Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

GEOMETRIJA9. Ploscina

Matija Cencelj

Geometrija, Pedagoska fakulteta UL 2008

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V tem poglavju bomo vpeljali se zadnji nedefinirani pojem –ploscino. Da poudarimo analogijo z dosedanjimi nedefiniranimipojmi, tudi ploscino uvedemo z aksiomom (lahko bi ploscinotudi konstruirali kot funkcijo, a bi imeli s tem precej dodatnegadela in bi morali to delati v evklidski geometriji posebej in vhiperbolicni posebej), s cimer tudi pokazemo skupne lastnostiploscine, ki veljajo v nevtralni geometriji. Sicer pa ima ploscinaprecej razlicne lastnosti v evklidski in hiperboolicni geometriji,kar bomo posebej obravnavali in poudarili.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V tem poglavju bomo vpeljali se zadnji nedefinirani pojem –ploscino. Da poudarimo analogijo z dosedanjimi nedefiniranimipojmi, tudi ploscino uvedemo z aksiomom (lahko bi ploscinotudi konstruirali kot funkcijo, a bi imeli s tem precej dodatnegadela in bi morali to delati v evklidski geometriji posebej in vhiperbolicni posebej), s cimer tudi pokazemo skupne lastnostiploscine, ki veljajo v nevtralni geometriji. Sicer pa ima ploscinaprecej razlicne lastnosti v evklidski in hiperboolicni geometriji,kar bomo posebej obravnavali in poudarili.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V tem poglavju bomo vpeljali se zadnji nedefinirani pojem –ploscino. Da poudarimo analogijo z dosedanjimi nedefiniranimipojmi, tudi ploscino uvedemo z aksiomom (lahko bi ploscinotudi konstruirali kot funkcijo, a bi imeli s tem precej dodatnegadela in bi morali to delati v evklidski geometriji posebej in vhiperbolicni posebej), s cimer tudi pokazemo skupne lastnostiploscine, ki veljajo v nevtralni geometriji. Sicer pa ima ploscinaprecej razlicne lastnosti v evklidski in hiperboolicni geometriji,kar bomo posebej obravnavali in poudarili.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Preden vpeljemo aksiom ploscine, si poglejmo za katereobjekte bomo ploscino definirali.

DefinicijaNaj bo 4ABC trikotnik. Notranjost trikotnika 4ABC, kar bomooznacevali z Int(4ABC), je presek notranjosti notranjih kotov∠CAB, ∠ABC in ∠BCA.

Notranjost trikotnika je konveksna mnozica, saj je presekkonveksnih mnozic (notranjosti kotov).

DefinicijaNaj bo 4ABC trikotnik. Temu trikotniku prirejeno trikotnopodrocje je podmnozica T ravnine, ki jo sestavljajo tocketrikotnika in notranje tocke, tj.

T = 4ABC ∪ Int(4ABC) .

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Preden vpeljemo aksiom ploscine, si poglejmo za katereobjekte bomo ploscino definirali.

DefinicijaNaj bo 4ABC trikotnik. Notranjost trikotnika 4ABC, kar bomooznacevali z Int(4ABC), je presek notranjosti notranjih kotov∠CAB, ∠ABC in ∠BCA.

Notranjost trikotnika je konveksna mnozica, saj je presekkonveksnih mnozic (notranjosti kotov).

DefinicijaNaj bo 4ABC trikotnik. Temu trikotniku prirejeno trikotnopodrocje je podmnozica T ravnine, ki jo sestavljajo tocketrikotnika in notranje tocke, tj.

T = 4ABC ∪ Int(4ABC) .

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Preden vpeljemo aksiom ploscine, si poglejmo za katereobjekte bomo ploscino definirali.

DefinicijaNaj bo 4ABC trikotnik. Notranjost trikotnika 4ABC, kar bomooznacevali z Int(4ABC), je presek notranjosti notranjih kotov∠CAB, ∠ABC in ∠BCA.

Notranjost trikotnika je konveksna mnozica, saj je presekkonveksnih mnozic (notranjosti kotov).

DefinicijaNaj bo 4ABC trikotnik. Temu trikotniku prirejeno trikotnopodrocje je podmnozica T ravnine, ki jo sestavljajo tocketrikotnika in notranje tocke, tj.

T = 4ABC ∪ Int(4ABC) .

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Preden vpeljemo aksiom ploscine, si poglejmo za katereobjekte bomo ploscino definirali.

DefinicijaNaj bo 4ABC trikotnik. Notranjost trikotnika 4ABC, kar bomooznacevali z Int(4ABC), je presek notranjosti notranjih kotov∠CAB, ∠ABC in ∠BCA.

Notranjost trikotnika je konveksna mnozica, saj je presekkonveksnih mnozic (notranjosti kotov).

DefinicijaNaj bo 4ABC trikotnik. Temu trikotniku prirejeno trikotnopodrocje je podmnozica T ravnine, ki jo sestavljajo tocketrikotnika in notranje tocke, tj.

T = 4ABC ∪ Int(4ABC) .

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

T

A B

C

Ogliscem trikotnika bomo rekli tudi oglisca trikotnega podrocja,stranicam trikotnika bomo rekli tudi robovi trikotnega podrocja.Trikotniku 4ABC prirejeno trikotno podrocje bomo oznacevalitudi

NABC .

