GEOMETRIA

MODULO Nº 1

FIGURAS

BIDIMENSIONALES,

LOS POLIGONOS

Y EL TRIANGULO

7º

ESTANDARES:

Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes

(ángulos, vértices) y características

Clasifico polígonos en relación con propiedades

OBJETIVO:

APRENDIZAJES:

Los ángulos Figuras Bidimensionales y sus características. El polígono (características y clasificación) El triángulo (características, propiedad y clasificación) El teorema de Pitágoras

ACTIVIDADES:

Actividad Nº 1. Clasificación de Ángulos.

Fecha de entrega: 27 de abril

Actividad Nº2. Los Polígonos

Fecha de entrega: 4 de mayo

Actividad Nº3. El Triangulo

Fecha de entrega: 11 de mayo

Actividad Nº4. El teorema de Pitágoras

Fecha de entrega: 18 de mayo

Las actividades serán desarrolladas en el cuaderno de la asignatura, se tomará una fotografía

y posteriormente envía al WhatsApp en la fecha estipulada o acordada en caso que estas

sufran modificaciones.

LINKS

Video 1. https://www.youtube.com/watch?v=TncUxClSDgE clasificación de los ángulos

Video 2. https://www.youtube.com/watch?v=vJskILrx5Kw ángulos internos de un

cuadriláteros

Video 3. https://www.youtube.com/watch?v=8_jsjTk6RnU clasificación de los triángulos

Video 4. https://www.youtube.com/watch?v=mim05Nfu5KM ángulos internos de un trianguloc

Si miras a tu alrededor, te daras cuenta que todos los objetos como el techo de tu casa, las

puertas, ventanas, los edificios, las mesas, las calles, practicamente todo lo relacionado a

infraestructuras, superficies, edificaciones tiene forma de algunasde las figuras geormetricas

que tu conoces, por ende todas presentan angulos y cada uno de ellos son diseñados con

medidas porque tienen una escencia dentro de si, por ejemplo: alguna vez te has preguntado

porque la esquina de tu casa no se hizo con un angulo mayo de 90º, o como hacen los

arqutectos o maestros de construccion para proyectar la altura de un edicifio, o porque tu

casa tiene esa posicion y no otra?

Pues te cuento que la geometria es utilizada en todas las cosas u objetos que hacen parte de

tu cotidianaidad asi no nos demos cuenta por ejemplo cuando se cambia un bombillo o se

apreta un tornillo debemos tener en cuenta la posición del ángulo de inclinación y de

rotación, ya que si tratamos de hacer algunas de estas labores y no utilizamos un ángulo

perpendicular (ángulo recto) a la superficie en la que se trabaja, el clavo se resbalara, el

tornillo y el bombillo no se dejaran rotar sobre su propio eje y por consecuencia no se podrá

lograr el objetivo de cada trabajo.

La geometria tambien es utilizada por los arqutectos y dibujantes arquitectonicos para la

elaboracion de planos y diseños de construccion. Existen situaciones en las que pasa

desapercibida la importancia de los ángulos y la geometria como en un partido de fútbol

cuando se va a realizar un pase o un penal y el jugador debe calcular con exactitud el ángulo

en el cual va a patear el balón para que sea una jugada exitosa. Por estas y un sinfín de

razones los ángulos y la geometria son de suma importancia y lograr conocerlos e

incorporarlos en nuestra vida cotidiana solucionara más de algún problema que se nos

presente en un futuro próximo. (http://geometriaplana07.blogspot.com/p/agulos-en-la-vida-

cotidiana.html)

Los triángulos también son esenciales en tu vida, por ejemplo, en la arquitectura y se utilizan

en el diseño de los edificios y otras estructuras, ya que proporcionan resistencia y estabilidad.

