geometrie analitica lectii bb2

8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 1/215

Inainte: Transformari elementare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index

Sisteme de ecuatii lineare

Sisteme de ecuatii liniare:

In general

Solutii ale sistemelor de ecuatii liniare:

Numerele formeaza o solutie a sistemului pentru ca

(1)

(2)

(3)

(5)

(6)

of 3Sisteme de ecuatii lineare

1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...



pe de alta parte numerele nu formeaza o solutie a sistemului pentru ca ele nu

satisfac toate ecuatiile sistemului

Se poate arata ca este unica solutie a acestui sistem.

Definitie 1.1 Un sistem de ecuatii liniare ce admite solutie unica se numeste sistem compatibildeterminat.

Observatie 1.1 Sistemul

este un exemplu de sistem compatibil determinat

Sistemele pot avea mai multe solutii. De exemplu

admite solutiile si . Verificare pentru

a doua:

pentru acest sistem o solutie generala e data de formula:

unde este orice numar real. In acest caz este

numit parametru.

Definitie 1.2 Un sistem de ecuatii liniare ce admite mai mult de o solutie(in care caz automat vadmite o infinitate de solutii) se numeste sistem compatibil nedeterminat.

Observatie 1.2 Sistemul

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

of 3Sisteme de ecuatii lineare




Inainte: Metoda lui Gauss Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index

Transformari elementare

1) Se inmulteste una din ecuatiile sistenului cu un numar.

Exercitiu 1.1 (inmultim a doua ecuatie cu 2) Notam aceasta transformare simbolic cu

2) Se inverseaza doua ecuatii din sistem.

Exercitiu 1.2 inversam ecuatiile 1 si 3 Notam aceasta transformare simbolic cu

3) Se inmulteste o ecuatie cu un numar real si se aduna la o alta ecuatie din sistem.

Exercitiu 1.3 inmultim ec. 1 cu 2 si o scadem din 2-a Notam aceasta transformare simbolic cu

Aceste transformari pot fi utilizate pentru rearanjarea/modificarea ecuatiilor intr-o forma maiaccesibila pentru rezolvarea sistemului. De pilda

Se considera sistemul

(14)

(17)

(18)

Page 1 of 3Transformari elementare




Numarul se numeste pivot. Prima transformare elementara este adica

Sistemul devine

Urmatoarea tranformare elementara vizeaza anularea tuturor termenilor de sub si deasupra pivotului,

adica , prin urmare efectuam transformarea . Aceasta transformare poate

fi efectuata algoritmic doarece stim ca 5 este exact . Sistemul devine:

Se trece acum la a doua ecuatie. Noul pivot devine elementul . Se efectueaza primul pas in

combinatia de transformari elementare ce vizeaza anularea tuturor termenilor de sub si deasupra

noului pivot, adica . Se imparte asadar prin pivot ecuatia a doua, si

se obtine noua forma a sistemului:

La fel ca in cazul precedent pentru anularea termenului se efectueaza transformarea

, adica se scade din ecuatia 1 ecuatia 2 inmultita cu coeficientul termenului

ce urmeaza a fi anulat. Se obtine:

Acesta este si sfarsitul metodei deoarece s-a ajuns la ultima linie si s-au anulat toti termenii dedeasupra pivotului de pe ultima linie.

(19)

(20)

(21)

(22)





Inainte: Metoda lui Gauss Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index adi2006-11-05





Inainte: Matrici Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Transformari elementare Cuprins Index

Metoda lui Gauss

Se considera sistemul:

Aplicam iar metoda eliminarilor succesive. primul pivot este . Observati ca daca se

inverseaza ecuatiile 1 si 2 se obtine noul pivot 1deci nu mai e necesara transformarea .

dar pentru moment sa aplicam metoda direct pe sistemul dat.

Impartim deci ecuatia 1 prin pivot si se obtine:

Ca si in exemplul anterior efectuam acum transformari vizand anularea termenilor de sub si deasupra

pivotului, adica termenii . Sunt necesare deci transformarile si

care duc la

Metoda lui Gauss a fost deci aplicata cu succes primei linii. se trece la a doua.

Noul pivot devine , coeficientul corespunzand termenului diagonal..

Transformarea corespunzatoare este ce duce la

(23)

(24)

(26)

Page 1 of 2Metoda lui Gauss




Se vizeaza acum anularea termenilor de sub si deasupra pivotului, adica termenii .

Sunt necesare deci transformarile si . Dupa efectuarea

trasformarilor se ajunge la:

Metoda se opreste aici pentru ca ultima ecuatie nu aduce practic nicio informatie. Ea nu poate fi inniciun fel folosita pentru anularea coeficientilor de deasupra celui de-al treilea 0 din ecuatia a treia.

Concluzia este ca

iar poate fi orice numar real, cu alte cuvinte sistemul rezolvat este compatibil nedeterminat. De

pilda, dand valoarea obtinem solutia .

Inainte: Matrici Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Transformari elementare Cuprins Index adi

2006-11-05

(27)

(28)

(29)

Page 2 of 2Metoda lui Gauss




Inainte: Metoda lui Gauss pe Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss Cuprins Index

Matrici

Matricile sunt utilizate pentru stocarea datelor. Scopul este de a usura manipularea acestor date. Saconsideram 3 companii Comp1, Comp2, Comp3 care comercializeaza 2 produse denumite prod1,prod2.

Preturile cu care ele comercializeaza aceste produse pot fi stocate sub forma matriceala:

E suficient sa stocam matricea M

Asadar o matrice este un tablou de numere ordonate pe linii si coloane. In cazul de fata spunem ca M

este pentru ca are 2 linii si 3 coloane.

Forma generala a unei matrici (deci cum m linii, n coloane) este

Se considera sistemul

(30)

(31)

Page 1 of 3Matrici




Se noteaza

se numeste matricea asociata sistemului de mai sus iar se numeste matricea extinsa asistemului.

Exercitiu 1.4 Fie sistemul

Atunci, cu notatiile din definitia precedenta avem ca

Exercitiu 1.5 Sistemul

nu este compatibil determinat pentru ca

Noi am demonstrat anterior(cu metoda lui Gauss) ca este compatibil nedeterminat.

Sistemul

(33)

(34)

(35)

(36)

Page 2 of 3Matrici




este compatibil determinat pentru ca

Inainte: Metoda lui Gauss pe Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss Cuprins

Index adi2006-11-05

(37)

Page 3 of 3Matrici




Inainte: Sisteme de inecuatii lineare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Matrici Cuprins Index

Metoda lui Gauss pe matrici

Metoda lui Gauss poate fi aplicata direct pe matrici dupa cum urmeaza. Se considera matriceaextinsa a sistemului

adica

In notatia simbolica inlocuim ce denumeste ecuatia 1 din sistem cu ce denumeste linia 1 din

matricea extinsa. Se procedeaza la fel pentru pentru .

Se incearca acum eliminarea termenilor de pe a doua coloana cu exceptia elementului diagonal. Noul

pivot este . Avem

Mai departe, se aplica trasformarile elementare ce anuleaza termenii 4/3 si 5/3 de pe a doua coloanaa

(38)

(39)

(40)

(42)

Page 1 of 4Metoda lui Gauss pe matrici




adica . Obtinem

Aceasta matrice extinsa corespunde sistemului

de unde rezulta

Se considera matricea extinsa a sistemului

adica

Primul pivot este 2. Se efectueaza transformarea

pentru anularea elementelor de pe prima coloana de sub 1 se efectueaza

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)





noul pivot este 2. Deci trebuie efectuata transformarea

Pentru eliminarea termenilor de sub si deasupra lui 1 pe coloana 2 trebuiesc efectuate transformarile:

, ce duca la

Noul pivot este elementul diagonal de pe linia 3, adica . Impartim linia 3 prin acest pivot:

ceea ce ne da

Mai departe se vor anula termenii 1.25 si 0.5 de pe coloana 3 prin efectuarea transformarilor

.

De aici rezulta ca

Aceasta este matricea extinsa a unui sistem care este echivalent cu cel de la care am plecat. Acestsistem este

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)





care are solutia .

Inainte: Sisteme de inecuatii lineare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Matrici Cuprins Index adi

2006-11-05





Inainte: Seminar: Sisteme de ecuatii Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss pe Cuprins Index

Sisteme de inecuatii lineare

La fel ca sistemele de ecuatii, doar ca in loc de semnul avem fie fie .

De exemplu

Observatie 1.3 Observam ca putem presupune ca fie numai semnul fie numai semnul va

aparea. Intr-adevar, dandu-se sistemul;de inecuatii de mai sus putem inmulti ultima inecuatie cu

si in urma schimbarii de semn in inegalitate se obtine

Daca dorim sa folosim semnul putem inmulti primele doua inecuatii cu si se obtine

Cu aceasta observatie putem presupune ca toate sistemele de inecuatii lineare sunt de tipul

Sistemele de inecuatii liniare pot fi trasformate in sisteme de ecuatii liniare prin folosirea unor

(55)

(56)

(57)

Page 1 of 3Sisteme de inecuatii lineare




necunoscute auxiliare ce satisfac(impreuna cu necunoscutele

sistemul de ecuatii liniare

Intr-adevar, daca sunt solutii ale acestui sistem rezulta, deoarece

sunt negative,

Sa se rezolve sistemul de inecuatii liniare

Se considera sistemul linar asociat

cu .

Acest sistem se poate rezolva utilizand metoda lui Gauss asa cum a fost arata inainte in ( ).

Se porneste cu matricea extinsa a acestui sistem:

(59)

(60)

(61)

(62)





Se porneste cu matricea extinsa a acestui sistem:

Efectuand aceleasi transformari ca in ( ) se obtine

ceea ce conduce la

care e echivalent cu

deci

unde .

Inainte: Seminar: Sisteme de ecuatii Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss pe Cuprins Index adi2006-11-05

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)





Inainte: Spatii vectoriale Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de inecuatii lineare Cuprins Index

Seminar: Sisteme de ecuatii liniare

Exercitiu 1.6 Sa se rezolve sistemul de ecuatii

cu metoda lui Gauss

Se considera matricea extinsa a sistemului

Se efectueaza transformarea adica

Se efectueaza transformarile ,

Impartim apoi prin al doilea element de pe diagonala

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

Page 1 of 6Seminar: Sisteme de ecuatii liniare




Apoi , ,

Urmeaza

si apoi ce conduce la

care e matricea extinsa a sistemului

In cazul in care, la un anumit pas elementul de pe diagonala prin care ar trebui sa impartim este 0, seinverseaza linia respectiva cu o linie de sub ea pentru ca noul element diagonal sa fie diferit de 0.

Sa consideram sistemul cu matricea extinsa de mai jos

pasul 1 in metoda lui Gauss este deja efectuat, ne mutam la linia a doua. Acolo avem un elementdiagonal egal cu 0, deci vom inversa liniile 2 si 3. Matricea devine

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)





Calculul se face in continuare exact ca in exercitiul precedent.

Metoda Gauss-Jordan

In multe situatii metoda lui Gauss duce la operatii cu multe fractii. O alternativa este folosireametodei Gauss-Jordan.

Sa consideram matricea extinsa din exemplul anterior

Se alege un element nenul pe prima coloana, de pilda . Acesta va fi numit pivot.

Numerele din matrice care nu sunt pe aceeasi linie sau coloana cu se modifica dupa regula

dreptunghiului adica pentru inlocuirea unui numar, de pilda cel de pe linia 2, coloana 2, adica -6 se

identifica dreptunghiul cu varfuri diagonal opuse in si adica

si se pune in locul lui numarul obtinut din produsul numerelor de pe diagonala ce contine pivotul

minus produsul numerelor de pe cealalta diagonala, adica . Punem deci

pe pozitia 2,2 numarul 2. In acelasi mod punem pe pozitia

2,3 numarul .

pe pozitia 2,4 numarul .

pe pozitia 3,2 .

pe pozitia 3,3 .

(79)

(80)





pe pozitia 2,4 . pe pozitia 3,4 .

Se inlocuieste apoi prima coloana cu exeptia pivotului cu 0. Matricea devine

Se alege acum ca pivot un element pe a doua coloana, (exceptand cel care e deasemenea pe primalinie), de pilda 2.

Vor fi modificate cu regula dreptunghiului toate numerele din matrice cu exceptia celor de pe liniasau coloana pivotului.

Avem

in pozitia 1,1 -2 in pozitia 1,3 0 in pozitia 1,4 -6

in pozitia 3,1 0 in pozitia 3,3 -10 in pozitia 3,4 -10

Se inlocuieste tot ce e deasupra si sub pivot cu 0. Matricea devine

Se trece la coloana 3. Automat pivotul trebuie ales numarul de pe pozitia 3,3.

Vor fi modificate cu regula dreptunghiului toate numerele din matrice cu exceptia celor de pe liniasau coloana pivotului.

in pozitia 1,1 20 in pozitia 1,3 0 in pozitia 1,4 60

in pozitia 2,1 0 in pozitia 2,3 0 in pozitia 2,4 -40

Se inlocuieste coloana 3 cu exeptia pivotului cu 0. Matricea devine

Sistemul care are aceasta matrice extinsa este

(81)

(82)

(83)

(84)





iar solutia este .

Exercitiu 1.7 O firma a raportat in 2004 un profit de 1.5 milioane RON, in 2005 un profit de 1.9milioane RON iar in 2006 un profit de 2.1 milioane RON. Asumand un model parabolic de cresterea profitului sa se estimeze profitul pe anul 2007.

Consideram ca lui 2004 ii corespunde momentul initial 0, lui 2005 ii corespunde momentul 1, lui2006 momentul 2 iar lui 2007 ii va corespunde momentul 3.

