JU UNIVERZITET U TUZLI Ahmet Mešanović

Rudarsko-Geološko-Građevinski fakultet

Geodezija

2008/09

Geodezija je nauka koja se bavi premjerom zemljine površine iznad i ispod zemlju u cilju izrade planova i karata kao vjerne slike terena.

Geodezija je nauka o mjerenju i prikazivanju zemljine površine.

Prema ranije korištenoj klasifikaciji geodezija se dijeli na:

1. Višu geodeziju

2. Nižu geodeziju (sa Fotogrametrijom)

3. Inženjersku geodeziju

4. Kartografiju

Pitanje oblika zemlje je staro hiljadama godina.Prema najstarijim nama poznatim izvorima smatrali se da je zemlja ravna ploča.U vrijeme procvata starogrčke civilizacije se javlja učenje da je zemlja oblika kugle (Aristotel,Pitagora)

Pod predpostavkom da je zemlja oblika kugle Erastoten iz Aleksandrije vrši mjerenja za određivanje veličine zemlje.

Sve do 17.vijeka se smatralo da je zemlja oblika kugle.Njutn prvi iznosi tvrdnju da zemlja , pod predpostavkomda je homogena masa koja rotira oko ose kroz polove, mora na polovini biti spljoštena , a na ekvatoru nešto izdignuta tj da ima oblik sferoida.Sferoid se vrlo malo razlikuje od obrtnog elipsoida , pa se zemlja u svom približenju smatra obrtnim elipsoidom.

Ruđet Bošković iznosi tvrdnju da zemlja , zbog različite gustine odnosno rasporeda masa u tijelu zemlje , nije oblika pravilnog elipsoida.F. Gauss daje određene površine zemlje na sljedeći način: u geometriskom smislu smatramo za površinu zemlje nije ništa drugo do ona površina koja svuda pod pravim uglom siječe pravac sile teže i čini površinu svjetskog okeana.Tijelo ograničeno ovako definisanom površinom Listing naziva Geoidom.

Geid je geometriski nepravilno tijelo, pa se za potrebe mjerenja i izrade karata površina zemlje aproksimira pravilnim površinama koje se mogu dosta jednostavno matematički opisati.Kao model zemlje ponovo se usvaja elipsoid odnosno kugla.

Za horizontalnu površinu vrijedi da je ekvipotencijalana površina.U tom smislu se zemlja definiše kao tijelo ograničeno ekvipotencijalnom površinom.

Ekvipotencijalna površina (nivo ploha) je površina za koju vrijedi da je u svakoj njenoj tački potencijal sile teže konstantan.Linije okomite na ekvipotencijalnu površinu nazivaju se linije gravitacionih sila.

Geoid

Kao najbolja aproksimacija fizičke površine zemlje je tzv. Ekvipotencijalna nivoska površina -površina srednjeg nivoa mora i okeana u stanju ravnoteže.

Tijelo ograničeno nivo plohom mora naziva se geoid.Prema tome geoid je geometriski i fizički definisano tijelo,po čijim fizičkim osobinama zemlja djeluje na sav okolni prostor , samim tim i na mjesne instrumente.Geoid predstavlja referentnu površinu u odnosu na koju se određuju visine.

Za geoid se mogu navesti sljedeće karakteristike:

1. glatka površina

2. nepravilna površina

3. ne može se analitički izraziti

4. nesimetrična u odnosu na obrtnu osu

5. nedovoljno poznat

Zemljin elipsoid

Tijelo blisko geoidu, koje se matematski jednostavno može opisati je obrti elipsoid.Zemljin obrti elipsoid je tijelo koje nastaje rotacijom elipse meridijana oko polarne ose meridijana.

Zemljin obrtni elipsoid određen je velikom i malom poluosom elipse meridijana ili velikom poluosom i splošćenjošću (f).Velika osa elipsoida je osa meridijanse elipse u ravni ekvatora,dok mala osa odgovara obrtnoj osi zemlje.Spljošćenost je definisana kao odnos razlike poluosa i velike poluose f=(a-b)/a

Budući da se mjerni istrumenti relativno lako orijentišu u odnosu na geoid (pravac vertikale-težišnice) to se i mjerenja svode na površinu geoida.Zbog toga je potrebno da površina elipsoida , na kojoj se vrši računanje, bude što bliskiji površina geoida , odnosno da je što manja razlika između pravca vertikale i pravca normale na elipsoid.Odstupanje plohe elipsoida od plohe geoida znači i razliku između pravca normale na elipsoid i normale na geoid-pravac sile teže.Ova razlika se naziva otklon težišnice (otklon vertikale) i veličine je reda nekoliko sekundi.

