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GBT201 : Phénomènes d'échanges 2Coefficients d'échanges de masse 1 et 2 phases
Transport Phenomena: – Chapitre 22
• Section 22.1
• Section 22.2
• Section 22.3
• Section 22.4• Exercices
– 22A1, 22A2, 22A3– 22B1, 22B4, 22B5, 22B6
GCH205-GBT201 P. Proulx, prof. 5
La loi de Fick écrite pour une surface en y=0 (voir page 537 equation D de la table 17-8.2)
Si on raisonne comme pour le transfert de chaleur, on peut écrire cette expression comme une 'loi de l'évaporation de Newton'
N est un flux en moles /m2-s alors que W est un débit en moles/s. On a évidemment que N = W/A donc
N A0−xA0 N A0N B0=−c DAb
∂ xA
∂ y y=0
W A0−x A0W A0W B0=k xA A xA
N A0−xA0 N A0N B0=k xA xA
Section 22.1: définitions
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Comme on a défini le coefficient d'échange local h, on définit aussi le coefficient d'échange de masse local (laissons tomber l'indice A)
Maintenant, il faut introduire le concept de transfert thermique en présence de transfert de masse.
Le deuxième terme est important en présence de flux d'espèces ayant une grande différence de capacités thermiques.
N A0−xA0 N A0N B0=k x , loc x A
e0−(N A0~C pA ,0+N B0
~C pB ,0)(T 0−T ref )=hlocΔT
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On retrouve en général les coefficients de transfert de masse définis par rapport à des conditions de référence (faibles concentrations et faibles flux)
et le coefficient de transfert est modifié en fonction des conditions de flux et concentrations non-négligeables.
On constate bien que si xA0
tend vers 0, ou si NB0
= -NA0
:
N A0=k x , loc0 xA
k x, loc0 =
k x , loc
1−xA0 1N B0
N A0
k x, loc0 =k x , loc
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En transfert de masse, on peut définir les concentrations de multiples façons:
N A0=k x , loc0
Δ x A
nA0=k ρ ,loc0
ΔρA=ρk ρ ,loc0
ΔωA
N A0=k p ,loc0
Δ pA=p k p ,loc0
Δ xA
N A0=k c ,loc0
Δ c A=c k c ,loc0
Δ x A
Le coefficient k0 est le coefficient apparent de transfert de masse, qui inclut le terme de convection et est valide pour des flux de masse qui ne sont pas très élevés. Pour les cas de flux très élevés, on doit utiliser les corrections données à la section 22.8. On retrouve ces conditions pour des vitesses élevées.
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En transfert de masse, on peut définir les concentrations de multiples façons:
Il faut se rappeler que l'indice 0 dans veut dire que ce coefficient est valide pour de faibles flux et concentrations
k x ,loc0 →
molesm2 s
k ρ , loc0
→ms
k p ,loc0
→molesm2 s Pa
k c ,loc0
→ms
k x , loc0
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Dans des systèmes usuels de transfert de masse (colonnes garnies, bioréacteurs, milieux poreux, etc...), la surface entre les deux milieux échangeant de la matière est inconnue. Il est alors usuel de combiner la surface et le coefficient d'échange en un seul coefficient (k
xa). On mesure alors expérimentalement non
pas le coefficient d'échange mais le produit du coefficient multiplié par l'aire interfaciale.
Dans les sections suivantes, nous verrons beaucoup d'applications de ce coefficient combiné.
