fungsi diract delta

INTEGRAL, Vol. 10 No. 1, Maret 2005

1

FUNGSI DELTA DIRAC

Marwan Wirianto1) dan Wono Setya Budhi2)

1)Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung 40141 – Indonesia

E-mail : [email protected] 2)Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Institut Teknologi Bandung, Bandung 40132 - Indonesia E-mail : [email protected]

Intisari "Fungsi" Delta Dirac seringkali ditemukan pada fenomena - fenomena fisika tetapi maknanya tidak seperti fungsi yang dikenal dalam matematika. Pada tulisan ini, akan dibahas beberapa fungsi sederhana yang digunakan untuk menghampiri "Fungsi" Delta Dirac dan untuk memperlihatakan sifat unik dari "fungsi" ini. Kata kunci : hampiran kontinu.

Abstract We often find Dirac Delta "function" in physics for describing instantaneous event, but it has different meaning with math function. In this paper, we will study some functions that can be used for approximating Dirac Delta "function" and for showing unique characteristic this "function". Keywords : continuum approximation.

Diterima : 29 Oktober 2004

Disetujui untuk dipublikasikan : 5 Maret 2005

1. Pendahuluan Dalam beberapa fenomena fisika, kita akan berhubungan dengan kejadian yang sifatnya impulsif (hal yang terjadi pada selang waktu yang singkat). Sebagai contoh, saat bola golf dipukul dengan stik, kejutan listrik, tumbukan massa, transfer panas, dan sebagainya. Pada kasus bola golf yang dipukul dengan stik, bola yang dipukul tentunya tidak akan menempel pada alat pemukul untuk jangka waktu yang lama. Misalkan fungsi )(tδ menyatakan besarnya gaya yang diberikan stik terhadap bola dan bekerja pada saat

0tt = , maka akan diperoleh nilai 0)( =tδ untuk 0tt < maupun 0tt > .

Sedangkan reaksi dari gaya ini dapat dituliskan [1], setelah dinormalisasi, sebagai:

∫∞

∞−= 1)( dttδ ….(1)

Nilai pada ruas kanan persamaan (1) di atas tidak boleh sama dengan nol karena reaksi ini ada yaitu ditunjukan dengan bola yang melesat. Dalam matematika, tidak ada fungsi kontinu yang bersifat demikian, sebab jika ada fungsi yang nilainya tidak nol hanya pada suatu titik maka integral Riemann fungsi tersebut


2

sepanjang domainnya akan menghasilkan nilai sama dengan nol. Fungsi – fungsi yang memiliki sifat seperti di atas dikenal sebagai "fungsi" Delta Dirac. Pada [1] digunakan fungsi yang diskontinu untuk mendekati "fungsi" Delta Dirac. Namun seringkali, fungsi yang diskontinu sulit digunakan untuk menggambarkan keadaan fenomena alam yang bersifat kontinu. Oleh karena itu, maka pada makalah ini akan dibahas penghampiran "fungsi" Delta Dirac di atas dengan menggunakan fungsi yang kontinu namun sangat sederhana yaitu kombinasi dari fungsi linear. Dengan pendekatan ini, kita dapat mencari jawab untuk Persamaan Differensial yang berkaitan dengan “fungsi” Delta Dirac. 2. “Fungsi” Delta Dirac "Fungsi" Delta Dirac pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Inggris Paul. A. M. Dirac (1902-1982) [1] untuk mengambarkan suatu keadaan fenomena fisika yang memiliki nilai pada suatu titik (singular pada satu titik), namun nilai pada titik yang lain sama dengan nol. Di samping itu, integral "fungsi" tersebut sepanjang interval domainnya sama dengan satu. Dirac menggunakan symbol δ untuk menggambarkan "fungsi"nya tersebut. Misalkan 0=t adalah titik saat nilai "fungsi" Dirac Delta tidak sama dengan nol, maka "fungsi" Delta Dirac dalam notasi matematika dapat dituliskan sebagai berikut :

⎩⎨⎧

≠=∞

=0,00,

)(tt

tδ ……….(2)

dan

∫∞

∞−= 1)( dttδ ……… (3)

Perhatikan bahwa nilai )(tδ pada persamaan (2) di titik 0=t harus tidak terdefinisi sebab jika nilainya terdefinisi maka kita dapat memastikan bahwa nilai

ruas kanan pada persamaan (3) selalu bernilai nol [2]. Seperti yang telah digambarkan pada bagian pendahuluan, kita tidak akan dapat menemukan fungsi – fungsi yang telah kita pelajari yang memiliki sifat seperti pada persamaan (2) dan (3) secara bersamaan. Yang akan dilakukan di sini, untuk menggambarkan "fungsi" Dirac Delta adalah dengan metoda penghampiran. 3. “Fungsi” Delta Dirac sebagai

hampiran fungsi kontinu Asumsikan bahwa fungsi dari gaya yang diberikan stik di atas tidak hanya bekerja di saat 0tt = melainkan pada suatu selang ( )εε +− 00 , tt dengan 0>ε adalah sebarang bilangan. Tanpa mengurangi keumuman kita misalkan