Elipsoid koji se najbolje predstavlja zemlja kao planeta zove se zemljin opšti elipsoid.On je matematski model zemlje u najopštijem smislu.Takav elipsoid je u prostoru apsolutno orijentisan , tj ekvatorska ravan se podudara sa ekvatorskom ravni zemlje a mala poluosa sa srednjim položajem obrtne ose zemlje (za određenu epohu).Geometriski centar elipsoida podudara se sa centrom mase zemlje.

Za zemljin opšti elipsoid vrijedi:

1. Treba da što više odgovara geoidu

2. obrtna osa elipsoida i zemljina osa se poklapaju

3. geometriski centar se poklapa sa centrom elipsoida

4. jednakost zapremina elipsoida i geoida

5. suma kvadrata rastojanja elipsoida od površine geoida-minimum

Elipsoid na koji se svode geodetska mjerenja i na kome se ona obrađuju naziva se Referentni ili referenc elipsoid.

Zemljina Kugla

Za mjerenja na manjim površinama zemlje se aproksimira kugla.Srednji poluprečnik zemljine kugle za dato područje određuje se pomuću izraza: R= M X N

Gdje je: M-srednji poluprečnik zakrivljenosti meridijana

N-Srednji poluprečnik zakrivljenosti prvog vertikala

U praktičnim radovima na manjim područjima zemlje se aproksimira sa kuglom poluluprečnika R=6370 km.Za premjere manjih područja (do 10x10km) i za situacion predstavljanje kao referenntna površina zemlje koristi se horizontalna ravnina koja tangira zemljin elipsoid (kuglu)u odabranoj tački.

Realna površina zemlje (teren) poznat je i kao topografska površina.

Jedan metar je duljina puta koju u vakumu pređe svjetlost za vrijeme od 1/299 792 458 sekunde.

Geodetski datum definiše veličina i oblik zemljinog elipsoida,kao i kordinatni početak i orijentacija u odnosu na zemlju.

Geografski kordinatni sistem

Geografski kordinatni sistem koristi geografsku širinu i geografsku dužinu i ima za osnovu sferu ili elipsoid.

U prostornom kordinatnom sistemu udaljenost tačke od referentne površine Zemlje prestavlja treću kordinatu i osnačava se sa H(visina)

Geografska dužina tačke je ugao između ravni usvojenog početnog meridijana i ravni meridijana kroz datu tačku.

Geoggrafska dužina se računa istočno i zapadno od 0stepeni do 180 stepeni od početnog meridijana.

Geografska širina je ugao između ravni (okomice na referentnu površinu Zemlje) kroz tačku i ravni ekvatora.

Geografska širina se računa od ekvatora prema sjevernom polu od 0 ste. Do +90 st i od ekvatora prema južnom polu od 0 do -90 stepeni.

Pravougli kordinatni sistem u ravni određuju dva međusobno okomita pravca koji predstavljaju apcisnu i ordinatnu osu.Presječna tačka ovih osa predstavlja kordinatni početak.

U geodeziju apcisna osa X predstavlja projekciju meridijana i posmatra se kao glavna osa.Pozitivan smjer ose x je u pravcu sjevera.Osa y se dobije kada se x osa zarotira za 90 stepeni u smjeru kretanja kazaljke na satu i prestavlja projekciju ekvatora.Pozitivan smjer ose y je u pravcu ekvatora.

Polarni kordinatni sistem

Polarne kordinate tačke su ugao između početnog i pravca ka tački i horizontalno rastojanje tačke od kordinatnog početka(radijus vektor tačke).

Prikazivanje površine zemlje na ravninu

Karte i planovi definišu se kao horizontalna projekcija Zemljine površine ili njenog dijela na ravninu.Grana geodezije koja se bavi prikazivanjem zemljine površine na karti naziva se Kartografija.

