ชื่อ........................................................................ชัน้............

เลขท่ี......

ตัวอยา่งท่ี 1 สามเท่าของจำานวนหน่ึงบวกด้วย 9 มค่ีามากกวา่ 15……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 2 จำานวนจำานวนหน่ึง มค่ีาลดลง 8 แล้วมค่ีาไมเ่กิน 14 จำานวนนัน้มีค่ามากที่สดุเท่าใด………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โจทยปั์ญหา

ตัวอยา่งท่ี 3 ถ้าผลบวกของจำานวนเต็มคู่ที่มากท่ีสดุสามจำานวนเรยีงกันมค่ีาน้อยกวา่ 123 จงหาจำานวนทัง้สามนัน้………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 4 แมค้่าซื้อแตงโมมาจำานวนหน่ึง เมื่อขายไปแล้ว 19 ผล เหลือแตงโมไมถึ่ง 30 ผล แมค้่าซื้อแตงโมมาเป็นจำานวนเท่าไร………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 5 แมซ่ื้อขนมมาขายเป็นเงิน 350 บาท นำาขนมไปตักบาตรตอนเชา้ 9 หอ่ ขายท่ีเหลือไปหอ่ละ 10 บาท แล้วยงัได้กำาไรมากกวา่ 60 บาท จงหาวา่แมซ่ื้อขนมมาขายอยา่งน้อยกี่หอ่………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 6 แดงมเีงินเก็บ 2,000 บาท และเก็บเพิม่ขึ้นได้เดือนละ 100 บาท ดำามเีงิน 500 บาท แต่เก็บได้เพิม่ขึ้นเดือนละ 200 บาท อีกกี่เดือนดำาจงึจะมเีงินมากกวา่ 25 เท่าของแดง………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 7 แมค้่าซื้อไขไ่ก่มา 1,000 ฟอง เป็นเงิน 1,500 บาท นำามาขายปลีกโดยคัดไขไ่ก่ขนาดใหญ่ออกมาขายฟองละ 2.50 บาท สว่นท่ีเหลือเป็นไขไ่ก่ขนาดเล็กขายฟองละ 1.75 บาท เมื่อขายไขไ่ก่หมดปรากฏวา่ได้กำาไรมากกวา่ 375 บาท จงหาวา่ไขไ่ก่ท่ีซื้อมาเมื่อแยกตามขนาดแล้วเป็นไขไ่ก่ขนาดใหญ่กี่ฟอง………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 8 เอมอรซื้อเสื้อ 3 ตัว กางเกง 2 ตัว ราคารวมกันเป็นเงินน้อยกวา่ 511 บาท ถ้ากางเกงมรีาคามากกวา่สองเท่าของราคาเสื้ออยู ่10 บาท จงหาวา่เอมอรจะซื้อเสื้อและกางเกงท่ีราคาสงูสดุได้เท่าไร………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 9 มเีป็ดและหา่นเป็นอัตราสว่น 3: 2 ต่อมาขายหา่นไป 300 ตัว เหลือสตัวอ์ยูไ่มถึ่ง 600 ตัว เดิมมเีป็ดและหา่นรวมกันมากที่สดุกี่ตัว………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกหัด1. นำา 13 มาบวกจำานวนจำานวนหน่ึงทัง้เศษและสว่น ได้จำานวนใหมม่ค่ีามากกวา่หรอืเท่ากับ 12 จงหาค่าของจำานวนนัน้เมื่อกำาหนดใหจ้ำานวนนัน้เป็นจำานวนบวก………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………2. ผลบวกของจำานวนเต็มคู่สามจำานวนเรยีงต่อกัน มคี่าน้อยกวา่ 96 จงหาจำานวนเต็มคู่สามจำานวนท่ีมากท่ีสดุเรยีงต่อกัน ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3. มเีงินอยู ่600 บาท จา่ยไปสว่นหน่ึงแล้วหามาได้อีก 70 บาท รวมแล้วมเีงินเหลือไมถึ่ง 300 บาท จา่ยเงินไปเท่าใด………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. จุกมเีหรยีญบาทและเหรยีญหา้สบิสตางค์รวมกันเป็นเงิน 20 บาท และเมื่อนับจำานวนเหรยีญมมีากกวา่ 26 เหรยีญ แต่ไมถึ่ง 31 เหรยีญ จงหาจำานวนเหรยีญบาทท่ีเป็นไปได้………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5. อัครเดช ซื้อสม้โอไปขายจำานวนหน่ึง นำาสม้โอที่ซื้อไปฝากคณุปู่ 50 ผล และนำาไปขายเพยีง 23 ของสม้โอที่เหลือ ถ้ามสีม้โอเหลือมากกวา่ 20 ผล แต่ไมถึ่ง 30 ผล จงหาวา่อัครเดชซื้อสม้โอมาจำานวนกี่ผล………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ชื่อ........................................................................ชัน้............

