geschichte der mathematik leonardo pisani oder besser bekannt als fibonacci philipp von detten
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Geschichte der Geschichte der MathematikMathematik
Leonardo Pisani oder Leonardo Pisani oder
besser bekannt als besser bekannt als
FibonacciFibonacci
Philipp von DettenPhilipp von Detten
StrukturStruktur
Kurzer ÜberblickKurzer Überblick Biographie FibonaccisBiographie Fibonaccis Sein Hauptwerk: der „liber Sein Hauptwerk: der „liber
abbaci“abbaci“ Errungenschaften/FazitErrungenschaften/Fazit
Kurzer ÜberblickKurzer Überblick
Kurzer Überblick über die Zeit des Kurzer Überblick über die Zeit des 12. und 13. Jahrhunderts und das 12. und 13. Jahrhunderts und das die Entwicklung des die Entwicklung des BildungssystemsBildungssystems
Kurzer ÜberblickKurzer Überblick
Einrichtung von Schulen durch die Einrichtung von Schulen durch die RömerRömer
Der „Pädagoge“ von FrüherDer „Pädagoge“ von Früher Gutes Bildungssystem im römischen Gutes Bildungssystem im römischen
Reich (Elementarschulen, Reich (Elementarschulen, weiterführende Schulen, weiterführende Schulen, Universitäten)Universitäten)
Nach dem Zerfall ging das Nach dem Zerfall ging das Bildungssystem teilweise unterBildungssystem teilweise unter
Kurzer ÜberblickKurzer Überblick
Seit dem 4. Jahrhundert widmeten Seit dem 4. Jahrhundert widmeten sich Mönche dem Archivieren und sich Mönche dem Archivieren und Kopieren von TextenKopieren von Texten
Dazu lernten Mönche und Nonnen Dazu lernten Mönche und Nonnen Lesen und Schreiben und Lesen und Schreiben und übersetzten zahlreiche Bücherübersetzten zahlreiche Bücher
Kurzer ÜberblickKurzer Überblick
Spätestens zur Zeit Friedrichs des Spätestens zur Zeit Friedrichs des II. kümmerte sich unter anderem II. kümmerte sich unter anderem der Staat wieder um die Bildung der Staat wieder um die Bildung seiner Bürger. (12./13. seiner Bürger. (12./13. Jahrhundert)Jahrhundert)
Eine weitere Gruppe spielte eine Eine weitere Gruppe spielte eine bedeutende Rolle:bedeutende Rolle:
Die großen KaufleuteDie großen Kaufleute
Kurzer ÜberblickKurzer Überblick
Lesen, Schreiben und Rechnen war Lesen, Schreiben und Rechnen war für sie von existenzieller für sie von existenzieller BedeutungBedeutung
Bildung wurde somit „bürgerlich“Bildung wurde somit „bürgerlich“
Wiederentdeckung der „antiken Wiederentdeckung der „antiken Mathematik“ (in Europa) also Mathematik“ (in Europa) also schon im 12. und 13. Jahrhundert schon im 12. und 13. Jahrhundert
Kurzer ÜberblickKurzer Überblick
Was bedeutet Schule?Was bedeutet Schule?– Griechischen Ursprungs (σχολή) und Griechischen Ursprungs (σχολή) und
bedeutet soviel wie „Muße“:bedeutet soviel wie „Muße“:
der Ertrag der Arbeit war der Ertrag der Arbeit war mehrmehr als als das, was man am nächsten Tage das, was man am nächsten Tage wieder verzehrtwieder verzehrt
Wie sah es zur Zeit Wie sah es zur Zeit Fibonaccis in Fibonaccis in Europa/Norditalien aus?Europa/Norditalien aus?
Hohes BevölkerungswachstumHohes Bevölkerungswachstum Starker Anstieg der Produktion in Starker Anstieg der Produktion in
der Landwirtschaft durch der Landwirtschaft durch Revolutionen in der Revolutionen in der AgrarwirtschaftAgrarwirtschaft
Papierherstellung wurde Papierherstellung wurde mechanisiertmechanisiert
Pferd als „Nutztier“ entdecktPferd als „Nutztier“ entdeckt
Wie sah es zur Zeit Wie sah es zur Zeit Fibonaccis in Fibonaccis in Europa/Norditalien aus?Europa/Norditalien aus?
