“METODO GAUSS JORDAN PARA

LA SOLUCION DE

SISTEMAS DE ECUACIONES”

MATEMATICAS PARA NEGOCIOS

ING. SONIA ZAZUETA LOPEZ

SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES

POR EL METODO GAUSS-JORDAN

Una matriz de un sistema de ecuaciones es un arreglo rectangular de “m”numero de renglones y “n” número de columnas, donde cada renglón representa los coeficientes de las variables de las ecuaciones lineales y cada columna los coeficientes de cada variable en todas las ecuaciones. Si la matriz solo tiene los coeficientes del sistema, se llama matriz de

coeficientes del sistema y si la matriz tiene una columna extra con los términos independientes, entonces se llama matriz ampliada.

Por ejemplo, los coeficientes del sistema:

5432

023

42

6322

4321

4321

4321

4321

−=+++

=+−−

−=+−+

=−++

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

SZL

5432

023

42

6322

4321

4321

4321

4321

−=+++

=+−−

−=+−+

=−++

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Se pueden escribir como los elementos de la matriz A de coeficientes del sistema:

−−

−

−

=

4132

2113

1112

3221

A

SZL

Mientras que todo el sistema se escribe como la matriz ampliada:

−

−−

−−

−

=

54132

02113

41112

63221

A

Donde cada renglón representa cada una de las ecuaciones del sistema, mientras que cada columna representa los coeficientes de una misma variable en todas las ecuaciones.

Las operaciones elementales con renglones para resolver un sistema de ecuaciones por el método del eliminación Gauss- Jordan son:

1. Multiplicar un renglón por un número diferente de cero

2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón

3. Intercambiar dos renglonesSZL

A este proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.

Para ilustrar las operaciones que se realizan en una matriz, se utiliza la siguiente notación:

1. Ri → cRi .- significa “reemplaza el i-ésimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por c”.

2. Rj → Rj + cRi .- significa “sustituye el j-ésimo renglón por la suma del renglón j mas el renglon i multiplicado por c”.

3. Ri ↔ Rj .- significa “intercambia los renglones i y j”.

4. A → B .- indica que las matrices A y B son equivalentes, es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.

Mediante estas operaciones elementales se tiene que llegar a A=I, es decir, convertir la matriz A en matriz identidad para resolver el sistema

SZL

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método Gauss-Jordan:

423

24654

18642

321

321

321

=−+

=++

=++

xxx

xxx

xxx

La matriz aumentada se forma escribiendo los coeficientes de lasecuaciones de la siguiente manera: cada fila o renglón de la matriz representa una ecuación y cada columna los coeficientes de la misma variable. Así la matriz aumentada del sistema es:

−

=

4213

24654

18642

A

Para obtener un 1 en la primer entrada de la matriz (a11) dividimos el renglón 1 entre 2 y los sustituímos

( )9321)2/1( 11 =→ RRSZL

SZL

−

=

4213

24654

9321

A

Ahora sustituyamos el segundo renglón por el segundo renglón menos cuatro veces el primer renglon para hacer cero la entrada a21:

126-3-0

36-12-8-4

24654

4

4

122

1

2

−

−

−→

−

RRR

R

R

−

−−−=

4213

12630

9321

A

Para lograr que en la primer entrada del tercer renglón sea cero, necesitamos que el tercer renglón sea sustituído por el tercer renglón menos tres veces el primero

2311-5-0

27-9-6-3

4213

3

3

133

1

3

−

−

−

−→

−

RRR

R

R

−−−

−−−=

231150

12630

9321

A

Para convertir el segundo término del segundo renglón en 1, dividimos el segundo renglon entre –3.

( )4210)3/1( 22 =−→ RR

−−−

=

231150

4210

9321

A

SZL

Para convertir en cero la segunda entrada del primer renglón, sustituimos el primer renglón menos dos veces el segundo renglón

11-01

8-4-2-0

9321

2

2

211

2

1

RRR

R

R

−→

−

−−−

−

=

231150

4210

1101

A

Podemos deshacernos del –5 del tercer renglón si sustituimos al tercer renglón por el tercer renglón mas 5 veces el segundo renglón

31-00

201050

231150

5

5

233

2

3

−

−−−

+→ RRR

R

R

SZL

−−

−

=

3100

4210

1101

A

La tercera entrada del tercer renglón se convierte en 1 si se multiplica todo el tercer renglón por –1

( )3100)1( 33 =−→ RR

−

=

3100

4210

1101

A

Para eliminar el –1 del primer renglón reemplazamos el primer renglón por el primer renglón mas el tercero

4001

3100

1101

311

3

1 −

+→ RRR

R

R

SZL

SZL

=

3100

4210

4001

A

Para eliminar el 2 del segundo renglón, reemplazamos el segundo renglón por el segundo renglón menos dos veces el tercero

2010

6-2-00

4210

2

2

322

3

2

−−→

−

RRR

R

R

−=

3100

2010

4001

A

A esta última matriz se le conoce como matriz escalonada y corresponde al sistema equivalente:

3)1()0()0(

2)0()1()0(

4)0()0()1(

321

321

321

=++

−=++

=++

xxx

xxx

xxx

Haciendo las multiplicaciones por cero y por uno se simplifica:

3 ,2 ,4 321 =−== xxx

Que es la solución al sistema

SZL