FUNCŢIA CARACTERISTICĂ A UNEI MULŢIMIDefiniţie. Proprietăţi. Aplicaţii

Definiţie:

Fie T o mulţime nevidă pe care o vom numi mulţime totală, iar A T. Numim funcţia caracteristică a mulţimii A funcţia:

: T→ {0, 1}, definită astfel:

(x)=.

Dacă A, B sunt submulţimi ale lui T atunci definim± , : T→ {0,1}.

astfel( ± )(x)= (x) ± (x)

şi respectiv( )(x)= (x) (x), x T.

Vom nota prin 1= (x) = şi 0(x)= ø(x)=0; avem deci

1(x)= (x)=1, x T, iar 0(x)= ø (x)=0, x T.

Proprietăţi:

Dacă A, B sunt submulţimi ale mulţimii T, atunci:1) = A=B

2) = ,

3) = ,

4) =1- ,

5) = - ,

6) = + -

Demonstraţie:

1) Presupunem = şi demostrăm A=B

Fie x A (x)=1 x B A B (1)

Fie x B (x)=1 x A B A (2)

Din (1) şi (2) A=B Reciproc dacă A=B demonstram că = .

x T a) x A sau b) x cA

a)

b)

Din (3) şi (4) (x)= (x), x T

2)

3)Cazul I

(x)= ( )(x), x A\B (1)

Analog se arată că (x)= ( )(x), x B\A (2)

Cazul IIx A∩B (x)=1 (3)

x A∩B x A şi x B (x)=1, (x)=1 ( )(x)=1 (4)

Din (3) şi (4) (x)= ( )(x), x A∩B (5)

Cazul III

(x)= ( )(x), x c(A∩B) (6)

Din (1), (2), (5), (6) (x)= ( )(x), x T

4)

5) Demonstram că = -A-B=A cB

= (1- )= -

6) (1)

c(A B)=cA cB (Formula lui de Morgan)

(2)

Din (1) şi (2)

Probleme:

1) Să se demonstreze: A\(B∩C)=(A\B) (A\C)

- - (1)

+ - - + - -( - ) ( - )=

=2 - - - + + - - (2)

Din (1) şi (2) A\(B∩C)=(A\B) (A\C)

2) a) Să se demonstreze că:

(A\B) (B\A), ( diferenţă simetrică a 2 mulţimi)

=

= -2 + - + + - -2 + - + + +

+ - = + -2 b)Să se arate cu ajutorul funcţiei caracteristice:

(A B) C=A (B C), A,B,C mulţimi

(1)

(2)

Din (1) şi (2) = =

3) Fie A,B,X P. Dacă A X=B X şi A X=B X A=B

Dacă A X=B X = = (1)

Dacă A X=B X = + - = + -

- (2)

Din (1) şi (2)

Prof. Petre Monica

Liceul Pedagogic Tulcea