Verhältnis zwischen Kirche und Verhältnis zwischen Kirche und Kaufleuten besserte sichKaufleuten besserte sich
Dome wurden aus Kriegsbeuten Dome wurden aus Kriegsbeuten errichteterrichtet
Pisas schiefer Turm stand erst zu Pisas schiefer Turm stand erst zu drei Stockwerkendrei Stockwerken
Der „Niedergang“ Pisas am Der „Niedergang“ Pisas am 6.8.12846.8.1284
Biographie LeonardosBiographie Leonardos
Biographie LeonardosBiographie Leonardos
Leonardo von PisaLeonardo von Pisa Geboren etwa 1170 in Pisa als Sohn von Geboren etwa 1170 in Pisa als Sohn von
Guido Bonacci; Guido Bonacci; dieser wird später Notar am Handelshof dieser wird später Notar am Handelshof der pisanischen Kaufleute in Bougie der pisanischen Kaufleute in Bougie (Küstenstadt Algeriens/Nordafrika), wohin (Küstenstadt Algeriens/Nordafrika), wohin er Leonardo zum Studium der er Leonardo zum Studium der Rechenkunst mitnimmt, als dieser ein Rechenkunst mitnimmt, als dieser ein Knabe ist.Knabe ist.
dort wird er durch „wunderbaren dort wird er durch „wunderbaren Unterricht“ in die Kunst der neun Unterricht“ in die Kunst der neun indischen Ziffern eingeführtindischen Ziffern eingeführt
Biographie LeonardosBiographie Leonardos
er unternimmt - ob mit seinem Vater er unternimmt - ob mit seinem Vater oder allein als Kaufmann - Reisen nach oder allein als Kaufmann - Reisen nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence und studierte dort und in die Provence und studierte dort die verschiedenen Varianten der die verschiedenen Varianten der Rechenkunst. Sein Fazit:Rechenkunst. Sein Fazit:
„„Alle diese Methoden seien der Alle diese Methoden seien der indischen unterlegen, ja, sie seien als indischen unterlegen, ja, sie seien als Irrwege zu bezeichnen“ Irrwege zu bezeichnen“
Biographie LeonardosBiographie Leonardos
er verfügt Kenntnis über er verfügt Kenntnis über – die Elemente des Euklid, die Elemente des Euklid, – den Almagest des Ptolemaeus und den Almagest des Ptolemaeus und – über ein Buch über Proportionen von Ahmad ibn über ein Buch über Proportionen von Ahmad ibn
YusufYusuf
kehrt um 1200 nach Pisa zurück und verfasst kehrt um 1200 nach Pisa zurück und verfasst 1202 sein Hauptwerk, den „liber abbaci“; 1202 sein Hauptwerk, den „liber abbaci“; schreibt aber auch noch andere Bücher wie schreibt aber auch noch andere Bücher wie „Practica geometriae“ und „Liber „Practica geometriae“ und „Liber quadratorum“, welches Friedrich dem II. quadratorum“, welches Friedrich dem II. gewidmet ist, zu dessen Gelehrtenkreis er gewidmet ist, zu dessen Gelehrtenkreis er auch gehörtauch gehört
Biographie LeonardosBiographie Leonardos
als geachteter Magister und auch als geachteter Magister und auch Steuerschätzer lebt er in der Steuerschätzer lebt er in der Stadt Pisa und stirbt nicht vor Stadt Pisa und stirbt nicht vor 1240, da er dort noch in einem 1240, da er dort noch in einem Dekret erwähnt wird Dekret erwähnt wird
… … mehr dazu am Schluss…mehr dazu am Schluss…
Sein Hauptwerk: „liber Sein Hauptwerk: „liber abbaci“abbaci“
Sein Hauptwerk: „liber Sein Hauptwerk: „liber abbaci“abbaci“ Erstes KapitelErstes Kapitel
Übersicht mit AuszügenÜbersicht mit Auszügen
FazitFazit
Einführung der Einführung der indisch-arabischen indisch-arabischen ZiffernZiffern neun indische Ziffern (1-9) und das Zeichen neun indische Ziffern (1-9) und das Zeichen
„0“„0“
Zahl: Bündel von Einheiten unterteilt in Grade:Zahl: Bündel von Einheiten unterteilt in Grade:– Einer: Einer: 1-101-10– Zehner: Zehner: 10-10010-100– Hunderter: Hunderter: 100-1000 …100-1000 …
Dabei folgt Grad auf Grad, wobei bei jedem Dabei folgt Grad auf Grad, wobei bei jedem Schritt aufwärts die unmittelbar Schritt aufwärts die unmittelbar vorhergehende verzehnfacht wird:vorhergehende verzehnfacht wird:Z*10^(Grad -1) mit 1 ≤ z ≤ 9Z*10^(Grad -1) mit 1 ≤ z ≤ 9
Einführung der Einführung der indisch-arabischen indisch-arabischen ZiffernZiffern Schreibweise: Einer ganz rechts, Schreibweise: Einer ganz rechts,
links daneben der nächst höhere links daneben der nächst höhere Grad, etc.Grad, etc.