W A0=(k x , loc0 a)Δ xA S dz
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Le coefficient adimensionnel formé avec le coefficient d'échange est le nombre de Sherwood. Puisqu'il existe une variété de définitions du coefficient, le nombre de Sherwood prendra plusieurs formes aussi:
Sh=k x l0
c DAB
=kl0
DAB
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Section 22.2: expressions analytiques des coefficients de tdm
Absorption d'un gaz dans un film liquide ruisselant:
Dissolution d'une surface solide dans un film liquide ruisselant:
Shm=1.128 Re Sc12=
k c , m0 L
DAB
W A0=k c , m0 AC A
Shm=1.0173 L Re Sc
13=
k c ,m0 LDAB
W A0=k c ,m0 AC A
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Absorption d'un gaz d'une bulle de gaz se déplacant lentement dans un liquide:
Shm=0.6515Re Sc12=
k c ,m0 D
DAB
N A0 ,m=k c , m0
C A
Shm=0.991Re Sc13=
k c , m0 D
DAB
N A0=k c ,m0
C A
Dissolution d'une bille solide se déplacant lentement dans un liquide:
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Shm=0.620 Re12 Sc
13=
k c ,m0 D
DAB
N A0=k c ,m0
C A
Dissolution d'un disque solide tournant dans un liquide:
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Section 22.3, Corrélations expérimentales pour le coefficient de transfert de masse
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Section 22.3, Corrélations expérimentales pour le coefficient de transfert de masse
La première, une analogue de la classique corrélation de Ranz et Marshall pour le transfert de chaleur avec une sphère solide:
Num=20.6 Re12 Pr
13=
hm D
k
Shm=20.6 Re12 Sc
13=
k c , m D
DAB
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En transfert de masse, on utilise énormément les analogies avec le transfert de chaleur, ainsi tout le travail fait sur les géométries et conditions diverses étudiées au chapitre 14 sera directement transposable en utilisant les analogies de Chilton-Colburn.
Ainsi sur une surface plane:
Les coefficients de Chilton-Colburn sont définis:
jH ,loc= jD ,loc=12
f loc=0.332 Re x
−12
jH ,loc=Nuloc
Re Pr13
jD , loc=Shloc
Re Sc13
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22A1
a)
Re=V D
=4W D
La viscosité de l'air à 25 °C est de : 1.84 x 10 -5 kg/m sDonc Re=89 820 On peut utiliser la loi des gaz parfaits et trouver la densité de l'air à 2 atm et 25 °C. Donc on trouve le nombre de Schmidt : Sc=0.6.Donc on peut calculer le nombre de Sherwood:
Et kc = 0.0202 m/s
Notez bien la similitude de l'équation utilisée pour trouver Sherwood avec l'équation 14.3-16 pour trouver Nu
Sh=0.023Re0.83Sc0.444=0.023 [898200.83×0.60.44 ]=237
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22A1
b) On utilise alors les analogies de Chilton-Colburn jH = j
D
Au chapitre 14, on définit ce coefficient à la section 14.5
jH=2.19 Re-2/3 +0.78Re-0.381=j
D
Le nombre de Reynolds doit aussi être calculé pour un lit de particules,
Donc Re=10,778 et on calcule jH=0.0272.
On peut alors calculer le coefficient à partir des analogies du tableau 22.1-1
Re=6G0
a
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j D=k x
c v0
Sc23=
k c
v0
Sc23
Et pour calculer kc, il suffit maintenant de calculer la
vitesse superficielle de l'air. La vitesse superficielle dans une colonne garnie est définie comme la vitesse du fluide dans la colonne sans garnissage. Donc on trouvera facilement:
Et kc = 0.176 m/s
v0=
Wρ
πD2
4
=4.6m / s
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Exemple 22.3-1
Dans l'énoncé, on dit qu'une goutte de 500 microns de diamètre tombe à 2.15 m/sec.Le nombre de Reynolds est donc de 63. Vérifions si cette vitesse est la vitesse terminale de chute libre de la gouttelette. Le coefficient de trainée sur le graphe 6.3-1 ou par l'équation 6.3-16 donne f=1.34. Si la goutte est en chute libre, alors le bilan de forces sur la goutte est nul et on en déduit 6.1-7.
