì phản ứng phân hạch dây chuyền trong lò phản ứng hạt nhân. Neutron tự do là không bền và phân rã thành -, một proton và một neutrino. Tuy nhiên, neutron tự do sẽ tương tác hầu hết với vật chất xung quanh và biến mất dù hạt nhân tương tác lâu trước khi chúng phân rã.

1.2 CÁC PHẢN ỨNG HẠT NHÂN

Một phản ứng hạt nhân bao gồm các tương tác giữa các hạt nhân (nucleon, hạt nhân); tạo ra các hạt nhân khác hoặc tia gamma. Giả sử, một cách đơn giản, chỉ có hai hạt ban đầu và hai hạt được tạo ra sau phản ứng, một phản ứng hạt nhân thường được viết như sau (xem hình 1.1)

A + B C + D

Mỗi phản ứng hạt nhân phải tuân theo các định luật:

Bảo toàn số nucleon: tổng số nuclon trước và sau phản ứng không đổi.

Bảo toàn điện tích: tổng điện tích của tất cả các hạt trong phản ứng phải được bảo toàn.

Bảo toàn động lượng: tổng động lượng của các hạt tương tác trước và sau phản ứng không thay đổi.

Bảo toàn năng lượng: năng lượng, gồm năng lượng nghĩ của các hạt, không đổi trong phản ứng hạt nhân.

1

B A

C

D

Trước phản ứng Sau phản ứng

Hình 1.1. Sơ đồ về một loại phản ứng hạt nhân

Định luật bảo toàn năng lượng cũng có thể dùng để dự đoán xem tương tác giữa các hạt mạnh hay không. Đối với tương tác giữa hạt A với hạt B tạo ra hạt C và D, tổng năng lượng trước và sau phản ứng liên hệ với động năng (T) và năng lượng nghĩ của mỗi hạt như sau:

(1.1)

Phương trình (1.1) có thể viết lại như sau

(1.2)

Từ phương trình (1.2) cho thấy rằng, độ biến thiên động năng trong một phản ứng bằng độ biến thiên năng lượng nghĩ của các hạt trong phản ứng đó. Độ biến thiên năng lượng nghĩ của các hạt trong phản ứng được biết như là giá trị Q của phản ứng:

(1.3)

Phản ứng là tỏa nhiệt khi Q > 0: khối lượng hạt nhân chuyển hoàn toàn thành động năng và làm động năng các hạt tăng lên sau phản ứng.

Phản ứng là thu nhiệt khi Q < 0: năng lượng hạt nhân chuyển hoàn toàn thành khối lượng và làm động năng các hạt giảm đi sau phản ứng.

Ví dụ 1.1: Phản ứng hạt nhân

Hoàn thành phản ứng sau đây, tính giá trị Q của phản ứng 235U(n, ?)236U. Biết khối lượng: m235 = 235.0439231 u, mn = 1.0086649 u, m236 = 236.0455619 u.

Giải

Số nguyên tử của 235U là 92 và của neutron là 0. Như vậy, tổng số nguyên tử của các hạt tới là 92. Do số nguyên tử của 236U cũng bằng 92, nên hạt bay ra cũng phải có số ngyên tử bằng 0. Tổng số khối của các hạt tới là 235 + 1 = 236. Tổng số khối của các hạt tạo ra phải bằng 236. Do số khối của 236U là 236, vì vậy hạt còn lại phải có số khối bằng 0. Đó là tia :

235U(n, )236U

Giá trị Q của phản ứng là

Q = 0.0070261x931.5 = 6.54 MeV > 0, phản ứng tỏa nhiệt.

1.3 CÁC NGUỒN NEUTRON VÀ PHÂN LOẠI NEUTRON

Neutron sinh ra từ các nguồn neutron chẳng hạn như lò phản ứng hạt nhân, đồng vị phóng xạ, hoặc máy gia tốc. Lò phản ứng hạt nhân là nguồn tạo ra neutron vô tận có tất cả năng lượng. Tuy nhiên, tính phức tạp của lò phản ứng và hệ thống kèm theo cũng như giá thành đắt đỏ không thích hợp cho các ứng dụng công nghiệp, y học hoặc nghiên cứu nhỏ. Mặt khác, các nguồn neutron đồng vị được dùng trong rất nhiều các ứng dụng trong công nghiệp và là nguồn lí tưởng khi ta cần những neutron liên tục. Tuy nhiên, nguồn neutron loại này không đáp ứng được các ứng dụng mà ta chỉ cần neutron có một năng lượng nào đó hoặc cần neutron phát ra trong một thời gian cho trước. Để đáp ứng đòi hỏi này thì một máy gia tốc phát neutron là cần thiết. Các máy gia tốc nhỏ tạo ra nguồn neutron dưới dạng xung dùng phản ứng hạt nhân, phản ứng thường dùng nhất là 2H-2H và 2H-3H

3H (2H, n)4He Q = 17.59 MeV2H (2H, n)3He Q = 3.27 MeV

Các phản ứng này tạo ra neutron 14.1 MeV và 2.5 MeV tương ứng.

2

Nguồn neutron xung (cũng được gọi là máy phát xung) đã được ứng dụng trong khoa học, công nghiệp, y học và công nghệ như sau:

- Phân tích hàm lượng của các vật liệu lớn: các vật liệu như xi măng hay than đang di chuyển trên băng tải được kiểm tra bằng việc ứng dụng chùm neutron nhanh và neutron nhiệt dựa vào phân tích kích hoạt. Mục đích của phép phân tích này là để đo hàm lượng nguyên tố hiện diện trong vật liệu. Ví dụ như các thông tin thu được từ phép phân tích kích hoạt neutron của xi măng cho phép sự phối hợp tối ưu các thành phần vật liệu thô cũng như thẩm tra thành phần hóa học. Một ví dụ khác là ứng dụng phân tích kích hoạt neutron kiểm tra phép đo trực tiếp hàm lượng lưu huỳnh (S) và các nguyên tố khác trong than, một quan trọng cho việc dự đoán mức độ ảnh hưởng của môi trường.

- Phát hiện vật liệu cháy nổ, hóa học và hạt nhân: các vật liệu chứa trong kiện hàng hoặc trong hành lí có thể phát hiện được chính xác nhờ kiểm tra nhanh đảm bảo an ninh tại các sân bay.

- Các ứng dụng trong y học: một phép đo chính xác và đơn giản về chất béo trong cơ thể bằng việc dùng máy phát xung neutron. Phép đo dựa vào sự tương tác của neutron với các-bon và oxy, cho phép tiên lượng được sự béo phì, sự lão hóa và các bệnh tật về tim mạch của con người.

Tương tác rất đặc biệt sinh ra neutron tại tốc độ cao và đa năng là tương tác giữa hạt alpha với nguyên tử beryllium:

9Be(, n)12C Q = 5.75 MeV

Do lực đẩy Coulomb giữa nhân Be và hạt là không cao nên phản ứng này rất thích hợp cho việc sản xuất ra neutron. Hạt phát ra từ các đồng vị phóng xạ 226Ra, 222Rn, 210Pb, 239Pu và 241Am. Beryllium chỉ có một đồng vị trong tự nhiên nên nguồn neutron sử dụng nguyên tố này là dễ dàng thực hiện. Theo nguyên tắc, bột Be và chất phóng xạ phát được trộn vào nhau theo tỉ lệ từ 20:1 đến 300:1 và hổn hợp này được gói gọn trong một dụng cụ đặc biệt. Nguồn này phát neutron không đổi trong một thời gian dài và phổ năng lượng neutron thường là phức tạp vì sản phẩm phân rã phát ra với năng lượng khác nhau và như vậy làm cho neutron có năng lượng khác nhau. Hình 1.2 mô tả phổ năng lượng neutron phát ra từ nguồn neutron Am-Be. Các neutron cũng có thể được tạo ra trong phản ứng giữa tia gamma với bia thông dùng như Be hay D (ví dụ như nước nặng, D2O). Phản ứng loại này gọi là phản ứng quang neutron. Năng lượng liên kết của neutron trong các nguyên tố nhẹ là nhỏ và phản ứng xãy ra không đòi hỏi phải có năng lượng lớn:

9Be(, n)8Be Q = 1.63 MeV2H(, n)1H Q = 2.23 MeV

Neutron sinh ra từ phản ứng này là đơn năng và nguồn này có thể tái sản xuất lại. Nguồn tia gamma thường dùng nhất là 24Na (E = 2.8 MeV, T1/2 = 15 giờ) hoặc 124Sb (E = 1.67 MeV, T1/2 = 60.9 ngày).

3

Năng lượng (MeV)

Xác

suấ

t phá

t neu

tron

Hình 1.2: Phổ năng lượng neutron của nguồn Am-Be

Ví dụ 1.2: Phản ứng hạt nhân giải phóng neutron

Vào năm 1920, Rutherford tiên đoán sự tồn tại một hạt trung hòa điện tích như là thành phần cơ bản của hạt nhân. Từ ý tưởng đó đã thôi thúc nhiều nhà khoa học khắp thế giới bắt đầu nghiên cứu về các thành phần cơ bản khác của hạt nhân. Hai nhà khoa học người Đức, Bothe và Becker, đã nghiên cứu sự tương tác mà cho đến ngày nay thường dùng để tạo ra nguồn neutron là 9Be(, n)12C. Trong thực nghiệm họ khám phá ra rằng lớp chì (Pb) dày gần 5 cm làm giảm bức xạ phát ra từ phản ứng và cho rằng hiện tượng này không đúng với các tia gamma. Lúc này, xét tương tác giống nhau và giả sử rằng một neutron tạo ra trong phản ứng đó có năng lượng 5.3 MeV. Tính năng lượng của proton giật lùi nếu như neutron va chạm trực diện với khối parafin (giả sử chỉ va chạm với proton).

Giải

Trước tương tác, neutron khối lượng mn có vận tốc vn1, proton khối lượng mp có vận tốc bằng không.

Sau tương tác, neutron chuyển động với vận tốc vn2 và proton giật lùi với vận tốc vp.

Theo định luật bảo toàn năng lượng

(1.4)

Theo định luật bảo toàn động lượng cho va chạm trực diện

(1.5)

Phương trình (1.4) và (1.5) có thể đơn giản với giả thiết là khối lượng neutron gần bằng khối lượng proton, khi đó

vp = vn1vn2 = 0

Kết quả này cho thấy rằng trong va chạm trực diện neutron bị dừng lại bởi proton và truyền toàn bộ năng lượng của nó cho proton. Cho nên trong thực nghiệm của họ, năng lượng của proton sau phản ứng bằng năng lượng neutron tới hoặc bằng 5.3 MeV.

Neutron được phân loại theo năng lượng của chúng vì tương tác của chúng với vật chất phụ thuộc vào năng lượng. Phân loại thông dụng nhất được trình bày trong bảng 1.1.

Bảng 1.1. Phân loại neutron theo năng lượng

Năng lượng neutron Tên

0 – 0.025 eV Neutron lạnh0.025 eV Neutron nhiệt0.025 eV – 0.4 eV Neutron trên nhiệt0.4 eV – 0.6 eV Neutron Cadmi0.6 eV – 1.0 eV Neutron trên Cadmi1.0 eV – 10 eV Neutron chậm10 eV – 300 eV Neutron cộng hưởng300 eV – 1 MeV Neutron trung bình1 MeV – 20 MeV Neutron nhanh> 20 MeV Neutron tương đối tính

4

1.4 SỰ SUY GIẢM NEUTRON

1.4.1 Khái niệm về tiết diện

Tốc độ phản ứng của neutron với vật liệu bia phụ thuộc vào năng lượng và vận tốc neutron cũng như phụ thuộc vào bản chất của vật liệu bia. Như vậy, tiết diện của một bia đối với một phản ứng bất kỳ mô tả xác suất tương tác và là một tính chất đặc trưng của hạt nhân và năng lượng neutron tới. Để giới thiệu khái niệm về tiết diện neutron, ta xem xét một chùm neutron tới đơn năng va chạm vào bia mỏng có bề dày x và thiết diện A như hình 1.3.

Cường độ chùm neutron tới được mô tả bằng số neutron trên mỗi đơn vị thể tích, n, và vận tốc của chúng, v, là

I0 = n. v [neutron/cm2/s] (1.7)

Tổng số hạt nhân trong bia có mật độ nguyên tử N là

Tổng số hạt nhân trong bia = N A x (1.8)

Số neutron va chạm với nhân bia tỉ lệ với cường độ chùm neutron và tổng số hạt nhân trong bia

Số neutron va chạm mỗi giây trong bia = I0 N A x (1.9)

Với I0 là số neutron va chạm với một hạt nhân trong bia mỗi đơn vị thời gian, và vùng tiết diện hiệu dụng, thường được gọi là tiết diện vi mô. Nó định nghĩa như sau: = số neutron va chạm mỗi đơn vị thời gian với một hạt nhân mỗi đơn vị cường độ của chùm neutron tới.

Như vậy tiết diện vi mô mô tả diện tích nhìn thấy được và đối với vài tương tác là gần bằng với diện tích thực R2. Đơn vị của tiết diện vi mô là barn (b) và bằng 10 -24cm2. Tất cả các tiết diện neutron đều là hàm theo năng lượng neutron và bản chất của hạt nhân bia. Xác suất neutron chịu sự tương tác với nhân bia bằng tỉ số giữa vùng phản ứng với vùng toàn phần:

x = [vùng phản ứng]/[vùng toàn phần] (1.10)

Vùng phản ứng của bia (có thể tích Ax) được định nghĩa như là số hạt nhân trong bia, NAx, nhân với diện tích mỗi hạt nhân,

(1.11)

Như vậy, mối liên hệ giữa tiết diện vi mô và tiết diện vĩ mô là

[cm-1] (1.12)

Số hạt nhân trong bia của một nguyên tố quan tâm (gọi là mật độ hạt nhân), N, là

5

BiaN (nguyên tử/cm3)

Neutron/cm3

I0

Neutron tán xạ

I(x)Neutron không va chạm

Detector

Hình 1.3. Khái niệm về tiết diện neutron

(1.13)

Với A là số khối và Na là hằng số Avogadro.

Ví dụ 1.3: Tiết diện vi mô và vĩ mô của một đồng vị

Tính tiết diện vi mô dựa vào diện tích hình học và tính tiết diện vĩ mô của 54Fe có mật độ 7.86 g/cm3. Dùng công thức gần đúng sau để tính bán kính hạt nhân, R, R = (1.4 A)x10-16m.

Giải

Tiết diện vi mô được tính dựa vào bán kính hạt nhân từ mô hình Fermi của hạt nhân

R = 1.4 A x 10-16m = 1.4 x 54 x 10-16m = 75.6 x 10-16m

Hình 1.4 cho thấy rằng tiết diện vi mô của neutron đối với 54Fe và 55Mn giữa tính toán và thực nghiệm gần bằng nhau.

Mật độ 54Fe là

hạt nhân/cm3

Như vậy tiết diện vĩ mô là

cm-1

Ví dụ 1.4: Tiết diện vi mô và vĩ mô đối với hỗn hợp các nguyên tố

Tính tiết diện hấp thụ vi mô và vĩ mô đối với Urani tự nhiên nếu biết 235 = 681b, và 238 = 2.7b. Mật độ của Urani là 19 g/cm3.

Giải

Độ phổ cập của 238U và 235U trong urani tự nhiên lần lượt là 99.28% và 0.72%. Như vậy, mật độ hạt của chúng là

6

Hinh 1.4

hạt nhân/cm3

hạt nhân/cm3

Tiết diện vĩ mô và vi mô của urani tự nhiên là

và

1.4.2 Xác suất tương tác neutron

Neutron di chuyển theo hướng và vận tốc không đổi đến khi chúng tương tác với môi trường. Chỉ xét môi trường đồng nhất, xác suất mà neutron tương tác là một hàm của khoảng cách x trong môi trường. Xác suất này có thể biểu diễn theo chuỗi MacLaurin cho khoảng cách x như sau :

(1.14)

với a, b, c, d,…. là các hệ số khai triển. Do neutron không thể tương tác tại khoảng cách zero nên hệ số thứ nhất bằng 0. Đối với khoảng cách đủ nhỏ x (xem hình 1.5), chuỗi (1.14) còn lại :

(1.15)

Xác suất neutron sẽ không tương tác trong khoảng cách x là

(1.16)

Do mỗi tương tác độc lập với tướng tác trước đó nên xác suất mà neutron sẽ không tương tác trong khoảng cách x + x có thể viết dưới dạng tích số của hai xác suất :

(1.17)

Ta sắp xếp lại :

(1.18)

7

Hình 1.5. Neutron di chuyển trong môi trường đồng nhất

Lấy giới hạn x 0 và thay hằng số b bằng tiết diện vĩ mô

(1.19)

Phương trình (1.19) cho phép ta tính được xác suất mà một neutron không tương tác và xác suất mà neutron sẽ tương tác trên khoảng x

(1.20)

Tiết diện vĩ mô ở phương trình trên được thay bằng hệ số suy giảm tuyến tính (l) như trong trường hợp sự suy giảm tia gamma.

Ví dụ 1.5: Xác suất tương tác neutron

Tính xác suất mà một neutron sẽ dịch chuyển 5 cm trong khối sắt 54Fe mà không có tương tác. Tính xác suất tương tác neutron với môi trường từ khoảng 5 cm đến 5.5 cm?

Giải

Theo ví dụ 1.3, tiết diện vĩ mô của 54Fe là = 0.456 cm-1. Xác suất di chuyển 5 cm mà không có tương tác là

Để tính xác suất có tương tác trong khoảng 5 cm và 5.5 cm, trước tiên ta tính xác suất của sự di chuyển thêm 0.5 cm mà không có tương tác, hoặc

Vậy xác suất neutron tương tác trong khoảng 5 cm và 5.5 cm là

Cách khác, ta có thể sử dụng tích của hai xác suất: xác suất mà neutron sẽ không tương tác trong khoảng 5 cm đầu tiên và xác suất mà neutron sẽ tương tác trong khoảng 0.5 cm tiếp theo

1.4.3 Quãng đường tự do trung bình của neutron

Theo định nghĩa, quãng đường tự do trung bình của neutron là khoảng cách trung bình mà neutron di chuyển trong môi trường mà không tương tác. Quãng đường tự do trung bình ta có thể thu được từ xác suất mà neutron sẽ tương tác trong khoảng x x + dx. Như vậy, xác suất bằng tích giữa hai xác suất:

- Xác suất mà neutron sẽ không tương tác trên khoảng x

(1.21)

- Xác suất mà neutron sẽ tương tác trong khoảng dx

(1.22)

Quãng đường tự do trung bình có giá trị liên tục và có thể thu được bằng việc lấy tích phân tích các xác suất trên với giả thiết chiều dài vận chuyển neutron có thể tính từ 0 đến

8

(1.23)

Ví dụ 6: Quãng đường tự do trung bình của neutron

Tính quãng đường tự do trung bình và thời gian cần thiết đối với neutron có năng lượng 100 eV để có sự tương tác thứ nhất trong khối 54Fe. Khối lượng của neutron là 1.67492716x10-27kg

Quãng đường tự do trung bình tỉ lệ nghịch với tiết diện vĩ mô của môi trường, cho nên

Vận tốc neutron tính được từ năng lượng của nó

Cho nên thời gian để có sự tương tác thứ nhất là

1.4.4 Tốc độ phản ứng và thông lượng neutron

Đối với phần lớn các ứng dụng (phân bố neutron trong lò phản ứng, vận chuyển neutron qua vật liệu che chắn hoặc môi trường sinh học), thì việc xác định tốc độ phản ứng neutron là quan trọng. Một neutron tương tác với hạt nhân của môi trường qua việc tán xạ từ hạt nhân này đến hạt nhân khác đến khi nó bị hấp thụ hoặc thoát ra khỏi môi trường. Quãng đường tự do trung bình mà một neutron di chuyển trước khi nó tương tác có thể được định nghĩa là quãng đường tự do trung bình cho việc tán xạ, s=1/s, và cho hấp thụ, a=1/a. Như vậy, quãng đường tự do trung bình toàn phần là tot=1/tot. Tốc độ phản ứng mỗi đơn vị thể tích của vật liệu bia và đơn vị thời gian đối với tương tác thứ i là

(1.24)

Với là thông lượng neutron và có đơn vị là số neutron trong mỗi đơn vị thời gian mỗi đơn vị diện tích, n/cm2/s.

Nếu tất cả neutron có cùng vận tốc v và mật độ neutron n, thì khi đó thông lượng neutron và tốc độ phản ứng được viết lại như sau

(1.25)

(1.26)

Khi neutron có vận tốc khác nhau thì mật độ neutron là hàm phân bố theo vận tốc và n(v)dv mô tả số neutron có vận tốc trong khoảng v v + dv

9

(1.27)

Trong trường hợp này, thông lượng neutron và tốc độ phản ứng là

(1.28)

(1.29)

Nếu ta dùng vận tốc trung bình của neutron,

(1.30)

thì khi đó thông lượng neutron là

(1.31)

Và tiết diện vi mô trung bình được định nghĩa

(1.32)

Tốc độ phản ứng cho trường hợp này là

(1.33)

Ví dụ 7: Tốc độ phản ứng và thông lượng

Trong môi trường chứa 1020 nguyên tử vật liệu phân hạch, một thông lượng neutron là 5.1014n.cm-2s-1. Nếu tốc độ phản ứng là 1.5x1013 cm-3s-1, hãy tính tiết diện vĩ mô và vi mô của môi trường đó.

Tiết diện có thể tính được theo mối liên hệ sau

10

1.5 Các tương tác neutron

Các tương tác neutron có thể được mô tả theo 3 bước: điều kiện trước tương tác khi neutron gần đến hạt nhân, trạng thái trung gian khi neutron tới làm hình thành hạt nhân hợp phần với nhân bia, và điều kiện sau tương tác. Trong trạng thái trung gian, neutron kết hợp với hạt nhân và hình thành nhân hợp phần có số khối tăng lên một đơn vị so với nhân bia. Việc hình thành nhân hợp phần cũng có nghĩa là neutron tới truyền tất cả năng lượng của nó cho hạt nhân bia. Thời gian hình thành nhân hợp phần gần bằng thời gian mà một neutron tới cần để di chuyển qua hạt nhân bia (khoảng 10 -21s). Một hạt nhân hợp phần hình thành ở trạng thái kích thích cao và không bền cho nên nó phân rã sau khoảng thời gian tương đối dài (10-19s 10-15s). Các loại tương tác neutron khác nhau được minh họa trên hình 6.

Một trong những đặc điểm quan trọng và đặc trưng của tương tác neutron với vật chất qua sự hình thành nhân hợp phần là tiết diện biểu lộ các giá trị cực đại tại các năng lượng neutron tới nhất định. Các giá trị cực đại này được gọi là các cộng hưởng (xem ví dụ tiết diện neutron của các loại tương tác khác nhau với 56Fe trong hình 7). Hạt nhân có nhiều trạng thái kích thích tương ứng với hình dạng khác nhau của các nucleon trong hạt nhân. Neutron tới và nhân bia liên kết nhau và hình thành nhân hợp phần nếu như năng lượng của neutron tới bằng một trong các trạng thái kích thích của nhân hợp phần. Các cộng hưởng xuất hiện trên tiết diện bởi vì nó cần thiết để hình thành nhân hợp phần trước khi tương tác bắt đầu. Năng lượng kích thích của nhân hợp phần bằng với động năng của neutron tới cộng với năng lượng tách (liên kết) của neutron trong nhân hợp phần.

Trong các mục sau đây các phản ứng cho thấy ở hình 6 được trình bày ngoại trừ phản ứng phân hạch.

11

Trước SauTrung gian

neutron Nhân Nhân hợp phần

Tán xạ:Tán xạ đàn hồi (el)tán xạ thế (p)tán xạ cộng hưởng (r)Tán xạ không đàn hồi (in)Hấp thụ:Bắt bức xạ (c hay r)Neutron-proton (p)Neutron-alpha ()Phân hạch (F)

56Fe + n (tán xạ đàn hồi)56Fe + n’ (tán xạ không đàn hồi)57Fe + (bắt bức xạ)56Fe + 2n (phản ứng n, 2n)

56Fe + n 57Fe

Hình 6: Các loại tương tác khác nhau của neutron

1.5.1 Tán xạ đàn hồi (n, n)

Có hai trường hợp đối với neutron để tán xạ đàn hồi từ hạt nhân

Tán xạ đàn hồi cộng hưởng hoặc hợp phần: neutron bị hấp thụ bởi nhân bia để hình thành nhân hợp phần và tái phát xạ neutron.

Tán xạ đàn hồi thế: neutron bị tán xạ khỏi hạt nhân bởi lực ngắn của hạt nhân.

Tán xạ thế là dạng thường xảy ra nhất của tán xạ đàn hồi và được chỉ ra trên hình 8. Hai tương tác khác có thể xảy ra là tán xạ đàn hồi cộng hưởng mà phụ thuộc mạnh vào năng lượng neutron tới. Tiết diện của tương tác này biểu lộ một vùng cộng hưởng như thấy trên hình 7.

Tán xạ đàn hồi thế thường xảy ra hơn và có thể được hiểu bằng việc hình dung neutron và hạt nhân như là quả bi-da có bề mặt không thể xuyên thủng. Tán xạ thế mà neutron không bao giờ va chạm thực sự với nhân và nhân hợp phần không hình thành với neutron tới có năng lượng lên tới 1 MeV.

12

Tán xạ thế

Vùng cộng hưởng

Năng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)

Hình 7: Tiết diện của các loại tương tác neutron với 56Fe

Trước Trung gian Sau

neutronAX

AX

AX

Hình 8: Sơ đồ tán xạ đàn hồi của neutron với nhân

Neutron bị tán xạ bởi lực ngắn hạt nhân khi chúng gần tới hạt nhân. Tiết diện gần như là không đổi (xem hình 7) và được biểu diễn theo mối liên hệ

(1.34)

Với R là bán kính hạt nhân.

Ví dụ: Tán xạ đàn hồi thế

Dùng số liệu thực nghiệm tán xạ đàn hồi từ hình 7, tính bán kính hạt nhân 56Fe.

Từ hình 7, tiết diện tán xạ thế có giá trị không đổi tại 12b từ 0.03 eV đến 0.6 MeV. Như vậy . Giải theo R, ta tính được R = 9.77x10-13cm

Một phản ứng tán xạ đàn hồi giữa neutron và hạt nhân bia không gồm phần năng lượng truyền vào hạt nhân. Tuy nhiên, động lượng và động năng được bảo toàn và thường có vài động năng của neutron truyền vào hạt nhân bia. Như vậy, hạt nhân bia lấy được động năng mà neutron bị mất và nó chuyển động với tốc độ tăng lên. Nếu neutron va chạm với hạt nhân lớn nó bị bật trở lại với cùng vận tốc lúc đầu và năng lượng mất mát không đáng kể. Tuy nhiên, với hạt nhân nhẹ sẽ lấy một phần lớn năng lượng của neutron từ va chạm và sẽ làm cho neutron chậm lại so với lúc đầu.

Sự truyền năng lượng lớn nhất xảy ra đối với va chạm trực diện, tức là neutron không thay đổi hướng chuyển động. Neutron mất hết năng lượng tới khi tương tác với các nguyên tố nhẹ như hydrogen. Điều này là do hạt nhân hydro có khối lượng gần bằng khối lượng neutron.

Cho nên các vật liệu có hàm lượng lớn hydrogen, như H2O hoặc parafin, là rất quan trọng trong việc làm chậm neutron. Ví dụ, trong trường hợp hydrogen, năng lượng của neutron trong va chạm trực diện sẽ bằng không, có nghĩa là neutron truyền tất cả năng lượng của nó cho hạt nhân hydro.

1.5.2 Tán xạ không đàn hồi

Để cho neutron chịu sự tán xạ không đàn hồi với hạt nhân thì năng lượng của nó phải đủ để đến vị trí nhân bia trong trạng thái kích thích. Theo kết quả, tiết diện không đàn hồi biểu lộ năng lượng ngưỡng (từ 0 đến năng lượng đó). Nhìn chung, các mức năng lượng của trạng thái kích thích của hạt nhân giảm theo chiều tăng của số khối. Các nguyên tố có số khối cao thường có năng lượng kích thích cực tiểu trong vùng từ 0.1 MeV đến 1 MeV. Các nguyên tố có số khối thấp hơn có năng lượng kích thích tăng. Đây là lí do tại sao trong tán xạ không đàn hồi thường xảy ra nhiều hơn đối với các hạt nhân nặng và như vậy tiết diện tán xạ không đàn hồi là khác không trên một vùng lớn năng lượng đối với nhân nặng.

Tại năng lượng trên năng lượng ngưỡng, tiết diện tán xạ không đàn hồi gần bằng tiết diện đàn hồi. Ba ví dụ về tiết diện không đàn hồi với nhân nặng, trung bình và nhẹ được cho thấy trên hình 9 đến hình 11. Ví dụ, năng lượng ngưỡng đối với Oxygen là khoảng 6 MeV trong khi đó đối với 238U chỉ là 44 keV. Neutron không thể chịu tán xạ không

13

Tán xạ toàn phần

Tán xạ không đàn hồi

Năng lượng (eV)

Hình 9: Tiết diện không đàn hồi của 238U

Tiế

t diệ

n (b

)

đàn hồi trong hydrogen hay deuterium. Hạt nhân magic có tính chất giống nhân nhẹ trong trường hợp tán xạ không đàn hồi.

Quá trình tán xạ không đàn hồi thực hiện trong hai bước như mô tả trên hình 12. Tương tác gồm sự hình thành nhân hợp phần thông qua giai đoạn trung gian của quá trình tương tác.

Nhân hợp phần được hình thành trên một trạng thái kích thích do neutron tới đã truyền năng lượng cho nó. Trong bước tiếp theo, một neutron có năng lượng thấp hơn bị đẩy ra khỏi hạt nhân làm hạt nhân có trạng thái kích thích thấp hơn. Khi đó hạt nhân trở lại trạng thái bền vững bằng việc phát năng lượng dư dưới dạng tia gamma.

14

Tiế

t diệ

n (b

)

Năng lượng (eV)

Tán xạ toàn phần

Tán xạ không đàn hồi

Hình 10: Tiết diện không đàn hồi của 56Fe

Tiế

t diệ

n (b

)

Tán xạ toàn phần

Tán xạ không đàn hồi

Năng lượng (eV)

Hình 11: Tiết diện không đàn hồi của 16O

Trước Trung gian Sau

neutron AX A+1X

AX

Nhân hợp phần ở trạng thái kích thích

Neutron tớiE0

Nhân bia

Neutron phát raE

Tia phát raE

E + E = E0

Hình 12: sơ đồ tán xạ không đàn hồi phát tia gamma

Năng lượng tia gamma phát ra bằng với năng lượng dư của trạng thái kích thích của nhân bia. Năng lượng neutron tới E0 được phân bố cho tia , E, và neutron bị đẩy ra, E

E = E0 - E (1.35)

1.5.3 Bắt bức xạ (n, )

Bắt neutron (hấp thụ neutron) thường được gọi là bắt bức xạ vì tia được sinh ra trong phần lớn các phản ứng này. Trong phản ứng này sẽ hình thành một đồng vị có số khối tăng một bậc (xem hình 13).

Hạt nhân mới được hình thành có thể phóng xạ và cho nên nó sẽ phân rã. Phản ứng bắt neutron không cần neutron có năng lượng đặc biệt nào và phản ứng xảy ra tại bất kỳ mức năng lượng của neutron. Các phản ứng này hầu hết là tỏa nhiệt ( Q > 0) vì năng lượng liên kết của hạt nhân mới hình thành lớn hơn tổng năng lượng liên kết của neutron và hạt nhân ban đầu.

Tiết diện bắt bức xạ thường được chia thành ba vùng:

Vùng năng lượng thấp: xẩy ra hầu hết các hạt nhân, tiết diện bắt bức xạ thay đổi tỉ lệ nghịch với căn bậc 2 năng lượng neutron tới ( ). Do vận tốc neutron tỉ lệ với căn bậc 2 năng lượng nên tiết diện bắt bức xạ cho rằng thay đổi theo 1/v. Do tiết diện thường được vẽ theo log-log nên sự phụ thuộc 1/v xuất hiện như là một đường thẳng với hệ số góc -1/2, xem hình 14 đến hình 17. Hạt nhân mà không tuân theo sự phụ thuộc 1/v được gọi là chất hấp thụ không theo luật 1/v.

Phía trên vùng 1/v là vùng cộng hưởng trong cùng khoảng năng lượng như vùng cộng hưởng cho tán xạ đàn hồi (vì hạt nhân được hình thành trong quá trình bắt bức xạ giống với nhân hợp phần hình thành trong quá trình tán xạ đàn hồi). Tiết diện bắt bức xạ trong vùng cộng hưởng có thể tính bằng cách dùng công thức Breit-Wigner.

Phía trên vùng cộng hưởng ( < 1 keV với hạt nhân nặng và cao

15

Trước Trung gian Sau

neutron AX A+1X

A+1X

Hình 13: Sơ đồ phản ứng bắt bức xạ

Vùng 1/v

Vùng cộng hưởngVùng Phẳng

Năng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)

Hình 14: Tiết diện bắt bức xạ của 56Fe so với tiết diện tán xạ toàn phần.

hơn với nhân nhẹ hơn) tiết diện bắt bức xạ giảm nhanh và phẳng tại giá trị rất nhỏ như ta thấy trên hình 17.

16

Tiế

t diệ

n (b

)

Năng lượng (eV)

Hình 15: Tiết diện bắt bức xạ của 238U

Hình 16: Tiết diện bắt bức xạ của 93NbNăng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)

Hình 17: Tiết diện bắt bức xạ của 56Fe

Năng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)

1.5.4 Phản ứng phát hạt (n, ), (n, p)

Phản ứng phát hạt thường phát ra hạt hoặc p từ hạt nhân (xem hình 18); như vậy phản ứng phát hạt với neutron chậm là rất hiếm.

Các ví dụ của các phản ứng có Q > 0 (Không đồi hỏi năng lượng neutron tới) là

10B + n 11B* 7Li + : Tiết diện cho phản ứng này được trình bày trên hình 19. Ta thấy rằng tiết diện rất lớn tại năng lượng neutron thấp. Với lý do này nên 10B được dùng làm vật liệu hấp thụ hết những neutron có năng lượng thấp không mong muốn. Khi năng lượng neutron tăng tiết diện giảm theo qui luật 1/v. Các hạt sinh ra trong phản ứng này được bức ra theo hướng ngược lại với năng lượng tương đối cao. Chúng tạo ra sự ion hóa theo một khoảng ngắn và có khả năng gây tổn hại cho tế bào sinh học. Phản ứng này dựa vào phản ứng bắt neutron của boron cho việc điều trị ung thư não và ung thư da.

6Li + n 7Li* 3H + : Phản ứng này giống như phản ứng trước và cũng cho thấy sự phụ thuộc mạnh vào 1/v. Hạt nhân tạo thành là Tritium, một chất phát - và là đồng vị quan tâm đặc biệt trong khoa học nhiệt hạch.

16º + n 16N + p: là phản ứng thu nhiệt được quan tâm trong thiết kế lò phản ứng hạt nhân do nó là nguồn phóng xạ khi nước được dùng làm chất làm chậm neutron.

Tuy nhiên phần lớn các phản ứng phát hạt là phản ứng ngưỡng nên đòi hỏi neutron phải có năng lượng tối thiểu cần thiết nào đó phản ứng này mới xảy ra. Tiết diện phản ứng là nhỏ, đặc biệt đối với hạt nhân nặng (xem hình 20).

17

Hình 18: Sơ đồ phản ứng phát hạt

Trước Trung gian Sau

neutron AXzA+1Xz

A-3Xz-2

neutron AXzA+1Xz

AXz-1

p

Vùng 1/v

Năng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)

Hình 19: Tiết diện của phản ứng 10B + n

1.5.5 Hydrogen và deuterium

Hydrogen và deuterium hiện diện phần lớn trong lò phản ứng. Các hạt nhân này tương tác với neutron theo cách riêng (xem hình 21)

Tương tác với neutron mà không hình thành nhân hợp phần (nhân này không có trạng thái kích thích vì tất cả các trạng thái đều lấp đầy số nucleon)

Không có các cộng hưởng (vì không hình thành nhân hợp phần)

Tiết diện tán xạ đàn hồi không đổi lên tới 10 keV

Tiết diện bắt bức xạ tại tất cả các năng lượng cho thấy phụ thuộc 1/v

Tán xạ không đàn hồi không xảy ra (vì không có hình thành nhân hợp phần)

1.5.6 Tiết diện đối với các tương tác neutron khác nhau

Khái niệm về tiết diện vi mô và tiết diện vĩ mô được mô tả ở mục 4.1. Tiết diện cho tương tác neutron bất kỳ i có mối liên hệ như sau

(1.36)

18

Năng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)

(a)

Tiế

t diệ

n (b

)

Năng lượng (eV)

(b)

Hình 20: tiết diện của phản ứng phát hạt từ sự tương tác của neutron với (a) 56Fe và (b) 197Au

Tiết diện vĩ mô toàn phần đối với tất các các tương tác là tổng của các tiết diện riêng

(1.37)

Giá trị của cả hai loại tiết diện mô tả xác suất xảy ra cho sự tương tác neutron. Nếu vật liệu mà neutron tương tác gồm hỗn hợp các nguyên tử khác nhau thì tiết diện vĩ mô mô tả tổng các giá trị riêng lẻ sẽ được dùng để xác định xác suất tương tác. Ví dụ, tiết diện vĩ mô cho loại bắt bức xạ của vật liệu là

(1.38)

Với Nj là mật độ hạt nhân của mỗi thành phần trong vật liệu. Đối với neutron di chuyển trong vật liệu thì xác suất tương tác được xác định dựa vào giá trị tiết diện vĩ mô biết trước. Ví dụ, xác suất neutron bị bắt bởi hạt nhân trong lần va chạm tiếp theo với nguyên tử của vật liệu j là

(1.39)

Trong phép phân tích tiết diện và tương tác thì thường nhóm các tiết diện giống nhau thành một nhóm. Ví dụ, tiết diện hấp thụ liên hệ với tất cả tương tác mà giới hạn lịch sử neutron: bắt neutron, phân hạch và phát hạt

(1.40)

19

Năng lượng (eV)

Năng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)T

iết d

iện

(b)

Hình 21: Tiết diện neutron đối với (a) 1H và (b) 2H

Ví dụ 9: Xác suất tương tác neutron trong môi trường đồng nhất

Tính xác suất neutron tương tác với 235U để neutron bị bắt nếu tiết diện vi mô là = 98.6b, f = 582.2b và s = 13.8b.

Do môi trường là đồng nhất và như vậy thành phần vật liệu chỉ có một loại nguyên tử, xác suất có thể được tính bằng cách dùng các giá trị tiết diện vi mô cho trước. Xác suất mà neutron bị bắt là

Tiết diện phản ứng thay đổi theo năng lượng neutron, loại tương tác neutron và loại đồng vị. Các phản ứng nào mà không có giá trị ngưỡng, chẳng hạn như bắt neutron và phân hạch của 235U hoặc bắt neutron của 238U, sẽ có tiết diện lớn tại năng lượng neutron thấp. Phản ứng ngưỡng chỉ xảy ra với một năng lượng nhất định, ví dụ như 238U phân hạch nếu năng lượng neutron trên 1 MeV.

Vùng năng lượng quan tâm trong vật lý lò phản ứng là từ năng lượng cao (neutron sinh ra do phân hạch) đến năng lượng neutron nhiệt. Trong khoảng rộng năng lượng này, tiết diện cho phản ứng khác nhau là khác nhau. Gía trị trung bình của phổ neutron phân hạch là khoảng 2 MeV, trong khi đó neutron chậm trong vùng nhiệt có năng lượng 0.025 eV. Neutron năng lượng cao chuyển động với vận tốc cao so với hạt nhân trong môi trường; cho nên phản ứng nổi bật trong trường hợp này là tán xạ và dẫn đến neutron bị chậm lại. Trong vật liệu mà có tiết diện tán xạ lớn thì neutron mất hầu hết năng lượng chỉ sau vài tương tác và trở nên cân bằng nhiệt với hạt nhân của môi trường. Neutron có phân bố phổ theo Maxwell phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường. Cho nên, neutron trong lò phản ứng có phổ phức tạp đó là hỗn hợp gồm neutron nhanh, trung bình và chậm. Các đặc trưng riêng của từng phổ có thể được xác định bởi vật liệu hiện diện trong môi trường. Ví dụ, trong môi trường có tỉ số tiết diện tán xạ/hấp thụ cao thì phổ neutron sẽ rơi vào vùng năng lượng nhiệt. Tuy nhiên, trong trường hợp ngược lại, môi trường có tỉ số tiết diện hấp thụ/tán xạ cao, phổ neutron sẽ không khác nhiều so với phổ lúc nó mới sinh ra.

Tại vùng năng lượng thấp tiết diện toàn phần cho các loại tương tác là

(1.41)

Với C là hằng số, E là năng lượng neutron và R là bán kính hạt nhân.