Betonung: auf die Reihenfolge Betonung: auf die Reihenfolge kommt es an und die Bedeutung der kommt es an und die Bedeutung der „0“ wird hervorgehoben„0“ wird hervorgehoben
Vergleich römisch/arabischer ZahlenVergleich römisch/arabischer Zahlen
FingerzahlenFingerzahlen
Welche Zahlen kann man allein mit Welche Zahlen kann man allein mit seinen 10 Fingern darstellen? seinen 10 Fingern darstellen?
……Darstellung von allen Zahlen von Darstellung von allen Zahlen von
1-9999 möglich!1-9999 möglich! Diese Kommunikation half über Diese Kommunikation half über
Sprachbarrieren hinweg und Sprachbarrieren hinweg und ermöglichte es Kaufleuten aus ermöglichte es Kaufleuten aus verschiedenen Ländern miteinander verschiedenen Ländern miteinander Handel zu treibenHandel zu treiben
Erste OperationenErste Operationen
Tabelle des Eins-und-Eins sowie Tabelle des Eins-und-Eins sowie des Ein-Mal-Eins des Ein-Mal-Eins
Diese sollen auswendig gelernt Diese sollen auswendig gelernt werden und in die Fingersprache werden und in die Fingersprache übersetzt werdenübersetzt werden
Führt zur Verinnerlichung und Führt zur Verinnerlichung und schult die Fingerfertigkeitschult die Fingerfertigkeit
MultiplikationMultiplikation
Es stellt sich heraus, dass der „Liber Es stellt sich heraus, dass der „Liber abbaci“ kein Buch für Anfänger istabbaci“ kein Buch für Anfänger ist
Multiplikation von Zahlen zweiten Multiplikation von Zahlen zweiten Grades Grades
Zahlen n-ten Grades haben n StellenZahlen n-ten Grades haben n Stellen Beispiel: 73*83Beispiel: 73*83 Vorstellung eines weiteren Verfahrens Vorstellung eines weiteren Verfahrens
der schriftlichen Multiplikation:der schriftlichen Multiplikation: Beispiel 4321 * 765Beispiel 4321 * 765
MultiplikationMultiplikation
„„Neunerprobe“Neunerprobe“ Grundannahme: Bei Division einer Zahl Grundannahme: Bei Division einer Zahl
durch 9 entsteht der gleiche Rest als wenn durch 9 entsteht der gleiche Rest als wenn man die Quersumme durch 9 dividiertman die Quersumme durch 9 dividiert
BSP: 899 : 9 = 99 + Rest 8BSP: 899 : 9 = 99 + Rest 8 Quersumme 899 = 26, 26 : 9 = 2 + Rest 8Quersumme 899 = 26, 26 : 9 = 2 + Rest 8 Zusätzlich: Der Rest eines Produktes ist Zusätzlich: Der Rest eines Produktes ist
kongruent zum Produkt der Reste modulo kongruent zum Produkt der Reste modulo 99
Beweis zur Neunerregel anhand eines Beweis zur Neunerregel anhand eines BeispielsBeispiels
MultiplikationMultiplikation
Distributivgesetz: „Zerlegt man Distributivgesetz: „Zerlegt man die eine Zahl in irgendwelche die eine Zahl in irgendwelche Teile, multipliziert jeden Teil mit Teile, multipliziert jeden Teil mit einer weiteren Zahl und addiert einer weiteren Zahl und addiert alle diese Produkte, so ergibt sich alle diese Produkte, so ergibt sich das gleiche Ergebnis, wie wenn das gleiche Ergebnis, wie wenn man die Ausgangszahl direkt mit man die Ausgangszahl direkt mit der zweiten Zahl multipliziert.“der zweiten Zahl multipliziert.“
MultiplikationMultiplikation
Potenzregeln für 10er-Potenzregeln für 10er-Potenzenmit Berufung auf Euklid: Potenzenmit Berufung auf Euklid: 10^a*10^b = 10^(a+b)10^a*10^b = 10^(a+b)
Am Ende des Kapitels werden Am Ende des Kapitels werden noch Verfahren vorgestellt, mit noch Verfahren vorgestellt, mit denen man zwei- und dreistellige denen man zwei- und dreistellige Zahlen im Kopf addiert.Zahlen im Kopf addiert.