Pomembno je, da jasno razlikujemo trikotnik 4ABC (ki je unijanjegovih stranic in s tem 1-dimenzionalni objekt) od njemuprirejenega trikotnega podrocja, ki vsebuje tudi trikotnikovonotranjost (in je 2-dimentzionalni objekt, tu o dimenziji govorimobolj intuitivno, ne da bi jo rigorozno definirali).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

T

A B

C

Ogliscem trikotnika bomo rekli tudi oglisca trikotnega podrocja,stranicam trikotnika bomo rekli tudi robovi trikotnega podrocja.Trikotniku 4ABC prirejeno trikotno podrocje bomo oznacevalitudi

NABC .

Pomembno je, da jasno razlikujemo trikotnik 4ABC (ki je unijanjegovih stranic in s tem 1-dimenzionalni objekt) od njemuprirejenega trikotnega podrocja, ki vsebuje tudi trikotnikovonotranjost (in je 2-dimentzionalni objekt, tu o dimenziji govorimobolj intuitivno, ne da bi jo rigorozno definirali).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Na zacetku bomo to natancno razlikovali v nasem izrazanju,scasoma pa se bomo morda izrazali tudi manj natancno in tuditrikotnemu podrocju (ko bo stvar popolnoma jasna) rekli kartrikotnik.Trikotniku 4ABC bomo rekli tudi rob njemu prirejenegatrikotnega podrocja NABC, notranjosti trikotnika pa tudinotranjost prirejenega trikotnega podrocja.

Definicija

Poligonalno podrocje je podmnozica tock ravnine, ki jo lahkoizrazimo kot tako unijo koncno mnogo trikotnih podrocij T1,T2. . . Tn, da je presek Ti ∩ Tj poljubnih dveh teh trikotnihpodrocij ali prazen ali pa je Ti ∩ Tj vsebovan v neki stranici odTi in v neki stranici od Tj .

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Na zacetku bomo to natancno razlikovali v nasem izrazanju,scasoma pa se bomo morda izrazali tudi manj natancno in tuditrikotnemu podrocju (ko bo stvar popolnoma jasna) rekli kartrikotnik.Trikotniku 4ABC bomo rekli tudi rob njemu prirejenegatrikotnega podrocja NABC, notranjosti trikotnika pa tudinotranjost prirejenega trikotnega podrocja.

Definicija

Poligonalno podrocje je podmnozica tock ravnine, ki jo lahkoizrazimo kot tako unijo koncno mnogo trikotnih podrocij T1,T2. . . Tn, da je presek Ti ∩ Tj poljubnih dveh teh trikotnihpodrocij ali prazen ali pa je Ti ∩ Tj vsebovan v neki stranici odTi in v neki stranici od Tj .

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Na zacetku bomo to natancno razlikovali v nasem izrazanju,scasoma pa se bomo morda izrazali tudi manj natancno in tuditrikotnemu podrocju (ko bo stvar popolnoma jasna) rekli kartrikotnik.Trikotniku 4ABC bomo rekli tudi rob njemu prirejenegatrikotnega podrocja NABC, notranjosti trikotnika pa tudinotranjost prirejenega trikotnega podrocja.

Definicija

Poligonalno podrocje je podmnozica tock ravnine, ki jo lahkoizrazimo kot tako unijo koncno mnogo trikotnih podrocij T1,T2. . . Tn, da je presek Ti ∩ Tj poljubnih dveh teh trikotnihpodrocij ali prazen ali pa je Ti ∩ Tj vsebovan v neki stranici odTi in v neki stranici od Tj .

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ocitno je vsako trikotno podrocje tudi poligonalno podrocje,nikakor pa ne velja obratno.

Definicija

Triangulacija poligonalnega podrocja R je taka koncna mnozicatrikotnih podrocij T1, T2. . . Tn, da velja

R = T1 ∪ T2 ∪ · · · ∪ Tn

in za ta trikotna podrocja velja pogoj iz definicije poligonalnegapodrocja.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ocitno je vsako trikotno podrocje tudi poligonalno podrocje,nikakor pa ne velja obratno.

Definicija

Triangulacija poligonalnega podrocja R je taka koncna mnozicatrikotnih podrocij T1, T2. . . Tn, da velja

R = T1 ∪ T2 ∪ · · · ∪ Tn

in za ta trikotna podrocja velja pogoj iz definicije poligonalnegapodrocja.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ocitno je vsako trikotno podrocje tudi poligonalno podrocje,nikakor pa ne velja obratno.

Definicija

Triangulacija poligonalnega podrocja R je taka koncna mnozicatrikotnih podrocij T1, T2. . . Tn, da velja

R = T1 ∪ T2 ∪ · · · ∪ Tn

in za ta trikotna podrocja velja pogoj iz definicije poligonalnegapodrocja.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Za poligonalno podrocje obstaja vec razlicnih triangulacij.

T1 T2T3

T1

T3 T4T2

Tole pa ni triangulacija:

T1 T2

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Za poligonalno podrocje obstaja vec razlicnih triangulacij.

T1 T2T3

T1

T3 T4T2

Tole pa ni triangulacija:

T1 T2

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Za poligonalno podrocje obstaja vec razlicnih triangulacij.

T1 T2T3

T1

T3 T4T2

Tole pa ni triangulacija:

T1 T2

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Za poligonalno podrocje obstaja vec razlicnih triangulacij.