Sva mjerenja koja se izvode na realnoj površini zemlje svode se na referentnu površinu zemlje to je kuglu odnosno elipsoid.

Suština principa prikazivanja zemljine površine na ravnini jeste da se sve tačke fizičke površine Zemlje proiciraju na nivosku površinu Zemlje , tako što se kroz tačku postavlja vertikala do presjeka sa nivoskom površinom.Pošto je nivoska povrina zakrivljena to vertikale kojima se proicirju tačke neće biti paralelne.Da bi se mogla dobiti prestava o nekom prostornom liku ABCD iz njegove

horizontalne projekcije potrebno je poznavati udaljenost tačaka fizičke površine zemlje od nivoske plohe.Ta rastojanja nazivaju se visine.Referentna nivoska povrina je Geoid(srednja površina mirnog mora)pa su rastojanja tačaka fizičke povrine od projekcije na geoid zapravo nadmorske visine tačaka.Sve dužine koje se mjere na fizičkoj povrini zemlje se redukuju na nivo plohu mora.

U tom smislu važi pravilo:

. Mjerenje izvodimo na fizičkoj povrini zemlje

. Svode se na nivo plohu mora

. Računaju na elipsoidu

Kartografska projekcija je matematički model za preslikavanje položaja sa trodimenzionalne povrine zemlje u dvodimenzionalni kartografski prikaz.

Vrste kartografskih projekcija

Kartografske projekcije u matematičkom smislu predstavljaju prevođenje informacija iz trodimenzionalne zemljine zakrivljene površine u dvodimenzionalni kartografski prikaz.

Prema površini na koju se preslikava površina zemlje projekcije mogu biti:

1. perspektivne

2. konusne

3. cilindrične

Perspektivne projekcije su projekcije kod kojih se povrina zemlje preslikava na ravninu po zakonima linearne perspektive.Ravnina projekcije dodiruje tijelo zemlje u nekoj tački a centar proiciranja se nalazi na prečniku kugle kroz dodirnu tačku.

Zavisno od udaljenosti centra proiciranja od centra zemlje razlikuju se:ortografske,vanjske,stereografske i centralne projekcije.

Konusne projekcije su projekcije kod kojih se površina zemlje preslikava na plšt konusa koji dodiruje ili siječe tijelo zemlje.Prema položaju konusa ove projekcije takođe se dijele na:polarne(vrh konusa u pravcu ose zemlje),poprečne (vrh konusa u ravnini ekvatora),i kose (proizvoljan položaj konusa)

Cilindrične projekcije su projekcije kod kojih se površina zemlje preslikava na omotač cilindra koji dodiruje ili siječe tijelo zemlje.I cilindrične projekcije se dijele na:polarne,poprečne i kose.

Prema karkteristikama deformacija koje nastaju prilikom preslikavanja projekcije se dijele na:

1. konforne kod kojih je sačuvana jednakost uglova

2. ekvivalentne kod kojih je sačuvana jednakost povrina

3. opšte u koje spadaju i ekvidistantne kod kojih je sačuvana jednakost dužina u pojedinim pravcima

U kartografiji se javljaju dvije vrste razmjera glavne i djelimične razmjere.Pod glavnom razmjerom podrazumijeva se odnos dužine na karti i njene veličine na projekcionoj ravnini.

Djelimična razmjera je odnos dužine prikazane na karti i stvarne veličine te dužine i može se izraziti preko glavne razmjere i modula djelimične razmjere duž nekog pravca.

Gauss-Krugerova konforna projekcija

Gaus-Krigerova konforna projekcija je usvojena kao projekcija pri premjeru i izradi karata krupnije razmjere, pa time i planova koji se koriste u inženjerskoj praksi.Gaus-Krigerova konforna projekcija je poprečna cilindrična projekcija.Površina zemlje preslikava se na omotač valjka koji dodiruje tijelo zemlje po određenom meridijanu ,a osa valjka leži u ravnini ekvatora .Valjak se rasijeca po jednoj izvodnici i razvija u ravninu tako da se preslikani dio površine dobije prikazan u ravnini.Budući da je zona preslikavanja simetrična u odnosu na dodirni meridijan takođe se dodirni meridijan naziva i Središni ili glavni meridijan.

