FYZIKA II

ZBIERKA PRÍKLADOV A ÚLOH

Oľga Holá a kolektív SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE 2002

FYZIKA II - ZBIERKA PRÍKLADOV A ÚLOH Autorský kolektív: Doc. RNDr. Oľga Holá, PhD. - vedúca autorského kolektívu RNDr. Ladislav Bušovský Doc. Ing. Pavol Fedorko, PhD. Doc. RNDr. Viliam Laurinc, PhD. Doc. Ing. Peter Lukáč, PhD. Ing. Vladimír Lukeš, PhD. RNDr. Miroslav Tokarčík, PhD.

3

Predslov Učebný text "Fyzika II - Zbierka príkladov a úloh", ktorý sa Vám dostal do rúk, je učebnou

pomôckou k výpočtovým cvičeniam z fyziky. Je priamym pokračovaním skrípt "Fyzika I - Zbierka

príkladov a úloh" - a to pokiaľ ide o obsah aj formu. Spolu tieto skriptá pokrývajú celé učivo fyziky

základného kurzu fyziky na FCHPT STU. Keďže sú určené predovšetkým študentom tejto fakulty je

členenie učiva v súlade s koncepciou výučby fyziky na FCHPT. Niektoré kapitoly sú preto spracované

detailnejšie, niektoré sa týkajú len základných princípov danej oblasti a niektoré oblasti (napr.

kinetická teória plynov, termodynamika, geometrická optika, atómová fyzika, atď.) klasického

základného kurzu fyziky nie sú v skriptách spracované, pretože sú súčasťou výučby iných predmetov

na fakulte.

Členenie jednotlivých kapitol je analogické ako v 1. časti skrípt. V úvode každej kapitoly je

prehľad potrebnej teórie a fyzikálnych zákonov z danej oblasti.

V časti "Otázky a problémy" kladieme dôraz jednak na zopakovanie teoretických základov

danej kapitoly, jednak na ich aplikáciu na vysvetlenie javov zo života okolo nás, súvisiacich s danou

problematikou.

"Riešené príklady" sú vyberané tak, aby ilustrovali a reprezentovali fyzikálnu oblasť danej

kapitoly.

"Neriešené príklady" - v každej kapitole je zaradený aj dostatočne veľký súbor neriešených

príkladov, pričom ich riešenia a výsledky sú uvedené v druhej časti skrípt. Príklady označené *

znamenajú buď príklady, ktoré rozširujú základné učivo kurzu alebo patria k náročnejším.

Jedným z cieľov pri koncipovaní nadväznosti kapitol bolo ukázať, že fyzika nie je len súhrn

nezávislých poznatkov a zákonov v jednotlivých jej oblastiach, ale že tieto vzájomne súvisia a preto je

k riešeniu problémov potrebná znalosť fyzikálnych zákonov a vedomostí z predošlých kapitol.

V závere skrípt je tabuľková príloha, obsahujúca tabuľky základných a odvodených veličín a

ich jednotiek v SI, základných fyzikálnych konštánt a tabuľky niektorých vybraných hodnôt

fyzikálnych veličín, potrebných pri riešení jednotlivých príkladov. Tieto hodnoty už nie sú v textoch

príkladov priamo uvedené z dôvodov, aby študent pri riešení príkladu samostatne zistil, aké údaje

potrebuje a následne si ich v tabuľkách vyhľadal.

Na základe našej pedagogickej skúsenosti si uvedomujeme dôležitosť vizuálneho znázornenia

a ilustrácie daného problému. Preto skriptá obsahujú dostatočné množstvo ilustračných obrázkov a

rovnako doporučujeme študentom, aby si pri riešení príkladov načrtli konkrétnu situáciu.

Celkove skriptá "Fyzika II - Zbierka príkladov a úloh" obsahujú viac ako 300 otázok a úloh a

viac ako 500 príkladov. Pri ich výbere, zostavovaní ako aj tvorbe nových príkladov sme čerpali a

inšpirovali sa z veľkého množstva zbierok príkladov, ktoré uvádzame v zozname použitej literatúry.

4

V texte dôsledne používame terminológiu a značenie fyzikálnych veličín ako aj ich jednotiek

podľa platných Slovenských technických noriem STN ISO 31-0 až 31-13 z r. 1997-98.

Nutným predpokladom úspešnosti riešenia fyzikálnych príkladov tejto zbierky je zvládnutie

matematického aparátu - a to základov algebry, trigonometrie, vektorového počtu ako aj základov

diferenciálneho a integrálneho počtu.

Na záver chceme poďakovať naším externým spolupracovníkom Ing. J. Griačovi, CSc. a

RNDr. E. Griačovej za pozorné prečítanie rukopisu a ich pripomienky. Osobitné poďakovanie patrí

recenzentom Doc. RNDr. A. Tirpákovi, PhD. a RNDr. Ľ. Horňanskému, PhD. z Fakulty matematiky,

fyziky a informatiky UK v Bratislave za ich ochotu a cenné pripomienky k textu.

Autori

5

1 Elektrostatické pole vo vákuu

1.1 Úvod Základný zákon elektrostatiky je Coulombov zákon, udávajúci silu, ktorou na seba pôsobia

statické bodové elektrické náboje, nachádzajúce sa vo vákuu:

1 23

0

14π

Q Qrε

=F r , kde F je sila, ktorou pôsobí elektrický

náboj Q1 na náboj Q2, r je polohový vektor elektrického náboja Q2 vzhľadom na elektrický náboj Q1, ε0 = 8,854⋅10 – 12 F⋅m –1 je

permitivita vákua (tiež "elektrická konštanta") (obr. 1.1). Pri súčasnom pôsobení viacerých elektrických bodových nábojov Qi je výsledná sila na bodový elektrický

náboj Q0 daná na základe princípu superpozície vektorovým súčtom: 03

1 104π

n ni

i ii i i

Q Qrε= =

= =∑ ∑F F r

Ak platí Q >> e (elementárny náboj), môžeme uvažovať spojité rozloženie elektrického náboja buď v objeme τ, na ploche S alebo na lineárnom útvare ℓ, pričom definujeme objemovú hustotu náboja

( ) d, ,dQx y zρτ

= , plošnú hustotu náboja ( ) d,dQx yS

σ = , resp. dĺžkovú hustotu náboja ( ) ddQλ = .

V okolí statických bodových elektrických nábojov vzniká elektrostatické pole, ktoré charakterizujeme intenzitou a potenciálom. Sila, ktorou pole v danom mieste vo vákuu pôsobí na

kladný jednotkový náboj Q0 sa nazýva intenzita poľa ( ) ( )0

, ,, ,

x y zx y z

Q=

FE .

Potom intenzita elektrostatického poľa, budeného jediným elektrickým bodovým nábojom Q, sústavou diskrétnych bodových nábojov Qi, resp. spojito rozloženým elektrickým nábojom, bude mať tvar:

( ) ( ) ( )33 30 0 0

1 1 1 d, , , , resp. ,4π 4π 4π

ii i i

i i

QQ QQ r Q r Q rr rr τε ε ε

= = =∑ ∫E r E r E r

kde r, resp. ri sú polohové vektory miesta, v ktorom určujeme intenzitu poľa vzhľadom na element, ktorý toto pole vytvára. Pri spojito rozloženom elektrickom náboji vyjadríme dQ pomocou rovníc pre hustotu náboja podľa toho, či máme objemové, plošné alebo dĺžkové rozloženie náboja (obr.1.2).

Tok vektora intenzity elektrostatického poľa ľubovoľnou plochou S je definovaný vzťahom:

dΨ = ∫ E S⋅ , kde dS je plošný vektor.

Gaussov zákon (v integrálnom tvare): Tok vektora intenzity elektrostatického poľa ľubovoľnou uzavretou plochou, obklopujúcou elektrický náboj, sa rovná podielu celkového elektrického náboja uzavretého touto plochou a permitivity vákua:

Q1Q2

r

F

Obr. 1.1 Coulombov zákon

τ

d τ

r

A (x,y, z)

S

dS

rB (x,y,z)

r

d

C (x,y,z)

dQ dQ

dQ

Obr. 1.2 Spojito rozložený elektrický náboj

6

0 0 0

dd = , resp. = , resp. =

ii

S

Q QQε ε ε

∑ ∫∫ E S⋅

kde ďalšie výrazy na pravej strane odpovedajú diskrétnemu, resp. spojitému rozloženiu elektrických nábojov.

Gaussov zákon (v diferenciálnom tvare) 0

divερ

=E vyjadruje, že elektrostatické pole je pole žriedlové.

Práca, ktorú vykonávajú sily elektrostatického poľa pri prenesení elektrického náboja Q0 z bodu

A do bodu B (obr. 1.3) je: B

A

00

0 A B

1 1d4πε

r

r

Q QW Q

r r⎡ ⎤

= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ E r⋅ .

Elektrostatické pole je konzervatívne (potenciálové), práca nezávisí od tvaru dráhy. Preto cirkulácia intenzity pozdĺž ľubovoľnej uzavretej krivky ℓ sa rovná nule: d 0 , resp. v diferenciálnom tvare platí: rot= =∫ 0E r E⋅ .

V konzervatívnom poli môžeme definovať potenciálnu energiu. Práca síl poľa sa rovná úbytku potenciálnej energie: W = EpA – EpB. Potom potenciálna energia elektrického náboja

Q0 v poli elektrického náboja Q sa rovná práci, ktorú musia vykonať sily poľa pri premiestnení tohto

náboja z daného miesta do nekonečna: 0p

0

( )4πεrQ QE r W

r→∞= = .

Elektrický potenciál v danom mieste elektrostatického poľa je definovaný ako práca, ktorú musia vykonať sily poľa pri premiestnení jednotkového kladného náboja z daného miesta do nekonečna

(resp. miesta s nulovým potenciálom): ( ) ( )p

0 0

r E rWV rQ Q→∞= = . Elektrický potenciál poľa, budeného

jediným bodovým elektrickým nábojom Q, sústavou diskrétnych bodových nábojov Qi, resp. spojito rozloženým elektrickým nábojom, bude mať tvar:

( ) ( ) ( )0 0 0

1 1 1 d, , resp.4π 4π 4π

i

i i

QQ QV r V r V rr r rε ε ε

= = =∑ ∫

kde r, resp. ri je vzdialenosť bodu, v ktorom elektrický potenciál počítame od elementu, ktorý elektrostatické pole vytvára. Pri spojito rozloženom elektrickom náboji dosadíme za dQ jeden z výrazov pre hustotu náboja, podľa toho, či ide o objemové, plošné alebo dĺžkové rozloženie náboja. Napätie medzi bodmi A a B v elektrostatickom poli sa rovná práci, ktorú musia vykonať sily poľa pri premiestnení jednotkového kladného náboja Q0 z miesta A do miesta B. Toto napätie sa rovná

rozdielu elektrických potenciálov v bodoch A, B: B

A

A BA B

0

dr

r

WU V V

Q→= = = −∫ E r⋅ . Prácu môžeme

potom vyjadriť ako W = Q0 U . Z tohto vzťahu vyplýva aj jednotka práce elektrónvolt 1.

Rovnicu pre potenciálnu energiu môžeme zapísať v tvare: Ep = Q0 V = Q V0 = ( )0 012

QV VQ+ ,

potom zovšeobecnením dostaneme pre potenciálnu energiu sústavy bodových elektrických nábojov vzťah:

p0

1 12 4π

i jj i

i j i j i ij

Q QE Q V

rε≠ ≠

= =∑ ∑∑ .V prípade spojito rozloženého elektrického náboja môžeme definovať

objemovú hustotu energie 2

p 0dd 2E Ew ετ

= = a pre celkovú energiu dostaneme: 2p 0

1d d2

E w Eτ τ

τ ε τ= =∫ ∫ .

1 Jednotka práce 1 elektrónvolt sa rovná práci vykonanej pri prenose elektrického náboja e medzi miestami

s potenciálovým rozdielom 1 V. Platí: 1 eV = 1,602⋅10–19 J.

Q

rA

rB

r

Q0

A

B

dr

Obr. 1.3 Práca v elektrostatickom poli

7

Súvis intenzity a elektrického potenciálu v elektrostatickom poli vyjadrujú rovnice E = – grad V, resp. dV = − E⋅ dr. Intenzita E má smer maximálneho poklesu elektrického potenciálu V a veľkosť rovnú úbytku potenciálu na jednotku dĺžky v tomto smere. Elektrická kapacita vodiča charakterizuje schopnosť telesa hromadiť elektrický náboj na

jednotku potenciálu. Elektrická kapacita izolovaného vodiča je QCV

= . Sústava dvoch vodičov –

elektród - symetricky usporiadaných tak, aby elektrické pole bolo uzavreté v konečnej oblasti priestoru, slúžiaca k nazhromažďovaniu elektrostatickej energie, sa nazýva kondenzátor. Elektrická kapacita

kondenzátora je QCU

= , kde Q je elektrický

náboj na jednej elektróde, U je napätie medzi elektródami.

Elektrostatická energia akumulovaná

v kondenzátore je 21 12 2

E QU CU= = .

Pre výslednú elektrickú kapacitu pri

sériovom radení (obr.1.4a) kondenzátorov s elektrickými kapacitami C1, C2, ... Cn, platí: 1 1i iC C

=∑ , resp. pri

ich paralelnom radení (obr. 1.4 b): ii

C C=∑ .

Elektrický dipól je sústava dvoch rovnako veľkých elektrických nábojov opačného znamienka, ktorých vzájomná vzdialenosť je ℓ. Elektrický moment dipólu je vektor p = Q ℓ smerujúci od záporného elektrického náboja ku kladnému. Elektrický potenciál poľa dipólu v ľubovoľnom bode

A(r) je ( )d 304π

Vrε

=p rr ⋅ a intenzita v tomto bode poľa je ( ) 2

d 50

1 34π

rrε

⎡ ⎤= −⎣ ⎦E p r r p⋅ , kde r je

polohový vektor bodu A vzhľadom na stred dipólu a platí, že r >> ℓ (obr.1.5). Po vložení elektrického dipólu do vonkajšieho homogénneho elektrického poľa E (obr.1.6), pôsobí na dipól dvojica síl s momentom M = p x E a otáča dipól do smeru tohto poľa. Potenciálna energia dipólu je Ep = – p ⋅ E .

1.2 Otázky a problémy 1. Akou výslednou silou pôsobia dva súhlasné a rovnaké elektrické náboje na tretí náboj, ktorý sa

nachádza v strede vzdialenosti medzi nimi? 2. Bodový elektrický náboj je vložený do stredu vzdialenosti medzi dvomi rovnako veľkými

nábojmi, ktoré majú elektrický náboj: a) opačného znamienka, b) rovnakého znamienka ako vložený náboj. Posúďte, či sa vložený elektrický náboj nachádza v stabilnej rovnovážnej polohe.

3. Medzi dvoma elektrickými nábojmi Q1 a Q2 pôsobí elektrostatická sila. Koľkokrát sa zmení sila, keď elektrický náboj Q2 a vzdialenosť medzi nábojmi zdvojnásobíme?

4. Dve guľôčky rovnakého polomeru s elektrickými nábojmi 8 μC a – 2 μC sa vplyvom elektrostatickej sily dotkli a opäť odpudili do vzdialenosti 10 mm. Určte odpudivú silu pôsobiacu medzi guľôčkami!

C1 C2 Cn

C1

C2

CnObr.1.4 Radenie kondenzátorov a) sériové b) paralelné

a) b)

– Q

Q

p

E

F

Obr.1.6 Dipól v elektrickom poli

– F

A(r)

– Q Q

r2

0r1

r

Obr.1.5 Elektrické pole dipólu

8

5. Ako sa bude pohybovať nabité zrnko prachu v poli súhlasného bodového elektrického náboja (zanedbajte trenie)?

6. Vypočítajte zrýchlenie, ktoré udeľuje jeden elektrón druhému, keď je vo vzdialenosti 1 mm od neho.

7. Aký počet elektrónov odpovedá elektrickému náboju 100 μC? 8. Vysvetlite nesprávnosť nasledovného tvrdenia: „Siločiary elektrostatického poľa sú dráhy, po

ktorých by sa pohyboval kladný elektrický náboj, keby bol vložený do tohto poľa.“ 9. Môže vo vákuu existovať elektrostatické pole, ktoré má v celom priestore poľa rovnaký smer

vektora intenzity E a pritom veľkosť intenzity lineárne narastá v smere kolmom na E? Zdôvodnite!

10. Môžu sa siločiary elektrostatického poľa navzájom pretínať alebo dotýkať? Môžu sa pretínať alebo dotýkať ekvipotenciálne hladiny prislúchajúce rôznym elektrickým potenciálom?

11. Aká je intenzita elektrostatického poľa: a) v strede rovnomerne nabitého kruhového prstenca; b) v strede rovnomerne nabitého guľového prstenca?

12. Tri bodové elektrické náboje 9Q, 4Q, –2Q ležia na priamke každý vo vzdialenosti a od susedného náboja. Aká je intenzita spoločného elektrostatického poľa v bode P? (obr.1.7)

13. Dva bodové elektrické náboje rovnakej veľkosti sú umiestnené vo vákuu. Aká bude výsledná intenzita elektrostatického poľa v strede spojnice týchto nábojov, ak: a) náboje majú rovnakú polaritu, b) náboje majú opačnú polaritu?

14. Aká bude veľkosť intenzity elektrostatického poľa v strede štvorca, ak je pole vytvorené štyrmi bodovými elektrickými nábojmi, umiestnenými vo vrcholoch štvorca, ak sú náboje: a) rovnakej polarity, b) polarita nábojov sa strieda (− + − +), c) polarita nábojov je (+ + − −)?

15. Vo vrcholoch pravidelného šesťuholníka so stranou a sú umiestnené rovnaké bodové elektrické náboje Q. Určte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa v strede šesťuholníka, ak: a) náboje sú rovnakej polarity; b) polarita susedných nábojov je opačná!

16. Intenzita elektrického poľa je daná vzťahom: E = E i, (E = konšt.). Napíšte výraz pre elektrický potenciál tohto poľa!

17. Intenzita elektrického poľa má tvar: E = Ex i + Ey j + Ez k , pričom zložky tohto poľa sú konštantné. Je takéto pole homogénne? Nájdite potenciál tohto poľa!

18. Intenzita elektrického poľa je 3

ar

=E r , kde a = konšt. Je toto pole homogénne? Nájdite elektrický

potenciál tohto poľa! 19. Vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa vo vzdialenosti 1⋅10–10 m od jednomocného iónu,

resp. dvojmocného iónu! 20. V blízkosti povrchu kovovej gule s polomerom 3 cm sme namerali intenzitu elektrického poľa

2,1⋅102 V⋅m–1, smerujúcu kolmo k povrchu do stredu gule. Aká je polarita a veľkosť elektrického náboja na guli?

21. Elektrické pole v blízkosti povrchu Zeme má intenzitu 150 V⋅m–1 a smeruje do stredu Zeme. Aký je celkový elektrický náboj Zeme? Koľko voľných elektrónov pripadá na 1 m2 zemského povrchu?

22. Elektrické pole v blízkosti povrchu Zeme má intenzitu 150 V⋅m–1 a smeruje do stredu Zeme. a) Aký je elektrický potenciál Zeme vzhľadom na nekonečno, ak zvolíme V∞ = 0 V; b) Aký bude elektrický potenciál v nekonečne, ak zvolíme nulovým potenciál Zeme?

23. Elektrický potenciál poľa vytvoreného nejakou sústavou nábojov má tvar: V = a (x2 + y2) + b z2 , kde a, b sú konštanty. Nájdite intenzitu E tohto poľa a jej veľkosť!

24. Zmení sa intenzita homogénneho elektrického poľa medzi dvomi nekonečnými opačne nabitými rovinami, keď vzdialenosť medzi nimi dvakrát zväčšíte?

25. Aká bude výsledná intenzita elektrického poľa, vytvoreného dvomi nekonečnými rovnobežnými rovinami v priestore medzi nimi, ak: a) plošné hustoty nábojov na rovinách sú rovnaké čo do veľkosti aj polarity; b) majú opačnú polaritu?

26. Dve nekonečné roviny zvierajú uhol 90° a sú homogénne nabité s plošnými hustotami elektrických nábojov 3σ a 4σ. Aká je veľkosť intenzity elektrostatického poľa v priestore 1. kvadrantu?

a a a

9Q 4Q – 2Q P

Obr.1.7

9

27. Kedy môže malé nabité prachové zrnko „visieť“ medzi dvomi vodorovnými opačne nabitými rovinami? Čo sa stane so zrnkom, ak sa jeho náboj zmenší? Čo treba urobiť, aby znovu nastala rovnováha?

28. Protón sa v homogénnom elektrickom poli, vytvorenom medzi dvomi opačne nabitými vodorovne uloženými rovinami nepohybuje. Zistite, aká musí byť v tomto prípade intenzita poľa!

29. S akým zrýchlením sa bude pohybovať protón v homogénnom elektrickom poli intenzity 7,9⋅10–4 V⋅m–1? Akú dráhu prejde za čas 0,5 s?

30. Dve rovnobežné dosky sú nabité tak, že rozdiel ich elektrických potenciálov je 50 V a medzi doskami je homogénne elektrické pole. Vypočítajte intenzitu poľa medzi doskami, ak vzdialenosť medzi nimi je 5 cm! Zakreslite aspoň dve ekvipotenciálne hladiny a siločiary takéhoto poľa!

31. Máme dva kladne nabité vodiče, jeden z nich má menší elektrický náboj ale vyšší elektrický potenciál ako druhý. Ako sa budú pohybovať elektrické náboje, keď sa vodiče navzájom dotknú?

32. Experimentálne sme namerali rozloženie ekvipotenciálnych hladín elektrického poľa, pričom platí pre elektrické potenciály V1>V2 (obr.1.8). Zakreslite približný tvar siločiar tohto poľa a určte, v ktorej oblasti má pole väčšiu intenzitu! Aký uhol zviera siločiara s ekvipotenciálnou hladinou?

33. Nakreslite približný tvar ekvipotenciálnych hladín a siločiar elektrostatického poľa kladného elektrického náboja, ktorý sa nachádza v blízkosti zemského povrchu!

34. Záporný elektrický náboj sa nachádza v elektrickom poli. Bude sa pod účinkom tohto poľa pohybovať v smere vyššieho alebo nižšieho elektrického potenciálu? Ako sa bude pohybovať kladný elektrický náboj?

35. Bodový elektrický náboj vytvára elektrostatické pole, jeho ekvipotenciálne hladiny sú znázornené na obr.1.9. Vypočítajte prácu, ktorá sa vykoná pri premiestnení určitého elektrického náboja z bodu A do bodu B! Porovnajte práce pri prenesení toho istého náboja z bodu A do bodu C, resp. z bodu B do C.

36. Akú prácu treba vykonať na prenesenie náboja Q0 = 3 μC z nekonečna do bodu vzdialeného 0,5 m od náboja Q = 20 μC?

37. Akú prácu treba vykonať pri prenose elektrického náboja – 8 μC zo Zeme do bodu s elektrickým potenciálom 600 V, ak elektrický potenciál Zeme je nulový?

38. Elektricky nabitú mydlovú bublinu nafukujte dovtedy, kým sa jej polomer nezdvojnásobí. Elektrický náboj bubliny sa pritom nezmení. Ako sa zmení potenciálna energia? Uľahčuje prítomnosť elektrického náboja nafukovaniu bubliny alebo naopak je prekážkou?

39. Elektrón je urýchľovaný potenciálovým rozdielom 100 V. Koľkokrát vzrastie jeho rýchlosť, ak rozdiel potenciálov zväčšíme štyrikrát?

40. Elektrón urýchľovaný elektrickým poľom sa premiestňuje od nabitej dosky A k doske B a získa pritom kinetickú energiu 6,4⋅10–16 J. Aký je rozdiel potenciálov medzi doskami? Ktorá z dosiek má väčší elektrický potenciál?

41. Elektrický náboj, ktorý bol privedený na Zem v dôsledku výboja v atmosfére (blesku) pri potenciálovom rozdieli 3,5⋅107 V bol 30 C. Koľko energie sa pritom uvoľnilo? Aké množstvo vody by sa touto energiou zohrialo z 0° C na bod varu?

42. Kruh s polomerom 15 cm je umiestnený v homogénnom elektrickom poli intenzity 3,6⋅102 V⋅m–1. Aký je tok intenzity poľa cez kruh, ak jeho rovina je: a) kolmá na siločiary poľa, b) zviera uhol 45° so siločiarami, c) je rovnobežná so siločiarami?

43. Bodový elektrický náboj Q je umiestnený v strede kocky so stranou a. Aký je tok intenzity elektrického poľa cez jednu stenu kocky?

44. Z kocky, ktorá má strany dĺžky 18 cm, vystupuje tok intenzity elektrického poľa 1,45⋅103 V⋅m. Aký elektrický náboj sa nachádza vo vnútri kocky?

45. Vypočítajte elektrickú kapacitu Zeme, ak ju považujeme za guľový vodič! 46. Elektrickú kapacitu časti elektrickej siete treba zmenšiť z 3600 na 1000 pF. Ako musíme pripojiť

ďalší kondenzátor do siete, a akú musí mať elektrickú kapacitu? 47. Dva kondenzátory s rovnakou elektrickou kapacitou zapojíme raz do série a potom paralelne.

Rozdiel výsledných elektrických kapacít v obidvoch zapojeniach je 6 pF. Aká bola elektrická kapacita použitých kondenzátorov?

V1

V2

Obr.1.8

+A

BC

Obr.1.9

10

48. Tri kondenzátory s rovnakými elektrickými kapacitami sú pripojené k zdroju. V ktorom prípade akumulujú viac energie a koľkokrát – pri ich sériovom alebo paralelnom radení?

49. Máme nabitý doskový kondenzátor a zväčšíme trojnásobne vzdialenosť medzi jeho doskami. Ako sa zmení: a) elektrická kapacita kondenzátora, b) intenzita elektrického poľa medzi doskami, c) rozdiel potenciálov na doskách, d) elektrostatická energia poľa v kondenzátore?

50. Dva nesúhlasné bodové elektrické náboje rovnakej veľkosti vytvárajú elektrostatické pole. Vysvetlite, prečo vo všetkých bodoch poľa, ktoré sú rovnako vzdialené od obidvoch nábojov, je smer intenzity poľa rovnobežný so spojnicou týchto nábojov.

51. Akú prácu treba vykonať na preklopenie dipólu s dipólovým momentom p z polohy súhlasne rovnobežnej s vonkajším elektrickým poľom intenzity E do polohy nesúhlasne rovnobežnej?

52. Aký je tok intenzity elektrického poľa cez uzavretú plochu, obopínajúcu elektrický dipól? 1.3 Riešené príklady 1.1 Akou vzájomnou silou na seba pôsobia dve rovnako nabité železné guľôčky s hmotnosťami 1 g

vo vzdialenosti 2 m od seba, ak majú celkový elektrický náboj elektrónov o 1 % väčší ako celkový kladný elektrický náboj všetkých jadier?

Riešenie

Elektrostatická odpudivá sila medzi guľôčkami je spôsobená prebytočným elektrickým nábojom elektrónov na každej z guľôčok. Počet atómov železa v guľôčke s hmotnosťou m = 1 g je:

A AmN n N NM

= = , kde n je látkové množstvo, M je molárna hmotnosť, NA je Avogadrova konštanta.

Po dosadení číselných hodnôt: N = 1,08⋅1022. Celkový kladný elektrický náboj každej guľôčky bude: Q = 26 e N = 4,5⋅104 C. Keďže celkový náboj elektrónov každej guľôčky je o 1% väčší, bude na každej guľôčke nevykompenzovaný záporný elektrický náboj veľkosti Qe = 4,5⋅102 C. Vzájomná

odpudivá sila medzi týmito guľôčkami je Coulombova sila veľkosti: 2e

204π

QFRε

= = 4,5⋅1014 N.

1.2 Elektrické náboje – Q, 3Q, –5Q, 3Q sú umiestnené vo vrcholoch štvorca so stranou a. V strede

štvorca je umiestnený elektrický náboj Q. Vypočítajte veľkosť a smer výslednej sily, pôsobiacej na tento elektrický náboj! Číselne vypočítajte pre Q = 0,4 mC, a = 0,2 m!

Riešenie

Umiestnenie štvorca v súradnej sústave xyz je výhodné podľa obr.1.10. Potom na elektrický náboj Q v strede štvorca budú podľa Coulombovho zákona pôsobiť sily:

2 2

2 20 0

2 2

2 20 0

1 1 3( ), ,4π 4π

1 5 1 3 2, ( ), kde4π 4π 2

Q Qu u

Q Q u au u

ε ε

ε ε

= − =

= = − =

1 2

3 4

F i F j

F i F j

Výsledná sila je vektorový súčet týchto síl:

2

20

2π

Qaε

= + + + =1 2 3 4F F F F F i , F = 2,9⋅105 N.

Výsledná sila F pôsobiaca na elektrický náboj Q v strede štvorca má smer osi x, jej veľkosť je 2,9⋅105 N.

- Q - 5Q

3Q

Q

3Q

F1F4

F3

F2

a

x

y

Obr.1.10

11

1.3 Dva elektrické náboje rovnakej polarity a s veľkosťami Q1 = 2nC a Q2 = 8 nC sú vo vzájomnej vzdialenosti ℓ = 9 cm (obr.1.11). V akej vzdialenosti medzi nimi máme umiestniť tretí elektrický náboj a akú musí mať veľkosť a polaritu, aby výsledná sila, pôsobiaca na každý elektrický náboj bola nulová?

Riešenie

Vložený elektrický náboj Q0 musí byť záporný, aby mohla nastať rovnováha síl. Pre každý elektrický náboj môžeme písať vektorové rovnice: F10 + F12 = 0, F01 + F02 = 0, F20 + F21 = 0. Pre veľkosti síl musí potom platiť:

0 1 0 201 02 2 2

0 04π 4π ( )Q Q Q QF F

x xε ε= ⇒ =

− odkiaľ vyjadríme hľadanú vzdialenosť

2 11x

Q Q=

+.

Z rovnováhy síl pôsobiacich na elektrický náboj Q1 dostaneme veľkosť náboja Q0:

21 0 1 2

10 12 0 22 20 04π 4π

Q Q Q Q xF F Q Qxε ε

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Analogicky by sme mohli vypočítať veľkosť Q0 z rovnováhy síl pôsobiacich na elektrický náboj Q2, t.j. z rovnice F20 = F21. Po číselnom dosadení dostaneme: x = 3 cm, Q0 = 8/9 nC.

1.4 Dve rovnaké kovové guľôčky hmotností 20 mg sú každá zavesená na nitiach dĺžky 0,2 m, ktoré

sú upevnené v jednom bode závesu. Jednu z guľôčok oddialime a nabijeme elektrickým nábojom Q. Po vzájomnom dotyku guľôčok sa rozostúpia tak, že nite zvierajú uhol 60°. Určte veľkosť elektrického náboja dodaného prvej guľôčke!

Riešenie

Na obr. 1.12 je znázornená situácia pred nabitím a po nabití guľôčky elektrickým nábojom Q. Elektrický náboj Q sa po vzájomnom dotyku guľôčok rozdelí a každá z guľôčok bude nabitá elektrickým nábojom Q/2. Guľôčky sa rozostúpia v dôsledku vzájomného odpudivého pôsobenia

týchto nábojov. Na každú z guľôčok pôsobia 3 sily: tiažová sila Fg, sila elektrostatického pôsobenia (Coulombova sila) Fe a sila reakcie nite Fr. V statickej rovnováhe musí platiť podmienka pre výslednicu síl, pôsobiacich na zavesenú guľôčku:

Fg + Fe + Fr = 0. Pretože Fe ⊥ Fg bude pre veľkosti síl platiť:

2

2e 0

g

16πtg2

QF bF mg

α ε= = , pričom rozostup nábojov b dostaneme

z trigonometrického vzťahu: b/2 = ℓ sin α/2. Po dosadení b do predošlej rovnice a úprave, vyjadríme nakoniec hľadaný elektrický náboj Q:

2

02 2

0

tg 8 sin π tg2 2 264π sin

2

Q Q mgmg

α α αεαε

= ⇒ = . Číselne Q ≅ 45 nC.

Poznámka: Príklad môžeme riešiť aj pomocou momentovej podmienky rovnováhy g e rF F+ + = 0FM M M . Ak si za momentový bod zvolíme bod závesu, bude pre veľkosti momentov platiť:

2

g e 20

sin( / 2) sin(90 / 2)16πF F

QM M mgb

α αε

= ⇒ = − . Odtiaľ po úprave dostaneme rovnaký výsledok pre Q.

Q1

Q0

Q2

x F21F20

F01 F02

F12

F10

Obr.1.11

b

α

Fg

Fe

Fr

Obr.1.12

12

1.5 Nabitá guľôčka hmotnosti 10 g zavesená na niti sa pohybuje po kružnici polomeru 5 cm konštantnou uhlovou rýchlosťou 10 s–1. Pod bodom závesu A sa nachádza v bode B nepohyblivý rovnako veľký elektrický náboj, pričom platí AS = SB, uhol α = 45°, (obr.1.13). Vypočítajte elektrický náboj Q!

Riešenie

Na zavesenú guľôčku opäť pôsobia 3 sily: tiažová sila Fg, Coulombova sila Fe a sila reakcie nite Fr. Výslednica týchto síl je dostredivá sila, spôsobujúca rovnomerný pohyb guľôčky po kružnici s polomerom R. Úlohu budeme riešiť zo stanoviska spolurotujúcej vzťažnej sústavy – teda neinerciálnej sústavy. Preto okrem spomínaných reálnych síl musíme uvažovať aj silu zotrvačnosti Fz, smerujúcu od stredu kružnice. Z hľadiska tejto vzťažnej sústavy sú guľôčky v rovnovážnom stave a môžeme použiť momentovú podmienku rovnováhy, t.j. g e r z+ + + = 0F F F FM M M M . Ak si za momentový bod zvolíme bod závesu A a jednotkový vektor ρ0 smeruje pred nákresňu, potom jednotlivé momenty síl sú: moment tiažovej sily: MFg = ℓ mg sin α (– ρ0), moment zotrvačnej sily:

MFz = ℓ mω2R sin (π/2–α) (ρ0), moment Coulombovej sily: 2

e 020

sin( 2 )4πF

Qπ α

ε= −M ρ , moment

sily reakcie nite MFr = 0. V pravouhlom trojuholníku ďalej platí: ℓ = R/sinα.. Po dosadení momentov do momentovej podmienky, dosadením ℓ a predelením rovnice jednotkovým vektorom ρ0 dostávame:

22 2

0

sin sin 2 cot g 04π

QmgR m RR

α α ω αε

− + + = .

Odtiaľ vyjadríme hľadaný elektrický náboj: 2

02πsin cos sin

R g RQ m ωεα α α

⎛ ⎞= ± −⎜ ⎟

⎝ ⎠, číselne Q ≅137,5 nC.

Poznámka: V elektrostatike najčastejšie riešime úlohu nájsť intenzitu a elektrický potenciál poľa daného rozloženia elektrického náboja. Pokiaľ je pole vytvorené sústavou diskrétnych elektrických nábojov, platí princíp superpozície polí. Ak je pole vytvorené spojito rozloženým elektrickým nábojom, rozložíme si celkový elektrický náboj na sústavu elementárnych nábojov dQ a počítame integrovaním (cez celú oblasť zaplnenú nábojom) výslednú intenzitu alebo elektrický potenciál. Stačí určiť jednu z týchto veličín a potom využiť súvis medzi intenzitou a elektrickým potenciálom na určenie tej druhej veličiny. Pri symetrickom rozložení elektrických nábojov je výhodné na výpočet intenzity použiť Gaussov zákon. 1.6 Vypočítajte intenzitu výsledného elektrostatického poľa v bode A(4,3), budeného dvomi

bodovými elektrickými nábojmi Q1 = 2 nC, ktorý je v bode (3,1) a Q2 = – 1 nC, ktorý je umiestnený v bode (1,4). Súradnice bodov sú v m.

Riešenie

Umiestnenie elektrických nábojov je znázornené na obr.1.14. Elektrostatické pole v bode A je superpozíciou polí od elektrických nábojov Q1 a Q2. Pre výslednú intenzitu platí E = E1 + E2, pričom intenzity elektrostatických polí od bodových

elektrických nábojov sú: 1 23 3

0 1 0 2

,4π 4π

Q Qr rε ε

= =1 1 2 2E r E r

kde r1, r2 sú polohové vektory bodu A vzhľadom na body, v ktorých sídlia elektrické náboje Q1 a Q2. Vo vektorových trojuholníkoch platí: ,′ ′= − = −1 0 1 2 0 2r r r r r r , pričom

, ,′ ′0 1 2r r r sú polohové vektory bodu A, elektrického náboja Q1

B

Q

A

S

Q

R

Fg

Fe

Fr

Fz

Obr.1.13

α

Q2

Q1

A

0 2

2

x

y

r2´

r1´

r0

r1

r2

E

E1

E2

Obr.1.14

13

a Q2 vzhľadom na počiatok súradnicovej sústavy. Po dosadení odpovedajúcich súradníc dostávame:

1 22 , 5 m 3 , 10 mr r= + = = − =1 2r i j r i j . Keďže polarita elektrického náboja Q2 je záporná, bude mať intenzita E2 smer vektora (– r2) (do výsledku už dosadíme potom absolútnu hodnotu elektrického náboja Q2). Vektor výslednej intenzity je:

1 23 3

0 1 2

1 ( 2 ) (3 ) (0,75 3,5 )4π

Q Qr rε

⎡ ⎤+ − − = +⎢ ⎥

⎣ ⎦E = i j i j i j V⋅m–1, jej veľkosť je E = 3,58 V⋅m–1.

1.7 Ekvipotenciálna hladina prechádza bodom poľa s intenzitou E1 = 5 kV⋅m–1, vzdialeným od

elektrického náboja, ktorý toto pole vytvára o R1 = 2,5 cm. V akej vzdialenosti od elektrického náboja máme viesť ďalšiu ekvipotenciálnu hladinu, aby napätie medzi ekvipotenciálnymi hladinami bolo 25 V?

Riešenie

Ekvipotenciálne hladiny elektrostatického poľa v okolí bodového elektrického náboja sú sústredné guľové plochy a siločiary sú z elektrického náboja radiálne vystupujúce vektory. Pre

veľkosť intenzity vo vzdialenosti R1 od bodového elektrického náboja Q platí: 1 20 14π

QERε

= a

elektrický potenciál na tejto ekvipotenciálnej hladine je: 1 1 10 14

QV E RRπε

= = . Hľadáme polomery

ekvipotenciálnych hladín R2, R2´, pre ktoré má platiť: V2 = V1 – ΔV, resp. V2´= V1 +ΔV. Dosadením výrazov pre elektrické potenciály V2, V1, (resp.V2´):

21 1

20 2 24

Q E RVR Rπε

= = , V1 = E1 R1, dostaneme rovnicu, z ktorej

vyjadríme polomer hľadanej ekvipotenciálnej plochy :

2 2

1 1 1 11 1 2

2 1 1

E R E RE R V RR E R V

= − Δ ⇒ =−Δ

, resp. 2

1 12

1 1

E RRE R V

′ =+ Δ

.

Po dosadení číselných hodnôt dostaneme polomery R2 = 3,125 cm, R2´= 2,08 cm. 1.8 Vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa budeného lineárnym vodičom konečnej dĺžky,

rovnomerne nabitým s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ = 3 nC⋅m–1 v bode A, ktorého vzdialenosť od vodiča je a = 5 cm, uhly α1 = 15°, α2 = 50° (obr.1.16).

Riešenie

Príspevok k intenzite elektrostatického poľa v bode A od elektrického náboja dQ úseku vodiča dy je:

2 20 0

d dyd4π 4π

QEr r

λε ε

= = , pričom platí:

2

dcos , tg dycos

a y ar a

αα αα

= = ⇒ = . Po dosadení r a dy do

predošlej rovnice, dostávame príspevok dE už len ako funkciu

jednej premennej – uhla α: 0

d d4π

Ea

λ αε

= .

Pre x -ovú a y -ovú zložku intenzity platí:

dEx = dE cosα =0

cos d4π aλ α αε

, dEy = dE sinα =0

sin d4π aλ α αε

.

Integráciou cez premennú α dostaneme zložky Ex, Ey výslednej intenzity v bode A od celého vodiča konečnej dĺžky:

E

R1

R2

Q

R2´

V2

V1V2´Obr.1.15

dy

y

a

r

α2αα1

A

λ

dEx

dEydE

Obr.1.16

14

2

1

2 10 0

cos d (sin sin )4π 4πxE

a a

α

α

λ λα α α αε ε−

= = +∫ , 2

1

1 20 0

sin d (cos cos )4π 4πyE

a a

α

α

λ λα α α αε ε−

= = −∫ .

Veľkosť výslednej intenzity dostaneme 2 2x yE E E= + .

V našom príklade Ex = 552,7 V⋅m–1, Ey = 174,3 V⋅m–1, E = 580 V⋅m–1. Poznámka: V limitnom prípade môžeme z uvedených výsledkov dostať intenzitu od priameho nekonečného

homogénne nabitého vodiča. Dosadením α1 = α2 = 90° dostaneme: 0

, 02πx yE E

aλε

= = .

1.9 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa vo vzdialenosti r od priameho

nekonečného vodiča, ktorý je homogénne nabitý, dĺžková hustota elektrického náboja je λ. Riešenie

Ide o symetrické rozloženie elektrického náboja, preto na výpočet intenzity je výhodné použiť Gaussov zákon. Gaussovu plochu (obr.1.17) zvolíme v tvare koaxiálneho valca s polomerom r a

výškou ℓ. Gaussov zákon bude mať tvar: 00

dd λε

⋅∫ ∫E S = .

Vodič predstavuje ekvipotenciálnu hladinu, intenzita má smer kolmý na vodič. Preto tok cez podstavy valca je nulový ( d⋅E S = 0, pretože E ⊥ dS), tok cez plášť valca bude:

0

2πE r λε

= . Odtiaľ pre intenzitu dostaneme E(r) = 02 r

λπε

. Zo

súvisu medzi intenzitou a potenciálom: dV = – E ⋅dr dostaneme integráciou pre elektrický potenciál:

0

( ) C ln2π

V r rλε

= − , kde C je nekonečne veľká konštanta, ktorá sa však pri výpočte napätia, teda

rozdielu potenciálov, odčíta a bude platiť: 21 2

0 1

ln2

RU V VR

λπε

= − = .

Poznámka: Porovnajte výslednú intenzitu s limitným výsledkom príkladu 1.8! 1.10 Nekonečný priamy vodič rovnomerne nabitý elektrickým nábojom s dĺžkovou hustotou náboja

λ1 = 3⋅10–7 C⋅m–1 a úsek vodiča dĺžky ℓ = 20 cm rovnomerne nabitý s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ2 = 2⋅10–7 C⋅m–1 sú umiestnené v jednej rovine navzájom kolmo (obr.1.18) vo vzdialenosti a = 10 cm. Vypočítajte silu vzájomného pôsobenia medzi nimi!

Riešenie

Nekonečný vodič vytvára vo svojom okolí elektrostatické pole, ktorého intenzita (podľa príkladu 1.9) so vzdialenosťou od vodiča klesá. V tomto poli sa nachádza úsek vodiča ℓ. Na elektrický náboj dQ = λ2 dr úseku vodiča pôsobí potom elektrostatické pole silou dF:

12

0

d d d2

F E Q rr

λλ

πε= = . Celkovú silu vypočítame integráciou:

1 2 1 2

0 0

d ln2π 2π

a

a

r aFr a

λ λ λ λε ε

+ += =∫ = 1,2⋅10–3 N.

1.11 Homogénne nabitý vodič tvaru polkružnice s polomerom R = 2 m má elektrický náboj Q = 10 nC

rozložený s dĺžkovou hustotou λ. Vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa v strede polkružnice!

rλ

E Obr.1.17

λ1

λ2

a

Obr.1.18

15

Riešenie Podľa obr.1.19 bude veľkosť intenzity v strede S od elektrického náboja dQ = λ dx, ktorý leží na elemente

dx = R dα polkružnice: 2 20 0 0

d dd d4π 4π 4π

Q xER R R

λ λα

ε ε ε= = = . Výsledná intenzita bude vektorovým

súčtom takýchto príspevkov, jej smer bude v smere osi symetrie polkružnice – teda v smere osi x. Zložky intenzity v smere osi y sa v dôsledku symetrie zrušia, Ey = 0. Pretože platí: dEx = dE cosα , dostaneme výslednú intenzitu integráciou:

π 2

2 20 0 0π 2

cos d4π 2π 2 πx

QER R R

λ λα αε ε ε−

= = =∫ , kde sme dosadili

dĺžkovú hustotu elektrického nábojaπQR

λ = . Pre výslednú intenzitu platí:

E = Ex i + Ey j = 2 202 πQ

Rεi = 14,3 i V⋅m–1.

1.12 Elektrický náboj Q je rozložený s dĺžkovou hustotou λ na kružnici s polomerom R (obr.1.20).

Vypočítajte elektrický potenciál vo vzdialenosti x od stredu kružnice na osi kružnice! Z vypočítaného potenciálu odvoďte vzťah pre intenzitu elektrostatického poľa! Aká bude intenzita a elektrický potenciál v strede kružnice? Nájdite extrémy intenzity poľa a zakreslite približný priebeh V(x), E(x)!

Riešenie

Elektrický potenciál poľa budeného spojito rozloženým elektrickým nábojom vypočítame integráciou:

0

1 d4π

QVrε

= ∫ , kde r je vzdialenosť bodu A(x),

v ktorom elektrický potenciál počítame od elementu dQ, ktorý toto pole vytvára. Tento elektrický náboj môžeme vyjadriť pomocou dĺžkovej hustoty náboja λ. Úsek kružnice dx, kde tento náboj sídli, pomocou uhla dα a polomeru kružnice R: dQ = λ dx = λ R dα.. Pre

vzdialenosť r platí: 2 2r R x= + . Dosadením týchto vzťahov do integrálu a integrovaním cez uhol α dostaneme hodnotu elektrického potenciálu ako funkciu polohy bodu A na osi x:

2π

2 2 2 20 0 0

1( ) d4π 2

R RV xR x R xλ λα

ε ε= =

+ +∫ .

Pre výpočet intenzity poľa E na osi kružnice použijeme súvis medzi E a V:

2 2 3 20

( ) grad2 ( )

V R xx Vx R x

λε

∂= − = −

∂ +E i = i ,

výsledná intenzita má smer osi x. Hodnoty elektrického potenciálu a intenzity v strede kružnice sú: V(0) = λ /(2ε0), E(0) = 0. Ak chceme poznať priebeh funkcií V(x), E(x), nájdeme si extrémy týchto funkcií. Z podmienky

max0

d 0 0 (0)d 2V x V Vx

λε

= ⇔ = ⇒ = = . Extrémy funkcie E(x) určíme:

2 2 2

max2 2 5 20 0

3 02 ( ) 2 3 3

dE R R x x Rx Edx R x R

λ λε ε

⎡ ⎤+ −= = ⇔ = ± ⇒ = ±⎢ ⎥+⎣ ⎦

.

Približné priebehy funkcií V(x), E(x) sú znázornené na obr. 1.21.

dE

dEy

dExR

S

dα

α

dx

Obr.1.19

– dEy

E -Emax

V

Emax

Vmax

xmax

-xmax

0 x

E,V

Obr.1.21

0

Edα

dx

R

A(x)

Obr.1.20

r

x

16

1.13 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa v okolí homogénne nabitej nekonečnej roviny! Elektrický náboj na rovine je rozložený s plošnou hustotou σ.

Riešenie Intenzita elektrostatického poľa bude vektor kolmý na nabitú rovinu. Z dôvodov symetrie je vhodné použiť na jej výpočet Gaussov zákon. Za Gaussovu plochu (obr.1.22) si zvolíme povrch valca, tok cez povrch plášťa bude nulový, pretože je tu E ⊥ dS. Tok cez základne (E ↑↑ dS) bude

2

d 2S

E S=∫ E S⋅ . Elektrický náboj obopnutý Gaussovou plochou (leží

na vyšrafovanej plôške) môžeme vyjadriť pomocou plošnej hustoty náboja d

S

Q S Sσ σ= =∫ . Dosadením do Gaussovho zákona

dostaneme:

0 0 0

d 22

Q SE S Eσ σε ε ε

⇒ = ⇒ =∫ E S =⋅ .

Intenzita nezávisí od vzdialenosti od roviny, v okolí nekonečnej roviny je vytvorené homogénne elektrické pole. Pre elektrický potenciál

dostaneme: 0

( ) d C 2

V r rσε

= − −∫ E r =⋅ , kde C je nekonečne veľká konštanta, ktorá sa však pri

výpočte napätia, teda rozdielu potenciálov, odčíta (analogicky ako v príklade 1.9) a bude platiť:

AB B A0 0

( )2 2

U r r dσ σε ε

= − = . Elektrický potenciál je lineárne klesajúca funkcia na obidve strany od

nabitej roviny, ekvipotenciálne hladiny sú roviny rovnobežné s nabitou rovinou, napätie UAB medzi dvomi ekvipotenciálnymi hladinami je teda úmerné vzdialenosti týchto rovín d. 1.14 Vypočítajte intenzitu a elektrický potenciál elektrostatického poľa, ak je elektrický náboj spojito

rozložený: a) s plošnou hustotou náboja σ na povrchu gule s polomerom R; b) s priestorovou hustotou náboja ρ vo vnútri gule s polomerom R! Znázornite graficky približné priebehy E(r), V(r)!

Riešenie

a) Uvažujeme elektrický náboj symetricky rozložený na povrchu gule, preto je výhodné pri výpočte intenzity poľa využiť Gaussov zákon. Za Gaussovu plochu (obr.1.22) si zvolíme povrch sústrednej guľovej plochy s polomerom r. Ak r < R , Gaussova guľa neobopína žiaden náboj, preto bude

platiť: 0

d 0 , konšt.Q Vε

= ⇒ =∫ 0E S = E =⋅

Ak r > R z Gaussovho zákona vyplýva: 2

22 2

0 0 0

14π ( )4π

Q Q RE r E rr r

σε ε ε

= ⇒ = = , pričom sme vyjadrili

elektrický náboj Q pomocou plošnej hustoty náboja Q = 4π R2 σ. Pre r = R, teda na povrchu nabitej gule bude platiť:

20 0

( )4π

QE RR

σε ε

= =

Pre elektrický potenciál v oblasti r > R dostaneme integráciou:

2

20 0 0

1( ) d4π 4π

r Q Q RV r rr r r

σε ε ε∞

= − = =∫ .

V oblasti r < R je elektrický potenciál konštantný a z dôvodov spojitosti rovnaký ako na povrchu

Eσ

S S S

r

Obr.1.22

E, V

R

r

r

E

0R

V

Obr.1.23

17

nabitej gule, teda 0 0

( )4π

Q RV RR

σε ε

= = . Priebehy E(r), V(r) elektrostatického poľa plošne nabitej gule

sú načrtnuté v obr. 1.23.

b) Riešme teraz prípad objemovo nabitej gule s objemovou hustotou elektrického náboja 34 π

3

Q

Rρ = .

V prípade, že polomer Gaussovej plochy zvolíme väčší ako polomer nabitej gule, r > R , obopneme celý elektrický náboj a z Gaussovho zákona dostaneme pre intenzitu analogickú závislosť od

vzdialenosti r ako v predošlom prípade: 3

22 2

0 0 0

14π ( )4π 3

Q Q RE r E rr r

ρε ε ε

= ⇒ = = a takisto

elektrický potenciál 3

0 0

1( )4 3

Q RV rr r

ρπε ε

= = bude závislý od 1/r. Na

povrchu gule (r = R) bude platiť: 2

20 0 0 0

( ) , ( )4π 3 4π 3

Q R Q RE R V RR R

ρ ρε ε ε ε

= = = = .

V oblasti r < R , obopne Gaussova guľa len časť z celkového

elektrického náboja, ktorá sa bude nachádzať v objeme 34 π3

r ,

z Gaussovho zákona preto vyplýva, že intenzita poľa v oblasti vnútri nabitej gule nebude nulová (ako tomu bolo pri plošne nabitej guli), ale bude lineárne narastať s polomerom r:

3

23

0 0 0 0

4 π3d 4π

3 4π

rQ QE r E r rR

ρ ρε ε ε ε

= ⇒ = ⇒ = =∫ E S⋅ .

Elektrický potenciál poľa v tejto oblasti dostaneme integráciou: 2

0 0

( ) d C3 6

V r r r rρ ρε ε

= − = −∫ .

Integračnú konštantu C dostaneme z podmienky spojitosti elektrického potenciálu na povrchu gule pre

r = R: 2 2 2

0 0 0

C3 6 2

R R RCρ ρ ρε ε ε

= − ⇒ = . Výsledný tvar elektrického potenciálu v tejto oblasti bude:

22

0

( ) ( )2 3

rV r Rρε

= − . Znázornenie priebehov E(r), V(r) pre objemovo nabitú guľu je na obr.1.24.

Poznámka: Všimnite si, že pole v okolí plošne alebo objemovo nabitej gule (r > R) je rovnaké ako v prípade bodového elektrického náboja, umiestneného v strede gule. 1.15 Odvoďte vzťah pre elektrickú kapacitu rovinného kondenzátora, ak jeho dosky sú nabité

elektrickým nábojom s plošnou hustotou σ, resp. – σ, každá z nich má plochu S a vzdialenosť dosiek kondenzátora je d. Okrajové efekty zanedbajte! Odvoďte vzťah pre výslednú elektrickú kapacitu pri sériovom a paralelnom radení kondenzátorov!

Riešenie Ak máme dve nekonečné roviny nabité s rovnakou plošnou hustotou elektrického náboja ale opačnej polarity (obr.1.25), výsledné pole dostaneme superpozíciou polí. Veľkosť intenzity poľa od nekonečnej

roviny (podľa príkladu 1.13) je 1 202

E E σε

= = . V priestore medzi

rovinami dostaneme výslednú intenzitu danú súčtom týchto intenzít, teda 0

E σε

= , z vonkajšej

+σ −σ

E1

E2

Obr.1.25

r

E

0 R

V

E, V

Obr.1.24

18

strany rovín bude E = 0. Rovinný kondenzátor si môžeme predstaviť ako nabité rovnobežné dosky, každá má plochu S, a ich vzájomná vzdialenosť je d. Kladný elektrický náboj Q a rovnako veľký

záporný náboj Q sú na doskách rozložené rovnomerne s hustotami σ = QS

± a medzi doskami

vytvárajú homogénne pole s intenzitou 0 0

QES

σε ε

= = . Potom napätie medzi doskami je

0

QU E d dSε

= = . Elektrická kapacita kondenzátora je 0Q SCU d

ε= = .

Pri sériovom radení kondenzátorov (obr.1.4) bude v dôsledku elektrostatickej indukcie na

všetkých kondenzátoroch rovnaký elektrický náboj a bude platiť: ii i i

Q QU UC C

= ⇒ =∑ ∑ . Pre

výslednú elektrickú kapacitu takejto kondenzátorovej batérie dostaneme: 1 1i iC C

=∑ . Pri paralelnom

radení kondenzátorov majú všetky vetvy spojené uzlom rovnaké napätie a bude platiť pre celkový elektrický náboj .i i

i iQ Q CU CU= ⇒ =∑ ∑ Výsledná elektrická kapacita je .i

iC C=∑

1.16 Vypočítajte výslednú elektrickú kapacitu batérie kondenzátorov (obr.1.26), ak C1 = C5 = 4 μF,

C2 = 3 μF , C3 = 5 μF, C4 = 2 μF a napätie medzi bodmi AC, ak napätie medzi bodmi AB je 100V.

Riešenie Výsledná elektrická kapacita medzi bodmi AB je CAB = C1 + C2 + C3 =12 μF, výsledná elektrická kapacita medzi bodmi BC je CBC = C4 + C5 = 6 μF. Výsledná elektrická kapacita sériového radenia

týchto kapacít potom bude: AB BC

1 1 1 14C C C

= + = , odtiaľ

C = 4 μF. Elektrický náboj na úseku AB musí byť rovnaký ako na úseku BC, bude teda platiť:

AB ABAB AB BC BC BC

BC

C UQ C U C U UC

= = ⇒ = = 200 V,

napätie na celom úseku AC bude UAC = UAB + UBC = 300 V.

1.17 Vypočítajte elektrickú kapacitu valcového kondenzátora, ktorý je tvorený sústavou súosových

vodivých valcov dĺžky ℓ a polomerov R1, R2. Dokážte, že za podmienky R2 – R1 << R1, bude elektrická kapacita valcového kondenzátora približne rovnaká ako elektrická kapacita doskového kondenzátora! Určte S, d odpovedajúceho doskového kondenzátora!

Riešenie

Na vnútornom valci kondenzátora (obr.1.27) s polomerom R1 je homogénne rozložený elektrický náboj +Q, na vonkajšom valci s polomerom R2 elektrický náboj – Q. K výpočtu elektrickej kapacity kondenzátora potrebujeme určiť elektrické napätie poľa medzi valcami kondenzátora. Určíme si najprv pomocou Gaussovho zákona intenzitu elektrického poľa. Zvolíme si súosový Gaussov valček s polomerom r a počítame tok vektora intenzity cez jeho plášť (tok cez základne je nulový). Gaussov valček obopol celý elektrický náboj +Q vnútorného valca, preto platí:

0 0 0

d 2π2π

Q Q QE r Erε ε ε

= ⇒ = ⇒ =∫ E S⋅

E

R2

r

R1

Obr.1.27

A

C1

C2

C4

C3 C5

B

Obr.1.26

C

19

Napätie potom vypočítame integráciou: 2 2

1 1

2

0 0 1

d d ln2π 2π

R R

R R

Q Q RU rr Rε ε

= ⋅ = =∫ ∫E r .

Hľadaná elektrická kapacita bude: 0 0 1

2 2 1

1

2π 2π, resp.ln

Q RC CRU R RR

ε ε= =

−, kde sme použili vzťah:

2 2 1 2 1

1 1 1

ln ln 1R R R R RR R R

⎛ ⎞− −= + ≅⎜ ⎟

⎝ ⎠. Valcový kondenzátor bude mať rovnakú elektrickú kapacitu ako

rovinný kondenzátor, ktorého plocha dosiek je S = 2π R1 ℓ a vzdialenosť medzi doskami d = R2 – R1 . 1.18 Vypočítajte, akou rýchlosťou sa musí pohybovať elektrón, nachádzajúci sa vo valcovom

kondenzátore, aby opisoval kružnicu s polomerom r∈(R1, R2). Sú dané polomery valcových plôch R1 = 2 cm, R2 = 10 cm a napätie na kondenzátore U = 450 V!

Riešenie Rýchlosť elektrónu musí byť taká, aby sila elektrického pôsobenia na elektrón medzi valcami kondenzátora bola silou dostredivou, spôsobujúcou pohyb elektrónu po kružnici s príslušným

polomerom. Musí teda platiť: 2m e E re E

r m= ⇒ =

vv . Z predošlého príkladu 1.17 môžeme

vyjadriť napätie na valcoch kondenzátora pomocou intenzity poľa v priestore medzi valcami na

kružnici s polomerom r: 2 2

0 1 1

ln ln2π

Q R RU E rR Rε

= = , kde sme úpravu urobili na základe vzťahu

02πQErε

= . Ak vyjadríme súčin (E r) z rovnice pre napätie U a dosadíme do výrazu pre rýchlosť

dostaneme výraz: 6 1

2

1

7 10 m sln

eURmR

−= ⋅ ⋅v .

1.19 Medzi horizontálne uloženými doskami nenabitého kondenzátora sa rovnomerne pohybuje

olejová kvapôčka s rýchlosťou v0 = 1⋅10–3 m⋅s–1. Pripojením kondenzátora na napätie, vznikne v ňom homogénne elektrické pole s intenzitou E = 2⋅106 V⋅m–1 a kvapôčka sa bude voľne vznášať. Vypočítajte elektrický náboj voľných elektrónov a ich počet na kvapôčke! Hustota oleja je ρ0 = 900 kg⋅m–3, dynamická viskozita vzduchu je η = 1,7⋅10–5 Pa⋅s a hustota vzduchu ρv = 1,29 kg⋅m–3.

Riešenie V prípade E = 0, pôsobia na kvapku oleja nasledovné sily:

tiažová sila Fg = m g j = ρ0 g τ j =ρ0 g 34 π3

R j , vztlaková sila FA = mV g (– j) = ρv g 34 π3

R (– j),

Stokesova sila odporu prostredia FR = 6 π η R v0 (– j). Kladný smer jednotkového vektora j sme zvolili v smere pohybu kvapky. Pohybová rovnica kvapky v tomto prípade bude mať tvar: Fg + FA + FR = m a = 0, pretože kvapka sa pohybuje s konštantnou rýchlosťou (a = 0). Po dosadení síl,

dostaneme skalárnu rovnicu v tvare: 30 0

4( ) π 6π = 03

g R Rρ ρ η− −v v , z ktorej si vyjadríme neznámy

polomer kvapky: 0

0

92 ( )

Rg

ηρ ρ

=− v

v .

V druhom prípade, keď E = 2⋅106 V⋅m–1, bude pohybová rovnica kvapky: Fg + FA + FRe + FE = m a = 0,

20

pričom Stokesova sila bude nulová, pretože kvapôčka sa bude vznášať (vE = 0): FRe = 6πη R vE (– j) = 0. Silu od pôsobenia elektrického poľa môžeme písať: FE = Q E = n e E (– j), kde n je počet voľných elektrónov kvapky. Dosadením do pohybovej rovnice kvapky v elektrickom poli dostaneme:

30

4( ) π 03

g R QEρ ρ− − =v . Hľadaný elektrický náboj 3

0 0 0

0

4π ( ) 18π3 2 ( )

g RQE E g

ρ ρ η ηρ ρ

−= =

−v

v

v v ,

kde sme dosadili výraz pre polomer kvapky. Číselne Q = 4,72⋅10–19 C, počet voľných elektrónov n = Q/e = 3. 1.20 Dva protóny v jadre hélia sú vzdialené od seba o vzdialenosť R = 1,5⋅10–15 m. Aká práca sa

musela vykonať, aby sme protóny do tejto vzdialenosti dostali? Riešenie Práca externej sily pri prenesení dvoch elektrických nábojov rovnakej polarity z nekonečna do vzdialenosti R je rovnaká ako práca elektrostatickej odpudivej sily medzi týmito elektrickými nábojmi pri ich vzdialení z daného miesta do nekonečna. Preto platí:

2 2 2

3 20 0 0

d d 14π 4π 4πR R

e e r eWr r Rε ε ε

∞ ∞⋅= = =∫ ∫

r r 1,54⋅10–13 J ≅ 1 MeV

1.21 Bodové elektrické náboje Q1 = − 17 nC, Q2 = 20 nC ležia na rovnakej spojnici s elektrickým

nábojom Q0 = 30 nC a sú od neho vzdialené o ℓ1 = 2 cm, ℓ2 = 5 cm. Akú prácu vykonajú sily poľa, aby si elektrické náboje Q1, Q2 vymenili miesto?

Riešenie Prácu, ktorú konajú sily poľa, aby si elektrické náboje vymenili svoje polohy, môžeme vyjadriť ako úbytok potenciálnej energie, t.j. W = Ep1 – Ep2, kde Ep1 je potenciálna energia pôvodnej konfigurácie elektrických nábojov (obr. 1.28, stav 1), Ep2 je potenciálna energia konečnej polohy elektrických nábojov (stav 2). Pre potenciálne energie platí:

0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2p1

0 1 0 2 0 2 1 0 1 2 2 1

0 2 0 1 1 2 0 2 0 1 1 2p2

0 1 0 2 0 2 1 0 1 2 2 1

14π 4π 4π ( ) 4π

14π 4π 4π ( ) 4π

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QE

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QE

ε ε ε ε

ε ε ε ε

⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Dosadením do výrazu pre prácu W dostaneme:

0 1 2 0 2 1 0 1 2 2 1p1 p2

0 1 2 0 1 2

1 ( ) ( ) ( ) ( )4π 4π

Q Q Q Q Q Q Q Q QW E Eε ε⎛ ⎞− − − −

= − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Pri číselnom dosadení treba správne dosadiť aj polaritu elektrických nábojov, potom W = – 3⋅10–4 J. Poznámka: Stav 1 má menšiu potenciálnu energiu ako stav 2, a je teda stabilnejší. Ak chceme, aby si náboje vymenili svoje miesta, musíme pôsobiť vonkajšou silou, prekonávajúcou sily poľa. Práca tejto sily bude W = 3⋅10–4 J. 1.22 Uvažujme lineárny kryštál ako nekonečný rad elementárnych elektrických nábojov,

umiestnených v rovnakých vzájomných vzdialenostiach pozdĺž priamky, a ich znamienka sa striedajú. Vypočítajte potenciálnu energiu ktoréhokoľvek z týchto elektrických nábojov!

Riešenie Ak si zvolíme ľubovoľný elektrický náboj (obr.1.29), potom môžeme pre jeho potenciálnu

Obr.1.28

Q0Q1 Q2

1

2

1)

1

Q0Q2 Q1

2

2)

21

energiu spočítať vždy dva symetrické príspevky od rovnakých elektrických nábojov vo vzdialenostiach a, 2a ,3a ...

2 2

p0 0 0 0 0

2( ) 2( ) ( ) 2( ) 2 1 1... 1 ... ln 24 4 2 4 3 4 2 3 2

e e e e e e e eEa a a a aπε πε πε πε πε

− − − − ⎛ ⎞= + + + = − − + + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

,

pretože pre súčet nekonečného radu platí: 2 3 4

ln(1 ) ...2 3 4x x xx x+ = − + − + .V našom prípade je x = 1.

Výsledok môžeme vyjadriť v tvare: 2

p04

eEaα

πε= − , kde α = 2 ln2 je Madelungova konštanta.

Poznámka: Energia je záporná, preto na rozloženie takéhoto kryštálu na jednotlivé ióny je treba vykonať prácu. Rovnováha v pozdĺžnom smere je nestabilná, v priečnom smere stabilná, pretože pri vychýlení ľubovoľného elektrického náboja z rovnovážnej polohy v priečnom smere existujú výsledné elektrostatické návratné sily, ktoré vracajú náboj do rovnovážnej polohy, čo neplatí pre pozdĺžny smer. 1.23 Vypočítajte potenciálnu energiu sústavy rovnakých bodových elektrických nábojov Q = 4 μC,

ktoré sú umiestnené vo vrcholoch štvorca so stranou a = 8 mm, ak: a) všetky elektrické náboje majú rovnakú polaritu, b) susedné vrcholy sú obsadené nábojmi opačnej polarity.

Riešenie

Potenciálnu energiu opäť počítame ako súčet príspevkov p0

1 12 4π

i jj i

i j i j i ij

Q QE Q V

rε≠ ≠

= =∑ ∑∑ .

a) V prípade rovnakej polarity elektrických nábojov dostaneme: 2

p0 0

1 (4 2)4π 4π2 2

Q Q Q Q Q Q QE Q Q Qa a a a aa aε ε

⎡ ⎤ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

97,3 J

b) Ak sa polarita elektrických nábojov vo vrcholoch strieda:

2

p0 0

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 4)( )4π 4π2 2

Q Q Q Q Q Q QE Q Q Qa a a a aa aε ε

⎡ ⎤− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

– 46,5 J.

1.24 Molekula kyseliny soľnej je umiestnená v súradnej sústave xy, os H – Cℓ leží v smere osi x.

Molekulu môžeme považovať za elektrický dipól, ktorého elektrický dipólový moment smeruje od Cℓ k H pozdĺž osi x a jeho veľkosť je p = 3,4⋅10–30 C⋅m. Vypočítajte elektrický potenciál a intenzitu elektrického poľa na osi dipólu, ako aj na osi symetrie dipólu vo vzdialenosti r = 10–10 m.

Riešenie

Elektrický potenciál elektrického poľa dipólu v ľubovoľnom bode je ( )d 304π

Vrε

=p rr ⋅ a intenzita

má tvar ( ) 2d 5

0

1 34π

rrε⎡ ⎤= −⎣ ⎦E p r r p⋅ . Na osi dipólu platí p ↑↑ r, teda skalárny súčin p ⋅ r = p r.

Potom elektrický potenciál na osi dipólu bude d 204π

pVrε

= 3 V, intenzita poľa na osi dipólu je:

Ed = 25 3

0 0

1 24π 4π

rr rε ε

pp = 6,1⋅1010 i V⋅m–1, intenzita má rovnaký smer ako smer elektrického

dipólového momentu p.

a

+e +e− e− e − e

Obr.1.29

22

Na osi symetrie dipólu platí p ⊥ r, teda skalárny súčin p ⋅ r = 0. Elektrický potenciál v každom bode

na osi symetrie Vd = 0. Intenzita na osi symetrie dipólu bude: 2

d 5 30 04π 4π

rr rε ε

− −= =

p pE 3⋅1010 (– i) V⋅m–1,

má smer opačný ako smer elektrického dipólového momentu p. 1.25 Vypočítajte moment dvojice síl, pôsobiacich na elektrický dipól, umiestnený v homogénnom

elektrickom poli E, ak je daný elektrický moment dipólu p = 2⋅10–30 C⋅m, intenzita elektrického poľa E = 5⋅105 V⋅m–1 a smer vektora p zviera so smerom E uhol α = 30°! Aký bude úbytok potenciálnej energie dipólu pri jeho otočení do smeru E?

Riešenie Moment dvojice síl M = p x E, ktorý otáča elektrický dipól umiestnený v homogénnom elektrickom poli má veľkosť: M = p E sin ϕ = 5⋅10–25 N⋅m. Jeho smer bude kolmý na rovinu xy a orientovaný za nákresňu: M = M (– k). Uhol pootočenia je konvenciou zavedený proti smeru otáčania

hodinových ručičiek, preto vektor pootočenia bude dϕ = dϕ k. Úbytok potenciálnej energie dipólu sa rovná práci, ktorú vykonajú sily elektrostatického poľa pri jeho otočení do smeru intenzity E:

0 0

p

p p1 p2

d sin d ( ) cos ( cos0)

E W pE pE pE

E E Eϕ ϕ

ϕ ϕ ϕΔ = = = − − − −

Δ = −

∫ ∫M k .k =⋅ ϕ

Úbytok potenciálnej energie ΔEp = pE (1–cosϕ) ≅1,3⋅10–25 J.

1.4 Neriešené príklady 1.26 Dva rovnaké ióny navzájom vzdialené o R = 10–9 m pôsobia na seba elektrostatickou silou F = 2,07⋅10–9 N.

Aký je elektrický náboj na každom ióne? Koľko elektrónov chýba každému iónu? 1.27 V akej vzájomnej vzdialenosti sú dva protóny, ak elektrostatická odpudivá sila, pôsobiaca na

protón od druhého protónu, sa rovná jeho tiaži na zemskom povrchu? 1.28 Vypočítajte pomer elektrostatických a gravitačných síl vzájomného pôsobenia medzi dvomi

elektrónmi a medzi dvomi protónmi! Určte hodnotu špecifického elektrického náboja Q /m pri interakcii rovnakých častíc, pri ktorej by sa tieto sily čo do veľkosti rovnali!

1.29 Predpokladajte, že elektrón v Bohrovom modeli atómu vodíka sa pohybuje po kruhovej dráhe

s polomerom a0 = 5,3⋅10–11 m. Vypočítajte jeho rýchlosť, frekvenciu a kinetickú energiu! 1.30 Dve guľôčky s rovnakou hmotnosťou m a elektrickým nábojom Q sa

pohybujú po kružnici polomeru R okolo elektrického náboja – Q1, pričom sa náboje nachádzajú na koncoch rovnakého priemeru (obr.1.31). Nájdite uhlové rýchlosti pohybu nábojov!

1.31 Vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka so stranou a = 1 cm sa

nachádzajú tri rovnaké elektrické náboje s veľkosťou 3 nC. Určte veľkosť sily pôsobiacej na elektrický náboj v ľubovoľnom vrchole!

1.32 Dva bodové elektrické náboje rovnakej veľkosti Q = 2 nC sa nachádzajú vo vzájomnej

vzdialenosti 15 cm. Akou silou a v akom smere pôsobia na jednotkový kladný elektrický náboj, nachádzajúci sa vo vzdialenosti 15 cm od každého z nich?

Q

Q – Q1

R

Obr.1.31

y

x

z

p E

Obr.1.30

dϕ

23

1.33 V strede štvorca sa nachádza kladný elektrický náboj veľkosti Q1 = 200 nC. Aké záporné rovnako veľké elektrické náboje musíme umiestniť do vrcholov štvorca, aby bola sústava v rovnováhe?

1.34 Na tenkej niti zanedbateľnej hmotnosti je zavesená guľôčka

s hmotnosťou 6 g a s neznámym elektrickým nábojom Q1 (obr. 1.32). Ak k nej priblížime opačne nabitú guľôčku s elektrickým nábojom Q2 = 3.10–7 C, odkloní sa niť s guľočkou o uhol 45°, pričom vzdialenosť elektrických nábojov je a = 7 cm. Nájdite elektrický náboj Q1!

1.35 Elektrický náboj Q1 = 400 μC je rovnomerne rozložený na tenkom

kovovom drôte dĺžky ℓ = 10 cm. Tento náboj pôsobí silou F = 8⋅10–4 N na bodový elektrický náboj Q2, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti a = 8 cm od stredu drôtu na predĺžení priamky, prechádzajúcej v smere drôtu. Nájdite veľkosť elektrického náboja Q2!

1.36 V uhlíkovej guľôčke s priemerom d = 1 cm pripadá na jeden milión protónov jeden nadbytočný

elektrón. Vypočítajte elektrický náboj guľôčky a intenzitu elektrostatického poľa na povrchu guľôčky, ak hustota materiálu je ρ = 1,7⋅103 kg⋅m–3.

1.37 Elektrostatické pole je vytvorené superpozíciou polí dvoch bodových elektrických nábojov

QA = 1 μC, QB = – 2 μC, umiestnených v bodoch A (1,0,0) m, B (0,1,0) m. Vyjadrite vektor intenzity výsledného elektrostatického poľa, veľkosť intenzity a výsledný potenciál poľa v počiatku súradníc.

1.38 V bode A(5, 0) vypočítajte výslednú intenzitu elektrostatického poľa, ktoré je superpozíciou

elektrostatického poľa bodového elektrického náboja Q = 1 nC, umiestneného v bode B(3, 4) a poľa dlhého priameho vodiča, rovnobežného s osou y vo vzdialenosti xλ = 8 m. Dĺžková hustota náboja na vodiči je λ = 2⋅10–10 C⋅m–1, súradnice bodov sú v m.

1.39 Elektrostatické pole je vytvorené dvomi nekonečne dlhými vodičmi, ktoré sú navzájom

rovnobežné a ich vzájomná vzdialenosť je a = 8 cm. Dĺžková hustota náboja na jednom z nich je λ1 = 2⋅10-8 C⋅m–1, na druhom λ2 = 5⋅10–8 C⋅m–1. Vypočítajte výslednú intenzitu elektrostatického poľa v bode A, ktorý leží v priestore medzi vodičmi v rovnakej vzdialenosti od obidvoch vodičov.

1.40 Homogénne nabitý vodič s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ = 4⋅10–9 C⋅m–1 je ohnutý do

tvaru: a) štvrťkružnice, b) písmena U. Polomer zakrivenia je R = 2 cm. Vypočítajte veľkosť intenzity elektrického poľa v strede štvrťkružnice, resp. polkružnice!

1.41 Dve nekonečné navzájom rovnobežné rovinné dosky sú homogénne nabité elektrickým

nábojom. Na jednej doske je záporný elektrický náboj s plošnou hustotou σ1 = 1⋅10–5 C⋅m–2, na druhej kladný elektrický náboj s hustotou σ2 = 3⋅10–5 C⋅m–2. Vypočítajte: a) intenzitu elektrostatického poľa v jednotlivých častiach priestoru I, II, III, ktoré tieto roviny vytvárajú, b) intenzitu poľa v prípade, že dosky budú navzájom kolmé?

1.42 Elektrický náboj Q = 4⋅10–6 C sa nachádza v elektrostatickom poli nabitej roviny s plošnou

hustotou náboja σ = 100 μC⋅m–2. Vypočítajte, aká sila pôsobí na tento bodový elektrický náboj! 1.43 Kvapôčky ortuti s priemerom d = 2 mm sú nabité rovnakým elektrickým nábojom. Po ich zliatí

do jednej kvapky bude celkový elektrický náboj kvapky Q = 6⋅10–13 C a výsledný elektrostatický potenciál na povrchu zliatej kvapky V = 2,96 V. Koľko kvapôčok sme zliali do výslednej kvapky a aký elektrický náboj bol na každej z nich?

1.44 Na siločiare homogénneho elektrického poľa sa nachádzajú body A, B, C, D, E v rovnakých

vzájomných vzdialenostiach. Nájdite elektrické potenciály bodov B, D, ak budete postupne voliť body A, C, E za body nulového potenciálu. Napätie medzi bodmi B a D je 50 V.

aα

Q1 Q2

Obr.1.32

24

1.45 Guľôčka s polomerom R = 2 cm a s elektrickým nábojom Q = 18 pC vytvára vo svojom okolí

elektrostatické pole. Nájdite polomery ekvipotenciálnych hladín, ktorých elektrické potenciály sa navzájom líšia o hodnotu ΔV = 1,5 V.

1.46 Elektrický náboj 0,5 nC je rovnomerne rozložený na povrchu dutej kovovej guľôčky polomeru

2,5 cm. Nájdite elektrický potenciál a intenzitu elektrického poľa v strede guľôčky, na jej povrchu a vo vzdialenosti 5 cm od stredu guľôčky.

1.47 Vypočítajte priebeh intenzity E(r) elektrostatického poľa medzi dvomi súosovými valcami

s polomermi R1, R2, keď vnútorný valec je nabitý na elektrický potenciál V a vonkajší je uzemnený!

1.48 Elektrický filter odpadových plynov pozostáva z trubice s polomerom Rk = 0,5 m, ktorá

predstavuje katódu a z drôtu s polomerom Ra = 1 mm, tvoriaceho anódu, ktorý je umiestnený v osi trubice. Vypočítajte, aké musí byť napätie medzi elektródami, aby v blízkosti anódy dochádzalo k ionizácii plynu! Intenzita elektrického poľa, potrebná na zionizovanie plynu je Em = 32 kV⋅cm–1.