Utilisez cette vitesse pour vérifier si la vitesse de l'énoncé est raisonnable. Lisez attentivement la suite de cet exemple
f=43
gD
v∞2
donc v∞= 4 g D
3 f
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Exemple 22.3-2
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Exemple 22.3-2
Le bilan de chaleur est posé sur l'élément de volume cylindrique montré en mortaise sur la figure 22.3-2:
Deux contributions enthalpiques existent dans le système étudié ici, la chaleur sensible et la chaleur latente. Puisque la chaleur latente associée à l'évaporation de l'eau est tellement grande, on négligera ici la contribution de la chaleur sensible pour ne garder que la chaleur de vaporisation. Ainsi le bilan devient:
hm DLT∞−T 0=W A0 H A0− H A1
hm D LT∞−T 0=W A0 H vap
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Exemple 22.3-2
N A0−xA0 N A0N B0=k x , loc x A
Lecture de l'humidité relative à partir de thermomètres sec et humide.On démarre avec la définition de base qui vient du bilan de masse sur une surface.
On multiplie par la surface:
Cette surface est identifiée sur la figure 22.3-2
W A0−x A0W A0W B0=k x , loc A xA
W A0−x A0W A0W B0=k x , loc D L xA
W A0 1−x A0=k x, loc D L x A
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Exemple 22.3-2
Combinant les deux bilans pour éliminer le débit:
hm(πD L)(T∞−T 0)
Δ~H vap
=W A 0 et W A 0=k x , loc(πD L)Δ xA
1−xA 0
hm(T∞−T 0)
Δ~H vap
=k x , locΔ x A
1−xA 0
Δ xA
(T∞−T 0)(1−xA 0)=
hm
k xmΔ~H vap
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Exemple 22.3-2
En écrivant les termes de droite en fonction des nombres sans dimension Nusselt et Sherwood:
Le dernier terme à droite peut être exprimé en fonction de Prandtl et de Schmidt simplement en faisant:
Δ xA
(T∞−T 0)(1−xA 0)=
hm(Dk)
k xm(D
c DAB
)Δ~H vap
(kD)(
DcDAB
)=NuSh
1Δ~H vap
kcDAB
Δ xA
(T∞−T 0)(1−xA 0)=
NuSh
1Δ~H vap
kcD AB
( c~C p
ρ C̄ p)(μμ )
Δ xA
(T∞−T 0)(1−xA 0)=
NuSh
ScPr
~C p
Δ~H vap
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Exemple 22.3-2
Le terme de droite de l'expression obtenue comporte deux parties essentielles. Le rapport Nusselt/Sherwood constitue la première qui demande encore un peu de travail, alors que les termes Sc/Pr et le rapport de Cp et de la chaleur de vaporisation sont des termes qui peuvent facilement être obtenus à partir des propriétés.
Le rapport Nu/Sh est obtenu à partir de l'analogie entre les deux transferts (chaleur et masse), car on sait qu'on a presque toujours la forme:
Δ xA
(T∞−T 0)(1−xA 0)=
NuSh
ScPr
~C p
Δ~H vap
Nu=f RePrn et Sh=f ReScn doncNuSh
=Prn
Scn
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Exemple 22.3-2
Par exemple, pour un cylindre, si on reprend 14.4-7
Ce type de relation est presque indépendant de la géométrie. Il est important de noter que la fonction de Reynolds est la même pour Nusselt et Sherwood, de même pour la fonction des viscosité. L'expression développée à la page précédente devient:
Δ xA
(T∞−T 0)1−xA 0
=Prn
Scn
ScPr
~C p
Δ~H vap
doncΔ xA
(T∞−T 0)1−xA 0
=Sc1−n
Pr1−n
~C p
Δ~H vap
Num=(0.4 Re12+0.06 Re
23 )Pr0.4 (
μ∞μ0 )
14
on a bien Num= f 1(Re) f 2(μ)Pr n n=0.4
par analogie Shm= f 1(Re) f 2(μ)Scn n=0.4
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Exemple 22.3-2
Il ne reste qu'à mettre les valeurs numériques. Les données suivantes sont obtenues de tables thermodynamiques et du livre de Transport Phenonema. Regardez attentivement l'exemple 22.3-1, dans ce cas la température sèche est de 140°F et la température humide de 70°F. On trouve alors que la fraction molaire d'eau dans l'air ambiant est de 0.0033 alors que la saturation est de 0.0247 . Ceci donne donc une humidité relative de 13.3 %.
