FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Trigonometra Funciones trigonomtricas

FUNCIONES TRIGONOMTRICASEl estudio de las funciones trigonomtricas se remonta a la poca de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometra fueron desarrollados por los matemticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.El primer uso de la funcin seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VIa.C. Las funciones trigonomtricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125a.C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de ste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableci el tratamiento analtico de las funciones trigonomtricas en Europa, definindolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Frmulas de Euler".

La nocin de que debera existir alguna correspondencia estndar entre la longitud de los lados de un tringulo sigui a la idea de que tringulos similares mantienen la misma proporcin entre sus lados. Esto es, que para cualquier tringulo semejante, la relacin entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, as sern los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonomtricas.

PITGORAS DE SAMOS (582?a.C-497?a.C)

Filsofo griego nacido en Samos y muerto en Metaponto. Es considerado como uno de los Siete Grandes sabios de Grecia y su vida estuvo siempre envuelta por la leyenda.

Pitgoras viaj a Egipto y Babilonia, donde asimil conocimientos tanto matemticos como astronmicos, as como un gran bagaje religioso. Fund en Crotona (al sur de Italia) una secta caracterizada por el retiro, ascetismo y misticismo. En la Escuela Pitagrica poda ingresar cualquier persona, hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas. El smbolo de la Escuela de Pitgoras, y por medio del cual se reconocan entre s, era el pentgono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). A l se le atribuye la invencin de la palabra "filsofo". El mayor xito cientfico atribuido a Pitgoras fue su estudio del sonido, descubriendo que las cuerdas de instrumentos musicales producan sonidos de tonos ms agudos cuando se las acortaba. Gracias a sus observaciones, el estudio del sonido ha permanecido inalterable hasta nuestros das. Pitgoras pensaba que todo el universo se apoyaba en los nmeros y sus relaciones, procediendo a revestir a los nmeros de ciertas propiedades mgicas, lo que llev de una manera indirecta a la investigacin sobre las propiedades matemticas de aquellos.

TRINGULO RECTNGULOUn tringulo tal que, uno de sus ngulos es recto (90 = (/2 rad.) se llama tringulo rectngulo. El lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.

(

a c

( bEn la figura:

c es la hipotenusa. (h)

a cateto opuesto a ( (CO)

b cateto adyacente a (. (CA)

( ( ( ngulos agudos. (( + ( = 90)RAZN TRIGONOMTRICA

La razn trigonomtrica de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del tringulo rectngulo con respecto del ngulo agudo.Podemos definir las funciones trigonomtricas de ( del modo siguiente:

(

(

(

(

(

(

A las funciones cotangente, secante y cosecante se les llama razones trigonomtricas recprocas, pues:

( csc ((sin ( = 1 ( sec ((cos ( = 1 ( cot ((tan ( = 1RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOS

Recordemos que dos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es un ngulo recto. En la figura ( ( ( son complementarios. Escribiendo las razones trigonomtricas de ( ( ( tenemos:

( ( sin ( = cos (f

( ( tan ( = cot (i

( ( csc ( = sec (iNota: Las tres ltimas relacionas se cumplen si y slo si ( ( ( son complementarios.

El teorema de Pitgoras

El teorema de Pitgoras afirma que si a ( b son los catetos de un tringulo rectngulo y c es la hipotenusa, entonces se cumple la relacin

a2 + b2 = c2s El recproco tambin es cierto, es decir, si se cumple esta relacin en un tringulo, entonces el tringulo es rectngulo.

El teorema de Pitgoras aparece como la Proposicin 47 del primer Libro de los Elementos de Euclides. El recproco del teorema de Pitgoras es la Proposicin 48 y ltima de dicho libro.De las demostraciones del teorema de Pitgoras basadas en la diseccin, consideraremos aqu la basada en la siguiente figura:

Aqu, si a y b son los catetos menor y mayor, respectivamente, el cuadrado central mide a b, y entonces, sumando reas tenemos:

c2 = 2ab + b2 2ab + a2 c2 = a2 + b2RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOSLas aplicaciones de la trigonometra en campos como topografa y navegacin requieren resolver tringulos rectngulos. La expresin resolver un tringulo significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ngulo del tringulo.