1.49 Vypočítajte tok intenzity elektrostatického poľa každou zo stien kocky, keď bodový elektrický

náboj Q = 1 μC je umiestnený v jednom vrchole kocky. 1.50 *Vypočítajte tok intenzity elektrostatického poľa cez plášť valca, ak sa v strede valca nachádza

bodový elektrický náboj Q = 2⋅10–5 C. Rozmery valca sú R = 20 cm, h = 60 cm. 1.51 Vypočítajte elektrickú kapacitu guľového kondenzátora, ktorý je tvorený sústavou dvoch

koncentrických dutých vodivých gúľ s polomermi R1, R2. Dokážte, že za podmienky R2 – R1 << R1, bude elektrická kapacita guľového kondenzátora približne rovná elektrickej kapacite doskového kondenzátora a určte príslušné parametre takéhoto doskového kondenzátora!

1.52 Rovinný vzduchový kondenzátor je nabitý na napätie U = 500 V, dosky kondenzátora sú vo

vertikálnej polohe, ich vzdialenosť je d = 5 mm. V priestore kondenzátora sa pohybuje kvapka oleja s hmotnosťou m = 2,3⋅10–9 g. Vypočítajte elektrický náboj kvapky, ak odklon jej dráhy od vertikálneho smeru je α = 8°! Odpor vzduchu zanedbajte! Vypočítajte veľkosť výslednej sily, pôsobiacej na kvapku!

1.53 Nabitá kvapka ortuti sa vznáša v rovinnom vzduchovom kondenzátore, ktorého vzdialenosť

dosiek je d = 0,03 m a kondenzátor je nabitý na napätie U1 = 800 V. Kvapka sa nachádza v rovnakej vzdialenosti od obidvoch dosiek kondenzátora. Ak znížime napätie na kondenzátore o ΔU = 10 V, začne sa kvapka pohybovať. Vypočítajte čas, za ktorý dosiahne spodnú dosku kondenzátora! Odpor vzduchu a vztlakovú silu zanedbajte!

1.54 Dve kovové guľôčky majú rovnaký elektrický náboj Q = Q1 = Q2 = 2⋅10–9 C. Ak ich spojíme

tenkým vodičom, budú mať obidve rovnaký elektrický potenciál V = V1 = V2 = 200 V. Vypočítajte polomer prvej guľôčky R1, ak elektrická kapacita druhej guľôčky C2 = 10 pF!

1.55 Jedna z guľôčok je nabitá elektrickým nábojom Q1 = 13 nC, druhá elektrickým nábojom Q2 = 18 nC.

Guľôčky sme prepojili vodičom. Aké bude konečné rozdelenie elektrických nábojov na guľôčkach, ak ich polomery sú R1 = 8 cm, R2 = 18 cm? Kapacitu spojovacieho vodiča zanedbajte!

1.56 Kondenzátor s elektrickou kapacitou C1 = 1 μF je nabitý na napätie U1 = 210 V. Ak k nemu

paralelne pripojíme nenabitý kondenzátor s elektrickou kapacitou C2 = 2 μF, ako sa rozdelí elektrický náboj na jednotlivých kondenzátoroch, a aké napätie bude na každom z nich?

25

1.57 Vypočítajte elektrickú kapacitu C doskového kondenzátora, ktorého rozmery dosky sú 20 cm x 3 cm a vzduchová medzera medzi doskami je 1 mm. Aký je elektrický náboj na doskách kondenzátora, ak ho pripojíme k napätiu 12 V? Aká bude výsledná elektrická kapacita siete (obr.1.33) medzi bodmi A,B, ak platí C1 = C2 = C3 = C ?

1.58 Kondenzátor s premennou elektrickou kapacitou má maximálnu

hodnotu elektrickej kapacity Cmax = 350 pF. Koľko dosiek tvaru polkruhu s polomerom R = 5 cm obsahuje kondenzátor, ak vzdialenosť medzi nimi je d = 1 mm?

1.59 Vypočítajte výslednú elektrickú kapacitu batérie kondenzátorov

na obr.1.34, ak elektrické kapacity sú: C1 = C3 = C5 = C7 = 4 μF, C2 = C4 = C6 = 1 μF.

1.60 Vypočítajte energiu kondenzátorovej batérie, ktorú tvoria tri

sériovo radené kondenzátory s elektrickými kapacitami C1 = 2 μF, C2 = C3 = 4 μF, ak napätie na batérii je U = 200 V. Aký elektrický náboj je na každom z kondenzátorov, a aké sú úbytky napätia na jednotlivých kondenzátoroch?

1.61 Vypočítajte energiu elektrického poľa každého z kondenzátorov a celkovú akumulovanú energiu

kondenzátorovej batérie, ktorá je vytvorená tromi paralelne radenými kondenzátormi, ak ich elektrické kapacity sú C1 = C2 = C3 = 1200 pF a napätie na batérii je U = 200 V.

1.62 Máme tri nekonečné homogénne nabité a navzájom rovnobežné roviny. Plošné hustoty elektrických

nábojov na nich sú: σ, 2σ, –3σ , kde σ = 1⋅10–5 C⋅m–2, vzdialenosť medzi doskami je d = 1,5 cm. Aká práca sa vykoná pri prenesení elektrického náboja 1 μC zo strednej dosky na pravú?

1.63 Elektrón je urýchľovaný v homogénnom poli, vytvorenom dvomi rovnobežnými rovinami.

Vzdialenosť týchto rovín je 1,5 cm a intenzita elektrického poľa je 2⋅104 V⋅m–1. Na začiatku pohybu sa elektrón nachádzal v blízkosti zápornej dosky v pokoji. Vypočítajte jeho rýchlosť, ktorou vyletí malým otvorom kladne nabitej dosky!

1.64 Elektrón s počiatočnou rýchlosťou v0 = 2,4⋅106 m⋅s–1 sa pohybuje rovnobežne s elektrickým

poľom v0 ↑↑ E, ktorého intenzita má veľkosť E = 8,4⋅102 V⋅m–1. Akú vzdialenosť prejde, kým sa začne pohybovať opačným smerom?

1.65 Jadro atómu hliníka je ostreľované urýchlenými protónmi. Vypočítajte najmenšiu vzdialenosť od

jadra hliníka, do ktorej sa dostane protón, pohybujúci sa rýchlosťou v = 5⋅106 m⋅s–1, ak elektrické náboje považujeme za bodové!

1.66 Elektrón v obrazovej elektrónke televízora je urýchľovaný zo stavu pokoja potenciálovým

rozdielom 5000 V. Aká je zmena potenciálnej energie elektrónu? Akú rýchlosť nadobudne elektrón v dôsledku tohto urýchlenia?

1.67 Nekonečný valec polomeru R0 = 10 cm je rovnomerne nabitý elektrickým nábojom s plošnou

hustotou σ = 1⋅10–12 C⋅m–2. Valec je zdrojom elektrónov. Vektor rýchlosti vyletujúceho elektrónu je kolmý na povrch valca. Aká musí byť rýchlosť elektrónov, aby sa mohli vzdialiť od osi na vzdialenosť väčšiu ako R1 = 103 m?

1.68 Akú prácu treba vykonať, aby sme dva elektrické náboje Q1 = Q2 = 3 μC nachádzajúce sa vo

vzájomnej vzdialenosti 60 cm posunuli do vzdialenosti 20 cm?

C1 C3

C6C4C2

C7 C5

Obr.1.34

A BC1

C2

C3Obr.1.33

26

1.69 Elektrostatické pole je vytvorené nekonečne dlhým drôtom, nabitým s dĺžkovou hustotou náboja λ = 4 μC⋅m–1. Vo vzdialenosti R1 = 5 cm od drôtu sa nachádza bodový elektrický náboj Q = 8 nC. Akú prácu vykoná elektrostatické pole pri vytlačení tohto elektrického náboja v smere intenzity poľa o vzdialenosť ΔR = 10 cm z pôvodného miesta?

1.70 Vypočítajte prácu, ktorú treba vykonať pri priblížení dosiek rovinného kondenzátora zo

vzdialenosti d1 = 10 cm na vzdialenosť d2 = 2 cm, keď plocha dosiek kondenzátora je 25 cm2 a kondenzátor bol nabitý na napätie 200 V.

1.71 Päť rovnakých elektrických nábojov veľkostí 2 μC je umiestnených na priamke v rovnakých

vzájomných vzdialenostiach a = 1 mm. Susedné body sú obsadené vždy elektrickými nábojmi opačnej polarity. Vypočítajte celkovú potenciálnu energiu tejto sústavy nábojov!

1.72 Vypočítajte potenciálnu energiu sústavy rovnakých bodových elektrických nábojov Q = 6⋅10–19 C,

ktoré sú umiestnené vo vrcholoch pravidelného šesťuholníka so stranami a = 6 nm, ak: a) všetky elektrické náboje majú rovnakú polaritu, b) susedné vrcholy sú obsadené elektrickými nábojmi opačnej polarity.

1.73 Iónové kryštály si môžeme predstaviť ako priestorové usporiadanie kladných a záporných

nábojov. Uvažujme kocku so stranou a ako element kubickej mriežky, kde vo vrcholoch kocky sú umiestnené ióny s elektrickým nábojom – Q a v strede kocky ión s elektrickým nábojom + Q. Vypočítajte potenciálnu energiu tejto kocky!

1.74 Jednomocný kladný ión sa nachádza vo vzdialenosti r = 2⋅10–9 m na osi symetrie elektrického

dipólu, ktorého veľkosť momentu p = 5⋅10–30 C⋅m. Vypočítajte elektrickú silu, pôsobiacu na jednomocný ión, ak jeho elektrický náboj považujeme za bodový!

1.75 Molekula vody sa chová ako elektrický dipól, ktorého veľkosť elektrického momentu p = 6⋅10–30 C⋅m.

Uhol medzi väzbami HOH α = 104°. Vypočítajte: a) dĺžku väzby OH, b) elektrický potenciál a intenzitu elektrického poľa dipólu v bode A, ležiacom vo vzdialenosti r = 2 nm na predĺženej osi dipólu!

1.76 Vzdialenosť medzi atómami uhlíka C a kyslíka O vo väzbe C = O je 1,2⋅10–10 m, elektrický

dipólový moment je 8⋅10–30 C⋅m. Vypočítajte: a) elektrický náboj atómov C, O, b) elektrický potenciál poľa tohto dipólu vo vzdialenosti 9⋅10–10 m od kyslíka na predĺženej osi dipólu, c) porovnajte tento potenciál s elektrickým potenciálom poľa, vytvoreného len atómom kyslíka s rovnakým elektrickým nábojom v rovnakej vzdialenosti!

1.77 *Elektrický bodový náboj Q0 = 10 nC sa nachádza v elektrickom poli elektrického dipólu, ktorý

má dĺžku ℓ = 4 cm a elektrický dipólový moment p = 3⋅10–10 C⋅m. Vypočítajte prácu síl elektrického poľa pri premiestnení elektrického náboja Q0: a) zo stredu dipólu (bod S) (obr.1.35) pozdĺž jeho osi symetrie do bodu C, b) z bodu A do bodu B, ak kolmá vzdialenosť bodov A, B, C od priamky dipólu je a = 6 cm.

1.78 Dipólový moment molekuly HCℓ je 3,4⋅10–30 C⋅m. Vzdialenosť

medzi atómami je 1⋅10–10 m. Aký je elektrický náboj každého atómu? Aký maximálny moment sily bude pôsobiť na tento dipól v elektrickom poli s intenzitou 2,5⋅104 V⋅m–1?

1.79 Dipólový moment molekuly HCℓ je 3,4⋅10–30 C⋅m a nachádza sa v elektrickom poli intenzity

2,5⋅104 V⋅m–1. Aká práca je potrebná na otočenie jednej molekuly o 45° z rovnovážnej polohy s minimálnou potenciálnou energiou?

− Q + Q

B C A

S

a

Obr.1.35

Q0

27

2 Elektrostatické pole v dielektrikách

2.1 Úvod Dielektriká alebo izolanty sú elektricky nevodivé látky, ktoré neobsahujú voľne pohyblivé

náboje. Obsahujú len viazané náboje v atómoch, resp. v molekulách, ktoré sa v makroskopických objemoch látky navzájom vykompenzujú. Ak ale vložíme dielektrikum do vonkajšieho elektrického poľa zmení sa jeho pôsobením rozloženie nábojov v látke, nastáva polarizácia dielektrika. Podľa mechanizmu vzniku polarizácie poznáme polarizáciu elektrónovú (atómovú) a orientačnú.

Elektrónová polarizácia vzniká v nepolárnych dielektrikách, kde sa pôsobením vonkajšieho poľa atóm stáva elektrickým dipólom – v dôsledku vzájomného posunutia ťažísk kladného a záporného náboja atómu.

V polárnych látkach majú molekuly nenulový elektrický dipólový moment aj bez elektrického poľa. Po ich vložení do vonkajšieho elektrického poľa nastáva orientácia, pootočenie dipólov do smeru poľa.

Kvantitatívnou charakteristikou polarizácie dielektrika je vektor elektrickej polarizácie P, definovaný ako celkový elektrický dipólový moment v jednotkovom objeme polarizovanej látky:

0lim

ii

τ τΔ →=

Δ

∑ pP , kde pi = Q ℓ sú elementárne elektrické dipólové momenty. Ak sa v látke nachádzajú

identické dipólové momenty p s objemovou hustotou n, môžeme vektor elektrickej polarizácie

definovať aj ako súčin: P = n p, resp. v diferenciálnom tvare: ddτ

=pP . Vektor elektrickej polarizácie

vyjadruje teda objemovú hustotu elektrických dipólových momentov v látke. Veľkosť vektora polarizácie P = σp sa rovná plošnej hustote polarizačného náboja na ploche kolmej na P. Polarizácia dielektrika sa prejaví vznikom viazaného polarizačného náboja na povrchu telesa, ktorý nie je možné z dielektrika „odviesť“ a ktorý nie je merateľný.

Zavedením vektora elektrickej indukcie v tvare: 0ε= +D E P môžeme vysloviť tzv. zovšeobecnený Gaussov zákon pre dielektrikum (resp. Gaussov zákon pre voľný náboj): d

S

Q=∫ D S⋅ , ktorý znie:

Tok vektora elektrickej indukcie ľubovoľnou uzavretou plochou, obklopujúcou elektrický náboj sa rovná celkovému voľnému náboju, uzavretému touto plochou. V diferenciálnom tvare má táto rovnica tvar: div D = ρ0 , kde ρ0 je objemová hustota voľného náboja. Pole vektora elektrickej indukcie je

žriedlové. V miestach kde nie sú voľné náboje bude platiť div D = 0. Vo vákuu platí: P = 0, D = ε0 E a práve formulovaný

zovšeobecnený Gaussov zákon prejde v známy Gaussov zákon vo vákuu.

Vzájomný súvis medzi vektormi P, D a E si vysvetlíme výpočtom výsledného poľa v kondenzátore, ktorý bol nabitý voľným elektrickým nábojom Q a na jeho doskách je plošná hustota voľného elektrického náboja σ0. V kondenzátore je vložené dielektrikum, na jeho povrchu vzniknú viazané polarizačné náboje s plošnou hustotou náboja σp (obr.2.1). Výsledná intenzita elektrického poľa v kondenzátore je superpozíciou intenzity poľa od voľného náboja E0 a intenzity poľa od polarizačného náboja Ep : E = E0 + Ep , pričom

platí (viď predošlá kap.): p00 p

0 0 0

, PE Eσσ

ε ε ε= = = , a pretože majú

opačné smery, dostaneme: 0 p0

0

E Eσ σε−

= < . Ak zavedieme bezrozmernú veličinu ako pomer

σ0 – σ0

– σp σp

E0

Ep

P

E

Obr. 2.1 Elektrické pole v dielektriku

28

0r

EE

ε= , tzv. relatívnu permitivitu prostredia, potom v prípade, že medzi doskami kondenzátora je

dielektrikum, pre napätie U a pre jeho elektrickú kapacitu C platí: 0 0

r r r 00

U E d Q QC CU E d U U

ε ε ε= = ⇒ = = = , kapacita kondenzátora s dielektrikom εr krát vzrástla

oproti kapacite vákuového kondenzátora. Ďalej môžeme veľkosť vektora polarizácie vyjadriť nasledovne: 0 p 0 0 0 r 0( ) ( 1)P E E E E Eε ε ε ε ε κ= = − = − = , kde κ =εr – 1 sa nazýva elektrická susceptibilita dielektrika. Je to ďalšia bezrozmerná materiálová konštanta. Pretože smer vektora P je rovnaký ako smer intenzity budiaceho poľa E0, môžeme písať predošlý vzťah aj vo vektorovom tvare:

0 r 0( 1)ε ε ε κ= − =P E E . V homogénnom izotropnom prostredí platí ↑↑ ↑↑D E P , nakoniec pre vektor elektrickej

indukcie dostaneme: 0 0 r 0 0ε ε ε ε= +D E P = E = E . Veľkosť vektora elektrickej indukcie D = ε0E0 = σ0 sa rovná plošnej hustote voľného náboja (pretože platí E0=σ0/ε0). Skutočná „efektívna“ hustota náboja

na okrajoch dielektrika bude: σ = σ0 – σp = D – P = ε0E = 0 00

r r

Eε σε ε

= , t.j. εr krát menšia ako hustota

voľných nábojov. Pri prechode z jedného prostredia do druhého keď sa menia relatívne permitivity týchto prostredí,

budú sa na rozhraní meniť aj vektory E, D, P čo do veľkosti aj smeru. Okrajové podmienky pre vektory elektrického poľa sú: D2n – D1n = σ0, E2t – E1t = 0, P2n – P1n = – σp, kde symboly

s indexom n sa vzťahujú na normálové zložky vektorov (kolmé k rozhraniu) a s indexom t na tangenciálne zložky (rovnobežné s rozhraním) . Ak sa teda na rozhraní 2 dielektrík nenachádza voľný náboj, dostaneme pre zložky vektorov E, D :

D2n – D1n = 0, E2t – E1t = 0, resp. po dosadení vzájomných vzťahov: 2n r1 1t r1

1n r2 2t r2

,E DE D

ε εε ε

= = . Tieto

vzťahy môžeme vyjadriť aj pomocou uhlov „dopadu“ a „lomu“ (obr.2.2), potom dostaneme rovnicu

lomu elektrických siločiar v tvare 1 r1

2 r2

tgtgα εα ε

= .

Energia elektrostatického poľa v dielektriku je: pe1d d2τ τ

τ τ= = ⋅∫ ∫E w E D , pričom integrácia sa

vzťahuje na celý objem dielektrika. Výraz 12

w = ⋅E D je objemová hustota energie. Pre energiu

poľa akumulovaného v kondenzátore s dielektrikom dostaneme 2pe

12

E CU= , kde za kapacitu a

napätie treba dosadiť príslušné vzťahy. Z hľadiska mikrofyzikálnej podstaty môžeme pri elektrónovej polarizácii pre každý elektricky

polarizovaný atóm, resp. molekulu písať lineárnu úmernosť medzi jeho elektrickým dipólovým momentom a intenzitou elektrického poľa: p = ε0α E, kde α je polarizovateľnosť atómu, resp.

εr1

εr2

α1

α2

D2 n

D2 t

D1 t

D1 n

D1

D2εr1

εr2

α1

α2

E2 n

E1 n

E2 t

E1 t

E2

E1 εr1 εr2

+σp1 –σp2

P1 n P2 n

Obr. 2.2 Elektrické pole na rozhraní dvoch prostredí

29

molekuly. Potom súvis medzi mikroskopickou charakteristikou α a makroskopickou veličinou εr bude: a) pre voľné atómy alebo molekuly plynu: κ =εr – 1 = n α,

b) v nepolárnych kvapalinách a plynoch: r 1 ,1

3

nnακ εα

= − =−

resp. v tvare: r

r

12 3

ε αε

−=

+n ,

čo je Clausiov-Mossotiho vzťah. Tento vzťah platí pre plyny (do tlaku ∼5⋅107 Pa), nepolárne kvapaliny, málo koncentrované roztoky polárnych látok v nepolárnych kvapalinách, pre dvojatómové iónové kryštály.

c) pri polarizácii polárnych látok platí Debyeova – Langevinova rovnica: 2

r

r 0

12 3 3

ε αε ε

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

n pk T

,

resp. v tvare: 2

r0

313 3

κ ε αα ε⎛ ⎞

= − = +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

n pn k T

, kde k - Boltzmannova konštanta, T- absolútna teplota.

Táto rovnica zahŕňa príspevok ako od elektrónovej tak aj orientačnej polarizácie. V prípade len orientačnej

polarizácie (α = 0) dostaneme Debyeovu rovnicu v tvare: 2

r0

13

κ εε

= − =n p

kT (platí ak je splnená

podmienka 1pEkT

).

V tabuľke č. 5 v prílohe sú uvedené materiálové konštanty niektorých dielektrík pri izbovej teplote – relatívna permitivita a elektrická pevnosť. Elektrická pevnosť materiálu je hodnota intenzity elektrického poľa, po prekročení ktorej môže v materiáli dôjsť k elektrickému prierazu a k strate jeho izolačných schopností. 2.2 Otázky a problémy 1. Aký je rozdiel medzi pôsobením elektrického poľa na izolované kovové teleso a na teleso

z izolantu? 2. Majú molekuly benzolu dipólový moment? 3. Nájdite „tvar“ molekúl: a) oxidu uhličitého CO2, keď vieme, že táto molekula nemá dipólový

moment, b) vody H2O a amoniaku NH3, ak tieto molekuly majú nenulový dipólový moment. 4. Kovová nabitá guľa je obklopená guľovou vrstvou z dielektrika. Uveďte príčiny zmeny

elektrického poľa na hraniciach dielektrika! 5. Ako sa zmení intenzita poľa a napätie medzi doskami nabitého kondenzátora, ak doňho vložíme

dielektrikum? 6. Kondenzátor je stále pripojený k zdroju konštantného napätia. Zmení sa intenzita elektrického

poľa medzi elektródami, keď priestor medzi nimi vyplníme dielektrikom? 7. Ako sa zmení elektrická kapacita nabitého kondenzátora, ak doňho vložíme dielektrikum? 8. Vákuový kondenzátor má elektrickú kapacitu 5⋅10–6 F. Ako sa zmení jeho elektrická kapacita ak

do kondenzátora vložíme dielektrikum z polyetylénu? Ak je napätie na kondenzátore s dielektrikom 100 V, aký je elektrický náboj na kondenzátore?

9. Kondenzátor s elektrickou kapacitou 3 μF je vyplnený dielektrikom z porcelánu, napätie na tomto kondenzátore je 100 V. Ako sa zmení toto napätie, keď dielektrikum odstránime? Aká bude potom elektrická kapacitu vzduchového kondenzátora?

10. Dva rovnaké doskové kondenzátory, jeden s dielektrikom a druhý bez dielektrika sú zapojené do série a pripojené na konštantné napätie. Ktorý kondenzátor má väčšiu intenzitu elektrického poľa? (obr. 2.3)

11. Medzi dosky rovinného kondenzátora, nabitého na napätie U vložíme sklenú doštičku rovnobežne s doskami kondenzátora. Aká sila bude pôsobiť na sklenú doštičku?

12. Dva rovnaké rovinné kondenzátory sú nabité na napätie U. Medzi dosky jedného kondenzátora vložíme sklo a druhého teflón. Polarizácia ktorého dielektrika je väčšia a koľkokrát?

C0 C1U

Obr. 2.3

30

13. Medzi dosky rovinného kondenzátora pripojeného na konštantné napätie U = 100 V vložíme sľudu tak, že vyplní celý priestor kondenzátora. Určte plošnú hustotu polarizačných nábojov na sľude! Vzdialenosť dosiek kondenzátora je d = 0,2 cm.

14. Intenzita elektrického poľa vo vákuovom kondenzátore je E0 = 1 kV⋅mm–1, po vložení dielektrika klesne na hodnotu E = 4,8⋅105 V⋅m–1. Vyjadrite plošnú hustotu polarizačného a voľného náboja! Vypočítajte, aká je relatívna permitivita dielektrika a z tabuľky určte o aké dielektrikum sa jedná!

15. Kedy platí pre elektrické pole vzťah div D = 0 ? 16. Kondenzátor je celý vyplnený polystyrénom hrúbky 25 μm, elektrická kapacita kondenzátora je

0,5 μF. Aká je plocha dosiek kondenzátora? Aké maximálne pracovné napätie môže byť na kondenzátore, aby nenastal prieraz dielektrika?

17. Vypočítajte maximálny potenciálový rozdiel, ktorý môže byť na protiľahlých stranách 30 μm hrubej vrstvy bakelitu!

18. Priemyselne sa vyrábajú kondenzátory s dielektrikom Ta2O5. Aká musí byť jeho minimálna hrúbka, ak kondenzátor musí vydržať 25 V?

19. Ukážte, že pre danú plochu dosky kondenzátora, je súčin elektrickej kapacity a maximálneho prípustného napätia na kondenzátore konštantný a určený materiálom, použitým ako dielektrikum.

2.3 Riešené príklady 2.1 Na nitiach rovnakej dĺžky sú zavesené guľôčky rovnakých hmotností m = 1 g, polomerov R = 3 mm,

nabité rovnakým elektrickým nábojom Q. V dôsledku pôsobenia Coulombovej odpudivej sily sa nite rozostúpia o uhol α. Potom tieto guľôčky ponoríme do dielektrickej kvapaliny s relatívnou permitivitou εr = 1,1 a hustotou ρk. Vypočítajte hustotu tejto dielektrickej kvapaliny, keď sa po ponorení guľôčok do nej nezmenil uhol rozostupu α.

Riešenie Podobný príklad sme riešili v kapitole 1 – príklad 1.4 (obr. 1.12). Vo vzduchu pôsobia na guľôčku nasledovné sily: tiažová sila Fg, Coulombova sila Fe a sila reakcie nite Fr. V stave rovnováhy

platí: e

g

tg2

FF

α= . Po ponorení do dielektrickej kvapaliny musíme uvážiť okrem tiažovej sily aj

vztlakovú silu Fvz a zmenenú Coulombovu silu Fed medzi nábojmi v dielektriku. Za podmienky rovnakého rozostupu guľôčok musí potom v stave statickej rovnováhy platiť:

ed

g vz

tg2

FF F

α=

−. Porovnaním obidvoch vzťahov potom dostaneme rovnosť: e ed

g g vz

F FF F F

=−

. Ak do

tejto rovnosti dosadíme veľkosti uvažovaných síl: 2 2

3e ed g vz k k2 2

0 0 r

4, , , π4π 4π 3

Q QF F F mg F Vg R gb b

ρ ρε ε ε

= = = = = , kde b je rozostup nábojov,

dostaneme: 2 2

3r k2

2 300 r k

4 π44π 34π π3

Q Q m R mb mg b m R g

ε ρε ε ε ρ

⎛ ⎞= ⇒ − =⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Odtiaľ už môžeme vyjadriť hustotu dielektrickej kvapaliny: rk 3

r

1 34π

mR

ερε−

= ≅ 804 kg⋅m–3.

2.2 Doskový kondenzátor je naplnený metylalkoholom a všetky molekulárne dipóly sú orientované

v smere kolmom na dosky kondenzátora. Vypočítajte vektor polarizácie P, plošnú hustotu polarizačného náboja σp a intenzitu poľa polarizačného náboja Ep! Elektrický dipólový moment molekuly metylalkoholu CH3OH je p = 5,66⋅10–30 C⋅m, hustota a molárna hmotnosť CH3OH sú ρ = 791 kg⋅m–3, M = 32,04⋅10–3 kg⋅mol–1.

31

Riešenie V prípade identických elektrických dipólov môžeme vektor polarizácie vypočítať:

A Am N NnM M

ρτ τ

=NP p = p = p = p

kde n je objemová hustota molekúl, N – počet molekúl, NA – Avogadrova konštanta. Smer vektora polarizácie je kolmý na dosky kondenzátora, t.j. je paralelný s vektorom intenzity

elektrického poľa v kondenzátore. Jeho veľkosť je: ANP pMρ

= = 0,084 C⋅m–2.

Plošná hustota polarizačného náboja σp = P = 0,084 C⋅m–2. Pre intenzitu elektrického poľa od

polarizačného náboja dostaneme: pp

0

Eσε

= = 9,5⋅109 V⋅m–1. Smer vektora Ep je opačný ako smer

vektora P. 2.3 Pri vložení polárneho dielektrika – vody – do elektrického poľa sa časť molekulárnych dipólov

zorientuje do smeru vonkajšieho elektrického poľa a zvyšok ostáva chaoticky neusporiadaný. Koľko percent molekúl vody je zorientovaných v poli s výslednou intenzitou elektrického poľa E = 4⋅105 V⋅m–1? Elektrický dipólový moment molekuly vody je p = 6,113⋅10–30 C⋅m, relatívna permitivita εr = 81, hustota ρ = 999 kg⋅m–3, a molárna hmotnosť M = 18,01⋅10–3 kg⋅mol–1.

Riešenie Veľkosť vektora polarizácie môžeme vyjadriť pomocou objemovej hustoty zorientovaných molekulárnych dipólov nE v smere vonkajšieho elektrického poľa: E 0 r( 1)P n p Eε ε= = − .

Preto objemová hustota zorientovaných dipólov je: 0 rE

( 1)Enp

ε ε −= 4,63⋅1025 m–3.

Objemová hustota všetkých elektrických molekulárnych dipólov je: ANnMρ

= 3,34⋅1028 m–3, kde NA

je Avogadrova konštanta. V jednotke objemu sa celkovo nachádza 3,34⋅1028 molekúl vody, čo predstavuje aj celkový počet elektrických dipólov, z toho v danom elektrickom poli bude zorientovaných 4,63⋅1025 dipólov.

Ich podiel vyjadrený v percentách bude: 0 r

A

( 1) 100E Mp N

ε ερ− 0,14 %.

2.4 Doskový kondenzátor, ktorého vzdialenosť dosiek d = 2 cm je nabitý na napätie U0 = 1000 V.

a) Pri odpojenom zdroji napätia vložíme do kondenzátora dielektrikum s relatívnou permitivitou εr = 8. Vypočítajte plošnú hustotu polarizačného náboja σp na povrchu dielektrika a plošnú hustotu voľného náboja σ0 na doskách kondenzátora! b) Rovnaké úlohy vypočítajte, ak je kondenzátor stále pripojený k zdroju napätia!

Riešenie a) Pri odpojenom zdroji napätia ostáva na doskách kondenzátora rovnaký voľný náboj pred aj po

vložení dielektrika:

Q = Q0 = konšt., ale napätie v kondenzátore s dielektrikom klesne na hodnotu 0

r

UUε

= .

Plošná hustota polarizačného náboja bude rovná veľkosti vektora polarizácie: 0

p 0 r 0 r 0 rr

( 1) ( 1) ( 1)U UP Ed d

σ ε ε ε ε ε εε

= = − = − = − 3,9⋅10–7 C⋅m–2.

Plošná hustota voľného náboja sa bude rovnať veľkosti vektora elektrickej indukcie:

00 0 r 0 0 0

UD E Ed

σ ε ε ε ε= = = = 4,4⋅10–7 C⋅m–2.

32

b) Pri stále pripojenom zdroji napätia bude napätie na kondenzátore rovnaké pred aj po vložení dielektrika: U = U0 = konšt. Preto plošná hustota polarizačného náboja v tomto prípade bude:

0p 0 r 0 r 0 r( 1) ( 1) ( 1)U UP E

d dσ ε ε ε ε ε ε= = − = − = − 3,1⋅10–6 C⋅m–2.

Vďaka zdroju napätia sa na doskách kondenzátora objavia dodatočné náboje, kompenzujúce zmenšenie náboja, vyvolané polarizáciou dielektrika. Pretože pre elektrické kapacity kondenzátora bez

a s dielektrikom bude v tomto prípade platiť: 0 10 1,Q QC C

U U= = , pričom pre elektrickú kapacitu

kondenzátora s dielektrikom platí 1 r 0 1 r 0C C Q Qε ε= ⇒ = . Voľný náboj na doskách kondenzátora sa εr -krát zväčší. Potom plošná hustota voľných nábojov bude:

1 0 01 r r 0 r 0

Q Q US S d

σ ε ε σ ε ε= = = = 3,5⋅10–6 C⋅m–2.

Zmena plošnej hustoty voľných nábojov na doskách kondenzátora je: 01 0 r 0 0 r p( 1) ( 1)U

dσ σ ε σ ε ε σ− = − = − = .

2.5 Doskový kondenzátor s plochou S = 100 cm2 a vzdialenosťou dosiek d = 6 mm je vyplnený

vrstvami dielektrík (obr. 2.4). Dielektrikum s relatívnou permitivitou εr1 = 4 má hrúbku v = 2 mm,

dielektrikum s relatívnou permitivitou εr2 = 5 má hrúbku d – v = 4 mm. Vypočítajte výslednú elektrickú kapacitu kondenzátora!

Riešenie

Výpočet elektrickej kapacity môžeme urobiť priamo z definície: 0QCU

= .

Napätie U je dané súčtom napätí: 1 2 1 20

d dd

U U U= + = ⋅ ⋅∫ ∫E r + E rv

v

.

Pretože d d dE r↑↑ ⇒ ⋅E r E r = , pričom pre intenzity elektrického poľa v jednotlivých vrstvách dielektrík platí :

0 0 0 01 2

r1 0 r1 0 r1 0 r2

,E Q QE ES S

σε ε ε ε ε ε ε

= = = = , dosadením do integrálov a následnou integráciou

dostaneme napätie: 0 0

0 r1 r2 0 r1 r20

d ddQ r r Q dUS Sε ε ε ε ε ε⎡ ⎤ ⎛ ⎞−

= = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫+v

v

v v

a hľadanú elektrickú kapacitu: 0 r1 r2

r2 r1( )SC

dε ε ε

ε ε=

+ −v v.

Poznámka: Príklad môžeme riešiť aj ako výslednú elektrickú kapacitu sériového radenia dvoch kondenzátorov

s elektrickými kapacitami: 0 r1 0 r21 2, .

( )S SC C

dε ε ε ε

= =−v v

2.6 Medzi dosky rovinného kondenzátora s parametrami S = 120 cm2, d = 3 mm, je vložená vrstva

bakelitu hrúbky d1 = 1 mm (obr. 2.5 ). Vypočítajte: a) elektrickú kapacitu tohto kondenzátora, b) intenzitu a indukciu elektrického poľa vo vzduchovej medzere a v dielektriku. Napätie na kondenzátore je U = 250 V.

Riešenie a) Elektrickú kapacitu môžeme vypočítať ako výslednú elektrickú kapacitu sériovej kombinácie

dvoch kondenzátorov. Nakoľko rozhranie dielektrík je ekvipotenciálna plocha, ktorú môžeme nahradiť veľmi tenkou vodivou vrstvou, kondenzátor sa rozdelí na dva sériovo radené

kondenzátory s kapacitami: 1 0 2 0 r1 1

, .S SC Cd d d

ε ε ε= =−

u

εr1 εr2

dObr. 2.4

33

Potom: 1 1 0 r

1 2 0 0 r r 1 1

1 1 1( )

d d d SCC C C S S d d d

ε εε ε ε ε−

= + = + ⇒ =− +

48 pF

b) Analogicky ako v predošlom príklade je napätie: 1

1

00 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1

r0

d d ( ) ( )d d d

d d

EU U U E d d E d E d d dε

−

−

= + = + = − + = − +∫ ∫E r E r⋅ ⋅

Odtiaľ intenzity elektrických polí: r0

1 r 1( )UE

d d dεε

=− +

1,1⋅105 V⋅m–1,

01

r

EEε

= 0,23⋅105 V⋅m–1.

Pre vektor elektrickej indukcie platí D ↑↑ E, preto je vektor D kolmý na rozhranie. Pre veľkosť vektora elektrickej indukcie platí: D1 = D0 = ε0 εr E1 = ε0 E0 = 9,7⋅10–7 C⋅m–2. 2.7 Dva doskové kondenzátory majú rozložené dielektriká podľa obr. 2.6 a), b), pričom pre relatívne

permitivity dielektrík platí εr2 > εr1. Vypočítajte v obidvoch prípadoch pomery intenzít E1/E2, elektrických indukcií D1/D2 a indukčných tokov ψ1/ψ2 v dielektrikách. Vypočítajte pomer energií, akumulovaných v obidvoch dielektrikách!

Riešenie Ekvipotenciálne plochy sú roviny rovnobežné s doskami kondenzátora, elektrické pole bude homogénne v obidvoch prípadoch.

V prípade podľa obr.2.6 a) platí, že siločiary aj indukčné čiary sú kolmé k rozhraniu. Z okrajových podmienok: Dn1 = Dn2, bude platiť D1 = D2 (vektor D má len normálovú

zložku), preto podiel 1

2

1DD

= . Pomer intenzít elektrických

polí bude:

1

1 0 r1 r2

22 r1

0 r2

DE

DEε ε ε

εε ε

= = , teda E1>E2. Pre pomer tokov

elektrickej indukcie dostaneme: 1

1

2 2

d1

dS

S

ψψ

= =∫

∫

D S

D S

⋅

⋅. Pomer energií, akumulovaných v dielektrikách je:

1 1pe1 1 1 r2

pe2 2 2 r12 2

1212

E wE w

τ ετ ε

= = =E D

E D

⋅

⋅, pretože pre objemy platí: 1 2 2

dSτ τ= = . Viac energie sa akumuluje

v dielektriku s menšou relatívnou permitivitou Epe1 > Epe2. V prípade podľa obr. 2.6 b) platí, že siločiary aj indukčné čiary sú rovnobežné s rozhraním, preto

z okrajových podmienok Et1 = Et2, bude platiť E1 = E2 (vektor E má len tangenciálnu zložku), preto

podiel 1

2

1EE

= . Pre elektrické indukcie dostaneme: 1 0 r1 1 r11 2

2 0 r2 2 r2

D E D DD E

ε ε εε ε ε

= = ⇒ < , a pre pomer

indukčných tokov: 1

1 r1

2 r22

d

dS

S

ψ εψ ε

= =∫

∫

D S

D S

⋅

⋅. Pretože pre objemy platí: 1 2 2

Sdτ τ= = , pre podiel energií

d

d1

Obr. 2.5

d

εr2εr1

d/2 d/2

Sεr1

εr2

S/2

Obr. 2.6 a) Obr. 2.6 b)

+F2

34

akumulovaných v daných dielekrikách dostaneme: 1 1

pe1 1 1 r1

pe2 2 2 r22 2

1212

E wE w

τ ετ ε

= = =E D

E D

⋅

⋅. V prípade paralelne

radených dielektrík je akumulovaná energia väčšia v dielektriku s väčšou relatívnou permitivitou Epe2 > Epe1. 2.8 Guľový kondenzátor je tvorený dvomi vodivými guľovými plochami s polomermi R1 = 2 cm, R2 = 6 cm.

Vnútorná guľa je obklopená dielektrickou vrstvou hrúbky a = 1 cm s relatívnou permitivitou εr1 = 2, zvyšný priestor zaberá dielektrikum s permitivitou εr2 = 7. Vypočítajte elektrickú kapacitu kondenzátora!

Riešenie K výpočtu elektrickej kapacity potrebujeme poznať celkové napätie medzi guľovými plochami kondenzátora (obr. 2.7):

1 2

1 1

1 2d dR a R

R R a

U+

+

= +∫ ∫E r E r⋅ ⋅ , pričom platí d d dE r↑↑ ⇒ ⋅E r E r = .

Za intenzity elektrických polí v jednotlivých dielektrikách dosadíme výrazy:

1 22 20 r1 0 r2

, .4π 4π

Q QE Er rε ε ε ε

= = Integráciou pre napätie dostaneme:

1 2

1 1

2 20 r1 0 r2

0 r1 1 1 r2 1 2

d d4π 4π

1 1 1 1 1 14π

R a R

R R a

Q r Q rUr r

QR R a R a R

ε ε ε ε

ε ε ε

+

+

= + =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

Hľadaná elektrická kapacita: 0 0 r1 r2 1 2 1

r2 2 r1 1 1 r1 1 2

r1 1 r2 2 1 r2 r1

4π 4π ( )( )1 1 1 1 1

( )

Q R R R aCU R a R R a R R

R R R a

ε ε ε εε ε ε

ε ε ε ε

+= = =

− + +⎛ ⎞− + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

10,4 pF.

Poznámka: Príklad je možné riešiť aj ako výslednú elektrickú kapacitu sériovo radených guľových kondenzátorov. 2.9 Rovinný vzduchový kondenzátor s elektrickou kapacitou C0 = 10 pF je pripojený na napätie U0 = 400 V.

a) Ako sa zmení energia poľa v kondenzátore, ak ho ponoríme do oleja s relatívnou permitivitou εr = 3, pričom je stále pripojený ku zdroju napätia? b) Ako sa zmení napätie a energia poľa v kondenzátore, ak kondenzátor odpojíme od zdroja a vyberieme z oleja?

Riešenie Pôvodne nahromadená energia elektrického poľa vo vzduchovom kondenzátore bude:

2pe0 0 0

12

E C U= = 8⋅10–7 J, a na doskách kondenzátora je náboj: Q0 = C0 U0 = 4⋅10–9 C.

a) Ponorením kondenzátora do oleja pri stálom pripojení kondenzátora na zdroj – nebude sa meniť napätie, ale elektrická kapacita εr - krát vzrastie: U1 = U0, C1 = εr C0. Potom energia

elektrostatického poľa v kondenzátore bude: 2 2pe1 1 1 r 0 0 r pe0

1 12 2

E C U C U Eε ε= = = = 2,4⋅10–6 J, a

elektrický náboj na doskách kondenzátora vzrástie na hodnotu: Q1 = εr Q0 = 1,2⋅10–6 C. b) Ak odpojíme zdroj a kondenzátor vytiahneme z oleja, ostáva na kondenzátore náboj Q2 = Q1, ale

kapacita klesne na pôvodnú hodnotu C0. Napätie 1 r 02 r 0

0 0

Q QU UC C

ε ε= = = . Energia elektrického

poľa v kondenzátore v tomto prípade bude: 2 2 2 2pe2 0 2 0 r 0 r pe0

1 12 2

E C U C U Eε ε= = = = 7,2⋅10–6 J.

εr1

εr2

aR1

R2

Obr. 2.7

35

2.10 Vypočítajte prácu pri vytiahnutí dielektrika s relatívnou permitivitou εr = 3, ktoré vypĺňa priestor doskového kondenzátora s plochou dosiek S = 2⋅10–2 m2, vzdialenosťou dosiek d = 1 cm, nabitého na napätie U1 = 300 V.

Riešenie Práca na vytiahnutie dielektrika sa rovná zmene energií elektrického poľa v kondenzátore bez

dielektrika a s dielektrikom: 2 2pe0 pe1 0 0 1 1

1 12 2

W E E C U C U= − = − , pričom platí: 01 r 0 1

r

, UC C Uεε

= = .

Dosadením pre prácu dostaneme: 2 20 r1 1 r 1 r

1 1( 1) ( 1)2 2

SW C U Ud

ε εε ε= − = − 4,8⋅10–6 J.

2.11 Vypočítajte silu, ktorou je vťahovaná doska dielektrika s relatívnou permitivitou εr > 1 do

medzery vzduchového kondenzátora (obr. 2.8), ak medzi doskami kondenzátora a dielektrikom nevzniknú žiadne vzduchové medzery. Na kondenzátore je konštantné napätie U.

Riešenie Vťahovaním dielektrika sa mení elektrická kapacita kondenzátora, ako aj energia elektrického poľa v kondenzátore. Usporiadanie podľa obrázku môžeme považovať za paralelnú kombináciu vzduchového kondenzátora a kondenzátora s dielektrikom, kde:

00 0 0

( )S a x bCd d

ε ε −= = , 1

1 0 r 0 rS xbCd d

ε ε ε ε= =

Pre výslednú elektrickú kapacitu dostaneme: 0 0 0

0 1 r r( ) ( 1)b b a bC C C a x x xd d dε ε εε ε= + = − + = + −

Práca pri vťahovaní dielektrika sa rovná zmene energie poľa v kondenzátore:

2pe

1d = d d d2

W E F x C U⇒ =

Potom pre silu dostaneme: 2 2 0r

1 d 1 ( 1)2 d 2

C bF U Ux d

ε ε= = − .

2.12 Nepolárna kvapalina s molárnou hmotnosťou M = 72,3 g⋅mol–1 a hustotou ρ = 865 kg⋅m–3 má

polarizovateľnosť α = 2,76⋅10–29 m3. Určte relatívnu permitivitu tejto kvapaliny! Riešenie

Pre nepolárnu kvapalinu platí Clausiova – Mossotiho rovnica: r 11

3

αεα

− =−

nn . Odtiaľ po úprave

dostaneme pre relatívnu permitivitu vzťah: r3 23

αεα

+=

−n

n.

Objemovú hustotu molekúl vypočítame: Aρ=

NnM

7,2⋅1027 m–3. Po dosadení číselných hodnôt εr = 1,21.

2.13 Pre polárnu látku s hustotou ρ = 865 kg⋅m–3 a molárnou hmotnosťou M = 61⋅10–3 kg⋅mol–1

umiestnenú v homogénnom elektrickom poli sme namerali pri teplote T1 = 340 K elektrickú susceptibilitu κ1 = 6,5. Určte dipólový moment molekúl tejto látky! Zistite, aká bude elektrická susceptibilita pri teplote T1 = 381 K!

Riešenie Závislosť elektrickej susceptibility od teploty pri orientačnej polarizácii dielektrika vyplýva

a

x

b

a - x

dF

Obr. 2.8

36

z Debyeovej rovnice:

2 2

A1

0 1 0 13 3ρ

κε ε

= =n p N p

k T k M T. Odtiaľ elektrický dipól molekúl bude: 0 1 1

A

3ε κρ

=k M Tp

N1,14⋅10–29 C⋅m.

Debyeovu rovnicu môžeme zapísať aj v tvare: 1 21 2

C C, resp.κ κ= =T T

, kde C je konštanta. Preto platí:

1 1 2 2κ κ=T T . Hľadaná elektrická susceptibilita pri teplote T2 bude: 1 12

2

κκ =T

T5,8.

2.4 Neriešené príklady 2.14 Dva rovnaké elektrické bodové náboje, vzdialené vo vákuu o R1 = 10 cm pôsobia na seba

rovnako veľkou silou, ako keď sú ponorené v dielektrickej kvapaline a sú vo vzdialenosti R2 = 6 cm. Vypočítajte relatívnu permitivitu dielektrika!

2.15 Majme valček, ktorého výška je h = 2 cm a polomer R = 1 cm, naplnený kvapalným HCℓ,

pričom všetky elektrické dipóly molekúl sú zorientované v smere osi valca. Vypočítajte vektor polarizácie P a celkový dipólový moment valčeka pc! Ako by musel byť rozložený povrchový náboj, aby spôsobil rovnaké pole? Molekula HCℓ má elektrický dipólový moment p = 3,4⋅10–30 C⋅m, hustota a molárna hmotnosť HCℓ sú ρ = 1,71⋅103 kg⋅m–3, M = 36,5⋅10–3 kg⋅mol–1.

2.16 Doskový kondenzátor má plochu dosky S = 120 cm2, vzdialenosť dosiek d = 4 mm a je nabitý na

napätie U0 = 300 V. Po odpojení kondenzátora od zdroja napätia, zaplníme priestor kondenzátora dielektrikom s relatívnou permitivitou εr = 3. Vypočítajte: a) napätie na doskách kondenzátora po vložení dielektrika, b) elektrickú kapacitu kondenzátora pred a po vložení dielektrika, c) plošnú hustotu voľného náboja pred a po vložení dielektrika, d) plošnú hustotu polarizačného náboja.

2.17 Doskový kondenzátor je nabitý na napätie U = 30 kV. Vnútri kondenzátora sú dve vrstvy

dielektrík s hrúbkami d1 = 6 mm, d2 = 12 mm, a s relatívnymi permitivitami εr1 = 3, εr2 = 9. Vypočítajte intenzity elektrostatického poľa v dielektrikách a zistite, či dôjde k prierazu dielektrík, ak elektrické pevnosti týchto materiálov sú Em1 = 8⋅106 V⋅m–1, resp. Em2 = 4⋅106 V⋅m–1.

2.18 Medzi doskami rovinného kondenzátora sa nachádza dielektrikum s elektrickou susceptibilitou κ = 5.

Výsledná intenzita elektrického poľa v kondenzátore je E = 5⋅105 V⋅m–1. Vypočítajte: a) elektrickú indukciu v dielektriku, b) zložku intenzity elektrického poľa E0, odpovedajúcu voľnému náboju, c) plošnú hustotu voľného náboja σ0 na doskách kondenzátora, d) vektor polarizácie P v dielektriku, e) zložku intenzity elektrického poľa od polarizačného náboja Ep, f) plošnú hustotu polarizačného náboja σp na povrchu dielektrika, g) efektívnu hustotu elektrického náboja na rozhraní dosky kondenzátora a dielektrika.

2.19 Intenzita elektrického poľa medzi doskami vákuového kondenzátora je E0 = 2 kV⋅mm–1. Ak ho

zaplníme dielektrikom, klesne na hodnotu E = 4⋅105 V⋅m–1. Aká je: a) plošná hustota voľného náboja na doskách kondenzátora σ0, b) relatívna permitivita dielektrika, c) plošná hustota polarizačného náboja na povrchu dielektrika σp?

2.20 Doskový kondenzátor s plochou S = 100 cm2 sa skladá zo vzduchovej medzery hrúbky d0 = 2 mm

a z dielektrika hrúbky d1 = 4 mm s relatívnou permitivitou εr1 = 4. Kondenzátor je nabitý na napätie U = 300 V. Vypočítajte intenzity elektrického poľa E0, E1, elektrické indukcie D0, D1, elektrické indukčné toky ψ0, ψ1 v jednotlivých častiach kondenzátora a polarizáciu dielektrika P!

37

2.21 *Elektrický náboj Q0 sa nachádza na vodivej guli s polomerom R1, ktorá je umiestnená v sústrednej guli z dielektrika s relatívnou permitivitou εr1. Táto dielektrická guľa má polomer R2. Okolité prostredie je vzduch (εr2 = 1). Určte priebehy D(r), E(r), V(r), pričom potenciál V(∞) = 0, a znázornite ich graficky!

2.22 Doskový kondenzátor s dielektrikom má kapacitu C = 1 μF a je nabitý na napätie U = 200 V. Pri

vytiahnutí dielektrika z kondenzátora sa vykonala práca W = 0,11 J. Vypočítajte relatívnu permitivitu dielektrika a z tabuľky zistite, o aký materiál sa jedná!

2.23 *Vypočítajte príťažlivú silu, pôsobiacu na dosky kondenzátora, skladajúceho sa zo vzduchovej

medzery hrúbky d0 a dielektrika s relatívnou permitivitou εr1 hrúbky d1. Plocha dosiek kondenzátora je S a kondenzátor je pripojený na napätie U.

2.24 Vypočítajte výšku, do ktorej vystúpi dielektrická kvapalina (εr = 6, ρ = 850 kg⋅m–3) medzi dosky

rovinného kondenzátora, ak je do nej ponorený. Vzdialenosť dosiek kondenzátora je d = 1 mm, kondenzátor je pripojený na napätie U = 1000 V.

2.25 Guľový kondenzátor s rozmermi R1 = 0,5 cm, R2 = 0,8 cm je vyplnený dielektrikom

z polyetylénu. Elektrický náboj na kondenzátore je Q = 10 μC. Určte elektrickú kapacitu tohto kondenzátora a energiu elektrického poľa v kondenzátore!

2.26 Vypočítajte elektrickú kapacitu valcového kondenzátora, ak je jeho dĺžka ℓ = 50 cm, polomer

vnútorného valca R1 = 4 cm, vonkašieho R2 = 9 cm a priestor medzi valcami je vyplnený transformátorovým olejom (εr = 2,2).

2.27 Vypočítajte vnútorný polomer valcového bakelitového kondenzátora, ktorého elektrická kapacita

je C = 1,5 nF, ak vonkajší polomer je R2 = 10 cm a dĺžka kondenzátora je ℓ = 20 cm. 2.28 Koaxiálny elektrický kábel sa skladá z centrálneho vodiča a súosového kovového tieniaceho

obalu, medzi ktorými je izolácia z dielektrika s relatívnou permitivitou 3. Priemer vnútorného vodiča je d1 = 0,6 cm, priemer vonkajšieho d2 = 1,5 cm. Vypočítajte elektrickú kapacitu jednotkovej dĺžky tohto kábla!

2.29 Kondenzátor je čiastočne zaplnený dielektrikom a pripojený na konštantné napätie. Určte,

v ktorej časti kondenzátora – vo vzduchovej medzere alebo v dielektriku – je väčšia hustota energie elektrického poľa a koľkokrát?

2.30 Dva rovnaké doskové kondenzátory – jeden s dielektrikom a druhý vákuový – sú zapojené

paralelne a pripojené na konštantné napätie. V ktorom kondenzátore bude väčšia hustota energie elektrického poľa a koľkokrát?

2.31 Rovinný kondenzátor je stále pripojený na napätie U = 100 V, vzdialenosť dosiek kondenzátora

je d = 0,2 cm. Do priestoru kondenzátora vložíme porcelán. Určte zmenu plošnej hustoty náboja na doskách kondenzátora!

2.32 Medzi doskami rovinného kondenzátora s plochou dosiek S = 100 cm2 je dielektrikum, ktoré

pozostáva z n = 4 vrstiev látky s relatívnou permitivitou εr1 = 2,1 a z n = 4 vrstiev látky s relatívnou permitivitou εr2 = 4,5. Vrstvy sa striedajú, hrúbka každej z nich je d = 1 mm. Vypočítajte elektrickú kapacitu tohto kondenzátora!

2.33 Vypočítajte elektrickú kapacitu kondenzátorovej batérie, ktorá vznikne z dvoch kondenzátorov,

z ktorých jeden je zaplnený dielektrikom s relatívnou permitivitou εr1 = 5 a druhý dielektrikom s relatívnou permitivitou εr2 = 7, ak ich zapojíme: a) sériovo, b) paralelne. Elektrické kapacity

38

týchto kondenzátorov bez dielektrík sú: C 01 = 10 pF, C 02 = 20 pF. 2.34 Vypočítajte pri 0° C a normálnom atmosférickom tlaku polarizovateľnosť atómu He, ak

relatívna permitivita hélia je εr = 1,000074. 2.35 Meraním kapacity sa zistilo, že kondenzátor, ktorý má vo vákuu elektrickú kapacitu C0 = 5 nF

má v metánovej atmosfére (pri 0° C a normálnom atmosférickom tlaku) kapacitu C1 = 5,0045 nF. Aká je polarizovateľnosť molekuly metánu?

2.36 Polarizovateľnosť molekuly NH3 je α = 2,8⋅10–29 m3. Vypočítajte dipólový moment molekuly,

ktorý vznikne vo vonkajšom elektrickom poli s elektrickou intenzitou E = 15 kV⋅m–1. 2.37 Polarizovateľnosť molekuly H2O je α = 1,86⋅10–29 m3. Vypočítajte dipólový moment molekuly

(okrem permanentného dipólového momentu), ktorý vznikne vložením do vonkajšieho elektrického poľa s elektrickou intenzitou E = 1 kV⋅m–1.

2.38 Máme dve nepolárne kvapaliny s rovnakým molárnym objemom, vložené do vonkajšieho

elektrického poľa. Pomer polarizovateľností molekúl týchto kvapalín je 1

2

23

αα

= . Relatívna

permitivita jednej kvapaliny je εr1 = 3. Určte relatívnu permitivitu druhej kvapaliny! 2.39 Relatívna permitivita chlórbenzénu pri teplote t1= 20° C je εr1 = 5,71 a pri teplote t2 = 25° C je εr2 = 5,62.

Ak sa hustota chlórbenzénu s teplotou nemení (ρ = 1110 kg⋅m–3), určte polarizovateľnosť a dipólový moment molekuly.

39

3 Elektrický prúd

3.1 Úvod Usmernený pohyb elektrických nábojov nazývame elektrický prúd. Pohybovať sa môžu ako

elektróny, tak záporné a kladné ióny, ale aj protóny a iné elementárne častice, pričom pohyb týchto nábojov môže prebiehať ako vo vákuu, tak v materiálovom prostredí.

Hustota elektrického prúdu je definovaná: Qi iiρ∑ vJ = ,

kde ρQi je objemová hustota elektrického náboja, vi je stredná usmernená rýchlosť elektrického náboja. Veľkosť vektora J sa rovná súčtu kladného náboja, ktorý prejde v smere intenzity poľa E za jednotku času cez plošnú jednotku kolmú na smer E a záporného náboja, ktorý cez tú istú plôšku prejde v opačnom smere. Prúdočiary sú čiary, ku ktorým vektor hustoty elektrického prúdu má smer dotyčnice.

Elektrický prúd je tokom vektora hustoty elektrického prúdu cez prierez vodiča: dS

I = ⋅∫ J S .

Po úprave môžeme potom elektrický prúd definovať ako množstvo náboja, ktoré prejde prierezom

vodiča za jednotku času: ddQIt

= . Vzhľadom na polaritu nábojov, môže mať elektrický prúd

dve znamienka. Elektrický prúd kladných nábojov je konvenciou zavedený ako kladný. Ohmov zákon v diferenciálnom tvare je: , resp.σ ρ= =J E E J ,

kde σ - konduktivita, ρ - rezistivita, sú materiálové konštanty prostredia, pričom platí: 1σρ

= . Podľa

tohto zákona v lineárnom prostredí je v každom bode priestoru nenulová intenzita elektrického poľa v dôsledku hustoty elektrického prúdu.

Ohmov zákon v integrálnom tvare (pre úsek vodiča) je: 1 2V V UIR R−

= = ,

teda elektrický prúd daným úsekom vodiča, pri danej teplote a pre daný materiál, je úmerný rozdielu potenciálov na koncoch tohto vodiča, resp. v tvare: U = R I - udáva úbytok napätia na vodiči, ktorým preteká elektrický prúd I ako súčin elektrického prúdu a elektrického odporu vodiča R.

Elektrický odpor úseku vodiča dĺžky ℓ a prierezu S je: dRS

ρ= ∫ . Pre homogénne vodiče

konštantného prierezu platí: RSρ

= . Rezistivita materiálu vodiča ρ vyjadruje veľkosť elektrického

odporu vodiča jednotkovej dĺžky a jednotkového prierezu.

Elektrická vodivosť vodiča 1 SGR

σ= = . Potom Ohmov zákon môžeme písať tiež v tvare: I = G U.

Pre výsledný elektrický odpor R obvodu pri sériovom radení rezistorov (obr. 3.1a) s elektrickými odpormi R1, R2,... Rn platí:

n

=1i

iR R= ∑ a pri ich paralelnom

zapojení (obr. 3.1b): n

1

1 1i iR R=

=∑ .

Závislosť elektrického odporu vodiča (resp. jeho rezistivity) od teploty pre kovové materiály vyjadruje v úzkom intervale teplôt lineárny vzťah: 0 0(1 ( ))t T Tρ ρ α= + − . Pre izolanty a polovodiče

elektrický odpor s rastúcou teplotou klesá: 0

1 1

0 eA

T Ttρ ρ

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= . Označenie v týchto vzťahoch: ρt , ρ0 sú rezistivity pri teplote T, resp. T0, α je teplotný koeficient odporu, A je materiálová konštanta. Hodnoty rezistivít a teplotných koeficientov odporu pre niektoré materiály sú uvedené v tabuľke 6.

R1 R2 Rn

R1

R2

RnObr. 3.1 Zapojenie rezistorov: a) sériové, b) paralelné

a) b)

40

Na vytvorenie trvalého prúdu vodičom treba na koncoch vodiča udržiavať rozdiel potenciálov, teda napätie. Túto funkciu vykonáva zdroj napätia, charakterizovaný elektromotorickým napätím E a vnútorným odporom Ri. Elektromotorické napätie zdroja (EMN) sa rovná práci, ktorú koná cudzia sila neelektrického pôvodu pri prenesení jednotkového kladného náboja z miesta nižšieho potenciálu (záporná svorka zdroja) do miesta s vyšším potenciálom (kladná svorka) proti silám existujúceho

elektrického poľa. Matematicky EMN môžeme vyjadriť: +

C d−

= ⋅∫EE ,

kde EC je intenzita cudzieho (vnúteného) poľa. Napätie na svorkách zdroja je svorkové napätie: U = R I, kde R je elektrický odpor záťaže. Na obr. 3.2 je náhradná schéma zdroja EMN, kde reálny zdroj je nahradený sériovým radením ideálneho bezodporového zdroja E a jeho vnútorného odporu Ri. Potom medzi elektromotorickým a svorkovým

napätím platí vzťah: ii i( ) R RR R I U R I U

R+

= + = + =E .

Pri nezaťaženom zdroji (R → ∞, I = 0): E = U. Rovnica spojitosti (kontinuity) elektrického prúdu, vyplývajúca zo zákona zachovania elektrického

náboja znie: dddS

Qt

⋅ = −∫ J S , resp. v diferenciálnom tvare: Qdiv 0tρ∂

=∂

J + .

Jednoduchý elektrický obvod je tvorený sústavou vodičov a zdrojom napätia. Miesto, kde sa stretávajú aspoň tri vodiče nazývame uzol, spojenie medzi dvomi uzlami je vetva. Slučka je časť elektrickej siete, tvoriaca uzavretý nerozvetvený obvod. Pri riešení elektrických obvodov používame Kirchhoffove zákony: 1. Kirchhoffov zákon plynie z rovnice spojitosti pre jednosmerný stacionárny

stav: n

lgvst vyst

1, resp. 0a

i j ki j k

I I I=

= =∑ ∑ ∑ : pri ustálenom elektrickom prúde je súčet elektrických

prúdov do uzla vtekajúcich rovný súčtu elektrických prúdov z uzla vytekajúcich, resp. algebraický súčet všetkých elektrických prúdov v uzle sa rovná nule.

2. Kirchhoffov zákon: 1 1

n m

i k ki k

R I= =

=∑ ∑E t.j. algebraický súčet EMN zdrojov v ľubovoľnej slučke sa

rovná súčtu napäťových úbytkov na jednotlivých rezistoroch tejto slučky. Postup pri riešení jednoduchých elektrických obvodov: 1. Ľubovoľne si šípkami zvolíme smery elektrických prúdov (ak vypočítaný elektrický prúd bude

záporný, tečie v skutočnosti elektrický prúd opačným smerom ako bola naša voľba); 2. Zvolíme si kladný smer obehu slučky; 3. Smer EC v zdrojoch je od zápornej svorky ku kladnej; 4. EMN, resp. napätia na rezistoroch budú kladné, ak smer obehu slučky je totožný so smerom EC,

resp. so smerom prúdu; 5. Zostavíme Kirchhoffove zákony a riešime sústavu lineárnych rovníc pre neznáme elektrické prúdy Ii.

Elementárna práca v celom uzavretom obvode pri prenášaní elektrického náboja dQ v elektrickom poli za čas dt bude: 2

id d ( )W Q I R R dt= = +E . Práca odovzdaná spotrebiču (vonkajšej časti obvodu) sa rovná tepelnej energii a prejaví sa zohriatím vodiča, ide o Jouleov-Lenzov zákon: 2

R dW I R t Q′= =∫ .

Výkon elektrického prúdu pre uzavretý obvod je definovaný ako práca vykonaná za jednotku času: 2 2

iddWP I R I R It

= = = +E , kde Pu = 2

22

i( )R I R

R R=

+E predstavuje výkon ustáleného elektrického

prúdu vo vonkajšej časti obvodu, t.j. užitočný výkon, Ps = Ri I2 predstavuje výkon v zdroji, t.j. stratový výkon. Užitočný výkon, spotrebovaný v záťaži, bude maximálny, ak je splnená podmienka výkonového prispôsobenia zdroja a záťaže: R = Ri . Účinnosť môžeme definovať ako podiel: η = Pu/P = R/(R+Ri) a bude najväčšia, ak platí: R >> Ri.

R

Ri

E

zdroj I

Obr. 3.2 Náhradná schéma zdroja EMN

41

3.2 Otázky a problémy 1. Aké podmienky musia byť splnené, aby obvodom prechádzal elektrický prúd? 2. Aký mechanizmus pri vedení elektrického prúdu je zodpovedný za vznik ustáleného pohybu

elektrického náboja, prečo sa voľný elektrón nepohybuje v elektrickom poli zrýchlene? 3. Aký je dohodnutý smer elektrického prúdu v obvode? 4. Aké môžu byť účinky elektrického prúdu? 5. Vyjadrite jednotky elektrického náboja, napätia a elektrického odporu pomocou základných jednotiek SI! 6. Vysvetlite známy Galvaniho pokus: spojením dvoch drôtov z rôznych kovov sa jedným koncom

dotýkal nôh mŕtvej žaby a druhým koncom jej krížových nervov. Po dotyku sa svaly končatín skrátili.

7. Prečo nemôžu byť zubné výplne a korunky zhotovované z rôznych kovov? 8. Vysvetlite Franklinov pokus: rovnakým elektrickým prúdom z batérie zasiahnutá suchá krysa

zahynula, zatiaľ čo mokrá prežila. 9. Aké elektrické napätie môže pri dotyku u človeka vyvolať ťažké následky na zdraví? Aký

elektrický prúd môže spôsobiť smrť? 10. Prečo sa v blízkosti na zem spadnutého vodiča vedenia vysokého napätia odporúča stáť na jednej nohe? 11. Prečo je nebezpečné dotýkať sa stožiarov vysokého napätia, aj keď sú vodiče, ktorými prechádza

prúd neporušené a od stožiara oddelené izolátormi? 12. Prečo si môžu vtáky sadať na drôty vedenia vysokého napätia a iba za akých podmienok sa môže

stať, že takéhoto vtáka elektrický prúd zabije? 13. Prečo blesk častejšie zasahuje listnaté ako ihličnaté stromy? Prečo sa človek pri búrke nemá

ukrývať v blízkosti osamelých stromov, ale ani stáť vo väčšej skupine ľudí? 14. V kovovom vodiči udržujeme konštantný rozdiel potenciálov, pričom platí V1 < V2. V ktorom

smere sa pohybujú voľné elektróny? 15. Aká musí byť intenzita elektrického poľa v medenom vodiči, aby hustota prúdu bola 2⋅104 A⋅m–2? 16. Aký elektrický prúd tečie medeným vodičom priemeru 3,2 mm, ak intenzita elektrického poľa vo

vodiči je 1⋅10–2 V⋅m–1? 17. Rozdiel potenciálov na koncoch vodiča dĺžky ℓ a priemeru d je U. Ako sa zmení driftová rýchlosť

elektrónov, ak zdvojnásobíme: a) dĺžku ℓ, b) priemer d, c) napätie U ? 18. Za akej podmienky môžu mať hliníkový a medený vodič rovnakej dĺžky rovnaké odpory? 19. Aký je priemer medeného drôtu, keď pokles napätia bol 1V pri dĺžke drôtu 0,14 km a elektrickom

prúde 500 mA? 20. Aký priemer musí mať medený drôt dĺžky 20 m, aby jeho elektrický odpor neprevýšil 0,1 Ω? 21. Vodič z medeného drôtu má elektrický odpor 38 Ω a hmotnosť 11,2 g. Aký je priemer a dĺžka

vodiča? 22. Koľkokrát sa zmení elektrický odpor sústavy n rovnakých rezistorov, ktoré sú zapojené paralelne,

keď ich zapojíme sériovo? 23. Homogénny vodič s elektrickým odporom R rozrežeme napoly a spojíme tieto polovice navzájom

paralelne. Ako sa zmení elektrický odpor? 24. Máte k dispozícii 3 rovnaké rezistory s elektrickým odporom

200 Ω. Môžete ich spojiť 4 rôznymi spôsobmi kombinujúc sériové a paralelné zapojenie. Nakreslite možné schémy a vypočítajte výsledné elektrické odpory pre každú schému!

25. Ako je výhodnejšie zapojiť žiarovky osvetlenia vianočného stromčeka a prečo?

26. Aká je vodivosť telesa, ak pri napätí 12 V preteká ním elektrický prúd 800 mA?

27. Platinový odporový teplomer má pri 0 °C elektrický odpor 164,2 Ω. Pri ponorení do zohriatej kvapaliny bol jeho elektrický odpor 187,4 Ω. Aká bola teplota kvapaliny?

28. Na obr. 3.3 sú voltampérové charakteristiky pre dva rezistory. Ktorý z nich má väčší elektrický odpor a koľkokrát?

I [A]

1 2

2

4

a

b

U [V]

Obr. 3.3

42

29. Voltmeter má rozsah U = 100 V a vnútorný odpor RV = 100 Ω. Aké najväčšie napätie môžeme merať týmto voltmetrom, keď použijeme predradný odpor Rp = 90 000 Ω?

30. Vysvetlite, čo sa stane, ak pri meraní napätia na svietiacej žiarovke omylom miesto voltmetra zapojíte ampérmeter? Čo sa stane s veľkosťou elektrického prúdu v obvode?

31. Žiarovkou s elektrickým odporom 120 Ω preteká elektrický prúd 0,05 A. Môžeme na odmeranie napätia na žiarovke použiť voltmeter na rozsahu 3 V?

32. Dva rovnaké rezistory s elektrickými odpormi 50 Ω sú pripojené k 4,5 V batérii podľa obr. 3.4 a), b). Aký elektrický prúd nimi prechádza, keď: 1) prepínač P je otvorený, 2) prepínač P je zopnutý.

33. Vysvetlite prečo elektrický odpor ideálneho ampérmetra je rovný 0 a elektrický odpor ideálneho voltmetra je ∞!

34. Batéria s EMN E = 6 V a vnútorným odporom Ri = 0,5 Ω je pripojená na sieť s celkovým elektrickým odporom R = 11,6 Ω. Aké bude napätie na svorkách batérie?

35. Štyri 1,5 V monočlánky sú sériovo pripojené k spotrebiču s elektrickým odporom 9,2 Ω. Vnútorné odpory monočlánkov sú 0,3 Ω. Aký elektrický prúd bude tiecť sieťou?

36. Aký je vnútorný odpor automobilového 12 V akumulátora, ak napätie na svorkách klesne na 7,8 V pri zapnutí štartéra, ktorý potrebuje elektrický prúd 70 A?

37. Uzavretý elektrický obvod je tvorený n rovnakými zdrojmi elektromotorického napätia, každý s vnútorným odporom Ri! Čo ukáže voltmeter na svorkách hociktorého zo zdrojov?

38. Ako sa bude meniť svorkové napätie zdroja, ak do obvodu zapájame rezistor so stále väčším elektrickým odporom. Určte limitné hodnoty svorkového napätia!

39. Elektrické pole v elektrickom obvode vykonalo prácu 12 J pri prenose elektrického náboja 6 C medzi svorkami vyhrievacej špirály. Aké bolo napätie na svorkách špirály?

40. V noci ste zabudli zhasnúť dve 100 W žiarovky, ktoré svietili 10 hodín. Koľko Vás bude stáť Vaša zábudlivosť, ak 1 kWh stojí 3,50 Sk?

41. Miestnosť je osvetlená tromi rovnakými žiarovkami zapojenými do série. Porovnajte spotrebu elektrickej energie, ak by ste použili len dve z týchto žiaroviek. Je spotreba elektrickej energie menšia keby ste žiarovky zapojili paralelne?

42. Dve žiarovky 25 W a 100 W sú spojené za sebou a pripojené na konštantné napätie. Určte, ktorá zo žiaroviek sa viac zahrieva! Aký je pomer vzniknutých tepiel na jednotlivých žiarovkách?

43. Dve žiarovky s elektrickými odpormi R1 > R2 sú spojené sériovo. Ktorá z nich jasnejšie svieti? Ako to bude pri ich paralelnom zapojení?

44. Žiarovku na 120 V, 75 W pripojíme paralelne k žiarovke na 120 V, 40 W. Aký je ich výsledný elektrický odpor?

45. Elektrický ohrievač s dvomi špirálami, ktorých elektrické odpory sú R1 = 100 Ω, R2 = 50 Ω sa pripája k napätiu U. Vypočítajte pomer výkonu ohrievača pri sériovom zapojení špirál Ps k výkonu ohrievača pri paralelnom zapojení špirál Pp.

46. Dve elektrické žiarovky sú zapojené na rovnaké elektrické napätie paralelne. Elektrický odpor jednej žiarovky je R1 = 360 Ω, druhej R2 = 240 Ω. Ktorá zo žiaroviek má väčší výkon a koľkokrát?

47. Jednoduchý domáci rozvod s napätím 220 V je chránený ističom na 5 A. Koľko 100 W žiaroviek môže byť súčasne zapnutých? Zistite, ktoré z nasledovných elektrospotrebičov môžeme v tomto rozvode súčasne zapnúť: žiarovku (100W), žehličku (400 W), práčku (1000 W), elektrickú „jednoplatničku“ (500 W)!

48. Cyklotrón urýchľuje zväzok deuterónov tak, že každý deuterón má energiu 16 MeV. Zväzok deuterónov dopadá na medený terčík, elektrický prúd prenášaný zväzkom je 15 μA. Akou rýchlosťou vnikajú deuteróny do medi a s akým výkonom sa v terči vyvíja teplo?

49. Vodič s elektrickým odporom R = 5 Ω je pripojený k zdroju s parametrami: E = 2 V, Ri = 1Ω. a) Aké množstvo chemickej energie sa premení na elektrickú za 2 minúty? b) Koľko tepla sa za tento čas vyvinie vo vodiči? c) Vysvetlite rozdiel medzi týmito energiami!

R R

P

R R

P

Obr. 3.4 a, b.a) b)

43

3.3 Riešené príklady 3.1 V elektrickom poli je umiestnená trubica s prierezom S = 0,6 cm2 naplnená roztokom NaCℓ.

Kladné ióny Na+ sa pohybujú v smere elektrického poľa rýchlosťou v1 = 4⋅10– 4 m⋅s–1, záporné

ióny Cℓ– rýchlosťou v2 = 7⋅10– 4 m⋅s–1 proti smeru elektrického poľa. Vypočítajte, aký elektrický prúd tečie roztokom, ak objemová hustota obidvoch druhov iónov je rovnaká n = 1026 m–3. Vypočítajte koľko iónov Cℓ– prejde smerom k anóde za čas t = 0,5 min! Vyjadrite hmotnosť sodíka, ktorý sa v tomto čase vylúči na katóde! Aký je celkový prenesený náboj Q?

Riešenie

Pre výpočet elektrického prúdu musíme najprv vypočítať jeho hustotu z definície: Q 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )i i

in e e n ne neρ ρ ρ= + = + − = − = +∑J = iv vv v v v v v v , pričom sme využili

skutočnosť, že objemové hustoty iónov sú rovnaké: n1 = n2 = n a smery rýchlostí sú navzájom opačné, t.j. ak uvažujeme pohyb kladného náboja v smere osi x, bude platiť: v1 = v1 i , v2 = v2 (−i).

Pre elektrický prúd potom platí: 1 2d ( )S

I J S ne S= ⋅ = = +∫ J S v v 1,06 A.

Počty iónov, ktoré prejdú prierezom za čas t dostaneme z ich objemových hustôt: počet iónov sodíka: N1 = n τ1 = n S v1 t ≅ 7,2⋅1019, počet iónov chlóru: N2 = n τ2 = n S v2 t ≅ 1,26⋅1020.

Hmotnosť vylúčeného sodíka potom bude: 1

A

N MmN

= 2,7⋅10–6 kg, kde M je molárna hmotnosť

sodíka, NA – Avogadrova konštanta.

Celkový prenesený náboj týmto prierezom za daný čas bude: 0

dt

Q I t I t= =∫ 31,7 C.

Poznámka: Rovnaký výsledok dostaneme nasledovne: Q = N e = (N1 + N2) e, pretože N je celkový počet voľných nosičov náboja. 3.2 Medeným vodičom dĺžky ℓ = 500 m a prierezu S = 5 mm2 preteká elektrický prúd I = 50 mA.

Vypočítajte elektrický odpor a tiaž medeného vodiča, objemovú hustotu voľného náboja, strednú usmernenú rýchlosť pohybu elektrónov a intenzitu elektrického poľa vo vodiči!

Riešenie

Za predpokladu, že vodič je homogénny, dostaneme jeho elektrický odpor: RSρ

= 1,7 Ω,

kde sme za rezistivitu medi dosadili hodnotu z tabuľky: ρ = 1,7⋅10–8 Ω⋅m. Tiaž medeného vodiča: G = ρ V g = ρCu S ℓ g = 220 N, kde sme dosadili hustotu medi (pri 20 °C) z tabuľky: ρCu = 8960 kg⋅m–3.

Objemová hustota voľného náboja je: Cu AQ

N eneM

ρρ = = 1,36⋅1010 C⋅m–3, kde M je molárna

hmotnosť medi, NA – Avogadrova konštanta.

Stredná usmernená rýchlosť pohybu elektrónov: Q Q Cu A

J I I MS N e Sρ ρ ρ

= = =v 7,4⋅10–7 m⋅s–1

a intenzita elektrického poľa vo vodiči bude podľa Ohmovho zákona: IE JS

ρ ρ= = 1,7 ⋅10–4 V⋅m–1.

3.3 Vypočítajte elektrický náboj Q, ktorý prejde vodičom za prvú a druhú polperiódu, ak časový

priebeh prúdu je na obr. 3.5. Vypočítajte celkový elektrický náboj, ktorý prejde vodičom za čas t = 1 s! Vypočítajte strednú hodnotu elektrického prúdu v tomto časovom intervale!

44

Riešenie V prvej polperióde, pre t ∈<0; 0,025> s, môžeme priebeh elektrického prúdu vyjadriť: I = k t, pričom pre smernicu tejto priamky z počiatočných podmienok platí: 10 = k 0,025 ⇒ k = 400 A⋅s–1. Za prvú polperiódu prejde vodičom elektrický náboj:

0,0250,025 0,0252

100 0

1d d2

Q I t k t t k t⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ = 0,125 C

V druhej polperióde, pre t ∈<0,025; 0,05> s, je priebeh elektrického prúdu vyjadrený priamkou: I = I 0 − k t, pričom I 0 = 10 A. Počas druhej polperiódy prejde vodičom elektrický náboj: 0,050,05

22 0 0

0,0250,025

1( ) d2

Q I k t t I t k t⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 0,125 C. Celkový prenesený náboj v priebehu periódy je:

T 1 2Q Q Q= + = 0,25 C. Priebeh elektrického prúdu sa v čase opakuje s periódou T = 0,05 s, pričom pre čas t platí: t = n T. Preto celkový náboj, ktorý prejde vodičom za čas t bude: T T /Q nQ t Q T= = =5 C. Stredná hodnota elektrického prúdu: s /I Q t= = 5 A. 3.4 Uvažujme zapojenie podľa obr. 3.6. Kondenzátor s elektrickou kapacitou

C = 1 μF nabijeme na napätie U0 = 100 V a potom zdroj odpojíme. Kondenzátor sa bude vybíjať cez rezistor s elektrickým odporom R = 1 MΩ. Vypočítajte čas, za ktorý poklesne napätie na štvrtinu pôvodnej hodnoty!