T1 T2T3

T1

T3 T4T2

Tole pa ni triangulacija:

T1 T2

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Mimogrede omenimo, da smo tu definirali triangulacijo bolj nasiroko kot ponavadi (ponavadi se zahteva, da je presek dvehtrikotnikov ali prazen ali cela stranica), a to zadosca za nasepotrebe.Dodajmo se tole: Ce se trikotni podrocji iste triangulacijenekega poligonskega podrocja sekata v podmnozicah robov,sta njuni notranjosti disjunktni.

Definicija

Poligonalni podrocji R1 in R2 sta neprekrivajoci, ce R1 ∩ R2sestavljajo le podmnozice robov vsakega od njiju. Receno boljnatancno: ce je T1 trikotno podrocje poljubne triangulacije zaR1 in T2 trikotno podrocje poljubne triangulacije za R2, veljaIntT1 ∩ T2 = ∅ ali T1 ∩ IntT2 = ∅.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Mimogrede omenimo, da smo tu definirali triangulacijo bolj nasiroko kot ponavadi (ponavadi se zahteva, da je presek dvehtrikotnikov ali prazen ali cela stranica), a to zadosca za nasepotrebe.Dodajmo se tole: Ce se trikotni podrocji iste triangulacijenekega poligonskega podrocja sekata v podmnozicah robov,sta njuni notranjosti disjunktni.

Definicija

Poligonalni podrocji R1 in R2 sta neprekrivajoci, ce R1 ∩ R2sestavljajo le podmnozice robov vsakega od njiju. Receno boljnatancno: ce je T1 trikotno podrocje poljubne triangulacije zaR1 in T2 trikotno podrocje poljubne triangulacije za R2, veljaIntT1 ∩ T2 = ∅ ali T1 ∩ IntT2 = ∅.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Mimogrede omenimo, da smo tu definirali triangulacijo bolj nasiroko kot ponavadi (ponavadi se zahteva, da je presek dvehtrikotnikov ali prazen ali cela stranica), a to zadosca za nasepotrebe.Dodajmo se tole: Ce se trikotni podrocji iste triangulacijenekega poligonskega podrocja sekata v podmnozicah robov,sta njuni notranjosti disjunktni.

Definicija

Poligonalni podrocji R1 in R2 sta neprekrivajoci, ce R1 ∩ R2sestavljajo le podmnozice robov vsakega od njiju. Receno boljnatancno: ce je T1 trikotno podrocje poljubne triangulacije zaR1 in T2 trikotno podrocje poljubne triangulacije za R2, veljaIntT1 ∩ T2 = ∅ ali T1 ∩ IntT2 = ∅.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Mimogrede omenimo, da smo tu definirali triangulacijo bolj nasiroko kot ponavadi (ponavadi se zahteva, da je presek dvehtrikotnikov ali prazen ali cela stranica), a to zadosca za nasepotrebe.Dodajmo se tole: Ce se trikotni podrocji iste triangulacijenekega poligonskega podrocja sekata v podmnozicah robov,sta njuni notranjosti disjunktni.

Definicija

Poligonalni podrocji R1 in R2 sta neprekrivajoci, ce R1 ∩ R2sestavljajo le podmnozice robov vsakega od njiju. Receno boljnatancno: ce je T1 trikotno podrocje poljubne triangulacije zaR1 in T2 trikotno podrocje poljubne triangulacije za R2, veljaIntT1 ∩ T2 = ∅ ali T1 ∩ IntT2 = ∅.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine

Vsakemu poligonalnemu podrocju R je prirejeno tako pozitivnorealno stevilo α(R), ki mu recemo ploscina podrocja R, daveljata naslednji lastnosti:

Skladnost Ce sta dva trikotnika skladna, imata njima prirejenitrikotni podrocji isto ploscino.

Aditivnost Ce je R unija dveh neprekrivajocih poligonalnihpodrocij R1 in R2, velja α(R) = α(R1) + α(R2).

Oglejmo si se tole situacijo:

A B

C

E

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine

Vsakemu poligonalnemu podrocju R je prirejeno tako pozitivnorealno stevilo α(R), ki mu recemo ploscina podrocja R, daveljata naslednji lastnosti:

Skladnost Ce sta dva trikotnika skladna, imata njima prirejenitrikotni podrocji isto ploscino.

Aditivnost Ce je R unija dveh neprekrivajocih poligonalnihpodrocij R1 in R2, velja α(R) = α(R1) + α(R2).

Oglejmo si se tole situacijo:

A B

C

E

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine

Vsakemu poligonalnemu podrocju R je prirejeno tako pozitivnorealno stevilo α(R), ki mu recemo ploscina podrocja R, daveljata naslednji lastnosti:

Skladnost Ce sta dva trikotnika skladna, imata njima prirejenitrikotni podrocji isto ploscino.

Aditivnost Ce je R unija dveh neprekrivajocih poligonalnihpodrocij R1 in R2, velja α(R) = α(R1) + α(R2).

Oglejmo si se tole situacijo:

A B

C

E

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine

Vsakemu poligonalnemu podrocju R je prirejeno tako pozitivnorealno stevilo α(R), ki mu recemo ploscina podrocja R, daveljata naslednji lastnosti:

Skladnost Ce sta dva trikotnika skladna, imata njima prirejenitrikotni podrocji isto ploscino.