Hệ số thứ nhất trong (1.41) mô tả cho tiết diện đàn hồi, hệ số thứ hai cho biết tiết diện bắt bức xạ hoặc phản ứng tỏa nhiệt

20

Năng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)

Hình 22: Tiết diện toàn phần phụ thuộc năng lượng neutron của 56Fe và 239Pu

có thể xảy ra tại năng lượng đó. Nếu hệ số thứ nhất trội hơn hệ số thứ hai thì khi đó tiết diện toàn phần là hằng số tại năng lượng thấp. Một ví dụ cho thấy trên hình 22 đối với 56Fe. Nếu hệ số thứ hai trội hơn hệ số thứ nhất thì tiết diện toàn phần có quy luật 1/v. Thư viện dữ liệu tiết diện thường cho tiết diện bắt và tiết diện phân hạch đối với neutron năng lượng thấp chuyển động với vận tốc v = 2200 m/s (tương ứng năng lượng Ep = 0.025 eVv và nhiệt độ 293 K). Đối với hạt nhân tuân theo 1/v thì tiết diện hấp thụ tại năng lượng bất kỳ lên đến vài eV có thể được tính từ công thức

(1.42)

Trong vùng cộng hưởng, tất cả các loại tiết diện như tán xạ đàn hồi, bắt bức xạ và tán xạ không đàn hồi đều có tính cộng hưởng trong cùng vùng năng lượng. Tiết diện tại giá trị đỉnh cộng hưởng đạt đến vài ngàn barn. Các cộng hưởng tương ứng với các mức năng lượng gián đoạn của nhân hợp phần hình thành sau khi tương tác với neutron. Neutron có năng lượng gần bằng mức năng lượng của nhân hợp phần có xác suất tương tác cao. Năng lượng thấp nhất mà các cộng hưởng bắt đầu xuất hiện là khoảng 0.5 eV và cực đại khoảng 01. MeV. Như ta thấy trên hình 22, khi năng lượng tăng thì các cộng hưởng trở nên khít nhau hơn. Tất cả các giá trị tiết diện thu được bằng thực nghiệm ; tuy nhiên, trong vùng mà các cộng hưởng quá khít nhau thì thực nghiệm không thể đo được. Trong vùng năng lượng cao (trên 0.1 MeV), tiết diện toàn phần trở nên phẳng theo năng lượng neutron. Tiết diện là nhỏ hiếm khi đạt giá trị lớn hơn 5b. Phản ứng phát hạt trở nên có ý nghĩa. Tiết diện tán xạ đàn hồi vẫn còn không đổi khắp vùng năng lượng bên dưới cộng hưởng cho hầu hết các đồng vị. Giá trị trung bình cho vùng tiết diện này nằm giữa 1 b đến 10b từ đồng vị này đến đồng vị khác trong một khoảng rộng năng lượng (hình 23)

1.6 Phân bố Maxwell-Boltzmann

Trong môi trường mà neutron không bị hấp thụ và neutron không thoát ra ngoài thì chỉ có tán xạ đàn hồi với nhân nguyên tử là xảy ra. Tán xạ đàn hồi làm giảm năng lượng neutron. Tuy nhiên, quá trình làm chậm vĩnh viễn không thể xảy ra là do sự chuyển động nhiệt của nguyên tử. Do vậy chúng không thể giả thuyết là dừng chuyển động mà ta thường dùng phép gần đúng trong phân tích tương tác neutron. Khi năng lượng neutron trở thành năng lượng chuyển động nhiệt của nguyên tử thì neutron cân bằng nhiệt với môi trường. Có nghĩa là xác suất mà neutron thu hoặc mất năng lượng trong một va chạm với hạt nhân môi trường là bằng nhau. Động năng trung bình của chuyển động nhiệt của nguyên tử được cho bởi

21

Năng lượng (eV)

Tiế

t diệ

n (b

)

Hình 23: So sánh tiết diện tán xạ đàn hồi của 1H, 56Fe, 235U và 239Pu

(1.43)

Với k là hằng số Boltzmann (1.380662x10-23J/K), và T là nhiệt độ của môi trường (K). Cho nên, trong trạng thái cân bằng nhiệt neutron có thể thu hoặc mất động năng (mv2/2), nghĩa là neutron trao đổi động năng của nó với hạt nhân nguyên tử của môi trường. Trong một môi trường lý tưởng không có hấp thụ và rò rỉ thì sự phân bố năng lượng neutron sẽ giống với sự phân bố năng lượng của nguyên tử trong chuyển động nhiệt. Tất cả neutron nhiệt không có cùng năng lượng hoặc vận tốc. Phân bố phổ năng lượng neutron gọi là phân bố Maxwell-Boltzmann hay ngắn gọn là phân bố Maxwell. Mặc dù các điều kiện phân bố này không thỏa mãn trong hệ lò phản ứng thực nhưng cho phép giả thiết rằng neutron trở nên nhiệt hóa đến mức mà thỏa phân bố Maxwell sau đây

(1.44)

Với

n = số neutron nhiệt trong mỗi đơn vị thể tích

m = khối lượng neutron

T = nhiệt độ K

n(E) và n(v) = phân bố năng lượng (vận tốc) Maxwell của neutron cho mỗi đơn vị thể tích và mỗi khoảng đơn vị năng lượng (vận tốc).

Vế trái của phương trình (1.44) mô tả phần neutron có năng lượng (vận tốc) trong một một khoảng đơn vị năng lượng (vận tốc) và vế bên phải (1.44) mô tả đường cong phân bố Maxwell như ta thấy trên hình 24. Vận tốc có thể nhất, vp, tìm được bằng việc đạo hàm n(v) theo vận tốc bằng không

(1.45)

(1.46)

Năng lượng có thể nhất thu được là kT/2. Động năng của neutron nhiệt ứng với vận tốc vp là

(1.47)

22

Hình 24: Phân bố Maxwell theo vận tốc neutron

Lưu ý rằng động năng có thể nhất (cũng như động năng trung bình) độc lập với khối lượng hạt. Đối với neutron nhiệt tại 200C (hoặc 293K) vận tốc và động năng có thể nhất là

Các giá trị tiết diện vĩ mô cung cấp trên các biểu đồ và các bảng là được đo tại vận tốc neutron 2200 m/s, ứng với nhiệt độ 293K và năng lượng 0.025 eV.

Vận tốc trung bình của neutron tính theo

(1.48)

Tỉ số giữa vận tốc trung bình và vận tốc có thể nhất của neutron trong phổ Maxwell là

Tiết diện tại các vận tốc này thay đổi tùy ý và được trình bày sau đây. Thông lượng neutron trong phân bố Maxwell được cho bởi

(1.49)

Tiết diện hấp thụ trung bình cho những neutron phụ thuộc 1/v có thể tính được

Như đã nói trong mục 4.4.6 đối với tiết diện hấp thụ phụ thuộc 1/v, mối liên hệ sau đây được tính đến

, với Ep = kT (1.50)

Khi đó tiết diện hấp thụ trung bình là

23

(1.51)

Các giá trị tiết diện hấp thụ vi mô tại nhiệt độ cao hơn thì thấp hơn các giá trị đã lập trong các bảng cho trước và tiết diện bất kỳ gồm hấp thụ, phân hạch, bắt,… phải được hiệu chỉnh nhiệt độ tương ứng. Tiết diện hấp thụ trung bình tại vận tốc trung bình và nhiệt độ T được cho bởi

(1.52)

Ví dụ 10 : Tiết diện hấp thụ trung bình tuân theo 1/v được hiệu chỉnh theo nhiệt độ

Tiết diện hấp thụ của 235U tại vận tốc vp và năng lượng Ep là 680.8b. Giả sử tiết diện phụ thuộc qui tắc 1/v, hãy xác định tiết diện trung bình tại nhiệt độ 293K và 600K.

Tiết diện hấp thụ trung bình tại năng lượng Ep là

Nếu nhiệt độ neutron tăng tới 600K thì tiết diện hấp thụ trung bình sẽ thay đổi như sau

Tuy nhiên, tiết diện hấp thụ của một số vật liệu quan trọng trong thiết kế lò phản ứng không phụ thuộc chính xác 1/v. Ví dụ như 235U, 238U và 239Pu. Trong trường hợp này thì hệ số bán thực nghiệm g(T) dựa vào phép đo tiết diện chính xác được giới thiệu để hiệu chỉnh cho phần lệch khỏi luật 1/v. Khi đó tiết diện nhiệt thật sự được hiệu chỉnh cho nhiệt độ hấp thụ trung bình là

(1.53)

Ví dụ 11 : Tiết diện hấp thụ trung bình không tuân theo 1/v được hiệu chỉnh theo nhiệt độ

Tiết diện bắt bức xạ của 235U tại vận tốc vp và năng lượng Ep là 98.81b. Từ bảng số liệu hạt nhân (http://atom.kaeri.re.kr), hệ số g(T) tìm được là 0.9898. Tính tiết diện bắt trung bình tại năng lượng 0.0253 eV. Tính tiết diện này tại 600K ?

24

Tiết diện bắt bức xạ trung bình cho phân bố Maxwell của phổ neutron là

Nếu nhiệt độ neutron tăng lên 600K thì tiết diện bắt bức xạ trung bình là

Trong lò phản ứng nhiệt ta không thể thu được phổ neutron tuân theo một cách chính xác phân bố Maxwell. Các lý do này là

1. Neutron tạo ra bởi quá trình phân hạch là neutron có năng lượng cao sẽ được làm chậm bởi va chạm đàn hồi với chất làm chậm (nhân nhẹ). Phần neutron năng lượng cao hơn là lớn hơn trong phân bố Maxwell (xem hình 25). Điều này là do neutron bị hấp thụ hao85c rò ra khỏi lò phản ứng không có cơ hội để làm chậm tiếp theo. Độ lệch phổ năng lượng neutron này khỏi sự phân bố Maxwell về hướng vùng năng lượng neutron cao được gọi là hấp thụ cứng.

2. Trong vùng năng lượng thấp, phổ neutron gần với sự phân bố Maxwell. Điểm bắt đầu phụ thuộc vào tốc độ hấp thụ và tốc độ rò rỉ trong hệ thống lò phản ứng, khi neutron có thể hoặc là bị hấp thụ hoặc là bị mất trước khi chúng cân bằng nhiệt với nguyên tử chất làm chậm. Trong vùng năng lượng này, tiết diện hấp thụ tỉ lệ nghịch với vận tốc neutron (~1/ ). Do đó, phổ neutron trong vùng nhiệt thường tính gần đúng bởi sự phân bố Maxwell tại nhiệt độ mà cao hơn nhiệt độ chất làm chậm. Nhiệt độ này được gọi là nhiệt độ neutron hiệu dụng.

1.7 Nở rộng Doppler

Tiết diện thường đề cập đến năng lượng. Tuy nhiên, chúng thực sự phụ thuộc đến năng lượng tương đối tính của tương tác neutron và hạt nhân. Năng lượng tương đối tính giống với năng lượng neutron nếu hạt nhân đứng yên. Trong thực tế hạt nhân dạng

25

Phân bốMaxwell

Phân bốThực

Hình 25: Phổ năng lượng của neutron nhiệt

Năng lượng neutron

Tiế

t diệ

n

Hình 26: Nở rộng Doppler

rắn dao động quanh điểm cố định và năng lượng dao động này tăng theo nhiệt độ. Tại vài nhiệt độ cho trước, năng lượng dao động có khuynh hướng theo phân bố Maxwell khắp một vùng rộng của phổ năng lượng neutron. Cho nên, thậm chí cả neutron đơn năng, năng lượng tương ứng với hạt nhân bia thay đổi khắp một vùng rộng (bên dưới và bên trên năng lượng neutron tới). Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Doppler bởi vì nó giống với sự thay đổi bước sóng quan sát được khi nguồn sáng hoặc âm thanh chuyển động với tần số không đổi. Do năng lượng dao động tăng theo nhiệt độ nên năng lượng tương đối neutron-hạt nhân cũng tăng. Kết quả là với hiệu ứng Doppler thì bề rộng đỉnh cộng hưởng tăng theo nhiệt độ (hình 26), hay ta còn gọi là nở rộng Doppler. Độ tăng bề rộng cộng hưởng được kèm theo bởi sự suy giảm chiều cao cộng hưởng, trong khi đó diện tích bên dưới cộng hưởng vẫn không thay đổi. Tốc độ hấp thụ neutron toàn phần trong vùng cộng hưởng tăng theo nhiệt độ. Khía cạnh này quan trọng trong phép phân tích các hệ số nhiệt độ trong lò phản ứng.

1.8 Sự suy giảm chùm neutron và kích hoạt neutron

Sự giảm chùm neutron được xác định từ công thức

(1.54)

Với :

I0 = cường độ chùm neutron tới

= tiết diện vĩ mô của vật liệu (cm-1)

x = bề dày của vật liệu (cm)

Phương trình (1.54) có thể biểu diễn dưới dạng hệ số suy giảm, AF, như sau

(1.55)

Ví dụ 12 : Hệ số suy giảm neutron nhiệt

Tính hệ số suy giảm AF đối với chùm neutron nhiệt xuyên qua lớp nước dày 2.5 cm. Tiết diện vĩ mô đối với neutron nhiệt là 0.02 cm-1

Từ hệ số giảm theo công thức (1.55) ta có

Vật liệu đặt vào chùm neutron sẽ hấp thụ neutron tỉ lệ với tiết diện tại năng lượng đó. Một lần nữa nguyên tử hấp thụ neutron và trở thành đồng vị nặng hơn và phóng xạ. Sự hấp thụ neutron từ một vật liệu nhất định cho phép sản xuất ra nguồn phóng xạ trong lò phản ứng, nhưng cũng ảnh hưởng đến cấu trúc lõi lò phản ứng. Theo nguyên tắc này thì có thể dùng để suy ra mức thông lượng neutron tại các điểm quan tâm trong lõi lò phản ứng bằng cách dùng các tấm hấp thụ neutron. Hoạt độ của các tấm sau khi chiếu xạ tỉ lệ với thông lượng neutron. Ví dụ, nếu đồng vị hình thành trong thông lượng , nó sẽ bắt đầu phân rã. Giả sử có N hạt nhân đồng vị được hình thành và N 0 hạt nhân bia ban đầu, tốc độ thay đổi hạt nhân mới có thể thu được từ

(1.56)

Với là hằng số phân rã của đồng vị hình thành. Phương trình (1.56) được sắp xếp lại ta có phương trình vi phân bậc nhất sau

26

(1.57)

Lời giải của phương trình này là

(1.58)

Với C là hằng số tích phân. Từ (1.58) ta tính được

(1.59)

Hằng số tích phân C thu được từ điều kiện ban đầu

(1.60)

Như vậy

(1.61)

Sự tích lũy đồng vị phóng xạ trong suốt quá trình chiếu xạ trong trường neutron được vẽ trên hình 27. Vật liệu sẽ phân rã với chu kỳ bán hủy đặc trưng của nó khi di chuyển ra khỏi thông lượng neutron.

Ví dụ 13 : Kích hoạt neutron

Một hình trụ chứa đầy 59Co có thể tích 1 cm3 được đặt trong lõi lò phản ứng với thông lượng 108n.cm-2.s-1

trong 1 năm. Tính hoạt độ của mẫu khi kết thúc chiếu xạ và hoạt độ của mẫu đó sau 1 năm kể từ lúc ngưng chiếu. Nhiệt độ của mẫu trong suốt thời gian chiếu là 2000C. Sau khi hấp thụ neutron, 59Co trở thành 60Co ở trạng thái đồng phân của nó. Hạt nhân 60Co phân rã thành 2 cách, hoặc là qua sự biến hoán trong hoặc là phân rã - như trình bày trên hình 28. Mật độ của mẫu là 8.71 g/cm3. Khối lượng nguyên tử của 59Co là 58.94.

Trước tiên chúng ta hãy xác định hằng số phân rã của hai đồng phân :

27

Mẫu dị chuyển khỏi trường neutron và phân rã theo chu kỳ bán hủy đặc trưng

Hình 27: Quá trình tích lũy đồng vị phóng xạ trong thời gian chiếu neutron.

59Co + n 60Co*

Biến hoán trong thành 60Co, T1 = 10.5 phút, 1 = 18b60Co*

Phân rã - thành 60Ni, T2 = 1925.1 ngày, 2 = 19b

Hình 28: hấp thụ neutron bởi 59Co

Số hạt nhân bia là

n.tử 59Co

Do nhiệt độ của mẫu cao hơn 293K nên tiết diện trung bình phải được hiệu chỉnh

Chiếu xạ trong một năm, đồng vị sống ngắn sẽ bảo hòa và biểu thức thứ 2 trong (1.61) được bỏ qua. Như vậy,

ng.tử 60Co

Hàm lượng của đồng vị sống dài hơn là

ng.tử 60Co

Hoạt độ lúc ngưng chiếu

Sau một năm, hoạt độ của mẫu là hoạt độ của đồng vị sống dài

1.9 Phân hạch hạt nhân

1.9.1 Cơ chế của quá trình phân hạch

Sự phân hạch mô tả quá trình tương tác hạt nhân dẫn đến hạt nhân ban đầu bị tách thành các hạt nhân nhỏ hơn. Sự phân hạch cũng mô tả cho quá trình tương tác của neutron làm sinh ra neutron mới và giải phóng năng lượng, đây cũng là nguyên tắc cơ bản của quá trình phát điện hạt nhân. Phân hạch có thể là quá trình tự phát, ví dụ như Pu240 và Cf252 phân rã bằng cách phân hạch tự phát.

Trong quá trình phân hạch, một neutron tương tác với hạt nhân bia tạo thành nhân hợp phần ở trạng thái kích thích trong thời gian ngắn rồi sau đó tách thành các hạt nhân nhỏ hơn đồng thời giải phóng hai hai nhiều neutron và giải phóng năng lượng. Như vậy nhân hợp phần tạm thời chứa tất cả điện tích và

28

khối lượng trong phản ứng và thoát ra ở trạng thái kích thích. Năng lượng kích thích của nhân hợp phần bằng tổng năng lượng liên kết và động năng của neutron tới. Sơ đồ cho quá trình phân hạch được minh họa trên hình 28 trong trường hợp neutron tương tác với U235. Các hạt nhân nhỏ hơn được hình thành sau khi nhân hợp phần phân rã được gọi là sản phẩm phân hạch hay mảnh phân hạch. Các mảnh phân hạch thường là hạt nhân phóng xạ, phân rã ra β-. Không phải mọi tương tác của neutron với nhân bia đều dẫn tới sự phân hạch sau khi hình thành nhân hợp phần. Khi nhân hợp phần ở trạng thái kích thích nó có thể đạt đến trạng thái bền bằng cách phát ra tia , trong trường hợp này ta gọi là phản ứng bắt bức xạ.

Nếu năng lượng kích thích của nhân hợp phần lớn hơn năng lượng tới hạn thì nhân hợp phần trở nên có hình dạng giống quả tạ do lực tương tác giữa các nucleon và thậm chí tách thành các hạt nhân nhỏ hơn như ta thấy trên hình 28. Cơ chế của quá trình phân hạch cũng có thể hiểu được từ đồ thị mô tả các mức thế năng trong nhân hợp phần và các mảnh phân hạch như ở hình 29. Ở khoảng cách xa, các mảnh phân hạch tách rời nhau và thế năng của hệ bằng không. Khi các mảnh phân hạch gần nhau hơn thì thế năng tăng lên do lực đẫy tĩnh điện giữa các điện tích dương của chúng. Thế năng đạt giá trị cực đại khi các mảnh phân hạch tiếp xúc với nhau. Tại điểm này lực hút hạt nhân trở nên nổi trội và thế năng giảm đến giá trị tương ứng với trạng thái cơ bản của nhân hợp phần. Để cho sự phân hạch xãy ra thì hệ phải chuyển từ trái sang phải trên hình 29. Độ khác nhau về năng lượng giữa năng lượng cực đại và năng lượng ở trạng thái cơ bản của nhân hợp phần cho ta biết năng lượng tới hạn cho sự phân hạch (hay cũng được gọi là năng lượng kích hoạt). Theo mẫu giọt chất lỏng, năng lượng tới hạn giảm khi Z2/A tăng. Điều này được giải thích là do lực đẫy giữa các nucleo tăng theo Z2, trong khi đó lực hút tỉ lệ với A : đối với Z2/A < 35, năng lượng tới hạn quá lớn để mà neutron (hoặc các hạt khác) có năng lượng

29

Neutron nhiệt

Trạng thái kích thích

Mẫu giọt chất lỏng Neutron

nhanh

Tia gamma

Hình 28. Sơ đồ phân hạch của U235

Năng lượng tới hạn

Vùng hút

Vùng đẫy

Các mảnh phân hạch tách rời nhau

Hình 29. Năng lượng tới hạn của quá trình phân hạch

Thế

năn

g

Khoảng cách giữa các mảnh phân hạch

cao mới gây ra sự phân hạch ; đối với Z2/A > 35, năng lượng tới hạn vào cỡ năng lượng liên kết của neutron tới nên sự phân hạch dễ dàng xãy ra với neutron năng lượng thấp.

1.10 Tốc độ phân hạch và công suất lò phản ứng

Như ta đã biết, tốc độ phản ứng bất kỳ đối với chùm neutron đơn năng là x. Đối với phản ứng phân hạch ta có :

Tốc độ phân hạch = f [phân hạch/cm3/giây] (1.62)

Với : f = N.f là tiết diện phân hạch vĩ mô [cm-1], N là mật độ hạt nhân phân hạch [hạt.cm -3], f là tiết diện vi mô cho phản ứng phân hạch [cm2], = n.v là thông lượng chùm neutron [neutron.cm-2.s-1], n là mật độ neutron [neutron/cm3], v là vận tốc neutron [cm/s].

Trong lò phản ứng hạt nhân thì neutron không đơn năng mà có năng lượng trãi rộng từ 0 đến vài MeV. Như vậy thông lượng và tiết diện neutron và dĩ nhiên là tốc độ phản ứng phân hạch phụ thuộc vào năng lượng. Tại năng lượng neutron cho trước, thông lượng neutron ở thời điểm cho trước sẽ thay đổi theo vị trí (không gian) trong lò phản ứng. Sự phân bố vật liệu phân hạch không đồng đều ở thời điểm ban đầu và cũng không đồng đều sau khi lò phản ứng hoạt động với một thời gian nhất định. Để xác định tốc độ phân hạch tại thời điểm cho trước thì phương trình (1.62) phải lấy tích phân toàn khoảng năng lượng neutron và vị trí không gian trong lò phản ứng. Thực tế điều này phải được tính bằng chương trình máy tính. Tuy nhiên có một phương pháp gần đúng sẽ được trình bày dưới đây.

Trong lò phản ứng nhiệt, phần lớn các phân hạch xãy ra ở vùng năng lượng neutron nhiệt với thông lượng và tiết diện phân hạch vĩ mô rất lớn. Tốc độ phân hạch có thể tính được với các giá trị trung bình của thông lượng và tiết diện (không gian và năng lượng). Cho nên, với lò phản ứng có thể tích V [cm3] thì

Số phân hạch toàn phần = V (1.63)

Giả sử rằng lò phản ứng đang hoạt động đủ thời gian để mà gần như tất cả năng lượng phân rã phóng xạ được chuyển hóa thành nhiệt và cần tốc độ phần hạch khoảng 3,1.1010 (phân hạch/giây) để tạo ra công suất nhiệt là 1 watt, công suất lò phản ứng nhiệt được tính gần đúng như sau :

[W] (1.64)

Ví dụ 14 : Công suất lò phản ứng

Một lò phản ứng với chất làm chậm là nước H2O chứa 100.000 kg UO2 được làm giàu tới 2,5% về hàm lượng U235. Tỉ số nguyên tử H/U235 là 200. Tính gần đúng thông lượng neutron nhiệt (trung bình) ở công suất nhiệt 3000 MWth, nhiệt độ của chất làm chậm ở 3100C.

Giải

Đối với U235 ở T = 3000K, tiết diện phân hạch toàn phần đối với neutron năng lượng 0,0253 eV là 584,4 barn và g(T) = 0,9786.

Nếu nhiệt độ tăng lên đến 3100C (583K) thì tiết diện phân hạch trung bình trở thành

Tỉ lệ U235 trong U235O2 là 235/(235+2x16) = 235/267, nên khối lượng của U235 là

30

Tổng số hạt nhân U235 trong lò phản ứng là

hạt nhân

Và thông lượng neutron là

1.9.2 Neutron phân hạch

Trong 10-14 giây đầu tiên trong quá trình phân hạch có 99% neutron được phát ra, các neutron này gọi là neutron tức thời. Neutron tức thời đi cùng với việc phát ra các mảnh phân hạch và các tia gamma tức thời. Sau thời gian khoảng vài phút, các mảnh phân hạch không bền lại tiếp tục phát ra neutron, gọi là neutron trễ. Vai trò của mỗi nhóm neutron, tức thời và trễ, được giải thích rõ ràng trong chương « Động học lò phản ứng ».

Số neutron trung bình phát ra khi có một neutron bị hấp thụ gây ra phản ứng phân hạch thường kí hiệu là và đối với nhiên liệu lò phản ứng nhiệt thì ~ 2,5 (xem bảng 1.2). Số này không phải là số nguyên bởi vì nó được tính trung bình trên tất cả số sự kiện phân hạch (Mỗi sự kiện phân hạch phát ra số nguyên số neutron).

Bảng 1.2 Số neutron phát ra trong mỗi phân hạch, , và trong mỗi neutron bị hấp thụ,

Năng lượng

neutron

U233 U235 U238 Pu239

0,025 eV

1 MeV

2 MeV

2,50

2,62

2,73

2,30

2,54

2,57

2,43

2,58

2,70

2,07

2,38

2,54

-

-

2,69

-

-

2,46

2,89

3,00

3,11

2,11

2,92

2,99

Số neutron phát ra trong mỗi neutron bị hấp thụ (trong phân hạch và các tương tác khác) trong vật liệu có thể phân hạch được kí hiệu là

(1.65)

Nếu chỉ có một vật liệu phân hạch thì tiết diện vĩ mô của phân hạch và hấp thụ có thể được thay bằng tiết diện vi mô

(1.66)

Tỉ số này mô tả phần neutron bị hấp thụ rồi sau đó gây ra sự phân hạch trong một vật liệu cho trước, thường được viết như sau

31

(1.67)

Với α là tỉ số tiết diện bắt/ tiết diện phân hạch, phụ thuộc vào năng lượng và tầm quan trọng rất lớn trong thiết kế lò phản ứng hạt nhân. Bây giờ ta có thể viết mối liên hệ giữa số neutron sinh ra cho mỗi neutron bị hấp thụ theo tỉ số α như sau :

(1.68)

Tuy nhiên lõi lò phản ứng thường có nhiều loại nguyên liệu có thể phân hạch nên phương trình (1.65) phải được viết dưới dạng tổng quát như sau :

(1.69)

Trong đó, tử số mô tả cho tổng tất cả các nguyên liệu có thể phân hạch, và mẫu số mô tả cho tiết diện hấp thụ toàn phần của tất cả nguyên liệu trong nhiên liệu. Ví dụ, trong lò phản ứng nhiệt mà nhiên liệu là UO2 và uranium là hỗn hợp gồm U235 và U238, khi đó

ở đây ta hiểu rằng, chỉ có U235 là có thể phân hạch và tiết diện hấp thụ của oxy rất nhỏ có thể bỏ qua được.

Neutron tức thời được phát ra có năng lượng khác nhau làm cho số neutron phân bố rộng khắp trên một vùng năng lượng mà ta gọi là phổ năng lượng neutron. Phổ năng lượng neutron tức thời được vẽ trên hình 30 đối với U235, trên nền phổ cho thấy một đỉnh tại năng lượng sắp sĩ 1 MeV, trung bình toàn phổ là 2 MeV. Phổ năng lượng rất quan trọng bởi vì trong nhiên liệu chiếm phần lớn U238 hay Th232 có tiết diện phân hạch bằng không bên dưới một giá trị ngưỡng nhất định. Phổ năng lượng neutron tức thời trên hình 30 có thể mô tả bởi phương trình sau :

32

Năng lượng neutron [MeV]

Phầ

n tr

ăm n

eutr

on p

hân

hạch

/MeV

Hình 30. Phổ năng lượng neutron phân hạch tức thời đối với U235

(1.70)

1.9.3 Phân hạch tia gamma

Bức xạ gamma phát ra trong mỗi sự kiện phân hạch được chia thành hai nhóm: nhóm tia gamma tức thời và nhóm tia gamma trễ. Tia gamma tức thời phát ra trong thời gian 0,1 µs của sự kiện phân hạch có năng lượng trung bình 1 MeV. Một phần tia gamma trễ phát ra cùng thời gian với việc phát ra neutron tức thời, còn một phần khác là phát ra từ phân rã của các mảnh phân hạch có thời gian sống ngắn. Tia gamma trễ phát ra từ các mảnh phân hạch có thời gian sống dài hơn 0,1 µs.

Sự phân bố gần đúng về năng lượng tia gamma được cho thấy ở hình 31 đối với sự phân hạch của U235. Phổ năng lượng được chia làm 03 vùng như sau :

(1.71)

Năng lượng toàn phần của tia gamma trễ gần bằng 7,3 MeV cho mỗi sự kiện phân hạch có năng lượng trung bình quanh giá trị 0,9 MeV.

33

Năng lượng tia gamma [MeV]

Hình 31. Phổ năng lượng tia gamma phân hạch tức thời

Số

phân

hạc

h ti

a ga

mm

a/1M

eV,

(E)

1.10 Sản phẩn phân hạch

1.10.1 Hiệu suất phân hạch

Phần lớn các sự kiện phân hạch đều tạo ra hai sản phẩm phân hạch. Từng cặp sản phẩm hình thành cho mỗi phân hạch thay đổi theo sự kiện phân hạch và kết quả là nhiều đồng vị sản phẩm được sinh ra. Ví dụ, từ nghiên cứu chi tiết về sự phân hạch neutron nhiệt của U235 cho thấy có khoảng 80 đồng vị khác nhau được tạo ra. Một số sản phẩm phân hạch này được thấy trong bảng 1.3.

Bảng 1.3 Các sản phẩm phân hạch của U235

Nguyên tố Đồng vị Chu kỳ bán rã Hiệu suất phân hạch (%)

Strontium

Strontium

Yttrium

Zirconium

Ruthenium

Ruthenium

Antimony

Tellurium

Tellurium

Cesium

Cerium

Cerium

Promethium

Samarium

Sr89

Sr90

Yt91

Zr95

Ru103

Ru106

Sb125

Te127

Te129

Cs137

Ce141

Ce144

Pr147

Sm151

51 ngày

28 năm

58 ngày

65 ngày

40 ngày

1 năm

2 năm

105 ngày

37 ngày

30 ngày

33 ngày

280 ngày

2,6 năm

80 năm

4,8

5,8

5,4

6,3

3,0

0,4

0,02

0,04

0,35

6,2

6,0

6,0

2,4

0,44

34

Hiệ

u s

uất

ph

ân h

ạch

[%

]

Số khối, A

Xác suất cao nhất

6,4%

Nhóm nhân nặng

Nhóm nhân nhẹ

Hình 32 Hiệu suất phân hạch của U235 theo số khối

Hiệu suất mô tả tỉ lệ (%) của tất cả các phân hạch hạt nhân hình thành các đồng vị có khối lượng cho trước. Hiệu suất phân hạch của U235 được vẽ trên hình 32 theo số nguyên tử khối. Đồ thị này cho thấy rằng hầu hết các mảnh phân hạch là những đồng vị phóng xạ và phân rã β. Đường cong hiệu suất phân hạch cho thấy rằng hiệu suất cực đại đối với một đồng vị bất kỳ luôn nhỏ hơn 7%. Ta cũng thấy rằng hiệu suất phân hạch đều rơi vào hai nhóm chính: một nhóm gồm các hạt nhân có số khối từ 80 đến 110, và một nhóm gồm các hạt nhân có số khối từ 125 đến 155.

Đồng vị được tạo ra từ phân hạch có hiệu suất cao nhất là đồng vị có số khối gần bằng 95 và 139, mỗi đồng vị này có hiệu suất phân hạch là 6,4%. Động năng của các mảnh phân hạch trong mỗi sự kiện phân hạch cũng được phân bố theo sự phân bố của mảnh phân hạch. Đối với đồng vị phổ biến nhất trong nhóm nhân nặng, động năng của nó vào khoảng 67 MeV, còn đối với các đồng vị trong nhóm nhẹ thì khoảng 98 MeV. Tỉ số hai nhóm năng lượng này (98/67) là 1,46 và tỉ số này lại bằng tỉ số về số khối của chúng (139/95).

1.10.2 Sự hình thành và di chuyển các sản phẩm phân hạch trong lò phản ứng

Hàm lượng và hoạt độ của các sản phẩm phân hạch rất quan trọng trong thiết kế lò phản ứng hạt nhân, bởi vì:

- Cần tính toán những rũi ro tiềm tàn liên quan đến tai nạn giải phóng các sản phẩm phân hạch ra môi trường xung quanh.

- Cần xác định thời gian làm lạnh hợp lí hơn cho các nhiên liệu đã dùng vì nó phụ thuộc vào chu kỳ bán rã của sản phẩm phân hạch.

- Cần tính toán tốc độ phân rã phóng xạ của các sản phẩm phân hạch sau khi dập tắt lò phản ứng.

- Cần tính toán các hiệu ứng nhiễm độc của các sản phẩm phân hạch (bắt neutron từ sản phẩm phân hạch mà tích lũy trong suốt quá trình hoạt động của lò phản ứng).

Tốc độ thay đổi về hàm lượng theo thời gian của một hạt nhân trong lò phản ứng (xem hình 33) được tính bởi :

tốc độ hình thành – tốc độ hũy – tốc độ phân rã (1.72)

Sự hình thành hạt nhân i là từ sự phân hạch, bắt neutron của hạt nhân j và phân rã bức xạ (thường là phân rã β) của hạt nhân k. Tốc độ hình thành được tính như sau :

Tốc độ hình thành = (1.73)

Trong đó, i là hiệu suất phân hạch của hạt nhân i ; Nf, Nj và Nk là mật độ hạt nhân có thể phân hạch ; f và j là tiết diện phân hạch của nguyên liệu có thể phân hạch và tiết diện bắt neutron của hạt nhân j  ; là thông lượng neutron và k là hằng số phân rã của hạt nhân k.

35

Hình 33. Sự hành thành và di chuyển của các sản phẩm phân hạch

Phân phạch

Sự hũy của hạt nhân i (số khối A, số nguyên tử Z) do quá trình bắt neutron được tính như sau :

Tốc độ hũy = (1.74)

Sự hũy của hạt nhân cũng xãy ra qua phân rã β của nó

Tốc độ phân rã = (1.75)

Như vậy tốc độ biến đổi về hàm lượng hạt nhân theo thời gian trong lỗi lò phản ứng trở thành

(1.76)

Phương trình này có thể giải được cho N i tại thời điểm bất kỳ nếu như tất cả hàm lượng nguyên liệu khác và các hằng số đã biết trước. Phương trình này phát triển thành phương trình vi phân và lời giải chính xác thu được nhờ chương trình máy tính.

Sau một thời gian lò phản ứng hoạt động nhất định, hàm lượng của các mảnh phân hạch sẽ đạt giá trị cân bằng (bảo hòa). Tại thời điểm này, tốc độ tạo ra bằng với tốc độ di chuyển của hạt nhân đó. Đối với những sản phẩm phân hạch quan trong như Sr90 và I131 thì thành phần đầu tiên và cuối cùng ở vế phải phương trình (1.76) là có ý nghĩa. Như vậy, ta thu được :

(1.77)

Tại thời điểm lò phản ứng bắt đầu khởi động, ta giả sử rằng hàm lượng các mảnh phân hạch i bằng không. Tương tự ta cũng giả sử rằng thông lượng neutron đạt đến giá trị không đổi ngay sau khi lò khởi động. Tại thời điểm này hàm lượng (mật độ) bảo hòa của hạt nhân i là

(1.78)

Từ phương trên ta thấy rằng, với thông lượng và tiết diện phân hạch cho trước thì hàm lượng bảo hòa của hạt nhân i sẽ tăng khi i lớn và chu kỳ bán hũy dài (i nhỏ). Ngược lại, nếu các điều kiện khác là biết trước thì hàm lượng bảo hòa của hạt nhân i tăng theo thông lượng neutron.

Tỉ số giữa mật độ hạt nhân i tại thời điểm bất kỳ với mật độ hạt nhân bảo hòa được tính bởi

(1.79)

Khi lò phản ứng ngưng hoạt động thì thông lượng neutron bỏ qua và tốc độ thay đổi hàm lượng hạt nhân i trong lõi lò phản ứng theo thời gian là

(1.80)

Nếu tốc độ phân rã của k thành i lớn hơn tốc độ phân rã của i thì mật độ hạt nhân của mảnh phân hạch sẽ tăng theo thời gian. Nếu i phân rã nhanh hơn tốc độ hình thành nó từ phân rã của k thì hàm lượng mảnh phân hạch sẽ giảm theo thời gian. Tuy nhiên, trong trường hợp này, sau một thời gian nhất định sự suy giảm của hạt nhân k sẽ tạo ra một trạng thái mà hàm lượng của hạt nhân i đạt tới giá trị cực đại của nó (kNk = iNi). Sau đó hàm lượng của hạt nhân i lại giảm theo thời gian.

Hoạt độ sau khi lò phản ứng ngưng hoạt động (shut-down) có thể xác định bằng phương pháp bán thực nghiệm (từ 10 giây đến 100 ngày sau khi ngưng hoạt động). Tốc độ phát β toàn phần được tính từ công thức bán thực nghiệm như sau :

36

Tốc độ phát β cho mỗi sự kiện phân hạch ~ 3,2.t-1,2 [1/s] (1.81)

Trong đó, t tính bằng giây sau sự kiện phân hạch. Nếu mỗi sản phẩm phân hạch phát ra một hạt β thì hoạt độ được xác định bởi

Hoạt độ sản phẩm phân hạch trên mỗi phân hạch ~ 3,2.t-1,2 [Bq]

~ 8,6.10-11.t-1,2 [Ci] (1.82)

1.11 Năng lượng giải phóng trong quá trình phân hạch

Năng lượng giải phòng trong quá trình phân hạch có thể tính được dựa vào sự khác nhau về khối lượng giữa khối lượng các hạt trước phân hạch (neutron và nguyên liệu phân hạch) với khối lượng các hạt nhân sau quá trình phân hạch (mảnh phân hạch và neutron phân hạch). Có sự thay đổi về năng lượng toàn phần được giải phóng ra trong mỗi sự phân hạch mà phụ thuộc vào đồng vị phân hạch và các sản phẩm phân hạch. Trung bình, mỗi sự kiện phân hạch năng lượng giải phóng ra vào cỡ 200 MeV. Năng lượng này là do đóng góp của nhiều năng lượng trong quá trình phân hạch (xem bảng 1.4).

Bảng 1.4 Sự phân bố năng lượng trong quá trình phân hạch

Sản phẩm phân hạch Năng lượng (MeV)

Năng lượng của các mảnh phân hạch

Tia gamma tức thời

Năng lượng neutron

Hạt β từ phân rã của sản phẩm phân hạch

Tia gamma từ phân rã của sản phẩm phân hạch

Neutrino từ phân rã của sản phẩm phân hạch

Toàn phần

165 ± 5

7 ± 1

5 ± 0,5

7 ± 1

6 ± 1

10

200 ± 6

Ví dụ 15 : Năng lượng giải phóng trong mỗi sự kiện phân hạch

Trong phản ứng U235 với neutron nhiệt như sau :

Tính năng lượng phân hạch tức thời ?

Giải

Năng lượng phân hạch tức thời là năng lượng giải phóng ngay sau quá trình phân hạch. Năng lượng này tương đương với năng lượng tương ứng với phần khối lượng mất đi trong quá trình phân hạch. Ta có thể tính như sau :

37

Bài tập

1.1 Uranium oxit (UO2) có mật độ lý thuyết là 10,6 g/cm3. Tính mật độ hạt nhân (hạt/cm3) của uranium và oxy của mẫu UO2 có mật độ bằng mật độ lý thuyết. Tính mật độ hạt nhân của nhiên liệu trong lò phản ứng thường có mật độ bằng 0,95 mật độ lý thuyết.

1.2 Tiết diện vi mô tại năng lượng neutron 0,025 Ev của Wolfram (W) được cho ở bảng dưới đây. Tính tiết diện bắt neutron đối với nguyên tố wolfram. Đồng vị nào của W có tiết diện bắt neutron lớn nhất ? Nếu chỉ có các đồng vị 180, 184 và 186 tham gia phản ứng (n, ), hãy tính tiết diện kích hoạt cho các đồng vị này ?

Đồng vị Độ phổ cập (%) Tiết diện, c (barn)

W180

W182

W183

W184

W186

0,12

26,3

14,3

30,7

28,6

30,0

20,0

10,3

1,8

38,0

1.3 Tính tiết diện hấp thụ và tiết diện tán xạ vĩ mô của nhiên liệu UO2 làm giàu đến 4,8% về nguyên tử tại nhiệt độ 200C và 3000C. Giả sử mật độ của UO2 bằng 92% mật độ lý thuyết của nó (xem bài tập 1.1)

1.4 Tính bề dày của nước cần thiết để giảm cường độ của neutron 1MeV và 10MeV bằng một hệ số 106 ? Tương tự, tính cho trường hợp là chì (Pb) ?

(barn) Nguyên tử/cm3 (cm-1)

1MeV

H

O

Pb

10MeV

H

O

Pb

4,2

8,0

5,5

0,95

1,5

5,1

6,70.1022

3,35.1022

3,23.1022

6,70.1022

3,35.1022

3,23.1022

0,281

0,268

0,178

0,064

0,050

0,165

38

1.5 Một mẫu có khối lượng 10g Mn55 được chiếu trong trường neutron nhiệt có thông lượng 108 n.cm-

2.s-1. Tính hoạt độ bảo hòa của đồng vị Mn56 sinh ra sau khi chiếu 7 giờ. Tiết diện của phản ứng Mn55(n, )Mn56 là 13,41 barn và chu kỳ bán hũy của Mn56 là 2,6 giờ.

1.6 Nếu chiếu 10 g vàng trong lò phản ứng tại vị trí có thông lượng neutron nhiệt là 109n.cm-2.s-1. Có bao nhiêu nguyên tử Au198 được hình thành sau 30 phút chiếu ? Tính hoạt độ của Au ngay sau khi di chuyển nó ra khỏi lò ?

1.7 Một chùm neutron năng lượng 0,25 MeV va chạm vào bia nhôm dày 1cm. Tính phần trăm lượng neutron sẽ bị bắt trong lần va chạm đầu tiên trong 1mm sau cùng của bia Al ? t (Al) = 3b, (Al) = 1b.

1.8 Một nguồn neutron được đặt tại tâm khối cầu, tính xác suất (%) mà neutron phát ra trong góc khối 0,3 steradiant ?

1.9 Tính năng lượng có thể nhất đối với neutron trong phân bố Maxwell-Boltzmann và giải thích tạo sao năng lượng này không tương ứng với vận tốc có thể nhất ?

1.10Boron (Bo) là nguyên liệu thích hợp dùng để che chắn neutron nhiệt. Tính bề dày của Bo cần thiết để làm giảm cường độ neutron tới còn 0,1% cường độ của nó ? Tiết diện vĩ mô của Bo là 103 cm-1.

1.11 Tính tốc độ phân hạch để tạo ra mật độ công suất nhiệt 400 kW/lít, giả sử rằng đồng vị phân hạch chính là Pu239 ?

1.12 U236 phân hạch thành Mo102 và Sn131. Biết rằng số nucleon được bảo toàn trong phản ứng. Có bao nhiêu neutron sinh ra trong phản ứng này ? Có bao nhiêu neutron sinh ra trong quá trình phân hạch tạo ra Br88 và La140 ?

1.13 Hạt nhân Fm256 phân hạch tức thời có chu kỳ bán hũy 158 phút. Nếu năng lượng giải phóng sau mỗi phân hạch là 220 MeV, tính công suất phân hạch sinh ra bởi 1 µg đồng vị này ?

1.14 Tiết diện phân hạch của U235 là 557b, tiết diện bắt neutron của nó là 101b. Đồng vị U238 không phân hạch đối với neutron nhiệt, tuy nhiên nó có tiết diện bắt neutron là 2,75b. Uranium tự nhiên gồm có 99,3% U238 và 0,7% U235. Biết rằng mỗi phân hạch phát ra trung bình là 2,44 neutron nhanh, tính xem có bao nhiêu neutron nhanh sinh ra khi có một neutron bị hấp thụ trong uranium tự nhiên.