Los más resistentes son los triángulos equiláteros y los isósceles; su simetría ayuda a distribuir

peso (http://revistadigitaltriangulos.blogspot.com/2017/01/la-importancia-de-los-triangulos.html)

Otro ejemplo puede ser cuando un techo se va a colocar, los maestros de construcción piden

muchas veces cerchas o bases en forma de triángulo o rectangulares, con el fin de dar una

mayor resistencia y este pueda sostener el tejado que se va a instalar

Se dice, Como dato adicional que las pirámides de Egipto para medir su altura tuvieron que

recurrir al teorema de Pitágoras, conociendo su base y una diagonal (hipotenusa), hallaron el

lado (altura) que hacia falta

Estas y por muchas razones más es necesario que aprendas acerca de la geometría, espero

no aprendas por el momento, sino bien aprende la vida.

...

¿Sabes o recuerdas como se dibujan figuras geométricas, recuerdas como hallas los angulos

de una figura geometrica?

Muchas de las edificaciones, señales de transito y de los objetos que están a nuestro

alrededor contienen figuras geométricas. Por ello, resulta importante conocer algunas de sus

características.

LOS ÁNGULOS

Para Recordar….

ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICES

Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos son prolongaciones más

allá del vértice de cada uno de los lados del otro ángulo. Tienen un vértice en común y sus

lados están en un par de rectas que se cortan en este vértice.

Dos ángulos opuestos por el vértice tiene igual medida.

El angulo a es igual al angulo c

El angulo b es igual al angulo d

ANGULOS ADYACENTES

Dos angulos son Adyacentes si dos angulos tiene el vertice y un lado en comun, es decir son

seguidos el uno del otro.

ejemplo:

ANGULOS CORRESPONDIENTES

ANGULOS ALTERNOS INTERNOS Y EXTERNOS

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

Son aquellos que sumados da 90º

ANGULOS SUPLEMENTARIOS

Son aquellos que juntos suman 180º

Actividad Nº1. (fecha de entrega: lunes 27 de abril)

De acuerdo a la informacion anterior desarrolla en tu cuaderno la siguiente actividad.

1. Encuentra la medida de los angulos solicitados, teniendo en cuenta las medidas que

se les da.

2. Escoge una sola respuesta por cada punto, de acuerdo a la clase de angulos.

Bisectriz:

Es la recta que divide en dos partes iguales a un ángulo; se trata del lugar geométrico de los

puntos del plano que equidistan, es decir, se encuentran a la misma distancia de las

semirrectas de un ángulo.

LAS FIGURAS BIDIMENSIONALES

2D

Una figura bidimensional es aquella que tiene dos dimensiones, es decir un ancho y largo, no

tienen espesor ni grosor, son aquellas que conocimos plasmadas, dibujads o pintadas sobre

una superficie.

A esta clase de figuras, se les puede hallar el AREA (multiplicacion de las dos medidas) y un

PERIMETRO (sumatoria de todos sus lados)

Como caracteristicas fundamentales , se puede decir que las figuras Bidimensionales tienen

lados y tiene vertices, por lo tanto tambien tienen angulos.

Son las figuras geoetricas que comunmente conocemos, entre las conocidads tenemos:

Entre estas tenemos…

Rectángulo

4 lados, 4 vértices

Rombo

4 lados, 4 vértices

Trapecio

4 lados, 4 vértices

paralelogramo

4 lados, 4 vértices

triangulo

3 lados, 3 vértices

circunferencia

Hexágono

6 lados, 6 vértices

Pentágono

5 lados, 5 vértices

cuadrado

4 lados, 4 vértices

ejercitate:

Juliana dibuja 2 hexagonos y 1 pentagono, ¿Cuántos lados dig¡buja en total?

R/ 6 lados + 6 lados + 5 lados = 17 lados

LOS POLIGONOS

Un polígono es una figura plana (bidimensional) en la que ningún par de segmentos se intersecan

(Cruzar), excepto en sus extremos y ningún par con un extremo común es colineal (seguido).