เลขท่ี......

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ความน่าจะเป็น (Probability) มคีวามหมายเดียวกับคำาวา่ ความเป็นไปได้ หรอื โอกาส เชน่ ความน่าจะเป็นที่ฝนจะตกวนัน้ีค่อนขา้งมาก จะมคีวามหมายเดียวกับโอกาสท่ีฝนจะตกวนัน้ีค่อนขา้งมากถ้าเราทราบความน่าจะเป็นของเหตกุารณ์ใดเหตกุารณ์หน่ึง เราสามารถตัดสนิใจดำาเนินกิจกรรมท่ีเกี่ยวขอ้งกับเหตกุารณ์นัน้ได้อยา่งมปีระสทิธภิาพ

ตัวอยา่งท่ี 1 จากการโยนเหรยีญ 1 เหรยีญ จำานวน 1 ครัง้

ตัวอยา่งท่ี 2 ทอดลกูเต๋า 1 ลกู จำานวน 1 ครัง้ ผลลัพธท์ี่สนใจ

ตัวอยา่งท่ี 3 การสุม่หยบิไพ ่1 ใบ ออกจากไพส่ำารบัหน่ึง ซึ่งม ี52 ใบ โดยไพนั่น้แบง่เป็นชุด 4 ชุด ชุดละ 13 ใบ ดังน้ี

ความน่าจะเป็น

การทดลองสุม่ (Random experiment) คือ การกระทำาที่ทราบผลลัพธท์ัง้หมดที่อาจเกิดขึ้น แต่ไมส่ามารถระบุได้แน่นอนวา่จะเกิดผลลัพธอ์ะไรในบรรดาผลลัพธทั์ง้หมด

วธิกีารเขยีนปรภิมูตัิวอยา่ง ใหเ้ขยีนผลลัพธท์ัง้หมดภายในวงเล็บปีกกา ซึ่งมชีื่อเรยีกในทางคณิตศาสตรว์า่ เซต โดยทัว่ไปจะตัง้ชื่อปรภิมูตัิวอยา่งวา่ Sตัวอยา่งท่ี 5 จงหาปรภิมูตัิวอยา่ง จากการโยนเหรยีญ

5.1) 1 เหรยีญ จำานวน 1 ครัง้

5.2) 1 เหรยีญ จำานวน 2 ครัง้

5.3) 2 เหรยีญ จำานวน 1 ครัง้

5.4) 2 เหรยีญ จำานวน 2 ครัง้

ปรภิมูตัิวอยา่ง (sample space) คือ กลุ่มผลลัพธท์ัง้หมดที่มโีอกาสเกิดขึ้น

ตัวอยา่งท่ี 6 โยนเหรยีญ 1 เหรยีญ และทอดลกูเต๋า 1 ลกู จำานวน 1 ครัง้ สนใจผลลัพธท์ี่เป็นหน้าของเหรยีญและแต้มของลกูเต๋าที่เกิดขึ้น จงหาปรภิมูตัิวอยา่ง

ตัวอยา่งท่ี 7 นักเรยีนกลุ่มหน่ึงจำานวน 5 คน ได้แก่ ก, ข,

ชื่อ…………………………………………สกลุ…………………………………..ชัน้ ม.3/……เลขท่ี……

บทท่ี 3 สถิติการนำาเสนอขอ้มูลในรูปตารางแจกแจงความถี่

เป็นการนำาเสนอขอ้มูลด้วยตาราง โดยนำาขอ้มูลด้วยตาราง โดยนำาขอ้มูลที่เก็บรวบรวมไวซ้ึ่งมจีำานวนมากหรอืซำ้ากันอยูม่ากมาเรยีงค่าคะแนนขอ้มูลตามลำาดับ เพื่อทราบขอ้มูลได้สะดวกและรวดเรว็ขึ้นขอ้มูลดิบ หมายถึง ขอ้มูลที่รวบรวมมาได้ แต่ยงัไมไ่ด้แจกแจงความถี่เชน่ คะแนนสอบของนักเรยีน 20 คน เป็นดังน้ี