Consideram functia care asociaza fiecarui moment profitul firmei la acel moment. Vom avea deci

Deoarece se considera ca profitul creste parabolic se incearca gasirea unei functii

care sa satisfaca conditiile cu

alte cuvinte

Acest sistem se poate rezolva cu metoda lui Gauss si rezulta .

Urmeaza ca la momentul profitul este .

Algoritm (Metoda lui Gauss cum a fost descrisa aici):

-----------------------

for

Daca se inverseaza cu o linie cu si .

for

(85)

(86)

(87)





Inainte: Combinatie liniara. Sistem de Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale Cuprins Index

Spatii vectoriale. Definitie si proprietati

Exemplu 2.1 Sa consideram multimea numerelor reale . Numerele reale satisfac urmatoarelerelatii:

1. pentru oricare doua numere reale .

2. pentru oricare trei numere reale .

3. pentru . Deci exista un astfel de numar ,0, asa ca

.

4. pentru orice , adica admite un element asa ca

.

5. , pentru orice .

6. , pentru orice .

7. , pentru orice .

8. , pentru orice .

Spunem in acest caz ca multimea a numerelor reale formeaza cu operatia de adunare si inmultirecu numerele reale un spatiu vectorial.

Exemplu 2.2 Sa consideram multimea cuplurilor de numere reale

. Definim operatia de adunare a elementelor din ca

iind adunarea pe componente equation(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)de pilda pentru

avem ca

Observatie 2.1 Se observa ca suma a doua elemente produce un alt element ce este deasemenea in

.

Definim operatia de inmultire cu numere reale ca fiind inmultirea pe componente

Page 1 of 5Spatii vectoriale. Definitie si proprietati




equation&alpha#alpha;(x,y)=(&alpha#alpha;x,&alpha#alpha;y)

de pilda pentru avem ca

Observatie 2.2 Se observa ca inmultirea unui element cu un numar real produce un alt element ce

este deasemenea in .

Atunci cu aceste operatii definite anterior elementele din satisfac urmatoarele relatii:

1. pentru oricare doua elemente . Explicatie: avem ca

cu deoarece . aplicand

regulile de adunare ( ) avem ca

2. pentru oricare trei elemente . Avem ca

de unde rezulta ca equation(v+w)+z=

((x_1,y_1)+(x_2,y_2))+(x_3,y_3)=(x_1+x_2,y_1+y_2)+(x_3,y_3)=





Spunem in acest caz ca multimea a cuplurilor de numere reale formeaza cu operatia de adunare





pe componente si inmultire cu numerele reale un spatiu vectorial.

Exemplu 2.3 Sa consideram submultimea a lui definita prin

. Avem ca dar .

Atunci deasemenea multimea formeaza cu operatia de adunare pe componente si inmultire cunumerele reale un spatiu vectorial descrise in , .

Pentru a arata aceasta trebuie sa aratam ca operatiile de adunare in V si inmultire cu numere real

au proprietatea ca produc deasemenea elemente in V (vezi observatiile , ) si ca aceste operatii

satisfac proprietatile 1-7 din [ ].

Intr-adevar, daca cu atunci

, prin urmare

suma este deasemenea in V.

Proprietatile 1-7 se arata la fel ca in [ ].

Verificam numai prima proprietate:

pentru oricare doua elemente . Explicatie: avem ca

cu deoarece . aplicand regulile de

adunare ( ) avem ca

Trecem acum la definitia matematica a spatiilor vectoriale. Fie V o mutime nevida si un corp . De

cele mai multe ori va fi fie corpul numerelor reale fie corpul numerelor complexe. Se da o lege

de compozitie interna pe V adica o functie si o lege de compozitie externa

adica o functie .

Definitie 2.1 V formeaza un spatiu vectorial(sau liniar) peste corpul daca

1. pentru oricare doua elemente .

2. pentru oricare trei elemente .

3. Exista un element notat asa ca pentru .

4. pentru orice exista asa ca .





5. , pentru orice .

6. , pentru orice .

7. , pentru orice .

8. , pentru orice .

Elementele lui V se numesc vectori, elementele lui se numesc scalari.

In mod similar cu exemplul [ ] in care a fost definit spatiul vectorial se definesc spatiile

vectoriale ce sunt formate din toate n-uplele de numere reale: equation ^n =

{ (x_1,x_2,...,x_n)|x_1,x_2,...,x_n&isin#in; }

cu operatiile de adunare si scadere

equation(x_1,x_2,...,x_n)+(y_1,y_2,...,y_n)=(x_!+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n),&alpha#alpha;(x_1,x_2,...,x_n)=(&alpha#alpha;x_1,&alpha#alpha;x_2,...,&alpha#alpha;x_n)

Exemplu 2.4 Aratati ca multimile equation V_1={ (x,-x)|x &isin#in; }, V_2={ (x,0)|x &isin#in; }

ormeaza spatii vectoriale peste cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [

, ].

Aratati ca multimile equation V_3={ (x,2x-2)|x &isin#in; }, V_4={ (x+1,-x)|x &isin#in; } nu


, ].

Exemplu 2.5 Aratati ca multimile equation V_1={ (x,y,x+y)|x &isin#in; }, V_2={ (x,-y,x-2y)|x&isin#in; }


] cu .

Inainte: Combinatie liniara. Sistem de Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale Cuprins Index adi2006-11-05





Inainte: Sistem liniar independent Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale. Definitie si Cuprins Index

Combinatie liniara. Sistem de generatori

Definitie 2.2 Un vector este combinatie liniara a vectorilor daca exista

asa ca

Exemplu 2.6 In spatiul vectorial vectorul este o combinatie liniara a vectorilor

si pentru ca

In spatiul vectorial vectorul nu este o combinatie liniara a vectorilor si

pentru ca daca ar fi atunci am avea

de unde egaland componentele de pe pozitia trei ar rezulta ca 3=0, absurd.

Definitie 2.3 Vectorii formeaza un sistem de generatori pentru V daca orice

vector este o combinatie liniara de vectori .

Exemplu 2.7 In spatiul vectorial vectorii si formeaza un sistem de generatori

pentru ca pentru orice vector avem ca

adica este o combinatie linara a vectorilor si .

In spatiul vectorial vectorul nu este o combinatie liniara a vectorilor si

Page 1 of 2Combinatie liniara. Sistem de generatori




Inainte: Baza unui spatiu vectorial Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Combinatie liniara. Sistem de Cuprins Index

Sistem liniar independent

Definitie 2.4 Vectorii sunt liniar independenti daca relatia

implica .

Exemplu 2.8

In spatiul vectorial vectorii si sunt linear independenti pentru ca daca

atunci

de unde rezulta ca .

In spatiul vectorial vectorii nu sunt linear independenti pentru

ca

Exemplu 2.9 Aratati ca doi vectori sunt linear independenti daca

si numai daca

Exemplu 2.10 Aratati ca n vectori sunt linear independenti daca si numai daca

nuciunul nu este o combinatie liniara a celorlalti.

(89)

Page 1 of 2Sistem liniar independent




Definitie 2.5 Opusul notiunii de indepenedenta lineara este notiunea de dependenta lineara:

Vectorii sunt liniar dependenti daca exista nu toi nenuli astfel

incat

Exemplu 2.11 Vectorii sunt linear dependenti pentru ca

In general daca este o combinatie liniara de

vectori atunci sistemul este liniar dependent.

Inainte: Baza unui spatiu vectorial Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Combinatie liniara. Sistem de Cuprins Index adi2006-11-05

Page 2 of 2Sistem liniar independent




Inainte: Transformari liniare Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Sistem liniar independent Cuprins Index

Baza unui spatiu vectorial

Definitie 2.6 Vectorii formeaza o baza a spatiului vectorial daca ei

sunt liniar independenti si formeaza un sistem de generatori pentru V.

Exemplu 2.12 Vectorii formeaza o baza a spatiului vectorial pentru ca (a fost

aratat inainte) ca ei sunt linear independenti si ca formeaza un sistem de generatori pentru .

Teorema 2.1 Daca vectorii formeaza o baza a spatiului vectorial

atunci pentru orice vector exista scalari unici asa ca

Exemplu 2.13 Sa consideram spatiul vectorial n-dimensional . O baza a acestui spatiu(numitabaza canonica) este formata din vectorii unitari

. Sa aranjam acesti vectori pe

coloane. Pentru orice vector avem ca

Exemplu 2.14 Fie o baza a spatiului vectorial atunci

cu este deasemenea o baza.

Cum se verifica linear-independenta unui sistem de vectori?

Matricea vectorilor se obtine punand vectorii pe coloane, unul langa altul.

Daca atunci matricea acestori doi vectori e data de

(90)

Page 1 of 3Baza unui spatiu vectorial




Daca atunci matricea acestor trei vectori e data

de

Daca atunci matricea acestor trei vectori e data de

Teorema 2.2 Un sistem de vectori formeaza un sistem liniar independent daca si

numai daca rangul matricei vectorilor este egal cu numarul vectorilor.

Teorema 2.3 Un sistem de vectori formeaza o baza in daca si numai daca

determinatul matricei vectorilor este diferit de 0.

Sa aratam ca daca formeaza o baza atunci determinantul matricei vectorilor este

diferit de 0.

Sa presupunem ca equationv_1= ( ), v_2= ( ), , v_n= ( )

Deoarece formeaza o baza rezulta ca dat fiind un vector exista

coeficienti unici asa ca

sau, folosind scrierea , avem ca

(91)

(92)

(93)





equationx_1 ( ), +x_2 ( ), + x_n ( )= ( )

Cu alte cuvinte, adunanda pe componente rezulta ca

equation( )= ( )

prin urmare coeficientii formeaza solutia unica a sistemului .

Deci acest sistem e compatibil determinat si ca urmare matricea asociata lui(care este si matricea

vectorilor ) are determinantul diferit de 0.

Invers, daca aceasta matrice are determinantul diferit de 0 implica faptul ca sistemul are solutie

unica prin urmare exista coeficienti unici asa ca egalitatea sa fie adevarata. De

aici rezulta ca

formeaza o baza.

Inainte: Transformari liniare Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Sistem liniar independent Cuprins Index adi2006-11-05





Inainte: Vectori si valori proprii Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Baza unui spatiu vectorial Cuprins Index

Transformari liniare

este transformare liniara daca

1. pentru oricare doi vectori .

2. pentru oricare doi vectori .

Exercitiu 2.1 Fie cu

Sa se arate ca este o transformare liniara.

Solutie: Fie , atunci

Avem deci ca

Pe de alta parte

si

deci

care e egal cu . Concluzia este ca .

Aratam acum a doua proprietate:

de unde rezulta ca

Pe de alta parte

Page 1 of 5Transformari liniare




de unde rezulta ca

.

Propozitie 2.1 Daca T este transformare liniara atunci avem ca

Matricea asociata unei transformari liniare intr-o pereche de baze. Fie

baza in V, baza in . Descompunem fiecare vector

in baza dupa cum urmeaza

Matricea asociata lui in bazele , este prin definitie

Formal, putem scrie egalitatile 187 in forma

Acum, daca un vector se descompune pe baza sub forma

atunci utilizand proprietatea ca

(94)

(95)





si putem scrie aceasta egalitate formal dupa cum urmeaza

resulta atunci formula pentru coordonatele lui in baza :

Exercitiu 2.2 Se considera . Sa se afle matricea lui in baza

canonica a lui .

Avem ca

Matricea lui in baza canonica este

Deoarece coordonatele vectorului in baza canonica sunt resulta din ca formula

pentru coordonatele vectorului in baza canonica este

Formula ne da intr-adevar coordonatele corecte deoarece .

Exercitiu 2.3 . Calculati matricea lui in baza canonica.





Matricea lui T se obtine punand vectorii coordonatelor pe coloane:

deci

Exercitiu 2.4 Sa se afle matricea lui in baza

.

Deci

Sa consideram vectorul deci cocordonatele lui in baza

sunt .

Vrem sa aflam coorodnatele lui in aceeasi baza. Formula ne da direct ca aceste coordonate

sunt





Sa facem o verificare. Utilizand formula de definitie a lui avem ca .

Deasemenea si prin urmare intr-adevar coordonatele lui in

acea baza sunt .

Inainte: Vectori si valori proprii Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Baza unui spatiu vectorial Cuprins Index

adi2006-11-05





Inainte: Vectori liberi Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Transformari liniare Cuprins Index

Vectori si valori proprii

Definitie 2.7 Fie o transformare liniara . Daca exista relatia

pentru un numar real sau complex si un vector spunem ca este o valoare proprie a lui

lui iar este un vector propriu al lui asociat valorii proprii .

Exercitiu 2.5 Fie , Atunci e

valoare proprie a lui iar este un vector propriu al lui asociat lui pentru ca

iar

adica .

Observatie 2.3 Observati ca in exemplul de mai sus este deasemenea vector

propriu asociat lui . In general, orice este vector propriu asociat lui . Aici este numar real.

bf Cum se afla valorile proprii ale unei transformari liniare date?

Consideram matricea asociata lui intr-o baza oarecare a lui . Daca putem alegeaceasta baza sa fie baza canonica deoarece in acest caz calculele ce urmeaza a fi efectuate sunt maiusor de facut. Sa notam coeficientii matricei A dupa cum urmeaza

Se formeaza urmatorul polinom numit polinomul caracteristic asociat lui (sau polinomulcaracteristic asociat lui T)

Page 1 of 6Vectori si valori proprii




Radacinile lui (adica solutiile ecuatiei ) sunt exact valorile proprii ale lui . Se mai

spune si ca aceste radacini sunt valorile proprii ale matricii .

Exercitiu 2.6 Sa se afle polinomul caracteristic si toate valorile proprii ale transformarii

,

Solutie: In baza canonica matricea asociata transformarii este

prin urmare polinomul caracteristic al lui este dat de formula

Pentru a afla valorile proprii consideram ecuatia

cu radacinile . Deci valorile proprii sunt .