Los Elementos de un Polígono

a. Lados: es cada uno de los segmentos

(lineas9 que forman el polígono.

b. Angulo Interno: cada uno de los

ángulos formados por dos lados

seguidos.

c. Angulo Externo: cada uno de los

ángulos formados por un lado y una

prolongación de un lado consecutivo.

d. Vertices: cada uno de los puntos de

intersección de dos lados consecutivos.

e. Diagonales: segmentos (líneas) que unen

dos vértices no consecutivos.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN SU FORMA

Cóncavos: se llama así al polígono que tiene como mínimo un ángulo interno mayor de

180º y una de sus diagonales queda por fuera de la figura

Convexo: se llama así al polígono que no tiene ningún ángulo mayor de 180º y al trazar

sus diagonales todas quedan dentro de la figura.

Polígono Regular: son aquellos que tiene todos sus lados congruentes (longitudes iguales) y sus

ángulos de la misma medida.

Polígonos Irregulares: son aquellos que no tienen lados congruentes, ni ángulos con la misma

medida.

CLAASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEGÚN SUS LADOS

Según el número de lados los polígonos se clasifican en:

CALCULO DE CANTIDAD DE DIAGONALES

Para calcular la cantidad de diagonales de un polígono de “n” lados, se utiliza la siguiente formula:

D = n x (n – 3)

2

n = número de lados.

Ejemplo.

Hallar cuantas diagonales tiene un pentágono.

D = n x (n – 3)

2

D = 5 x (5-3) = 5 x (2) = 10 = 5 diagonales

2 2 2

comprobando, 5 diagonales

CALCULO DE LA SUMATORIA DE LOS ANGULOS INTERNOS DE UN POLIGONO

la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados se puede determinar mediante la

formula

(n-2) x 180º, en donde n es el número de lados. Si se requiere conocer el valor de cada ángulo

interno siempre entonces se divide entre n.

Ejemplo:

Calcular la sumatoria total de los ángulos internos de un hexágono.

(n-2) x 180º

(6-2) x 180º = (4) x 180º = 720º

R/ los ángulos internos de un hexágono miden 720º

Actividad Nº 2. (fecha de entrega: 4 de mayo)

la siguiente actividad es para aquellos estudiantes que no han presentado el siguiente

trabajo.

a. En un 1/8 de cartulina o cartón, realizar en plastilina o fomi la

clasificación de los polígonos según su forma. Realiza como mínimo 3

ejemplos de cada uno.

b. Un plano se puede recubrir con una serie de polígonos sin dejar

espacio, especialmente con aquellos que miden menos de 180º.

Ejemplo: da una mirada al menos a dos pisos que tenga diferentes

formas y tamaño de baldosa, te darás cuenta que una baldosa tiene

una forma de polígono y que una serie de baldosas forma un plano o

una superficie. En una hoja realiza un plano con un polígono, el que

desees, es necesario que todas tengan el mismo tamaña y forma.

c. Completa las siguientes tablas en tu cuaderno, empleando y

desarrollando las formulas propuestas:

POLÍGONOS NUMEROS

DE LADOS

NUMERO DE

VERTICES

NUMERO DE

DIAGONALES

SUMA DE

ANGULO

INTERNOS

Triangulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

Decágono

Endecágono

d. Completa el valor de los ángulos internos de cada polígono. Teniendo en cuenta las características

y propiedades de los polígonos y los ángulos.

Dodecágono

EL TRIANGULO

Un Triángulo es la figura que se encuentra por tres segmentos (líneas) unidos por tres

puntos llamados vértices.

Clasificación de Triángulos

Los triángulos se clasifican de acuerdo a sus lados y sus ángulos.

Fíjate que los triángulos clasificados según los ángulos, tienen una terminación en ángulo.

CONSTRUCCION DE TRIANGULOS

Para la construcción de triángulos, se pueden utilizar varios instrumentos, como el compás, la regla y

el transportador.

