fxy 20.8 1.5 1 xy...0 0 ® ¯ x y 22 sin(2 ) 1.2 0.4 0.8 1.5 1 ® ¯ x y x Определение...
TRANSCRIPT
Метод Ньютона для решения систем нелинейных
уравнений
1
2
( , ) 0
( , ) 0
F x y
F x y 2 2
sin(2 ) 1.2 0.4
0.8 1.5 1
x y x
x y
0
0
x
y
2 2
sin(2 ) 1.2 0.4
0.8 1.5 1
x y x
x y
0
0
x
y
Определение начальных приближений по графику
(графически отделить корни)
1 корень 2 корень
Метод Ньютона для решения систем нелинейных
уравнений
1 0 0 1 0 01 0 0 0 0
2 0 0 2 0 02 0 0 0 0
( , ) ( , )0 ( , ) ( ) ( )
( , ) ( , )0 ( , ) ( ) ( )
F x y F x yF x y x x y y
x y
F x y F x yF x y x x y y
x y
1
2
( , ) 0
( , ) 0
F x y
F x y
0 0 0 00 0 0 0
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( )
F x y F x yF x y F x y x x y y
x y
Метод Ньютона для решения систем нелинейных
уравнений
1
2
( , ) 0
( , ) 0
F x y
F x y
1 0 0 1 0 0
2 0 0 2 0 0
( , ) ( , )
( , ) ( , )
F x y F x yx y
матрица ЯкобиF x y F x y
x y
1 0 0 1 0 00 0 1 0 0
2 0 0 2 0 00 0 2 0 0
( , ) ( , )( ) ( ) ( , )
( , ) ( , )( ) ( ) ( , )
F x y F x yx x y y F x y
x y
F x y F x yx x y y F x y
x y
Метод Ньютона для решения систем нелинейных
уравнений
1 0 0 1 0 0
2 0 0 2 0 0
( , ) ( , )
( , ) ( , )
F x y F x yx y
матрица ЯкобиF x y F x y
x y
2 2
sin(2 ) 1.2 0.4
0.8 1.5 1
x y x
x y
Запишите матрицу Якоби для этой системы уравнений в общем виде.
Какой будет матрица для x0=0.5 y0=1?
Метод Ньютона для решения систем нелинейных
уравнений
1 1 0 0 1
2 2 0 0 1
( , ) ( )
( , ) ( )
i i
i i
F F x y x x x
F F x y y y y
1 0 0 1 0 01 1
2 0 0 2 0 02 2
( , ) ( , )' '
( , ) ( , )' '
x y
x y
F x y F x yF F
x y
F x y F x yF F
x y
1 1 1
2 2 2
' '
' '
x y
x y
F x F y F
F x F y F
1
1
i i
i i
x x x
y y y
Чтобы решить систему нелинейных уравнений
методом Ньютона нужно
1. Выбрать начальные приближения x0, y0 (по возможности
графически отделить корни).
2. Найти частные производные левых частей уравнений
системы по всем переменным.
3. Вычислить значения частных производных в точке
начального приближения.
4. Составить из значений частных производных матрицу
Якоби.
5. Решить систему линейных уравнений, относительно Δx, Δy.
6. К приближенным значениям прибавить найденные
приращения, получить xi, yi , вычислить новую матрицу
Якоби и правые части системы уравнений.
7. Проверить условие сходимости и, если оно не достигнуто,
то повторить процедуру с п. 5.
Условие сходимости метода Ньютона для
решения систем нелинейных уравнений
Способы контроля сходимости итерационных методов
решения систем нелинейных уравнений
1. Контроль невязок 2 21 2
1 2
( , ) ( , )
max(| ( , ) |,| ( , ) |)
n n n n
n n n n
F x y F x y
или
F x y F x y
2 21 1
1 1
( ) ( )
max(| |,| |)
n n n n
n n n n
x x y y
или
x x y y
1. Определитель матрицы Якоби не должен быть равен 0.
2. Контроль абсолютных отклонений
Пример расчета в Excel
МОБР(массив)
Пример =МОБР(A1:D4) – матрица 4х4
Аргумент — числовой массив с равным
количеством строк и столбцов.
Результат — числовой массив с равным
количеством строк и столбцов
Выделите диапазон соответствующего размера,
начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмите
клавишу F2, а затем — сочетание клавиш
CTRL+SHIFT+ВВОД.
1A
МУМНОЖ(массив1, массив2)
Количество столбцов аргумента массив1 должно
совпадать с количеством строк аргумента массив2.
Результат — числовой массив, который имеет то
же число строк, что и первый массив, и то же число
столбцов, что и второй массив.
Выделите диапазон соответствующего размера,
начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмите
клавишу F2, а затем — сочетание клавиш
CTRL+SHIFT+ВВОД.
Решение систем нелинейных уравнений методом
Ньютона
Объясните – какие методы называются итерационными?
Что такое итерация?
Какие итерационные методы были в нашем курсе?
Можно назвать метод Ньютона итерационным?
Пример построения графика интерполяционной функции двух переменных в Matlab
Проекция исходных узлов интерполяции и промежуточ-
ных значений в которых будут определены значения
интерполяционной функции
1 этап – применение интерполяции для функции 1 переменной
при фиксированных значениях Y
2 этап – применение интерполяции для функции 1 переменной
при фиксированных значениях X
Пример построения графика интерполяционной функции двух переменных в Matlab
Метод ближайшего соседа
Метод естественного соседа
Триангуляция с линейной интерполяцией
Метод обратных взвешенных расстояний
Интерполяция методом ближайшего соседа (ступенчатая
интерполяция) — метод при котором в качестве
промежуточного значения выбирается ближайшее
известное значение функции.
Для заданного множества точек можно произвести
разбиение пространства на области такие, что для всех
точек области ближайшей является одна и та же точка.
Диаграмма Вороного
искомое значение в точке определяется как
взвешенное среднее по значениям в
ближайших точках наблюдений (F (х i ,уi ))
λ(х, у) - веса, которые определяются с
использованием диаграммы Вороного
1
( , ) ( , ) ( , )n
i i ii
S x y x y Z x y
Ячейка новой точки покрывает некоторые части ячеек.
Веса определяются как доля площади, которые новая
ячейка заимствует у первоначальных ячеек,
принадлежащих соседям.
Метод основан на оптимальной триангуляции
Б.М. Делоне. Строится сетка треугольников с
вершинами в точках наблюдений.
Линейная интерполяция на треугольниках
приводит к приближению искомой поверхности
внутри каждой тройки фактических данных
плоскостью.
Использование этого метода при небольшом числе
точек замера приводит к появлению явных
треугольных граней на поверхности и больших
прямолинейных сегментов на карте изолиний.
1
1
( , ) ( , ), 0
( , )( , )
( , ), 0
n
i i ii
n
ii
i i
x y Z x yd
S x y x y
Z x y d
2 2
1 1( , )( ( ) ( ) )
i p pi i i
x yd x x y y
Веса пропорциональны обратным расстояниям (между
известной точкой данных и интерполируемой точкой),
возведенными в степень p (1≤ p ≤3).
При увеличении значения p веса отдаленных точек
будут уменьшаться. Если значение p слишком велико,
то на интерполяцию окажут влияние только точки,
расположенные в непосредственной близости.
2 2
1 1( , )( ( ) ( ) )
i p pi i i
x yd x x y y
Поверхность зависит от выбора степени (p) и стратегии
поиска окрестности. ОВР — это жесткий интерполятор, в
котором минимальные и максимальные значения на
интерполированной поверхности могут встречаться только в
опорных точках.