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eivd Régulation numérique

Chapitre 5

Fonction de transfert discrète

5.1 Introduction

Ce chapitre a pour but l’étude de la fonction de transfert de systèmes dyna-miques linéaires discrets. Indifféremment, on parlera de fonction de transfert enz, de fonction de transfert discrète ou plus simplement de fonction de transfert.

Après avoir défini la fonction de transfert discrète d’un système comme étantla transformée en z de sa réponse impulsionnelle, on examinera différentes formesde présentation (puissances de z positives ou négatives, etc), et l’on définira lespôles et les zéros. Aux pôles correspondent des modes temporels discrets, dontl’allure sera examinée en détails. On verra que certains d’entre-eux peuvent avoirune allure surprenante (effet sonnette, § 5.3.4 page 146).

Un paragraphe particulièrement important sera consacré à l’établissement dumodèle échantillonné du système à régler, ce qui permettra d’établir un lien précisentre les domaines analogique et numérique au niveau des fonctions de transferts.Le même type de lien pourra être obtenu ensuite entre les pôles de systèmesanalogiques et numériques.

5.2 Fonction de transfert d’un système dynamiquediscret

5.2.1 Définition

La fonction de transfert d’un système dynamique discret

1 linéaire2 au repos3 causal4 stationnaire

Chapitre 5, v.1.4 127 mee \cours_rn.tex\14 décembre 2004


est la transformée en z de sa réponse impulsionnelle discrète :

G(z) = Z g(k)

La fonction de transfert apparaît donc comme un autre moyen, avec l’équationaux différences et la réponse impulsionnelle, de représentation des systèmes dy-namiques linéaires (figure 5.1).

G ( z )Y ( z )U ( z )

u ( k ) y ( k )f _ 0 5 a _ 0 1 . e p s

Fig. 5.1 – Représentation d’un système dynamique linéaire discret par sa fonctionde transfert G(z) (fichier source).

Dans G(z) sont concentrées toutes les informations nécessaires à la connais-sance complète du système dynamique vu de son environnement, au travers deson entrée u(k) et sa sortie y(k). Cette dernière étant donnée par le produit deconvolution (§ 4.3.2 page 120)

y(k) =k∑

l=0

g(k − l) · u(l) = g(k) ∗ u(k)

on voit par la transformation en z des deux membres de cette égalité,

Z y(k) = Z

k∑

l=0

g(k − l) · u(l)

→ Y (z) = G(z) · U(z)

que la fonction de transfert G(z) peut être obtenue indirectement par

G(z) =Y (z)

U(z)=Z y (k)Z u (k)

=transformée en z du signal de sortietransformée en z du signal d’entrée

Définir la fonction de transfert par le biais de cette dernière relation pourraitprêter à confusion, puisqu’une telle définition laisserait entendre que G(z) dépendde l’entrée U(z) appliquée alors qu’il n’en est évidemment rien. Cette propriété,a priori évidente, doit être néanmoins soulignée, puisqu’elle a des conséquencespratiques importantes : elle autorise à identifier la fonction de transfert d’unsystème dynamique linéaire quelconque en le soumettant à un signal d’excitationu(k) choisi arbitrairement. Ce signal peut ainsi être composé en répondant auxexigences les plus diverses comme par exemple :

– sa durée (minimale, maximale) ;– son amplitude (minimale, maximale) ;


http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_05/Figures/f_05a_01.eps

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_05/Figures///f_05a.dsf


0 10 20 30 40 50 60−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

k

u(k)

Suite binaire pseudo aléatoire de 64 points et son spectre d’amplitude

f_ch_05_04_1.eps

Fig. 5.2 – Signal d’excitation de type suite binaire pseudo-aléatoire, ici de 26 =64points (SBPA) (fichier source).

– sa valeur en certains instants ;– ses caractéristiques spectrales (bande limitée, large bande), par exemple

pour faciliter l’identification d’une constante de temps, d’une résonance,etc ;

– les valeurs limites de ses dérivées (i.e. taux de variation), par exemple pouréviter des saturations.

Dans certains cas, ce signal est un saut, un signal carré ou encore une sinusoïdede fréquence variable. Au laboratoire, u(k) est souvent une suite binaire pseudo-aléatoire (SBPA), dont un exemple est donné sur la figure 5.2.

5.2.2 Exemples

Fonction de transfert de l’intégrateur "forward"

Soit un système dynamique linéaire, au repos, causal et stationnaire dontla réponse impulsionnelle discrète g(k) est un saut unité discret retardé d’unepériode d’échantillonnage et d’amplitude h (figure 5.3 page suivante) :

y(k) = g(k) = h · ε(k − 1)


http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_05/Figures/f_ch_05_04_1.eps

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_05/matlab///ch_05_04.m


y ( k ) = g ( k ) = h e ( k - 1 )u ( k ) = D ( k )

k0k0

e x c i t a t i o n r é p o n s ei m p u l s i o n n e l l e

h1

f _ 0 5 a _ 0 2 . e p s

Fig. 5.3 – Système dynamique linéaire discret ayant pour réponse impulsion-nelle un saut unité retardé d’une période d’échantillonnage et d’amplitude h(fichier source).

La fonction de transfert de ce système est simplement, en consultant la tabledes transformées en z donnée en annexe du chapitre 3 (§ 3.4 page 105) et enappliquant la propriété de décalage avant :

G (z) = Z g (k) = Z h · ε (k − 1) = h · z−1 · Z ε (k) =h

z − 1

G (z) =Y (z)

U(z)=

h

z − 1

Fonction de transfert du régulateur PID numérique

La loi de commande du régulateur PID numérique, telle qu’elle a pu êtreétablie en exercices, est donnée par (approximation du terme intégral par laméthode des trapèzes) :

u (k) = Kp ·

(e (k) +

1

Ti

·k−1∑l=0

e (l) + e (l + 1)

2· h + Td ·

e (k)− e (k − 1)

h

)

La réponse indicielle, tracée au chapitre 4, § 4.3.1 page 116, a pour expression

y (k) = γ (k) = Kp · ε (k) + Ki︸︷︷︸KpTi

· (k + 1) · h · ε (k) + Kd︸︷︷︸Kp·Td

h

·∆ (k)





La fonction de transfert du régulateur s’en déduit facilement :

G(z) =Y (z)

U(z)=Z y (k)Z u (k)

=Kp ·

(z

z−1+ 1

2·Ti·(

z·h(z−1)2

+ z2·h(z−1)2

)+ Td

h

)z

z−1

=

Kp·z·(z−1)+ h

2·Ti·z·(z+1)+

Tdh·(z−1)2

(z−1)2

zz−1

=Kp ·

(z · (z − 1) + h

2·Ti· z · (z + 1) + Td

h· (z − 1)2

)z · (z − 1)

=z2 ·

(Kp + Ki · h + Kd

h

)+ z ·

(−Kp − 2 · Kd

h

)+ Kd

h

z · (z − 1)

=b0 · z2 + b1 · z + b2

z · (z − 1)

5.2.3 Fonction de transfert d’un système décrit par sonéquation aux différences

Dans la majorité des cas, un système discret est défini par son équation auxdifférences plutôt que par l’une de ses réponses temporelles discrètes. La fonctionde transfert s’obtient alors directement par transformation en z des deux membresde l’équation, ce qui donne, dans le cas de conditions initiales nulles :

y(k) + a1 · y(k − 1) + ... + an−1 · y(k−n + 1) + an · y(k−n)

