UNIVERSIDADE TECNOLOGICA DE PEREIRA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROFESOR FABIO VALENCIA M

FUNCIONES HIPERBOLICAS

FUNCIONES HIPERBLICAS E HIPERBLICAS INVERSAS

Definicin El seno hiperblico. Sea x un nmero real el seno hiperblico de x se denota y=senh(x) y se define mediante la frmula

y senhx e

e

2

Y su grfica est dada por :(utilice clculo para llegar a la grfica que se d)

De la grfica podemos afirmar lim senhx lim

lim

senhx lim

e e

2

Y en cualquier punto, por ser la funcin continua

lim

senhx lim

e e

2

e e2

y=senh(x)

La derivada D senhx D

=

=cosh(x)

D senhx coshx

La derivada es positiva en todo su dominio luego la funcin es creciente

Su dominio son todos los nmeros reales y su imagen son todos los reales, es una funcin

inyectiva y sobreyectiva luego tiene inversa en todo su dominio

Y su frmula es

y= senh!x ln x x 1

La derivada de y= senh!x

Dsenh!x 1

x 1

y=senh'(x)

Definicin El coseno hiperblico. Sea x un nmero real el coseno hiperblico de x se denota y=cosh(x) y se define mediante la frmula

y coshx e

e

2

Y su grfica est dada por :(utilice clculo para llegar a la grfica que se d)

De la grfica podemos afirmar lim coshx lim

lim

coshx lim

e e

2

Y en cualquier punto, por ser la funcin continua

lim

coshx lim

e e

2

e e2

La derivada D coshx D

=

=senh(x)

D coshx senhx

La derivada es negativa en (-,0) luego la funcin es decreciente en (-,0)

y=cosh(x)

Df=lR

La derivada es positiva en (0,+) luego la funcin es creciente en (0,+) Como cambia de derivada negativa a positiva en x=0 existe un mnimo y el mnimo es (0,1)

El dominio son todos los nmeros reales y la imagen es [1,+), la funcin no tiene inversa en todo su dominio, restrinjamos su dominio a [0,+)

Aqu si tiene inversa y=cosh!x Y=cosh!x

Su dominio [1,+) Y su frmula es :

y=cosh!x=ln(x+x 1 La derivada

Dcosh!x !$%! x1

y=cosh(x)

y=argcosh(x)

Definicin La tangente hiperblica. Sea x un nmero real la tangente hiperblica de x se denota y=tanh(x) y se define mediante la frmula

y tanhx e

e

e e Y su grfica est dada por :(utilice clculo para llegar a la grfica que se d)

De la grfica podemos afirmar lim tanhx lim 1 y=-1 es asntota horizontal

lim tanhx lim 1 y=1 es una asntota horizontal

Y en cualquier punto, por ser la funcin continua lim tanhx lim

e e

e e

e ee e

La derivada D tanhx D )*+,-)+=,-)+ ,-)+)+)*+,-)+% =,-)+%)*+%,-)+%

D tanhx 1coshx sechx D tanhx sechx

y=tanh(x)

La derivada es positiva en todo su dominio luego es creciente

Su dominio son todos los nmeros reales y su imagen es ,[-1,1] es inyectiva y sobreyectiva luego

tiene inversa y=tanh!x

Su dominio es [-1,1] x=-1 y x=1 son asntotas verticales

Su inversa est dada por la frmula

y=tanh!x ! ln !

! donde 1

Definicin La cotangente hiperblica. Sea x un nmero real la cotangente hiperblica de x se denota y=cotanh(x) y se define mediante la frmula

y cotanhx e

e

e e Y su grfica est dada por :(utilice clculo para llegar a la grfica que se d)

De la grfica podemos afirmar lim cotanhx lim 1 y=-1 es asntota

horizontal

lim cotanhx lim 1 y=1 es una asntota horizontal

Y en cualquier punto diferente de cero, por ser la funcin continua limco tanhx lim

e e

e e

e ee e

La derivada

D cotanhx D ,-)+)*+=)*+ )*+,-)+,-)+)*+% =)*+%,-)+%

)*+%

D cotanhx 1coschx cosechx D cotanhx cosechx

y=cotanh(x)

Su dominio son todos los nmeros reales menos el cero y su imagen (-,1)(1,+), y=1 y Y=-1 son asntotas horizontales. La funcin tiene inversa y se nota y=cotanh!x, su grfica es

Su dominio es (-,-1)(1,+) y x=-1 , x=1 son asntotas verticales Esta dado por la frmula

Y=cotanh!x ! ln !! donde |x| 1 es lo mismo x 2 , 1 1, dominio de la inversa su derivada

Dcotanh!x= !!% 45647 |x| & 1 es lo mismo x 2 , 1 1,

Revisar la diferencia con Dtanh!x

y=argcoth(x)

Definicin La secante hiperblica. Sea x un nmero real la secante hiperblica de x se denota y=sech(x) y se define mediante la frmula

y sechx 1cosh x 2

e e Y su grfica est dada por :(utilice clculo para llegar a la grfica que se d)

De la grfica podemos afirmar lim sechx lim!

,-)+ lim

=0 y=0 es asntota

horizontal

lim sechx lim!

,-)+ lim

y=0 es una asntota horizontal

Y en cualquier punto, por ser la funcin continua lim

sec hx lim

1cosh x

2e e

Su derivada

Dsech(x)=D !,-)+=)*+ ,-)+% sechx tanh x

Dsech(x) sechx tanh x Su dominio son todos los reales y su imagen es (0,1] y=0 es una asntota horizontal, no tiene

inversa en todo su dominio, debemos restringirlo a un dominio [0,+) y all si tiene inversa

y=sech(x)

Su inversa es y=sech!x

El dominio de y=sech!x es (0,1] y su imagen es [0,+), x=0 es una asntota vertical Su frmula es y=sech!x ln 8!!% 9 x(0,1] Su derivada

D sech!x = !!% donde 0

Definicin La cosecante hiperblica. Sea x un nmero real la cosecante hiperblica de x se denota y=cosech(x) y se define mediante la frmula

y cosechx 1senh x 2

e e

Y su grfica est dada por :(utilice clculo para llegar a la grfica que se d)

De la grfica podemos afirmar lim cosechx lim!

)*+ lim

0 donde y 0 es una asintota horizontal

lim

cosechx lim

1senhx lim

2e e 0

Y en cualquier punto diferente de cero, por ser la funcin continua lim

cosechx lim

1senhx

2e e

La derivada D cosechx D !)*+=,-)+ )*+% =-cosech(x).cotanh(x)

D cosechx cosechxcotanhx

Su dominio es (-,0)(0,+) y su imagen son todos los nmeros reales sin el cero, x=0 es una asntota vertical y y=0 es una asntota horizontal, la funcin tiene inversa en todo su dominio

Y esta dado por la grfica y se nota y= cosch!x

y=cosech(x)

Su dominio es (-,0)(0,+) y su imagen es (-,0)(0,+) donde x=0 es asntota vertical y y=0 es una asntota horizontal

So frmula

y= cosch!x ln ?! @1 !%A Su derivada

Dcosch!x !||!% donde x0

Y=argcosch(x)