Exercitiu 2.7 Sa se afle polinomul caracteristic si toate valorile proprii ale transformarii

,

Solutie: Matricea lui in baza canonica a lui este Solutie: In baza canonica matricea asociata

transformarii este

Polinomul caracteristic este prin urmare





Rezulta ca valorile proprii sunt solutiile ecuatiei

deci ele sunt numarata de doua ori si .

bf Cum se afla vectorii proprii ale unei transformari liniare date?

Mai intai se afla dupa metoda descrisa anterior valorile proprii dupa care pentru

fiecare valoare proprie in parte se calculeaza vectorii proprii corespunzatori. Sa ii calculam pentruprima valoare proprie , pentru celelealte se calculeaza la fel.

Dupa definitia vectorii proprii corespunzatori valorii proprii trebuie sa satisfaca

Egalitatea de mai sus este de fapt un sistem liniar ce poate fi rezolvat pentru componentele vectorului

pe care incercam sa-l calculam. Daca are matricea

intr-o anumita baza iar are coordonatele in acea baza sistemul se scrie

sub forma

adica





Aceasta formula ne da indicatia cum sa calculam vectorii proprii asociati unei valori proprii : Se

construieste sistemul ( ) si apoiu se rezolva acest sistem pentru in baza aleasa.

Exercitiu 2.8 S-a demonstrat inainte in ca valorile proprii al transformarii ,

sunt . Sa se afle pentru fiecare valoare proprie un vector

propriu asociat.

Solutie: Sa aflam un vector propriu pentru valoarea proprie . In baza canonica matricea asociata

transformarii este

Sistemul devine

adica

de unde rezulta ca adica . Putem spune ca multimea vectorilor propriieste formata din vectorii de forma

care e echivalenta cu

Un vector propriu este de pilda . este de asemenea un vector propriu

(96)

(97)





deoarece este in multimea .

Sa aflam un vector propriu pentru valoarea proprie .

Atunci cand sistemul devine

adica

de unde rezulta ca adica . Putem spune ca multimea vectorilor proprii este

formata din vectorii de forma

care e echivalenta cu

Un vector propriu este de pilda . este de asemenea un vector propriu

deoarece este in multimea .

Exercitiu 2.9 S-a demonstrat inainte in ca valorile proprii al transformarii ,

sunt . Sa se afle vectorii proprii asociati valorii proprii

.

Solutie: In baza canonica matricea asociata transformarii este

Sistemul devine

(98)





adica

ceea ce revine la

Incercam sa descriem mutimea tuturor solutiilor acestui sistem. Prima coordonata poate fi orice,

in timp ce urmatoarele doua coordonate satisfac ecuatia adica . Putem

spune ca multimea vectorilor proprii este formata din vectorii de forma

Deoarece multimea de mai sus poate fiscrisa sub

forma

Doi vectori proprii care geneareaza aceasta multime si sunt linear independenti(demonstrati!) sunt

si .

Inainte: Vectori liberi Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Transformari liniare Cuprins Index adi2006-11-05

(99)

(100)





Inainte: Vectori coliniari si coplanari. Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi Cuprins Index

Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cuun scalar.

Notam cu spatiul euclidian tridimensional ale carui proprietati au fost studiate la geometria

elementara din liceu, iar cu V multimea vectorilor liberi asociati lui .

Vectori liberi. Dupa cum se stie din geometria elementara, fiecarei perechi ordonate de puncte

din i se asociaza segmentul orientat denumit vector legat. Marimea a

vectorului legat este egala cu distanta dintre punctele P si Q. Daca d(P,Q)=0,

atunci vectorul se numeste vectorul legat nul.

Definitie 3.1 Doi vectori legati si se

numesc echipolenti si se scrie daca

sunt amandoi nuli sau sunt paraleli si au acelasi senssi aceeasi marime (fig. 43).

Definitie 3.2 Multimea vectorilor legati care sunt

echipolenti cu vectorul legat se numeste

vectorul liber definit de .

Acest vector are prin definitie marimea, directia si

sensul lui .

Definitie 3.3 Un vector liber de marime unitara senumeste versor

Page 1 of 3Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.




Vectorul liber definit de perechea de puncte (P,P) se noteaza cu si se numeste vectorul nul. Seobserva ca vectorul are marimea nula si directia nedeterminata.

Daca este vectorul liber definit de atunci vectorul liber definit de se noteaza si se

numeste vectorul opus lui .

Operatiile cu vectori liberi se definesc prin operatii intre vectori legati corespunzatori rezultatul lorfiind insa independent de alegerea vectorilor legati. Tinand cont de aceasta se pot vizualiza si vectoriliberi prin segmente orientate.

Definitie 3.4 Suma a doi vectori liberi , se obtine dupa regula paralelogramului (fig.

2 , prima imagine) sau a triunghiului(fig. 2 , a doua imagine).

Observatie 3.1 Daca un contur format din mai multi vectori se inchide atunci suma lor este nula.

Proprietati 3.1 Fie vectori liberi oarecare. Atunci au loc urmatoarele proprietati:

Figura 1: Doi vectori paraleli.

Figura: : Regula paralelogramului in prima imagine, regula triunghiului in a doua.

(101)





Definitie 3.5 Prin inmultirea unui vector liber cu un scalar se obtine un vector

avand aceeasi directie ca si , marimea si avand sensul lui sau contrar lui

dupa cum sau .

Proprietati 3.2 Inmultirea dintre un vector si un scalar are proprietatile urmatoare:

Proprietati 3.3 Adunarea vectorilor este distributiva fata de inmultirea cu un scalar:

Proprietatile de mai sus arata ca multimea vectorilor liberi V este un spatiu vectorial peste R.

Inainte: Vectori coliniari si coplanari. Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi Cuprins Index adi2006-11-05

(102)





Inainte: Produsul scalar a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Cuprins Index

Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.

Definitie 3.6 Doi vectori se zic coliniari daca au aceeasi directie.

Teorema 3.1 Doi vectori sunt coliniari daca si numai daca sunt liniar dependenti.

Demonstratie: Fie doi vectori coliniari si . Atunci ei au acelasi versor:

de unde

unde . Reciproc, daca si sunt liniar dependenti atunci

$$

Observatie 3.2 Relatia de coliniaritate ne arata ca si raportul marimilor celor doi

vectori este adica . Cand vectorii au sensuri opuse iar ei

sunt opusi.

Definitie 3.7 Trei vectori situati in acelasi plan sau paraleli cu acelasi plan se numesc vectori coplanari.

(103)

(104)

(105)

Definitie 3.8 Fie trei vectori coplanari pe

care ii deplasam astfel incat sa aiba aceeasi origine.

(fig. 3)Se duce prin , extremitatea vectorului ,

si atunci .

Page 1 of 4Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.




Teorema 3.2 Descompunerea unui vector dupa directiile a doi vectori este unica.

Demonstratie: Presupunem ca descompunerea nu ar fi unica, adica si

unde si sau atunci

prin urmare si sunt coliniari, nu se poate, deci sau ,

contrazice ipoteza. Deci si .

$$

Teorema 3.3 Trei vectori sunt coplanari daca si numai daca sunt liniar dependenti.

Demonstratie: Daca sunt liniar dependenti atunci

deoarece si deci

Vectorii si se numesc componentele

vectorului dupa directiile vectorilor si . Astfel

s-a descompus vectorul dupa directiile vectorilor

si .

Figura 2: Descompunerea unui vectordupa doua directii.

(106)





si fie , atunci

deci vectorul este descompus dupa directiile si , deci cei trei vectori sunt coplanari.

Reciproc este evident.

$$

Teorema 3.4 Spatiul vectorial real al vectorilor liberi din are dimensiunea 3.

Demonstratie: exercitiu. $$

Observatie 3.3 Analog se poate descompune un vector dupa trei directii necoplanare, iar descompunerea este unica.

Definitie 3.9 Expresia care da descompunerea unui vector dupa trei axe rectangulare se numeste

expresia analitica a vectorului, adica unde: ,

, este baza ortonormata.(vezi Algebra liniara).

(107)

Definitie 3.10 (Proiectia unui vector) Fie vectorul

pe care il proiectam pe axa (fig.4)

Proiectia lui adica segmentul o notam

(proiectia lui pe axa x). Notam cu unghiul format

de directia vectorului cu directia axei(adica versorulatunci exista relatia

(108)





Teorema 3.5 Proiectia sumei vectorilor dintr-un contur poligonal este egala cu suma proiectiilorvectoriale.

Demonstratie: evidenta $$

Inainte: Produsul scalar a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Cuprins Index adi2006-11-05

Figura 3: .





Inainte: Produsul vectorial a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori coliniari si coplanari. Cuprins Index

Produsul scalar a doi vectori

Notiunea de produs scalar se cunoaste de la algebra liniara. Fie spatiul vectorilor liberi si

, . Pentru notam cu unghiul dintre vectorii si

Teorema 3.6 Functia definita prin

este un produs scalar pe .

Demonstratie: evidenta. $$

Observatie 3.4 Expresia analitica a produsului scalar a doi vectori este

, deoarece

Unghiul a doi vectori nenuli este dat de

Prin urmare ceea ce implica sau

. Daca si au acelasi sens atunci produsul lor scalar este

deoarece .

(109)

Page 1 of 2Produsul scalar a doi vectori




Propozitie 3.1 Produsul scalar a doi vectori este egal cu marimea unuia dintre ei inmultita cu roiectia celuilalt pe el.

Demonstratie: Prin definitie

dar deci .

$$

Propozitie 3.2 Produsul scalar este distributiv fata de adunarea vectorilor.

Inainte: Produsul vectorial a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori coliniari si coplanari. Cuprins Index

adi 2006-11-05

Page 2 of 2Produsul scalar a doi vectori




Inainte: Seminarul 1 Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul scalar a doi Cuprins Index

Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.

Definitie 3.11 Produsul vectorial al vectorilor liberi nenuli si neparaleli si este vectorul

a carui directie este perpendiculara pe planul vectorilor si , al carui sens

corespunde miscarii burghiului drept daca se roteste spre cu burghiul dintre cei doi

vectori si a carui marime este egala cu aria paralelogramului construit pe cei doi vectori si adica

Definitie 3.12 Se numeste reper cartezian in multimea . Punctul se numeste

originea reperului iar se numeste baza reperului. Coordonatele euclidiene

ale vectorului de pozitie se numesc coordonatele carteziene ale punctului M fata de

Observatie 3.5 1) Daca cel putin unul dintre vectorii

si este nul sau daca vectorii sunt paraleli, produsul vectorial este egal prin definitie cu 0.

2) Produsul vectorial a doi vectori este o aplicatie

biliniara de la la .

Acestui vector ii corespunde tripletul ordonat de

numere numite coordonatele

euclidiene ale vectorului in raport cu baza

. Vom scrie .

Figura 4: .

Page 1 of 2Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.




reperul ortonormat unde

Bijectia dintre si determinata prin fixarea reperului cartezian se numeste

sistem de coordonate cartezienesi se noteaza prin .

Inainte: Seminarul 1 Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul scalar a doi Cuprins Index adi 2006-11-05

Versorilor le atasam axele de coordonate Ox, Oy, Oz care

au acelasi sens cu sensul pozitiv al acestor versori. Coordonatelecarteziene ale punctului M reprezinta marimile algebrice ale

proiectiilor ortogonale ale vectorului pe cele trei axe decoordonate(fig. 6)

Axele au ecuatiile:

cele trei axe determina trei plane xOy, yOz, zOx numite plane decoordonate care au ecuatiile: xOy: z=0, yOz: x=0, zOx: y=0.

Cele trei plane de coordonate impart spatiul in opt regiuni numiteoctante.

Figura 5: .

Page 2 of 2Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.




Inainte: Dreapta in spatiu Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul vectorial a doi Cuprins Index

Seminarul 1

Adunarea, scaderea si inmultirea cu scalari a vectorilor.

Exercitiu 3.1 Consideram vectorul si vectorul

. Sa se afle numarul pentru ca suma celor doi vectori sa aiba

aceeasi directie ca vectorul .

Demonstratie: Sa notam cu suma celor doi vectori, deci

Daca si au acceasi directie inseamna ca unul e multiplu de celalalt, deci

pentru un numar real . Prin egalarea componentelor deducem ca

De unde rezulta ca . $$

Exercitiu 3.2 Asupra unui obiect actioneaza doua forte ca in figura 7 , unde si

, , . Sa se gaseasca forta rezultanta.

Demonstratie:

Forta rezultanta este suma celor doua forte. Avem

si .

Va rezulta ca

si

Page 1 of 12Seminarul 1




$$

Exercitiu 3.3 Sa se gaseasca un vector care e paralel cu vectorul si are aceeasi

lungime ca vectorul .

Demonstratie: Daca si sunt paraleli inseamna ca vectorul se poate obtine din

prin inmultire cu un scalar:

Lungimea lui este si ea trebuie sa fie egala cu

. Urmeaza ca

si deci . Deci . Sunt deci doi vectori ce satisfac conditiile problemei

anume

$$

Exercitiu 3.4 Sa se descompuna vectorul pe directiile si .

Demonstratie:

.

Prin sumare se obtine apoi .

Figura 6: .





$$

Exercitiu 3.5 Cu ce forta trebuie sa actionam asupra unui obiect de masa 1000Kg pe directia

(fig. 1) pentru ca sub actiunea acestei forte obiectul sa se deplaseze pe orizontala?

Demonstratie:

Trebuie sa gasim scalarii si asa ca

.

Egaland componentele vectorilor gasim ca:

Deci . Descompunerea este:

.

Figura 7: .