= b0 · u(k−d) + b1 · u(k−d− 1) + ... + bm−1 · u(k−n + 1) + bm · u(k−n)

La transformée en z des 2 membres de l’équation aux différences donne :(1 + a1 · z−1 + ... + an−1 · z1−n + an · z−n

)· Y (z)

= z−d ·(b0 + b1 · z−1 + ... + bm−1 · z1−m + bm · z−m

)· U(z)

d’où :

G(z) =Y (z)

U(z)=z−d · b0 + b1 · z−1 + ... + bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ... + an−1 · z1−n + an · z−n

La fonction de transfert apparaît ici comme une fraction rationnelle en z, misesous forme de puissances de z négatives. La multiplication des numérateur et



dénominateur par zn permet de mettre cette expression sous forme de puissancesde z positives :

G(z) =Y (z)

U(z)=

zn

zn· z−d · b0 + b1 · z−1 + ... + bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ... + an−1 · z1−n + an · z−n

=zn−d

zn· b0 + b1 · z−1 + ... + bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ... + an−1 · z1−n + an · z−n

=zm

zn· b0 + b1 · z−1 + ... + bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ... + an−1 · z1−n + an · z−n

soit :

G(z) =Y (z)

U(z)=

b0 · zm + b1 · zm−1 + ... + bm−1 · z + bm

zn + a1 · zn−1 + ... + an−1 · z + an

Exemple : fonction de transfert du régulateur PID numérique

Partant de la loi de commande du régulateur PID numérique donnée parl’équation aux différences

u (k)− u (k − 1) = b0 · e (k) + b1 · e (k − 1) + b2 · e (k − 2)

où le signal d’erreur e(k) est l’entrée et la commande u(k) la sortie, avec :

b0 = Kp + Ki · h + Kd

h

b1 = −Kp − 2 · Kd

h

b2 = Kd

h

a0 = 1a1 = −1a2 = 0

La fonction de transfert s’en déduit immédiatement (on pourrait également ef-fectuer la transformation en z des deux membres de l’équation aux différences) :

G (z) =U(z)

E(z)=

b0 + b1 · z−1 + b2 · z−2

1− z−1

=b0 · z2 + b1 · z + b2

z · (z − 1)

=

(Kp + Ki · h + Kd

h

)· z2 +

(−Kp − 2 · Kd

h

)· z + Kd

h

z · (z − 1)

Cette expression est identique à celle obtenue au §5.2.2 .



Exemple : fonction de transfert de l’opérateur "retard pur d’un nombreentier de périodes d’échantillonnage"

L’opérateur "retard pur de d périodes d’échantillonnage" est décrit par l’équa-tion aux différences

y (k) = u (k − d)

Sa fonction de transfert est simplement :

G (z) =Y (z)

U(z)= z−d =

1

zd

z - du ( k ) y ( k ) = u ( k - d )f _ 0 5 a _ 0 9 . e p s

Fig. 5.4 – Schéma fonctionnel d’un retard pur de d périodes d’échantillonnage(fichier source).

Il est à noter la facilité avec laquelle un retard d’un nombre entier d depériodes d’échantillonnage peut être décrit. Contrairement au cas analogique,la fonction de transfert demeure une fraction rationnelle et ne nécessite aucuntraitement mathématique particulier.

Rappel : un retard pur analogique de valeur Tr a pour fonctionde transfert (§1.6.3)

e−s·Tr

On peut l’approcher par une fraction rationnelle en s à l’aide del’approximation de Padé (§ 1.6.3 page 54) :

e−s·Tr ≈1− s · Tr

2

1 + s · Tr

2

5.2.4 Présentation de G(z)

G(z) est toujours une fraction rationnelle en z que l’on peut représentersous diverses formes, adaptées au type d’analyse que l’on s’apprête à effectuer. Ilest à noter que la forme de Bode perd son sens, car contrairement aux fonctionsde transfert de systèmes analogiques, on ne peut mettre en évidence de constantesde temps ou de pulsations caractéristiques comme coefficients de z.





Forme de puissances de z positives (forme de Laplace ou d’Evans)

Cette forme est telle que la variable z apparaît en puissances positives ounulles, le coefficient de la plus haute puissance du dénominateur deG(z) étant unitaire :

G(z) =Y (z)

U(z)=

b0 · zm + b1 · zm−1 + ... + bm−1 · z + bm

zn + a1 · zn−1 + ... + an−1 · z + an

C’est la forme qui, avec sa version factorisée, sera privilégiée dans le cadre de cecours. Les degrés des numérateur et dénominateur sont respectivement m et n.

Souvent, on s’arrange pour que le numérateur de G(z) soit aussi tel le coeffi-cient de la plus haute puissance de z soit unitaire :

G(z) =Y (z)

U(z)= b0 ·

zm + b1b0· zm−1 + ... + bm−1

b0· z + bm

b0

zn + a1 · zn−1 + ... + an−1 · z + an

Cela prépare la présentation où les numérateurs et dénominateurs sont factorisés.

Forme de puissances de z négatives

Sous cette représentation, tous les z sont sous forme de puissances négativesou nulle. De plus, pour le dénominateur, on fait en sorte que le coefficient de lapuissance de z la plus proche de zéro soit unitaire :

G(z) =Y (z)

U(z)=z−d · b0 + b1 · z−1 + ... + bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ... + an−1 · z1−n + an · z−n

Cette règle est parfois aussi appliquée au numérateur :

G(z) =Y (z)

U(z)=b0 · z−d ·

1 + b1b0· z−1 + ... + bm−1

b0· z1−m + bm

b0· z−m

1 + a1 · z−1 + ... + an−1 · z1−n + an · z−n

Dans un cas comme dans l’autre, il faut remarquer le très important facteur z−d

mis en évidence.



Formes factorisées

Lorsque cela est possible, on factorise numérateur et dénominateur pour ob-tenir l’une des formes suivantes :

G(z) =Y (z)

U(z)= b0 ·

(z − z1) · (z − z2) · ... · (z − zm)

(z − p1) · (z − p2) · ... · (z − pn)

= b0 ·∏m

i=1 (z − zi)∏ni=1 (z − pi)

G(z) =Y (z)

U(z)= b0 ·

(1− z1 · z−1) · (1− z2 · z−1) · ... · (1− zm · z−1)

(1− p1 · z−1) · (1− p2 · z−1) · ... · (1− pn1 · z−1)

= b0 ·∏m

i=1 (1− zi · z−1)∏ni=1 (1− pi · z−1)

5.2.5 Pôles et zéros, ordre et degré relatif

Les valeurs de z qui annulent le numérateur de G(z) en sont les zéros. G(z)compte donc m zéros, réels ou complexes. Les zéros sont ainsi :

z1, z2, . . . zm

valeurs dépendant des coefficients b0 à bm.

Quant aux valeurs de z annulant le dénominateur de G(z), elles portent lenom de pôles, au nombre de n. Ceux-ci sont également réels ou complexes. Lespôles sont :

p1, p2, ..., pn

valeurs dépendant des coefficients a1 à an. Le régulateur PID numérique des§ 5.2.2 page 130 et 5.2.3 page 132 est d’ordre n = 2, de degré relatif d = 0. Sespôles sont situés dans le plan de z en z = 0 et z = 1.

Graphiquement, les pôles sont représentés dans le plan complexe, i.e. le plande z, par des croix (’x’), les zéros l’étant par des cercles (’o’) (figure 5.5 pagesuivante).



0 R e

I m

1

j

Z

z 2

z 1

p 2 p 1

f _ 0 5 b _ 0 3 . e p s

Fig. 5.5 – Configuration pôles-zéros du régulateur PID numérique (fichier source).