1.15 Một lò phản ứng có công suất 100 MW tiêu thụ một nữa nhiên liệu trong 3 năm. Tính khối lượng U235 có trong lò tại thời điểm ban đầu.

1.16 Một chùm neutron nhiệt tới va chạm vào lớp dày cadium (mật độ 8650 kg/m3, tiết diện 24506 b). Tìm chiều dài hấp thụ (nghĩa là khoảng cách mà chùm neutron giảm đi 1/e lần) ?

1.17 Cadmium và boron (Bo) có tiết diện hấp thụ neutron nhiệt rất lớn và chúng thường được dùng trong các thanh điều khiển. Viết phản ứng hấp thụ neutron trong boron và tính giá trị Q của phản ứng này ?

1.18 Tìm năng lượng của nguyên tử hydro chuyển động với vận tốc 2,2.106 cm/s. Tính năng lượng của neutron nhiệt ở nhiệt độ phòng chuyển động với vận tốc 2200 m/s ?

1.19 Tính mật độ neutron trong lò phản ứng có thông lượng 1012n.cm-2.s-1 ?

1.20 Tính công suất lò phản ứng có nhiên liệu được làm giàu 5% kim loại uranium. Tổng khối lượng của nhiên liệu là 100kg, thông lượng neutron là 1013 n.cm-2.s-1, mật độ nhiên liệu là 18,7 g/cm3, tiết diện phân hạch vi mô của U235 là 549 b.

39

1.21 Tính xác suất mà neutron năng lượng 2 MeV va chạm lần thứ nhất trong thanh nhiên liệu UO 2

có đường kính 0,476 cm là giàu đến 4% U235. Gỉa sử neutron sinh ra tại tâm của thanh nhiên liệu và di chuyển về hướng biên của thanh nhiên liệu, mật độ nhiên liệu bằng 94% mật độ lý thuyết (10,96 g/cm3).

40

CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT VẬN CHUYỂN NEUTRON

“Khi chúng tôi thực hiện các thí nghiệm về chất chỉ thị trong phản ứng hóa học để chứng minh rằng barium (Ba) có mặt trong mẫu nghiên cứu, tôi đã viết thư cho Lise Meitner nói về kết quả của chúng tôi. Trong thư gửi ngày 19-12, tôi viết: .....Có điều gì đó quá kỳ quặc về “đồng vị radium” mà lúc này tôi không muốn nói với bất kỳ ai ngoài chị. Chu kỳ bán hủy của ba đồng vị được đo rất chính xác; chúng có thể tách ra được từ tất cả nguyên tố, ngoại trừ barium; tất cả các phản ứng là đúng. Điều ngạc nhiên là có một số trường hợp rất kỳ lạ trong thực nghiệm của chúng tôi, đó là một phần nào đó không tác dụng trong phản ứng hóa học. Các đồng vị Ra của chúng tôi có tính chất giống như Ba....Strassmann và tôi thống nhất rằng tại thời điểm này không ai biết ngoài chị. Có lẽ chị có thể đưa ra lời giải thích thỏa mãn cho chúng tôi....” Otto Hahn (1879-1968)

2.1 LỜI GIỚI THIỆU

Thiết kế lõi lò phản ứng đòi hỏi dự đoán chi tiết về sự cân bằng giữa neutron sinh ra và neutron mất đi. Tốc độ sinh ra neutron, vận chuyển neutron và hấp thụ neutron là thông tin quan trọng không chỉ cho phân tích và thiết kế lõi lò phản ứng mà cũng còn cho việc tính toán quá trình nhiệt động học, vận chuyển nhiệt, sự kiện tai nạn và lượng phóng xạ được giải phóng ra. Sau khi neutron sinh ra trong phản ứng phân hạch chúng chuyển động qua lõi lò và chịu nhiều loại va chạm (hấp thụ và tán xạ) với nguyên liệu trong lõi lò phản ứng. Có hai quá trình hấp thụ chính có thể xãy ra là bắt bức xạ và phân hạch. Trong phân hạch, neutron bị hấp thụ và không đóng góp đến sự duy trì phản ứng dây chuyền. Trong va chạm tán xạ (đàn hồi hay không đàn hồi), neutron thay đổi năng lượng, vị trí không gian và hướng chuyển động. Nhìn chung, tương tác của neutron với hạt nhân môi trường có thể xem như neutron đã di chuyển hay vận chuyển từ vị trí này đến vị trí khác, từ năng lượng này đến năng lượng khác và từ hướng này đến hướng khác mà ta gọi là quá trình làm chậm neutron. Sơ đồ vận chuyển của một neutron sinh ra trong lò phản ứng hạt nhân được vẽ trên hình 2.1.

2.2 KHÁI NIỆM VỀ VẬN CHUYỂN NEUTRON KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

2.2.1 Phản ứng hạt nhân dây chuyền

Bảy tháng sau khi khám phá ra neutron và hơn sáu năm trước khi khám phá ra phân hạch uranium (9/1932) Leo Szilard đã khẳng định rằng sự điều khiển năng lượng hạt nhân giải phóng ra có thể thực hiện được nếu biết được nguyên liệu dùng để duy trì số neutron sinh ra trong phản ứng dây chuyền. Vào năm 1934 ông ấy đã đưa ra một ứng dụng cho một loại vũ khí dựa vào sự giải phóng năng lượng hạt nhân và từ đó đưa ra khái niệm về khối lượng tới hạn. Một năm sau, ống ấy đã nhận bằng sáng chế về phát minh ra bom hạt nhân. Lý do mà ông ấy nhận bằng sáng chế là để bảo vệ sử dụng vũ khí mạnh và ngăn cản sự tàn phá của chiến tranh thế giới thứ hai đối với loài người.

Sau khi khám phá ra neutron, nhiều nhà khoa học khắp thế giới đã phát triển một số thực nghiệm để phân tích các ảnh hưởng của việc bắn phá nguyên liệu bằng hạt mới này.

Vào cuối năm 1938, Otto Hahn và Lise Meitner đã phát triển một lý thuyết làm sáng tỏ các thực nghiệm gồm neutron tương tác với uranium. Vào ngày 21/12/1938, Hahn gửi đăng một bài báo đến tạp chí Đức, Naturwissenschaften, để thông báo về sự kiện phân hạch dẫn đến việc tạo ra các đồng vị phóng xạ khi chiếu neutron nhiệt vào uranium. Sau đó khái niệm về sự phân hạch mới được hiểu, một số thử nghiệm tiếp theo nhằm tìm ra phương pháp mới để tạo một phản ứng tự duy trì mà neutron sinh ra trong phân hạch sẽ gây ra sự phân hạch cho hạt nhân uranium khác.

41

Như ta biết trung bình có 2,5 neutron phát ra cho mỗi phân hạch. Để duy trì phản ứng phân hạch, ít ra ta nên bảo tồn để tiếp tục quá trình phân hạch. Vấn đề cốt lõi để duy trì phản ứng phân hạch liên quan đến sự tiết kiệm neutron.

Một neutron sinh ra từ phân hạch trong uranium làm giàu được minh họa trên hình 2.1. Tương tác của 235U với neutron có năng lượng tùy ý sẽ tách hạt nhân thành hai hai nhân nhỏ hơn và giải phóng vài neutron nhanh. Tuy nhiên, 238U có thể hấp thụ neutron trong phản ứng không phân hạch và được gọi là bắt bức xạ mà lấy neutron từ phản ứng dây chuyền. Đây là lý do tại sao lò phản ứng nhiệt cần làm giàu 235U; tăng hàm lượng của nó từ giá trị 0,7% trong tự nhiên lên vài %. Độ làm giàu trong các lò phản ứng hạt nhân vào khoảng 5%. Các neutron nhanh có thể tạo ra sự phân hạch của hạt nhân 238U và xác suất tương tác này phụ thuộc vào cấu trúc lõi lò phản ứng, loại nhiên liệu và thành phần nhiên liệu. Các neutron bị hấp thụ có thể cũng do sự thoát ra khỏi biên vật lý của hệ thống.

Trong vũ khí hạt nhân, phản ứng dây chuyền không kiểm soát được và một hàm lượng lớn năng lượng phát ra trong một thời gian ngắn dẫn tới vụ nổ. Trong lò phản ứng việc điều khiển và duy trì phản ứng dây chuyền là đạt được bằng việc đưa vào một vật liệu có khả năng hấp thụ neutron.

2.2.2 Định luật Fick

Số neutron trong một đơn vị thể tích là một hàm theo năng lượng, vị trí và hướng chuyển động của neutron và được biết như là mật độ góc.

(2.1)

Cân bằng neutron được miêu tả bằng phương trình vận chuyển neutron, đó là sự phân bố neutron trong không gian, năng lượng và thời gian. Ở trạng thái ổn định, mật độ neutron được giả sử là không đổi theo thời gian.

Phương trình vận chuyển neutron cũng được gọi là phương trình Boltzmann bởi vì nó tương tự như lý thuyết động học chất khí mà Boltzmann đã phát triển vào cuối thế kỷ 19.

Neutron có năng lượng cho trước chuyển động trên một hướng cho trước đến va chạm với hạt nhân nguyên tử trong lõi lò phản ứng làm sinh ra các neutron mới có khoảng năng lượng và hướng chuyển động trải rộng. Như vậy trong tính toán vận chuyển neutron ta cần phải lấy tích phân trên tất cả năng lượng neutron và các hướng trong không gian. Phương trình vận chuyển neutron là phương trình vi tích phân mà chỉ có thể giải được trong một số trường hợp đơn giản. Đối với các ứng dụng thực tế, nhiều phương pháp tính toán được phát triển và chỉ có các phần mềm chuyên dụng mới đưa ra được các lời giải chính xác.

Một trong những phép tính gần đúng đơn giản nhất đối với lý thuyết vận chuyển là lý thuyết khuếch tán. Đưa ra tên này là vì có mối liên hệ tương tự với định luật Fick trong khuếch tán của chất khí. Lý thuyết khuếch tán sẽ được giải thích chi tiết trong các mục tiếp theo.

42

Hấp thụ neutron

Rò rỉ neutron

Hình 2.1 Lịch sử neutron sinh ra trong lò phản ứng.

Phản xạ neutron

Khuếch tán được xem như là đường đi ngẫu nhiên (chuyển động Brown) của một nhóm hạt từ vùng có nồng độ cao đến vùng có nồng độ thấp hơn. Điều này có nghĩa là khối khuếch tán chảy về hướng có nồng độ giảm và tốc độ dòng chảy tì lệ với gradien nồng độ âm.

Theo định nghĩa, gradien (xem hình 2.2 và 2.3) của một đường thẳng là một dấu hiệu cho biết đường thẳng đó có độ dốc bao nhiêu và có thể tính như sau:

Gradien = độ thay đổi trên hướng Y / độ thay đổi trên hướng X (2.2)

Từ hình 2.2, ta thấy rằng gradien được định nghĩa là

(2.3)

f và x là các đại lượng hữu hạn; đối với các đại lượng vô cùng nhỏ thì gradien được định nghĩ như sau

(2.4)

Định luật Fick chỉ rõ sự khuếch tán các hạt từ vùng nồng độ cao đến vùng nồng độ thấp hơn như sau (xem hình 2.4)

(2.5)

Với Jx [cm-2s-1] là dòng hạt toàn phần, C là nồng độ hạt, x là vị trí, và là hằng số khuếch tán [cm2/s]. Dấu “-“ chỉ ra rằng Jx là dương khi phép di chuyển theo chiều giảm của gradien.

43

Hình 2.2 Các ví dụ về gradient: bắt đầu từ bên trái của đường thẳng đi đến bên phải gradient là dương, hương lên dương và hướng xuống âm, về bên trái cũng âm.

Hình2.3 Định nghĩa về gradient.

Định luật Fick cũng có thể viết dưới dạng thông lượng hạt như sau:

(2.6)

Với d/dx [cm-3s-1] là gradien thông lượng, và D [cm] được gọi là hệ số khuếch tán. Định luật Fick có thể viết theo vector không gian 3 chiều như sau :

(2.7)

Với là mật độ dòng neutron hoặc vector dòng chảy neutron qua một đơn vị diện tích về hướng chuyển động của neutron trong mỗi đơn vị thời gian. Độ lệch khỏi hướng của mật độ dòng neutron mô tả cho số neutron thoát ra khỏi đơn vị thể tích trong đơn vị thời gian và là gradient thông lượng neutron trong không gian 3 chiều.

2.2.3 Hệ số khuếch tán và chiều dài khuếch tán

44

Nồn

g độ

(C

)

Jx

Thô

ng lư

ợng

(X)

Thông lượng cao nhiều va chạm hơn

Thông lượng thấp ít va chạm hơn

Hình 2.4 Biểu diễn theo định luật Fick.

Hình 2.5 Vector quay của mật độ dòng theo không gian 3 chiều.

Mật độ dòng neutron, thông lượng neutron và hệ số khuếch tán là những biến số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Để tìm mối liên hệ cho hệ số khuếch tán phụ thuộc vào các đặc trưng hạt nhân của môi trường phải thỏa những điều kiện sau đây:

1. Không có nguồn neutron trong môi trường quan tâm.

2. Môi trường là đẳng hướng, nghĩa là tiết diện neutron không phụ thuộc vào vị trí không gian.

3. Phân bố góc của neutron trong môi trường là đẳng hướng.

4. Thông lượng neutron gần như đồng đều trong môi trường.

5. Môi trường được xem như vô hạn.

Theo hình 2.6, diện tích đơn vị dA đặt tại gốc trên mặt phẳng xy. Thể tích vi phân dV biểu diễn cho thể tích mà neutron tán xạ qua diện tích dA ứng với dòng dJz

-. Dòng neutron toàn phần qua dA trên trục z thu được bằng việc lấy dòng neutron qua dA hướng xuống trục z, dJz

-, trừ cho dòng neutron qua dA hướng lên trục z, dJz+

(2.8)

Số neutron tán xạ đàn hồi mỗi đơn vị thời gian từ dV đặt tại r so với vị trí gốc là

(2.9)

Với s là tiết diện tán xạ đàn hồi và không phụ thuộc vào vị trí không gia theo giả thiết 2, tuy nhiên thông lượng neutron phụ thuộc vào vị trí không gian. Do ta giả sử neutron bị tán xạ đẳng hướng trong môi trường (giải thiết 3) nên số neutron xuyên qua diện tích dA là

(2.10)

Với dA.cos là hình chiếu của dA lên mặt phẳng vuông góc với r hoặc là diện tích mặt hiệu dụng khi nhìn từ dV. Số neutron tán xạ qua diện tích dA là dA.cos/4r2 với giả thiết là không có các tương tác khác khi neutron di chuyển từ dV đến dA. Tuy nhiên, do tương tác giữa hai vị trí này trong không gian, số neutron đạt tới diện tích dA là exp(-totr). Số neutron còn lại bị tán xạ hoặc bị hấp thụ bởi môi trường. Trong hệ trục tọa độ cầu, thể tích vi phân được xác định như sau

(2.11)

Giả sử môi trường chỉ hấp thụ yếu (tot ~s) nên số neutron xuyên qua diện tích đơn vị trong mặt phẳng xy theo hướng z là

(2.12)

Dù thông lượng là chưa biết nhưng với giả thiết là thông lượng gần như không phụ thuộc vào vị trí không gian (giả thiết 4), ta dùng khai triển chuỗi McLaurin và bỏ qua tất cả các hệ số trừ hai hệ số đầu tiên trong chuỗi

45

Hình 2.6 Sự hình thành dòng neutron.

(2.13)

Chỉ số “0” cho biết là ta khai triển chuỗi tại góc tọa độ. Trong hệ tọa độ cầu

(2.14)

Cho nên dòng neutron tính theo (2.12) trở thành

(2.15)

Giả thiết 5 cho biết rằng môi trường là vô hạn và tích phân theo r từ 0 đến vô cực, ta tính

(2.16)

Thay thế các giới hạn tích phân ta được

(2.17)

Đối với dòng neutron hướng lên qua diện tích dA từ nửa bán cầu trên ta tính được bằng việc lấy tích phân góc từ đến /2. Cho nên số neutron xuyên qua diện tích đơn vị theo hướng +z là

(2.18)

Như vậy dòng neutron toàn phần theo hướng z là

(2.19)

Dòng neutron qua mặt phẳng xz và yz là

(2.20)

(2.21)

Mật độ dòng neutron (số neutron mỗi đơn vị thời gian qua diện tích đơn vị về hướng chuyển động) theo hình 2.5 là

46

(2.22)

Trong phương trình này thông lượng khả dụng đối với điểm tùy ý trong môi trường. Khi so sánh với phương trình (2.7) thì hệ số khuếch tán D là

(2.23)

Với s là quãng đường tự do trung bình của tán xạ neutron. Hệ số khuếch tán là đúng cho tán xạ bất đẳng hướng khi dùng quãng đường tự do trung bình vận chuyển. Nếu cosin trung bình của góc tán xạ của va chạm trong hệ phòng thí nghiệm là

(2.24)

Với A là số khối của nguyên tử môi trường, thì hệ số khuếch tán được viết lại theo tiết diện vận chuyển

(2.25)

Cho phương trình (2.23) được viết lại như sau

(2.26)

(2.27)

Ví dụ 2.1 Hệ số khuếch tán

Tính hệ số khuếch tán của graphit tại 1eV. Tiết diện tán xạ tại 1 eV là 4.8 b.

Đối với graphit A =12, như vậy phương trình (2.24) ta tính được

Tiết diện tán xạ vĩ mô của graphit la

s = Ns = 0.08023.1024ng tử/cm3)(4.8.10-24cm2) = 0.385cm-1

Ví dụ 2.2 quãng đường vận chuyển tự do trung bình của neutron

Quãng đường vận chuyển tự do trung bình của neutron là một quãng đường tán xạ tự do trung bình mà được hiệu chỉnh cho khoảng cách di chuyển lớn hơn trong hệ phòng thí nghiệm do tán xạ hướng tới. Tính quãng đường vận chuyển tự do trung bình của neutron nhiệt trong BeO, nếu (Be) = 2.70 g/cm3, A(BeO) = 25.01, s(Be) = 7b và s(O) = 4.2b

Mật độ nguyên tử là

47

n.tử/cm3.

Cosin trung bình của góc tán xạ đối với va chạm trong hệ phòng thí nghiệm từ (2.24), và quãng đường vận chuyển tự do trung bình từ (2.25) là

Hệ số khuếch tán chia cho tiết diện hấp thụ có thứ nguyên là bình phương chiều dài. Căn bình phương của nó được gọi là chiều dài khuếch tán, L

(2.27)

Bảng 2.1 Các thông số khuếch tán của neutron tại T = 293K

Chất làm chậm D [cm-1] a [cm-1] L [cm] ML [cm]

H2O

D2O

Be

Graphit

0.144

0.810

1.85

1.60

0.0189

0.00007

0.00053

0.00031

2.75

161.0

21.2

52.5

5.6

11.0

9.2

18.7

Chiều dài khuếch tán là khoảng cách mà neutron xuyên qua từ điểm nhiệt hóa đến điểm bị hấp thụ. Khoảng cách từ điểm mà neutron sinh ra đến điểm mà neutron bị nhiệt hóa được gọi là chiều dài làm chậm, ML. Nó xác định khoảng cách tối ưu giữa cách kênh nhiên liệu gần kề nhau trong lò phản ứng không đồng nhất. Chất làm chậm và chiều dài khuếch tán của một số vật liệu thường được dùng trong lò phản ứng được cho ở bảng 2.1. Chiều dài khuếch tán nhỏ của H2O là do nó có tiết diện hấp thụ cao. Nếu lò phản ứng nước nhẹ được bao phủ chất làm chậm thì nó sẽ làm tăng sự hấp thụ neutron. Tuy nhiên, nếu lò phản ứng với chất làm chậm là D2O thì nó sẽ ảnh hưởng không có ý nghĩa vào quá trình kiểm soát neutron.

2.3 LÝ THUYẾT KHUẾCH TÁN NEUTRON

2.3.1 Phương trình khuếch tán neutron một vận tốc

Sự giải thích chính xác của vận chuyển neutron trong lò phản ứng không đồng chất là quá phức tạp đến nỗi mà ta phải dùng các phép gần đúng đơn giản. Mặc dù là đơn giản nhưng cũng đủ chính xác để đưa ra một phép tính cho các đặc trưng trung bình của phân bố neutron trong một môi trường cho trước. Dạng đơn giản nhất của phương trình vận chuyển neutron là phương trình khuếch tán một vận tốc được phát triển dưới các giả thiết sau:

1. neutron là đơn năng: năng lượng neutron trung bình và tiết diện trung bình cho tương tác neutron là được chọn lựa;

2. hấp thụ trong môi trường là nhỏ: tiết diện hấp thụ vĩ mô là nhỏ so với tiết diện tán xạ;

3. tán xạ neutron là đẳng hướng trong hệ phòng thí nghiệm: có giá trị cho tán xạ neutron với nhân nặng, và không đúng cho chất làm chậm của lò phản ứng nhiệt;

48

4. sự phân bố góc là đẳng hướng: là đúng nếu thông lượng neutron gần bằng hằng số, nguồn neutron hoặc các điểm hấp thụ mạnh (nếu gradien thông lượng neutron là lớn, có các hướng thích hợp hơn của sự chuyển động neutron về hướng thông lượng neutron thấp).

Trong lõi lò phản ứng neutron sinh ra và mất đi do bị nhân bắt hay bị rò rỉ. Như vậy tốc độ thay đổi mật độ neutron trong mỗi đơn vị thể tích và thời gian là

(2.28)

Với là tốc độ nguồn neutron,

là tốc độ hấp thụ và LE là độ rò neutron mỗi đơn vị thể tích và thời gian. LE cũng là tốc độ neutron chảy theo một hướng cho trước trong mỗi đơn vị thời gian qua diện tích đơn vị (xem hình 2.7)

Rò neutron mỗi đơn vị thể tích = (2.29)

Như vậy, phương trình (2. 8) được viết lại như sau

(2.30)

Khuếch tán neutron qua vật liệu tùy ý là kết quả của các tương tác tán xạ. Trong phép phân tích lò phản ứng, giả sử rằng neutron không va chạm với neutron khác. Điều này đúng vì mật độ neutron thấp hơn nhiều so với mật độ nguyên tử của môi trường. Do các va chạm gần như không đổi nên neutron di chuyển zigzag trong môi trường tán xạ. Khi xem xét một số lớn neutron được giả thiết là đơn năng thì nhìn chung sự chuyển động của neutron là từ vùng có mật độ neutron cao sang vùng có mật độ neutron thấp. Đây là lý do tại sao định luật Fick về khuếch tán là áp dụng được. Từ định luật Fick, phương trình (2.30) viết lại là

(2.31)

Hay

(2.32)

Với giả thiết môi trường là đẳng hướng nên hệ số khuếch tán trở nên không phụ thuộc vị trí neutron và hệ số rò rỉ rút gọn thành

(2.33)

Từ phương trình (2.33) và (2.32) ta có phương trình khuếch tán một vận tốc đối với neutron tương tác với môi trường đồng nhất

(2.34)

Ở trạng thái ổn định

49

Hình 2.7 Rò neutron từ một thể tích đơn vị

(2.35)

Ở trạng thái ổn định, môi trường không sinh neutron (nguồn neutron = 0)

(2.36)

2.3.2 Lời giải phương trình khuếch tán một vận tốc trong môi trường vô hạn

Trường hợp đơn giản nhất để chứng minh lý thuyết khuếch tán là khuếch tán neutron từ một nguồn điểm trong môi trường vô hạn. Neutron được phát ra từ nguồn với mọi hướng có xác suất bằng nhau trong đối xứng cầu. Nếu r là khoảng cách từ gốc thì phương trình khuếch tán được biểu diễn dưới dạng tọa độ cầu như sau

(2.37)

Đặt y = r, phương trình trên trở thành

(2.38)

Lời giải của phương trình này có dạng

(2.39)

Hay

(2.40)

Với A và C là các hằng số và được xác định từ các điều kiện biên. Càng xa nguồn neutron, cường độ nguồn càng giảm và hằng số C sẽ bằng 0

(2.41)

Tổng số neutron xuyên qua bề mặt khối cầu có tâm là điểm nguồn neutron là , với

(2.42)

Giới hạn của tổng số neutron xuyên qua bề mặt cầu khi r 0 thì bằng cường độ nguồn

(2.43)

Vậy

(2.44)

Và thông lượng neutron lúc này là

(2.45)

50

Neutron di chuyển khoảng cách r, trong suốt quá trình khuếch tán qua môi trường chúng va chạm đến khi chúng bị hấp thụ, tạo ra một quãng đường giống với quãng đường vẽ trong hình 2.8. Bình phương trung bình của khoảng cách này thu được từ sự phân bố thông lượng neutron từ điểm nguồn neutron. Trong vòng vi phân với bề dày dr đặt tại r sẽ có 4r2dra neutron bị hấp thụ trong mỗi đơn vị thời gian (số neutron bị hấp thụ bằng với số neutron tạo ra trong hệ). Đây cũng là xác suất mà một neutron sẽ bị hấp thụ tại khoảng cách r. Như vậy

(2.46)

Thay thông lượng từ (3.45) ta được

(2.47)

2.3.3 Lời giải phương trình khuếch tán neutron một vận tốc trong môi trường hữu hạn

Để giải phương trình khuếch tán neutron đối với môi trường có kích thước hữu hạn hoặc môi trường hỗn hợp hai vật liệu khác nhau thì các điều kiện biên được chỉ rõ như sau

a) tại bề mặt giao nhau giữa hai môi trường A và B có tính chất khuếch tán khác nhau thì thông lượng neutron phải giống nhau cho cả hai môi trường (điều kiện liên tục của thông lượng)

(2.48)

b) tại bề mặt giao nhau giữa hai môi trường dòng neutron là bằng nhau. Giả sử theo hướng x, ta có

(2.49)

51

Điểm hấp thụ neutron

Đường đi của neutron

4r2dra - xác suất mà neutron rời khỏi nguồn sẽ bị hấp thụ trong dr tại khoảng cách r.

Hình 2.8. Khoảng cách giữa điểm nguồn neutron đến điểm hấp thụ neutron

c) Trong trường hợp khi một trong hai môi trường là chân không (hoặc không khí) các điều kiện biên là khác nhau vì không có tán xạ từ môi trường chân không. Mặt khác, dòng neutron chỉ chảy về một hướng (chân không). Điều kiện biên tại bề mặt giao nhau giữa hai môi trường khuếch tán và chân không chỉ rỏ rằng gradien thông lượng neutron biến mất tại một điểm bên phía đường biên, được gọi là khoảng cách ngoại suy. Khái niệm này có tính chất giả thuyết vì thông lượng neutron không thực sự bằng không tại điểm này.

(2.50)

Với d là khoảng cách gọi là khoảng cách ngoại suy tuyến tính (xem hình 2.9) và d = 0.71 tr. Lý thuyết khuếch tán đưa ra khoảng cách này gần bằng 2/3 tr.

2.3.4 Khuếch tán neutron trong môi trường nhân neutron

Vấn đề quan tâm chính trong việc ứng dụng lý thuyết khuếch tán trong vận chuyển neutron là để phân tích sự phân bố mật độ neutron, thông lượng neutron và công suất của lõi lò phản ứng. Lõi lò phản ứng là môi trường nhân neutron hữu hạn có duy trì phản ứng phân hạch dây chuyền. Khi neutron khuếch tán qua lõi lò chúng có thể bị hấp thụ bởi nhiên liệu, chất làm chậm hoặc các vật liệu có trong lõi lò phản ứng; thoát ra khỏi biên giới của lõi lò; hoặc sinh ra neutron mới trong quá trình phân hạch.

Trong lõi lò tới hạn (hoặc ở trạng thái ổn định), số neutron sinh ra trong phân hạch bằng số neutron mất đi do hấp thụ hoặc thoát ra trong một đơn vị thể tích. Như vậy ta có thể định nghĩa:

Hệ số nhân neutron vô hạn: là số neutron sinh ra trong mỗi phân hạch khi có một neutron bị hấp thụ trong môi trường.

Trong môi trường vô hạn thì bỏ qua sự thoát neutron và neutron chỉ mất do hấp thụ. Tuy nhiên, trong môi trường hữu hạn (lõi lò phản ứng) sự mất mát neutron cũng là do sự rò rỉ qua đường biên lõi lò và do hấp thụ trong môi trường lõi lò. Khi đó điều kiện tới hạn được xác định dưới dạng hệ số nhân neutron hiệu dụng:

52

Đường biên

Môi trườngChân không

Thông lượng thực

Lý thuyết vận chuyển

Lý thuyết khuếch tán

Hình 2.9. Thông lượng ngoại suy tại mặt giao nhau giữa hai môi trường

Tốc độ sinh neutron

Tốc độ hấp thụ neutron

(2.51)

Tốc độ sinh neutron

Tốc độ hấp thụ neutron + tốc độ rò rỉ

(2.52)

Nếu tốc độ sinh neutron là S, tốc độ hấp thụ là A và tốc độ rò rỉ neutron là LE thì từ (2.51) và (2.52) ta có:

(2.53)

Công thức này mô tả xác suất mà neutron sẽ bị mất trong hệ bởi hấp thụ. Như vậy một trong hai cơ chế mất mát là rò rĩ neutron, phương trình (2.53) cũng mô tả xác suất mà neutron sẽ không bị mất qua sự rò rỉ, nghĩa là nó mô tả xác suất không rò rỉ, Pnon-leak. Cho nên

(2.54)

Để lò phản ứng đạt tới hạn thì hệ số nhân neutron vô hạn phải lớn hơn 1. Rò rỉ neutron tỉ lệ với diện tích bề mặt, SA, và neutron sinh ra tỉ lệ với thể tích của hệ, V. Nếu kích thước của hệ được diễn tả trong đơn vị của a thì

(2.55)

Tỉ số giữa số neutron rò rỉ và số neutron sinh ra tỉ lệ nghịch với kích thước tuyến tính của hệ nhân hữu hạn. Như vậy, bằng việc thay đổi kích thước của lõi lò, tốc độ rò rỉ làm thay đổi việc ảnh hưởng của hệ số nhân neutron hiệu dụng đến khoảng giữa 0 và k. Hệ số nhân vô hạn là hàm của vật liệu hiện diện trong lõi lò (nhiên liệu, chất làm chậm, chất làm nguội). Xác suất không rò rỉ phụ thuộc vào vật liệu lò phản ứng và hình học của nó (kích thước, hình dạng). Đối với neutron nhiệt, k ứng với neutron nhiệt tạo ra trong mỗi hạt neutron bị hấp thụ và như vậy nguồn neutron được viết dưới dạng:

(2.56)

Như vậy, giả sử hệ đồng nhất và ở điều kiện ổn định, và áp dụng lý thuyết khuếch tán một vận tốc, thì phương trình khuếch tán có thể viết lại như sau:

(2.57)

Với

(2.58)

Căn bậc hai của phương trình (2.58) được xem là độ oằn vật liệu (Bm) của lõi lò phản ứng vì nó là phép đo chỗ uốn cong hay độ cong của sự phân bố không gian thông lượng neutron. Toàn bộ neutron sinh ra phải cân bằng với sự hấp thụ và rò rỉ neutron trong suốt quá trình hoạt động ổn định của lò phản ứng. Mối liên hệ giữa độ oằn vật liệu có thể sắp xếp lại:

(2.59)

So sánh (2.59) với (2.54) sẽ đưa ra xác suất không rò rỉ trong lò phản ứng tới hạn

53

(2.60)

Ví dụ 2.3: Độ oằn vật liệu

Tính độ oằn vật liệu và xác suất rò rỉ neutron nhiệt đối với lò phản ứng đồng nhất gồm 200 mol Carbon/1 mol nhiên liệu uranium độ giàu 5.5%. Nhiệt độ toàn bộ của lõi lò phản ứng là 20 0C. Mật độ Carbon và uranium là 1.6g/cm3 và 18.9g/cm3. Tiết diện tán xạ vi mô của carban và uranium là 4.8b và 8.3b. Tiết diện hấp thụ của carbon và uranium là 0.0034b và 694b (235U) và 2.73b (238U). Hệ số nhân vô hạn là 1.2.

Giải

Thể tích của nhiên liệu uranium, chất làm chậm carbon và lõi lò là

Mật độ nguyên tử của uranium, 235U, 238U và C là

n.tử U/cm3 hỗn hợp

n.tử 235U/cm3 hỗn hợp

n.tử 238U/cm3 hỗn hợp

n.tử C/cm3 hỗn hợp

Tiết diện vận chuyển đối với neutron nhiệt trong hỗn hợp này là

Tiết diện hấp thụ trung bình tại năng lượng neutron nhiệt là

hỗn hợp

Như vậy độ oằn vật liệu và xác suất rò rỉ tính được:

54

2.3.5 Lời giải phương trình khuếch tán trong lò phản ứng dạng thanh trần dài vô hạn

Phương trình khuếch tán (2.57) có thể giải được cho lò phản ứng thanh trần dài vô hạn có bề dày hữu hạn để xác định điều kiện tới hạn trong lò phản ứng (phụ thuộc trực tiếp vào bề dày của thanh). Thanh này được giả sử là vô hạn theo hướng y hoặc hướng z trên hệ trục tọa độ, như vậy neutron chỉ có thể rò rỉ theo hướng x qua bề mặt của thanh (hình 2.10) ; dòng neutron (gradien thông lượng neutron) chỉ có thể thoát trên hướng x. Thông lượng neutron giảm từ tâm thanh về hai mặt giới hạn của thanh và bằng không tại khoảng cách ngoại suy.

Đối với một nữa thanh thì khoảng cách để thông lượng bằng không là

(2.61)

Trong đó, d là khoảng cách ngoại suy. Trường hợp lò phản ứng trần, neutron thoát ra khỏi đường biên hình học lò phản ứng và hầu như không tán xạ trở lại lõi lò phản ứng. Cho nên dòng neutron trở lại lõi lò bằng không, khi đó

(2.62)

(2.63)

Giả sử đường ngoại suy thông lượng neutron là đường thẳng và có hệ số góc

(2.64)

Từ phương trình (2.63) và (2.64) ta tính được khoảng cách ngoại suy

(2.65)

Trong khi đó, lý thuyết vận chuyển chính xác nhất dự đoán khoảng cách ngoại suy là 0,71tr. Khoảng cách ngoại suy này luôn luôn nhỏ hơn nhiều kích thước lò phản ứng và hai giá trị khoảng cách ngoại suy khác nhau này không đóng góp sai số có nghĩa vào tính toán thông lượng neutron.

Thông lượng neutron trong thanh vô hạn thay đổi theo hướng x. Phương trình khuếch tán được rút về phương trình vi phân tuyến tính bậc hai thông thường.

(2.66)

55

x

da/2a

Hình 2.10 Lò phản ứng thanh trần vô hạn

Nếu B2 là số thực và dương thì nghiệm của phương trình (2.66) là

(2.67)

Với các điều kiện biên thỏa

1. Thông lượng giảm đến không tại khoảng cách ngoại suy và hữu hạn tại các biên

(2.68)

2. Thông lượng đối xứng quanh góc tọa độ

(2.69)

Từ điều kiện biên thứ hai, gradien thông lượng là

Tại góc tọa độ, gradien thông lượng bằng không, nên sinBx = 0. Do B là số thực và dương nên C phải bằng không ; như vậy

(2.70)

Từ điều kiện biên thứ nhất, ta có

(2.71)

Do A là hằng số không thể bằng không, nếu A = 0 thì thông lượng bằng không, nên phương trình (2.71) chỉ thỏa mãn nếu

(2.72)

Các giá trị a0 được gọi là trị riêng

(2.73)

Chỉ có giá trị đầu tiên trong (2.73) được dùng để xác định thông lượng neutron trong lò phản ứng tới hạn, nghĩa là a0 = /B.

Khi lò phản ứng tới hạn ở trạng thái ổn định thì thông lượng neutron là

(2.74)

Giá trị /a0 được gọi là độ mỏi (buckling) hình học. Nếu lò phản ứng đạt tới hạn thì độ mỏi nguyên liệu phải bằng độ mỏi hình học.

Hằng số A trong (2.74) là giá trị tùy ý. Tuy nhiên, tại tâm của lò phản ứng dạng thanh vô hạn thì A bằng giá trị cực đại của thông lượng neutron.

(2.75)

56

Ví dụ 2.4 : Lò phản ứng dạng thanh vô hạn

Tính bề dày của lò phản ứng dạng thanh vô hạn đồng nhất gồm 200 mol graphit trong mỗi mol nhiên liệu uranium có độ giàu 5,5%. Giả sự nhiệt độ trong lõi lò là 200C và lò ở trạng thái tới hạn.

Biết rằng, Mật độ của graphit và uranium là C = 1,6 g/cm3 và U = 18,9 g/cm3.

C = 4,8 b và U = 8,3 b.

a,C = 0,0034 b a,U-235 = 694 b a,U-238 = 694 b

k = 1,2

Giải

Tính Bg tương tự như ví dụ 2.3.

Do là phản ứng đạt tới hạn nên độ mỏi hình học bằng độ mỏi nguyên liệu, vậy

2.3.6 Lời giải phương trình khuếch tán trong lò phản ứng trần hình hộp chữ nhật

Đối với lõi lò phản ứng hình hộp chữ nhật như trên hình 2.11, phương trình (2.57) được viết lại như sau

(2.76)

Phương trình này được giải bằng phương pháp tách biến như sau

(2.77)

Ở đây cho thấy rằng thông lượng theo hướng x hoặc hướng y hoặc hướng z độc lập với thông lượng theo hai hướng còn lại. Lấy vi phân phương trình trên, ta có :

(2.78)

Thay các đạo hàm riêng bậc 2 vào phương trình (2.76), ta có :

(2.79)

Chia 2 vế cho XYZ, ta được :

(2.80)

Do mỗi biểu thức trong (2.80) là hàm có một biến nên phương trình được viết lại :

57

(2.81)

Trong đó, α, β và là các hằng số thỏa

(2.82)

Do các đạo hàm là hàm một biến nên các đạo hàm riêng được thay bằng đạo hàm toàn phần, kết quả thu được :

(2.83)

Các điều kiện biên theo hướng x :

1. Tại x = a0/2 thì X = 0

2. Tại x = 0 thì

Tương tự như lời giải cho lõi lò phản ứng dạng thanh vô hạn, ta cũng thu được kết quả :

(2.84)

58

b

Hình 2.11 Lõi lò phản ứng hình hộp chữ nhật

(2.85)

Khi đó thông lượng và độ mỏi hình học được viết như sau :

(2.86)

(2.87)

Trong trường hợp lõi lò có dạng hình lập phương cạnh a0 thì độ mỏi hình học là

(2.88)

Ta hiểu rằng chiều dài ngoại suy của một cạnh lõi lò hình lập phương lớn hơn bề dày ngoại suy của lõi lò thanh trần vô hạn có cùng nguyên liệu một hệ số là

2.3.7 Lời giải phương trình khuếch tán trong lò phản ứng trần dạng cầu

Trong lò phản ứng dạng cầu, thông lượng neutron thay đổi theo bán kính (xem hình 2.12), phương trình (2.57) được viết

(2.89)

Phương trình này giải được bằng cách đặt y = r tương tự như lời giải của phương trình khuếch tán cho nguồn điểm. Phương trình (2.89) được viết lại :

(2.90)

Nghiệm của (2.90) là

(2.91)

Điều kiện biên thứ nhất chỉ rõ rằng thông lượng neutron phải hữu hạn tại tâm khối cầu, vì vậy ta có

(2.92)

Điều kiện biên thứ hai đòi hỏi rằng thông lượng neutron bằng không tại bán kính ngoại suy

(2.93)

Để đảm bảo thông lượng neutron khác không thì C phải khác không. Như vậy (2.93) chỉ thỏa mãn nếu

(2.94)

59

Giá trị đầu tiên là nghiệm tầm thường và không được chú ý đến. Giá trị khác không thứ nhất là trị riêng cơ bản tiếp theo là các trị riêng điều hòa. Vậy, thông lượng cơ bản dẫn đến

(2.95)

Vậy, (2.96)

Ví dụ 2.5 Lò phản ứng hình cầu

Tính bán kính tới hạn của một lò phản ứng đồng nhất hình cầu gồm 200 mol graphit trong mỗi mol nhiên liệu uranium có độ giàu 5,5%. Xác định tỉ số thông lượng tại tâm và tại biên của lõi lò. Các số liệu hạt nhân tương tự như các ví dụ 2.3 và 2.4.

Giải

Bán kính ngoại suy và tiết diện vĩ mô là

Thông lượng cực đại tại tâm của lõi lò hình cầu

Hằng số C được xác định như sau

2.3.8 Lời giải phương trình khuếch tán trong lò phản ứng trần dạng trụ

Độ mỏi hình học của lò phản ứng trần dạng hình trụ hữu hạn có thể tính được từ phương trình khuếch tán

(2.97)

Nếu r0 và z0 là bán kính và chiều cao ngoại suy của lõi lò thì thông lượng neutron và độ mỏi hình học của lõi lò tính được như sau

(2.98)

(2.99)

Trong đó, A là tham số được xác định từ điều kiện công suất lò biết trước, J0 là hàm Bessel.

60

2.4 Lý thuyết khuếch tán hai nhóm

Phương trình khuếch tán một nhóm dựa vào giả thuyết là neutron sinh ra, neutron bị hấp thụ và neutron rò rỉ xãy ra tại một nhóm năng lượng. Ta có thể thu được phép tính chính xác hơn với việc chia năng lượng neutron thành hai nhóm, nhóm neutron nhanh và nhóm neutron nhiệt. Ranh giới giữa hai nhóm này được lấy tại năng lượng 1 eV.

Neutron nhiệt khuếch tán trong một môi trường và xãy ra các phản ứng hấp thụ gây ra sự phân hạch hoặc bị rò rỉ ra khỏi hệ thống lò phản ứng. Neutron nhanh bị mất đi trong quá trình làm chậm do tán xạ đàn hồi với môi trường vật chất.

Thông lượng neutron trong hai nhóm năng lượng là

Neutron nhanh :

(2.100)

Neutron nhiệt : (2.101)

Trong phép gần đúng hai nhóm, hệ số nhân neutron được xác định như sau :

(2.102)

Phương trình khuếch tán cho hai nhóm năng lượng trở thành

Nhóm năng lượng neutron nhanh

(2.103)

Biều thức đầu tiên trong (2.103) mô tả cho sự rò rỉ neutron nhanh mà liên quan đến hệ số khuếnh tán nhanh, biểu thức thứ hai mô tả cho sự vận chuyển neutron nhanh trong quá trình nhiệt hóa, a1 là tổng các tiết diện phân hạch, hấp thụ và tán xạ (từ nhóm 1 đến nhóm 2) và được gọi là tiết diện vận chuyển.

là số neutron nhanh sinh ra hay còn gọi là nguồn neutron phụ thuộc vào thông lượng neutron nhiệt tại mỗi vị trí trong không gian gây ra sự phân hạch hạt nhân.

