funciones exponenciales 4º 1º
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Funciones exponenciales, por alumnos de 4°CSTRANSCRIPT
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FUNCIONES EXPONENCIALES
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DEFINICIÓN
Se denomina función exponencial a toda aquella función que tenga la forma:
Exponente
Base de la función
Coeficiente de la función
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Condiciones
El coeficiente (k) debe ser un
número real NO nulo.
La base (a) debe ser un número
real positivo distinto de 1.
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a <1 es decreciente:
a >1 es creciente:
Si la base es:
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La ecuación general completa es: y= k.ax +b
Dominio: todos los reales
Asíntota horizontal y=b
k>0 imagen (b, )
K<0 imagen (- ,b)
Si k> 0 a>1 crece
0<a<1 decrece
Si k<0 a>1 crece
0<a<1 decrece
Representación sin grafico
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Para recordar:
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Representación grafica
• El conjunto imagen de todas las funciones exponenciales es:
(0 ; ).
• Como han podido observar en el grafico, la curva que
representa a la función crece de manera muy rápida. A este
crecimiento se lo denomina “crecimiento exponencial”.
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Asíntota
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Hay dos funciones de “gran presencia”
que corresponden a las bases:
F(x) = 10x
F(x) = ℮x
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Coeficiente:
•Positivo
•Negativo
•Nunca nulo
En este caso se generan
grandes diferencias:
Conjunto Imagen:
a.(0;∞)
b.(-∞;0)
Ordenada al origen:
a.(0;2)
b.(0;-2)
¿Crece o Decrece?
a. Crece
b. Decrece
Conclusiones:
▪ Si el coeficiente es positivo, la función crece. Mientras que si el coeficiente
es negativo, la función decrece.
▪ Las curvas de las funciones que tienen igual base y coeficientes opuestos
son simétricas respecto al eje de las abscisas (eje x).
Donde K:
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fg
• Ambas curvas se cortan en el
punto (0,1).
• No cortan el eje de las abscisas.
• El conjunto imagen es (0; ).
Conclusiones:
• Si la base A es mayor a 1, la función es creciente.
• Si la base A es menor a 1, la función es decreciente.
LAS BASES AL SER INVERSAS O RECÍPROCAS, SON SIMÉTRICAS
CON RESPECTO AL EJE DE LAS COORDENADAS (EJE Y).
Variaciones
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Variaciones
Las funciones y = ax + b son de tipo
exponencial. Su grafica se obtiene trasladando
la grafica de y = ax en b unidades hacia arriba
si b es positivo, y en b unidades hacia abajo si
es negativo.
Las funciones y = ax + b son también de tipo
exponencial. Su grafica se obtiene trasladando
la grafica de y = ax en b unidades hacia la
izquierda si b es positivo, y b unidades hacia la
derecha si es negativo.
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Ejemplo
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Hallar la fórmula de una función
Podemos encontrar la fórmula de una
función exponencial conociendo dos
puntos de la curva:
A: (-1;(2/3)) B: (4;162)
Reemplazamos en la formula general de
la función exponencial:
y = k . ax
2/3 = k. a-1 162 = k. a-4
Despejamos “k”
(2/3) : a-1 = k 162 : (a4) = k
Explicación práctica
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Igualamos ambas expresiones:
(2/3) . a4 = 162 . (a-1)
Pasaje de término, operamos y despejamos
“a” y encontramos “k”:
(a4): a-1 = 162 : (2/3)
a4-(-1) = 162 : (2/3)
a5 = 162: (2/3)
a5 = 243
a = 5 √243
Entonces la función es:
Explicación práctica
K= 2a = 3
f(x) = 2 . 3x
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Aplicaciones de las
funciones exponenciales
Alcohol y conducción de vehículos
Se puede calcular el riesgo de tener un accidente
automovilístico mediante la función:
X = Concentración de alcohol en sangre
K = ConstanteR = Riesgo (en porcentaje)
R = 6ekx
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La mitosis o división celularEste proceso obedece a la ley de crecimiento inhibido
Una fórmula que proporciona el número (N) de células en
el cultivo después de transcurrir un tiempo (t) (en las
primeras etapas del crecimiento) es:
Donde k es una constante positiva.Donde N0 es el número inicial de células.
Aplicación
N(t)= N0ekt
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Eficiencia de un artefacto
El proceso de declinación de la eficiencia
de un aparato o instrumento puede ser
representado por funciones
exponenciales decrecientes.
Aplicación
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Cicatrización de heridas
A0= área original de la herida
A= área de la herida luego de “nº” de días
A= A0e-0.35n
Aplicación
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La presión atmosférica de un globo o
aeroplano puede representarse en una
función decreciente.
Aplicación
P = presión atmosférica a
una altura h
H = altura
P0 = presión atmosférica
a nivel del mar
m = masa de las
moléculas de aire
k = constante de
Boltzmann
T = temperatura
G = gravedad
P = P0 . e-mgh/kT
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Ejercicios
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Bibliografía y Links
•Matemática 1 - Serie Polimodal. Ed.
Santillana
•http://docencia.udea.edu.co/ingeni
eria/calculo/pdf/1_3_3.pdf
(Aplicaciones)
•http://goo.gl/nlu1z (Aplicaciones)
•Apuntes de la carpeta
Vitutor. Funciones exponenciales
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Integrantes
Altobelli, Leandro.
Cancinos, José.
González, Gloria.
Hnilitza, Fernanda.
4º 1º Economía - 2013