Addition und Addition und SubtraktionSubtraktion Zahlen werden untereinander Zahlen werden untereinander
geschrieben, wie wir es heute geschrieben, wie wir es heute auch kennenauch kennen
Erneut: NeunerprobeErneut: Neunerprobe
Beispiel: Praxisorientiert…Beispiel: Praxisorientiert…
DivisionDivision
Bruchschreibweise: Bruchschreibweise:
m/n – wobei Fibonacci Brüche vor m/n – wobei Fibonacci Brüche vor die ganzen Zahlen bei gemischter die ganzen Zahlen bei gemischter Schreibweise schreibtSchreibweise schreibt
Beispiel 1346 : 4Beispiel 1346 : 4
Ergebnis: ½ 336Ergebnis: ½ 336
DivisionDivision
Einschub: Primzahlen - „Zahlen Einschub: Primzahlen - „Zahlen ohne Maß“ohne Maß“
Grund: gemischte Zahlen zu Grund: gemischte Zahlen zu dividieren indem man den Divisor dividieren indem man den Divisor durch das Produkt von Primzahlen durch das Produkt von Primzahlen ausdrückt (Primfaktorzerlegung)ausdrückt (Primfaktorzerlegung)
Einführung einer neuen Einführung einer neuen Schreibweise Schreibweise
Multiplikation, Division, Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion Addition und Subtraktion gemischter Zahlengemischter Zahlen
Bei der Addition geht Fibonacci auf Bei der Addition geht Fibonacci auf den „größten gemeinsamen Teiler“ den „größten gemeinsamen Teiler“ und „das kleinste gemeinsame und „das kleinste gemeinsame Vielfache“ einVielfache“ ein
Bei der Division spielt die Bei der Division spielt die Proportionslehre eine wichtige Rolle Proportionslehre eine wichtige Rolle für ihnfür ihn
StammbrücheStammbrüche
Als letztes Kapitel erscheint die Als letztes Kapitel erscheint die Zerlegung von Brüchen in Zerlegung von Brüchen in StammbrücheStammbrüche
7 verschiedene Verfahren! 7 verschiedene Verfahren!
Beispiel: 5/6 = ½ + 1/3Beispiel: 5/6 = ½ + 1/3
ResuméeResumée
Beim „liber abbaci“ handelt es Beim „liber abbaci“ handelt es sich um ein Mathematikbuchsich um ein Mathematikbuch
EnthaltenEnthalten– AlgorithmenAlgorithmen– DistributivgesetzDistributivgesetz– Potenzgesetz für 10er-PotenzenPotenzgesetz für 10er-Potenzen– Modulares Rechnen (Proben)Modulares Rechnen (Proben)
ResuméeResumée
Heutzutage unbrauchbar? Heutzutage unbrauchbar? Keineswegs:Keineswegs:
Widererkennung beim Rechnen im Widererkennung beim Rechnen im Ring mit ganzen Zahlen und im Ring mit ganzen Zahlen und im QuotientenringQuotientenring
Algorithmen des Computers sind Algorithmen des Computers sind ähnlich oder teilweise gleich den ähnlich oder teilweise gleich den angegebenen Algorithmenangegebenen Algorithmen
Weiterer Aufbau des Weiterer Aufbau des liber abbaciliber abbaci Erläuterung des Dreisatzes (mit Erläuterung des Dreisatzes (mit
Hilfe der Proportionslehre)Hilfe der Proportionslehre)
Anwendungsbeispiele:Anwendungsbeispiele:– WarentauschWarentausch– GewichtsumrechnungenGewichtsumrechnungen– GewinnaufteilungGewinnaufteilung– LegierungenLegierungen
Weiterer Aufbau des Weiterer Aufbau des liber abbaciliber abbaci Arithmetische ReihenArithmetische Reihen
Lineare GleichungenLineare Gleichungen
Zyklische VertauschungenZyklische Vertauschungen
Was ist ein Beweis?!Was ist ein Beweis?!
„„Ein Beweis ist ein didaktisches Ein Beweis ist ein didaktisches Hilfsmittel bei der Aufgabe, mich Hilfsmittel bei der Aufgabe, mich oder meinem Gegenüber von der oder meinem Gegenüber von der Richtigkeit meiner Behauptung zu Richtigkeit meiner Behauptung zu überzeugen.“überzeugen.“
Fibonacci Argumentation ist Fibonacci Argumentation ist nachvollziehbar und „lückenlos“ nachvollziehbar und „lückenlos“ nach obiger Definition für H. nach obiger Definition für H. LüneburgLüneburg
Was ist ein Beweis?!Was ist ein Beweis?!
Was wird deutlich? Was wird deutlich?
Fibonacci versteht seine Materie Fibonacci versteht seine Materie und kann verständlich beweisen, und kann verständlich beweisen, wie er zu seinen Auffassungen wie er zu seinen Auffassungen kommt! kommt!