Forta trebuie sa aiba aceeasi directie ca

si prin urmare putem scrie pentru

un numar real . Forta de greutate e data de

formula unde

este masa obiectului iar este acceleratia

gravitationala. Forta rezultanta este suma celor douaforte:

Pentru ca obiectul sa se miste pe orizontala trebuie ca





si deci . In concluzie . $$ Produs Scalar

Exercitiu 3.6 Sunt folosite doua formule pentru calcularea produsului scalar a doi vectori

si Pe de o parte

e de alta parte

unde este unghiul dintre cei doi vectori. Demonstrati ca cele doua formule sunt echivalente.

Demonstratie:

forta rezultanta sa fie pe directia orizontala si deci adoua componenta a ei va trebui sa fie 0:

Figura 8: .

(110)

(111)

Din figura rezulta descrierea in coordonate polare a celor doivectori:

si

Reprezentarea polara a celor doi vectori este





A doua formula (11) devine si

deci cele doua formule sunt echivalente. Pentru vectori in spatiu o solutie similara poate fidata.

$$

Exercitiu 3.7 (Lucrul mecanic) Asupra unui obiect actioneaza o forta rezultanta de marime

Va resulta ca formula (10) e echivalenta cu

Figura 9: .

Aplicand teorema lui Pitagora generalizata gasim ca:

Utilizand formula rezulta ca

Figura 10: .





20N ce face un unghi de cu axa orizontala. Obiectul e deplasat sub actiunea acestei forte pe

o panta de inclinatie (ca in figura ( 12 ) pe distanta 20m. Sa se afle lucrul mecanic efectuat de orta.

Demonstratie:

$$

Exercitiu 3.8 (Ortogonalitate) Consideram doi vectori . Gasiti

pentru ca

Demonstratie: Daca cei doi vectori sunt perpendiculari produsul lor scalar trebuie sa fie egal

cu 0 ceea ce implica si deci .

$$

Exercitiu 3.9 (Ortogonalitate) Consideram curba de ecuatie carteziana din

ig. ( 13 ). Sa se afle un vector normal la curba in punctul .

Demonstratie:

Atunci cand forta e constanta ca marime vectoriala iar

deplasarea se face pe o linie dreapta lucrul mecanic efectuatde forta e dat de formula:

. In cazul nostru pentru calculul lucrului mecanic vomutiliza formula (11):

Figura 11: .

Stim ca derivata functiei evaluata la ne va da

panta liniei tangente la graficul lui in punctul

.





$$

Exercitiu 3.10 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vetoriala a vectorului

pe vectorul fara utilizarea formulei de calcul a proiectiei.

Demonstratie:

Aceasta panta este . Prin urmare ecuatia

dreptei prin si de panta este

. Un alt punct pe aceasta dreapta

este . Va rezulta ca

este un

vector tangent la curba in punctul . Un

vector normal la curba in este atunci un vector

perpendicular pe , de exemplu

Figura 12: .

Sa notam proiectia lui pe . Aceasta

proiectie are aceeasi directie ca si prin urmare

pentru un numar pe care urmeaza sa-

l aflam. Conditia satisfacuta de proiectie este ca

Inlocuind gasimceea ce

implica





si deci de unde rezulta ca prin urmare

$$

Exercitiu 3.11 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vetoriala a vectorului

pe un plan paralel cu vectorii si

Demonstratie:

Figura 13: .

Deoarece aceasta proiectie e continuta intr-un

plan paralel la vectorii si ea va fi o combinatie

liniara de cei doi vectori:

Pe de alta parte, fiind proiectia lui pe un plan

paralel la si trebuie ca vectorul

sa fie perpendicular pe acest plan(vezi fig. (15) , prin

urmare va fi perpendicular si pe

vectorii si . Vom avea deci

(112)





Utilizand formula (12) rezulta

Avem

Inlocuind in (14) gasim ca

Rezolvand acest sistem gasim si . Prin urmare, proiectia lui este

$$

Exercitiu 3.12 (Proiectia ortonormala) Sa se afle distanta de la punctul la planul

aralel cu vectorii si ce trece prin origine.

Demonstratie: Avem exact numerele din problema anterioara cu amanuntul ca punctul deaici este varful vectorului de pozitie din problema anterioara.

Figura 14: .

(113)

(114)

(115)

(116)





Prin urmare distanta de la la planul paralel cu si ce

trece prin origine va fi exact lungimea vectorului ce pointeaza de la varful lui la varful lui

care e exact diferenta acestor doi vectori, vom avea deci

$$

Exercitiu 3.13 (ortogonalitate) Consideram punctele si . Sa se afle lungimea

inaltimii din din triunghiul utilizand proprietatile vectorilor.

Demonstratie:

Avem .

Notam inaltimea cu ca in fig. 16 Avem

. O directie perpendiculara pe este

si deci . Pe de alta

parte, avem ca . De aici rezulta

ca si deci

Rezolvand aceasta ecuatie gasim ca

si, cum , rezulta ca

si . Lungimea

inaltimii, adica lungimea vectorului este

.





$$

Exercitiu 3.14 (produsul mixt) Sa se arate ca vectorii

sunt coplanari(sunt continuti in

acelasi plan).

Demonstratie: trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul lor mixt este 0.

$$

Exercitiu 3.15 (produsul vectorial) Sa se arate ca produsul vectorial a doi

vectori este dat de formula

Demonstratie: Din definitia produsului vectorial stim ca satisface ecuatia:

pentru orice vector . Deducem ca

Figura 15: .

(117)

(118)

(119)





Dezvoltam determinantul dupa ultima linie si obtinem:

unde sunt complementii algebrici corespunzatori. Deoarece (20) e valabila pentru

orice triplet rezulta ca si de aici deducem ca:

. Aceasta relatie se poate scrie sub forma:

care este echivalenta cu (18)

$$

Inainte: Dreapta in spatiu Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul vectorial a doi Cuprins Index adi 2006-11-05

(120)

(121)





Inainte: Dreapta determinata de un Sus: < Inapoi: Seminarul 1 Cuprins Index

Dreapta in spatiu

O dreapta in spatiu poate fi determinata de

1. un punct si un vector nenul.

2. doua puncte.

3. intersectia a doua plane.

Sectiuni

Dreapta determinata de un punct si un vector nenul Dreapta determinata de doua puncte Dreapta orientata Seminarul 2

adi

2006-11-05

Page 1 of 1Dreapta in spatiu




Inainte: Dreapta determinata de doua Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta in spatiu Cuprins Index

Dreapta determinata de un punct si un vector nenul

Fie un punct, vectorul lui de pozitie, iar

un vector nenul din . Dreapta ce trece prin si are directia lui o notam cu

(fig.17).

Punctul , fiind o dreapta

determinata de si de daca si numai daca

Ecuatia (22) se numeste ecuatia vectoriala a dreptei

determinata de un punct si o directie. Vectorul

se numeste vector director, iar coordonatele sale l, m, nse numesc parametrii directori ai dreptei. Evident orice

vector cu joaca acelasi rol ca .

Coliniaritatea vectorilor si mai poate fi

scrisa si , , sau

(122)

(123)

Page 1 of 3Dreapta determinata de un punct si un vector nenul




Ecuatia (23) este echivalenta cu ecuatiile:

Ecuatiile (24) se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei (D). Ecuatiile (24) pot fi inlocuite cu

numite ecuatiile carteziene in .

Se face conventia ca daca un numitor este este nul atunci numaratorul respectiv trebuie egalatcu 0.

Observatie 4.1

1. Daca , atunci:

si este o dreapta paralela cu planul .

2. Daca , atunci:

Figura 16: .

(124)

(125)





si este o dreapta paralela cu axa .

Inainte: Dreapta determinata de doua Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta in spatiu Cuprins Index adi

2006-11-05





Inainte: Dreapta orientata Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de un Cuprins Index

Dreapta determinata de doua puncte

adi

2006-11-05

Fie doua puncte distincte si

. Se stie ca doua puncte distincte

determina o dreapta unica. Vom folosi cazul precedent,

adica punctul va fi si vectorul director va fi dat de

(fig.18). Directia va fi

.

Page 1 of 1Dreapta determinata de doua puncte




Inainte: Seminarul 2 Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de doua Cuprins Index

Dreapta orientata

O dreapta in spatiu pe care am ales un sens de parcus se numeste dreapta orientata.

Fie vectorul director al dreptei , atunci sensul pozitiv pe este sensul vectorului

director si acest sens il vom nota cu +. Fie ,atunci multimea

se numeste partea pozitiva a lui iar

se numeste partea negativa alui . De exemplu axele de coordonate sunt drepte

orientate. Vectorului director al dreptei i se poate atasa versorul

numit versor director sau directie orientata.

Deci dreapta poate fi scrisa in forma: Versorul director

impreuna cu axele de coordonate formeaza cu axele unghiurile numite unghiuri

directoare ale dreptei (fig.23). Coordonatele lui se numesc cosinusurile directoare ale

dreptei . se poate scrie:

Figura 17: .

Page 1 of 3Dreapta orientata




sau

Deoarece

Unghiul a doua drepte orientate. Fiind date doua drepte

si orientate, de vectori directori si

atunci unghiul lor este dat de

deci

< cu sau

Figura 18 : .





Atunci si

Inainte: Seminarul 2 Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de doua Cuprins Index adi

2006-11-05





Inainte: Planul in spatiu Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta orientata Cuprins Index

Seminarul 2

Exercitiu 4.1 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca ecuatia vectoriala a dreptei care trece rin si are directia data de . Sa se transforme ecuatia vectoriala

in ecuatia parametrica a dreptei.

Demonstratie:

$$

Conform formulei ecuatiei vectoriale

unde si deci

Ecuatia parametrica este:

. Ecuatia carteziana a dreptei se poate gasi prin

eliminarea variabilei din ecuatia parametrica adreptei:

Figura 19: .





Exercitiu 4.2 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi intrebare ca mai sus dar pentru

Demonstratie: Ecuatie vectoriala:

deci

Ecuatia parametrica:

Ecuatia carteziana(obtinuta oprin eliminarea parametrului t)

De notat ca din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonata este constanta

egala cu , dreapta va fi paralela cu planul $$

Exercitiu 4.3 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi intrebare ca mai sus dar pentru

Demonstratie: Ecuatie vectoriala:

deci

Ecuatia parametrica:

Ecuatia carteziana(obtinuta oprin eliminarea parametrului t)





De notat ca din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonatele si sunt

constante, dreapta va fi paralela cu axa $$

Exercitiu 4.4 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca intersectia dreptei din exercitiul ( 2.1 )

cu planul .

Demonstratie: Ecuatia parametrica a dreptei este

. In locul unde intersecteaza planul trebuie sa avem . Deci

Inlocuind obtinem:

. Deci punctul de intersectie este .

$$

Exercitiu 4.5 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatia parametrica a dreptei ce

trece prin si e perpendiculara pe planul ce contine punctele ,

, .

Demonstratie: Din moment ce avem un punct pe dreapta, ne trebuie doar directia drepteipentru a aplica formula.

dreapta e perpendiculara pe planul ce contine , , , prin

urmare e perpendiculara si pe vectorii ce

sunt continuti in acel plan.

Deci directia dreptei e directia perpendiculara pe acesti doi vectori ce e data de produsul lorvectorial.

Calculam produsul vectorial al celor doi vectori:

(126)





Putem acum aplica formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact cain exemplul (2.2). $$

Exercitiu 4.6 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se arate ca dreptele de ecuatii vectoriale

nu sunt nici paralele si nici coplanare.

Demonstratie: Avem

De aici rezulta ca directiile celor doua drepte sunt date de vectorii si respectiv

. Deoarece acestia nu sunt linear dependenti rezulta ca cele doua drepte nu sunt

paralele.

Deci daca ar fi coplanare ele s-ar intersecta. Sa egalam componentele:

Din prima ecuatie avem iar din a treia . Imposibil. Deci nu exista punct de

intersectie.

$$

Exercitiu 4.7 (ecuatia vectoriala a dreptei) In conditiile problemei ( ) sa se gaseasca lungimeaerpendicularei comune a celor doua drepte.

Demonstratie:

(127)

(128)

Perpendiculara comuna exista! Alegem in general doua

drepte si care nu sunt paralele si nici nu se

intersecteaza, ca in fig. 21. Alegem un punct pe

dreapta si trasam prin el o dreapta paralela cu





Perpendiculara comuna este unica! Intr-adevar, daca ar exista o alta perpendiculara comunaatunci cele doua perpendiculare vor fi paralele pentru ca sunt ambele perpendiculare pe doua

directii diferite(date de si ). Va rezulta ca si sunt in planul generat de cele

doua perpendiculare, ceea ce contrazice exercitiul anterior.

.

Proiectam dreapta pe planul generat de

dreptele si . Proiectia si dreapta se

intersecteaza in .

Trasam prin normala la planul . Avem atunci

ca intersecteaza si e perpendiculara pe si

pe de alta parte deoarece este pe proiectia pe a

lui si trebuie ca sa fie perpendiculara

pe si sa o si intersecteze.

Figura 20: .

Pentru determinarea lungimii perpendicularei comune a celor doua dreptedate in exercitiul 2.6 folosim ecuatia vectoriala a celor doua drepte.

Observam ca orice vector ce incepe pe si se termina pe e dat de

formula:

pentru anumite valori ale parametrilor si . Noi trebuie sa gasim si





Va rezulta si deci si lungimea perpendicularei

comune este $$

Exercitiu 4.8 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatia parametrica a dreptei ce

trece prin punctele si .

Demonstratie: Deoarece cele doua puncte sunt pe dreapta inseamna ca directia dreptei e data

de vectorul . Putem acum aplica

formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact ca in exemplul (2.3).$$

Inainte: Planul in spatiu Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta orientata Cuprins Index

in asa fel incat vectorul e perpendicular atat pe

directia lui cat si pe directia lui cu alte cuvinte

Inlocuind obtinem

Figura 21: .

