Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

1

1

กฏของกาซ

Gas Law

เนื้อหาในบทเรียน

1. กฎของกาซ

1.1 กฎของบอยล

1.2 กฎของชารลส

1.3 กฎของเกย ลุสแซก

2. สมมติฐานของอาโวกาโดร

3. แบบจําลองและทฤษฎีจลนของกาซอุดมคต ิ

3.1 แบบจําลองของกาซอุดมคติ

3.2 ทฤษฎีจลนของกาซ

4. อัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลกาซ 5. พลังงานจลนเฉลี่ยและพลังงานภายในระบบของ โมเลกุลกาซอุดมคติ 6. การแจกแจงพลังงานและความเร็วในโมเลกุลกาซ 7. สมการของแวนเดอรวาลส

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

2

2

กาซประกอบดวยอนุภาคเล็กมากจํานวนมากมาย โดยแตละอนุภาคเรียกวาโมเลกุล โดยโมเลกุลของกาซจะอยูหางกันมากกวาโมเลกุลของของแข็งและของเหลว เน่ืองจากแรงยึดเหน่ียวระหวางโมเลกุลของกาซมีคานอยมาก ทําใหโมเลกุลของกาซเคล่ือนที่ตลอดเวลา โดยมีทิศทางไมแนนอน กาซสามารถฟุงกระจายไดงาย ความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิมีผลทําใหสมบัติตาง ๆ ของกาซเปล่ียนไป

1. กฎของกาซ

ในการศึกษาเกี่ยวกับสมบัติของกาซ เราสามารถจัดแบงกาซออกเปน 2 ชนิด คือ

• กาซอุดมคติ (Ideal Gas) หมายถึง กาซที่ถูกสมมติขึ้นเพ่ือใชอธิบายคุณสมบัติตาง ๆ ของกาซโดยไมวาที่สภาวะใดก็ตามกาซนี้จะเปนไปตามกฎตางๆ ของกาซ ซ่ึงกาซนี้ไมมีอยูจริงในธรรมชาติ

• กาซจริง (Real Gas) หมายถึง กาซที่มีอยูทั่วไปในธรรมชาติ เชน O2 , CO2 เปนตน โดยกาซน้ีไมเปนไปตามกฎของกาซ ยกเวนเมื่ออุณหภูมิสูงและความดันตํ่า กาซจริงจะมีสมบัติใกลเคียงกับกาซอุดมคติ

ซ่ึงในการอธิบายกฎตาง ๆ ของกาซ นักวิทยาศาสตรหลายทานไดทําการทดลองและใช

กาซอุดมคติในการอธิบาย ดังน้ี

1.1 กฎของบอยล (Boyle’s Law) เปนกฎที่ใชอธิบายความสัมพันธระหวางความดันและ

ปริมาตรของกาซ โดยผูที่คนพบกฎน้ีคือ โรเบริต บอยล (Robert Boyle) พบวา “เมื่ออุณหภูมิและมวลของกาซคงที่ ความดันสัมบูรณของกาซจะแปรผกผันกับปริมาตรของกาซ” หมายความวา เมื่อความดันสัมบูรณมีคาเพ่ิมขึ้น จะมีผลทําใหปริมาตรของกาซลดลง ดังรูปที่ 13.1

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

3

3

P

V1

รูปท่ี 1 แสดงการทดลองของบอยล

ถาให P แทนความดันสัมบูรณของกาซ , V แทนปริมาตรของกาซ และ T แทนอุณหภูมิของกาซจะได

ท่ี T คงที่ P α V1

หรืออาจเขียนไดวา PV = k เมื่อ k แทนคาคงที่ โดยจะพบวาท่ีอุณหภูมิคงท่ี ผลคูณระหวางความดันสัมบูรณกับปริมาตรของกาซใด ๆ มีคาคงที่ ซ่ึงถาความดันของกาซเปลี่ยนแปลงจาก P1 เปน P2 ปริมาตรของกาซจะเปลี่ยนจาก V1 เปน V2 จะได P1V1 = P2V2 (1)

1.2 กฎของชารลส (Charles’s Law) เปนกฎที่ใชอธิบายความสัมพันธระหวางปริมาตร

และอุณหภูมิของกาซ โดยผูที่คนพบกฎนี้คือ Jacques Charles พบวา “ถาใหความดันและมวลของกาซคงที่ ปริมาตรจะแปรผันตรงกับอุณหภูมิองศาสัมบูรณของกาซ” สามารถเขียนความสัมพันธไดดังน้ี ท่ี P คงที่ V α T