OJO…..De acuerdo a

cada una de las

indicaciones

anteriormente dada,

vamos a construir en

tu cuaderno como

mínimo un triángulo

por cada manera de

hacerlo. (06 de mayo)

PROPIEDADES DE LOS

TRIANGULOS

Propiedades relacionadas con los ángulos del triangulo

1. La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo siempre será 180º

2. La suma de los ángulos externos de un triángulo siempre será

360º

3. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no

adyacentes.

4. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados son

también congruentes.

Congruente: es la expresión algebraica que expresa la igualdad de los

restos de las divisiones de dos números congruentes por su módulo (un

número natural distinto de 0). Esta expresión se representa con tres

rayas horizontales entre los números

PROPIEDADES SEGÚN LOS LADOS DEL TRIANGULO

1. En un triángulo, la medida de los lados es menor que la suma de los otros dos y mayor que la

diferencia.

2. En un triángulo, al lado mayor se

opone el ángulo mayor

ACTIVIDAD Nº3 (fecha de entrega: 11 de mayo)

1. Halla el valor de X en cada caso, teniendo en cuenta las propiedades y características de los triángulos:

2. Escribe falso o verdadero según corresponda de acuerdo a las propiedades de los triángulos.

Especificar y escribir a cuál propiedad pertenece o se está implementando.

a. En el triángulo formado por los segmentos a= 3 cm, b=4 cm, c= 5 cm, el ángulo con mayor

abertura es el opuesto al lado b. ( )

b. Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 3 cm y 7 cm ( )

c. En un triángulo, los ángulos internos pueden medir 45º, 32º y 50º. ( )

d. Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 11 cm y 6cm ( )

e. Los ángulos externos de un triángulo miden 120º, 100º y 110º, respectivamente. ( )

3. Analiza y resuelve:

Francisco necesita cercar con malla un lote de su finca que tiene forma de triángulo y que mide 15

dam (decámetros, 1 dam= 10 metros) en uno de sus lados y 12 dam en otro lado. Se sabe que el

ángulo comprendido entre este par de lados mide 35º.

¿Cuánta malla debe comprar francisco para encerrar el lote?; usa la regla y luego haz las

conversiones pertinentes para encontrar la longitud del tercer lado. Dibuja el lote en tu cuaderno.

4. Clasifica los siguientes triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos:

EL TEOREMA DE PITAGORAS

Para empezar, te invito a que le des un vistazo a quien fue Pitágoras.

No olvides tomar apuntes y registrarlo en tu cuaderno

Ahora bien, sabiendo quien fue y cómo fue su vida, vamos continuar nuestro viaje hacia la historia y

miremos de donde salió y porque el Teorema de Pitágoras…

Se dice que el Teorema de Pitágoras nace en la escuela de pitagórica.

Anteriormente, en Mesopotamia y el antiguo Egipto se conocían ternas (tríos) de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos.

Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.

La pirámide de Kefrén, fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

El Teorema de Pitágoras es una ecuación, que establece que en todo triangulo Rectángulo a longitud

de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas

longitudes de los catetos.

En matemáticas, también se puede explicar por medio de tres cuadrados de diferentes

dimensiones…

En donde un cuadrado de 3 de lado, unido o sumado a otro de

4 de lado, da como resultado otro cuadrado de 5 de lado; si lo

miramos desde el punto de unidades, el primer cuadrado de 3

de lada al hallar el área de este nos da como resultado 9

unidades, el de 4 de lado nos da 16 unidades sumados los dos

cuadrados se obtiene como resultado 25 unidades, es decir un

cuadrado de lado 5.

Cuando Se Te Pida Hallar La Hipotenusa

a2 + b2 = ?2 (cateto 1)2 + (cateto 2)

2 = (hipotenusa)2

se hace la suma de los cuadrados de los catetos

Cuando Te Pidan Hallar Uno De Los Dos Catetos

?2 = c2 - b2 (cateto 1)2 = (hipotenusa)2- (cateto 2)

2

se hace la resta de la hipotenusa con uno de sus catetos

ejemplo:

De la figura mostrada, calcular la longitud de la hipotenusa.