L’ordre d’un système dynamique linéaire est égal à son nombre de pôles n.On rappelle que son degré relatif est le nombre entier

d = n−m

i.e. la différence entre le nombre de ses pôles et de ses zéros.

Formes privilégiées de G(z)

Lorsqu’il s’agit de déterminer l’ordre d’un système (le nombre de ses pôles) etle nombre de ses zéros, on privilégiera la forme en puissances de z positives.

De cette façon, on peut par exemple être sûr que la fonction de transfertG (z) = z−d = 1

zd d’un retard d’un nombre entier d de périodes d’échantillonnagepossède bel et bien d pôles !

La forme de G(z) en puissances négatives de z est utile notamment lorsquel’on souhaite retrouver l’équation aux différences régissant le système étudié, parexemple dans le but d’en implanter l’algorithme.

5.2.6 Schéma structurel

L’équation aux différences peut être représentée par son schéma structurel(figure 5.7 page 138), indiquant graphiquement les liaisons entre les variables


http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_05/Figures/f_05b_03.eps

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internes du système. Après un léger remaniement de l’équation

y(k) = b0 · u(k− d) + b1 · u(k− d− 1) + ... + bm−1 · u(k− n + 1) + bm · u(k− n)

− (a1 · y(k − 1) + ... + an−1 · y(k − n + 1) + an · y(k − n))

on peut facilement construire le schéma structurel de la page suivante, où l’opé-rateur de décalage d’une période d’échantillonnage est désigné par un bloc z−1.

S

z - 1

u ( k )

u ( k - 1 )

-

u ( k ) y ( k )1 b 0

- b 0

S

b 0(u

(k)-

u(k-

1))

f _ 0 5 b _ 0 5 . e p s

Fig. 5.6 – Vue détaillée de l’effet des zéros d’un système sur son comportementdynamique (fichier source).

L’organisation de ce schéma permet d’avoir une compréhension intuitive desrôles respectifs des pôles et des zéros. En effet, les paramètres a1 à an définissantles pôles du système, on voit que ceux-ci en déterminent les contre-réactionsinternes. Quant aux zéros, dépendant exclusivement des paramètres b0 à bm, ilsindiquent comment la grandeur d’entrée u(k) est introduite dans le système (re-tard, amplification, etc). On voit par exemple (figure 5.6) que si b0 = −b1, u(k)est introduite en étant multipliée par z−d · b0 · (1− z−1), synonyme d’une forteamplification des hautes fréquences (comportement dérivateur). Notons que ceschéma n’est pas unique, et que plusieurs formes peuvent représenter l’équationaux différences (voir la représentation des systèmes dynamiques linéaires dansl’espace d’état, [[7], [8]]).

5.3 Modes temporels discrets

5.3.1 Définition

Lorsqu’un système dynamique linéaire est excité par un signal d’entrée u(k)quelconque, la forme de la réponse y(k) dépend bien sûr de celle de u(k) maisaussi et surtout des propriétés du système. En se rappelant que u(k) peut être





Sb 0

a 1z-1

a 2z-1

a nz-1

b 1z-1

b 2z-1

b mz-1

z-dy(

k)u(

k)u(

k-d)

u(k-

n)

u(k-

d-1)

u(k-

d-2)

y(k-

n)

y(k-

1)

y(k-

2)

--

-

zéro

s(c

oupl

age

du s

ystè

me

avec

son

env

iron

nem

ent)

pôle

s(c

oupl

ages

inte

rnes

du

syst

ème,

i.e. c

ontr

e-ré

acti

ons

inte

rnes

)f_

05b_

04.e

ps

Fig. 5.7 – Schéma fonctionnel détaillé d’un système discret linéaire : la struc-ture interne du système ainsi présentée montre les rôles respectifs joués par lespôles (contre-réactions internes) les zéros ("mise en forme" du signal d’entrée)(fichier source).





représenté sous la forme d’une suite d’impulsions-unité décalées et pondérées(§ 4.3.2 page 120),

u(k) =k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)

il devient évident que le système répond par un signal y(k) constitué de la super-position des réponses impulsionnelles correspondantes.

y(k) = g (k) ∗ u (k) =k∑

l=0

g(k − l) · u(l)

La connaissance de la réponse impulsionnelle discrète est ainsi de première im-portance en vue de déterminer la forme de la réponse à un signal quelconque,raison pour laquelle on se propose d’en obtenir l’expression analytique à partirde la fonction de transfert G(z) du système considéré. On a simplement (voirégalement [4], §V.5.4.3, pour les systèmes analogiques) :

G (z) =Y (z)

U (z)⇐⇒ Y (z) = G (z) · U (z)

Comme u(k) est une impulsion-unité discrète, Y (z) s’écrit :

Y (z) = G (z)

G(z) est une fraction rationnelle en z pouvant être décomposée en élémentssimples, soit manuellement, soit systématiquement à l’aide du théorème des rési-dus. Sans restriction de la généralité des développements à faire, on peut limiterl’étude au cas particulier où tous les pôles de G(z) sont simples, ce qui donne :

Y (z) = G (z) =n∑

i=1

Ci · zz − pi

où les n pôles pi, ainsi que les n résidus Ci peuvent être soit réels, soit apparaîtrepar paires complexes conjuguées. Le calcul de y(k) par transformation inverse deY (z) est dès lors immédiat, lorsque l’on sait que (voir §3.4) :

Z−1

(z

z − p

)= pk

On a donc, pour y(k) :

y (k) = g (k) =n∑

i=1

Ci · pki

Cela montre que g(k) est constituée de la superposition de n signaux temporels.Ces signaux sont les modes discrets du système dynamique, leur combinaisonlinéaire fournissant la réponse du système à l’entrée appliquée. On voit que lesmodes sont essentiellement déterminés par les pôles de G(z). Seuls deux cas sontà considérer :



– le pôle pi est réel ;– le pôle pi est complexe.

5.3.2 Mode associé à un pôle réel

Lorsque le pôle pi est réel, le mode correspondant est simplement donné par

y (k) = g (k) = C · pki (5.1)

Le pôle est situé sur l’axe réel du plan (complexe) de z (figure 5.8). Il s’agit d’un

0

I m

p i

z

R ef _ 0 5 a _ 0 4 . e p s

Fig. 5.8 – Pôle réel (fichier source).

mode exponentiel. On remarque immédiatement que pour |pi| < 1, limk→∞ y(k) =0. Dans le cas contraire, le mode diverge.

5.3.3 Mode associé à une paire de pôles complexes conju-gués

Prenant d’emblée en compte que les pôles complexes apparaissent toujourspar paires conjuguées, on a, en les exprimant sous forme polaire :

p1,2 =

module︷︸︸︷R ·ej·

argument︷︸︸︷±Ω

Le polynôme en z correspondant est :

(z − p1) · (z − p2) =(z −R · ej·Ω) · (z −R · e−j·Ω) = z2 − 2 ·R · cos (Ω) · z + R2

Les pôles complexes sont disposés dans le plan de z comme le montre la figure 5.9page ci-contre.

Rappel (§ 3.3.3 page 98) :

Z(ak·h

)=(

z

z − ah

)=(

z

z − p

)





0

I m

R e

z+ j R s i n ( W )

R c o s ( W )

- j R s i n ( W )

R

W

f _ 0 5 a _ 0 5 . e p s

Fig. 5.9 – Paire de pôles complexes conjugués (fichier source).