(129)





adi 2006-11-05





$$

Teorema 5.1 (Ecuatia generala a planului) Intr-un sistem de coordonate carteziene, un planeste definit de ecuatia:

unde cel putin unul din coeficientii este nenul.

Demonstratie: Daca si atunci

Din conditia de ortogonalitate rezulta:

unde , ecuatia (30) se numeste ecuatia generala a planului.

$$

Teorema 5.2 Reciproca teoremei ( 3.1 ). Orice ecuatie de gradul intai

efineste, in sistemul de coordonate carteziene un plan.

Figura 22: .

(130)

Page 2 of 5Planul in spatiu




Demonstratie: Daca este o solutie a ecuatiei (2) atunci

sau si inlocuind in (2) se

obtine

care este ecuatia unui plan ce trece prin punctul si este perpendicular pe

vectorul nenul .

Observatie 5.1

1. Ecuatia unui plan in spatiu este nucleul unei functii liniar afine

.

2. Doua ecuatii de gradul intai reprezinta acelasi plan daca si numai daca au coeficientiiproportionali:

3. Ecuatii particulare ale planului:1. -ecuatia unui plan care trece prin origine.

2.

3.

$$

Teorema 5.3

Ecuatia planului determinat de trei puncte necoliniare ,

este





Demonstratie: Fie trei puncte necoliniare si vectorii de pozitie

, si un punct curent cu vectorul de

pozitie . Pentru ca sa fie in plan trebuie ca vectorii sa

fie coplanari, deci produsul mixt trebuie sa fie nul.

sau

sau

$$

Observatie 5.2

1. Ecuatia planului prin taieturi:

2. Patru puncte sunt coplanare daca

Sectiuni

Ecuatia normala a planului Distanta de la un punct la un plan Unghiul a doua plane Seminarul 3

(133)

(134)





Inainte: Ecuatia normala a planului Sus: < Inapoi: Seminarul 2 Cuprins Index

adi 2006-11-05





Inainte: Distanta de la un Sus: Planul in spatiu Inapoi: Planul in spatiu Cuprins Index

Ecuatia normala a planului

Teorema 5.4

Fie cosinusurile directoare ale normalei de plan si distanta de la origine la

lan. Ecuatia planului astfel determinat este:

Demonstratie:

sau

(forma lui Hesse) (136)

Fie intr-un sistem de axe rectangulare (fig. 24)

vectorul dus din origine, perpendicular pe planul

, , cu .

Punctul P, piciorul perpendicularei duse din origine pe

plan are coordonatele . Fie

. Cum

ceea ce implica

Figura 23: .

Page 1 of 2Ecuatia normala a planului




si cum rezulta ecuatia (1). $$

Observatie 5.3 Trecand ecuatia generala a planului: la forma

normala se obtine

Inainte: Distanta de la un Sus: Planul in spatiu Inapoi: Planul in spatiu Cuprins Index adi 2006-11-05

Page 2 of 2Ecuatia normala a planului




Inainte: Unghiul a doua plane Sus: Planul in spatiu Inapoi: Ecuatia normala a planului Cuprins Index

Distanta de la un punct la un plan

Daca un plan este definit prin ecuatia normala atunci distanta de la un punct

la acest plan este egala cu

Daca planul este dat sub forma generala, distanta de la punctul la plan

este:

(137)

(138)

Intr-adevar, fie un punct in planul dat si se considera

vectorul normal la plan in acest punct(fig. ).

Oricare ar fi pozitia punctului , atunci: .

Deoarece si au, respectiv proiectiile pe axe

si atunci

se va obtine

Page 1 of 2Distanta de la un punct la un plan




Dar punctul este in planul considerat: . de unde

rezulta

Deci

In cazul cand planul este dat in forma generala se reduce aceasta ecuatie in forma normala

Atunci conform celor de mai sus rezulta ca distanta este

Inainte: Unghiul a doua plane Sus: Planul in spatiu Inapoi: Ecuatia normala a planului Cuprins Index adi

2006-11-05

Figura 24: .

Page 2 of 2Distanta de la un punct la un plan




Inainte: Seminarul 3 Sus: Planul in spatiu Inapoi: Distanta de la un Cuprins Index

Unghiul a doua plane

Cosinusurile unghiurilor intre doua plane, date de ecuatiile

sunt date de<

(139)

(140)

Pentru a obtine relatia (40) vom considera normalele la

cele doua plane (fig.26) ,

. Unghiul format de vectorii si

este dat de formula

Se observa ca planele sunt perpendiculare daca si numaidaca

Page 1 of 2Unghiul a doua plane




Cele doua plane sunt paralele daca

adi

2006-11-05

Figura 25: .

Page 2 of 2Unghiul a doua plane




Inainte: Pozitii relative in spatiu Sus: Planul in spatiu Inapoi: Unghiul a doua plane Cuprins Index

Seminarul 3

Exercitiu 5.1 (ecuatia vectoriala a planului) Sa se afle ecuatia vectoriala a planului ce contine

si e perpendicular pe vectorul .

Demonstratie: Formula de calcula ecuatiei:

unde Avem:

Daca unde este un punct de pe plan rezulta ca si

deci

$$

Exercitiu 5.2 Sa se gaseasca un vector normal la planul .

Demonstratie: Ecuatia se scrie in forma canonica

ceea ce inseamna ca vectorul e

normal la planul . Alta metoda: Se pot gasi doi vectori continuti in plan si

apoi se poate calcula produsul lor vectorial. $$

Exercitiu 5.3 (plane paralele) Sa se arate ca planele si nu sunt

aralele.

Demonstratie: daca cele doua plane sunt paralele atunci si directiile normale la ele vor fi

paralele. Un vector normal la primul plan este iar la al doilea .

Acesti doi vectori nu sunt paraleli pentru ca nu exista nici un scalar asa ca

. Concluzia e ca nici planele nu vor fi paralele. $$





Exercitiu 5.4 (plane paralele) Sa se arate ca planele si

sunt paralele daca si numai daca exista un scalar asa ca

, ,

Demonstratie: Daca cele doua plane sunt paralele si directiile normale la ele sunt paralele.

Va rezulta ca si sunt paraleli de unde concluzia.

daca< , , rezulta ca directiile normale la plane sunt

paralele si deci si cele doua plane sunt paralele. $$

Exercitiu 5.5 (plane paralele) Sa se afle distanta dintre planele paralele de ecuatii

si .

Demonstratie: Un vector normal la primul plan este . Un punct pe primul

plan este . Alegem in asa fel incat

sa aiba varful pe al doilea plan adica de unde rezulta ca .

Concluzia este ca distanta dintre plane este exact egala cu

Metoda 2: Se poate alege punctul de pe primul plan si apoi calcula distanta de la

la planul dat de ecuatia ca in exercitiul 3.7.

$$

Exercitiu 5.6 (plan prin trei puncte) Sa se gaseasca ecuatia planului ce contine punctele

, , .

Demonstratie: Fie un punct din plan. Vectorii sunt in acelasi

plan deci produsul lor mixt este 0:

adica .

$$

(141)





Exercitiu 5.7 (distanta de la un punct la un plan) Se proiecteaza punctul pe

lanul in punctul Q. Sa se gaseasca vectorul .

Demonstratie:

Ca o consecinta imediata, distanta de la punctul P la plan este data de formula

Un vector normal la plan este , prin

urmare unde este un scalar

pe care urmeaza sa-l aflam. Avem

si cum acest

vector are varful pe plan trebuie ca

Deci

.

Prin urmare

Figura 26: .





$$

Inainte: Pozitii relative in spatiu Sus: Planul in spatiu Inapoi: Unghiul a doua plane Cuprins Index

adi 2006-11-05





Inainte: Intersectia dintre o dreapta Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Pozitii relative in spatiu Cuprins Index

Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane

Vom considera doua plane:

Aceste plane se intersecteaza atunci cand coeficientii lui din ecuatiile planelor nu sunt

proportionali.

Intr-adevar daca tripletul nu este proportional cu tripletul ordonat

atunci cel putin unul din determinantii

este diferit de 0.Sistemul format de ecuatiile (47) este un sistem de doua ecuatii cu trei necunoscute sipresupunand ca

atunci sistemul este compatibil,simplu nedeterminat. Rezolvand sistemul se obtine o dreapta acarei parametri directori sunt:

Cazul a trei plane, de ecuatii

Aceste ecuatii formeaza un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute.

1. Daca

(142)

(143)

(144)

(145)

(146)

Page 1 of 3Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane




atunci sistemul are solutie unica, deci planele se intersecteaza intr-un punct.

2. Daca , iar unul din determinantii de ordinul doi este nenul, de exemplu

acesta va fi determinantul principal al sistemului. Daca determinantul caracteristic:

atunci sistemul este simplu nedeterminat iar planele trec printr-o dreapta

.

Daca atunci sistemul este incompatibil si cum rezulta ca cele trei plane

se intersecteaza doua cate doua, dupa drepte paralele, deci ele formeaza o prismanelimitata.

3. Daca si toti determinantii de ordin doi sunt nuli, presupunand

determinantul principal este de ordinul intai. daca determinantii caracteristicicorespunzatori sunt nenuli sistemul este incompatibil deci cele trei plane luate doua catedoua nu au puncte comune si planele sunt paralele intre ele.

Daca determinantii caracteristici sunt nuli ecuatiile se reduc la una singura deci planele

sunt confundate.

Definitie 6.1

Multimea tuturor planelor care trec prin dreapta de intersectie a doua plane date numite plane de bazaformeaza un fascicul de plane avand ca axa acea dreapta.

Ecuatia fascicului de plane este:





Inainte: Intersectia dintre o dreapta Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Pozitii relative inspatiu Cuprins Index

adi 2006-11-05





Inainte: Alte moduri de determinare Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia a doua plane. Cuprins Index

Intersectia dintre o dreapta si un plan

Fie o dreapta de ecuatie

si planul:

Coordonatele punctului de intersectie se obtine rezolvand sistemul format de cele doua ecuatii.

Egaland rapoartele din ecuatia dreptei cu se obtine

Sistemul format din aceste ecuatii si ecuatia planului duce la

de unde

Daca atunci punct. Daca si

atunci ecuatia nu are solutii finite, deci dreapta este paralela

cu planul. Daca si ecuatia (2) are o

infinitate de solutii si deci dreapta este continuta in plan.

Inainte: Alte moduri de determinare Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia a douaplane. Cuprins Index

(150)

(151)

(152)

Page 1 of 2Intersectia dintre o dreapta si un plan




adi

2006-11-05

Page 2 of 2Intersectia dintre o dreapta si un plan




Inainte: Seminarul 4 Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia dintre o dreapta Cuprins Index

Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan

1. Fie doua drepte concurente .<

Ducand prin punctul de concurenta doi vectori coliniari cu vectorii directori ai celor

doua drepte si , , . Acesti vectori fiind situati pe

dreptele si , sunt continuti in planul determiant de cele doua drepte

concurente. Fie un punct curent in acest plan.Deci vectorii

sunt coplanari:

2. Fie o dreapta

si un punct .

de unde

Dreapta si punctul determina un plan. Ducem

prin vectorul director al dreptei

Vectorii si sunt coplanari adica

sau

Page 1 of 2Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan




In mod analog se obtine ecuatia planului determinat de doua drepte

Inainte: Seminarul 4 Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia dintre o dreapta Cuprins Index adi

2006-11-05

(155)

Figura 27: .

(156)

(157)

Page 2 of 2Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan




Inainte: Transformari afine Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Alte moduri de determinare Cuprins Index

Seminarul 4

Exercitiu 6.1 (separare) Consideram doua puncte si si planul

. Sa se demonstreze ca daca

atunci cele doua puncte si sunt de aceeasi parte a planului iar daca

atunci cele doua puncte sunt de o parte si de alta a planului .

Demonstratie:

Proiectam punctele respectiv pe planul in

punctele respectiv . Atunci, conform problemei

3.7 avem ca

si

Cele doua puncte vor fi de aceeasi parte a lui atuncicand cei doi vectori au acelasi sens, adica atunci cand

si

au acelasi semn





deci atunci cand .

Cele doua puncte vor fi de o parte si de alta a planului atunci cand cei doi vectori au sensuri

diferite, adica atunci cand . $$

Exercitiu 6.2 (separare) Consideram punctul si planele paralele

si Sa se demonstreze ca daca

atunci punctul este intre cele doua plane,

Demonstratie: Utilizam iar rezultatul din problema 3.7 Proiectam punctul pe cele doua plane

in si respectiv . Punctul se va afla intre cele doua plane daca vectorii paraleli

si au sensuri opuse. Conform formulelor de calcul pentru si demonstrate in

3.7 rezulta ca cei doi vectori au sensuri opuse atunci cand

. $$

Exercitiu 6.3 Sa se demonstreze ca dreapta si se afla de o parte si de

alta a planului

Demonstratie: Utilizam metoda din exercitiul 4.1. Avem

, deci planul separa cele doua puncte. $$

Figura 28: .





Exercitiu 6.4 Sa se demonstreze ca dreapta de ecuatie parametrica

si planul nu sunt paralele.

Demonstratie: Directia dreptei e data de . Alegem un punct pe plan, de pilda

. Putem scrie atunci ecuatia planului sub forma

din care vedem ca o directie normala la planul este . Daca planul si

dreapta ar fi paralele atunci va trebui ca si sa fie perpendiculare:

. Dar . Prin urmare planul si dreapta nu sunt paralele.

$$

Exercitiu 6.5 Consideram planul Acest plan este 'mutat' in spatiu

dupa directia ca in figura 30 . Sa se gaseasca ecuatia carteziana a noului plan

.

