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PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE

1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en lapágina siguiente, puedes resolverlas ahora:

a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?

b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?

c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de radianes?

d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270º?

2. Pasa a radianes los siguientes ángulos:

a) 30° b) 72° c) 90° d) 127° e) 200° f ) 300°

Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo:

30° = 30 · rad = rad ≈ 0,52 radπ6

π180

π2

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

FUNCIONES Y FÓRMULASTRIGONOMÉTRICAS

3. Pasa a grados los siguientes ángulos:

a) 2 rad b) 0,83 rad c) rad d) rad e) 3,5 rad

4. Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, cose-no y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo aparta-do:

FORMULAS TRIGONOMETRICAS

1. Demuestra la fórmula de la resta a partir de la fórmula:

cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β

2. Demuestra la fórmula de la resta a partir de la fórmula:

tg (α – β) = tg α + tg β

1 – tg α tg β

5π6

π5


GRADOS 0 30 60 90 135 150 210 225 270 330 360

RADIANES π π π π π74

53

43

23

π4

3. Demuestra la fórmula anterior a partir de las fórmulas:

sen (α – β) = sen α cos β – cos α – sen β

cos (α – β) = cos α cos β + sen α – sen β

4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°.Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,utilizando las fórmulas (I) y (II).


5. Demuestra la siguiente igualdad:

=

6. Demuestra las tres fórmulas de angulo doble haciendo α = β en las fór-mulas de la suma.

7. Halla las razones trigonométricas de 60° a partir de las de 30°.

8. Halla las razones trigonométricas de 90° a partir de las de 45°.

9. Demuestra que = .

10. Demuestra las fórmulas del ángulo mitad:

1 – cos α1 + cos α

2 sen α – sen 2α2 sen α + sen 2α

1tg a

cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)


11. Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razonestrigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.

12. Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5.


13. Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0.

14. Demuestra que 2tg α · sen2 + sen α = tg α.

15. Demuestra que = tg2 .

16. Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos:

• Expresa en función de α y β:

cos (α + β) = … cos (α – β) = …

• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones.

• Sustituye en las expresiones anteriores:

α + β = A

α – β = B

• cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen βcos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β

Sumando → cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β (1)

Restando → cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sen α sen β (2)

α2

2sen α – sen 2α2sen α + sen 2α

α2


• Llamando → α = , β = (al resolver el sistema)

• Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:

(1) → cos A + cos B = 2 cos cos

(2) → cos A – cos B = –2 sen sen

17. Transforma en producto y calcula:

a) sen 75° – sen 15° b) cos 75° + cos 15° c) cos 75° – cos 15°

18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta frac-ción y simplifica el resultado:

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. Resuelve estas ecuaciones:

a) 2cos2 x + cos x – 1 = 0 b) 2sen2 x – 1 = 0

c) tg2 x – tg x = 0 d) 2sen2 x + 3cos x = 3

sen 4a + sen 2acos 4a + cos 2a

A – B2

A + B2

A – B2

A + B2

A – B2

A + B2

α + β = Aα – β = B


2. Resuelve:

a) 4cos 2x + 3 cos x = 1 b) tg 2x + 2cos x = 0

c) cos (x/2) – cos x = 1 d) 2sen x cos2 x – 6sen3 x = 0√2


3. Transforma en producto sen 3x – sen x y resuelve después la ecuaciónsen 3x – sen x = 0.


4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) sen (π – x) = cos ( – x) + cos π

b) sen ( – x) + sen x = 0√2π4

3π2


5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican:

a) tg x = – b) sen x = cos x

c) sen2 x = 1 d) sen x = tg x

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

Grados y radianes

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:

a) b) c) d) e)

☛ Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que π radianes = 180°.

2 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:

a) 1,5 b) 3,2

c) 5 d) 2,75

9π2

7π6

5π4

4π3

2π3

√3


3 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados.

Exprésalos en función de π:

a) 40° b) 108° c) 135°

d) 240° e) 270° f) 126°

☛ Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14…

a) =

4 Halla, sin utilizar la calculadora:

a) 5 cos – cos 0 + 2 cos π – cos + cos 2 π

b) 5 tg π + 3 cos – 2 tg 0 + sen – 2 sen 2 π

5 Prueba que:

a) 4 sen + cos + cos π = 2

b) 2 sen + 4 sen – 2 sen = 3

6 Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:

a) A = sen + sen + sen π

b) A = sen + sen – sen 2π

c) A = cos π – cos 0 + cos – cos 3π2

π2

4π3

2π3

π2

π4

π2

π6

2π3

√3

π4

√2π6

3π2

π2

3π2

π2

2π9

40π180


7 Expresa con un ángulo del primer cuadrante:

a) sen 1 215° b) cos (–100°) c) tg (–50°)

d) cos 930° e) tg 580° f ) sen (–280°)