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22A2 on suggère d'utiliser n=0.44 dans l'expression obtenue à l'exmple 22.3-2
On utilise une température de film moyenne de 105 °F. On a pour l'exemple 22.3-2 la chaleur de vaporisation à 70 °F et la capacité calorifique à 105 °F. On devrait corriger la chaleur de vaporisation pour l'amener à 80 °F. Simplifions et supposons qu'elle est a la bonne température. Pour avoir x
sat, il faut aller
voir sur le graphe gentiment donné à la page 723 (ou référer à une table de vapeur), on trouve à 80 °F (26.5° C) environ 25 mm de Hg. La fraction molaire x
A0 est donc 0.031. Les nombres
de Sc et de Pr sont identiques à ceux de l'exemple 22.3-2 aussi.
Δ xA
(T∞−T 0)(1−xA 0)=
Sc0.56
Pr0.56
~C p
Δ~H vap
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22A2
C'est assez près de la réponse donnée par l'auteur, les approximations et arrondis faits sont probablement à la source de la petite différence...
Δ xA
(50)(1−0.0313)=
x A 0−x A ,∞
(50)(1−0.0313)=
0.580.56
0.740.56
6.9818900
donc Δ x A=0.0132 ou xA ,∞=0.0313−0.0132=0.0181
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Exercices ajoutés aux sections 22.1 à 22.3
2- Quel temps faudra-t-il à une goutte d'eau de 500 microns qui tombe dans de l'air à 20 °C et 20% d'humidité relative pour perdre 10% de son volume initial en négligeant l'effet du changement de son rayon sur le taux d'évaporation?
(densité air 1.24, viscosité air 0.000018, Sc=0.62, xsat
=0.0263,
DAB
=0.000026)
1- Quelle taille de bulles d'oxygène pur faut-il pour que leur temps de séjour dans une colonne d'eau de 1 m de hauteur soit de plus de 10 s?
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Bulle de gaz (A et B)
Liquide C dans lequel A est soluble
Interface gaz-liquide. On développe sur cette interface dans les prochains transparents
Section 22.4: Définition des coefficients 2 phases
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Liquide (solution de A dans un solvant non-volatile C)
Gaz Mélange de A et B
XAb
XA0
YA0
YAb
Interface gaz-liquide
Cette différence entre les 2 concentrations à l'interface est une conséquence de l'équilibre de phases
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Gaz: Mélange de A et B
YA0
YAb
NA0=k yloc0 yAb−yA0
Le flux molaire passant à l'interface du côté du gaz est donné par la relation suivante qui définit aussi le coefficient d'échange du côté gaz
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Liquide (solution de A dans un solvant non-volatile C)
XAb
XA0
NA0=k xloc0 xA0−xAb
Le flux molaire passant à l'interface du côté du liquide est donné par la relation suivante qui définit aussi le coefficient d'échange du côté liquide. Les deux flux sont évidemment égaux par conservation
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NA0=k xloc0 xA0−xAb
La grande difficulté de ces deux expressions est que les concentrations à l'interface demeure très difficile à mesurer.
Un point nous aidera ici: en général les taux de transfert aux interfaces sont assez faibles pour que l'équilibre existe entre le côté liquide et le côté gaz de cette interface.
NA0=k yloc0 yAb−yA0
On tentera alors de remplacer ces valeurs par quelque chose de plus facile à trouver
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xA
yA
xAe
xAb
xA0
yAb
yA0
yAe
N A0=kxloc0 (xA0−xAb)
N A0=kyloc0 (yAb−y A0)
Les coefficients définis “correctement” (kxloc
et
kyloc
) sont montrés ici sur la courbe d'équilibre:
ils sont définis dans une phase.