La transformée en z G(z) de la réponse impulsionnelle discrète g(k) s’exprimesous la forme générale :

Y (z) = G(z) = C · z

(z − p1)+ C · z

(z − p2)

où C et C sont les résidus des pôles p1 et p2. La transformée en z inverse donne :

y (k) = g(k) = C · pk1 + C · pk

2 = C ·(R · ej·Ω)k + C ·

(R · e−j·Ω)k

En développant et en faisant usage d’identités trigonométriques, on montre quele mode correspondant est sinusoïdal, pondéré par un terme exponentiel :

y (k) = C ·(R · ej·Ω)k + C ·

(R · e−j·Ω)k

= 2 ·Rk · [<C · cos (Ω · k)− ·=C · sin (Ω · k)]

= 2 ·Rk · |C| · sin(

Ω · k + arctan

=C< C

)Le mode discret associé à une paire de pôles discrets complexes conjugués estdonc de forme générale :

y(k) = Rk · sin(Ω · k) (5.2)

On remarque aussi que pour |R| < 1, limk→∞ y(k) = 0. Dans le cas contraire, lemode diverge.





5.3.4 Relation entre la position des pôles dans le plan com-plexe et la forme des modes discrets

D’après ce qui précède, la position, dans le plan de z, des pôles de la fonctionde transfert d’un système discret détermine la forme du mode leur étant associéselon la relation

yi (k) ∝ pki

On présente ci-après les différents modes caractérisant un système discret.

Modes apériodiques

Les modes temporels associés à des pôles réel sont apériodiques, selon la re-lation (5.1). Le tableau suivant donne leur forme en fonction de la position despôles dans le plan de z.



Configuration des pôles Mode discret

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 1 . e p s

z

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

g(k)

f_ch_05_03_1.eps

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 2 . e p s

z

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_11.eps

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 4 . e p s

z

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_12.eps

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 3 . e p s

z

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

k

g(k)

f_ch_05_03_5.eps


http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_05/Figures/f_05_01.eps









Modes oscillatoires

La relation (5.2) montre qu’un mode oscillatoire est dû à la présence d’unepaire de pôles complexes conjugués. Il est formé d’une sinusoïde pondérée par unterme exponentiel.


0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 8 . e p s

0 5 10 15 20 25−0.5

0

0.5

1

1.5

2

kg(

k)f_ch_05_03_2.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 1 1 . e p s

0 5 10 15 20 25−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_7.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 9 . e p s

0 5 10 15 20 25−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

k

g(k)

f_ch_05_03_3.eps

On observe que pour des pôles exactement situés sur le cercle-unité, le modeest oscillatoire entretenu.

Des pôles complexes conjugués à partie réelle négative engendrent un modedont les échantillons changent de signe très fréquemment, presque à chaque ins-tant k. La conversion D/A d’un tel signal (figure 5.10 page 146) convainc qu’un










0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 1 2 . e p s

0 5 10 15 20 25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_8.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 1 0 . e p s

0 5 10 15 20 25−20

−10

0

10

20

30

40

k

g(k)

f_ch_05_03_4.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 1 3 . e p s

0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

k

g(k)

f_ch_05_03_9.eps









mode de cette nature, même stable, est à éviter à tout prix dans une boucle derégulation, à moins qu’il soit notablement dominé par d’autres modes de com-portement plus acceptable.

0 5 10 15 20 25−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

g(t)

Fig. 5.10 – Commande issue d’un régulateur, lorsque le système asservi possèdedes pôles discrets à partie réelle négative (fichier source).

Il faut en effet s’imaginer qu’un système à régler, analogique, excité par unecommande variant de cette façon, peut avoir un comportement quasi chaotiqueentre deux instants d’échantillonnage (voir par exemple la figure 2 page 45). Si l’onn’est pas attentif, de tels pôles peuvent se retrouver dans la fonction de transfertGu (z) = U(z)

W (z), tout en étant absents de la fonction de transfert Gw (z) = Y (z)

W (z).

Modes alternés

Un mode alterné est observable lorsqu’un système dynamique linéaire possèdeun pôle réel négatif. Le mode associé à tout pôle discret pi étant du type pk

i , ilressort que pour un pôle réel et négatif, le signal change de signe à chaque instantd’échantillonnage. On parle de mode alterné ou d’effet sonnette.

La remarque concernant les pôles complexes à partie réelle négative s’appliqueparticulièrement dans le cas d’un mode alterné.



http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_05/matlab///f_05_30.m



0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 5 . e p s

0 5 10 15 20 25−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_6.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 6 . e p s

0 5 10 15 20 25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_13.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 7 . e p s

0 5 10 15 20 25−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

k

g(k)

f_ch_05_03_10.eps









5.4 Analyse des propriétés d’un système discretsur la base de sa fonction de transfert

On peut très facilement connaître certaines caractéristiques importantes d’unsystème dynamique linéaire discret en faisant une brève analyse de sa fonctionde transfert.

5.4.1 Gain statique

Le gain statique se calcule par

K = limk→∞

y (k)

u (k)

∣∣∣∣u(k)=ε(k)

= limk→∞

y (k)

lorsque u(k) est un saut unité discret. L’application du théorème de la valeurfinale permet de mettre le gain statique sous la forme :

K = limz→1

[z − 1

z·(

G (z) · z

z − 1

)]= lim

z→1G (z)

5.4.2 Comportement intégrateur

Lorsque que G(z) possède un pôle en z = 1, et n’a pas de zéro le compensant,soit

G (z) ∝ 1

z − 1

G(z) possède un comportement intégrateur.

. . .. . . . . . . . .1

1z -

G ( z )

u ( k ) y ( k )u i ( k ) y i ( k )

y i ( k ) = y i ( k - 1 ) + u i ( k - 1 )

f _ 0 5 b _ 0 6 . e p s

Fig. 5.11 – Système discret à comportement intégrateur (fichier source).

Il suffit pour s’en convaincre de calculer la fonction de transfert de l’intégrateurdiscret (forward), dont l’équation aux différences est :

y (k) = y (k − 1) + u (k) · h





On obtientG (z) =

Y (z)

U (z)=

z · hz − 1

fonction de transfert possédant manifestement un pôle en z = 1. Toute fonctionde transfert ayant ainsi un pôle en z = 1 a donc un comportement intégrateur,dont l’effet est particulièrement visible en régime permanent.

On note que le gain statique d’un système possédant un ou plusieurs pôles enz = 1 tend vers l’infini.

5.4.3 Comportement dérivateur

L’opérateur de dérivation peut être approximé de manière discrète par

y (t) =du

dt≈ u (k)− u (k − 1)

h= y (k)

correspondant à la fonction de transfert

G (z) =1− z−1

h=

z − 1

h · zLorsque le numérateur de la fonction de transfert d’un système dynamique linéairepossède un facteur (z − 1), soit

G (z) ∝ (z − 1)

. . .. . . . . . . . .z - 1

G ( z )

u ( k ) y ( k )u i ( k ) y i ( k )

y i ( k ) = u i ( k + 1 ) - u i ( k )

f _ 0 5 b _ 0 7 . e p s

Fig. 5.12 – Système discret à comportement dérivateur (fichier source).

le système considéré a un comportement dérivateur. Notons que logiquement, songain statique est alors nul.

5.4.4 Retard pur

On a déjà montré dans les exemples introductifs que la fonction de transfertde l’opérateur "retard pur d’un nombre entier de périodes d’échantillonnage"s’exprimait sous la forme très simple

G (z) = z−d =1

zd.





z−d

On se propose ici d’examiner le comportement d’un système dynamique linéairequelconque entaché d’un retard pur de d périodes d’échantillonnage.