42 41 40 39 39 42 39 44 47 3945 42 46 40 39 41 45 41 38 40

ขอ้มูลท่ีแจกแจงความถี่ เป็นขอ้มูลที่นำาขอ้มูลดิบมาจดัใหเ้ป็นระเบยีบเรยีบรอ้ย ดังน้ี

คะแนน รอยขดี ความถ่ี

ถ้าขอ้มูลดิบเป็นตัวเลขท่ีไมค่่อยซำ้ากัน การสรา้งตารางแจกแจงความถี่ ควรใช้อันตรภาคชัน้เป็นชว่งคะแนน

การสรา้งตารางแจกแจงความถี่มขีัน้ตอนดำาเนินการดังนี้1. หาค่าสงูสดุและค่าตำ่าสดุของขอ้มูล2. หาพสิยัของขอ้มูล โดยหาจากสตูร

พสิยั = ค่าสงูสดุ ค่าตำ่าสดุ–3. กำาหนดจำานวนอันตรภาคชัน้4. หาความกวา้งของอันตรภาคชัน้จากสตูร

ความกวา้งของอันตรภาคชัน้ = พิ สั ยจำานวนอั นตรภาคชั ้ น

5. เรยีงลำาดับอันตรภาคชัน้จากคะแนนน้อยไปมาก6. ขดีรอยคะแนน แล้วรวมเป็นความถี่

ตัวอยา่งท่ี 1 จากการชัง่นำ้าหนัก (หน่วยเป็นกิโลกรมั) ของนักเรยีนชัน้มธัยมศึกษาปีท่ี 3 ของโรงเรยีนแหง่หน่ึง จำานวน 30 คน ผลเป็นดังน้ี

76 45 62 72 49 35 60 59 70 4054 75 78 58 48 50 60 53 52 7274 55 58 41 75 53 46 45 74

จงสรา้งตารางแจกแจงความถี่ โดยใหค้วามกวา้งของแต่ละอันตรภาคชัน้เท่ากับ 10วธิทีำา

นำ้าหนัก (กิโลกรมั) รอยขดี ความถ่ี

รวม

ตัวอยา่งท่ี 2 ตารางแสดงคะแนนสองของนักเรยีนชัน้มธัยมศึกษาปีที่ 3 วชิาคณิตศาสตรข์องโรงเรยีนแหง่หน่ึง

คะแนน รอยขดี ความถ่ี25 - 34 || 235 - 44 |||| 445 - 54 |||| |||| 1055 - 64 |||| |||| || 1265 - 74 |||| ||| 875 - 84 ||| 385 - 94 | 1

รวม 40จงตอบคำาถามต่อไปน้ี1. จำานวนอันตรภาคชัน้เท่ากับเท่าใด

2. ความกวา้งของอันตรภาคชัน้เท่ากับกับเท่าใด

3. จำานวนนักเรยีนที่ได้คะแนนตัง้แต่ 35 คะแนน แต่ไมถ่ึง 75 คะแนน มกีี่คน

4. นักเรยีนที่ได้คะแนนน้อยกวา่ 45 คะแนน มกีี่คน

5. นักเรยีนที่ได้คะแนนมากกวา่ 84 คะแนน มกีี่คน

การสรา้งตารางแจกแจงความถ่ีจะมค่ีาต่างๆ ท่ีควรทราบอีก ดังนี้ขอบล่าง = ค่ าน้ อยที ่ สุ ดของอั นตรภาคชั ้ นนั ้ น+ค่ ามากที ่ สุ ดของอั นตรภาคชั ้ นที ่ ตำ่าว่ าหนึ ่ งชั ้ น

2

ขอบบน = ค่ ามากที ่ สุ ดของอั นตรภาคชั ้ นนั ้ น+ ค่ าน้ อยที ่ สุ ดของอั นตรภาคชั ้ นที ่ สู งว่ าหนึ ่ งชั ้ น2

จุดกึ่งกลาง = ขอบบน+ขอบล่ าง2

หรอื = ค่ าน้ อยที ่ สุ ดของอั นตรภาคชั ้ นนั ้ น+ค่ ามากที ่ สุ ดของอั นตรภาคชั ้ น2