Srednji meridijan zone preslikava se kao pravac bez deformacija i predstavlja x-osu a pravac u koji se preslikava ekvator predstavlja y-osu ravninskog kordinatnog sistema.

. Deformacije dužina dozvoljene su do 1dm/km

. Projekcija je konforna

Konforna projekcija znači da se uglovi preslikavaju bez deformacija tj mora postojati sličnost geometriske figure na površini zemlje i njene slike u ravninu projekcije.Da bi se smanjile deformacije na krajevima zona smanjen je modul djelimične razmjere za 0,0001 tako da je razmjera (modul djelimične razmjere) na središnjem meridijanu m0=1-0.0001=0.0009.

Kod preslikavanja površine elipsoida na ravninu prvo se sračunaju pravougle ravninske kordinate po izrazima koji važe za ovu projekciju a zatim se množe sa umanjenim modulom djelimične razmjere.

X=X * m0=X*0.0009

Y=Y* m0=Y*0,0009

Ovako sračunate kordinate nazivaju se redukovane kordinate i koriste se u inženjerskoj praksi.

Pravougli kordinatni sistem u Gaus-Krigerovoj Projekciji

Svaka zona preslikana u gaus-Krigerovoj projekciji predstavlja zaseban pravougli ravninski kordinatni sistem , kome je osa x preslikani dodirni srednji meridijan , a osa y preslikani ekvator.Pozitivan smjer ose x je pravac sjevera , a vrijednost kordinate x predstavlja udaljenost od ekvatora.Kordinata y predstavljaudaljenost od središnjeg meridijana.Pozitivan smjer ose y je od ose y prema istoku.Da bi se izbjegle negativne vrijednosti y uvedena je vrijednost ordinate u kordinatnom početku 500 000.Na ovaj način sve tačke koje leže istočno od dodirnog meridijana imaju osu y veću od 500 000 , a sve tačke koje se nalaze zapadno od dodirnog meridijana imaju kordinatu manju od 500 000.

Da bi se znalo koji je dio površine zemlje preslikan u datom kordinatnom sistemu , ispred vrijednosti ordinate y uvijek se piše broj zone preslikavanja (kordinatnog sistema).Broj zone (nks) dobije se ako se geografska dužina središnjeg meridijana λsm podijeli sa širinom zone sz izražen u stepenima (nks=λsm/sz

Najveći dio površine BiH preslikava se u šestu zonu Gaus-Krigerove projekcije za koju se središni meridijan 18 istočno od Griniča.Kordinatni sistem na koji se preslikava ova zona prema tome ima oznaku 6 koja se uvijek piše ispred ordinate y za tačku koja se nalazi u ovoj zoni.Manji dio zapadne Bosne preslikava se u kordinatnom sistemu sa oznakom 5.Takođe se manji dio istočne bosne preslikava u kordinatnom sistemu sa oznakom 7.

UTM Projekcija

UTM-projekcija je poprečna cilindrična konforna projekcija isto kao i Gaus-Krigerova projekcija.Razlika je prije svega u projekciji središnjeg meridijana zone preslikavanja.Mjerilo (modul djelimične razmjere) na središnjem meridijanu je 0,9996.Širina zone preslikavanja je 6 stepeni.Svaka meridijanska zona preslikava se u jedan pravougli ravninski sistem u kome osu x predstavlja projekcija središnjeg meridijana a osu y projekcija ekvatora.

Sistem se bazira na internacionalnom elipsoidu Hayford-a i sastoji se od ukupno 60 meridijanskih zona po šest stepeni geografske dužine.Cilindar na koji se preslikava zemlja je uvučen , tako da su presjeci na međusobnom razmaku od 180 km.Mjerilo na centralnom meridijanu je umanjeno i iznosi m=0,9996 a na vanjskom graničnom dijelu je mjerilo uvećano i iznosi m=1,00015.Na taj način je postignuta dvostruka širina pojasa preslikavanja u kome deformacije ne prelaze dopušteni iznos.Za novije karte UTM-sistem zasnovan na WGS84 elipsoidu.Svaka zona se dijeli po geografskoj širini od juga prema sjeveru na područja 8 stepeni geografske širine , a svako područje je označeno sa slovnom oznakom.