Hệ số nhân vô hạn đối với lò phản ứng nhiệt được định nghĩa là tỉ số giữa số neutron sinh ra trong một thế hệ bất kỳ đối với số neutron bị hấp thụ trong một thế hệ ngay trước đó (bỏ qua sự rò rỉ neutron do hệ thống là vô hạn).

Neutron bị mất đi trong trường hợp này là do sự hấp thụ cộng hưởng trong quá trình làm chậm chúng. Như vậy, đối với mỗi neutron nhiệt bị hấp thụ thì có k/p neutron nhanh sinh ra bởi phân hạch (p là xác suất thoát cộng hưởng, sẽ nói rõ ở phần sau). Số neutron nhiệt bị hấp thụ là , như vậy phương trình (2.103) trở thành

(2.104)

Nhóm năng lượng neutron nhiệt

(2.105)

61

Trong phương trình (2.105), biểu thức đầu mô tả sự rò rỉ neutron nhiệt, biểu thức thứ hai đề cập đến hấp thụ neutron nhiệt và là nguồn neutron nhiệt.

Nếu không có hấp thụ cộng hưởng thì sẽ là tốc độ mà neutron chuyển đến vùng nhiệt. Tuy nhiên, do sự bắt cộng hưởng nên xác suất mà neutron nhanh sẽ bị nhiệt hóa là p. Như vậy nguồn neutron nhiệt phụ thuộc vào thông lượng neutron nhanh, phương trình (2.105) trở thành

(2.106)

Ta thấy rằng, cả hai phương trình cho nhóm năng lượng nhanh và nhiệt đều phụ thuộc vào thông lượng neutron nhanh và neutron nhiệt và như vậy nó tạo thành một cặp phương trình hai thông số về thông lượng neutron. Thêm vào đó, đối với hệ tới hạn ở trạng thái ổn định các phương trình từ lý thuyết khuếch tán sau đây được áp dụng :

(2.107)

Chú ý rằng, độ mỏi B trong (2.107) là giống nhau bởi vì nó chỉ phụ thuộc vào hình học của lõi lò đối với hệ tới hạn. Thay (2.107) vào (2.104) và (2.106) ta thu được hệ phương trình sau :

(2.108)

Theo qui tắc Cramer, hệ phương trình (2.108) dẫn đến

(2.109)

Hay

(2.110)

Cuối cùng ta thu được hệ số nhân neutron ở trạng thái tới hạn

(2.111)

Trong đó,

 : diện tích khuếch tán neutron nhiệt (2.112)

 : diện tích khuếch tán neutron nhanh (2.113)

Phương trình (2.111) mô tả cho phép gần đúng của khuếch tán hai nhóm đối với lò phản ứng trần ở trạng thái tới hạn. Khác với phương trình khuếch tán một nhóm ở chỗ là trong phương trình khuếch tán hai nhóm có tính đến rò rỉ neutron. Phương trình (2.111) có thể viết lại như sau :

(2.114)

Đối với lò lớn thì B2 << 1, phương trình (2.114) trở thành

62

(2.115)

Với M là chiểu dài định xứ của neutron, sẽ giải thích rõ ở phần tiếp theo.

Đặt  : xác suất không rò rỉ neutron nhiệt

 : xác suất không rò rỉ neutron nhanh

Khi đó hệ số nhân neutron hiệu dụng trở thành

(2.116)

63

Chương 3

LÀM CHẬM NEUTRON

Neutron được làm chậm trong cả hai loại va chạm đàn hồi và không đàn hồi với hạt nhân nguyên tử của môi trường. Trong mỗi va chạm, neutron truyền một phần năng lượng cho hạt nhân bia dưới dạng động năng nếu va chạm là đàn hồi hoặc năng lượng kích thích nếu va chạm là không đàn hồi. Tán xạ không đàn hồi chủ yếu xảy ra với nhân nặng, trong khi đó tán xạ đàn hồi xảy ra với nhân nhẹ. Chất làm chậm có số khối thấp và chiếm một phần lớn năng lượng của neutron sau một lần va chạm và dĩ nhiên loại chất làm chậm này hấp thụ yếu. Đây là lý do tại sao trong lò phản ứng nhanh vật liệu có số khối thấp ngăn ngừa việc giữ neutron tại năng lượng trung bình cao. Phương trình khuếch tán một nhóm cung cấp sự hiểu biết về vận chuyển neutron.

Hầu hết neutron sinh ra trong phân hạch có năng lượng khoảng 1 đến 2 MeV. Trong va chạm với vật liệu lõi lò phản ứng, khoảng năng lượng neutron từ vài eV đến vài MeV. Lò phản ứng nhiệt chèn thêm chất làm chậm để giảm năng lượng neutron đến vùng nhiệt. Để phân tích chính xác lò phản ứng thì cả hai tán xạ đàn hồi và không đàn hồi phải tính tới. Một mô tả toán học về quá trình tán xạ đàn hồi có thể được phát triển dưới các điều kiện sau :

Nhân bia đứng yên so với neutron tới

Nhân không bị ràng buộc trong phân tử rắn, lỏng và khí.

Tuy nhiên, trong vùng nhiệt năng lượng của hạt nhân không thể bỏ qua được so với năng lượng neutron, và hạt nhân tán xạ sẽ được xem như bị ràng buộc. Với điều kiện này thì tán xạ không đàn hồi năng lượng thấp không thể bỏ qua được. Neutron cũng có thể thu hoặc mất năng lượng trong một va chạm. Việc tăng năng lượng được gọi là tán xạ lên (up-scattering), và giảm năng lượng được gọi là tán xạ xuống (down-scattering).

Neutron chậm xuống từ năng lượng phân hạch đến 1 eV được gọi là quá trình chậm dần và làm chậm neutron xuống dưới 1 eV được gọi là quá trình nhiệt hóa.

3.1 Tán xạ đàn hồi trong vùng làm chậm

Tán xạ đàn hồi trong vùng làm chậm được mô tả bằng việc giả sử rằng các hạt va chạm như là khối cầu tán xạ, và nhân bia đứng yên. Qúa trình tán xạ được xem xét trên hai hệ (hình 3.1) :

(a) Hệ phòng thí nghiệm (LS) : trước va chạm hạt nhân đứng yên và neutron chuyển động về phía hạt nhân ; sau khi va chạm, neutron

64

Tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm

Tán xạ trong hệ khối tâm

Hình 3.1: Tán xạ trong hệ LS và COM

thay đổi hướng và vận tốc, và hạt nhân chuyển động khỏi vị trí đứng yên lúc đầu. Người quan sát đứng yên.

(b) Hệ khối tâm (COM) : neutron và hạt nhân đứng yên trong va chạm. Người quan sát đặt tại tâm khối của neutron và hạt nhân (nhân hợp phần) và di chuyển với vận tốc nhân hợp phần. Khối tâm là một điểm tưởng tượng sao cho hệ được cân bằng.

Thực tế là các phép đo được thực hiện trong hệ LS, trong khi đó tính toán lý thuyết thực hiện dễ dàng hơn trong hệ COM. Do số liệu được đo trong hệ LS và các tiên đoán lý thuyết thực hiện trong hệ COM nên một phép chuyển hệ trục quan sát là cần thiết để có thể so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm. Cả hai hệ được trình bày trên hình 3.1

v0 : vận tốc neutron tới trong LS

vA0 = 0 : vận tốc hạt nhân trong LS

vC : vận tốc nhân hợp phần trong LS

vA : vận tốc nhân giật lùi trong LS

v : vận tốc neutron tán xạ trong LS

: góc neutron tán xạ trong LS so với phương neutron tới.

vA1: vận tốc nhân giật lùi trong COM

v1: vận tốc neutron tán xạ trong COM

: góc neutron tán xạ trong COM

Hệ phòng thí nghiệm: Do hạt nhân đứng yên nên vận tốc của nó là bằng không và động lượng của nhân hợp phần trong hệ LS bằng động lượng neutron tới

(3.1)

Suy ra, vận tốc nhân hợp phần là

(3.2)

Hệ khối tâm: Để cho phép tách nhân hợp phần thì việc chuyển sang hệ khối tâm là thuận lợi nhất. Trong hệ này, người quan sát di chuyển tại vận tốc và hướng của nhân hợp phần sau khi va chạm. Như vậy, vận tốc của neutron và hạt nhân trước va chạm phải được rút gọn bởi vận tốc của nhân hợp phần vC. Vận tốc nhân hợp phần sẽ bằng không khi nó đứng yên sau va chạm (xem hình 3.1). Cho nên

Vận tốc neutron tới

(3.3)

Vận tốc hạt nhân: -vC

Theo định luật bảo toàn năng lượng, động năng của các hạt trước va chạm bằng động năng các hạt sau va chạm. Năng lượng liên kết để hình thành và phá vỡ nhân hợp phần là giống nhau, và như vậy chúng bị khử bỏ. Cho nên năng lượng được bảo toàn chỉ có động năng. Động năng trước va chạm là tổng động năng của neutron và hạt nhân:

(3.4)

65

Tính vận tốc nhân bia từ phương trình trên

(3.5)

Với T(LS)0 mô tả cho động năng của neutron tới trong hệ LS. Từ phương trình trên ta có thể thấy rằng động năng trước va chạm trong hệ COM đối với nhân nhẹ thì bằng một nửa năng lượng neutron tới trong hệ LS, trong khi đó đối với 235U thì giá trị này là 235/236 năng lượng neutron tới. Như vậy, sự khác nhau giữa hai hệ này là hiển nhiên đối với nhân nhẹ.

Theo hình 3.2 động năng trong hệ COM được chia sẽ giữa neutron tán xạ và hạt nhân tán xạ bay theo hướng đối nghịch nhau. Như vậy, định luật bảo toàn năng lượng trong hệ COM cho ra

(3.6)

Phương trình bảo toàn động lượng

(3.7)

Từ (3.6) và (3.7), ta có

(3.8)

(3.9)

Hệ phòng thí nghiệm (LS): bây giờ ta đảo lại đến hệ LS để so sánh động năng của neutron tán xạ với động năng của neutron tới. Chuyển đổi từ hệ COM đến hệ LS được minh họa trên hình 3.2 và cho thấy phép biến đổi vận tốc từ hệ này đến hệ khác bằng cách dùng định lí Pi-ta-go

(3.10)

Hoặc

(3.11)

Suy ra (3.12)

66

Hình 3.2: Sơ đồ biến đổi vận tốc từ hệ COM sang hệ LS

Từ phương trình (3.12) ta có thể thu được tỉ số động năng của neutron sau va chạm đối với động năng neutron trước va chạm

(3.13)

Từ phương trình (3.13) ta có vài kết luận sau

Tỉ số giữa các động năng neutron đạt giá trị cực đại khi = 0, hoặc va chạm sướt qua.

Cho nên, theo hướng tán xạ năng lượng neutron không thay đổi

Tỉ số là cực tiểu khi có sự va chạm trực diện và neutron không đổi hướng, hay =

(3.14)

Ví dụ như hydrogen (A = 1), thì = 0. Điều này cho thấy rằng, trong va chạm trực diện với hạt nhân hydrogen, năng lượng của neutron sau va chạm bằng 0. Nói cách khác, nguyên tử hydrogen có thể làm cho neutron mất hết năng lượng với một lần va chạm.

Đối với Be (A = 9), = 0.64, nghĩa là neutron mất hết 36% năng lượng sau một va chạm với hạt nhân Be. Với 235U, = 0.98, nghĩa là neutron chỉ mất 2% năng lượng của nó sau một va chạm với 235U. Như vậy, đối với hạt nhân nặng (A >> 1), ~ 1, thì năng lượng neutron sau va chạm gần bằng năng lượng trước va chạm.

Ví dụ: Tán xạ của neutron trong hệ COM và LS

Một neutron chuyển động qua môi trường và bị tán xạ bởi hạt nhân 9Be. Nếu năng lượng neutron tới là 0.1 MeV và góc tán xạ 450 trong hệ COM, hãy tính phần năng lượng mà neutron sẽ mất và góc tán xạ trong hệ LS?

Từ công thức

Ta tính được năng lượng neutron tán xạ là 0.937 x 0.1 MeV = 93.7 keV. Phần năng lượng neutron bị mất trong va chạm này là

Từ hình 3.2, ta có

67

3.2 Phân bố năng lượng trong tán xạ đàn hồi- Độ giảm năng lượng logarit

Năng lượng mà neutron bị mất trong một lần va chạm với hạt nhân của môi trường là một hàm theo số nguyên tử của môi trường và góc tán xạ. Độ giảm năng lượng logarit được định nghĩa như là logarit của năng lượng neutron mỗi va chạm

(3.15)

Trong hệ COM sự phá vỡ của nhân hợp phần không phụ thuộc vào kiểu tạo ra nó và neutron tán xạ ngẫu nhiên có xác suất bằng nhau cho tất cả các hướng (tán xạ đẳng hướng, xem hình 3.3). Xác suất mà neutron tán xạ vào góc + d là tỉ số giữa diện tích vòng vi phân và diện tích toàn phần của khối cầu đơn vị

(3.16)

Số neutron vi phân, dn, tán xạ vào góc vi phân là tích số giữa số neutron toàn phần, n, với xác suất mà neutron sẽ tán xạ vào góc vi phân này

(3.17)

Số neutron vi phân, dn, nhân với độ giảm logarit

(3.18)

và lấy tích phân từ 0 đến sẽ cho ra độ giảm logarit toàn phần đối với tất cả số neutron n trong hệ

(3.19)

Tích phân này có thể giải được bằng phép đổi biến sau

(3.20)

68

Hình 3.3: Tán xạ đẳng hướng của neutron trong hệ COM

Phương trình (3.18) trở thành

(3.21)

Số hạng hằng số được sắp xếp lại như sau

(3.22)

và độ giảm logarit trở thành

(3.23)

hoặc,

(3.24)

Độ mất năng lượng logarit trung bình trong mỗi va chạm chỉ là một hàm theo khối lượng của hạt nhân bia và không phụ thuộc vào năng lượng neutron; độ mất năng lượng này thường tính gần đúng theo công thức

(3.25)

Do mô tả độ mất năng lượng logarit trung bình sau mỗi va chạm nên tổng số va chạm cần thiết đối với neutron để mất một hàm lượng năng lượng cho trước có thể xác định được bằng việc khai triển thành độ khác biệt của logarit cho khoảng năng lượng đòi hỏi

Khi đó số va chạm (N) để dịch chuyển từ một năng lượng bất kỳ, Ehigh, đến năng lượng thấp hơn, Elow, được tính như sau

(3.26)

Nếu môi trường không đồng chất thì giá trị trung bình cho độ giảm năng lượng logarit được tính như sau

(3.27)

Ví dụ 3.1 Số va chạm đàn hồi của neutron

Tính số va chạm trên 9Be và 238U cần để giảm năng lượng từ 2 MeV đến năng lượng nhiệt (0.025 eV)

9Be:

69

238U

Mặc dù độ giảm năng lượng logarit là một phép đo thuận lợi về khả năng của vật liệu để làm chậm neutron nhưng nó không đo được tất cả tính chật của chất làm chậm. Việc làm chậm nhanh như thế nào sẽ xảy ra trong vật liệu được đo bằng sức làm chậm vĩ mô (MSDP), nó được định nghĩa như là tích của độ giảm năng lượng với tiết diện tán xạ vĩ mô đối với vật liệu

Như vậy MSDP mô tả sức làm chậm của tất cả hạt nhân trong một đơn vị thể tích của chất làm chậm và không cho biết đầy đủ thông tin về tính chất vật liệu như xác suất tán xạ hay hấp thụ neutron. Ví dụ (xem bảng 3.2), khí He có độ giảm năng lượng logarit tốt như sức làm chậm rất tồi do xác suất tán xạ neutron là nhỏ cũng như nó có mật độ thấp. Một ví dụ khác là Bo có độ giảm năng lượng logarit cao và sức làm chậm tốt nhưng nó là chất làm chậm tồi bởi vì Bo có xác suất hấp thụ neutron rất cao.

Một phép đo hoàn chỉnh nhất về tính hiệu quả của chất làm chậm là tỉ số làm chậm (MR), đó là tỉ số giữa MSDP với tiết diện hấp thụ vĩ mô. Tỉ số MR càng cao thì khả năng làm chậm của vật liệu càng tốt

(3.28)

Đối với một nguyên tố thì

(3.29)

Đối với hỗn hợp gồm hai nguyên tố thì

(3.30)

Bảng 3.2 Các đặc trưng của chất làm chậm

Chất làm chậm N (để nhiệt hóa) MSDP MR

H2OD2OHeBeBC

0.9270.5100.4270.2070.1710.258

19354286105117

1.4250.1778.87x10-6

0.7240.0920.083

624830511260.00086216

70

Phẩm chất tương đối của vài chất làm chậm thường được dùng trong lò phản ứng nhiệt được cho trong bảng 3.2. Nước thường có cao và MSDP tốt. Tuy nhiên do tiết diện hấp thụ chỉ là 0.332b nên nó có MR thấp nhất trong tất cả các chất làm chậm. Như vậy nhiên liệu làm giàu là cần thiết cho một là phản ứng để đạt tới hạn. Như giá thành thấp và tính có lợi cao là các hệ số quyết định trong thiết kế nhà máy điện hạt nhân. Graphit cũng được dùng rộng rãi do các thông số làm chậm tốt và giá thành thấp. Nước nặng có các đặc trưng vượt trội về chất làm chậm, nhưng giá thành rất đắt đỏ cho nên chỉ được dùng trong một số lò phản ứng có cấu hình nhỏ. Helium không được dùng bởi vì mật độ của nó thấp trong khi đó beryllium càng tránh dùng do độc tính của nó rất cao.

3.3 Cosin trung bình của góc tán xạ

Như đã mô tả trong mục 3.1, phép đo vật lý thật sự được thực hiện trong hệ LS, trong khi đó tính toán lỳ thuyết thường thực hiện trong hệ COM vì nó đơn giản hơn. Trong hệ COM tán xạ neutron được xem là đẳng hướng trong khi đó trong hệ LS xem là bất đẳng hướng. Điều này có thể được trình bày bằng việc xuất phát từ mối liên hệ đối với cosin trung bình của góc tán xạ.

Trong hệ COM giá trị trung bình của cosin góc tán xạ có thể tính được bằng cách lấy tích số giữa số neutron tán xạ vào góc + d với cos tích phần từ 0 đến chia cho tổng số neutron tán xạ

(3.31)

Có nghĩa là số neutron tán xạ hướng tới và hướng ngược lại là bằng nhau cho nên tán xạ là đẳng hướng trong hệ COM.

Khi chuyển đến hệ LS góc tán xạ trở thành

(3.32)

Cosin trung bình của góc tán xạ là

(3.33)

Ví dụ như cosin trung bình của góc tán xạ đối với graphit chỉ ra rằng tán xạ gần như đẳng hướng trong hệ LS của vật liệu đó

Trong khi đó, đối với hydrogen cho thấy tán xạ mạnh về hướng tới

3.4 Làm chậm neutron trong môi trường vô hạn

3.4.1 Mật độ làm chậm không có hấp thụ

Tất cả phép phân tích trình bày trong mục này là hợp lệ đối với lò phản ứng ổn định, với gải thiết rằng không có sự mất mát neutron do hấp thụ hoặc do rò rỉ vì môi trường xem như vô hạn trong suốt quá trình làm chậm neutron. Ở đây cũng giả sử rằng sự phụ thuộc năng lượng đã được tích phân trên trục không gian. Với giả thiết không có sự hấp thụ đòi hỏi chất làm chậm không hấp thụ neutron có

71

năng lượng lớn hơn năng lượng chuyển động nhiệt. Một giả thiết nữa là nguồn neutron nằm bên trong chất làm chậm để tạo ra neutron có tốc độ đồng đều với một năng lượng xác định, S(E1). Một bể nước được cung cấp để hấp thụ chỉ những neutron đã làm chậm đến năng lượng nhiệt. Cho nên, ở trạng thái ổn định sẽ không có sự tích lũy neutron và số neutron đi vào với số gia năng lượng dE tại năng lượng E cho trước sẽ chính xác bằng với số neutron rời khỏi nó. Quá trình làm chậm neutron được trình bày trên sơ đồ hình 2.4.

Mật độ làm chậm, q(E) được định nghĩa như là số neutron mỗi đơn vị thể tích xuyên qua với năng lượng E cho trước trong mỗi đơn vị thời gian. Nguồn gốc đối với năng lượng xa năng lượng nguồn có thể thu được. Các lời giải này được gọi là lời giải tiệm cận.

Các lời giải gần nguồn là phức tạp (ngoại trừ hydrogen) và được gọi là lời giải nhất thời. Mỗi neutron phát ra tại năng lượng E1 sẽ bị tán xạ hoặc hấp thụ. Va chạm tán xạ sẽ phân bố neutron đồng đều trên vùng năng lượng từ E1 đến αE1. Mật độ làm chậm tại E1 được định nghĩa như là số neutron chậm dần từ E1 trong mỗi đơn vị thể tích trong đơn vị thời gian.

(3.34)

Theo giả thiết là không có sự hấp thụ neutron trong hệ, nên phương trình (3.34) trở thành

(3.35)

Với năng lượng dE’ (xem hình 3.4) nằm trong khoảng E/α và E, số va chạm mỗi đơn vị thể tích trong mỗi đơn vị thời gian là

(3.36)

Nếu % neutron có năng lượng nhỏ hơn E sau tán xạ từ dE’ là

(3.37)

thì khi đó số neutron xuyên qua mức năng lượng E trong một đơn vị thể tích mỗi thời gian là

(3.38)

Cho nên, mật độ làm chậm neutron trở thành

72

Khoảng năng lượng cực đại cho một va chạm.

Nguồn đơn năngHướng tích phân đối với dE > 0

Làm chậm neutron

Vùng dìm neutron

Hình 3.4: Làm chậm neutron trong không gian năng lượng

(3.39)

Một mối liên hệ tường minh hơn có thể thu được cho mật độ làm chậm bằng việc chấp nhận rằng tại trạng thái ổn định số neutron tán xạ vào dE tại E phải bằng số neutron tán xạ ra ngoài

(3.40)

Do không có neutron bị mất mát trong môi trường không hấp thụ vô hạn ở trạng thái ổn định nên số neutron làm chậm qua năng lượng bất kỳ là một hằng số, hoặc nói cách khác mật độ làm chậm là hằng số. Tiết diện tán xạ không biến đổi lớn trong vùng năng lượng làm chậm (xem ví dụ trong hình 3.5) và thông lượng tỉ lệ với 1/E

Ví dụ: Làm chậm neutron

Neutron có năng lượng 1.5MeV được tạo ra với tốc độ 2.1015n.cm-3.s-1

trong môi trường graphit vô hạn. Tính số va chạm tán xạ đàn hồi xãy ra mỗi giây trên cm3 trong vùng năng lượng từ 0.5 đến 0.3 MeV.

Mất mát năng lượng logarit trung bình cho mỗi va chạm

Do không có hấp thụ hoặc rò rỉ nên neutron chỉ tương tác tán xạ với hạt nhân trong tấm graphit. Như vậy, mật độ làm chậm bằng với nguồn neutron, nghĩa là tốc độ neutron tại 1.5MeV. Vậy, ta có thể viết

73

Tiế

t diệ

n (b

)

Năng lượng (eV)

Hình 3.5: Tiết diện tán xạ đàn hồi trong vùng năng lượng làm chậm của 1H và 12C

3.4.2 Lethargy

Các phương trình gồm năng lượng và thay đổi năng lượng có thể được trình bày dưới dạng một đại lượng được gọi là Lethargy. Theo định nghĩa, lethargy là

(3.41)

Với E0 là một năng lượng khởi điểm tùy ý thường lấy là 10 MeV. Khi năng lượng neutron giảm thì lethargy tăng (xem hình 3.6). Môi trường có lethargy thấp thì độ thay đổi năng lượng sau một va chạm là nhỏ. Điều này đúng cho hạt nhân có số khối cao. Nếu E1 là năng lượng neutron ban đầu và E2

là năng lượng neutron sau va chạm, thì lethargy tương ứng là u1 và u2, và khi đó độ thay đổi lethargy được cho bởi

(3.42)

Do giá trị trung bình của lnE1/E2 là độ mất năng lượng logarit trung bình,

(3.43)

nên ta có thể xem như là độ thay đổi lethargy trung bình. Như đã trình bày trước đây, đối với tán xạ đẳng hướng trong vùng năng lượng làm chậm trong hệ COM thì độc lập với năng lượng. Có nghĩa là neutron phải chịu cùng số va chạm trong môi trường cho trước để làm tăng lethargy của chúng bởi một đại lượng riêng biệt (vì giá trị 1/ mô tả số va chạm trung bình).

3.4.3 Mật độ làm chậm neutron có hấp thụ

Trong thực tế neutron bị hấp thụ trong suốt quá trình làm chậm. Mật độ làm chậm có sự hấp thụ được tính như sau

74

Năng lượng đầu (2MeV)

Làm chậm neutron

Hình 3.6: Sự phân bố lethargy neutron

(3.44)

Với q(E’) là mật độ làm chậm không có hấp thụ và p(E) là phần neutron bị bắt trong lúc giảm năng lượng từ E’ đến E và được gọi là xác suất thoát cộng hưởng.

Đối với hệ đồng nhất vô hạn với nhiên liệu được phân bố đều, thông lượng neutron không phụ thuộc vào vị trí. Khi đó tốc độ hấp thụ neutron là

Hấp thụ từ E’ đến E (3.45)

Để xác định sự hấp thụ neutron ta cần biết sự phân bố thông lượng theo năng lượng. Điều này khó khăn để xác định một cách chính xác và có một số phép tính gần đúng được giới thiệu. Một phép gần đúng được gọi là phép gần đúng cộng hưởng hẹp (NR). Phép gần đúng này cho rằng bên trong vùng cộng hưởng neutron không thể bị tán xạ từ năng lượng này đến năng lượng khác. Mặt khác, một neutron mà xuyên vào vùng cộng hưởng thì hoặc bị hấp thụ hoặc bị tán xạ đến năng lượng dưới vùng cộng hưởng.

Neutron đạt đến khoảng năng lượng dE trong các cộng hưởng sẽ chỉ bị tán xạ từ các năng lượng cao hơn. Trong phép gần đúng NR, số neutron xuyên vào khoảng năng lượng này không phụ thuộc vào neutron có bị hấp thụ hay không và nó bằng với q(E)dE/E, hoặc S(E)dE/E. Neutron bị mất từ khoảng năng lượng dE do hấp thụ và tán xạ. Tốc độ mất mát là (aF + s)(E)dE, với aF là tiết diện hấp thụ trong nhiên liệu (chất hấp thụ) và s là tiết diện tán xạ toàn phần của nhiên liệu và chất làm chậm.

Ở trạng thái ổn định, số neutron xuyên vào khoảng năng lượng dE bằng với số neutron bị mất đi

(3.46)

Thông lượng neutron lúc này là

(3.47)

Sự có mặt tiết diện hấp thụ dưới mẫu số của (3.47) có nghĩa là thông lượng neutron giảm trong vùng cộng hưởng.

Khi đó xác suất thoát cộng hưởng trở thành

(3.48)

với tích phân được lấy trên cả vùng năng lượng cộng hưởng.

Một phép gần đúng khác được gọi là cộng hưởng hẹp với số khối vô hạn, phép gần đúng NRIM giả thiết rằng số khối của chất hấp thụ lớn vô hạn. Trong trường hợp này, tiết diện tán xạ chỉ là tiết diện tán xạ của chất làm chậm. Một phép mô tả khác cho xác suất thoát cộng hưởng được viết như sau

(3.49)

75

với giả thiết là tiết diện tán xạ và độ mất năng lượng trung bình không phụ thuộc năng lượng. Tích phân trong phương trình này được gọi là tích phân cộng hưởng hiệu dụng I, và có cùng thứ nguyên với tiết diện vĩ mô.

Thực tế các lò phản ứng là hệ đồng nhất với nhiên liệu và chất làm chậm có tính chất vật lý tách biệt. Nhiên liệu hiện diện trong thiết bị riêng được gọi là thanh nhiên liệu và được đặt theo mạng lưới giữa các chất làm chậm. Nếu quãng đường tự do trung bình của neutron nhỏ hơn hoặc bằng với bán kính thanh nhiên liệu thì xác suất neutron bị hấp thụ trong thanh nhiên liệu sẽ lớn. Điều này có nghĩa là thông lượng tại một năng lượng cho trước trong thanh nhiên liệu sẽ thấp hơn thông lượng trong vùng chất làm chậm. Neutron cộng hưởng bị hấp thụ mạnh ở vùng bên ngoài thanh nhiên liệu, đặc biệc nếu đỉnh cộng hưởng là hẹp và cao. Kết quả là hạt nhân ở phía bên trong bị chiếu với thông lượng rất thấp và lượng hấp thụ là nhỏ. Hiệu ứng này được gọi là tự che chắn. Xác suất bắt cộng hưởng nhỏ hơn trường hợp nhiên liệu được phân bố đồng đều trong chất làm chậm. Cho nên, xác suất thoát cộng hưởng sẽ lớn hơn với hệ không đồng nhất. Cũng như thế, xác suất thoát cộng hưởng tăng theo bán kính nhiên liệu. Một hệ số khác làm tăng xác suất thoát cộng hưởng trong vùng nhiên liệu là một số neutron bị chậm xuống trong vùng chất làm chậm đến năng lượng dưới vùng cộng hưởng và cho nên chúng không bị bắt cộng hưởng. Neutron bị hấp thu do bắt cộng hưởng trong vùng nhiên liệu lò phản ứng nhiệt (ví dụ 238U) là bị mất từ phản ứng phân hạch. Như vậy, các lò phản ứng nhiệt được thiết kế để cực đại xác suất thoát cộng hưởng. Đối với thanh nhiên liệu đặt đủ xa, neutron cộng hưởng không thể xuyên qua các thanh nhiên liệu, nó rằng các thanh nhiên liệu bị cô lập. Khi đó xác suất thoát cộng hưởng tìm được

(3.50)

Trong một mạng kín như lò phản ứng với chất làm chậm là nước, một số neutron cộng hưởng xuyên vào thanh nhiên liệu sẽ bị chặn lại bởi các thanh nhiên liệu lân cận. Khi đó, thông lượng cộng hưởng nhỏ hơn nếu các thanh được tách biệt tốt. Như vậy mỗi thanh nhiên liệu trong mạng kín được cho là “cái bóng” của các thanh khác. Tích phân cộng hưởng hiệu dụng nhỏ hơn và như vậy xác suất thoát lớn hơn. Các hiệu chỉnh làm được bằng việc giới thiệu hệ số Dancoff mà phụ thuộc vào không gian và bán kính của thanh nhiên liệu và tiết diện chất làm chậm.

3.5 Phân bố không gian của quá trình làm chậm neutron

3.5.1 Mẫu Fermi

Các mẫu trước đây đã được phát triển cho môi trường vô hạn mà sự phân bố thông lượng neutron không phải làm hàm các tọa độ không gian. Tuy nhiên, trong một hệ lý tưởng có kích thước xác định mà sự phân bố thông lượng neutron là hàm theo năng lượng cũng như vị trí không gian . Một phép gần đúng hữu ích cho việc nghiên cứu phân bố neutron trong không gian là khảo sát mật độ làm chậm neutron trong chất làm chậm. Mật độ làm chậm có thể mô tả chỉ dưới các phép gần đúng nhất định. Một phép gần đúng khá đơn giản được gọi là mẫu làm chậm liên tục hay cũng thường gọi là mẫu Fermi. Trong mẫu Fermi các giả thiết sau đây phải thỏa mãn:

4 Tán xạ neutron là đẳng hướng trong hệ COM, như vậy độ giảm năng lượng logarit trung bình, , không phụ thuộc vào năng lượng neutron. Điều này cũng miêu tả độ tăng lethargy trung bình cho mỗi va chạm, nghĩa là sau n va chạm lethargy sẽ tăng lên n đơn vị.

5 Mỗi neutron thu chính xác đơn vị lethargy trong mỗi va chạm, nghĩa là mỗi neutron được giả định để xem như một neutron trung bình. Cho nên, các gái trị lethargy trong vùng làm chậm là những giá trị gián đoạn của n (n= 1,2,...).

76

6 Lethargy là một hàm liên tục, nghĩa là các bước thay đổi trong lethargy là gần đúng bằng thay đổi liên tục, xem hình 2.7.

Mẫu Fermi là khá hợp lý cho việc mô tả quá trình làm chậm trong vật liệu có số khối lớn; vì độ mất năng lượng logarit trung bình là nhỏ (sự trải rộng các năng lượng neutron sau tán xạ là tương đối nhỏ). Như vậy, giả sử rằng mỗi neutron cư xử như là một neutron trung bình là gần chính xác. Thêm vào đó, do nhỏ nên các bước cho thấy ở hình 20 là nhỏ về chiều cao như lớn về số. Cho nên, ta có thể chấp nhận gần đúng các bước với đường cong liên tục. Nếu neutron chậm dần trong vật liệu số khối thấp thì độ rộng dãy năng lượng sau va chạm là lớn và độ thay đổi lethargy trung bình lớn. Ví dụ, trong hydrogen, một neutron sẽ mất tất cả năng lượng của nó chỉ với một va chạm. Trong trường hợp này, mẫu Fermi không áp dụng được.

Phương trình bảo toàn neutron trong lò phản ứng đối với năng lượng từ E đến E + dE, giả sử

Làm chậm neutron liên tục

Hấp thụ neutron yếu trong chất làm chậm

Lò phản ứng có kích thước giới hạn (không bỏ qua việc rò rỉ neutron)

có thể được viết như sau

(3.51)

Trong đó:

: số neutron có năng lượng dE thoát ra khỏi hệ

: số neutron có năng lượng dE bị hấp thụ trong môi trường.

: nguồn neutron (số neutron làm chậm ngoài năng lượng dE như thấy ở hình 3.8).

Nguồn neutron có thể viết dưới dạng mật độ làm chậm như sau

(3.52)

Thay (3.52) vào (3.51)

(3.53)

77

Làm chậm trong môi trường có số khối lớn

Làm chậm trong môi trường hydrogen

Hình 3.7: Phép gần đúng cho quá trình làm chậm liên tục

Hấp thụ

Rò rỉ

Hình 3.8: Hệ số nguồn neutron

Nếu môi trường là chất hấp thụ yếu thì phương trình (2.53) trở thành

(3.54)

Nếu không có hấp thụ thì độ thay đổi mật độ làm chậm neutron là do rò rỉ.

(3.55)

Hay,

(3.56)

Phương trình (3.56) có thể đơn giản hóa bằng cách được vào biến , gọi là tuổi Fermi

(3.57)

Tuổi Fermi không có đơn vị là thời gian mà đơn vị là bình phương khoảng cách và miêu tả tuổi theo thời gian của neutron. Mặt khác nó chỉ ra thời điểm trôi qua khi neutron di chuyển khỏi nguồn (có năng lượng E0) đến điểm mà năng lượng của nó giảm đến E. Với các neutron có năng lượng nguồn (E = E0) tuổi Fermi bằng không. Tuổi Fermi tăng khi năng lượng giảm (khi neutron chậm dần tuổi của nó tăng lên).

Mật độ làm chậm có thể mô tả dưới dạng tuổi Fermi

(3.58)

và khả dụng cho môi trường không hấp thụ neutron. Tuy nhiên, phương trình tuổi Fermi co thể sửa chữa lại cho môi trường hấp thụ yếu theo cách nhau: nếu q(E) là mật độ neutron trong môi trường không hấp thụ thì q(E)p(E) là mật độ làm chậm trong môi trường hấp thụ neutron yếu, p(E) là xác suất thoát cộng hưởng.

Ví dụ: Phương trình tuổi Fermi

Tìm và giải thích lời giải cho phương trình tuổi Fermi đối với nguồn điểm neutron nhanh đơn năng (10 MeV) chịu sự làm chậm liên tục trong môi trường không hấp thụ.

Lời giải của phương trình là

(3.59)

78

Phương trình này miêu tả mật độ làm chậm đối với tuổi neutron tại khoảng cách r từ nguồn điểm 1 n/s. Sự miêu tả này có dạng đường cong sai số Gauss, như vậy sự phân bố mật độ làm chậm đối với một tuổi cho trước thỉnh thoảng ứng với phân bố Gauss.

Ví dụ: Tuổi Fermi cho các chất làm chậm khác nhau

Đối với nước (mật độ 1.0g/cm3) và graphit (mật độ 1.6g/cm3), hãy xác định tuổi Fermi tại 1MeV. Gỉa sử năng lượng ban đầu của neutron là 2 MeV.

Biết:

Tuổi Fermi: (3.60)

Đối với nước:

ng.tử/cm3

Đối với graphit:

ng.tử/cm3

3.5.2 Chiều dài di trú

79

Tuổi Fermi của neutron liên hệ với quãng đường bình phương trung bình trong quá trình làm

chậm. Đối với neutron nhiệt có tuổi th thì mô tả một phép đo vector khoảng cách đã di chuyển từ

khi hình thành do phân hạch đến khi neutron trở thành neutron nhiệt. Bình phương khoảng cách trung bình ứng với tuổi Fermi được tính như sau

(3.61)

Tuổi neutron là tương tự với bình phương chiều dài khuếch tán. Phương trình trên có nghĩa là neutron di chuyển 1/6 khoảng cách bình phương trung bình từ mức lethargy trước va chạm (u0 = 0) đến mức lethargy sau va chạm (u). Nó cũng mô tả cho chiều dài làm chậm neutron. Tổng bình phương chiều dài khuếch tán và tuổi Fermi được gọi là vùng di trú

(3.62)

và căn bậc hai của nó là chiều dài di trú (xem bảng 3.3). Phương trình chuẩn trong phép gần đúng của quá trình làm chậm đối với lò phản ứng lớn là

(3.63)

Bảng 3.3: Chiều dài di trú cho các chất làm chậm thông thường và neutron nhiệt

Chất làm chậm Chiều dài khuếch tán

(cm)

Chiều dài làm chậm (cm)

Chiều dài di trú (cm)

H2O

D2O

Be

C

0.027

1.000

0.210

0.540

0.052

0.114

0.100

0.192

0.059

1.010

0.233

0.575

Ví dụ: kích thước lõi nhiên liệu tới hạn

Tính chiều dài di trú, bán kính lõi nhiên liệu tới hạn và khối lượng tới hạn của lò phản ứng cầu với chất làm chậm là nước thường. Lõi chứa 238U với mật độ 0.0145g/cm3

Cho biết: tuổi Fermi là 27 cm2, diện tích khuếch tán 3.84 cm2 và B = 2.8x10-3cm-2.

Từ

Buckling hình học cho lõi cầu sẽ đưa ra bán kính tới hạn

Như vậy khối lượng tới hạn

80

CHƯƠNG 4

LÝ THUYẾT LÒ PHẢN ỨNG HẠT NHÂN

Trong lò phản ứng tới hạn có sự cân bằng giữa số neutron sinh ra trong phân hạch với số neutron mất đi do bị hấp thụ bởi nhiên liệu lò phản ứng hay bởi sự rò rỉ ra khỏi bề mặt lò phản ứng. Một trong những vấn đề trọng tâm của thiết kế lò phản ứng là tính toán kích thước và thành phần nhiên liệu trong hệ thống lò cần để duy trì quá trình cân bằng này. Vần đề này sẽ được trình bày rõ trong chương này.

Các điều kiện cần thiết cho việc tính toán trạng thái tới hạn thường được thực hiện bằng cách dùng phương pháp khuếch tán nhóm đã giới thiệu ở chương trước. Mặc dù phép tính gần đúng áp dụng cho lò phản ứng nhanh nhưng ta cũng có thể áp dụng cho lò phản ứng nhiệt khi có thay đổi vài thông số.

4.1 Phương trình lò phản ứng một nhóm

Xét một lò phản ứng neutron nhanh ở trạng thái tới hạn chứa hỗn hợp gồm nhiên liệu và chất làm mát. Giả sử lò phản ứng chỉ có một vùng mà không có hoặc là vành phản xạ hoặc là lớp phủ xung quanh lõi lò. Hệ thống như thế ta gọi là lò phản ứng trần.

Lò phản ứng loại này được mô tả trong phép tính toán một nhóm bằng phương trình khuếch tán một nhóm phụ thuộc thời gian

(4.1)

Trong đó, là thông lượng neutron một nhóm, D và a là hệ số khuếch tán một nhóm và tiết diện hấp thụ vĩ mô của hỗn hợp nhiên liệu và chất làm mát, s là mật độ nguồn neutron (số neutron phát ra/cm 3/s) và v là vận tốc neutron. Nếu có sự cân bằng giữa nguồn neutron và số neutron mất đi do hấp thụ và rò rỉ thì vế phải của (4.1) bằng không, tức là thông lượng neutron không thay đổi theo thời gian. Các hằng số hạt nhân một nhóm thường dùng trong lò phản ứng nhanh được cho ở bảng 4.1.

Trong một lò phản ứng mà công suất có thể đo được thì nguồn neutron s được xem như là phát ra trong quá trình phân hạch. Để xác định s, ta đặt f là tiết diện phân hạch của nhiên liệu. Nếu có neutron sinh ra trong mỗi phân hạch thì khi đó nguồn neutron là

(4.2)

Ở đây ta giả sử rằng không có nguồn neutron sinh ra từ nguyên liệu không phân hạch trong lò phản ứng.

Nếu nguồn phân hạch không cân bằng với số neutron rò rỉ và hấp thụ thì vế phải của (4.1) khác không. Để phương trình cân bằng thì ta phải nhân nguồn s cho 1/k, với k là hằng số chưa biết. Nếu nguồn quá nhỏ thì k < 1, nếu nguồn quá lớn thì k > 1. Bây giờ phương trình (4.1) được viết lại như sau:

81

(4.3)

Đặt, : độ oằn hình học (Buckling)

Phương trình (4.3) được viết lại như sau:

(4.4)

Thay (4.4) và (4.3), ta có:

(4.5)

Hay (4.6)

Phương trình (4.6) được gọi là phương trình lò phản ứng một nhóm. Khi đó, hằng số k thu được:

(4.7)

Chú ý rằng, từ phương trình này ta không tính được hằng số k vì B2 vẫn chưa biết.