Podemos resolver un tringulo rectngulo si se nos da:

las longitudes de dos lados.

La longitud de un lado y la medida de un ngulo agudo.

LINEAS VERTICALES Y HORIZONTALES

A continuacin enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema:

Lnea vertical, es la lnea que coincide con la direccin que marca la plomada.

Lnea horizontal, se denomina as a toda lnea perpendicular a la vertical.

Lnea visual, llamada tambin lnea de mira, es aquella lnea recta que une el ojo del observador con el objeto a observarse. NGULOS VERTICALES

Son aquellos ngulos formados por la lnea de mira (o visual) y la lnea horizontal que parten de la vista del observador. Los ngulos verticales pueden ser:

Angulo de elevacin.- Es el ngulo formado por la lnea horizontal y la lnea de mira cuando el objeto de encuentra por encima de la lnea horizontal.

ngulo de depresin.- Es aquel ngulo formado por la lnea horizontal y la lnea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la lnea horizontal.

En el siguiente grfico:

Ntese que:

= son iguales, es decir son congruentes por ser ngulos alternos internos entre paralelas. y ( son complementarios porque sus medidas suman 90.

NGULOS HORIZONTALES

Son los contenidos en el plano horizontal. Sirven para mediciones topogrficas as como para fines de orientacin marina. Los ngulos horizontales generalmente se miden respecto a la lnea Norte Sur o meridiano terrestre.

EJERCICIOS PROPUESTOS.-

1. Resolver los siguientes tringulos rectngulos:a) Resolver el siguiente tringulo, sabiendo que a = 12 y A = 30.

b) Resolver el siguiente tringulo, sabiendo que = 30 y c = 20.

c) Un tringulo ABC tiene un ngulo recto C y dos ngulos agudos A y B. Los lados del tringulo AC y BC de ambos lados del ngulo recto C estn dados como: (a) AC = 3 BC = 4 (b) AC = 5 BC = 12 (c) AC = 8 BC = 15

En cada caso, use el teorema de Pitgoras para encontrar el tercer lado y luego encuentre los ngulos y .

d) Resolver el tringulo cuya hipotenusa mide 27 cm y uno de sus ngulos es de 30.e) Resolver el tringulo que tiene un cateto de 8 cm y cuya hipotenusa mide 12 cm. 2. Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros ro abajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ngulo de 15 con nuestra orilla. Calcular la anchura del ro.

Sol. 40.2 [m]3. Desde un punto A en la orilla de un ro, cuya anchura es de 50m., se ve un rbol justo enfrente. Cunto tendremos que caminar ro abajo, por la orilla recta del ro, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ngulo de 60 con nuestra orilla?

Sol. 28.87 [m]4. Marta, que vive en primera lnea de playa, observa un hidropedal averiado bajo un ngulo de depresin de 10. Ella estima que la altura de su apartamento es de 20 m. Ella desea conocer lo que deben nadar sus ocupantes hasta alcanzar la costa. Aydala.

Sol. 113.4 [m]5. Desde una embarcacin se ve un faro con ngulo de elevacin de 1015. Se sabe que el faro tiene 45 metros de altura sobre el nivel del mar. Calcular la distancia que hay entre la embarcacin, y el faro.Sol. 248.85 [m]6. Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ngulo de 20 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.Sol. 56. 08 [m]7. Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ngulo de 60 con respecto al piso.

Sol. 5 [m]8. Obtener el ngulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Sol. 579. Para determinar la altura de una torre de transmisin de televisin, un agrimensor camina alejndose 300 metros de la base de la torre. Luego mide el ngulo de elevacin y encuentra que es de 40. Si el teodolito est a 2 metros del piso cuando la observacin se realiza, cul es la altura de la torre?.