Demonstratie:

Fie in planul . Lui ii va corespunde

un punct pe planul ca in figura 30. Va rezulta ca

varful vectorului de pozitie

este in

planul si in consecinta satisface ecuatia planului

: si deci:

In general, daca un obiect geometric(plan, dreapta,paraboloid, sfera,..) e dat de o ecuatie

, atunci noul obiect geometric obtinut

prin mutarea obiectului pe directia

e dat de ecuatia carteziana





$$

Exercitiu 6.6 Consideram o dreapta de ecuatie vectoriala

Inainte: Transformari afine Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Alte moduri de determinare Cuprins Index

adi

2006-11-05

Figura 29: .





Inainte: Translatii Sus: < Inapoi: Seminarul 4 Cuprins Index

Transformari afine

Consideram un reper cartezian in planul si un reper cartezian in

spatiu.

Definitie 7.1 Transformarile afine in plan sunt functii date de formula

Transformarile afine in spatiu sunt functii date de formula

sau, in scriere matriceala unde

Definitie 7.2 Pentru transformarea de mai sus se noteaza

daca transformarea e 2-dimensionala si equation mat(T)=[ ] si det(T)=

daca transformarea e 3-dimensionala

sau, in scriere matriceala

(159)

(160)

si det(T)= (161)

Page 1 of 5Transformari afine




Definitie 7.3 Transformarile afine pentru care se numesc transformari afine

nedegenerate.

Problema 7.1 (Operatii cu transformari afine) Suma, diferenta si inmultirea cu scalari a

transformarilor afine si sunt transformari afine. Avem de asemenea ca:

Demonstratie: Evident. $$

Problema 7.2 (Compunerea transformarilor afine) Se dau doua transformari afine 2- dimensionale

Se poate construi , compunerea ca functii a lui si care e o functie ce transforma

coordonatele carteziene in coordonatele carteziene . Atunci este o

transformare afina data de formula

Mai mult, avem ca

Demonstratie: Evidenta. $$

Observatie 7.1 Aceasta teorema se rescrie similar in cazul transformarilor afine tridimensionale. In particular, pentru doua transformari afine tridimensionale

Teorema 7.1 Inversa unei transformari afine nedegenerate

e transformarea afina data de formula:

(162)

(164)

(165)

(166)

(167)

(168)





Mai mult,

Demonstratie: Evidenta. $$

Observatie 7.2 Aceasta teorema se rescrie similar in cazul transformarilor afine tridimensionale. In particular, pentru o transformare afina tridimensionala nedegenerata

Teorema 7.2 Transformarile afine nedegenerate transforma o dreapta in alta dreapta.

Demonstratie: Cazul 2-dimensional.

Fie o dreapta . Fie un punct de pe dreapta . Din teorema

anterioara avem ca

(169)

(170)

(171)





Sectiuni

Translatii Omotetii Rotatii Simetrii Seminarul 5

Inainte: Translatii Sus: < Inapoi: Seminarul 4 Cuprins Index adi 2006-11-05





Inainte: Omotetii Sus: Transformari afine Inapoi: Transformari afine Cuprins Index

Translatii

Sa consideram un vector . Fiecarui punct

din plan ii

asociem punctul ale carui coordonate sunt date de si

. Aceasta se mai poate scrie . Aceasta

transformare care asociaza lui punctul se numeste translatia de vector .

Definitie 7.4 Translatia de vector este

transformare afina data de formula equation T: [ ]= [ ] + [ ]

Observatie 7.3 Matricea unei translatii

Figura 30: .

Page 1 of 9Translatii




este matricea

identica:





Observatie 7.4 Atunci cand o translatie de vector este aplicata unui obiect geometric

, obiectul geometric este mutat in plan in directia vectorului pe toata lungimea lui.

Propozitie 7.1 O functie este o translatie daca daca si numai daca pentru oricare doua puncte

si

din plan avem ca .

Demonstratie:

Avem ca pentru orice punct vectorul

este dat de .

Pentru un punct din plan sa notam

. Sa notam componentele lui





Alegem un punct in spatiu si notam . Asa cum se observa din figura 32

translatia muta orice punct din plan in directia vectorului pe toata lungimea lui.

Observatie 7.5 Aplicam translatia de vector dreptei de ecuatie carteziana

Ecuatia translatiei dreptei este: .

cu . Rezulta ca si deci, scriind pe componente

rezulta ca equation T[ ]= [ ] + [

]

$$

Figura 31: .

Teorema 7.3 Fie un obiect geometric in

plan dat de ecuatia carteziana si o

translatie de vector . Transformarea

geometrica a lui prin este obiectul

geometric dat de ecuatia

Demonstratie: Aceasta este o consecinta directa ateoremei (5.8) $$

Figura 32: .

Propozitie 7.2 Aplicam translatia de vector dreptei de ecuatie vectoriala

Ecuatia vectoriala a translatiei dreptei este:





Demonstratie: Evidenta,





$$





Inainte: Omotetii Sus: Transformari afine Inapoi: Transformari afine Cuprins Index

adi

2006-11-05

Figura 33: .





Inainte: Rotatii Sus: Transformari afine Inapoi: Translatii Cuprins Index

Omotetii

Sa consideram un scalar . Fiecarui punct

din plan ii asociem punctul ale carui coordonate sunt date de

si . Aceasta se mai poate scrie

. Aceasta

transformare care asociaza lui punctul se numeste omotetia de scalar inraport cu originea .

Definitie 7.5 Omotetiile sunt transformari afine de tipul: equation T: [

]= [ ] [ ] pentru un scalar .

Figura 34: .Observatie 7.6 O omotetie nu modifica formaobiectelor ci numai marimea lor.

Observatie 7.7 Matricea unei omotetii de scalar in raport cu originea este equation [

]

Page 1 of 3Omotetii




Determinantul unei omotetii de scalar este

Observatie 7.8 O omotetie de scalar transforma un segment intr-un

segment paralel cu el si de masura

.

Propozitie 7.3 Fie o omotetie de scalar si un obiect geometric in plan. Atunci

Propozitie 7.4 O omotetie de scalar este aplicata unei drepte . Dreapta

nou-formata va avea ecuatia: .

Figura 35: .

Demonstratie: Sa consideram un scalar si un punct

Page 2 of 3Omotetii




Inainte: Rotatii Sus: Transformari afine Inapoi: Translatii Cuprins Index

adi 2006-11-05

. Fiecarui punct

din plan ii asociem punctul astfel incat . Rezulta ca:

dee unde rezulta ca Aceasta

transformare care asociaza lui punctul se numeste omotetia de scalar

in raport cu . daca notam cu

omotetia de scalar in raport cu originea si

cu translatia de vector atunci

se poate vedea ca aceasta transformare este exact

. $$

Figura 36: .

Page 3 of 3Omotetii




Inainte: Simetrii Sus: Transformari afine Inapoi: Omotetii Cuprins Index

Rotatii

Sa consideram transformarea prin care punctele din plan sunt rotite radiani in juruloriginii ca in figura 38 astfel incat punctul

este

transformat in .

Vectorul de pozitie formeaza un unghi cu axa si are

lungimea . Rezulta ca

, adica

Vectorul de pozitie formeaza un unghi

cu axa si are lungimea

. Rezulta ca

.

Prin urmare avem ca

Figura 37: .

Page 1 of 4Rotatii




De asemenea

Asadar

Definitie 7.6 Rotatia de unghi in jurul originii este data de formula: equationT: [

]=[ ] [ ]

Observatie 7.9 Compunerea a doua rotatii de unghiuri si este o rotatie de unghi

.

Observatie 7.10 Inversa unei rotatii de unghi este o rotatie de unghi

.

Observatie 7.11 Multimea rotatiilor din plan impreuna cu

operatia de compunere a rotatiilor formeaza un grup.

Propozitie 7.5 Rotatiile sunt transformari izometrice, adica pastreaza lungimea segmentelor carora le sunt aplicate.

Demonstratie: Notam cu rotatia de unghi in jurul

originii. Daca

,

sunt doua puncte in plan atunci conform cu (95) avem cadistanta dintre punctele $$

Figura 38: .

Observatie 7.12 Sa consideram un scalar si un punct

. Fiecarui punct

Page 2 of 4Rotatii




Schematic, prin aceste transformari coordonatele se transforma dupa cum urmeaza: equation

[ ] &rarr#to; [ ] &rarr#to; [

] [ ]&rarr#to;

equation &rarr#to; [ ] [ ]+ [ ]

din plan ii asociem punctul obtinut prin rotirea lui radiani in jurul lui

. Aceasta transformare se poate obtine printr-o translatie de vector

,urmata de o rotatie in jurul

originii si apoi o translatie de vector

.

Figura 39: .

Page 3 of 4Rotatii




ceea ce da in final equation[ ]= [ ]

Propozitie 7.6 Ca o consecinta a propozitiei ( 149 ), rotatiile pastreaza si unghiurile dintre segmentele carora le sunt aplicate.

Observatie 7.13 Determinantul unei rotatii de unghi este :

Propozitie 7.7 Fie o rotatie de unghi si un obiect geometric in plan. Atunci

Inainte: Simetrii Sus: Transformari afine Inapoi: Omotetii Cuprins Index adi 2006-11-05

Page 4 of 4Rotatii




Inainte: Seminarul 5 Sus: Transformari afine Inapoi: Rotatii Cuprins Index

Simetrii

Fie (D) o dreapta care trece prin origine si face un unghi cu axa . Sa consideramtransformarea prin care punctelor

din plan le

sunt asociate simetricele lor fata de dreapta ca in prima figura din (41). Aplicam o

rotatie de unghi punctelor planului. Transformatul lui respectiv

prin rotatie are coordonatele

equation [ ], respectiv [

]

Figura 40: .

Observam ca transformatele punctelor si au aceleasi coordonate in directia sicoordonate de semn contrar si egale in modul in directia . Egaland, rezulta: equation

sau, in notatie matriceala: equation[

] [

]= [ ] [ ] Utilizam acum

in (101) faptul ca inversa rotatiei de unghi este rotatia de unghi

adica equation[ ]^-1= [ ]

Page 1 of 3Simetrii




equation [ ] [

] [

]= [ ] care e echivalenta cu formula (104)

Definitie 7.7 Simetria fata de dreapta ce trece prin origine si face un unghi cu axa

este transformarea afina data de formula equationT: [ ]=[

] pentru un scalar .

Simetria fata de o dreapta arbitrara (D) Sa presupunem ca dreapta face un unghi cu axa

. Alegem un punct arbitrarpe dreapta. Simetria fata

de se poate calcula ca in (5.16). Se aplica mai intai o translatie de vector

, dupa care se aplica simetria fata de

transformata dreptei , dupa care aplicam translatia de vector

. Se gaseste in final ca simetria fata de

transforma punctul

in punctul

dat de

equation[ ]= [ ]

Page 2 of 3Simetrii




Inainte: Seminarul 5 Sus: Transformari afine Inapoi: Rotatii Cuprins Index adi 2006-11-05

Page 3 of 3Simetrii




Inainte: Aplicatii ale transformarilor geometrice Sus: Transformari afine Inapoi: Simetrii Cuprins Index

Seminarul 5

Exercitiu 7.1 Se considera planul 2x+y-z=3. Sa se gaseasca simetricul punctului

ata de acest plan.

Demonstratie: O directie normala la plan este . Proiectam punctul pe

plan in . Vectorul e un multiplu de si deci exista asa ca Pe de lata

parte din moment ce e proiectia lui trebuie sa avem ca varful vectorului

e pe plan prin urmare de unde

adica . Deci . Rezulta ca simetricul al lui

fata de plan e dat de

de unde

. $$

Exercitiu 7.2 Consideram transformarea afina . Adica

. Sa se afle





, .

ceasta transformare se aplica punctelor din plan. Sa se afle in ce punct este transformat punctul

. Sa se afle in ce este transformata dreapta .

Demonstratie: . . .

. contine doua puncte.... $$

Exercitiu 7.3 Consideram transformarea afina . Adica . Stim ca

, si Sa se afle aria triunghiului cu varfuri

.





Demonstratie: $$

Exercitiu 7.4 Consideram transformarea afina . Prin aceasta transformare, planul

se transforma in alt plan. Sa se afle ecuatia acestui plan.

Demonstratie: Avem punct pe noul plan, deci , ,

sau

. Le punem

in ecuatie deci

sau

plan paralel cu axa . $$

Exercitiu 7.5 Consideram transformarea afina .

Prin aceasta transformare, dreapta se transforma in alta dreapta. Sa se

afle ecuatia acestei drepte.

Demonstratie: Fie din . deci

rezolvam sistemul

. Dar deci

de unde rezulta ca $$

Exercitiu 7.6 Gasiti o transformare afina care sa transforme dreapta in

dreapta .





Demonstratie: Sunt multe astfel de transformari. Noi o vom alege pe aceea care invariaza

originea si duce (1,0) in (1,0) si (0,1) in (0,-1). Deci .

deci . In acelasi mod . Deci

transformarea este< $$

Exercitiu 7.7 Dreapta e translatata in directia

. Sa se afle ecuatia dreptei nou-formate.

Demonstratie: s(t)=r(t)+v $$

Exercitiu 7.8 Planul e translatat in directia

. Sa se afle ecuatia planului nou-format.

Demonstratie: Prin translatie deci Inlocuind in ecuatie

rezulta ca echivalent cu $$

Exercitiu 7.9 Omotetia de scalar e aplicata dreptei . Sa se afle ecuatia

dreptei nou-formate.

Demonstratie: Prin omotetie de unde Inlocuind in ecuatie

rezulta sau $$

Exercitiu 7.10 Aplicam o rotatie de unghi punctului

. Sa se afle noul punct.