8 Busca, en cada caso, un ángulo comprendido entre 0º y 360°, cuyas razonestrigonométricas coincidan con el ángulo dado:

a) 3 720° b) 1 935° c) 2 040°

d) 3 150° e) –200° f) –820°

9 Halla, en radianes, el ángulo α tal que sen α = 0,72 y cos α < 0.


10 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientesángulos:

a) 2 rad b) 3,5 rad c) 5 rad

☛ Ten en cuenta que:

≈ 1,57; π ≈ 3,14; ≈ 4,7; 2π ≈ 6,28

Fórmulas trigonométricas

11 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75° sabiendo que75° = 30° + 45°.

12 Sabiendo que sen x = y que < x < π, calcula, sin hallar previamente

el valor de x :

a) sen 2x b) tg c) sen (x + )d) cos (x – ) e) cos f ) tg (x + )☛ Tienes que calcular cos x = – 1 – ( )2

= – y tg x = – , y aplicar las fór-mulas.

34

45

35

π4

x2

π3

π6

x2

π2

35

3π2

π2


√

13 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15° de dos formas, conside-rando:

a) 15° = 45° – 30° b) 15° = 30°2


14 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 0

b) sen2 x – sen x = 0

☛ Saca factor común e iguala a cero cada factor.

c) 2 cos2 x – cos x = 0

d) sen2 x – cos2 x = 1

e) cos2 x – sen2 x = 0

f ) 2 cos2 x + sen x = 1

g) 3 tg2 x – tg x = 0√3

√3


15 Halla el valor exacto de estas expresiones:

a) sen + cos – sen

b) cos + tg – tg

c) cos + sen – cos – 2 sen

16 Sabiendo que sen x = y que x es un ángulo del primer cuadrante,

calcula:

a) sen 2x b) tg c) cos (30° – x) x2

23

π3

√3π4

√2π6

π6

√3

7π6

4π3

5π3

7π4

3π4

5π4


17 Si tg α = – 4/3 y 90° < α < 180°, calcula:

a) sen ( – α) b) cos (180° – ) c) tg (900° + α)α2

π2


18 Sabemos que cos x = – y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula:

a) sen x b) cos (π + x) c) cos 2x

d) tg e) sen ( – x) f ) cos (π – )

19 Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sen 41°, cos 41° y tg 41°.

x2

π2

x2

34


20 Si tg (α + β) = 4 y tg α = –2 , halla tg 2β.

PARA RESOLVER

21 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ángu-lo central en grados y en radianes.

☛ Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporción entre las longitu-des de los arcos y la medida de los ángulos.

22 Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y 2π tal que sus razones

trigonométricas coincidan con las de .

23 Demuestra que = .

☛ Aplica las fórmulas de sen (α + β) y sen (α – β). Divide tanto el numerador co-mo el denominador entre cos α cos β y simplifica.

tg α + tg βtg α – tg β

sen (α + β)sen (α – β)

11π4


16 cm

20cm

α

24 Prueba que 2 tg x cos2 – sen x = tg x.

☛ Sustituye cos2 = .

25 Demuestra que cos (x + ) – cos (x + ) = cos x .

☛ Desarrolla y sustituye las razones de y .

26 Demuestra que cos α cos (α – β) + sen α sen (α – β) = cos β.

☛ Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común.

27 Prueba que = tg2 .α2

2 sen α – sen 2α2 sen α + sen 2α

2π3

π3

2π3

π3

1 + cos x2

x2

x2


28 Simplifica:

☛ Al desarrollar el numerador obtendrás una diferencia de cuadrados.

29 Demuestra: =

30 Simplifica la expresión y calcula su valor para α = 90°.


a) sen ( + x) – sen x = 0

b) sen ( – x) + cos ( – x) =

c) sen 2x – 2 cos2 x = 0

☛ Desarrolla sen 2x y saca factor común.

d) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0

☛ Desarrolla cos 2x y sustituye cos2 x = 1 – sen2 x

12

π3

π6

√2π4

sen 2α1 – cos2 α

1 + tg α tg β1 – tg α tg β

cos (α – β)cos (α + β)

2cos (45° + α) cos (45° – α)cos 2α


32 Resuelve estas ecuaciones:

a) 4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0

☛ Al hacer sen2 x = 1 – cos2 x, resulta una ecuación bicuadrada.