. . .. . . . . . . . .z d-

G ( z )

u ( k ) y ( k )u i ( k ) y i ( k )

y i ( k ) = u i ( k - d )

f _ 0 5 b _ 0 8 . e p s

Fig. 5.13 – Système discret comportant un retard pur de d périodes d’échan-tillonnage (fichier source).

Revenant à l’équation aux différences utilisée pour construire le schéma struc-turel du système dynamique linéaire,

y(k) = b0 · u(k − d) + b1 · u(k − d− 1) + ... + bm−1 · u(k − n + 1) + bm · u(k − n)− (a1 · y(k − 1) + ... + an−1 · y(k − n + 1) + an · y(k − n))

la signification pratique du degré relatif d = n−m va être précisée.Rappelant que k désigne l’instant présent, une valeur de d négative impli-

querait que l’entrée u(k − d), alors future, pourrait influencer la sortie présentey(k). Le système serait non-causal. Si d = 0, il existe un lien direct, instantané,entre la sortie y(k) et l’entrée u(k) et le système réagit donc sans aucun retard(voir le schéma structurel, figure 5.7 page 138). Si d > 0, la sortie y(k) est re-tardée par rapport à u(k), dont l’effet sur y(k) ne s’observera que d périodesd’échantillonnage plus tard.

Le paramètre d définit en fait le nombre de périodes d’échantillonnage s’écou-lant entre l’instant où le système discret au repos est excité et celui où l’effetcorrélatif sur la sortie peut être observé. En pratique, on a, pour les systèmesphysiquement réalisables :

d > 0

Le degré relatif d peut s’extraire directement de la fonction de transfert, lorsquecelle-ci est mise sous forme convenable, on a :

G(z) =Y (z)

U(z)=z−d · b0 + b1 · z−1 + . . . + bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + . . . + an−1 · z1−n + an · z−n

ouG(z) =

Y (z)

U(z)=

b0 · zm + b1 · zm−1 + . . . + bm−1 · z + bm

zn + a1 · zn−1 + . . . + an−1 · z + an

∣∣∣∣d=n−m





5.5 Modèle échantillonné du système à régler

5.5.1 Introduction

Dans le cas d’un système de régulation numérique, le système asservi Ga(s),de nature analogique, n’est vu par l’algorithme qu’aux instants d’échantillonnageau travers des convertisseurs D/A et A/D (figure 5.14). On dit parfois que l’algo-

A l g o r i t h m e AD G a ( s )

AD

S-

+w ( k )

y ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k )e ( k )

N U M E R I Q U E A N A L O G I Q U E

f _ 0 5 b _ 0 1 . e p s

Fig. 5.14 – Schéma fonctionnel d’un système de régulation numérique : le sys-tème asservi Ga(s) n’est vu par l’algorithme qu’aux instants d’échantillonnage autravers des convertisseurs D/A et A/D (fichier source).

rithme n’a qu’une vue stroboscopique du système à régler, qu’il perçoit par unepaire de signaux discrets, en fait 2 suites de nombres :

1. la commande u(k) qu’il lui fournit ;

2. la grandeur réglée contre-réactionnée y(k).

Il n’y a alors qu’un pas à franchir pour affirmer que l’algorithme "considère" lesystème à régler comme un système discret (figure 5.15 page suivante). Immédia-tement se pose la question de savoir par quelle équation aux différences puis parquelle fonction de transfert H(z) l’algorithme voit le système à régler analogiqueGa(s) au travers des convertisseurs D/A et A/D.

5.5.2 Relation fondamentale

Pour déterminer H(z), les hypothèses de linéarité de chaque élément doiventêtre posées. Cela signifie en particulier que l’effet de quantification des conver-tisseurs A/D et D/A doit pouvoir être admis négligeable. On admet que ceux-cisont également au repos, causals et stationnaires. On sait alors que la fonctionde transfert cherchée H(z) est donnée par définition par la transformée en z dela réponse impulsionnelle discrète du système. Appliquons donc une impulsionunité discrète au système. On a, en examinant les signaux d’entrée et de sortiede chaque bloc de la figure 5.15 page suivante :



http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_05/Figures///f_05.dsf


AD A

D y ( k )u ( t ) y ( t )

u ( k )

U ( z ) Y ( z )

G a ( s )

H ( z )f _ 0 5 b _ 0 2 . e p s

Fig. 5.15 – L’algorithme voit le système à régler analogique Ga(s) comme unsystème discret (fichier source).

Signal Transformée

1 u(k) = ∆(k) U(z) = 1 impulsionunité discrète

2 u(t) = ε(t)− ε(t− h) U(s) = 1s · (1− e−s·h) impulsion

continue rec-tangulaire delargeur h

3 y(t) = L−1 (Ga(s) · U(s)) Y (s) = Ga(s) · U(s) réponse dusystème ana-logique àl’impulsionrectangulaire

4 y(k) =L−1 (Ga(s) · U(s))

Y (z) = Z

L−1 (Ga(s) · U(s))

réponse im-pulsionnellediscrète

Y (z) a donc pour expression :

Y (z) = Z

L−1

(Ga(s) ·

1

s·(1− e−s·h))︸︷︷︸

signal analogique y(t)

︸︷︷︸signal discret y(k)︸︷︷︸

transformée en z du signal discret

où le fait de mettre le signal y(t) entre accolades signifie qu’on en prend sa version





échantillonnée y(k). En poursuivant, on a :

Y (z) = ZL−1

(Ga(s) ·

1

s−Ga(s) ·

1

s· e−s·h

)

= Z

L−1

(Ga(s) ·

1

s

)︸︷︷︸

”f(t)”

−L−1

(Ga(s) ·

1

s· e−s·h

)︸︷︷︸

”f(t−h)”

= Z

L−1

(Ga(s) ·

1

s

)︸︷︷︸

”f(t)”

︸︷︷︸f(k·h)

−Z

L−1

(Ga(s) ·

1

s· e−s·h

)︸︷︷︸

”f(t−h)”

︸︷︷︸f((k−1)·h)

et en appliquant la propriété de translation avant d’un signal discret, on obtientdans un premier temps :

Y (z) =(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s) ·

1

s

)= Z g(k) = H(z)

puis finalement la relation fondamentale :

H(z) =Y (z)

U(z)=(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s)

s

)On doit relever ici que cette relation a été obtenue en appliquant simplement ladéfinition de la fonction de transfert :

H(z) = Z g(k)

Remarque : les ordres de H(z) et de Ga(s) sont les mêmes, sauf cas très parti-culiers (voir par exemple la transformée en z no21 du tableau du § 3.4 page 105).Dans la règle, le processus d’échantillonnage n’ajoute ou ne supprime pas depôles.

5.5.3 Exemple

Soit un système à régler analogique de fonction de transfert

Ga(s) =Y (s)

U(s)=

1

s− s1

On obtient son modèle échantillonné H(z) en calculant successivement :



Etape Opération1 Ga(s)

s= 1

s·(s−s1)

2 L−1(

1s·(s−s1)

)= 1

−s1· (1− es1·t)

3

1−s1· (1− es1·t)

= 1

−s1·(1− es1·k·h

)4 Z

1−s1·(1− es1·k·h

)= 1

−s1·(

zz−1− z

z−es1·h

)= 1

−s1·(

z·(1−es1·h)(z−1)·(z−es1·h)

)5 (1− z−1) ·

(1−s1·(

z·(1−es1·h)(z−1)·(z−es1·h)

))= 1

−s1· (1−es1·h)(z−es1·h)

6 H(z) = Y (z)U(z)

= 1−s1· (1−es1·h)(z−es1·h)

= b1z−p1

= b1z+a1

Les étapes 2 et 3 peuvent être omises si l’on travaille avec une table destransformées en z telle que celle du § 3.4 page 105. On peut en effet directementpasser de la colonne F (s) à la colonne F (z). Il y a donc moins de calculs à fairequ’il n’y paraît a priori.