Bảng 4.1 Các hằng số hạt nhân một nhóm thường dùng cho lò phản ứng nhanh

Nguyên tố (đồng vị)

f a tr

Na

Al

Fe

U235

U238

Pu239

0,0008

0,002

0,006

0,25

0,16

0,26

0

0

0

1,4

0,095

1,85

0,0008

0,002

0,006

1,65

0,255

2,11

3,3

3,1

2,7

6,8

6,9

6,8

-

-

-

2,6

2,6

2,98

-

-

-

2,2

0,97

2,61

Theo qui luật vật lý, phương trình (4.7) có thể giải thích như sau: tử số là số neutron sinh ra trong phân hạch ở thế hệ hiện tại, ngược lại mẫu số mô tả cho số neutron bị mất đi trong thế hệ ngay trước đó. Nếu tất cả neutron trong một thế hệ bị hấp thụ hay rò rỉ khỏi lò phản ứng thi khi đó tử số cũng phải bằng số neutron sinh ra trong thế hệ trước. Tuy nhiên, khái niệm này đã được định nghĩa về hệ số nhân cho lò phản ứng hữu hạn ở chương trước. Bây giờ ta có thể định nghĩa hệ số nhân cho lò phản ứng là tốc độ neutron sinh ra, f, chia cho tổng tốc độ rò rỉ và tốc độ hấp thụ neutron, DB2 + a.

Dạng nguồn s trong phương trình một nhóm có thể viết dưới dạng tiết diện hấp thụ của nhiên liệu như sau: đặt aF là tiết diện hấp thụ một nhóm của nhiên liệu và là số neutron phân hạch trung bình phát ra cho mỗi neutron bị hấp thụ trong nhiên liệu. Khi đó, dạng nguồn s được cho bởi:

(4.8)

Hay ta cũng có thể viết

(4.9)

Với

82

(4.10)

được gọi là hệ số hữu dụng nhiên liệu. Do a là tiết diện hấp thụ đối với hỗn hợp gồm nhiên liệu và chất làm mát và aF chỉ là tiết diện hấp thụ của nhiên liệu nên ta thấy rằng f bằng phần trăm lượng neutron hấp thụ bởi nhiên liệu so với số neutron bị hấp thụ trong toàn bộ vật liệu lò phản ứng.

Dạng nguồn s trong phương trình (4.9) cũng có thể viết dưới dạng hệ số nhân đối với lò phản ứng vô hạn. Với mục đích này, ta xem lò phản ứng vô hạn có cùng thành phần như lò phản ứng trần đang quan tâm trong phần này. Với lò phản ứng này thì không có neutron thoát ra khỏi bề mặt lò như trong lò phản ứng trần. Tất cả neutron được xem là bị hấp thụ hoặc là bởi nhiên liệu hoặc là chất làm mát. Vì vậy thông lượng neutron là hằng số và không phụ thuộc vào vị trí không gian trong lò phản ứng. Số neutron phân hạch trong một thế hệ liên hệ với số neutron sinh ra trong một thế hệ bởi hệ số , số neutron sinh ra trong mỗi phân hạch. Số neutron sinh ra phải bị hấp thụ trong hệ, tức là phải bằng a, nghĩa là số neutron bị hấp thụ trong mỗi cm3/s tại mọi nơi trong hệ thống lò. Trong những neutron này có fa bị hấp thụ trong nhiên liệu và giải phóng ra fa neutron phân hạch trong thế hệ tiếp theo. Số neutron sinh ra trong thế hệ mới này lại liên hệ với tốc độ phân hạch bằng hệ số . Sớm muộn gì thì tất cả neutron này bị hấp thụ trong lò phản ứng. Như vậy việc hấp thụ a trong một thế hệ dẫn tới việc hấp thụ fa neutron trong thế hệ tiếp theo. Như đã định nghĩa, hệ số nhân là số neutron phân trong một thế hệ chia cho số neutron phân hạch trong thế hệ ngay trước đó, vì vậy với môi trường vô hạn hệ số nhân là

(4.11)

Hệ số nhân này chỉ áp dụng cho lò phản ứng vô hạn.

Ví dụ 4.1

Tính f và k đối với hỗn hợp gồm U235 và Na, trong đó chỉ có 1% là nhiên liệu U235.

Giải

Từ phương trình (4.10), f là

Với NNa và NU là mật độ nguyên tử của Na và U235. Đặt Na và U là mật độ khối của Na và U235, ta có:

Với MU và MNa là khối lượng nguyên tử của U235 và Na. Do U235 chiếm 1% trong hỗn hợp nên

hay

Dùng các giá trị được cho ở bảng 4.1, giá trị của f tính được là

83

Khi đó

Như vậy, lò phản ứng vô hạn đạt trạng thái trên tới hạn.

Do và f là hằng số chỉ phụ thuộc vào tính chất vật liệu lò phản ứng nên k giống với lò phản ứng trần khi lò phản ứng vô hạn có thành phần nguyên liệu giống như lò phản ứng trần. Dạng nguồn trong phương trình (4.9) có thể viết lại như sau:

(4.12)

Thay (4.12) và (4.4) vào phương trình lò phản ứng một nhóm, phương trình (4.5), ta có

(4.13)

Nếu lò phản ứng đạt tới hạn (k = 1), thì khi đó vế phải của (4.13) bằng không, và

(4.14)

Hay (4.15)

Với (4.16)

được gọi là diện tích khuếch tán một nhóm. Từ phương trình (4.15) ta tính được độ oằn B 2 đối với lò phản ứng tới hạn

(4.17)

Trong phần tiếp theo ta thấy rằng phương trình khuếch tán một nhóm, cùng với điều kiện biên về thông lượng neutron, ta không chỉ xác định sự phân bố thông lượng neutron mà cũng có thể tìm được điều kiện cho lò phản ứng đạt trạng thái tới hạn.

4.2 Lò phản ứng thanh trần

Như ví dụ đầu tiên của lò phản ứng trần, ta xét một lò phản ứng thanh trần vô hạn có bề dày là a như hình 4.1. Phương trình lò phản ứng cho trường hợp này là

(4.18)

Để xác định thông lượng neutron trong lò phản ứng, phương trình (4.18) phải được giải với điều kiện thông lượng neutron triệt tiêu tại bề mặt ngoại suy của thanh lò,

đó là tại và tại , với

Khi đó điều kiện biên trở thành

(4.19)

84

a

x = 0

Hình 4.1 Lò phản ứng dạng thanh vô hạn

Ta lưu ý rằng, do tính đối xứng của bài toán nên ở đây xem không có dòng neutron tại tâm của thanh. Vì mật độ dòng neutron tỉ lệ với đạo hàm bậc nhất của nên

(4.20)

tại x = 0. Điều kiện (4.20) đòi hỏi phải là hàm chẵn, nghĩa là

(4.21)

và có đạo hàm liên tục bên trong lò phản ứng.

Trong trường hợp bất kỳ, nghiệm tổng quát của phương trình (4.18) là

(4.22)

với A và C là các hằng số phải được xác định. Thay đạo hàm của phương trình (4.22) bằng không khi x = 0 ta sẽ có C = 0, vì vậy

(4.23)

Mặt khác, theo điều kiện biên (4.19) ta có:

(4.24)

Phương trình này thỏa mãn hoặc là bằng cách lấy A = 0 và dẫn đến lời giải tầm thường (x) = 0, hoặc là

(4.25)

Điều này được thỏa mãn nếu B có giá trị tùy ý Bn, với

(4.26)

và n là số nguyên, lẻ.

Hằng số Bn được gọi là trị riêng và hàm cosBnx gọi là hàm riêng. Ta thấy rằng nếu lò phản ứng chưa đạt trạng thái tới hạn thì thông lượng neutron là tổng của tất cả các hàm riêng, mỗi hàm riêng được nhân với một hàm phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, nếu lò phản ứng đạt tới hạn thì tất cả các hàm này, ngoại trừ hàm thứ nhất, sẽ biến mất theo thời gian và thông lượng ổn định theo hàm riêng bậc nhất:

(4.27)

Đây là thông lượng neutron trong lò phản ứng trần dạng thanh phẳng tới hạn.

Bình phương của trị riêng thấp nhất được gọi là độ oằn (Buckling) của lò phản ứng. Nguồn gốc của thông số này có thể thấy được bằng cách giải phương trình:

(4.28)

Kết quả là

85

Vế phải của biểu thức này tỉ lệ thuận với độ cong của thông lượng neutron trong lò phản ứng. Do trong lò phản ứng thanh

(4.29)

nên độ oằn giảm khi a tăng; khi a vô hạn thì = 0, không đổi và không có độ oằn trong lò phản ứng.

Đến đây giá trị A trong (4.27) vẫn chưa được xác định. Về toán học, A dễ dàng tính được vì lò phản ứng là đồng nhất và nhân với một hằng số bất kỳ vẫn là nghiệm của phương trình. Về mặt vật lý, lý do mà giá trị A chưa tính được là độ lớn thông lượng neutron trong lò phản ứng được xác định bằng công suất lò đang hoạt động mà không phải là tính chất của vật liệu lò.

Để tìm A ta cần tính công suất lò phản ứng. Thực tế có f(x) phân hạch/cm3/s tại điểm x. Nếu năng lượng bảo tồn là ER Jun/phân hạch (với năng lượng bảo tồn là 200 MeV thì ER = 3,2.10-11J), thì khi đó công suất toàn phần đối với mỗi đơn vị diện tích của thanh (w/cm2) là

(4.30)

Lưu ý rằng tích phân được lấy khắp kích thước vật lý của lò và không lấy đến biên ngoại suy của nó. Thay thông lượng (x) từ (4.22) vào (4.30) và thực hiện phép tính tích phân, ta được:

(4.31)

Khi đó công thức cuối cùng cho thông lượng neutron nhiệt trong lò phản ứng thanh là

(4.32)

Trường hợp d << a thì

(4.33)

4.3 Các dạng lò phản ứng khác

Ta không thể, dĩ nhiên, xây dựng một lò phản ứng thanh phẳng vô hạn. Cho nên ta cần khái quát hóa các kết quả ở phần trước cho các lò phản ứng có dạng thực tế hơn. Điều này có thể dễ dàng thực hiện đối với các lò phản ứng có dạng như sau: hình cầu, hình trụ vô hạn, hình hộp chữ nhật và hình trụ hữu hạn. Các lò phản ứng này, cùng với các hệ tọa độ dùng để mô tả chúng, được trình bày trên hình 4.2.

86

r

RR

r

a

b

c

x

y

z

r

R

H

z

(a)

(b)(c) (d)

Hình 4.2 (a) Hình cầu ; (b) Hình trụ dài vô hạn ; (c) Hình hộp ; (d) Hình trụ hữ hạn

4.3.1 Hình cầu

Trước tiên ta xét một lò phản ứng tới hạn dạng hình cầu bán kính R. Thông lượng neutron trong lò phản ứng này chỉ phụ thuộc vào vị trí r, và phương trình lò phản ứng là

(4.34)

Thông lượng phải thỏa mãn điều kiện biên: và vẫn còn xác định tại mọi điểm bên trong lò phản ứng. Bằng cách thay = u/r vào (4.34) và giải phương trình đối với u, khi đó nghiệm tổng quát của (4.34) dễ dàng tìm được:

với A và C là hằng số. Hàm thứ hai trở thành vô hạn khi r 0. Do thông lượng là một đại lượng vật lý và phải hữu hạn tại mọi điểm trong lò phản ứng, cho nên C phải bằng không. Như vậy, thông lượng trở thành

(4.35)

Điều kiện biên được thỏa mãn nếu lấy B là trị riêng tùy ý

, n = 1, 2, 3,....

Tuy nhiên, như đã giải thích ở phần trước, chỉ có trị riêng thứ nhất mới liên quan đến trạng thái tới hạn của lò phản ứng. Như vậy, với n = 1, độ oằn là

(4.36)

và thông lượng trở thành

(4.37)

Một lần nữa, hằng số A được xác định bằng công suất hoạt động của lò phản ứng

(4.38)

Hay

(4.39)

Thay thông lượng từ (4.37) vào (4.39), lấy tích phân ta được:

87

Nếu d nhỏ thì thông lượng trong hình cầu được viết như sau:

(4.40)

4.3.2 Hình trụ vô hạn

Tiếp theo ta xét một lò phản ứng tới hạn có dạng hình trụ dài vô hạn bán kính R. Trong lò phản ứng này, thông lượng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r đến trục của trụ. Trong tọa độ trụ, phương trình lò phản ứng này là

Hoặc, (4.41)

Bên cạnh việc thỏa mãn phương trình này, cũng phải thỏa mãn các điều kiện biên bao gồm .

Phương trình (4.41) là trường hợp đặc biệt của phương trình Bessel

(4.42)

trong đó, m là hằng số. Vì phương trình (4.42) là phương trình vi phân bậc hai nên nó có hai nghiệm độc lập. Hai nghiệm này được kí hiệu là Jm(BR) và Ym(BR), và được gọi là hàm Bessel bình thường loại thứ nhất và thứ hai. Hai hàm này thường xuất hiện trong các bài toán kỹ thuật và vật lý và đã được lập thành bảng.

Bằng việc so sánh phương trình (4.41) với (4.42) ta thấy rằng, trong bài toán hiện tại, hằng số m bằng không. Cho nên nghiệm tổng quát của phương trình lò phản ứng được viết như sau:

với A và C là hằng số. Hàm J0(x) và Y0(x) được vẽ trên hình 4.3. Rõ ràng, Y0(x) là vô hạn tại x = 0, trong khi đó J0(0) = 1. Cho nên, vì phải hữu hạn trong lò phản ứng, nên C phải bằng không. Như vậy,

(4.43)

Điều kiện biên bây giờ trở thành

(4.44)

88

Hình 4.3 Hàm Bessel của J0(x) và Y0(x)

Như ta thấy trên hình 4.3, hàm J0(x) bằng không tại một số giá trị x1, x2,....vì thế mà J0(xn) = 0. Điều này có nghĩa là (4.44) thỏa mãn với B có một trong các giá trị bất kỳ

là trị riêng của bài toán. Tuy nhiên, do trong một lò phản ứng tới hạn thì chỉ có trị riêng thấp nhất mới quan trọng, cho nên độ oằn được xác định:

(4.45)

Khi đó thông lượng neutron trong lò phản ứng là

(4.46)

Một lần nữa hằng số A được xác định bởi (4.38), trong đó, đối với hình trụ dài vô hạn thì dV = 2rdr. Như vậy công suất trên mỗi chiều dài hình trụ là

Tích phân này có thể tính được bằng cách dùng công thức

Khi đó, với d nhỏ thì

Vậy thông lượng neutron trong lò phản ứng dạng trụ dài vô hạn được tính bởi

(4.47)

4.3.3 Hình trụ hữu hạn

Việc quan tâm tiếp theo là sự phân bố thông lượng neutron bên trong lò phản ứng dạng hình trụ hữu hạn chiều cao H và bán kính R. Trong lò phản ứng này, thông lượng phụ thuộc vào khoảng cách r từ trục và khoảng cách z từ điểm chính giữa hình trụ. Phương trình lò phản ứng trong tọa độ trụ là

Hoặc khi thực hiện phép vi phân ta được:

(4.48)

Bên cạnh thỏa mãn phương trình này, còn phải thỏa mãn các điều kiện biên gồm và . Nghiệm của phương trình thu được bằng cách tách các biến

Thay vào (4.48) ta được:

89

Do phương trình này phải được thỏa mãn đối với r hoặc z bất kỳ, nên hàm thứ nhất và thứ hai phải là hằng số. Khi đó ta có thể viết lại:

Độ oằn B2 là:

Nghiệm của phương trình là , giống như đối với lò phản ứng thanh vô hạn. Nghiệm của phương trình phải thỏa mãn các điều kiện biên và là số dương xác định. Khi đó nghiệm phương trình thu được là tích của nghiệm đối với lò phản ứng thanh và hình trụ vô hạn có các điều kiện biên cần thiết. Như vậy,

(4.49)

trong đó, và . Hằng số A được xác định nếu như biết trước công suất hoạt động của lò.

4.3.4 Hình hộp chữ nhật

Việc tìm sự phân bố thông lượng neutron trong lò phản ứng hình hộp là hơi dài dòng nhưng có thể tính được theo cách tương tự như hình trụ hữu hạn. Các giá trị độ oằn và thông lượng đối với hình học lò phản ứng này được cho trong bảng 4.2, ở đây cũng tổng kết các kết quả thu được đối với lò phản ứng hình thanh, hình cầu, hình trụ vô hạn và hình trụ hữu hạn.

Bảng 4.2 Độ oằn B2 và thông lượng neutron đối với lò phản ứng trần tới hạn (xem d rất nhỏ)

Hình học

Kich thước

Độ oằn Thông lượng A

Thanh vô hạn

Bề dày a

1.57P/aERf

Hình hộp chữ nhật

a x b x c

3.87P/VERf

Hình trụ vô hạn

Bán kính R

0.74P/R2 ERf

Hình trụ hữu hạn

Bán kính R

Chiều cao H

3.63P/VERf

90

Hình cầu

Bán kính R

P/4R2 ERf

4.3.5 Tỉ số thông lượng cực đại và thông lượng trung bình

Giá trị cực đại của thông lượng, max, trong lò phản ứng trần đồng nhất luôn luôn tìm được tại tâm lò phản ứng. Do mật độ công suất cũng cao nhất tại tâm lò nên nó cũng được quan tâm để tính tỉ số giữa thông lượng cực đại với thông lượng trung bình trãi khắp lò phản ứng. Tỉ số này, đặt là , là một phép đo sự biến thiên thông lượng bên trong lò phản ứng và là dấu hiệu mức độ mà mật độ công suất tại tâm của hệ vượt mức mật độ công suất trung bình trong lò phản ứng.

Ta xét trường hợp lò phản ứng trần hình cầu. Giá trị max thu được khi lấy giới hạn (4.40) với r 0. Như vậy,

(4.50)

Giá trị trung bình của được cho bởi

(4.51)

Mặt khác, tích phân (4.51) lại tỉ lệ thuận với công suất lò phản ứng:

Vì vậy,

(4.52)

Kết quả này cũng khả dụng cho tất cả các dạng hình học khác. Bằng cách lập tỉ số (4.50) và (4.52), đối với lò phản ứng hình cầu, ta có:

(4.53)

Giá trị đối với các dạng hình học khác được cho trên bảng 4.3

Bảng 4.3

Hình học Thanh vô hạn Hình hộp chữ nhật Hình trụ vô hạn Hình trụ hữu hạn Hình cầu

Giá trị 1.57 3.88 2.32 3.64 3.29

Các giá trị trên bảng 4.3 không thể chấp nhận đối với lò phản ứng thực. Tuy nhiên, ta phải nghĩ rằng các giá trị này được tính cho lò phản ứng trần. Trong lò phản ứng, thông lượng chịu sự thay đổi lớn từ tâm lò đến bề mặt của nó. Như ta thấy trong mục tiếp theo, với lò phản ứng có vành phản xạ, thông lượng không hạ xuống đến các giá trị thấp tại bề mặt lõi lò - vành phản xạ, và thông lượng trong các lò phản ứng này được xem là bằng phẳng hơn.

Ví dụ 4.2

91

Một lò phản ứng trần hình cầu bán kính 50cm hoạt động ở mức công suất 100 MW = 108 J/s, f

= 0.0047 cm-1. Tính thông lượng cực đại và thông lượng trung bình trong lò phản ứng?

Giải

Giá trí cực đại của thông lượng có thể tính trực tiếp từ công thức (4.50). Thay các trị số đã cho ta được:

Giá trị trung bình của thông lượng được tính từ công thức (4.52)

4.4 Phương trình tới hạn một nhóm

Như ta biết trước đây, điều kiện cần thiết để lò phản ứng đạt tới hạn là B2 phải bằng trị riêng thứ nhất . Tuy nhiên, đối với lò phản ứng tới hạn, phương trình (4.7) tính k như sau

Khi k = 1 thì B2 là

(4.54)

Hoặc độ oằn tới hạn phải là

(4.55)

Vế phải của (4.55) là một hàm theo tính chất vật liệu của hệ lò phản ứng. Vế phải phải bằng bình phương trị riêng thứ nhất mà chỉ phụ thuộc vào kích thước và hình học của lò phản ứng. Bằng cách dùng khái niệm đối với k và L2, phương trình này trở thành

(4.56)

Phương trình này xác định các điều kiện mà lò phản ứng trần là tới hạn. Chẳng hạn, nếu các tính chất vật lý của lò biết trước thì khi đó vế trái của (4.56) sẽ biết được và kích thước của lò phản ứng phải được điều chỉnh sao cho ở vế phải của (4.56) thỏa mãn phương trình. Tuy nhiên, nếu kích

thước lò là biết trước thì sẽ biết được và các tính chất của lò phản ứng phải điều chỉnh sao cho vế trái bằng vế phải. Bằng cách này, kích thước tới hạn hay khối lượng nhiên liệu tới hạn phải được xác định.

Ví dụ 4.3

92

Một lò phản ứng nhanh dạng hình cầu chứa hỗn hợp đồng nhất Pu239 và Na. Mật độ nguyên tử của các thành phần này là NF = 0.00395x1024 đối với Pu239 và NS = 0.0234 x 1024 đối với Na. Tính bán kính tới hạn Rc của hệ.

Giải

Thay từ (4.36) vào (4.56) và giải theo rồi suy ra

Vì vậy ta cần tính k và L2 để tìm .

Bằng cách dùng tiết diện ở bảng 4.1 , ta tính được:

aF = 0.00395 x 2.11 = 0.00833 cm-1

aS = 0.0234 x 0.0008 = 0.000019 cm-1

a = aF + aS = 0.00835 cm-1

Khi đó,

và

Để tính L2= D/a ta cần biết hệ số khuếch tán D.

với tr là tiết diện vận chuyển vĩ mô. Từ giá trị tr cho trước trong bảng 4.1, ta tính được:

Vì vậy,

và d = 2.13D = 6.84 cm

Cuối cùng,

L2 = 3.21/0.00835 = 384 cm2

Khi đó,

Suy ra:

Ngược lại bài toán này, việc tính khối lượng tới hạn của lò phản ứng với kích thước biết trước thì phức tạp hơn, ít nhất là lò phản ứng nhanh.

Trở lại phương trính (4.56), ta sắp xếp lại dưới dạng sau:

93

(4.57)

Trong đó ta đã bỏ qua chỉ số kí hiệu cho trị riêng thứ nhất của độ oằn, ở đây ta hiểu rằng B 2

thích hợp hơn để mô tả độ oằn của lò phản ứng tới hạn. Phương trình (4.57) được gọi là phương trình tới hạn một nhóm cho lò phản ứng trần.

Để hiểu về ý nghĩa vật lý của phương trình tới hạn ta xét một lò phản ứng trần tới hạn có hình học tùy ý:

Số neutron bị hấp thụ trong lò phản ứng mỗi giây là

Số neutron rò rỉ ra khỏi bề mặt lò phản ứng mỗi giây là , với là mật độ dòng neutron

tại bề mặt, là pháp vector của bề mặt.

Từ định luật Fick, ta có:

(4.58)

Tuy nhiên, từ phương trình lò phản ứng (4.6) ta có thể viết lại như sau:

(4.59)

Neutron có thể hoặc là rò rỉ khỏi lò phản ứng hoặc là bị hấp thụ trong lò phản ứng, cho nên xác suất tương đối, PL, mà một neutron bị hấp thụ, nghĩa là không bị rò rỉ, thì bằng số neutron bị hấp thụ trong lò phản ứng mỗi giây chia cho tổng số neutron bị hấp thụ và rò rỉ, tức là:

Chia tử và mẫu cho a ta được:

(4.60)

Phương trình (4.60) là công thức một nhóm cho xác suất không rò rỉ đối với lò phản ứng trần.

So sánh (4.57) và (4.60), phương trình tới hạn có thể viết lại:

(4.61)

Kết quả này có sự giải thích như sau: tổng số neutron bị hấp thụ trong lò phản ứng mỗi giây

và dẫn đến giải phóng

neutron phân hạch. Tuy nhiên, do vì rò rỉ mà chỉ có neutron là bị hấp thụ trong hệ để

tạo ra một thế hệ neutron mới. Từ định nghĩa về hệ số nhân neutron của lò phản ứng, k, ta có:

94

(4.62)

Như vậy, vế trái của phương trình tới hạn thực sự là hệ số nhân neutron và phương trình tới hạn ứng với k = 1.

Ví dụ 4.4

Tính xác suất trung bình mà neutron phân hạch trong lò phản ứng (có cấu hình như ví dụ 4.3) bị hấp thụ trong lò phản ứng?

Giải

Xác suất trong câu hỏi của bài toán là xác suất không rò rỉ được cho bởi (4.60). Bằng cách dùng các giá trị đã tính được trong ví dụ 4.3,

Như vậy có 38% cơ hội mà một neutron sẽ bị hấp thụ và 62% cơ hội mà neutron sẽ thoát khỏi hệ.

4.5 Lò phản ứng nhiệt

Lò phản nhiệt là hệ thống bao gồm nhiên liệu, chất làm lạnh, vật liệu cấu trúc của lò và chất làm chậm để làm chậm neutron phân hạch đến năng lượng nhiệt. Để thuận tiện, trong phần này tất cả các vật liệu khác với nhiên liệu ta gọi là chất làm chậm. Một cách ngắn gọn, lò phản ứng nhiệt chỉ gồm chất làm chậm và nhiên liệu hạt nhân.

4.5.1 Công thức bốn hệ số

Đầu tiên ta xét lò phản ứng vô hạn gồm hỗn hợp đồng nhất nhiên liệu-chất làm chậm. Nếu là tiết diện hấp thụ neutron nhiệt vĩ mô đối với hỗn hợp, nghĩa là

(4.63)

với và là tiết diện vĩ mô của nhiên liệu và chất làm chậm, thì khi đó có tổng số neutron bị hấp thụ mỗi cm3/s tại mọi nơi trong lò phản ứng, với T là thông lượng neutron nhiệt. Trong số neutron này sẽ có

(4.64)

phần neutron là bị hấp thụ bởi nhiên liệu. Thông số f mà trước đây ta gọi là hệ số hữu dụng nhiên liệu, bây giờ ta gọi là hệ số hữu dụng nhiệt trong lò phản ứng nhiệt.

Có neutron bị hấp thụ cho mỗi cm3/s trong nhiên liệu, kết quả là sẽ có neutron phân hạch được phát ra mỗi cm3/s, với T là số neutron trung bình phát ra cho mỗi neutron nhiệt bị hấp thụ trong nhiên liệu. Thông số T được tính từ tích phân

(4.65)

Giá trị T được cho trước trong bảng 4.3, trong đó ta thấy rằng T biến thiên chậm theo nhiệt độ.

95

Trong lò phản ứng nhiệt chứa phần lớn vật liệu phân hạch và không phân hạch như U238, trong đó có một phần nhỏ phân hạch bởi neutron nhanh tương tác với vật liệu không phân hạch. Các phân hạch do neutron nhanh này được đề cập đến một hệ số , được gọi là hệ số phân hạch neutron nhanh, được định nghĩa như sau: hệ số phân hạch neutron nhanh là tỉ số giữa tổng số neutron được tạo ra do cả phân hạch nhiệt và nhanh với số neutron phân hạch tạo ra chỉ do phân hạch nhiệt.

Từ định nghĩa này ta thấy rằng tổng số neutron phân hạch được tạo ra mỗi cm 3/s trong lò phản ứng nhiệt vô hạn là . Giá trị của đối với lò phản ứng có nhiên liệu uranium tự nhiên hoặc uranium làm giầu thấp nằm trong khoảng 1.02 đến 1.08.

Như ta biết, ở đây có thể không có neutron rò rỉ ra khỏi lò phản ứng vô hạn, tất cả neutron phân hạch phải bị hấp thụ trong lò phản ứng. Trong lò phản ứng nhiệt, hầu hết neutron bị hấp thụ sau khi bị làm chậm đến năng lượng nhiệt. Tuy nhiên, có một số neutron sẽ bị hấp thụ đang trong quá trình chậm dần bởi những hạt nhân có hấp thụ cộng hưởng tại năng lượng trên vùng nhiệt. Nếu p là xác suất mà neutron phân hạch không bị hấp thụ trong bất kỳ các cộng hưởng này thì khi đó có neutron phân hạch được tạo ra mỗi cm3/s thì chỉ có neutron chậm dần đến năng lượng nhiệt. Thông số p được gọi là xác suất thoát cộng hưởng và là một trong các hệ số quan trọng nhất trong việc thiết kế lò phản ứng nhiệt.

Từ thảo luận trên ta thấy rằng việc hấp thụ neutron nhiệt dẫn tới sinh ra neutron nhiệt mới, tất cả phải bị hấp thụ trong lò phản ứng vô hạn. Sự hấp thụ neutron nhiệt của thế hệ này dẫn tới sinh ra neutron nhiệt của thế hế mới, tiếp tục như thế,....cho nên hệ số nhân neutron của lò phản ứng

(4.66)

với dấu trong phương trình để chỉ biết là khả dụng đối với lò phản ứng vô hạn. Vì k là tích của bốn hệ số p, , T và f nên công thức (4.66) được gọi là công thức bốn hệ số.

4.5.2 Tính toán độ tới hạn

Phương pháp một nhóm chỉ đưa ra các phép tính sơ lược về kích thước hoặc thành phần tới hạn của lò phản ứng nhiệt. Điều này là do sự việc rằng, mặt dù hầu hết các neutron phân hạch bị hấp thụ tại năng lượng nhiệt nhưng chúng cũng có thể khuếch tán trên những khoảng cách đáng kể trong quá trình chậm dần. Như vậy sự khuếch tán neutron nhanh phải được xem xét. Để kết thúc điều này đối với lò phản ứng nhiệt phải được mô tả bởi ít nhất là hai nhóm neutron: một nhóm cho neutron nhanh – nhóm này có năng lượng trên vùng nhiệt – và một nhóm cho neutron nhiệt.

Trong phép tính hai nhóm ta thường giả thuyết rằng không có sự hấp thụ neutron trong nhóm nhanh; hấp thụ cộng hưởng được kể đến bởi xác suất thoát cộng hưởng. Khi đó sự mất mát neutron trong nhóm nhanh là do chúng tán xạ vào trong nhóm nhiệt. Thực vậy, có neutron bị tán xạ mỗi cm3/s ra ngoài nhóm nhanh. Cũng như trong lò phản ứng nhiệt, ta giả sử rằng phần lớn các phân hạch là gây ra bởi neutron nhiệt; một ít phân hạch gây ra bởi neutron nhanh được giải thích nguyên nhân gây ra hệ số phân hạch nhanh. Thấy rằng neutron phân hạch được phát ra mỗi cm3/s, và các neutron này xuất hiện như là nguồn neutron trong nhóm nhanh. Cho nên mật độ nguồn neutron cho nhóm nhanh là

Thay vào phương trình khuếch tán ta được phương trình cho nhóm nhanh

96

(4.67)

Trong trường hợp không có hấp thụ cộng hưởng, tất cả neutron mỗi cm3/s tán xạ khỏi nhóm nhanh sẽ xuất hiện như là nguồn neutron trong phương trình thông lượng nhiệt. Tuy nhiên nếu có hấp thụ cộng hưởng thì chỉ có neutron mỗi cm3/s thực sự xuyên vào nhóm nhiệt. Như vậy dạng nguồn nhiệt là

Thay vào phương trình khuếch tán nhiệt ta có:

(4.68)

Phương trình (4.67) và (4.68) là phương trình hai nhóm mô tả cho một lò phản ứng nhiệt trần.

Thật sự khó khăn để thấy rằng, trong lò phản ứng trần, tất cả nhóm thông lượng neutron đều phụ thuộc không gian và được xác định bằng phương trình lò phản ứng một nhóm. Như vậy, đối với lò phản ứng nhiệt trần, hai nhóm thông lượng được viết lại như sau:

(4.69)

(4.70)

với A1 và A2 là hằng số và là thông lượng thỏa phương trình

(4.71)

Thay ba phương trình (4.69), (4.70) và (4.71) vào phương trình (4.67) và (4.68), ta có:

(4.72)

và

(4.73)

Phương trình (4.72) và (4.73) là hệ phương trình tuyến tính đồng nhất có hai ẩn A1 và A2

Theo qui tắc Cramer, phương trình (4.72) và (4.73) có nghiệm không tầm thường nếu như các hệ số nhân A1 và A2 triệt tiêu, nghĩa là nếu

=0

Hay

Sắp xếp lại:

Chia tử và mẫu cho , cuối cùng ta được:

97

(4.74)

Trong đó,

(4.75)

là diện tích khuếch tán nhiệt và T là được gọi là tuổi neutron được xác định bởi

(4.76)

Phương trình (4.74) là phương trình tới hạn hai nhóm đối với lò phản ứng nhiệt trần. Hệ số

(4.77)

là xác suất mà neutron nhiệt không rò rỉ ra khỏi lò phản ứng.

Tương tự, hệ số

(4.78)

là xác suất mà neutron phân hạch không thoát ra khỏi lò trong quá trình chậm dần.

Cho nên, bằng lý luận tương tự như mục 4.4 ta thấy rằng vế trái của (4.74) là hệ số nhân của lò phản ứng, nghĩa là

(4.79)

và phương trình tới hạn khi k = 1.

Vì tất cả lò phản ứng được thiết kế sao cho càng ít rò rỉ càng tốt cho nên cả P T và PF thường gần bằng 1; vì thế, đại lượng và là rất nhỏ. Khi mẫu số của phương trình (4.74) được nhân vào

thì đại lượng << 1 nên được bỏ qua, khi đó:

Hay

(4.80)

với (4.81)

được gọi là diện tích di trú nhiệt (thermal migration area).

Ta thấy phương trình (4.80) giống với phương trình tới hạn (4.57) trong phép tính toán một nhóm. Với lý do này mà phương trình (4.80) được gọi là phương trình tới hạn một nhóm sửa đổi- thay đổi L2 bằng . Cho nên từ phương trình (4.70) và (4.71) thông lượng nhiệt được cho trước bởi phương trình tương tự như trong tính toán một nhóm, đó là:

(4.82)

98

Như vậy, sự khác nhau giữa tính toán một nhóm thông thường và tính toán một nhóm sửa đổi của lò phản ứng nhiệt trần là giá trị được thay thế bằng , thông lượng và độ oằn giống như trước.

Chú ý rằng, nếu thì phương trình (4.80) trở thành phương trình tới hạn một nhóm

(4.57). Trong trường hợp này, lò phản ứng được mô tả tốt bởi lý thuyết một nhóm. Các giá trị và L2

được cho trong bảng 4.4 và 4.5 đối với một số chất làm chậm thường dùng.

Bảng 4.4 Các thông số khuếch tán neutron nhiệt đối với chất làm chậm thông thường ở nhiệt độ 200C

Chất làm chậm [cm] [cm-1] [cm2] [cm]

H2O

D2O

Be

Graphit

0.16

0.87

0.50

0.84

0.0197

9.3 x 10-4

1.04 x 10-3

2.4 x 10-4

8.1

9.4 x 103

480

3500

2.85

97

21

59

Bảng 4.5 Các hằng số nhóm nhanh cho vài chất làm chậm thông thường

Chất làm chậm [cm] [cm-1] [cm2]

H2O

D2O

Be

Graphit

1.13

1.29

0.562

1.016

0.0419

0.00985

0.00551

0.00276

27

131

102

368

4.5.3 Các ứng dụng

Các kết quả trước đây bây giờ có thể được áp dụng bài toán thực tế cho việc xác định thành phần tới hạn hay kích thước tới hạn của lò phản ứng nhiệt trần. Một cách đơn giản, việc thảo luận ở đây là với các lò phản ứng không có chứa chất hấp thụ cộng hưởng hoặc các hạt nhân bị phân hạch bởi neutron nhanh. Tóm lại, lò phản ứng chỉ gồm hỗn hợp đồng vị phân hạch U235 và chất làm chậm. Trong trường hợp này p = = 1, khi đó theo phương trình (4.66)

(4.83)

Đối với các lò phản ứng có hấp thụ cộng hưởng và phân hạch nhanh sẽ được trình bày ở phần sau.

Nhắc lại rằng, ở đây có hai trường hợp được xem xét: (1) kích thước vật lý của lò được biết trước và thành phần tới hạn phải được tính, (2) thành phần lò phản ứng được biết trước và kích thước vật lý của nó phải được tính.

Trường hợp 1: Biết trước kích thước

Với kích thước lò cho trước, B2 có thể tính được lập tức từ công thức trong bảng 4.2. Khi đó thành phần vật liệu phải được điều chỉnh sao cho k và thỏa mãn phương trình tới hạn (4.80).

Đặt (4.84)

99

Khi đó, từ phương trình (4.64), hệ số hữu dụng nhiệt có thể được viết lại như sau:

(4.85)

Thay vào (4.83), ta có:

(4.86)

Tiếp theo ta xét diện tích khuếch tán nhiệt . Từ phương trình (4.75),

với và liên quan tới hỗn hợp đồng nhất của nhiên liệu và chất làm chậm. Tuy nhiên, chủ yếu bằng với là hệ số khuếch tán của chất làm chậm, vì hàm lượng nhiên liệu trong chất làm chậm

thường rất nhỏ đối với lò phản ứng nhiệt đồng nhất. Như vậy trở thành:

Chia tử và mẫu cho và dùng Z từ (4.85) ta được:

(4.87)

Với là diện tích khuếch tán nhiệt của chất làm chậm. Giải (4.85) để tìm Z rồi thay vào (4.87), ta thu được kết quả :

(4.88)

Tuổi neutron T phụ thuộc vào tính chất tán xạ của môi trường. Trong lò phản ứng đồng nhất đang xem xét, có rất ít nguyên liệu phân hạch cần thiết để đạt trạng thái tới hạn, cho nên tiết diện tán xạ của các nguyên tử phân hạch không lớn hơn so với chất làm chậm. Vì vậy ta có thể bỏ qua sự hiện diện của các nhiên liệu khác và xem T như là tuổi của chất làm chậm, TM mà số liệu được cho trong bảng 4.5.

Thay (4.86) và (4.87) vào (4.80) ta có:

Khi giải phương trình theo Z, ta thu được kết quả:

(4.89)

Đây là giá trị của Z mà dẫn tới lò phản ứng đạt tới hạn với B2 biết trước.

Để tìm tổng khối lượng nhiên liệu cần thiết để đạt tới hạn bằng cách ta dùng giá trị Z vừa tính ở trên, khối lượng này ta gọi là khối lượng tới hạn. Phương pháp tính như sau: từ phương trình (4.84), mật độ nguyên tử của nhiên liệu là

(4.90)

100

Tổng số nguyên tử nhiên liệu trong lò phản ứng là NFV và tổng số mol của nhiên liệu là NFV/NA, với NA là hằng số Avogadro. Nếu MF là khối lượng nguyên tử của nhiên liệu thì khối lượng mF của nhiên liệu sẽ là

(4.91)

Mặt khác, tổng khối lượng của chất làm chậm là

vì thế phương trình (4.91) cũng có thể viết lại như sau:

(4.92)

Hay

(4.93)

trong đó, gaF(T) là hệ số Wescott của nhiên liệu phụ thuộc vào nhiệt độ T.

Ví dụ 4.5

Một lò phản ứng nhiệt hình cầu trần bán kính 100cm chứa hỗn hợp U235 và graphit. Lò phản ứng đạt tới hạn và hoạt động ở công suất 100kWt. Bằng cách dùng lý thuyết một nhóm sửa đổi, hãy tính: (a) độ oằn; (b) khối lượng tới hạn; (c) hệ số nhân k ; (d) diện tích khuếch tán nhiệt ; (e) thông lượng neutron nhiệt. Tất cả phép tính được thực hiện ở nhiệt độ phòng.

Giải

(a) Từ bảng (4.2), . Vậy B = 3.14 x 10-2 cm.

(b) Theo bảng 4.4, 4.5 và 4.3, . Khi đó từ (4.89),

Dùng các giá trị: aM(E0) = 0.0034b, aF(T) = 681b, gaT(T) = 0.978, từ phương trình (4.93) ta tính được:

Mật độ của graphit sắp xĩ bằng 1.60g/cm3, vì vậy tổng khối lượng graphit trong lò phản ứng là

Vậy khối lượng tới hạn của lò là: mF = 6.87 x 10-4 x 6700 = 4.60 kg

(c) Từ (4.85),

101

. Vậy,

(d) Từ phương trình (4.88),

(e) Thông lượng neutron nhiệt được tính bởi

Theo bảng 4.2, với , ở đây P = 100kWt = 105J/s, ER = 3.2 x 10-11J,

Trong đó, gfF(T) = 0.976, fF(E0) = 582b. Vậy, f = 1.41 x 10-3 cm-1.

Khi đó hằng số A là:

Và thông lượng neutron nhiệt tính được là

Thông lượng cực đại tại r = 0 và Tmax = 5.54x1013B = 1.74x1012 n.cm-2.s-1.

Trường hợp 2: Biết trước thành phần nhiên liệu

Khi thành phần vật liệu lò phản ứng đã biết trước thì cần phải tính kích thước tới hạn, muốn vậy các thông số k và phải biết. Khi đó giá trị B2 thu được từ (4.80),

(4.94)

Nếu hình học lò phản ứng được cho trước thì khi đó kích thước được xác định từ công thức B 2 trong bảng 4.2. Như vậy đối với lò phản ứng hình hộp có cạnh a và d nhỏ, ; đối với hình cầu, bán kính tới hạn là R = /B.

Tuy nhiên, đối với lò phản ứng hình trụ thì công thức B2 trong bảng chỉ cung cấp mối liên hệ giữa chiều cao H và bán kính R cho lò phản ứng tới hạn. Mỗi giá trị H và R khác nhau sẽ dẫn tới thể tích lò khác nhau, và như vậy khối lượng tới hạn cũng khác nhau. Người ta thấy rằng khối lượng nhỏ nhất khi H = 1.82R. Hình hộp chữ nhật có thể tích nhỏ nhất là hình lập phương.

Ví dụ 4.6

Một lò phản ứng nhiệt 5W được xây dựng dưới dạng hình trụ. Lò phản ứng có nhiên liệu gồm U235 và nước thường với hàm lượng nhiên liệu là 0.0145g/cm3. Do công suất thấp nên lò phản ứng hoạt động ở nhiệt độ phòng và áp suất khí quyển. (a) Tính kích thước hình trụ sao cho khối lượng tới hạn nhỏ nhất. (b) xác định khối lượng tới hạn.

Giải

(a) Tỉ số giữa số nguyên tử U235 và số phân tử H2O trong cùng thể tích là

102

với F và M là mật độ của U235 và H2O trong hỗn hợp.

Vậy,

Tiết diện hấp thụ trung bình của nhiên liệu và chất làm chậm là

và

Khi đó, từ (4.90), ta có:

Hệ số hữu dụng nhiệt là:

và

Theo bảng 4.2 giá trị của nước là 8.1 cm2, vì vậy:

Tuổi neutron từ bảng 4.5 là 27 cm2, vậy:

Khi đó, từ phương trình (4.80)

Từ bảng 4.2, . Tuy nhiên, đối với khối lượng tới hạn nhỏ nhất thì H = 1.82R. Nghĩa là:

Suy ra:

Như vậy, R = 55.9 cm và H = 101.7 cm.

(b) Thể tích của lò là R2H = (55.9)2x101.7 = 9.98x105 cm3. Do có 0.0145g/cm3 U235 nên khối lượng nhiên liệu là: mF = 9.98x105x0.0145 = 14.5kg.