โดยที่ kTV

= ซ่ึง k เปนคาคงที่ เมื่อความดันและมวลของกาซคงที่ ถาปริมาตรของกาซ

เปลี่ยนจาก V1 เปน V2 และอุณหภูมิของกาซเปล่ียนจาก T1 เปน T2 จะได

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

4

4

1

1

TV =

2

2

TV (2)

V T(K)

รูปท่ี 13.2 แสดงการทดลองของชารลส

1.3 กฎของเกย ลุสแซก (Gay Lussac’s Law) เปนกฎที่ใชอธิบายความสัมพันธระหวาง

ความดันและอุณหภูมิของกาซ โดยผูที่คนพบกฎนี้คือ Gay Lussac พบวา “ถาใหปริมาตรและมวลของกาซคงที่ ความดันจะแปรผันตรงกับอุณหภูมิองศาสัมบูรณของกาซ” สามารถเขียนความสัมพันธไดดังน้ี

V คงท่ี P α T

โดยที่ kTP= ซ่ึง k เปนคาคงที่ เมื่อปริมาตรและมวลของกาซคงที่ ถาความดันของกาซ

เปลี่ยนจาก P1 เปน P2 และอุณหภูมิของกาซเปลี่ยนจาก T1 เปน T2 จะได

1

1

TP =

2

2

TP (3)

เมื่อรวมกฎของบอยล ชารลส และเกย ลุสแซก เขาดวยกัน จะไดความสัมพันธระหวางความดัน ปริมาตรและอุณหภูมิของกาซเมื่อมวลของกาซมีคาคงที่ ดังน้ี

PV α T

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

5

5

หรืออาจเขียนไดวา

T

PV = k (4)

โดยที่ k เปนคาคงที่ จากการทดลองพบวา กาซทุกชนิดที่ S.T.P. ( T = 273 K , P = 1.013 x 105 N/m2 ) กาซ 1 โมล จะมีปริมาตร(V) 22.4 x 10-3 m3 ถาคิดที่กาซ n โมล จะมีปริมาตร 22.4x10-3 n m3 เมื่อแทนคาในสมการที่ (13.4) จะได

k = )273(

)104.22)(/10013.1( 3325

KmnxmNx −

ดังน้ัน k = 8.314 n J/mol.K ถาให R = 8.314 J/mol.K แทน คาคงที่สากลของกาซ (Universal gas constant) สมการที่ (4) สามารถเขียนไดใหมเปน

PV = nRT (5) เมื่อ P เปนความดัน มีหนวยเปนนิวตันตอตารางเมตร (N/m2) V เปนปริมาตร มีหนวยเปนลูกบาศกเมตร (m3)

T เปนอุณหภูมิ มีหนวยเปนเคลวิน (K) n เปนจํานวนโมล มีหนวยเปนโมล (mol)

R เปนคาคงที่สากลของกาซ มีคา 8.314 J/mol.K

( คําแนะนํา: จํานวนโมล ( n ) = Mm โดยท่ี m แทนมวลของกาซในหนวยกรัม และ M แทน

มวลโมเลกุลของกาซในหนวยกรัมตอโมล ) เรียกสมการที่ (5) วา กฎของกาซอุดมคติ (Ideal gas law) หรือ สมการสถานะของกาซอุดมคติ

(Equation of state for an ideal gas) ซ่ึงสมการน้ีแสดงความสัมพันธของปริมาณทั้งสามคือความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิ โดยพิจารณาที่จํานวนโมลของกาซ

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

6

6

ถาใหกาซจํานวน 1n โมล เปลี่ยนเปน 2n โมล ความดันของกาซเปลี่ยนจาก P1 เปน P2 ปริมาตรของกาซเปลี่ยนจาก V1 เปน V2 และอุณหภูมิของกาซเปลี่ยนจาก T1 เปน T2 จะได

11

11

TnVP =

22

22

TnVP (6)

ถา Mmn 1

1 = และ Mmn 2

2 = โดย 1m และ 2m แทนมวลของกาซในหนวยกรัม และ M

แทนมวลโมเลกุลของกาซในหนวยกรัมตอโมล สมการที่ (6) เขียนใหมไดเปน

11

11

TmVP =

22

22

TmVP (7)

แตถากาซมีมวลคงที่ ( 1m = 2m ) จะได

1

11

TVP =

2

22

TVP (8)