Cet exemple montre que les ordres de Ga(s) et de H(z) sont les mêmes, commec’est presque toujours le cas.

5.6 Combinaisons de fonctions de transfert

5.6.1 Règles générales

La similitude incontestable des relations valables pour les systèmes– analogiques : Y (s) = G (s) · U (s)

et les systèmes– discrets : Y (z) = G (z) · U (z)

fait que les mêmes règles de combinaison des fonctions de transfert peuvent êtreutilisées. On se référera donc à [5], chapitre 3, pour une présentation des méthodesde réduction des schémas fonctionnels.

5.6.2 Fonctions de transfert d’un système de régulation nu-mérique

Fonction de transfert en boucle ouverte Go(z)

La fonction de transfert en boucle ouverte, définie pour w(k) = 0 et v(t) = 0,s’obtient comme dans le cas analogique, en coupant la rétroaction y(k) en amontdu comparateur et en injectant un signal e(k). Si l’on mesure ou calcule y(k), la



fonction de transfert en boucle ouverte est alors :

Go (z) =Z y (k)Z e (k)

∣∣∣∣w(k) = 0v(t) = 0

=Y (z)

E (z)

Avec les conventions prises (schéma fonctionnel universel et définition des fonctionde transfert), la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par le produitdes fonctions de transfert du régulateur numérique et du modèle échantillonnédu système à régler.

1s

S 1s

+

-

w ( k ) = 0 y ( k )u ( k )

y ( k )

e ( k )+

e ( k )

G c ( z )

G o ( z )

H ( z )

f _ 0 5 b _ 0 9 . e p s

Fig. 5.16 – Fonction de transfert en boucle ouverte d’un système de régulationnumérique (fichier source).

Go (z) =Y (z)

E (z)= Gc (z) ·H (z) = Gc (z) ·

(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s)

s

)Fonction de transfert en régulation de correspondance Gw(z)

L’obtention de la fonction de transfert en régulation de correspondance estimmédiate ; partant du schéma fonctionnel de la figure 5.17 page suivante on a,puisque le retour est unitaire :

Gw (z) =Y (z)

W (z)=

Go (z)

1 + Go (z)

Connaissant Gw(z), il est désormais possible de calculer la réponse en bouclefermée d’un système de régulation numérique. Il suffit de résoudre (v(t) = 0) :

y (k) = Z−1 Y (z) = Z−1 Gw (z) ·W (z) = Z−1

Go (z)

1 + Go (z)·W (z)

.

Fonction de transfert en régulation de maintien Gv(z)

L’obtention de la fonction de transfert en régulation de maintien pose plusde difficultés. Dans le cas de la régulation de maintien, la grandeur d’entrée est





G c ( z )A

D

AD

S-

+w ( k )

y ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k )e ( k )

S-

+w ( k ) y ( k )u ( k )e ( k )H ( z )

G a ( s )

G c ( z )

f _ 0 5 b _ 1 0 . e p s

Fig. 5.17 – Fonction de transfert en régulation de correspondance (fichier source).

un signal purement analogique v(t), alors que celle de sortie est discrète puisqu’ils’agit de y(k) (figure 5.18 page suivante). La perturbation v(t) étant totalementaléatoire, elle intervient et peut varier à n’importe quel moment, sans synchro-nisme avec l’horloge dictant la période d’échantillonnage, au contraire de w(k)ou de y(k).

En effet, en régulation de correspondance, on a obtenu une relation entre 2grandeurs w(k) et y(k) en tirant parti du fait que la consigne w(k) est naturediscrète, provenant d’un générateur de consigne ou résultant de l’échantillonnaged’une consigne analogique w(t). De ce fait, w(k) n’est définie et ne peut varierqu’aux instants d’échantillonnage. Tel n’est pas le cas de v(t), la conséquencepratique en étant que le régulateur, "aveugle" entre 2 instants d’échantillonnage,par exemple k et (k +1), ne peut réagir à l’apparition d’une perturbation v(t) ent = t0

k · h < t0 < (k + 1) · h,

qu’à l’instant d’échantillonnage suivant, i.e. l’instant (k + 1).Il est alors clair que l’erreur e(k + 1) dépend de la durée écoulée ((k + 1) ·

h − t0) depuis la manifestation de la perturbation, et l’amplitude de la réactiondu régulateur est ainsi fonction de t0 (figure 5.19 page 158). Le système asserviréagit donc différemment selon l’instant auquel l’entrée v(t) lui est appliquée, cequi signifie qu’il est non-stationnaire (§ 4.2.2 page 109 et exemple § 2 page 45).La conséquence en est que la fonction de transfert

Z grandeur réglée yZ perturbation v





G c ( z ) AD G a ( s )

AD

S-

+w ( k ) = 0

y ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k )e ( k )

S

v ( t )

f _ 0 5 b _ 1 2 . e p s

Fig. 5.18 – Mise en évidence du signal de perturbation analogique agissant surun système de régulation numérique (fichier source).

ne peut être définie mathématiquement. En effet, s’il reste possible de déterminerla transformée en z Y (z) de y(k), en sommant les transformées en z de chaquecontribution à y(k),

Z y (k) = Y (z)

= Z Ga (s) · V (s)︸︷︷︸contribution de v(t) à y(k)

+ H (z) · U (z)︸︷︷︸contribution de U(z)à Y (z)

= Z Ga (s) · V (s) −Gc (z) ·H (z) · Y (z)

d’où,

Y (z) =Z Ga (s) · V (s)1 + Gc (z) ·H (z)

il est par contre impossible d’extraire une quelconque fonction de transfert Gv(z) !On représente ci-dessous (figure 5.19 page suivante) la réponse d’un système

asservi à un saut unité de perturbation intervenant aux instants 0, 0.25 · h, 0.5 ·h, 0.75·h. Un tel effet est en pratique négligeable, si la fréquence d’échantillonnagefe est suffisamment élevée et surtout par le fait que le système à régler présentetoujours un comportement de type passe-bas atténuant l’effet des perturbationsrapides.