ตารางแจกแจงความถ่ีแสดงการหาขอบล่าง ขอบบน และจุดก่ึงกลางชัน้คะแนน ความถ่ี ขอบบน ขอบล่าง46-55 3

56-65 466-75 10

76-85 6

86 – 95 5

96 - 105

2

30

การแสดงความถ่ีโดยใชก้ราฟกราฟท่ีแสดงความถ่ีมอียู ่3 ลักษณะ คือ 1. ฮิสโทแกรม เป็นรูปสีเ่หล่ียมผืนผ้าเรยีงต่อกัน โดยมคีวามกวา้งของรูป

สีเ่หล่ียมผืนผ้าเท่ากับความกวา้งของอันตรภาคชัน้ และความยาวของรูปสีเ่หล่ียมผืนผ้าเท่ากับความถ่ีจุดปลายของด้านกวา้งของรูปสีเ่หล่ียมผืนผ้าแต่ละรูปคือขอบล่างและขอบบนของอันตรภาคชัน้ท่ีเรยีงต่อกัน

2. รูปหลายเหลี่ยมของความถ่ี จากฮิสโทแกรม หาจุดกึ่งกลางของด้านบนแท่งสีเ่หล่ียมแต่ละรูปแล้วลากเสน้ต่อลงมาพบแกนนอนท่ีจุดกึ่งกลางชัน้ที่อยู่ก่อนอันตรภาคชัน้ตำ่าสดุและชัน้ท่ีอยูถั่ดจากอันตรภาคชัน้สงูสดุ

3. เสน้โค้งความถ่ี เป็นการปรบัรูปหลายเหล่ียมของความถี่ใหเ้ป็นเสน้โค้งความถ่ี

ตัวอยา่งท่ี 3 จากตารางแจกแตงความถี่ต่อไปน้ีใหเ้ขยีนฮิสโทแกรม รูปหลายเหล่ียมของความถี่ และเสน้โค้งความถ่ี

อันตรภาคชัน้ ความถ่ี ขอบล่าง ขอบบน6-10 211-15 516-20 721-25 626-30 8

การหาค่ากลางของขอ้มูล กรณีท่ีขอ้มูลไมไ่ด้แจกแจงความถี่

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (x) หาได้โดยนำาขอ้มูลทัง้หมดมารวมกัน แล้วหารด้วยจำานวนขอ้มูลทัง้หมดตัวอยา่งท่ี 4 จงหาอายุเฉล่ียของคนกลุ่มหน่ึงซึ่งมอีายุดังน้ี

20 19 20 22 27 ปีวธิทีำา

2. ฐานนิยม คือ ขอ้มูลท่ีมคีวามถ่ีสงูสดุในขอ้มูลชุดนัน้ตัวอยา่งท่ี 5 จงหามธัยฐานของขอ้มูลต่อไปน้ี

1) 18, 16, 19, 17, 22

2) 16, 18, 19, 22, 20, 22

3. มธัยฐาน คือ ค่าที่อยูต่รงกลางของขอ้มูลทัง้หมดเมื่อเรยีงขอ้มูลนัน้จากน้อยไปมากหรอืจากมากไปน้อยตัวอยา่งท่ี 6 จากขอ้มูลต่อไปน้ี จงหาฐานนิยม

1) 3, 8, 5, 5, 9, 6

2) 1, 9, 8, 5, 9, 6, 6

3) 2, 2, 5, 5, 8, 8, 14, 14, 14, 18, 18

กรณีท่ีขอ้มูลแจกแจงความถี่แล้ว1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ ผลบวกของผลคณูระหวา่งความถี่กับจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชัน้นัน้ หารด้วยจำานวนขอ้มูลทัง้หมด (ผลรวมของความถี่) ซึ่งหาได้จากสตูร

x =∑ fxN

เมื่อ x = จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชัน้f = ความถ่ี∑ fx = ผลบวกของผลคณูระหวา่งความถ่ีกับจุดกึ่งกลางอันตรภาคชัน้N = จำานวนขอ้มูลทัง้หมด

2. ฐานนิยม หาได้จากอันตรภาคชัน้ที่มคีวามถ่ีสงูสดุ3. มธัยฐาน คือ ตำาแหน่งของขอ้มูลท่ีอยูต่รงกลาง การหามธัยฐานจะต้องสรา้งชอ่งความถ่ีสะสมแล้วหาตำาแหน่งมธัยฐานจาก N+12 ก็จะทราบวา่มธัยฐานอยูใ่นอันตรภาคชัน้ใด โดยดทูี่ชอ่งความถ่ีสะสม