สมการขางตนจะใชคํานวณหาคาความดัน ปริมาตรและอุณหภูมิ เม่ือเปล่ียนจากสภาวะ

หน่ึงไปสูอีกสภาวะหนึ่ง

ตัวอยางที่ 1 ออกซิเจน 1 m3 ที่ 00C ภายใตความดัน 76 N/m2 มีมวล 1.429 กรัม จงหามวลของออกซิเจน 1 m3 ที่ 150 0C ความดัน 57 N/m2 วิธีทํา จากสมการที่ (13.7)

11

11

TmVP =

22

22

TmVP

( ) )273(10429.1)1)(/76(

3

32

KkgxmmN

− = )273150()1)(/57( 32

KmmmN

+

m = 0.691x10-3 kg = 0.691 กรัม ตอบ

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

7

7

ตัวอยางที่ 2 ยางรถยนตถูกเติมลมจนมีความดัน 200 kPa ที่ 100C หลังจากขับไปได 100 km อุณหภูมิภายในยางเพิ่มเปน 400C จงหาความดันภายในยางที่อุณหภูมิ 400C

วิธีทํา จากสมการที่ (13.8) 1

11

TVP =

2

22

TVP

เน่ืองจากปริมาตรกาซคงที่ )( 21 VV = ดังน้ันจะได

1

1

TP =

2

2

TP

K

kPa

)27310(200+

= K

P)27340(

2

+

2P = )283(

)313)(200(K

KkPa = akP2.221

ความดันภายในยางที่อุณหภูมิ 400C มีคา 221.2 kPa ตอบ ตัวอยางที่ 3 ถังบรรจุจะตองมีปริมาตรก่ีลูกบาศกเมตร จึงจะสามารถบรรจุกาซ 1 โมล ที่ S.T.P. วิธีทํา กาซ 1 โมลที่ S.T.P. คือ ที่ความดัน (P) 1.013 x 105 N/m2 และอุณหภูมิ 273 K จาก PV = nRT (1.013x105N/m2) V = (1 mol)(8.314 J/mol.K)(273 K)

V = 0.0244 m3 ตอบ

2. สมมติฐานของอาโวกาโดร (Avogadro’s hypothesis)

ในป ค.ศ. 1811 อาเมเดโอ อาโวกาโดร ไดศึกษาปริมาตรของกาซมีความสัมพันธกับจํานวนอนุภาคของกาซ จึงไดตั้งสมมติฐานขึ้นดังน้ี “กาซท่ีมีปริมาตรเทากัน ท่ีอุณหภูมิและความดันเดียวกัน จะมีจํานวนโมเลกุลเทากัน” จํานวนโมเลกุลในหน่ึงโมล เรียกวา เลขอาโวกาโดร (Avogadro’s number) แทนดวย NA โดยที่

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

8

8

NA = 6.02 x 1023 โมเลกุล / โมล ถาให N เปนจํานวนโมเลกุลทั้งหมดของกาซในปริมาตรที่พิจารณา จะไดวา N =

AnN

ดังน้ัน จํานวนโมล ( n ) จะสัมพันธกับจํานวนโมเลกุล( N ) และเลขอาโวกาโดร(NA) ดังน้ี

n = AN

N (9)

จากกฎของกาซอุดมคติ ในสมการที่ (5) แทนคา n ในสมการที่ (9) ลงไป เขียนใหมไดเปน

PV = RTNN

A

หรือ PV = TNkB (10)

โดยที่ N แทน จํานวนโมเลกุลของกาซ หนวยเปนโมเลกุล

Bk แทน คาคงตัวของโบลตมานต (Boltzmann’s constant) โดยที่

Bk = AN

R = 123 )(1002.6)./(314.8−molx

KmolJ = 1.38 x10-23 J/K

ตัวอยางที่ 4 จงหาจํานวนโมเลกุลและจํานวนโมลของกาซท่ีอยูในภาชนะที่มีปริมาตร 1 m3 ที่ความดันบรรยากาศ 1 บรรยากาศ อุณหภูมิ 00 C วิธีทํา โจทยกําหนดให V = 1 m3 , P = 1 atm = 1.013 x105 N/m2 , T = 273 K คํานวณหาจํานวนโมเลกุลได จากสมการที่ (13.10) PV = TNkB (1.013 x105 N/m2)( 1 m3) = N (1.38 x 10-23J/K)(273 K)

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

9

9

N = 2.69 x 1025 โมเลกุล ตอบ

จํานวนโมล n = AN

N = molmoleculesx

moleculesx/1002.6

1069.223

25

= 44.7 mol ตอบ

3. แบบจําลองและทฤษฎีจลนของกาซอุดมคติ

3.1 แบบจําลองของกาซอุดมคติ ในการศึกษาเกี่ยวกับกาซ นักวิทยาศาสตรไดสรางแบบจําลองของกาซอุดมคติ โดยมี