Aditivnost Ce je R unija dveh neprekrivajocih poligonalnihpodrocij R1 in R2, velja α(R) = α(R1) + α(R2).

Oglejmo si se tole situacijo:

A B

C

E

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Izrek

Ce je 4ABC trikotnik in E tocka v notranjosti stranice AC, tedajje NABC = NABE ∪ NEBC. Pri tem sta NABE in NEBCneprekrivajoci podrocji.

Dokaz: vaja! �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Izrek

Ce je 4ABC trikotnik in E tocka v notranjosti stranice AC, tedajje NABC = NABE ∪ NEBC. Pri tem sta NABE in NEBCneprekrivajoci podrocji.

Dokaz: vaja! �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine se ne doloca ploscine. V evklidskigeometriji je naravno, da dolocimo, da je ploscina pravokotnikaprodukt dolzin sosednjih stranic (v hiperbolicni geometrijipravokotnikov nimamo, zato bomo tam morali ze zacetidrugace). Ker ploscino prirejamo poligonalnim podrocjem,moramo tudi pravokotnike predstaviti kot poligonalna podrocja.Vemo, da je pravokotnik konveksen stirikotnik, zato se njegovidiagonali sekata.

DefinicijaNaj bo �ABCD pravokotnik in naj se njegovi diagonali sekata vtocki E . Pravokotno podrocje prirejeno pravokotniku �ABCD jepoligonalno podrocje R, ki je unija trikotnih podrocij NABE ,NBCE , NCDE in NDAE . Dolzina podrocja R je AB, sirina R paBC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine se ne doloca ploscine. V evklidskigeometriji je naravno, da dolocimo, da je ploscina pravokotnikaprodukt dolzin sosednjih stranic (v hiperbolicni geometrijipravokotnikov nimamo, zato bomo tam morali ze zacetidrugace). Ker ploscino prirejamo poligonalnim podrocjem,moramo tudi pravokotnike predstaviti kot poligonalna podrocja.Vemo, da je pravokotnik konveksen stirikotnik, zato se njegovidiagonali sekata.

DefinicijaNaj bo �ABCD pravokotnik in naj se njegovi diagonali sekata vtocki E . Pravokotno podrocje prirejeno pravokotniku �ABCD jepoligonalno podrocje R, ki je unija trikotnih podrocij NABE ,NBCE , NCDE in NDAE . Dolzina podrocja R je AB, sirina R paBC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine se ne doloca ploscine. V evklidskigeometriji je naravno, da dolocimo, da je ploscina pravokotnikaprodukt dolzin sosednjih stranic (v hiperbolicni geometrijipravokotnikov nimamo, zato bomo tam morali ze zacetidrugace). Ker ploscino prirejamo poligonalnim podrocjem,moramo tudi pravokotnike predstaviti kot poligonalna podrocja.Vemo, da je pravokotnik konveksen stirikotnik, zato se njegovidiagonali sekata.

DefinicijaNaj bo �ABCD pravokotnik in naj se njegovi diagonali sekata vtocki E . Pravokotno podrocje prirejeno pravokotniku �ABCD jepoligonalno podrocje R, ki je unija trikotnih podrocij NABE ,NBCE , NCDE in NDAE . Dolzina podrocja R je AB, sirina R paBC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine se ne doloca ploscine. V evklidskigeometriji je naravno, da dolocimo, da je ploscina pravokotnikaprodukt dolzin sosednjih stranic (v hiperbolicni geometrijipravokotnikov nimamo, zato bomo tam morali ze zacetidrugace). Ker ploscino prirejamo poligonalnim podrocjem,moramo tudi pravokotnike predstaviti kot poligonalna podrocja.Vemo, da je pravokotnik konveksen stirikotnik, zato se njegovidiagonali sekata.

DefinicijaNaj bo �ABCD pravokotnik in naj se njegovi diagonali sekata vtocki E . Pravokotno podrocje prirejeno pravokotniku �ABCD jepoligonalno podrocje R, ki je unija trikotnih podrocij NABE ,NBCE , NCDE in NDAE . Dolzina podrocja R je AB, sirina R paBC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Nevtralni aksiom ploscine se ne doloca ploscine. V evklidskigeometriji je naravno, da dolocimo, da je ploscina pravokotnikaprodukt dolzin sosednjih stranic (v hiperbolicni geometrijipravokotnikov nimamo, zato bomo tam morali ze zacetidrugace). Ker ploscino prirejamo poligonalnim podrocjem,moramo tudi pravokotnike predstaviti kot poligonalna podrocja.Vemo, da je pravokotnik konveksen stirikotnik, zato se njegovidiagonali sekata.

DefinicijaNaj bo �ABCD pravokotnik in naj se njegovi diagonali sekata vtocki E . Pravokotno podrocje prirejeno pravokotniku �ABCD jepoligonalno podrocje R, ki je unija trikotnih podrocij NABE ,NBCE , NCDE in NDAE . Dolzina podrocja R je AB, sirina R paBC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

A B

C D

E

Evklidski aksiom ploscine

Za pravokotno podrocje R velja α(R) = dolzina(R)× sirina(R).

Odtod hitro izracunamo ploscino pravokotnega trikotnika (takobomo na kratko rekli trikotnemu podrocju, ki pripadapravokotnemu trikotniku).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

A B

C D

E

Evklidski aksiom ploscine

Za pravokotno podrocje R velja α(R) = dolzina(R)× sirina(R).