Sol. 253.73 [m]10. Crea un problema utilizando el siguiente grfico:

11. Desde un punto se observa un edificio cuya parte ms alta forma con el suelo un ngulo de 30, si avanzamos 30 metros, el ngulo pasa a ser de 45. Calcular la altura del edificio.

Sol. 40.23 [m]12. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto ms alto de la torre bajo un ngulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en lnea recta y el ngulo es de 80. Halla la altura de la torre.

Sol. 12,47 metros13. Desde el suelo vemos el punto ms alto de un edificio con un ngulo de 60. Nos alejamos 6 metros en lnea recta y este ngulo es de 50.Cul es la altura del edificio?

Sol. El edificio mide 22,92 [m] de alto.14. Marta y Rafael caminan por la avenida separados 100 m. Marta ve la esquina izquierda de la azotea de un edificio con un ngulo de elevacin de 30, y Rafael lo hace con un ngulo de 60. Halla su altura.

Sol. 86. 6 [m]15. Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ngulos de elevacin desde los puntos A y B. Con los datos de la figura tenemos que:

Sol. 10.9 [m]16. Calcular la altura de ambos edificios.

Sol. 90 ( 56 [m]17. Para medir la altura de una montaa, un topgrafo toma dos observaciones de la cima desde dos puntos separados una distancia de 1000 metros en lnea recta hacia la montaa. La primera observacin tiene como resultado un ngulo de elevacin de 47, la segunda tiene un ngulo de elevacin de 35. Si el teodolito est dos metros del piso, cul es la altura de la montaa?.

Sol. 2025.34 [m]18. Marta y Rafael caminan por la avenida separados 100 m. Marta ve la esquina izquierda de la azotea de un edificio con un ngulo de elevacin de 30, y Rafael lo hace con un ngulo de 60. Halla su altura.

Sol. 43.43 [m]19. Halla los valores de x, y, h en el siguiente tringulo:

Sol. x = 3,58 cm., y = 4,67 cm. ( h = 2,30 cm.20. Pablo y Lus estn situados cada uno a un lado de un rbol, como indica la figura:

a) Calcula la altura del rbol. Sol. El rbol mide 3,09 metros.

b) A qu distancia est Pablo del rbol?Sol. Pablo est a 3,09 metros del rbol.21. Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo.

Sol. 8 [m]22. Un mstil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:

Halla el valor de c y la longitud del cable.Sol. La longitud del cable es 13,55 metros. El valor de c es 8,85 metros.23. Se desea construir un puente sobre un ro, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacin de 20E. Cul debe ser la longitud de la baranda?, a qu distancia del cauce se situar el comienzo de la rampa?

Sol. 21.7 ( 5.5. [m]24. Halla la longitud de las cuerdas que sujetan la tienda de campaa y la longitud del lado x.

Sol. 3.25 ( 2.2 [m]

25. Calcula el ngulo de tiro.

Sol. 14193026. Una paparatzzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Banderas; para ello se sube a un rbol de 375 m de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de sta de 225 m. Bajo qu ngulo observar la propiedad del actor?, cul es la mxima separacin del muro a la que podr tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su intimidad? Sol. 14210 ( 9 [m]27. Un rbol tiene determinada sombra cuando el sol se observa bajo un ngulo de elevacin de 50. Bajo que ngulo proyectar una sombra el doble que la anterior? Sol. 30472328. Desde la cima de una montaa se observa el horizonte bajo un ngulo de depresin de 2, calcula la altura de la misma.

Sol. 0.01 R29. Estima el valor del ngulo que forma la arista con la diagonal.

Sol. 30303230. Calcula los lados y los ngulos del tringulo ABC.

Sol. A = 50, a = 7 [cm], B = 99 3' 1", b = 9 [cm], C = 30 56' 59" ( c = 4,7 [cm].31. Al recorrer 3 [km] por una carretera, hemos ascendido 280 m. Qu ngulo forma la carretera con la horizontal?