นิยามของแบบจําลองกาซดังน้ี 1. โมเลกุลหน่ึง ๆ ของกาซอุดมคติเปนมวลทรงกลมขนาดเล็ก ๆ ซ่ึงมีคาพลังงานภายใน

เปนพลังงานจลนเชิงเสนอยางเดียวเทาน้ัน และระหวางโมเลกุลเปนที่วางมากทําใหแรงดึงดูดระหวางโมเลกุลมีคานอยมากจนตัดท้ิงได

2. ปริมาตรของโมเลกุลของกาซอุดมคติมีคานอยมาก เมื่อเทียบกับปริมาตรของกาซใน ภาชนะ

3. โมเลกุลท้ังหลายของกาซอุดมคติน้ันมีการเคล่ือนที่อยางอิสระไมเปนระเบียบ เรียกการเคลื่อนที่แบบนี้วา การเคลื่อนที่แบบบราวเนียน (Brownian Motion) โดยการเคลื่อนท่ีเปนไปตามกฎขอที่ 2 ของนิวตัน โดยเมื่อโมเลกุลของกาซเกิดการชนกันแลว อัตราเร็วของโมเลกุลอาจเพ่ิมข้ึนหรือลดลงก็ได และในขณะเดียวกันทิศทางการเคลื่อนที่จะเปล่ียนไปอยางไมเปนระเบียบ การเปล่ียนแปลงทั้งขนาดและทิศทางของความเร็วทําใหการเคลื่อนที่เปนไปในทุกทิศทางถือวาเทากัน ดังน้ันการชนของโมเลกุลกาซจึงจัดเปนการชนแบบยืดหยุนสมบูรณ โดยไมมีการสูญเสียพลังงานในการชนกัน

4. โมเลกุลทั้งหลายของกาซอุดมคติ จะเคลื่อนที่ดวยความเร็วสูง ซ่ึงความเร็วของแตละโมเลกุลไมจําเปนตองเทากัน แตเมื่อเวลาผานไป ถือวาโมเลกุลทั้งหลายมีความเร็วเฉลี่ยเปนคาคงตัวเดียวกัน

3.2 ทฤษฎีจลนของกาซ

พิจารณาภาชนะรูปลูกบาศกยาวดานละ L มีกาซอยูทั้งหมด N โมเลกุล แตละโมเลกุลมีมวล 0m เมื่อโมเลกุลเขาไปชนผนังจะสะทอนออกมา ทําใหเกิดแรงกระทําตอผนังน้ัน เน่ืองจากมี

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

10

10

โมเลกุลจํานวนมาก แรงเชนน้ีก็จะมีติดตอกันไปทําใหเกิดความดันกระทํากับผนังดานขางซึ่งมีพ้ืนที่ A ดังรูป

y y L L xvm0 A - xvm0 x x z z

(ก) ลูกบาศกดานยาว 4 บรรจุกาซอุดมคติโดย (ข) โมเลกุลของกาซชนแบบยืดหยุนกับผนัง แตละโมเลกุลมีอัตราเรว็ v ของภาชนะ

รูปท่ี 3 แสดงการเคลื่อนที่ของโมเลกุลกาซ พิจารณาโมเลกุลของกาซหนึ่งมีความเร็ว v ซ่ึงแยกยอยตามแกนได xv , yv , และ zv เมื่อไปชนผนังทางแกน x จะเห็นวามีโมเมนตัมไปทางแกน x 1xP = - m0vx เมื่อสะทอนกลับก็จะเกิดโมเมนตัมในทิศทางตามแกน x ดังน้ี 2xP = m0vx ดังน้ัน การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม xPΔ = 2xP - 1xP = xvm02

การเปลี่ยนโมเมนตัมน้ีเกิดในเวลา tΔ = xvL2 เมื่อ xv คือ ขนาดของความเร็วยอยใน

แนวแกน x ถาให xF คือ ขนาดของแรงเฉลี่ยในแนวแกน x ที่โมเลกุลหน่ึง ๆ กระทําตอผนังใน

เวลา tΔ จากคําจํากัดความของการดลจะได

tFxΔ = xPΔ = xvm02

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

11

11

ดังน้ันจะไดแรงท่ีกระทํากับผนังภาชนะ

xF = tvm x

Δ02 =

x

x

vLvm

/22 0 =

Lvm x

20 (11)

แรงทั้งหมดที่กระทําตอผนังที่ชนในแนวแกน x เกิดจากการวมแรงของทุกอนุภาค โดยท่ี พ้ืนที่ของผนังที่ถูกชนมีคา A = L2 ดังน้ัน ความดันที่ผนังดานขางภาชนะ

