Dodatna nastava iz matematike Osnovni kurs elementarne geometrije Predava: A.Pejev c c 1. Dokazati da u konveksnom petouglu postoje 3 dijagonale koje mogu biti ivice nekog trougla. 2. Neka su AKLB i ACP Q kvadrati spolja konstruisani nad ivicama AB i AC trougla ABC. Dokazati da se dui BP i CL seku u taki koja pripada visini trougla ABC iz temena A. z c 3. Neka je O proizvoljna taka u trouglu ABC, takva da je OBA = OCA. Ako su P i Q c podnoja upravnih iz te take na ivicama AB i AC, a A1 sredite ivice BC, dokazati da je z c s A1 P = A1 Q. 4. Neka su P i Q take na ivicama AB i AC trougla ABC redom. Dokazati da teite tog trougla c zs pripada dui P Q akko je P B + QC = 1 (upamtiti). z AP AQ 5. Neka su H i O ortocentar i centar opisanog kruga trougla ABC. Ako je AH = AO, dokazati da je BAC = . 3 6. Dokazati da su podnoja normala iz proizvoljne take P kruga opisanog oko trougla ABC, z c tri kolinearne take (Simsonova prava take P ) (upamtiti).Dokazati i preko uglova i preko c c Menelajeve teoreme. 7. Neka je P proizvoljna taka kruga opisanog oko trougla ABC i PA presena taka prave upravne c c c na pravoj BC kroz tu tavcku sa tim krugom. Dokazati da je prava APA paralelna Simsonovoj pravoj take P trougla ABC. c 8. Ako su P i Q dve take kruga k(O, r) opisanog oko trougla ABC i p,q njihove Simsonove prave c tog trougla, dokazati da je pq = P OQ. 9. Dokazati da Simsonova prava take P trougla ABC sadri sredite dui P H, gde je H njegov c z s z ortocentar (upamtiti). 10. Neka je ABCD tetivan etvorougao. Dokazati da se Simsonova prave taaka A, B, C, D u odnosu c c na trouglove BCD, CDA, DAB, ABC redom seku u jednoj taki. c 11. Dokazati i upamtiti da je rastojanje izmed centara opisanog i upisanog kruga trougla ABC u jednako R2 2Rr, gde su R i r poluprenici opisanog i upisanog kruga redom. Da se postavi c slino tvrd c enje za opisani i spolja upisani krug (Ojlerova teorema). 12. Ako su A i B dve take i d du neke ravni, skup tacaka X te ravni takvih da je AX 2 BX 2 = d2 c z je prava upravna na AB. Dokazati. 13. Dokazati da su dijagonale etvorougla uzajamno normalne akko su zbirovi kvadrata naspramnih c stranica medjusobno jednaki. 14. Neka je P unutranja taka kvadrata ABCD takva da je P A : P B : P C = 1 : 2 : 3. Izraunati s c c ugao AP B. 15. Neka su P, Q, R take pravih odre d c enih ivicama BC,CA,AB trougla ABC. Dokazati da se upravne na pravama BC, CA, AB u takama P, Q, R seku u jednoj taki akko je c c BP 2 P C 2 + CQ2 QA2 + AR2 RB 2 = 0 16. Neka su A i B zajednike take, a P Q zajednika tangenta dva kruga u dodirnim takama P i c c c c Q. Dokazati i upamtiti da sredite dui P Q pripada pravoj AB. s z 17. Dokazati i upamtiti da se potencijalne ose tri kruga seku u jednoj taki. c

1

18. Neka je k krug i S taka van tog kruga neke ravni .Ako su P i Q dodirne take tangenti iz S c c na krugu k, a X i Y presene take neke prave s kroz S sa krugom k dokazati da je XP = XQ c c YP YQ (zapamtiti). 19. Ako je T teite ,a X proizvoljna taka u ravni trougla ABC dokazati da je XA2 +XB 2 +XC 2 = zs c T A2 + T B + T C 2 + 3T X 2 (Lajbnicova teorema). 20. Ako su a, b, c ivice, s poluobim i la odseak bisektrise unutranjeg ugla naspram ivice a trougla c s ABC, dokazati i upamtiti da je la = 2 bc s(s a). b+c 21. Dokazati da u raznostranom trouglu ABC tangente opisanog kruga u temenima seku naspramne ivice u kolinearnim takama. c 22. Ako je a ivica, a D i d dua i kraa dijagonala pravilnog sedmougla dokazati da je z c1 a

=

1 D

1 + d.

23. Neka su ABC i A1 B1 C1 dva trougla neke ravni, takva da se prave AA1 , BB1 , CC1 seku u jednoj taki S. Ako se prave BC i B1 C1 ,AC i A1 C1 , AB i A1 B1 seku redom u takama P, Q, R, c c dokazati da su one kolinearne (Dezargova teorema). Vai i obrnut smer. z 24. Neka su A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 proizvoljne take datog kruga dokazati da su presene take pravih c c c A1 B2 i B1 A2 , A1 B3 i B1 A3 , A2 B3 i B2 A3 kolinearne (Paskalova teorema). 25. Neka je ABCD konveksan etvorougao Dokazati da je AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2 AC 2 + c BD2 (prethodno izraunati duinu dui koja spaja sredita dijagonala). c z z s 26. Neka je ABCD tetivni estougao. Dokazati da se dijagonale AD, BE, CF seku u jednoj taki s c akko je AB CD EF = BC DE F A. 27. Neka je ABCD tetivni etvorougao kod kojeg je CD = BC + AD. Dokazati da se simetrale c unutranjih uglova kod temena A i B seku na CD. s Casey-ova teorema Neka krugovi k1 , k2 , k3 ,4 dodiruju krug k u takama A1 , A2 , A3 , A4 , tako c da na krugu k par taaka (A1 A3 ) deli par taaka (A2 , A4 ). Oznaimo sa tij , i,j {1, 2, 3, 4} c c c duinu zajednike tangente krugova ki i kj , pri emu ako ki i kj dodiruju k oba sa spoljne z c c ili oba sa unutranje strane, onda razamatramo zajedniku spoljanju tangentu, u suprotnom s c s zajedniku unutranju. Tada je c s t12 t34 + t14 t23 = t13 t24 Taka se moe smatrati degenerisanim krugom! c z 28. Dokazati da Ojlerov krug trougla dodiruje upisani i spolja upisane krugove tog trougla (Fojerbahova teorema). 29. Nai taku u trouglu za koju je zbir rastojanja od temena datog trougla minimalan (Torielijeva c c c taka). c 30. Neka je S sredite tetive P Q kruga k. Ako su AB i CD dve tetive tog kruga koje sadre taku s z c S i X, Y preseci tetiva AD i BC sa teivom P Q, dokazati da je S sredite dui XY (teorema o s z leptiru). 31. Ako je S presena taka dijagonala AC i BD konveksnog etvorougla ABCD, a P i Q cetri c c c opisanih krugova oko trouglova ASB i CSD, dokazati da je AB + CD 4P Q 32. Neka je ABCD tetivan etvorougao. Dokazati da je | AB CD | + | ADBC | 2 | AC BD |. c 33. Dokazati i upamtiti sledea tvrd c enja: (a) Zbir rastojanja centra opisanog kruga otrouglog trougla od njegovih ivica, jednak je zbiru s poluprenika opisanog i upisanog kruga. c (b) Zbir rastojanja ortocentra otrouglog trougla od njegovih temena, jednak je zbiru prenika s c opisanog i upisanog kruga tog trougla.

2