Odtod hitro izracunamo ploscino pravokotnega trikotnika (takobomo na kratko rekli trikotnemu podrocju, ki pripadapravokotnemu trikotniku).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

A B

C D

E

Evklidski aksiom ploscine

Za pravokotno podrocje R velja α(R) = dolzina(R)× sirina(R).

Odtod hitro izracunamo ploscino pravokotnega trikotnika (takobomo na kratko rekli trikotnemu podrocju, ki pripadapravokotnemu trikotniku).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

IzrekNaj bo T trikotno podrocje pripadajocje trikotniku 4ABC, ki imapravi kot pri C. Tedaj je

α(T ) =AC × BC

2.

Dokaz: vaja! �Ta izrek zelimo seveda posplositi na poljubne trikotnike.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

IzrekNaj bo T trikotno podrocje pripadajocje trikotniku 4ABC, ki imapravi kot pri C. Tedaj je

α(T ) =AC × BC

2.

Dokaz: vaja! �Ta izrek zelimo seveda posplositi na poljubne trikotnike.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

IzrekNaj bo T trikotno podrocje pripadajocje trikotniku 4ABC, ki imapravi kot pri C. Tedaj je

α(T ) =AC × BC

2.

Dokaz: vaja! �Ta izrek zelimo seveda posplositi na poljubne trikotnike.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Definicija

Naj bo T trikotno podrocje, ki pripada trikotniku 4ABC. StraniciAB recemo tudi osnovnica podrocja T , pravokotni daljici (innjeni dolzini) iz C na nosilko

←→AB pa recemo visina podrocja T .

Opazimo, da ima isto trikotno podrocje tri razlicne osnovnice intri visine, odvisno od tega, kako orientiramo trikotnik.

A D B

C

D

B

C A

B DC

A

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Definicija

Naj bo T trikotno podrocje, ki pripada trikotniku 4ABC. StraniciAB recemo tudi osnovnica podrocja T , pravokotni daljici (innjeni dolzini) iz C na nosilko

←→AB pa recemo visina podrocja T .

Opazimo, da ima isto trikotno podrocje tri razlicne osnovnice intri visine, odvisno od tega, kako orientiramo trikotnik.

A D B

C

D

B

C A

B DC

A

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

IzrekPloscina trikotnega podrocja T je polovica produkta meddolzino osnovnice podrocja T in njegovo visino.

Dokaz: vaja! �Ker nevtralni aksiom ploscine priredi trikotniku eno samovrednost ne glede na vrstni red oglisc, smo z zgornjim izrekomdokazali, da dobimo isti produkt ne glede na to, katero stranicovzamemo za osnovnico, lahko pa to dokazemo tudineposredno z izrekom o podobnih trikotnikih.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

IzrekPloscina trikotnega podrocja T je polovica produkta meddolzino osnovnice podrocja T in njegovo visino.

Dokaz: vaja! �Ker nevtralni aksiom ploscine priredi trikotniku eno samovrednost ne glede na vrstni red oglisc, smo z zgornjim izrekomdokazali, da dobimo isti produkt ne glede na to, katero stranicovzamemo za osnovnico, lahko pa to dokazemo tudineposredno z izrekom o podobnih trikotnikih.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Pokazimo se, da ploscina narasca s kvadratom dolzine.

Izrek

Ce sta trikotnika podobna, je razmerje njunih ploscin kvadratrazmerja poljubnih istoleznih stranic. Bolj natancno: ce velja4ABC ∼ 4DEF in DE = r · AB, tedaj jeα(4DEF ) = r2 · α(4ABC).

Dokaz: vaja! �

Z uporabo ploscine si lahko precej olajsamo nekatere dokaze.Za primer si poglejmo nekaj dokazov Pitagorovega izreka.

Definicija

Kvadrat je stirikotnik, ki je hkrati pravokotnik in romb.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Pokazimo se, da ploscina narasca s kvadratom dolzine.

Izrek

Ce sta trikotnika podobna, je razmerje njunih ploscin kvadratrazmerja poljubnih istoleznih stranic. Bolj natancno: ce velja4ABC ∼ 4DEF in DE = r · AB, tedaj jeα(4DEF ) = r2 · α(4ABC).

Dokaz: vaja! �

Z uporabo ploscine si lahko precej olajsamo nekatere dokaze.Za primer si poglejmo nekaj dokazov Pitagorovega izreka.

Definicija

Kvadrat je stirikotnik, ki je hkrati pravokotnik in romb.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Pokazimo se, da ploscina narasca s kvadratom dolzine.

Izrek

Ce sta trikotnika podobna, je razmerje njunih ploscin kvadratrazmerja poljubnih istoleznih stranic. Bolj natancno: ce velja4ABC ∼ 4DEF in DE = r · AB, tedaj jeα(4DEF ) = r2 · α(4ABC).

Dokaz: vaja! �

Z uporabo ploscine si lahko precej olajsamo nekatere dokaze.Za primer si poglejmo nekaj dokazov Pitagorovega izreka.

Definicija

Kvadrat je stirikotnik, ki je hkrati pravokotnik in romb.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Pokazimo se, da ploscina narasca s kvadratom dolzine.

Izrek

Ce sta trikotnika podobna, je razmerje njunih ploscin kvadratrazmerja poljubnih istoleznih stranic. Bolj natancno: ce velja4ABC ∼ 4DEF in DE = r · AB, tedaj jeα(4DEF ) = r2 · α(4ABC).