P = AFx∑

= 30

Lm ( 22

322

21 ... xNxxx vvvv ++++ ) (12)

เมื่อ ,........, 21 xx vv หมายถึง อัตราเร็วของโมเลกุลกาซของอนุภาคที่ 1,2, …, N ในแนวแกน x ดังน้ัน ถา 2

xv แทนคาเฉลี่ยของโมเลกุล N โมเลกุลคือ

2xv =

Nvvvv xnxxx

222

21

21 ....+++ (13)

แทนสมการที่ (13) ในสมการที่ (12) โดยถา V แทนปริมาตรของภาชนะซึ่ง V = L3 จะได PV = 2

0 xvNm (14) แตเน่ืองจากอนุภาคมีโอกาสวิ่งชนผนังทั้ง 3 ทิศทาง ( x , y , z ) เทา ๆ กัน โดยมี 2

xv = 2yv = 2

zv แต 2v = 2

xv + 2yv + 2

zv = 23 xv

ดังน้ัน 2xv = 2

yv = 2zv = 2

31 v แทนในสมการที่ (13.14) จะได

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

12

12

PV = 203

1 vNm (15)

ถาให rmsv แทน คาอัตราเร็วกําลังสองเฉลี่ย (root mean square speed) โดยที่ rmsv = 2v สมการที่ (15) เขียนใหมไดดังน้ี

PV = 203

1rmsvNm (16)

โดยที่ N แทน จํานวนโมเลกุลของกาซ 0m แทน มวลของกาซ 1 โมเลกุล มีหนวยเปนกิโลกรัม

เน่ืองจากมีโมเลกุลอยูเปนจํานวนมากในกาซปริมาตรหนึ่ง ๆ จึงทําใหคา rmsv และ

ความเร็วเฉลี่ย 2v ไมแตกตางกันมากนัก ดังน้ันในการคํานวณโดยทั่ว ๆ ไปที่เกี่ยวของกับโมเลกุลจํานวนมากอยูในปริมาตรใดที่ความดันไมสูงนัก คาของ rmsv จะถือวาเปนคาเดียวกับคา

2v ได โดยไมทําใหเกิดความผิดพลาดในผลลัพธมากนัก

4. อัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลกาซ

อัตราเร็วโมเลกุลของกาซที่เคลื่อนที่แตละโมเลกุลมีคาไมเทากัน ดังน้ันจึงคิดเปนอัตราเร็วเฉลี่ย ซ่ึงสามารถคํานวณไดดังน้ี

จากสมการกฎของกาซ PV = nRT = TNkB เมื่อเปรียบเทียบกับสมการที่ (16) จะได

203

1rmsvNm = nRT = TNkB

rmsv = 0

3NmnRT =

MRT3 =

0

3m

TkB (17)

คําแนะนํา : n แทน จํานวนโมล โดย n = M

NmMm 0=

M แทน มวลโมเลกุล ในหนวยกรัมตอโมล m แทน มวลกาซ ในหนวยกรัม

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

13

13

0m แทน มวลกาซ 1 โมเลกุล ในหนวยกรัม จากสมการที่ (17) พบวา อัตราเร็วเฉลี่ยของกาซมีคาขึ้นกับอุณหภูมิ โดยถาอุณหภูมิของกาซสูงขึ้น จะมีผลทําใหอัตราเร็วเฉล่ียของกาซมีคามากขึ้นดวย ตัวอยางที่ 5 จงหาอัตราเร็ว rmsv ของโมเลกุลออกซิเจน และโมเลกุลอีเลียม ที่อุณหภูมิ 27 0C วิธีทํา คํานวณหา rmsv ของโมเลกุลออกซิเจน ไดจาก

rmsv = MRT3

โดยที่มวลโมเลกุลของออกซิเจน M = 32 กรัม = 32x10-3 kg , R = 8.31 J/mol.K , T = (27+273) = 300 K แทนคา

rmsv = kgx

KKmolJ31032

)300)(./31.8(3− = 483.44 m/s ตอบ

สําหรับฮีเลียมเปนกาซอะตอมเดี่ยว 1 โมเลกุลของกาซฮีเลียมประกอบดวย 1 อะตอมเทาน้ัน มวลอะตอมของฮีเลียม M = 4 กรัม = 4x10-3 kg ดังน้ัน

rmsv = kgx

KKmolJ3104

)300)(./31.8(3− = 1367.39 m/s ตอบ

ตัวอยางที่ 6 จงหาอุณหภูมิที่มีผลทําให rmsv ของกาซไนโตรเจน มีคาเทากับ rmsv ของกาซออกซิเจน ที่ 300 C

