Función matemática 1

Función matemática

Función de X en Y: la condición de existenciaasegura que de cada elemento sale alguna flecha

y la de unicidad que sólo sale una.

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otroconjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un únicoelemento del codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos.Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera selas denomina aplicaciones.

DefiniciónUna función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cadarelación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, 2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

Notación y nomenclaturaAl dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A loselementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

o Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominiocomo al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llamavalor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se lellama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .

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Una preimagen de un es algún tal que .Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero quecada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos

• La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales

Función con Dominio X y Rango Y

• Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a ,sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

• En la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tieneorigen, y el elemento b tiene dos (el y el ). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:

Igualdad de funcionesSean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple queambas funciones:1. tienen igual dominio, A=C,2. tienen igual codomino, B=D, y3. tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).

Representación de funcionesLas funciones se pueden presentar de distintas maneras:• usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma

. Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función,se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se suponeen tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales.El dominio seleccionado se llama el {\rm dominio naturl],} de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

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Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".• Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

X| -2 -1 0 1 2 3

Y| 0 1 2 3 4 5

• Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

• Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funcionescontinuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5 X

4 X

3 X

2 X

1 X

0 X

y /x

-2 -1 0 1 2 3

Clasificación de las funcionesDados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entreestos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:• Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.• Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o

suprayectiva.• Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se

denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero nosuprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumpleninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombreespecifico.

'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos laecuación

.• la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.• la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.• la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U,representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de lasaplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos deaplicaciones de un modo gráfico.

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Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene únicapreimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos doselementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento delcodominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función noserá suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio(conjunto final) no tenga una preimagen.En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones quepertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a ladiferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor númerode elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectivael elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

, ,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

, , ,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

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Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como lascaras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintadade amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen quetiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos delconjunto final tienen al menos un elemento origen.En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que nopertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a ladiferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número deelementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva.todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto depinceles con pintura de colores:

, , ,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pincelesdistintos.Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

, ,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solouna, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo

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que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, sedenomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origentienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos delconjunto final tienen origen.En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicacionesinyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, lasaplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será laintersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan elmismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que lade Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

• Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dosconjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un únicoorigen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que laaplicación sea sobreyectiva.

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los númerosnaturales:

y por conjunto final el de los números naturales pares:

Podemos ver que la relación

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origenEsto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da laparadoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstanciasolo se da con los conjuntos infinitos.

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Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

, , ,

y el de caras como conjunto final:

, , ,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pincelestienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde conuna sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectivasimultáneamente esta aplicación es biyectiva.Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno,pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen quetenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos unelemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo deaplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las quepresenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y nopodemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo desu comparación, ni sobre su número de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que nopertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a launión de A y B.

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Ejemplo

en el diagrama de la figura:el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectivael elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva

el elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma biyectiva y no se utilizaen ningún momento la sobreyectiva por medidas de aseguracion la función se emplea de forma rotativa y no serepresenta en las gráficas

Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

, , ,

y como conjunto final el de caras coloreadas:

, , ,

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es unaaplicación matemática.Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tieneningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.

Resumen

Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, nosobreyectiva

BiyectivaNo sobreyectiva, no inyectiva

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Álgebra de las funciones

La Composición de funcionesDadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se defineuna función composición (g ο f ): A → C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

La función identidad

Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de , se denominafunción identidad. También se simboliza por o .Dada cualquier función , se cumple que es igual a y que estambién igual a , puesto que tenemos que para todo y también

Se verifica que• la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.• la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.• la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La Restricción de una FunciónSea un subconjunto de . La inclusión de en permite definir una función de en que asigna acada elemento de el mismo elemento, pero considerado como elemento de . Decimos que tal función es lafunción definida por la inclusión.Sea y sea un subconjunto de . Sea la función definida por la inclusión. La composición

define una función de en que se llama la restricción de f a C y que se denota por .Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y surestricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa

Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una función tal que secumple las siguientes condiciones:

.Decimos también que la función f es invertible

Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y sela denota por .Se verifica también las siguientes propiedades.• Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.• La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que .• La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los

factores pero con el orden invertido.

.

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El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivasSea A un conjunto y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjuntoBiy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funcionesbiyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operaciónalgebraica en Biy(A). Se verifica que1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que

2. La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, , tenemos que.

3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que.

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas, Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de

grupo simétrico de .Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones,por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.

Terminología, tradición y conveniosLa noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el sigloXVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción esel estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable yparámetro.

Sea una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría deconjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de ?Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos deldominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variablesindependientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variablereal. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de o se llamaban funciones de doso tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobrepares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales,respectivamente).En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguienteterminología.• Función escalar: Función del tipo • Campo escalar: Función del tipo • Función vectorial: Función del tipo • Campo vectorial: Función del tipo

La notación funcionalEn muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función

". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para elelemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunqueaquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función fno está bien definida.