Haz cos2 x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes.

b) 4 sen2 x + sen x cos x – 3 cos2 x = 0

☛ Divide por cos2 x y obtendrás una ecuación con tg x.

c) cos2 + cos x – = 0

d) tg2 + 1 = cos x

e) 2 sen2 + cos 2x = 0x2

x2

12

x2



a) cos 2x + 3 sen x = 2

b) tg 2x · tg x = 1

c) cos x cos 2x + 2 cos2 x = 0

d) 2 sen x = tg 2x

e) sen + cos x – 1 = 0

f ) sen 2x cos x = 6 sen3 x

g) tg ( – x) + tg x = 1π4

x2

√3



a) sen 3x – sen x = cos 2x b) = 1

c) = d) sen 3x – cos 3x = sen x – cos x

☛ Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos.

√3sen 3x + sen xcos 3x – cos x

sen 5x + sen 3xcos x + cos 3x


35 a) Demuestra que sen 3x = 3 sen x cos2 x – sen3 x.

b) Resuelve la ecuación sen 3x – 2 sen x = 0.

☛ a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen 3x por el resultadoanterior.

36 Resuelve:

a) sen 3x – sen x cos 2x = 0

b) cos 3x – 2 cos (π – x) = 0

c) cos 3x + sen 2x – cos x = 0

☛ b) Expresa cos 3x en función de sen x y cos x haciendo cos 3x = cos (2x + x).


37 Demuestra las siguientes igualdades:

a) cos (α + β) · cos (α – β) = cos2 α – sen2 β

b) sen2 ( ) – sen2 ( ) = sen α · sen β

c) cos2 ( ) – cos2 ( ) = sen α · sen βα + β2

α – β2

α – β2

α + β2


38 Expresa sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α.

39 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:

a) b)

☛ Haz cos2 y = 1 – sen2 y y cos2 x = 1 – sen2 x.

c) sen x + cos y = 1x + y = 90°

sen2 x + cos2 y = 1cos2 x – sen2 y = 1

x + y = 120ºsen x – sen y = 1/2


40 Demuestra que para cualquier ángulo α se verifica:

sen α + cos α = cos ( – α)π4

√2


41 Demuestra que – = 2 tg 2x .

42 Simplifica la expresión 2 tg x cos2 – sen x.

CUESTIONES TEÓRICAS

43 ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que

miden y radianes?4π5

π5

x2

cos x – sen xcos x + sen x

cos x + sen xcos x – sen x


44 Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo α :

a) sen (π – α); cos (π – α); tg (π – α)

b)sen (π + α); cos (π + α); tg (π + α)

c) sen (2π – α); cos (2π – α); tg (2π – α)

45 Expresa A(x) en función de sen x y cos x:

a) A(x) = sen (–x) – sen (π – x)

b) A(x) = cos (–x) + cos (π + x)

c) A(x) = sen (π + x) + cos (2π – x)

46 Demuestra que si α, β y γ son los tres ángulos de un triángulo, se verifica:

a) sen (α + β) – sen γ = 0

b) cos (α + β) + cos γ = 0

c) tg (α + β) + tg γ = 0

☛ Ten en cuenta que α + β = 180° – γ y las relaciones que existen entre las razo-nes trigonométricas de los ángulos suplementarios.

47 Demuestra que si α + β + γ = 180°, se verifica:

tg α + tg β + tg γ = tg α · tg β · tg γ

☛ Haz α + β = 180° – γ y desarrolla tg (α + β) = tg (180º – γ).


48 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos 2x, dan-do a x valores comprendidos entre 0 y 2π radianes y represéntala gráfica-mente.

49 Representa las funciones:

a) y = cos (x + ) b) y = sen (x + ) c) y = cos ( – x)π2

π2

π2


PARA PROFUNDIZAR

50 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:

a)sen x + sen y =

cos x + cos y = 1

b)sen2 x + cos2 y = 3/4

cos2 x – sen2 y = 1/4

c)cos (x + y) = 1/2

sen (x – y) = 1/2

√3


51 Demuestra que:

a) sen x =

b) cos x =

c) tg x = 2 tg x/2

1 – tg2 x/2

1 – tg2 x/21 + tg2 x/2

2 tg x/21 + tg2 x/2


PARA PENSAR UN POCO MÁS

52 Demuestra que, en la siguiente figura, α = β + γ.


γ β α

a) Puedes realizar la demostración recurriendo a la fórmula de la tangentede una suma.

b) Hay una posible demostración, más sencilla y elegante que la anterior,reconociendo los ángulos α, β y γ en la siguiente figura:

53 Obtén la fórmula siguiente:

sen α + cos α = cos (α – 45°)

☛ Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la fórmula correspon-diente.

√2


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