Dokaz: vaja! �

Z uporabo ploscine si lahko precej olajsamo nekatere dokaze.Za primer si poglejmo nekaj dokazov Pitagorovega izreka.

Definicija

Kvadrat je stirikotnik, ki je hkrati pravokotnik in romb.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Pokazimo se, da ploscina narasca s kvadratom dolzine.

Izrek

Ce sta trikotnika podobna, je razmerje njunih ploscin kvadratrazmerja poljubnih istoleznih stranic. Bolj natancno: ce velja4ABC ∼ 4DEF in DE = r · AB, tedaj jeα(4DEF ) = r2 · α(4ABC).

Dokaz: vaja! �

Z uporabo ploscine si lahko precej olajsamo nekatere dokaze.Za primer si poglejmo nekaj dokazov Pitagorovega izreka.

Definicija

Kvadrat je stirikotnik, ki je hkrati pravokotnik in romb.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Z izrazom kvadrat nad AB mislimo kvadrat, ki ima AB za svojostranico. Pri dani daljici AB se odlocimo za eno stran nosilke←→AB, na izbrano stran nacrtamo iz tock A in B na

←→AB pravokotna

poltraka, odmerimo na njima dolzino daljice AB in dobimokvadrat, ki ima AB za svojo stranico.

Evklidova verzija Pitagorovega izreka

Ploscina kvadrata nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika jeenaka vsoti ploscin kvadratov nad katetama.

Evklidov dokaz: Naj bo 4ABC pravokotni trikotnik s pravimkotom pri C. Na drugi strani nosilke

←→AB kot je C nacrtajmo

kvadrat �ABED nad AB. Na drugi strani←→BC kot je tocka A

nacrtajmo kvadrat �BFGC nad BC. Na drugi strani←→AC kot je

tocka B nacrtajmo kvadrat �ACHI nad AC. Pokazati moramoα(�ABED) = α(�BFGC) + α(�ACHI).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Z izrazom kvadrat nad AB mislimo kvadrat, ki ima AB za svojostranico. Pri dani daljici AB se odlocimo za eno stran nosilke←→AB, na izbrano stran nacrtamo iz tock A in B na

←→AB pravokotna

poltraka, odmerimo na njima dolzino daljice AB in dobimokvadrat, ki ima AB za svojo stranico.

Evklidova verzija Pitagorovega izreka

Ploscina kvadrata nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika jeenaka vsoti ploscin kvadratov nad katetama.

Evklidov dokaz: Naj bo 4ABC pravokotni trikotnik s pravimkotom pri C. Na drugi strani nosilke

←→AB kot je C nacrtajmo

kvadrat �ABED nad AB. Na drugi strani←→BC kot je tocka A

nacrtajmo kvadrat �BFGC nad BC. Na drugi strani←→AC kot je

tocka B nacrtajmo kvadrat �ACHI nad AC. Pokazati moramoα(�ABED) = α(�BFGC) + α(�ACHI).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Z izrazom kvadrat nad AB mislimo kvadrat, ki ima AB za svojostranico. Pri dani daljici AB se odlocimo za eno stran nosilke←→AB, na izbrano stran nacrtamo iz tock A in B na

←→AB pravokotna

poltraka, odmerimo na njima dolzino daljice AB in dobimokvadrat, ki ima AB za svojo stranico.

Evklidova verzija Pitagorovega izreka

Ploscina kvadrata nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika jeenaka vsoti ploscin kvadratov nad katetama.

Evklidov dokaz: Naj bo 4ABC pravokotni trikotnik s pravimkotom pri C. Na drugi strani nosilke

←→AB kot je C nacrtajmo

kvadrat �ABED nad AB. Na drugi strani←→BC kot je tocka A

nacrtajmo kvadrat �BFGC nad BC. Na drugi strani←→AC kot je

tocka B nacrtajmo kvadrat �ACHI nad AC. Pokazati moramoα(�ABED) = α(�BFGC) + α(�ACHI).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Z izrazom kvadrat nad AB mislimo kvadrat, ki ima AB za svojostranico. Pri dani daljici AB se odlocimo za eno stran nosilke←→AB, na izbrano stran nacrtamo iz tock A in B na

←→AB pravokotna

poltraka, odmerimo na njima dolzino daljice AB in dobimokvadrat, ki ima AB za svojo stranico.

Evklidova verzija Pitagorovega izreka

Ploscina kvadrata nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika jeenaka vsoti ploscin kvadratov nad katetama.

Evklidov dokaz: Naj bo 4ABC pravokotni trikotnik s pravimkotom pri C. Na drugi strani nosilke

←→AB kot je C nacrtajmo

kvadrat �ABED nad AB. Na drugi strani←→BC kot je tocka A

nacrtajmo kvadrat �BFGC nad BC. Na drugi strani←→AC kot je

tocka B nacrtajmo kvadrat �ACHI nad AC. Pokazati moramoα(�ABED) = α(�BFGC) + α(�ACHI).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Z izrazom kvadrat nad AB mislimo kvadrat, ki ima AB za svojostranico. Pri dani daljici AB se odlocimo za eno stran nosilke←→AB, na izbrano stran nacrtamo iz tock A in B na

←→AB pravokotna

poltraka, odmerimo na njima dolzino daljice AB in dobimokvadrat, ki ima AB za svojo stranico.