ตัวอยา่งท่ี 7 จากตารางแจกแจงความถ่ีของคะแนนสอบวชิาภาษาไทยของนักเรยีน 60 คน เป็นดังน้ี

คะแนน ความถ่ี (f)30 – 39 840 – 49 1150 – 59 1160 – 69 1270 – 79 980 - 89 9

วธิทีำาคะแนน ความถ่ี (f) ความถ่ีสะสม จุดก่ึงกลาง

(x)จุดก่ึงกลาง ×

ความถ่ี30 – 39 840 – 49 1150 – 59 11

จงหา 1) ค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนน

2) ฐานนิยมอยูใ่นชว่ง

60 – 69 1270 – 79 980 - 89 9

การกระจายของขอ้มูลการกระจายของขอ้มูล หมายถึง การท่ีขอ้มูลในชุดใดชุดหน่ึงอยูห่า่งหรอื

แตกต่างกันมากน้อยเพยีงใด ถ้าขอ้มูลในชุดใดๆอยูใ่กล้กันหรอืเกาะกลุ่มกัน กล่าววา่ขอ้มูลชุดนัน้มกีารกระจายของขอ้มูลน้อย แต่ถ้าขอ้มูลในชุดใดชุดหน่ึงอยู่หา่งกันมากกล่าววา่ ขอ้มูลชุดนัน้มกีารกระจายของขอ้มูลมาก

พสิยั คือ ผลต่างระหวา่งขอ้มูลสงูสดุกับขอ้มูลตำ่าสดุตัวอยา่งท่ี 8 จงหาพสิยัของขอ้มูลต่อไปน้ี 1) 25, 43, 32, 28, 14, 35, 40, 37, 39, 22, 19, 26, 31

2) 9, 11, 15, 18, 20, 23, 25, 26, 27, 29

สว่นเบีย่งเบนมาตรฐาน คือ รากที่สองของค่าเฉล่ียของสว่นเบีย่งเบนระหวา่งขอ้มูลแต่ละตัวกับค่าเฉล่ียเลขคณิตของขอ้มูลชุดนัน้ยกกำาลังสอง มีขัน้ตอนในการคำานวณดังนี้

1. หาค่าเฉล่ียเลขคณิต2. หาสว่นเบีย่งเบนหรอืผลต่างระหวา่งขอ้มูลแต่ละตัวกับค่าเฉล่ียเลขคณิต

โดยนำาขอ้มูลแต่ละตัวลบด้วยค่าเฉล่ียเลขคณิต3. หากำาลังสองของสว่นเบีย่งเบนแต่ละค่าท่ีได้ในขัน้ตอนท่ี 2 4. หาค่าเฉล่ียเลขคณิตของกำาลังสองของสว่นเบีย่งเบนท่ีได้ในขัน้ตอนท่ี 3 5. หารากท่ีสองที่เป็นบวกของค่าเฉล่ียเลขคณิตของกำาลังสองของสว่น

เบีย่งเบนที่ได้ในขัน้ตอนท่ี 4ตัวอยา่งท่ี 9 จงหาสว่นเบีย่งเบนมาตรฐานของความสงูของนักเรยีน 5 คน ดังต่อไปน้ี 150, 148, 161, 155 และ 156 เซนติเมตร

เสน้โค้งปกติเสน้โค้งของความถี่มลัีกษณะแตกต่างกันได้ตามการกระจายหรอืเกาะกลุ่ม

ของขอ้มูล แต่ที่พบบอ่ยม ี3 ลักษณะ ดังน้ี1. เสน้โค้งเบท้างซา้ยหรอืทางลบ มลัีกษณะดังน้ี

เราจะพบเสน้โค้งลักษณะนี้ในกรณีที่ขอ้มูลสว่นใหญ่ มคี่าสงูเกาะกลุ่มกัน

เชน่ คะแนนของนักเรยีนหอ้งหน่ึงที่นักเรยีนสว่นใหญ่ได้คะแนนสงูเกาะกลุ่มกัน

2. เสน้โค้งเบท้างขวาหรอืทางบวก มลัีกษณะดังน้ีเราจะพบเสน้โค้งลักษณะนี้ในกรณีที่ขอ้มูลสว่นใหญ่ มคี่าตำ่าเกาะกลุ่มกัน เชน่ คะแนนของนักเรยีนหอ้งหน่ึงที่นักเรยีนสว่นใหญ่ได้คะแนนตำ่าเกาะกลุ่มกัน