Une manière de contourner le problème consiste à admettre que les perturba-tions probables ont une dynamique modérée par rapport à la fréquence d’échan-tillonnage choisie (figure 5.20 page 159). Dans ce cas là, une perturbation interve-nant n’importe quand entre 2 instants d’échantillonnage aura un effet semblabledans tous les cas. Elle peut alors être approximée par le signal qu’elle produi-rait en traversant un bloqueur d’ordre zéro, ce qui présente le grand avantagede la synchroniser sur l’horloge du système asservi. Le système étant maintenantdevenu stationnaire, on peut calculer la fonction de transfert en régulation demaintien

Z y(k)Z vm(k)





0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1v(

t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

t [s]

y(t)

f_ch_05_05_1.eps

Fig. 5.19 – Réponses indicielles en régulation de maintien d’un système de régula-tion numérique, pour des perturbations intervenant entre 2 instants d’échantillon-nage. On observe que les réponses sont différentes (i.e. pas simplement décalées,mais de formes différentes) selon l’instant d’apparition de la perturbation : lesystème est non-stationnaire (fichier source).

par application de la définition de la fonction de transfert : Gv(z) est la transfor-mée en z de la réponse impulsionnelle du système, soit

Gv (z) = Z g (k)

La réponse impulsionnelle g(k) est obtenue en posant :

v(t) = δ(t)

Dans ce cas, où la perturbation est synchronisée sur la période d’échantillonnage,on a tout d’abord

vm(k) = ∆(k)

vm(t) = ε(t)− ε(t− h)





G c ( z ) AD G a ( s )

AD

S-

+w ( k ) = 0

y ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k )e ( k )

S

v ( t )A

DD

A v ( k )

h

p e r t u r b a t i o n

a n a l o g i q u e

s y n c h r o n i s é e

v m ( t )

f _ 0 5 b _ 1 1 . e p s

Fig. 5.20 – Artifice consistant à synchroniser la perturbation afin d’évaluer, demanière approximative, la fonction de transfert en régulation de maintien Gv(z)(fichier source).

puis en se rappelant la démarche suivie au § 5.5.2 page 151 :

Z y (k) = Gv (z)

= Z Ga (s) · Vm (s)︸︷︷︸contribution de vm(t) à y(k)

+ H (z) · U (z)︸︷︷︸contribution de U(z) à Y (z)

= Z

Ga (s) · 1s·(1− e−s·h)︸︷︷︸

contribution de v(t) à y(k)

+ H (z) · U (z)︸︷︷︸contribution de U(z) à Y (z)

= H (z)︸︷︷︸modèle échantillonné de Ga(s)

−Gc (z) ·H (z) ·Gv (z)

d’où :Gv (z) =

Y (z)

Vm (z)=

H (z)

1 + Gc (z) ·H (z)

Une telle approximation se justifie dans la plupart des cas.

5.7 Correspondance entre pôles analogiques et dis-crets

5.7.1 Définition du problème

Considérons la situation décrite par la figure 5.21 page suivante : le système





AD

ADy ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k ) G a ( s )

f _ 0 5 a _ 0 6 . e p s

Fig. 5.21 – Système analogique encadré par des convertisseurs D/A et A/D(fichier source).

à régler analogique Ga(s) est encadré par les convertisseurs D/A et A/D et l’onsait que l’algorithme fournissant u(k) et recevant y(k) le voit par la fonction detransfert équivalente :

H(z) =Y (z)

U(z)=(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s)

s

)La question se posant ici est de déterminer s’il existe un lien direct entre les pôlesdu système analogique de fonction de transfert Ga(s) et ceux du système discretde fonction de transfert H(z). On cherche donc, pour les pôles, une relationmathématique entre les plans de s et de z.

5.7.2 Relation fondamentale

Soit la fonction de transfert

Ga(s) =Y (s)

U(s)=

1

s− s1

possédant un pôle réel ou complexe en s = s1. Son modèle échantillonné est, enreprenant le résultat de l’exemple du § 5.5.3 page 153 :

H(z) =Y (z)

U(z)=

1

−s1

·(1− es1·h

)(z − es1·h)

=b0

z − p1

On constate que le pôle analogique s1 s’est transformé, par suite de l’échantillon-nage, en un pôle discret de valeur

p1= es1·h

La relation liant les pôles d’un système analogique à ceux de son modèle échan-tillonné est donc :

z = es·h

La figure 5.22 page ci-contre illustre cette relation.





sI m

R e

zI m

R e01

j

0

f _ 0 5 _ 2 4 . e p s

Fig. 5.22 – Transformation des pôles d’un système analogique par l’échantillon-nage : la relation z = es·h définit le lien entre les plans s et z (fichier source).

5.7.3 Propriétés

Il faut relever que la transformation des pôles par l’expression z = es·h faitintervenir la période d’échantillonnage h ; selon la valeur de celle-ci, un mêmepôle analogique du plan de s aura différentes images dans le plan de z.

D’autre part, la relation z = es·h est périodique de période ωe = 2·πh

, puisque :

z = es·h

= e(−δ+j·ω0)·h

= e−δ·h · (cos(ω0 · h) + j · (sin(ω0 · h))

= e−δ·h · (cos ((ω0 + ωe) · h) + j · sin ((ω0 + ωe) · h))

= e−δ·h · (cos (ω0 · h + 2 · π) + j · sin (ω0 · h + 2 · π))

= e(−δ+j·(ω0+ωe))·h

Ainsi, les pôles complexes analogiques

s1,2 = −δ ± j · ω0 et s3,4 = −δ + j · (ωe ± ω0)

ont la même image dans le plan de z (figure 5.23 page suivante).Ce phénomène est une conséquence directe de l’échantillonnage, ou plus pré-

cisément du sous-échantillonnage, puisqu’aux pôles s3 et s4 correspond un modesinusoïdal analogique d’une pulsation propre ω0 + ωe ne respectant de loin pas lethéorème de Shannon.

C’est pourquoi, en pratique, un tel phénomène est sans conséquence, les modesde pôles tels que s3 et s4 étant fortement atténués par le filtre anti-repliementqu’on aura pris soin d’insérer entre le capteur et le convertisseur A/D.





I m

R e0

s

I m

0 R e

z+ j w e

+ j w N

- j w N

s 1

s 2

- j w e

z = e s h

p 1

p 2

s 3

s 4

f _ 0 5 _ 1 4 . e p s

Fig. 5.23 – Par suite du non-respect du théorème de l’échantillonnage (§ 2.3page 73), des pôles analogiques distincts de la quantité j · ωe ont la même imagedans le plan de z (fichier source).

5.7.4 Exemples

Intégrateur

Un pôle analogique situé en s = 0[ rad

s

], soit à l’origine du plan de s, est sy-

nonyme d’un système analogique ayant un comportement intégrateur. La trans-formation de ce pôle lors de l’échantillonnage du système analogique

z = es·h = e0·h = 1

La fonction de transfert d’un système discret possédant un comportement inté-grateur a donc un pôle en z = 1.

Filtre passe-bas numérique d’ordre 1

Pour montrer tout l’intérêt de la relation z = esh, essayons, comme au § 4.3.1page 118, de construire un filtre numérique passe-bas de premier ordre en partantde la fonction de transfert

G (s) =Y (s)

U (s)=

1

1 + s · T=

(−s1)

s− s1

Afin d’obtenir la fonction de transfert du filtre numérique reproduisant au mieuxle comportement de G(s), calculons le modèle échantillonné H(z) de G(s). Celui-





0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 2 . e p s

z

Fig. 5.24 – Transformation du pôle d’un système intégrateur par suite de l’échan-tillonnage : s = 0

[ rads

]←→ z = 1. Voir également le § 5.4.2 page 148 (fichier source).

ci a été obtenu dans l’exemple du § 5.5.3 page 153. On a :

H(z) =Y (z)

U(z)=

1

−s1

·(1− es1·h

)(z − es1·h)

=b0

z − p1

=b0

z + a1

avec :a1= −p1 = −es1·h = −e−

hT

Le pôle du filtre numérique est réel, situé en p1 = es1·h = e−hT (figure 5.25).

Par comparaison avec l’exemple du §4.3.1, on observe que le coefficient a1 est

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 1 . e p s

z

Fig. 5.25 – Pôle discret d’un filtre numérique passe-bas (fichier source).







différent, ce qui se traduit par une parfaite correspondance entre les réponsesindicielles des réalisations analogiques et numériques (figure 5.26).