4.6 Lò phản ứng có vành phản xạ

Để cải thiện sự thất thoát neutron do rò rỉ thì cần bao quanh lõi lò chất có khả năng phản xạ neutron, nghĩa là bởi một lớp vật liệu không phải là chất làm chậm. Những neutron rò rỉ ra khỏi lõi lò sẽ gặp chất phản xạ và một số neutron sẽ khuếch tán trở lại lõi lò. Kết quả là kích thước tới hạn và khối lượng nguyên liệu được giảm bớt.

103

Các tính toán tới hạn cho lò phản ứng phản xạ được xem xét trong khuông khổ lý thuyết khuếch tán một nhóm. Ta nhớ rằng phương pháp này có thể áp dụng để tính toán của lò phản ứng nhanh và nhiệt.

Như một ví dụ, ta xét một lò phản ứng hình cầu bao gồm lõi lò bán kính R được bao quanh bởi chất phản xạ vô hạn. Trong phép phân tích sau đây các thông số ứng với lõi lò và vành phản xạ được kí hiệu là ”c” và ”r”.

Theo lý thuyết một nhóm, thông lượng lõi c thỏa mãn phương trình

(4.95)

lò tới hạn thì

(4.96)

Do không có nhiên liệu trong chất phản xạ nên thông lượng trong vùng này thỏa mãn phương trình khuếch tán một nhóm

(4.97)

Để tìm thông lượng tại mọi điểm trong lò phản ứng và các điều kiện cho tới hạn, thì ta cần giải phương trình (4.95) và (4.97) đối với c và r.

Nghiệm tổng quát của (4.95) là

Do c phải hữu hạn tại một điểm, kể cả tại tâm lò (r = 0), nên ta đặt C = 0. Vậy,

(4.98)

Nghiệm tổng quát của (4.97) là

Với r phải hữu hạn khi r , nên phải lấy C’ = 0. Khi đó thông lượng trong chất phản xạ là

(4.99)

Hàm c và r cũng phải thỏa mãn điều kiện mặt biên, tức là thông lượng phải liên tục. Tương tự, mật độ dòng neutron tại bề mặt lõi-chất phản xạ, nghĩa là tại r = R, cũng phải liên tục. Tóm lại các điều kiện này là

(4.100)

và

hay (4.101)

Thay phương trình (4.98) và (4.99) vào (4.100), ta có:

104

(4.102)

Tiếp theo ta đạo hàm (4.98) và (4.99) rồi thay kết quả vào (4.101), ta có:

(4.103)

Phương trình (4.102) và (4.103) là hệ phương trình đồng nhất tuyến tính có hai ẩn A và A’; chúng có nghiệm chỉ khi định thức của các hệ số triệt tiêu. Chia (4.103) cho (4.102), ta được:

Đối với mục đích tính toán ta sắp xếp lại phương trình này dưới dạng:

(4.104)

Phương trình (4.104) phải được thỏa mãn lò phản ứng tới hạn. Ví dụ, nếu thành phần của lõi lò cho trước thì B2 tính được từ (4.96) và R có thể tính được từ (4.104). Tuy nhiên, nếu R được cho trước thì B2 phải được tính (4.104), và thành phần tới hạn của lõi lò có thể xác định được bằng phương trình (4.96).

Ta xem xét lời giải của phương trình (4.104) bằng đồ thị: giả sử rằng thành phần lõi lò và B được biết trước. Khi đó bán kính lõi lò tới hạn có thể tìm được bằng việc vẽ vế trái (LHS) và vế phải (RHS) của phương trình (4.104) riêng biệt theo hàm của BR. Như ta thấy trên hình 4.4, LHS có số nhánh vô hạn, mỗi nhánh cách nhau , trong khi đó RHS là đường thẳng có độ dóc –Dr/DcBLr và cắt trục tung tại –Dr/Dc. Mỗi giá trị của BR tương ứng với một điểm giao nhau của LHS và RHS là nghiệm của phương trình (4.104), và vì có vô số điểm giao nhau nên phương trình cũng có vô số nghiệm. Tuy nhiên, như đã giải thích trong chương này, chỉ có nghiệm thứ nhất là liên quan đến tới hạn của lò phản ứng, còn các nghiệm bậc cao hơn sẽ triệt tiêu theo thời gian. Với giá trị BR thu được từ điểm giao nhau thứ nhất và giá trị B biết trước thì bán kính tới hạn sẽ xác định được lập tức.

Trên hình 4.4 ta chú ý rằng, điểm giao nhau đầu tiên của LHS và RHS tại giá trị BR là nhỏ hơn . Nếu lò phản ứng trần thay vì phản xạ thì BR chính xác bằng . Cho nên bán kính tới hạn của lõi lò phản xạ nhỏ hơn bán kính tới hạn của lõi lò trần có cùng thành phần nhiên liệu – một kết luận mà ta đã tiên liệu được.

Trường hợp đặc biệt khi chất làm chậm và chất phản xạ giống nhau, D r = Dc, và phương trình (4.104) trở thành

(4.105)

105

Nghiệm

Hình 4.4 Đồ thị vẽ LHS và RHS của (4.104)

Phương trình (4.105) không phải là phương trình siêu việt theo R. Như vậy nếu biết trước B thì tính được R. Trường hợp này được minh chứng qua ví dụ 4.8.

Khi có được điều kiện cho tới hạn, bây giờ ta trở lại phương trình (4.102) và (4.103) và tìm các hằng số A và A’. Tuy nhiên các phương trình này không độc lập mà liên hệ với phương trình (4.104). Cho nên có thể tìm A theo A’ hoặc tìm A’ theo A mà ta không thể tìm A và A’ độc lập nhau. Ví dụ, từ phương trình (4.102), A’ là

(4.106)

với BR là nghiệm của (4.104). Hằng số A được xác định qua công suất lò phản ứng, đó là

(4.107)

Thay c từ (4.98) và dV = 4r2dr, ta được:

Khi đó, hằng số A là

(4.108)

Phương pháp trước đây – giải các phương trình cho lõi lò và chất phản xạ, thu được phương trình sao cho thỏa mãn tới hạn, và tính hằng số thông lượng theo công suất lò phản ứng - có thể thực hiện qua việc phân tích chỉ đối với một ít lò phản ứng, đó là lò hình trụ và hình hộp lấp đầy chất phản xạ. Trên thực tế các lò phản ứng này thường được tính từ phép tính của lò phản ứng hình cầu có cùng thành phần nhiên liệu và thể tích.

Lưu ý rằng phép phân tích của lò phản ứng phản xạ được thực hiện trong phần này không chú ý đến lò phản ứng là nhanh hay nhiệt. Cho nên nhiều công thức tìm được trước đây khả dụng cho cả hai hệ nhanh và nhiệt. Để dùng các công thức này trong tính toán lò phản ứng nhiệt thì ta cần thay thế mỗi thông số lò phản ứng bằng giá trị trung bình nhiệt của nó. Khi đó thông lượng một nhóm là thông lượng nhiệt, điều này ta sẽ thấy trong ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 4.7

Lõi lò phản ứng nhiệt hình cầu bán kính 300cm chứa hỗn hợp đồng nhất U235 và D2O. Lõi lò được bao quanh bằng chất phản xạ graphit vô hạn. Tính ở nhiệt độ phòng: (a) nồng độ của U 235 bằng g/lít; (b) khối lượng tới hạn.

Giải

106

(a) Để tìm nồng độ nhiên liệu ta phải tính giá trị B từ phương trình (4.104). Lấy các giá trị từ bảng 4.5, , R = 300 cm, và Lr = LTr = 59 cm.

Giải bằng đồ thị hoặc một phương pháp khác cho BR ta được BR = 2.64

Vậy, B = 8.80x10-3 cm-1

Tiếp, bằng cách đặt:

Mặt khác, và

Thay vào biểu thức và tà tìm được Z

Thay B = 8.80x10-3 cm-1, và T = 2.0065 ta có:

Từ định nghĩa Z và công thức thường dùng để tính mật độ nguyên tử ta dễ dàng thấy rằng tỉ số mật độ giữa nhiên liệu và chất làm chậm được cho bởi:

với MM là khối lượng nguyên tử của D2 và tiết diện hấp thụ được lấy tại E0 = 0.025 eV. Bằng cách dùng MF = 235,

b, MM = 20, gaF(200C) = 0.978, aF (E0) = 681 b. Ta được:

Mật độ của D2O là 1.1 g/cm3, vì vậy:

Hay

(b) Khối lượng tới hạn là

Ví dụ 4.8

Lò phản ứng nhiệt hình cầu lớn được làm chậm và phản xạ bằng graphit vô hạn, nhiên liệu là U235 có hàm lượng 2.10-4g/cm3. (a) Tính bán kính tới hạn của lõi lò, (b) Tính bán kính tới hạn nếu lò phản ứng là trần. Thực hiện phép tính ở nhiệt độ phòng.

107

Giải

(a) Vì chất làm chậm và chất phản xạ là giống nhau nên bán kính của lò phản ứng được tính bởi:

với LTr là chiều dài khuếch tán nhiệt của chất phản xạ, B được tìm từ:

Trước tiên ta tính Z:

Thay F = 2x10-4g/cm3, M = 1.6g/cm3, MF = 235, MM = 12, gaF(200C) = 0.978, aF(E0) = 681b, aM(E0) = 3.4x10-2b. Ta được:

Z = 1.25

Khi đó, ; k = 2.065x0.556 = 1.148;

cm2

và , vì vậy: B = 9.76x10-3cm-1.

Từ phương trình (4.135),

Suy ra: BR = 2.62

Cuối cùng ta tính được bán kính tới hạn: R = 268 cm

(b) Nếu lò phản ứng không phản xạ và d nhỏ thì bán kính R0 cho bởi:

hay R0 = /B = 322 cm.

4.6.1 Thông lượng trong lò phản ứng nhiệt có vành phản xạ

Mặt dù phương pháp một nhóm cung cấp các giá trị hợp lí đối với khối lượng tới hạn, nhưng phương pháp này không dự đoán chính xác thông lượng trong lò phản ứng, đặc biệt trong lò phản ứng nhiệt. Để làm được điều này thì cần đến các phép tính hai hoặc nhiều nhóm. Mặc dù các phép toán đối với lò phản ứng phản xạ không nằm trong phạm vị quyển sách này nhưng các kết quả được quan tâm và có tầm quan trọng liên quan đến thiết kế lò phản ứng nhiệt.

108

Để hiểu được ta xem xét một phép toán hai nhóm của hệ phản xạ. Thật vậy, thông lượng nhanh 1 mô tả tính chất của neutron nhanh; thông lượng nhiệt T mô tả tính chất của neutron nhiệt. Một trong những kết quả nổi bậc của phép tính là thông lượng nhiệt tăng lên tại gần biên giữa lõi lò và chất phản xạ và lộ rõ một đỉnh trong chất làm chậm như ta thấy trên hình 4.5. Đặc điểm của T, ta không tiên đoán được trong lý thuyết một nhóm, là do sự nhiệt hóa của chất phản xạ đối với neutron nhanh thoát ra khỏi lõi lò phản ứng. Neutron bị nhiệt hóa trong chất phản xạ không bị hấp thụ nhanh bằng neutron bị nhiệt hóa trong lõi lò vì chất phản xạ có tiết diện hấp thụ nhỏ hơn nhiều. Neutron nhiệt tồn tại trong chất phản xạ cho đến khi rò rĩ trở lại lõi lò, thoát ra khỏi bề mặt chất phản xạ, hoặc là bị hấp thụ.

Một hệ quả quan trọng trong việc tăng thông lượng nhiệt trong chất phản xạ là nó có khuynh hướng làm phẳng sự phân bố thông lượng nhiệt trong lõi lò. Hiệu ứng này có thể thấy trên hình 4.5, ở đây ta cũng thấy thông lượng đối với lò phản ứng trần. Thông lượng trong lõi lò gần biên lõi-chất phản xạ được tích lũy bằng dòng neutron nhiệt ra khỏi chất phản xạ. Như vậy, chất phản xạ không chỉ làm giảm kích thước và khối lượng tới hạn mà còn làm giảm tỉ số thông lượng cực đại/thông lượng trung bình.

4.6.2 Vành phản xạ tiết kiệm neutron

Việc giảm kích thước tới hạn của lõi lò phản ứng bằng cách dùng vành phản xạ được gọi là vành phản xạ tiết kiệm neutron. Như vậy, đối với lò phản ứng hình cầu, nếu R 0 là bán kính của lõi lò trần và R là bán kính của lõi lò khi có chất phản xạ, thì vành phản xạ tiết kiệm neutron được xác định như sau:

(4.139)

Chẳng hạn như với lò phản ứng trong ví dụ 4.8, bán kính lõi phản xạ là 268cm, ngược lại bán kính của lò phản ứng trần có cùng thành phần nhiên liệu là 322cm. Vành phản xạ tiết kiệm neutron trong trường hợp này là = 322 – 268 = 54cm.

Đối với lò phản ứng thanh, bề dày lõi không có phản xạ và có phản xạ là và a thì chất phản xạ tiết kiệm được xác định như sau:

(4.140)

Nếu chất phản xạ tiết kiệm được biết trước thì việc tính toán kích thước tới hạn của lò phản ứng phản xạ chỉ cần lời giải khá đơn giản của lò phản ứng trần. Như vậy, đối với hình cầu phản xạ, ta chỉ cần xác định bán kính trần tới hạn ; khi đó bán kính phản xạ đơn giản là . Dĩ nhiên, sự hiểu biết về đòi hỏi hoặc là bằng phép phân tích hoặc là bằng thực nghiệm từ bài toán lò phản ứng phản xạ. Trong

109

Thông lượng nhanh, 1

lõi Chất phản xạ

Thông lượng nhiệt, T

Thông lượng nhiệtlò phản ứng trần

Khoảng cách từ tâm lò

Thô

ng lư

ợng

neut

ron

Hình 4.5 Thông lượng neutron trong lò phản ứng nhiệt phản xạ

thực tế, tầm quan trọng của chất phản xạ tiết kiệm nằm ở chổ là tương đối không nhạy với việc thay đổi thành phần nhiên liệu của lò phản ứng. Điều này có nghĩa là nếu được xác định cho một lò phản ứng thì khi đó cùng giá trị này cũng có thể áp dụng cho lò phản ứng khác có cùng thành phần nhiên liệu.

Đối với cấu trúc lò phản ứng hai và ba chiều, chất phản xạ tiết kiệm phải được xem xét cho mỗi dạng đóng góp đến độ oằn. Xét trường hợp lò phản ứng dạng trụ hữu hạn có chất phản xạ ở bên trên, đáy và cạnh bên của hình trụ. Từ bảng 6.2, độ oằn đối với lò phản ứng trần được cho bởi

Đề cập đến khoảng cách ngoại suy d,

Với và

Trường hợp phản xạ đầy đủ, phải đề cập đến chất phản xạ tiết kiệm và trở thành

và

Nếu hình trụ chỉ phản xạ ở đáy mà không phản xạ ở đỉnh thì khi đó

Đối với mục đích thực hiện các tính toán kích thước phản xạ và khối lượng tới hạn của lò phản ứng nhiệt, ngoại trừ chất phản xạ hoặc làm chậm là nước, thì có thể dùng công thức đơn giản sau đây để tính

(4.141)

Phương trình (4.141) chỉ khả dụng đối với chất phản xạ có bề dày cở vài lần chiều dài khuếch tán. Trong trường hợp này chất phản xạ được xem là vô hạn, nghĩa là việc tăng bề dày chất phản xạ không làm giảm kích thước tới hạn của lõi lò. Trên thực tế, hầu như tất cả lò phản ứng có chất phản xạ dày hơn nhiều chiều dài khuếch tán, và như vậy xem như là vô hạn.

Như đã trình bày, phương pháp một nhóm được ứng dụng trong mục này để xử lí cho lò phản xạ, không thể chính xác cho lò phản ứng có chất làm chậm và phản xạ bằng nước bởi vì T lớn hơn nhiều . Tuy nhiên, để vận dụng lò phản ứng loại này thì ta có thể dùng công thức bán thực nghiệm sau đây để tính chất phản xạ tiết kiệm

(4.142)

với tính bằng cm, là diện tích di trú tính bằng cm2.

Ví dụ 4.9

Tính bán kính lõi lò tới hạn và khối lượng tới hạn của lò phản ứng hình cầu, chất làm chậm và phản xạ đều là nước H2O. Nhiên liệu của lõi lò là U235 có hàm lượng 0.0145g/cm3.

Giải

Từ ví dụ 4.6, = 30.8cm2, vì vậy:

110

Cũng từ ví dụ này, B2 = 2.80x10-3cm-1, vậy: B = 0.0529. Bán kính trần cho bởi:

và bán kính phản xạ:

khối lượng tới hạn:

4.7 Tính toán nhiều nhóm

Phương pháp một nhóm chỉ đưa ra cá phép tính đơn giản nhất về tính chất lò phản ứng tới hạn. Để thu được kết quả chính xác hơn, ta cần phải thực hiện các phép tính nhiều nhóm cho các loại lò phản ứng mà ta biết trước đây. Để thiết lập phương trình nhiều nhóm cho lò phản ứng tới hạn, ba hằng số nhóm mới phải được xác định trước tiên:

fg = tiết diện phân hạch vĩ mô trung bình nhóm

g = trung bình số neutron phân hạch được giải phóng ra thuộc nhóm thứ g

g = thành phần neutron phân hạch được phát ra có năng lượng thuộc nhóm g

Số neutron phân hạch mỗi cm3/s trong nhóm thứ h bây giời có thể viết là fhh. Kết quả của nhóm phân hạch này sẽ có hfhh neutron được giải phóng. Khi đó tổng số neutron được giải phóng trong tất cả các nhóm là . Nếu có g neutron này xuất hiện trong nhóm thứ g thì dạng nguồn sg cho phương trình nhiều nhóm thứ g là

(4.143)

Thay vào phương trình khuếch tán, ta có:

(4.144)

Đây là phương trình nhóm thứ g trong một hệ N phương trình nhiều nhóm.

Đối với lò phản ứng mà có vài vùng có các tính chất vật liệu khác nhau sẽ có một hệ phương trình giống như phương trình (4.144) cho mỗi vùng. Trong trường hợp này, ta cần giải phương trình cho mỗi vùng và thỏa mãn các điều kiện biên tại bề mặt mỗi vùng cũng như tại bề mặt lò phản ứng. Phương pháp này chỉ có thể thực hiện được trong thực tế bằng máy tính tốc độ cao, và nhiều chương trình máy tính đã được viết để giải phương trình nhiều nhóm (ví dụ như DIF3D).

Đối với lò phản ứng vô hạn, thông lượng không phụ thuộc vào vị trí, g = hằng số, , và phương trình một nhóm rút gọn thành một hệ phương trình tuyến tính có các ẩn số là 1, 2,...,N. Do đây là các phương trình đồng nhất, theo nguyên lí Cramer, nên ở đây không có nghiệm nào khác với 1= 2,..., = N = 0 trừ khi các hệ số trước thông lượng bằng không. Bằng việc thay đổi hàm lượng nhiên liệu trong lò phản ứng, các giá trị của hệ số này cũng thay đổi. Hàm lượng nhiên liệu ứng với các hệ số này bằng không là hàm lượng cần thiết cho hệ đạt tới hạn. Độ lớn tương đối của thông lượng 1, 2,.. có thể tìm thấy bằng cách giải phương trình tuyến tính nhiều nhóm dùng các giá trị hệ số tính được tại thành phần tới hạn. Tuyên nhiên giá trị tuyệt đối của thông lượng không tính được bởi vì nó phụ thuộc vào mức công suất lò. Mặc dù vậy, các giá trị tương đối của thông lượng đủ để tính sự phụ thuộc thông lượng vào năng lượng neutron hoặc phổ neutron trong lò phản ứng.

111

Các phép tính phổ neutron trong lò phản ứng được dùng để thiết kế lò phản ứng theo cách như sau: do tính phức tạp của phương trình nhiều nhóm đối với lò hữu hạn nhiều vùng, mà nó quá tốn kém thời gian tính toán một số lớn các nhóm trong phép tính nhiều nhóm, đặc biệt trong giai đoạn đầu của thiết kế lò phản ứng khi các phép tính này phải thực hiện lặp đi lặp lại với việc thay đổi các thông số thiết kế. Cho nên ta phải thực tế hơn để thực hiện các phép tính thiết kế ban đầu cho lò phản ứng hữu hạn chỉ dùng một vài nhóm, nhưng với các phép tính nhiều nhóm phải được thực hiện với một số lớn các nhóm cho lò phản ứng vô hạn.

4.8 Lò phản ứng không đồng nhất

Đến thời điềm này ta đã giả sử lõi lò phản ứng chỉ gồm hỗn hợp đồng nhất nhiên liệu phân hạch, chất làm mát, và nếu là lò phản ứng nhiệt thì có thêm chất làm chậm. Lò phản ứng không đồng nhất được chia thành hai nhóm: nếu quãng đường tự do trung bình của neutron lớn hơn bề dày thanh nhiên liệu thì khi đó một neutron sẽ có nhiều cơ hội va chạm tiếp với thanh nhiên liệu khác. Trong trường hợp này lõi lò phản ứng là đồng nhất cho đến tận khi neutron còn dính líu và lò phản ứng này được gọi là giả đồng nhất (quasi-homogenous). Tuy nhiên nếu quãng đường tự do trung bình của neutron tại vài mức năng lượng là bằng hoặc nhỏ hơn bề dày thanh nhiên liệu thì khi đó neutron có thể chịu vài va chạm bên trong thanh nhiên liệu, nhiên liệu và chất làm chậm phải được xử lí thành những vùng tách biệt, và lò phản ứng này được gọi là không đồng nhất. Lò phản ứng có thanh nhiên liệu dưới dạng tấm mỏng thường là loại giả đồng nhất, đặc biết nếu nhiên liệu được làm giàu cao và hiện diện trong thanh với hàm lượng thấp. Tuy nhiên, hầu hết lò phản ứng hiện đại có nhiên liệu uranium với độ làm giàu thấp (vài phần trăm), thanh nhiên liệu không mỏng, và các lò phản ứng này đều là không đồng nhất.

Từ quan điểm về neutron, một lò phản ứng giả đồng nhất trên thực tế là đồng nhất. Như vậy các công thức được phát triển trước đây cho hệ đồng nhất cũng có thể dùng cho lò phản ứng giả đồng nhất.

Ví dụ 4.10

Tấm nhiên liệu của lò phản ứng nhiệt lưu động kẹp vào giữa tấm mỏng như hình 4.6. Phủ bên ngoài là zirconium (Zr) và lõi là hỗn hợp U235 và Zr, chứa 150 nguyên tử Zr ứng với mỗi nguyên tử uranium. Cả hai lớp phủ bên ngoài và lõi dày 0.05cm. Tấm nhiên liệu được nhúng vào chất làm chậm bằng nước thường sao cho thể tích của tấm và nước bằng nhau. Tại nhiệt độ phòng: (a) Tính quãng đường tự do trung bình của neutron nhiệt trong lớp phủ bên ngoài và trong lõi, (b) tính giá trị k của hệ.

Giải

(a) Ta biết trước mật độ nguyên tử của Zr là NZr = 0.0429x1024 cm-3 và tiết diện toàn phần đối với neutron nhiệt là 6.6b. Cho nên quãng đường tự do trung bình trong lớp phủ bên ngoài là

Để tìm quãng đường tự do trung bình trong phần lõi ta cần tính t cho hỗn hợp U235-zirconium. Do uranium hiện diện như là một tạp chất nên nồng độ nguyên tử của Zr trong phần lõi giống như trong phần lớp phủ ngoài, nghĩa là NZ = 0.0429x1024cm-3. Khi đó nồng độ nguyên tử của U235 là N25 = 0.0429x1024/150 = 2.86x1020 cm-3. Đối với U235,

Như vậy, đối với phần lõi

112

Lớp phủ ngoài, 0.05cm

Phần lõi, 0.05cm

Hình 4.6

Khi đó quãng đường tự do trung bình là

Quãng đường tự do trung bình trong phần lớp phủ ngoài gấp 3.5/0.05 =70 lần bề dày của lớp ngoài, ngược lại nó gấp 2.1/0.05 = 42 lần bề dày của lõi. Rõ ràng lõi lò phản ứng là giả đồng nhất.

(b) Như thường lệ, , với T = 2.056 đối với U235 tại nhiệt độ phòng. Để tính f, ta phải biết mật độ nguyên tử của nước, Zr, U235 trong hỗn hợp đồng nhất. Do nước và Zr đều chiếm ½ thể tích nên mật độ nguyên tử của chúng chỉ bằng ½ giá trị thông thường

Nw = 0.5 x 0.0334 x 1024 = 0.0167 x 1024

với 0.0334 x 1024 là mật độ phân tử của 1 đơn vị mật độ nước, và

NZ = 0.5 x 0.0429 x 1024 = 0.0215 x 1024

Uranium có mặt trong một thể tích bằng 1/3 của lõi hoặc bằng 1/6 thể tích toàn phần và mật độ của nó là 2.86x1020 cm-3, vì vậy:

N25 = 2.86 x 1020 /6 = 4.77 x 1019

Tại 0.025 eV, tiết diện hấp thụ vi mô của U235, Zr và H2O là 681b, 0.185b và 0.664b. Tại 200C giá trị ga của U235 là 0.978

Khi đó, giá trị của f là

Như vậy,

Các phép tính cho lò phản ứng nhiệt không đồng nhất là khó khăn hơn phép tính cho lò đồng nhất. Ta vẫn được phép viết và dùng các phương trình tính tới hạn đã tìm được trước đây như các hệ số trong công thức này phải tính cẩn thận.

4.8.1 Giá trị T

Hầu hết lò phản ứng không đồng nhất được dùng nhiên liệu uranium tự nhiên hoặc làm giàu một phần dưới dạng kim loại hoặc oxit. Khi đó nhiên liệu bao gồm hỗn hợp U 235, U238 và Oxy. Trong trường hợp này, T có thể tính từ công thức

(4.145)

do tiết diện hấp thụ của oxy xem như bằng không.

Ví dụ 4.11

Tính giá trị T của uranium tự nhiên tại nhiệt độ phòng

Giải

Ta có thể viết phương trình (4.145) dưới dạng:

113

Tỉ số N28/N25 = 138 đối với uranium tự nhiên. Khi đó dùng các giá trị 25 = 2.42, f25 = 582b, gf25(200C) = 0.976, a25 = 681b, ga25(200C) = 0.978, a28 = 2.70b, ga28(200C) = 1.0017, ta tính được:

4.8.2 Hệ số hữu dụng nhiệt

Hệ số hữu dụng nhiệt được định nghĩa như là xác suất mà một neutron nhiệt bị hấp thụ trong lõi lò phản ứng, thực tế là bị hấp thụ trong nhiên liệu. Đó chính là tỉ số giữa số neutron bị hấp thụ trong nhiên liệu mỗi giây với số neutron bị hấp thụ trong cả nhiên liệu và chất làm chậm.

Số neutron bị hấp thụ trong nhiên liệu được cho bởi . Số neutron này cũng có thể

viết dưới dạng: , với là thông lượng nhiệt trung bình trong nhiên liệu. Số neutron bị hấp thụ mỗi giây trong chất làm chậm cũng được viết tương tự, vì thế hệ số hữu dụng nhiệt là

(4.146)

Chia tử và mẫu của (4.146) cho , ta có:

(4.147)

với được gọi là hệ số bất lợi nhiệt.

Giá trị của và không thể tính chính xác được ngoại trừ dùng phương pháp số. Tuy nhiên, cách định tính thông lượng trong nhiên liệu và chất làm chậm được minh họa trên hình 4.7. Ta thấy rằng, thông lượng trong nhiên liệu nhỏ hơn trong chất làm chậm bởi vì tiết diện hấp thụ neutron của nhiên liệu lớn hơn nhiều so với chất làm chậm. Vì vậy, < dẫn đến > 1. Sự kiện này có hệ quả quan trọng mà ta sẽ xem xét trong phần tiếp theo.

Mặt dù f không thể tính được bằng phương pháp phân tích như ta có thể tìm công thức gần đúng

114

Chất làm chậm Chất làm chậmNhiên liệu

Thông lượng

Hình 4.7 Thông lượng bên trong và gần thanh nhiên liệu

Bước

Thanh nhiên liệu

Ô tương đương

Hình 4.8 Mạng vuông của các thanh nhiên liệu cho thấy một ô tương đương

cho thông số này. Trong các phép tính gần đúng đó, một mạng vô hạn các thanh nhiên liệu được chia thành những ô đơn vị như ta thấy trên hình 4.8. Các phép tính tốc độ, tại thời điểm mà neutron bị hấp thụ trong thanh nhiên liệu và chất làm chậm, được thực hiện trong ô hình trụ tương đương, nghĩa là ô mà có thể tích bằng thể tích của ô không phải là hình trụ. Phương pháp này được gọi là phương pháp Wigner-Seitz.

Kết quả của các phép tính này thường được biểu diễn theo dạng như sau:

(4.148)

trong đó, F và E là các hàm mạng. Trong phép tính đơn giản nhất cho các hàm này có dạng:

(4.149)

và

(4.150)

Trong các công thức này,

x = a/LF, y = a/LM, z = b/LM

với a là bán kính của thanh nhiên liệu, b là bán kính của ô tương đương; LF và LM là chiều dài khuếch tán nhiệt của nhiên liệu và chất làm chậm. Một bảng liệt kê các giá trị của LF cho trước trên bảng 4.6. Hàm In và Kn, với n = 0 và 1, được gọi là hàm Bessel cải tiến. Thông thường các hàm Bessel này được lập thành bảng ta chỉ sử dụng, không cần phải chứng minh.

Bảng 4.6 Chiều dài khuếch tán nhiệt của nhiên liệu

Nhiên liệu LF, cm

Uranium tự nhiên

U3O8

1.55

3.7

Phương trình (4.149) và (4.150) là chính xác đối với lò phản ứng có a << b, nghĩa là các lò phản ứng mà thể tích của chất làm chậm lớn hơn nhiều so với thể tích của nhiên liệu (thường là lò phản ứng làm lạnh bằng chất khí). Tuy nhiên, các phương trình này chỉ áp dụng cho tính toán thô sơ của hệ số f với các lò phản ứng có các mạng bó chặt hơn. Hầu hết các lò phản ứng hiện đại thuộc loại này và dĩ nhiên phải dùng các công thức phức tạp hơn.

Khi x, y, z nhỏ hơn 0.75 thì các khai triển chuỗi sau đây có thể sử dụng với độ chính xác tốt để tính F và E đối với thanh hình trụ:

(4.151)

` (4.152)

115

Ví dụ 4.12

Lõi của một lò phản ứng thực nghiệm gồm một mạng vuông các thanh nhiên liệu ấn vào graphit. Thanh có bán kính 1.02 cm và các thanh cách nhau 25.4 cm. Tính giá trị f của lò phản ứng này.

Giải

Trước tiên ta tính bán kính b của ô hình trụ có cùng thể tích với ô đơn vị. Cả hai ô cho thấy ở hình 4.9, các ô này có độ dài bằng nhau, vì thể tích bằng nhau nên ta có:

. Vậy b = 14.3cm

Đối với uranium tự nhiên, LT = 1.55cm; với graphit: LT = 59cm. Như vậy,

x = 1.02/1.55 = 0.658

y = 1.02/59 = 0.0173

z = 14.3/59 = 0.242

thay các giá trị x, y, z vào phương trình (4.151) và (4.152), ta tính được F = 1.0532 và E = 1.0557

Từ dữ liệu biết trước, tại năng lượng 0.0253 eV, aM = 0.0002728 cm-1, aF = 0.2668 cm-1, VM/VF = (b2 – a2)/a2 = 195.6. Khi đó thay vào (4.148), ta có:

Vậy, f = 0.8272

4.8.3 Xác suất thoát cộng hưởng

Nhớ lại rằng, xác suất thoát cộng hưởng (p) là xác suất mà một neutron phân hạch sẽ không bị bắt bởi các cộng hưởng khi nó đang chậm dần đến vùng năng lượng nhiệt. Các phương pháp số đã được phát triển cho việc tính p từ số liệu tiết diện hạt nhân nhưng các phép tính này không đề cập trong giáo trình này. Tuy nhiên, có nhiều phép đo xác suất p đã được thực hiện, và cho thấy rằng p có thể biểu diễn theo công thức sau:

(4.153)

Ở đây, NF là mật độ nguyên tử của nhiên liệu (theo đơn vị 1024), VF và VM là thể tích của nhiên liệu và chất làm chậm, là độ tăng trung bình Lethargy cho mỗi va chạm trong chất làm chậm, sM là tiết diện tán xạ vĩ mô của chất làm chậm tại năng lượng cộng hưởng, và I là tiết diện tích phân cộng hưởng. Giá trị của I đối với thanh nhiên liệu hình trụ được biểu diễn tốt bằng công thức bán thực nghiệm như sau:

(4.154)

trong đó, A và C là những hằng số đã được đo và cho trong bảng 4.7, a là bán kính thanh nhiên liệu, và là mật độ của nhiên liệu. Để thuận tiện tính toán, các giá trị được cho trong bảng 4.8.

Bảng 4.7 Các hằng số để tính tiết diện tích phân cộng hưởng I

Nhiên liệu A C

116

Hình 4.9

U238(kim loại)

U238 O2

Th232(kim loại)

Th232O2

2.8

3.0

3.9

3.4

38.3

39.6

20.9

24.5

Bảng 4.8 Các giá trị của

Nhiên liệu

Nước thường (H2O)

Nước nặng (D2O)

Beryllium (Be)

Graphit (C)

1.46

0.178

0.155

0.0608

Chú ý rằng, theo phương trình (4.153), I có thứ nguyên là tiết diện. Các hằng số A và C trong bảng 4.7 khi thay vào (4.154) thì I có đơn vị là barn (b). Dĩ nhiên, a phải cho bằng cm và phải có đơn vị là g/cm3. Mặt dù các hằng số A và C trong bảng 4.7 chỉ cho trước đối với các chất hấp thụ cộng hưởng tinh khiết U238 và Th232 nhưng các hằng số này cũng áp dụng được cho uranium có độ giàu thấp hoặc thorium chứa một đại lượng nhỏ U233. Hàm lượng nhỏ của U235 hoặc U233 trong nhiên liệu không có ý nghĩa làm thay đổi mức độ hấp thụ cộng hưởng trong U238 hoặc Th232.

Ví dụ 4.13

Tính xác suất thoát cộng hưởng p đối với mạng như cho trước trong ví dụ 4.12

Giải

Bán kính thanh nhiên liệu là a = 1.02 cm và mật độ uraium là = 19.1 g/cm3. Từ (4.154) tích phân cộng hưởng:

Từ số liệu tham khảo, NF = 0.0483x1024 , từ bảng 4.8, =0.0608, từ ví dụ 4.12, VM/VF = 195.6. Thay các giá trị này vào (4.153), ta tính được

4.8.4 Hệ số phân hạch nhanh,

Hệ số phân nhạch nhanh, , là tỉ số giữa tổng số neutron phát ra từ cả hai phân hạch nhiệt và nhanh với số neutron phát ra chỉ do phân hạch nhiệt. Hệ số này đã được tính toán và được đo thực nghiệm cho một số lớn các lò phản ứng không đồng nhất. Kết quả thực nghiệm với thanh uraium độ giàu thấp, đường kính 1.50 cm trong nước được trình bày trên hình 4.10. Ta thấy rằng tăng khi tỉ số thể tích giữa uraium và nước tăng. Như vậy nếu càng có nhiều kim loại uranium hiện diện trong hệ thì xác suất mà neutron phân hạch đập vào hạt nhân uranium trước khi năng lượng của nó rơi vào phía dưới ngưỡng phân hạch nhanh sẽ càng lớn. Cũng trên hình 4.10 ta cũng thấy các giá tị tính toán của cho hỗn hợp đồng nhất uranium và nước. Ta cũng chú ý rằng không phải là hàm nhạy của bán kính thanh nhiên liệu.

117

4.8.5 Các giá trị k

Vấn đề quan tâm là ta so sánh các giá trị của các thông số trong công thức bốn hệ số đối với lò phản ứng không đồng nhất với các thông số đối với lò phản ứng đồng nhất có cùng thành phân nhiên liệu. Trước tiên ta xem xét hệ số hữu dụng nhiệt f: Đối với lò phản ứng không đồng nhất

Tuy nhiên, đối với hệ đồng nhất thông lượng neutron trong nhiên liệu và chất làm chạm là giống nhau, nghĩa là , vì vậy: . Cho nên:

(4.155)

Ta biết rằng đối với lò phản ứng không đồng nhất, so sánh (4.147) và (4.155) ta thấy

fhetero < fhomo (4.156)

Nguyên nhân mà hệ số f của hệ không đồng nhất nhỏ hơn hệ đồng nhất là vì trong hệ không đồng nhất thông lượng neutron trong nhiên liệu thấp hơn trong chất làm chậm. Sự giảm thông lượng này là do neutron xuyên qua nhiên liệu từ chất làm chậm bị hấp thụ gần bề mặt nhiên liệu, và chúng không tồn tại để đóng góp vào thông lượng bên trong nhiên liệu. Như vậy, phần bên ngoài của nhiên liệu làm che chắn phần bên trong, và trạng thái này ta gọi là hiệu ứng tự che chắn. Như vậy, mặt dù tự che chắn làm giảm sự hấp thụ neutron nhiệt trong nhiên liệu nhưng nó cũng làm giảm số neutron mà bị hấp thụ bởi chất hấp thụ cộng hưởng trong nhiên liệu. Cho nên ta thấy rằng xác suất thoát cộng hưởng đối với lò không đồng nhất là lớn hơn đối với hỗn hợp đồng nhất tương đương. Hơn thế nữa, do tiết diện hấp thụ trung bình của nhiên liệu tại năng lượng cộng hưởng lớn hơn nhiều so với tiết diện hấp thụ tại năng lượng nhiệt, sự giảm về thông lượng của neutron cộng hưỡng là lớn hơn neutron nhiệt. Hệ quả là độ giảm về hệ số f đối với hệ không đồng nhất là được bù trừ bởi việc tăng xác suất thoát cộng hưỡng p.

Hệ số phân hạch nhanh đối với lò không đồng nhất là lớn hơn đối với lò đồng nhất (xem hình 4.10). Điều này là do trong trường hợp lò không đồng nhất neutron phân hạch xuyên qua một vùng nhiên liệu tin khiết, chổ mà chúng có khả năng gây ra phân hạch nhanh trước khi chúng chạm trán với chất làm chậm. Ảnh hưởng của tính không đồng nhất không rõ rệt với mà chỉ với f và p.

Thật vậy, (f p)hetero > (f p)homo

và hetero > homo

ta thấy rằng k đối với hệ không đồng nhất thì lớn hơn đối với hệ đồng nhất tương đương. Kết quả này rất quan trọng trong việc thiết kế lò phản ứng. Trên thực tế, giá trị cực đại của k đối với hỗn hợp đồng nhất gồm hỗn hợp uranium tự nhiên và graphit chỉ là 0.85, và như vậy lò phản ứng không thể đạt tới hạn được. Bằng việc nhúng nhiên liệu vào mạng không đồng nhất, k có thể vừa đủ lớn hơn 1 mà một lò phản ứng tới hạn có thể xây dựng bằng việc dùng các nguyên liệu này.

BÀI TẬP

4.1 Tính hệ số hữu dụng nhiệt (f) và hệ số nhân vô hạn (k) đối với lò phản ứng nhanh bao gồm hỗn hợp Na lỏng và plutonium, trong đó plutonium có hàm lượng 3.0%. Mật độ hỗn hợp sắp sĩ bằng 1g/cm3.

4.2 Lỗi một lò phản ứng nhanh gồm có một mãng các thanh nhiên liệu uranium dìm vào trong Na lỏng. Uranium có độ làm giàu là 25.6% U235 và chiếm 37% thể tích của lõi lò. Trong lõi lò này, (a) Tính mật độ nguyên tử trung bình của Na, U235 và U238; (b) Tính hệ số hữu dụng nhiên liệu; (c) tính giá trị ; (d) Tính hệ số nhân vô hạn k

118

4.3 Một lò phản ứng trụ trần chiều cao 100 cm và đường kính 100 cm đang hoạt động tại công suất 20 MW. Nếu gốc được lấy tại tâm của lò, hãy tính mật độ công suất tại điểm r = 7cm, z = -22.7 cm?

4.4 Trong lò phản ứng hình cầu bán kính 45 cm, mật độ tốc độ phân hạch đo được là 2.5 x 1011 phân hạch/cm3/s tại điểm cách tâm lò 35 cm. (a) tính công suất của lò đang hoạt động? (b) tính mật độ tốc độ phân hạch tại tâm lò?

4.5 Dùng hàm thông lượng cho trước trong bảng 4.2 đối với lò hình trụ hữu hạn đạt tới hạn, hãy tính giá trị của hằng số A?

4.6 Lõi lò phản ứng phản xạ gồm hình trụ cao 10 ft và đường kính 10 ft. Tỉ số thông lượng cực đại/trung bình là 1.5. Khi lò hoạt động tại 825 MW. Tính mật độ công suất cực đại trong lò theo đơn vị Kw/lít.?

4.7 Giả sử lò phản ứng được mô tả trong ví dụ 4.3 hoạt độ tại công suất nhiệt 1 kW. Có bao nhiêu neutron thoát ra khỏi lò trong mỗi giây?

4.8 (a) Tính bán kính tới hạn của lò phản ứng hình cầu trần có cùng thành phần như lò phản ứng trong bài 4.1. (b) Nếu lò hoạt động tại cộng suất 500 MW, hãy tính giá trị cực đại của thông lượng? (c) Tính xác suất neutron phân hạch thoát khỏi lò phản ứng?

4.9 Một chất làm chậm dạng tấm rộng vô hạn, dày 2a có chứa tại tâm một lá mỏng U235 có bề dày t. Chứng minh rằng theo lý thuyết một nhóm điều kiện cho tới hạn của hệ này được viết dưới dạng

với D và L là các thông số khuếch tán của chất làm chậm và aF là tiết diện hấp thụ vĩ mô của U235.

4.10 Một lò phản ứng nghiên cứu gồm các thanh uranium tự nhiên dạng hình lập phương chứa trong chất làm chậm là graphit. Chiều dài mỗi cạnh của lò là 25 ft và lò hoạt động ở công suất 20 MW. Giá trị trung bình của f = 2.5 x 10-3 cm-1. (a) Tính độ oằn, (b) Tính thông lượng nhiệt cực đại? (c) Tính giá trị trung bình của thông lượng nhiệt? (d) Tính tốc độ tiêu thụ U235 trong lò phản ứng?

4.11 Một dung dịch đồng nhất gồm U235 và H2O chứa 10g U235 trong mỗi lít dung dịch. (a) Tính mật độ nguyên tử của U235 và mật độ phân tử của H2O, (b) Tính hệ số hữu dụng nhiệt; (c) Tính diện tích và chiều dài khuếch tán nhiệt; (d) Tính hệ số nhân vô hạn?