Riešenie Pri vybíjaní kondenzátora prejde cez rezistor za časový interval dt elektrický náboj dQ = − I dt. Dosadením výrazu pre elektrický prúd z Ohmovho zákona a zavedením kapacity, dostaneme túto

rovnicu v tvare: d dUC U tR

= − . Separujeme premenné a integrujeme: 0

0

4

0

d 1 dU t

U

U tU RC

= −∫ ∫ . Po

integrácii dostaneme hľadaný čas: 0

0

4 1ln ln 4U t t RCU RC

= − ⇒ = 7 s.

3.5 Vo vnútri dutej vodivej gule s priemerom d2 = 0,6 m je koncentricky umiestnená vodivá guľa

s priemerom d1 = 0,2 m. V priestore medzi guľami je olej, ktorého rezistivita je ρ = 1014 Ω⋅m. Aký bude elektrický odpor tejto sústavy?

Riešenie

Pre elektrický odpor vodiča z Ohmovho zákona platí: URI

= . Elektrický prúd v ľubovoľnom

mieste s polomerom r medzi guľami môžeme vyjadriť pomocou hustoty elektrického prúdu

nasledovne: 2 22

14π 4π4π

E Q QI J S r rrρ ε ρ ε ρ

= = = = . Pri úprave sme jednak využili Ohmov zákon

v diferenciálnom tvare a jednak vyjadrenie intenzity elektrického poľa E(r) podľa príkladu 1.14.

Napätie v priestore medzi guľami bude: 22

11

22

2 1 22

1 1 1d4π 2π

dd

dd

Q QUr d dε ε

⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ = − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ E r . Dosadením U

a I do Ohmovho zákona dostaneme hľadaný elektrický odpor: 1 2

1 12π

Rd d

ρ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦0,53 Ω.

Poznámka: Príklad môžeme riešiť aj ako výsledný elektrický odpor sériového radenia elektrických odporov guľových vrstiev s polomerom r a hrúbkou dr. Každá z týchto vrstiev predstavuje vodič s dĺžkou dr a prierezom 4πr2.

t [s]

I [A]

10

0 0,05 0,1Obr. 3.5

U C R

Obr. 3.6

45

3.6 Vypočítajte elektrický odpor časti siete, ktorej schéma je na obr. 3.7, ak hodnoty elektrických odporov sú:

R1 = R3 = R5 = R7 = R8 = R9 = 1 Ω, R2 = R4 = R6 = 2 Ω. Riešenie Najprv vypočítame výsledný elektrický odpor sériovej kombinácie rezistorov s elektrickými odpormi R5, R6, R7: R5 –7 = R5 + R6 + R7 = 4 Ω. K nemu je paralelne pripojený rezistor s odporom R4, pre výsledný elektrický odpor tejto paralelnej kombinácie platí:

4 74 7 4 5 7

1 1 1 4 3RR R R −

− −

= + ⇒ = Ω. Tento odpor je zapojený do série s elektrickými odpormi R3, R8,

ich výsledný elektrický odpor je R3 – 8 = R3 + R4 – 7 + R8 = 10/3 Ω. Analogicky postupujeme ďalej:

2 82 8 2 3 8

1 1 1 5 4RR R R −

− −

= + ⇒ = Ω. Nakoniec dostaneme výsledný elektrický odpor celej siete na

obr. v tvare: R = R1 + R2-8 + R9 = 13/4 Ω = 3,25 Ω. 3.7 Vypočítajte elektrický odpor časti siete na obr. 3.8 a, ak rezistory majú rovnaký elektrický odpor

R = 30 Ω.

Riešenie Ak v elektrickej sieti majú nejaké body rovnaké potenciály, môžeme tieto body bezodporovo spojiť do jedného bodu bez narušenia prúdov v jednotlivých častiach siete. Samotná schéma sa tým zjednoduší. Body M, M1 majú rovnaký potenciál, ako aj body N, N1, preto schému postupne upravujeme tak (obr. 3.8 b), aby sme napokon tieto body zlúčili: M ≡ M1; N ≡ N1 (obr. 3.8 c). Ako vidieť schéma sa zjednodušila na paralelné radenie 3 rezistorov, preto pre výsledný elektrický odpor platí: v v1/ 3/ / 3R R R R= ⇒ = = 10 Ω. 3.8 Dve tyče, železná a uhlíková, rovnakého priemeru sú spojené za sebou. Pri akom pomere ich

dĺžok nezávisí výsledný elektrický odpor tejto kombinácie od teploty? Riešenie

Pre výsledný elektrický odpor sériového radenia platí: 1 1 2 21 2R R R

S Sρ ρ

= + = + . Indexom 1

označujeme parametre železnej, indexom 2 uhlíkovej tyče. V malom intervale teplôt môžeme použiť lineárnu závislosť rezistivity od teploty nielen pre kovový vodič, ale aj pre uhlík, pričom vyjadrenie poklesu rezistivity uhlíka s teplotou vyjadríme záporným teplotným koeficientom odporu. Potom:

[ ] [ ]1 01 1 2 02 2 1 01 2 02 1 01 1 2 02 21 1(1 ) (1 ) ( ) ( )R T T TS S

ρ α ρ α ρ ρ ρ α ρ α= + Δ + − Δ = + + − Δ

kde ρ0i, sú rezistivity pri 0 °C, αi sú teplotné koeficienty odporu. Ak výsledný elektrický odpor nemá

závisieť od teploty, musí byť výraz pri ΔT nulový: 1 02 21 01 1 2 02 2

2 01 1

0 ρ αρ α ρ αρ α

− = ⇒ = 556,2 m.

Pri číselnom dosadení rezistivít a teplotných koeficientov odporu do hľadaného pomeru dĺžok sme použili tabuľku 6.

R9 R8 R7

R6

R5

R4

R3

R2

R1

Obr. 3.7

M1 2 3

NM1

N1

Obr. 3.8 a

3

1

2

M

M1

N

N1

3

2

1

M ≡ M1 N ≡ N1

⇒ ⇒

Obr. 3.8 b Obr. 3.8 c

46

3.9 Vnútorný odpor ampérmetra je RA = 0, 45 Ω. Ako musíme navrhnúť elektrický odpor Rb bočníka (obr. 3.9), aby sa rozsah ampérmetra n – násobne zväčšil? Vypočítajte pre n = 10!

Riešenie Ampérmetrom tečie prípustný elektrický prúd I. Ak potrebujeme týmto ampérmetrom merať n – násobne väčší elektrický prúd nI, musíme časť z neho odbočiť do vetvy, kde je zaradený bočník. Jeho veľkosť bude z 1. Kirchhoffovho zákona: Ib = nI – I = (n – 1) I. Z 2. Kirchhoffovho zákona pre označenú slučku platí: RA I – Rb Ib = 0.

Úpravou týchto rovníc dostaneme pre elektrický odpor bočníka: A A Ab

b ( 1) ( 1)R I R I RRI n I n

= = =− −

= 0,05 Ω.

3.10 Voltmeter má tri meracie rozsahy 3 V, 30 V, 120 V. Otočná cievka prístroja, ktorej elektrický

odpor je r = 10 Ω, sa elektrickým prúdom I = 1 mA otočí tak, že ručička prístroja ukazuje maximálnu výchylku. Vypočítajte elektrické odpory R1, R2, R3 – tzv. predradné odpory (obr. 3.10) pre jednotlivé meracie rozsahy ako aj celkový elektrický odpor voltmetra na rozsahu 120 V!

Riešenie Na prvom rozsahu voltmetra (3 V) v obvode platí:

U1 = (r + R1) I , elektrický odpor 11

UR rI

= − = 2990 Ω.

Na druhom rozsahu (30 V): U2 = (r + R1 + R2) I = U1 + R2 I.

Hľadaný predradný odpor R2 bude: 2 12

U URI−

= = 27 kΩ.

Na 3. rozsahu (120 V) platí: 3 1 2 3 2 3( )U r R R R I U R I= + + + = + . Elektrický odpor 3 23

U URI−

= = 90 kΩ.

Celkový elektrický odpor voltmetra na najväčšom rozsahu dostaneme ako sériové radenie elektrických odporov r, R1, R2, R3: 1 2 3R r R R R= + + + = 120 kΩ. 3.11 Ak pripojíme zdroj k rezistoru s elektrickým odporom R1 bude týmto jednoduchým obvodom

tiecť elektrický prúd I1 = 3 A a svorkové napätie bude U1 = 24 V. Ak ten istý zdroj pripojíme k záťaži s elektrickým odporom R2 bude tiecť prúd I2 = 4 A a svorkové napätie klesne na hodnotu U2 = 20 V. Vypočítajte: a) elektrické odpory R1, R2; b) vnútorný odpor zdroja Ri; c) elektromotorické napätie zdroja E!

Riešenie Schéma zapojenia je rovnaká ako na obr. 3.2. Ak je v obvode zaradený rezistor s elektrickým odporom R1, bude platiť: 1 i 1( )R R I= +E , pričom svorkové napätie je 1 1 1U R I= . Odtiaľ vypočítame

elektrický odpor 11

1

URI

= = 8 Ω. Ak ten istý zdroj pripojíme k rezistoru s elektrickým odporom R2,

môžeme písať analogickú rovnicu: 2 i 2( )R R I= +E a pre svorkové napätie 2 2 2U R I= . Potom

elektrický odpor 22

2

URI

= = 5 Ω. Ak rovnice pre elektromotorické napätie napíšeme v tvare:

1 i 1 2 i 2, resp.U R I U R I= + = +E E a dáme ich do rovnosti, dostaneme po úprave vnútorný odpor

zdroja: 1 2i

2 1

U URI I−

= =−

4 Ω. Spätným dosadením vnútorného odporu zdroja a svorkového napätia do

jednej z rovníc pre elektromotorické napätie zdroja dostaneme: E = 36 V.

Rb

n I

IbRA I

Obr. 3.9

A

Vr R1 R2 R3

U

I

Obr. 3.10

47

3.12 V elektrickom obvode na obr.3.11a vypočítajte elektrické prúdy, pretekajúce jednotlivými vetvami zapojenia, ak poznáte parametre zdrojov: EMN E1 = 18 V, E2 = 9 V, vnútorné odpory Ri1 = Ri2 = 1 Ω a elektrické odpory R1 = R2 = 6 Ω, R3 = 3 Ω.

Riešenie

Schému elektrického obvodu zakreslíme aj s vnútornými odpormi zdrojov (obr. 3.11b).

Zvolíme si ľubovoľne smery elektrických prúdov v jednotlivých vetvách, smery elektromotorických napätí (od zápornej svorky ku kladnej) a smery obehu slučky.

Potom pomocou 1. a 2. Kirchhoffovho zákona dostaneme nasledovné rovnice: – I1 + I2 – I3 = 0

– (R1+Ri1) I1 – (R2+ Ri2) I2 = E2 – E1 (R2+ Ri2) I2 + R3 I3 = – E2 Z týchto troch lineárnych nezávislých rovníc máme vypočítať neznáme elektrické prúdy I1, I2, I3.

Zostavíme determinant sústavy: 1 i1 2 i2

2 i2 3

1 1 1 1 1 1D ( ) ( ) 0 7 7 0

0 ( ) 0 7 3R R R R

R R R

− − − −= − + − + = − − =

+91 Ω2

a determinant D1: 1 2 1 2 i2

2 2 i2 3

0 1 1 0 1 1D ( ) 0 9 7 0

( ) 9 7 3R R

R R R

− −= − − + = − − =

− + −E E

E153 VΩ, a analogicky

determinanty 2 3

1 0 1 1 1 0D 7 9 0 36 V , D 7 7 9 189 V

0 9 3 0 7 9

− − −= − − = − Ω = − − − = − Ω

− −.

Hľadané elektrické prúdy vypočítame: 1 2 31 2 3

D D D1,68 A, 0,40 A, 2,08 A.D D D

I I I= = = = − = = −

Elektrické prúdy I2, I3 tečú opačným smerom ako bola naša voľba. 3.13 Elektrický náboj Q = 50 C preteká medeným vodičom dĺžky ℓ = 100 m a prierezu S = 1 mm2 a to

tak, že elektrický prúd prechádzajúci vodičom rovnomerne klesá až na nulu za čas t1 = 20 s. Vypočítajte teplo odovzdané vodiču!

Riešenie Rovnomerný pokles elektrického prúdu s časom môžeme matematicky zapísať: I = I0 – k t . Z okrajových podmienok: 0 = I0 – k t1 dostaneme I0 = k t1. Potom I = k t1 – k t = k (t1 – t). Medzi

elektrickým prúdom a nábojom platí: 1 1

21 1

0 0

1d ( ) d2

t t

Q I t k t t t k t= = − =∫ ∫ . Odtiaľ môžeme vypočítať

smernicu priamky udávajúcej pokles elektrického prúdu: 21

2Qkt

= = 0,25 C⋅m-2 a počiatočnú hodnotu

elektrického prúdu: I0 = k t 1 = 5 A. Teplo odovzdané vodiču vypočítame:

1 1 32 2 2 2 2 1

0 0 1 0 10 0

d ( ) d3

t t tQ W R I t I k t t I t I k t kS S

ρ ρ⎡ ⎤

′ = = = − = − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ 283 J

R1

R2

R3

E1

E2

Obr. 3.11a

Ri1

Ri2

R3

E1

E2I1

I3

I2

Obr. 3.11b

R2

R1

⇒

48

3.14 Vypočítajte maximálne možný výkon, ktorý môžeme odoberať z akumulátora, ktorého EMN je E = 12 V a vnútorný odpor Ri = 0,08 Ω. Aký elektrický odpor pritom musí mať pripojený spotrebič?

Riešenie Uvažujme opäť jednoduchý elektrický obvod podľa obr. 3.2. Pre užitočný výkon na spotrebiči platí: 2P R I= . Priebeh elektrického prúdu dostaneme z rovnice pre EMN:

ii

( )R R I IR R

= + ⇒ =+E

E . Dosadením dostaneme výkon v tvare: 2

i

P RR R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

E . Keďže máme

nájsť maximálny výkon, hľadajme extrém tejto funkcie: 0PR∂

=∂

. Derivovaním dostaneme:

2 ii3

i

2 0( )

R R R R RR R+ −

= ⇒ = =+

E 0,08 Ω. Maximálny výkon bude: 2 2

imax 2

i i(2 ) 4RP

R R= = =

E E 450 W.

3.15 Elektrický čajovar s objemom 1,5 ℓ má elektrický odpor ohrievacej špirály 80 Ω, účinnosť 80 %

a pracuje na napätí 220 V. Počiatočná teplota vody je 20 °C. Vypočítajte výkon dodaný tomuto spotrebiču, elektrický prúd pretekajúci špirálou a čas, za ktorý voda v čajovari bude vrieť!

Riešenie

Účinnosť spotrebiča je pomer užitočného výkonu a výkonu dodaného: u

d

PP

η = , pričom platí:

Pre užitočný výkon: uW Q mc TPt t t

′ Δ= = = , pre výkon dodávaný z elektrickej siete:

2

dUP U IR

= = ,

kde Q’ je Jouleovo teplo, m = ρ τ, m - hmotnosť, ρ -hustota, τ - objem ohrievanej vody, c = 4,2⋅103 J⋅K–1⋅kg–1 je hmotnostná tepelná kapacita vody, ΔT = T – T0 je rozdiel teplôt, o ktorý sa musí voda zohriať.

Potom výkon dodaný spotrebiču: Pd = 605 W; prúd pretekajúci špirálou je: UIR

= = 2,75 A.

Čas ohrievania dostaneme dosadením výrazov pre výkony do prvej rovnice:

2 2 2 2

mc T t mc T R mc T R c T RtU R U t U U

ρτηη η

Δ Δ Δ Δ= = ⇒ = = 1041,3 s = 17,4 min.

3.4 Neriešené príklady 3.16 Vypočítajte strednú usmernenú rýchlosť elektrónov vo vodiči kruhového prierezu, ktorého

priemer d = 2,8 mm a tečie ním elektrický prúd I = 0,8 A. Vodič je z alkalického kovu a objemová hustota atómov je n = 2,5⋅1028 m–3.

3.17 Aký elektrický náboj Q pretečie platinovým prúdovodičom s prierezom S = 0,1 mm2 za čas t = 5 s,

keď vektor intenzity pripojeného elektrického poľa je v každom bode prierezu konštantný, nezávislý od času a má veľkosť E = 103 V⋅m–1?

3.18 Vodičom preteká elektrický prúd konštantnej veľkosti 0,2 A. Aký elektrický náboj Q prejde

prierezom tohto vodiča za t = 5 s a koľko elektrónov to predstavuje? Za aký čas t1 prejde prierezom tohto vodiča elektrický náboj Q1 = 20 C?

3.19 Elektrický prúd vo vodiči rovnomerne rastie s časom z počiatočnej hodnoty I0 = 0,5 A a svoju

maximálnu hodnotu I1 = 4,5 A dosiahne za čas t1 = 10 s. Aký náboj prejde prierezom vodiča za tento čas a aká je stredná hodnota elektrického prúdu v tomto časovom intervale?

49

3.20 Vypočítajte veľkosť elektrického náboja, ktorý prejde vodičom za čas t1 = 4 s, ak veľkosť elektrického prúdu, pretekajúceho týmto vodičom, kvadraticky rastie s časom z nulovej počiatočnej hodnoty na maximálnu hodnotu I max = 6 A, ktorú dosiahne v čase t2 = 9 s. Aká je stredná hodnota elektrického prúdu v časovom intervale, v ktorom elektrický prúd dosiahne svoju maximálnu hodnotu?

3.21 Vypočítajte výsledný elektrický odpor siete na obr. 3.12. Hodnoty elektrických odporov v Ω

jednotlivých rezistorov sú uvedené priamo v schéme.

3.22 Na obr. 3.13 je časť jednoduchej elektrickej siete, elektrický odpor R1 = 10 Ω. Aké veľké musia byť elektrické odpory R2 ostatných rezistorov, aby pre celkový elektrický odpor medzi bodmi A a B platilo RAB = R1?

3.23 Ku galvanometru s vnútorným odporom Rg = 0,5 Ω je pripojený bočník s elektrickým odporom

Rb = 0,05 Ω. Akú hodnotu elektrického odporu Rx musí mať rezistor, ktorý pripojíme do série s galvanometrom, aby výsledný elektrický odpor celého zapojenia bol opäť Rg?

3.24 Na obr. 3.14 sú dve elektrické siete zostavené z rezistorov so známymi elektrickými odpormi R,

resp. 2R, a z rezistoru, ktorého elektrický odpor r nepoznáme. Zistite, pri akej hodnote r nameriame rovnaký výsledný elektrický odpor medzi bodmi A a B v obidvoch sieťach! (Číselne vyjadrite pre R = 2 Ω).

3.25 Vypočítajte neznámy elektrický odpor Rx v elektrickom obvode na obr. 3.15, ak poznáme nasledovné veličiny: R1 = R2 = 10 Ω, R3 = 30 Ω, napätie na odpore R3 je U3 = 90 V a elektrický prúd I2 = 6 A.

3.26 Nájdite celkový odpor elektrickej siete na obr. 3.16, hodnoty elektrických prúdov, pretekajúcich

cez jednotlivé rezistory a elektromotorické napätie zdroja, ktorého vnútorný odpor zanedbajte. Elektrické odpory sú: R1 = 6 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 2,4 Ω, R4 = 6,8 Ω, R5 = 4,8 Ω, R6 = 5 Ω, R7 = 7 Ω, R8 = 5,8 Ω, a elektrický prúd I1 = 60 mA.

3.27 V sieti so zdrojom napätia 220 V máme tri rezistory s elektrickými odpormi 400 Ω, 300 Ω a 200 Ω

zapojené: a) sériovo, b) paralelne. Vypočítajte celkový elektrický odpor, elektrické prúdy a úbytky napätí na jednotlivých rezistoroch v obidvoch prípadoch.

R2 R2

R1R2

Obr. 3.13

A

B

64

30

10

101010

3

6

Obr. 3.12

Obr. 3.14

R2R

2R 2R rR R

rA

A

B

B

a)

b)

R1R4

R8R7R6

R5R3

I1

R2

E

Obr. 3.16Obr. 3.15

Rx

R1

R2

R3

I2

I3

50

3.28 Dva paralelne spojené rezistory, z ktorých jeden má dvakrát tak veľký elektrický odpor ako druhý, sú pripojené na napätie 90 V. Vypočítajte hodnoty týchto odporov a elektrický prúd nimi pretekajúci, ak elektrický prúd v nerozvetvenej časti siete je 1,5 A.

3.29 Akú hodnotu odmeria ampérmeter

v schéme na obr. 3.17, ak R1 = R2 = R3 = 10 Ω, R4 = 15 Ω, E = 30 V? Vnútorné odpory ampérmetra aj zdroja zanedbajte!

3.30 Ampérmeter zapojený v schéme podľa obr. 3.18 ukazuje hodnotu 0,55 A. Vypočítajte elektrický prúd

pretekajúci cez rezistor s elektrickým odporom R4, ak platí: R1 = 4 Ω, R2 = R3 = 2 Ω, R4 = 3 Ω, R5 = 1 Ω. 3.31 Žiarovka je dimenzovaná na napätie Už = 4 V s dovoleným elektrickým prúdom I = 0,02 A. Aký

elektrický odpor Rx má rezistor, ktorý musíme predradiť žiarovke, keď ju chceme pripojiť na zdroj s napätím U = 6 V? Aký elektrický odpor má žiarovka?

3.32 Štyri vodiče rovnakej dĺžky, z rovnakého materiálu sú zapojené do série a pripojené na napätie U. Pre ich

prierezy platí: S1 : S2 : S3 : S4 = 1 : 2 : 3 : 4. Aké budú pomery úbytkov napätí na jednotlivých vodičoch? 3.33 Žiarovka odoberá elektrický prúd I = 600 mA. Teplota rozžeraveného wolframového vlákna je

2873 K, vlákno má priemer 0,2 mm. Elektrický prúd je do vlákna privádzaný medeným vodičom prierezu SCu = 6 mm2 pri teplote 20 °C. Vypočítajte intenzitu elektrického poľa v medi a vo wolframe! Hodnoty rezistivít a teplotného koeficientu odporu sú uvedené v tabuľke 6.

3.34 Žiarovka s wolframovým vláknom s parametrami P = 100 W, U = 220 V má počas prevádzky

teplotu vlákna T = 2873 K. Vypočítajte elektrický odpor vlákna R0, keď je žiarovka odpojená zo siete, veľkosť nárazového prúdu I0 v čase zapnutia žiarovky a veľkosť odoberaného elektrického prúdu It v pracovnom režime a porovnajte ich!

3.35 Žiarovkou pripojenou na napätie U1 = 200 V tečie elektrický prúd I1 = 0,2 A. Žiarovka jasne

svieti, pričom teplota vlákna žiarovky je t1 = 3000 °C. Keď túto žiarovku pripojíme na napätie U2 = 100 V bude ňou tiecť elektrický prúd I2 = 0,25 A a teplota vlákna klesne na hodnotu t2 = 1000 °C. Vypočítajte elektrický odpor vlákna žiarovky R0 pri teplote t0 = 0 °C!

3.36 Vypočítajte veľkosť predradného odporu rezistora Rp, ktorý musíme pripojiť k voltmetru

s vnútorným odporom Rv = 2 kΩ, aby mohol merať napätie do U = 1 kV, ak je zostrojený na meranie napätí do U1 = 50 V.

3.37 Voltmeter s vnútorným odporom Rv = 3 kΩ má rozsah U1 = 12 V. Aký elektrický prúd

prechádza voltmetrom pri plnej výchylke a aký predradný odpor musíme zapojiť, aby sa rozsah prístroja zväčšil päťnásobne?

3.38 Miliampérmeter so stupnicou od (0 – 15) mA má vnútorný odpor RA = 5 Ω. Rozhodnite, čo treba

urobiť, aby sme s ním mohli merať prúdy do 150 mA! 3.39 Navrhnite spôsob ako zhotovíte ampérmeter so stupnicou na I = 10 A z galvanometra, ktorého

ručička ukazuje koniec stupnice pri prúde Ig = 200 μA a napätí U = 10 mV. 3.40 Vnútorný odpor galvanometra je Rg = 30 Ω, prúd odpovedajúci plnej výchylke je Ig = 60 μA. Čo

treba urobiť, ak chcete použiť galvanometer vo funkcii: a) ampérmetra na meranie elektrických prúdov do I = 15 A, b) voltmetra so stupnicou do U = 3000 V?

R4

R2 R3R1

AE

Obr. 3.17

AR1

R2

R3

R4

R5

I1

I4

Obr. 3.18

51

3.41 V elektrickej sieti na obr. 3.19 platí R1 = R2 = R = 15 kΩ, zdroj má zanedbateľný vnútorný odpor a napätie U = 8V. Voltmeter s vnútorným odporom Rv/1 V =10 000 Ω/V je zapojený na rozsahu 5 V. Akú výchylku ukáže po pripojení na rezistor s elektrickým odporom R1 a aká je relatívna chyba merania vyvolaná konečným vnútorným odporom prístroja?

3.42 *K svorkám zdroja s elektromotorickým napätím E = 12 V a vnútorným odporom Ri = 2 Ω je

pripojený voltmeter, ktorého vnútorný odpor je RV = 100 Ω. Aký bude údaj voltmetra a relatívna chyba merania, ak správnu hodnotu by nameral voltmeter s nekonečne veľkým vnútorným odporom?

3.43 *Jednoduchý elektrický obvod pozostáva zo zdroja s elektromotorickým napätím E = 30 V a

vnútorným odporom Ri = 2 Ω, z rezistora s elektrickým odporom R = 50 Ω, a z ampérmetra s vnútorným odporom RA = 1 Ω. Akú hodnotu ukáže ampérmeter a s akou relatívnou chybou, ak správnu hodnotu by nameral ampérmeter s nulovým odporom?

3.44 V obvode so zdrojom EMN E = 150 V s vnútorným odporom Ri = 5 Ω tečie cez spotrebič

elektrický prúd I1 = 120 mA. Aký elektrický prúd potečie rovnakým spotrebičom, ak do obvodu zapojíme dva rovnaké zdroje zapojené do série? Vypočítajte aj elektrický odpor R spotrebiča!

3.45 Ak zdroj EMN pripojíme na záťaž s elektrickým odporom R1 = 20 Ω, potečie obvodom

elektrický prúd I1 = 150 mA. Po pripojení toho istého zdroja na iný rezistor s elektrickým odporom R2 = 50 Ω, bude elektrický prúd I2 = 80 mA. Vypočítajte EMN zdroja a jeho vnútorný odpor Ri!

3.46 Svorkové napätie zdroja je U1 = 5,2 V, keď je k nemu pripojený rezistor s elektrickým

odporom R1 = 12 Ω, a zmení sa na hodnotu U2 = 5 V, ak použijeme iný rezistor s elektrickým odporom R2 = 7 Ω. Vypočítajte EMN zdroja a jeho vnútorný odpor Ri!

3.47 V zapojení podľa obr. 3.20 ukazujú

ideálne prístroje hodnoty 30 V a 5 A. Ak rezistory zapojíme sériovo, údaje voltmetra a ampérmetra budú 40 V a 1,6 A. Vypočítajte elektrické odpory rezistorov R1, R2, EMN zdroja E a jeho vnútorný odor Ri!

3.48 V elektrickej sieti na obr. 3.21 poznáme elektrické odpory R1, R2, R3 a elektrický prúd I3. Určte

elektrické prúdy I1, I2 a EMN zdroja, ak jeho vnútorný odpor zanedbáme! 3.49 V elektrickom obvode na obr. 3.22 vypočítajte: a) rozdiel potenciálov

UAB medzi bodmi A, B; b) elektrické prúdy I1, I2 a I3, ak sú body AB skratované. Hodnoty elektrických odporov sú: R1 = R2 = R3 = 2 Ω, R4 = 1Ω, vnútorné odpory zdrojov: Ri1 = Ri2 = Ri3 = 1 Ω, EMN zdrojov E1 = 3 V, E2 = 10 V, E3 = 12 V.

3.50 Vypočítajte elektrický prúd, pretekajúci galvanometrom v elektrickej

sieti na obr. 3.23, ak EMN zdrojov sú E1 = 2 V, E2 = 1 V, ich vnútorné odpory zanedbáme, elektrické odpory: R1 = 1 kΩ, R2 = 0,2 kΩ, R3 = 500 Ω, Rg = 0,12 kΩ.

R1 R2

V

U

Obr. 3.19

R1V

A

R2E

Obr. 3.20

R3R1 I1

E R2

I3

I2

Obr. 3.21

Ri1

Ri2

Ri3

E1

E2

E3

R2

R4

R1

R3

A B

I3

I1

I2

Obr. 3.22

52

3.51 Určte elektrické prúdy, pretekajúce jednotlivými vetvami siete (obr. 3.24), ak EMN zdrojov sú: E1 = 1,3 V, E2 = 1,4 V, E3 = 1,5 V, ich vnútorné odpory sú rovnaké a rovné 0,3 Ω, elektrický odpor R = 0,6 Ω. (!)

3.52 Vypočítajte elektrický prúd cez diagonálu AC v schéme 3.25, ak E1 = 1 V, E2 = 2 V, E3 = 3 V, vnútorné odpory zdrojov sú Ri1 = 1 Ω, Ri2 = 0,5 Ω, Ri3 = 1/3 Ω, elektrické odpory záťaže sú R4 = 1 Ω, R5 = 1/3 Ω.

3.53 Wheatstonov mostík (obr. 3.26) je v rovnováhe, t.j. prúd cez galvanometer je nulový.

Vypočítajte hodnoty elektrických prúdov v každej z vetví, ako aj neznámy elektrický odpor R4, ak EMN je E = 2 V, R1 = 45 Ω, R2 = 30 Ω, R3 = 200 Ω.

3.54 V elektrickej sieti na obr. 3.27 poznáme všetky elektrické odpory a elektrický prúd I4. Nájdite

elektrické prúdy, pretekajúce ostatnými rezistormi a EMN zdroja, jeho vnútorný odpor zanedbajte! Platí: R1 = R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 1 Ω, R5 = 5 Ω, I4 = 60 mA.

3.55 Vypočítajte elektrické prúdy I1, I2 a I3 v elektrickej sieti na obr. 3.28, ak parametre zdrojov sú: E1 = 27 V, E2 = 30 V, Ri1 = 30 mΩ, Ri2 = 50 mΩ a elektrické odpory záťaží sú: R1 = R2 = R5 = 8 Ω, R3 = 1,97 Ω, R4 = 2,95 Ω, R6 = 12 Ω, R7 = 1,2 Ω.

3.56 Vypočítajte elektrický prúd I v sieti podľa obr. 3.29, ak zdroje EMN sú rovnaké, dané parametrami:

E = 2,2 V, Ri = 20 mΩ a pre elektrické odpory platí: R1 = R2 = 2 Ω, R3 = 6 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 9 Ω. 3.57 Walkman, ktorý ako zdroj používa 3 monočlánky (1,5 V) má príkon 0,9 W. Akú elektrickú

prácu vykonali sily elektrického poľa v obvode walkmana, ak bol zapnutý 3 hodiny a aký elektrický prúd tiekol jeho elektrickým obvodom?

3.58 Elektrický ohrievač vody s objemom 100 ℓ ohrieva vodu z 15 °C na 80 °C v čase od 22.h do 6.h

ráno. Pripojený je na napätie 220 V. Tepelné straty do okolia sú Q* = 1,6⋅106 J. Aká je spotreba elektrickej energie, príkon tohto spotrebiča a elektrický odpor výhrevného telesa?

3.59 *V zapojení podľa obr. 3.6 po nabití kondenzátora na napätie U0 odpojíme zdroj. Kondenzátor sa

bude vybíjať cez rezistor s elektrickým odporom R. Dokážte, že energia rozptýlená na rezistore sa rovná energii, ktorá bola akumulovaná v kondenzátore.

(!) Takéto zapojenia sa v praxi nepoužívajú v dôsledku veľkých cirkulačných prúdov.

R5R4

R3

R1 R2E

I4

Obr. 3.27

R5 R6

R7R3

R4R2

R1

E1 E2

I2I1 I3

Obr. 3.28

E2

E1 E3R1

R2R3

R4

R5

Obr. 3.29

I

E1

GE2

R1

R2

R3

Obr. 3.23

E1E2

E3

R

Obr. 3.24

CE1

E2E3

R4

R5A

Obr. 3.25

G

R1

R3R4

R2

E

Obr. 3.26

53

3.60 Elektrický varič má dve ohrievacie špirály. Ak zapneme prvú z nich, začne sa určitý objem vody variť za čas t1 = 5 minút. Ak zapneme zvlášť druhú špirálu, bude sa ten istý objem vody variť za čas t2 = 15 minút. Varič je stále pripojený na rovnaké napätie. Za aký čas sa to isté množstvo vody s rovnakou počiatočnou teplotou začne variť, ak obidve špirály zapojíme: a) do série, b) paralelne?

3.61 Varič má výkon 1 kW. Koľko elektrónov prejde za čas 2 s prívodným vodičom, ak je varič

pripojený na napätie 220 V? 3.62 Aké je napätie na zdroji v elektrickej sieti na obr. 3.30, ak na rezistore

s elektrickým odporom 5 Ω sa spotrebuje výkon 20 W? Hodnoty elektrických odporov v Ω sú uvedené v schéme.

3.63 Na dvoch sériovo zapojených rezistoroch v sieti s napätím 120 V sa

spotrebuje štyrikrát menší výkon, ako keď sú zapojené paralelne. Ak je elektrický odpor jedného rezistora 1,8 kΩ, aký bude elektrický odpor druhého rezistora?

3.64 Žiarovkové osvetlenie vianočného stromčeka pozostáva z 8 žiaroviek 8 W sériovo pripojených

na napätie 220 V. Aký je elektrický odpor každej žiarovky? Neprekročí elektrický prúd v obvode maximálnu dovolenú hodnotu, ak Imax cez žiarovku je 300 mA?

3.65 V elektrickom obvode na obr. 3.31 vypočítajte celkový výkon dodávaný do rezistorov, keď sú

zapojené súčasne obidva zdroje napätia. Ak je v činnosti iba jeden zdroj E1 (E2 = 0) – dodávaný výkon je P1 = 60 W. Ak pracuje iba zdroj E2 (E1 = 0) je výkon P2 = 180 W. Hodnoty elektrických odporov sú: R1 = 10 Ω, R2 = 30 Ω, R3 = 2 Ω, vnútorné odpory zdrojov zanedbajte.

3.66 *Navrhnite elektrický odpor R2 rezistoru

zapojeného podľa schémy na obr. 3.32, aby výkon na rezistore R2 bol maximálny!

3.67 Akumulátor s EMN E a vnútorným odporom

Ri je pripojený k vonkajšej záťaži s elektrickým odporom R. Maximálny výkon na tejto záťaži je P = 9 W, elektrický prúd pretekajúci obvodom za týchto podmienok je I = 3 A. Vypočítajte E a Ri!

3.68 Električka hmotnosti m = 22,5 t sa pohybuje rovnomerne najprv vodorovne a potom mierne do

svahu so sklonom 0,03. Najprv odoberá zo siete elektrický prúd I1 = 60 A, v druhom prípade I2 = 118 A. Aká je rýchlosť električky v obidvoch prípadoch, keď faktor trenia je μ = 0,01, napätie elektrického vedenia U = 500 V a účinnosť elektromotora η = 75 %?

3.69 Zdvihák s elektrickým príkonom 500 W dvíha náklad rýchlosťou 0,5 m⋅s–1. Ak účinnosť

transformácie elektrickej energie na mechanickú je 60 %, akú hmotnosť má dvíhaný náklad? 3.70 Prúd pretekajúci elektromagnetom je 6,6 A, keď je elektromagnet pripojený na napätie 240 V.

Aký musí byť hmotnostný prietok chladiacej vody na chladenie závitov elektromagnetu, ak sa teplota vody nemá zvýšiť viac ako o 8 °C?

3.71 Aký objem vody dokáže rýchlovarná kanvica zohriať z teploty 20 °C k bodu varu, ak jej príkon

je 1500 W, účinnosť 75 % a je zapnutá 5 minút? 3.72 Prietokový ohrievač vody pripojený na napätie 220 V zohrieva každú minútu 1ℓ vody na teplotu

60 °C, ak teplota pritekajúcej vody je 16 °C. Vypočítajte elektrický odpor ohrievacej špirály a elektrický prúd pretekajúci elektrickým obvodom ohrievača, ak jeho účinnosť je 70 %.

Obr. 3.31

R1

R2

R3

E1 E2

R1

R2R3

E

Obr. 3.32

510 10

Obr. 3.30

54

4 Magnetické pole vo vákuu

4.1 Úvod Väčšina tvrdení a vzťahov, ktoré tu uvedieme, platí rovnako vo vákuu ako v prítomnosti látok

interagujúcich s magnetickým poľom (magneticky aktívnych materiálov, magnetík). Pri tých tvrdeniach a vzťahoch, ktoré vo všeobecnosti neplatia v prítomnosti magnetík, tento fakt explicitne uvedieme kurzívou ako poznámku.

V okolí permanentných magnetov, v okolí pohybujúcich sa nabitých telies, v okolí telies, ktorými preteká elektrický prúd, a v miestach s časovo premenlivým elektrickým poľom vzniká magnetické pole. Toto pole sa prejavuje tak, že pôsobí silami na iné permanentné magnety, pohybujúce sa nabité telesá a telesá pretekané elektrickým prúdom, ktoré sa v ňom nachádzajú.

Na popis magnetického poľa sa používajú veličiny magnetická indukcia B (tiež "hustota magnetického toku") a intenzita magnetického poľa H. Z nich priamejší fyzikálny význam má magnetická indukcia B, lebo priamo súvisí so silovými účinkami magnetického poľa. Vo vákuu medzi týmito dvomi veličinami platí vzťah 0μ=B H (neplatí v magnetikách), kde konštanta

7 -10 4π 10 H mμ −= ⋅ ⋅ je permeabilita vákua (tiež "magnetická konštanta").

Magnetické pole elementu prúdovodiča (Biotov-Savartov zákon): Nekonečne krátky element prúdovodiča s dĺžkou dℓ, ktorým v smere dℓ tečie elektrický prúd I, vytvára v bode, ktorý má

vzhľadom naň polohový vektor r, magnetické pole s magnetickou indukciou 03

dd4π

Ir

μ ×=

rB (neplatí

v magnetikách ani v ich okolí). Platí zákon superpozície, to znamená, že výslednú magnetickú indukciu B v danom bode od celého prúdovodiča určíme integráciou príspevkov dB od celej dĺžky prúdovodiča ℓ. V prípade viacerých prúdovodičov sa ich príspevky k magnetickej indukcii v danom bode vektorovo sčítajú.

Magnetické pole pohybujúceho sa bodového náboja: Bodový náboj Q, pohybujúci sa rýchlosťou v, vytvára v bode, ktorý má vzhľadom naň polohový vektor r, magnetické pole s indukciou

034π

Qr

μ ×=

v rB (neplatí v magnetikách ani v ich okolí). V prípade viacerých pohybujúcich sa nábojov

sa podľa zákona superpozície ich príspevky k magnetickej indukcii vektorovo sčítajú. Ampérov zákon (tiež "zákon prietoku" alebo "zákon celkového prúdu"):

Integrálny tvar zákona: Pre dráhový integrál intenzity magnetického poľa H po ľubovoľnej uzavretej

dráhe ℓ platí pd I I⋅ = +∫ H , kde 1=

= ∑n

kk

I I je algebrický súčet všetkých prúdov vo vodičoch, ktoré

pretínajú ľubovoľnú plochu S ohraničenú integračnou dráhou ℓ, a p dS

It

∂= ⋅∫

∂D S (s integráciou cez tú

istú plochu S, kde D je elektrická indukcia v mieste elementu dS) je takzvaný Maxwellov posuvný prúd, ktorý treba brať do úvahy v prípade, že plocha S prechádza miestami s nestacionárnym elektrickým poľom, napríklad priestorom medzi doskami nabíjajúceho alebo vybíjajúceho sa kondenzátora. Kladná orientácia prúdov je daná postupom pravotočivej skrutky, otáčajúcej sa súhlasne s kladnou orientáciou integračnej dráhy ℓ. Pri spojitom rozložení prúdovej hustoty J treba súčet prúdov I nahradiť integrálnym prúdom prúdovej hustoty, ktorá preniká plochou S, d

SI = ⋅∫ J S .

Diferenciálny (lokálny) tvar zákona: Ampérov zákon možno písať aj v diferenciálnom tvare

rot DH Jt

∂= +

∂, ktorý na rozdiel od integrálneho tvaru, týkajúceho sa určitej plochy S, dáva do súvisu

vektory H, J a D v jednom bode. Táto rovnica je jedna zo štyroch Maxwellových rovníc elektromagnetického poľa.

V špeciálnom prípade, keď plocha S, ohraničená integračnou dráhou ℓ, prechádza iba miestami so stacionárnym elektrickým poľom (v prípade Ampérovho zákona v integrálnom tvare), alebo keď

55

popisujeme magnetické pole v bode, kde je elektrické pole stacionárne (v diferenciálnom tvare), možno Ampérov zákon písať v zjednodušenom integrálnom tvare d I⋅ =∫ H a zjednodušenom

diferenciálnom tvare rotH J= . Pri riešení úloh z magnetického poľa je využitie Ampérovho zákona podobné ako využitie Gaussovho zákona elektrostatiky pri riešení úloh z elektrostatiky.

Magnetický tok cez plochu S je definovaný výrazom dS

Φ = ⋅∫ B S , kde dS je vektorový element

plochy S. Ak je plocha S uzavretá, tok vektora magnetickej indukcie cez ňu je vždy nulový, d 0

S⋅ =∫ B S , čo možno zapísať v diferenciálnom tvare ako div 0=B . Je to ďalšia z Maxwellových

rovníc elektromagnetického poľa. Na náboj Q, ktorý sa v magnetickom a súčasne elektrickom poli pohybuje rýchlosťou v, pôsobí

Lorentzova sila ( )Q Q Q= + × = + ×v vF E B E B , kde E je intenzita elektrického poľa. Prvý člen výrazu je elektrická sila, druhý člen je magnetická sila. Na element prúdovodiča I dℓ pôsobí v magnetickom poli sila d dI= ×F B .

Každá prúdová slučka predstavuje magnetický dipól 1. Možno pre ňu definovať magnetický moment (tiež "elektromagnetický moment") I=m S , kde S je vektor plochy ohraničenej prúdom I, pričom orientácia vektora S je daná orientáciou postupu pravotočivej skrutky, ktorá sa otáča súhlasne s prúdom I v slučke. Na prúdovú slučku umiestnenú v homogénnom magnetickom poli pôsobí moment sily = ×M m B . Potenciálnu energiu prúdovej slučky v homogénnom magnetickom poli možno vyjadriť vzťahom pE = − ⋅m B . Hustota energie magnetického poľa (tiež "objemová magnetická

energia") je 12

w = ⋅H B .

4.2 Otázky a problémy 1. Zmení sa magnetické pole v okolí elektrického obvodu, ak sa zmení orientácia prúdu v obvode? 2. Z jednej cievky na druhú premotávame drôt, ktorým tečie elektrický prúd. Rýchlosť premotávania

sa práve rovná strednej usmernenej (driftovej) rýchlosti elektrónov v drôte, jej orientácia je však opačná. Vytvorí sa v okolí drôtu magnetické pole?

3. Čo sú indukčné čiary magnetického poľa? 4. Aká je súvislosť (kvalitatívne) medzi hustotou magnetických indukčných čiar a veľkosťou

magnetickej indukcie? 5. Schematicky nakreslite sústavu indukčných čiar magnetického poľa v okolí vodiča, ktorým

preteká elektrický prúd, ak ide o a) dlhý priamy vodič, b) jednoduchú slučku, c) dlhý solenoid. 6. Koaxiálny kábel je sústava dvoch súosových valcových vodičov, medzi ktorými je vrstva

dielektrika (obr. 4.17). Pomocou Ampérovho zákona ukážte, že v okolí koaxiálneho kábla, ktorého vodičmi tečú vzájomne opačne orientované rovnako veľké prúdy, je magnetická indukcia nulová, takže celé magnetické pole je sústredené v objeme kábla.

7. Toroid je vo všeobecnosti teleso v tvare kruhového prstenca (torusu, anuloidu), ako napr. duša automobilovej pneumatiky alebo koleso na plávanie. V elektrotechnike sa pod pojmom toroid obyčajne rozumie husto radiálne navinutá cievka takéhoto prstencovitého tvaru (obr. 4.7). Schematicky nakreslite magnetické pole toroidu v rovine prstenca a pomocou Ampérovho zákona ukážte, že v tejto rovine je magnetická indukcia v okolí toroidu (mimo jeho dutiny) nulová. Poznámka: Magnetická indukcia má však malú nenulovú zložku v smere kolmom na rovinu prstenca, pretože v dôsledku stúpania závitov toroid predstavuje jednu veľkú prúdovú slučku, ležiacu v rovine prstenca, a tá vytvára vo svojom okolí magnetické pole.

8. Predstavme si elektrický obvod uzavretý v myslenej guľovej ploche. Závisí magnetický tok magnetického poľa obvodu cez guľovú plochu od polomeru tejto plochy? Zmení sa situácia, ak bude elektrický obvod umiestnený celý alebo čiastočne mimo gule ohraničenej guľovou plochou?

1 Pozor pri používaní pojmu magnetický dipól, pozri lit. [40], str. 241.

56

9. Môže nastať situácia, že sila pôsobiaca na nabitú časticu, ktorá sa pohybuje v magnetickom poli, je nulová?

10. V ktorom prípade sa pod vplyvom homogénneho magnetického poľa bude meniť smer pohybujúceho sa elektrónu: keď elektrón vletí do magnetického poľa v smere indukčnej čiary, alebo keď do neho vletí kolmo na indukčné čiary?

11. Rozhodnite, v ktorých z nasledujúcich prípadov pôsobia na seba dva bodové elektrické náboje magnetickými silami: a) obidva náboje sú nehybné, b) jeden náboj sa pohybuje, druhý je nehybný, c) obidva náboje sa pohybujú po tej istej priamke, d) náboje sa pohybujú po dvoch rovnobežných priamkach, pričom ich spojnica je práve kolmá na priamky, e) náboje sa pohybujú po dvoch rovnobežných priamkach, pričom ich spojnica nie je kolmá na priamky f) náboje sa pohybujú po dvoch vzájomne kolmých priamkach mimo priesečníka priamok, g) náboje sa pohybujú po dvoch vzájomne kolmých priamkach, pričom jeden z nich sa práve nachádza v priesečníku priamok. Vyjadrite a do obrázka zakreslite vždy obidve magnetické sily, to znamená silu pôsobiacu na prvý náboj a silu pôsobiacu na druhý náboj, a porovnajte ich. Poznámka: Vyriešením tejto úlohy zistíte, že v prípadoch (e) a (f) sily vo všeobecnosti nepôsobia v smere spojnice nábojov a že v prípadoch (f) a (g) majú rôznu absolútnu hodnotu. K rovnakému záveru vedie aj porovnanie úplných Lorentzových síl, zahrňujúcich aj elektrické sily. Keďže tu ide o sily, ktorými na seba vzájomné pôsobia dve telesá, znamená to, že pre magnetické sily medzi nábojmi neplatí tretí Newtonow zákon (zákon akcie a reakcie) (!) a že to isté platí aj pre úplné Lorentzove sily. Tento zarážajúci fakt je dôsledkom toho, že magnetizmus je v skutočnosti relativistický jav, takže ho nie je možné úplne popísať zákonmi klasickej fyziky. Magnetické sily sa objavujú, keď pri vzájomnom elektrickom pôsobení pohybujúcich sa nábojov vezmeme do úvahy konečnú rýchlosť šírenia elektrického pôsobenia (konečnú rýchlosť šírenia elektromagnetického vlnenia, čiže svetla). Také javy možno úplne popísať iba v rámci teórie relativity. (Bližšie pozri lit. [40], str.241).

12. Po akej trajektórii sa bude v homogénnom magnetickom poli pohybovať elektrón, ktorého počiatočná rýchlosť je kolmá na vektor magnetickej indukcie? Pre porovnanie rovnaká otázka s elektrickým poľom: po akej trajektórii sa bude v homogénnom elektrickom poli pohybovať elektrón, ktorého počiatočná rýchlosť je kolmá na vektor intenzity elektrického poľa?

13. Vyjadrite výkon sily, ktorá pôsobí na náboj pohybujúci sa v magnetickom poli. Na základe výsledku rozhodnite, či táto sila môže konať prácu.

14. Môže nastať prípad, že Lorentzova sila, pôsobiaca na nabitú časticu, ktorá sa pohybuje v elektrickom a magnetickom poli, je nulová?

15. Má elektrickú zložku Lorentzova sila, ktorá pôsobí na pohybujúci sa elektrón v okolí a) vodiča, ktorým tečie elektrický prúd, b) elektrónového lúča?

16. Pôsobia na seba magnetickými silami a) dva rovnobežné vodiče, ktorými tečie elektrický prúd, b) dva rovnobežné elektrónové lúče (zväzky elektrónov), c) vodič, ktorým tečie elektrický prúd, a rovnobežný elektrónový lúč? Ktoré z týchto dvojíc pôsobia na seba aj elektrickými silami?

17. Ako je možné, že dva rovnobežné elektrónové lúče sa odpudzujú, pričom dva rovnobežné vodiče, v ktorých tečú súhlasne orientované prúdy, sa priťahujú?

18. Kedy pôsobí na vodič, ktorým tečie elektrický prúd a ktorý je umiestnený v magnetickom poli, nulová sila: keď je vodič rovnobežný s indukčnými čiarami, alebo keď je vodič kolmý na indukčné čiary?

19. Schematicky nakreslite sústavu magnetických indukčných čiar v okolí konca solenoidu, ktorým tečie prúd. Kvalitatívne ukážte, že na slučku, ktorej os je totožná s osou solenoidu, pôsobí v okolí konca solenoidu príťažlivá alebo odpudivá sila, v závislosti od vzájomnej orientácie prúdov v solenoide a v slučke.

20. Ukážte, že dva rôznobežné dlhé priamkové vodiče, ktoré ležia v jednej rovine a sú pretekané elektrickým prúdom, pôsobia na seba vzájomne momentmi síl, ktoré sa snažia natočiť ich tak, aby stotožnili polohu a orientáciu ich prúdov.

21. Vysvetlite, ako by bolo možné vyrobiť kompas, ak máme k dispozícii batériu, vodivý káblik, cievku s navinutým drôtom a niť.

22. V akej polohe vzhľadom na vektor magnetickej indukcie pôsobí na prúdovú slučku v homogénnom magnetickom poli najväčší moment sily a v akej polohe je moment sily nulový? V akej polohe má slučka nulovú, najväčšiu a najmenšiu potenciálnu energiu? Ktorá z dvoch rovnovážnych polôh je stabilná a ktorá vratká? Do akej polohy sa snaží slučka natočiť?

57

23. Mení sa potenciálna energia prúdovej slučky v homogénnom magnetickom poli a) pri translačnom pohybe slučky (t.j. pri posúvaní jej stredu a súčasnom zachovaní smeru jej osi) pozdĺž indukčných čiar poľa, b) pri translačnom pohybe slučky priečne na indukčné čiary poľa, c) pri otáčavom pohybe slučky, pri ktorom sa mení smer osi slučky?

24. Máme dve kruhové prúdové slučky s rôznymi polomermi a s totožnými stredmi. Do akej vzájomnej polohy sa slučky snažia natočiť?

25. Ako sa zväčší energia magnetického poľa elektrického obvodu, ak sa elektrický prúd v obvode zdvojnásobí?

4.3 Riešené príklady

Poznámka: V príkladoch 4.1 - 4.3, 4.5 ukážeme, ako možno určiť vektor magnetickej indukcie v okolí takých jednoduchých prúdov, ako je prúdová slučka a priamkový prúd. Výsledky z týchto príkladov sa potom využívajú v ďalších príkladoch pri riešení problémov, v ktorých sa výsledné magnetické pole elektrického obvodu dá vyjadriť ako superpozícia polí od jednoduchých prúdov. Je preto nutné, aby sme tieto príklady dobre zvládli a vedeli postup ich riešenia v prípade potreby rýchlo zopakovať. Podobne je tiež užitočné vedieť rýchlo vyjadriť magnetickú indukciu v dutine toroidu a solenoidu (príklady 4.7 a 4.8), pretože cievky tohto tvaru sú častým zdrojom magnetického poľa, takže tieto úlohy sa vyskytnú ako čiastkové úlohy pri riešení viacerých ďalších príkladov. 4.1 Prúdová slučka (závit) má polomer R = 10 cm a tečie ňou prúd I = 1 A. Určte vektor magnetickej

indukcie slučky v strede slučky!

Riešenie Podľa Biotovho-Savartovho zákona príspevok elementárneho úseku vodiča s dĺžkou dℓ k magnetickej indukcii v strede slučky (obr. 4.1) je

03

dd4π

Ir

μ ×=

rB , kde vektor dℓ má rovnakú orientáciu ako prúd v

slučke a r je polohový vektor stredu slučky vzhľadom na polohu elementárneho úseku dℓ. Pre ľubovoľný element dℓ sú vektory dℓ a r vzájomne kolmé, takže elementárny príspevok dB je vždy kolmý na nákresňu, orientovaný pred ňu a pre jeho absolútnu hodnotu platí

0 0 03 2 2

d dd d4π 4π 4πR

II r IBr r

μ μ μ= = = , kde sme v poslednej rovnosti využili, že r R= . Výsledná

magnetická indukcia B je superpozíciou príspevkov od všetkých elementárnych úsekov. Hľadaná

veľkosť magnetickej indukcie je preto 2π

60 02

0d d 6,28 10 T

4πR 2

RI IB BR

μ μ −= = = = ⋅∫ ∫ . Vektor B je kolmý

na nákresňu a orientovaný pred ňu. Je užitočné si zapamätať, že vektor B má rovnakú orientáciu ako postup pravotočivej skrutky (vývrtky), ktorá sa otáča súhlasne s prúdom v slučke. 4.2 Prúdová slučka má polomer R = 10 cm a tečie ňou prúd I = 1 A. Určte vektor magnetickej

indukcie slučky na osi slučky vo vzdialenosti a = 20 cm od jej stredu! Overte, že v prípade a = 0 cm (stred slučky) je výraz pre magnetickú indukciu totožný s výsledkom príkladu 4.1.

Riešenie Zvoľme na slučke dva elementárne úseky dℓ a dℓ' so vzájomne symetrickou polohou vzhľadom na stred slučky (obr.4.2). Podľa Biotovho-Savartovho zákona príspevok elementu dℓ k magnetickej indukcii na osi slučky v bode s polohovým vektorom r

R

I

rdBB

d

Obr. 4.1

Obr. 4.2

Ia α

αr

dB2

dB1

dB'1

dB'2 dB'

dBd

d '

R

r'

B

58

vzhľadom na element dℓ je 03

dd4π

Ir

μ ×=

rB . Keďže vektory dℓ a r sú vzájomne kolmé, v

absolútnych hodnotách platí 0 03 2

d dd4π 4π

I r IBr r

μ μ= = . Príspevok elementu dℓ' je 0

3

dd4π

Ir

μ ′ ′×′ =′

rB .

Z obrázku je zrejmé, že priemety vektorov dB, d ′B do smeru osi slučky, označené ako 1 1d , d ′B B , sa sčítavajú, priemety do smeru kolmého na os slučky, označené ako 2 2d , d ′B B , sa vzájomne rušia. K celkovej magnetickej indukcii slučky prispieva teda z vektora dB iba jeho priemet dB1, ktorého

veľkosť je 0 01 2 3

dd d sin d d4π 4π

I RR I RB B Br r r r

μ μα= = = = . Veľkosť celkovej magnetickej indukcie

slučky v danom bode je súčet príspevkov od všetkých elementov dℓ, čo vyjadruje integrál 22π

0 01 3 3

0= d d

4π 2

RI R I RB Br r

μ μ= =∫ ∫ . Podľa obrázku platí 2 2r R a= + , preto

( )

270

32 2 2

5,62 10 T2

I RBR a

μ −= = ⋅+

,

čo je hľadaný výsledok. Vektor B leží v osi slučky a má na celej osi (t.j. na oboch stranách slučky) rovnakú orientáciu, ktorá je, rovnako ako v príklade 4.1, totožná s postupom pravotočivej skrutky, ktorá sa otáča súhlasne s prúdom v slučke.

V prípade 0a = cm je ( )

20 0

32 2 22

I R IBRR

μ μ= = , čo je výsledok totožný s výsledkom príkladu 4.1.

Určenie tejto limity je užitočné ako kontrola správnosti všeobecného výsledku. 4.3 Priamym úsekom vodiča tečie prúd I. Určte príspevok tohto úseku k celkovej magnetickej

indukcii obvodu v bode A (obr. 4.3), ktorého poloha je určená jeho kolmou vzdialenosťou od vodiča a a uhlami α1 , α2 , ktoré s orientovanou priamkou prúdovodiča (úseku) zvierajú spojnice počiatočného a koncového bodu úseku s bodom A.

Riešenie

Zvoľme elementárny úsek prúdovodiča dℓ s polohovým vektorom ℓ vzhľadom na bod O (obr. 4.3). Jeho príspevok k magnetickej indukcii v bode A je podľa Biotovho-Savartovho

zákona 03

dd4π

Ir

μ ×=

rB . Z tohto vzťahu vyplýva, že vektor

dB je kolmý na nákresňu a je orientovaný do nákresne. To platí pri ľubovoľne zvolenom elemente dℓ na danom prúdovodiči, preto výsledný vektor magnetickej indukcie B bude tiež kolmý na nákresňu a bude orientovaný do nej. V absolútnych hodnotách platí:

0 03 2

d sin sind d4π 4π

I r IBr r

μ μα α= = , kde α je uhol medzi

vektormi dℓ a r. Pri posúvaní elementárneho úseku dℓ po prúdovodiči sa súčasne menia r aj α. Aby bolo možné integrovať dB, je potrebné ho vyjadriť ako funkciu iba jednej

nezávislej premennej. Najvýhodnejšie je zvoliť za nezávisle premennú uhol α a pomocou nej vyjadriť r a dℓ. Dĺžku r vyjadríme zo vzťahov v pravouhlom trojuholníku so stranami a, ℓ a r, kde platí

sin sina arβ α

= = , lebo sin sinβ α= . Kvôli vyjadreniu dℓ treba najprv poznať výraz pre ℓ. V tom istom

trojuholníku platí tg tga aβ α

= = − , lebo tg tgβ α= − , takže 2 2 2

d 1d d d dd tg cos sin

a aα α αα α α α

= = = .

S využitím týchto vzťahov dostávame vzťah pre dB ako funkciu α:

Obr. 4.3

α

β

α 2

α 1

O •

r

a

A

dB

d

IB

59

0 02 2

sin sind d dsin 4π

4πsin

I IaBaa

μ α μ αα αα

α

= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Hľadaná magnetická indukcia v bode A od celého úseku prúdovodiča je súčet všetkých elementárnych

príspevkov: ( )2

1

0 01 2

sind d cos cos4π 4πI IB B

a a

α

α

μ α μα α α= = = −∫ ∫ . Vektor B je kolmý na nákresňu a

orientovaný do nej. 4.4 Vypočítajte veľkosť magnetickej indukcie v strede štvorcovej slučky so stranou ℓ = 5 cm, ak

ňou tečie prúd I = 2 A.

Riešenie Magnetickú indukciu v strede slučky O možno určiť ako superpozíciu štyroch (v dôsledku symetrie rovnakých) príspevkov od jednotlivých strán štvorca. Problém príspevku priameho úseku prúdovodiča rieši všeobecne príklad 4.3. Podľa jeho výsledku je veľkosť

príspevku jednej strany štvorca ( )01 1 2cos cos

4πIBa

μ α α= − , kde a je

vzdialenosť bodu O od strany štvorca a α1 , α2 označujú uhly, ktoré s orientovanou priamkou prúdovodiča (strany) zvierajú spojnice koncov strany s bodom O. Vektor B1 , rovnako ako príspevky od ostatných troch strán v bode O, je kolmý na rovinu štvorca a je orientovaný do nákresne.

(To vyplýva z Biotovho-Savartovho zákona pre ľubovoľný elementárny úsek prúdovodiča slučky).

Podľa obr. 4.4 platí 2

a = , 1π4

α = , 23π4

α = . S využitím týchto vzťahov hľadaná veľkosť

magnetickej indukcie v strede štvorca je:

50 0 01

2 2 2π 3π 2 24 4 cos cos 4,53 10 T4 4 π 2 2 π4π

2

I I IB B μ μ μ −⎛ ⎞⎛ ⎞= = − = + = = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Vektor B je kolmý

na rovinu štvorca a je orientovaný do nákresne. 4.5 Nekonečne dlhým priamym vodičom tečie prúd I = 1 A. Určte vektor magnetickej indukcie

magnetického poľa vytvoreného týmto prúdom vo vzdialenosti a = 10 cm od vodiča! Výpočet urobte dvomi metódami: a) s využitím Biotovho-Savartovho zákona, b) s využitím Ampérovho zákona.

Riešenie a) Pri prvej metóde musíme najprv zopakovať celý postup príkladu 4.3, čím dostaneme

výsledok ( )01 2cos cos

4πIBa

μ α α= − , kde α1, α2 (obr.4.3) označujú uhly, ktoré s orientovanou priamkou

prúdovodiča zvierajú spojnice počiatočného a koncového bodu prúdovodiča s bodom, v ktorom určujeme magnetickú indukciu. V limitnom prípade nekonečne dlhého vodiča je 1 0α = , 2 πα = , preto

hľadaná veľkosť magnetickej indukcie je ( ) ( ) 60 0 0cos0 cosπ 1 1 2 10 T4π 4π 2π

I I IBa a a

μ μ μ −= − = + = = ⋅ . Pre

smer a orientáciu vektora B pozri príklad 4.3. b) Podľa Ampérovho zákona pre ľubovoľnú integračnú dráhu ℓ obopínajúcu prúdovodič platí

d I⋅ =∫ H . Z tejto integrálnej rovnice vieme určiť velkosť intenzity magnetického poľa H iba vtedy,

ak vo všetkých bodoch integračnej dráhy poznáme smer vektora intenzity magnetického poľa H a ak máme informácie (z geometrických úvah o symetrii skúmaného magnetického poľa) o tom, že jeho veľkosť H je na integračnej dráhe (celej alebo po častiach) konštantná. Údaje o smere a orientácii

Obr. 4.4

α2

α1

a B•

I

O

60

vektora H získame iba z Biotovho-Savartovho zákona, preto ani pri výpočte pomocou Ampérovho zákona sa v počiatočnej fáze riešenia bez neho nezaobídeme. Pre náš prípad sme už pomocou neho smer a orientáciu vektora magnetickej indukcie B určili v príklade 4.3. Vektor H má rovnaký smer a

rovnakú orientáciu ako B, lebo 0μ

=BH . Priestorovo je vodič s vektorom H znázornený na obr.4.5.

Teraz treba vhodne zvoliť integračnú dráhu ℓ tak, aby mala rovnakú symetriu ako magnetické pole. Magnetické pole prúdovodiča má takú istú symetriu ako prúdovodič, má teda v prípade priameho vodiča aj rotačnú symetriu okolo osi, ktorú tvorí prúdovodič. Ako krivka s takouto symetriou sa ponúka kružnica v rovine kolmej na vodič, so stredom na vodiči a s polomerom a. Z rotačnej symetrie vyplýva, že na celej kružnici má H konštantnú veľkosť H. Okrem toho z vyššie určeného smeru a orientácie H vyplýva, že vo všetkých bodoch kružnice je element integračnej dráhy dℓ rovnobežný s vektorom H, takže

d dH⋅ =H . Integrál v Ampérovom zákone preto možno písať 2π 2π

0 0d d d 2π

a aH H H a⋅ = = = ⋅∫ ∫ ∫H .

Podľa Ampérovho zákona teraz 2πH a I= , odkiaľ 2π

IHa

= . Hľadaná veľkosť magnetickej indukcie je

600 2 10 T

2πIB Ha

μμ −= = = ⋅ .

Poznámka: Postup (b) je matematicky jednoduchší. Vo všeobecnosti vždy, keď má magnetické pole takú symetriu, že možno nájsť integračnú dráhu, na ktorej je intenzita magnetického poľa aspoň po častiach konštantná, je tento postup jednoduchší a vedie rýchlejšie k výsledku. Najprv je však v každom prípade nutné určiť smer a orientáciu B z Biotovho-Savartovho zákona. 4.6 Nekonečný vodič, ktorým tečie prúd I = 5 A, je ohnutý do tvaru U podľa obr. 4.6. Polomer

ohybu je R = 10 cm. Určte vektor magnetickej indukcie v strede ohybovej kružnice P! Riešenie

Podľa Biotovho-Savartovho zákona majú príspevky dB k magnetickej indukcii od všetkých elementov Idℓ smer kolmý na nákresňu a sú orientované do nákresne, preto rovnaký smer a rovnakú orientáciu bude mať aj výsledný vektor B. Celý prúdovodič možno chápať ako zložený z troch častí, dvoch polpriamok a, b a polkružnice c, a výsledné magnetické pole ako superpozíciu polí od týchto jednotlivých častí.

Magnetickú indukciu od polpriamky možno určiť dvoma spôsobmi. Prvý (matematicky dôslednejší) spôsob je využitie výsledku príkladu 4.3, čo predpokladá, že tento pomerne zložito získaný výsledok poznáme alebo si ho vieme odvodiť z Biotovho-Savartovho zákona. Tu použijeme tentoraz druhý, jednoduchší spôsob. Využijeme fakt, že v prípade nekonečne dlhého priameho prúdovodiča vieme magnetickú indukciu ľahko určiť pomocou Ampérovho zákona (príklad 4.5b). Ak si nekonečný vodič predstavíme ako zložený z dvoch polpriamok, z dôvodov symetrie môžeme povedať, že každá polpriamka prispieva k výslednej magnetickej indukcii polovicou. Keďže podľa výsledku príkladu 4.5b magnetická indukcia od polpriamok a, b predĺžených

na priamky aa , bb′ ′ je 0aa bb 2π

IB BR

μ′ ′= = , príspevky od samotných polpriamok a, b sú

aa bb 0a b 2 2 4π

B B IB BR

μ′ ′= = = = .

Aj magnetickú indukciu od polkružnice možno určiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je priama aplikácia Biotovho-Savartovho zákona s integrovaním všetkých príspevkov od polkružnice. Druhý, rýchlejší spôsob spočíva na podobnej úvahe ako pri polpriamke: ak si kružnicu predstavíme ako zloženú z dvoch polkružníc, z dôvodov symetrie môžeme povedať, že každá polkružnica prispieva k výslednej magnetickej indukcii polovicou. Keďže podľa výsledku príkladu 4.1 magnetická indukcia

• a

IdH

Obr. 4.5

Obr. 4.6

I I

I I

R

RB

a

b

a'

b'

c'

c

II P

61

od polkružnice c doplnenej na kružnicu cc′ je 0cc 2

IBR

μ′ = , príspevok od samotnej polkružnice c je

0

2 4cc

cB IB

Rμ′= = . Hľadaná celková magnetická indukcia je:

( )0 60 0 0a b c

2 π5,14 10 T

4π 4π 4 4πII I IB B B B

R R R Rμμ μ μ −+

= + + = + + = = ⋅ .

4.7 Máme toroid s malým prierezom (pozri Otázky a problémy, úlohu č. 7), s počtom závitov

800N = , ktorým tečie prúd I = 500 mA. Stredný polomer prstenca (vzdialenosť kruhovej osi dutiny prstenca od stredu prstenca) je R = 10 cm. Vypočítajte veľkosť intenzity magnetického poľa a magnetickej indukcie toroidu na kruhovej osi dutiny!

Riešenie Najprv musíme určiť z Biotovho-Savartovho zákona smer a orientáciu vektora magnetickej indukcie B a intenzity magnetického poľa H. Podľa výsledku príkladu 4.1 ľubovoľný závit toroidu vytvára vo svojom strede magnetickú indukciu kolmú na rovinu závitu a orientovanú zhodne s postupom pravotočivej skrutky, ktorá sa otáča súhlasne s prúdom v závite. Ďalšie závity prispievajú v tomto bode magnetickou indukciou, ktorej výslednica pre každú dvojicu závitov so symetrickými polohami vzhľadom na rovinu skúmaného závitu má v dôsledku symetrie opäť smer kolmý ma tento závit a orientáciu rovnakú ako magnetická indukcia samotného závitu. Na kruhovej osi dutiny toroidu má preto vektor B všade smer dotyčnice k tejto osi a je orientovaný podľa obr. 4.7.

Vektor H má rovnaký smer a rovnakú orientáciu, pretože 0μ

=BH .

V dôsledku rotačnej symetrie toroidu (a teda aj jeho magnetického poľa) vzhľadom na priamkovú os kolmú na rovinu prstenca a prechádzajúcu jeho stredom O musí byť veľkosť vektorov B a H v každom bode na kruhovej osi dutiny toroidu rovnaká. To nám umožňuje určiť H pomocou Ampérovho zákona. Ako integračnú dráhu ℓ zvoľme kruhovú os dutiny. Podľa Ampérovho zákona platí d N I⋅ =∫ H , lebo kruhovú plochu obopnutú kružnicou ℓ pretína vodič vinutia N-krát. Vektory

H a dℓ sú rovnobežné a hodnota H, ako sme už spomenuli, je konštantná pozdĺž celej integračnej

dráhy, preto pre integrál na ľavej strane rovnice platí 2π 2π

0 0d d d 2π

R RH H H R⋅ = = =∫ ∫ ∫H . Rovnica

je teraz 2πH R N I= , odkiaľ dostávame hľadanú veľkosť intenzity magnetického poľa

-1637 A m2πN IH

R= = ⋅ . Hľadaná veľkosť magnetickej indukcie je 40

0 8,00 10 T.2π

N IB HR

μμ −= = = ⋅

4.8 Určte veľkosť intenzity magnetického poľa a magnetickej indukcie v strede tenkého a dlhého

(v limitnom prípade nekonečne dlhého) solenoidu s dĺžkovou hustotou závitov N0 = 1000 m–1, keď cez závity tečie prúd I = 1 A.

Riešenie Smer a orientáciu vektora magnetickej indukcie B a intenzity magnetického poľa H treba určiť z Biotovho-Savartovho zákona. Podľa výsledku príkladu 4.1 ľubovoľný závit solenoidu vytvára vo svojom strede magnetickú indukciu kolmú na rovinu závitu a orientovanú zhodne s postupom pravotočivej skrutky,

d HK L

N Md

d

H = 0

HH1

I

d

Obr. 4.8

Obr. 4.7

R

d H BI

¥O

62

ktorá sa otáča súhlasne s prúdom v závite. Ďalšie závity prispievajú podľa výsledku príkladu 4.2 v tomto bode magnetickou indukciou s rovnakým smerom a rovnakou orientáciou. Nielen v strede závitu, ale v každom bode roviny závitu v dutine má indukcia rovnaký smer, lebo výslednica príspevkov každej dvojice závitov so symetrickými polohami vzhľadom na rovinu závitu má v dôsledku symetrie v každom bode roviny skúmaného závitu smer kolmý ma túto rovinu. Výsledný vektor H má preto všade v dutine smer pozdĺžnej osi dutiny a je orientovaný podľa obr. 4.8. Ak je solenoid nekonečne dlhý, všetky priečne prierezy sú ekvivalentné, preto sa H pozdĺž osi solenoidu nemení. To nám umožňuje využiť na určenie H v dutine Ampérov zákon d N I⋅ =∫ H . Zvoľme ako

integračnú dráhu obdĺžnik KLMN (obr. 4.8), ktorého strana KL leží na osi dutiny a strana MN sa nachádza mimo dutiny. Označme dĺžku týchto strán 1KL MN= = . Krivkový integrál na ľavej

strane rovnice možno písať ako súčet štyroch integrálov:

d d d d dL M N K

K L M N= + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫H H H H H⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Na úseku KL v dutine sú vektory H a dℓ

rovnobežné a H je na celom úseku konštantné, preto 1

10

d d dL L

K KH H H⋅ = = =∫ ∫ ∫H . Na úseku

MN , mimo dutiny solenoidu, je veľkosť intenzity magnetického poľa H v porovnaní s dutinou zanedbateľná. K takému záveru môžeme dôjsť, ak poznáme tvar indukčných čiar magnetického poľa solenoidu: z vonkajšej strany vinutia sú indukčné čiary veľmi riedke, čo zodpovedá veľmi malej hodnote magnetickej indukcie a teda aj veľmi malej hodnote intenzity magnetického poľa v týchto miestach. Preto v porovnaní s predchádzajúcim integrálom možno príspevok úseku MN k celkovému

integrálu zanedbať a písať d 0N

M⋅ =∫ H . Na úsekoch LM a NK je vektor H kolmý na dℓ a navyše

mimo dutiny je jeho veľkosť zanedbateľne malá, takže d 0⋅ =H , čo vedie k nulovým integrálom

d d 0M K

L N⋅ = ⋅ =∫ ∫H H . Vidíme, že všetky príspevky okrem úseku KL sú nulové. Vodič vinutia

pretína plochu obdĺžnika KLMN N-krát, kde 0 1N N= . Ampérov zákon možno preto písať v tvare

1 0 1H N I= , odkiaľ pre hľadanú veľkosť intenzity magnetického poľa v strede dutiny dostávame výraz -1

0 1000 A mH N I= = ⋅ . Hľadaná veľkosť magnetickej indukcie v strede dutiny je 3

0 0 0 1,26 10 TB H N Iμ μ −= = = ⋅ . 4.9 Dokážte, že na konci veľmi dlhého solenoidu sa magnetická indukcia rovná polovici

magnetickej indukcie v jeho strede. Riešenie Pre daný solenoid je magnetická indukcia, ktorú solenoid, pretekaný prúdom, vytvára, z dôvodov symetrie na obidvoch jeho koncoch rovnaká a v strede prierezu má smer pozdĺžnej osi solenoidu. Označme magnetickú indukciu v strede solenoidu B, na koncoch

solenoidu B1 (obr. 4.9). Predstavme si teraz dva rovnaké solenoidy, pretekané rovnakým prúdom, ktoré priložíme koncami k sebe tak, aby prúd vo vinutiach oboch solenoidov bol orientovaný súhlasne. Vznikne tak solenoid s dvojnásobnou dĺžkou. V bode spojenia oboch solenoidov O, ktorý je stredom nového solenoidu, je podľa zákona superpozície magnetická indukcia 12′ =B B . Ak sú solenoidy pri danom priereze veľmi (v limite nekonečne) dlhé, z hľadiska magnetickej indukcie sú body M, N, O rovnocenné, lebo každý z nich je stredom veľmi dlhého solenoidu, kde magnetická indukcia závisí iba

Obr. 4.9

+B1B1 M

I

B× B1B1 N

I

B×

B1

I

B1×O B'

63

od dĺžkovej hustoty závitov a od prúdu v nich (pozri príklad 4.8). Platí preto ′=B B , s využitím

predchádzajúcej rovnosti 12=B B . Odtiaľ 1 2=

BB , čo sme mali dokázať.

4.10 Určte intenzitu magnetického poľa, ktorú vytvára elektrón urýchlený napätím U = 200 V v

bode, ktorého vzdialenosť od elektrónu v smere kolmom na vektor rýchlosti elektrónu je 10 μma = .

Riešenie Elektrón, urýchlený v elektrickom poli, sa pohybuje rýchlosťou v, ktorej veľkosť môžeme určiť zo zákona zachovania mechanickej energie v elektrickom poli 0 0p k p kE E E E+ = + , kde počiatočná potenciálna energia je

0 0pE = , konečná ( )pE e U= − , počiatočná kinetická energia je 0 0kE = ,

konečná 212kE m= v , pričom e (e > 0) označuje elementárny náboj a m

hmotnosť elektrónu. Možno preto písať rovnicu ( ) 210 02

e U m+ = − + v , z ktorej 2eUm

=v .

Magnetická indukcia, ktorú elektrón vytvára v bode A, je ( )034π r

μ ×=

rB

-e v (obr.4.10). Vektor

B je kolmý na nákresňu a orientovaný pred ňu, lebo záporné znamienko mení orientáciu vektorového súčinu. Vektory v a r sú sú vzájomne kolmé a r a= , preto pre absolútne hodnoty platí

0 0 0 02 3 2 2

24π 4π 4π 4π

e e r e e eUBr r a a m

μ μ μ μ= = = =

v v v . Hľadaná veľkosť intenzity magnetického poľa je

3 -12

0

2 2,39 10 A m4π

B e eUHa mμ

−= = = ⋅ ⋅ . Vektor H je kolmý na nákresňu a orientovaný pred ňu.

4.11 *Kladný elektrický náboj Q = 1 nC je homogénne rozložený na kruhovej doske s polomerom

20 cmR = . Určte vektor magnetickej indukcie, ktorá sa vytvorí v strede dosky v dôsledku otáčania dosky okolo jej osi s frekvenciou f = 20 Hz.

Riešenie

Plošná hustota náboja na doske je 2πQR

σ = . Zvoľme na doske

elementárne medzikružie s polomerom r, so šírkou dr, a na ňom úsek s elementárnou dĺžkou dℓ (obr. 4.11). Na elementárnej plôške d dr sa

nachádza náboj 2d d d d dπQQ r rR

σ= = . Tento náboj sa pohybuje

rýchlosťou v, ktorej veľkosť je 2πr f rω= =v , a jeho príspevok k

magnetickej indukcii v strede dosky je 03

dd4π

Qr

μ ×=

v rB . Vektory v a r sú vzájomne kolmé, preto pre

absolútne hodnoty platí 2

0 0 0 03 2 2 2

d d 2πd d πd d d

4π 4π 4π 2π

Q r f rQ fQ r Q RB r

r r r R rμ μ μ μ

= = = =v v . Príspevky

dB všetkých plošných elementov dosky majú rovnaký smer a rovnakú orientáciu. Hľadaná výsledná veľkosť magnetickej indukcie v strede dosky je preto súčtom veľkostí všetkých príspevkov:

Obr. 4.11

dQ

d

r

BdrR

f

Obr. 4.10

Aa

BHr

(-e)

64

2π 2π130 0 0 0 0

2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 2πd d d d d d 1,26 10 T2π 2π 2π

R r R r R R

r r r r

Q f Qf Q f Q f Q frB r r r rR r R r R r R R

μ μ μ μ μ −

= = = = = =

⎛ ⎞= = = = = = ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟⎝ ⎠

Vektor B je kolmý na rovinu dosky a orientovaný zhodne s postupom pravotočivej skrutky, ktorá sa otáča súhlasne s doskou. 4.12 Elektrón urýchlený z pokojového stavu napätím U = 200 V vletel do homogénneho

magnetického poľa s magnetickou indukciou B = 10 mT kolmo na smer indukčných čiar. Určte polomer kružnice, po ktorej sa bude elektrón pohybovať.