วิธีทํา จาก rmsv = MRT3

คิดที่กาซไนโตรเจน 1rmsv =

1

13MRT (1)

คิดที่กาซออกซิเจน 2rmsv =

2

23MRT (2)

(1) = (2) ดังน้ัน

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

14

14

1

13MRT =

2

23MRT

มวลโมเลกุลของกาซไนโตรเจน M1 = 28x10-3 kg และ มวลโมเลกุลของกาซออกซิเจน M2 = 32x10-3 kg แทนคา

kgxT

)1028( 31− =

kgxK

)1032()27330(

3−

+

1T = 265.13 K = -7.870 C ตอบ

5. พลังงานจลนเฉล่ียและพลังงานภายในระบบของโมเลกุลกาซอุดมคต ิ

ถาให kE แทนคาพลังงานจลนเฉลี่ย ซ่ึงหมายถึงคาเฉลี่ยของพลังงานจลนของแตละโมเลกุลของกาซ โดยที่แตละโมเลกุลเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วเฉล่ีย ( rmsv )

kE = 202

1rmsvm

จากสมการที่ (17) แทนคาจะได

kE = 2

00 )

3(

21

mTk

m B = TkB23 (18)

จากสมการที่ (18) พบวา พลังงานจลนเฉลี่ยของโมเลกุลกาซแปรผันตรงกับอุณหภูมิ ซ่ึงถาอุณหภูมิของระบบมีคามากขึ้นจะทําใหพลังงานจลนเฉล่ียมีคามากขึ้นดวย ถาให U แทนพลังงานภายในระบบ เกิดข้ึนเนื่องจากโมเลกุลของกาซเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วเฉลี่ยตลอดเวลาและแรงยึดเหน่ียวระหวางโมเลกุลมีคานอยมาก พลังงานรวมของโมเลกุลกาซจึงอยูในรูปพลังงานจลนเพียงอยางเดียว ซ่ึงพลังงานจลนรวมของแตละโมเลกุลแทนดวย kE

โดยที่ kk ENE = โดย N แทนจํานวนโมเลกุลทั้งหมดของกาซ และ kE แทนพลังงานจลนเฉลี่ยของกาซแตละโมเลกุล ดังน้ันพลังงานภายในระบบที่เกิดขึ้นก็คือพลังงานจลนรวมของระบบน่ันเอง จะไดวา

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

15

15

U = kE = kEN

โดยที่ kE = TkB23 แทนคาจะได

U = TNkB23

เพราะวา nRTTNkPV B == ดังน้ัน

U = TNkB23 = PV

23 = nRT

23 (19)

จากสมการที่ (19) จะพบวา พลังงานภายในระบบมีความสัมพันธกับ ความดัน , ปริมาตร และอุณหภูมิ ซ่ึงถาปริมาณใดปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงจะทาํใหพลังงานภายในเปลี่ยนไปถา UΔ แทนพลังงานภายในระบบที่เปลี่ยนไป จะได

UΔ = TNkBΔ23 = VPΔ

23 = TnRΔ

23 (20)

สมการที่ (19) และ (20) ใชกับกาซเปนอะตอมเดี่ยว เชน กาซเฉื่อย ซ่ึงไดแก ฮีเลียม (He) , นีออน (Ne) เปนตน แตถาเปนกาซอะตอมคูหรือกาซที่โมเลกุลซับซอนมากขึ้น ดังน้ันพลังงานภายในของกาซตองเปนผลรวมของพลังงานจลนเน่ืองจากการเคลื่อนที่เชิงเสน พลังงานจลนเน่ืองจากการหมุน และพลังงานจลนเน่ืองจากการสั่น ซ่ึงพลังงานภายในระบบของกาซอะตอมคูน้ี จะไดวา

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

16

16

UΔ = TNkBΔ25 = VPΔ

25 = TnRΔ

25 (21)

ตัวอยางที่ 7 จงหาพลังงานจลนเฉล่ียและพลังงานภายในระบบของโมเลกุลของกาซนีออน (Ne) มวล 1 กรัม ที่ 30 0C (มวลโมเลกุล 20.2 u) วิธีทํา คํานวณหาคาพลังงานจลนเฉล่ีย

kE = TkB23

= KKJx )27330)(/1038.1(23 23 +−

= 6.27 x 10-21 J ตอบ คํานวณหาคาพลังงานภายในระบบ U = kEN โดยที่ N แทนจํานวนโมเลกุล โดยที่