0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t[s]

γ (t)

, γ (k

)

Réponses indicielles des filtres analogique et numérique (h=1[s], T=6[s])

f_ch_05_17_1.eps

Fig. 5.26 – Correspondance parfaite (dans le cas particulier) en les filtres ana-logique et numérique. A comparer avec la figure 4.11 page 119, pour T = 6 [s](fichier source).

Il vaut ici la peine de remarquer que

a1 = −e−hT = − 1

ehT

≈ −

1

1 +hT

1!

= −

(1

1 + 1Th

)= −

(Th

1 + Th

)

Le coefficient a1 obtenu au chapitre 4 par discrétisation de l’équation différentiellen’a pour autre valeur que celle du développement limité du coefficient a1 "exact".Si l’on avait connu au § 4.3.1 page 118 la correspondance z = esh entre les pôlesdes plans de s et z, on aurait donc pu déterminer immédiatement le coefficienta1.





Comment construire, "vite fait" (bien fait ?), de manière approxi-mative, un filtre passe-bas numérique d’ordre 1 ? En désignantpar H(z) la fonction de transfert du filtre recherché, on procèdecomme suit :

1. Calculer le pôle du filtre analogique correspondant

G (s) =Y (s)

U (s)=

1

1 + s · T⇒ s1= −

1

T

2. Calculer le pôle discret équivalent

p1 = es1·h = e−hT ⇒ H (z) ∝ 1

z − p1

3. Faire en sorte que le gain statique de H(z) soit égal à celuide G(s)

K = G (s)|s=0 = H (z)|z=1 = H (1)

d’oùH (z) =

Y (z)

U (z)=

1− p1

z − p1

=b0

z + a1

4. L’équation aux différences du filtre est alors :

y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k − 1)

5.7.5 Images de courbes et surfaces particulières

L’application de la relation z = es·h permet de déterminer très facilementce que deviennent les pôles du plan de s par suite de l’échantillonnage. D’unemanière générale, un pôle analogique s est complexe et s’exprime sous formecartésienne par

s = σ + j · ω0 ,

et sa transformation par échantillonnage est le pôle discret z :

z = es·h = eσ·h · ej·ω0·h

Rappel : la relation z = es·h n’est valable que pour les pôles.Elle est inapplicable pour trouver la transformation des zéros paréchantillonnage !



Image de droites horizontales et verticales

Une droite horizontale du plan de s est décrite par

s = σ + j · b b = const.

Son image dans le plan de z est

z = eσ·h︸︷︷︸module variable

· ej·b·h︸︷︷︸argument constant

On voit (figure 5.27) qu’il s’agit de demi-droites de pentes b · h, et l’on note quel’axe réel du plan s devient l’axe réel positif du plan z.

sI m

R e0

zI m

R e0

+ j w N

- j w N

f _ 0 5 _ 1 5 . e p s

Fig. 5.27 – Image de droites horizontales (fichier source).

Quant à la droite verticale du plan de s,

s = a + j · ω0

où a est une constante réelle, elle se transforme en un cercle de rayon ea·h :

z = ea·h︸︷︷︸module constant

· ej·ω0·h︸︷︷︸argument variable

On relève que l’image de l’axe imaginaire du plan de s n’est autre que le cercleunité dans le plan de z (figure 5.28 page ci-contre).





s

I m

R e0

zI m

R e01

j

I m a g e d e l ' a x e

i m a g i n a i r e :

c e r c l e u n i t é+ j w N

- j w Nf _ 0 5 _ 1 6 . e p s

Fig. 5.28 – Image de droites verticales (fichier source).

Image des courbes équi-amortissement

Tous les pôles analogiques situés sur les demi-droites équi-amortissement duplan de s sont caractérisés par le même taux d’amortissement ζ (figure 5.29page suivante). Leur image par la transformation fournit ainsi les courbes équi-amortissement du plan de z. On a :

s = σ + j · ω0 = −δ + j · ω0

où δ et ω0 sont tels que ζ soit constant, donc :

ζ = sin (Ψ) =δ√

δ2 + ω20

= constante

Comme il s’agit d’une droite passant par l’origine, les parties réelles et imaginairessont proportionnelles :

ω0 = −a · σ

On obtient :z = eσ·h · e−j·a·σ·h

qui graphiquement se présente sous la forme d’une spirale logarithmique. Lescourbes équi-amortissement du plan de z ont donc l’allure de spirales logarith-miques. La figure 5.30 page suivante en représente quelques-unes. La figure 5.31page 169 montre de plus les courbes à ωn · h = constante (pulsation propre non-amortie ωn multipliée par la période d’échantillonnage h), qui sont des cerclesdans le plan de s.





s

I m

R e

Y

0

z = c o n s t a n t e

j w 0

- df _ 0 5 _ 1 7 . e p s

Fig. 5.29 – Courbe équi-amortissement du plan de s (fichier source).

−2 0 2−3

−2

−1

0

1

2

3

ζ=0ζ=0.25

ζ=0.5

ζ=0.70711

ζ=0.9

Re

Im

Courbes équi−amortissement (plan s)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

ζ=0ζ=0.25

ζ=0.5ζ=0.70711

ζ=0.9ζ=1

Re

Im

Courbes équi−amortissement (plan z)

f_ch_05_01_1.eps

Fig. 5.30 – Image des courbes équi-amortissement (fichier source).







−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im

Courbes équi−amortissement et équi−ωn (plan z)

f_ch_05_01_2.eps

Fig. 5.31 – Image des courbes équi-amortissement (fichier source).





A l’instar de que qui a été fait en régulation analogique, la connaissance descourbes équi-amortissement dans le plan de z permettra par exemple de déter-miner où placer les pôles en boucle fermée d’un système de régulation numérique(§6.6.2).

Image du contour d’Evans

Compte tenu de ce qui précède, il est maintenant aisé de déterminer l’imagedu contour d’Evans :

sI m

R e0- d m i n

m a r g e d e s t a b i l i t é a b s o l u e

m a r g e d e s t a b i l i t é r e l a t i v e

c o n t o u r d ' E v a n s

z = zm

i n = c o n s t

f _ 0 5 _ 1 9 . e p s

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im

Marges de stabilité et contour d’Evans (plan z)

f_ch_05_02_2.eps

Images de surfaces

L’image du demi-plan complexe gauche est le disque unité (figure 5.32). L’image

sI m

R e

zI m

R e01

j

0

f _ 0 5 _ 2 0 . e p s

Fig. 5.32 – Image du demi-plan complexe gauche (fichier source).

d’une portion du demi-plan complexe gauche est un disque de rayon inférieur à 1







(figure 5.33). Mettons encore en évidence l’image de la surface définie par les

sI m

R e

zI m

R e01

j

0

f _ 0 5 _ 2 1 . e p s

Fig. 5.33 – Image d’une portion du demi-plan complexe gauche (fichier source).

courbes équi-amortissement (figure 5.34), ainsi que celle délimitée par le contour

sI m

R e0

zI m

R e1

j

0

f _ 0 5 _ 2 2 . e p s

Fig. 5.34 – Image de la surface définie par les courbes équi-amortissement(fichier source).

d’Evans (figure 5.35 page suivante).







sI m

R e

zI m

R e1

j

0 0

f _ 0 5 _ 2 2 . e p s

Fig. 5.35 – Image de la surface délimitée par le contour d’Evans (fichier source).




chapitre 5 fonction de transfert discrète - webmee/cours/cours_rn/chap_05/latex/chap_05.pdf ·...

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