Riešenie

Napätie U urýchli elektrón na rýchlosť 2eUm

=v (pozri príklad 4.10),

kde e je elementárny náboj a m je hmotnosť elektrónu. V magnetickom poli pôsobí na pohybujúci sa náboj magnetická sila (Lorentzova sila s nulovou elektrickou zložkou, lebo intenzita elektrického poľa je v tomto prípade nulová) ( )e= − ×F Bv (obr. 4.12). Na elektrón pôsobí tiež jeho tiaž, možno však ľahko ukázať, že táto je v porovnaní s F zanedbateľná. (Dokážte ako cvičenie!) Silu F možno preto považovať za výslednú silu pôsobiacu na

elektrón. Podľa druhého Newtonovho zákona udeľuje výsledná sila elektrónu zrýchlenie a, pre ktoré platí m=F a . V momente, keď elektrón vletí do magnetického poľa, je vektor zrýchlenia

( )em m

− ×= =

BFav

kolmý na vektor okamžitej rýchlosti v (vyplýva to z vlastností vektorového

súčinu) a teda aj na dotyčnicu k trajektórii elektrónu, čo znamená, že má nenulovú normálovú zložku a nulovú tangenciálnu zložku. V dôsledku toho bude trajektória elektrónu zakrivená, pričom veľkosť jeho rýchlosti sa nezmení. Zrýchlenie a je kolmé na vektor B, preto vektor v ostane v pôvodnej rovine

kolmej na B, takže trajektória bude ležať v rovine kolmej na B. Dôsledkom toho, že vektory v a B

ostanú vzájomne kolmé je, že stále bude platiť B× =B vv , takže veľkosť normálového zrýchlenia

bude e Bam

=v a počas pohybu sa nebude meniť. Výsledná trajektória je preto kružnica v rovine

kolmej na B. Dostredivé zrýchlenie súvisí s polomerom kružnice vzťahom 2

aR

=v , možno preto

písať rovicu 2e B

m R=

v v , odkiaľ pre hľadaný polomer kružnice dostávame:

2 1 2 4,77 mmm m eU mURe B e B m B e

= = = =v .

4.13 Porovnajte magnetické príťažlivé sily a elektrické odpudivé sily pôsobiace v pohybujúcom sa

rovnobežnom zväzku elektricky nabitých častíc s rovnakým znamienkom. S využitím vzťahu pre

rýchlosť svetla vo vákuu 0 0

1cε μ

= , ktorý je známy z teórie elektromagnetického poľa, ukážte,

že magnetická sila nikdy nemôže prevýšiť elektrickú silu. Riešenie Predstavme si dva rovnobežne letiace kladné ióny s rovnakými elektrickými nábojmi Q1 , Q2

1 2( )Q Q Q= = , s rovnakými rýchlosťami v1 , v2 1 2( )= =v v v , nachádzajúce sa na kolmej spojnici ich trajektórií (obr. 4.13). Nech vzdialenosť medzi iónmi je r. Prvý ión vytvára svojím pohybom v bode,

Obr. 4.12

aF B

(-e)R

×

65

kde sa nachádza druhý ión, magnetickú indukciu 0 1 134π

Qr

μ ×=

v rB , kolmú na nákresňu a orientovanú

do nej. Vektory v1 a r sú vzájomne kolmé, preto jej veľkosť je 0 1 124π

QBr

μ=

v . V tomto magnetickom

poli pôsobí na druhý ión magnetická sila 2 2m Q= ×vF B , orientovaná do stredu zväzku. Upozorňujeme, že táto sila má smer spojnice nábojov iba v špeciálnom prípade, keď sa náboje nachádzajú na kolmej spojnici ich trajektórií (pozri Otázky a úlohy, úlohu č. 11 a poznámku k nej). Vzhľadom na kolmosť vektorov v2 a B je veľkosť magnetickej sily:

2 20 0 1 2 1 2 01 1

2 2 2 2 2 2 24π 4π 4πmQ Q QQF Q B Q

r r rμ μ μ

= = = =v v vvv v .

Elektrická Coulombova sila, pôsobiaca na druhý ión, je 1 2

30

14πe

Q Qrε

=rF . Táto sila je odpudivá vzhľadom na prvý ión. Jej

veľkosť je 2

1 22 2

0 0

1 14π 4πe

Q Q QFr rε ε

= = . Pomer síl Fm a Fe je

2 20

22

0 02

20

4π1

4π

m

e

QF r

QFr

μ

ε μ

ε

= =

v

v , čo je hľadaný výsledok. Z rovnice v zadaní vyplýva vzťah 0 0 2

1c

ε μ = .

S jeho využitím možno písať 2

2m

e

FF c

=v . Častice s nenulovou pokojovou hmotnosťou sa môžu

pohybovať iba rýchlosťou menšou než je rýchlosť svetla vo vákuu, čiže vždy platí < cv . Z toho

vyplýva, že vždy platí < 1m

e

FF

, t.j. príťažlivé magnetické sily sú vždy slabšie než odpudivé elektrické

sily, čo sme mali dokázať. Poznámka: Výsledná Lorentzova sila e m= +F F F , pôsobiaca na časticu vo zväzku, je podľa tohto

výsledku vždy odpudivá, v dôsledku čoho má zväzok rovnakých nabitých častíc tendenciu sa rozbiehať. Možno ho však sústrediť vonkajším magnetickým poľom (pozri príklad 4.50). 4.14 Dvoma dlhými, priamymi, rovnobežnými vodičmi tečú navzájom opačne orientované prúdy s

veľkosťami 1 10 AI = , 2 20 AI = . Vzdialenosť medzi vodičmi je 10 cmd = . Nájdite smer, orientáciu a veľkosť sily pôsobiacej na ℓ = 1 m dĺžky každého vodiča. Ako sa zmení táto sila, ak zmeníme orientácia prúdu v jednom z vodičov?

Riešenie Ak sú vodiče dostatočne dlhé v porovnaní so vzdialenosťou medzi nimi, môžeme ich pokladať za nekonečné a aplikovať na ne výsledok príkladu 4.5. Podľa neho prúd I1 (obr. 4.14) vytvára v mieste

druhého vodiča magnetickú indukciu s veľkosťou 0 11 2π

IBd

μ= , kolmú

na nákresňu a orientovanú do nej. Na elementárny úsek druhého vodiča dℓ2, orientovaný súhlasne s prúdom I2 , pôsobí v magnetickom poli prvého vodiča odpudivá sila 12 2 2 1d dI= ×F B . Vektory dℓ2 a B1 sú vzájomne kolmé, preto v absolútnych hodnotách:

0 1 212 2 2 1 2d d d

2πI IF I B

dμ

= = . Hľadaná sila pôsobiaca na úsek druhého vodiča s dĺžkou ℓ je súčet

d

I2

d 2

dF12

F12

B

I1

F21

Obr. 4.14

Q1 Q2

(1) (2)

r

Fm Fe

B

1 2

Obr. 4.13

66

elementárnych príspevkov, 40 1 2 0 1 212 12 2

0d d 4 10 N

2π 2πI I I IF F

d dμ μ −= = = = ⋅∫ ∫ . Vektor F12 leží v rovine

vodičov a sila je vzhľadom na prvý vodič odpudivá. Pokiaľ ide o silu F21, pôsobiacu na úsek prvého vodiča s dĺžkou ℓ, možno ju určiť podobným postupom, ako bolo ukázané vyššie, t.j. tak, že hľadáme silu 21 1 1 2d dI= ×F B , pôsobiacu na elementárny úsek prvého vodiča dℓ1 v magnetickom poli druhého vodiča s veľkosťou magnetickej

indukcie 0 22 2π

IBd

μ= a integrujeme všetky príspevky. Výsledná sila je 21 12= −F F , t.j. je rovnako

veľká ako sila F12 a odpudivá vzhľadom na druhý vodič. (K tomuto výsledku sme mohli dôjsť aj rýchlejšie, ak uvážime, že rozloženie prúdov v priestore má bodovú symetriu vzhľadom na stred spojnice d na obr. 4.14, ak spojnicu nakreslíme v strede dĺžky vodičov. Rovnakú symetriu musia mať aj dôsledky prítomnosti týchto prúdov, t.j. magnetické pole v ich okolí a sily, ktoré s ním súvisia.) Ak rovnaký postup zopakujeme pri zmenenej orientácii hociktorého z prúdov I1, I2 , t.j. keď prúdy vo vodičoch sú orientované súhlasne, dostaneme rovnako veľké sily ako v predchádzajúcom prípade, ale s opačnou orientáciou, čiže vodiče sa v tomto prípade priťahujú.

Poznámka: Je užitočné si zapamätať všeobecný výsledok, že súhlasne orientované prúdovodiče sa priťahujú, nesúhlasne orientované sa odpudzujú. 4.15 *Úsek pevného drôtu má tvar polkružnice s polomerom R a tečie ním prúd I. Drôt sa nachádza v

homogénnom magnetickom poli, ktorého vektor magnetickej indukcie B je kolmý na rovinu polkružnice. Určte silu pôsobiacu na úsek drôtu!

Riešenie

Na elementárny úsek vodiča dℓ (obr. 4.15) pôsobí sila d dI= ×F B s veľkosťou d dF I B= , lebo vektory dℓ a B sú vzájomne kolmé. Vektor dF má radiálny smer, t.j. priamka, pozdĺž ktorej sila pôsobí, prechádza stredom O kružnice, na ktorú sme doplnili skúmanú polkružnicu. Rozložme dF do dvoch kolmých smerov, do smeru rovnobežného s osou symetrie o polkružnice a do smeru kolmého na túto os. Pre každú dvojicu elementárnych úsekov dℓ symetricky položených vzhľadom na os o sa priemety dF2 kolmé na o vzájomne vyrušia, takže k výslednej sile F prispievajú iba priemety dF1 rovnobežné s osou o a výsledná sila má smer osi o. Veľkosť výslednej sily je súčet všetkých elementárnych príspevkov 1dF F= ∫ , kde: 1d d cos d cosF F I Bα α= = . V tomto výraze sú dve premenné ℓ a α , ktoré vzájomne súvisia. Aby sme mohli určiť integrál, je

potrebné vyjadriť dF1 ako funkciu iba jednej premennej, za ktorú je výhodné zvoliť uhol α. Podľa

definície uhla v radiánoch platí R

α = , preto Rα= , odkiaľ d dR α= . Preto 1d cos dF I B R α α=

a hľadaná výsledná sila má veľkosť [ ]π

π22π

π 22

cos d sin 2F I B R I B R I B Rα α α−

−

= = =∫ . Vektor F má

smer osi polkružnice a v závislosti od orientácie prúdu a vektora magnetickej indukcie je orientovaný odstredivo alebo dostredivo vzhľadom na stred O. 4.16 V homogénnom magnetickom poli s magnetickou indukciou B = 0,2 T je plochá obdĺžniková

cievka s N = 50 závitmi. Rozmery cievky sú a = 2 cm, b = 3 cm. Magnetické indukčné čiary sú rovnobežné s dlhšou stranou cievky. Aký veľký moment dvojice síl pôsobí na cievku, keď ňou tečie prúd I = 10 mA?

Obr. 4.15

×

dF1

dF2

F

dF

dF1

dF2 dF

d

dB

B

O

α

α o

N

M

I

R

B

67

Riešenie Plochú cievku s N závitmi, vo vinutí ktorej tečie prúd I, môžeme chápať ako jednoduchú slučku, v ktorej tečie prúd N I. Moment dvojice síl pôsobiaci na cievku môžeme určiť dvoma spôsobmi:

a) Na elementárny úsek cievky dℓ, orientovaný súhlasne s prúdom, pôsobí v magnetickom poli sila d dN I= ×F B . Pozdĺž strán b (obr. 4.16) sú vektory dℓ a B vzájomne rovnobežné, preto tu d =F 0 , t.j. na strany b sily nepôsobia. Pozdĺž strán a sú vektory dℓ a B kolmé, preto tu d dF N I B= . Na celú stranu a pôsobí sila s veľkosťou:

0

d da

F F N I B N I B a= = =∫ ∫ . Sila F má smer kolmý na rovinu

cievky. Na protiľahlých stranách a má F rôznu orientáciu, preto na cievku pôsobí dvojica síl s momentom M. Vzdialenosť medzi priamkami, na ktorých pôsobia sily, je b, preto hľadaná veľkosť momentu sily je 56,0 10 N mM b F N I B ab −= = = ⋅ ⋅ .

b) Cievka má magnetický moment N I=m S , kde S je vektor plochy cievky s veľkosťou S ab= . Vektor m má smer a orientáciu vektora plochy S, je preto kolmý na rovinu cievky a orientovaný pred nákresňu. V absolútnych hodnotách je m N I S N I ab= = . Na cievku v homogénnom magnetickom poli pôsobí moment sily = ×M m B . (Upozorňujeme, že tento vzťah je použiteľný iba v prípade, keď je magnetické pole homogénne, čo je teraz splnené.) Vektory m a B sú vzájomne kolmé, preto hľadaná veľkosť momentu sily je M m B N I ab B= = , čo je rovnaký výsledok ako pri postupe (a). Poznámka: Výsledný vzťah sa nemení pri vzájomnej zámene symbolov „a“ a “ b“, čo znamená, že rovnaký moment by na cievku pôsobil, ak by magnetické indukčné čiary boli rovnobežné s kratšou stranou cievky, t.j. ak by sme cievku na obr. 4.16 otočili o 90° v rovine obrázka. Z postupu riešenia (b) dokonca vyplýva, že rovnaký moment síl by na cievku pôsobil pri ľubovoľnej polohe cievky v rovine obrázka. 4.17 *Máme solenoid s dĺžkou 50 cm= , s počtom závitov 1 500N = , ktorým preteká prúd 1 1 AI = .

Vnútri solenoidu sa v jeho strede nachádza v stabilnej rovnovážnej polohe plochá štvorcová cievka s dĺžkou strany štvorca 1cma = a s počtom závitov 2 10N = , ktorou preteká prúd

2 100 mAI = . Určte prácu, ktorú musí vykonať vonkajšia sila, aby vytiahla cievku zo solenoidu do takého miesta mimo solenoidu, kde už jeho magnetické pole možno zanedbať.

Riešenie Plochú cievku s N2 závitmi, vo vinutí ktorej tečie prúd I2, môžeme chápať ako jednoduchú slučku, v ktorej tečie prúd N2 I2. Stabilná rovnovážna poloha cievky v dutine solenoidu z hľadiska natočenia cievky vzhľadom na magnetické pole je poloha, v ktorej má minimálnu hodnotu potenciálna energia cievky pE = − ⋅m B , kde m je magnetický moment cievky a B je magnetická indukcia v dutine cievky. Minimálnu potenciálnu energiu označme Ep1 , jej hodnota je 1pE m B= − . Zodpovedá jej poloha, v ktorej sú vektory m a B rovnobežné a súhlasne orientované, čo znamená, že rovina štvorcovej cievky je kolmá na os solenoidu. Cievku môžeme z takejto rovnovážnej polohy v strede solenoidu vytiahnuť do nekonečnej vzdialenosti od solenoidu rôznym spôsobom, práca vonkajšej sily však bude pri tom závisieť iba od počiatočnej a konečnej polohy cievky. Výhodné je predstaviť si vytiahnutie cievky v troch etapách: 1) Otočenie cievky z rovnovážnej polohy do polohy, v ktorej sú dve strany štvorca cievky rovnobežné s osou solenoidu, 2) vytiahnutie takto otočenej cievky pozdĺž osi solenoidu do nekonečnej vzdialenosti od solenoidu, 3) v nekonečnej vzdialenosti ľubovoľné otáčanie a posúvanie cievky. Na konci prvej etapy sú vektory m a B vzájomne kolmé a potenciálna energia cievky je 2 0pE = . Práca vonkajšej sily pri otočení cievky sa prejaví ako prírastok potenciálnej energie cievky

( )2 1 0p p pW E E E m B m B= Δ = − = − − = . Magnetický moment cievky je 2 2m N I S= , kde 2S a= je

plocha jedného závitu cievky, takže 22 2m N I a= . Magnetická indukcia, ktorú vytvára solenoid v strede

Obr. 4.16

B

B B

Bd

d

d

mdF

dF

F

F

I

aa

b

b

d

68

svojej dutiny, je 0 0 1B N Iμ= (pozri príklad 4.8), kde 10

NN = je dĺžková hustota závitov solenoidu,

takže 0 1 1N IB μ= . Práca vonkajšej sily pri otočení je preto 2 0 1 1

2 2N IW N I a μ

= .

Pre určenie práce vonkajšej sily v druhej etape si predstavme, že pozdĺž osi solenoidu posúvame štvorcovú slučku, ktorá je otočená tak, že dve strany štvorca sú stále rovnobežné s osou solenoidu, čo znamená, že dve ďalšie strany sú na os stále kolmé. Na strany slučky kolmé na os solenoidu pôsobia všade pozdĺž osi solenoidu magnetické sily, ktoré sú kolmé na os solenoidu. Na strany slučky rovnobežné s osou pôsobia magnetické sily v tých častiach solenoidu, kde sa indukčné čiary rozbiehajú, to znamená hlavne v okolí koncov solenoidu. Tieto sily sú tiež kolmé na os solenoidu. Magnetické sily pôsobiace na takto otočenú slučku nemajú žiadnu zložku v smere osi solenoidu, preto na posúvanie slučky pozdĺž osi je potrebná nulová vonkajšia sila, ktorá koná nulovú prácu. Práca vonkajšej sily v druhej etape je teda nulová. V tretej etape sa cievka otáča a pohybuje mimo magnetického poľa, na čo je potrebná nulová vonkajšia sila a teda aj nulová práca. Nenulová je iba práca v prvej etape. Výsledná práca, ktorú musí vykonať vonkajšia sila pri

vytiahnutí cievky, je preto 2

70 1 2 1 2 1,26 10 JN N I I aW μ −= = ⋅ .

4.18 Nájdite výraz pre hustotu energie magnetického poľa v strede dutiny tenkého dlhého solenoidu s

dĺžkovou hustotou závitov –10 1000 mN = , keď solenoidom tečie prúd 1 AI = .

Riešenie

Hustotu energie magnetického poľa vyjadruje vzťah 12

w = ⋅H B , kde H je intenzita

magnetického poľa a B indukcia magnetického poľa v danom bode. Vo vákuu platí 0μ=B H , preto

20 0

1 12 2

w Hμ μ= ⋅ =H H . V príklade 4.8 sme ukázali, že v strede dlhého solenoidu platí 0H N I= ,

hľadaná hustota energie magnetického poľa v tomto bode je preto ( )2 –30 0

1 0,628 J m2

w N Iμ= = ⋅ .

4.19 Solenoidom s dĺžkou 50 cm= , s polomerom 1cmR = a s počtom závitov 500N = preteká

prúd 1 AI = . Solenoid náhle prepojíme od zdroja na rezistor. Určte množstvo tepla, ktoré sa uvoľní na elektrickom odpore rezistora a vinutia solenoidu. Predpokladajte, že magnetické pole je v celej dutine solenoidu homogénne.

Riešenie Po odpojení solenoidu od zdroja prúdu zanikajúce magnetické pole solenoidu indukuje na svorkách vinutia napätie, takže keď je na svorky pripojený rezistor, cez vinutie a rezistor tečie prúd. Týmto javom (javom elektromagnetickej indukcie) sa zaoberá kapitola č. 6. Pre nás je teraz dôležité, že prechodom prúdu sa na odpore vinutia a rezistora uvoľní Joulovo teplo, na čo je podľa zákona zachovania energie potrebný zdroj energie. V tomto prípade je zdrojom energie magnetické pole solenoidu (podobne, ako pri vybíjaní kondenzátora elektrické pole kondenzátora). Ak prijmeme zjednodušený predpoklad (ktorý je tým lepší, čím je solenoid dlhší a užší), že celé magnetické pole je sústredené v dutine solenoidu, kde je homogénne, a že mimo dutiny je jeho príspevok k celkovej energii zanedbateľný, môžeme celkovú počiatočnú energiu pred odpojením solenoidu od zdroja vyjadriť vzťahom pE wτ= , kde w je počiatočná hustota energie magnetického poľa v dutine a τ je objem dutiny. V príklade 4.18 sme ukázali, že v strede solenoidu (a pri predpoklade homogenity

magnetického poľa aj v celej dutine) je ( )20 0

12

w N Iμ= , kde 0NN = je dĺžková hustota závitov

69

solenoidu, takže 2 2

022

N Iw μ= . Objem valcovej dutiny je 2πRτ = . Hľadaná počiatočná energia

magnetického poľa solenoidu, a teda aj množstvo uvoľneného Joulovho tepla, je: ( )22 2

02 50p 2

ππ 9,87 10 J

2 2R N IN IQ E R

μμ −= = = = ⋅ .

4.20 *Máme koaxiálny kábel s polomerom vnútorného vodiča 1 0,5 mmR = . Vonkajší dutý vodič má

polomer 2 5 mmR = , hrúbku jeho steny možno zanedbať. Vo vodičoch kábla tečú nesúhlasne orientované prúdy 100 mAI = . Určte energiu magnetického poľa v kábli pripadajúcu na úsek kábla s dĺžkou 1 mx = .

Riešenie

Aby sme mohli určiť energiu magnetického poľa kábla, je potrebné poznať v každom bode jej hustotu, k čomu je zase potrebné poznať v každom bode intenzitu magnetického poľa. Intenzitu magnetického poľa koaxiálneho kábla H možno ľahko určiť pomocou Ampérovho zákona. Kábel má rotačnú symetriu okolo svojej pozdĺžnej osi, preto za integračnú dráhu je vhodné zvoliť kružnicu ℓ (obr. 4.17), ktorá leží v rovine kolmej na os kábla a ktorej stred leží na osi kábla. Na tejto kružnici má H z dôvodu symetrie konštantnú veľkosť. Treba pritom rozlíšiť tri prípady, v závislosti od polomeru r integračnej kružnice ℓ: a) Pre 1r R≤ určujeme H v objeme vnútorného vodiča. Integračná kružnica obopína iba časť I ′ z celkového prúdu I v tomto vodiči. Podľa Ampérovho zákona platí d I ′⋅ =∫ H . Ak predpokladáme, že hustota

prúdu J v tomto vodiči je homogénna, potom platí 21π

IJR

= a 2

2 22 2

1 1

π ππ

I I rI J r rR R

′ = = = . Smer a

orientácia vektora H vyplýva z Biotovho-Savartovho zákona. Vektory H a dℓ sú rovnobežné, preto 2π

0d d 2π

rH H r⋅ = =∫ ∫H a Ampérov zákon je

2

21

2π I rH rR

= , odkiaľ 212π

I rHR

= .

b) Pre 1 2<R r R≤ určujeme H v priestore medzi dvoma vodičmi. Integračná kružnica obopína celý prúd I, takže podľa Ampérovho zákona platí d I⋅ =∫ H . Smer a orientácia vektora H je

rovnaká ako v predchádzajúcom prípade, preto Ampérov zákon možno písať v tvare 2πH r I= ,

odkiaľ 2π

IHr

= .

c) Pre 2r R> určujeme H v priestore mimo kábla. Integračná dráha obopína obidva vodiče. Algebrický súčet ich prúdov je ( ) 0I I+ − = , preto podľa Ampérovho zákona d 0⋅ =∫ H , odkiaľ

0H = . Vidíme, že magnetické pole je celé sústredené do vnútorného objemu kábla.

Hustota energie magnetického poľa je 12

w = ⋅H B . Všade v kábli je 0μ=B H (predpokladáme,

že aj vo vodiči je permeabilita 0μ ), preto 20

12

w Hμ= . Ak za elementárny objem zvolíme objem

medzi valcami s polomermi r a dr r+ a s výškou x, t.j. d 2π dr r xτ = , potom hľadaná energia magnetického poľa v úseku kábla s dĺžkou x je:

2 1 2

1

2 22

p 0 0 020 0 0 1

1d 2π d π d π d2 2π 2π

R R RV

R

I r IE w H x r r x r r x r rR r

τ μ μ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = + =∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Obr. 4.17

r

dr

R2

R1

H dI I

70

1 2

1

2 2 23 90 0 0 2

201 1

d 1d ln 2,55 10 J4π 4π 4π 4

R R

R

I x I x I x Rrr rR r R

μ μ μ −⎛ ⎞= + = + = ⋅∫ ∫ ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4.4 Neriešené príklady

4.21 Sú dané dve rovnaké ploché cievky s počtom závitov N = 50, stredný polomer cievok je 10 cmR = . Cievky sú umiestnené tak, že majú spoločnú os, pričom vzdialenosť medzi rovinami

cievok je 10 cmd = . Cievkami tečú rovnako orientované prúdy s veľkosťou 1 AI = . Určte magnetickú indukciu na osi cievok v strednej vzdialenosti medzi cievkami!

4.22 Plochá cievka s N = 5 závitmi a polomerom R = 10 cm je umiestnená v magnetickom poli

Zeme tak, že roviny jej závitov sú rovnobežné s poludníkovou rovinou magnetického poľa Zeme. V strede cievky je umiestnená buzola. Po zapnutí prúdu v cievke sa magnetka buzoly vychýli zo svojho pôvodného poludníkového smeru o uhol φ = 45˚. Určte, aký prúd tečie závitmi cievky, keď veľkosť vodorovnej zložky magnetickej indukcie Zeme v danom mieste je B = 2,0⋅10–5 T.

4.23 Dve súosové kruhové rovnobežné prúdové slučky s polomerom 10 cmR = sú od seba vzdialené

10 cmd = . V strede medzi slučkami je umiestnená buzola. Keď v slučkách netečie prúd, natočíme ich spoločnú os tak, aby bola kolmá na smer magnetky, ktorá vtedy sleduje smer vodorovnej zložky magnetickej indukcie magnetického poľa Zeme, čo je približne smer juh - sever, čiže smer osi je približne východ - západ. Určte uhol, o ktorý sa magnetka vychýli od svojho pôvodného smeru, keď v slučkách budú tiecť súhlasne orientované prúdy 2 AI = . Vodorovná zložka magnetickej indukcie Zeme má veľkosť 52,0 10 TB −= ⋅ .

4.24 Priamy úsek vodiča má dĺžku 20 cm= a tečie ním prúd 1 AI = . Určte príspevok tohto úseku

k celkovej magnetickej indukcii obvodu v kolmej vzdialenosti 10 cma = od stredu úseku. 4.25 Veľmi dlhý priamy vodič je ohnutý do pravého uhla podľa obr. 4.18

a tečie ním prúd 50 AI = . Určte vektor magnetickej indukcie v bode A, ktorý je od vrcholu uhla vo vzdialenosti 5 cma = .

4.26 Veľmi dlhý priamy vodič je ohnutý do pravého uhla podľa obr. 4.18

a tečie ním prúd 50 AI = . Určte vektor magnetickej indukcie v bode C, ktorý je od vrcholu uhla vo vzdialenosti 5 cmc = .

4.27 Určte intenzitu magnetického poľa v strede pravidelného šesťuholníka so stranou b = 10 cm, po

obvode ktorého tečie prúd I = 10 A. 4.28 Vyjadrite intenzitu magnetického poľa v strede obdĺžnika so stranami b a c, po obvode ktorého

tečie prúd I. 4.29 Sú dané dva priame nekonečne dlhé rovnobežné vodiče, vzdialené od seba d = 10cm, ktorými

tečú rovnako veľké a rovnako orientované prúdy I = 2A. Vypočítajte indukciu magnetického poľa na kolmej spojnici medzi vodičmi a) vo vzdialenosti a = 4 cm od prvého vodiča smerom k druhému vodiču, b) v strede spojnice.

C

a A

c

αα

×

×

I

Obr. 4.18

71

4.30 Dva veľmi dlhé priame vodiče sú navzájom rovnobežné a ich vzdialenosť je d = 20 cm. Druhým vodičom tečie dvakrát väčší prúd než prvým vodičom. Určte miesto na kolmej spojnici medzi vodičmi, v ktorom je magnetická indukcia nulová, ak prúdy vo vodičoch sú orientované: a) súhlasne, b) nesúhlasne.

4.31 Dvoma priamymi veľmi dlhými rovnobežnými vodičmi tečie rovnaký prúd I. Medzi vodičmi je

vzdialenosť 2a. Určte intenzitu magnetického poľa v rovine súmernosti medzi vodičmi, vo vzdialenosti x od roviny vodičov, ak prúdy vo vodičoch sú orientované: a) súhlasne, b) nesúhlasne. (Návod: Nakreslite situáciu v rovine kolmej na vodiče.)

4.32 Nekonečný priamy vodič, ktorým tečie prúd 10 AI = , vytvára v istom mieste polkružnicu s

polomerom 10 cmR = podľa obr. 4.19. Určte vektor magnetickej indukcie v strede polkružnice (v bode A)!

4.33 Veľmi dlhý priamy vodič, ktorým tečie prúd 100 AI = , vytvára v určitom mieste kruhovú

slučku s polomerom 50 cmR = , ktorej rovina je totožná s rovinou, v ktorej leží priamková časť vodiča (obr.4.20). Určte vektor magnetickej indukcie v strede slučky pre obidve možné orientácie prúdu v slučke!

4.34 Veľmi dlhý priamy vodič, ktorým tečie prúd I = 100 A, vytvára v určitom mieste kruhovú slučku

s polomerom R = 50 cm, ktorej rovina je kolmá na vodič. Určte magnetickú indukciu v strede slučky!

4.35 Na drevenom prstenci s malým priečnym prierezom je rovnomerne navinutých 2500N = závitov

vodiča, ktorým tečie prúd I. Vypočítajte pomer veľkostí magnetickej indukcie v drevenom jadre toroidu a v strede symetrie toroidu! (Návod: Pozri najprv Otázky a problémy, úlohu č.7).

4.36 *Priamym homogénnym drôtom s polomerom R tečie jednosmerný prúd s hustotou prúdu J.

Vyjadrite vektor magnetickej indukcie magnetického poľa tohto prúdu v bode, ktorého poloha vzhľadom na os drôtu je daná polohovým vektorom r kolmým na os drôtu. Výpočet urobte pre body mimo drôtu a pre body v drôte! Permeabilita sa všade rovná permeabilite vákua. Vyjadrite závislosť veľkosti magnetickej indukcie od vzdialenosti r a znázornite ju graficky!

4.37 *Koaxiálny kábel sa skladá z vnútorného plného vodiča s polomerom R1 a z vonkajšieho dutého

vodiča s polomerom R2 a so zanedbateľnou hrúbkou. Vodičmi kábla tečú nesúhlasne orientované prúdy I. Nájdite závislosť veľkosti magnetickej indukcie od vzdialenosti r od osi koaxiálneho kábla pre )0,r∈ ∞ . Závislosť znázornite graficky!

4.38 *Homogénne nabitá kruhová doska s polomerom 25 cmR = sa otáča okolo svojej osi s frekvenciou

15 Hzf = , čím vo svojom okolí vytvára magnetické pole. Určte, aký náboj je potrebné umiestniť na doske, aby magnetická indukcia v strede dosky bola 131 10 TB −= ⋅ .

4.39 *Doskový kondenzátor s doskami v tvare kruhov s polomerom b a vzdialenosťou dosiek d je

nabitý na rozdiel potenciálov U a v čase t = 0 s je prepojený rezistorom s elektrickým odporom R (začne sa vybíjať cez R). a) Nájdite časovú závislosť napätia na kondenzátore! b) Určte časovú

×R

A

I

Obr. 4.19 Obr. 4.20

× RI

× RI

a) b)

72

závislosť intenzity elektrického poľa medzi doskami! c) Určte časovú závislosť intenzity magnetického poľa medzi doskami vo vzdialenosti r od spojnice stredov dosiek, pričom r b< . Systém je vo vákuu a platí b d . (Návod: Magnetické pole medzi doskami súvisí s posuvným prúdom).

4.40 Akou silou (určte jej smer, orientáciu a veľkosť) pôsobí nekonečné dlhý priamy vodič pretekaný

prúdom I = 1 A na elektrón, ktorý v danom okamžiku letí rýchlosťou v = 106 m⋅s–1 rovnobežne s vodičom vo vzdialenosti d = 1 cm od vodiča tak, že vektor jeho rýchlosti je orientovaný súhlasne s prúdom vo vodiči?

4.41 Určte vektory magnetických síl, ktorými na seba vo vákuu pôsobia dva rovnobežne (kolmo na

ich spojnicu) letiace elektróny. Rýchlosť oboch elektrónov je 6 –110 m s= ⋅v , vzdialenosť medzi elektrónami je 1μmd = .

4.42 Elektrón, ktorý sa pôvodne pohyboval rovnomerne priamočiaro rýchlosťou v = 100 m⋅s–1 vletel

do homogénneho magnetického poľa, ktorého vektor magnetickej indukcie bol kolmý na počiatočný smer rýchlosti. Magnetické pole spôsobilo zakrivenie dráhy elektrónu na kružnicu s polomerom 1cmR = . Určte veľkosť magnetickej indukcie poľa!

4.43 Hmotnostný spektrometer slúži na meranie hmotnosti atómov a molekúl. Funguje na princípe

vychyľovania pohybujúceho sa ionizovaného atómu alebo molekuly v magnetickom poli: ak vektor magnetickej indukcie B je kolmý na vektor rýchlosti iónu v, ión sa pohybuje po kruhovej

trajektórii, ktorej polomer R závisí okrem B a v od náboja Q a hmotnosti m iónu. Zo zmeranej hodnoty polomeru R možno preto určiť hmotnosť iónu m. Určte závislosť ( , , , )m f B R Q= v !

4.44 Elektrón, ktorý bol z pokojového stavu urýchlený potenciálovým rozdielom U = 100 V vletel

do homogénneho magnetického poľa s magnetickou indukciou B = 10 mT, v dôsledku čoho sa začal pohybovať po kruhovej dráhe s polomerom R = 3,37 mm. Smer pohybu bol na začiatku kolmý na smer magnetickej indukcie. Na základe týchto údajov určte špecifický náboj elektrónu (to znamená pomer náboja a hmotnosti elektrónu)!

4.45 Elektrón s kinetickou energiou k 200 eVE = vletel do homogénneho magnetického poľa s magnetickou

indukciou B = 2 mT v smere kolmom na indukčné čiary. Určte polomer krivosti dráhy elektrónu v magnetickom poli!

4.46 *Elektrón, pohybujúci sa rýchlosťou 65 10 m= ⋅v , vletel do homogénneho magnetického poľa

s magnetickou indukciou 41 10 TB −= ⋅ v smere kolmom na indukčné čiary. Určte vzdialenosť, o ktorú sa elektrón vychýlil od priameho smeru, keď preletel dráhu 10 cmd = .

4.47 Elektrón vletí do homogénneho magnetického poľa s magnetickou indukciou 45 10 TB −= ⋅

v smere kolmom na indukčné čiary. Určte cyklotrónovú frekvenciu pohybu elektrónu (frekvenciu jeho pohybu po kružnici)! Poznámka: Všimnite si, že podľa výsledku tohto príkladu cyklotrónová frekvencia nezávisí od rýchlosti elektrónu.

4.48 *Elektrón s rýchlosťou v vletí do homogénneho magnetického poľa s indukciou B, ktorá s vektorom

rýchlosti zviera určitý uhol π2

α ≠ . Ukážte, že elektrón sa bude pohybovať po skrutkovici. Určte

polomer a stúpanie (krok) skrutkovice!

73

(Návod: Rozložte vektor rýchlosti do smeru rovnobežného a smeru kolmého vzhľadom na smer B a o pohybe elektrónu uvažujte ako o zloženom pohybe s týmito počiatočnými rýchlosťami. Využite pritom výsledok predchádzajúceho príkladu.)

4.49 *Elektrón vletí do homogénneho magnetického poľa v smere, ktorý nie je kolmý na indukčné

čiary, v dôsledku čoho sa bude pohybovať po skrutkovici s polomerom 5 cmR = a stúpaním (krokom) 10 cm= . Magnetická indukcia poľa je 41 10 mTB −= ⋅ . Určte absolútnu hodnotu a smer (uhol α vzhľadom na smer vektora B) vektora rýchlosti elektrónu! (Návod: Vyriešte najprv predchádzajúce dva príklady a využite ich výsledky.)

4.50 *V homogénnom magnetickom poli s indukciou B = 10 mT vychádza z určitého bodu O v smere

osi x mierne sa rozchádzajúci elektrónový lúč elektrónov s rovnakou absolútnou hodnotou rýchlosti 6 –16 10 m s= ⋅ ⋅v . Určte vzdialenosť ℓ od bodu O k najbližšiemu bodu F, v ktorom sa pretínajú trajektórie všetkých elektrónov (k bodu, v ktorom sa elektrónový lúč fokusuje). (Návod: Vyriešte najprv príklady 4.47 a 4.48 a využite ich výsledky.)

4.51 Je dané homogénne elektrické a magnetické pole, v ktorom je vektor intenzity elektrického poľa

E kolmý na vektor magnetickej indukcie B, pričom E = 3,4⋅103 V⋅m-1, B = 2⋅10–3 T. Akou rýchlosťou musí do tohto poľa vletieť kolmo na smer vektorov E a B elektrón, ak chceme, aby sa pohyboval po priamke?

4.52 Akou silou je vytláčaný vodič s účinnou dĺžkou ℓ = 30 cm z homogénneho magnetického poľa

s indukciou B = 0,8 T, keď ním preteká prúd I = 15 A a keď je uložený kolmo na smer vektora magnetickej indukcie?

4.53 V homogénnom magnetickom poli s vodorovnou magnetickou indukciou je kolmo na indukčné

čiary vo vodorovnom smere uložený priamy vodič s dĺžkou ℓ = 10 cm a s hmotnosťou m = 10 g. Vodičom tečie prúd I = 2 A. Akú hodnotu má mať indukcia magnetického poľa, aby uvažovaný vodič nespadol, ale sa vznášal?

4.54 Vodorovné koľajničky so vzájomnou vzdialenosťou ℓ = 30 cm sa nachádzajú v magnetickom

poli s vektorom magnetickej indukcie kolmým na rovinu koľajničiek. Priečne kolmo leží na koľajničkách vodivá tyč s hmotnosťou m = 0,5 kg, ktorou tečie prúd I = 50 A. Určte, aká musí byť magnetická indukcia, aby sa tyč dala do pohybu. Faktor trenia tyče o koľajničky je μ = 0,2.

4.55 Dvoma priamymi veľmi dlhými rovnobežnými vodičmi tečú rovnako orientované prúdy

10 AI = . Medzi vodičmi je vzdialenosť 2a = 20 cm. Určte silu, ktorá pôsobí na ℓ = 1 m priameho vodiča, ktorý je rovnobežný s týmito vodičmi, nachádza sa v rovine súmernosti medzi vodičmi vo vzdialenosti x = 10 cm od roviny vodičov a tečie ním rovnako orientovaný prúd I1 = 1 A.

4.56 Štyri rovnobežné veľmi dlhé vodiče sú umiestnené tak, že ich priesečníky s rovinou, ktorá je na

ne kolmá, sa nachádzajú vo vrcholoch štvorca s dĺžkou strany a = 20 cm. Vodičmi tečú súhlasne orientované prúdy I = 10 A. Určte silu pôsobiacu na úsek s dĺžkou ℓ = 1 m na každom vodiči!

4.57 Tri rovnobežné veľmi dlhé vodiče sú umiestnené tak, že ich priesečníky s rovinou, ktorá je na ne

kolmá, sa nachádzajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka s dĺžkou strany a = 10 cm. Vodičmi tečú prúdy I = 1 A, z nich jeden je opačne orientovaný než ostatné dva. Určte silu pôsobiacu na úsek s dĺžkou ℓ = 1 m na každom vodiči!

4.58 *Pevnou drôtenou kruhovou slučkou s polomerom 5 cmR = a prierezom 25 mmS = tečie prúd

5 AI = . Rovina slučky je kolmá na vektor indukcie magnetického poľa, ktorého veľkosť je

74

1TB = . Pôsobením magnetických síl je drôt v slučke v závislosti od orientácie prúdu napínaný alebo stláčaný. Určte mechanické napätie (silu pôsobiacu na jednotku plochy) v priereze drôtu! (Návod: Pozri najprv príklad 4.15.)

4.59 Vo vzdialenosti d od nekonečne dlhého priameho vodiča, ktorým tečie prúd I1, sa nachádza

štvorcová slučka s dĺžkou strán a, ktorou tečie prúd I2. Priamy vodič a slučka ležia v jednej rovine. Určte: a) výslednú silu pôsobiacu na slučku, b) výsledný moment síl pôsobiacich na slučku.

4.60 Cievkou s polomerom R = 2 cm a počtom závitov N = 500 tečie prúd I = 200 mA. Určte magnetický

moment cievky! 4.61 Určte magnetický moment kruhovej prúdovej slučky s polomerom R = 10 cm, keď viete, že táto

slučka vytvára vo svojom strede magnetické pole s magnetickou indukciou B = 6 µT. 4.62 *Elektrický náboj Q = 1 nC je homogénne rozložený na kruhovej doske s polomerom R = 20 cm.

Určte veľkosť magnetického momentu, ktorý má doska v dôsledku otáčania okolo svojej osi s frekvenciou f = 20 Hz.

4.63 Malá prúdová slučka sa nachádza vo vzdialenosti r od dlhého priameho vodiča, ktorým tečie

prúd I. Magnetický moment slučky je m, rozmery slučky sú zanedbateľné vzhľadom na vzdialenosť r. Určte smer, orientáciu a veľkosť momentu sily, ktorá pôsobí na slučku, ak vektor m: a) je rovnobežný s priamym vodičom, b) má smer polohového vektora slučky r, c) má smer vektora intenzity magnetického poľa v bode, kde sa nachádza slučka.

4.64 Vodič, ktorým tečie prúd I = 1 A, má tvar štvorca so stranou a = 10 cm a nachádza sa v

homogénnom magnetickom poli s magnetickou indukciou B = 200 mT. Rovina vodiča je kolmá na smer vektora magnetickej indukcie. Určte prácu, ktorú treba vykonať na natočenie vodiča o uhol 90α = ° okolo osi prechádzajúcej stredmi protiľahlých strán štvorca.

4.65 Plochá kruhová cievka s N = 10 závitmi s polomerom R = 2 cm sa nachádza v homogénnom

magnetickom poli s magnetickou indukciou B = 1 mT. Závitmi cievky tečie prúd I = 200 mA. Cievka sa môže otáčať okolo osi, ktorá leží v rovine závitov a ktorá je kolmá na magnetické indukčné čiary poľa. Určte prácu, ktorú vykoná vonkajší moment sily pri otočení cievky z jej rovnovážnej polohy o 180º.

4.66 Dva priame veľmi dlhé rovnobežné vodiče sa nachádzajú v určitej vzdialenosti od seba. Vodičmi

tečú rovnako orientované prúdy I1 = 4 A, I2 = 3 A. Na zväčšenie vzájomnej vzdialenosti na trojnásobok musí vonkajšia sila vykonať prácu. Určte časť tejto práce, ktorá pripadá na úsek vodičov s dĺžkou 1 m= .

4.67 Solenoidom s dĺžkou 30 cm= , s polomerom 1cmR = a s dĺžkovou hustotou závitov –1

0 1000 mN = preteká prúd 1 AI = . Solenoid náhle skratujeme a odpojíme od zdroja. Určte množstvo Joulovho tepla, ktoré sa uvoľní vo vinutí solenoidu.

75

5 Magnetické pole v magnetikách

5.1 Úvod Látky interagujúce s magnetickým poľom (magnetiká) obsahujú permanentné alebo prítomnosťou magnetického poľa vybudené elementárne magnetické momenty mi , ktoré sú v magnetickom poli

čiastočne orientované. Vektorová hustota magnetických momentov v látke Δ 0lim

Δ

ii

τ τ→

∑=

mM , kde i

i∑m

je vektorový súčet elementárnych magnetických momentov nachádzajúcich sa v objeme Δτ , sa volá magnetizácia. Magnetizáciu možno písať v tvare χ=M H , kde H je intenzita magnetického poľa a bezrozmerný koeficient χ je magnetická susceptibilita prostredia.

Pre magnetickú indukciu v magnetiku platia vzťahy: ( ) ( )0 0 0 r1μ μ χ μ μ μ= + = + = =B H M H H H , kde μ0 = 4π⋅10–7 H·m–1 je permeabilita vákua

(magnetická konštanta), bezrozmerný koeficient r 1μ χ= + je relatívna permeabilita prostredia a

r 0μ μ μ= je permeabilita prostredia. Podľa magnetických vlastností sa látky delia na: a) diamagnetické látky, pre ktoré r 1μ < , b) paramagnetické látky, pre ktoré r 1μ > , a c) feromagnetické látky, v ktorých je situácia zložitejšia, lebo v tomto prípade μr závisí od predchádzajúcich magnetických stavov látky (jav hysterézy). Z hľadiska hysterézy sa feromagnetické látky delia na dve podskupiny, a to na materiály so slabou hysterézou, tzv. magneticky mäkké materiály (používané na jadrá cievok), pre ktoré prakticky v celom rozsahu magnetizačnej krivky r 1μ , pričom však hodnota μr nie je konštantná, ale závisí od intenzity magnetického poľa, a na materiály so silnou hysterézou, tzv. magneticky tvrdé materiály (používané na permanentné magnety), pre ktoré μr nie je vhodnou charakteristikou, lebo v závislosti od intenzity magnetického poľa a histórie magnetizácie mení nielen hodnotu, ale dokonca aj znamienko. V magneticky tvrdých materiáloch sa definuje zvyšková (remanentná) magnetická indukcia ako magnetická indukcia pri nulovej intenzite magnetického poľa a koercitívna intenzita magnetického poľa ako intenzita magnetického poľa potrebná na dosiahnutie nulovej magnetickej indukcie (na dosiahnutie úplného demagnetizovania materiálu).

Vo vákuu je r 1μ = . Magnetické vlastnosti väčšiny diamagnetických a paramagnetických látok sú veľmi blízke magnetickým vlastnostiam vákua, preto vo väčšine elektrotechnických aplikácií možno pri výpočtoch v týchto látkach s dostatočnou presnosťou pracovať s hodnotou r 1μ = . Na rozhraní dvoch prostredí s rôznymi permeabilitami sa nemení s rozhraním rovnobežná zložka vektora H (ak rozhraním netečie elektrický prúd) a na rozhranie kolmá zložka vektora B. 5.2 Otázky a problémy 1. Aké typy magnetických materiálov poznáte? Do ktorého typu patria železo a ferity? 2. Aký zmysel má používanie feromagnetického jadra v cievkach? 3. Ako sú prevažne orientované prúdy elementárnych dipólov v paramagnetickom jadre cievky:

súhlasne alebo nesúhlasne s prúdom v závitoch cievky? Rovnaká otázka pre jadro z magneticky mäkkého feromagnetického materiálu a jadro z diamagnetického materiálu.

4. Ako sú orientované sily, ktorými pôsobí elektromagnet na telesá z feromagnetických látok a na telesá z diamagnetických látok?

5. Z akého typu magnetického materiálu je teleso, ak sa vznáša nad nehomogénnym magnetickým poľom a nie je to pritom permanentný magnet?

6. Cievka, ktorou preteká prúd, je navinutá na neúplne uzavretom prstencovitom železnom jadre s úzkou vzduchovou medzerou. Porovnajte magnetickú indukciu a intenzitu magnetického poľa v železnom jadre a vo vzduchovej medzere.

76

(Návod: Pri riešení úlohy aplikujte na rozhranie jadro-štrbina vlastnosť normálovej zložky vektora B na rozhraní dvoch prostredí s rôznou permeabilitou a vzťahy medzi B a H v železe a vo vákuu.)

7. Kde je väčšia hustota energie magnetického poľa: v železnom jadre elektromagnetu alebo v jeho úzkej vzduchovej medzere? Využite výsledok predchádzajúcej úlohy!

8. Schematicky nakreslite sústavu indukčných čiar magnetického poľa permanentného magnetu, ktorý má tvar a) tyče, b) podkovy (písmena U), c) prstenca s úzkou priečnou medzerou.

9. Predstavte si, že máte dve rovnaké oceľové tyče, z ktorých jedna je zmagnetizovaná, takže sa správa ako permanentný magnet. Ako by ste zistili, ktorá z tyčí je zmagnetizovaná, ak okrem tyčí nesmiete k pokusom použiť žiadne iné pomôcky?

5.3 Riešené príklady 5.1 *V Bohrovom modeli vodíkového atómu vyjadrite pre elektrón obiehajúci po kruhovej dráhe

okolo jadra magnetomechanický (gyromagnetický) pomer, čo je pomer magnetického dipólového momentu a mechanického momentu hybnosti elektrónu.

Riešenie Elektrón obiehajúci po kruhovej dráhe predstavuje prúdovú slučku so strednou hodnotou prúdu

eIT

= , kde e je náboj elektrónu a T je perióda obehu elektrónu. Perióda súvisí s obvodovou

rýchlosťou v a polomerom dráhy r podľa vzťahu 2πT

ω = =vr

, odkiaľ 2π rT =v

, takže prúd je

2πeI

r=

v . Magnetický moment prúdovej slučky je podľa definície I=m S , v absolútnych hodnotách

m I S= , kde S je vektor plochy slučky. Keďže plocha slučky je 2πS r= , veľkosť magnetického

momentu je 2π2π 2e e rm r

r= =

v v .

Moment hybnosti elektrónu vzhľadom na stred jeho kruhovej dráhy je podľa definície em= × = ×L r p r v , kde r je polohový vektor elektrónu vzhľadom na stred dráhy, t.j. r = r je

polomer dráhy, p je hybnosť elektrónu a me je jeho hmotnosť. Vektory r a v sú vzájomne kolmé, preto absolútna hodnota momentu hybnosti je eL rm= v .

Magnetomechanický pomer je podľa definície mL

γ = , po dosadení 12 2e e

e r er m m

γ = ⋅ =v

v, čo je

hľadaný výsledok. Vektorovo možno písať γ= −m L , kde znamienko mínus pochádza z toho, že v dôsledku záporného náboja elektrónu je prúd v slučke orientovaný opačne než vektor rýchlosti elektrónu. 5.2 Je daný toroid so železným jadrom s malým prierezom, so stredným polomerom prstenca

5 cmR = . Na jadre je navinutých 200N = závitov, ktorými tečie prúd 1 AI = . Určte magnetickú indukciu v jadre toroidu, ak pri daných podmienkach je relatívna permeabilita železa μr = 1000.

Riešenie

Toroid, v ktorého dutine sa nachádza železné jadro, má rovnakú symetriu ako toroid bez jadra. Postup vyjadrenia intenzity magnetického poľa v jeho dutine sa ničím nelíši od postupu jej vyjadrenia

v toroide bez jadra (pozri príklad 4.7), kde výsledná intenzita magnetického poľa je 2πN IH

R= . Medzi

77

magnetickou indukciou a intenzitou magnetického poľa v železe je vzťah r 0μ μ=B H , preto výsledná

magnetická indukcia v jadre je r 0r 0 800 mT

2πN IB HR

μ μμ μ= = = .

5.3 *Dokážte tvrdenie z úvodu tejto kapitoly, že na rozhraní dvoch prostredí s rôznou permeabilitou

sa nemení zložka vektora intenzity magnetického poľa H rovnobežná s rozhraním a zložka vektora magnetickej indukcie B kolmá na rozhranie. Na základe tohto výsledku určte, ako sa na rozhraní mení zložka H kolmá na rozhranie a zložka B rovnobežná s rozhraním.

Riešenie Rozložme vektory H a B na vektory rovnobežné (tangenciálne) s rozhraním Ht , Bt , a vektory kolmé (normálové) na rozhranie Hn, Bn . Index „1“ nech označuje veličiny v prvom prostredí, index „2“ v druhom prostredí.

Dokážme najprv, že na rozhraní sa nemení vektor Ht. Zvoľme si úzku obdĺžnikovú slučku, ktorá zasahuje do obidvoch prostredí a ktorej kratšie strany sú kolmé na rozhranie (obr. 5.1). Označme dĺžku dlhšej strany obdĺžnika a, kratšej strany b. Podľa Ampérovho zákona pre slučku platí d 0N I⋅ = =∫ H (ak rozhraním netečie

prúd). Ak je obdĺžnik dostatočne úzky, t.j. ak b a , príspevok k integrálu pozdĺž krátkych strán b možno zanedbať, takže v limitnom prípade v absolútnych

hodnotách 1t 2t 0H a H a− = , odkiaľ 1t 2tH H= , vektorovo 1t 2tH = H , čo bolo treba dokázať. Teraz dokážme, že na rozhraní sa nemení vektor Bn. Zvoľme si nízky rotačný valec, ktorý zasahuje do obidvoch prostredí a ktorého os je kolmá na rozhranie (obr. 5.2). Označme výšku valca h, plochu podstáv S ′ a polomer podstáv R. Celkový magnetický tok cez každú uzavretú plochu, teda aj cez celkovú plochu povrchu valca S, je nulový, t.j. platí

d 0S

=∫ B S⋅ . Ak je valec dostatočne nízky, t.j. ak

h R , príspevok k integrálu od magnetického toku cez plášť valca možno zanedbať, takže v limitnom prípade v absolútnych hodnotách 1n 2n 0B S B S′ ′− = , odkiaľ 1n 2nB B= , vektorovo 1n 2nB = B , čo bolo treba dokázať. Určime teraz, ako sa na rozhraní menia zvyšné dva vektory Hn a Bt. V jednotlivých prostrediach platí 1 1 1μ=B H , 2 2 2μ=B H , v zložkách

1t 1 1tB Hμ= , 1n 1 1nB Hμ= , 2t 2 2tB Hμ= , 2n 2 2nB Hμ= . Ak z prvej z posledných štyroch rovníc vyjadríme H1t , z tretej H2t a využijeme ich vyššie dokázanú rovnosť, dostávame hľadaný vzťah medzi

B1t a B2t , 1t 2t

1 2

B Bμ μ

= , ktorý môžeme zapísať v tvare 1t 1

2t 2

BB

μμ

= . Vzťah medzi H1n a H2n dostaneme, ak

využijeme vyjadrenie B1n (druhú zo štyroch rovníc) a B2n (štvrtú zo štyroch rovníc). Z ich vyššie

dokázanej rovnosti vyplýva, že hľadaný vzťah je 1n 2

2n 1

HH

μμ

= . Podľa tohto zaujímavého výsledku je

normálová zložka intenzity magnetického poľa väčšia na strane prostredia s menšou permeabilitou. Poznámka: Tieto vzťahy sú analogické so vzťahmi, ktoré platia v elektrostatike pre vektory intenzity elektrického poľa a elektrickej indukcie na rozhraní dvoch prostredí s rôznou permitivitou. 5.4 V železnom jadre toroidu so stredným polomerom R = 10 cm je priečna vzduchová medzera so

šírkou d = 5 mm. Na jadre je navinutých N = 800 závitov, ktorými tečie prúd I = 500 mA. Relatívna permeabilita železa pri daných podmienkach je μr = 1000, rozptyl magnetického toku

Obr. 5.2

B1n

B1t

B1B2

B2t

B2n

2Rh

μ1

μ2

(μ1 > μ2)

Obr. 5.1

H1n

H1t

H1

H2

H2t

H2n

abμ1

μ2

(μ1 > μ2)

78

na okrajoch medzery možno zanedbať. Určte veľkosť magnetickej indukcie v medzere. Ako sa zmení magnetická indukcia v medzere pri malom zväčšení šírky medzery: klesne alebo vzrastie?

Riešenie

Pre kruhovú integračnú dráhu ℓ prechádzajúcu stredom dutiny cievky a medzerou (obr. 5.3) platí Ampérov zákon d N I⋅ =∫ H . Na rozdiel od toroidu

bez jadra (príklad 4.7) alebo toroidu so súvislým jadrom (príklad 5.2) však kvôli medzere v jadre nemá teraz toroid rotačnú symetriu vzhľadom na os prstenca, prechádzajúcu bodom O a kolmú na rovinu prstenca, takže nemožno automaticky predpokladať, že intenzita magnetického poľa bude pozdĺž integračnej dráhy konštantná. Intenzita magnetického poľa sa pozdĺž integračnej dráhy skutočne mení, v medzere má inú veľkosť než v jadre. Označme jej veľkosť v jadre H, v medzere H0. Indukčné čiary, ktoré sledujú smer

pozdĺžnej kruhovej osi jadra, sú na rozhraní jadro - medzera kolmé na toto rozhranie. Vektor magnetickej indukcie, ktorý je dotyčnicou k indukčným čiaram, je v mieste rozhrania kolmý na rozhranie, v dôsledku čoho sa na rozhraní nemení (pozri úvod kapitoly). To znamená, že veľkosť magnetickej indukcie B v jadre sa rovná veľkosti magnetickej indukcie v medzere B0. Keďže v jadre platí r 0B Hμ μ= a v medzere 0 0 0B Hμ= , z rovnosti 0B B= vyplýva vzťah medzi intenzitami magnetického poľa r 0H Hμ = (t.j. H0 > H ). Integrál v Ampérovom zákone sa teraz rozkladá na súčet dvoch integrálov s rôznymi konštantnými hodnotami H a H0 po integračných dráhach, ktorých dĺžka je v jadre (2π )R d− , v medzere d, takže možno písať ( ) 02πH R d H d N I− + = . Posledné dve rovnice tvoria sústavu rovníc s neznámymi H a H0. Ak z prvej rovnice vyjadríme H0 a dosadíme do druhej rovnice, dostávame

rovnicu ( )00

r

2πH R d H d N Iμ

− + = , ktorej riešením je ( )

r0

r2π 1N IH

R dμ

μ=

+ −. Hľadaná veľkosť

magnetickej indukcie v medzere je ( )

0 r0 0 0

r

89,4 mT2π 1

N IB HR dμ μμ

μ= = =

+ −.

Z výsledného vzťahu vyplýva, že pri zväčšovaní šírky medzery magnetická indukcia v medzere klesá. V dôsledku vyššie spomínanej rovnosti medzi B a B0 to platí aj pre magnetickú indukciu v jadre B. Poznámka: Ľahko možno overiť, že z výsledného vzťahu v limitnom prípade 0d = , dostávame známy vzťah pre

magnetickú indukciu v toroide so spojitým jadrom (pozri príklad 5.2) 0

2πr N IB

Rμ μ

= a v prípade 1rμ =

vzťah pre magnetickú indukciu v toroide bez jadra (pozri príklad 4.7) 0

2πN IBR

μ= .

5.5 Na toroidnom jadre z mäkkého železa s prierezom S = 1 cm2 je navinutých N = 600 závitov

drôtu, ktorým tečie prúd I = 400 mA. Stredný polomer prstenca je R = 10 cm. Pri danom prúde je relatívna permeabilita železa µr = 800. Vinutie náhle skratujeme a odpojíme od zdroja. Určte množstvo Joulovho tepla, ktoré sa uvoľní vo vinutí.

Riešenie Po odpojení od zdroja zanikajúce magnetické pole indukuje v skratovanom vinutí elektrický prúd, ktorého prechodom sa na odpore vinutia uvoľní teplo, ekvivalentné energii magnetického poľa toroidu pred odpojením od zdroja. (Pozri príklad 4.19, ktorý rieši podobnú úlohu pre solenoid bez jadra).

Hustota energie magnetického poľa je 12

w = ⋅H B . V toroide je celé magnetické pole sústredené v

Obr. 5.3

R

H

I

¥ d

H0

O

79

dutine (pozri kapitolu č. 4, Otázky a úlohy, úlohu č. 7). Dutinu vypĺňa železné jadro, v ktorom je magnetická indukcia r 0B Hμ μ= , preto hustotu energie v dutine možno vyjadriť vzťahom

2r 0 r 0

1 12 2

w Hμ μ μ μ= =H H⋅ . Keďže intenzita magnetického poľa v dutine toroidu je (pozri príklad

4.7) 2πN IH

R= , možno písať

2

r 012 2π

N IwR

μ μ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Objem dutiny je 2πR Sτ ≈ (približne objem

valca s podstavou S a výškou 2πR ), preto celková počiatočná energia magnetického poľa toroidu, a teda aj hľadané celkové množstvo uvoľneného Joulovho tepla je:

2 2 2r 0

p r 01 2π 4,61 mJ2 2π 4π

N I SN IQ E w R SR R

μ μτ μ μ⎛ ⎞

= = ≈ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

5.4 Neriešené príklady 5.6 Magnetická susceptibilita germánia je χ = – 8.10–6. Podľa tohto údaja určte, aký typ magnetika

je germánium. Vypočítajte a) veľkosť vektora magnetizácie v germániu v magnetickom poli s intenzitou magnetického poľa H = 2⋅104 A·m–1, b) celkový magnetický moment germánia s objemom τ = 1 cm3 pri tej istej intenzite magnetického poľa c) relatívnu permeabilitu germánia, d) magnetickú indukciu v germániu pri tej istej intenzite magnetického poľa.

5.7 Určte, pri akej hodnote intenzity

magnetického poľa má relatívna permeabilita materiálu, ktorého magnetizačná krivka je zobrazená na obr. 5.4, maximálnu hodnotu. Určte túto maximálnu hodnotu permeability!

5.8 Na toroidnom železnom jadre so stredným

priemerom 10 cmd = je navinutých 300N = závitov, ktorými tečie prúd 500 mAI = . Určte magnetickú indukciu v strede prierezu železného jadra. Pri riešení využite magnetizačnú krivku na obr. 5.4. Určte tiež relatívnu permeabilitu železa v jadre pri daných podmienkach!

5.9 Na železnom prstenci s vnútorným polomerom

1 9 cmR = a vonkajším polomerom 1 11cmR = je navinutých 600N = závitov drôtu. S využitím magnetizačnej krivky na obr. 5.4 určte veľkosť prúdu vo vinutí, ktorý je potrebný na vytvorenie magnetickej indukcie B = 1,2 T v strede prierezu prstenca.

5.10 Na toroidnom železnom jadre so stredným polomerom R = 10 cm je navinutá cievka s N = 500

závitmi. Určte prúd, ktorý musí tiecť vinutím cievky, aby sa v železnom jadre dosiahla magnetická indukcia B = 20 mT. Relatívna permeabilita železa pri tejto hodnote indukcie je

r 1000μ = . 5.11 Dlhý priamy vodič, ktorým tečie prúd I = 100 A, je obopnutý kruhovým železným prstencom

s malým prierezom. Stredný polomer prstenca je R = 5 cm. Vypočítajte magnetickú indukciu v prstenci! Relatívna permeabilita železa pri daných podmienkach je µr = 800.

100 200 300 400 500 6000

0,5

1,0

1,5

H [A⋅m-1]

Obr. 5.4

B [T]

80

5.12 Toroidný železný prstenec so stredným polomerom 10 cmR = má priečnu medzeru širokú

2 mmd = . Na prstenci je navinutých 1000N = závitov. Určte prúd, ktorý musí tiecť závitmi, aby sa v medzere dosiahla magnetická indukcia 100 mTB = . Relatívna permeabilita železa pri týchto podmienkach je r 800μ = , rozptyl magnetického toku na okrajoch medzery možno zanedbať.

5.13 Na toroidnom železnom prstenci so stredným polomerom R = 25 cm je navinutých N = 1000

závitov. Prstenec má priečnu štrbinu širokú d = 1 mm. Keď vinutím tečie prúd I = 0,85 A, indukcia magnetického poľa v medzere je B0 = 0,75 T. Rozptyl magnetického toku na okrajoch medzery možno zanedbať. Určte relatívnu permeabilitu železa v týchto podmienkach!

5.14 Na toroidnom prstenci z mäkkého železa s prierezom S = 1 cm2 je navinutých N = 200 závitov

drôtu, ktorým tečie prúd I = 1 A. Prstenec má priečnu medzeru širokú d = 2 mm a stredný polomer prstenca je R = 4 cm. Pri danom prúde je relatívna permeabilita materiálu prstenca

r 1200μ = . Rozptyl magnetického toku na okrajoch medzery je zanedbateľný. a) Porovnajte hustotu energie magnetického poľa v medzere a v prstenci! b) Určte energiu magnetického poľa v medzere!

5.15 *Permanentný magnet má tvar prstenca s úzkou medzerou medzi pólami. Stredný polomer

prstenca je R = 10 cm, šírka medzery je d = 2 mm, magnetická indukcia v medzere je B0 = 40 mT. Rozptyl magnetického toku na okrajoch medzery možno zanedbať. Určte vektor intenzity magnetického poľa v materiále magnetu. (Návod : Celkový prúd vystupujúci v Ampérovom zákone je v tomto prípade nulový.) Poznámka: Pri riešení tejto úlohy sa stretávame so zaujímavým faktom, že v permanentnom magnete s medzerou sú vektor magnetickej indukcie a vektor intenzity magnetického poľa vnútri v magnete orientované nesúhlasne.1

5.16 Na permanentnom magnete v tvare valca s dĺžkou ℓ = 15 cm je rovnomerne navinutých N = 300

závitov tenkého drôtu. Keď prúd vo vinutí dosiahne hodnotu I = 400 mA, vonkajšie magnetické pole v okolí magnetu vymizne. Schematicky vyznačte na hysteréznej krivke body zodpovedajúce stavu magnetu pred odmagnetizovaním a po odmagnetizovaní. Určte koercitívnu intenzitu magnetického poľa pre tento magnet!

1 Bližšie vysvetlenie pozri lit. [40], str. 362.

81

6 Nestacionárne magnetické pole

6.1 Úvod Elektromagnetická indukcia. V každom vodiči, ktorý pri svojom pohybe pretína indukčné čiary magnetického poľa alebo sa nachádza v časovo premennom magnetickom poli, sa indukuje elektromotorické napätie (EMN). Ak je vodič súčasťou uzavretého vodivého obvodu, tečie v obvode indukovaný prúd. Jeden zo základných experimentov, ktoré priviedli anglického vedca Michaela Faradaya k objavu elektromagnetickej indukcie, je znázornený na obr. 6.1. Faradayov indukčný zákon: Indukované elektromotorické napätie sa svojou veľkosťou rovná časovej

zmene magnetického toku ddtΦ

= −E a má smer daný Lenzovým zákonom. Faradayov indukčný zákon

v diferenciálnom tvare vyjadruje Maxwellova rovnica: rottBE ∂=−∂

. Vyplýva z nej, že časovou

zmenou magnetického poľa vzniká vír elektrického poľa. Lenzov zákon: Indukovaný prúd má vždy taký smer, že svojimi

účinkami pôsobí proti zmene, ktorá ho vyvolala. (V rovnici ddtΦ

= −E je

vyjadrený záporným znamienkom). Magnetický tok Φ je skalárny súčin magnetickej indukcie B a plošného elementu dS, integrovaný cez plochu, ktorou tok prechádza

dS

Φ B S= ∫ ⋅ . Magnetický tok cez slučku na obr. 6.2 je vyjadrený

vzťahom cosB SΦ αB S= =⋅ .

Zmena magnetického toku môže byť vyvolaná: 1) časovou zmenou indukcie magnetického poľa, 2) pohybom vodiča (napr. otáčaním závitu) v stálom magnetickom poli 3) zmenou veľkosti plochy, ktorú obvod obopína.

V elemente vodiča dℓ, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v v magnetickom

poli s indukciou B (obr. 6.3), sa indukuje EMN ( )d dv B= × ⋅E . Pre

priamy vodič dĺžky ℓ, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v kolmo na smer indukčných čiar homogénneho magnetického poľa B je indukované napätie B= vE . Intenzita indukovaného elektrického poľa vo vodiči je vyjadrená vzťahom = ×E Bv . Vektorový súčin ×Bv určuje aj smer indukovaného prúdu. Ak sa zmení magnetický tok plochou ohraničenou uzavretým obvodom

z hodnoty Φ1 na hodnotu Φ2, v obvode pretečie náboj 1 2QR

Φ Φ−= ,

kde R je elektrický odpor obvodu. Vlastná indukcia. Elektrický prúd I tečúci v obvode vytvára magnetický tok Φ, ktorý preniká plochou obvodu. Pri zmenách prúdu bude dochádzať aj k časovej zmene magnetického toku, a teda v obvode sa bude indukovať EMN. Tento jav sa nazýva vlastná indukcia (samoindukcia). Podľa Biotovho-Savartovho zákona je magnetická indukcia priamo úmerná intenzite prúdu, preto vzťah medzi magnetickým tokom a elektrickým prúdom obvodu je lineárny: L IΦ = . Koeficient úmernosti L sa

cievka 1 cievka 2

G

cievka 1 cievka 2

G

Obr.6.1

B

Bn

S

n

α

n

Obr. 6.2

dSd

dtv

= ×vE B

B

v

d ( d )dt= ×vS

Obr. 6.3

dS

82

nazýva vlastná indukčnosť obvodu: LIΦ

= . V prípade, že obvod pozostáva z N závitov, je celkový

magnetický tok rovný N-násobku toku cez jeden závit, takže platí NLIΦ

= . Jednotkou indukčnosti je

henry (H). Elektromotorické napätie vlastnej indukcie pôsobí proti zmene prúdu v obvode a je

vyjadrené vzťahom ddILt

= −E .

Solenoid s dĺžkou ℓ, počtom závitov N, plochou závitu S a relatívnou permeabilitou jadra μr má

indukčnosť 2

2 r 0r 0

N SL n μ μμ μ τ= = , kde Nn = je počet závitov na jednotku dĺžky solenoidu,

Sτ = je objem solenoidu. Magnetické pole vnútri solenoidu r 0B n Iμ μ= je takmer homogénne.

Vzájomná indukcia. Uvažujme dva obvody 1 a 2, ktoré sa nachádzajú blízko seba (obr. 6.4). Ak v prvom obvode tečie časovo premenný prúd I1, vzniká premenné magnetické pole B1, ktoré čiastočne

alebo úplne preniká aj druhým obvodom a vytvára v ňom magnetický tok

2

21 2 1 2dS

NΦ = ∫ B S⋅ . Vzhľadom na lineárnu

závislosť ( )1 1B I platí lineárny vzťah medzi Φ21 a I1: 21 21 1M IΦ = .

Koeficient úmernosti 2121

1

MIΦ

= sa nazýva vzájomná

indukčnosť. Pri zmenách prúdu I1 v prvom obvode sa v druhom

obvode indukuje elektromotorické napätie 12 21

ddIMt

= −E .

Hovoríme, že obvody sú magneticky viazané. Analogicky platia vzťahy: 1

12 1 2 1dS

NΦ = ∫ B S⋅ ,

12 12 2M IΦ = , 21 12

ddIMt

= −E . Vzájomné indukčnosti sa rovnajú 1 =2 21M M a táto rovnosť nie je

podmienená geometrickou symetriou obvodov. Vzájomná indukcia je základným princípom činnosti

transformátora. Napäťový prevod transformátora je 2 2

1 1

U NU N

= . V ideálnom transformátore sa výkon

prenáša so 100 % účinnosťou, teda 1 1 2 2U I U I= .

Energia magnetického poľa cievky. Ak cievkou s vlastnou indukčnosťou L preteká prúd I, v cievke je

nahromadená energia magnetického poľa 2

p 2L IE = . Táto energia sa dá určiť aj z hustoty energie

magnetického poľa 2

B Hw = pomocou objemového integrálu pB HE d

2τ

τ= ∫ .

Prechodový dej v RL obvode s cievkou a rezistorom (obr. 6.5). Po pripojení jednosmerného zdroja napätia U0 v RL - obvode sa prúd

zväčšuje podľa vzťahu 0 1 eR tLI I

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠, kde 0

0 =UIR

je

maximálna hodnota prúdu. Veličina LR

τ = má rozmer času

a predstavuje tzv. časovú konštantu. Po prepnutí prepínača do

polohy b prúd v RL obvode zaniká podľa vzťahu 0 eR tLI I

−= .

1 2

Φ21

1 2

B1

I1

Obr.6.4

R

I

LU0 b

Obr. 6.5

83

6.2 Otázky a problémy 1. a) Definujte magnetický tok! b) Uveďte niekoľko situácií, keď dochádza k časovej zmene

magnetického toku. 2. Formulujte Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie! 3. Určte smer prúdu v cievke pri zasúvaní permanentného magnetu do cievky podľa obr. 6.6! 4. Zapíšte vzťah pre magnetický tok slučkou pre prípad homogénneho aj nehomogénneho

magnetického poľa v slučke! Čo je jednotkou magnetického toku? 5. Použitím Lenzovho zákona interpretujte silové pôsobenie medzi cievkou a približujúcim sa

magnetom na obr. 6.6. 6. Prejavom ktorého zákona zachovania je Lenzov zákon? Ktorý princíp podobný Lenzovmu zákonu

platí pre termodynamické deje? 7. Určte smer indukovaného prúdu v kruhovom závite, ktorý sa nachádza v magnetickom poli

(obr. 6.7) pre dva prípady: a) indukcia magnetického poľa rastie, b) indukcia magnetického poľa klesá.

8. Určte smer prúdu pre každý z troch experimentov znázornených na obr. 6.8: a) Permanentný magnet sa pohybuje severným pólom k cievke pripojenej k odporu. b) Stacionárne magnetické pole smeruje do nákresne, tyč sa pohybuje doľava. c) Závit sa otáča v poli permanentného magnetu.

9. Kruhový závit leží na podlahe. Magnet padá do stredu závitu severným pólom nadol. Aký je smer indukovaného prúdu v závite? Ako sa zmení výsledok, ak magnet bude padať južným pólom nadol?

10. K dlhému priamemu vodiču s prúdom I sa približuje kruhový závit ležiaci v jednej rovine s vodičom. Určte smer indukovaného prúdu v závite (načrtnite obr.)! Aké je silové pôsobenie medzi závitom a vodičom?

11. Vyjadrite elektromotorické napätie, ktoré sa indukuje vo vodiči pohybujúcom sa v magnetickom poli.

12. Načrtnite jednoduchý generátor striedavého elektrického napätia a uveďte vzťah pre amplitúdu generovaného napätia.

13. Na obr. 6.9 je elektromagnet, na ktorého hornú plochu je položený vodivý (hliníkový) prstenec. V okamihu, keď cievku elektromagnetu pripojíme na zdroj jednosmerného napätia, prstenec vyletí nahor. Vysvetlite pôvod sily, ktorá prstenec odpudila.

14. Uveďte niektoré aplikácie javu elektromagnetickej indukcie!

J SJ S

v

Obr. 6.6

Magnetické pole rastie

Magnetické pole klesá

Magnetické pole rastie

Magnetické pole klesá

Obr. 6.7

BB

S J

B

R

S J

B

BR

S J

B

R

S J

B

BR

a)

b)

vv

v

c)

Obr. 6.8

84

15. Vysvetlite ako sa využíva jav vzájomnej indukcie v transformátoroch pri zvyšovaní a znižovaní napätia. 16. Prečo sa železné jadrá sieťových transformátorov skladajú z tenkých plechov transformátorovej

(kremíkovej) ocele, namiesto použitia jedného železného odliatku? 17. Cievka má indukčnosť 1H, ak pri narastaní prúdu v cievke rýchlosťou 1A⋅s–1 sa na koncoch

cievky indukuje napätie 1V. Ktorý vzťah je základom tejto definície? 18. Ako je definovaná indukčnosť cievky? Ako sa zmení indukčnosť cievky, keď počet jej závitov

zdvojnásobíme? 19. Rotujúci vodivý kotúč je v poli magnetu brzdený (obr. 6.10).

Zdôvodnite! 20. Prúd v cievkach s veľkými indukčnosťami, napr. v

elektromagnetoch, sa musí vypínať postupným znižovaním. Vysvetlite dôvod!

21. Prečo môže elektromotor zhorieť, ak sa jeho rotor zastaví, napr. pri preťažení?

22. Žiarovka v obvode s veľkou indukčnosťou sa po pripojení jednosmerného napätia rozsvecuje so značným časovým oneskorením. Popíšte tento jav!

23. Na obr. 6.11 sú dve cievky, medzi ktorými existuje magnetická väzba. Aký bude smer prúdu v galvanometri, ak prúd I1 v primárnej cievke a) zapneme, b) vypneme?

24. Vysvetlite fyzikálny význam vzájomnej indukčnosti dvoch obvodov!

6.3 Riešené príklady

6.1 Magnetické pole sa mení v čase podľa vzťahu 0B B kt= − , kde 0 = 1 TB , 1 = 1 T sk −⋅ a smeruje kolmo na rovinu kruhovej cievky, ktorá má plochu 2= 50 cmS a počet závitov = 10N . Cievka je zapojená v obvode s celkovým elektrickým odporom = 0,5 ΩR . Určte indukované EMN v cievke a množstvo tepla, ktoré sa uvoľnilo v obvode za prvú sekundu.

Riešenie

Magnetický tok cez jeden závit cievky je ( )0B S S B k tΦ = = − . Podľa Faradayovho zákona je

napätie v cievke rovné zmene celkového magnetického toku za 1 s: dd

N k N StΦ

= − =E . Výkon

v obvode ( )22 k N SP I

R R= = =

EE nezávisí od času. Teplo uvoľnené v odpore cievky za čas t je

železné jadro

cievka

Fvodivý prstenec

k zdroju

železné jadro

cievka

Fvodivý prstenec

k zdroju

S J

rotujúci kovovýdisk

magnet

S JI

rotujúci kovovýdisk

magnet

Obr. 6.9 Obr. 6.10

železné jadro

G

cievka 1 cievka 2

železné jadro

G

cievka 1 cievka 2

U0

Obr. 6.11

85

( )2

dk N S

W P t tR

= = Δ∫ . Číselné riešenie: 25 10 V−= ⋅E , 35 10 J 5 mJW −= ⋅ = .

6.2 Použitím Faradayovho indukčného zákona vyjadrite EMN, ktoré sa indukuje na koncoch vodiča dĺžky ℓ pri jeho pohybe rýchlosťou v v magnetickom poli s indukciou B (obr. 6.12 ).