AN

N = Mm

โดยที่ N = ( ) 22233

3

1098.21002.6102.20

101 xxx

xM

mN A == −

−

โมเลกุล

U = )1027.6)(1098.2( 2122 −xx

= 1.87 x 102 J ตอบ

ตัวอยางที่ 8 ถังกาซปริมาตร 0.3 m3 บรรจุกาซฮีเลียม 3 โมล ที่อุณหภูมิ 370C โดยสมมติวาฮีเลียมมีพฤติกรรมเหมือนกาซอุดมคติ จงหา

ก. พลังงานภายในระบบ ข. พลังงานจลนเฉล่ียของกาซนี้ ค. อัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลของกาซนี้ ง. ถาอุณหภูมิเทากับ -300C จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลของกาซน้ี จ. ถากาซที่บรรจคุือออกซิเจน จงหา rmsv ของโมเลกุลของออกซิเจนที่อุณหภูมิ 27 0C

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

17

17

วิธีทํา

ก. พลังงานภายในระบบ U = nRT23

= 23 (3 mol) (8.31 J/mol.K)(37+273)K

= 11.59x103 J ตอบ

ข. พลังงานจลนเฉลี่ยของกาซน้ี kE = TkB23

kE = 23 (1.38 x 10-23 J/K) (37+273 )K

= 6.42 x 10-21 J ตอบ ค. อัตราเร็วเฉล่ียของโมเลกุลของกาซนี้

rmsv = MRT3

แตนํ้าหนักโมเลกุลของฮีเลียม M = 4 g / mol = 4 x 10-3 kg/mol แทนคา

rmsv = ( )( )molkgx

KKmolJ/104

27337./31.833−

+

= 1.39 x 103 m/s ตอบ ง. ถาอุณหภูมิเทากับ -300C อัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลของกาซนี้

rmsv = MRT3

= ( )( )molkgx

KKmolJ/104

30273./31.833−

−

= 1.23 x 103 m/s ตอบ จ. rmsv ของโมเลกุลของออกซิเจนที่อุณหภูมิ 27 0C

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

18

18

rmsv = MRT3

นํ้าหนักโมเลกุลของออกซิเจน M = 32 g / mol = 32 x 10-3 kg /mol

rmsv = ( )( )moLkgx

KKmolJ/1032

27273./31.833−

+

= 483.44 m/s

6. การแจกแจงอัตราเร็วของโมเลกุลกาซ

โมเลกุลของกาซนั้นมีการเคลื่อนที่ทุกทิศทุกทางดวยอัตราเร็วตาง ๆ กันซ่ึงเรียกการเคล่ือนที่แบบน้ีวา การเคล่ือนที่ของบราวเนียน (Brownian Motion) มีโมเลกุลจํานวนมากที่มีอัตราเร็วมากกวาอัตราเร็วเฉลี่ย และก็ยังมีอีกจํานวนมากที่มีอัตราเร็วนอยกวาอัตราเร็วเฉลี่ย ในป 1859 แมกซเวลส (James Cleark Maxwell) ใชทฤษฎีจลนของกาซหาสมการแจกแจงอัตราเร็วของโมเลกุลในกาซ N โมเลกุล ไดดังน้ี

)(vN = Tkmv

B

BevTk

mN2

21

22/3)2

(4−

ππ (22)

โดยที่ )(vN แทนจํานวนโมเลกุลในชวงอัตราเร็ว v กับ dvv +

m แทนมวลของกาซ 1 โมเลกุล T แทนอุณหภูมิสัมบูรณ

Bk แทนคาคงที่ของโบลตมานน สําหรับกาซชนิดใดชนิดหน่ึง การแจกแจงอัตราเร็วขึ้นอยูกับอุณหภูมิ โดยถาให

dvvN )( แทนจาํนวนโมเลกุลที่มีอัตราเรว็อยูระหวาง v กับ dvv + ซ่ึงถาตองการหาจาํนวนโมเลกุลทั้งหมด N ไดโดยการรวมจาํนวนโมเลกุลทั้งหมดในชวงอัตราเร็วเล็ก ๆ ต้ังแตศูนยถึงอนันต ดังน้ัน

N = ∫∞

0

)( dvvN (23)

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

19

19

รูปท่ี 4 แสดงกราฟการแจกแจงอัตราเร็วของโมเลกุลกาซ จากกราฟ แสดงการแจกแจงอัตราเร็วของโมเลกุลของกาซที่อุณหภูมิตางๆ กัน จะพบวา