00 =t , sehingga kita memperoleh selang waktu terjadinya tumbukan adalah ( )εε ,− . Definisikan fungsi )(tdε sebagai berikut :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤+−

<<−+

=

lainnya

tt

tt

td

,0

0,11

0,11

)( 2

2

εεε

εεε

ε

….. (4)

Dengan pendefinisian di atas, dapat dibuktikan bahwa fungsi yang didefinisikan pada persamaan (4) di atas adalah fungsi kontinu.


3

Gambar 1. Fungsi )(tdε untuk beberapa nilai ε .

Usaha yang kita lakukan dengan pendefinisian di atas adalah membuat segitiga sama kaki di sekitar 00 =t dengan alas sebesar ε2 dan tinggi

sebesar ε1

. Sehingga dengan demikian,

jika nilai 0>ε diambil membesar maka nilai fungsinya akan mengecil, sebaliknya, jika nilai 0>ε diambil mengecil maka nilai fungsinya akan membesar. Namun di samping itu, kita

tetap memperoleh nilai ∫∞

∞−= 1)( dttdε

untuk berapapun nilai 0>ε . Sehingga, dapat diterima bahwa :

⎩⎨⎧ =∞

=→ lainnya

ttd

,00,

)(lim0 εε

… (5)

dan

∫∞

∞− →= 1)(lim

0dttdεε

…….(6)

Oleh karena itu, kita dapat mengambil hampiran “fungsi” Delta Dirac sebagai berikut :

)(lim)(0

tdt εεδ

→= .....(7)

4. Sifat “fungsi” Delta Dirac Pada bagian ini kita akan membuktikan bahwa "fungsi" Delta Dirac di atas memiliki sifat yang telah dikenal, yaitu :

∫∞

∞−= )0()()( fdttftδ …………….(8)

dengan )(tf adalah sebarang fungsi kontinu.

Bukti : • Misalkan )(tf adalah fungsi

ganjil. Karena )(tδ yang didefinisikan pada persamaan (7) merupakan fungsi genap, maka:

)0(0

)()(lim)()(0

f

dttftddttft

==

= ∫∫∞

∞− →

∞

∞− εεδ

• Misalkan )(tf adalah fungsi genap. Karena )(tδ merupakan fungsi genap, maka:

∫∫

∫∫

→

−→

∞

∞− →

∞

∞−

=

=

=

ε

εε

ε

ε εε

εεδ

00

0

0

)()(lim2

)()(lim

)()(lim)()(

dttftd

dttftd

dttftddttft

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus dan Teorema d’Hopital, diperoleh:

)0()()( fdttft =∫∞

∞−δ

• Untuk )(tf yang bukan fungsi genap maupun fungsi ganjil, kita


4

dapat menuliskannya sebagai kombinasi dari fungsi ganjil dan fungsi genap sebagai berikut:

2)()(

2)()()( tftftftftf −++

−−=

Sehingga dengan demikian diperoleh:

∫∞

∞−= )0()()( fdttftδ

5. “Fungsi” Delta Dirac sebagai

hampiran fungsi terdifferen-sialkan

Pada 2 subbab sebelumnya, kita mengkonstruksi hampiran "fungsi" Delta Dirac dengan menggunakan fungsi yang

kontinu namun tidak terdiferensialkan. Pada [3], untuk menghampiri “fungsi” Delta Dirac digunakan fungsi yang terdiferensialkan, tetapi tidak dibuktikan memenuhi sifat yang telah dikenal (8). Pada subbab ini, kita akan membuktikan bahwa fungsi hampiran yang digunakan pada [3] memenuhi persamaan (8). Misalkan 00 =t dan 0>ε , definiskan

fungsi )(twε sebagai berikut :

,2

exp21)( 2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

επεεttw ∞<<∞− t

……..(9)

Gambar 2. )(twε untuk beberapa nilai ε .