4.12 Tính chiều dài khuếch tán nhiệt của hỗn hợp gồm U235 và các chất làm chậm sau đây tại nồng độ nhiên liệu nhiệt độ cho trước: (a) graphit: N25/NC = 4.7 x 10-6, T = 200 0C; (b) Beryllium: N25/NBe = 1.3 x 10-5, T = 1000C; (c) D2O: N25/ND2O = 1.4x10-6, T= 200C ; (c) H2O: N25/NH2O = 9.2 x10-4, T = 200C.

4.13 Xét một lò phản ứng trần tới hạn có dạng tấm dày 200cm chứa hỗn hợp U235 và graphit. Thông lượng cực đại là 5 x 1012 n.cm-2.s-1. Dùng lý thuyết một nhóm sữa đổi hãy tính: (a) độ oằn của lò; (b) nồng độ nguyên tử tới hạn của uranium; (c) diện tích khuếch tán nhiệt; (d) giá trị k; (e) thông lượng và dòng neutron qua tấm; (f) công suất nhiệt sinh ra trên mỗi cm2 của tấm.

4.14 Tính nồng độ g/lít của U235, U233 và Pu239 cần thiết cho việc tới hạn của hỗn hợp đồng nhất vô hạn của các nhiên liệu này và chất làm chậm H2O, D2O, Be và graphit.

4.15 Một lò phản ứng trần hình cầu bán kính 50cm gồm hỗn hợp U235 và beryllium. Lò hoạt động tại công suất 50 kW. Dùng lý thuyết một nhóm sửa đổi, hãy tính: (a) khối lượng tới hạn của U235; (b) thông lượng nhiệt trong lò phản ứng; (c) neutron rò rỉ ra khỏi lò; (d) tốc độ tiêu thụ U235.

4.16 Thông lượng trong lò phản ứng hình trụ trần hữu hạn có bán kính r và chiều cao H được cho bởi

119

Tìm A nếu lò hoạt động ở công suất P (W).

4.17 Chứng minh rằng thông lượng trong lò phản ứng hình lập phương trần có cạnh a là

4.18 Nếu lò phản ứng trong bài 4.17 hoạt động ở công suất P (W), chứng mình rằng hằng số A là

4.19 Một lò phản ứng nhiệt trần có dạng hình lập phương chứa hỗn hợp U235 và graphit. Tỉ số mật độ nguyên tử là NF/NM = 1.0 x 10-5 và nhiệt độ nhiên liệu là 2500C. Dùng lý thuyết một nhóm sữa đổi hãy tính: (a) kích thước tới hạn; (b) khối lượng tới hạn; (c) thông lượng nhiệt cực đại khi lò hoạt động ở công suất 1 kW.

4.20 Lõi lò phản ứng trần hình cầu chứa hỗn hợp U235 và graphit với tỉ lệ nguyên tử NF/NM = 6.8x10-

6. Xung quanh lõi được bao bởi chất phản xạ graphit vô hạn. Lò hoạt động ở công suất 100 kW. Tính: (a) k; (b) bán kính tới hạn; (c) khối lượng tới hạn; (d) chất phản xạ tiết kiệm; (e) thông lượng neutron nhiệt; (e) tỉ số thông lượng cực đại/trung bình.

120

Chương 5

LÒ PHẢN ỨNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Chương trước ta đã tìm hiểu về lò phản ứng hạt nhân tới hạn hoạt động ở công suất không đổi. Ta phải làm gì khi lò luôn luôn không đạt tới hạn? Đối với lò phản ứng trên tới hạn nó làm công suất lò tăng lên, ngược lại lò phản ứng dưới tới hạn nó sẽ dập tắt hoặc giảm công suất lò. Nghiên cứu về số neutron trong lò phản ứng không tới hạn được gọi là động học lò phản ứng. Chủ đề này ta sẽ thảo luận trong mục 5.2.

Độ tới hạn của một lò phản ứng thường được điều chỉnh bằng việc dùng thanh điều khiển hoặc chêm hóa học. Thanh điều khiển là những mãnh hoặc những bó vật liệu hấp thụ neutron mà sự di chuyển của chúng ảnh hưởng lên hệ số nhân trong hệ thống. Như vậy, nếu thanh điều khiển rút ra khỏi lò phản ứng tới hạn thì lò có khuynh hướng trở nên trên tới hạn; nếu đưa thanh điều khiển vào thì hệ sẽ trở nên dưới tới hạn. Với việc chêm hóa học, điều khiển được thực hiện bằng việc thay đổi nồng độ chất hấp thụ neutron, thường là boric axit H3BO3, trong chất làm chậm bằng nước. Một số tính toán cơ bản về thanh điều khiển và chêm hóa học trong việc điều khiển lò phản ứng được trình bày trong mục 5.3.

Một trong những hệ số quan trọng nhất ảnh hưởng lên sự tới hạn là nhiệt độ lò phản ứng. Một số thông số tính giá trị k là phụ thuộc vào nhiệt độ và thay đổi nhiệt độ dẫn đến thay đổi k. Tình huống này liên quan đặc biệt đến câu hỏi về an toàn lò phản ứng và được trình bày trong mục 7.4.

Bên cạnh việc thay đổi công suất lò phản ứng dẫn đến thay đổi nhiệt độ, thì các thanh điều khiên hoặc chêm hóa học còn được dùng để bù trừ đối với việc cháy nhiên liệu trong lõi lò. Về việc này, ta chú ý rằng lò phản ứng có nhiên liệu ban đầu phải lớn hơn hàm lượng cực tiểu cho việc tới hạn – nếu điếu này không tính tới và nhiên liêu ban đầu chỉ vừa đủ để đạt tới hạn thì lò phản ứng sẽ rơi xuống trạng thái dưới tới hạn sau phân hạch đầu tiên. Các thanh điều khiển, boric axit, gadolinium và các chất hấp thụ khác được đưa vào lõi lò để bù trừ cho phần nhiên liệu thừa. Khi đó, khi phân hạch xãy ra nhiêu liệu bị hao hụt và phải rút chậm thanh nhiên liệu ra hoặc giảm nồng độ H3BO3 để duy trì lò phản ứng tới hạn.

Hai hạt nhân phân hạch và sản phẩm phân hạch được hình thành với mỗi sự kiện phân hạch, vì thế có sự tích lũy sản phẩm phân hạch khi nhiêu liệu bị tiêu tốn. Đặc biệt, các hạt nhân sản phẩm này (Xe135 và Sm149) có tiết diện hấp thụ rất lớn và sự hiện diện của chúng trong lò phản ứng sẽ ảnh hưởng lên hệ số k. Hầu hết các sản phẩm phân hạch khác có tiết diện hấp thụ rất nhỏ và có khuynh hướng làm giảm hệ số k một cách từ từ theo đời sống của lõi lò. Sự tích lũy các sản phẩm phân hạch độc hại được trình bày trong mục 7.5.

5.1 Phân loại các vấn đề phụ thuộc thời gian

Sự phụ thuộc thời gian của số neutron được chia thanh ba loại bao gồm vấn đề thời gian ngắn, trung bình và dài. Loại thời gian ngắn thường xãy ra trong khoảng thời gian từ vài giây đến vài phút. Trong thời gian này sự giảm nhiên liệu là nhỏ và có thể bỏ qua được.

Loại thời gian trung bình xãy ra trong khoảng thời gian từ vài giờ đến một hay hai ngày. Vì vậy, sự giảm nhiên liệu cũng được bỏ qua, nhưng sự thay đổi các đặc trưng của sản phẩm phân hạch phải đề cập đến.

Cuối cùng, loại thời gian dài xãy ra trong khoảng thời gian vài ngày đến vài tháng. Trường hợp này cần hiểu biết chi tiết độ hao hụt nhiên liệu và sự phân bố thông lượng và nhiên liệu trong lò phản ứng. Bài toán này rất quan trọng đối với việc tính toán quản lí nhiên liệu.

5.1.1 Thời gian dài hoặc vấn đề hao hụt nhiên liệu

121

Các bài toán loại này có liên quan tới sự thay đổi thông lượng neutron trong khoảng thời gian dài. Tuy nhiên chúng có thể được xử lí theo cách tương đối đơn giản bằng cách giả sử sự thay đổi thông lượng xãy ra chậm chạp theo theo thời và vì vậy lò phản ứng có thể xử lí được nếu như ta xem xét một dãy các trạng thái ổn định liên tục. Bài toán giải được bằng cách dùng phép gần đúng đoạn nhiệt nơi mà lò phản ứng trãi qua một số cấu hình ổn định. Các cấu hình này xác định được bằng cách giải quyết trường hợp không phụ thuộc thời gian của trạng thái ổn định.

Loại bài toán này giải được bằng cách giả thuyết rằng neutron sinh ra và mất đi là cân bằng nhau. Phương trình khuếch tán được viết như sau:

(5.1)

trong đó, là trị riêng của bài toán, và có thể điều chỉnh và biến đổi để đưa ra nghiệm của bài toán. Đối với lời giải độc lập thời gian, phải bằng 1. Nếu 1, thì khi đó có cái gì đó phải thay đổi, chẳng hạn như độ oằn thay đổi vì thế sự rò rỉ là thay đổi, hoặc tiết diện hấp thụ (hay phân hạch) thay đổi dẫn đến tốc độ phản ứng biến đổi.

Khi đó việc thiết kế bài toán để thu được trị riêng = 1 trong suốt thời gian sống của lò phản ứng. Vì vậy công suất lò không thay đổi và không phụ thuộc vào thời gian. Hệ số nhân của lõi lò sẽ bằng 1. Qúa trình trong thực tế có đưa ra một thông số mà bằng 1 khi bài toán không phụ thuộc thời gian. Thực hiện phép phân tích theo cách này, chúng ta đã giải bài toán tùy ý mà ứng với trường hợp k = 1. Các giá trị 1 là không thực tế do khi đó bài toán sẽ phụ thuộc thời gian. Tuy nhiên giá trị này giúp ta hiểu biết được lò phản ứng đang ở trạng thái nào. Việc quản lí nhiên liệu đều dựa vào phép gần đúng này.

5.1.2 Các bài toán về thời gian ngắn

Các bài toán này thường bắt gặp khi có một tác động nào đó làm gây ra các điều kiện xáo trộn trong hệ thống lò phản ứng. Ví dụ hơi nước đột ngột biến đổi do sự thay đổi cách vận hành tua-bin. Trong lò BWR, sự thay đổi này xem như là sự thay đổi về áp suất trong bình lò. Đối với lò PWR, sự thay đổi biểu lộ qua sự biến đổi nhiệt độ trong hệ thống lò. Các thay đổi này dẫn tới sự thay đổi tốc độ làm chậm neutron gây ra sự thay đổi hệ số nhân k.

Phương pháp thường dùng nhất để giải bài toán về thời gian ngắn là dựa vào giả thuyết rằng hình dạng thông lượng trong lò không thay đổi. Lò phản ứng được giả sử như là một chất điểm, vì vậy nghiên cứu lò phản ứng trong trường hợp này là nghiên cứu động học chất điểm. Phép gần đúng là cơ sở cho phép phân tích hệ thống lò phản ứng ngoại trừ chổ mà dạng thông lượng được biết thay đổi theo thời gian.

5.1.3 Các bài toán về thời gian trung bình

Bài toán này có ảnh hưởng lớn đến việc thay đổi nồng độ các sản phẩm phân hạch do phân rã bức xạ của chúng. Vì có một số sản phẩm phân hạch được tạo ra với hàm lượng lớn có tiết diện hấp thụ neutron nhiệt đủ lớn nên chúng trở nên là mối quan tâm cho sự hấp thụ neutron nhiệt của chúng. Do hàm lượng của chúng thay đổi theo thời gian nên sự biến đổi sẽ ảnh hưởng đến dạng hấp thụ trong hệ số nhân. Sự thay đổi tốc độ hấp thụ này phải được tính đến trong phép toán nếu lò phản ứng được cho là tới hạn.

5.2 Động học lò phản ứng

Ta biết rằng hầu hết neutron phát ra trong phân hạch xuất hiện hầu như ngay thời điểm phân hạch, các neutron này được gọi là neutron tức thời. Một phần nhỏ neutron phân hạch xuất hiện lâu hơn sau sự kiện phân hạch, neutron này gọi là neutron trễ. Tính chất của lò phản ứng phụ thuộc vào sự biến đổi tính chất của hai loại neutron này. Trước tiên ta xem xét neutron tức thời.

122

5.2.1 Thời gian sống của neutron tức thời

Neutron tức thời phát ra từ sự phân hạch và chúng được làm chậm dần qua việc tán xạ đàn hồi và không đàn hồi với hạt nhân trong hệ lò. Trong lò phản ứng nhanh, neutron tức thời không mất năng lượng nhiều lắm mà chỉ mất khoảng vài chục keV đến vài trăm keV trước khi chúng bị hấp thụ hoặc bị rò rĩ ra khỏi lõi lò phản ứng. Tuy nhiên, trong lò phản ứng nhiệt, hầu hết neutron tức thời đạt đến năng lượng nhiệt mà không bị hấp thụ hoặc thoát ra khỏi lõi lò phản ứng. Khi đạt đến năng lượng nhiệt, ta gọi là neutron nhiệt, các neutron nhiệt khuếch tán trong lò phản ứng dẫn đến có một số bị hấp thụ và một số rò rĩ ra khỏi lò phản ứng. Thời gian trung bình giữa thời điểm neutron tức thời được phát ra trong phân hạch đến thời điểm mà chúng bị hấp thụ trong lò được gọi là thời gian sống của neutron tức thời và được kí hiệu là lp .

Trước tiên tá xét giá trị lp trong lò phản ứng nhiệt vô hạn. Bằng lí thuyết và thực nghiệm người ta thấy rằng thời gian cần thiết đến neutron được làm chậm đến năng lượng nhiệt là nhỏ hơn so với thời gian mà neutron nhiệt tồn tại đến khi nó bị hấp thụ. Thời gian sống trung bình của neutron nhiệt trong lò phản ứng vô hạn được gọi là thời gian khuếch tán trung bình và được kí hiệu là td. Cho nên ta thấy rằng:

lp = td (5.2)

đối với lò phản ứng nhiệt vô hạn.

Việc tính td khá dễ dàng như sau: neutron nhiệt có năng lượng E vận chuyển (trung bình) trên quãng đường hấp thụ tự do trung bình a(E) trước khi bị hấp thụ. Cho nên thời gian sống của nó là

(5.3)

Với v(E) là vận tốc của neutron ứng với năng lượng E. Khi đó thời gian khuếch tán trung bình là giá trị trung bình của t(E), nghĩa là

(5.4)

Vì a(E) = 1/a(E), với a(E) là tiết diện hấp thụ vĩ mô tại năng lượng E, nên (5.3) được viết lại:

(5.5)

Nếu sự hấp thụ tuân theo luật 1/v thì a(E) = a(E0)v0(E)/v(E), với E0 = 0.0253 Ev và v0 = 2200m/s, và phương trình (5.5) viết lại là

(5.6)

Như vậy, t(E) là hằng số, độc lập với năng lượng E, và

(5.7)

Giá trị td đối với một số chất làm chậm cho trên bảng 5.1

Bảng 5.1 Thời gian khuếch tán của một số chất làm chậm

Chất làm chậm td (giây)

H2O 2.1 x 10-4

123

D2O*

Be

Graphit

4.3 x 10-2

3.9 x 10-3

0.017

* có 25% H2O

Nếu lò phản ứng gồm hỗn hợp nhiên liệu và chất làm chậm, thì khi đó và phương trình (5.7) trở thành

(5.8)

Hoặc

Hệ số thứ nhất trong phương trình này là thời gian khuếch tán trung bình của chất làm chậm, t dM; hệ số thứ hai của phương trình là 1 – f. Như vậy, đối với hỗn hợp

(5.9)

Ví dụ 5.1

Tính thời gian sống của neutron tức thời trong lò phản ứng nhiệt vô hạn tới hạn chứa hỗn hợp đồng nhất U235 và H2O tại nhiệt độ phòng.

Giải

Do lò phản ứng đạt tới hạn nên: k = T f = 1. Vì vậy f = 1/T. Từ bảng 4.3, T = 2.065 nên f = 0.484

Theo bảng 5.1, đối với H2O, td = 2.1 x 10-4s. Từ (5.2) và (5.8), ta có:

Những kết quả trên đây chỉ nói đến lò phản ứng nhiệt. Thời gian sống của neutron tức thời trong lò phản ứng nhanh ngắn hơn trong lò phản ứng nhiệt bởi vì neutron không có cơ hội nào để đạt đến năng lượng nhiệt. Trong lò phản ứng nhanh giá trị lp chỉ vào cỡ 10-7s.

5.2.2 Lò phản ứng không có neutron trễ

Đầu chương này ta đã biết neutron trễ có tầm quan trọng trong động học lò phản ứng. Đây là sự kiện đáng chú ý bởi vì có một ít neutron phân hạch là neutron trễ, nhỏ hơn 1% cho phân hạch nhiệt trong U235. Để hiểu được tầm quan trọng của neutron trễ trước tiên ta xem xét quá trình động học của một lò phản ứng mà không có neutron trễ, nghĩa là với giả thuyết rằng tất cả neutron phân hạch phát ra một cách tức thời. Lúc này, việc trình bày được giới hạn đến lò phản ứng nhiệt vô hạn.

Tiết theo chúng ta chú ý rằng việc hấp thụ một neutron phân hạch trong quá trình phân hạch sẽ sinh ra những neutron phân hạch trong thế hệ mới. Thời gian trung bình của một thế hệ, , được định nghĩa như là thời gian giữa thời điểm neutron được sinh ra và thời điểm neutron bị hấp thụ sinh ra sự phân hạch mới. Trong trường hợp k = 1 và lò không có neutron trễ thì lp . Từ khái niệm về k ta nói rằng việc hấp thụ một neutron từ thế hệ này dẫn đến việc hấp thụ k neutron (sau đó lp giây) trong thế hệ tiếp theo. Như vậy, nếu NF(t) là số neutron phân hạch (dĩ nhiên tỉ lệ với số neutron hấp thụ) xuất hiện cho mỗi cm3/s tại thời điểm t thì tốc độ phân hạch ở lp giây sau đó sẽ là

(5.10)

124

Vế trái của phương trình này có thể được khai triển như sau:

Thay kết quả này vào (5.10), ta có

(5.11)

Nghiệm của phương trình này là

(5.12)

trong đó, NF(0) là tốc độ phân hạch tại t = 0. Phương trình (5.12) cũng có thể viết lại

(5.13)

Với (5.14)

được gọi là chu kỳ lò phản ứng (không có mặt neutron trễ)

Ví dụ 5.2

Giả sử lò phản ứng như trong ví dụ 5.1 đạt tới hạn tại thời điểm t = 0, khi đó k tăng từ 1.000 đến 1.001. Tính sự đáp ứng của lò phản ứng trong sự thay đổi giá trị k này?

Giải

Từ ví dụ 5.1, lp 10-4s, vì thế từ (5.14)

Cho nên thông lượng (và công suất) sẽ tăng một lượng e10t.

Chu kỳ tính được trong ví dụ 5.2 là rất ngắn. Như vậy với chu kỳ 0.1s lò phản ứng sẽ trãi qua 10 chu kỳ trong 1s, và tốc độ phân hạch (hay công suất) sẽ tăng lên e10 = 22,000 lần. Nghĩa là ban đầu lò hoạt động ở công suất 1MW thì trong 1s lò sẽ đạt công suất 22,000 MW, dẫn đến lò sẽ nổ ngay lập tức.

Rất may, trong phép phân tích (đã bỏ qua sự hiện diện của neutron trễ) không mô tả cho động học của lò phản ứng trong thực tế. Điều này cho thấy tầm quan trọng của neutron trễ trong phép phân tích động học lò phản ứng.

5.2.3 Lò phản ứng có neutron trễ

Trong phép tính toán chính xác động học lò phản ứng ta cần xem xét chi tiết sự tạo thành và phân rã của mỗi sáu nhóm sản phẩm phân hạch neutron trễ. Phép phân tích bằng toán học là khá phức tạp. Để đơn giản ta giả sử tại thời điểm mà chỉ có một nhóm neutron trễ xuất hiện từ sự phân rã của một nhóm sản phẩm phân hạch.

Xét một lò phản ứng nhiệt đồng nhất vô hạn có thể tới hạn hoặc chưa tới hạn. Do thông lượng nhiệt độc lập với vị trí trong lò nên phương trình khuếch tán phụ thuộc thời gian đối với neutron nhiệt là

(5.15)

125

trong đó, sT là mật độ nguồn neutron đang chậm dần vào vùng năng lượng nhiệt, và n là mật độ neutron nhiệt. Ta biết trước,

và phương trình (5.15) trở thành

(5.16)

Chia phương trình này cho và sử dụng (5.7) ta có

(5.17)

Cuối cùng, do lp td nên phương trình (5.17) cũng có thể viết lại

(5.18)

Nếu tất cả các neutron phân hạch là tức thời thì khi đó theo khái niệm về k, mật độ nguồn sẽ là

Tuy nhiên, có một số neutron phân hạch là neutron trễ và vì vậy mà chỉ có một phần (1 - ) là neutron tức thời. Khi đó sự đóng góp đến sT do neutron tức thời là

sT (từ neutron tức thời)

Một neutron trễ chậm dần khá nhanh sau khi nó được phát ra từ mảnh phân hạch. Ta thấy rằng sự đóng góp đến mật độ nguồn nhiệt từ neutron trễ là bằng với tốc độ phân rã của mãnh phân hạch nhân với xác suất p mà neutron trễ thoát khỏi việc bắt cộng hưởng trong lúc đang chậm dần. Như vậy,

sT (từ neutron trễ) =

trong đó, p là xác suất thoát cộng hưởng, là hằng số phân rã của mãnh phân hạch và C là hàm lượng mãnh phân hạch (nguyên tử/cm3).

Như vậy tổng số neutron tức thời và neutron trễ đóng góp vào mật độ nguồn nhiệt là

(5.19)

Thay (5.19) vào (5.18) ta được phương trình thông lượng neutron như sau

(5.20)

Phương trình xác định hàm lượng mãnh phân hạch thu được từ luận cứ như sau: trong mục 4.5 chương 4, ta thấy rằng tốc độ neutron phân hạch, gồm tức thời và trễ là , khí đó tốc độ tạo ra neutron trễ là . Bây giờ vì mỗi neutron trễ xuất hiện là do có một mãnh phân hạch phân rã nên tốc độ tạo ra mãnh phân hạch cũng bằng . Dĩ nhiên, mãnh phân hạch phân rã tại tốc độ C, vì thế C được chi phối bởi phương trình

(5.21)

126

Phương trình (5.20) và (5.21) là một cặp phương trình vi phân mà phải được giải đồng thời để xác định C và T.

Bây giờ ta xét trường hợp bài toán riêng: giả sử rằng lò phản ứng đạt tới hạn ở thời điểm t = 0 và k = 1. Khi đó một bước thay đổi trong hệ số k sẽ làm cho lò phản ứng trên tới hạn hoặc dưới tới hạn. Chúng ta cần tìm T theo thời gian bắt đều từ thời điểm t = 0.

Bài toán này giải được bằng cách ta giả sử thông lượng có nghiệm dưới dạng

(5.22)

và (5.23)

trong đó A và C0 là hằng số và là một thông số cần được xác định. Thay các hàm này vào phương trình (5.21), ta được:

Khi C0 và phương trình (5.22) và (5.23) được thay vào (5.20), ta thấy rằng hằng số A triệt tiêu, phương trình còn lại.

Sắp xếp phương trình này theo dạng:

(5.24)

Vế trái (LHS) của (5.24) được biết là độ phản ứng (reactivity), trong trường hợp lò vô hạn, độ phản ứng kí hiệu là . Như vậy,

(5.25)

Đối với lò hữu hạn thì

(5.26)

Phương trình (5.24) được viết dưới dạng độ phản ứng:

(5.27)

Kết quả này được biết như là phương trình độ phản ứng cho một nhóm neutron trễ.

Trước khi xem xét ý nghĩa của phương trình độ phản ứng ta chú ý rằng nếu lò phản ứng trên tới hạn thì khi đó k > 1 và > 0. Trong trường hợp này ta nói lò phản ứng có độ phản ứng dương. Tuy nhiên, khi lò phản ứng dưới tới hạn thì k < 1 và < 0, nên ta nói lò phản ứng có độ phản ứng âm. Ta thấy rằng từ (5.26) giá trị độ phản ứng nằm trong khoảng - < < 1.

Ví dụ 5.3

Tính độ phản ứng tương ứng với sự thay đổi k từ 1.000 đến 1.001

Giải

127

Từ (5.26), ta có:

Vì tử số bằng độ thay đổi trong hệ số k nên là phần thay đổi trong k. Trong trường hợp này phải có đơn vị là %. Vậy: = 10-3 = 0.1%.

Độ phản ứng trong phương trình (5.27) cho biết mối liên hệ giữa độ phản ứng của lò phản ứng và các giá trị đối với các hàm số trong phương trình (5.22) và (5.23) là nghiệm của phương trình vi phân (5.20) và (5.21). Tóm lại, bài toán giải phương trình vi phân được đưa về bài toán tìm nghiệm của phương (5.27) đối với giá trị cho trước. Điều này dễ dàng thực hiện được bằng việc vẽ đồ thị vế phải (RHS) của phương trình theo như ta thấy trên hình 5.1. Trên hình vẽ bao gồm ba nhánh riêng biệt. Khi đó nghiệm của phương trình là các điểm giao nhau tại nơi mà các đường cong này cắt ngang qua đường nằm ngang tương ứng với giá trị cho trước. Ta cũng thấy rằng có hai nghiệm 1 và 2 cho cả hai < 0 và > 0. Như vậy thông lượng trở thành

(5.28)

với A1 và A2 là các hằng số.

Trên hình 5.1 thấy rằng, khi > 0 thì 1 > 0 và 2 < 0. Như vậy, khi thời gian tăng lên thì hàm thức hai trong (5.28) triệt tiêu và thông lượng tăng mạnh theo . Ngược lại, khi < 0 thì 1 < 0 và 2 < 0 nhưng 2 âm nhiều hơn 1. Như vậy hàm thứ hai trong (5.28) lần nữa lại triệt tiêu nhanh hơn hàm thứ nhất và lúc này thông lượng giảm theo hàm . Trong các trường hợp khác, âm hoặc

dương , thông lượng gần bằng , nghĩa là:

(5.29)

Nghịch đảo giá trị 1 được gọi là chu kỳ lò phản ứng hoặc đôi khi gọi là chu kỳ ổn định, và nó được kí hiệu là T, nghĩa là

(5.30)

Như vậy thông lượng được viết lại như sau:

(5.31)

Chúng ta biết rằng có tất cả sáu nhóm neutron trễ chứ không phải một nhóm, kết quả là phương trình độ phản ứng có dạng tương tự như (5.27) nhưng phức tạp hơn. Phương trình độ phản ứng tổng quát là

(5.32)

trong đó, i và i tương ứng với nhóm neutron trễ thứ i. Bằng việc vẽ vế phải của (5.31) ta dễ dàng thấy rằng có bảy nghiệm đối với hoặc > 0 hoặc < 0. Như vậy, một lần nữa thông lượng là tổng của các hàm mũ, nhưng lúc này có đến 7 hàm thay vì 2 như trước. Tuy nhiên, chỉ trong trường hợp đơn giản

128

>0

< 0

Hình 5.1 Đồ thị của phương trình độ phản ứng đối với một nhóm neutron trễ

như một nhóm phân rã, khi tăng thời gian, hơn một lần gần bằng , với 1 là nghiệm thứ nhất của phương trình, bất kỳ âm hay dưới. Chu kỳ lò phản ứng một lần nữa là nghịch đảo của 1.

Bây giờ ta trở lại với lò phản ứng nhanh, nhớ lại rằng thời gian sống của neutron tức thời trong lò phản ứng này là rất ngắn, cỡ 10-7s. Cho nên, ngoại trừ đối với độ phản ứng rất lớn dẫn đến giá trị lớn (chu kỳ lò phản ứng ngắn), đại lượng lp trong (5.32) có thể bỏ qua được. Khi đó phương trình độ phản ứng đối với lò phản ứng nhanh là

(5.33)

5.2.4 Trạng thái tới hạn tức thời

Như ta biết trong mục 4.1 ở chương 4, hệ số nhân tỉ lệ với tổng số neutron (tức thời và trễ) được phát ra trong mỗi phân hạch. Tuy nhiên, do chỉ có một phần (1 - ) của neutron phân hạch là tức thời, nên hệ số nhân về phần neutron tức thời thực sự là (1 - )k. Cho nên, khi

(1 - )k = 1 (5.34)

thì lò phản ứng đạt tới hạn chỉ có neutron tức thời, lò phản ứng được gọi là tới hạn tức thời. Trong thời hợp này chu kỳ lò phản ứng rất ngắn như ta thấy trong ví dụ 5.2.

Độ phản ứng tương ứng với điều kiện tới hạn tức thời có thể tìm được bằng cách thay k = 1/(1 - ) từ (5.34) vào (5.26). Dễ dàng thu được:

= (5.35)

Phương trình này được xem như điều kiện cho tới hạn tức thời. Như vậy, vì = 0.0065 đối với phân hạch neutron nhiệt trong U235, nên lò phản ứng nhiệt với nhiên liệu U235 trở nên tới hạn tức thời với việc thêm vào độ phản ứng 0.0065 hay 0.65%.

Vì lò phản ứng có chu kỳ ngắn khi chúng đạt tới hạn tức thời nên việc cộng thêm độ phản ứng chỉ đáp ứng cho trường hợp độ phản ứng nhỏ hơn . Có một số lò phản ứng nghiên cứu, chẳng hạn như lò TRIGA được sản xuất bởi hãng General Atomics, có những tính chất bên trong làm cho chúng dập tắt khá nhanh khi chúng đạt trạng thái trên tới hạn. Khi các lò phản ứng này đạt tới hạn tức thời một cách đột ngột thì chúng phóng ra một xung neutron. Ví dụ như lò phản ứng Breazeale ở Đại học Pennsylvania (Mỹ) có thể xung hóa đến một công suất lớn hơn vài ngàn lần giá trị cực đại công suất của lò ở trạng thái ổn định. Hình 5.2 cho thấy một xung công suất từ lò phản ứng này. Xung được phát ra bằng việc tống thanh điều khiển ra khỏi lò, khi ấy độ phản ứng tăng lên 2.72.

Hàm lượng độ phản ứng cần thiết để làm lò phản ứng đạt tới hạn tức thời, = , thường dùng định nghĩa một đơn vị độ phản ứng là dollar. Vì giá trị của thay đổi theo nhiên liệu nên dollar không phải là đơn vị tuyệt đối. Các giá trị của phần neutron trễ đối với các đồng vị phân hạch được cho trong bảng 5.2. Ví dụ, một dollar có giá trị 0.0065 độ phản ứng đối với lò phản ứng nhiên liệu U 235, nhưng nó chỉ có giá 0.0026 độ phản ứng đối với lò phản ứng nhiên liệu U233. Độ phản ứng tương đương với 1/100 dollar thì bằng 1 cent.

Bảng 5.2 Thành phần neutron trễ

Hạt nhân (phân hạch neutron nhiệt) (phân hạch neutron nhanh)

Th232

U233

U235

-

0.0026

0.0065

0.0203

0.0026

0.0064

129

U238

Pu239

-

0.0021

0.0148

0.0020

Ví dụ 5.4

Độ phản ứng của lò phản ứng trong ví dụ 5.2 là 0.001. Nếu lò phản ứng có nhiên liệu U 235 thì hãy tính độ phản ứng này thành dollar?

Giải

Giá trị của = 0.0065. Như vậy: dollar = 15.4 cent

5.2.5 Bước nhảy tức thời

Việc thay đổi đột ngột về hệ số nhân neutron, lò phản ứng tới hạn trước đó sẽ phơi bày ra tính chất được cho bởi phương trình (5.28)

trong mẫu phân rã một nhóm và bằng tổng của 7 hàm mũ trong trường hợp lí tưởng hơn của 6 nhóm trễ

Như đã giải thích trước đây, trừ hàm thứ nhất, tất cả giảm rất nhanh theo thời gian và khi đó thông lượng chỉ còn lại hàm thứ nhất, tăng hay giảm theo chu kỳ lò phản ứng T = 1/1. Các phép tính chính xác cho thấy rằng, trong trường hợp mẫu neutron trễ một nhóm, A2 là âm đối với >0 và A2

dương đối với < 0. Hiệu ứng giảm nhanh của hàm âm làm tăng đột ngột về thông lượng theo việc chèn thêm độ phản ứng dương như ta thấy trên hình 5.4. Tương tự như vậy, việc giảm nhanh hàm dương làm giảm đột ngột về thông lượng đối với độ phản ứng âm. Để xác định tính chất thời gian của lò phản ứng ta cần phải biết mức thông lượng tăng hay giảm lần đầu trước khi giả sử chu kỳ ổn định.

Việc tính toán chính xác độ đáp ứng thay đổi về độ phản ứng là khá phức tạp, đặc biệt khi tất cả bảy hàm thông lượng được xem xét. Tuy nhiên, một cách đơn giản phép tính gần đúng có thể thực hiện được bằng cách giả sử rằng hàm lượng các mãnh phân hạch neutron trễ không thay đổi trong thời điểm tăng hay giảm đột ngột thông lượng. Đây là cơ sở cho phép gần đúng bước nhảy tức thời.

130

Thời gian (ms)

Côn

g su

ất (

MW

)

Hình 5.3 Xung công suất của lò phản ứng BreazealeBước nhảy tức thời

Hàm thứ nhất trong (5.27)

Hàm thứ hai trong (5.27)

t

Hình 5.4 Bước nhảy tức thời

Trong thảo luận sau đây, chúng ta xem xét hai trường hợp: thứ nhất là khi k ban đầu bằng 1; thứ hai là khi k 1.

1. Trường hợp k = 1

Trong trường hợp thứ nhất, hàm lượng mãnh phân hạch được lấy là hằng số. Khi đó từ (5.21), dC/dt = 0, như vậy

(5.36)

trong đó thay k = 1 vì ban đầu lò đạt tới hạn, T0 là thông lượng trước khi thay đổi độ phản ứng. Thay (5.35) vào (5.20) ta có

với k là hệ số nhân sau khi thay đổi độ phản ứng. Với điều kiện T(0) = T0, phương trình này dễ dàng tìm được nghiệm

(5.37)

Lúc này, đối với (1 - )k < 1, nghĩa là độ phản ứng nhỏ hơn tới hạn tức thời, thì hai hàm mũ trong (5.37) triệt tiêu với một chu kỳ

Như vậy, từ phương trình (5.37) ta thấy rằng thông lượng T nhận các giá trị

(5.38)

Thay k = 1/(1- ) từ (5.25), phương trình (5.39) trở thành

(5.39)

Việc áp dụng phương trình (5.40), ta xét trường hợp thay đổi độ phản ứng dương, chẳng hạn như ta cần tăng công suất lò. Vì lý do an toàn, việc chèn thêm độ phản ứng thường là không quá lớn dẫn đến chu kỳ lò phản ứng rất ngắn. Bình thường, công suất lò tăng lên tại chu kỳ không nhỏ hơn 2 phút. Đối với lò phản ứng với nhiên liệu U235, giá trị của = 0.0006. Khi đưa giá trị này vào phương trình (5.39) thì ta thấy T T0. Điều này cho thấy rằng đối với việc chèn thêm độ phản ứng dương thì bước nhảy tức thời của thông lượng thường được bỏ qua, và thông lượng có thể tăng từ giá trị ban đầu của nó trên hàm số mũ ổn định với một chu kỳ không đổi.

Với độ phản ứng âm, vị trí khác nhau, bây giờ đối với các độ phản ứng rất lớn có thể được giới thiệu. Như vậy khi lò phản ứng vượt quá tới hạn thì phải đưa vài hoặc tất cả thanh nhiên liệu vào hệ thống. Ví dụ, giả sử có 20% độ phẩn ứng đưa đột ngột vào trong lò phản ứng có nhiên liệu là U 235. Khi đó thay = 0.0065 và = -0.2 vào phương trình (5.39) ta tính được:

T = 0.038 T0

Như vậy, thông lượng (hoặc công suất) lò phản ứng giảm nhanh đến khoảng 4% so với giá trị ban đầu trước khi lò phản ứng tiếp tục chu kỳ ổn định của nó.

131

Nhân đây, trong phép gần đúng một nhóm neutron trễ, quan sát trên hình 5.2 ta thấy rằng, khi càng âm, thì nghiệm thứ nhất của phương trình độ phản ứng gần bằng -. Khi vẽ đồ thị phương trình độ phản ứng cho sáu nhóm neutron trễ thì giá trị 1 gần bằng 1, hằng số phân rã của mãnh phân hạch sống dài nhất. Với mãnh phân hạch có thời gian sống trung bình cở 80 giây. Như vậy, với việc chèn thêm độ phản ứng âm lớn thì chu kỳ có giá trị

Ví dụ 5.5

Một lò phản ứng nhiên liệu U235 hoạt động ở công suất không đổi 500 MW thì bị tăng công suất bằng việc đưa đột ngột thanh điều khiển có giá 10% độ phản ứng. Tính mức công suất của lò sau đó 10 phút?

Giải

Công suất giảm đột ngột đến P1, với:

Nó tiếp tục giảm theo mối liên hệ

Với T = 80s. Sau 10 phút công suất là

MW

2. Trường hợp k 1

Trong trường hợp này ta giả sử rằng thời gian sống của neutron tức thời lp là rất nhỏ, vì vậy mà số neutron nhảy nhanh đến giá trị mới của nó, nhưng có sự thay đổi nhỏ về hàm lượng mảnh phân hạch. Bằng cách dùng phương trình (5.20),

(5.40)

và chia hai vế cho k, ta được:

(5.41)

Sắp xếp lại

(5.42)

và độ phản ứng được đo bằng $ (dollar) có dạng: (5.43)

khi đó phương trình (5.42) trở thành:

132

Giải phương trình này theo T ta dễ dàng thu được:

Nếu thời gian sống của neutron tức thời là nhỏ thì ta có thể chứng minh rằng hàm cuối cùng trong ngoặc vuông nhỏ hơn nhiều so với hàm mô tả mảnh phân hạch đối với ’ 0.5$, và như vậy ta bỏ qua hàm này, vì thế:

(5.44)

Phương trình (5.44) khả dụng cho cả hai trường hợp trước và sau khi thay đổi độ phản ứng. Kí hiệu độ phản ứng sau khi chèn thêm là +, khi đó phương trình (5.44) đối với thông lượng trở thành

(5.45)

Tương tự ta tính được thông lượng trước khi thay đổi độ phản ứng. Khi đó, tỉ số và là

(5.46)

Tỉ số công suất là

(5.47)

Phương trình này có dạng tổng quát hơn cho phép gần đúng bước nhảy tức thời và khả dụng đối với độ phản ứng nhỏ hơn 0.5$.

5.2.6 Độ phản ứng nhỏ

Bằng đồ thị người ta thấy rằng hàm (), nghĩa là phương trình độ phản ứng, đi qua gốc tọa độ. Điều đó có nghĩa là đối với độ phản ứng nhỏ thì nghiệm thứ nhất của phương trình cũng nhỏ. Trong trường hợp này hàm chứa trong mẫu số của phương trình (5.27) hoặc (5.32) có thể bỏ qua được với kết quả

(5.48)

trong đó, là thời gian sống trung bình của nhóm mảnh phân hạch thứ i. Lúc này chu kỳ lò phản ứng có thể viết lại như sau:

(5.49)

Các giá trị trong tồng ở vế phải phương trình (5.49) được cho trước trong bảng 5.3 đối với các hạt nhân có thể phân hạch. Mọi trường hợp, tổng này lớn hơn nhiều so với giá trị lp, và phương trình (5.49) còn lại:

(5.50)

133

Bảng 5.3 Các giá trị của

Hạt nhân, giây

U233

U235

Pu239

0.0479

0.0848

0.0324

5.3 Thanh điều khiển và chêm hóa học

Như đã giải thích trong phần giới thiệu của chương này, các thanh điều khiển được dùng theo hai cách: (a) để thay đổi độ tới hạn của lò phản ứng nhằm nâng hay hạ mức công suất lò; (b) để giữ cho lò phản ứng đạt trạng thái tới hạn bằng việc bù trừ cho các thay đổi về các tính chất của hệ thống lò.

Khi thanh điều khiển được dùng theo cách thứ nhất, hiệu ứng là đặt lò phản ứng vào một chu kỳ ổn định. Trong trường hợp này, giá trị thanh điều khiển được định nghĩa như là độ lớn của độ phản ứng cần thiết để cho chu kỳ quan sát được. Tuy nhiên, giá của một thanh điều khiển dùng để giữ cho lò phản ứng tới hạn được đo dưới dạng thay đổi hệ số nhân của hệ thống lò mà thanh nhiên liệu có thể bù trừ. Mặc dù sự khác nhau cơ bản về hai khái niệm này về giá của thanh điều khiển nhưng ta thấy rằng các khái niệm này về giá thanh điều khiển là giống nhau.

5.3.1 Thanh điều khiển trung tâm

Như một ví dụ, ta xét bài toán tính giá của một thanh điều khiển bán kính a được chèn dọc theo trục của một lò phản ứng nhiệt trần hình trụ có bán kính ngoại suy R và chiều cao H. Các tính toán có thể xem như đơn giản nếu như giả sử khi rút thanh điều khiển ra khỏi lò, thanh điều khiển để lại một lỗ trống được lấp đầy bằng vật liệu lõi lò, ngược lại, khi đưa thanh điều khiển vào, vật liệu lõi lò bị đẫy ra có dạng hình trụ.

Giả sử lò phản ứng vừa đạt tới hạn khi thanh điều khiển nằm bên ngoài lò phản ứng. Khi đó thông lượng neutron có dạng như hình 5.5, nó được xác định bởi phương trình:

(5.51)

trong đó, là độ oằn của lò phản ứng trần hình trụ. Khi đưa toàn bộ thanh điều khiển vào lò phản ứng thì thông lượng có dạng như hình 5.5 do sự hấp thụ neutron trong thanh điều khiển. Thông lượng có thể thu được từ phương trình

(5.52)

trong đó, B2 là độ oằn của hệ khi có mặt thanh điều khiển.

