geometrie · 2016. 9. 22. · 1. nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. co...
TRANSCRIPT
![Page 1: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/1.jpg)
Geometrie
Gymnázium, SOŠ a VOŠ
Ledeč nad Sázavou
Petra Drápelová
![Page 2: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/2.jpg)
Gymnázium, SOŠ a VOŠ
Ledeč nad Sázavou
Trojúhelník - výšky a těžnice
VY_32_INOVACE_05_3_06_M2
![Page 3: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/3.jpg)
1
ROZDĚLENÍ TROJÚHELNÍKŮ PODLE
ÚHLŮ
![Page 4: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/4.jpg)
2
VÝŠKY V TROJÚHELNÍKU
Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na
protější stranu.
V každém trojúhelníku lze sestrojit 3výšky.
Výšky se protínají v jednom bodě…průsečík
výšek…ortocentrum
![Page 5: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/5.jpg)
3
![Page 6: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/6.jpg)
4
Příklady
1. Sestrojte trojúhelník, ve kterém jsou všechny
výšky stejně dlouhé. O jaký typ trojúhelníku se
jedná?
2. Existuje trojúhelník, který má dvě na sebe
kolmé výšky?
3. Který trojúhelník má právě dvě stejně dlouhé
výšky?
![Page 7: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/7.jpg)
5
TĚŢNICE V TROJÚHELNÍKU
Těţnice je spojnice vrcholu a středu protější
strany.
V každém trojúhelníku existují tři těžnice.
Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá
TĚŢIŠTĚ.
![Page 8: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/8.jpg)
6
Těžiště dělí těžnici v poměru 2 : 1. (1 díl ke straně,
2 díly k vrcholu)
![Page 9: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/9.jpg)
7
Příklady
1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku?
2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném
trojúhelníku?
3. Co platí pro těžiště a těžnice
rovnoramenném trojúhelníku?
4. Jsou dány tři různé body A; B; T, které neleží
v přímce. Sestrojte trojúhelník ABC, kde bod
T bude těžiště.
![Page 10: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/10.jpg)
8
STŘEDNÍ PŘÍČKY V TROJÚHELNÍKU
Střední příčky jsou spojnice středů stran
trojúhelníku.
V každém trojúhelníku lze sestrojit tři střední příčky.
Střední příčka je rovnoběžná se svojí protilehlou
stranou a její velikost je rovna polovině velikosti
této strany.
![Page 11: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/11.jpg)
9
Střední příčky rozdělují trojúhelník na čtyři shodné
trojúhelníky.
![Page 12: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/12.jpg)
10
Příklad
1. Narýsujte libovolný ostroúhlý trojúhelník
KLM. V tomto trojúhelníku sestrojte všechny
jeho výšky, těžnice a střední příčky.
Vyznačte těžiště a ortocentrum.
2. Narýsujte rovnostranný trojúhelník ABC o
straně 4 cm. Sestrojte všechny jeho výšky a
těžnice. Co pro ně platí?
![Page 13: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/13.jpg)
11
KRUŢNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU
Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi vrcholy
trojúhelníku.
Střed kružnice opsané leží
v průsečíku os stran.
Poloměr kružnice opsané je
roven délce úsečky průsečík os
stran a vrcholu trojúhelníku.
![Page 14: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/14.jpg)
12
Příklad
Sestrojte kružnici k, která je kružnicí opsaná
trojúhelníku XYZ.
Řešení:
1) sestrojíme trojúhelník XYZ;
2) sestrojíme osy stran trojúhelníka o1, o2, o3;
3) průsečík os označíme jako bod O;
![Page 15: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/15.jpg)
13
4) sestrojíme opsanou kružnici k, která je
určena průsečíkem os stran a poloměrem OX (
OY; OZ).
![Page 16: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/16.jpg)
14
Příklady
1. Bude ležet střed kružnice opsané S vždy
uvnitř trojúhelníku?
2. Kde leží střed kružnice opsané u pravoúhlých
trojúhelníků?
![Page 17: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/17.jpg)
15
KRUŢNICE VEPSANÁ
Kružnice se dotýká všech tří stran trojúhelníku.
Strany jsou tečny této kružnice.
Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os úhlů.
Poloměr kružnice vepsané je
kolmý ke stranám, jeho velikost
je rovna vzdálenosti průsečíku
od strany.
![Page 18: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/18.jpg)
16
Příklady
1. Může se střed kružnice vepsané ležet vně
trojúhelníku?
2. Sestrojte libovolný pravoúhlý trojúhelník
ABC. Sestrojte kružnici opsanou a kružnici
vepsanou tomuto trojúhelníku.
![Page 19: Geometrie · 2016. 9. 22. · 1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném trojúhelníku? 3. Co platí pro těžiště](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060818/60979857e54dfd087b7931dd/html5/thumbnails/19.jpg)
17
3. Zvolte tři různé body A, B a C, které neleží v
přímce. Narýsujte kružnici m, která prochází
body A, B a C.
4. Zvolte tři různoběžné přímky p, q, r,
Narýsujte kružnici k, která se dotýká všech třech
přímek.