Riešenie

Element vodiča dℓ prejde za čas dt dráhu dtv a magnetický tok „preťatý“ vodičom je

d dΦ B S= ⋅ = ( )d dtvB ⋅ × . Indukované napätie je ( )dd ddtΦ

= − = − ⋅ ×vBE . Využitím vlastnosti

zmiešaného súčinu vektorov ( ) ( )a b × c b × a c⋅ =− ⋅ a integrovaním

cez celú dĺžku vodiča dostaneme ( ) dv B= × ⋅∫E . Vektorový súčin

×Bv udáva smer intenzity elektrického poľa vo vodiči a v prípade uzavretého elektrického obvodu aj smer indukovaného prúdu. Využijúc vlastnosť zmiešaného súčinu ( )a b × c⋅ , že jeho absolútna hodnota sa rovná objemu rovnobežnostena zostrojeného z vektorov a, b, c, prichádzame k záveru, že napätie indukované pri pohybe vodiča v magnetickom poli je maximálne, keď všetky tri vektory (v, B, l) sú navzájom kolmé.

6.3 Obdĺžnikový závit so stranami = 0,3 ma , = 0,2 mb sa otáča

s uhlovou rýchlosťou -1100π rad sω = ⋅ v magnetickom poli s indukciou 0,05 TB = (obr. 6.13). Vyjadrite časovú závislosť indukovaného elektromotorického napätia, ak v čase t = 0 s bola rovina závitu kolmá na magnetické indukčné čiary. Aká je amplitúda napätia?

Riešenie

Magnetický tok cez závit je cosB SΦ ϕ= , kde ϕ je uhol pootočenia závitu 0tϕ ω ϕ= + . V čase t = 0 s je magnetický tok maximálny, takže 0 0ϕ = . Napätie v závite je určené Faradayovým

indukčným zákonom: d sind

B S ttΦ ω ω=− =E . Po vyjadrení plochy závitu S ab= , dostávame

časovú závislosť indukovaného napätia: ( ) ( )sin 0,3π sin 100πB ab t tω ω= =E . Amplitúda indukovaného napätia je m 0 94 VB ab ,ω= =E . Poznámka: Uvedený príklad ilustruje činnosť generátora striedavého prúdu. Ak cievka generátora má N závitov, generuje sa sínusové napätie s amplitúdou m N B Sω=E .

6.4 Vyjadrite indukčnosť dlhého vzduchového solenoidu a energiu jeho magnetického poľa, ak

solenoid má dĺžku ℓ, polomer R, počet závitov N a jeho vinutím tečie prúd I (obr. 6.14). Riešte aj číselne pre hodnoty: 0,40 m= , = 8 cmR , = 510N , = 1 AI .

Riešenie

Magnetické pole solenoidu je koncentrované v jeho objeme Sτ = a pre jeho intenzitu platí

vzťah NIH = , ktorý sa získa z Ampérovho zákona d NIH ⋅ =∫ . Objemová hustota energie

B

a

ϕ

bω

Obr. 6.13

BB

Obr. 6.12

= ×vE B

vdtv

d

86

magnetického poľa vnútri solenoidu je 2m 0

1 12 2

w B H Hμ= = .

Celková energia magnetického poľa solenoidu je p mE w τ= . Po dosadení vyššie uvedených vzťahov dostaneme:

2

p 012

N IE Sμ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, resp. 2

2p 0

12

N SE Iμ= . Porovnaním so

vzťahom 2p

12

E L I= môžeme pre indukčnosť vzduchového

solenoidu zapísať vzorec 2

0 N SL μ= . Číselné riešenie:

2 220 π 1,64 10 HN RL μ −= = ⋅ ,

2 22 30

pπ 8,2 10 J

2N RE Iμ −= = ⋅ .

6.5 Na obr. 6.15 sú blízko seba dve cievky so vzájomnou indukčnosťou = 20 μHM . Prúd 1 = 4 AI

v cievke 1 po vypnutí zanikne za čas = 40 μst . Vypočítajte a) strednú hodnotu EMN, ktoré sa indukuje v obvode galvanometra, b) prúd, ktorý potečie cez elektrický odpor = 5 ΩR galvanometra c) náboj, ktorý prejde galvanometrom.

Riešenie

Napätie indukované v druhej cievke v dôsledku vzájomnej

indukcie je 12

ddIMt

= −E . Stredná hodnota indukovaného napätia:

12

IMt

Δ= −

ΔE . Prúd v sekundárnom obvode je 2 1

2dd

M IIR R t

= = −E a

náboj, ktorý pretečie cez odpor R sekundárneho obvodu je 1 1

2 2dd dd

M I M IQ I t tR t R

Δ= = − = −∫ ∫ . Číselné riešenie: 2 2V=E ,

2 0 4AI ,= , 62 16 10 CQ . −= .

6.6 Na obr. 6.16 sa kovová tyč pohybuje konštantnou rýchlosťou = 12 m s⋅v –1 po dvoch

paralelných koľajničkách vzdialených od seba o ℓ = 0,25 m v homogénnom magnetickom poli = 0,4 TB . Celkový elektrický odpor obvodu je = 2 ΩR . Vypočítajte: a) veľkosť indukovaného

napätia v obvode, b) silu potrebnú na udržanie rovnomerného pohybu tyče, c) mechanický výkon PM dodávaný do sústavy, d) elektrický výkon PE disipovaný (rozptýlený) v elektrickom odpore obvodu.

Riešenie

Za čas dt tyč prejde dráhu dtv a magnetický tok v uzavretom obvode sa zväčší o hodnotu d dB dS B tΦ = = v . Napätie indukované v obvode je B= vE . V uzavretom obvode tečie prúd

BIR

=v . Sila na tyč je

2 2BF B IR

= =v a pôsobí proti smeru

pohybu tyče. Pre mechanický výkon dodávaný do sústavy platí MP Fv= = ( ) ( ) EB I B I I Pv v= = =E . Mechanická energia

dodávaná do sústavy sa premieňa na elektrickú energiu v obvode (v danom prípade na Jouleovo teplo). Sústava predstavuje prototyp jednoduchého generátora. Číselné riešenie: 1,2 V=E , 0,06 NF = ,

M 0 72 WP ,= , E 0 72 WP ,= .

Obr.6.14

GG

M

I1

Obr. 6.15

R B v

Obr. 6.16

87

6.7 V RL obvode na obr. 6.17 s elektrickým odporom = 10 ΩR a indukčnosťou = 10 mHL je v čase = 0t s pripojené napätie batérie 0 = 10 VU . Vyjadrite časovú závislosť a) prúdu v obvode, b) rýchlosti narastania prúdu, c) napätia na cievke. Vypočítajte časovú konštantu obvodu τ a hodnoty vyššie uvedených veličín v čase = t τ .

Riešenie

Po pripojení jednosmerného zdroja U0 prúd v obvode nemôže

skokom nadobudnúť ustálenú hodnotu 00

UIR

= , pretože tomu bráni

elektromotorické napätie vlastnej indukcie cievky = dd IL

t− E .

V súlade s druhým Kirchhoffovým zákonom platí rovnica

0d =d

IU L RIt

− , teda 0dd

UI R It L L+ = . Všeobecné riešenie tejto diferenciálnej rovnice má tvar

0 eR tLI I k

−= + , kde k je konštanta, ktorej hodnota určená z počiatočnej podmienky 0I = A pre 0t = s

je 0k I= − . Hľadané riešenie je:

001 e 1 e

tR tLUI I

Rτ

−− ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Veličina L

Rτ = má rozmer

času a nazýva sa časová konštanta. Grafické zobrazenie závislosti ( )I t je na obr. 6.18. Rýchlosť narastania prúdu v obvode dostaneme derivovaním funkcie I(t):

0 0d e ed

t tI UIt L

τ τ

τ− −

= = .

Napätie na cievke: 0 0 et

U R I U τ−

= − =E .

Číselné riešenie: 0 1 AI = ; 310 s τ −= ; a) ( )10 01 e 0,632 0,632 AI I I−= − = = ; b) 1d 368 A sdIt

−= ⋅ ;

c) 3,68 V=E .

6.4 Neriešené príklady 6.8 Atlét vysoký 1,8 m beží rýchlosťou 20 km⋅h–1 východným smerom. Zemské magnetické pole má

v danom mieste vodorovnú zložku magnetickej indukcie 2⋅10–5 T. Určte veľkosť a smer indukovaného napätia medzi hlavou a chodidlami atléta!

6.9 Kovová tyč s dĺžkou 1,72 mb = sa pohybuje konštantnou rýchlosťou 5 m= ⋅v s–1 v magnetickom

poli dlhého priameho vodiča, ktorým preteká prúd 30 AI = (obr. 6.19). Bližší koniec tyče je od priameho vodiča vzdialený 1 ma = . Vypočítajte elektromotorické napätie indukované v tyči! Ktorý koniec tyče má vyšší potenciál?

6.10 Obdĺžnikový závit so stranami = 0,4 ma , 0,2 mb = leží v jednej rovine s dlhým priamym

vodičom, s bližšou stranou vo vzdialenosti 0 = 0,1 mr (obr. 6.20). Priamym vodičom tečie prúd =10 AI , závit má elektrický odpor = 0,1 ΩR . Vypočítajte: a) magnetický tok plochou závitu,

b) vzájomnú indukčnosť M medzi závitom a vodičom, c) elektromotorické napätie, ktoré sa indukuje v závite, ak v priamom vodiči prúd rovnomerne poklesne na nulovú hodnotu za čas

= 1 mst , d) veľkosť náboja, ktorý prejde závitom po vypnutí prúdu priameho vodiča.

0,63 I0

I0

I

tL Rτ =

Obr. 6.18

R L

I U0

Obr. 6.17

88

6.11 Malé lietadlo s rozpätím krídel = 14 m letí na sever rýchlosťou 250 kmv = ⋅h–1. Vertikálna zložka zemského magnetického poľa v danom mieste je = 3B ⋅ 10–5 T. Aký potenciálový rozdiel vzniká na koncoch krídel?

6.12 Daný je nekonečne dlhý priamy vodič a štvorcový závit so stranou = 0,1 ma ležiaci v jednej

rovine s vodičom vo vzdialenosti = 0,1 mR podľa obr. 6.21. Aké napätie sa indukuje v závite, ak v priamom vodiči vypneme prúd = 1 AI a ten poklesne na nulovú hodnotu za čas = 1 mst ?

6.13 Indukčné čiary magnetického poľa zvierajú uhol 30α = ° s vertikálnym smerom. Vodič dĺžky

2,5 m= sa v tomto poli pohybuje vodorovne rýchlosťou = 2,4 mv ⋅ s–1, pričom na jeho koncoch sa indukuje napätie = 80 μVE . Akú veľkosť má vektor magnetickej indukcie?

6.14 Obdĺžnikový závit s rozmermi = 0,8 ma , = 0,5 mb sa

približuje rýchlosťou = 0,5 m s⋅v –1 k priamemu nekonečne dlhému vodiču, ktorým preteká prúd = 10 AI (obr. 6.22). Aké EMN sa indukuje v závite v okamihu, keď je rámik vzdialený od vodiča 0 = 2 mr ?

Pomôcka: d d d dd d d d

rt r t rΦ Φ Φv= = − .

6.15 Obdĺžniková cievka s počtom závitov = 100N a s plochou jedného závitu 2 = 200 cmS rotuje

v magnetickom poli s indukciou = 0,1 TB . Os rotácie leží v rovine cievky a prechádza stredmi jej kratších strán (obr. 6.23). Vektor magnetickej indukcie je kolmý na os rotácie. Určte periódu T otáčania, ak amplitúda indukovaného napätia je

m = 15,7 VU .

6.16 V magnetickom poli s indukciou = 0,05 TB sa otáča kovová tyč dĺžky

= 0,8 m s konštantnou uhlovou rýchlosťou –1= 20 rad sω ⋅ (obr. 6.24). Vypočítajte elektromotorické napätie vznikajúce na koncoch tyče!

6.17 Rovinná cievka s 10 závitmi s plochou 14 cm2 je kolmá na magnetické pole, ktoré sa v čase mení podľa

vzťahu 0 50 60πB t= , sin( ) . Vyjadrite indukované elektromotorické napätie ako funkciu času!

6.18 Štvorcová cievka so stranou = 20 cma a počtom závitov = 200N sa otáča okolo zvislej osi

s frekvenciou –1 = 15 sf . Horizontálna zložka zemského magnetického poľa je = 0,04 mTB . Vypočítajte maximálnu hodnotu indukovaného elektromotorického napätia v cievke!

I

a

bv

r0

r dr

Obr. 6.22

B

b

a

ω

B

b

a

ωObr. 6.23

OB

A

ϕ

Obr. 6.24

I

v

a

b

Obr. 6.19

b

a dr

rr0I

Obr. 6.20

a

aR

a

aR

I

Obr. 6.21

89

6.19 Na obr. 6.25 je vodivý kotúč otáčajúci sa v homogénnom magnetickom poli, ktorého indukčné čiary sú kolmé na rovinu kotúča. Aký prúd tečie rezistorom s elektrickým odporom

E 1ΩR = pripojeným cez ampérmeter ku kĺznym kontaktom v strede kotúča a na jeho obvode? Polomer kotúča je = 10 cmR , uhlová rýchlosť otáčania –1 = 314 rad sω ⋅ , indukcia magnetického poľa = 1 TB .

6.20 V homogénnom magnetickom poli sa nachádza závit s plochou 2= 40 cmS . Normála zviera s

vektorom magnetickej indukcie uhol 37α = ° . Vypočítajte indukované napätie v závite po vypnutí poľa, ak počiatočná hodnota indukcie bola 0 0,2 TB = a indukcia klesala na nulovú hodnotu lineárne za čas = 0,01 st .

6.21 Supravodivý solenoid používaný v NMR tomografii je navinutý na valci s priemerom

= 0,9 md a dĺžkou = 2,2 m . Hustota vinutia je –1= 500 mn (závitov na meter dĺžky). Vypočítajte: a) elektrický prúd, ktorý musí tiecť vinutím, aby sa vytvorilo magnetické pole

= 0,40 TB , b) energiu nahromadenú v magnetickom poli solenoidu, c) indukčnosť solenoidu. 6.22 Vzduchový solenoid dĺžky = 0,6 m a prierezu –4 2= 3 10 mS ⋅ má indukčnosť –6 = 2 10 HL ⋅ .

Pri akom eektrickom prúde I bude hustota energie magnetického poľa vo vnútri solenoidu –3 –3

m = 2 10 J mw ⋅ ⋅ ? 6.23 Toroidná cievka s jadrom s relatívnou permeabilitou μr má vnútorný polomer a, vonkajší

polomer b a výšku jadra h (obr. 6.26). Cievka má N závitov a tečie ňou prúd I. Vyjadrite indukčnosť cievky a magnetickú energiu v toroide. Riešte číselne pre r 800μ = , 6 mmh = ,

= 14 mma , 20 mmb = , = 1000N , = 50 mAI . (Na obr. 6.26 je znázornená iba časť vinutia toroidu).

6.24 Odhadnite počet závitov a rozmery vzduchového solenoidu, ktorý má mať indukčnosť

= 1 μHL , objem 3= 3,14 cmτ a pomer dĺžky k priemeru = 4/d . Aký maximálny priemer

drôtu d1 sa dá použiť pre jednovrstvové vinutie?

6.25 Vypočítajte vzájomnú indukčnosť dvoch sústredných kruhových slučiek ležiacich v jednej rovine

podľa obr. 6.27. Slučka 1 má oveľa väčší polomer než slučka 2, takže magnetické pole slučky 1 je možné považovať v priestore slučky 2 za homogénne. Riešte aj číselne pre 1 2 mR = , 2 0,1 mR = .

6.26 Cievka má = 25N závitov s plochou 2= 8 cmS a jej os je rovnobežná s homogénnym časovo

premenným magnetickým poľom s indukciou 21 4 0,3B t t−= , . Obvod cievky je uzavretý a má

elektrický odpor = 4 ΩR . Aké elektromotorické napätie a prúd sa indukujú v cievke v čase 1 1st = ?

AB RE

R

ω AB RE

R

ω

Obr. 6.25

a

b

h

Obr. 6.26

B1

R2

R1I1

Obr. 6.27

90

6.27 K solenoidu, ktorý má = 200N závitov, priečny prierez 2= 14 cmS a elektrický odpor = 5 ΩR , je pripojený galvanometer s odporom g = 15 ΩR . Aký náboj

pretečie galvanometrom, ak vonkajšie magnetické pole rovnobežné s osou solenoidu a indukciou = 1 TB preklopí svoj smer?

6.28 Kruhový závit s elektrickým odporom = 0,5 Ω R sa nachádza v magnetickom

poli s indukciou = 1,2 TB (obr. 6.28). Polomer závitu sa lineárne zväčšuje v čase podľa vzťahu 0r r t= + v , kde 0 = 0,1 mr a –1= 0,5 m s⋅v . Aké elektromotorické napätie sa indukuje v závite v čase = 4 st ?

6.29 Medená tyč sa pohybuje rýchlosťou –1= 20 m sv ⋅ po dvoch rovnobežných vodičoch kolmo na

magnetické pole s indukciou = 0,15 TB (obr. 6.29). Vzdialenosť rovnobežných vodičov je = 0,5 m . Vypočítajte:

a) elektromotorické napätie indukované v obvode, b) prúd v obvode, ak mechanický výkon potrebný na udržiavanie konštantnej rýchlosti pohybu tyče je M = 1 WP , c) celkový elektrický odpor obvodu.

6.30 Kovový rám tvaru Π (obr. 6.30) je upevnený v zvislej rovine a nachádza sa v homogénnom magnetickom poli s indukciou = 0,2 TB , ktorého siločiary sú kolmé na rovinu rámu. Vodorovná tyč s hmotnosťou

= 0,2 kgm a elektrickým odporom = 0,1 ΩR sa šmýka nadol po dlhých stranách rámu vzdialených = 1 m . Vyjadrite pohybovú rovnicu tyče a stanovte maximálnu rýchlosť tyče.

6.31 V cievke sa indukuje elektromotorické napätie 3 mV=E , keď prúd cievkou narastá rýchlosťou

1d 5 A sdIt

−= ⋅ . Ak cievkou preteká ustálený prúd 1 8 AI = , v každom závite je magnetický tok

1 40 μWbΦ = . Vypočítajte indukčnosť cievky a počet jej závitov! 6.32 Prúd cievky s indukčnosťou 1 H klesol na jednu štvrtinu za 1,8 s po tom, čo vývody boli

skratované. Aký elektrický odpor má cievka? 6.33 Solenoid dĺžky = 20 cm a priemeru = 3 cmd má = 400N závitov. Určte indukčnosť

solenoidu a magnetický tok cez jeden závit, keď solenoidom tečie prúd = 0,8 AI .

6.34 Na dlhý solenoid s polomerom r a n závitmi na jednotku dĺžky je tesne navinutá úzka cievka s N0 závitmi. Vyjadrite vzájomnú indukčnosť solenoidu a cievky. Riešte číselne pre hodnoty:

–11200 mn = , 0 = 30N , –2 = 5 10 mr ⋅ .

6.35 Štvorcový závit s plochou 2 = 25 cmS z medeného drôtu priemeru d = 1 mm sa nachádza v

magnetickom poli, ktorého indukcia sa mení v čase podľa vzťahu 0B B tω= sin , kde

0 = 0,01 TB , –1 = 0,314 sω . Rovina závitu je kolmá na smer magnetického poľa. Určte amplitúdu: a) magnetického toku, b) indukovaného elektromotorického napätia, c) prúdu v závite. Rezistivita medi je 81 7 10 Ω mρ −= ⋅ ⋅, .

r

B

r

B

Obr. 6.28

B

v

Obr. 6.29B

v

mg

Obr. 6.30

91

6.36 Vypočítajte magnetický tok cez plochu jedného závitu cievky, ktorá má vlastnú indukčnosť = 8,2 mHL , počet závitov = 500N a preteká ňou prúd = 40 mAI .

6.37 Dlhý solenoid bez jadra má hustotu vinutia 1 1000n = závitov na meter a plochu závitu

21 10 cmS = . Na solenoide je tesne navinutá úzka cievka s počtom závitov 2 10N = , ktorá je

pripojená do obvodu s celkovým elektrickým odporom 2 100 ΩR = . Prúd I1 tečúci solenoidom sa rovnomerne zväčšuje z hodnoty 0 A na hodnotu 20 A za čas 4 mst = . Aký prúd I2 potečie cievkou?

6.38 V RL obvode na obr. 6.31 je 0 = 6 VU , = 9 mHL a

= 5 ΩR . Vypočítajte: a) časovú konštantu obvodu, b) maximálnu hodnotu elektrického prúdu v obvode, c) elektrický prúd v čase 1 = 1 mst od zopnutia prúdu, d) čas t2, za ktorý elektrický prúd dosiahne 90% svojej maximálnej hodnoty.

6.39 Solenoid má = 200N závitov z medeného drôtu priemeru 0 = 0,4 mmd navinutých na valci

s polomerom = 1 cmr a dĺžkou = 10 cm . Za aký čas po pripojení jednosmerného napätia k cievke dosiahne prúd 63,2 % z maximálnej hodnoty? Rezistivita medi je 81 7 10 Ω mρ −= ⋅ ⋅, .

6.40 Transformátor má primárne napätie 1 = 220 VU , sekundárne 2 = 48 VU . Pri meraní napätia na

jednom pomocnom závite sa zistila hodnota U´ = 0,5 V. Určte počet závitov primárneho a sekundárneho vinutia!

6.41 Transformátor má vstupné napätie 1 = 12 V U a vstupný prúd 1 = 3 AI . Výstupný prúd je

2 = 0,75 AI . Aké je výstupné napätie transformátora? Koľko závitov má primárne vinutie, ak počet závitov sekundárneho vinutia je 2 = 1200N ?

6.42 Kovová tyč s hmotnosťou = 1 kg m a elektrickým odporom = 0,4 ΩR sa šmýka bez trenia po

dvoch medených koľajničkách, ktoré vytvárajú naklonenú rovinu s uhlom sklonu 30α = ° (obr. 6.32). Koľajničky sú od seba vzdialené o = 0,2 m a na hornom konci prepojené vodičom. Sústava sa nachádza v magnetickom poli s indukciou = 0,3 TB , ktorej vektor smeruje kolmo nahor. Vyjadrite pohybovú rovnicu tyče a stanovte maximálnu rýchlosť tyče.

RL

I U0

Obr. 6.31

R B

x

α

v

Obr. 6.32

92

7 Striedavé elektrické prúdy

7.1 Úvod Časovo premenné prúdy vznikajú v elektrických obvodoch v dôsledku ich napájania časovo

premennými napätiami alebo v dôsledku náhlych zmien i pri napájaní jednosmernými napätiami. Takýmito zmenami sú napr. pripojenia a odpojenia napájacieho napätia alebo skrat v obvodoch, ktoré obsahujú indukčné a kapacitné prvky. Striedavé elektrické napätie mení v závislosti od času svoju veľkosť a polaritu. Ak okamžitú hodnotu striedavého napätia u, ktoré pripojíme na elektrický obvod, opíšeme vzťahom u = U0 cos ωt, potom vo všeobecnom prípade bude okamžitá hodnota striedavého prúdu i vyjadrená rovnicou i = I0 cos (ωt + ϕ). Výkon striedavého harmonického prúdu vyjadríme vzťahom P = Uef Ief cos ϕ, kde Uef (Ief) je

efektívna hodnota napätia (prúdu) a cos ϕ je účinník obvodu. Efektívne hodnoty napätia 0ef 2

UU =

a prúdu 0ef 2

II = predstavujú veľkosť jednosmerného napätia a prúdu, ktorý by mal rovnocenné

tepelné účinky ako uvažovaný striedavý prúd za jednu periódu. Združené napätie Us trojfázového elektrického prúdu súvisí s fázovým napätím Uf pri zapojení

do hviezdy podľa vzťahu sf 3

UU = , príslušné hodnoty prúdu pri zapojení do hviezdy sú rovnaké Is = If.

Naproti tomu pri zapojení do trojuholníka platí Us = Uf, sf 3

II = . Výkon trojfázového prúdu bez

ohľadu na spôsob zapojenia sa vyjadrí ako:

s s3 cosP U I ϕ= , kde Us, Is sú združené hodnoty napätia a prúdu (ich efektívne hodnoty) a cos ϕ je tzv. účinník spotrebiča. Harmonicky sa meniace napätie a prúdy možno znázorniť pomocou rotujúcich vektorov v komplexnej rovine. Princíp znázornenia je taký, že sa prúdu i = I0 cos (ωt + ϕ) priradí komplexný vektor j( )

0ˆ e tI I ω ϕ+=

(j označuje imaginárnu jednotku), ktorý rotuje v komplexnej rovine uhlovou rýchlosťou ω proti smeru otáčania hodinových ručičiek. Veličina i je potom priemetom vektora do smeru reálnej, resp. imaginárnej osi. Veľkosť vektora I sa rovná amplitúde veličiny i a uhlová rýchlosť rotácie vektora predstavuje uhlovú frekvenciu veličiny i (obr. 7.1).

Ak k zdroju striedavého napätia u = U0 cos ωt pripojíme ideálny rezistor s elektrickým odporom R,

Imaginárna os

Reálna os

I

( )tω ϕ+

0 cos( )I tω ϕ+

0 sin( )I tω ϕ+

Obr. 7.1 Rotujúci vektor prúdu v rovine

0 60 120 180 240 300 360

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

u u (V)

i (A)

t (s)

ω

RI

U

Obr. 7.2 Časový a vektorový diagram pre obvod s R

iR

93

prechádza ním elektrický prúd 0R cosUI t

Rω= , ktorý je s napätím vo fáze tak, že súčasne s napätím

dosahuje maximálnu, resp. minimálnu hodnotu (obr. 7.2). Ak k zdroju striedavého napätia u = U0 cos ωt pripojíme ideálnu cievku s vlastnou indukčnosťou L,

dochádza k samoindukcii, ktorá spôsobuje časové oneskorenie prúdu za napätím. Časová závislosť

prúdu pretekajúceho cievkou má tvar 0 0L L

L

π π πcos( ) cos( ) cos( )2 2 2

U Ui t t I tX L

ω ω ωω

= − = − = − , kde

výraz XL = ω L je induktívna reaktancia (induktancia), ktorej komplexný tvar je Lˆ ˆ ˆ/ jX U I Lω= = .

Ak k zdroju striedavého napätia u = U0 cosωt pripojíme ideálny kondenzátor s elektrickou kapacitou C, kondenzátor sa začne okamžite nabíjať. V dôsledku nabíjacieho procesu registrujeme napätie na kondenzátore, čo má za následok časové oneskorenie napätia za prúdom, t.j. predbiehanie prúdu pred napätím o π/2 (obr. 7.3).

Časová závislosť prúdu pretekajúceho kondenzátorom má tvar:

0C C 0

C

π π πcos( ) cos( ) cos( )2 2 2

Ui t I t U C tX

ω ω ω ω= + = + = + , kde výraz XC = 1/ω C sa nazýva

kapacitná reaktancia (kapacitancia), ktorý sa v komplexnom tvare vyjadrí ako Cˆ ˆ ˆ/ 1/ jX U I Cω= = .

Impedancia Z elektrického obvodu tvoreného prvkami R, L, C sa vyjadrí v komplexnom tvare vzťahom ˆ ˆ ˆ/ jZ U I R X= = ± , kde R je rezistancia a X je reaktancia. Znamienko „+“ platí pre prípad, že prevláda indukčný charakter obvodu (ω L > 1/ω C) a znamienko „–“ pre prípad dominantného kapacitného charakteru obvodu (ω L < 1/ω C). Modul impedancie sa vyjadrí ako 2 2Z R X= + a veľkosť prúdu i, ktorý tečie obvodom je i = u/Z. V prípade sériového obvodu RLC platí

22 1Z R L

Cω

ω⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

a

1

tgL

CR

ωωϕ

−= , kde ϕ je fázový posun medzi napätím a prúdom (obr. 7.4).

CI

LI

U0 60 120 180 240 300 360

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

u

u (V)

i (A)

t (s)

Obr. 7.3 Časový a vektorový diagram pre obvod s L, resp. C.

iLiC

0 60 120 180 240 300 360

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

u

u (V)

i (A)

t (s)

Obr. 7.4 Obvod RLC a jeho vektorový diagram

R L C

U

~

iLiRiC

94

Rezonancia pri sériovom obvode RLC nastáva vtedy, keď frekvencia f spĺňa vzťah 1

2πf

LC= a prejavuje sa tak, že obvodom preteká maximálny prúd Ui

R= . Pri rezonancii obvodu

RLC je fázové posunutie medzi prúdom a napätím nulové. Netlmené elektrické kmity Ak dodáme paralelnému obvodu LC energiu (napr. nabijeme kondenzátor), začne sa obvod správať ako elektrický oscilátor, ktorý kmitá s periódou 2πT LC= . Počas kmitania dochádza k neustálej premene energie z jej elektrickej formy na magnetickú a naopak. Napätie na kondenzátore sa mení podľa vzťahu ( )0 0cosu U tω α= + a prúd v obvode ( )0 0cos π / 2i I tω α= + + , kde 0 1/ LCω = . Amplitúda napätia na kondenzátore U0 je spojená s amplitúdou prúdu I0 v obvode vzťahom

0 0 /U I L C= . Tlmené elektrické kmity Každý reálny obvod má vždy elektrický odpor. Energia, ktorú má na začiatku nabitý kondenzátor sa postupne mení na tepelnú, čo sa prejavuje zahrievaním obvodu. V dôsledku toho sa netlmené elektrické kmity stávajú tlmenými a napätie na kondenzátore sa mení podľa vzťahu

( )0 0e cosbtu U tω α−= + , kde b = R/2L nazývame koeficient tlmenia a ω je uhlová frekvencia

tlmených kmitov 2 20 bω ω= − . Vidíme, že uhlová frekvencia tlmených kmitov je menšia ako uhlová

frekvencia netlmených kmitov ω0. Výraz Q = ω L / R nazývame kvalita rezonančného obvodu. 7.2 Otázky a problémy 1. Čo je to efektívna hodnota elektrického prúdu a efektívna hodnota elektrického napätia? 2. Čo je to rezistor, cievka (solenoid) a kondenzátor a k čomu slúžia? 3. Vyskytujú sa v prírode (t.j. bez zásahu človeka) harmonické striedavé prúdy? 4. Uveďte spôsoby výroby jednosmerného a striedavého elektrického prúdu! 5. Prečo je výhodnejšie pracovať so striedavým prúdom ako s jednosmerným? 6. Aký typ striedavého prúdu sa používa v Európe a aký v USA/Kanade? (Uveďte hodnoty

amplitúdy napätia, efektívneho napätia a frekvenciu.) Aký to má dosah na náš bežný život? 7. V čom je nebezpečný pre človeka jednosmerný a v čom striedavý elektrický prúd? 8. Môžu elektrolyzéry priamo pracovať so striedavým elektrickým prúdom? 9. Prečo sa v zásuvke vyskytujú tri vodiče? Sú nevyhnutne potrebné pre chod elektrického spotrebiča

všetky tri? 10. Koľko výstupov má zásuvka na trojfázový striedavý prúd? Aké výhody poskytuje trojfázový prúd

voči bežnému jednofázovému? 11. Aké je efektívne napätie elektrického zdroja, keď amplitúda napätia je U0 = 300 V? 12. Ampérmeter na striedavý prúd ukazuje efektívnu hodnotu Ief = 1 A. Aká je maximálna hodnota

(amplitúda) prúdu? 13. Prúd sa mení podľa vzťahu i = I0 cos ωt, kde I0 je amplitúda prúdu a ω = 2π / T (T je perióda).

Aká je stredná a efektívna hodnota prúdu za jednu periódu? 14. Aké je fázové napätie trojfázového prúdu pri zapojení do hviezdy, keď združené napätie Us = 380 V? 15. Aký je združený prúd pri zapojení trojfázového prúdu do trojuholníka, keď fázový prúd If = 6 A? 16. Pri akom zapojení trojfázového prúdu je fázový prúd rovnaký ako združený? 17. Ako sa zmení kapacitancia a induktancia XC a XL, keď zväčšíme kapacitu a indukčnosť n-krát? 18. Aké veľké je výsledné striedavé napätie v obvode, v ktorom sú za sebou zapojené dva zdroje

striedavého napätia rovnakej frekvencie s amplitúdami U1 = 40 V a U2 = 50 V? Uvažujme, že napätie U2 predbieha napätie U1 o fázový uhol ϕ = 60°.

19. Elektrický stroj je pripojený na striedavé napätie Uef = 220 V a preteká ním prúd I = 1A. Vypočítajte účinník stroja, ak jeho výkon je P = 176 W.

20. Aký výkon má trojfázový generátor na napätie Us = 6300 V, ktorý produkuje prúd Is = 200 A pri cos ϕ = 0,8?

95

21. Vypočítajte, aký prúd odoberá zo siete s napätím Uef = 220 V elektrický stroj výkonu P = 1 kW, ktorého účinník cos ϕ = 0,8 a pracuje s účinnosťou η = 0,9.

22. Sériový obvod RLC je vybraný tak, že prúd pretekajúci cez obvod je (I = U / R) maximálny. Ako sa zmení prúd v obvode, keď cievku a kondenzátor zapojíme paralelne?

23. Sériový obvod pozostávajúci z rezistora s elektrickým odporom R a z kondenzátora s elektrickou kapacitou C je pripojený na striedavé napätie U frekvencie f. Ako sa zmení prúd v obvode, keď zväčšíme frekvenciu f?

24. Sériový obvod pozostávajúci z rezistora s elektrickým odporom R a z cievky s indukčnosťou L je pripojený na striedavé napätie U frekvencie f. Ako sa zmení prúd v obvode, keď zväčšíme frekvenciu?

25. Sériový obvod RLC je pripojený na striedavé napätie U s frekvenciou f. Keď zväčšíme frekvenciu zdroja, prúd v obvode sa zmení. Ako podľa zmeny prúdu môžeme usudzovať o charaktere obvodu?

26. Ako treba zmeniť vzdialenosť dosiek kondenzátora v oscilačnom obvode, keď chceme, aby rezonancia obvodu nastala pri kratších vlnových dĺžkach?

27. Elektrická kapacita kondenzátora oscilačného obvodu prijímača je C = 1 nF. Pri akej vlnovej dĺžke nastane rezonancia obvodu, keď podiel amplitúdy napätia a amplitúdy prúdu je pri rezonancií rovný jednej?

28. Rezistancia oscilačného obvodu je R = 0,33 Ω. Aký výkon treba obvodu dodávať, aby sa v ňom udržali netlmené oscilácie s amplitúdou prúdu I0 = 30 mA?

29. Oscilačný obvod v rozhlasovom prijímači pozostáva z cievky s indukčnosťou L = 1 mH a kondenzátora, ktorého elektrická kapacita sa môže meniť od hodnoty C1 = 9,7 pF až do hodnoty C2 = 92 pF. Vypočítajte vlnový rozsah tohto prijímača!

30. Vlastná frekvencia oscilačného obvodu je f0 = 8 kHz, kvalita obvodu je Q = 72 a indukčnosť cievky L = 1 mH. Aká je elektrická rezistancia cievky?

7.3 Riešené príklady 7.1 Cievka tvaru obdĺžnika (a = 0,01 m, b = 0,05 m) s počtom závitov N = 100 sa rovnomerne otáča

v homogénnom magnetickom poli s indukciou B = 0,1 T okolo osi kolmej na smer poľa, pričom sa v nej indukuje elektromotorické napätie s amplitúdou U0 = 1,75 V. Vypočítajte frekvenciu otáčania cievky!

Riešenie Indukčný tok cez všetky závity cievky sa dá vyjadriť vzťahom cos cosN S B N ab BΦ α α= = , kde α je uhol medzi vektormi B a S. Pri rovnomernom otáčaní cievky sa uhol mení podľa vzťahu tα ω= . Indukované elektromotorické napätie je podľa Faradayovho zákona definované vzťahom

ind 0d sin sind

N ab B t U tt

Φ ω ω ω= − = =E . Pretože 0 2πU N ab B N ab B fω= = , môžeme frekvenciu

vypočítať ako 0 1,57 502π 2π 100 0,01 0,05 0,1

UfN ab B

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Hz.

7.2 Elektrický prúd sa s časom mení podľa obr. 7.5. Vypočítajte efektívnu hodnotu prúdu, keď I0 = 1A. Riešenie

Efektívna hodnota časovo premenného prúdu je taká hodnota jednosmerného prúdu, ktorý má rovnaké tepelné účinky ako prúd premenný. Z dôvodu symetrie stačí počítať len pre 0,5 T. Za pol periódy prúd dosiahne amplitúdu I0 = 1 A a jeho závislosť od času je i = k t, kde k je konštanta úmernosti a určíme ju zo vzťahu I0 = 0,5 k T, teda k = 2 I0 / T. Tepelné účinky prúdu sú úmerné štvorcu prúdu, preto:

96

2/ 2

2 0ef

0

21 d/ 2

T I tI tT T

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫

2 232 0 0ef 2

41 1/ 2 8 3 3

I ITIT T

= = ,

teda 0ef 0,577

3II = = A.

7.3 Trojfázová elektrická pec má tri vyhrievacie

telesá, každé má elektrický odpor R = 10 Ω. Združené napätie je Us = 380 V. Vypočítajte fázové napätie Uf , fázové a združené hodnoty elektrických prúdov If , Is a príkony jednotlivých telies ako aj celej pece v prípade, že vyhrievacie telesá sú zapojené: a) do trojuholníka, b) do hviezdy podľa obr. 7.6 a) b).

Riešenie

a) Pri zapojení do trojuholníka je na všetkých vyhrievacích telesách rovnako veľké združené napätie a pre fázové napätie platí : Uf = Us = 380 V. Pre veľkosti elektrických prúdov pretekajúcich rezistormi platí:

sf

UIR

= = 38 A.

Združená hodnota prúdu: s f3I I= = 65,8 A. Príkon každého z telies je:

2s

1UPRΔ = = 14,44 kW.

Príkon celej pece: 2s

s s s f 13 cos 3 3 3 3UP U I U I PR

ϕΔ Δ= = = = = 43,32 kW.

b) Pri zapojení do hviezdy sú napätia na všetkých troch telesách rovnako veľké, rovné fázovému

napätiu siete: sf 3

UU = = 220 V. Prúdy pretekajúce jednotlivými telesami sú fázové prúdy:

ff

UIR

= = 22 A a pre združený prúd v tomto zapojení platí: s fI I= = 22 A. Príkon jedného telesa je: 22sf 1

1 3 3UU PP

R RΔ

∗ = = = = 4,81 kW, celkový príkon pece:

2sf

s s s 13 cos 3 3 333

UU PP U I U PR R

ϕ Δ∗ ∗= = = = = = 14,44 kW.

(Pri čisto ohmickej záťaži je účinník cosφ = 1). Príkony jednotlivých vyhrievacích telies ako aj celej pece sú pri zapojení do trojuholníka trikrát väčšie ako pri zapojení do hviezdy. 7.4 Sériový obvod zložený z rezistora s elektrickým odporom R = 300 Ω, cievky s vlastnou

indukčnosťou L = 1,27 H, kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 1,59 μF je pripojený na zdroj striedavého napätia Uef = 127 V a frekvencie f = 50 Hz. Vypočítajte impedanciu obvodu, prúd v obvode, napätie na kondenzátore, napätie na cievke a fázové posunutie medzi prúdom a napätím.

T

I0

i

t

Obr.7.5

R

R

RIs

Is

Is

R R

RIs =If

Is

IsObr. 7.6

a) b)

97

Riešenie

Impedanciu obvodu určíme vzťahom: 2

2 1Z R LC

ωω

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

, pričom ω = 2π f.

Číselne 26

2 10300 2 50 1,27 1630,82 50 1,59

Z ππ

⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

Ω.

Prúd v obvode ef ef / 127 /1630,8 0,078I U Z= = = A. Napätie na kondenzátore 6

ef-C ef ef/ / 2π 0,078/(2π 50 1,59 10 ) 156,15U I C I f Cω −= = = ⋅ ⋅ ⋅ = V. Napätie na cievke ef-L ef ef 2π 0,078 2π 50 1,27 31,12U I L I f Lω= = = ⋅ ⋅ ⋅ = V. Fázové posunutie medzi prúdom a napätím určíme pomocou vzťahu:

61 1 102π 2π 50 1,272π 2π 50 1,59tg 5,34

300

L f LC f C

R R

ωωϕ

− − ⋅ ⋅ −⋅ ⋅= = = = − ϕ = –79,4°

7.5 Rezistor s elektrickým odporom R = 30 Ω a kondenzátor s elektrickou kapacitou C, ktorého

kapacitná reaktancia pri frekvencií f = 50 Hz je XC = 50 Ω, sú zapojené paralelne a pripojené k zdroju striedavého napätia Uef = 100 V s frekvenciou f = 50 Hz. Vypočítajte impedanciu Z celého obvodu, prúd Ief v obvode, prúd Ief–C v kondenzátore a fázové posunutie ϕ medzi napätím a prúdom Ief.

Riešenie Prúd v kondenzátore predbieha napätie, prúd v odpore je vo fáze s napätím (pozri obr. 7.7). Podľa

Pytagorovej vety platí 2 2 2ef ef-C ef-RI I I= + alebo

2 2 2ef ef ef2 2 2

CZ XU U U

R= + .

Po úprave dostaneme pre impedanciu obvodu vzťah C2 2C

X 30.50 25,7900 2500X

RZR

= = =++

Ω. Prúd v

obvode ef ef / 100 / 25,7 3,89I U Z= = = A. Prúd v rezistore ef-R ef / 100 /30 3,33I U R= = = A. Prúd cez vetvu s kondenzátorom ef-C ef C/ 100 / 50 2I U X= = = A. Fázové posunutie medzi prúdom a napätím

podľa obr. 7.5 je ef-C

ef-R

tg 0,6II

ϕ = = , teda ϕ = 31°.

7.6 V elektrickom obvode podľa obr. 7.8 určte výslednú impedanciu obvodu, elektrický prúd

pretekajúci rezistorom Ief a fázový posun medzi týmto prúdom a napätím. Parametre obvodu sú: R = 53 Ω, C = 30 μF, L = 150 mH, Uef = 220 V, f = 50 Hz. Pri riešení použite metódu komplexnej impedancie!

Riešenie

Pre výslednú komplexnú impedanciu pri sériovom radení prvkov siete platí ˆ ˆi

iZ Z= ∑ a pri ich

R CU ~

Obr. 7.7

UefIef-R

Iefϕ

Ief-C

98

paralelnom zapojení: 1 1ˆ ˆi iZ Z

= ∑ . V našom prípade bude výsledná

komplexná impedancia R CLˆ ˆ ˆZ Z Z= + , kde CLZ dostaneme:

CL C L

1 1 1ˆ ˆ ˆZ Z Z

= + , pričom pre jednotlivé impedancie platí:

R C L1ˆ ˆ ˆ, , j

jZ R Z Z L

Cω

ω= = = .

Potom 2 2 2

CL

1 1 j 1 1jˆ j j jC L C LC

L L LZω ωω

ω ω ω+ −

= + = = . Výsledná komplexná impedancia obvodu je:

R CL 2

jˆ ˆ ˆ1

LZ Z Z RC L

ωω

= + = +−

. Z vlastností komplexných čísel potom dostávame modul impedancie:

2 2

22 2(1 )LZ RC L

ωω

= +−

100 Ω.

Hľadaný prúd: efef

UIZ

= 2,2 A a fázový posun medzi týmto prúdom a napätím je:

2tg(1 )

LR C L

ωϕω

=−

1,6 58ϕ⇒ = .

7.7 Kondenzátor s elektrickou kapacitou C je nabitý na napätie U0. Aký bude časový priebeh napätia

na kondenzátore, keď ho skratujeme cez rezistor s elektrickým odporom R? Riešenie

Na začiatku v čase t = 0 s je uC = U0. Po čase je napätie na kondenzátore CQuC

= , kde Q je náboj na

kondenzátore. Napätie na rezistore Ru R i= . Tieto napätia sú rovnaké uC = uR, alebo Q RiC

= .Túto

rovnicu zderivujme podľa času a využijeme, že ddQit

= − . Úpravou dostaneme dd

i iRC t

− = . Separujme

premenné a následne integrujme. Dostaneme 0

ln i tI RC

= − , resp. 0et

RCi I−

= . Pretože v čase t = 0 s je

U0 = R I0 , potom 0 et

R CUiR

−

= . Napätie na kondenzátore C 0 et

RCU R i U−

= = .

7.8 Cievku s vlastnou indukčnosťou L = 1 H a s elektrickým odporom R = 1 Ω v čase t = 0 s

pripojíme na konštantné napätie U0 = 10 V. Vypočítajte čas, za ktorý dosiahne prúd ustálenú hodnotu s presnosťou 0,01%.

Riešenie

Podľa 2. Kirchhoffovho zákona pre obvod platí 0dd

iU L R it

− = . Ak ustálená hodnota prúdu 00

UIR

= ,

rovnicu možno upraviť na tvar 0dd

L ii IR t

− = − . Separujme premenné a integrujme rovnicu:

00 0

d di ti R ti I L

= −−∫ ∫

(Pri určovaní integračných hraníc je potrebné si uvedomiť, že v čase t = 0s netečie obvodom žiaden prúd).

~R C

L

U

Obr. 7.8

99

Potom 0 (1 e )R tLi I

−= − . Pretože podľa zadania hľadáme čas, kedy 4

0 010I i I−− = , resp.

4ln10R tL

− = − , hľadaný čas 4 4.1ln10 ln10 9,21

LtR

= = = s.

7.9 Oscilačný obvod tvoria kondenzátor s elektrickou kapacitou C = 500 pF a cievka dĺžky ℓ = 40 cm,

prierezu S = 5 cm2 a s počtom závitov N = 1000. Vypočítajte frekvenciu kmitov! Riešenie

Indukčnosť cievky L určíme vzťahom 2

0N SL μ= . Z podmienky rezonancie obvodu 1L

Cω

ω= ,

kde ω = 2π f, vypočítame frekvenciu kmitov: 12

57 4

0

1 1 1 1 0,40.10 1,79 102π 2π 2π 1000 4π 10 5 10 500

fLC N S Cμ − −= = = = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Hz.

7.10 Oscilačný obvod pozostáva z doskového kondenzátora s plochou S = 100 cm2 a cievky

indukčnosti L = 1 μH. Vypočítajte vzdialenosť dosiek kondenzátora, keď rezonancia obvodu nastáva pri vlnovej dĺžke λ = 10 m.

Riešenie

Kapacitu doskového kondenzátora vypočítame zo vzťahu 0SCd

ε= , kde d je vzdialenosť dosiek

kondenzátora. Perióda oscilácií je daná vzťahom 2T LCπ= . Vlnová dĺžka, pri ktorej nastáva

rezonancia je 0c 2πc ST Ld

λ ε= = , kde c je rýchlosť šírenia elektromagnetických vĺn vo vákuu.

Po umocnení a úprave dostaneme vzťah pre výpočet vzdialenosti dosiek kondenzátora 2 2 2 8 2 6 12 6 2 2 3

04π c 4π (3 10 ) 1 10 8,85 10 10 10 /10 3,14 10Sd Lελ

− − − − −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ m.

7.11 Oscilačný obvod pozostáva z kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 8 pF a z cievky s

indukčnosťou L = 0,5 mH. Na aké napätie bol nabitý kondenzátor, keď amplitúda elektrického prúdu pretekajúceho cievkou je I0 = 40 mA? Aká je perióda vlastných kmitov?

Riešenie

Pri elektrických kmitoch dochádza k premene elektrickej energie kondenzátora na energiu

magnetického poľa cievky a naopak. Energia elektrického poľa kondenzátora je 2C 0

12

E CU= . Energia

magnetického poľa cievky je 2L 0

12

E L I= , kde I0 je amplitúda elektrického prúdu pretekajúceho

cievkou. Z rovnosti energií C LE E= určíme napätie, na ktoré bol nabitý kondenzátor 3

0 0 12

0,5 100,040 3178 10

LU IC

−

−

⋅= = =

⋅V.

Periódu kmitov vypočítame podľa vzťahu 3 12 72π 2π 0,5 10 8 10 3,97 10T LC

− − −= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ s. 7.12 Oscilačný obvod pozostáva z doskového kondenzátora a cievky, ktorá má zanedbateľný

elektrický odpor. V oscilačnom obvode vznikli elektrické kmity s energiou Ep0. Po oddialení dosiek kondenzátora frekvencia kmitov sa zväčšila n-krát. Vypočítajte prácu, ktorá bola vykonaná pri oddialení dosiek kondenzátora.

100

Riešenie

Počiatočná energia kondenzátora súvisí s kapacitou kondenzátora a s napätím vzťahom 2

p0 0 012

E C U= . Po oddialení dosiek kondenzátora sa zmení kapacita kondenzátora z hodnoty

0 00

SCd

ε= na hodnotu 1 01

SCd

ε= , kde d1 je vzdialenosť dosiek po oddialení. Intenzita elektrického

poľa v kondenzátore sa nezmenila, t.j. 0 1E E= alebo 0 1

0 1

U Ud d

= . Novú energiu kondenzátora je potom

možné vyjadriť vzťahom 2 2 1p1 1 1 0 0

0

1 12 2

dE C U C Ud

= = . Práca vykonaná pri oddialení dosiek je rovná

2 1 1p1 p0 0 0 p0

0 0

1 ( 1) ( 1)2

d dW E E C U Ed d

= − = − = − , kde podiel d1/d0 určíme zo zmeny frekvencie

kmitov 1 0nf f= , t.j. 1 0

1 1n2π 2πLC LC

= , odkiaľ 20

1

nCC

= alebo 21

0

ndd

= . Pre prácu potom

dostaneme 2p0 (n 1)W E= − .

7.4 Neriešené príklady 7.13 Kruhový závit polomeru R = 10 cm sa otáča v homogénnom magnetickom poli indukcie B = 0,1 T.

Os otáčania je kolmá na magnetické pole. Vypočítajte efektívnu hodnotu napätia indukovaného v závite, keď frekvencia otáčania závitu je f = 50 Hz.

7.14 Trojfázový elektrický šporák pripojený na trojfázovú sieť so združeným napätím Us = 380 V má

vyhrievacie telesá zapojené do trojuholníka. Prívodný elektrický prúd Is = 10 A. Vypočítajte veľkosť prúdu cez vyhrievacie teleso, elektrický odpor telesa a príkon šporáka.

7.15 Trojfázový elektromotor má výkon Pm = 1,6 kW pri účinnosti η = 0,8. Vypočítajte veľkosť

elektrického prúdu odoberaného zo siete, ak má motor účinník 0,6. 7.16 Na štítku elektromotora sú údaje: P = 4,5 kW, η = 90 %, U = 380/220 V, cos φ = 0,8. Aký veľký

elektrický prúd odoberá motor zo siete? 7.17 V sériovom obvode je zapojená cievka s indukčnosťou L = 0,1 H s elektrickým odporom R na

striedavé napätie frekvencie f = 50 Hz. Vypočítajte elektrický odpor R, keď fázové posunutie medzi prúdom a napätím je ϕ = 30°. Akú elektrickú kapacitu musí mať kondenzátor zapojený do série s cievkou, aby účinník obvodu bol rovný jednej?

7.18 Sériový obvod zložený z rezistora s elektrickým odporom R = 22 Ω, cievky indukčnosti L = 0,3 H

a kondenzátora premennej elektrickej kapacity je pripojený na zdroj striedavého napätia Uef = 110 V a frekvencie f = 50 Hz. Voltmetrom meriame napätie na cievke. Kapacitu kondenzátora meníme tak, aby napätie na cievke bolo maximálne. Vypočítajte napätie na cievke, elektrický prúd v obvode, ako aj elektrickú kapacitu kondenzátora.

7.19 Kondenzátor zapojený v sérii s rezistorom s elektrickým odporom R = 600 Ω na zdroj s

frekvenciou f = 50 Hz prepneme na nový zdroj s rovnakým napätím, ale dvojnásobnej frekvencie. Vypočítajte elektrickú kapacitu kondenzátora C, keď prúd v obvode vzrástol 1,5-krát.

101

7.20 Solenoid dĺžky ℓ = 0,5 m, prierezu S = 0,001 m2 s počtom závitov N = 3000 a elektrickým odporom R = 20 Ω je pripojený na striedavé napätie Uef = 120 V. Vypočítajte veľkosť prúdu, ktorý preteká solenoidom pri frekvencii 50 Hz.

7.21 Cievkou indukčnosti L = 1,5 mH prechádza elektrický prúd i = I0 sin ωt, kde I0 = 1A a ω = 314 s–1.

Vypočítajte maximálnu hodnotu napätia, ktoré sa indukuje v cievke. 7.22 Sériový obvod zložený z rezistora s elektrickým odporom R = 100 Ω, cievky indukčnosti L = 1 H,

kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 1 μF je pripojený na zdroj striedavého napätia frekvencie 50 Hz! Vypočítajte fázové posunutie medzi prúdom a napätím. Aký charakter (kapacitný alebo induktívny) má obvod?

7.23 Sériový obvod pozostávajúci z rezistora s elektrickým odporom R = 100 Ω, cievky s

indukčnosťou L = 0,2 H a kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 0,1 μF je pripojený na zdroj striedavého napätia Uef = 220 V a frekvencie 50 Hz. Vypočítajte impedanciu obvodu, prúd v obvode a účinník obvodu.

7.24 Sériový obvod pozostávajúci z rezistora s elektrickým odporom R = 220 Ω, cievky s

indukčnosťou L = 0,2 H a kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 1 μF je pripojený na zdroj striedavého napätia U0 = 110 V a frekvencie 50 Hz. Vypočítajte výkon elektrického prúdu v obvode!

7.25 Na zdroj striedavého napätia U = 100 V je pripojená cievka s induktívnou reaktanciou XL = 30 Ω

a impedanciou Z = 50 Ω. Vypočítajte fázové posunutie medzi prúdom a napätím, ako aj množstvo tepla, ktoré vznikne v cievke za 1 minútu.

7.26 Akú elektrickú kapacitu musí mať kondenzátor pripojený sériovo k žiarovke príkonu P = 40 W

určenej na napätie Uef-1 = 120 V, aby mohla byť pripojená k striedavému napätiu Uef-2 = 220 V s frekvenciou f = 50 Hz? Aké bude napätie na kondenzátore Uef-C? Aké je fázové posunutie medzi prúdom a napätím?

7.27 Nájdite spôsob zapojenia rezistora s elektrickým odporom R = 20 kΩ, cievky indukčnosti L,

kondenzátora s elektrickou kapacitou C na zdroj striedavého napätia frekvencie f = 50 Hz tak, aby cievkou a kondenzátorom prechádzal 10-krát väčší prúd ako prúd v rezistore. Vypočítajte hodnotu vlastnej indukčnosti cievky L a elektrickú kapacitu kondenzátora C!

7.28 Žiarovka s elektrický odporom R = 440 Ω je zapojená v sérii s kondenzátorom, ktorého

elektrická kapacita je C = 8 μF, na zdroj striedavého napätia Uef = 220 V a frekvencie f = 50 Hz. Vypočítajte napätie na žiarovke a fázové posunutie medzi prúdom a napätím!

7.29 Vypočítajte amplitúdu A kmitov elektrónov v medenom drôte prierezu S = 1 mm2, ak ním

prechádza striedavý prúd s efektívnou hodnotou Ief = 1 A a frekvenciou f = 50 Hz. Počet vodivostných elektrónov v 1 m3 drôtu je n = 8,5.1028 m–3.

7.30 Oscilačný obvod pozostáva z dvoch paralelne zapojených kondenzátorov s elektrickými

kapacitami C1 = 1 μF, C2 = 4 μF a z cievky indukčnosti L = 0,05 H. Kondenzátory sú nabité na napätie U0 = 200 V. Vypočítajte periódu vlastných kmitov a amplitúdu prúdu, pretekajúceho cievkou.

7.31 Oscilačný obvod pozostáva z kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 1,11 nF a cievky

indukčnosti L = 4 μH. Vypočítajte vlnovú dĺžku, pri ktorej nastane rezonancia obvodu.

102

7.32 Oscilačný obvod je zložený z cievky indukčnosti L = 0,07 H a doskového kondenzátora s plochou S = 0,45 m2. Dosky kondenzátora sú oddelené vrstvičkou sľudy, ktorej relatívna permitivita εr = 7. Vypočítajte hrúbku vrstvičky sľudy, keď v obvode vznikli elektrické oscilácie s periódou T = 1,6 · 10–4 s a elektrický odpor R obvodu považujte za zanedbateľný.

7.33 Oscilačný obvod pozostáva z kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 40 nF a z cievky

indukčnosti L = 1,6 mH. Aká je amplitúda prúdu v cievke, keď kondenzátor bol nabitý na napätie U0 = 200 V?

7.34 Oscilačný obvod pozostáva z kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 1 nF, cievky indukčnosti

L = 6 μH a rezistora s elektrickým odporom R = 0,5 Ω. Aký výkon treba dodávať do obvodu, aby sa v ňom udržiavali netlmené elektrické kmity s amplitúdou napätia na kondenzátore U0 = 10 V?

103

103

8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky

8.1 Úvod Zo vzájomnej väzby a vzťahov medzi vektormi elektrickej intenzity a intenzity magnetického poľa vyjadrených Maxwellovými rovnicami vyplývajú vlnové rovnice pre E a H a existencia postupnej elektromagnetickej vlny. Pod elektromagnetickým vlnením rozumieme v priestore sa šíriace zmeny elektrického a magnetického poľa. Tieto sú neoddeliteľne spojené, nemôžu existovať samostatne, preto hovoríme o elektromagnetickom vlnení. Elektromagnetické vlnenie je vlnenie priečne a v neohraničenom vákuu, alebo izotropnom prostredí, sú vektory E a H navzájom kolmé a sú tiež kolmé na smer šírenia vlnenia. Fázová rýchlosť elektromagnetického vlnenia vo vákuu je

0 0

1 cε μ

= =v . Skutočnosť, že táto rýchlosť sa rovná rýchlosti svetla vo vákuu viedla Maxwella k

domnienke, že svetlo je vlastne elektromagnetické vlnenie vysokej frekvencie. V dielektriku je fázová

rýchlosť elektromagnetickej vlny určená vzťahom 0 r 0 r

1ε ε μ μ

=v .

Pre absolutný index lomu n, ktorý je definovaný ako podiel rýchlosti svetla vo vákuu a v danom

prostredí platí r rcn ε μ= =v

.

Elektromagnetická vlna je lineárne polarizovaná, ak kmity vektora E resp. H ležia v jednej rovine. Na obr. 8.1 sú zobrazené vektory E a H rovinnej lineárne polarizovanej monochromatickej

elektromagnetickej vlny postupujúcej vo vákuu, alebo v izotropnom dielektriku, ktorej vektor elektrickej intenzity kmitá v smere osi y. Pre takúto vlnu sú fázy elektrického a magnetického poľa rovnaké a elektromagnetickú vlnu môžeme vyjadriť napr. vlnovými funkciami 0 cos( )yE E t kxω= − a

0 cos ( )zH H t kxω= − , kde k je vlnové číslo definované vzťahom 2πkλ

= .Vlnová dĺžka cf

λ = .

Rýchlosť elektromagnetickej vlny vo vákuu t.j. rýchlosť svetla c je základná prírodná konštanta a po rôznych meraniach bola stanovená na hodnotu c = 299 792 458 m⋅s–1. (Dnes slúži za základ pre definíciu ďalších konštánt a jednotky dĺžky!)

Veľkosti okamžitých hodnôt elektrickej intenzity a magnetickej intenzity spolu súvisia a pre ich

pomer platí EH

με

= . Pre vákuum si ľahko zapamätáme, že platí cEB= , resp. 0

0 00

E c ZH

μ με

= = = .

Charakteristická impedancia vákua Z0 je tiež jedna z prírodných konštánt, jej hodnota je Z0 = 376,73 Ω. Hustotu toku energie prenášanej elektromagnetickou vlnou za jednotku času vyjadruje

Poyntingov vektor S = E × H. Veľkosť S sa rovná okamžitej hodnote energie prenášanej

E

Hx

y

z

Obr. 8.1

104

elektromagnetickou vlnou jednotkovou plochou kolmou na smer šírenia vlnenia za jednotku času. Smer vektora S určuje v každom bode smer šírenia energie. Pre rovinnú elektromagnetickú vlnu je smer Poyntingovho vektora rovnaký ako smer fázovej rýchlosti. Vo vákuu pre veľkosť okamžitého

toku energie platí 2

2

0 0

1 ES Ec Zμ

= = . Praktický význam má časová stredná hodnota S , ktorej

hovoríme intenzita elektromagnetickej vlny I. Vo vákuu platí 2ef

0

1I Ecμ

= , kde 0ef 2

EE = .

Intenzita závisí na vzdialenosti od zdroja. Ak je zdroj bodový a izotropný a jeho výkon je P,

potom intenzita vo vzdialenosti r od zdroja sa rovná 24πPIr

= .

Elektromagnetické vlnenie má okrem energie aj hybnosť a jej dôsledkom je radiačný tlak. Ak rovinná vlna dopadá kolmo na absorbujúcu, resp. odrazovú plochu, potom pri úplnej absorbcii je

radiačný tlak rIpc

= , pri úplnom odraze je radiačný tlak dvojnásobný.

Nepolarizované svetlo pozostáva z elektromagnetických vĺn s náhodne orientovanými smermi E. Svetlo možno polarizovať odrazom, dvojlomom, alebo polarizátormi. Smer polarizácie polarizátora definujeme ako smer, v ktorom bez pohltenia prechádza vektor elektrickej intenzity. Ak intenzita

nepolarizovaného svetla dopadajúceho na polarizátor je I0, po polarizácii je jeho intenzita 0 .2I

I = Ak

na polarizátor dopadá už polarizovaná vlna a uhol medzi rovinou kmitov E a smerom novej polarizácie je θ, potom pre intenzitu vlnenia prejdeného polarizátorom platí 2

0 cosI I θ= . Ak na rozhranie prostredí dopadá svetelná vlna môže dochádzať k odrazu a lomu. Odrazený aj lomený lúč ležia v rovine určenej kolmicou na rozhranie a dopadajúcim lúčom. Nech α je uhol medzi kolmicou dopadu a odrazeným lúčom a β je uhol medzi kolmicou a lomeným lúčom. Pre odraz platí zákon odrazu, podľa ktorého uhol odrazu rovná sa uhlu dopadu α = ,α . Pre lom platí zákon lomu – Snellov zákon, podľa ktorého 1 2sin sinn nα β= , kde n1, n2 sú absolútne indexy lomu daných prostredí. Ak svetlo prechádza rôznymi prostrediami, mení sa jeho vlnová dĺžka. Väčšiemu indexu lomu odpovedá menšia vlnová dĺžka. Ak dokonale monochromatické svetlo má vo vákuu vlnovú

dĺžku λ, potom v prostredí s absolútnym indexom lomu n jeho vlnová dĺžka bude n nλλ = . Fázový

rozdiel medzi dvomi svetelnými vlnami sa môže zmeniť, ak prechádzajú rôznymi prostrediami. Na rozhraní prostredí dochádza k úplnému odrazu ak svetlo dopadá pod uhlom väčším, alebo

rovným medznému uhlu, pre ktorý platí 1

2m arcsin n

nα = .

Pri odraze dochádza k úplnej polarizácii odrazeného lúča ak lúč dopadá na rozhranie pod

Brewsterovým uhlom 2B

1

arctg nn

α = .

Vlnový charakter svetla sa okrem polarizácie prejavuje interferenciou, difrakciou a disperziou svetla. Interferencia svetla je skladanie svetelných vlnení, prejavujúce sa zosilením a zoslabením intenzity svetla. Interferenciu môžeme pozorovať ak interferujúce lúče sú koherentné. Koherentné sú svetelné vlny rovnakej frekvencie, ktorých fázový rozdiel kmitov a smer je v čase konštantný. V reálnej svetelnej vlne je problém koherencie zložitejší, pretože prísne vzaté ideálne monochromatická vlna v prírode neexistuje. Hovoríme preto o časovej a priestorovej koherencii.

V prírode často pozorovaná interferencia je interferencia na tenkej vrstve. Pri interferencii na tenkej vrstve hrúbky d s indexom lomu n pozorujeme interferenčné maximá a minimá v prejdenom a v odrazenom svetle. Ak svetlo dopadá z prostredia s indexom lomu n1 na tenkú vrstvu s indexom lomu

n2, potom pozorujeme v odrazenom svetle maximá ak ( )22 cos 2 12

n d k λβ = + , minimá ak

22 cosn d kβ λ= pre k = 0, 1, 2, ... V prejdenom svetle sú podmienky pre maximá a minimá opačné.

105

Pri prechode svetla prostredím pre posúdenie interferencie musíme uvažovať optickú dráhu. Optická dráha je súčin geometrickej dráhy a indexu lomu daného prostredia. Pod difrakciou svetla rozumieme javy, ku ktorým dochádza pri šírení svetla v prostredí s ostrými nehomogenitami, napr. pri prechode svetla otvorom, štrbinou, rozhraním medzi priezračným a nepriezračným prostredím. Difrakcia sa prejavuje odchýlkami od priamočiareho šírenia svetla. Tieto sú tým menšie, čím je menšia vlnová dĺžka. Principiálne nie je fyzikálny rozdiel medzi interferenciou a difrakciou. Prejavom obidvoch javov je prerozdelenie intenzity svetla a príčinou obidvoch javov je superpozícia vlnení. Nech na dlhej štrbine šírky b dochádza k difrakcii rovinnej svetelnej vlny. Označme odchýlku od priamočiareho šírenia uhlom α. Potom na tienidle pozorujeme minimá v miestach, pre ktoré:

sinb kα λ= , k = 1, 2, 3, ... . Minimá oddeľujú maximá, pre ktoré približne platí: sin (2 1)2

b k λα = + .

Pre intenzity ohybových maxím platí 2

0sinI I ϕϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, kde π sinbϕ α

λ= .

Pre spektroskopiu je významná difrakcia na sústave štrbín tvoriacich difrakčnú mriežku. Nech d je vzdialenosť štrbín mriežky, potom pre maximá platí sind kα λ= , kde k = 0, 1, 2,.. . Číslo k označuje rád maxima. Pre rozlišovaciu schopnosť mriežky je významná pološírka difraktovanej

spektrálnej čiary. Pre pološírku čiary difraktovanej pod uhlom α platí 1/ 2 cosNdλα

αΔ = , kde N je

počet štrbín mriežky. Pološírka čiary je definovaná ako uhol medzi maximom čiary a susedným minimom na grafe intenzity I(α). Rozlišovacia schopnosť mriežky R je definovaná ako podiel priemeru vlnových dĺžok, ktoré ešte možno považovať za separované a rozdielu ich vlnových dĺžok.

stred.R λλ

=Δ

. Rozlišovaciu schopnosť mriežky pre spektrum rádu k možno vyjadriť jednoduchým

vzťahom R = N k. Významným nástrojom na určovanie štruktúry kryštálov je difrakcia röntgenového žiarenia. Na atómoch kryštálovej štruktúry dochádza k rozptylu a interferencii, čo spôsobuje vznik maxím a miním difraktovaného žiarenia. Podmienku pre maximá vyjadruje Braggov zákon. Ak d je vzdialenosť kryštálových rovín a θ je uhol medzi kryštálovou rovinou a dopadajúcim lúčom (Braggov uhol), pre maximá platí sind kθ λ= , kde k = 1, 2, 3, ... . 8.2 Otázky a problémy 1. Aké základné vlastnosti má elektromagnetická vlna? 2. Elektrické pole rovinnej lineárne polarizovanej elektromagnetickej vlny kmitá rovnobežne s osou

x a je určené rovnicou 0 cos ( )xE E t kzω= − . V ktorom smere kmitá vektor intenzity magnetického poľa a ktorým smerom sa vlna šíri?

3. Vektor elektrickej intenzity lineárne polarizovanej elektromagnetickej vlny má smer osi y a vektor magnetickej indukcie má smer osi x. V ktorom smere sa šíri energia elektromagnetického vlnenia?

4. Ak amplitúda elektrickej intenzity elektromagnetickej vlny šíriacej sa vo vákuu je E0, aká je amplitúda intenzity magnetického poľa a amplitúda indukcie magnetického poľa?

5. Rovinná lineárne polarizovaná elektromagnetická vlna sa šíri v zápornom smere osi y. V danom mieste má elektrická intenzita smer osi x a veľkosť 10 V⋅m–1. Akú veľkosť a smer v danom mieste má intenzita magnetického poľa?

6. Nepolarizované svetlo dopadá na tri polarizátory umiestnené za sebou. Svetlo vystupujúce zo sústavy je rovinne polarizované pod uhlom 30° v smere hodinových ručičiek a jeho intenzita je polovičná vzhľadom k intenzite dopadajúceho svetla. Aká je orientácia polarizátorov?

7. Rovinná svetelná vlna sa šíri v osi z a je lineárne polarizovaná tak, že kmity vektora E sú rovnobežné s osou x. V osi z je umiestnený polarizátor, ktorého rovina je kolmá na os z a smer polarizátora je rovnobežný s osou y. Ak polarizátor pootočíme v smere hodinových ručičiek bude

106

sa intenzita prejdeného svetla zväčšovať, alebo zmenšovať? Ako sa zmení intenzita svetla ak polarizátor pootočíme proti smeru hodinových ručičiek?

8. Monochromatické svetlo na obr.8.2 prechádza postupne tromi prostrediami. Zoraďte indexy lomu prostredí podľa ich veľkosti!

9. Čo je to optická dráha? 10. Pulz monochromatického svetla prechádza tromi paralelnými prostrediami s indexami lomu podľa

obrázku 8.3. a) Ktorým prostredím prejde svetelný pulz najskôr a ktorým bude prechádzať najdlhšie? b) Usporiadajte vlnové dĺžky v prostrediach podľa veľkosti!

11. Platia podmienky pre maximá a minimá uvedené v úvode pre interferenciu na tenkej vrstve aj v prípade, že máme tri prostredia a pre indexy lomu prostredí platí n3 > n2 > n1? Svetlo dopadá na vrstvu s indexom lomu n2 z prostredia n1.

12. Aký tvar budú mať interferenčné pásy, ak ploskovypuklú šošovku položíme na sklenú platňu a budeme pozorovať interferenciu v odrazenom svetle?

13. Vysvetlite, prečo je miesto kontaktu šošovky so sklenou platňou v predchádzajúcej úlohe tmavé. 14. Aké podmienky musia byť splnené, aby sme pri difrakcii na jednej štrbine pozorovali maximá,

resp. minimá, a aké podmienky pre maximá a minimá platia na sústave štrbín – difrakčnej mriežke? 15. Svetlo frekvencie f dopadá na úzku dlhú štrbinu, za ktorou na tienidle pozorujeme difrakčný

obrazec. Zúži, alebo rozšíri sa tento obrazec ak použijeme svetlo frekvencie a) 0,5 f, b) 1,5 f ? 16. Monochromatické svetlo dopadá vo vzduchu na úzku dlhú štrbinu a vzdialenosť prvých dvoch

miním na tienidle je d. Zväčší, alebo zmenší sa táto vzdialenosť, ak celé zariadenie ponoríme do vody?

17. Aký musí byť pomer šírky štrbiny a vlnovej dĺžky, aby prvé difrakčné minimum vzniklo pod uhlom 30°?

18. Ak na difrakčnú mriežku dopadá biele svetlo, akú farbu bude mať centrálne maximum? 19. Ak na difrakčnú mriežku dopadá biele svetlo, ktorá farba bude najviac difraktovaná? 20. Ako sa zmení rozdiel Δλ dvoch spektrálnych čiar, ktoré ešte môže daná mriežka rozlíšiť ak sa

vlnová dĺžka zmenší? 21. V ktorom ráde spektra je rozdiel Δλ dvoch spektrálnych čiar, ktoré ešte môže daná mriežka

rozlíšiť väčší v prvom, alebo v treťom? 22. Aká podmienka musí byť splnená, aby sme pri difrakcii röntgenového žiarenia na kryštáloch

mohli pozorovať maximá intenzity difraktovaného žiarenia? 8.3 Riešené príklady

8.1 Elektrická intenzita elektromagnetickej vlny je Ex = 0, Ey = 0, 143, 0 cos 10czxE t⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ V⋅m-1,

kde c 3⋅108 m⋅s–1. Vyjadrite zložky intenzity magnetického poľa, ak sa vlna šíri v kladnom smere osi x a vo vákuu.

Riešenie

Vektorový súčin E × H udáva smer šírenia vlny. Ak E má smer osi z potom H musí mať smer osi (– y), aby sa vlnenie šírilo v kladnom smere osi x. Pre pomer amplitúd elektromagnetickej vlny vo

n1

n2

n3

Obr. 8.2

n1 = 1,3

n2 = 1,6

n3 = 1,4

Obr. 8.3

107

vákuu platí 0

0 0

EH EZ

εμ

= = Pre magnetickú intenzitu danej vlny teda platí: 0, 0x zH H= = a

150

0

3, 0 cos 10yxH tc

εμ

⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 3 157,95.10 cos 10yxH tc

− ⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

A⋅m–1.

Poznámka: Na určenie smeru H sme využili smer Poyntingovho vektora. Rovnaký výsledok získame analyticky

využitím Maxwellovej rovnice rott

∂= −

∂BE .

8.2 Dokážte, že pre elektromagnetickú vlnu sa hustota energie elektrického poľa rovná hustote

energie magnetického poľa. Riešenie

Pre hustotu energie elektrického poľa platí 2e 0

12

w Eε= . Dosaďme pre amplitúdy elektromagnetickej

vlny platný vzťah 0cE Hμ= . Potom:

2 2 2 2 2 2e 0 0 0 0 0 m

0 0

1 1 1 12 2 2

w c H H H wε μ ε μ με μ

= = = = a dokázali sme požadované tvrdenie.

8.3 Žiarovku s výkonom 100 W pokladajme za izotropný bodový zdroj svetla. Aké sú efektívne

hodnoty intenzity elektrického poľa a indukcie magnetického poľa v mieste vzdialenom od žiarovky o r = 2 m?

Riešenie

Pre intenzitu elektromagnetickej vlny platí 2ef

0

1c

I Eμ

= . Intenzita vlny klesá so vzdialenosťou a

pre izotropný bodový zdroj platí 24πPIr

= , kde P je výkon zdroja. Z uvedených vzťahov dostávame

8 70 0

ef 2

c c1 1 3 10 4π 10 1004π 2 π 4 π

P PEr r

μ μ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = 27,38 V⋅m–1, ef

ef cE

B = = 9,13⋅10–8 T.

Poznámka: Hodnota elektrickej intenzity je dosť veľká a preto aj prístroje na meranie, resp. detekciu elektromagnetického vlnenia sú založené na detekcii elektrickej intenzity. Ako sme však videli v predchádzajúcom príklade hustota energie elektrického aj magnetického poľa elektromagnetickej vlny je rovnaká. 8.4 Stredný výkon vyžarovaný Slnkom je PS = 3,9⋅1026 W. Ak chvost kométy vytvárajú guľové

prachové častice z materiálu hustoty ρ = 3⋅103 kg⋅m–3, pre aký polomer častíc sa sila spôsobená tlakom žiarenia rovná gravitačnému priťahovaniu častice Slnkom? Hmotnosť Slnka je MS = 1,99⋅1030 kg, gravitačná konštanta κ = 6,67⋅10–11 N⋅m2⋅kg–2. Predpokladajte, že žiarenie je časticami absorbované.

Riešenie

Tlak žiarenia súvisí s intenzitou vzťahom cIp = . Intenzita vo vzdialenosti r od Slnka 24π

PIr

= .

Častica prachu polomeru R je priťahovaná Slnkom silou 3

2

4π3S

GM RF

rκ ρ

= . Žiarenie tlačí na plochu

108

2πS R= . Z rovnosti síl dostávame pre polomer guľovej prachovej častice hodnotu S

S

316πc

PRMρκ

= .

Po dosadení číselných hodnôt dostávame pre polomer častice chvosta kométy, pre ktorú gravitačné priťahovanie sa rovná repulznej sile od tlaku žiarenia

26

8 3 11 30

3 3,9 1016 π 3 10 3 10 6,67 10 1,99 10

R −

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= 1,948 ⋅ 10–7m.

Poznámka: Všimnite si, že R nezávisí od toho ako ďaleko sa kométa nachádza od Slnka. Pre častice s väčším polomerom bude prevažovať príťažlivá sila Slnka, pre častice s menším polomerom tlaková sila žiarenia. 8.5 Pôvodne nepolarizované svetlo šíriace sa v osi z prechádza postupne dvomi polarizátormi, z

ktorých druhý je vzhľadom k prvému pootočený o 30°. Aká je intenzita vychádzajúceho svetla vzhľadom k intenzite dopadajúceho svetla I0?

Riešenie

Dopadajúce svetlo je nepolarizované, preto z prvého polarizátora vychádza svetlo intenzity I1 = ½ I0. Na druhý polarizátor dopadá už polarizované sveto a pre prejdené svetlo plati zákon 2

dop cosI I θ= .

Po dosadení dostávame 202 0cos 30 0,375

2I

I I= = .

8.6 Nepolarizované svetlo intenzity I0 = 20 mW⋅m–2 prechádza polarizátorom. a) Aká je amplitúda

elektrickej intenzity harmonickej svetelnej vlny prejdenej polarizátorom, b) akým tlakom pôsobí svetelná vlna na polarizátor?

Riešenie

a) Dopadajúce svetlo nie je polarizované, pre intenzitu prejdenej vlny platí 0

2I

I = a medzi intenzitou

svetelnej vlny a amplitúdou jej elektrickej intenzity platí 20 02 cE I μ= . Z nich dostávame

0 0 0 02 c cE I Iμ μ= = a po dosadení číselných hodnôt E0 = 2,75 V⋅m–1.

b) Tlak na polarizátor vytvára iba pohltená časť svetelnej vlny. Potom 0

2cI

p = = 3,33⋅10–11 Pa.

8.7 Bodový zdroj svetla je ponorený 2 m pod povrchom vody. Aký bude polomer kruhu svetla

vystupujúceho z vody, ak index lomu vody je n = 1,33 a index lomu vzduchu budeme pokladať za rovný jednej?