Como nos piden hallar la hipotenusa, entonces trabajamos con la siguiente formula,

a2+ b2 = c2

reemplazamos,

(5)2 + (12)2 = (x)2

25 + 144 = (x)2

169 = (x)2 se debe desaparecer el cuadrado, por lo tanto, se debe reemplazar por una raíz cuadrada

√169 = 13

R/ la hipotenusa vale 13 m.

?

a

b

c

?

b

Ejemplo 2.

Hallar el lado que hace falta.

Debido a que nos piden uno de los catetos, se utiliza la siguiente formula:

x2 = c2 - b2

x2 = (5)2 – (3)2

x2 = 25 – 9

x2 = 16

x =√16 x= 4 m R/ el lado faltante vale 4 m.

En casa, Con tu familia vas a realizar un rompecabezas que te permita verificar el teorema

de Pitágoras, siguiendo las siguientes instrucciones:

a. Construye un cuadrado de lado 14 cm y recórtalo (en el material que puedas y quieras). Lo

mantendrás como base. Coloréalo. (cuadro a)

b. Sobre otro cuadrado de lado 14 cm haz los siguientes trazos y recorta casa una de las piezas que

señala el dibujo.

Es decir, tu rompecabezas estará compuesto por: dos cuadrados, uno de 6 cm de lado y otro de 8 cm

de lado; y cuatro triángulos rectángulos, dos de catetos de 6 cm y otros dos de catetos de 8 cm.

Luego de hecho esto, Responde:

a. ¿Cuánto miden las hipotenusas de esos triángulos?

b. Retira los dos cuadrados y sobre tu cuadrado base coloca los triángulos, como lo indica el dibujo

adjunto.

c. ¿Qué figura enmarcan los triángulos sobre el cuadrado base?

d. Verifica que al retirar los dos cuadrados y colocar los cuatro triángulos, el área de la figura del

centro es equivalente a la suma de los dos cuadrados retirados.

3 m

Ejemplo 3.

Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.

Se debe hallar un cateto, es decir se utilizara la formula restando; también se debe tener en cuenta que una medida está en metros y la otra medida en centímetros, por lo tanto se debe unificar unidades.

b2 = c2 – a2

b2 = ( 300)2 –(70)2

b2 = 90000-4900

b2 = 85100

b= √85100

b = 291,7 cm o 2, 91 m

ejemplo 4.

a2+ b2= c2 (50)2+( x)2= 1302 x2= (130)2– (50)2 ⇒ x = 120 m ∴La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m

70 mt

Actividad Nº 4 (fecha de entrega: 18 de mayo)

1. Una escalera de 65 decímetros se apoya en una pared vertical de modo que el pie de la escalera

está a 25 decímetros de la pared. ¿Qué altura, en decímetros alcanza la Escalera?

2. Una escalera de 15 metros se apoya en una pared vertical, de modo que el pie de La escalera se

encuentra a 9 metros de esa pared. Calcula la altura en metros, que alcanza la escalera sobre la

pared.

3. Desde un balcón de un castillo en la playa se ve un barco a 85 metros, cuando realmente se

encuentra a 84 metros del castillo. ¿A qué altura se encuentra ese balcón?

4. Un faro de 16 metros de altura manda su luz a una distancia horizontal sobre el mar de 63 metros.

¿Cuál es la longitud, en metros, del haz de luz?

5. Si nos situamos a 150 metros de distancia de un rascacielos, la visual al extremo superior del

mismo recorre un total de 250 metros. ¿Cuál es la altura total del rascacielos?

6. Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una distancia horizontal de

35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa

a los puntos A y B?

7. La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto de

penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde

el punto de penalti y se estrella en el punto central del larguero?

8. La Torre de Pisa está inclinada de modo que su pared lateral forma un triángulo rectángulo de

catetos 5 metros y 60 metros. ¿Cuánto mide la pared lateral?