Stalne tačke

Kao osnova za izradu planova, karata kao i za tehničke i privredne svrhe postavljaju se tačke,koje su trajno obilježene i čiji je položaj određen i usvojen u kordinatnom sistemu.Prvi geodetski princip:od većeg ka manjem.Kod postavljanja stalnih tačaka ovo znači da se prvo određuju tačke na međusobno većim rastojanju.Prema načinu određivanja i svrsi sve stalne tačke se dijele u dvije osnovne grupe:tačke za horizontalni i za visinski premjer.Tačke za horizontalni premjer su tačke koje služe kao osnova za određivanje položaja na referentnoj površini zemlje , to su tačke kojima se određuju kordinate x,y.

Za visinski premjer stabilizirane su tačke čija je visina određena to jest vertikalno rastojanje od nivo ploha mora.Tačke iste vrste , radi određivanja njihovog položaja povezane su mjerenjima u mreži tako da imamo triangulacione ili trigonometriske , poloigone i nivelmanske mreže.

U grupu stalnih tačaka na površini spadaju: triangulacione , poligone i liniske ili male tačke

Triangulacione (trigonometriske)mreže

Kao osnova premjera većeg područja prvo su postavljene tačke na međusobno većem rastojanju.Mjerenjima su ove tačke povezivane tako da čine mrežu ili lanac trouglova.Da bi ovakva mreža mogla biti osnova premjera mora se odrediti njen položaj na površini elipsoida kome je utvrđen veličina i položaj u tijelu zemlje.Položaj mreže na površini elipsoida može se odrediti ako se odrede geografske kordinate jedne tačke i azimut pravca ka drugoj tačci.Astronomskim opažanjima mogu se odrediti geografske kordinate tačke i azimut pravca (φ,λ,A).Izjednačavanjem ovih astronomski dobivenih kordinata sa elipsoidnim praktično je povezan elipsoid sa tijelom zemlje(u toj tački skupa padaju površina geoida i površina elipsoida).Na taj način mreža je fiksirana za površinu zemlje što znači da je određen položaj svake tačke na povrini elipsoida.Iz mjernih geometriskih veličina između tačaka u mreži , mogu se po pravilima sferne trigonometrije sračunati elipsoidne kordinate svake tačke.Na taj način se uspostavlja osnova premjera(referentni sistem).

Mreža tačaka koja predstavlja osnovu premjera za područje BiH sračunata je na elipsoidu Bessel-a.Aastronomskim opažanjima određene su geografske kordinate jedne tačke u blizini Beča (Hermanskogel)

Trigonometriske mreže podijeljene su na redove prema rastojanju stalnih tačaka trigonometriskoj mreži razlikuju se sljedeći redovi:

1. trigonometriska mreža I reda rastojanje tačaka 25-50km

2. trigonometriska mreža II reda rastojanje tačaka 9-25km

3. trigonometriska mreža III reda rastojanje tačaka 4-13km

4. trigonometriska mreža IV reda ratojanje tačaka 1-4km

Da bi se obezbijedilo međusobno dogledanje ,trigonometriske tačke se uglavnom postavljaju na uzvišenja ,vrhovi brda,tornjevi isl.Trigonometriske tačke drugog reda se postavljaju između trigonometriskih tačaka I reda i njihovim međusobnim povezivanjem kao i povezivanjem sa postojećim tačkama prvog reda formira se trigonometriska mreža II reda. Na taj način se formiraju i mreže trećeg i četvrtog reda.

GPS mreža

Pojavom GPS-a klasične trigonometriske mreže gube na značaju pošto se u mjerenjima koriste sve više GPS tačke odnosno mreže.Ovu mrežu karakteriše homogenost i visoka tačnost

Poligone mreže

Za horizontalni premjer na manjim površinama terena koriste se poligone tačke.Mjerenje prelomnih uglova ß i rastojanja između susjednih tačaka,poligone tačke se povezuju u poligone vlakove.Da bi se mogle sračunati kordinante poligonih tačaka ,poligoni vlak se mora vezati za najmanje jednu poznatu tačku i jedan poznati pravac.Poligoni vlakovi se takođe dijele na redove zavisno na koju se tačku vežu.Poligoni vlakovi vežu se na trigonometrisku tački I reda.Poligoni vlakovi II reda vežu se na poligone tačke I reda.Sistem više međusobno povezanih vlakova čini poligonu mrežu.

