• La descripción cualitativa del campo eléctrico E mediante líneas de fuerza está relacionada con una ecuación matemática llamada ley de Gauss, que relaciona el E sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie

+

s E·dS Qencerrada

• Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita. Supóngase una superficie de forma arbitraria que incluya un dipolo eléctrico.

+ -

•El número de líneas que salen de la carga positiva y cruzan la superficie depende de dónde se dibuje la superficie, pero es exactamente igual al de líneas que entran en el mismo recinto y terminan en la carga negativa.

• Si se cuenta el número que sale como positivo y el número que entre como negativo, el número neto que sale o entra es cero. Sin embargo para otras distribuciones de carga se tendría lo siguiente

+2q -q

El número neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Las líneas de campo que terminan en –q o no pasan a través de la superficie o salen y vuelven a entrar. Por lo que este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss.

• La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico ()

S

E Aquí se muestra un área S perpendicular a un campo eléctrico uniforme E. El flujo eléctrico que atraviesa una superficie de área S que es perpendicular al campo se define como el producto del campo E por el área S: = E·S. Las unidades son N·m2/C.

= E·S = |E|·|S| cos 0º = E·S

Como el campo eléctrico es proporcional al número de líneas por unidad de superficie, el flujo es proporcional al número de líneas de fuerzas que atraviesan la superficie.

• Si la superficie tiene una cierta inclinación se tiene lo siguiente

S1S2

E

nS2 = S2·n

S1 = S1·n

cos = S1·n

S2·n

S1 = S2 cos

La superficie S2 no es perpendicular al campo eléctrico E. El número de líneas que atraviesan la superficie S2 es el mínimo que atraviesa la superficie S1. Por lo que las superficies están relacionadas por:

S1 = S2 cos donde es el ángulo existente entre E y el vector unitario n perpendicular a la superficie S2, según viene indicado. El flujo a través de una superficie no perpendicular a E viene definido por:

= E·S1·n = E·S2·n cos = E·S cos = En·Sdonde En = E·n es el componente del vector del campo eléctrico perpendicular, o normal, a la superficie.

• Se puede generalizar la definición de flujo eléctrico a superficies curvadas en las cuales E puede variar tanto de módulo como de dirección, o ambos a la vez, dividiendo la superficie en un número de elementos muy pequeños. Si cada elemento(Si )es suficientemente pequeño, puede considerarse como un plano y puede despreciarse la variación del campo eléctrico en todo el elemento.

ni

Si

E

ni es el vector unitario perpendicular a dicho elemento y Si es la superficie del elemento. Los vectores unitarios ni tendrán direcciones diferentes en el caso de elementos distintos.

El flujo es i = E·ni·Si y el flujo total es la suma de i extendida a todos los elementos de superficie. En el límite en que el número de elementos se aproxima a infinito y la superficie de cada elemento tiende a cero, esta suma resulta ser una integral. Por lo que el flujo eléctrico es:

= lim Si0 iE·n· Si = E·n·ds.

En una superficie cerrada, el vector n se define de modo que está dirigido hacia fuera en cada punto. En un punto donde una línea sale de la superficie, E está dirigido hacia fuera y es positivo, y al contrario, E está dirigido hacia dentro y es negativo. Por lo que El flujo total neto será positivo o negativo. Puesto que es al número de líneas que atraviesan la superficie, neto es al número de líneas de fuerza que salen de la misma menos el número de las que entran. El flujo neto en una superficie cerrada es :neto = s E·n·ds =s En·ds

+

ds

Q

R

En una esfera de radio R con su centro en la carga puntual Q, el mismo número de líneas de E que pasa a través de la superficie, atraviesa cualquier superficie que incluya Q. E en un punto cualquiera de la superficie es a la misma con magnitud En = kQ/R2. El flujo neto a través la esfera es neto = s En·ds = En s ds, donde En ha salido de la integral porque es cte en todos los puntos. La integral ds extendida a la superficie es el área total 4R2. Con este valor y sustituyendo kQ/R2 por En se obtiene:

neto = kQ4R2/R2 = 4kQ

En

El flujo neto a través de una superficie cualquiera que rodea una carga puntual Q es independiente de la forma y es igual a 4kQ. Ampliando este resultado a sistemas de más de una carga puntual se tiene lo siguiente

+

++ q1

q2

q3

Puesto que E en cualquier punto de la superficie es la suma de los mismos producidos por las 3 cargas, el flujo neto a través de la superficie es la suma de los flujos. El flujo de q3 es cero debido a que cada línea de fuerza procedente de la carga que entra en la superficie en un punto abandona la misma en algún otro punto. El número neto de líneas procedentes de la carga exterior es cero. El de q1 es 4kq1 y el de q2 es 4kq2, por lo que neto = 4k(q1+q2) que puede ser positivo, negativo o cero dependiendo de los signos y valores de las 2 cargas.E = E1 + E2 + E3

= 1 + 2 = 4k(q1+q2)

3 = 0

Por lo tanto se puede concluir que el flujo neto a través de cualquier superficie es igual a neto = s En·ds = 4kQdentro que es la ley de Gauss. Su validez depende del hecho de que el E debido a una carga puntual aislada varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la carga. Es costumbre escribir la cte de Coulomb k en función de otra cte 0 (permitividad del vacío): k = 1/ 4 0. Con lo que la ley de Gauss se escribe:

neto= s En·ds = Qdentro/ 0

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente utilizando el concepto de ángulo sólido. Supóngase un elemento de superficie S sobre una superficie esférica.