LIQUIDE
GAZmx
my
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xA
yA
xAe
xAb
yAb
yAe
NA0=Kxloc0 xAe−xAb
NA0=K yloc0 yAb−yAe
Les coefficients définis globalement sont montrés ici: ils sont définis de façon pratique en utilisant l'hypothèse d'équilibre à l'interface. En fait, ils utilisent les deux concentrations “bulk” mais en les ramenant à la même phase par la courbe d'équilibre
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xA
yA
xAe
xAb
yAb
yAe
NA0=Kxloc0 xAe−xAb
NA0=K yloc0 yAb−yAe
La convention d'utiliser Kyloc
vient du fait qu'on
base le coefficient sur la valeur connue et mesurable de y
Ab, la valeur y
Ae quant à elle est
déterminée à partir de xAb
.
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NA0=Kxloc0
xAe−xAb
NA0=K yloc0
y Ab−y Ae
Puisque les flux sont égaux, les quatres définitions sont reliées
NA0=kxloc0
xA0−xAb
NA0=k yloc0
y Ab−y A0
K yloc0
y Ab−y Ae=k yloc0
y Ab−y A0
Kxloc0
xAe−xAb=kxloc0
xA0−xAbLiquide
Gaz
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xA
yA
xAe
xAb
xA0
yAb
yA0
yAe
Courbe d'équilibre liquide-gaz
Pente mx
Pente my
mx=yAb−yA0
xAe−xA0
my=yA0−yAe
xA0−xAb
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xA
yA
xAe
xAb
xA0
yAb
yA0
yAe
Dans bien des cas, si on travaille dans une section restreinte du diagramme d'équilibre, les pentes m
x et m
y sont pratiquement égales.
my≈mx≈m≈yAb−yAe
xAe−xAb
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On veut éliminer les valeurs des concentrations et obtenir une relation impliquant seulement les coefficients et les pentes m
x et m
y.
On pose les relations définissant les flux
22.4-5
22.4-2
À partir de 22.4-5, on isole le ratio entre les coefficients 1-phase et 2-phases.
À partir de 22.4-2 on isole (XA0
-XAb
) et on remplace (2)
dans la relation (1) en utilisant la définition de mx (3) on
démontrera cette relation (22.4-9) qui ne dépend pas de la concentration mais seulement des paramètres thermodynamiques de la solution et des coefficients d'échanges. C'est ainsi une équation qui peut etre utilisée dans la conception de l'appareil de transfert sans connaissance à priori des concentrations réellement utilisées.
k xloc0
K xloc0 =
x Ae−x Ab
x A0−x Ab
K xloc0
x Ae−x Ab =k xloc0
x A0−x Ab
k yloc0
y Ab−y A0 =k xloc0
x A0−x Ab
x A0−x Ab =k yloc
0
k xloc0 y Ab−y A0
(1)
(2)
m x=y Ab−y A0
x Ae−x A0(3)
Démonstration de la relation 22.4-9
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kxloc0
Kxloc0 =
xAe−xAb
xA0−xAb
xA0−xAb=kyloc0
kxloc0 yAb−yA0
kxloc0
Kxloc0 =
xAe−xAbyAb−yA0
kxloc0
kyloc0
kxloc0
Kxloc0 =
xAe−xAbyAb−yA0
kxloc0
kyloc0 xAe−xA0xAe−xA0
kxloc0
Kxloc0 =
xAe−xAb
mx
kxloc0
kyloc0
1xAe−xA0
mx=yAb−yA0
xAe−xA0
Démonstration de la relation 22.4-9
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kxloc0
Kxloc0 =
xAe−xAbmx
kxloc0
kyloc0
1xAe−xA0
kxloc0
Kxloc0 =
xAe xA0−xA0 −xAbmx
kxloc0
kyloc0
1xAe−xA0
kxloc0
Kxloc0 =
xAe−xA0xA0−xAb
mx
kxloc0
k yloc0
1xAe−xA0
kxloc0
Kxloc0 =
1mx
kxloc0
kyloc0
xA0−xAbmx
k xloc0
k yloc0
1xAe−xA0
kxloc0
Kxloc0 =
1mx
kxloc0
k yloc0 1