Evklidova verzija Pitagorovega izreka

Ploscina kvadrata nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika jeenaka vsoti ploscin kvadratov nad katetama.

Evklidov dokaz: Naj bo 4ABC pravokotni trikotnik s pravimkotom pri C. Na drugi strani nosilke

←→AB kot je C nacrtajmo

kvadrat �ABED nad AB. Na drugi strani←→BC kot je tocka A

nacrtajmo kvadrat �BFGC nad BC. Na drugi strani←→AC kot je

tocka B nacrtajmo kvadrat �ACHI nad AC. Pokazati moramoα(�ABED) = α(�BFGC) + α(�ACHI).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Z izrazom kvadrat nad AB mislimo kvadrat, ki ima AB za svojostranico. Pri dani daljici AB se odlocimo za eno stran nosilke←→AB, na izbrano stran nacrtamo iz tock A in B na

←→AB pravokotna

poltraka, odmerimo na njima dolzino daljice AB in dobimokvadrat, ki ima AB za svojo stranico.

Evklidova verzija Pitagorovega izreka

Ploscina kvadrata nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika jeenaka vsoti ploscin kvadratov nad katetama.

Evklidov dokaz: Naj bo 4ABC pravokotni trikotnik s pravimkotom pri C. Na drugi strani nosilke

←→AB kot je C nacrtajmo

kvadrat �ABED nad AB. Na drugi strani←→BC kot je tocka A

nacrtajmo kvadrat �BFGC nad BC. Na drugi strani←→AC kot je

tocka B nacrtajmo kvadrat �ACHI nad AC. Pokazati moramoα(�ABED) = α(�BFGC) + α(�ACHI).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Z izrazom kvadrat nad AB mislimo kvadrat, ki ima AB za svojostranico. Pri dani daljici AB se odlocimo za eno stran nosilke←→AB, na izbrano stran nacrtamo iz tock A in B na

←→AB pravokotna

poltraka, odmerimo na njima dolzino daljice AB in dobimokvadrat, ki ima AB za svojo stranico.

Evklidova verzija Pitagorovega izreka

Ploscina kvadrata nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika jeenaka vsoti ploscin kvadratov nad katetama.

Evklidov dokaz: Naj bo 4ABC pravokotni trikotnik s pravimkotom pri C. Na drugi strani nosilke

←→AB kot je C nacrtajmo

kvadrat �ABED nad AB. Na drugi strani←→BC kot je tocka A

nacrtajmo kvadrat �BFGC nad BC. Na drugi strani←→AC kot je

tocka B nacrtajmo kvadrat �ACHI nad AC. Pokazati moramoα(�ABED) = α(�BFGC) + α(�ACHI).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Iz C potegnimo pravokotnico na←→AB, njeno presecisce z AB naj

bo tocka J, tocka K pa naj bo presecisce te pravokotnice←→CJ z

DE .

D K E

A J B

I

H

C

G

F

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Iz C potegnimo pravokotnico na←→AB, njeno presecisce z AB naj

bo tocka J, tocka K pa naj bo presecisce te pravokotnice←→CJ z

DE .

D K E

A J B

I

H

C

G

F

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

V nadaljevanju dokaza bomo pokazali, da jeα(�ACHI) = α(�AJKD) in α(�BFGC) = α(�KEBJ), odtod zevklidskim aksiomom ploscine takoj dobimo iskani rezultat.Ker je ∠ACB pravi kot, tocka H lezi na

←→BC in

←→BC ‖

←→IA . Torej

velja α(4IAC) = α(4IAB) saj imata skupno osnovnico IA invisino AC. Velja ∠IAB ∼= ∠CAD, saj sta oba vsoti pravega kotain ∠BAC. Torej 4IAB ∼= 4CAD po SKS in zatoα(4IAB) = α(4CAD). Velja tudi α(4CAD) = α(4JAD), sajimata skupno osnovnico AD in visino AJ. Odtod dobimoα(4IAB) = α(4IAC) = α(4CAD) = α(4JAD). Ker pa jeα(4IAC) = (1/2)α(�ACHI) in α(4ADJ) = (1/2)α(�ADKJ),dobimo α(�ACHI) = α(�ADKJ), kot smo zeleli.Podobno dokazemo α(�BFGC) = α(�KEBJ). �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Naslednji dokaz se pripisuje indijskemu matematiku 12. stoletjaBaskari.

A B

C

c

b a

c

b − a

a

a

b − a

b

b − a

aa

b

b

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Definicija

Naj bosta R in R′ poligonalni podrocji. Zanju recemo, da staekvivalentni z disekcijo, kar iznacimo R ∼ R′, ce obstajata takitriangulaciji R = T1 ∪ · · · ∪ Tn in R′ = T ′

1 ∪ · · · ∪ T ′n z enakim

stevilom trikotnikov in za vsak indeks i = 1, . . . ,n imamoskladnost Ti

∼= T ′i .

R

T1

T2 T4

T3

R′

T ′1

T ′2

T ′3

T ′4

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Definicija

Naj bosta R in R′ poligonalni podrocji. Zanju recemo, da staekvivalentni z disekcijo, kar iznacimo R ∼ R′, ce obstajata takitriangulaciji R = T1 ∪ · · · ∪ Tn in R′ = T ′

1 ∪ · · · ∪ T ′n z enakim

stevilom trikotnikov in za vsak indeks i = 1, . . . ,n imamoskladnost Ti

∼= T ′i .