Weiterer Aufbau des Weiterer Aufbau des liber abbaciliber abbaci
Weitere Anwendungsbeispiele:Weitere Anwendungsbeispiele:
„„Reisen“Reisen“ Vollkommene ZahlenVollkommene Zahlen „„Fibonacci-Zahlen“ (einziges Fibonacci-Zahlen“ (einziges
Anwendungsbeispiel zu damaliger Anwendungsbeispiel zu damaliger Zeit: Kaninchenpopulation)Zeit: Kaninchenpopulation)
Weiterer Aufbau des Weiterer Aufbau des liber abbaciliber abbaci Affine EbenenAffine Ebenen Wurzeln aller Art (Quadratwurzeln, Wurzeln aller Art (Quadratwurzeln,
Kubikwurzeln) Kubikwurzeln) Quadratische GleichungenQuadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung hat Eine quadratische Gleichung hat
entweder zwei, eine oder gar keine entweder zwei, eine oder gar keine Lösung (wobei negative Lösungen Lösung (wobei negative Lösungen als „Schulden“ aufgefasst werden)als „Schulden“ aufgefasst werden)
FAZITFAZIT
Was hat Fibonacci mit seinem Werk „liber Was hat Fibonacci mit seinem Werk „liber abbaci“ geschaffen?abbaci“ geschaffen?
Es ist ein „Buch an den Grenzen damaliger Es ist ein „Buch an den Grenzen damaliger Kenntnis“Kenntnis“
Es ist nicht sicher, dass es neue Es ist nicht sicher, dass es neue mathematische Erkenntnisse enthält!mathematische Erkenntnisse enthält!
Grundlage für weitere Entwicklungen Grundlage für weitere Entwicklungen (zahlreiche Verweise von anderen Autoren (zahlreiche Verweise von anderen Autoren zum „liber abbaci“)zum „liber abbaci“)
Fibonacci hat die mathematische Materie Fibonacci hat die mathematische Materie durchdrungen und Lösungen und Regeln durchdrungen und Lösungen und Regeln verifiziert und bewiesen.verifiziert und bewiesen.
Wie erinnert man sich Wie erinnert man sich an Fibonacci?an Fibonacci? Fibonacci-Folge:Fibonacci-Folge:
– Modell einer KaninchenpopulationModell einer Kaninchenpopulation– TreppenproblemTreppenproblem
Verwandtschaft mit dem Verwandtschaft mit dem Goldenen SchnittGoldenen Schnitt– der Quotient zweier aufeinander der Quotient zweier aufeinander
folgender Fibonacci-Zahlen nähert folgender Fibonacci-Zahlen nähert sich dem Goldenen Schnitt an sich dem Goldenen Schnitt an
Wer war Leonardo von Wer war Leonardo von Pisa?Pisa? Als letztes aus dem Als letztes aus dem Constitutum usus pisanae civitatesConstitutum usus pisanae civitates, Zitat , Zitat
und Übersetzung nach H. Lüneburg:und Übersetzung nach H. Lüneburg:„„In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo Bigollo, die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Bigollo, die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, daß bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, daß eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung und Feststellung oben genannter Schätzungen und und Feststellung oben genannter Schätzungen und Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern - von Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern - von der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd - als der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd - als Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die üblichen Naturralleistungen gegeben werden müssen und daß üblichen Naturralleistungen gegeben werden müssen und daß er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie gewohnt durch Ausführung von Rechnungen dient.“gewohnt durch Ausführung von Rechnungen dient.“
LiteraturLiteratur
Heinz Lüneburg (1992). „Heinz Lüneburg (1992). „Liber Abbaci oder Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines MathematikersLesevergnügen eines Mathematikers.“ .“ Mannheim [et al.]: BI WissenschaftsverlagMannheim [et al.]: BI Wissenschaftsverlag
Heinz Lüneburg (1996). „Leonardo Pisanos Heinz Lüneburg (1996). „Leonardo Pisanos Liber abbaci“, in: Liber abbaci“, in: Der Mathematik-Der Mathematik-Unterricht,Unterricht, 42,3 p.31-42 42,3 p.31-42
L.E.Siegler. „Fibonacci‘s Liber Abaci – a L.E.Siegler. „Fibonacci‘s Liber Abaci – a Translation into Modern English of Translation into Modern English of Leonardo Pisano‘s Book of Calculation“. Leonardo Pisano‘s Book of Calculation“. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-New York, Berlin, Heidelberg: Springer-VerlagVerlag
Vielen dank für eure Vielen dank für eure Aufmerksamkeit =)Aufmerksamkeit =)