Riešenie

Chod lúčov je zobrazený pre všeobecný prípad na obr. 8.4.Na vzduchu sa lúč láme od kolmice a medzný uhol, ktorý vymedzuje polomer kruhu svetla vychádzajúceho z vody bude uhol β = 90°. Zo Snellovho zákona potom 0

vody vzd.sin sin 90n nα = , odkiaľ

01arcsin 48, 751,33

α = = . Pre polomer kruhu platí:

tg 2 1,14 2,28r h α= ⋅ = ⋅ = m.

β β

α α

Obr. 8.4

109

8.8 Optické vlákno sa skladá zo skleného jadra s indexom lomu n1 a z obalu s indexom lomu n2, kde n2 < n1. Ukážte, že maximálny uhol vzhľadom k osi vlákna, pod ktorým svetlo môže dopadať a šíriť sa ďalej vláknom je 2 2

1 2arcsin n nα = − . Riešenie

Na obale vlákna musí dochádzať k úplnému odrazu. Podmienka pre úplný odraz je 2

1

sin nn

θ = .

Kritický uhol, pod ktorým sa lúč dopadajúci zo vzduchu láme v skle, bude 2πβ θ= − . Pre uhol lúča

dopadajúceho zo vzduchu potom podľa Snellovho zákona platí:

2

2vzd 1 1 1

1

sin sin( ) cos 12

nn n n nn

πα θ θ⎛ ⎞

= − = = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Pretože nvzd. = 1, dostávame 2 21 2arcsin n nα = − .

8.9 Viditeľné svetlo má vlnové dĺžky z intervalu 0,76 μm – 0,38 μm. Ak rozdiel optických dráh

bieleho svetla je δ = 1,8 μm, ktoré vlnové dĺžky sa pre tento dráhový rozdiel budú: a) maximálne zosilňovať, b) maximálne zoslabovať?

Riešenie a) Zosilňovať sa budú vlnové dĺžky, pre ktoré δ = k λ, kde k je prirodzené číslo. Do uvedeného intervalu spadajú vlnové dĺžky, pre k = 3 a 4, t.j. vlnové dĺžky 0,6 μm a 0,45 μm.

b) Zoslabovať sa budú vlnové dĺžky, pre ktoré (2 1)2

k λδ = + . Z intervalu viditeľného svetla to budú

vlnové dĺžky pre k = 2, 3, 4, t.j. vlnové dĺžky 0,72 μm, 0,514 μm a 0,4 μm. 8.10 Na masívnej sklenej podložke s indexom lomu n3 = 1,6 je tenká vrstva materiálu s indexom lomu

n2 = 1,4. Pri osvetlení monochromatickým svetlom vlnovej dĺžky λ = 0,6 μm, dopadajúcim kolmo na tenkú vrstvu, sa odrazené svetlo maximálne zoslabuje. Aké hrúbky môže mať daná tenká vrstva? Index lomu vzduchu n1 = 1,00029.

Riešenie

Na obr. 8.5 je zobrazený odraz a lom lúča prechádzajúceho tenkou vrstvou pre všeobecný prípad, keď dopadajúci lúč zviera s kolmicou dopadu uhol α. Zobrazená je interferencia v odrazenom svetle. Podľa obrázku je optický dráhový rozdiel interferujúcich lúčov ( )2 1AB BC DCn nδ = + − . Z trigonometrie vidíme, že platí: AB=BC= d / cosβ, AC= 2 d tgβ, DC=ACsinα.. Využijeme Snellov vzťah, podľa ktorého 1 2sin sinn nα β= , dosadíme a po úprave dostávame 22 cosd nδ β= .

Všimnime si teraz odraz lúčov. Lúč DC sa v bode C odráža od opticky hustejšieho prostredia, fáza sa zmení na opačnú. Pre lúč ABC v bode B taktiež nastáva odraz od opticky hustejšieho prostredia a fáza aj tohto lúča sa mení na opačnú. Keďže sa zmení fáza obidvoch lúčov v ich interferencii sa táto zmena

neprejaví. Podmienkou pre maximálne zoslabenie lúčov je ( )2 1 , 0, 1, 2, 3,.....2

k kλδ = + = Ak uhol

dopadu je α = 0°, potom aj β = 0° a 22n dδ = . Pre možné hrúbky vrstvy dostávame ( )

2

2 14k

dn

λ+

= .

Dosaďme k = 0, 1, 2, 3, .. a hrúbky vrstvy na skle budú d0 = 0,11 μm, d1 = 0,32 μm, d2 = 0,54 μm, atď. Poznámka: Tento príklad vysvetľuje fyzikálny princíp, pomocou ktorého možno dosiahnuť zmenu odrazivosti na plochách šošoviek a optických prístrojov. Optické prístroje sa pokrývajú tenkými vrstvami práve na zníženie odrazu svetla.

α

β d

αA

B

C

Dn1

n2

n3

Obr. 8.5

110

8.11 Ploskovypuklá šošovka je položená na rovinnú sklenú platňu. Medzi šošovkou a platňou je vytvorená tenká vzduchová vrstva premenlivej hrúbky. Na zariadenie dopadá monochromatické svetlo vlnovej dĺžky λ = 0,5 μm. Určte a) hrúbku h vzduchovej vrstvy v mieste, kde pozorujeme v odrazenom svetle 5. svetlý Newtonov krúžok, b) polomer zakrivenia šošovky, ak polomer 5. svetlého krúžku je r5 = 2 mm.

Riešenie a) Ako je vidieť na obrázku 8.6 interferujú v odrazenom svetle lúče odrážajúce sa od rozhrania šošovka – vzduch a lúče odrazené od sklenej platne. Pri odraze od rozhrania šošovka – vzduch dochádza k odrazu od opticky redšieho prostredia a teda vo fáze, pri odraze od sklenej platne sa fáza mení na opačnú. Rôznym odrazom vzniká dodatočný dráhový rozdiel λ/2. Zmena fázy pri rôznych druhoch odrazu je príčinou, že stred sa v odrazenom svetle javý tmavý. Celkový

dráhový rozdiel je potom 22

h λδ = + .

Interferenčné maximá budeme pozorovať ak kδ λ= , k = 1, 2, .., minimá ak (2 1)2

k λδ = + . Pre

výšku vzduchovej vrstvy dostávame pri maximách (2 1)4

h k λ= − , pri minimách

2kh λ

= , kde k = 1,

2, 3,... . Hrúbka vzduchovej vrstvy pri 5. maxime je 9 0,5μm =1,125 μm4

h= ⋅ .

b) Z obr. 8.6 platí 2 2 2 2( ) 2kr r r h r h h= − − = − . Pretože h r môžeme zanedbať druhý člen a položiť 2 2kr rh= . Pre polomer zakrivenia šošovky z údajov pre 5. svetlý krúžok dostávame

3 2

6

(2 10 ) 1, 78 m2 1,125 10

r−

−

⋅= =

⋅ ⋅.

8.12 Monochromatické svetlo vlnovej dĺžky λ = 5 μm dopadá kolmo na štrbinu šírky b = 3⋅10–5 m.

a) Určte vzdialenosť medzi prvými ohybovými minimami symetricky rozloženými okolo hlavného maxima, ktoré sa zobrazia na plátne vzdialenom od štrbiny o = 2 m. b) Aký je pomer intenzity prvých dvoch ohybových maxím vzhľadom k intenzite centrálneho maxima?

Riešenie

a) Podmienka pre ohybové minimá pri usporiadaní experimentu podľa obr.8.7 je sin ,b kα λ= k = 1, 2, 3, ... Pre prvé minimum je sinb α λ= . Z pravouhlého trojuholníka ABC platí:

sin2xBC tg

bλα α= = = .

Hľadaná vzdialenosť 2xbλ

= = 0,67 m.

b) Pre ohybové maximá približne platí podmienka:

( )sin 2 12

b k λα = + , k = 1, 2, 3, ... . Pre intenzitu platí

2

0sinI I ϕϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, kde π sinbϕ α

λ= . Po dosadení z predchádzajúceho vzťahu dostávame 1 π

2kϕ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

a pre pomer intenzít bude platiť: I1/I0 = 4,5⋅10-2, I2/I0 = 1,6⋅10-2.

h

r

rk

Obr. 8.6

bA B

C

α x

Obr. 8.7

111

8.13 Kolmo na difrakčnú mriežku šírky w = 0,025 m s rovnomerne rozmiestnenými štrbinami dopadá rovinná svetelná vlna vlnovej dĺžky λ = 0,5 μm. Optická sústava umiestnená blízko mriežky premieta difrakčný obraz na tienidlo vzdialené od mriežky o = 1,5 m. Vzdialenosť na tienidle medzi dvoma maximami prvého rádu je x = 0,24 m. Vypočítajte: a) vzdialenosť štrbín d, b) počet štrbín mriežky N, c) počet maxím, ktoré budeme pozorovať, d) maximálny uhol odklonu lúčov difrakčného maxima, e) minimálny rozdiel vlnových dĺžok Δλ, ktoré na danej mriežke ešte môžeme rozlíšiť v spektre 1. rádu.

Riešenie a) Pre ohybové maximá na mriežke platí

sind kα λ= , kde d je vzdialenosť štrbín, k = 1, 2, 3,... je rád spektra vlnovej dĺžky λ. Podľa obr. 8.8

tg2xα = . Vzhľadom na to, že α je malé platí

tg sinα α a pre vzdialenosť štrbín mriežky zo

spektra 1. rádu dostávame 2dxλ

= = 6,25 μm.

b) Počet štrbín mriežky je:

6

0, 025 40006, 25 10

wNd −

= = =⋅

.

c) Počet maxím, ktoré poskytuje mriežka získame tak, že určíme maximálny rád spektra, t.j. maximálnu hodnotu k. Maximálna hodnota k vyplýva z podmienky maximálnej hodnoty sinα = 1.

Platí maxsin 12,5dk αλ

= = . Rád spektra je však prirodzené číslo, preto môže mať maximálnu hodnotu

kmax = 12. Na tienidle budeme pozorovať hlavné maximum a po obidvoch stranách hlavného maxima ďalších kmax maxím, spolu 2kmax + 1 = 25 maxím.

d) Maximálny odklon lúča bude pre k = 12 a maxmax arcsin

kdλ

α = = 73,7°.

e) Rozlíšiteľnosť čiar je RλλΔ = , kde R = N k, je rozlišovacia schopnosť mriežky .

Pre spektrum prvého rádu R = 4000. Mriežka môže rozlíšiť čiary líšiace sa minimálne o 7

105 10 1, 25 104000R

λλ−

−⋅Δ = = = ⋅ m.

8.14 Röntgenové žiarenie vlnovej dĺžky λ = 0,12 nm má na kryštále LiF maximá druhého rádu pod

Braggovým uhlom θ = 28°. Aká je vzdialenosť reflexných rovín v kryštáli? Riešenie

Pre reflexiu platí Braggová podmienka 2 sind kθ λ= . Pre vzdialenosť reflexných rovín

dostávame: 9

100

2 0,12 10 2,56 10 m2sin 2sin 28

kd λθ

−−⋅ ⋅

= = = ⋅ .

8.4 Neriešené príklady 8.15 Vektor intenzity magnetického poľa svetelnej vlny vo vákuu kmitá rovnobežne s osou z a je

daný vzťahom 0 sin ( )zH H t kyω= − . Určte, v akom smere sa šíri elektromagnetická vlna a vyjadrite vektor elektrickej intenzity tejto vlny.

d

αx

Obr. 8.8

112

8.16 Elektromagnetická vlna sa šíri v smere zápornej osi y. V určitom mieste má v čase t elektrická intenzita smer kladnej osi z a jej veľkosť je 100 V⋅m–1. Aký je smer a veľkosť magnetickej intenzity v tomto časovom okamžiku?

8.17 Dokážte, že pre postupnú rovinnú harmonickú elektromagnetickú vlnu je intenzita vlny, t.j.

stredná energia, ktorá prejde jednotkovou plochou za jednu periódu daná vzťahom: 2 20 0

0 0

c2 2E B

I Scμ μ

= ⟨ ⟩ = = .

8.18 Aká je intenzita postupnej harmonickej vlny ak amplitúda intenzity magnetického poľa je

0H = 79,58 A⋅m–1? 8.19 Intenzita slnečného svetla na hranici zemskej atmosféry má hodnotu 1400 W⋅m–2. Ak by slnečné

svetlo bolo rovinnou harmonickou vlnou, aká by tejto intenzite odpovedala amplitúda intenzity elektrického poľa a aká amplitúda indukcie magnetického poľa?

8.20 Stredný výkon vyžarovaný Slnkom je PS = 3,9⋅1026 W. Aká veľká by musela byť plocha

odrážajúca svetlo na kozmickej lodi hmotnosti m = 100 kg, aby sa táto vplyvom tlaku svetla pohybovala von zo slnečnej sústavy? Hmotnosť Slnka je MS = 1,99⋅1030 kg, hmotnosť „kozmickej plachty“ zanedbajte!

8.21 *Na časticu z materiálu hustoty ρ = 103 kg⋅m–3 majúcu tvar guľôčky pôsobí tlakom svetla Slnko.

Predpokladajte, že guľôčka svetlo dokonale odráža. Aký by musel byť polomer guľôčky, aby mohla byť tlakom svetla vypudzovaná zo slnečnej sústavy? Využite údaje z predchádzajúceho príkladu!

8.22 Žiarovku s výkonom 500 W považujte za izotropný bodový svetelný zdroj. Akou silou tlačí

svetlo na dokonale pohlcujúcu plochu S = 0,04 m2 umiestnenú od žiarovky vo vzdialenosti d = 2 m a kolmú na smer dopadajúceho svetla?

8.23 Svetlo sodíkovej výbojky je žlté a vo vákuu má vlnovú dĺžku λ = 589 nm. Aká je vlnová dĺžka a

frekvencia tohto svetla vo vode, ak index lomu vody je n = 1,33? 8.24 Optická sústava je vytvorená tromi rovinnými prostrediami, ktoré majú postupne indexy lomu

n1= 1,6; n2 = 1,33; n3 = 1,6. Na túto sústavu dopadajú zo vzduchu dva lúče. Jeden kolmo a druhý pod uhlom 24° vzhľadom k prvému. a) Pod akým uhlom vyjde zo sústavy kolmý lúč? b) Pod akým uhlom vyjde zo sústavy lúč dopadajúci pod uhlom 24°?

8.25 Aký minimálny index lomu musí mať materiál tyče valcovitého tvaru, aby všetky lúče

dopadajúce na jej čelnú stenu úplným odrazom prechádzali ďalej len materiálom tyče? Okolitým prostredím je vzduch a index lomu vzduchu pokladajte za rovný jednej.

8.26 Vo vode je ponorená sklená doštička s indexom lomu nS = 1,5. Pod akým uhlom musí vo vode

dopadať na doštičku svetelný lúč, aby odrazený lúč bol úplne polarizovaný? Index lomu vody je nV = 1,33.

8.27 Pozdĺž nanoštruktúry, ktorej dĺžka je 2500 nm sa môže šíriť svetlo. Ak pri dopade na

nanoštruktúru má harmonická monochromatická svetelná vlna maximum, aký bude jej priebeh pri výstupe z nanoštruktúry, ak vlnová dĺžka svetla je a) 500 nm, b) 1000 nm?

8.28 Nepolarizovaný lúč svetla dopadá na dva polarizátory, ktorých smery polarizácie zvierajú

navzájom uhol α = 60°. Koľkokrát sa zmenší intenzita svetla pri prechode len jedným polarizátorom a koľko pri prechode celou sústavou? Riešte pre prípady ak: a) straty absorbciou a

113

odrazom od polarizátora zanedbávame, b) straty absorbciou a odrazom od polarizátora predstavujú 5%.

8.29 Vertikálne polarizované svetlo s intenzitou I0 prechádza postupne sústavou 9 ideálnych

polarizátorov. Smer prvého polarizátora je otočený o 10° od vertikálneho smeru a o 10° je otočený každý ďalší polarizátor. Aká je intenzita svetla prechádzajúceho cez túto sústavu?

8.30 *Vertikálne polarizované svetlo s intenzitou I0 prechádza postupne sústavou 90 ideálnych

polarizátorov. Rovina prvého polarizátora je otočená o 1° od vertikálneho smeru a o 1° je otočený každý ďalší polarizátor. Aká je intenzita svetla prechádzajúceho cez túto sústavu?

8.31 Chceme otočiť smer polarizácie polarizovaného svetelného paprsku o 90°. a) Aký minimálny

počet polarizátorov musíme použiť? b) Aký minimálny počet rovnomerne pootočených polarizátorov potrebujeme, aby intenzita prejdeného svetla bola väčšia ako 60% pôvodnej intenzity?

8.32 Na sústavu troch polarizátorov dopadá nepolarizované svetlo. Prvý polarizátor je orientovaný

vertikálne, druhý je otočený o 45° a tretí je v horizontálnom smere. a) Aká je intenzita svetla prechádzajúceho sústavou vzhľadom k pôvodnej intenzite I0? b) Aká bude intenzita svetla ak stredný polarizátor vyberieme?

8.33 Tenká planparalelná vrstva vytvorená z materiálu s indexom lomu n = 1,50 je osvetlená svetlom

vlnovej dĺžky λ = 550 nm. Aká môže byť hrúbka vrstvy, aby pri dopade svetla pod uhlom α = 30° nastal minimálny odraz? Index lomu prostredia, z ktorého svetlo dopadá je rovný jednej.

8.34 Na optické prístroje sa nanášajú tenké vrstvy, aby sa zmenšil odraz svetla. Aká musí byť hrúbka

tenkej vrstvy vytvorenej z materiálu indexu lomu n = 1,38 nanesenej na skle s indexom lomu nS = 1,5, aby pre kolmo dopadajúce svetlo vlnovej dĺžky 550 nm (maximálna citlivosť ľudského oka) bol odraz minimálny?

8.35 Zelená čiara ortuťovej výbojky vlnovej dĺžky λ = 546 nm sa odráža od vzduchovej vrstvy

premenlivej hrúbky medzi dvomi sklenenými platňami. Začínajúc z nulovej medzery určte prvé štyri hrúbky medzier, pri ktorých v odrazenom svetle nastáva minimum.

8.36 Ploskovypuklá šošovka s polomerom krivosti R = 2 m je položená na rovinnej sklenej doske a

zhora osvetlená svetlom vlnovej dĺžky λ = 550 nm. V odrazenom svetle pozorujeme interferenčné minimá a maximá (Newtonove krúžky). Nájdite polomer prvých dvoch interferenčných maxím!

8.37 Ploskovypuklá šošovka s polomerom krivosti R = 2 m je položená na rovinnej sklenej doske a

zhora osvetlená svetlom vlnovej dĺžky λ = 550 nm. V odrazenom svetle pozorujeme interferenčné minimá a maximá (Newtonove krúžky). Nájdite polomer prvých dvoch interferenčných miním!

8.38 Ako sa zmení polomer Newtonovho krúžku patriacemu určitému číslu k, ak vlnová dĺžka

dopadajúceho svetla sa zdvojnásobí? 8.39 Svetlo vlnovej dĺžky λ = 546 nm dopadá na úzku štrbinu. Na tienidle, ktoré je vo vzdialenosti

L = 2 m sme namerali vzdialenosť medzi druhým difrakčným minimom a centrálnym maximom x = 0,015 m. Vypočítajte šírku štrbiny!

8.40 Monochromatické svetlo dopadá na úzku štrbinu. Vypočítajte pomer intenzít prvých troch

ohybových maxím vzhľadom k centrálnemu maximu!

114

8.41 V difrakčnej mriežke pripadá n = 8105 m–1 vrypov na jednotku dĺžky. Maximum 2. rádu sme našli pod uhlom 72° po obidvoch stranách od priameho lúča. a) Aká je vlnová dĺžka elektromagnetického vlnenia? b) bude pozorovateľné maximum 3. rádu?

8.42 *Difrakčná mriežka má hustotu vrypov n = 1⋅106 m–1. Žlté svetlo sodíkovej výbojky je dublet

dvoch čiar vlnových dĺžok 588,95 nm a 589,592 nm. Ak takúto mriežku použijeme na štúdium sodíkového spektra, aký uhol bude medzi maximami sodíkového dubletu v spektre prvého rádu? Môže táto mriežka rozlíšiť uvedené dve spektrálne čiary v spektre prvého rádu, ak celková šírka mriežky je w = 0,01m?

8.43 Na difrakčnú mriežku kolmo dopadá biele svetlo, ktorého vlnové dĺžky sú z intervalu 0,76 nm –

0.38 nm. Môže nastať pre toto svetlo prekryv čiary spektra prvého rádu s ktoroukoľvek čiarou spektra druhého rádu?

115

9 Jadrová fyzika

9.1 Úvod Atómové jadro je charakterizované atómovým alebo protónovým číslom Z a hmotnostným

alebo nukleónovým číslom A. Protónové číslo udáva počet protónov v jadre a tým aj elektrický náboj jadra a je totožné s poradovým číslom prvku v Mendelejevovej periodickej sústave. Nukleónové číslo A určuje počet nukleónov v jadre. Potom sa dá akékoľvek jadro X zapísať vo forme A

Z X . Atómy, ktorých jadrá sa vyznačujú rovnakým protónovým číslom, ale rozdielnym nukleónovým číslom, sa nazývajú izotopy, atómy, ktorých jadrá majú rôzny počet protónov (Z) a rovnaký celkový počet protónov a neutrónov (A) sa nazývajú izobary. Atómy s rovnakým počtom neutrónov a rôznym počtom protónov v jadre (Z) sa nazývajú izotony.

Stredná väzbová energia nukleónu je: E = [ ] 22H n aZ (A Z)

A Am m m cmc + − −Δ

= , kde mH je

hmotnosť vodíka, mn je hmotnosť neutrónu a ma je hmotnosť celého jadra atómu. Niektoré izotopy sú nestabilné, rádioaktívne, ktoré sa časom menia na stabilné izotopy, čo je sprevádzané uvoľňovaním rádioaktívneho žiarenia. Podľa pôvodu vzniku sa rádioaktívne izotopy delia na prírodné a umelé. Umelé rádioaktívne izotopy sa vyrábajú v reaktoroch ožarovaním neaktívnych prvkov neutrónami. Rádioaktívne žiarenie je trojakého druhu: α, β, γ. Žiarenie α je prúdom héliových jadier. Vzniká pri premene jadra na iné jadro podľa schémy: A A 4 4

Z Z 2 2X Y+ He−−→ , kde premenené jadro má protónové

číslo o 2 menšie ako bolo v pôvodnom jadre a preto vzniká nový prvok. Žiarenie β je prúdom elektrónov (alebo pozitrónov) a vyžiarením elektrónu (alebo pozitrónu) vzniká nový prvok podľa schémy: A A 0 0

Z Z+1 1 0X Y e ν−→ + + , resp. A A 0 0Z Z 1 1 0X Y e ν−→ + + , kde ν je antineutríno, n je neutrino, čo

sú subnukleárne hypotetické častice. Vzniknutý nový prvok má protónové číslo o jedno vyššie (alebo nižšie), ako mal pôvodný prvok. Žiarenie γ je elektromagnetické vlnenie s veľmi krátkou vlnovou dĺžkou vysielané atómovým jadrom a väčšinou sprevádza všetky typy jadrových premien.

Rádioaktívna premena prebieha samovoľne a riadi sa určitými zákonitosťami. Ak rádioaktívna látka obsahovala v čase t ešte N nepremenených, nestabilných jadier, za čas dt sa z týchto jadier premení časť dN , ktorú vyjadríme vzťahom:

dN = – λ N dt,

kde λ je konštanta premeny príslušného rádioaktívneho nuklidu. Potom výraz ddN N At

λ− = = predstavuje

rýchlosť rádioaktívnej premeny nuklidu a nazýva sa absolútna aktivita A. Riešením tejto rovnice dostávame závislosť počtu ešte nepremenených rádionuklidov po uplynutí času t: 0

tN N e λ−= , kde kde N0 je počiatočný počet atómov nestabilného nuklidu v čase t = 0. Po zlogaritmovaní bude

0

ln N tN

λ= − , a ako vidno z obrázku 9.1, závislosť má priamkový charakter, kde l je smernica priamky.

Aktivita A súčasne zodpovedá počtu nuklidov, ktoré sa premenia za jednu sekundu. Aktivita má jednotku 1Bq (bequerel), jej rozmer je [s–1]. Podľa tejto definície je 1 Bq číselne rovný takému

0 200 400 600 800

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

λln(N

/N0)

t [min]Obr. 9.1

116

množstvo rádioaktívnej látky, v ktorej nastane jedna premena za 1 s. Často sa používa hmotnostná

aktivita ddmAat

= , čo je podiel aktivity rádioaktívnej látky a jej hmotnosti. Rádioaktívna premena je

charakterizovaná dobou polpremeny T1/2, ktorá predstavuje čas, za ktorý sa premení polovica počiatočného množstva atómov N0. Súvis medzi dobou polpremeny a konštantou premeny λ vyjadruje

vzťah 1/ 2ln 2 0,693Tλ λ

= = . Používa sa aj veličina stredná doba života τ, čo je prevrátená hodnota konštanty

premeny, τ = 1/l a je definovaná ako čas potrebný na to, aby sa N zmenšilo z pôvodného počtu N0 na N0/e. Pri rádioaktívnej premene a pri jadrových reakciách dochádza k uvoľneniu energie a s ním

spojenému hmotnostnému schodku Δm. Hmotnostný schodok je rozdiel celkovej hmotnosti častíc a jadier do reakcie vstupujúcich a z reakcie vystupujúcich. Energia ΔE, ktorá sa v priebehu reakcie uvoľnila, súvisí s úbytkom hmotnosti Δm podľa vzťahu ΔE = Δm c2. Pri výpočtoch uvedeného typu sa zavádza atómová hmotnostná konštanta mu odpovedajúca 1/12 pokojovej hmotnosti nuklidu 12C , pričom mu = 1,660⋅10–27 kg = 1 u, kde 1 u je atómová hmotnostná jednotka.

Veličina, ktorá popisuje prechod žiarenia plochou sa nazýva fluencia Φ. Je definovaná ako počet ionizujúcich častíc prechádzajúcich jednotkovou plochou, jej jednotka je [m–2].

Absorbované žiarenie v látke určuje absorbovaná dávka D = dd

Em

, čo je stredná energia

žiarenia absorbovaná v jednotke hmotnosti ožarovanej látky. Jej jednotkou je 1 Gy (gray) = [J⋅kg–1]. Biologický účinok žiarenia závisí od absorbovanej dávky, od druhu žiarenia a od typu ožiareného tkaniva. Charakterizujeme ho efektívnou dávkou T T T R TR

T T RE W H W W D= =∑ ∑ ∑ , kde HT je

ekvivalentná dávka, DTR je priemerná absorbovaná dávka v tkanive T zo žiarenia R, WR je radiačný váhový faktor (vyjadruje rozdielny biologický účinok jednotlivých druhov žiarenia) a WT je tkanivový váhový faktor (vyjadruje rozdielny biologický účinok žiarenia v rôznych tkanivách). Niektoré hodnoty týchto faktorov uvádzame v tabuľke 10 - v prílohe. Jednotkou efektívnej dávky je 1 Sv (sievert) = [J⋅kg–1]. Približne môžeme biologický účinok žiarenia ohodnotiť aj dávkovým ekvivalentom H = D Q,, kde Q je faktor kvality, vyjadrujúci rôznu biologickú účinnosť rôznych druhov žiarenia v tkanive. 9.2 Otázky a problémy 1. Z akých základných častíc pozostáva atómové jadro? 2. Akou reakciou sa mení neutrón na protón? 3. Čo sú to izotopy, izobary a izotony prvku? 4. Čo je to: a/ α - žiarenie? b/ β - žiarenie? c/ γ - žiarenie? 5. Kde vzniká rádioaktívne žiarenie? 6. Čo je doba polpremeny? 7. Čo je konštanta premeny? 8. Ako je definovaná aktivita a aká je jej jednotka? 9. Čo je to hmotnostná aktivita? 10. Aký je dosah α - žiarenia a aká látka zabráni šíreniu tohto žiarenia? 11. Aký je dosah β - žiarenia a aká látka zabráni šíreniu tohto žiarenia? 12. Aký je dosah γ - žiarenia a aká látka zabráni šíreniu tohto žiarenia? 13. Napíšte krátkožijúce produkty premeny radónu, ak postupne nasledujú dve α premeny, dve β

premeny a nakoniec jedna α premena. Aký je výsledný stabilný produkt týchto premien? 14. Čomu sa hovorí hmotnostný schodok? 15. Terčík hmotnosti 5 mg je ožiarený ionizujúcim žiarením energie 5,5 MeV, ktoré je terčíkom

absorbované. Aká je absorbovaná dávka? 16. Ak ionizujúce žiarenie s radiačným váhovým faktorom WR = 10 spôsobí dávku 1 mGy, aká bude

ekvivalentná dávka? 17. Aká bude efektívna dávka od tohto žiarenia v koži, keď tkanivový váhový faktor pre kožu je WT = 0,01?

117

18. Určte, ktorý z prírodných zdrojov žiarenia má najväčší podiel na radiačnej záťaži obyvateľstva. 19. Určte, ktorý z umelo vytvorených zdrojov ionizujúceho žiarenia má najväčší podiel na radiačnej záťaži

obyvateľstva (pozri tabuľku 11 v prílohe). 20. Aké sú hlavné časti paliva, ktoré sa používa v jadrových reaktoroch? 21. Čo je to moderátor v jadrovom reaktore? 22. Na čo slúži absorbátor v jadrovom reaktore? 23. Čo sú to neutrónové jedy ?

9.3 Riešené príklady 9.1 Za aký čas klesne aktivita rádioaktívneho 24Na na jednu desatinu počiatočnej hodnoty, ak doba

polpremeny sodíka je T1/2 = 15,0 h? Riešenie

Aktivita v čase t je A a keďže A = 0,1 A0 , dostaneme: 1/ 2

ln 2

0 00,1t

TA A e−

= . Odtiaľ vyjadríme

čas 1/ 2 ln100,693Tt = a po dosadení číselných hodnôt čas t = 49,83 hodín.

9.2 K premene koľkých atómov dôjde za sekundu v jednom grame čistého rádioaktívneho kobaltu

60Co, ktorého doba polpremeny je 1/ 2T = 5,3 rokov? Riešenie

Počet No atómov v množstve látky hmotnosti m = 0,001 kg, ktorej molárna hmotnosť je M, je

0 AmN NM

= , kde NA je Avogadrova konštanta. Aktivita A, čo je počet premien za 1 sekundu, sa

vyjadrí pomocou konštanty premeny ako A = l No = 01/ 2 1/ 2

ln 2 ln 2Am NNT M T

= a po dosadení číselných

údajov je A = 4,162◊1013 s–1 . 9.3 Pri meraní rádioaktivity čistého 131J boli pomocou GM detektora namerané nasledovné aktivity:

na začiatku merania, t.j. v čase t = 0 A1 = 24,5 s–1 a v čase t = 30 h bola nameraná aktivita A2 = 22 s–1. Určte konštantu premeny a dobu polpremeny rádionuklidu 131J!

Riešenie

Vzťah medzi aktivitou a počtom rádioaktívnych atómov prítomných vo vzorke je : A1 = l N1 a A2 = l N2 . Medzi počtami rádioaktívnych atómov N1 a N2 platí vzťah: 2 1

tN N e λ−= , kde t je

časový interval medzi meraniami. Pre pomer nameraných aktivít dostávame: 1

2

tN eN

λ= , odkiaľ sa

vypočíta konštanta premeny: -1

1-1

2

1 1 24,5sln ln30 3600s 22s

Nt N

λ = =⋅

= 9,97◊10–7 s–1. Pre dobu polpremeny

T1/2 dostaneme: 1/ 21

2

ln 2 ln 2ln

tT NN

λ= = = 6,95◊105 s = 8,05 d.

9.4 Koľko častíc alfa a beta sa emituje pri úplnej premene 2◊10–5 mg 238U na stabilné 206Pb ? Riešenie

Na základe zákonov zachovania náboja a počtu nukleónov platí sumárna schéma premeny:

118

238 206 492 82 2U Pb 8 6α β −→ + + . Vypočítame počet atómov v danej vzorke: A

mN NM

= . Po dosadení 5 9

26 1 101

2 10 10 kg 6,022 10 kmol 5,05 10238kg kmol

N− −

−−

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

⋅. Počet emitovaných častíc a je na = 8N = 4,04◊1011

a počet emitovaných častíc b je nb = 6N = 3,03◊1011. 9.5 Aký nasýtený prúd vytvorí 0,2 mg U3O8 nanesený v nekonečne tenkej vrstve na kovovom

podklade a umiestnený v ionizačnej komore? Doba polpremeny 238U je T1/2 = 4,51◊109 rokov, energia a častíc Ea = 4,19 MeV a energia potrebná na vytvorenie jedného páru iónov vo vzduchu je Ep = 32,5 eV.

Riešenie

Počet atómov uránu 238U v danom množstve oxidu uránu je: U A

U

m NNM

= kde mU je hmotnosť

uránu, MU je molárna hmotnosť uránu a NA je Avogadrova konštanta. Hmotnosť uránu vo vzorke

U3O8 je UU

U O

33 8

Mm mM M

=+

, kde MO je molárna hmotnosť kyslíka. Po dosadení číselných hodnôt

bude počet atómov uránu N = 4,29◊1017 . Aktivita preparátu je ln 2A N NT

λ= = a po dosadení

číselných údajov A = 2,1 s–1 . Preparát vyšle do celého priestorového uhla 4p za jednu sekundu A a - častíc a každá z nich má energiu Ea = 4,19 MeV. Potom celková energia, ktorú a - častice odovzdajú

do polpriestoru, je 14,19 4,4 MeV s2AE −= = ⋅ . Počet za jednu sekundu vo vzduchu vytvorených

iónových párov n bude n = E/Ep . Po dosadení n = 1,35◊105 s–1 . 9.6 Stanovte množstvo tepla, ktoré sa uvoľní z 0,001 mg izotopu polónia 210Po za dobu, ktorá sa

rovná strednej dobe života tohto izotopu, ak energia častíc a , ktoré sa uvoľňujú pri premene je Ea = 5,3 MeV.

Riešenie

Počet premien za strednú dobu života t = 1/l sa vypočíta tak, že sa vyjadrí počet jadier N, ktoré

sa v čase t = t ešte nepremenili: 10 0 0

tN N e N e N eλ

λ λ−− −= = = a potom počet premien Nt za čas t

bude Nt = N0 – N = N0 (1 – e − 1). Vo vzorke polónia hmotnosti m je N0 jadier 0 AmN NM

= a množstvo

tepla Q, ktoré uvoľní preparát je τ α A α11mQ N E N E

M e⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Po dosadení číselných hodnôt bude

uvoľnené teplo Q = 1,54◊103 J. 9.7 Aká energia v MeV sa uvoľní pri premene jadra 7

3Li , z ktorého po ožiarení protónmi vzniknú dve častice a (podľa schémy : 7 4

3 2Li 2 Hep+ → ). 73 Li má relatívnu atómovú hmotnosť

MLi = 7,01600 a protón má relatívnu hmotnosť Mp = 1,00728. Relatívna hmotnosť a - častice je Ma = 4,00261.

Riešenie

Hmotnostný schodok Dm je Dm = ( MLi + Mp – 2Ma ) mu , pričom sa uvoľní energia DE = Dmc2 = ( MLi + Mp – 2Ma ) mu c2. Po dosadení číselných hodnôt : DE = 16,8 MeV.

119

9.8 Žiarič 137Cs s aktivitou 5⋅104 Bq je umiestnený vo vzdialenosti d = 1 m od širšej bočnej steny kvádra vo výške 75 cm od základne kvádra, ktorý má šírku 30 cm, hrúbku 20 cm, výšku 150 cm a je naplnený vodou. 70 % žiarenia, ktoré dopadne na kváder sa v ňom absorbuje. Akú dávku v Gy by obdržal kváder za 8 hodín? Energia g - žiarenia cézia je ECs = 0,66 MeV.

Riešenie

Žiarenie, ktoré emituje zdroj žiarenia, sa rovnomerne šíri do celého priestoru. Preto na jednotku plochy vo vzdialenosti d dopadne žiarenie, ktoré odpovedá fluencii žiarenia za sekundu, t.j.

t 24πAd

Φ = , kde A je aktivita zdroja. Potom na čelnú plochu kvádra S dopadne ΦK počet častíc

Κ t SΦ Φ= . Množstvo absorbovaných častíc vo vode bude ΦA = 0,7 Φt S , ktoré odovzdajú celú svoju

energiu E prostrediu valca. CsA Cs 2

0,74πAS EE E

dΦ= = . Potom absorbovaná dávka, ktorú obdržal kváder

naplnený vodou za 8 hodín ožarovania je ED tm

= , kde m je hmotnosť kvádra, vyjadrená pomocou

hustoty a objemu: m ρτ= . Absorbovaná dávka žiarenia bude Cs2

0,74π

AS ED td ρτ

= . Po dosadení

číselných hodnôt D = 0,04 μGy.

9.9 Pri archeologických vykopávkach starých hrobov sa našli zvyšky ľanovej tkaniny s hmotnosťou 20 g. Po zmeraní hmotnostnej aktivity 14C tejto vzorky sa zistilo, že odpovedá 1/3 hmotnostnej aktivity zrovnateľnej súčasnej tkaniny. Určte vek tkaniny z vykopávky!

Riešenie

Uhlík 14C vzniká nepretržite v ovzduší z atmosférického dusíka pôsobením neutrónov kozmického žiarenia ako výsledok reakcie 14 14

7 6N Cn p+ → + a vo forme 14CO2 je stálou zložkou ovzdušia. Živé organizmy vždy obsahujú a obsahovali konštantné množstvo rádioaktívneho uhlíka. Keď živý organizmus odumrie rovnováha sa poruší a organizmus už neprijíma ďalej rádioaktívny uhlík. Rádioaktívny uhlík sa neustále premieňa s dobou polpremeny T1/2, vykopávky preto obsahujú menej 14C ako žijúce organizmy. Keď sa označí hmotnostná aktivita súčasnej tkaniny ako a0, potom

aktivita v čase t bude 0,693

00 03

tt Taa a e a eλ −−= = = . Odtiaľ 0,6931

3t

Te−

= a logaritmovaním dostaneme

1/ 2

0,6931,098 tT

−− = . Keď sa vyjadrí čas t a dosadí sa doba polpremeny 14C, dostaneme:

1,098 57300,693

t = = 9082 rokov.

9.4 Neriešené príklady 9.10 Vypočítajte premenovú konštantu λ izotopu radónu, ak sa vie, že počet atómov radónu za 24

hodín sa zníži na 18,2 % pôvodného množstva. 9.11 Vypočítajte dobu polpremeny neznámeho rádionuklidu, ktorého rádioaktívna premena je

graficky vyjadrená na obr. 9.1 (v teoretickej časti). Podľa tabuľky zistite, ktorému rádionuklidu uvedená premenová priamka prináleží!

9.12 Aká časť rádioaktívnych jadier kobaltu 58Co sa premenila za mesiac, ak jeho doba polpremeny je

T1/2 = 71,3 dňa ?

120

9.13 Za aký čas t sa premení 1/6 pôvodného počtu jadier rádionuklidu, ktorého doba polpremeny je

T1/2 = 114 min? Určte strednú dobu života t atómov tohto rádionuklidu! 9.14 *Koľko častíc alfa a častíc beta sa emituje pri premene 2◊10–5 mg 232Th na stabilný nuklid 208Pb

za čas, ktorý odpovedá dobe polpremeny 232Th ? 9.15 *Hmotnostná aktivita preparátu am , ktorý sa skladá z aktívneho izotopu 58Co a neaktívneho 59Co,

je 2,22⋅1020 Bq⋅kg–1. Určte vzťah medzi hmotnosťou ma aktívneho kobaltu a hmotnosťou m celého preparátu.

9.16 Aktivita izotopu sa deteguje pomocou ionizačnej komory. Na začiatku merania ionizačná

komora zaznamenala 75 impulzov za 10 sekúnd. Aký počet impulzov za 10 sekúnd komora zaregistruje po uplynutí času t = T1/2/2 ak T1/2 » 10 sekúnd?

9.17 Daný rádionuklid má konštantu premeny λ = 4⋅10–7 s–1. Za aký čas sa premení 75 % počiatočnej

hmotnosti rádionuklidu? 9.18 Akú má rádioaktivitu sklený pohár z draselného skla hmotnosti 20 dkg? Draselné sklo tohto typu

obsahuje 12 % draslíka. 9.19 Zistite aktivitu radónu, ktorý vznikne premenou 1g rádia za 1 hodinu. 9.20 Stanovte vek starých drevených predmetov, ak hmotnostná aktivita izotopu 14C v týchto

predmetoch má hodnotu 3/5 hmotnostnej aktivity v čerstvo zoťatých stromoch. 9.21 Aké teplo Q sa uvoľní pri rádioaktívnej premene radónu s aktivitou A = 3,7⋅1010 Bq za čas

a/ t = 1 h, b/ t = τ . Kinetická energia α - častíc, ktoré sa uvoľňujú pri rádioaktívnej premene radónu je Eα = 5,5 MeV.

9.22 Bodový žiarič kobaltu 60Co s aktivitou A = 3,7⋅107 Bq pri každej premene emituje dve γ kvantá,

s celkovou energiou Eγ = 1,25 MeV. Koľko kvánt γ a aká energia žiarenia dopadá vo vzdialenosti ℓ = 0,8 m na plochu 1 m2 za jednu sekundu?

9.23 Meraním sa zistilo, že nasýtený ionizačný prúd vo vzduchu za prítomnosti radónu aktivity

A = 3,7⋅107 Bq má veľkosť I = 0,29 μA. Koľko iónov vznikne vo vzduchu účinkom ionizácie každej častice α emitovanej radónom? Energia Ei potrebná na vytvorenie jedného páru iónov Ei = 34 eV a energia alfa častíc emitovaných radónom je Ea = 6,28 MeV. Koľko iónov vznikne vo vzduchu účinkom ionizácie všetkých častíc α emitovaných radónom?

9.24 Kinetická energia α - častíc, ktoré sa uvoľňujú z jadra polónia 210Po pri jeho rádioaktívnej

premene je Ek. Zistite: a/ rýchlosť α - častíc; b/ počet iónových párov, ktoré vytvorí α - častica v plynovom detektore, ak na vytvorenie jedného páru treba energiu Ei = 34 eV; c/ nasýtený prúd I v detektore od všetkých α - častíc pri aktivite polónia A = 3,7⋅104 Bq.

9.25 Aká je väzbová energia na jeden nukleón v nuklide, ktorého relatívna atómová hmotnosť je

M = 26,981? 9.26 *Vo vzdialenosti d = 80 cm od povrchu gule polomeru 20 cm sa nachádza žiarič 60Co s aktivitou

5⋅106 Bq. Guľa je naplnená etylalkoholom. Žiarenie, ktoré dopadne na guľu je na 55 % absorbované v guli. Ako dlho pôsobilo žiarenie na guľu, keď guľa obdržala dávku D = 0,5 μGy?

121

10 Základy kvantovej fyziky

10.1 Úvod Žiarenie absolútne čierneho telesa

Látky všetkých skupenstiev zohriate na istú teplotu vyžarujú elektromagnetické vlnenie, ktoré má pôvod v tepelných pohyboch (kmitoch) ich elektricky nabitých častíc. K popisu žiarenia je vhodné definovať nasledujúce pojmy a fyzikálne veličiny: žiarivý tok Φ – energia vyžiarená telesom za

časovú jednotku (t.j. výkon vyžiarený, prenášaný alebo prijímaný vlnením), eddEt

Φ = [W] ; intenzita

vyžarovania (excitancia) M – energia vyžiarená jednotkovou plochou za jednotku času, dd

MSΦ

= [W⋅m–2]; spektrálna hustota (koncentrácia) intenzity vyžarovania Mλ, resp. Mφ – energia

vyžiarená jednotkovou plochou za jednotku času, ktorá pripadá na vlny z malého intervalu vlnových

dĺžok (λ, λ +dλ), ddMM λ λ

= [W⋅m–3], resp. frekvencií z intervalu (f, f + Δf): ddfMMf

= [J⋅m–2]. Pritom

platí, že 0

= dM Mλ λ∞

∫ , resp. 0

= dfM M f∞

∫ .

Každá látka môže dopadajúce žiarenie čiastočne odrážať, prepúšťať a pohlcovať (absorbovať). Absolútne čierne teleso je také teleso, ktoré je schopné pohlcovať (absorbovať) a vyžarovať žiarenia všetkých frekvencií. Telesá, ktoré pohlcujú /vyžarujú len časť dopadajúceho žiarenia, sa nazývajú sivé. Pomer energie pohltenej telesom za 1 s k energií dopadajúcej, predstavuje absorptanciu (relatívnu pohltivosť) pohl. dop./Φ Φα = (pre absolútne čierne teleso platí α = 1). Pri štúdiu absolútne čierneho telesa zaviedol M. Planck predpoklad kvantovania energie. Podľa tejto predstavy kmitajúci elektrón (kmitajúca častica) môže vyžarovať energiu len po celistvých násobkoch minimálnej hodnoty energie elektromagnetických kmitov [ ( ) 0n ( )f fε ε= , n =1, 2, 3 ... ]. Táto hodnota 0 ( )fε sa nazýva kvantum energie a jej veľkosť je priamo úmerná frekvencií žiarenia 0 ( )f hfε = . Konštanta úmernosti sa nazýva Planckova konštanta (h = 6,6261⋅10–34 J⋅s). Charakterizuje diskrétne hodnoty energie elektromagnetických kmitov danej frekvencie. Na základe očakávaného kvantovania energie odvodil Planck vzťah pre spektrálnu hustotu intenzity vyžarovania

( )2

5

2 1,e 1

hckT

hcM Tλ

λλλπ

=−

, resp. ( )3

2

2 1,e -1

f hfkT

hfM f Tc

π= .

Z Planckovho zákona vyplývajú tri dôležité zákony pre vyžarovanie absolútne čierneho telesa (pozri tiež príklady 10.1 až 10.3), ktoré vychádzali z klasických predstáv spojitého vyžarovania energie: 1. Stefanov-Boltzmannov zákon: intenzita vyžarovania je priamo úmerná štvrtej mocnine teploty

( ) 4M T Tσ= , kde Stefanova-Boltzmannova konštanta 5 4 3 22 /15k h cσ = π = 5,671⋅10–8 W⋅m–2⋅K–4, kde k je Boltzmannova konštanta, c - rýchlosť svetla vo vákuu. 2. Wienov posuvný zákon: vlnová dĺžka, pri ktorej teleso vyžaruje maximum energie je nepriamo úmerná teplote

maxM /b Tλ = , kde 30 2,898 10b hc x k −= = ⋅ m⋅K, pričom x0 = 4,965.

3. Rayleighov-Jeansov zákon: pre malé hodnoty frekvencie elektromagnetického vlnenia f je

spektrálna hustota intenzity vyžarovania priamo úmerná teplote ( )2

2

2,fk fM f T Tc

π= .

Fotoelektrický jav Ďalší rozvoj kvantovej teórie sa týkal časticového charakteru elektromagnetického žiarenia vo

viditeľnej a v ultrafialovej oblasti, ako aj v oblasti veľmi malých vlnových dĺžok (rtg. žiarenie). Albertovi Einsteinovi sa podarilo na základe predstavy časticového charakteru elektromagnetického žiarenia vysvetliť fotoelektrický jav. Vonkajší fotoelektrický jav (fotoefekt) je jav, pri ktorom povrch

122

látky, na ktorý dopadajú fotóny (svetelné kvantá) s energiou hf hc λ= , emituje fotoelektróny.

Kinetickú energiu emitovaného fotoelektrónu 212kE m= v môžeme vyjadriť z Einsteinovho vzťahu

khf W E= + , kde 0 0W hf hc λ= = je výstupná práca elektrónu z materiálu. Táto práca predstavuje minimálnu energiu fotónov potrebnú na to, aby mohol nastať fotoefekt. Einsteinovu rovnicu môžeme zapísať aj v tvare bkhf W E eU− = = , kde e je elementárny náboj elektrónu a Ub je napätie brzdiaceho elektrického poľa, ktoré práve zadrží uvoľnený elektrón (resp. maximálny potenciál, na ktorý sa nabije predtým elektricky neutrálny, izolovaný povrch látky v dôsledku vyletujúcich elektrónov). Fotón ako častica je charakterizovaný: hmotnosťou 2/m hf c= za pohybu (pokojová hmotnosť fotónu m0 = 0), rýchlosťou c a hybnosťou /p mc h λ= = .

Vlnovo-časticový charakter mikročastíc

Louis de Broglie zovšeobecnil vlnovo-korpuskulárny dualizmus pozorovaný pri elektromagnetickom žiarení na všetky mikročastice, ktorých pokojová hmotnosť je rôzna od nuly. Každej častici s hybnosťou p a energiou E prináleží podľa de Broglieho hypotézy materiálová vlna,

ktorej vlnová dĺžka a frekvencia sú určené nezávislými rovnicami hp

λ = a Efh

= . Materiálové vlny

neexistujú vo forme rovinných monochromatických vĺn (s jednou vlnovou dĺžkou), ale v podobe vlnových balíkov. Každý balík možno chápať ako superpozíciu (súčet) rovinných monochromatických

vĺn. Vlnové balíky sa šíria prostredím tzv. grupovou rýchlosťou ( ddgEp

=v ), ktorá je totožná s

rýchlosťou príslušnej častice. Heisenbergove vzťahy neurčitosti

Pretože každá hmotná mikročastica má korpuskulárne aj vlnové vlastnosti, nie je preto možné charakterizovať jej okamžitý stav zadaním presnej polohy a presnej hybnosti. W. Heisenberg stanovil hranice, v rámci ktorých má zmysel charakterizovať časticu klasickými veličinami, akými sú napr. poloha a hybnosť. Experimenty ukazujú, že v prírode neexistujú stavy mikročastíc s presne určenými hodnotami súradníc a hybností. Ak hľadáme súčasne polohu aj hybnosť častice, možno to urobiť iba približne, s istou neurčitosťou Δx, Δy, Δz v hodnotách súradníc polohy a s neurčitosťou Δpx, Δpy, Δpz v hodnotách súradníc hybnosti. Heisenberg vysvetlil pravdepodobnostný charakter vyššie uvedených pozorovateľných veličín princípom neurčitosti, podľa ktorého platia medzi ich neurčitosťami

nasledujúce vzťahy: x 2x pΔ Δ ≥ , y 2

y pΔ Δ ≥ , z 2z pΔ Δ ≥ , kde

2h

=π

.

Princíp neurčitosti tiež poukazuje na skutočnosť, že presné stanovenie súradnice znamená úplnú stratu informácií o hybnosti, ktorá jej prislúcha (napr. ak Δx → 0, potom Δpx → ∞) a opačne.

Vzťah neurčitosti pre hybnosť a súradnicu možno rozšíriť aj na energiu E a čas t, t.j. / 2E tΔ Δ ≥ . Zo vzťahu vyplýva, že žiadny vlnový proces ohraničený v čase Δt nemôže byť

monochromatický. Čím kratší je čas existencie určitého energetického stavu, resp. čas vymedzený na jeho pozorovanie, tým s menšou presnosťou môžeme určiť energiu tohto stavu. 10.2 Otázky a problémy 1. Čo je to absolútne čierne teleso a sivé teleso? 2. Čo je to absorptancia (koeficient sivosti)? 3. Čo rozumieme pod pojmom kvantum energie? 4. Ak by bol slnečný kolektor konkávny (vypuklý), získame väčší povrch, na ktorý by mohlo

dopadať viac slnečných lúčov. Prečo sa však vyrábajú len ploché?

123

5. Koľkokrát sa zväčší (zmenší) intenzita vyžarovania absolútne čierneho telesa, keď jeho teplota sa zväčší (zmenší) dvakrát?

6. Ako sa zmení podiel M MΔ , kde 4M Tσ= je intenzita vyžarovania absolútne čierneho telesa, keď jeho teplota sa zväčší o 1%?

7. Jedno teleso je rozpálené plameňom ohňa tak, že má červenú farbu a druhé má žltú. Ktoré z nich má vyššiu teplotu?

8. Slnko vyžaruje najviac energie na vlnovej dĺžke odpovedajúcej zelenej farbe. Uvažujme, že pre nejakú príčinu by sa teplota Slnka zvýšila (znížila). Ako by sa zmenila farba rastlín alebo lístia stromov na Zemi?

9. Straty energie spôsobené tepelným vyžarovaním z povrchu telies vyjadrujeme vzťahom ( )4 4

0W S t T Tσ= − , kde S je povrch telesa, t je čas, σ je konštanta, T teplota povrchu telesa a T0

teplota okolia. Vysvetlite prečo? 10. Študent na skúške z fyziky nakreslil dve krivky (pozri

obr.10.1) odpovedajúce spektrálnej hustote intenzity vyžarovania absolútne čierneho telesa pre dve rôzne teploty (T2>T1). Získa za odpoveď plný počet bodov?

11. Teplotu absolútne čierneho telesa sme zvýšili štyrikrát. Ako sa posunie maximum vyžarovanej energie?

12. Podľa staršej definície jednotky svietivosti, kandela je svietivosť (I) 1/600000 m2 povrchu absolútne čierneho telesa v smere kolmom na tento povrch pri teplote tuhnutia platiny, t.j. 1796 °C. Aký minimálny výkon musel mať tento zdroj energie?

13. Zdroj vysiela žiarenie s frekvenciou f = 540 ⋅1012 Hz. Vypočítajte vlnovú dĺžku žiarenia! 14. Čo je to elektrón? Aká je jeho pokojová hmotnosť? 15. Čo je to fotón? Aká je jeho pokojová hmotnosť? 16. Čo rozumieme pod pojmom „fotoelektrón“? 17. Prečo sa dá vysvetliť fotoefekt pomocou korpuskulárnej teórie svetla a nie pomocou vlnovej teórie

svetla? 18. Ako sa zmení energia fotoelektrónov, keď kovovú elektródu ožiarime svetlom, ktorého frekvencia

sa zmenila z hodnoty f na hodnotu 2f? 19. Čo je to jeden elektrónvolt (eV)? 20. Čo je to výstupná práca elektrónov? 21. Keď svietime svetlom s vhodnou vlnovou dĺžkou na izolovanú kovovú dosku, začnú sa emitovať

fotoelektróny. Prečo po čase tento proces zanikne? 22. Striebornú elektródu ožiarime svetlom vlnovej dĺžky λ = 300 nm. Rozhodnite, či nastane fotoefekt! 23. Akou rýchlosťou budú vyletovať elektróny z platiny po jej ožiarení svetlom vlnovej dĺžky λ = 400 nm?

Hodnoty výstupných prác pre jednotlivé prvky nájdete v tabuľkovej prílohe. 24. Chcete vyrobiť fotočlánok pracujúci s viditeľným svetlom. Ktorý z nasledujúcich prvkov by ste

použili na jeho výrobu: Ta, W, Al, Ba, Li? 25. Uveďte príklady experimentov, kde sa elektrón správa ako častica, resp. ako vlna! 26. Aká je vlnová dĺžka strely s hmotnosťou 5 g, ako de Broglieho vlny, letiacej rýchlosťou

400 m⋅s–1? Výsledok porovnajte s vlnovou dĺžkou elektrónu pohybujúceho sa rýchlosťou 200 000 km·s–1 (Hmotnosť elektrónu uvažujte 9,11·10–31 kg)!

27. Prečo nemôžeme hovoriť o determinizme fyziky z hľadiska Heisenbergových vzťahov neurčitosti? 28. V teórii veľkého tresku (Big Bang) sa predpokladá, že vesmír vznikol v určitom časovom

okamihu. Prečo nemôžeme tento okamih presne určiť? 29. Na základe Heisenbergových vzťahov neurčitostí sa nedá hovoriť pri pohybe elektrónu okolo

jadra o jeho trajektórií. Prečo? 30. Ako možno vysvetliť prirodzenú šírku spektrálnej čiary? 31. Ako sa zmení energia fotónu, keď sa zmenší vlnová dĺžka svetla λ na polovicu?

T2

T1

λ (nm)

Mλ

(W.m

-2)

Obr. 10.1

124

10.3 Riešené príklady 10.1 Odvoďte Stefanov-Boltzmannov zákon z Planckovho zákona pre žiarenie absolútne čierneho telesa! Riešenie

Vyjdeme z Planckovho vzťahu pre spektrálnu hustotu intenzity vyžarovania v tvare:

( )3

2

2 1,e 1

f hfkT

hfM f Tc

π=

−. Celková intenzita vyžarovania pre všetky frekvencie žiarenia je:

( ) ( )3

20 0

2, d de 1

f hfkT

h fM T M f T f fc

∞ ∞π= =

−∫ ∫ . Zavedieme substitúciu

khf xT

= , z ktorej vyplýva

kTf xh

= a d dkTf xh

= . Po dosadení do integrálu získame výraz ( )4 4 3

2 30

2 dxe 1x

k T xM Tc h

∞π=

−∫ .

Hodnotu integrálu môžeme nájsť v matematických tabuľkách, t.j.3 4

0

dxe 1 15x

x∞ π=

−∫ .

Potom ( ) 4M T Tσ= , kde 5 4 5 23 4

83 2 34 3 8 2

2 2 (1,38 10 ) 5,67 1015 15 (6,63 10 ) (3 10 )

kh c

πσ−

−−

π ⋅= = = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ W⋅m–2⋅K–4.

10.2 *Odvoďte Wienov posuvný zákon z Planckovho zákona žiarenia absolútne čierneho telesa! Riešenie

Pri riešení problému budeme vychádzať zo znalosti Planckovho vzťahu pre spektrálnu hustotu

intenzity vyžarovania v tvare ( )2

5

2 1,e 1

hckT

hcM Tλ

λλλπ

=−

.

Táto funkcia má svoj extrém, ktorý určíme z podmienky ( )d , 0d

M Tλ λλ

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ . Po derivovaní a

jednoduchej úprave dostaneme rovnicu 5 (e 1) e 0hc hck T k Thc

k Tλ λλ

⎛ ⎞− − + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠. Zavedením substitúcie

hc xk Tλ

= rovnica nadobudne tvar x x5(e 1) e 0x− − + = alebo x5(1 e )x −= − . Získali sme

transcendentnú rovnicu, ktorú možno riešiť iteračným spôsobom ( nxn+1 5(1 e )x −= − ). Ak za počiatočný

bod iterácie zvolíme x0 = 4, potom 0x1 5(1 e ) 4,908x −= − = . Po niekoľkých krokoch dostaneme

výsledné číslo x = 4,965 (pozri tabuľku). n 0 1 2 3 4 xn 4,000 4,908 4,963 4,965 4,965

xn+1 4,908 4,963 4,965 4,965 4,965 Spätným dosadením nájdeného čísla x do substitúcie a jej jednoduchou úpravou získame matematické

vyjadrenie Wienovho posuvného zákona: max

34 83

M 23

6,63 10 3 10 2,903 101,38 10 4,965

hcT bk x

λ−

−−

⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅

⋅ ⋅ m⋅K.

10.3 Odvoďte Rayleighov-Jeansov zákon žiarenia absolútne čierneho telesa z Planckovho zákona! Riešenie

Pri riešení problému budeme vychádzať zo znalosti Planckovho vzťahu pre spektrálnu hustotu

125

žiarivej energie v tvare ( )3

2

2 1,e -1

f h fk T

h fM f Tc

π= . Rayleighov-Jeansov zákon platí pre žiarenie

absolútne čierneho telesa v oblasti nízkych frekvencií (veľkých vlnových dĺžok) a vysokých teplôt, t.j.

člen 1h fk T

<< . Rozložením exponenciálnej funkcie eh fk T do MacLaurinovho radu:

(2

1e 1 ...2

h fk T h f h f

k T k T⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

) a ponechaním jeho prvých dvoch členov dostaneme Rayleighov-

Jeansov zákon v tvare: ( )2

2,fk T fM f Tc

2π= .

10.4 *Kovová guľa s polomerom R = 10 cm zohriata na teplotu T = 1200 K je umiestnená do

priestoru, kde je teplota blízka absolútnej nule. Vypočítajte, za aký čas sa teplota gule zníži na polovicu, keď hmotnostná tepelná kapacita materiálu je cv = 1930 J⋅kg–1⋅K–1. Hmotnosť gule je 30 kg.

Riešenie

Element energie dEe vyžiarený celou plochou gule za čas dt vypočítame ako: 4 2

ed d d 4π dE t M S t T R tΦ σ= = = . O túto hodnotu sa zmenší jej tepelná energia Q vd dE mc T= − . Pretože platí zákon zachovania energie ( e Qd dE E= ), dostávame rovnicu 4 2

v4π d dT R t mc Tσ = − . Separujeme premenné a následne integrujeme rovnicu 2 4

v4π d dR t mc T Tσ −= − : 2

2 4v

0

4π d dTt

T

R t mc T Tσ −= −∫ ∫ ⇒ 22 3v4π

3T

T

mcR t Tσ −⎡ ⎤= ⎣ ⎦

32 8 2 3

7 30 19307 10978,412 12 5,67 10 10 (1200)

vmct TRσ

−− −

⋅ ⋅⎡ ⎤= = =⎣ ⎦π ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅s.

10.5 Ohrievacia špirála elektrickej pece je navinutá z drôtu dĺžky ℓ = 10 m a je pripojená na

elektrickú sieť s napätím U = 220 V. Špirála sa v dôsledku prechádzajúceho prúdu zohreje z teploty T1 = 293 K na teplotu T2 = 1373 K. Aký priemer d má drôt, ak jeho rezistivita je ρ = 1,1⋅10–6 Ω⋅m a absorptancia jeho povrchu je α = 0,6?

Riešenie

Tok vyžiarený špirálou elektrickej pece, t.j. energiu za jednotku času, vyjadríme ako ( )4 4

1 2 1 πT T dΦ σ= − α . Koeficient α vyjadruje skutočnosť, že špirála nežiari ako absolútne čierne

teleso, ale ako tzv. sivé teleso. Súčin πd predstavuje povrch špirály. Elektrická sieť dodáva výkon 2UP

R= , kde elektrický odpor špirály R vyjadríme pomocou plochy jej prierezu ( 2π 4d ), dĺžky ℓ a

rezistivity ρ, t.j. 2 2

4π π

4

Rd d

ρρ= = .

Pre elektrický výkon možno napísať 2 2π4

U dPρ

= . Z rovnosti Φ1 = P určíme následne priemer

špirály ( ) ( )4 4 2 4 4 6 8 2

2 1 32 2

4 4 1373 293 0,6 1,1 10 5,67 10 101,09 10

220T T

dU

ρσ − −−

− α ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ m.

126

10.6 Teleso zohriaté na teplotu T1 = 2500 K postupne chladne. Vlnová dĺžka svetla, na ktorú pripadá relatívne najviac energie v spektre žiarenia tohto telesa sa zmení o Δλ = 0,8 μm. Vypočítajte, na akú teplotu T2 sa teleso ochladilo za predpokladu, že žiari ako absolútne čierne teleso.

Riešenie

Z Wienovho posuvného zákona pre vlnové dĺžky dostaneme 1m1

bT

λ = a 2m2

bT

λ = . Pre zmenu

vlnovej dĺžky môžeme napísať rovnicu 2m 1m2 1

b bT T

λ λ λΔ = − = − , z ktorej následne vyjadríme hľadanú

teplotu 3

12 6 3

1

2,90 10 2500 1479,60,8 10 2500 2,9 10

bTTT bλ

−

− −

⋅ ⋅= = =

Δ + ⋅ ⋅ + ⋅K.

10.7 Za predpokladu, že Slnko a Zem žiaria ako absolútne čierne telesá, vypočítajte na akú teplotu by

sa zohriala naša Zem pod vplyvom slnečného žiarenia. Teplota povrchu Slnka je TS = 5800 K, polomer Slnka je RS = 6,96⋅108 m a stredný polomer obežnej dráhy je rSZ = 1,49⋅1011 m.

Riešenie

Tok vyžiarený povrchom Slnka, t.j. energia za jednu sekundu, je: 4 2S S4πT RΦ σ= . Vo

vzdialenosti rSZ dopadne na jednotkovú plochu energia 4 2 2

4S S SS2 2 2

SZ SZ SZ

4π4π 4π

T R RTr r r

σΦ σ= = . Na povrch

Zeme dopadne žiarivý tok (energia za jednu sekundu) 2

4 2S1 S Z2

SZ

πRT Rr

Φ σ= , kde RZ je polomer planéty.

Zem ako absolútne čierne teleso súčasne vyžaruje celým svojím povrchom tok 4 22 Z Z4πT RΦ σ= , kde TZ

je teplota povrchu Zeme. Pri tepelnej rovnováhe platí 1 2Φ Φ= , z čoho vyjadríme teplotu povrchu Zeme 8

SZ S 11

SZ

6,96 105800 280,32 2 1,49 10RT Tr

⋅= = =

⋅ ⋅K.

Poznámka: Planéta absorbuje žiarenie svojim profilom, pozri Otázky a problémy- problém č. 4. 10.8 Elektrickému ohrievaciemu telesu s vyžarovacou plochou povrchu veľkosti S = 350 cm2 sa

neustále privádza elektrický výkon P = 1,5 kW. Aká bude teplota T povrchu telesa, ak považujeme povrch za absolútne čierny, teplota T0 okolitého prostredia je 520 K a 10 % výkonu sa stráca vedením tepla?

Riešenie

Energia, ktorú vyžiari teleso za jednotku času – žiarivý tok – je ( )4 41 0T T SΦ σ= − . Tento žiarivý

tok je rovný 90 % elektrického výkonu ( 0,9 P ), pretože 10 % výkonu predstavujú straty. Z rovnice

( )4 40 0,9T T S Pσ − = po úprave vyjadríme hľadanú teplotu 4

4 00,9 PT T

Sσ= + . Po číselnom dosadení

získame 448 2

0,9 1500520 9285,67 10 3,5 10

T − −

⋅= + =

⋅ ⋅ ⋅ K.

10.9 Pri fotoelektrickom experimente so sodíkovou elektródou sa zistilo brzdné napätie Ub1 = 1,85 V

pre svetlo vlnovej dĺžky λ1 = 300 nm a napätie Ub2 = 0,82 V pre svetlo vlnovej dĺžky λ2 = 400 nm. Vypočítajte z týchto údajov: a) hodnotu Planckovej konštanty, b) výstupnú prácu pre sodík, c) maximálnu vlnovú dĺžku, pri ktorej ešte nastane fotoefekt.

Riešenie Einsteinova rovnica pre fotoefekt v prípade vlnových dĺžok λ1, λ2 nadobudne tvary

127

b11

hc W eUλ

= + a b22

cλh W eU= + , kde W je výstupná práca pre sodík. Z týchto rovníc vyjadríme:

a) Planckovu konštantu 19 18

34b1 b2 1 28 9

2 1

( - ) 1,6 10 (1,85 0,82) 300 400 10= 6,59 10( ) 3 10 (400 300) 10

e U Uhc

λ λλ λ

− −−

−

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

− ⋅ − ⋅ J⋅s.

b) Výstupnú prácu 19 9 9

19b1 1 b2 29

2 1

( - ) 1,6 10 (1,85 300 10 0,82 400 10 )= 3,63 10(400 300) 10

e U UW λ λλ λ

− − −−

−

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= = ⋅

− − ⋅ J.

c) Pre maximálnu vlnovú dĺžku λm platí m

hcWλ

= , teda 34 8

7m 19

6,63 10 3 10 5,48 103,63 10

hcW

λ−

−−

⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

⋅ m.

10.10 Brzdné napätie platinovej elektródy ožiarenej UV svetlom je Ub1 = 3,7 V. Po ožiarení inej kovovej

elektródy je brzdné napätie Ub2 = 6,0 V. Vypočítajte výstupnú prácu elektrónov z druhej elektródy! Riešenie

Einsteinova rovnica pre obidva prípady má tvar 1 b1hc W eUλ

= + a 2 b2hc W eUλ

= + , kde výstupná

práca elektrónov z platiny je W1 = 6,3 eV (tabuľka 8). Z porovnania pravých strán rovníc vyplýva pre výstupnú prácu elektrónov z druhej elektródy vzťah 2 1 b1 b2( )W W e U U= + − = 4 eV. 10.11 Výstupná práca elektrónov pri uvoľnení z katódy je W = 4,5 eV. Aká je maximálna vlnová

dĺžka λm svetla, pri ktorej ešte nastane fotoemisia? Akú maximálnu rýchlosť vm môže získať elektrón emitovaný po ožiarení svetlom vlnovej dĺžky λ = 180 nm?

Riešenie

Z Einsteinovej rovnice pre fotoefekt khc W Eλ

= + vyplýva, že maximálna vlnová dĺžka svetla,

pri ktorej nastane fotoefekt zodpovedá nulovej kinetickej energii elektrónov 212kE m= v = 0. Preto

môžeme napísať m

hcWλ

= , teda 34 8

m 19

6,63 10 3 10 276,254,5 1,602 10

hcW

λ−

−

⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ nm.

V prípade ožiarenia systému svetlom vlnovej dĺžky λ (λ < λm) kinetická energia elektrónov už nie je

nulová 212k

hcE m Wλ

= = −v . Po úprave získame m2 hc Wm λ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

v , teda

34 819 5

m 31 9

2 6,63 10 3 10( 4,5 1,602 10 ) 9,19 109,11 10 180 10

−−

− −

⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅v m⋅s–1.

10.12 Od okolia izolovaná zlatá guľôčka s polomerom R = 1 cm je ožiarená svetlom vlnovej dĺžky

λ0 = 200 nm. Vypočítajte a) na aký maximálny potenciál Vbm sa nabije guľôčka v dôsledku straty fotoelektrónov, b) aký náboj vznikne na nej, c) koľko elektrónov sa uvoľnilo.

Riešenie a) V Einstenovej rovnici pre fotoefekt vyjadríme kinetickú energiu elektrónu pomocou brzdného

potenciálu (guľôčka je izolovaná, preto namiesto napätia môžeme pracovať s potenciálom) 2

bm0

1 = e2

hc W m W Vλ

= + +v . Výstupná práca pre zlato je podľa tabuľky 8: W = 5,4 eV.

Potom 34 8 19

bm 19 7 190

6,63 10 3 10 5,4 1,602 10( ) 0,81,602 10 2 10 1,602 10

hc WVe eλ

− −

− − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − = − =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅V.

128

b) Potenciál nabitej guľôčky sa vyjadrí pomocou náboja Q vzťahom bm04

QVRε

=π

. Potom

12 130 bm4π 4π 8,85 10 0,8 8,9 10Q R Vε − −= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ C.

c) Pretože celkový náboj Q je násobok náboja elektrónu Q = n e, 13

619

8,9 10 5,56 101,602 10

Qne

−

−

⋅= = = ⋅

⋅.

10.13 Vypočítajte vlnovú dĺžku de Broglieho vlny elektrónu urýchleného napätím 20 kV! Riešenie

Vo výraze vyjadrujúcom kinetickú energiu častice 2

212 2

pU e mm

= =v nahradíme hybnosť

elektrónu výrazom p = h / λ. Po jednoduchej úprave /h mλ = v získame vzťah:

34

31 19 3

6,63 10 8,72 2 9,11 10 1,602 10 20 10

hmeU

λ−

− −

⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ pm.

10.14 Akú rýchlosť v dosiahne fotónová raketa s hmotnosťou m = 10 t, keď jej svetelný zdroj vlnovej

dĺžky λ = 500 nm pracuje s výkonom P = 1 MW a je zapnutý 365 dní? Koľko fotónov sa pri tom vyžiari za jednu sekundu?

Riešenie Celková energia vyžiarená za čas t je rovná E = P t. Energia jedného fotónu s vlnovou dĺžkou λ je ε = h c /λ. Celkový počet fotónov vyžiarených za časový interval t potom vypočítame z podielu

E Ptnhc

λε

= = . Celkovú hybnosť vyžiarených fotónov môžeme na základe deBroglieho vzťahu napísať

v tvare /p nh λ= . Zo zákona zachovania hybnosti pre sústavu hmotných bodov vyplýva, že

/ /p m n h Pt cλ= = =v . Výsledná rýchlosť rakety je potom 6

8 4

10 365 24 36003 10 10

Ptc m

⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅v 10 m·s–1.

10.15 Aká je grupová rýchlosť voľnej mikročastice pohybujúcej sa rýchlosťou mnohonásobne

menšou, ako je rýchlosť svetla? Predpokladajte pri tom, že závislosť celkovej energie

mikročastice od hybnosti vyjadruje rovnica 2

202

pEm

= .

Riešenie

Vyjdeme z definície grupovej rýchlosti, kde ddgEp

=v . Pretože 2

0 0

d ( )d 2g

p pp m m

= = =v v , vidíme,

že grupová rýchlosť materiálovej vlny je totožná s rýchlosťou pohybu mikročastice.

10.16 Častica hmotnosti m v jednorozmernom potenciálnom poli má celkovú energiu rovnú

22 2x 1

2 2pE m xm

ω= + (ω - uhlová frekvencia harmonického oscilátora). Pomocou Heisenbergových

vzťahov neurčitosti vypočítajte najmenšiu možnú energiu častice v tomto poli! Riešenie

Celková energia častice je súčtom jej kinetickej a potenciálnej energie 2

2 2x 12 2pE m xm

ω= + .

129

Najmenšia hodnota súradnice častice x môže byť rádovo Δx. Podobne hybnosť častice môže mať

najmenšiu hodnotu rovnú Δpx. Pretože platí Heisenbergov vzťah x 4hp xΔ Δ ≥π

, celkovú energiu častice

môžeme ďalej vyjadriť ako2 2

2 2 2 2x2 2

( ) 1 h 1( ) ( )2 2 32π ( ) 2pE m x m xm m x

ω ωΔ= + Δ ≥ + Δ

Δ. Z podmienky

extrému funkcie d 0d( )

Ex

=Δ

dostaneme 2

22 3 ( ) 0

16 ( )h m xm x

ω− + Δ =π Δ

, teda 4

hxmω

Δ =π

.

Najmenšia možná energia častice je potom 4hE ω

=π

.

10.17 Vlnová dĺžka sa dá určiť s relatívnou presnosťou 610λ λ −Δ = . Aká je neurčitosť polohy Δx

fotónu vlnovej dĺžky λ = 0,1 nm, ak súčasne určujeme polohu aj vlnovú dĺžku? Riešenie

Pretože hpλ

= , potom pre Δp platí, že 2

d hd

pp λ λλ λ

Δ = Δ = Δ . Z Heisenbergových vzťahov ďalej

vyplýva, že2

4 4 4πh hx

p hλ λ λ

λ λΔ ≥ ≥ ≥

πΔ π Δ Δ. Teda

106

6

10 7,96 104 10

x−

−−Δ ≥ ≥ ⋅

π m.

10.18 Poloha protónu v atómovom jadre je určená s neurčitosťou Δx = 10–14 m. Vypočítajte

percentuálnu neurčitosť protónu s energiou E = 2 MeV, keď jeho hmotnosť m = 1,67⋅10–27 kg. (Uvažujme len lineárny pohyb v smere osi x).

Riešenie

Energia protónu súvisí s jeho hybnosťou 2

212 2

pE mm

= =v , preto 2p mE= . Neurčitosť

energie vyjadríme pomocou neurčitosti hybnosti d 2dE p mEE p p pp m m

Δ = Δ = Δ = Δ . Pretože z

Heisenbergových vzťahov vyplýva, že h4

px

Δ ≥πΔ

, potom 24

mE hEm x

Δ ≥πΔ

. Percentuálnu

neurčitosť potom vyjadríme ako 1.100% .100%22

E hE xmE

Δ≥

πΔ

34

1427 6 19

1 6,63 10.100% 100% 32,3%2 1021,67 10 2 10 1,602 10

EE

−

−− −

Δ ⋅≥ ⋅ =

π ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

10.19 Elektrón sa pohybuje v oblasti, ktorej veľkosť je a = 0,1 nm. Pomocou Heisenbergových

vzťahov neurčitosti vypočítajte jeho najmenšiu možnú kinetickú energiu! Riešenie

Kinetickú energiu elektrónu vyjadríme vzťahom 2

2 xx

12 2

pE mm

= =v , kde px predstavuje hybnosť

elektrónu a m jeho hmotnosť. Najmenšia hybnosť elektrónu môže byť rovná neurčitosti hybnosti

px ≈ Δpx, ktorú odhadneme z Heisenbergových vzťahov neurčitosti x 4hp

xΔ ≥

πΔ. V prípade pohybu

130

elektrónu v oblasti veľkosti a, neurčitosť jeho polohy určíme ako Δx ≈ 0,5 a. Pre minimálnu kinetickú

energiu potom platí 2 2 34 2

19x2 2 2 31 20

( ) (6,63 10 ) 6,11 102 8 8 9,1 10 10kp hEm m a

−−

− −

Δ ⋅= = = = ⋅

π π ⋅ ⋅ J = 3,82 eV.

10.20 Odhadnite šírku čiary Δλ a rozptyl frekvencie Δν pre svetelný impulz rubínového lasera,

ktorého doba trvania je t = 1 ns a vlnová dĺžka λ = 630 nm. Riešenie

K odhadu použijeme Heisenbergove princípy neurčitosti v tvare / 2E t hΔ Δ ≥ π . Neurčitosť v čase Δt odhadneme, že je rádovo rovná dobe trvania impulzu lasera (Δt ≈ t). Neurčitosť energie E = h c /λ vyjadríme pomocou Δλ, resp. Δf:

2

ddE hcE λ λλ λ

Δ = Δ = Δ , resp. ddEE f h ff

Δ = Δ = Δ .

Potom

2 4hc ht λλ

Δ Δ ≥π

, 2 7 2

8 9

(6,3 10 ) 0,1054 4 3 10 10c t

λλ−

−

⋅Δ ≥ ≥ ≥

π Δ π ⋅ ⋅ ⋅pm.

4ht h fΔ Δ ≥π

, 79

1 1 7,96 104 4 10

ft −Δ ≥ ≥ ≥ ⋅

πΔ π ⋅s–1.

10.4 Neriešené príklady 10.21 Aký veľký výkon P treba dodávať, aby sa vyhrievacia tyč elektrickej pece, v ktorej je teplota

T1 = 573 K, udržala na teplote T2 = 973 K? Dĺžka tyče je ℓ = 0,4 m a priemer d = 0,02 m. Predpokladajte 7% straty výkonu v dôsledku vedenia tepla.