Stalne tačke za visinski premjer

Kao osnova za visinski premjer služe tačke čije su visine poznate.Referentna površina je površina geoida odnosno srednji nivo mirnog mora.Polazna tačka za visinsko mjerenje je normalni reper čija visina je određena u odnosu na srednji Nivo.Na terenu stabilizirane tačke čije su visine određene nazivaju se reperi.Mjerenjem visinskih razlika od tačke sa poznatom visinom određuje se visina nepoznate tačke.Postupak određivanja visina repera naziva se nivelman (generalni nivelman)

Nivelmanske mreže

Prilikom određivanja visine repera , reperi istog reda se takođe vežu u vlakove koji se nazivaju nivemanski vlakovi.Sistem nivelmanskih vlakova istog reda čine nivelansku mrežu.U nivelmanskim vlakovima određuju se visinske razlike između susjednih repera, a sam nivelmanski vlak mora se vezati na reper poznate visine.Kod određivanja visina nivelmanskih repera prvo se određivanje visina za repere u mreži I reda.Umetanjem novih repera između repera prvog reda dobije se nivelmanska mreža II reda.Prema principu mjerenja odnosno tačnosti određivanja visinskih razlika između repera nivelman se dijeli na:

1. Precizni nivelman visoke tačnosti (nivelman I reda) Ovdje spada određivanje visina repera u mreži koja pokriva teritorij cijele države a koju čine nivelmanski vlakovi velike dužine u kojima je rastojanje između repera 7-8km.Greška određivanja visinskih razlika je 1mm/km

2. precizni nivelman (nivelman II reda)Rastojanje repera u vlakovima koji čine nivelmansku mrežu ovog reda je oko 4km.Dužina vlakova 75-250 km a tačnost određivanja visinskih razlika je 2 mm/km

3. Tehnički nivelman povećane tačnosti(nivelman III reda) rastojanje repera u vlakovima je oko 2km , dužine vlakova 25-75km a tačnost određivanja visinske razlike je 5mm/km

4. Tehnički nivelman(nivelman IV reda)rastojanje repera u vlakovima je oko 1km tačnost određivanja visinske razike je oko 8mm/km

Stabilizacija tačaka

Stalne tačke koje služe kao osnova za mjerenje moraju biti odgovarajuće obilježene na terenu.Obilježavanje tačaka na terenu zove se stabilizacija.Tačke se na terenu obilježavaju stalnim biljegama , čiji oblik i način postavljan zavisi od reda tačke koi i od terenskih uslova.Trigonometriske tačke I reda obilježavaju se brtonskim stubcima dimenzija 0,45x0,45 m, visine 1-1,2m u koji je ubetonirana metalna šipka na kojoj je urezan krst ili izbušena rupica.Za tačke I reda iznad biljega se grade posebne drvene ili metalne piramide visine 1 do 30m.Ove piramide služe koa signal prilikom opažanja,budući da na većim rastojanjima postoji znatna razlika između stvarnog i prividnog horizonta.Za svaku stabiliziranu tačku radi se opis položaja sa skicom , u koju su unesena rastojanja od stalnih objekata u blizini tačke.Ovaj opis služi za lakše pronalaženje tačaka prilikom mjerenja.Takođe u slučaju uništenja nadzemnog biljega može se izvršiti ponovna stabilizacija na osnovu podzemnih biljega.Za lakše pronalaženje stalnih tačaka odnosno podzemnih biljega ako dođe do uništenja nadzemne biljege za svaku tačku radi se položajni opis u trigonometriskom obrascu.Pri stabilizaciji repera mora se prvenstveno voditi računa da je tijelo repera postavljeno u podlogu stabilnu u visinskom smislu,da je tačno definisana visina tačke,i da se na reper može priključiti nivelman.Reper se najčešće postavlja u objekte trajnog karaktera (uglavnom u temelj objekta).Ako nema stabilnih objekata reperi se postavljaju u betonske stubove ukopane u tlo.U tom slučaju se u stub pored glavnog repera postavi i pomoćni reper ,čija se visina određuje skupa sa glavnim reperom.