Démonstration de la relation 22.4-9
kxloc0
kyloc0 =
yAb−yA0
xA0−xAb
De 22.4-2
mx=yAb−yA0
xAe−xA0
Et sachant:
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Utilité et signification de la relation 22.4-9
kxloc0
Kxloc0 =
1m x
kxloc0
k yloc0 1
Kxloc0 =
11kxloc0
1m x
1k yloc0
Lorsque le facteurest largement inférieur à 1, le coefficient 1 phase est égal au coefficient 2 phases. Donc queCe qui implique par conséquent que la concentration dans le gaz est uniforme et la résistance au transfert se situe dans le liquide
1mx
kxloc0
k yloc0
xA0−xAb≈xAe−xAb ou xA0≈xAe
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Exemple 22.4-1kxloc0 ≈kxloc=cl√4 DAB
πtet kyloc
0 ≈kyloc=cg√4 DAC
πt
Azote
Eau contenant de l'oxygène
Données:
Solubilité de l'oxygène dans l'eau à 760 mm Hg de pression partielle d'O
2: CO2=0.00138
Pression partielle d'eau dans l'oxygène à 760 mm Hg: 17.535
Pression d'opération: 777.5 mm Hg
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Exemple 22.4-1kxloc0 ≈kxloc=cl√4 DAB
πtet kyloc
0 ≈kyloc=cg√4 DAC
πt
Afin d'estimer l'importance relative des deux coefficients, on utilise le coefficient de la relation 22.4-9
Le coefficient à droite de l'égalité nous indique l'importance relative de ces deux valeurs, donc il faut évaluer:
puisqu'on connait les relations données ci-haut:
d'une façon générale, c=ρ/Mc
l= 1000 / 18 (concentration molaire de l'eau) = 55.5
cg=p /RT = 0.0425 kg-mole/m3
k xloc0
Kxloc0 =
1m x
k xloc0
k yloc0 1
1mx
kxloc0
kyloc0 =
1m
cl√4 DAB
πt
cg√4 DAC
π t
1m x
k xloc0
k yloc0
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Exemple 22.4-11mx
kxloc0
kyloc0 ≈
1m
cl√4 DAB
πt
cg√4 DAC
πt
Pour déterminer m maintenant:
m=y O 2
xO 2
=
pO 2
p T
c O 2
c l
=
760777,50,0013855,5
=39312
Donc 1/m = 2.54e-5:
Il s'agit maintenant de mettre les valeurs et on trouve
ce qui nous indique que Kx~ k
x, donc que la
résistance au transfert est seulement dans le liquide.
1m
k xloc0
k yloc0 =3.32 e−4
c l
m=k H
cl est la concentration etk H la constante de Henry
souvent enlitre atmosphere par mole
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Utilisation des coefficients 2 phases moyennés sur une surface
NA0=Kxloc0
xAe−xAb Valide localement
NA0m=1S∫S
Kxloc0 xAe−xAbdS Somme sur toute la surface
N A0 m=1S ∫S
11
k xloc0
1m x
1k yloc
0
x Ae−x Ab dS En remplaçant par la relation 22.4-9
NA0m=K xm0 xAe−xAb
En supposant les fractions molaires constantes et en définissant le coefficient moyen
K xm0=1S∫S
11
k xloc0
1mx
1k yloc
0
dS
K xapprox0
≈1
1k xm
0 1m x
1k ym
0
En calculant le coefficient moyen à partir des coefficients 1-phase moyens (ce n'est alors qu'une approximation).
GCH205-GBT201, P. Proulx, prof 53
Problèmes suggérés:
22B5 Corrigé: utilisez 6.1-7 et 6.3-16 pour trouver la vitesse, utilisez ensuite 22.3-21 pour trouver le coefficient d'échange à 1 phase. Le nombre de Schmidt est trouvé facilement, donc on peut trouver le coefficient k
c. Le flux sera donc trouvé facilement en appliquant
une des définitions données à la section 22.1
22B6Réfléchissez bien