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GEOMETRIA ESPACIAL 2017
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Tópicos a serem estudados
1) Geometria Espacial de Posição
2) Prismas
3) Pirâmides e troncos de Pirâmide
4) Cilindros
5) Cones e troncos de Cone
6) Esferas e seção da Esfera
7) Poliedros
8) Sólidos de Revolução *
9) Inscrição e Circunscrição de Sólidos *
* apenas EsPCEx
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1) Geometria Espacial de Posição
POSTULADOS OU AXIOMAS
1º EXISTÊNCIA:
a) Existem infinitos pontos numa reta, bem como
fora dela;
b) Existem infinitos pontos num plano e também
fora dele;
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1) Geometria Espacial de Posição
2º DETERMINAÇÃO:
a) Dois pontos distintos determinam uma única
reta que passa por eles;
b) Três pontos não-colineares determinam um
único plano que passa por eles;
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1) Geometria Espacial de Posição
3º INCLUSÃO:
a) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem
a um plano, então essa reta está contida nesse
plano;
b) Se dois planos distintos possuem um ponto em
comum, então a intersecção desses planos é uma
reta que passa por esse ponto;
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1) Geometria Espacial de Posição
4º PARALELAS
Por um ponto, fora de uma reta dada, passa uma
única paralela à reta dada (postulado de Euclides);
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1) Geometria Espacial de Posição
Determinação de um plano
1 - por três pontos não colineares
2 - por uma reta e um ponto fora dela
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1) Geometria Espacial de Posição
Determinação de um plano
3 - por duas retas concorrentes
4 - por duas retas paralelas distintas
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1) Geometria Espacial de Posição
Exemplo 1
Analise as afirmações, marque V ou F e justifique
suas respostas
a) Três pontos distintos determinam um único
plano.
b) Os vértices de um triângulo são coplanares.
c) Se três pontos são coplanares, então eles são
colineares.
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1) Geometria Espacial de Posição
POSIÇÕES RELATIVAS
• Entre duas retas
• De uma reta e um plano
• De dois planos
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1) Geometria Espacial de Posição
ENTRE DUAS RETAS
• Coincidentes – quando equivalem a uma única
reta.
• Concorrentes – quando têm um único ponto em
comum.
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1) Geometria Espacial de Posição
ENTRE DUAS RETAS
• Paralelas – duas retas distintas são paralelas
quando são coplanares e não tem ponto em
comum.
• Reversas - duas retas distintas são reversas
quando não existe plano que as contenha.
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1) Geometria Espacial de Posição
ENTRE RETA E PLANO
• Reta contida no Plano – quando todos os
pontos da reta pertencem ao plano
• Reta e Plano concorrentes (ou secantes) –
quando tem um único ponto em comum
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1) Geometria Espacial de Posição
ENTRE RETA E PLANO
• Reta e Plano paralelos – quando não tem
pontos em comum
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1) Geometria Espacial de Posição
ENTRE DOIS PLANOS
• Coincidentes – quando equivalem a um mesmo
plano.
• Secantes ou concorrentes – quando são
distintos e têm intersecção não-vazia
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1) Geometria Espacial de Posição
ENTRE DOIS PLANOS
• Paralelos – quando não tem ponto em comum
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1) Geometria Espacial de Posição Exercícios:
1)
2)
3)
4)
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1) Geometria Espacial de Posição Exercícios:
5)
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1) Geometria Espacial de Posição Retas ortogonais – duas retas são ditas ortogonais quando são reversas e a paralela a uma delas, conduzida por um outro ponto da outra, é perpendicular a esta.
Se duas retas a e b formam ângulo reto:
Se duas retas a e b formam ângulo reto:
• Sendo reversas, são ortogonais
• Sendo coplanares, são perpendiculares
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1) Geometria Espacial de Posição Reta e Plano Perpendiculares – uma reta
concorrente com um plano, num ponto O, é
perpendicular ao plano quando é perpendicular a
todas as retas do plano que passam por O.
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1) Geometria Espacial de Posição Planos Perpendiculares – quando um deles
contém uma reta perpendicular ao outro.