พ้ืนที่ใตกราฟจะแทนจาํนวนโมเลกุลทั้งหมดของกาซ ที่อุณหภูมิใด ๆ โมเลกุลกาซในชวงอัตราเร็วท่ีเพ่ิมขึ้นนอย ๆ จะมีคาเพ่ิมขึ้น และเมื่ออัตราเร็วเพ่ิมขึ้นจนถึงคาหน่ึง จะได )(vN มีคาสูงสุดซ่ึงก็คือ จํานวนโมเลกุลที่มีอัตราเร็ว Pv จะมีมากที่สุด และหลังจากน้ันจํานวนโมเลกุลจะคอย ๆ ลดลงจนเปนศูนยเมื่ออัตราเร็วเพ่ิมขึ้น นอกจากนี้ยังพบวาถาอุณหภูมิสูงขึ้น เสนกราฟจะโคงแบนลงดังน้ันจํานวนโมเลกุลที่มีอัตราเร็วสูงจะเพิ่มขึ้น ซ่ึงผลอันน้ีจะใชอธิบายปรากฏการณหลายอยาง เชน การเพ่ิมข้ึนของการเกิดปฏิกิริยาเคมี การเกิดปฏิริยาเคมีในสิ่งมีชีวิต การเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน ขณะที่อุณหภูมิสูงข้ึน เปนตน

7. สมการของแวนเดอรวาลส

สมการ PV = nRT เปนสมการที่ใชไดเฉพาะกาซอุดมคติ เพราะพลังงานภายในระบบข้ึนกับอุณหภูมิเพียงอยางเดียว เมื่อกาซจริงที่มีความหนาแนนต่ํา กาซนี้จะเปนไปตามกฎของกาซอุดมคติ แตถาความหนาแนนสูงข้ึน พฤติกรรมจะผิดจากกฎของกาซอุดมคติไปมาก เจ.ดี.แวนเดอ วาสล (J.D. van der Waals) ไดพิจารณาแกไขปรับปรุง สมการที่ใชกับกาซอุดมคตินํามาใชกับกาซจริงไดดังน้ี

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

20

20

( ) nRTnbVVanP =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2

(24)

เมื่อ a และ b เปนคาคงท่ี ซ่ึงขึ้นอยูกับชนิดของกาซ โดยที่ a จะสัมพันธกับแรงยึด

เหน่ียวระหวางโมเลกุล b แทนขนาดของโมเลกุลกาซแตละโมเลกุล(ปริมาตรของโมเลกุลกาซ) ใน 1 โมล ดังน้ันปริมาตรของกาซที่เคลื่อนที่จะมีคาเทากับ nb และ nbV − แทนปริมาตรสุทธิของโมเลกุลกาซที่เคลื่อนที่ เรียกสมการที่ (23) วา สมการของแวนเดอวาสล (Van Der Waals Equation)

ถา n = 1 โมล สมการที่ (24) จะเปน

( ) RTbVV

anP=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +2

2

(25)

โดยสมการที่ (25) สามารถนํามาเขียนกราฟระหวางความดันกับปริมาตรไดดังรูป โดยที่สมการของแวนเดอวาสลน้ีจะมีคาถกูตองที่อุณหภูมิสูง เชน T1 , T2 , T3 และ TC โดยที่ TC ซ่ึงเรียกวาอุณหภูมิวิกฤต(Critical Temperature) ซ่ึงเปนอุณหภูมิที่ตํ่าเพียงพอที่จะทาํใหกาซถูกอัดใหเปนของเหลวได

รูปท่ี 5 แสดงกราฟระหวางความดัน(P) กับปริมาตร(V)

T1

T2 T3

Gas Law

ผศ.ปรียา อนุพงษองอาจ

21

21

ตารางที่ 1 แสดงคาคงที่ตาง ๆ ในสมการของแวนเดอวาสล

สาร a (J.m3/mol2)

b (m3/mol)

CP (MPa)

CT (K)

อากาศ 0.1358 3.64 x 10-5 3.77 133

กาซคารบอนไดออกไซด 0.3643 4.27 x 10-5 7.39 304.2

กาซไนโตรเจน 0.1361 3.85 x 10-5 3.39 126.2

กาซไฮโดรเจน 0.0247 2.65 x 10-5 1.30 33.2

นํ้า 0.5507 3.04 x 10-5 22.09 647.3

กาซแอมโมเนีย 0.4233 3.73 x 10-5 11.28 406

กาซฮีเลียม 0.00341 2.34 x 10-5 0.23 5.2

กาซฟรีออน 1.078 9.98 x 10-5 4.12 385