10.22 Na akú teplotu T treba zohriať teleso, aby pri teplote okolia t0 = 20 °C vyžarovalo stokrát viac

energie, ako by prijímalo od okolia? 10.23 Teplota absolútne čierneho telesa sa zdvojnásobila, v dôsledku čoho sa maximum vyžarovanej

energie posunulo o hodnotu Δλm= 600 nm. Vypočítajte počiatočnú a konečnú teplotu telesa! 10.24 Kovové vlákno s priemerom d = 0,2 mm a dlhé ℓ = 10 cm sa rozžeraví z teploty T0 = 293 K na teplotu

T = 3000 K. Akú energiu vyžiari vlákno za čas t = 1 min, keď sa správa ako absolútne čierne teleso? 10.25 Výkon vyžarovania zohriatej kovovej gule polomeru R = 10 cm je P = 1 kW. Vypočítajte, na

akú teplotu je zohriata guľa, keď ju pokladáme za sivé teleso s koeficientom sivosti α = 0,25. 10.26 Predpokladajme, že naša Zem žiari ako sivé teleso s priemernou teplotou T = 280 K.

Vypočítajte absorptanciu Zeme, keď intenzita vyžarovania Zeme MZ = 90,28 W⋅m–2. 10.27 Vypočítajte teplotu a výkon Slnka, za predpokladu, že žiari ako absolútne čierne teleso.

Maximum spektrálnej hustoty intenzity vyžarovania pripadá na vlnovú dĺžku λm = 502 nm. Polomer Slnka RS = 6,96⋅105 km.

10.28 *Za predpokladu, že Slnko a planéty Mars a Venuša žiaria ako absolútne čierne telesá,

vypočítajte na akú teplotu by sa zohriali pod vplyvom slnečného žiarenia. Teplota povrchu Slnka je TS = 5800 K, polomer Slnka je RS = 6,96⋅108 m a stredný polomer obežnej dráhy Marsu okolo Slnka je rSM = 2,28⋅1011 m a Venuše okolo Slnka je rSV = 1,08⋅1011 m.

10.29 Vypočítajte teplotu pece, keď cez otvor plochy S = 8 cm2 uniká za čas t = 60 s energia žiarenia W = 5645 J.

131

10.30 Intenzita vyžarovania absolútne čierneho telesa je M = 64 MW⋅m–2. Na akej vlnovej dĺžke vyžaruje teleso najviac energie? Teplotu okolia považujte rovnú 0 K.

10.31 *Do čiernej, tenkostennej nádoby tvaru kocky sme naliali 10 kg vody teploty T1 = 323 K. Voda

vyplnila celý objem nádoby. Vypočítajte čas, za aký sa voda ochladí na teplotu T2 = 290 K, keď je umiestnená v čiernej dutine, ktorej steny majú teplotu blízku k absolútnej nule. Pri výpočte uvažujte iba hmotnostnú tepelnú kapacitu vody pri stálom objeme (cv = 4,2 kJ⋅kg–1⋅K–1).

10.32 Panel slnečného kolektora má plochu S = 5 m2 a jeho objem τ = 100 ℓ. Vypočítajte čas, za ktorý

sa ohreje voda v kolektore z teploty T1 = 290 K na teplotu T2 = 323 K. Predpokladajte, že panel pohltí 40 % dopadajúcej energie a intenzita slnečného vyžarovania je M = 8,0⋅104 J⋅m–2⋅min–1.

10.33 Aká je minimálna frekvencia dopadajúceho žiarenia, pri ktorej nastane emisia elektrónov zo

sodíka? Aká bude maximálna kinetická energia Ek pri ožiarení svetlom vlnovej dĺžky λ = 200 nm? 10.34 Brzdné napätie schopné zabrániť úniku fotoelektrónov z povrchu dopovaného polyméru

ožiareného svetlom vlnovej dĺžky λ1 = 491 nm, je Ub1 = 0,71 V. Akej vlnovej dĺžke λ2 odpovedá napätie veľkosti Ub2 = 1,43 V?

10.35 Aká je funkčná závislosť brzdného napätia Ub od frekvencie f dopadajúceho svetla na povrch

lítia? Aká musí byť minimálna f m frekvencia svetla, aby nastal fotoefekt? 10.36 Medenú guľku dostatočne vzdialenú a izolovanú od iných telies ožiarime monochromatickým

svetlom s vlnovou dĺžkou λ = 0,2 μm. Na aký maximálny potenciál Vbm sa guľka nabije v dôsledku straty fotoelektrónov?

10.37 Cézium je ožiarené laserom vlnovej dĺžky λ = 620 nm. Vypočítajte maximálnu rýchlosť

fotoelektrónov emitovaných z povrchu kovu! 10.38 Akou rýchlosťou vyletujú fotoelektróny zo striebornej elektródy ožiarenej svetlom vlnovej

dĺžky λ1 = 150 nm, keď najväčšia vlnová dĺžka, pri ktorej ešte nastane fotoefekt, je λ2 = 260 nm? 10.39 Výstupné práce elektrónov z kovu sú z intervalu 2 až 6 eV. Nájdite interval vlnových dĺžok, pri

ktorých môže fotoefekt nastať. 10.40 Vypočítajte kinetickú energiu fotoelektrónov, keď katódu vyrobenú z niklu ožiarime svetlom

vlnovej dĺžky λ0 = 200 nm. Jej hodnotu zapíšte v eV! 10.41 Vypočítajte maximálnu rýchlosť vm fotoelektrónov, ktorú môžu získať pri ožiarení wolfrámovej

katódy svetlom vlnovej dĺžky λ0 = 180 nm. 10.42 Maximálna kinetická energia fotoelektrónov pri ožiarení céziovej elektródy monochromatickým

žiarením je Ek = 0,15 eV. Vypočítajte vlnovú dĺžku λ0 svetla použitého pri ožiarení! 10.43 Vypočítajte brzdné napätie potrebné na zastavenie fotoelektrónov uvoľnených z céziovej

elektródy svetlom vlnovej dĺžky λ = 486 nm! 10.44 Elektróny vyletujúce z kovovej elektródy po expozícii UV žiarením dosahujú maximálnu rýchlosť

vm = 107 m⋅s–1. Vypočítajte vlnovú dĺžku svetla, keď výstupná práca elektrónov z elektródy je W = 4 eV. 10.45 Vypočítajte vlnovú dĺžku svetla, ktorým bola ožiarená medená elektróda, keď kinetická energia

elektrónov je Ek = 2,4⋅10–20 J.

132

10.46 Aká je frekvencia, energia a hybnosť fotónu s vlnovou dĺžkou 500 nm, keď jeho zotrvačná hmotnosť m = 4,42⋅10–36 kg?

10.47 Vypočítajte maximálnu frekvenciu fotónu a jeho vlnovú dĺžku! Predpokladajte, že fotón môže

byť vyžiarený po okamžitom zastavení elektrónu s kinetickou energiou Ek = 100 eV. 10.48 Akou rýchlosťou sa musí pohybovať elektrón, aby sa jeho kinetická energia rovnala energii

fotónu s vlnovou dĺžkou λ1 = 400 nm, resp. λ2 = 700 nm? 10.49 Vypočítajte vlnovú dĺžku de Broglieho vlny odpovedajúcej elektrónu s kinetickou energiou Ek = 1 MeV! 10.50 Koľko fotónov vyžaruje za jednu sekundu zdroj monochromatického elektromagnetického

žiarenia s vlnovou dĺžkou λ = 0,6 μm, keď jeho výkon P je rovný 60 W? 10.51 Výkon žiarivky je P = 5 W. Vypočítajte počet fotónov N so strednou vlnovou dĺžkou λ = 350 nm,

dopadajúcich za 1 s na 1 m2 plochy v rovnorodom prostredí vo vzdialenosti 1 km od zdroja svetla. 10.52 Záporne nabitá častica urýchlená potenciálovým rozdielom ΔU = 206 V má de Broglieho

vlnovú dĺžku λ = 2 pm. Nájdite hmotnosť tejto častice, ak je známe, že jej náboj sa rovná elementárnemu náboju elektrónu.

10.53 Röntgenove žiarenie vlnovej dĺžky λ = 0,071 nm uvoľňuje zo zlatej fólie fotoelektróny, ktoré sa

ďalej pohybujú v magnetickom poli indukcie B po kružnici polomeru R. Za predpokladu, že R B = 1,88⋅10–4 T⋅m, vypočítajte maximálnu kinetickú energiu Ek fotoelektrónov a prácu W potrebnú na ich uvoľnenie zo zlatej fólie.

10.54 Spektroskopicky stanovená neurčitosť energie excitovaného stavu molekuly, vyjadrená v šírke

spektrálnej čiary je ( )1 λΔ = 5⋅10–2 m–1. Vypočítajte čas života Δt excitovaného stavu molekuly! 10.55 Poloha elektrónu je určená s presnosťou Δx = 10–10 m. Vypočítajte neurčitosť jeho hybnosti Δpx.

Predpokladajme, že energia elektrónu je rádovo E ≈ 1 keV. Vypočítajte percentuálnu neurčitosť jeho energie!

10.56 Strela s hmotnosťou ms = 0,05 kg a elektrón s hmotnosťou me = 9,11⋅10–31 kg majú rovnakú

rýchlosť v = 300 m⋅s–1, ktorá bola určená s presnosťou 0,01%. Aká je nepresnosť v určení ich polohy, keď poloha bola určovaná súčasne s rýchlosťou?

10.57 Použitím vzťahov neurčitosti odhadnite minimálnu energiu, ktorú môže mať častica s hmotnosťou

m, nachádzajúca sa v nekonečne hlbokej jednorozmernej potenciálovej jame šírky a. 10.58 Doba života excitovaného stavu jadra je Δt = 10–12 s. Aká je neurčitosť Δλ vo vlnovej dĺžke

emitovaného fotónu žiarenia γ, keď jeho energia je E = 1,6 MeV? 10.59 Vypočítajte neurčitosť rýchlosti elektrónu v atóme, keď neurčitosť jeho polohy je aspoň 10 pm

(rozmery atómu sú cca 0,1 nm.). 10.60 S akou presnosťou Δx možno lokalizovať fotón s vlnovou dĺžkou 550 nm na svojej dráhe, keď

čas vyžiarenia fotónu atómom je t = 10 ns (pre neurčitosť doby vyžiarenia predpokladajte / 2t tΔ = )? Aká je relatívna presnosť určenia vlnovej dĺžky (Δλ/λ)?

10.61 Pomocou Heisenbergových vzťahov neurčitosti vypočítajte rozmer jadra, keď energia protónu v

atómovom jadre je E = 10 MeV.

133

133

11 Jednoduché sústavy v kvantovej mechanike

11.1 Úvod Kvantová mechanika rieši pohyb a popisuje energetické stavy v sústavách mikročastíc. Základné

pojmy kvantovej mechaniky nevyhnutné pre popis pohybu mikročastice možno zhrnúť do nasledovných tvrdení: 1. Dynamický stav častice je úplne popísaný vlnovou funkciou ψ(x, y, z, t). Vlnová funkcia a jej

prvé derivácie musia byť spojité, funkcia musí byť konečná a jednoznačná. Pravdepodobnosť výskytu častice v objemovom elemente dτ je úmerná |ψ(x, y, z, t)|2 dτ a |ψ(x, y, z, t)|2 má význam hustoty pravdepodobnosti výskytu častice v bode so súradnicami x, y, z. Vlnová funkcia môže byť vo všeobecnosti komplexná a |ψ|2 = ψ ψ∗ , kde ψ ∗ je komplexne združená funkcia k funkcii ψ.

Vlnová funkcia je normovaná ak 2

( , , , ) dx z y tψ τ∫ = 1 pričom integrácia prebieha cez celý

priestor, v ktorom sa môže častica nachádzať. 2. Každej pozorovateľnej veličine odpovedá hermitovský operátor A . Hermitovský operátor je

lineárny operátor, pre ktorý platí 1 2 1 2ˆ ˆd dA Aψ ψ τ ψ ψ τ

∗∗ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫ .

3. Fyzikálna veličina, ktorej odpovedá operátor A môže nadobúdať iba hodnoty ai, vyplývajúce z rovnice ˆ

i i iA aψ ψ= , kde ai sú vlastné hodnoty operátora A a ψi sú jeho vlastné funkcie. Vlastné hodnoty hermitovského operátora sú reálne čísla.

4. Stredná hodnota veličiny, ktorej odpovedá operátor A je určená vzťahom ˆ ˆ dA Aψ ψ τ∞ ∗

−∞= ∫ , v

ktorom predpokladáme, že vlnová funkcia je normovaná.

5. Vlnová funkcia je riešením Schrödingerovej rovnice ( , , , )ˆ ( , , , ) x z y tH x z y t it

ψψ ∂=

∂, kde H je

Hamiltonov operátor a 2πh

= .

Kvantovomechanický operátor pre určitú fyzikálnu veličinu vytvoríme v súradnicovej reprezentácii tak, že napíšeme výraz pre danú veličinu v klasických fyzikálnych veličinách α (α = x, y, z), pα a pretransformujeme ho do operátorového tvaru. Súradnici α odpovedajúci operátor je súradnica a

hybnosti pα odpovedá operátor p iα α

∂= −

∂.

Hamiltonov operátor je operátor celkovej energie. Dostaneme ho z klasického výrazu pre celkovú energiu častice, ak v ňom vystupujúce veličiny nahradíme patričnými kvantovomechanickými operátormi.

Napríklad, ak potenciálna energia častice pohybujúcej sa v osi x je 2p

12

E kx= , potom jej celková

energia bude 2

212 2

xpE kx

m= + a odpovedajúci Hamiltonov operátor

2 22

2

1ˆ2 2

H kxm x

∂= − +

∂.

Jednorozmerná časová Schrödingerova rovnica pre časticu s potenciálnou energiou Ep má tvar 2 2

p2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2

x t E x t x t i x tm x t

ψ ψ ψ∂ ∂− + =

∂ ∂.

Ak potenciálna energia nezávisí od času, môžeme vlnovú funkciu vyjadriť v tvare i

( , ) ( )E t

x t x eψ ϕ−

= , kde E je celková energia. Z tohoto tvaru vlnovej funkcie je zrejmé, že hustota pravdepodobnosti výskytu častice ψ ψ∗ nezávisí od času. Po dosadení takejto vlnovej funkcie do Schrödingerovej rovnice a jej úprave dostávame nečasovú Schrödingerovu rovnicu:

134

2 2

p2 ( ) ( ) ( ) ( )2

x E x x E xm x

ϕ ϕ ϕ∂− + =

∂.

Podmienky, resp. ohraničenia, kladené na vlnovú funkciu spôsobujú, že energetické stavy mikročastíc sú kvantované a riešenie Schrödingerovej rovnice existuje iba pre určité diskrétne hodnoty danej veličiny. Miesta, v ktorých vlnová funkcia nadobúda nulovú hodnotu nazývame uzly. V týchto bodoch je pravdepodobnosť výskytu častice nulová. Pre časticu v jednorozmernej nekonečnej potenciálovej jame a aj pre elektrón vo vodíkovom atóme platí, že počet uzlov sa rovná (n – 1), kde n je kvantové číslo.

Dovolené hodnoty energie častice hmotnosti m v nekonečnej jednorozmernej potenciálovej jame šírky L sú:

22

n 28hE nm L

= , v trojrozmernej potenciálovej krabici so stranou L sú: 2

2 2 22 ( )

8 x y zhE n n nm L

= + + .

Kvantové čísla n, nα sú prirodzené čísla 1,2,3,.... Energetické stavy harmonického oscilátora sú tiež kvantované a harmonický oscilátor, ktorého

silová konštanta je k, môže mať iba energie 1( ) , kde2n

kE nm

ω ω= + = . Kvantové číslo n môže

nadobúdať hodnoty n = 0, 1, 2,. . Vibrácie dvojatómovej molekuly môžeme pri malých výchylkách považovať za kmity harmonického oscilátora s danou silovou konštantou a s redukovanou

hmotnosťou 1 2red

1 2

m mm m

μ =+

. Najnižšia energia harmonického oscilátora sa volá energia nulových kmitov.

Elektrón v atóme vodíka môže nadobúdať iba energie 4

n 2 2 20

18

meEh nε

=− , n = 1, 2, ... je hlavné

kvantové číslo. Pre kvantovanie orbitálneho momentu hybnosti elektrónu v atóme vodíka platí ( 1)L = + , kde je orbitálne kvantové číslo a môže nadobúdať hodnoty = 0, 1, 2, . (n – 1).

Priemet momentu hybnosti do smeru vonkajšieho poľa môže nadobúdať hodnoty Lz = m , kde m = 0, ±1, ±2, ±3,... ± je magnetické kvantové číslo.

S orbitálnym pohybom elektrónu je spojený orbitálny magnetický dipólový moment elektrónu

( ) ( ) 23 1orb B B

e e

1 1 , kde 0,927 10 J T2 2e em m

μ μ μ − −= + = + = = ⋅ ⋅ je Bohrov magnetón .

Vlastný moment hybnosti elektrónu – spin je kvantovaný analogicky ako orbitálny moment hybnosti, S ( 1)L s s= + , kde s je spinové kvantové číslo a pre elektrón sa rovná ½. Priemet spinu do smeru vonkajšieho poľa môže nadobúdať hodnoty S Sz

m m= , kde mS je magnetické spinové číslo a

má dve možné hodnoty ±1/2. Magnetický spinový dipólový moment elektrónu S B2 ( 1)s sμ μ= + . Štruktúra elektrónového obalu atómu v základnom energetickom stave je vytvorená tak, aby

celková energia atómu bola minimálna a bol splnený Pauliho princíp. Podľa Pauliho princípu nemôžu mať dva elektróny v atóme všetky štyri kvantové čísla (n, , m, mS) rovnaké.

11.2 Otázky a problémy 1. Ktorá rovnica je základnou rovnicou kvantovej mechaniky? 2. Aké podmienky musí spĺňať vo všeobecnosti vlnová funkcia? 3. Kedy je vlnová funkcia normovaná? 4. Má vlnová funkcia rozmer? 5. Je zadaná vlnová funkcia častice ψ(x, y, z). Vyjadrite pravdepodobnosť, že častica sa nachádza v

okolí bodu (x, y, z), ktorého objem je Δτ.

135

6. Čo sú to vlastné hodnoty a vlastné funkcie určitého operátora?

7. Je funkcia sin (kx) vlastnou funkciou operátora ddx

, alebo 2

2

ddx

?

8. Ako vyjadríme k určitej klasickej dynamickej veličine jej kvantovomechanický operátor? 9. Kedy môže častica nadobúdať ľubovoľné hodnoty energie? 10. Ktoré prípady poznáte, kedy je energia častice kvantovaná? 11. Ak je kvantovaná energia častice, je kvantovaná aj veľkosť hybnosti p2? 12. Hustota pravdepodobnosti výskytu častice v strede nekonečnej potenciálovej jamy v najnižšom

energetickom stave má maximálnu hodnotu. Môže byť v tomto mieste aj nulová? Ak áno, tak vysvetlite kedy.

13. Ukážte, že vlnové číslo pre voľnú časticu je určené vzťahom k = k2mE, kde Ek je kinetická

energia častice. 14. Pôvodnú šírku nekonečne hlbokej potenciálovej jamy dvakrát zväčšíme. Ako sa zmení oproti

pôvodnej hodnote energia častice v najnižšom energetickom stave? Bude tento pomer platiť aj pre excitované stavy?

15. Elektrón je uväznený v nekonečnej potenciálovej jame a nachádza sa v stave s n = 4. Koľko uzlov a koľko maxím má v priestore jamy šírky L hustota pravdepodobnosti výskytu elektrónu?

16. Predstavte si jednoduchý model lineárnej molekuly ako súbor elektrónov nachádzajúcich sa v nekonečnej jednorozmernej potenciálovej jame. Je s takýmto modelom zlučiteľná ionizácia molekuly?

17. Aká je hodnota energie základného stavu protónu v nekonečnej potenciálovej jame v porovnaní s hodnotou energie elektrónu v rovnakej potenciálovej jame? Bude väčšia, rovnaká, alebo menšia?

18. Energia častice v ohraničenom priestore nemôže byť nulová. Skúste to zdôvodniť na základe princípu neurčitosti!

19. Čo určuje pre vodíkový atóm hlavné kvantové číslo a aké môže nadobúdať hodnoty? 20. Čo určuje pre vodíkový atóm orbitálne kvantové číslo a aké môže nadobúdať hodnoty? 21. Čo určuje magnetické kvantové číslo a aké môže nadobúdať hodnoty? 11.3 Riešené príklady 11.1 V algebre operátorov záleží na ich poradí. Dva operátory komutujú ak spĺňajú podmienku

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, 0AB BA A B⎡ ⎤− = =⎣ ⎦ . Pôsobením operátorov na diferencovateľnú funkciu ψ(x) dokážte

platnosť nasledovných komutačných relácií [ ] [ ]ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0x xp x i p y=− = !

Riešenie Dosadíme za ˆ ˆaxp x príslušné operátory a vyšetríme ich pôsobenie na vlnovú funkciu.

[ ] ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ, ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

( ) ( )( ) ( )

x x xp x x p x xp x i x i x x i x x i x xx x x x

x xi x i x i x i xx x

ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψψ ψ

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = − + =− + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂

=− − + =−∂ ∂

Dokázali sme tým prvé tvrdenie. V druhom prípade postupujeme analogicky a dostávame:

[ ] ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0x x xp y x p y yp x i y i y x i y x i y xx x x x

ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = − + =− + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Poznámka: Uvedené komutácie operátorov majú významný dopad vo fyzike mikročastíc. V danom časovom okamihu môžeme s ľubovoľnou presnosťou určiť hodnoty iba takých veličín, ktorých operátory komutujú, teda ich komutácia sa rovná nule. Napr. hybnosť px a súradnicu y. Súčasná merateľnosť veličín, ktorých operátory

136

nekomutujú je obmedzená Heisenbergovými reláciami neurčitosti. Napr. [ ]ˆ ˆ, 0xp x ≠ a pre súčasné určenie

hybnosti a súradnice platí 2xp xΔ Δ ≥ .

11.2 Ak vlnové funkcie ψ1 a ψ2 popisujú možné stavy sústavy, potom aj ich superpozícia ψ = C1 ψ1 + C2

ψ2 je možným stavom sústavy (princíp superpozície). Ak vlnové funkcie ψ1(x, t) a ψ2(x, t) sú riešeniami Schödingerovej rovnice pre pohyb častice v potenciálovom poli s potenciálnou energiou Ep(x, t), ukážte, že jej riešením je aj ich lineárna kombinácia ψ(x, t) = C1 ψ1(x, t)+ C2 ψ2 (x, t).

Riešenie

Máme ukázať, že platí:

( ) ( )2 2

p2 , , ( , ) ( , ) 02

x t E x t x t i x tm x t

ψ ψ ψ∂ ∂− + − =

∂ ∂.

Po dosadení za ( , )x tψ a úprave dostávame:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 1 p 1 12

2 2

2 2 p 2 22

C , , ( , ) ( , )2

C , , ( , ) ( , ) 02

x t E x t x t i x tm x t

x t E x t x t i x tm x t

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

⎛ ⎞∂ ∂− + − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂− + − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Funkcie ψ1(x, t) a ψ2(x, t) sú riešeniami Schrödingerovej rovnice, preto výrazy v zátvorkách v poslednej rovnici sa rovnajú nule a tvrdenie je dokázané. Poznámka: Princíp superpozície platí v každej lineárnej diferenciálnej rovnici a Schrödingerova rovnica je takouto rovnicou. 11.3 Častica sa voľne pohybuje v osi x. Riešením Schrödingerovej rovnice nájdite vlnovú funkciu

pre takúto časticu!

Riešenie Častica sa pohybuje voľne, to znamená, že Ep = 0 a riešime Schrödingerovu rovnicu:

( ) ( )22

2

, ,2

x t x ti

m txψ ψ∂ ∂

− =∂∂

. Riešime ju separáciou premenných a riešenie hľadáme v tvare

( ) ( ) ( ),x t x tψ ϕ χ= . Po dosadení, vykonaní derivácií a vynásobení celej rovnice 1/ϕχ dostávame 22

2

1 12h im tx

ϕ χϕ χ∂ ∂

− =∂∂

. Pravá a ľavá strana tejto rovnice sú funkciami rôznych premenných x a t.

Môžu sa rovnať len vtedy, ak obidve strany sa rovnajú tej istej konštante. Označme túto konštantu E. Ako uvidíme ďalej bude to celková, v tomto prípade práve kinetická energia častice.

Dostávame dve rovnice 22

2a2

i E Et m xχ ϕχ ϕ∂ ∂= − =

∂ ∂.

Riešenie prvej rovnice nájdeme separáciou premenných a má tvar i Etheχ

−= .

Druhú rovnicu upravíme na tvar 2

2 2

2 0mExϕ ϕ∂

+ =∂

a zavedieme substitúciu 2 pmEk = = .

Riešenie hľadáme v tvare tC eλϕ = . Po vykonaní druhej derivácie a úprave dostávame charakteristickú

rovnicu 2 2 0kλ + = , z ktorej vyplývajú možné hodnoty 1,2 i kλ = ± .

Vzhľadom na dve hodnoty λ všeobecným riešením je funkcia i ip x p xi k x i k x h hAe Be Ae B eϕ

−−= + = + .

Celková vlnová funkcia voľnej častice pohybujúcej sa v osi x bude ( ) ( )i iE t p x E t p x

h hAe Beψ− − − +

= + .

137

Poznámka: V nasledujúcom príklade uvidíme, že prvý člen tejto funkcie odpovedá stavu s kladnou hodnotou hybnosti p, teda pohybu v kladnom smere osi x (doprava), druhý člen predstavuje pohyb v opačnom smere.

Na konštantu k neboli pri riešení Schrödingerovej rovnice kladené žiadne obmedzenia. Nie sú teda žiadne obmedzenia ani na energiu (okrem toho, že musí byť kladná). Energia voľnej častice teda nie je kvantovaná!

Ako bolo uvedené v úvode, vlnová funkcia obsahuje informáciu o pravdepodobnosti výskytu častice. Nech sa pohyb koná iba v kladnom smere osi x a konštanta B = 0. Pre hustotu pravdepodobnosti výskytu častice dostávame

2Aψψ ∗ = . Hustota pravdepodobnosti nezávisí od času, ani polohy. Je všade konštantná. Tento výsledok je v súlade s princípom neurčitosti. Poznáme presnú hodnotu energie častice, teda presne poznáme aj jej hybnosť p. O polohe častice potom nemôžeme nič povedať, pretože Δx bude nekonečne veľké.

11.4 Vlnová funkcia častice má tvar ( )i E t p x

hAeψ− −

= . Zistite, či takáto funkcia je vlastnou funkciou operátora hybnosti ˆ xp a nájdite vlastnú hodnotu tohto operátora.

Riešenie

Ak pre operátor a vlnovú funkciu platí rovnica A aψ ψ= , potom daná funkcia je vlastnou

funkciou a konštanta a vlastnou hodnotou daného operátora. Operátor ˆ xp ix∂

=−∂

. Po dosadení

dostávame ( ) ( ) ( ) ( )2

i i iE t p x E t p x E t p xi Ae i p Ae p Ae

x− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂

− =− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Uvedená funkcia je vlastnou funkciou operátora hybnosti a vlastná hodnota je p.

11.5 Nájdite vlnovú funkciu a možné hodnoty energie pre časticu nachádzajúcu sa v nekonečnej jednorozmernej potenciálovej jame ohraničenej bodmi x = 0, L. Vo vnútri potenciálovej jamy sa častica môže voľne pohybovať.

Riešenie Potenciálna energia častice je nulová pre hodnoty súradnice 0 < x < L, inak je nekonečne veľká.

Vyplýva z toho ohraničenie pre vlnovú funkciu, ktorá musí spĺňať podmienku ( ) ( )0 0Lϕ ϕ= = . Mimo potenciálovej jamy sa častica nemôže nachádzať a všade mimo priestoru jamy je preto vlnová funkcia rovná nule. Energia častice nezávisí od času. Riešime preto nečasovú Schrödingerovu rovnicu

( ) ( )22

22xh E x

m xϕ

ϕ∂

− =∂

, pričom riešenie musí spĺňať horeuvedené hraničné podmienky.

Rovnicu upravíme na obvyklý tvar diferenciálnych rovníc: ( ) ( )

22

2 0x

k xxϕ

ϕ∂

+ =∂

, kde sme

zaviedli substitúciu 2mEk = . Riešenie hľadáme v tvare xeλϕ = . Dosadíme do predchádzajúcej

rovnice hľadaný tvar riešenia a získame charakteristickú rovnicu 2 2 0kλ + = . Vyplývajú z nej dve hodnoty 1,2 ikλ =± . Všeobecné riešenie je lineárnou kombináciou partikulárnych riešení

1 sin kxϕ = a 2 cos kxϕ = . Dostávame ( ) sin cosx A k x B k xϕ = + . Riešenie musí vyhovovať hraničným podmienkam. Podmienku ( )0 0ϕ = je možno splniť iba vtedy, ak konštanta B sa rovná nule. Možným riešením bude preto len funkcia ( ) sinx A k xϕ = . Druhá hraničná podmienka ( ) 0Lϕ = bude splnená ak k L = n π , kde n = 1, 2, 3, ...... Z tejto podmienky priamo vyplýva kvantovanie energie častice v

nekonečnej potenciálovej jame. Častica môže nadobúdať iba hodnoty energie 2 2 2 2 2

n 2 2

π2 8

n h nEm L m L

= = .

Častici s energiou En odpovedá vlnová funkcia nπsin nA x

Lϕ = .

138

Konštantu A určíme tak, aby vlnová funkcia bola normovaná, t.j. 2 2

0

sin d 1L nA x x

Lπ⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ . Po

integrácii dostávame 2AL

= .

11.6 *Nájdite vlnovú funkciu a možné hodnoty energie pre časticu nachádzajúcu sa v nekonečnej

trojrozmernej potenciálovej jame ohraničenej bodmi x, y, z ∈ < 0, L >. Vo vnútri potenciálovej jamy sa častica môže voľne pohybovať.

Riešenie Úloha je zovšeobecnením predchádzajúceho príkladu na trojrozmerný pohyb častice. Hamiltonov

operátor nezávisí od času, úloha je stacionárna a riešiť budeme nečasovú Schrödingerovu rovnicu. Steny potenciálovej jamy sú pre časticu neprístupné (bariéra je nekonečne vysoká) a vyplývajú z toho hraničné podmienky pre vlnovú funkciu:

(0, , ) ( , , ) ( , 0, ) ( , , ) ( , , 0) ( , , ) 0y z L y z x z x L z x y x y Lϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = = = . Tieto hraničné podmienky vyjadrujú fakt, že na stenách takejto „ potenciálovej krabice“ sa častica

nemôže nachádzať. Pre časticu sú možné hodnoty súradníc x, y, z ∈ (0, L). Vo vnútri potenciálovej jamy sa častica pohybuje voľne a Schrödingerova rovnica má tvar:

( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 , , , ,2

x y z E x y zm x y z

ϕ ϕ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

− + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Vlnovú funkciu budeme hľadať v tvare ( ) ( ) ( ) ( ), ,x y z X x Y y Z zϕ = . Dosaďme tento tvar funkcie do predchádzajúcej rovnice. Každý člen Hamiltonovho operátora pôsobí len na jednu súradnicu, preto rovnicu po dosadení môžeme napísať v tvare:

2 2 2 2

2 2 22X Y ZYZ XZ XY E XYZ

m x y z⎛ ⎞∂ ∂ ∂

− + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠. Rovnicu môžeme vydeliť súčinom XZY a po úprave

napísať v tvare: 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 12 2 2

X Y Z Em X m Y m Zx y z

∂ ∂ ∂− − − =

∂ ∂ ∂

Každý člen na ľavej strane rovnice závisí len od jednej premennej a pravá strana rovnice je konštanta. Predstavme si, že sa mení len súradnica z a x, y budú konštantné. Potom vzhľadom na pravú stranu musí byť konštantný tretí člen, ktorý je funkciou premennej z. Po zopakovaní tejto úvahy dostávame, že každý člen na ľavej strane sa musí rovnať určitej konštante. Označme tieto konštanty postupne Ex , Ey, Ez. Potom Ex + Ey + Ez = E a pre jednotlivé premenné x, y, z dostávame rovnice:

22

2

( ) ( )2 x

X x E X xm x∂

− =∂

, 22

2

( ) ( )2 y

Y y E Y ym y∂

− =∂

, 22

2

( ) ( )2 x

Z z E Z zm z∂

− =∂

Každá z týchto rovníc je formálne totožná so Schrödingerovou rovnicou pre pohyb častice v jednorozmernej potenciálovej jame. Rovnaké sú aj hraničné podmienky. Každá z energií Ex , Ey, Ez bude kvantovaná a platí :

2 2 2 2 2

2 2

π2 8

x xx

n h nEm L m L

= = , 2 2 2 2 2

2 2

π2 8

y yy

n h nE

m L m L= =

2 2 2 2 2

2 2

π2 8

z zx

n h nEm L m L

= = .

Pre funkcie X, Y, Z analogicky platí:

π2( ) sin xn xX xL L

= , π2( ) sin yn y

Y yL L

= , π2( ) sin zn zZ zL L

= .

Kvantové čísla nx, ny, nz sú prirodzené čísla 1,2,.... .

Celková energia ( )2

2 2 228 x y z

hE n n nmL

= + +

139

a vlnová funkcia 32 ππ π2( , , ) sin sin sinyx zn yn x n zx y z

L L L Lϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Poznámka: Pri pohybe častice v jednorozmernej potenciálovej jame sme sa stretli s dvomi novými poznatkami a to: a) energia častice lokalizovanej v určitom priestore nemôže byť nulová, b) energia takejto častice je kvantovaná a kvantovanie priamo vyplýva z hraničných podmienok pre vlnovú funkciu.

Pri pohybe častice v trojrozmernej potenciálovej jame sa stretávame s ďalším javom a to je degenerácia energetickej hladiny. Určitej hodnote energie odpovedá viac vlnových funkcií. Počet týchto funkcií je stupeň degenerácie danej energie. Napríklad energii s 2 2 2 9x y zn n n+ + = odpovedajú tri vlnové funkcie s hodnotami kvantových čísel nx, ny, nz a to (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2). Pre tú istú energiu máme tri rôzne vlnové funkcie. Hovoríme, že táto hladina je trojnásobne degenerovaná. S degeneráciou energetických hladín sa stretávame tiež pri energetických hladinách v atómoch a molekulách. 11.7 Nájdite strednú hodnotu hybnosti px častice nachádzajúcej sa v nekonečnej jednorozmernej

potenciálovej jame ohraničenej bodmi 0 , L⟨ ⟩ v najnižšom energetickom stave. Využite riešenie príkladu 11.5!

Riešenie Stredná hodnota fyzikálnej veličiny je pre normovanú vlnovú funkciu určená vzťahom

ˆA A dϕ ϕ τ∞

∗

−∞

⟨ ⟩ = ∫ , kde A je operátor danej veličiny. Pre hybnosť: dxp i xx

ϕ ϕ∞

∗

−∞

∂⎛ ⎞⟨ ⟩ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ .

Použijeme vlnovú funkciu z príkladu 11.5 pre n = 1 a integračné hranice upravíme na oblasť, v ktorej častica môže existovať teda 0 – L. Potom

20 0

22

0

2 π 2 π 2π π πsin sin d sin cos d

2π πsin 02

L L

x

L

x x x xp i x i xL L x L L L L L

Li xL Lπ

⎛ ⎞∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⟨ ⟩ =− =− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

Častica sa odráža od stien potenciálovej jamy a pohybuje sa s rovnakou pravdepodobnosťou v smere +x aj –x, preto je stredná hodnota hybnosti px nulová. Nenulová je veľkosť hybnosti p2. Súvisí s kinetickou energiou a bude rovnako, ako aj energia E, kvantovaná. 11.8 *Elektrón sa nachádza v nekonečnej jednorozmernej potenciálovej jame dĺžky L. Prijatím

energie vo forme kvanta elektromagnetického žiarenia môže prejsť na vyššiu energetickú hladinu, resp. vyžiarením fotónu môže prejsť z vyššej hladiny na nižšiu. Nech elektrón zo stavu

kϕ má prejsť do stavu ϕ .Prechod je dovolený len vtedy, ak tranzitný moment

k ke x dxμ ϕ ϕ∗= ∫ je nenulový. Nájdite, aké zmeny kvantových stavov sú pre tento elektrón

dovolené a aké sú zakázané.

Riešenie Explicitný výraz pre tranzitný moment dostaneme dosadením vlnových funkcií – riešení

Schrödingerovej rovnice pre časticu v nekonečnej jednorozmernej potenciálovej jame, ktoré sme

získali v príklade č.11.5. 2 πsinnn x

L Lϕ = . Pre tranzitný moment definovaný v zadaní dostávame:

0

2 π πsin sinL

ke k x xx dx

L L Lμ = ∫ .

Ďalej môžeme postupovať priamo – integrovať a nájsť podmienky pre k a , kedy tento integrál bude rôzny od nuly. Jednoduchšia a názornejšia cesta je však využiť symetriu vlnovej funkcie.

Podľa hodnoty kvantového čísla n je vlnová funkcia symetrická, resp. antisymetrická vzhľadom

140

na bod x = L/2. Zaveďme preto novú súradnicu x+ = x – L/2, čím posunieme potenciálovú jamu tak, že je ohraničená bodmi –L/2 a L/2.

Nové funkcie dostaneme dosadením za x a využitím trigonometrického vzťahu pre sin (α+β ). Podľa hodnôt kvantového čísla pritom dostávame dve triedy riešení a to:

2( ) sinkk xx

L Lϕ

++ = pre k = 2, 4, 6,.. a 2( ) cosk

k xxL L

ϕ+

+ = pre k = 1, 3, 5, .

Funkcia cos (x) je symetrická vzhľadom na počiatok súradníc, funkcia sin (x) je antisymetrická (mení znamienko) vzhľadom na počiatok súradníc. Takejto vlastnosti vlnovej funkcie hovoríme parita vlnovej funkcie. Pre symetrickú funkciu je parita kladná, pre antisymetrickú záporná. Parita samotnej

funkcie x je záporná. Z integrálneho počtu vieme, že integrál / 2

/ 2

( )dL

L

f x x+

−∫ sa rovná nule ak

podintegrálna funkcia má zápornú paritu (nepárna funkcia), je rôzny od nuly ak f(x) má kladnú paritu (párna funkcia). Uvedený integrál bude rôzny od nuly teda len v prípadoch, ak k je párne, a nepárne, alebo naopak. (Celková parita je výsledkom súčinu parít). Pre zmenu kvantového čísla pri dovolených prechodoch tak dostávame: Δn = nepárne celé číslo. Poznámka: Analogické podmienky založené na nenulovom tranzitnom momente platia aj pre dovolené prechody medzi elektrónovými, alebo rotačne-vibračnými stavmi v molekulách. Len také prechody sa objavia v spektrách atómov, alebo molekúl, ktoré sú v tomto zmysle dovolené. 11.9 Dokážte, že vlnová funkcia

2

0a xeψ −= je riešením Schrödingerovej rovnice pre jednorozmerný

harmonický oscilátor.

Riešenie Schrödingerova rovnica pre jednorozmerný harmonický oscilátor má tvar:

2 22

2

1( ) ( ) ( )2 2

x kx x E xm x

ϕ ϕ ϕ∂− + =

∂. Po dosadení danej funkcie, derivovaní a úprave dostávame:

( ) 2 22

2 2 214 22 2

ax axa x a kx e E em

− −⎡ ⎤− − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

. Zadaná funkcia bude riešením, ak súčet členov, v ktorých

vystupuje x2 sa rovná nule, t.j.2

2 214 02 2

a k xm

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Z tejto podmienky dostávame pre konštantu

12

a km= . Pre energiu E potom platí. 2

22 2 2

kE am m

ω= = = .

Energia 2

E ω= je najnižšou možnou energiou harmonického oscilátora. Voláme ju tiež energia

nulových kmitov. Poznámka: Rovnako, ako v prípade častice v nekonečnej potenciálovej jame aj častica viazaná návratnou silou nemôže mať nulovú najnižšiu možnú energiu. Ak v nejakej sústave, napr. v kryštáli teplota bude klesať, tak aj pri T = 0 K budú mať atómy kryštálu určitú vibračnú energiu. Bude to práve energia nulových kmitov. 11.10 Silovú konštantu väzby v molekulách H2, HD, a D2 považujte za rovnakú a rovnú 1147,5 N·m–1.

Aké budú vlnové dĺžky fotónov potrebných na excitáciu vibrácie týchto molekúl z najnižšieho

do najbližšieho vyššieho energetického stavu, ak pre oscilátor platír

kωμ

= , kde

1 2r

1 2

m mm m

μ =+

je redukovaná hmotnosť. Hmotnosť protónu a neutrónu pokladajte za rovnakú a

rovnú m = 1,67·10–27 kg.

141

Riešenie

Rozdiel energetických hladín je 1 112 2

E ω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Energia fotónu potrebného na

excitáciu vibrácie hc ωλ= a pre vlnovú dĺžku dostávame r2π c

kμλ = . Redukované hmotnosti sú

2r,Hμ =0,5 m, r, HD13

mμ = , 2r,D

14

mμ = . Po dosadení číselných hodnôt dostávame 2Hλ = 1,608·10–6 m,

HDλ = 1,313·10–6 m, 2Dλ = 1,137·10–6 m.

Vidíme, že vlnová dĺžka klesá, teda na excitáciu vibračných kmitov molekuly H2 je potrebná menšia energia, ako v molekule D2. Zmena energie vibrácie chemickej väzby zámenou atómu niektorým z jeho izotopov sa volá izotopický posun. Izotopický posun sa dá výhodne využiť v chemickej analýze.

11.11 *Základnému stavu elektrónu v atóme vodíka odpovedá vlnová funkcia 01 3

0

1π

rae

aψ

−

= , kde

20

0 2

4πameε

= . Vyjadrite pravdepodobnosť výskytu elektrónu v guľovej vrstve ohraničenej

polomermi r a (r + dr). Pre aké r bude hustota pravdepodobnosti výskytu elektrónu maximálna?

Riešenie Hustota pravdepodobnosti sa rovná 1 1ψ ψ∗ a pravdepodobnosť nájsť elektrón v guľovej vrstve

ohraničenej polomermi r a r+dr sa rovná súčinu hustoty pravdepodobnosti a objemu tejto vrstvy, ktorý

je 4π r2 dr. Dostávame 0

22

1 1 30

4 d ( ) dr

ar e r P r ra

ψ ψ−

∗ = = , kde sme zaviedli novú veličinu – radiálnu

hustotu pravdepodobnosti P(r). Radiálna hustota pravdepodobnosti vyjadruje hustotu pravdepodobnosti výskytu elektrónu v ktoromkoľvek mieste vzdialenom od jadra o r. Maximum

radiálnej hustoty pravdepodobnosti nájdeme z podmienky d 0dPr= . Vyplýva z nej rmax = a0. Konštanta

a0 je taká istá ako polomer prvej dráhy v Bohrovom modeli atómu vodíka. Kvantovomechanické riešenie atómu vodíka korešponduje s Bohrovou predstavou v tom, že vo vzdialenosti prvej Bohrovej dráhy je maximálna hustota pravdepodobnosti výskytu elektrónu. 11.12 Elektrón v atóme vodíka sa nachádza v stave f. Určte orbitálny moment hybnosti elektrónu L,

maximálnu hodnotu priemetu momentu hybnosti do smeru vonkajšieho magnetického poľa, ako aj magnetický moment vytvorený orbitálnym pohybom elektrónu.

Riešenie Pre kvantovanie momentu hybnosti platí ( )1L = + . Stavu f odpovedá = 3 a dostávame

L = 3,64·10–34 J·s. Priemet momentu hybnosti Lz = m . Jeho maximálna hodnota bude mať magnetické kvantové číslo m = 3. Po dosadení dostávame Lz = 3,15·10–34 J·s.

Magnetický moment ( ) ( ) 23B

e

1 1 0,927 10 122em

μ μ −= + = + = ⋅ J⋅T–1 = 3,21.10–23 J⋅T–1.

11.4 Neriešené príklady

11.13 Vyjadrite operátory momentu hybnosti ˆ ˆ ˆ, ,x y zL L L a ukážte čomu sa rovnajú komutátory

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,x y y z x xL L L L L L⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

142

11.14 Ukážte, že vlnová funkcia ( )

( )i Et p x

x Aeψ− +

= je vlastnou funkciou operátora ˆ xp a nájdite príslušnú vlastnú hodnotu tohto operátora.

11.15 V jednorozmernej nekonečnej potenciálovej jame sa nachádza elektrón v prvom excitovanom

stave. Elektrón môže vyžiariť fotón a prejsť do základného stavu. Aká bude vlnová dĺžka vyžiareného fotónu, ak šírka jamy L = 10–10 m?

11.16 Nájdite strednú hodnotu súradnice x pre časticu nachádzajúcu sa v nekonečnej jednorozmernej

potenciálovej jame ohraničenej bodmi 0 < x < L, v najnižšom energetickom stave. Využite riešenie príkladu č. 11.5!

11.17 Určte strednú hodnotu operátora 2p pre časticu nachádzajúcu sa v nekonečnej potenciálovej

jame šírky L v najnižšom energetickom stave! Určte pomocou tejto strednej hodnoty kinetickú energiu častice! Vlnovú funkciu použite z príkladu 11.5!

11.18 Akú hodnotu kvantového čísla n by sme potrebovali na vyjadrenie energie častice hmotnosti

m = 1 kg voľne sa pohybujúcej rýchlosťou v = 1 m⋅s–1 v jednorozmernej potenciálovej jame šírky L = 1 m? Posúďte, či by sme pre takúto časticu mohli zmerať kvantovanie energie.

11.19 Určte najnižšiu možnú energiu protónu v atómovom jadre! Jadro považujte za nekonečnú

potenciálovú jamu, ktorej šírka sa rovná priemeru jadra d = 10–14 m. Aká bude energia fotónu vyžiareného pri prechode protónu z hladiny s kvantovým číslom n = 4 na najnižšiu energetickú hladinu?

11.20 Pred objavom neutrónu sa objavila hypotéza, podľa ktorej jadro s atómovým číslom Z a

hmotnostným číslom A sa skladá z A protónov a (A – Z) elektrónov. Preverte platnosť takejto hypotézy a určte najnižšiu kinetickú energiu elektrónu v nekonečnej potenciálovej jame, ktorej šírka je porovnateľná s rozmermi atómového jadra, ktorého priemer d = 10–14 m. Porovnaním kinetickej energie elektrónu v takejto nekonečnej potenciálovej jame s potenciálnou energiou elektrónu na povrchu jadra s Z = 100 určte, či by elektrón mohol byť viazaný v jadre.

11.21 Predpokladajte, že dva π elektróny v molekule etylénu sa môžu voľne pohybovať. V prvom

priblížení takúto molekulu môžeme považovať za nekonečnú potenciálovú jamu, ktorej šírka je daná vzdialenosťou uhlíkových atómov a rovná sa 0,14 nm. Aká bude najväčšia vlnová dĺžka potrebná na excitáciu elektrónu v takejto molekule? Pre dovolené prechody platí Δn = nepárne celé číslo.

11.22 *Konjugované polyméry sú látky s mnohými aplikáciami. Jeden z prvých takýchto polymérov

bol trans-polyacetylén (dosiahla sa vodivosť blízka medi). Uvažujme časť takéhoto polyméru s 20 uhlíkovými atómami a 20 π-elektrónmi. V hrubom priblížení môžeme tieto elektróny považovať za voľné častice v jednorozmernej potenciálovej jame, ktorej rozmer je daný úsekom polymérneho reťazca. Vzdialenosti uhlíkových atómov považujte za rovnaké a rovné a = 0,14 nm. Aká bude najväčšia vlnová dĺžka potrebná na excitáciu elektrónu v takomto modeli molekuly trans-butadiénu? Uvedomte si, že na energetickej hladine môžu byť najviac dva elektróny, pre dovolené prechody platí Δn = nepárne celé číslo, a hladiny sú obsadzované dvomi elektrónmi.

11.23 Častica sa nachádza v jednorozmernej nekonečnej potenciálovej jame ohraničenej bodmi 0, L.

Určte miesta, v ktorých bude hustota pravdepodobnosti výskytu častice maximálna a miesta, v ktorých bude hustota pravdepodobnosti nulová. Polohy určte pre n = 1, n = 2 a n = 3. Využite riešenie príkladu 11.5!

143

11.24 *Častica hmotnosti m sa nachádza v dvojrozmernej nekonečnej potenciálovej jame. Pre súradnice x a y platí 0 < x < L, 0 < y < L. Najdite možné hodnoty energie a určte degeneráciu

iσ prvých štyroch energetických hladín!

11.25 *Určte strednú hodnotu súradnice < x > pre harmonický oscilátor v stave, ktorému odpovedá vlnová funkcia

2

0a xeψ −= .

11.26 Vypočítajte energiu nulových kmitov pre harmonický oscilátor, ktorý tvorí častica hmotnosti

m = 2⋅10–26 kg. Silová konštanta je k = 250 N⋅m–1.

11.27 Rozdiel susedných energetických hladín pre harmonický oscilátor tvorený časticou hmotnosti m = 2,5⋅10–26 kg je 0,02 eV. Vypočítajte silovú konštantu oscilátora!

11.28 Silová konštanta v molekule 14N2 je 2293,8 N⋅m–1. Aká je najnižšia vibračná energia tejto

molekuly, ak hmotnosť atómu dusíka mN = 14,0031 u (u je atómová jednotka hmotnosti u = 1,66054⋅10–27 kg).

11.29 Aká minimálna energia je potrebná na excitáciu vibračného pohybu v molekule kyslíka, ak

silová konštanta molekuly O2 je k = 1177 N⋅m–1? Hmotnosť atómu kyslíka je mO = 26,72⋅10–27 kg.

11.30 Predpokladajte, že molekuly HCl a DCl kmitajú ako harmonický oscilátor. Hmotnosti atómov sú mH = 1,0078 u, mD = 2,0159 u a mCl = 34,9688 u, kde u je atómová jednotka hmotnosti. Silová konštanta k = 4800 N⋅m–1 je v obidvoch molekulách rovnaká. a) Vypočítajte energiu nulových kmitov pre obidve molekuly, b) aký bude rozdiel vlnových dĺžok fotónov Δλ potrebných na prvú excitáciu vibrácie v HCl a DCl.

11.31 *Vlnová funkcia základného stavu vodíkového atómu (orbitál 1s) má tvar 0

raAeψ

−

= , kde r je vzdialenosť elektrónu od jadra a a0 je polomer prvej dráhy v Bohrovom modeli atómu vodíka a

je určený vzťahom 2

00 2

4πameε

= = 5,29177⋅10–11 m. Určte a) hodnotu konštanty A, b) strednú

hodnotu vzdialenosti elektrónu od jadra <r>, c) strednú hodnotu potenciálnej energie elektrónu.

(Pomôcka: 11d dn ax n ax n axnx e x x e x e xa a

−= −∫ ∫ ).

11.32 Určte možné hodnoty priemetu orbitálneho momentu hybnosti elektrónu do smeru vonkajšieho

magnetického poľa! Elektrón sa nachádza v stave d.

11.33 Atóm vodíka nachádzajúci sa pôvodne v základnom energetickom stave 1s bol excitovný do stavu 2p. Určte zmenu momentu hybnosti elektrónu!

11.34 Vypočítajte celkovú energiu E, orbitálny moment hybnosti L a magnetický moment elektrónu

nachádzajúceho sa v 2p stave atómu vodíka.

11.35 Použite Pauliho princíp a ukážte, aký maximálny počet elektrónov v atóme môže mať rovnaké nasledovné kvantové čísla: a) (n, , m, ms), b) (n, , m), c) (n, ).

11.36 Zaplnená energetická hladina má kvantové číslo n = 3. Určte počet elektrónov N na tejto

hladine, ktoré majú rovnaké nasledovné kvantové čísla: a) ms = ½, b) m = – 2, c) ms = – ½ a m = 0, d) ms = ½ a = 2.

173

Tabuľková príloha Tabuľka 1. – Niektoré fyzikálne veličiny a ich jednotky

Veličina

Symbol

Zvláštny

názov

Značka

Vzťah k iným jednotkám

Vzťah k základným jednotkám

Frekvencia Sila Tlak Energia, práca, teplo Výkon Elektrický náboj Elektrický prúd Elektrické napätie, elektrický potenciál Intenzita elektrického poľa Elektrická indukcia Elektrický indukčný tok Elektrická kapacita Permitivita Elektrická polarizácia Elektrický dipólový moment Hustota elektrického prúdu Elektrický odpor Elektrická vodivosť Intenzita magnetického poľa Magnetický tok Magnetická indukcia Indukčnosť vlastná, vzájomná Permeabilita Magnetický moment Magnetizácia Rezistivita Konduktivita Poyntingov vektor

f F p

E, W, Q´ P Q I

U, V E D Ψ C ε P p J R G H Φ B

L, M μ m M ρ σ S

hertz newton pascal joule watt coulomb ampér volt farad ohm siemens weber tesla henry

Hz N Pa J

W C A V

F Ω S

Wb T H

N m–2 N m J s–1

J C–1 V m–1

C m–2

C C V–1 F m–1

C m–2 C m A m–2

VA–1 A V–1 A m–1

V s Wb m–2 Wb A–1 H m–1 A m2 A m–1 Ω m S m–1 W m–2

s–1

kg m s–2 kg m–1s–2 kg m2 s–2 kg m2 s–3 A s A kg m2 s–3 A–1 kg m s–3 A–1 A s m–2

A s kg–1 m–2 s4 A2 kg–1 m–3 s4 A2 A s m–2 A s m A m–2

kg m2 s–3 A–2 kg–1 m–2 s3 A2 A m–1 kg m2 s–2 A–1 kg s–2 A–1 kg m2 s–2 A–2 kg m s–2 A–2 A m2 A m–1 kg m3 s–3 A–2 kg–1 m–3 s3 A2 kg s–3

Tabuľka 2. - Predpony a označenie násobkov a dielov východiskovej jednotky

Predpona Názov

násobku Značka

Faktor

Predpona Názov

dielu Značka

Faktor

yotta dzéta exa peta tera giga mega kilo

Y Z E P T G M k

1024

1021 1018

1015

1012 109 106

103

mili mikro nano piko femto

atto zepto yokto

m μ n p f a z y

10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18

10–21

10–24

hekto deka

h da

102 101

deci centi

d c

10–1 10–2

174

Tabuľka 3. - Tabuľka základných fyzikálnych konštánt Názov konštanty Symbol Hodnota konštanty Avogadrova konštanta NA 6,02214199⋅1023 mol–1

molárna plynová konštanta R 8,314472 J⋅mol–1⋅K–1 Boltzmannova konštanta k 1,3806503⋅10–23 J⋅K–1

molárny objem ideálneho plynu Vm 2,241410⋅10–2 m3⋅mol–1

normálne tiažové zrýchlenie gn 9,80665 m⋅s–2 normálny atmosférický tlak p0 1,01325⋅105 Pa gravitačná konštanta G 6,673⋅10–11 m3⋅kg–1⋅s–2 rýchlosť svetla vo vákuu c 2,99792458⋅108 m⋅s–1 (presne) permeabilita vákua (magnetická konštanta) μ0 4π⋅10–7 H⋅m–1 (z definície) permitivita vákua (elektrická konštanta) ε0 8,854187817⋅10–12 F⋅m–1

elementárny elektrický náboj e 1,602176462⋅10–19 C pokojová hmotnosť elektrónu me 9,10938188⋅10–31 kg pokojová hmotnosť protónu mp 1,67262158⋅10–27 kg pokojová hmotnosť neutrónu mn 1,67492716⋅10–27 kg Stefanova-Boltzmannova konštanta σ 5,670400⋅10–8 W⋅m–2⋅K–4

Planckova konštanta h 6,62606876⋅10–34 J⋅s Tabuľka 4. - Hodnoty niektorých fyzikálnych veličín

Názov Symbol Hodnota rýchlosť zvuku vo vzduchu pri 20°C a tlaku 101,325 kPa

v 343,6 m⋅s–1

hustota vody pri teplote 20°C ρ 998,2063 kg⋅m–3

hmotnostná tepelná kapacita vody pri tlaku 101,325 kPa a teplote 0°C

cp 4,2178⋅103 J⋅kg–1⋅K–1

Tabuľka 5. - Relatívne permitivity a elektrické pevnosti niektorých materiálov

Materiál Relatívna permitivita εr

Elektrická pevnosť [MV⋅m–1]

Vákuum 1 ∞ Vzduch 1,0006 3 Voda 81 − Papier 3,5 14 Sľuda 5,4 160 Porcelán 6,5 4 Sklo (pyrex) 4,5 13 Bakelit 4,8 12 Plexisklo 2,7 − 3,2 11 − 13 Polyetylén 2,3 50 Polystyrén 2,6 25 Teflon 2,1 60 Ta2O5 25 526 Kryštál NaCℓ 5,9 15

175

Tabuľka 6. – Hustoty, elektrické rezistivity pri 0 °C a pri 20 °C, teplotné koeficienty odporu

niektorých materiálov Materiál Hustota materiálu ρm

(pri 20 °C za normálneho tlaku)

[kg⋅m–3]

Rezistivita ρ pri 0 °C [Ω⋅m]

Rezistivita ρ pri 20 °C [Ω⋅m]

Teplotný koeficient odporu α pre t ∈(0°C, 100°C) [K–1]

Vodiče Hliník 2699 2,45⋅10–8 2,67⋅10–8 4,5⋅10–3 Meď 8960 1,56⋅10–8 1,7⋅10–8 4.33⋅10–3 Platina 21 450 9,81⋅10–8 10,6⋅10–8 3,92⋅10–3 Wolfram 19 300 4,89⋅10–8 5,36⋅10–8 4,83⋅10–3 Železo 7874 8,81⋅10–8 9,96⋅10–8 6,53⋅10–3 Polovodiče Uhlík – diamant grafit amorfný

3511 2240 ≈ 1500

1,5⋅10–5

– 8⋅10–3

Germánium 5327 5⋅10–1 Kremík 2328 3⋅103 – 70⋅10–3 Izolanty Sklo (pyrex) 2250 107 - 1012 Kremeň 2650-2660 1012 - 1017 Tabuľka 7. – Magnetická susceptibilita niektorých látok Diamagnetiká Magnetická susceptibilita Paramagnetiká Magnetická susceptibilita Bizmut – 166⋅10–6 Hliník 24⋅10–6 Zlato – 36⋅10–6 Titán 71⋅10–6 Ortuť – 29⋅10–6 Urán 400⋅10–6 Voda – 9⋅10–6 Platina 264⋅10–6 NaCℓ – 14⋅10–6 Kyslík (kvapalný) 3620⋅10–6 Tabuľka 8. - Výstupná práca elektrónov niektorých prvkov

Atóm Cs Na Li Ba Al Ta W Cu Ni Ag Au Pt W (eV) 1,9 2,2 2,3 2,5 4,2 4,2 4,5 4,7 4,8 4,7 5,4 6,3

176

Tabuľka 9. - Niektoré prírodné a umelé rádionuklidy a ich charakteristiky

Energia žiarenia [MeV] Izotop

Relatívna atómová

hmotnosť

Relatívny výskyt

[%]

Doba polpre- meny

Typ premeny Častice g - žiarenie

1n 1,00866 12 m b– 0,782 2H 2,01412 ª 0,014 3H 3,01605 12,26 r b– 0,0179 4He 4,00260 100 7Li 7,01600 92,5 14C 14,00324 5760 r b– 0,15 14N 14,00307 99,6 24Na 23,92 15 h b– 1,39 1,368 ; 2,75 40K 39,974 0,0119 1,26◊109 r b– ; E.Z. 1,32 1,46 55Fe 54,92 2,6 r E.Z 59Fe 58,932 45 d b– 0,27 ; 0,475 1,259 58Co 57,923 72 d b+ ; E.Z. 0,472 0,805 60Co 59,93 5,26 r b– 0,3 1,33 ; 1,17 65Zn 64,9 250 d b+ ; E.Z. 0,32 1,12 85Kr 84,91 10,76 r b– 0,67 90Sr 89,903 28,1 r b– 0,546 ; 2,27 110mAg 109,90 253 d b– ; E.Z. 0,085 ; 0,53 0,659 131J 130,9 8,1 d b– 0,61 –– 137Cs 136,9 30 r b– 0,51 0,66 206Pb 205,974 210Po 209,9829 138,4 d a 5,3 0,8 222Rn 222,0176 3,82 d a 5,49 226Ra 226,0254 1602 r a 4,78 0,186 232Th 232,0381 100 1,49◊1010 r a 4,0 0,055 235U 235,0439 0,715 7,1◊108 r a 4,4 0,185 238U 238,0508 99,22 4,51◊109 r a 4,2 0,05 237Pu 239,0522 24360 r a 5,16 0,129

177

Tabuľka 10. - Biologické účinky ionizujúceho žiarenia

Radiačné váhové faktory WR Tkanivové váhové faktory WT

Druh žiarenia WR Tkanivo, orgán WT fotóny (všetky energie) 1 gonády 0,20 elektróny, mióny (všetky energie) 1 červená kostná dreň, hrubé črevo,

pľúca, žalúdok 0,12

neutróny < 10 keV 5 močový mechúr, mliečna žľaza, pečeň, pažerák, štítna žľaza

0,05

neutróny <10 keV, 100 keV> 10 koža, povrchy kostí 0,01 neutróny <100 keV, 2 MeV> 20 ostatné orgány a tkanivá 0,05 neutróny <2 MeV, 20 MeV> 10 neutróny > 20 MeV 5 protóny > 2 MeV (okrem odrazených)

5

častice α, ťažké jadrá, štiepne fragmenty

20

Tabuľka 11. - Prehľad zdrojov ožiarenia

Zdroj Ročná efektívna dávka [mSv] % podiel radiačnej záťaže prírodné: kozmické žiarenie 0,39 12,6 zemské žiarenie 0,46 14,8 rádionuklidy v tele 0,23 7,4 radón a dcérske produkty 1,3 41,8 umelé: lekárska diagnostika 10,6 lekárska terapia 8,8 atómové skúšky, havárie 3,5 ostatné 0,4

159

5 Magnetické pole v magnetikách

5.2 Otázky a problémy

1. Pozri úvod. Železo a ferit sú feromagnetiká. 2. Pri danom prúde vo vinutí cievky feromagnetické jadro zvyšuje indukciu v cievke a jej okolí. 3. V paramagnetiku a magneticky mäkkom feromagnetiku súhlasne, v diamagnetiku nesúhlasne. 4. Telesá z feromagnetických látok sú priťahované k elektromagnetu, telesá z diamagnetických látok

sú od neho odpudzované. 5. Z diamagnetického. 6. Magnetická indukcia je v oboch prostrediach rovnaká. Intenzita magnetického poľa je v medzere

μr -krát vyššia než v jadre. 7. Je μr -krát vyššia v medzere. 8. –– 9. Priložením konca jednej tyče k stredu druhej (do tvaru písmena T). Zmagnetizovaná tyč priťahuje

druhú tyč k svojim koncom (pólom), nie však k svojmu stredu, preto sa tyče budú priťahovať iba v prípade, keď zmagnetizovaná tyč bude tvoriť „nohu“ písmena T a nezmagnetizovaná jeho priečku.

5.4 Neriešené príklady

5.6 Diamagnetikum. a) 10,16 A mM Hχ −= = − ⋅ , b) 7 21,6 10 A mm Hχ τ −= = − ⋅ ⋅ , c) 1 0,999992rμ χ= + = , d) ( ) 01 25,1 mTB Hχ μ= + =

5.7 160 A mH −= ⋅ , 4

0

1,1 10rBH

μμ

= = ⋅

5.8 1,40 TB = ; 0

2330rBH

μμ

= =

5.9 1200 A mH −= ⋅ , 2π 210 mAR HIN

= =

5.10 0

2π 20 mAr

RBINμ μ

= =

5.11 0 320 mT2πr IB

Rμ μ

= =

5.12 ( )0

0

2π 1221 mAr

r

B R dI

Nμ

μ μ⎡ + − ⎤⎣ ⎦= =

5.13 ( ) 0

0 0

2π3700r

R d BN I B d

μμ

−= =

−

5.14 a) 0 1200rww

μ= = , b) ( )

2

30p0 1,03 10 J

2 2π 1r

r

S d N IER d

μ μμ

−⎡ ⎤= = ⋅⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

5.15 *( )

10

0

102 A m2πB dH

R dμ−= − = − ⋅

−

5.16 1800 A mcN IHl

−= = ⋅

160

6 Nestacionárne magnetické pole 6.2 Otázky a problémy 1. a) Viď úvod kapitoly. b) Situácie, v ktorých sa mení magnetický tok:

- magnetické pole sa mení v čase, (napr. približuje sa magnet alebo sa mení prúd v cievke) - mení sa veľkosť plochy závitu (napr. keď sa jedna strana vodivého rámika pohybuje) - mení sa uhol medzi vektorom magnetickej indukcie a rovinou závitu.

2. Viď úvod kapitoly. 3. Pri zasúvaní magnetu do cievky sa zväčšuje magnetický tok, preto indukovaný prúd bude mať

taký smer, aby jeho magnetické pole bolo opačného smeru než je pole magnetu. Pri pohľade na cievku zľava tečie v nej indukovaný prúd v smere proti pohybu hodinových ručičiek.

4. BS cosΦ α= ⋅ =B S , dS

Φ = ⋅∫ B S . Jednotkou magnetického toku je weber (Wb).

5. Prúd vybudený v cievke pôsobí proti príčine, ktorá spôsobila zväčšovanie magnetického toku v cievke. Touto príčinou bolo približovanie sa magnetu. Indukovaný prúd má taký smer, že jeho silové pôsobenie na magnet je odpudivé.

6. Lenzov zákon je prejavom zákona zachovania energie. Le Chatelierov princíp: Každé vonkajšie pôsobenie, ktoré vyvádza termodynamický systém z rovnováhy, vyvoláva v ňom také procesy, ktoré toto pôsobenie zoslabujú.

7. Pri pohľade zhora: a) v smere otáčania hodinových ručičiek, b) proti smeru otáčania hodinových ručičiek.

8. a) V rezistore s elektrickým odporom R tečie prúd zľava doprava, pretože magnetický tok sa zväčšuje, b) v rezistore tečie prúd zdola nahor, pretože magnetický tok sa zmenšuje, c) v závite tečie indukovaný prúd v smere otáčania hodinových ručičiek, = ×E Bv .

9. a) proti smeru otáčania hodinových ručičiek, b) v smere otáčania hodinových ručičiek. 10. Magnetický tok cez plochu závitu sa zväčšuje, preto sa v závite indukuje prúd, ktorého

magnetické pole je opačného smeru ako pole priameho vodiča. Na určenie smeru magnetického poľa prúdovodiča možno použiť pravidlo pravej ruky. Sila medzi priamym vodičom a závitom je odpudivá.

11. B= vE , všeobecnejšie ( ) d= × ⋅∫ BvE . EMN indukované pri pohybe vodiča v magnetickom poli je

maximálne, keď všetky tri vektory (v, B, ℓ) sú navzájom kolmé (vlastnosť zmiešaného súčinu ( )a b × c⋅ ). 12. mU N B Sω= . Princíp generátora je na obr. 6.33. 13. Po pripojení zdroja napätia na elektromagnet vznikne vo vinutí

cievky zväčšujúci sa prúd a tým dôjde aj k zväčšovaniu magnetického toku v prstenci. Podľa Lenzovho zákona sa v prstenci indukuje prúd, ktorý sa svojím magnetickým poľom snaží kompenzovať rastúce pole elektromagnetu. Sila, ktorou pôsobí magnetické pole elektromagnetu na prstenec s indukovaným prúdom, je odpudivá, a trvá iba počas prechodového deja.

14. Elektrické generátory, transformátory, indukčný ohrev, magnetický záznam (napr. snímacia hlava magnetofónu), magnetická brzda, obvody s indukčnosťami.

15. V transformátore je magnetický tok jedného závitu Φ rovnaký pre primárne aj sekundárne vinutie (tzv. tesná magnetická väzba). Podľa Faradayovho indukčného zákona sa v primárnom vinutí

indukuje napätie 1 1dd

Nt

Φ= −E a v sekundárnom vinutí napätie 2 2

dd

Nt

Φ= −E . V ideálnom

transformátore je pripojené vstupné napätie U1 (striedavé) prakticky kompenzované indukovaným protinapätím E1, takže platí 1 1U = E . Podobne 2 2U = E . Odtiaľ pre napäťový prevod transformátora platí rovnica 2 1 2 1U / U N / N= . V zvyšujúcom transformátore je 2 1N N> , v znižujúcom transformátore 2 1N N< .

16. Kvôli zníženiu strát energie vírivými prúdmi.

S JS J

Obr. 6.33

161

17. ddILt

= −E

18. NLIΦ

= . Experimentálne sa však indukčnosť určuje prevažne zo vzťahu ( )d d

LI t

=E , pretože

statický tok Φ sa meria veľmi obtiažne. Pri zdvojnásobení počtu závitov sa indukčnosť cievky zväčší 4-násobne.

19. Vo vodivom kotúči vznikajú vírivé prúdy, ktorých magnetické pole pôsobí v zmysle Lenzovho zákona. Indukované prúdy sa snažia svojimi silovými účinkami zastaviť pohyb kotúča voči magnetu. Tento princíp je základom činnosti magnetickej brzdy a používa sa tiež na tlmenie kmitov v rôznych prístrojoch.

20. Pri náhlom prerušení prúdu by podľa rovnice ddILt

= −E vznikol veľký napäťový impulz (aj

desiatky kilovoltov), ktorý by mohol spôsobiť prieraz izolácie vinutia, prípadne aj ohroziť obsluhujúcu osobu.

21. Neindukuje sa protinapätie, ktoré vzniká len pri otáčaní rotora. 22. Viď popis prechodového deja v RL obvode v úvode kapitoly. 23. a) zľava doprava , b) sprava doľava. 24. Pri zmenách prúdu v prvom obvode prechádza plochou každého závitu druhého obvodu

magnetický tok 21 1 2dΦ B S= ⋅∫ .

V druhom obvode sa indukuje napätie 21 12 2 21

d dd d

IN Mt t

Φ= − = −E . Vzájomná indukčnosť je

mierou magnetickej väzby obidvoch obvodov: 2 2121

1

NMIΦ

= resp. 1

121 2

ddIMt

−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

E .

6.4 Neriešené príklady

6.8 42 10 VB −= = ⋅E v ; intenzita indukovaného elektrického poľa smeruje kolmo nahor.

6.9 50 ln 3,0 10 V2π

I a ba

μ v −+= = ⋅E , vzdialenejší koniec tyče má vyšší potenciál.

6.10 70

0

ln 1 6,44 10 Wb2π

b I ar

μΦ −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

, 80

0

ln 1 6,44 10 H2π

b aMr

μ −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

,

46,44 10 VIMt

E −Δ= = ⋅Δ

, 66,44 10 CM IQR

−= = ⋅

6.11 22,92 10 VB vE −= = ⋅

6.12 60 ln 9,61 10 V2π

a I R at a

μ −⎛ ⎞+ ⎟⎜= = ⋅⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠E

6.13 615,4 10 Tcos

Bα

−= = ⋅Ev

6.14 ( )

70

0 0

8 10 V2π

ab Ir r aμ −= = ⋅+

E v

6.15 m

2π 0,080 sNBSTU

= =

6.16 2

0

d 0 32V2BB r r ,ωω= = =∫E

6.17 30π 60π 1 32 60πNS t t=− =−E cos( ) , cos( )

162

6.18 2 22π 3 0 10 Vf N B a −= = ⋅E ,

6.19 2

E E

1,57 A2

B RI

R R

ω= = =E

6.20 ( )0 0 cos 0,040 VB St t

Φ Φ α−=− = =

Δ ΔE

6.21 a) 0

637 ABInμ

= = , b) 2 2

p0

π 89 1 kJ2 4B dE ,μ

= = , c) 2

p 202

2 π 0 44H4

E dL n ,I

μ= = =

6.22 m2 0 60 Aw SI ,L

= =

6.23 20r ln 0,342 H

2πbL h Na

μ μ= = , 2 2 40p r ln 4 28 10 J

4πbE h N I ,a

μ μ −= = ⋅

6.24 3 0 010 md τπ

= = , , 4 0 040md ,= = , 0

20LNμ τ

= , 31 2 10 m = 2 mmd

N−= = ⋅

6.25 2

90 221

1

π 9 9 10 H2

RM ,R

μ −= = ⋅

6.26 ( ) 211 4 0 6 1 6 10 VN S , , t , −=− − =− ⋅E , ( ) 3

11 4 0 6 4 10 ANSI , , tR

−=− − =− ⋅

6.27 2

g g

2 2 8 10 CN N S BQ ,R R R R

ΔΦ −=− = = ⋅+ +

6.28 ( )02π 7 92 VB r t ,= + =E v v

6.29 1 5 VB ,= =E v , M 0 67API ,= =E

, ( )2

M M

2 25 ΩB

R ,P P

= = =2E v

6.30 2 2d

dBm m g

t R= −

vv , 1

m 2 2 4 9 m sm g R ,B

−= = ⋅v

6.31 1

3d 0 6 10 HdILt

−−⎛ ⎞⎟⎜= = ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

E , , 1

1

120L INΦ

= =

6.32 0

ln 0,77 ΩL IRt I

=− =

6.33 2 2

40 π 7 11 10 H4

N dL ,μ −= = ⋅ , 2

60 π 1,42 10 Wb4

N I dμΦ −= = ⋅

6.34 2 40 0 π 3 55 10 HM n N r ,μ −= = ⋅

6.35 a) 5m 0 2 5 10 WbB SΦ , −= = ⋅ , b) 6

m 0 7 85 10 VB S ,ω −= = ⋅E ,

c) mmI

R=E , 3

2

16 4 33 10 Ωπ

SR ,d

ρ −= = ⋅ , 3m 1 81 10 AI , −= ⋅

6.36 76 56 10 WbL I ,N

Φ −= = ⋅

6.37 321 1 0 1 2 12

2 2

12 6 10 AM I n N S II ,R t R t

μ −= = = ⋅

6.38 31 8 10 sL ,R

τ −= = ⋅ , b) 00 1,2 AUI

R= =

c) 1

1 0 1 0 51At

I I e ,τ−⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

, d) 322

0

ln 1 4,1 10 sItI

τ −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=− − = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

163

6.39 21 86 10 sLt ,R

τ −= = ⋅ , 2 2

0 πN rL μ= , 20

8 rRdρ

=

6.40 1 1 440N U / U '= = , 2 2 96N U / U '= =

6.41 12 1

2

48 VIU UI

= = , 21 2

1

300IN NI

= =

6.42 2 2

2d sin cosd

Bm mgt R

α α= −v v , m 2 2 2

sincos

m g RB

αα

=v

7 Striedavé elektrické prúdy

7.2 Otázky a problémy 1. Pozri úvod kapitoly. 2. Sú to elektrické súčiastky, ktoré ovplyvňujú charakter elektrického obvodu (odpor, vlastná

indukčnosť a elektrická kapacita). 3. Nie. 4. Jednosmerný prúd sa dá vyrobiť elektrochemickými, fotoelektrickými článkami a termočlánkami

(prípadne usmernením striedavého prúdu). Striedavý prúd sa dá vyrobiť alternátorom. 5. Striedavý prúd sa dá ľahšie premeniť na jednosmerný ako opačne. Pri prenose sú tiež menšie

straty. 6. V Európe Uef = 220 V, U0 = 311,1 V, f = 50 Hz. V USA/Kanade Uef = 110 V, U0 = 155,6 V, f = 60 Hz.

Elektrospotrebiče zakúpené v USA/Kanade nemusia fungovať (môžu sa aj zničiť) v Európe a naopak.

7. Jednosmerný prúd elektrolyticky rozkladá krv, striedavý dokáže zastaviť srdce. 8. Nie, musí sa usmerniť (v elektrolyzéri sa nesmie meniť polarita). 9. V zásuvke sú tri vodiče (fáza – čierny alebo hnedý vodič, nulový vodič – modrý vodič a

uzemnenie – žltozelený). Uzemnenie nie je bezprostredne potrebné k fungovaniu elektrospotrebiča. Elektrické normy kvôli bezpečnosti tento tretí vodič vyžadujú.

10. Päť výstupov (tri fázy, nulový vodič a uzemnenie). Získame väčší výkon. 11. ef 0 / 2 212,13U U= = V 12. Ampérmeter ukazuje tzv. efektívnu hodnotu. Táto hodnota súvisí s maximálnou hodnotou prúdu

0 ef 2 1,414I I= = A.

13. S 00

1 2πcos ( ) d 0T

I I t tT T

= =∫ A a ef 0 / 2I I= A

14. f S / 3 219,4U U= = V 15. S f 3 10,4I I= = A 16. Pri zapojení do hviezdy If = IS. 17. Kapacitancia sa zmenší C C /X X n′ = a induktancia narastie

L LX X n′ = . 18. Výsledné napätie nájdeme podľa kosínusovej vety (pozri

obrázok). 2 2

ef ef-1 ef-2 ef-1 ef-22 cos 78,1U U U U U ϕ= + + = V. 19. ef efcos / 0,8P U Iϕ = = 20. Výkon trojfázového prúdu S S3 cos 1,75P U I ϕ= = MW. 21. ef ef/ cos 6,31I P Uη ϕ= = A 22. Prúd pretekajúci obvodom je vo všetkých súčiastkach rovnaký, ale napätie na kondenzátore

zaostáva za napätím na cievke o π. Pretože prúd je maximálny, platí rovnica 1/L Cω ω= .

ϕϕ

Uef-1

Uef-2 Uef

Obrázok k úlohe 18.

164

V prípade paralelného zapojenia sú prúdy posunuté o π a navzájom sa rušia. Výsledný prúd v obvode zostane maximálny.

23. Impedancia obvodu 2

2 12π

Z Rf C

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Keď sa zväčší frekvencia, impedancia sa zmenší a

prúd v obvode sa zväčší ( ef ef /I U Z= ).

24. Impedancia obvodu 2 2(2π )Z R f L= + . Keď sa zväčší frekvencia, impedancia sa tiež zväčší, ale prúd v obvode poklesne ( ef ef /I U Z= ).

25. Impedancia obvodu2

2 12π2π

Z R f Lf C

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ a prúd v obvode ef ef /I U Z= . Keď prúd v

obvode po zväčšení frekvencie klesne, obvod má induktívny charakter (1/ C Lω ω< ).Keď prúd v obvode po zväčšení frekvencie narastie, obvod má kapacitný charakter (1/ C Lω ω> ).