Demonstratie: equation[ ]= [ ] [ ] Inlocuind rezulta ca

equation[ ]= [ ] [ ] $$

Exercitiu 7.11 Este





Demonstratie: Da. $$

Exercitiu 7.12 Planul este inclinat ca

igura, dupa care e translatat o unitate in lungul axei . In acest plan punctul e rotit

. Sa se gaseasca coordonatele noului punct.

Exercitiu 7.13 Sa se gaseasca simetricul punctului fata de dreapta

.

Demonstratie: O directie perpendiculara pe dreapta este

. Putem apoi cauta asa ca

sa aiba varful pe dreapta adica

. De aici rezulta ca . Va rezulta ca

simetricul este $$

Exercitiu 7.14 Sa se arate ca pentru oricare doi vectori si

avem ca aria triunghiului de laturi si varf este egala cu modulul

determinantului

Demonstratie: Putem aplica reprezentarea polara a celor doi vectori si deduce rezultatul

imediat. Alternativ, putem plica o rotatie in asa fel incat primul vector se suprapune axei .O rotatie nu schimba aria din moment ce nu schimba unghiul dintre vectori si lungimile lor.

De asemenea, o rotatie nu modifica determinatul pentru ca in urma rotatiei de unghideterminantul devine

(173)

(174)





Inainte: Aplicatii ale transformarilor geometrice Sus: Transformari afine Inapoi: Simetrii

Cuprins Index adi 2006-11-05

(175)





Inainte: Translatii, Rotatii, Dilatari in Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Aplicatii ale transformarilor geometrice Cuprins Index

Organizarea fisierelor brute de imagini

Fisiere brute de imagini (raw image files) sunt fisiere organizate pe octeti; excluzand headeruldin fisier care indica numarul de pixeli ai imaginii, fiecare octet din fisier corespunde unuipixel din imaginea pe care o vedem.

Un exemplu de fisiere brute de imagini sunt fisierele cu extensii .pgm (Portable Grayscale).Avantajele utilizarii fisiereleor brute sunt ca datorita corespondentei bijective octet din fisier-pixel din imagine ele sunt foarte usor de modificat.

Dezavantajele sunt ca in cazul imaginilor relativ simple fisierele brute ocupa in mod inutilcantitati mari de memorie.

Fisierele optimizate de imagine cu extensii .jpg, .gif, .png sunt fisiere organizate pe biti( fisierebinare) si contin atat date cat si instructiuni.

Ele sunt mai mici dar modificarea lor nu este atat de simpla ca in cazul fisierelor brute.

Sa consideram fisierul imagine input.pgm de pixeli. El contine litera

ca in imaginea alaturata:

Page 1 of 2Organizarea fisierelor brute de imagini




Daca fisierul input.pgm va fi deschis cu un editor de text (de exemplu emacs) editorul va afisa:

Indicatorul arata ca este vorba de un fisier brut, indica faptul ca avem o

imagine de 22 pe 22 de pixeli iar ultimul numar indica cifra maxima ce poate fi continuta infiecare octet din fisier. Numarul 255 corespunde culorii albe iar 0 culorii negre. Editorul detext citeste fiecare numar din fiecare octet si afiseaza caracterul al carui cod ASCII este egal cuacel numar. Nu suntem interesati deci in caracterele pe care le afiseaza editorul ci numai incodurile lor ASCII pentru ca ele decid culoarea pixelilor ce corespund caracterelor respective.

Inainte: Translatii, Rotatii, Dilatari in Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi:Aplicatii ale transformarilor geometrice Cuprins Index

adi 2006-11-05

Page 2 of 2Organizarea fisierelor brute de imagini




Inainte: Conice Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Organizarea fisierelor brutede Cuprins Index

Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini

Cu un simplu cod C putem trece peste headerul din fisierul input.pgm si apoi copia toate

numerele din octetii fisierului input.pgm intr-o matrice de dimensiune

. Va insemna de pilda ca adica primul pixel din

imagine, cel din stanga sus este alb.

In general, daca inseamna ca pixelul de pe linia si

coloana din imagine este alb. Daca atunci pixelul este negru.

Putem apoi crea un alt fisier output.pgm. Copiem headerul din input.pgm in output.pgm si

fixam dimensiunea la de pixeli. Cu alte cuvinte scriem in fisierul

output.pgm urmatorul text:

Alocam memorie unei matrici de dimensiune

si apoi fixam pentru fiecare .

Intr-o bucla C peste valorile intre 0 si

fixam apoi pentru

Page 1 of 3Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini




Inainte: Conice Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Organizarea fisierelor brutede Cuprins Index adi

2006-11-05





Inainte: Reducerea la forma canonica Sus: < Inapoi: Translatii, Rotatii, Dilatari in Cuprins Index

Conice

Definitie 9.1 Pentru numerele date cu

Page 1 of 3Conice




Page 2 of 3Conice




multimea tuturor punctelor ce satisfac

se numeste conica.

Observatie 9.1 Relatia (162) se mai poate scrie matricial

unde

Exemplu 9.1

Oricare alta conica din plan se poate transforma printr-o rotatie urmata de o translatie intr-una din conicele de mai sus.

Sectiuni

Reducerea la forma canonica a unei conice Intersectia dintre o conica si o dreapta Elipsa Hiperbola Parabola Seminarul 6

adi2006-11-05

(177)

(178)

(179)

(180)

Page 3 of 3Conice




Inainte: Intersectia dintre o conica Sus: Conice Inapoi: Conice Cuprins Index

Reducerea la forma canonica a unei conice

Deoarece matricea

este simetrica ea va avea doua valori proprii reale (care pot fi egale)

carora le corespund doi vectori proprii ,

pe care noi ii putem alege asa ca ei sa formeze o baza ortonormala. Avem deci ca

sunt radacinile ecuatiei de gradul doi:

in timp ce cei doi vectori satisfac ecuatiile

si sunt alesi in asa fel incat sa fie unitari si

In cazul in care valortile proprii sunt distincte cei doi vectori sunt automat ortogonali. dacaavem o valoare proprie dubla atunci alegem cei doi vectori in asa fel incat sa fie ortogonali si(127) sa fie adevarata.

Sa consideram matricea

Rezulta atunci ca matricea se diagonalizeaza in forma

Consideram acum transformarea afina prin care fiecarui punct

(181)

(182)

(183)

(184)

(185)

Page 1 of 5Reducerea la forma canonica a unei conice




i se asociaza punctul

dat prin relatia

Aceasta este o rotatie in jurul originii de unghi . folosind relatia de

mai sus si (128) in ecuatia (121) rezulta ca

adica

(186)

(187)





ceea ce conduce la ecuatia pentru

pentru numerele . Completam acum patratele si

gasim ca

Translatia , duce la forma canonica

Sa observam ca pasul de completare a patratelor ce duce la formula (133) nu se poate efectuadaca una din valorile proprii este 0 si in acest caz conica e de tip parabolic. Apoi, observam cadaca cele doua valori proprii au acelasi semn conica este de tip eliptic iar daca semnelevalorilor proprii sunt diferite conica este de tip hiperbolic.

Din moment ce

putem colecta informatiile de mai sus in urmatoarea concluzie:

Exemplu 9.2 Sa se aduca conica

la forma canonica.

Demonstratie: Matricea a formei patratice din demonstratia anterioara este

Ecuatia caracteristica pentru valorile proprii este

(188)

(189)

(190)

(191)

(192)

(193)

(194)

(195)





ceea ce implica . Lui ii corespunde un vector propriu iar lui

ii corespunde . Normalizandu-i obtinem

si

Deoarece

alegem

Va rezulta ca rotatia din exercitiul anterior este

adica

Inlocuind in ecuatia initiala se obtine

Prin completarea patratelor se ajunge la

Facem acum translatia

de unde obtinem ecuatia redusa a conicei

(196)

(197)

(198)

(199)

(200)

(201)





in raport cu sistemul de referinta canonic definite de versorii si punctul

$$

Inainte: Intersectia dintre o conica Sus: Conice Inapoi: Conice Cuprins Index adi2006-11-05

(202)





Inainte: Elipsa Sus: Conice Inapoi: Reducerea la forma canonica Cuprins Index

Intersectia dintre o conica si o dreapta

Consideram o dreapta (D) de ecuatii parametrice

si o conica de ecuatie carteziana

Intersectia corespunde radacinilor ale ecuatiei polinomiale in :

Dupa gruparea termenilor ce contin se obtine:

Notam si observam ca ecuatia (147) se poate scrie in

forma

Asadar punctele de intersectie dintre dreapta si conica sunt decise de radacinile ecuatiei de maisus.

Discutie:

1. Ecuatia (148) este de gradul doi daca . Daca

(203)

(204)

(205)

Page 1 of 3Intersectia dintre o conica si o dreapta




atunci ecuatia are doua radacini reale si distincte deci dreapta intersecteaza conica in doua

puncte distincte. Daca atunci exista un singur punct de intersectie siconcluzionam ca dreapta este tangenta la conica. Observam ca in acest caz daca

este punctul de intersectie avem din ecuatia (149) ca

, deci directia dreptei tangente este perpendiculara pe vectorul

si deci ecuatia dreptei tangente este

. Dreapta care trece prin si este perpendiculara pe dreapta tangenta se numeste

dreapta normala la conica in punctul . Directia ei este deci

ecuatia dreptei normale este

Daca atunci ecuatia de gradul doi (148) nu are solutii reale deci dreapta nu intersecteaza

conica.

2. Cand ecuatia (148) este de gradul intai.

Ea are solutia

daca deci contine un singur punct.

Daca si ecuatia (148) nu are solutie deci nu exista

un punct de intersectie.

Daca insa si ecuatia este identic satisfacuta si





Inainte: Elipsa Sus: Conice Inapoi: Reducerea la forma canonica Cuprins Index adi

2006-11-05





Inainte: Hiperbola Sus: Conice Inapoi: Intersectia dintre o conica Cuprins Index

Elipsa

Consideram o elipsa de ecuatie . Am vazut in sectiunea anterioara ca exista un reper

in raport cu care elipsa are ecuatia

Reperul se numeste reperul canonic iar ecuatia (150) se numeste ecuatia redusa a

elipsei fata de reperul canonic. Sa presupunem ca . In cele ce urmeaza vom renota

reperul canonic cu . Punctele , se numesc focarele elipsei iar distanta

semi-distanta focala a elipsei. Intersectiile curbei cu axele , se numesc varfurile ei:

, ,

(207)

Page 1 of 4Elipsa




.

Teorema 9.1 Elipsa descrisa mai sus este locul geometric al punctelor

din plan

Page 2 of 4Elipsa




pentru care .

Demonstratie: Sa consideram un punct

pe elipsa.

vom avea atunci ca

Pe de alta parte, din ecuatia canonica a elipsei avem ca . Inlocuind rezulta ca

$$

Teorema 9.2 Aria elipsei de ecuatie

este egala cu .

(208)

Page 3 of 4Elipsa




Demonstratie: Consideram transformarea afina

sau

Se observa ca elipsa se transforma prin aceasta transformare in cercul unitate centrat inorigine

Rezulta atunci din teorema (?) din sectiunea anterioara ca aria se transforma dupa formula:

aria cerc

De aici rezulta

$$

Inainte: Hiperbola Sus: Conice Inapoi: Intersectia dintre o conica Cuprins Index adi2006-11-05

Page 4 of 4Elipsa




Inainte: Parabola Sus: Conice Inapoi: Elipsa Cuprins Index

Hiperbola

Ecuatia redusa a hiperbolei in raport cu reperul canonic este

Focarele hiperbolei sunt punctele

(209)

Page 1 of 6Hiperbola




,





Teorema 9.3 Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care





Demonstratie:

$$

adi

2006-11-05





Inainte: Seminarul 6 Sus: Conice Inapoi: Hiperbola Cuprins Index

Parabola

Ecuatia redusa a parabolei in raport cu reperul canonic este

Focarul parabolei este

(210)

Page 1 of 2Parabola




Teorema 9.4 Parabola este locul geometric al punctelor din plan pentru care

unde este proiectia lui pe axa .

Demonstratie: $$

adi 2006-11-05

Page 2 of 2Parabola




Inainte: Curbe in 2 si Sus: Conice Inapoi: Parabola Cuprins Index

Seminarul 6

Exercitiu 9.1 Consideram conica de ecuatie equationg(x,y)=13x^2-48xy+27y^2-50x-76=0

1. Sa se determine tipul conicei.2. Sa se determine forma redusa a acestei conice.3. Sa se determine axele (sau axa) de simetrie ale acestei conice.4. Sa se determine focarele acestei conice.

Demonstratie: Se procedeaza exact ca in exemplul ( ) din acest capitol referitor la reducereaunei conice la forma canonica. Mai intai incercam sa anulam termenul din expresia conicei

prin utilizarea unei rotatii. Fie

Valorile proprii ale lui satisfac ecuatia


Suntem acum in masura sa raspundem la prima intrebare. Din moment ce cele doua valoriproprii sunt nenule si de semn contrar conica este de tip hiperbolic.

Determinam acum vectori proprii

(211)

(212)





corespunzatori lui

si respectiv . Pentru trebuie ca

Alegem rezulta Dupa normalizare avem ca .

In mod similar gasim ca .

(213)





Se poate vedea ca

Facem acum schimbarea de variabile equation( )= ( ) ( ) sau (

)= ( ) ( )

Mai putem scrie:

equation

Din teoria expusa in acest capitol rezulta ca forma patratica

(214)





devine





Putem scrie expresia intreaga prin utilizarea formulei (168)

.

Dupa completarea patratelor rezulta ca

sau

Facem acum schimbarea de variabile equationx''=x'-1/3,y''=y'+4 de unde rezulta ca





Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum reperul canonic. Avem ca daca

atunci

si deci din ecuatiile (168)

, Si deci originea sistemului canonic este la .

Sa determinam axele de simetrie ale hiperbolei.

este echivalent cu de unde .