Dari pendefinisian pada persamaan (9) di atas, dapat dibuktikan bahwa fungsi

)(twε merupakan fungsi yang kontinu dan terdiferensialkan. Jika kita perhatikan lebih jauh, maka pendefinisian persamaan (9) merupakan fungsi kerapatan peluang (pdf) distribusi normal dengan 0=µ dan 22 εσ = . Sehingga mudah diterima bahwa:

⎩⎨⎧ =∞

=→ lainnya

ttw

,00,

)(lim0 εε

…….(10)

dan

∫∞

∞− →= 1)(lim

0dttwεε

…………(11)

untuk berapapun nilai 0>ε . Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan "fungsi" Dirac Delta dengan menggunakan hampiran sebagai berikut :

)(lim)(0

twt εεδ

→= …………..(12)

Pada bagian ini, kita akan membuktikan bahwa "fungsi" Dirac Delta yang didefinisikan pada persamaan (12) di atas, juga memiliki sifat :

∫∞

∞−= )0()()( fdttftδ …….(13)


5

dengan )(tf adalah sebarang fungsi yang kontinu. Bukti :

∫

∫∫∞

∞− →

∞

∞− →

∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=

dttft

dttftwdttft

)(2

exp2

1lim

)()(lim)()(

2

2

0

0

επε

δ

ε

εε

dengan menggunakan substitusi εtu =

akan diperoleh :

( )

)0(2

exp210

)(2

exp21lim

2

2

0

f

duuf

duufu

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∫

∫∞

∞−

∞

∞− →

π

επε

6. Aplikasi “Fungsi” Delta Dirac

Pada Sistem Pegas Pada bagian ini, kita akan menerapkan “fungsi” Delta Dirac yang telah dikonstruksi pada persamaan (4) di atas untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Misal akan dicari solusi dari persamaan diferensial dari :

)2('' −=+ tyy δ …………..(14) dengan nilai awal 1)0( =y dan

0)0(' =y . Secara fisis persamaan diferensial ini dapat diartikan sebagai persamaan pegas yang diberi simpangan awal sebesar 1 dan tanpa kecepatan awal,

kemudian pada saat 2=t pegas tersebut diberikan hentakan yang terjadi pada waktu singkat. Dengan menggunakan hampiran “fungsi” Delta Dirac seperti yang dikonstruksi pada persamaan (4), kita akan mensimulasikan pergerakan pegas tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen pada persamaan (14) di atas, akan dihampiri menggunakan

)('' tfyy ε=+ dengan

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+<≤+−−

<<−+−

=

lainnya

tt

tt

tf

,0

22,1)2(1

22,1)2(1

)( 2

2

εεε

εεε

ε

Solusi dari persamaan diferensial ini adalah

)cos())(1()sin()()( tthttgty ++= ………….(15)

dengan ∫=t

dxxfxtg0

)()cos()( ε dan

∫−=t

dxxfxth0

)()sin()( ε . Misalkan kita

menggunakan nilai 1=ε , maka akan diperoleh grafik untuk persamaan (15)


6

Gambar 3. Grafik solusi persamaan (14) dengan 1=ε

Kita dapat memperoleh grafik yang lebih baik jika menggunakan nilai ε yang jauh lebih kecil.

Gambar 4. Grafik solusi persamaan (14) dengan 0001.0=ε

Dari gambar (3) dan gambar (4), kita dapat mengintepretasikanmya bahwa sesaat sebelum 2=t , pegas dalam pergerakan ke arah sumbu y negatif, kemudian dengan adanya hentakan yang terjadi pada 2=t , pegas mengalami

peredaman, hal ini dapat diamati dari amplitudo pegas yang mengecil. Jika diamati lebih jauh pada gambar (3), sesaat setelah hetakan, pegas tetap mengalami pergerakan ke bawah. Hal ini disebabkan karena waktu hentak yang


7

terjadi cukup lama, akibatnya gaya yang dihasilkan cukup kecil sehingga tidak mampu membalikkan arah pegas, berbeda dengan yang terjadi gambar (4), dengan waktu hentak yang sangat singkat, maka sistem pegas akan berbalik arah. 7. Kesimpulan “Fungsi” Delta Dirac merupakan suatu fungsi yang sangat unik. Fungsi ini menjadi unik karena banyak digunakan untuk menjelaskan fenomena fisis namun bentuknya tidak seperti fungsi yang dikenal dalam matematika. Dengan menggunakan pendekatan seperti yang telah dikonstruksi di atas, konsep

“fungsi” ini menjadi lebih mudah dan dapat diperkenalkan untuk mahasiswa tingkat 2.

8. Daftar Pustaka [1.] Penney, David E. dan C.H.Edward,

Jr. “Elementary Differential Equations” Prentice Hall, USA, 1993.

[2.] Bartle, Robert G dan Donald R Sherbert, “Introduction to Real Analysis”, John Wiley & Sons, Inc., 2000

[3.] Kevorkian, J. “Partial Differential Equations: Analytical Solution Techniques”. pp 9, Wadsworth & Brooks/Cole, Inc., 1989

fungsi diract delta

Documents