26. Oscilácie obvodu odpovedajú vlnovej dĺžke 2πc LCλ = . Keď chceme rezonanciu pri menších dĺžkach, musíme zmenšiť kapacitu kondenzátora a to znamená, že vzdialenosť dosiek kondenzátora musíme zväčšiť ( 0 /C S dε= ).

27. Oscilácie obvodu odpovedajú vlnovej dĺžke 2πc LCλ = . Z rovnosti energie nabitého

kondenzátora 2C 0

12

E CU= a energie magnetického poľa cievky 2L 0

12

E L I= určíme veľkosť

vlastnej indukčnosti cievky L. Potom 2πcCλ = =1,88 m. 28. V obvode vznikajú tepelné straty na elektrickom odpore. Aby sa v obvode udržali netlmené

oscilácie s amplitúdou I0, treba dodávať do obvodu rovnako veľký výkon ako je stratový výkon:

20

1 0,152

P R I= = mW.

29. Vlnová dĺžka sa určí vzťahom 2πc LCλ = . Rozsah prijímača je preto z intervalu 185,6 až 571,7 m. 30. Kvalita obvodu sa vypočíta ako 02π / 2π /Q f L R f L R= ≈ . Potom 02π / 0,7R f L Q≈ = Ω. 7.4 Neriešené príklady 7.13 2 2

ef 2 π 0,698U f B R= = V

7.14 sf 3

II = 5,77 A, s

f

URI

= 65,8 Ω, s s3 cosP I U ϕ= 6582 W

7.15 ms 3 coss

PIUη ϕ

= 5,06 A

7.16 Pri zapojení do hviezdy: If = Is = 9,5 A, pri zapojení do trojuholníka s f3I I= = 16,4 A.

7.17 2π 54,4tg

f LRϕ

= = Ω, 2

1 101CLω

= = μF

7.18 2

1 33,8CLω

= = μF, efef 5UI

R= = A, ef-L ef 2π 471, 24U I f L= = V

7.19 7 3,142 20 π

Cf R

= = μF

7.20 efef-L 2 2 2

0

5,65(2π / )

UIR f N Sμ

= =+

A

7.21 0 0 0,471U L I ω= = V

165

7.22 Obvod má kapacitný charakter, pretože 1 < 2π

Lf C

ω . Fázové posunutie

1/arctg 88L CR

ω ωϕ −⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦°.

7.23 2 21(2π ) 31,82π

Z R f Lf C

= + − = kΩ, efef 7UI

Z= = mA, cos 0,003R

Zϕ = =

7.24 20

2 2

1 13612 (2π )2π

RUPR f L

f C

= =+ −

mW

7.25 2 2

arccos( ) 36,9LZ XZ

ϕ−

= = °, 2ef

2 9600RtUQZ

= = J

7.26 ef-1 ef-2

5,752π

PCf U U

= = μF, 2 2ef-C ef-2 ef-1 184,4U U U= − = V, ef-c

ef-1

arctg 57UU

ϕ = = °

7.27 Prvky zapojíme paralelne. 6,3720π

RLf

= = H, 5 1,59π

Cf R

= = μF

7.28 efef-R 2 2

163,2(1/ 2π )

U RUR f C

= =+

V, 1arctg 42,12π f C R

ϕ = = °

7.29 ef

2πIAne S f

= = 234 nm (e = elementárny náboj elektrónu).

7.30 2π 3,1T LC= = ms, 0 0 2CI UL

= = A

7.31 2πc 125,6LCλ = = m (c = rýchlosť šírenia elektromagnetických vĺn vo vákuu).

7.32 2

0 r2

4π 3S LdT

ε ε= = mm

7.33 0 0 / 1I U C L= = A

7.34 201 4,2

2RU CP

L= = mW

8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky

8.2 Otázky a problémy 1. Pozri úvod kapitoly! 2. Vektor H kmitá v osi y, vlna sa šíri v osi z. 3. Energia sa šíri v smere – z .

4. 00 0

0

H Eεμ

= , 00

EB

c=

5. H0Z = 0,0265 A⋅m–1, má smer osi z. 6. Všetky polarizátory sú orientované rovnako a to v smere polarizácie vystupujúceho svetla. 7. V obidvoch prípadoch sa bude zväčšovať. 8. Poradie bude 1 2 3n n n⟩ ⟩ . 9. Súčin indexu lomu prostredia a geometrickej dráhy. 10. a) čím je menšie n, tým je väčšia rýchlosť svetla, b) čím je väčšie n, tým je menšia vlnová dĺžka. 11. Neplatia, podmienky pre interferenciu v prejdenom a odrazenom svetla sa vymenia. 12. Interferenčné pásy budú mať tvar sústredných kružníc.

166

13. Príčinou je zmena fázy pri odraze od sklenej platne. 14. Pozri úvod kapitoly! 15. a) rozšíri sa, b) zúži sa. 16. Vo vode bude vlnová dĺžka kratšia, vzdialenosť sa zmenší. 17. b/λ = 2. 18. Centrálne maximum je tiež biele. 19. Najviac bude difraktovaná najväčšia vlnová dĺžka, t.j. červená farba. 20. Zmenší sa, / Rλ λΔ = . 21. λΔ je väčšie v prvom ráde spektra. 22. Pozri úvod kapitoly! 8.4 Neriešené príklady

8.15 V smere osi y, 00

0

sin( )xE H t kyμ

ωε

= − − .

8.16 Hx = – 0,265 A⋅m–1

8.17 Dosadiť za S a využiť ( )2

0

1 1cos d2

T

t kx tT

ω − =∫ .

8.18 2 6 20 0

1 c 1,194 10 W m2

I Hμ −= = ⋅ ⋅

8.19 1 10 0 0

0

22c 1027,4 V m , 2,72A mc

IE I Hμμ

− −= = ⋅ = = ⋅

8.20 4 22π c/ 6,42 10 mSS M m Pκ= = ⋅

8.21 * 63 1,17 10 m8πc

S

S

PRMρκ

−≤ = ⋅

8.22 92 1,326 10

4π crP SF

d−= = ⋅ N

8.23 14 15, 09 10 scfλ

−= = ⋅ , ' 442,9nλλ = = nm

8.24 a) ϕ = 0°, b) ϕ = 24° 8.25 2n ≥

8.26 48, 44S

V

narctg

nα °= =

8.27 a) maximum, b) minimum

8.28 a)2

202 0cos 0,125

2I

I Iα= = , b) ( )2

2 202 01 cos 0,1128

2I

I k Iα= − =

8.29 ( )929 0 0cos 0, 759I I Iα= =

8.30 * ( )90290 0 0cos 0,973I I Iα= =

8.31 a) 2, b) 5

8.32 a) ( )2203 0cos 0,125

2II Iα= = , b) 3 0I =

8.33 2 2

194,5 nm2 sin

kd kn

λ

α= =

−

8.34 (2 1)4

kdn

λ+= , d1 = 9,96⋅10–8 m, d2 = 2,989⋅10–7 m, d3 = 4,982⋅10–7 m

167

168

144

Výsledky otázok, problémov a neriešených príkladov

1 Elektrostatické pole vo vákuu

1.2 Otázky a problémy 1. F = 0 N bez ohľadu na polaritu vloženého náboja. 2. Keď v systéme voľných elektrických nábojov pôsobia iba Coulombove interakčné sily, rovnováha

systému bude vždy labilná. a) Pri vychýlení vloženého náboja v smere spojnice nábojov, zväčší sa príťažlivá sila bližšieho náboja, náboj sa nevráti do rovnovážnej polohy. b) Pri vychýlení vloženého náboja v smere kolmom na spojnicu nábojov, výslednica odpudivých síl od nábojov má rovnaký smer ako vychýlenie, teda náboj sa tiež nevráti do rovnovážnej polohy.

3. 0,5 – krát. 4. F = 809 N 5. So zrýchlením a = F/m, F – odpudivá elektrická sila, m – hmotnosť zrnka. 6. a = 2,6⋅108 m⋅s–2 7. n = 6,24⋅1014 8. Smer dotyčnice k siločiare je smerom intenzity elektrického poľa v danom bode, a pretože E ∼ F

∼ a, je tento smer smerom zrýchlenia. Smer dotyčnice k dráhe je smerom okamžitej rýchlosti v. Smery a, v nemusia byť rovnaké.

9. Nie, takéto pole by nebolo konzervatívne, pretože (viď obr.):

B C D A

A B C D

0d d d d d= ≠∫ ∫ ∫ ∫ ∫E r E r + E r + E r + E r⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

10. Siločiary sa nemôžu ani pretínať ani dotýkať, pretože smer intenzity E je vo všetkých bodoch jednoznačne určený (v priesečníku by intenzita mala dva rôzne smery, v dotyku by E = ∞). Nie, bod dotyku, resp. priesečník by mal dve rôzne hodnoty potenciálu.

11. V obidvoch prípadoch E = 0. Vyplýva to z Gaussovho zákona, resp. z úvahy o symetrii – ku každému elementu dℓ existuje symetricky rozložený element, ktorých príspevky dE v strede sú rovnako veľké, opačného smeru.

12. E = 0 13. a) Ev = 0, b) Ev = 2E

14. a) E = 0, b) E = 0, c) E = 20

2π

Qaε

j , kde a je strana štvorca, Q veľkosť nábojov.

15. a) E = 0 , V = 0

32π

Qaε

, b) E = 0 , V = 0

16. 0dVE V E x V E xx

∂= − ⇒ = − = −

∂ ∫

17. Pole je homogénne. V = V0 – (Ex x + Ey y + Ez z)

18. Pole nie je homogénne E(x, y, z) ≠ konšt., 0aV Vr

= +

19. 1 204π

eErε

= = 1,4 ⋅1011 V⋅m–1, E2 = 2 E1

20. Q = 4 πε0 r2E = 2,1⋅10–11 C, náboj je záporný. 21. Q = 4 πε0 r2E = 6,77⋅105 C, náboj je záporný; n1 = (ε0 E)/e = 8,3⋅109 22. a) VZ = V∞ −E RZ = − 9,6⋅108 V, b) V∞ = VZ + E RZ = 9,6⋅108 V 23. E = − grad V = − [2a(x i + y j) + 2b z k]; 2 2 2 2 22 ( )E a x y b z= + + 24. Nezmení, pokiaľ sa nenaruší homogenita poľa. 25. a) Ev = 0, b) Ev = 2 E, Ev =σ /ε0

E

A B

CD

K otázke 9

145

26. 2 21 2 05 (2 )E E E ε= + =

27. Keď je v rovnováhe tiažová Fg a elektrická sila Fe. Ak sa náboj zmenší, bude Fg > Fe , zrnko padá. Obnovenie rovnováhy nastane zvýšením intenzity elektrického poľa.

28. E = (m g)/e =1,02⋅10–7 V⋅m–1

29. 4 27,6 10 m s ,eEam

−= = ⋅ ⋅

2 3/ 2 9,5 10 ms at= = ⋅ 30. E =U/d = 1000 V⋅m–1 (viď obr.) 31. Od vodiča s vyšším potenciálom

(menším nábojom) k druhému vodiču.

32. Zakreslenie siločiar je na obr. V oblasti, kde sú ekvipotenciálne hladiny bližšie k sebe je väčšia intenzita. Uhol je 90°.

33. Zakreslenie siločiar je na obr. Povrch náboja aj Zem sú ekvipotenciálne hladiny, siločiary sú kolmé na povrch Zeme aj náboja.

34. Záporný náboj sa bude pohybovať smerom k vyššiemu potenciálu, kladný náboj smerom k nižšiemu potenciálu.

35. WAB = Q (VA − VB) = 0, pretože VA = VB; WAC = WBC

36. 0

04πQ Q

WRε

= = 1,08 J

37. W = Q (VA − VB) = 4,8⋅10–3 J

38. 2

p04π

QERε

= ⇒ Ep2 = Ep1/2 (R2 = 2 R1) . Nabitá bublina sa nafukuje ľahšie, pretože náboje

sa vzájomne odpudzujú a „pomáhajú“ zväčšovať voľný povrch. 39. Dvakrát.

40. kEUe

= = 4000 V, doska B má vyšší potenciál.

41. W = Q U = 1,05⋅109 J, Wmc T

=Δ

= 2500 kg

42. Ψ = E π R2 cos φ; a) Ψ = 25,4 V⋅m, b) Ψ = 18 V⋅m, c) Ψ = 0 V⋅m 43. Ψ1 = Ψ /6 = Q /(6 ε0) 44. Q = ε0 Ψ = 1,3⋅10–8 C 45. C = 4 πε0 RZ = 708 μF 46. Kondenzátor s elektrickou kapacitou 1385 pF treba do siete zapojiť sériovo. 47. C = 4 pF 48. Kondenzátorová batéria akumuluje 9-krát viac energie pri paralelnom radení ako pri sériovom

radení rovnakých kondenzátorov. 49. a) C1 = C/3, b) E1 = E, c) U1 =3 U, d) Ep1 = 3 Ep

50. Ide o elektrický dipól. Intenzita elektrického poľa na osi symetrie dipólu E = − 304π rε

p , pričom

p = Q ℓ, teda E ↑↓ ℓ. 51. W = 2 p E 52. Ψ = 0 1.4 Neriešené príklady 1.26 19

02 π 4,8 10 C, 3Q R F n Q eε −= = ⋅ = =

1.27 0 p

0,1 m2 π

eRg mε

= =

K otázke 30

E

V2V1

V1

V2

E

K otázke 32

+E

V

K otázke 33

146

1.28 2

42 36e p 02

0

, 4,2 10 , 1,2 10 , 2 π4π

ek k k Q m GG m

εε

= = ⋅ = ⋅ =

1.29 6 1 15 1 2 18k e

00 0 e

12,18 10 m s , 6,5 10 s , 2,16 10 J2π 22 π

e f E maa mε

− − −= = ⋅ ⋅ = = ⋅ = = ⋅vv v

1.30 1

0

(4 )14 π

Q Q QR m R

ωε

−=

1.31 2

3v 2

0

2(1 cos120 ) 1,4 10 N4π

QFaε

−= − ° = ⋅

1.32 30v 2

0

2(1 cos120 ) 1,38 10 N4πQ QF

aε= − ° = ⋅ , ak elektrické náboje Q ležia v smere osi x, potom

smer výslednej sily na jednotkový náboj je v smere osi y, resp. – y.

1.33 14 209 nC

1 2 2Q Q= =

+

1.34 2

701

2

4π tg 1,07 10 Cm g aQQ

ε α −= = ⋅

1.35 2 2

1302

1

π (4 ) 8,7 10 Ca FQQ

ε −−= = ⋅

1.36 3

2 13 1A6 2

0

π 4,3 10 C, =1,5 10 V m10 π

N d e QQ EM d

ρε

− −= = ⋅ = ⋅ ⋅

1.37 2 2

4 1A B A B2 2 2 2

0 A B 0 A B

1 1( ) , 2 10 V m4π 4π

Q Q Q QEx y x yε ε

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠E i j

3A B

0 A B

1 9 10 V4π

Q QVx yε

⎛ ⎞= − − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

1.38 13 3

0 λ A

1 2 0,4 , 1,08 V m2π ( )

Q Q Er x x r

λε

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= − − = − = ⋅⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭E i j i j

1.39 4 11 2

0

1 ( ) 1,35 10 V mπ a

λ λε

−= − − ⋅ ⋅E i = i

1.40 3 1 1os

0

2a) 2,5 10 V m b) V m4π

ER

λε

− −= = ⋅ ⋅ ⋅0E =

1.41 6 1 6 11 2 1 2I II

0 0

a) 1,1 10 ( ) V m , ( ) 2,25 10 ( ) V m ,2 2

σ σ σ σε ε

− −− += = ⋅ − ⋅ = − = ⋅ − ⋅E i i E i i

6 1 2 2 6 12 1III 1 2

0 0

11,1 10 V m , b) 1,8 10 V m2 2

Eσ σ σ σε ε

− −⊥

−= = ⋅ ⋅ = + = ⋅ ⋅E i i

1.42 0

22,6 N,2

F Q σε

= = ↑↑F E

1.43 3

151

0

600, 1 10 C2π

Q Qn Qd V nε

−⎛ ⎞= = = = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

1.44 A B D C B Da) 0 V, 25 V, 75 V, b) 0 V, 25 V, 25 V,V V V V V V= = − = − = = = −

E B Dc) 0 V, 75 V, 25 VV V V= = =

1.45 n 10

, pre 1 2,46 cm4π

Q RR n RQ R n Vε

= = =− Δ

147

1.46 1 12

0 0

: 0 V m , 180 V; : 7200 V m ,4π 4π

Q Qr R E V r R ER Rε ε

− −< = ⋅ = = = ⋅

12

0 0 1 0 1

180 V; : 1800 V m , 90 V4π 4π 4π

Q Q QV r R E VR R Rε ε ε

−= > = ⋅ =

1.47 2

1

( )ln

VE r RrR

=

1.48 km a

a

ln 19,9 kVRU E RR

=

1.49 Tok cez steny obsahujúce náboj je nulový, tok cez ostatné steny: 3

0

1 4,7 10 V m24

Qψε

= ⋅ ⋅

1.50 * 6

22

0

1,9 10 V m2

4

Q hhR

ψε

= ⋅ ⋅

+

1.51 2

20 1 2 0 11 2 1

2 1 2 1

4π 4π 4π ,R R RC S R d R RR R R Rε ε

= ⇒ = = −− −

1.52 17 2 11tg 3,2 10 C; (1 tg ) 2,3 10 Nm g dQ F m gU

α α− −= ⋅ = + ⋅

1.53 1 0,5 sd Utg U

=Δ

1.54 21

0

2 9 cm4πQ V CR

Vε−

=

1.55 1 2 1 1 2 21 2

1 2 1 2

( ) ( )9,5 nC, 21,5 nCQ Q R Q Q RQ QR R R R+ +′ ′= =+ +

1.56 5 412 1 1 1 2 2 2 2

1 2

70 V; 7 10 C; 1,4 10 CCU U Q C U Q C UC C

− −= = = = ⋅ = = ⋅+

1.57 100 v

253 pF; 6,4 10 ; 35 pF3

SC Q CU C C Cd

ε −= = = = ⋅ = =

1.58 max2

0

2 1 11πd CN

Rε= + =

1.59 46 4 6 25 2 35 v35 3 46 5 v 1 25 7

1 1 1 1 1 1 1 1, , , 1μFC C C C C C CC C C C C C C C

= + = + + = + = + + ⇒ =

1.60 2 4p 1 2 3

1 2 3

1 1 1 1 11μF, 0,02 J, 2 102

C E CU Q Q Q Q CU CC C C C

−= + + ⇒ = = = = = = = = ⋅ ,

1 2 31 2

100 V, 50 VQ QU U UC C

= = = = =

1.61 2 5 2 51 2 3 p pi i3600 pF; / 2 7,2 10 J; / 2 2,4 10 JC C C C E CU E C U− −= + + = = = ⋅ = = ⋅

1.62 0

3 0,05 JW Q dσε

=

1.63 7 1

e

2 1 10 m se E dm

−= ⋅ ⋅v

1.64 2

e 0 1,95 cm2md

e E= =

v

148

1.65 2

13min 2

0 p 1

13 1,5 10 m2π

exmε

−= ⋅v

1.66 16 7 1p

e

28 10 J, 4,2 10 m seUE eUm

− −Δ = ⋅ = ⋅ ⋅v

1.67 5 10 1

0 e 0

2 ln 1,9 10 m se R Rm Rσ

ε−= ⋅ ⋅v

1.68 1 2 2 1

0 1 2

0,27 J4πQ Q R RW

R Rε−

= −

1.69 41

0 1

ln 6,3 10 J2π

R RQWR

λε

−+ Δ= ⋅

1.70 2

90 1 1 22

1

( )1 3,5 10 J2

S U d dWd

ε −−= ⋅

1.71 2

p0

35 105 J48 π

QEaε

= − −

1.72 2 2

17 17p p

0 0

4 3 15 4 3 15a) 0,59 10 J, b) 0,22 10 J2 4π 2 4π

Q QE Ea aε ε

− −+ −= ⋅ = − ⋅

1.73 2 2

11p

0

9(2 2) 6 3 1,2 106 π

Q QEa aε

+ −= = ⋅

1.74 133

0

9 10 N4π

e prε

−= − − ⋅F i i

1.75 11 7 1d d2 3

0 0

3 10 m, 0,0135 V, 1,35 10 V m4π 2π2 cos

2

p pVr re α ε ε

− −= ⋅ = = = ⋅ ⋅pE j

1.76 20 2d 2

0 0

6,7 10 C; 8,9 10 V; 0,67 V4π 4π

p p QQ V Vr rε ε

− −= = ⋅ = − − ⋅ = − −

1.77 * 60SC AB 2 2

0

1 10, 3,8 10 J2πQ pW W

a aε−⎛ ⎞

= = − ⋅⎜ ⎟+⎝ ⎠

1.78 20 26max3,4 10 ; sin90 8,5 10 N mpQ C M p E− −= = ⋅ = ⋅ ⋅

1.79 26(1 cos 45) 2,5 10 JW p E −= − − − ⋅ 2 Elektrostatické pole v dielektriku

2.2 Otázky a problémy 1. Pozri teoretický úvod! 2. Dipólový moment neutrálneho systému molekuly nezávisí od voľby počiatku vzťažnej sústavy, ak

ho stotožníme s hmotným stredom molekuly – z úvah o symetrii vyplynie, že dipólový moment tejto molekuly je nulový (obr.)

3. a) CO2 musí byť lineárna, pretože ináč by jej elektrický dipólový moment bol nenulový, b) existencia dipólového momentu a úvahy o symetrii vedú k štruktúre na obr.

4. Skoková zmena počtu siločiar poľa pri prechode cez hranicu dielektrika sa vysvetľuje pôsobením polarizačných nábojov, ktoré vznikajú v elektrickom poli na hraniciach dielektrika (obr.).

5. Intenzita poľa aj napätie medzi doskami kondenzátora sa znížia εr krát, kde εr je relatívna permitivita vloženého dielektrika.

149

6. Nie, E = U/d = konšt., pretože U = konšt. 7. Elektrická kapacita kondenzátora sa εr krát zvýši, kde εr je relatívna permitivita vloženého

dielektrika. 8. C = εr C0 = 11,5 μF, Q = C U = 1,15⋅10–3C 9. U0 = εr U = 650 V, C0 = C /εr = 0,46 μF 10. E0 > E1 11. F = F1 + F2 = 0 (obr.) 12. Polarizácia skla Ps je 1,5 krát väčšia ako polarizácia teflónu, Ps > Pt . 13. σp = P = ε0 (εr − 1) E = ε0 (εr − 1) U/d = 1,9 μC⋅m–2 14. εr = E0/E = 2,1 – teflon, σ0 = D = εr ε0 E =ε0 E0 = 8,854⋅10–6 C⋅m–2,

σp = P = ε0(εr – 1)E = 4,7⋅10–6 C⋅m–2 15. V priestore, kde nie sú voľné náboje.

16. 0 r

C dSε ε

= = 0,54 m2, Umax = Emax d = 625 V

17. Umax = 360 V 18. d = 0,05 μm

19. max 0 r max r maxSCU E d Ed

ε ε ε= ∼ ⇒ závisí od materiálu.

2.4 Neriešené príklady

2.14 2

1r

2

2,8RR

ε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2.15 Vektory P, pc majú smer osi valčeka, ich veľkosti sú: 2 2 6A

c0,096 C m , π 0,6 10 C mNP p p P R hMρ − −= ⋅ = ⋅ ⋅ . Povrchový náboj na jednej podstave

by musel mať plošnú hustotu σp = P , na druhej σp = − P. 2.16 a) U = U0 /εr = 100 V, b) C0 = ε0 S/d = 26,6 pF, C = εr C0 = 79,8 pF, c) plošná hustota voľného

náboja pred vložením aj po vložení dielektrika je rovnaká σ0 = ε0 U0/d = 6,6⋅10–7 C⋅m–2, d) 0

p 0 rr

( 1) Ud

σ ε εε

= − 4,4⋅10–7 C⋅m–2.

2.17 6 1 6 11 m1 2 m2

1 2

3 23 10 V m , 1 10 V m5 5

U UE E E Ed d

− −= = ⋅ ⋅ < = = ⋅ ⋅ < , nedôjde k prierazom.

2.18 a) D = ε0 (1+κ) E ≅ 26,6 μC⋅m–2, b) E0 = (1+κ) E = 3 ⋅106 V⋅m–1, c) σ0 = D = 26,6 μC⋅m–2, d) P = ε0 κ E = 22,1 μC⋅m–2, e) Ep = κ E = 2,5⋅106 V⋅m–1, f) σp = P = ε0 κ E = 22,1 μC⋅m–2, g) σef = σ0 − σp = 4,5 μC⋅m–2.

2.19 a) σ0 = ε0 E0 = 1,8⋅10–5 C⋅m–2, b) εr = E0/E = 5, c) σp = P = ε0 (εr – 1) E = 1,4⋅10–5 C⋅m–2

C

C C

C C

C

H

H

H

HH

HK otázke 2

O C O

H HO

K otázke 3

+++

+

+

++

+

++

––

– –

––

K otázke 4

F2

K otázke 11

++

+++

+

+

––

–

––

–

–

F1

150

2.20 5 1 4 100 1 0 1 0 0

1 r10

r1

1 10 V m , 2,5 10 m ,EUE E D D Eddε

εε

− −= = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = = =+

8,85⋅10–7 C⋅m–2,

ψ0 = ψ1 = D0 S = 8,85⋅10–9 C, P0 = 0, P1 = ε0 (εr1 - 1) E1 = 6,64⋅10–7 C⋅m–2

2.21 * Pre r < R 1: D = 0, E = 0, V = konšt.= 0 r11

0 r1 1 2

1 1( )4π

QV RR R

εε ε

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

pre R1 < r < R2: 0 0 0 r12 2

0 r1 0 r1 2

1 1, ,4π 4π 4πQ Q QD E V

r r r Rε

ε ε ε ε⎛ ⎞−

= = = +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

pre r > R2: 0 0 02 2

0 0

1, ,4π 4π 4πQ Q QD E V

r r rε ε= = =

2.22 r2

1 12

W

CUε = + = 6,5 ⇒ ide o porcelán.

2.23 *2

r10

r1 0 1

12

UF Sd dεε

ε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

2.24 2

0 r 2

1 ( 1)2

Uhg d

ε ερ

= − 2,7 mm

2.25 1 20 r

2 1

4π R RCR R

ε ε=−

3,4 pF, 2

2 1pe

0 r 1 2

( )8πQ R RE

R Rε ε−

= 14,7 J

2.26 0 r

2

1

2π

lnC R

R

ε ε= 75,4 pF

2.27 0 r2π

1 2 e CR Rε ε

−= 9,65 cm

2.28 0 r

2

1

2π

lnC d

d

ε ε= 182 pF⋅m–1

2.29 0r

1

ww

ε= , hustota energie je εr - krát väčšia vo vzduchovej medzere kondenzátora.

2.30 1r

0

ww

ε= , hustota energie bude εr - krát väčšia v kondenzátore s dielektrikom.

2.31 0 r( 1)Ud

σ ε ε= − 2,4⋅10–6 C⋅m–2

2.32 0 r1 r2

r1 r2( )S

Cn dε ε εε ε

=+

31,7 pF

2.33 a) r1 r2 01 02

r1 01 r2 02

C CC

C Cε εε ε

=+

36, 8 pF, b) r1 01 r2 02C C Cε ε= + 190 pF

2.34 r 1εα −=

n2,75⋅10–30 m3

2.35 α 3.3⋅10–29 m3 2.36 0ε α=p E 3,7⋅10–36 C⋅m 2.37 0ε α=p E 1,65⋅10–37 C⋅m

151

2.38 r2 r1r2

r2 r1

1 3 12 2 2

ε ε εε ε

− −= ⇒

+ +5,5

2.39 p 3,85⋅10–30 C⋅m, α 1,7⋅10–28 m3 3. Elektrický prúd

3.2 Otázky a problémy 1. Elektrický obvod musí byť uzavretý a musí existovať rozdiel potenciálov v dvoch bodoch obvodu. 2. Súčasne s urýchlením elektrónu v elektrickom poli dochádza k jeho zrážkam s mriežkou kovu. 3. Smer pohybu kladného náboja. 4. Napríklad: tepelné, chemické, magnetické, biologické. 5. C = A⋅s, V = kg⋅m2⋅s–3⋅A–1, Ω = kg⋅m2⋅s–3⋅A–2. 6. Dva kovy a kvapalina v tele žaby tvoria galvanický článok a spolu s telom žaby tvoria uzavretý

elektrický obvod, ktorým potečie elektrický prúd. Tento podráždi nervové zakončenia a spôsobí pohyb svalu.

7. Medzi dvomi rôznymi kovmi by vznikol rozdiel elektrických potenciálov a zuby by predstavovali zdroj EMN. Vzniknutý elektrický prúd (5 – 100) μA by vyvolával nepríjemné pocity.

8. Mokrá krysa prežila, pretože elektrický prúd prechádzal len po mokrej, elektricky vodivej koži na povrchu tela, zatiaľčo u suchej krysy cez jej telo.

9. Ťažké následky na zdraví človeka môže spôsobiť už elektrické napätie väčšie ako 30 V, najmä vo vlhkom vodivom prostredí. Elektrický prúd 0,025 A môže spôsobiť ochrnutie, prúd 0,1 A smrť.

10. V okolí takéhoto vodiča vzniká nehomogénne elektrické pole. Pokiaľ človek stojí na obidvoch nohách, budú potenciály elektrického poľa v bodoch, kde sa dotýka zeme, rôzne a bude medzi nimi telom človeka prechádzať elektrický prúd tým väčší, čím je človek viac rozkročený (v dôsledku väčšej nehomogenity poľa).

11. Ideálne izolátory neexistujú. Izolátory menia svoje elektrické vlastnosti v závislosti od počasia – zaprášený alebo mokrý povrch izolátora sa stáva elektrickým vodičom a elektrický prúd môže prechádzať po povrchu izolátora, stožiar a ľudské telo do Zeme.

12. Telo sediaceho vtáka predstavuje vetvu elektrického obvodu paralelne pripojenú k časti drôtu medzi jeho nohami. Pretože elektrický odpor tela vtáka je oveľa väčší ako elektrický odpor časti drôtu malej dĺžky, preto elektrický prúd prechádzajúci telom vtáka je zanedbateľne malý a vtáku neublíži. Keď sa vták náhodne dotkne stĺpa časťou tela (zobákom, krídlom) – vodivo sa spojí so Zemou a elektrický prúd ho zabije. K podobnému javu môže prísť, ak sa vták rôznymi časťami tela dotkne dvoch drôtov s rôznymi potenciálmi.

13. Elektrický prúd prechádza prostredím, ktoré má menší elektrický odpor - listnaté stromy majú menší elektrický odpor a majú hlboko v pôde korene, preto sú lepšie „uzemnené“. Kmene ihličnatých stromov majú väčší elektrický odpor a elektrický prúd pri zasiahnutí bleskom prechádza zväčša ich povrchovými vrstvami. Ak je človek nachádzajúci sa v blízkosti stromu lepším vodičom ako strom, elektrický prúd zasiahne človeka. Ľudia v skupinkách vydychujú viac vodnej pary a zväčšujú tým elektrickú vodivosť vo svojom okolí.

14. V smere od nižšieho potenciálu k vyššiemu. 15. E = ρ J = 3,4⋅10–4 V⋅m–1

16. 2π

4dI Eρ

= 4,7 A

17. a) v2 = v1/2 , b) v2 = v1, c) v2 = 2 v1

18. Cu Cu

Al Al

dd

ρρ

=

19. 32 1,2 10π

IdU

ρ −= ⋅ m

152

20. 2π

dR

ρ= ≥ 2⋅10–3 m

21. 4

Cu Cu

52,8 m, 2 1,7 10 mπ

m R mdρ ρ ρ

−= = ⋅

22. 2s pnR R=

23. p / 4R R= 24. a) Ra = 600 Ω, b) Rb = 66,7 Ω, c) Rc = 300 Ω,

d) Rd = 133,3 Ω 25. Výhodnejšie je paralelné zapojenie, nevýhoda sériového radenia – prepálenie jednej žiarovky

znamená prerušenie obvodu. (Žiarovky sú ale určené na isté napätie - môžu alebo zhorieť, alebo sa nerozsvietia!)

26. 2/ 6,7 10 SG I U −= ⋅

27. 0

0

1 36 CR RTRα−

= °

28. b a2R R=

29. max V pV

( ) 90100 VUU R RR

= + ⋅ =

30. Ampérmeter má malý vnútorný odpor, preto cez ampérmeter (zapojený vo funkcii voltmetra paralelne k žiarovke) potečie veľký prúd a cez žiarovku malý – žiarovka zhasne.

31. Nie, pretože napätie na žiarovke je: U = R I = 6 V.

32. a) Cez obidva rezistory 0,0452UIR

= = A, ak je prepínač P otvorený, ak je P zopnutý bude I cez

prvý rezistor nulový, cez druhý bude 0,09UIR

= = A; V zapojení b) ak je P otvorený potečie

prúd len prvým rezistorom: I = 0,09 A. V prípade zopnutia P - obidvomi vetvami potečie rovnaký elektrický prúd I = 0,09 A.

33. Ideálny ampérmeter a voltmeter sú meracie prístroje, ktoré neovplyvňujú svojimi vnútornými odpormi meranú situáciu v obvode. Preto je ideálne, ak RA → 0, aby cez ampérmeter pretekal celý meraný prúd. Naopak elektrický odpor voltmetra musí byť veľký RV → ∞, aby ním neprechádzal elektrický prúd.

34. i

U RR R

=+E 5,75 V

35. 1

i

44

UIR R

=+

0,58 A

36. iUR

I−

=E = 0,06 Ω

37. U = 0 V

38. i1

UR R

=+

E . Ak R = 0 Ω ⇒ U = 0 V; ak R → ∞ ⇒ U = E

39. U W Q= = 2 V 40. W Pt= = 2 kWh, zaplatíte 7,- Sk. 41. Najväčšia spotreba elektrickej energie je pri paralelnom radení žiaroviek a najmenšia pri sériovom

radení všetkých troch žiaroviek.

42. Žiarovka s výkonom P1 = 25 W má väčší elektrický odpor, viac sa zahrieva. Pomer 1 2 1 2/ / 4Q Q P P′ ′ = = . 43. Pri sériovom radení jasnejšie svieti žiarovka s väčším elektrickým odporom, pri ich paralelnom

spojení je to opačne.

a) b)

c) d)

K otázke 24

153

44. 2

1 2

URP P

=+

125,2 Ω

45. s 1 22

p 1 2

0,2( )

P R RP R R

=+

46. 2 13 2P P=

47. 1

U InP

= =11, súčasne môže byť zapnutých 11 (100 W)- žiaroviek. Súčasne môžu byť zapnuté

napríklad: žehlička + jednoplatnička + žiarovka, alebo práčka + žiarovka.

48. 7 1

d

2 3,9 10 m s , 240 WW WP Im e

−= ⋅ ⋅ = =v

49. a) 2 2ch z i ch

i

, 80 J,E W I t R I t R I t I ER R

= = = + = ⇒ =+E

E b) 2Q R I t′ = 66,7 J, c) straty

v zdroji: 2s iW R I t= 13,3 J

3.4 Neriešené príklady

3.16 52

4 3,2 10π

Id ne

−= ⋅v m⋅s–1

3.17 34,7 10S EQ tρ

= ⋅ C

3.18 181 11 C, N = 6,2 10 , 100 sQ I t Q e t Q I= = ⋅ = =

3.19 0 1 1s

1

( ) 25 C, 2,5 A2

I I t QQ It

+= = = =

3.20 3

max 1 maxs2

2

1,6 C, 2 A3 3

I t IQ It

= = =

3.21 R = 8 Ω 3.22 2 1

1 5,83

R R= Ω

3.23 2

gx

g b

0,45R

RR R

= Ω+

3.24 r = 2 R = 4 Ω 3.25 3 2 2 1

x1 2 2 3

( ) 10( )

U R I RRR R I U

−= = Ω

+ −

3.26 R = 8,2 Ω, I2 = 0,09 A, I3 = 0,15 A, I4 = 0,3 A, I5 = 0,5 A, I6 = I7 = 0,2 A, I8 = 1 A, E = 8,2 V 3.27 a) Rs = 900 Ω, I = 0,24 A, U1 = 97,8 V, U2 = 73,3 V, U3 = 48,9 V,

b) Rp = 92,3 Ω, I1 = 0,55 A, I2 = 0,73 A, I3 = 1,1 A, U = 220 V

3.28 1 23 90 , 2 180 , 1 A, 2 0,5 A2UR R I U R I U RI

= = Ω = Ω = = = =

3.29 I = 1 2 1 3 1 4 2 3 3 4

4 1 2 1 3 2 3( )R R R R R R R R R R

R R R R R R R+ + + +

=+ +

E 4 A

3.30 1 5 A4

3 4 3 5 4 5

R R IIR R R R R R

= =+ +

0,2 A

154

3.31 z zx z100 , 200U U UR R

I I−

= = Ω = = Ω

3.32 U1 : U2 : U3 : U4 = 12 : 6 : 4 : 3

3.33 3 1 1Cu Cu 20° W W0° 02

Cu

41,7 10 V m , [1 ( )] 12,7 V mπ

I IE E T TS d

ρ ρ α− − −= = ⋅ ⋅ = + − ⋅

3.34 2

00 0 t

0 t

36 , 6,1 A, 0,45 A, 13,6(1 )

U U P IR I IP T R U Iα

= = Ω = = = =+ Δ

3.35

2 11 2

2 10

1 2

100

U Ut tI IRt t

−= = Ω

−

3.36 p V1

1 38 kUR RU⎛ ⎞

= − = Ω⎜ ⎟⎝ ⎠

3.37 1p V

V

4 mA, (n 1) 12 kUI R RR

= = = − = Ω

3.38 Ab 0,56 , n 10

n 1RR = = Ω =−

3.39 bg

1 mURI I

= = Ω−

3.40 a) g 4b

g

1,2 101

RR

I I−= = ⋅ Ω

−, b) 7

p gg

5 10UR RI

= − ⋅ Ω

3.41 N SVN S

V S

3,5 V, 4 V, = 100 12,5 %2 2

U UR U UU UR R U

η−

= = = = ⋅ =+

3.42 * V iN S

i V i V

11,76 V, , 100 2 %R RU UR R R R

η= = = ⋅+ +

E E

3.43 * AA

i A i A

0,566 A, 100 1,9 %RIR R R R R R

η= = ⋅+ + + +

E

3.44 i 21 i

21245 , 0,24 A2

R R II R R

= − = Ω = =+

E E

3.45 2 2 1 1i i 1 1

1 2

14,3 , ( ) 5,14 VR I R IR R R II I−

= Ω = +−

E

3.46 1 2 1 2 1i 1 i

2 1 1 2 1

( ) 0,7 , 5,5 VU U R R UR U RU R U R R

−= = Ω = + =

−E

3.47 1 2 i15 , 10 , 2,94 , 44,7 VR R R= Ω = Ω Ω E

3.48 2 3 3 31 3 2 3 1 2 1 3 2 3

2 2 2

, , ( )R R R II I I I R R R R R RR R R+

= = = − + +E

3.49 a) AB 1 2 1 2 i1 1( ) 2 V,U R R R I= − + + + = −E E b) I1 = 1,28 A, I2 = 0,62 A, I3 = 0,66 A 3.50 Ig = I2 = 0,51 mA 3.51 I = 2 A, I1 = 0,33 A, I2 = 0,67 A, I3 = 1 A 3.52 I2 = 0 A

3.53 11 2 3 4 4 3

2

0,027 A, 0,004 A, 0,03 A, 300RI I I I I R RR

= = = = = = = Ω

3.54 I1 = 140 mA, I2 = 72 mA, I3 = 68 mA, I5 = 12 mA, E = R1 I1 + R3 I3 = 0,484 V 3.55 I1 = 0,875 A, I2 = − 2,75 A, I3 = 3,625 A, smer prúdu I2 je opačný ako zvolený v schéme. 3.56 I = 0,35 A

155

3.57 9,72 kJ, 0,2 AW Pt I P U= = = = 3.58 * 228,9 MJ, / 1 kW, / 48,4W c T Q P W t R U Pρτ= Δ + = = = = = Ω

3.59 * 22

200

1d2

tR CUW e t CU

R

−

= =∫

3.60 a) s 1 2 20 mint t t= + = , b) 1 2p

1 2

3,75 mint ttt t

= =+

3.61 19N 5,7 10PtU e

= ⋅

3.62 1v

1

20 VPU RR

= =

3.63 R2 = R1 = 1,8 kΩ

3.64 2

11

1

894,5 , 290 mA64U PR I

P U= = Ω = = - prúd neprekročí povolenú hodnotu.

3.65 Z výkonov P1, P2 a známych elektrických odporov R1, R2, R3 vypočítame EMN zdrojov a z Kirchhoffových zákonov vypočítame elektrické prúdy I1, I2, I3, potom: 2 2 2

1 1 2 2 3 3 100,7 WP R I R I R I= + + =

3.66 * 1 32

1 3

R RRR R

=+

3.67 i 2 1 , 2 6 VP PR RI I

= = = Ω = =E

3.68 1 11 21 20,2 m s , 5 m s

( cos sin )U I U Im g m g

η ημ μ α α

− −= = ⋅ = = ⋅+

v v

3.69 61 kgPmgη

= =v

3.70 1m 0,047 kg sU Iq

c T−= = ⋅

Δ

3.71 1Ptc Tητρ

= =Δ

3.72 2

11 , 20 AU t UR Ic T R

ηρτ

= = Ω = =Δ

4 Magnetické pole vo vákuu

4.2 Otázky a problémy

1. Áno, zmení sa orientácia B aj H. 2. Áno, lebo pohyb kladných iónov mriežky vytvára v okolí pohybujúceho sa drôtu rovnaké

magnetické pole, ako by vytváral pohyb elektrónov v nehybnom drôte. 3. Orientované krivky, ku ktorým je vektor B v každom bode dotyčnicou. 4. Miesta s väčšou hustotou indukčných čiar zodpovedajú väčšej magnetickej indukcii B. 5. –– 6. Pre ľubovoľnú kruhovú integračnú dráhu v rovine kolmej na os kábla, ktorej stred leží na osi kábla

a ktorá obopína kábel zvonku, je celkový prúd cez obopnutú plochu ( ) 0I I+ − = , preto d d 0H⋅ = =∫ ∫H . Z dôvodov symetrie je H na celej integračnej dráhe konštantné, preto

0H = a teda aj B = 0.

156

7. Pre ľubovoľnú kruhovú dráhu v rovine prstenca, ktorej stred leží v strede symetrie prstenca a ktorá neprechádza vnútorným priestorom prstenca, je celkový prúd cez obopnutú plochu nulový,

d d 0H⋅ = =∫ ∫H . Z dôvodov symetrie je H na celej integračnej dráhe konštantné, preto 0H = a teda aj B = 0.

8. Tok vektora B je vo všetkých prípadoch nulový. 9. Áno, ak je v rovnobežné s B, t.j. ak sa častica pohybuje v smere indukčnej čiary. 10. V druhom prípade. 11. a)Nie, b) nie, c) nie, d) áno, e) áno, f) áno, g) iba na jeden z nábojov. 12. Po kružnici; po parabole. 13. ( ) ( ) 0P Q Q= × ⋅ = × ⋅ =B Bv v v v . Táto sila nemôže konať prácu. 14. Áno, ak = − ×E Bv . 15. a) Nie, b) áno. 16. a) Áno, b) áno, c) áno. Elektrické sily pôsobia v prípade (b). 17. Vo vodiči je výsledná hustota náboja kladných iónov a záporných elektrónov nulová, preto

elektrická sila medzi vodičmi je nulová a v pôsobení medzi vodičmi sa prejavujú iba príťažlivé magnetické sily, ktoré súvisia s pohybom nábojov rovnakého znamienka. Medzi elektrónovými lúčmi pôsobia okrem príťažlivých magnetických síl aj odpudivé elektrické sily, ktoré sú rádovo silnejšie.

18. V prvom prípade. 19. Na každý elementárny úsek vodiča slučky pôsobí sila kolmá na magnetické indukčné čiary a na

úsek vodiča. V dôsledku rozbiehavosti indukčných čiar má táto sila v okolí konca solenoidu nenulovú zložku v smere osi solenoidu.

20. Nakreslite si obrázok križujúcich sa vodičov. Orientácia magnetických síl pôsobiacich na každý z vodičov sa mení pri prechode cez priesečník s druhým vodičom, takže výsledné silové pôsobenie na vodič predstavuje dvojicu síl s uvedenými vlastnosťami.

21. Cievka pretekaná elektrickým prúdom predstavuje magnetický dipól s magnetickým momentom, podobne ako strelka kompasu. Ak cievku pripojíme káblikom k batérii a zavesíme ju na dve nite tak, aby os cievky bola vodorovná a mohla voľne meniť smer vo vodorovnej rovine, bude sa os cievky natáčať do smeru magnetického poludníka.

22. Najväčší moment sily pôsobí, keď je os slučky kolmá na B, najmenší, keď je rovnobežná s B. Nulovú potenciálnu energiu má slučka, keď je os slučky kolmá na B, najväčšiu, keď je os slučky rovnobežná s B a jej magnetický moment je nesúhlasne orientovaný s B, najmenšiu, keď je os slučky rovnobežná s B a jej magnetický moment je súhlasne orientovaný s B. Stabilná je rovnovážna poloha s najmenšou potenciálnou energiou, slučka sa snaží natočiť do tejto polohy.

23. a) Nie, b) nie, c) áno. 24. Do polohy s rovnakým smerom ich osí a rovnakou orientáciou ich prúdov, t.j. do polohy s

rovnakým smerom a rovnakou orientáciou ich magnetických momentov. 25. Bude štvornásobná. 4.4 Neriešené príklady

4.21 ( )

240

32 2 2

8 4,50 10 T4

R nIBR d

μ −= = ⋅+

4.22 0

2 tg 637 mARBInα

μ= =

4.23 ( )

20

32 2 2

8arctg 42,04

R I

R d B

μα = = °

+

4.24 602 2

1,41 10 Tπ 4

IBl aμ −= = ⋅+

157

4.25 40 1,00 10 T4π

IBa

μ −= = ⋅

4.26 ( ) 40 2 1 1,66 10 Tπ

IBc

μ −= − = ⋅

4.27 402 3 1,39 10π

IBbμ −= = ⋅

4.28 02 2

4

π

IBb c

μ=

+

4.29 0 1 12π

IBa d a

μ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠; a) B = 3,33⋅10–6 T, b) B = 0

4.30 a) 6,67 cm3dx = = od prvého vodiča smerom k druhému vodiču, b) x = d = 20 cm od prvého

vodiča, na opačnej strane, než sa nachádza druhý vodič.

4.31 a) ( )2 2π

I xHa x

=+

, b) ( )2 2π

I aHa x

=+

4.32 50 3,14 10 T4

IBR

μ −= = ⋅

4.33 a) 40 11 1,66 10 T2 π

IIR

μ −⎛ ⎞= + = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

, b) 50 11 4,00 10 T2 π

IIR

μ −⎛ ⎞= − = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

4.34 402

1 1 1,32 10 T2 π

IBR

μ −= + = ⋅

4.35 796πnx = =

4.36 *a) Pre 0: ,2 2J rr R B μ μ ×

≤ = = 0 J rB ; pre ( )2 2

02: ,

2 2πJ R Rr R Br r

μ μ≥ = = ×0B J r

4.37 *Pre 01 2

1

:2π

I rr R BR

μ≤ = ; pre 0

1 2 :2π

IR r R Br

μ≤ < = ; pre 2 : 0r R B> =

4.38 *0

1,33 nCBRQfμ

= =

4.39 *a) 0et

RCu U−

= , b) 0 et

RCUEd

−= , c) 0 0 e

2

tRCr UH

d RCε −

=

4.40 Odpudivou silou 180 3,2 10 N2π

e IFdμ −= = ⋅

v

4.41 Príťažlivá sila 2 2

4502 2,56 10 N

4πeFd

μ −= = ⋅v

4.42 75,69 10 TmBeR

−= = ⋅v

4.43 qBRm =v

4.44 11 12 2

2 1,75 10 C kge Um B R

−= = ⋅ ⋅

4.45 k223,8 mm

mER

eB= =

158

4.46 * 1 cos 17,4 mmdx Rr

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

, kde mReB

=v

4.47 14,0 MHz2πeBf

m= =

4.48 * sinmReB

α=

v , 2 cosmeB

π α=

v

4.49 * 2arctg 72,3Rπα = = ° , 2

5 121 9,22 10 m s2eB R

m−π⎛ ⎞= + = ⋅ ⋅⎜ ⎟π ⎝ ⎠

v

4.50 * 2 2,15 cmmπ= =

veB

4.51 6 11,7 10 m s−= ⋅ ⋅ev =B

4.52 3,6 NF I B= =

4.53 0,491TmgBI

= =

4.54 65,4 mTmgBI

μ= =

4.55 60 12 2

2,83 10 Nπ

I I xFa x

μ −= = ⋅+

4.56 2

401

3 2 2,12 10 N4π

IFaμ −= = ⋅

4.57 Na úsek nesúhlasne orientovaného vodiča pôsobí 2

601

3 3,46 10 N2π

IFa

μ −= = ⋅ , na úsek

každého zo súhlasne orientovaných vodičov pôsobí 2

602 2 10 N

2πIFa

μ −= = ⋅ .

4.58 * 4 25 10 N mIBRS

σ −= = ⋅ ⋅

4.59 a) ( )

20 1 2

2πI I aF

d d aμ

=+

, b) 0M =

4.60 2 2π 0,126 A mm nIR= = ⋅

4.61 3

2 2

0

2π 3 10 A mBRmμ

−= = ⋅ ⋅

4.62 *2

9 2π 1,26 10 A m2

R f Qm −= = ⋅ ⋅

4.63 a) 0

2πI mMr

μ= , b) 0

2πI mMr

μ= , c) 0M =

4.64 2 32 10 JW IBa −= = ⋅ 4.65 2 62π 5,03 10 JW nIBR −= = ⋅

4.66 60 1 2 ln 3 2,64 10 J2πI IW μ −= = ⋅

4.67 ( )20 0 5π

5,92 10 J2n IR

Wμ −= = ⋅

167

8.35 2k

kd λ= , d1 = 2,75⋅10–7 m, d2 = 5,5⋅10–7 m, d3 = 8,25⋅10–7 m, d4 = 11,0⋅10–7 m

8.36 (2 1)2k

k Rr λ−= , 4 3

1 27, 42 10 m, 1, 28 10 mr r− −= ⋅ = ⋅

8.37 kr k Rλ= , 3 31 21, 049 10 m, 1, 483 10 mr r− −= ⋅ = ⋅

8.38 ' 2k kr r=

8.39 41, 456 10 mk Lbxλ −= = ⋅

8.40 31 22 2 2

0 0 0

4 4 4, ,9π 25π 49π

II II I I

= = = .

8.41 a) sin 594, 42n

αλ = = nm, b) nebude

8.42 * 11str 5,89 10wn kλλ −Δ = = ⋅ m ⇒ môže daný dublet rozlíšiť.

8.43 nenastane.

9. Jadrová fyzika

9.2 Otázky a problémy 1. Z protónov a neutrónov. 2. n p e ν−→ + + 3. Izotopy - jadrá prvkov s rovnakým počtom protónov a rôznym počtom neutrónov. Izobary -jadrá

prvkov s rovnakým počtom nukleónov a rôznym počtom protónov. Izotony - jadrá prvkov s rovnakým počtom neutrónov a rôznym počtom protónov.

4. a/ a - žiarenie je prúd héliových jadier b/ b - žiarenie je prúd elektrónov, alebo pozitrónov c/ g - žiarenie je vysokoenergetické elektromagnetické žiarenie. 5. V jadre. 6. Priemerný časový interval potrebný na premenu polovice atómov vzorky rádionuklidu. 7. Pravdepodobnosť premeny rádioaktívnej látky za jednotku času. 8. Počet rádioaktívnych premien za jednotku času. Jeden bequerel - 1Bq. 9. Je to aktivita prepočítaná na jednotku hmotnosti rádioaktívnej látky. 10. Malý, a dokonca hárok papiera zabráni šíreniu tohto žiarenia. 11. Malý, ale väčší ako má a - žiarenie. Hliníkový plech zabráni šíreniu tohto žiarenia. 12. Je značný a len vrstva olova, alebo iného ťažkého kovu zabráni šíreniu tohto žiarenia. 13. 222 218 214 214 214

86 84 82 83 84Rn Po, Pb, Bi, Po → . Výsledný produkt je 21082 Pb .

14. Schodok hmotnosti súvisiaci s väzbovou energiou jadra. 15. D = E/m = 0,176 μGy 16. H = WR D = 10 mSv 17. E = WT H = 0,1 mSv 18. Radón a jeho dcérske produkty (až 41,8 % podiel radiačnej záťaže obyvateľstva). 19. Prístroje v lekárskej diagnostike a terapii využívajúce zdroje ionizujúceho žiarenia (≈ 19,5 %). 20. Urán-235, plutónium. 21. Látka, ktorá spomaľuje rýchle neutróny na teplotné neutróny. 22. Absorbátor absorbuje neutróny, čím sa môže regulovať reťazová reakcia v reaktore. 23. Látky, ktoré vznikajú v jadrovom reaktore, pohlcujúce neutróny a môžu zastaviť jadrovú reakciu.

168

9.4 Neriešené príklady

9.10 λ = 2,1◊10–6 s–1 9.11 Jód - 131

9.12 ln 2

m 1t

TN e−

= − = 0,253

9.13 6lnln 2 5Tt = = 1799 s,

ln 2Tτ = = 9868 s

9.14 * 6 Amn NMα = = 3,11◊1011 , 4 A

mn NMβ = = 2,08◊1011

9.15 *ln 2

a m

A

m a MTm N

= = 1,9◊10–3

9.16 53 impulzov za 10 sekúnd 9.17 t = 962,7 h 9.18 A ª 740 Bq 9.19 A = 2,76◊108 Bq

9.20 3lnln 2 5Tt = − = 4,24◊103 rokov

9.21 Q1 = EaDN = ln 2

(1 )ln 2

tTATE eα

−− = 116,7 J, Qt = 9,8 kJ

9.22 Ng = 2

24π

A= 9,2◊106 m–2s–1 , ES = Ng Eg = 1,84◊10–6 J m–2s–1

9.23 44,898 10IneA

= = ⋅ , nc = I/e = 1,8◊1012

9.24 v = 1,92◊107 m◊s–1, n = 1,56◊105, I = 0,9◊10–9 A 9.25 Ev = 1,33629◊10–12 J = 8,34 MeV

9.26 *2

Co

4 ( )0,55

d r V DtAS E

π ρ+= = 170 s

10 Základy kvantovej fyziky

10.2 Otázky a problémy 1. Pozri úvod kapitoly! 2. Pozri úvod kapitoly! 3. Pozri úvod kapitoly! 4. Na zakrivený povrch dopadá rovinné žiarenie v rôznych miestach telesa pod rôznym uhlom. Napr.

v prípade gule bude tento uhol kolmý iba vo vypuklej časti a nulový na okrajoch. Je zrejmé, že teleso efektívne absorbuje žiarenie len na tých miestach, kde uhol dopadu vzhľadom na element plôšky je blízky 0 stupňom. Matematicky sa dá ukázať (pozri [29], príklad 1.2.1-4), že teleso potom absorbuje dopadajúce žiarenie iba plochou veľkosti priemetu svojho povrchu do roviny kolmej na smer šírenia žiarenia (pre guľu to bude povrch kruhu πR2). V prípade rovinného a vypuklého slnečného kolektora zostáva plocha priemetu rovnaká (obsah obdĺžnika /štvorca), a preto sa tým nezvýši jeho účinnosť.

5. Intenzita sa zväčšila (zmenšila) 16-krát (použite Stefanov-Boltzmannov zákon). 6. Nová teplota 0,01T T T′ = + , potom zmena intenzity vyžarovania M M M′Δ = − =

( ) ( ) ( ) ( )4 2 3 44 4 3 2 40,01 4 0,01 6 0,01 4 0,01 0,01T T T T T T T T T T T Tσ σ σ σ⎡ ⎤= + − = + + + + −⎣ ⎦ .

169

Zanedbaním druhých a vyšších mocnín člena 0,01T získame výsledok 44 0,01M TσΔ ≈ ⋅ ⋅ . Pre

podiel potom platí 4

4

4 0,01 4 0,01 4%M TM T

σσ

Δ ⋅ ⋅≈ = ⋅ = .

7. Vyššiu teplotu má teleso rozpálené do žlta. Aj rozhorená vatra má žlté zafarbenie (t ≈ 2000º C), ale tlejúce uhlíky sú už červené (t ≈ 700º C). Podobne sa správa vlákno wolframovej žiarovky (pozri tiež Wienov posuvný zákon).

8. Z Wienovho posuvného zákona vyplýva nepriama úmernosť medzi teplotou a maximálnou vlnovou dĺžkou λm. Preto v prípade zvýšenia (zníženie) teploty Slnka by sa vlnová dĺžka λm zmenšila (zväčšila), čo by mohlo mať za následok, že farba rastlín by bola viac do fialova (červena).

9. Prvý člen výrazu je energia, ktorú teleso vyžiari do okolia. Druhý člen (so záporným znamienkom) predstavuje energiu prijatú telesom z okolia.

10. Za odpoveď dostane 0 bodov! Pretože T2 > T1 (podľa spektrálneho rozloženia žiarenia), pre maximum vyžarovania musí platiť λ2m < λ1m, čo je v protiklade s obrázkom.

11. Maximum vyžarovanej energie sa posunie ku kratším vlnovým dĺžkam. 12. Minimálny výkon určíme ako výkon, ktorý vyžiari povrch absolútne čierneho telesa veľkosti

1/600000 m2, t.j. 4 8 4 5 15,67 10 (1769 273,15) (6 10 ) 1,64P T Sσ − −= = ⋅ + ⋅ ⋅ = W. 13. Vlnová dĺžka je rovná 555 nm (λ = c / f). 14. Elektrón je mikročastica, nositeľ jednotkového záporného náboja. Pokojová hmotnosť me = 9,11⋅10–31 kg. 15. Pozri úvod kapitoly! (Pokojová hmotnosť je nulová!) 16. Elektrón vyžiarený po dopade fotónu. Pozri úvod kapitoly! 17. Podľa korpuskulárnej teórie, energia kvanta svetla je nepriamo úmerná vlnovej dĺžke (E = hc/λ).

Čím je vlnová dĺžka väčšia, tým je energia kvanta menšia, preto pri určitej hodnote už nestačí na uvoľnenie elektrónu. Pri vlnovej teórii sa predpokladalo – čím väčšia vlnová dĺžka, tým sa elektrón v kove viac rozkmitá a skôr uvoľní. Experiment však ukázal, že s nárastom vlnovej dĺžky klesá fotoprúd.

18. Nie je to dvakrát. Podiel energií (novej/ pôvodnej) = (2 ) /( )hf W hf W− − . 19. Práca potrebná na urýchlenie elektrónu, ak prejde medzi miestami s potenciálnym rozdielom 1 V. 20. Pozri úvod kapitoly! 21. Doska sa po istom čase nabije na taký kladný náboj, ktorý bude brániť uvoľňovaniu ďalších

elektrónov. (Pozri úvod kapitoly – napätie brzdiaceho elektrického poľa). 22. Pretože energia fotónu (Ε = h c / λ = 4,1 eV) je menšia ako výstupná práca (4,7 eV), fotoefekt nenastane. 23. Pretože energia fotónu (Ε = h c /λ = 3,1 eV) je menšia ako výstupná práca (6,3 eV), fotoefekt

nenastane – rýchlosť je nulová. 24. Fotočlánok pre viditeľné svetlo možno vyrobiť z Ba a Li. Len pre tieto prvky (majú najmenšiu

hodnotu výstupných prác) je viditeľné svetlo energeticky schopné uvoľniť elektróny. Pozri tabuľku 8!

25. Elektrón ako častica: fotoelektrický jav, deje zaznamenané v hmlovej komore. Elektrón ako vlna: pokus na štrbine – interferencia na štrbine, prechod elektrónu tenkou kovovou fóliou.

26. Pretože pre hybnosť častice platí /p m h λ= =v , potom vlnová dĺžka strely 34/ 3,3 10h mλ −= = ⋅v m. V prípade elektrónu, ktorý má oproti strele neporovnateľne malú hmotnosť je / 3,63h mλ = =v pm.

27. Determinizmus predpokladá presnú znalosť počiatočných podmienok (napr. šikmý vrh – poloha, rýchlosť hmotného bodu). V prípade Heisenbergových vzťahov neurčitosti toto neplatí. Pozri úvod kapitoly!

28. Z hľadiska Heisenbergových vzťahov neurčitosti platí, čím presnejšie poznáme energiu veľkého tresku, tým nepresnejšia bude znalosť časového okamihu, kedy nastal (pozri úvod kapitoly).

29. Trajektória je krivka, po ktorej sa pohybuje elektrón. Jej vymedzenie vyžaduje presnú znalosť polohy a rýchlosti elektrónu v každom časovom okamihu. Heisenbergove princípy neurčitostí toto vylučujú. Presnú polohu a súčasne rýchlosť nemožno v prípade mikročastice určiť.

30. Energetická hladina nie je presná, lebo doba excitácie (vzbudenia) atómu / molekuly (τ) je konečná, potom pre neurčitosť energie platí / 2 /E t τΔ ≥ Δ = . Preto ani spektrálne čiary emisných, ako aj absorpčných spektier nebudú čiarami, ale budú mať tzv. prirodzenú šírku čiary.

31. Energia sa nezmenší, ale zväčší. Podiel energií (novej/ pôvodnej) = (2 / ) /( / ) 2hc hcλ λ = .

170

10.4 Neriešené príklady

10.21 ( ) ( )4 42 1 / 1 0,07 1208,2P T T dσ⎡ ⎤= π − − =⎣ ⎦ W

10.22 0( 273,15) 10 927T t= + = K 10.23 Počiatočná teplota 1 b / 2 2416,6mT λ= Δ = K, konečná teplota 2 12 4833,2T T= = K. 10.24 4 4

0( ) 17,3W T T d tσ= − π = kJ

10.25 24 / 4 865,6T P Rασ= π = K 10.26 4

Z / 0,26M Tα σ= = 10.27 a) m/ 5777T b λ= = K, b) 4 2 20

S4 3,84 10P T Rσ= π = ⋅ MW 10.28 *Teplota na Marse M S S SM/ 2 226,6T T R r= = K (priemerná experimentálna hodnota je 228 K),

Teplota na Venuši V S S SV/ 2 329,2T T R r= = K (priemerná experimentálna hodnota je 350 K).

10.29 4 / 1200T W STσ= = K 10.30 4

m / 500b Mλ σ= = nm 10.31 * 3 3 1/ 3 2 / 3

2 1 V /18 2t T T c m ρ σ− −⎡ ⎤= − =⎣ ⎦ hod 47 min

10.32 ( )2V 2 1 H 0T /( 0,4)t c T V SMρ⎡ ⎤= − ⋅ =115,0⎣ ⎦ min, kde cV = 4,2 kJ⋅kg–1⋅K–1

10.33 14min / 5,55 10f W h= = ⋅ s–1, 19( / ) 6,26 10kE hc Wλ −= − = ⋅ J = 3,91 eV

10.34 [ ]2 1 1 2 1/ ( ) 382,3hc hc e U Uλ λ λ= − − = nm 10.35 Závislosť je lineárna [ 1 1( )U he f W e− −= − ], 14

min / 5,55 10f W h= = ⋅ s–1 10.36 m Cu/ / =U hc e W eλ= − 1,46 V

10.37 5Cs

2 ( ) = 1,89 10hc Wm λ

= − ⋅v m⋅s–1

10.38 6

1 2

2 ( ) = 1,10 10hc hcm λ λ

= − ⋅v m⋅s–1

10.39 Min. vlnová dĺžka min max/ =207,2hc Wλ = nm, max. vlnová dĺžka max min/ =621,6hc Wλ = nm. 10.40 19

k 0 Ni/ = 2,20 10E hc Wλ −= − ⋅ J = 1,37 eV

10.41 5Cs

2 ( ) = 9,19 10hc Wm λ

= − ⋅v m⋅s–1

10.42 0 k Cs/ ( ) = 609hc E Wλ = − nm 10.43 Cs/ / = 0,67U hc e W eλ= − V

10.44 2m

2 = 4,312

hcW m

λ =+ v

nm

10.45 k

= 256,3hcW E

λ =+

nm

10.46 14/ 6 10f c λ= = ⋅ Hz, 19/ 3,98 10E hc λ −= = ⋅ J, 271,33 10p m c −= ⋅ = ⋅ kg⋅m⋅s–1 10.47 16

k / 2,42 10f E h= = ⋅ s–1, k/ 12,42c h Eλ = = nm 10.48 02 /hc mλ=v (pre 400 nm 6

1 1,06 10= ⋅v m⋅s–1 a 700 nm 62 0,79 10= ⋅v m⋅s–1), kde m0 je

pokojová hmotnosť elektrónu. 10.49 k/ 2 1,23h mEλ = = pm 10.50 20N / 1,81 10P t hcλ= = ⋅ 10.51 2 11N / 4 7,0 10P hcλ= π = ⋅

171

10.52 ( )2 2 27/ 2 1,66 10m h e Uλ −= Δ = ⋅ kg

10.53 2 16k ( ) / 2 4,97 10E e B R m −= = ⋅ J, 15

k/ = 2,30 10W hc Eλ −= − ⋅ J

10.54 11/ 4 c 5,3tλ

⎡ ⎤⎛ ⎞Δ ≥ π Δ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ns–1

10.55 25/ 4π 5,27 10p h x −Δ ≥ Δ = ⋅ kg⋅m⋅s–1, .100% .100% 6,18%2 2

E hE mE x

Δ= =

π Δ

10.56 Pre strelu 32S e( ) / 4 3,52 10x h m −Δ ≥ π = ⋅v m⋅s–1, Pre elektrón 3

e e( ) / 4 1,93 10x h m −Δ ≥ π = ⋅v m⋅s–1. 10.57 2 2 2

min ( ) / 2 / 2E p m ma= Δ = 10.58 2 2 22/ 4 1,6 10h c E tλ −Δ ≥ π Δ ≥ ⋅ m 10.59 6/ 2 5,79 10m xΔ ≥ Δ ≥ ⋅v m⋅s–1 10.60 8/ /(2π ) 2,92 10c tλ λ λ −Δ ≥ Δ ≥ ⋅ a 2 / 4 1,5x λ λΔ ≥ πΔ ≥ m 10.61 16/4 2 7,0 10x h m E −Δ = π = ⋅ m 11 Jednoduché sústavy v kvantovej mechanike

11.2 Otázky a problémy 1. Schrödingerova rovnica. 2. Pozri úvod kapitoly! 3. Vlnová funkcia je normovaná, ak d 1ψ ψ τ∗ =∫ .

4. Musí mať taký rozmer, aby integrál v predchádzajúcej otázke bol bezrozmerný. Rozmer vlnovej

funkcie je 2mn

− , kde n je počet priestorových súradníc vlnovej funkcie. 5. w ψ ψ τ∗= Δ 6. Pozri úvod kapitoly!

7. Je vlastnou funkciou operátora 2

2

ddx

.

8. Pozri úvod kapitoly! 9. Ľubovoľné hodnoty energie môže nadobúdať voľná častica, ktorej pohyb nie je ohraničený. 10. Napr. častica v nekonečnej potenciálovej jame (jedno, dvoj, alebo trojrozmernej), harmonický

oscilátor, elektrón vo vodíkovom atóme.

11. Áno je, pretože je kvantovaná aj kinetická energia a platí 2

k 2pEm

= .

12. Bude nulová, ak vlnová funkcia bude mať v tomto mieste uzly. Napr. už pre n = 2.

13. Vlnové číslo 2πkλ

= , pre hmotnostnú vlnu hp

λ = a pre kinetickú energiu 2

k 2pEm

= . Po úprave

dostávame požadovaný vzťah. 14. '

0 / 4E E= a platí to aj pre energie excitovaných stavov. 15. Počet uzlov = n – 1 = 3, počet maxím hustoty pravdepodobnosti = 4. 16. Nie je, lebo na ionizáciu by bola potrebná nekonečne veľká energia. 17. Energia bude menšia, lebo energia je nepriamo úmerná hmotnosti.

18. Z relácií neurčitosti px

Δ ≥Δ

a hybnosti odpovedá kinetická energia 2 2

k 2

( )2 8 ( )pEm m x

Δ= ≥

Δ. Čím

bude priestor menší, tým bude väčšia energia.

172

19. Určuje kvantovanie energie, možné hodnoty sú n = 1, 2, 3, ..., teda prirodzené čísla. 20. Kvantuje orbitálny moment hybnosti. Možné hodnoty sú 0, 1, 2, (n – 1). 21. Kvantuje priemet momentu hybnosti do smeru vonkajšieho poľa, možné hodnoty sú: 0, ± 1, ± 2, ± .

11.4 Neriešené príklady

11.13 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,x y z y z x z x yL L i L L L i L L L i L⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11.14 ˆ ( ) ( )xp x p xψ ψ= − , je vlastnou funkciou, vlastná hodnota je –p.

11.15 2

88 c 1,1 103m L

hλ −= = ⋅ m

11.16 2

0

2 πsin d2

L x Lx x xL L

⎛ ⎞⟨ ⟩ = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

11.17 2 2 2

2 22 2

0

2 π π πˆ sin sin dL x xp x

L L x L L⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⟨ ⟩ = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ , 2 2

k 2

ˆ

2 8p hEm mL

= =

11.18 n = 3⋅1033, ΔE = 1,63⋅10 – 67 J, tak malé rozdiely sú nemerateľné.

11.19 2

132 3,26 10 J

8hEmd

−= = ⋅ , 2 12(4 1) 4,89 10fE E −= − = ⋅ J

11.20 2 2

10 12k p2

0

5,98 10 J , 4,64 10 J8 4π

h Z eE E Emd rε

− −= = = ⋅ =− =− ⋅ , nemôže.

11.21 2

178 c 7,2 10 m3m L

hλ −= = ⋅

11.22 * 11 10fE E E= − , 61,11 10 mλ −= ⋅ 11.23 P = 0: 1 (0, ), 2 (0, / 2, ), 3 (0, / 3, 2 / 3, )n L n L L n L L L= = = ,

P = max.: 1 ( / 2), 2 ( / 4, 3 / 4), 3 ( / 6, / 2, 5 / 6)n L n L L n L L L= = =

11.24 *2

2 21 2 3 42 ( ), 1, 2, 1, 2

8 x yhE n nmL

σ σ σ σ= + = = = =

11.25 *22 d 0axx x e x

∞−

−∞

⟨ ⟩ = =∫

11.26 210

1 1 5,87 10 J2 2

kEm

ω −= = = ⋅

11.27 123,26 N mk −= ⋅ 11.28 20/ 2 2,33 10E ω −= = ⋅ J 11.29 203,12 10E ω −= = ⋅ J

11.30 a) 200HC

r

1 9,06 102

kEμ

−= = ⋅ J, 200DC

r

1 6,50 102

kEμ

−= = ⋅ J, b) 60, 433 10λ −Δ = ⋅ m

11.31 *a) 30

1π

Aa

= , b) 032

r a⟨ ⟩ = , c) 2 2

p0 0 0

14π 4π

e eEr aε ε

⟨ ⟩ =− =−

11.32 0, , 2z = ± ± 11.33 34( 1) 1, 485 10 J sL −Δ = + = ⋅ ⋅ 11.34 34 23 13,4 eV, = 1,485 10 J s, = 1,31 10 J TE L μ− − −= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 11.35 a) 1, b) 2, c) 2(2 1)+ 11.36 a) 9, b) 2, c) 3, d) 5

178

Literatúra 1. Atkins P. W.: Physical Chemistry. Slovenský preklad: Fyzikálna chémia, časť 2a, STU Bratislava 1999 2. Belikov B. S.: Rešenie zadač po fizike. Vysšaja škola, Moskva 1986 3. Bueche F.J.: Principles of Physics. McGraw-Hill, New York 1988 (5th Ed.) 4. Bureš F. a kol.: Příklady z technické fyziky. SNTL Praha 1982 5. Bušovský L.: Fyzika, riešené príklady z fyziky. SVŠT, Bratislava 1983 6. Cedrik M. S.: Sbornik zadač po fizike. Vyšejšaja škola, Minsk 1976 7. Čertov A.G., Vorobjev A.A.: Zadačnik po fizike, Vysšaja škola Moskva, 1981 8. Čičmanec P.: Všeobecná fyzika 2. Elektrina a magnetizmus. ALFA Bratislava 1980 9. Dufek M., Mikulec M.: Příklady z teoretické elektrotechniky. SNTL, Praha 1970. 10. Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M.: . The Feynman Lectures on Physics, Exercises, 1964.

Ruský preklad: Mir, Moskva 1978, český preklad: Fragment, Praha 2001 11. Fojtek A., Foukal J.: Tabulky vybraných fyzikálních a technických veličin. VŠB, Ostrava 1992 12. Fuka J., Havelka B.: Elektřina a magnetizmus. SPN, Praha 1979 13. Fundamental Physical Constants - Complete Listing: physics.nist.gov/constants 14. Giancoli D. C.: General Physics. Ruský preklad: Džankoli D.: Fizika v 2 tomach, Mir Moskva 1989 15. Goľdfarb N.I.: Sbornik voprosov i zadač po fizike, Vysšaja škola Moskva, 1982 16. Gurjev L.G. a kolektív: Sbornik po obščemu kursu fiziki, Vysšaja škola Moskva, 1966 17. Hajko V. a kol.: Fyzika v príkladoch. Alfa, Bratislava 1988 18. Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fundamentals of Physics. John Wiley and Sons, New York

1997 (5th Ed.). Český preklad: Fyzika, část 3. VUTIUM, Brno 2000 19. Haňka L.: Teorie elektromagnetického pole. SNTL, Praha 1982 20. Ilkovič D.: Fyzika II. Alfa, Bratislava 1970 21. Irodov I. E.: Zadači po obščej fizike. Nauka, Moskva 1979 22. Irodov I. E., Saveľev I. V., Zamša O. I.: Sbornik zadač po obščej fizike. Nauka, Moskva 1975 23. Jones E. R., Childers R. L.: Contemorary college physics. Addison-Wesley Publ. Company, USA 1990 24. Kačinskij A. M., Bytev A. A., Kimbar B. A.: Sbornik podgotoviteľnych zadač k olimpiadam po

fizike. Narodnaja Asveta, Minsk 1964 25. Kopečný J., Kopečná M.: Fyzika II pro strojní obory. VŠB, Ostrava 1992 26. Košina S a kol.: Fyzika I, Zbierka príkladov a úloh, STU Bratislava, 1993 27. Košina S. a kol.: Fyzika II, Zbierka príkladov a úloh. Alfa, Bratislava 1988 28. Krempaský J.: Otázky – problémy – úlohy z fyziky. ALFA VTEL Bratislava 1982 29. Lisý J.M, Valko L.: Príklady a úlohy z fyzikálnej chémie, Alfa Bratislava 1979 30. Meledin G. B.: Fizika v zadačach. Nauka, Moskva 1990 31. Orear J.: Fundamental Physics. Slov. preklad: Základy fyziky. ALFA VTEL Bratislava 1977 32. Orear J.: Physics. Ruský preklad: Orir Dž.: Fizika v 2-ch tomach, Moskva Mir 1981 33. Purcell E. M.: Electricity and Magnetism. McGraw-Hill, New York 1965. Ruský preklad: Parsell E.:

Električestvo i magnetizm. Nauka, Moskva 1971, 1975 34. Savčenko O. J.: Zadači po fizike. Nauka, Moskva 1988 35. Saveljev I.V.: Sbornik voprosov i zadač po obščej fizike, Nauka Moskva, 1982 36. Sena L.A.: Sbornik voprosov i zadač po fizike, Vysšaja škola Moskva, 1986 37. STN ISO 31-0 až STN ISO 31-13, Ústav pre normalizáciu, metrológiu a skúšobníctvo SR, Bratislava 1997 38. Strelkov S. P., Elcin I.A., Jakovlev I.A: Sbírka príkladů z fyziky. Nakl. ČSAV, Praha 1953 39. Tarasov L. V., Tarasova A. N.: Voprosy i zadači po fizike. Vysšaja škola, Moskva 1975

Slovenský preklad: Otázky a úlohy z fyziky. ALFA Bratislava 1983 40. Tirpák A.: Elektromagnetizmus. Polygrafia SAV, Bratislava 1999 41. Tirpák A.: Úlohy z elektriny a magnetizmu. UK Bratislava 1978 42. Tuľčinskij M. J.: Zbierka kvalitatívnych úloh z fyziky. ALFA VTEL Bratislava. Mir Moskva 1978 43. Varikaš V. M., Cedrik M. S.: Izbrannyje zadači po fizike s rešenijami. Vysšaja škola, Minsk 1964 44. Varikaš V. M., Varikaš I. M., Kimbar B. A.: Fyzika v živej prírode. SPN Bratislava 1990 45. Voľkenštejn V. S. Sbornik zadač po obščemu kursu fiziki, Nauka Moskva 1979 46. Vzorov N.N. a kolektív: Sbornik zadač po obščej fizike, Nauka Moskva, 1968 47. Zubov V. G., Šaľnov V. Š.: Zadači po fizike, Nauka Moskva 1972

179

Obsah

Predslov 3

1. Elektrostatické pole vo vákuu (doc. RNDr. O. Holá, PhD.) 5

2. Elektrostatické pole v dielektrikách (doc. RNDr. O. Holá, PhD.) 27

3. Elektrický prúd (doc. RNDr. O. Holá, PhD.) 39

4. Magnetické pole vo vákuu (doc. Ing. P. Fedorko, PhD.) 54

5. Magnetické pole v magnetikách (doc. Ing. P. Fedorko, PhD.) 75

6. Nestacionárne magnetické pole (RNDr. M. Tokarčík, PhD.) 81

7. Striedavé elektrické prúdy (RNDr. L. Bušovský) 92

8. Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky (doc. RNDr. V. Laurinc, PhD.) 103

9. Jadrová fyzika (doc. Ing. P. Lukáč, PhD.) 115

10. Základy kvantovej fyziky (Ing. V. Lukeš, PhD.) 121

11. Jednoduché sústavy v kvantovej mechanike (doc. RNDr. V. Laurinc, PhD.) 133

Výsledky otázok, problémov a neriešených príkladov 144

Tabuľková príloha 173

Literatúra 178