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En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales),hay una serie de convenios para simplicar la escritura. La expresión "la función " se debeentender como una abreviación de lo siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos unarelación funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural, es elmáximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son todos los Reales. En la "función"citada, la aparición del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación para indicar la regla de asignación.Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas.Por ejemplo: si y , podemos considerar a como la composición delas funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es unafunción de en cuya imagen es todo . Por su parte, g es una función de los reales no negativos en losReales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, comoprácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como unacomposiciónd e g con f, suponemos que f está restringido al intervalo .

Funciones (con valores) RealesLos anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos denúmerosson particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particularespropiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el términofunción mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de losReales.

Álgebra de Funciones

Sea un conjunto culaquiera no vacío y sea el conjunto formado por todas las funciones de en . Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a , comoveremos a continuación.Sean elementos de . Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por• Suma de Funciones.• Resta de Funciones.• Producto de Funciones.Extendemos relaciones punto a punto.

• .La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a

. Indicamos a continuación aquellas más importantes.• La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante , con opuesto aditivo

para cada función f.• La resta es tal que .• La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante , pero solamente las

funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.• La multiplicación es distributiva respecto a la suma.Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en . En efecto, supongamos que y definamos tales que y

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. Se ve, inmediatamente, que es la función constantemente 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores loes.El conjunto junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que seobtienen al seleccionar el conjunto X.• Sea . Entonces, cada función de define una pareja de números que si

consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado . Esto nos dice que,en este caso, podemos identificar con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o seacon .

• Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con .• Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con .Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas ordenadas aparece provisto deuna suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con lamultiplicación por escalar.

• Sea , los Naturales. En este caso, es el conjunto de todas las sucesiones de números realesprovisto cono la suma y multiplciación usual de sucesiones.

Funciones numéricasLlamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estasfunciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.

Funciones acotadas• Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x)

tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente,se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene porconjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e imparesSe dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentanninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o eleje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Función matemática 13

Funciones monótonas

1. La función f es estrictamente creciente en 2. f es estrictamente decreciente en Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.

1. f es creciente en 2. f es decreciente en Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monótona.

Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: donde es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas

también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidosopuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a lafunción en ese intervalo están por debajo de la función. Una función escóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de eseintervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto devista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si semira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunostextos denominan convexas a las funciones que se curvan "haciaabajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en losanteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adoptenlas denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo paraevitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexaa través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Funciones reales y funciones discretas• Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la

función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una funcióndiscreta son las sucesiones.

Véase también• Anexo:Funciones matemáticas• Continuidad (matemática)• Asíntotas de una función• Función lineal• Sucesión matemática

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Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre funciones. Commons• FooPlot [1] - Graficador de funciones matemáticas• En la Enciclopedia en-línea de la Springer-Verlag: [2]• The function concept [3] - Sobre la historia del concepto de función

Referencias[1] http:/ / fooplot. com/[2] http:/ / eom. springer. de/ F/ f041940. htm[3] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ HistTopics/ Functions. html

Fuentes y contribuyentes del artículo 15

Fuentes y contribuyentes del artículoFunción matemática  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36181730  Contribuyentes: .Sergio, Aalvarez12, Aibdescalzo, Airunp, AlfonsoERomero, Antur, Ascánder, Belgrano,Beto29, Bucephala, Carmin, Chuffo, Cinabrium, Cobalttempest, Cratón, Ctrl Z, Daniel JG, DasAuge, David0811, Davius, DefLog, Dianai, Diegusjaimes, Digigalos, Dnu72, Dodo, Domaniom,Edmenb, Elvenbyte, Elwikipedista, Erik Jack, FAR, Farisori, Fenicio, Fibonacci, FrancoGG, Fsd141, Gaeddal, Gato ocioso, Gengiskanhg, GermanX, Guilloip, HUB, Haitike, HiTe, Humberto,Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Isha, J.M.Domingo, JMPerez, Jarisleif, Javier Carro, Javierito92, Jjafjjaf, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julian Mendez, Kekkyojin, Klrinion 72, Kn,Kraton, Kved, Lauranrg, Loco91, Lt. CiberShark, Lucianobello, Lucien leGrey, Mafores, Mahadeva, Maldoror, Manuelt15, Manwë, Matdrodes, Merdalro, Mocte13, Moriel, Mortadelo, Mr bim,Muro de Aguas, Nicop, Nihilo, OboeCrack, Odranoel6211, Oscar ., Paintman, Pedvi, PhJ, PoLuX124, Queninosta, Raulshc, Rehernan, Retama, Rich410, RoyFocker, Sabbut, Sgarg0, Siabef,Sking, Spirit-Black-Wikipedista, SunriseProjector, Taichi, Tano4595, Timichal, Tirithel, Tuncket, Vitamine, Vivero, Wewe, Xenoforme, Yrithinnd, 486 ediciones anónimas

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