R

T1

T2 T4

T3

R′

T ′1

T ′2

T ′3

T ′4

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ekvivalentnost z disekcijo nikakor ni nekaj trivialnega. Ceimamo podrocji z isto ploscino, lahko iscemo triangulaciji, skaterima bi bili tidve podrocji ekvivalentni z disekcijo. Temurecemo problem disekcije.V nevtralni geometriji velja naslednji izrek.

Osnovni izrek disekcije

Ce imata poligonalni podrocji R in R′ isto ploscino, staekvivalentni z disekcijo.

Ta izrek nikakor ni trivialen. V dimenziji 3 to sploh ne velja, zeleta 1902 je Max Dehn odkril, da se ne da tetraedra razrezatina koncno mnogo poliedrskih podrocij, ki bi jih lahko sestavili vkocko z isto prostornino.Ni pa tezko videti, da je ekvivalentnost z disekcijo resekvivalentna relacija.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ekvivalentnost z disekcijo nikakor ni nekaj trivialnega. Ceimamo podrocji z isto ploscino, lahko iscemo triangulaciji, skaterima bi bili tidve podrocji ekvivalentni z disekcijo. Temurecemo problem disekcije.V nevtralni geometriji velja naslednji izrek.

Osnovni izrek disekcije

Ce imata poligonalni podrocji R in R′ isto ploscino, staekvivalentni z disekcijo.

Ta izrek nikakor ni trivialen. V dimenziji 3 to sploh ne velja, zeleta 1902 je Max Dehn odkril, da se ne da tetraedra razrezatina koncno mnogo poliedrskih podrocij, ki bi jih lahko sestavili vkocko z isto prostornino.Ni pa tezko videti, da je ekvivalentnost z disekcijo resekvivalentna relacija.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ekvivalentnost z disekcijo nikakor ni nekaj trivialnega. Ceimamo podrocji z isto ploscino, lahko iscemo triangulaciji, skaterima bi bili tidve podrocji ekvivalentni z disekcijo. Temurecemo problem disekcije.V nevtralni geometriji velja naslednji izrek.

Osnovni izrek disekcije

Ce imata poligonalni podrocji R in R′ isto ploscino, staekvivalentni z disekcijo.

Ta izrek nikakor ni trivialen. V dimenziji 3 to sploh ne velja, zeleta 1902 je Max Dehn odkril, da se ne da tetraedra razrezatina koncno mnogo poliedrskih podrocij, ki bi jih lahko sestavili vkocko z isto prostornino.Ni pa tezko videti, da je ekvivalentnost z disekcijo resekvivalentna relacija.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ekvivalentnost z disekcijo nikakor ni nekaj trivialnega. Ceimamo podrocji z isto ploscino, lahko iscemo triangulaciji, skaterima bi bili tidve podrocji ekvivalentni z disekcijo. Temurecemo problem disekcije.V nevtralni geometriji velja naslednji izrek.

Osnovni izrek disekcije

Ce imata poligonalni podrocji R in R′ isto ploscino, staekvivalentni z disekcijo.

Ta izrek nikakor ni trivialen. V dimenziji 3 to sploh ne velja, zeleta 1902 je Max Dehn odkril, da se ne da tetraedra razrezatina koncno mnogo poliedrskih podrocij, ki bi jih lahko sestavili vkocko z isto prostornino.Ni pa tezko videti, da je ekvivalentnost z disekcijo resekvivalentna relacija.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ekvivalentnost z disekcijo nikakor ni nekaj trivialnega. Ceimamo podrocji z isto ploscino, lahko iscemo triangulaciji, skaterima bi bili tidve podrocji ekvivalentni z disekcijo. Temurecemo problem disekcije.V nevtralni geometriji velja naslednji izrek.

Osnovni izrek disekcije

Ce imata poligonalni podrocji R in R′ isto ploscino, staekvivalentni z disekcijo.

Ta izrek nikakor ni trivialen. V dimenziji 3 to sploh ne velja, zeleta 1902 je Max Dehn odkril, da se ne da tetraedra razrezatina koncno mnogo poliedrskih podrocij, ki bi jih lahko sestavili vkocko z isto prostornino.Ni pa tezko videti, da je ekvivalentnost z disekcijo resekvivalentna relacija.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina

Nevtralni aksiom o plosciniPloscina v evklidski geometriji

Disekcija

Ekvivalentnost z disekcijo nikakor ni nekaj trivialnega. Ceimamo podrocji z isto ploscino, lahko iscemo triangulaciji, skaterima bi bili tidve podrocji ekvivalentni z disekcijo. Temurecemo problem disekcije.V nevtralni geometriji velja naslednji izrek.

Osnovni izrek disekcije

Ce imata poligonalni podrocji R in R′ isto ploscino, staekvivalentni z disekcijo.

Ta izrek nikakor ni trivialen. V dimenziji 3 to sploh ne velja, zeleta 1902 je Max Dehn odkril, da se ne da tetraedra razrezatina koncno mnogo poliedrskih podrocij, ki bi jih lahko sestavili vkocko z isto prostornino.Ni pa tezko videti, da je ekvivalentnost z disekcijo resekvivalentna relacija.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 9. Ploscina