134

Thanh điều khiển

Thanh điều khiểnở trong

Thanh điều khiểnở ngoài

Hình 5.5 Thông lượng neutron của lò phản ứng trần khi có và không có thanh điều khiển

Từ lý thuyết nhóm sữa đổi, hệ số nhân của lò tới hạn ban đầu được cho bởi

(5.53)

trong khi đó hệ số nhân của lò khi đưa thanh điều khiển vào là

(5.54)

Theo phương trình (5.26), sự thay đổi hệ số nhân này là tương đương với độ phản ứng

(5.55)

Vì giá thanh điều khiển bằng với độ lớn của nên ta có:

(5.56)

Trong trường hợp ta có thể viết lại

(5.57)

với

Để tính , ta cần giải phương trình (5.51) và (5.52) và xác định và B2 là những trị riêng thấp

nhất trong mỗi trường hợp. Khi thanh điều khiển rút ra ngoài thì được tìm từ công thức:

Việc tính B2 là khó hơn nhiều do hai lý do: thứ nhất, hình học của bài toán phức tạp hơn khi có thanh điều khiển; thứ hai, thanh điều khiển có khuynh hướng làm méo mó thông lượng đến mức mà lý thuyết khuếch tán không khả dụng trong vùng lân cận của nó. Sự khó khăn thứ hai này có thể bị phá vỡ bằng việc đòi hỏi thông lượng thỏa mãn điều kiện biên sau đây tại bề mặt thanh điều khiển:

(5.55)

với d là khoảng cách ngoại suy. Giá trị của d tính được bằng cách dùng phương pháp lý thuyết cải tiến. Kết quả của tính toán này được biểu diễn theo phép gần đúng sau:

(5.56)

với là hệ số khuếch tán nhiệt và t là tiết diện vĩ mô toàn phần, cả hai thông số này tính cho vật liệu bao quanh thanh điều khiển. Phương trình (5.56) khả dụng cho các thanh điều khiển hấp thụ mạnh

135

(được gọi là thanh điều khiển đen). Các công thức khác của khoảng cách ngoại suy d cho các thanh điều khiển hấp thụ yếu hơn (được gọi là thanh điều khiển xám) được tìm thấy trong tài liệu tham khảo.

Giải phương trình (5.52) tùy thuộc vào điều kiện biên (5.55) cũng như các điều kiện tại bề mặt của lò phản ứng có vẽ dài dòng và không được đưa ra ở đây. Nói cụ thể, việc tính B2 đòi hỏi lời giải của phương trình siêu việt phức tạp. Tuy nhiên, trong trường hợp B2 không khác nhiều so với thì phương trình này có thể giải được cho B. Khi thay kết quả này vào phương trình (5.54) ta thu được:

(5.57)

Phương trình (5.57) đưa ra giá của một thanh điều khiển đen đặt tại tâm của một lò phản ứng nhiệt hình trụ trần khi được tính bằng lý thuyết một nhóm sữa đổi.

Ví dụ 5.7

Một lò phản ứng nhiệt trần nhỏ có dạng hình trụ vuông (tức là H = 2R) có chiều cao ngoại suy (tức là là 70cm. Lò phản ứng gồm hỗn hợp H2O và U235 ở nhiệt độ phòng. Tính giá của một thanh điều khiển đen bán kính 1.90cm chèn vào tâm lò phản ứng?

Giải

Trước tiên ta tính cho lò phản ứng tới hạn. Theo phương trình tới hạn một nhóm sữa đổi:

trong đó, và là diện tích khuếch tán và tuổi fermi đối với nước. Giải phương trình trên cho f, ta được:

(5.58)

Giá trị của là

Dùng giá trị này cùng với cm2, cm2 và , phương trình (5.58) tính được:

Với f vừa tính được, khi đó: cm2

Trong bài toán hiện tại, lò phản ứng gồm hỗn hợp dung dịch rất loãn U235 và H2O. Như vậy, cả và t trong phương trình (5.56) chỉ tính đối với H2O, cm và t = 3.443 cm-1. Thay các giá trị

này cùng với a = 1.90 cm vào (5.56), ta được:

cm

Như vậy giá của thanh nhiên liệu:

136

= 6.5%

5.3.2 Bó thanh điều khiển

Trong thực tế, hầu hết không có lò phản ứng nào mà chỉ dùng một thanh điều khiển như đã trình bày ở phần trước. Đây là do sự hiện hiện của một thanh điều khiển, thanh điều khiển hấp thụ mạnh sẽ dẫn tới làm méo mó lớn về thông lượng như đã chỉ ra trên hình 5.5 và điều này sẽ làm tăng sự phân bố công suất và nhiệt độ không mong muốn trong lõi lò phản ứng. Tại cùng thời điểm đó, sự nhờ cậy vào chỉ một thanh điều khiển để điều khiển lò phản ứng là không am hiểu về quan điểm an toàn vì nó không cung cấp khả năng điều khiển dự trữ trong trường hợp thanh điều khiển không hoạt động một cách đúng đắn.

Nhiều lò phản ứng nghiên cứu (hoạt động ở công suất tương đối thấp) được điều khiển bằng một số nhỏ thanh điều khiển thường sắp xếp đối xứng quanh tâm của lõi lò. Các công thức tính giá của các vòng thanh điều khiển đã được thiết lập nhưng quá phức tạp để giới thiệu ở đây. Chúng được tìm thấy trong các tài liệu tham khảo ở cuối quyển sách này.

Tuy nhiên, với lò phản ứng công suất lớn hoạt động ở mật độ công suất và nhiệt độ cao thì vấn đề quan trọng là thông lượng trong khắp lõi lò càng đồng nhất càng tốt. Đối với lý do này lò phản ứng luôn chứa nhiều thanh nhiên liếu. Có hai loại hệ thống thanh nhiên liệu thường dùng cho các lò phản ứng ngày nay. Một trong hai loại này, số thanh nhiên liệu hình trụ nhỏ, cỡ kích thích thanh nhiên liệu, được gắn ở đáy một miếng kim loại được gọi là ”vật hình nhện” (spider) và chuyển động qua những ống riêng lẽ trong bó thanh nhiên liệu như ta thấy trên hình 5.6. Vì vậy, mỗi nhóm thanh điều khiển được liên kết với nhau và ta gọi là bó thanh điều khiển. Một lò phản ứng công suất lớn có 50 hoặc 60 bó, mỗi bó chứa cỡ 20 thanh, tổng cộng có khoảng 1000 thanh điều khiển. Thanh điều khiển được nén bằng chất hấp thụ mạnh neutron. Nhiều loại hợp kim của Cd, In và Ag, Hf hoặc thép có chứa Bo được sử dụng trong một số lò phản ứng – gần đây các thanh điều khiển rỗng được lấp đầy với bột boron carbide (B4C) (thường boron được làm giàu với đồng vị B10).

Trong nhiều lò phản ứng công suất, sự truyền động của các thanh điều khiển (nghĩa là đưa thanh điều khiển vào và ra khỏi lõi lò) là được nối liền nhau bằng điện hoặc sắp xếp thành bộ vì thế mà một số thanh điều khiển chuyển động đồng thời ứng với tín hiệu từ người điều khiển lò.

Mặc dù người điều khiển lò phản ứng phải điều khiển cả các điều kiện vận hành, mức công suất,... của một lò phản ứng, nhưng sự chuyển động thông thường của các thanh điều khiển trong hầu hết các lò phản ứng công suất là được kiểm soát, tùy thuộc vào sự can thiệp của người điều khiển bằng máy tính. Máy tính nhận dữ liệu các giá trị về số các thông số lò, chẳng hạn như công suất, mật độ công suất,...mà được đo liên tục bằng nhiều monitor đạt khắp hệ thống. Bằng cách dùng các số liệu này máy tính xác định sự chuyển động của thanh điều khiển nào là cần thiết để duy trì công suất hoặc nhiệt độ hoặc để thu được sự phân bố công suất tối ưu bên trong lò phản ứng. Kết quả của các tính toán này được truyền tự động vào sự chuyển động cần thiết của các thanh điều khiển. Sự điều khiển bằng máy tính qua sự chuyển động thanh nhiên liệu dẫn tới đời sống của lõi lò lâu hơn. Tại cùng thời điểm, do thanh điều khiển được dùng theo cách tối ưu nên giá toàn bộ của thanh điều khiển cần để điều khiển lò phản ứng là được giảm đáng kể.

Một tính toán giá của một số lớn các thanh điều khiển có thể thu được bằng việc so sánh hệ số nhân của lò phản ứng có thanh điều khiển bên trong với hệ số nhân của lò phản ứng khi rút thanh điều khiển ra ngoài. Giá trị k khi có thanh điều khiển bên trong có thể tìm được bằng phương pháp Wigner-Seits mà ta biết trong mục 4.8 đối với các phép tính lò phản ứng không đồng nhất. Như vậy, lõi lò phản ứng được chia thành các ô đơn vị có một thanh điều khiển tại tâm của mỗi ô, và phương trình khuếch tán được giải trong ô hình trụ tương đương. Kết quả ta thu được công thức:

137

(5.59)

với fR là thông số hữu dụng thanh điều khiển và bằng với thành phần neutron phân hạch đang chậm dần trong ô đơn vị của thanh điều khiển mà bị hấp thụ trong thanh điều khiển. Thật vậy, điều này được cho trước bởi

(5.60)

Trong phương trình này, a là bán kính thanh điều khiển; d là khoảng cách ngoại suy tại bề mặt của thanh điều khiển; y = a/LT, với LT là chiều dài khuếch tán nhiệt trong vật liệu lõi lò phản ứng; z = Rc/LT, với Rc là bán kính của ô tương đương; E(y, z) là hàm mạng được xác định bởi phương trình (4.150). Sau đây là một ví dụ cho việc sử dụng hàm này:

Ví dụ 5.8

Giả sử lò phản ứng như trong ví dụ 5.7 được điều khiển bởi 100 thanh điều khiển đen có bán kính 0.508cm. Tính giá toàn bộ của các thanh điều khiển.

Giải

Tiết diện ngang của lò phản ứng là (35)2 cm2. Trong đó, 1/100 diện tích này là diện tích của một ô điều khiển. Cho nên bán kính Rc của ô này là:

Rc = (35)2/100

vì vậy, Rc = 3.5cm. Diện tích khuếch tán nhiệt được cho bởi:

Thay f = 0.583 và cm2, ta tính được: . Vậy, cm, a/LT = 0.275 và

Rc/LT = 1.89

Dùng các giá trị của hàm Bessel sau đây

I0(0.275) = 1.019, I1(0.275) = 0.1389, I1(1.89) = 1.435

K0(0.275) = 1.453, K1(0.275) = 3.371, K1(1.89) = 0.1618

Từ phương trình (4.150), ta tính được:

Từ phương trình (5.56), giá trị d tính được là:

cm

Thay các giá trị này vào (5.60), ta tính được:

138

Bó thanh điều khiển

Bộ phận lưới

Thanh nhiên liệu

Hình 5.6 Bó thanh điều khiển

Như vậy, fR = 0.229 và %

5.3.3 Thành điều khiển hình chữ thập

Một dạng khác của thanh điều khiển mà thường dùng rộng rãi trong lò phản ứng công suất là thanh điều khiển hình chữ thập gồm hai cánh vuông góc nhau như ta nhìn thấy trên hình 5.7. Các thanh điều khiển này có thuận lợi cho việc xếp vừa vặn vào các góc và dọc theo các mép của bó nhiên liệu như ta thấy trên hình 5.8. và trên hình này ta cũng thấy có 137 thanh điều khiển hình chữ thập được dùng trong lò phản ứng nước sôi 780 Mwe. Các thanh điều khiển hình chữ thập được làm từ kim loại rắn hấp thụ neutron hoặc là rỗng được lấp đầy bằng chất hấp thụ neutron B4C.

Do tính phức tạp về hình học của thanh chữ thập nên ta không thể xác định giá chính xác của chúng bằng việc tính toán giải tích. Trên thực tế việc thiết kế lò phản ứng chứa các thanh điều khiển như thế thì giá của chúng được tính bằng máy tính dùng mã nhiều nhóm ba chiều. Tuy nhiên, một phép tính thô về giá của chúng có thể tìm được theo phương pháp đơn giản sau đây.

Bắt đầu chia lò phản ứng thành các ô, nhưng lúc này ô đơn vị giới hạn bằng các cánh của hai thanh điều khiển như trình bày trên hình 5.9. Tiếp theo, các ô này được thay thế bằng hình học phẳng đơn giản (hình 5.10) thu được bằng cách uống cong các cánh tại đỉnh và đáy của ô bằng một góc 90 0. Khi đó giá trị fR có thể tìm được như sau: trước tiên, phương trình khuếch tán neutron trong hình học phẳng giải được để tìm mật độ dòng neutron đi vào thanh. Khi đó mật độ dòng này được nhân với diện tích bề mặt của cánh để tìm ra số neutron bị hấp thụ mỗi giây trong thanh điều khiển. Cuối cùng, số này được chia cho số neutron làm chậm trong ô ta sẽ thu được fR. Chi tiết của bài toán này được cho trong bài tập ở cuối chương. Như đã thấy ở đây, giá trị cuối cùng của fR dùng phương trình (5.59) là

trong đó, các thông số l, a và m được chỉ ra trên hình 5.9, d là khoảng cách ngoại suy tại bề mặt của mặt phẳng, và LT là chiều dài khuếch tán nhiệt trong vật liệu lõi lò. Nếu các cánh là đen đối với neutron nhiệt thì - một kết luận chỉ đạt được khi thay a = vào (5.56).

139

Bó nhiên liệu

Cánh thanh điều khiển

Thanh điều khiển

Hình 5.8 Một thanh điều khiển hình chữ thập đặt giữa bốn bó nhiên liệu và mạng thanh điều khiển của lò BWR

Ví dụ 5.9

Thanh hình chữ thập dùng để điều khiển BWR gồm các cánh rộng 9.75 inch, dày 0.312 inch. Các thanh điều khiển đặt trong mạng hình chữ nhật và các tâm của các thanh gần nhất cách nhau 44.5 cm. Các thông số của vật liệu lõi lò là LT = 1.2cm và = 0.20cm.

Giài

Kích thước thanh điều khiển đổi ra cm là l = 9.75 x 2.54/2 = 12.38 cm và a = 0.312 x 2.54/2 = 0.396cm. Xem hình 5.9, khoảng cách gần nhau nhất giữa các thanh là 44.5cm, nghĩa là =31.5 cm. Giá trị của cho việc tính d được tìm thấy từ

Vì vậy,

Thay vào (5.60) ta được:

Giá của thanh điều khiển:

%

5.3.4 Thanh điều khiển chèn vào từng phần

Đến thời điểm này, ta đã giả thiết rằng thanh điều khiển được đưa vào hay rút ra khỏi lò một cách toàn phần. Trên thực tế, một số hay toàn bộ thanh điều khiển được đưa vào lõi lò tại thời điểm khởi động và được rút ra một cách chậm chạp để giữ lò tới hạn khi nhiên liệu bị tiêu hao và khi các độc tố của sản phẩm phân hạch được tích lũy. Vì thế ta cần phải biết giá của các thanh điều khiển như là

140

Hình 5.9 Ô để tính giá của thanh điều khiển hình chữ thập đặt cạnh nhau

Hình 5.10 hình học phẳng cho việc giải phương trình khuếch tán

Mặt phẳng chính giữa ô

Mặt phẳng chính giữa cánh

hàm theo khoảng cách đưa vào lõi lò của chúng. Điều này cũng phải biết thanh điều khiển đưa vào hay rút ra nhanh hơn nhằm mục đích thay đổi mức công suất.

Đặt là giá của một thanh điều khiển mà được đưa vào lõi lò với một khoảng cách x, song song với trục hình trụ của lõi lò có chiều cao H , và đặt là giá của thanh điều khiển được đưa toàn bộ vào lõi lò. Người ta tìm được từ thực nghiệm và cũng có thể từ lý thuyết rằng và có liên hệ với nhau bởi công thức:

(5.63)

Hàm này được vẽ như trên hình 5.11, trên hình thấy rằng , khi x = H thì .

Vấn đề quan tâm ở đây là đạo hàm

(5.64)

Biểu thức này cho biết tốc độ thay đổi về độ phản ứng trong mỗi đơn vị khoảng cách dịch chuyển của thanh nhiên liệu, và được vẽ trên hình 5.12. Như đã thấy trên hình, độ phản ứng thay đổi rất ít trong mỗi đơn vị khoảng cách khi thanh điều khiển được đưa vào lõi lò lần thứ nhất và kết quả cũng như thế khi đưa toàn bộ thanh điều khiển ra ngoài lò. Theo ý nghĩa vật lý, trong hai ví dụ này, điều này là do đáy của thanh điều khiển di chuyển qua vùng mà thông lượng rất nhỏ và vì thế mà một ít neutron bị hấp thụ trong thanh điều khiển khi nó chuyển động. Tuy nhiên, trong vùng gần tâm lõi lò, độ thay đổi về là lớn nhất vì thông lượng cũng lớn nhất tại đây.

Trong nhiều lò phản ứng, bài toán về việc thay đổi giá của thanh điều khiển theo khoảng cách mà thanh điều khiển đưa vào lõi lò bị phá vỡ đến một số phạm vi bằng sự lập trình sự di chuyển của các thanh điều khiển, vì thế mà khi một dãy thanh điều khiển di chuyển ra ngoài tâm lò có thông lượng cao nhất thì dãy thanh điều khiển thứ hai tự động rút ra. Theo cách này, việc giảm giá của một thanh điều khiển hoặc một nhóm thanh điều khiển được bù vào bằng việc tăng giá của các thanh điều khiển khác.

141

Thanh điều khiển được đưa vào

toàn bộ

Thanh điều khiển được rút ra

(x)

/(

H)

x/HHình 5.11 Gía của thanh điều khiển

theo khoảng cách đưa vào lò Hình 12 Tốc độ thay đổi giá của thanh điều khiển khoảng cách đưa vào lò

Ví dụ 5.11

Một lò phản ứng trần hình trụ vuông chiều cao 70cm được điều khiển bằng một thanh điều khiển đặt trên trục mà có giá là 6.5% khi đưa toàn bộ thanh vào lò (lò phản ứng được mô tả giống với ví dụ 5.7). Nếu lò phản ứng tới hạn khi thanh điều khiển chưa đưa vào lò, thì thanh điều khiển phải đưa vào một đoạn bao nhiêu để độ phản ứng ứng (âm) là 1%?

Giải

Dùng phương trình (5.63), với và và đặt , ta tính được:

hay

Đây là phương trình siêu việt mà chỉ có thể giải được hoặc bằng đồ thị hoặc bằng phương pháp số. Nghiệm là y = 1.91. Khi đó, với H = 70cm, kết quả tính được là

cm

5.3.5 Chêm hóa học

Như đã giới thiệu ở đầu chương này, nước làm chậm và làm lạnh trong lò phản ứng được điều khiển bằng việc thay đổi nồng độ boric axit (H3BO3) trong nước. Như vậy điều khiển bằng chêm hóa học không thể được dùng một mình để điều khiển lò phản ứng do xử lí bằng thay đổi nồng độ H3BO3, mặc dù được thực hiện từ xa và tự động bằng chỉ thị của người điều khiển lò nhưng nó không thể thực hiện để đáp ứng thanh điều khiển càng nhanh như đòi hỏi. Cho nên, chêm hóa học luôn được dùng trong sự kết hợp với sự bổ sung đến thanh điều khiển cơ học. Khi hai loại cơ chế điều khiển này hiện diện trong lò phản ứng thì các thanh điều khiển cung cấp độ phản ứng cho việc dập tắt nhanh và cho việc bù trừ độ thay đổi độ phản ứng do thay đổi nhiệt độ kèm theo việc thay đổi công suất lò. Chêm hóa học dùng để giữ cho lò tới hạn trong suốt thời gian ngắn xenon tồn tại và để bù trừ cho sự hao hụt nhiên liệu và sự tích lũy các sản phẩm phân hạch trong thời gian sống của lõi lò.

Có một số lý do để dùng sự chêm hóa học, một trong những lý do là làm giảm số lượng thanh điều khiển cần cho lò phản ứng. Vì thanh điều khiển và các cơ chế vận hành chúng là rất đắt đỏ, điều này tiết kiệm được một lượng tiền đáng kể. Hơn nữa, do H3BO3 được phân bố đồng đều trong lõi lò phản ứng nên sự thay đổi về độ phản ứng trong hệ từ sự thay đổi nồng độ H 3BO3 có thể thực hiện được mà không làm nhiễu loạn sự phân bố công suất trong lõi lò.

Việc chêm hóa học ảnh hưởng đến độ phản ứng của lò phản ứng nhiệt bằng việc thay đổi giá trị hữu dụng nhiệt f. Boro có ảnh hưởng tương đối nhỏ vào các tính chất vận chuyển của lõi lò, đặc biệt trong lò phản ứng mà có sự phân bố thông lương khá đồng nhất. Giá của một nồng độ boric axit cho trước có thể tính được từ phương trình (5.62). Đối với lò phản ứng nhiệt, phương trình này được viết như sau:

(5.65)

Trong đó, , và tương ứng là tiết diện hấp thụ vĩ mô của Bo, nhiên liệu và chất làm chậm (gồm cả chất làm mát và vật liệu lò).

Chia tử và mẫu của (5.65) cho , ta được:

142

(5.66)

Dễ dàng ta nhận thấy rằng bằng f0/(1 – f0), với f0 là hệ số hữu dụng nhiệt khi không có boron. Thay vào phương trình (5.66) ta có:

(5.67)

Nồng độ của H3BO3 thường có đơn vị ppm của nước, nghĩa là một gram Bo có 106 gam H2O. Nếu C là nồng độ trong ppm, thì khi đó tỉ số khối lượng Bo đối với khối lượng H2O là

(5.68)

Khối lượng nguyên tử của Bo là 10.8 và của phân tử H2O là 18, cho nên tỉ số mật độ nguyên tử của Bo và mật độ phân tử H2O là

và đại lượng trong phương trình (5.67) trở thành

Thay giá trị này vào (5.67) ta có công thức tính giá của việc chêm hóa học

(5.68)

Ví dụ 5.12

Hệ số hữu dụng nhiệt của lò PWR điều khiển bằng thanh điều khiển và chêm hóa học là 0.930 lúc khởi động. Tại thời điểm này, độ phản ứng toàn phần trong lò là 20.5%. Nếu thanh điều khiển có giá là 8.5% thì hãy tính hàm lượng cực tiểu của H3BO3 tính bằng ppm và g/lít của H2O có mật độ bằng 1 cần thiết để giữ trạng thái tới hạn của lò?

Giải

Chất chêm hóa học phải có giá 20.5 – 8.5 = 12%. Khi đó dùng phương trình (5.68),

ppm

Khối lượng phân tử của H3BO3 là 61.8 . Cho nên, hệ thống chêm hóa học phải chứa (61.8/10.8)x 893 = 5110 g H3BO3 trong mỗi 106g H2O. Tại mật độ bằng 1, thì 106 g nước chiếm 103lít. Như vậy nồng độ của H3BO3 là 5,110g/103lít = 5.11g/lít.

Trong ví dụ này ta lưu ý rằng, chỉ mỗi mình thanh điểu khiển thì không có đủ độ phản ứng để giữ lò phản ứng tới hạn. Điều này thường gặp trong lò PWR.

5.4 ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ LÊN ĐỘ PHẢN ỨNG

Như đã nói ở phần đầu của chương này, nhiều thông số xác định hệ số nhân k của lò phản ứng phụ thuộc vào nhiệt độ. Thật vậy, khi có sự thay đổi về nhiệt độ thì dẫn tới sự thay đổi về hệ số k và

143

làm thay đổi độ phản ứng của hệ. Bây giờ ta thấy rằng ảnh hưởng này có tầm quan trọng liên quan tới sự hoạt động và an toàn của lò phản ứng.

5.4.1 Hệ số nhiệt độ

Độ phản ứng bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi về nhiệt độ được mô tả bằng hệ số nhiệt độ của độ phản ứng, kí hiệu là T. Điều này được định nghĩa bằng mối liên hệ:

(5.69)

trong đó, là độ phản ứng và T là nhiệt độ. Từ phương trình (5.26), , như vậy:

(5.70)

Trong mọi trường hợp quan tâm, k gần bằng 1, vì thế phương trình (5.70) được viết gần đúng như sau:

(5.71)

Phương trình này thuận lợi hơn phương trình (5.69) cho mục đích tính toán và thường được lấy làm định nghĩa về hệ số T. Theo phương trình (5.71), T bằng với phần thay đổi về k cho mỗi đơn vị thay đổi nhiệt độ và có đơn vị là (độ)-1.

Sự đáp ứng của một lò phản ứng đến sự thay đổi nhiệt độ phụ thuộc vào dấu đại số của T. Trước tiên ta xét trường hợp khi T > 0: do k luôn dương nên dk/dT luôn dương, nghĩa là khi nhiệt độ tăng thì dẫn tới k tăng. Bây giờ ta giả sử rằng vì lý do nào đó mà nhiệt độ lò tăng. Điều này làm tăng giá trị k và dẫn tới mức công suất của lò cũng tăng lên. Như vậy, khi T > 0, nếu nhiệt độ tăng thì dẫn tới công suất tăng đến khi lò phản ứng hoặc là bị dập tắt hoặc là nó bị tan chãy.

Tuy nhiên, giả sử nhiệt độ lò phản ứng đã được giảm xuống. Nếu T dương thì một phép giảm nhiệt độ dẫn đến k giảm. Điều này làm cho công suất lò giảm xuống đến khi lò phản ứng bị dập tắt. Như vậy, nếu T >0 thì nhiệt độ tăng dẫn đến tan chãy, còn khi nhiệt độ giảm dẫn đến dập lò – không có sự can thiệp từ bên ngoài.

Trong trường hợp ngược lại, khi T < 0. Trong trường hợp này, dk/dT <0 và như vậy khi nhiệt độ tăng thì k giảm. Lúc này nếu nhiệt độ lò phản ứng tăng thì dẫn tới công suất lò giảm, và khi nhiệt độ giảm thì lò phản ứng trở lại trạng thái ban đầu của nó. Cho nên, một phép giảm nhiệt độ làm cho k tăng lên, vì thế nếu nhiệt độ đi xuống thì công suất đi lên. Rõ ràng, một lò phản ứng có T > 0 thì không bền để thay đổi nhiệt độ của nó, ngược lại lò phản ứng có T < 0 thì bền vững.

Chúng ta phải nhìn nhận rằng, nhiệt độ thường không thay đổi đồng đều trong khắp lò phản ứng. Ví dụ, khi nói công suất tăng thì ta nghĩ đến nhiệt độ của lõi lò phản ứng vì đây là vùng mà công suất phát ra. Trong lò phản ứng nhiệt, nhiệt độ của chất làm chậm và làm nguội không tăng tới khi lượng nhiệt được truyền từ nhiên liệu đến các vùng này. Vì vậy ta phải xem xét các hệ số nhiệt độ đối với các thành phần chịu sự thay đổi của nhiệt độ. Đó là, hệ số nhiệt độ của nhiên liệu là phần thay đổi về hệ số k ứng với sự thay đổi mỗi đơn vị nhiệt độ của nhiên liệu, hệ số nhiệt độ của chất làm chậm là phần thay đổi về hệ số k ứng với sự thay đổi mỗi đơn vị nhiệt độ của chất làm chậm,v.v,..

Bởi vì nhiệt độ của nhiên liệu tác động lập tức đến sự thay đổi về công suất lò phản ứng nên hệ số nhiệt độ nhiên liệu cũng được gọi là hệ số nhiệt đột tức thời, kí hiệu là promt. Giá trị của promt xác định sự đáp ứng lần đầu của lò phản ứng để thay đổi hoặc là nhiệt độ nhiên liệu hoặc là công suất lò. Với lý do này, promt là hệ số nhiệt độ quan trọng nhất.

144

5.4.2 Hiệu ứng Doppler hạt nhân

Hệ số nhiệt độ tức thời của hầu hết lò phản ứng là âm là do hiện tượng mà ta biết là hiệu ứng Doppler hạt nhân. Hiệu ứng này có thể được giải thích theo cách như sau:

Ta nhớ rằng tiết diện neutron phơi bày các cộng hưởng tại những năng lượng nhất định và đối với các hạt nhân càng nặng thì các cộng hưởng này hầu như là do sự hấp thụ mà không phải do tán xạ. Trước đây ta cũng giả sử rằng hạt nhân mà neutron tương tác là đứng yên trong hệ phòng thí nghiệm. Cụ thể, công thức Breit-Wigner

mô tả một cộng hưởng có bề rộng tại năng lượng Er dựa vào giả thuyết này.

Tuy nhiên, trên thực tế hạt nhân đặt trong nguyên tử chuyển động liên tục do năng lượng nhiệt của chúng. Kết quả của sự chuyển động nhiệt này, một chùm neutron đơn năng va chạm vào bia làm xuất hiện trong hạt nhân một phân bố liên tục về năng lượng. Điều này có một hiệu ứng vào dạng cộng hưởng. Như vậy, ta có thể thấy rằng khi tiết diện được tính trung bình cho tất cả chuyển động của hạt nhân thì cộng hưởng sẽ ngắn hơn và rộng hơn so với lúc hạt nhân đứng yên. Cho nên, hiệu ứng trở nên mạnh mẽ hơn khi nhiệt độ của bia tăng lên, như được chỉ ra trên hình 5.13. Việc thay đổi về độ nét cộng hưởng theo nhiệt độ được gọi là nở rộng Doppler. Trên hình 5.13, cộng hưởng không nở rộng ở 00K được tính từ công thức Breit-Wigner, vì ở nhiệt độ này thì không có sự chuyển động nhiệt. Một vấn đề quan trọng của hiệu ứng Doppler là mặc dù nét của một cộng hưởng thay đổi theo nhiệt độ nhưng diện tích toàn dưới đỉnh cộng hưởng vẫn không thay đổi.

Bây giờ ta xét neutron đang chậm dần trong lò phản ứng nhiệt vượt qua một cộng hưởng. Số neutron bị hấp thụ mỗi cm3/giây trong cộng hưởng này được cho bởi

(5.72)

trong đó, (E) là thông lượng phụ thuộc năng lượng, a(E) là tiết diện hấp thụ vĩ mô, và tích phân được lấy khắp đỉnh cộng hưởng. Phương trình (5.72) cũng có thể viết lại như sau

với av là giá trị trung bình thông lượng trong cộng hưởng. Tích phân còn lại đơn giản là diện tích toàn phần dưới cộng hưởng, và như đã lưu ý, đây là một hằng số không phụ thuộc vào nhiệt độ. Cho nên, ta nói rằng số neutron bị hấp thụ trong cộng hưởng tỉ lệ thuận với thông lượng trung bình trong cộng hưởng đó.

Không khó khăn để thấy rằng giá trị av là phụ thục vào nhiệt độ. Như vậy, giả sử rằng nhiệt độ tăng thì khi đó độ lớn của tiết diện hấp thụ giảm do hiệu ứng Doppler, điều này làm cho av tăng lên. Vị trí là tương tự với chỗ đặt chất hấp thụ neutron, chẳng hạn như thanh điều khiển hoặc tấm hấp thụ nào đó, trong môi trường khuếch tán neutron. Nếu tiết diện của chất hấp thụ tăng

145

Hình 5.13 Nở rộng Doppler của tiết diện bắt 238U tại cộng hưởng 6.68 eV

lên thì thông lượng neutron trong vùng lân cận nó giảm xuống; tuy nhiên, nếu tiết diện hấp thụ giảm thì thông lượng rõ ràng tăng lên.

Cuối cùng, vì av tăng theo nhiệt độ và vì số neutron bị hấp thụ trong cộng hưởng tỉ lệ với av

nên ta kết luận rằng hấp thụ cộng hưởng tăng theo việc tăng nhiệt độ. Dĩ nhiên, điều này làm giảm giá trị k và dẫn đến giá trị âm của hệ số nhiệt độ tức thời.

Để tính promt cho lò phản ứng nhiệt, hệ số nhân phải được viết như sau:

(5.73)

với P là xác suất không rò rĩ. Tiếp theo, xác suất thoát cộng hưởng p được chọn lựa bằng việc lấy logarit:

Đạo hàm theo nhiệt độ và giữ tất cả các thông số là hằng số ngoại trừ p, ta có:

hoặc

promt = promt(p) (5.74)

Mặt khác, ta đã biết xác suất thoát cộng hưởng được tính từ phương trình:

(5.75)

với I là tích phân cộng hưởng, VF và VM là thể tích trong một ô đơn vị của nhiên liệu và chất làm chậm, NF là mật độ nguyên tử của nhiên liệu, sM là tiết diện tán xạ vĩ mô của chất làm chậm, và M là hằng số. Hệ số tức thời của p có thể tính được bằng cách giả sử nhiệt độ chất làm chậm vẫn không đổi trong khi đó nhiệt độ của nhiên liệu thay đổi. Khi đó cả sM và VM là hằng số. Cho nên, tích số NFVF (tổng số nguyên tử của thanh nhiên liệu) không thay đổi theo nhiệt độ. Vì thế trong sự phụ thuộc nhiệt độ của p đã có chứa I.

Nhiều phép đo hấp thụ cộng hưởng đã được thực hiện tại các nhiệt độ khác nhau và người tá tìm thấy rằng I có thể được biểu diễn bằng công thức

(5.76)

Sự phụ thuộc nhiệt độ của I là do hiệu ứng Doppler như đã giải thích trước đây. Thông số I là một hàm phụ thuộc các tính chất của nhiên liệu và được cho bởi:

(5.77)

Ở đây, A’ và C’ là hằng số được cho trên bảng 5.4, a là bán kính của thanh nhiên liệu (cm) và là mật độ nhiên liệu (g/cm3).

Bảng 5.4 Hằng số tính I

Nhiên liệu A’x10-4 C’x10-2

238U (kim loại)238UO2

48

61

1.28

0.94

146

Th (kim loại)

ThO2

85

97

2.68

2.40

Trở lại phương trình (5.75) và lấy đạo hàm lnp, ta có:

Tuy nhiên, từ phương trình (5.76), ta có:

Vì thế:

Tã cũng có thể viết lại:

(5.78)

Phương trình (5.78) cho biết hệ số nhiệt độ tức thời của lò phản ứng nhiệt.

Ví dụ 5.13

Xác suất thoát cộng hưởng đối với uranium tự nhiên ( = 19.1 g/cm3) làm nhiên liệu lò phản ứng là 0.878 tại 300K. Thanh nhiên liệu có đường kính 2.8cm. Tính hệ số nhiệt độ tức thời của lò khi hoạt động tại 3500C.

Giải

Bán kính thanh nhiên liệu là 2.8/2 = 1.4cm. Từ phương trình (5.77) và bảng 5.4, I tính được:

Khi đó từ phương trình (5.78) ta tính được:

mỗi 0C (hoặc 0K)

Hệ số nhiệt độ tức thời do hiệu ứng Doppler rất khó để xác định cho lò phản ứng nhanh. Đó là do tại các năng lượng cao trong lò phản ứng loại này các cộng hưởng quá sít nhau đến nỗi chúng chồng chập lên nhau và các tính chất của chúng chưa được biết đầy đủ. Thêm vào đó, hàm lượng hấp thụ cộng hưởng phụ thuộc chi tiết vào phổ neutron và thay đổi tùy theo lò phản ứng. Tuy nhiên, các phương pháp đã được phát triển cho tính toán hệ số nhiệt độ quan trọng này đối với lò phản ứng nhanh.

Một vấn đề quan trọng cũng cần nhắc tới, đó là trong lò phản ứng nhanh các phân hạch cũng như bắt bức xạ xãy ra kèm theo hấp thụ neutron trong vùng năng lượng cao, các cộng hưởng chồng chập nhau. Như vậy, trong lò phản ứng nhanh gồm hỗn hợp các nhiên liệu 239Pu và 238U, một phép tăng về nhiệt độ không chỉ làm tăng xác suất bắt neutron từ 238U mà cũng còn có khuynh hướng tăng tốc độ phân hạch của 239Pu. Hiệu ứng Doppler trong trường hợp này là một hỗn hợp phức tạp. Cho nên ta cần bảo đảm hoạt động an toàn của lò phản ứng gồm đủ 238U trong hệ, vì thế mà hiệu ứng Doppler cung cấp

147

giá trị âm promt. Tuy nhiên, điều này không đáng lo ngại vì hàm lượng đáng kể của 238U có trong loại lò phản ứng này để cực đại việc thu tái sinh.

5.4.2 Hệ số nhiệt độ chất làm chậm

Mặt dù tầm quan trọng tức thì kém hơn promt nhưng hệ số nhiệt độ của chất làm chậm mod xác định tính chất cơ bản của lò phản ứng ứng với sự thay đổi về nhiệt độ nhiên liệu. Nó cũng xác định các ảnh hưởng lên lò phản ứng về sự thay đổi nhiệt độ của chất làm mát đi vào hệ thống lò. Nó cũng mong muốn một giá trị âm của mod để đảm bảo tính ổn định trong suốt thời gian hoạt động bình thường và các điều kiện tai nạn của lò phản ứng.

Trong lò phản ứng nhiệt, một sự tăng nhiệt độ sẽ ảnh hưởng đến hệ số nhân bằng hai cách: (a) nhiệt độ tại thời điểm tính tiết diện nhiệt là thay đổi, (b) mật độ chất làm chậm thay đổi do sự nở nhiệt. Trong hai ảnh hưởng này thì ảnh hưởng thứ hai có ý nghĩa hơn.

Để tính mod, trước tiên k được viết như phương trình (5.73):

Giá trị T không phải là hàm của nhiệt độ. Mặc dù phụ thuộc đến một số phạm vi mật độ chất làm chậm nhưng ta cũng có thể xem như không phụ thuộc nhiệt độ. Lấy logarit hai vế phương trình (5.73) và đạo hàm theo T ta có:

(5.79)

Cho nên hệ số chất làm chậm là tổng của ba hệ số nhiệt độ khác.

Trước tiên ta xét T(f): ta nhớ rằng f là xác suất mà neutron nhiệt bị hấp thụ trong nhiên liệu, và cho bởi tỉ số giữa tiết diện vĩ mô của nhiên liệu đối với tiết diện vĩ mô của nhiên liệu, chất làm chậm và chất làm mát. Nếu nhiên liệu và chất làm chậm đều là chất rắn và lò phản ứng được làm lạnh bằng chất khí hấp thụ yếu thì khi đó một sự thay đổi nhiệt độ chất làm chậm sẽ không làm thay đổi tổng số chất hấp thụ trong hệ thống và f vẫn còn là hằng số. Trong trường hợp này, T(f) bằng không.

Một trường hợp khác, ví dụ lò phản ứng nước áp lực, nhiên liệu là một chất rắn nhưng chất làm lạnh (hay chất làm chậm) là chất lỏng. Bây giờ do hệ số nở nhiệt của chất lỏng lớn hơn chất rắn, và do chất lỏng trong lò phản ứng luôn được giữ trong bình kim loại nên khi chất làm chậm tăng nhiệt độ thì có sự tống ra một ít chất lỏng từ lò phản ứng. Hàm lượng hấp thụ neutron nhiệt trong chất làm chậm và làm lạnh được giảm so với hấp thụ trong nhiên liệu, kết quả là f tăng. Ta kết luận rằng, trong trường hợp này T(f) là dương. Hiệu ứng này có vẽ đặc biệt khi có sự chêm hóa học vì Boron được tống ra cùng với chất làm lạnh.

Tiếp theo ta xét T(p). Trong phương trình (5.75) chỉ có hệ số mà phụ thuộc vào nhiệt độ chất làm chậm là sMVM, tức là tổng số nguyên tử chất làm chậm và làm lạnh trong lò phản ứng. Nếu chất làm chậm là chất rắn thì số nguyên tử này không thay đổi theo nhiệt độ và T(p) bằng không. Tuy nhiên, với chất làm chậm là chất lỏng thì phép tăng nhiệt nhiệt độ dẫn đến giải phóng ra một vài chất làm chậm. Điều này làm giảm giá trị sMVM và dẫn đến giảm p. Như vậy, đối với chất làm chậm là chất lỏng thì T(p) âm.

Hệ số nhiệt độ của xác suất không rò rỉ cũng âm. Điều này có thể thấy từ công thức tính xác suất không rò rỉ cho cả lò phản ứng nhanh và nhiệt được cho bởi:

(5.80)

trong đó, B2 là độ oằn, là diện tích khuếch tán nhiệt, và T là tuổi của neutron phân hạch đến nhiệt hóa. Giá trị của B2 được xác định bằng kích thước của hệ thống mà không thay đổi khi nhiệt độ chất

148

làm chậm thay đổi. Từ việc định nghĩa và , ta dễ dàng thấy rằng cả hai thông số này thay đổi tỉ lệ nghịch với bình phương mật độ d của môi trường. Đối với nhiên liệu là và chất làm chậm đều là chất rắn thì giá trị và T phụ thuộc phức tạp vào mật độ của hai môi trường này. Tuy nhiên, một phép thay đổi về nhiệt độ của chất làm chậm rắn có ảnh hưởng một chút lên mật độ của nó; cho nên P là hằng số và T(P) = 0. Với nhiên liệu là chất rắn và chất làm chậm là chất lỏng thì và T

biến thiên theo , với n < 2. Trong trường hợp này,

(5.81)

trong đó, C1 và C2 là hằng số. Lúc này, nếu T tăng thì n giảm do sự tống ra của chất lỏng và P đi xuống, dẫn đến T(P) âm.

Giá trị T(P) âm có nghĩa là sự rò rỉ của neutron tăng theo việc tăng nhiệt độ của chất làm chậm. Điều này đơn giảm là bởi vì neutron khuếch tán dễ dàng hơn qua môi trường ít đậm đặc hơn. Tuy nhiên, có một cách khác để xem lại kết luận này. Rõ ràng neutron nhanh không thoát ra khỏi lõi lò phản ứng (và không bị hấp thụ trong cộng hưởng) phải được làm chậm trong lõi lò. Khi mật độ chất làm chậm giảm sự thoát neutron nhanh hơn thì số neutron được làm chậm đến năng lượng nhiệt cũng giảm. Như vậy, khi mật độ chất làm chậm giảm thì dẫn đến: (a) giảm sự hấp thụ neutron nhiệt trong chất làm chậm – một hiệu ứng dương lên k; (b) giảm sự làm chậm neutron nhanh – một hiệu ứng âm lên k. Bất kỳ khi nào mod âm hay dương phụ thuộc vào một chất làm chậm cho trước dù ”hấp thụ hơn làm chậm” hay ”làm chậm hơn hấp thụ”. Trong trường hợp quan trọng của nước, ta cũng có thể thấy rằng vật liệu này làm chậm hơn hấp thụ, vì thế mod âm. Tuy nhiên, trường hợp này có thể bị đảo ngược nếu như có quá nhiều boron hiện diện trong nước như là một chất chêm hóa học dẫn đến mod dương.

Hệ số nhiệt độ chất làm chậm âm có ảnh hưởng quan trọng lên việc điều khiển lò nước áp lực kèm theo sự thay đổi nhu cầu công suất từ tua-bin. Chẳng hạn, giả sử van điều khiển trên tua-bin là đóng một phần nào đó tương ứng với việc giảm luồng hơi qua tua-bin

149