Aceasta este axa . Axa are ecuatia de unde

ceea ce ne da .





Pentru determinarea focarelor folosin aceasi metoda de schimbare de variabile. Stim ca in

reperul canonic focarele sunt date de





si






Suntem acum in masura sa raspundem la prima intrebare. Din moment ce cele doua valoriproprii sunt nenule si au acelasi semn conica este de tip eliptic.

Determinam acum vectori proprii

corespunzatori lui

si respectiv . Pentru trebuie ca

Alegem rezulta Dupa normalizare avem ca

.

In mod similar gasim ca .

Se poate vedea ca

(216)

(217)

(218)





Facem acum schimbarea de variabile equation( )= ( ) (

) sau ( )= ( ) ( )

Mai putem scrie:

equation

Din teoria expusa in acest capitol rezulta ca forma patratica devine

Putem scrie expresia intreaga prin utilizarea formulei (168)

.

Dupa completarea patratelor rezulta ca

sau

Facem acum schimbarea de variabile equationx''=x'-1/3,y''=y'-1 de unde rezulta ca

Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum reperul canonic. Avem ca daca

atunci





si deci din ecuatiile (168)

, Si deci originea sistemului canonic

este la . Sa determinam axele de simetrie ale hiperbolei.

este echivalent cu de unde .

Aceasta este axa . Axa are ecuatia de unde

ceea ce ne da .

Pentru determinarea focarelor folosim aceeasi metoda de schimbare de variabile. Stim ca in

reperul canonic focarele sunt date de si . Va rezulta atunci

si in reperul . pentru determinarea

coordonatelor in reperul putem folosi formulele (168) si(169).

$$

Inainte: Curbe in 2 si Sus: Conice Inapoi: Parabola Cuprins Index adi 2006-11-05





Inainte: Ecuatia unei curbe in Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Curbe in 2 si Cuprins Index

Ecuatia carteziana a unei curbe

Curbele in 2d sunt colectii de puncte ce satisfac ecuatii carteziene de tipul

unde este o functie de doua variabile. In 3d curbele sunt

colectii de puncte ce satisfac ecuatii carteziene de tipul unde sunt

functii de trei variabile.

Exemplu 10.1 Dreapta si conicele sunt exemple de curbe.

Exemplu 10.2 Curba cardioida este data de ecuatia carteziana

Exemplu 10.3 Trifoiul este dat de ecuatia cartezianaequation (x^2+y^2)^2=ax(x^2-3y^2)

Figura 41: Trifoiul.

adi 2006-11-05

(219)

Page 1 of 1Ecuatia carteziana a unei curbe




Inainte: Ecuatia parametrica a unei Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia carteziana a unei Cuprins Index

Ecuatia unei curbe in coordonate polare

Uneori prin utilizarea coordonatelor polare in locul celor carteziene, ecuatia poate fi

simplificata. Coordonatele carteziene sunt inlocite de coordonatele

polare utilizand formulele ,

.

In coordonate polare ecuatia cercului unitate centrat in origine este .

Exemplu 10.4 Curba cardioida este data de ecuatia in coordonate polare

Exemplu 10.5 Trifoiul este dat de ecuatia in coordonate polare

adi 2006-11-05

Page 1 of 1Ecuatia unei curbe in coordonate polare




Inainte: Vectori tangenti la curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia unei curbe in Cuprins Index

Ecuatia parametrica a unei curbe

Ecuatiile parametrice ale unei curbe de ecuatie carteziana se

obtin prin exprimarea coordonatelor in functie de un parametru

in asa fel incat expresiile sa satisfaca ecuatia .

Exemplu 10.6 De pilda cercul de raza centrat in

origine si de ecuatie carteziana se poate parametriza in forma urmatoare:

equation x(t)=r sin(t), y(t)=r cos(t), t &isin#in;[0,2&pi#pi;)

deoarece satisfac

equation x(t)^2+y(t)^2=r^2(sin(t)^2+cos(t)^2)=r^2.

Se observa ca deasemenea

equation x(t)=r cos(t), y(t)=r sin(t), t &isin#in;[0,2&pi#pi;)

este o parametrizare valida a cercului, in ambele cazuri multimea este cercul de

raza centrat in origine. In primul caz in timp ce

arametrul parcurge intervalul punctul corespunzator

parcurge cercul in sens contrar acelor de ceasornic incepand din punctul

. In al doilea caz in timp ce parametrul parcurge intervalul

unctul corespunzator parcurge cercul in sens contrar acelor de ceasornic

incepand din punctul .

Page 1 of 2Ecuatia parametrica a unei curbe




Exemplu 10.7 Ecuatia parametrica a elipsei

Elipsa de ecuatie carteziana se poate parametriza dupa cum urmeaza equation x(t)= a cos

(t), y(t)= b sin(t), t&isin#in;[0,2&pi#pi;)

Exemplu 10.8 Ecuatia parametrica a cardioidei:

equation x(t)= 2a(1-t^2)/(1+t^2)^2 , y(t)= 4at/(1+t^2)^2

Sectiuni

Vectori tangenti la curbe

Inainte: Vectori tangenti la curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia unei curbe in Cuprins Index

adi 2006-11-05

Page 2 of 2Ecuatia parametrica a unei curbe




Inainte: Cum apar curbele in Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Vectori tangenti la curbe Cuprins Index

Intersectii de curbe

In rare cazuri (intersectia a doua drepte sau a unei conice cu o dreapta sunt doua exemple)intersectia a doua curbe poate fi calculata cu o metoda generala. De cele mai multe ori serecurge la o metoda adaptata problemei respective.

Exemplu 10.10 Sa se calculeze intersectia cercurilor equation x^2+y^2=1, (x-1)^2+y^2=1

Daca se afla pe ambele cercuri

atunci el va satisface sistemul equation Se scade prima ecuatie din a doua si se obtine

de unde rezulta . Se poate deasemenea utiliza parametrizarea celor doua cercuri

equation

ce duce la un sistem trigonometric.

si deci equation

Daca rezulta ca de unde si . Daca

rezulta ca de unde si .

adi

2006-11-05

Page 1 of 1Intersectii de curbe




Inainte: Lungimea unei curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Intersectii de curbe Cuprins Index

Cum apar curbele in practica?

Curbele pot aparea in practica de pilda ca traiectorii ale unor obiecte sau particule in miscaresub actiunea anumitor forte sau ca intersectii de suprafete.

Sa consideram miscarea unui obiect aruncat sub un unghi cu axa orizontala cu o viteza

initiala . Ignoram efectul frecarii cu aerul.

Sa notam cu pozitia obiectului la momentul . Deci reprezinta

inaltimea la care se afla obiectul la momentul iar reprezinta distanta parcursa de

obiect pe directia orizontala. Din legile mecanicii avem ca . Pe de o parte ,

pe de alta parte . Obtinem de aici ca


Utilizand proprietatile primitivelor obtinem ca

si .

Deoarece initial obtinem ca . Pe de alta

parte viteza initiala (ca vector) este

ceea ce inseamna ca si . Rezulta de aici ca

si .

Exemplu 10.11 O piatra este aruncata la un unghi de cu viteza initiala

aprox. de la nivelul solului. Sa se afle distanta pana la locul unde piatra loveste pamantul.

Page 1 of 3Cum apar curbele in practica?




Din teoria expusa anterior avem ca si . In locul unde piatra loveste

pamantul avem ca deci . Pentru a afla distanta pana la

locul unde punem in formula .

Exemplu 10.12 Pozitia unei particule ce se misca in linie dreapta este data de ecuatia

. Sa se afle distanta parcursa de particula dupa doua secunde.

In intervalulde timp particula se misca inspre stanga pana in punctul .

Dupa aceea se misca numai inspre dreapta. La momentul 2 ea va fi in pozitia deci distantatotala este 2.5.

Exemplu 10.13 Sa se parametrizeze cercul unitate centrat in origine in asa fel incat cercul sa fie

arcurs incepand din punctul si in sensul acelor de ceasornic.





Parametrizarea , parcurge cercul incepand din si in sens

contrar acelor de ceasornic. Pentru a muta punctul de pornire adunam la . Pentru

a schimba sensul de parcurgere inlocuim t cu .

,

Inainte: Lungimea unei curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Intersectii de curbe Cuprins Index adi 2006-11-05





Inainte: Cuadrice si corpuri de Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Cum apar curbele in Cuprins Index

Lungimea unei curbe

Pentru a calcula lungimea unei curbe diferentiabile

cu derivata continua se imparte intervalul pe care se parametrizeaza

curba in subintervale de lungime egala ca in figura de mai jos, deci lungimea

fiecarui subinterval va fi . Construim deasemenea numerele ca in figura.

Se observa ca si . Acestor numere le vor corespunde puncte

pe curba date de formula .

Page 1 of 3Lungimea unei curbe




Construim segmente ce unesc punctele consecutive si , si aproximam

lungimea curbei cu suma lungimilor acestor segmente:

adi

2006-11-05

(220)





Inainte: Volumul corpurilor de rotatie Sus: < Inapoi: Lungimea unei curbe Cuprins Index

Cuadrice si corpuri de rotatie

Un corp de rotatie se obtine prin rotirea unei curbe in jurul unei drepte.

De pilda, sfera unitate centrata in origine este corpul de rotatie obtinut prin rotirea graficuluifunctiei

Page 1 of 6Cuadrice si corpuri de rotatie




in jurul axei . Torul se obtine prin rotirea cercului de raza





centrat in cu

in jurul axei .

Figura 42: Torul .

Prin rotirea unei elipse in jurul unei din axele ei de simetrie se va obtine un elipsoid.





Figura 43: Elipsoidul .

Sectiuni

Volumul corpurilor de rotatie

Cuadrice

adi

2006-11-05





Inainte: Cuadrice Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Cuadrice si corpuri de Cuprins Index

Volumul corpurilor de rotatie

Sa studiem cazul corpurilor de rotatie obtinute prin rotirea graficului unei functii in

urul axei .

Se imparte intervalul in subintervale de lungime egala ca in figura de mai

os, deci lungimea fiecarui subinterval va fi .

Construim deasemenea numerele ca in figura.

Figura 44: Corp obtinut prin rotatie in jurul lui Ox .

Va rezulta ca volumul total al corpului de rotatie este egal cu suma volumelor

ale partilor din corpul de rotatie aflate intre planele verticale prin si ca in

figura.

Page 1 of 3Volumul corpurilor de rotatie




.

Pe de alta parte, deoarece pentru n foarte mare va fi foarte aproape de putem

spune ca partea din corpul de rotatie aflate intre planele verticale prin si este

aproape un cilindru si in consecinta avem ca

Prin insumare rezulta ca

Trecand la limita dupa rezulta ca

.

Suma Riemann din dreapta converge la

si deci





Inainte: Cuadrice Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Cuadrice si corpuri de Cuprins Index adi

2006-11-05

(221)





Inainte: Index Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Volumul corpurilor de rotatie Cuprins Index

Cuadrice

Cuadricele sunt colectii de puncte de coordonate ce satisfac o ecuatie carteziana de

tipul

equationa_11x^2+a_22y^2+a_33z^2+2a_12xy+2a_13xz+2a_23yz+2a_10x+2a_20y+2a_30z+a_0

Exemplu 11.1 Exemple de cuadrice:

Elipsoidul: equation x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 Un exemplu este prezentat in figura de maisus. Elipsoidul este un corp de rotatie.

Hiperboloidul cu o panza: equationx^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 Hiperboloidul cu opanza este corp de rotatie.

Figura 45: Hiperboloidul cu o panza .

Hiperboloidul cu doua panze: equationx^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1 Hiperboloidul cudoua panze este corp de rotatie.

Figura 46: Hiperboloidul cu doua panze .

Paraboloidul eliptic: equationx^2/a^2+y^2/b^2=2pz Paraboloidul eliptic este

corp de rotatie.

Page 1 of 11Cuadrice




Figura 47: Paraboloidul eliptic .

Paraboloidul hiperbolic: equation x^2/a^2-y^2/b^2=2pz Paraboloidul hiperbolic nu estecorp de rotatie.





Exemplu 11.2 (Alte cuadrice)

Figura 48: Paraboloidul hiperbolic .

(222)





Aducerea unei cuadrice generale la forma canonica.Cuadricele expuse mai sus sunt in forma canonica in sensul ca nu apar termeni de tipul

si deasemenea, in cazul in care termeni de tipul

sunt prezenti, termenii corespunzatori nu

mai apar. Din punct de vedere geometric, atunci cand o cuadrica e in forma canonica, axele

(sau axa) de simetrie (daca exista) sunt unele din axele reale . De pilda





paraboloidul eliptic in forma canonica are ca axa de

simetrie axa .

In cele ce urmeaza vom incerca sa aducem la forma canonica o cuadrica de ecuatie generaladata de (198).

Teoria este aceeasi ca si in cazul conicelor, cuadricei i se aplica mai intai o rotatie (in spatiu)care sa puna cuadrica in forma canonica in raport cu o translatie a reperului nostru. Rotatiaeste apoi urmata de o translatie.

Pentru aflarea rotatiei se calculeaza valorile proprii

ale matricii a formei patratice asociate cu ecuatia (198).





equation A=[ ]

Valorile proprii sunt solutiile ale ecuatiei

equation | |=0

Apoi la fel ca in cazul conicelor se calculeaza o baza ortonormala orientata pozitiv formata din

vectori proprii pentru valorile proprii .

Prin urmare ei trebuie sa satisfaca ecuatiile





, sa fie liniar independenti, unitari, iar .

Deoarece matricea formei patratice este simetrica astfel de vectori proprii exista. Cu acestivectori proprii se construieste matricea





care are pe coloane vectorii

Notatia de mai sus are urmatoarea semnificatie: daca notam atunci


geometrie analitica lectii bb2

Documents