Sol. A = 5 21' 19,44"32. Hemos colocado un cable sobre un mstil que lo sujeta como muestra la figura. Cunto miden el mstil y el cable?

Sol. 24,99 [m] (cable)

33. Un avin vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el avin a A y a B forman ngulos de 29o y 43o con la horizontal, respectivamente. A qu altura est el avin?

Sol. 27,8 [km]34. Halla la altura de la torre QR de pie inaccesible y ms bajo que el punto de observacin, con los datos de la figura.

Sol. 79,82 [m] mide la altura de la torre.

35. Calcula la altura de QR, cuyo pie es inaccesible y ms alto que el punto donde se encuentra el observador, con los datos de la figura.

Sol. 74,97 [m] mide la altura de la torre.36. Estimacin de la distancia Tierra-Luna (el radio lunar es de 1738 Km.).

Sol.: 396579 Km.

37. Una estatua de 2,5 m est colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ngulo de 15 y la estatua bajo un ngulo de 40. Calcula la altura del pedestal.

Sol. 0,58 [m] (el pedestal)38. En una circunferencia de radio 6 trazamos una cuerda AB a 3 cm del centro. Halla el ngulo AOB.

Sol. 120

39. Halla el ngulo que forma la diagonal de la cara de un cubo y la diagonal del cubo.

Sol. ( = 35 15' 51,8"

ACTIVIDADES.- Construccin de un aparato medidor de ngulos

Los agrimensores y los topgrafos se valen de la trigonometra plana para sus mediciones. Para la medida de ngulos sobre el terreno utilizan un instrumento llamado teodolto.Actividad.- Construye con un grupo de compaeros el siguiente aparato medidor de ngulos, utiliza en su construccin materiales caseros y econmicos. Adems prepara un informe sobre el funcionamiento de este aparato.

40. Un tobogn tiene una altura mxima de 3 y una longitud de 5 cual es su inclinacin?

41. Est ascendiendo por un camino y ve un signo que le indica que tiene 5 grados, o sea que asciende 5 m por cada 100 m de camino. Cul es el ngulo entre el camino y la direccin horizontal?42. Un helicptero de trfico est sobre un tramo recto de carretera. En un instante detecta a un vehculo bajo un ngulo de depresin de 25, quince segundos ms tarde lo contempla bajo un ngulo de 80. Si el helicptero se encuentra a 300 m de altura, resultar multado el conductor, sabiendo que la velocidad est limitada a 130 Km/h?

43. Cierto da de escasa visibilidad un viga observa la presencia de la flota enemiga bajo un ngulo de depresin de 1. El observador, cuya atalaya costera alcanza una altura de 20 m sobre el nivel del mar, desea estimar el tiempo que tardar en alcanzar la costa. Por el tipo de embarcacin que emplean y por las condiciones del da se supone que las naves avanzan a 7 Km/h sabras darle la solucin?

Bajo qu ngulo de depresin se observara la flota si estuviese situada a 13 Km de la costa? A que distancia de la costa se encuentra la lnea del horizonte que observa nuestro viga?

44. Desde un llano, junto al pie de una pared vertical, se observa un alpinista bajo un ngulo de elevacin de 26, y la cima de la pared se observa bajo 34. Si estamos situados a 70 m de la base de la roca, cuntos metros le quedan por escalar hasta alcanzar la cumbre?

45. Don Mendo, que dispone de una escala de 10 m, observa el habitculo de Doa Urraca bajo un ngulo de elevacin de 32.Adems sabe que la altura desde su ojo al suelo es de 170 cm y que su distancia hasta el pie de la almena es de 24 m Tendr que conseguir una escala ms grande para alcanzar su morada?

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PAGE 3Colegio Particular San Lus de Gnzaga Prof. Wilmer E. Villca Maron

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