3. เสน้โค้งปกติหรอืรูประฆงั มลัีกษณะดังน้ี เราจะพบเสน้โค้งลักษณะนี้ในกรณีที่ขอ้มูลสว่นใหญ่ มคี่าปานกลางเกาะกลุ่มกัน เชน่ สว่นสงูของนักเรยีนท่ีอยูใ่นวยัเดียวกันสำาหรบัขอ้มูลท่ีมเีสน้โค้งของความถี่เป็นเสน้โค้งปกติหรอืรูป

ระฆงั เรยีกวา่ ขอ้มูลท่ีมกีารแจกแจงปกติ ซึ่งมค่ีาเฉล่ียเลขคณิตและมธัยฐานเท่ากัน ดังรูป

ถ้าขอ้มูลมกีารกระจายมาก เสน้โค้งปกติจะมคีวามโด่งน้อย แต่ถ้าขอ้มูลมีการกระจายน้อยเสน้โค้งปกติจะมคีวามโด่งมากหรอืค่อนขา้งสงู

นอกจากน้ีเสน้โค้งปกติยงัมสีมบติัเกี่ยวกับค่าเฉล่ียเลขคณิตและสว่นเบีย่งเบนมาตรฐาน คือ เมื่อใชส้ว่นเบีย่งเบนมาตรฐานเป็นหน่วยการแบง่แกนนอน โดย

ชื่อ…………………………………………สกลุ…………………………………..ชัน้ ม.3/……เลขท่ี……

สถิติ 2 (Statistics) A bar graph Example 1 The data in the table below shows the number of students from four school participating in the Math Camp in 2012. Constructed a dual vertical bar chart to represent the data.

School White School

Green School

Suksa School

Wittaya School

Girls 40 50 70 80Boys 50 60 30 40

Solution

Pie ChartsExample 2 Miss Pawinee collected money a sum of 5,880 Bath from her business during the weekend. The pie chart below shows the amount of money collected by the various stalls.

Solution

Drink882

Food2352

Game

Souvenir

a) Find the sum of money collected by the game stall.b) What percentage of the total money was collected by the souvenir stall?c) What percentage of the total money was collected by the food and drinks stall?

ชื่อ…………………………………………สกลุ…………………………………..ชัน้ ม.3/……เลขท่ี……

บทท่ี 4 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรกั์บตรโีกณมติิ

Trigonometric Ratiosนักเรยีนเคยทราบมาแล้ววา่ รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ “

รูปสามเหลี่ยมสองรูปนัน้มขีนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่”

ถ้า ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ท่ีม ีC เป็นมุมฉาก A และ B เป็นมุมแหลม

ในทำานองเดียวกัน

จากรูป PQR ~ DEF ม ีPQR = DEFQRP = EFDและ RPQ = FDE

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กิจกรรมท่ี 1 ให้นักเรยีนสำารวจความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมต่อไปน้ี

รูปสามเหลี่ยมความยาว

ด้านประชดิมุม A

ด้านตรงขา้มมุม A

ด้านตรงขา้มมุมฉาก

1.

2.

3.

4.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5.

เมื่อกำาหนดขนาดของมุม A ใหเ้ท่ากับ k องศา แล้วสรา้งรูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ีคล้ายกันใหม้คีวามยาวของด้านแตกต่างกันหลายๆรูป และวดัความยาวของด้านทัง้สามของรูปสามเหล่ียมมุมฉากแต่ละรูป จะได้อัตราสว่นของความยาวของด้านเป็นค่าคงที่เดียวกัน 3 คู่ ดังน้ี

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ในทางคณิตศาสตรเ์รยีกอัตราสว่นคงที่ทัง้สามน้ีวา่ อัตราสว่นตรโีกณมติิดังน้ี

BCAB เรยีกวา่ ไซน์ (sine) ของมุม A = sin A = ความยาวของด้ านตรงข้ ามมุ มA

ความยาวของด้ านตรงข้ ามมุ มฉาก = opposite sidehypotenuse

ACAB เรยีกวา่ โคไซน์ (cosine) ของมุม A = cos A =

ความยาวของด้ านประชิ ดมุ มAความยาวของด้ านตรงข้ ามมุ มฉาก = adjacent sidehypotenuse