El ángulo sólido subtendido por S en el centro de la esfera se define como = S/r2, siendo r el radio de la esfera. Puesto que tanto S como r2 tiene dimensiones de longitud al cuadrado, el ángulo sólido es adimensional. La unidad del ángulo sólido es el estereorradián (sr). Como el área total de una esfera es 4r2, el ángulo sólido total subtendido por una esfera es :

4r2/r2 = 4 sr

r

S

Existe una estrecha analogía entre el ángulo sólido y el ángulo ordinario, que se define como el cociente de un elemento de longitud de arco de circunferencia S dividido por el radio de la misma:

= S/r

Sr

El ángulo plano total subtendido por un círculo es 2 radianes

Vamos a hacer un análisis del elemento de superficie S de la esfera

r

El elemento de área S no es perpendicular a las líneas radiales que salen de 0. El vector unitario n normal al elemento de área forma un ángulo con el vector radial unitario r. En este caso, el ángulo sólido subtendido por s en el punto 0 está definido por

= S·n·r/r2= scos/r2

scos

n

r

s

Veamos los resultados que se obtienen para una carga puntual q rodeada de una superficie de forma arbitraria. Para calcular el flujo que atraviesa esta superficie, debemos hallar E·n·S para cada elemento de área de la superficie y sumar respecto a la superficie completa.

+q

n

ES

El flujo a través del elemento de superficie indicada es: = E·n·S = kq·r·n·S/r2 = kq El ángulo sólido es el mismo que el subtendido por el elemento de área correspondiente de una superficie esférica de cualquier radio. La suma del flujo que atraviesa la superficie entera es kq veces el ángulo sólido total subtendido por la superficie cerrada, que es 4 estereorradianes:

neto = s E·n·ds = kq d = q/0

que es la ley de Gauss

La fuente fundamental de los campos magnéticos es la corriente eléctrica, estos no se originan o terminan en puntos del espacio (líneas de campo eléctrico), sino forman bucles cerrados que rodean la corriente. Existe una ecuación para el campo magnético análoga a la ley de Gauss del campo eléctrico, llamada ley de Ampére.

Esta ley relaciona el componente tangencial de B, sumando alrededor de una curva cerrada C con la corriente Ic(corriente neta) que pasa a través de la curva. En forma matemática la ley de Ampére es c B·dl = 0Ic

Válida para cualquier curva C en tanto las corrientes sean continuas (no comiencen o terminen en cualquier punto) y en situaciones de gran simetría (c B·dl = B·L)

La aplicación más simple de la ley de Ampére es la determinación del campo magnético creado por un conductor infinitamente largo y rectilíneo portador de una corriente.

r

Ic

B

dl

Si suponemos que estamos lejos de los extremos del conductor, podemos usar la simetría para eliminar la posibilidad de cualquier componente de B paralelo al conductor. Suponemos que el campo magnético es tangente a este círculo y posee la misma magnitud B en cualquier punto del círculo. La ley de Ampére nos dará: cB·dl = cB·dl·cos = B cdl = 0Ic, en donde se ha tenido en cuenta que B tiene el mismo valor en todos los puntos del círculo. La integral de dl alrededor del círculo es igual a 2r y la intensidad Ic es la que corresponde al conductor. Así se obtiene

B(2r)=0I B= 0I/ 2r

Vamos a calcular el campo magnético de un toroide, formado por espiras de conductor arrolladas alrededor de una figura en forma de neumático

I

I

r

a

b

Tenemos N vueltas de conductor, cada una transportando una corriente I. Para calcular B, determinaremos la integral de línea c B·dl alrededor de una circunferencia de radio r centrada en el centro del toroide. Por simetría, B es tangente y constante en magnitud en todos los puntos del círculo. Por tanto, B·dl=B2r=0Ic. La corriente total a través del círculo de radio r para a < r < b es NI con lo que queda: B=0NI/2rB=0 para r <a ó r > b

Para r < a, no existe IPara r > b, I = Ientra-Isale=0

La ley de Ampére puede utilizarse también para determinar una expresión del campo magnético dentro de un solenoide estrechamente arrollado, suponiendo que el campo es uniforme dentro del solenoide y nulo en el exterior.

B

a

bIexterior

Iinterior

Escogemos el rectángulo de lados a y b para nuestra curva cerrada C. La corriente que pasa a través de esta curva es la I de cada vuelta multiplicada por el número de vueltas existentes en la longitud de a. Si el solenoide tiene n vueltas por unidad de longitud, el número de vueltas en la longitud a será “n·a” y la corriente a través de la curva rectangular será Ic=naI. La única contribución a la suma de la integral B·dl para esta curva es a lo largo del lado mayor del rectángulo dentro del solenoide, que vale “B·a”. La ley de Ampére nos da B·dl = Ba = 0Ic = 0naI. Por lo que B dentro del solenoide es B= 0nI

Sin embargo la ley de Ampére tiene algunas limitaciones. Hay situaciones en las que no hay simetría y el campo magnético no se mantiene uniforme y constante tanto en módulo como en dirección.

I

C

l

P

r

C I

Es válida para la curva C pero B no es cte ni tg a ella

En la mediatriz de un segmento de corriente finita da un resultado incorrecto

P

r

C I

+ -

Si el segmento de corriente es una parte de un circuito completo, es correcta la ley para la curva C, pero no existe simetría suficiente para aplicarla.

P

r

C I+ -

P2P1

-Q+Q

Si el segmento es debido a un flujo momentáneo de carga, no es válida porque la I no es continua en el espacio