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Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes
Laboratório Mat&Mídia,Departamento de Matemática, PUC-Rio
Théorie de Morse discrète
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Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.
Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
Introduction
• Eléments de la théorie de Morse classique
• Eléments de théorie de Morse discrète
• Construction de fonctions de Morse discrètes
• Applications
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Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.
Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
Fonctions de Morse classique
• Fonction différentiable f définie sur une variété différentielle X, à valeurs réelles.
• Points critiques de f : xX tais que f(x)=0.
• f est une fonction de Morse ssi ses points critiques ne sont pas dégénérés.
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Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.
Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
Liens avec la topologie
m(k) : nombre de points critiques d’indice k
(k) : k-ième nombre de Betti (calcule sur un anneau quelconque)
• Inégalité forte de Morse(k) - (k-1) + … (0) m(k) - m(k-1) + … m(0)
• Inégalité faible de Morse(k) m(k)
• Caractéristique d’Euler(n) - (n-1)+…(0) = m(n) - m(n-1) +… m(0)
• Déformation continue hors des points critiques
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Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
Théorie de Morse discrète(Forman 1995)
Complexe cellulaire arbitraire
Théorie entièrement combinatoire
Indépendante d’un plongement géométrique
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Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
Champs de gradient discret
• Un champs de vecteurs combinatoire V est une collection disjointe de paire de cellules incidentes
• Un champs de vecteurs est de Morse s’il n’existe pas de V-chemin trivial
• Les cellules critiques sont celles qui n'appartiennent à aucune paire de V.
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Comparaison avec la théorie classique
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Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
3 points de vue
• Fonction de Morse sur un complexe cellulaire
• Champs de gradient discret: matching acyclique
• Hyperforets
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Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
Optimalité
• Une fonction f définie par f()=dim() est une fonction de Morse discrète ou tous les points sont critiques
• Une fonction de Morse est dite optimale si elle atteint le nombre minimum de points critiques
• Le nombre minimum de points critiques est un invariant topologique pour les variétés de dimension 3
• Atteindre l’optimum est un problème MAX-SNP hard (à partir de la dimension 2)
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Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
Algorithme
• Construction de fonctions de Morse proches de l’optimum en dimension quelconque
• Optimal pour les variétés en dimension 2
• Linéaire en dimension 2
• Quadratique en dimension quelconque
• Ajouts de contraintes géométriques
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Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications
Applications
• Démonstration élégante d’algorithmes (EdgeBreaker Grow&Fold)
• Minimiser les ‘glue faces’ de Grow&Fold
• Résolution de flots discrets
• Lien avec les surfaces normales?