BCAC เรยีกวา่ แทนเจนต์(tangent) ของมุม A = sin A = ความยาวของด้ านตรงข้ ามมุ มAความยาวของด้ านประชิ ดมุ มA = opposite sideadjacent side

กิจกรรมท่ี 2 ให้นักเรยีนเติมอัตราสว่นตรโีกณมติิของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ลงตารางให้ถกูต้อง

รูปสามเหลี่ยม Sin A Cos A Tan A1.

2.

3.

4.

5.

อัตราสว่นตรโีกณมติิท่ีมมุีมขนาด กำาหนดให้

a = ด้านตรงขา้มมุม (ขา้ม)

b = ด้านประชดิมุม (ชดิ)

c = ด้านตรงขา้มมุมฉาก (ฉาก)

sin = ข้ ามฉาก = ac cos = ชิ ด

ฉาก = bctan = ข้ าม

ชิ ด = ac

เทคนิคค่า Sin Cos Tan อยูใ่นมอื1. ใชม้อืซา้ย2. กำาหนดให ้นิ้วโป้งคือ 0 น้ิวชีคื้อ 30 น้ิวกลางคือ 45 น้ิวนางคือ 60 น้ิวก้อยคือ 903. ด้านซา้ยใหเ้ป็นค่า Sin ด้านขวาใหค่้า Cos4. น้ิวใสรู่ท สว่น 2

สรุปเป็นตารางอัตราสว่นตรโีกณมติิได้ดังน้ี sin cos tan

Example 1 กำาหนดรูป ABC มมุีม B เป็นมุมฉาก ถ้าด้าน AB ยาว 5 หน่วย และมุม C มขีนาด 30 จงหาความยาวของด้าน BC และ ACSolution………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Example 2 Find the value of x in each of the following triangles, give your answer correct to three decimal places. (√3≈1.732)

Solution………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Example 3 สมศักดิ์ยนือยูท่ี่จุดจุดหน่ึง มองเหน็ยอดเขาด้วยมุมเงย 15 เมื่อเขาเดินเขา้ไปหายอดเขาอีก 50 เมตร วดัมุมเงยได้ 30 ภเูขาลกูน้ีสงูเท่าไรSolution………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Example 4 A ladder which is 7 meters long leans against a nail on the wall. If the ladder makes an angle of 60 with the ground. Find the height of the nail above the ground and the distance of the foot of the ladder from the wall.Solution………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตารางแสดงค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมท่ีมขีนาดระหวา่ง 0 และ 90

แบบฝึกหัด (Exercise)1. จากตารางจงหาค่าของอัตราสว่นตรโีกณมติิต่อไปน้ี

1) sin 30 …………………………………… 2) cos 60……………………………………

3) tan 45…………………………………… 4) sin 70……………………………………

5) cos 55…………………………………… 6) tan 86……………………………………2. จากตารางจงหาขนาดของมุมที่กำาหนดค่าของอัตราสว่นสว่นตรโีกณมติิใหต่้อไปน้ี

1) sin A = 0.682 …………………………………………………………………………………………………

2) cos B = 0.988 …………………………………………………………………………………………………

3) tan X = 0.625 …………………………………………………………………………………………………3. กำาหนด ABC ดังรูป จงหา

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. กำาหนด ABC ใหด้ังรูป จงหา sin BAD และ sin ABD

1. sin A 2. sin C3. cos C

4. cos C 5. tan A 6. tan C

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5. จงหาค่า cos 60 + sin 30……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………6. จงหาค่าของ sin 60 + tan 45……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7. ชายคนหน่ึงยนืบนหน้าผาแหง่หน่ึงซึ่งสงู 70 เมตร มองเหน็ทุ่น 2 ทุ่นในทะเลเป็นมุมก้ม 30 และ 45 ตามลำาดับ จงหาวา่ทุ่นทัง้สองหา่งกันเท่าใด……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………8. Find the value of x in each of the following triangles, give your answer correct to three decimal places. (√3≈1.732)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………9. Approximately what is the length of the rope for the kite sail, in order to pull the ship at an angle of 45 and be at a vertical height of 150 m, as shown in the diagram below?…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………