full mark 200/200§لفصل...full mark 200/200 0798016746 7 ةحفصلا لماكتلا ىلع...

Full Mark 200/200 0798016746

1الصفحة

ر التكامل غي/ الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاته

المحدود

(:1مثال )

| فجد ،سء ( س3 – 2س5)إذا كان ص= 2س =

الحل:

(سء ( س3 – 2س5)) = الطرفين: باشتقاق

س 3 – 2س5=

| 2س =

=5(2)2 – 3 (2 = )14

، 0 ≠، س سء إذا كان ص= (:2مثال )

. 5عندما س = فجد

الطرفين: الحل: باشتقاق

(سء = )

= ⇐ =| 5س =

=

=

:يلي فيما جد :سؤال

.1–، عندما س= سء ( 2 –س 2 – 3س3)=ص (1

.2–عندما س= ،1 ≠س ،سء ص=( 2

قواعد التكامل غير المحدود

قا ة = : مالحظة هامة جدا 2

س

: جد كال من التكامالت التالية:1سؤال

=سء . 2 (1

=سء . 5 – (2

=سء ل . (3

=سء . 2س (4

=سء . 3س (5

=سء . س (6

=سء . 5س3 (7

=سء . 2س3 (8

=سء . س2 (9

=سء . (10

=سء . 2س3 (11

ء

س ء

1س + 4 س

ء

س ء

1س + 4

س

1س + 4 س

4(5) +1 5

21 5

2 -س 5 1 - س

ة

جتا2 س

2س2

Full Mark 200/200 0798016746

2الصفحة

=سء . ( 12

=سء . (13

0 ≠، س سء . 5 –س (14

0 ≠، س سء . 4 –س ( 15

0 ≠، س سء . 3 –س ( 16

0 ≠، س سء . 4 –س2 ( 17

0 ≠، س سء . 7–س5 ( 18

= سء ( 19

0 <س ، س ء . س ( 20

= س ء . س ( 12

= س ء . س ( 22

0 <س ، س ء . س 5 ( 23

0 ≠، س س ء . س ( 24

0 ≠، س س ء . س ( 25

0 <س ، س ء . س ( 26

= س ء . س 3 ( 27

= س ء . 2س 7( 28

0 <س ،س ء . س ( 29

0 ≠، س س ء . ( 30

= سء جا س . 2 ( 31

= سء جا س . 5 -( 32

= سء . ( 33

= سء جتا س . 2 ( 34

= سء جتا س . 2 -( 35

4س3

1 2

3 2

1 7

1 2

-1 3

2 5

2 س 3

جا س 57

-2 7

2س2

Full Mark 200/200 0798016746

3الصفحة

= سء . ( 36

قا 2 ( 372

= سء .س

قا 5-( 382

= سء .س

= سء . ( 39

= سء . ( 40

= سء جتا س ظا س .( 41

= سء جتا س ظا س . 5( 42

التكامل في حالة الجمع والطرح :*

)يوزع التكامل على عمليتي كامل كل حد على قاعدتهت .الجمع والطرح (


=سء ( . 5)س + (1

=سء ( .4س + 5 – 2س6) (2

=سء ( .3 –س 4) (3

=سء ( .5س + 2 – 2س3 – 5س6) (4

=سء جتا س ( . جا س + 2 – س6) (5

قا 3+ س4) (62

=سء ( .س

0 ≠، س سء جا س ( .5+ – 2س3) ( 7

0 <س ، س ء + س ( . س ) ( 8

0 ≠، س س ء س (.2+ س 3 –) ( 9

س ء .جا س ( 5 -س 2+ )( 10

= سء جتا س ظا س ( . –س 6) ( 11

:القسمةو الضربالتكامل في حالة *

يجب التخلص من عملية الضرب أو القسمة بين التكامل قبل إجراء عملية التكامل) ال يوزع االقترانات

.على عمليتي الضرب والقسمة(


= سء ( . 5س + 2) 2س3 ( 1

= سء ( . 3س + 2– 3س) س ( 2

جتا س 52

قا 32

س5

2

اجت2

س

2 5س

3 5س

2

اجت2

س

Full Mark 200/200 0798016746

4الصفحة

= سء ( . 4س + 2) ( 3 – 2س2) ( 3

= سء ( . 5 –س ) ( 3س + 2) (4

5 ≠س ، سء . ( 5

3 ≠س ، سء . ( 6

0 ≠س ، سء . ( 7

0 ≠س ، سء . ( 8

0 <س ، سء . ( 9

0 ≠س ، سء .( ) ( 10

:س + ب ( أ قواعد االقتران الخطي )*

: جد كال من التكامالت التالية: 4سؤال

( 5س + 2) (12 =سء .

( 2 –س 3) (25 =سء .

س (2 – 3) (33 =سء .

( 3 –س 5) 2 (45 =سء .

25 – 2س 5 –س

3 –س 2 – 2س 3 –س

3س3+5س 2س

3س3+5س 5س

س قا 3 – 3س2

س س 3

3+ 5س س

Full Mark 200/200 0798016746

5الصفحة

( 1س + 3) (5-4

≠س ، سء .

<س ، سء ( . 1س + 2) (6

≠س ، سء . ( 7

<س ، سء (. 1س + 2) (8

= سء ( . 2س + 5جا ) ( 9

= سء ( . 2 –س 3جا ) ( 10

= سء س .2جا ( 11

= سء س .5جا ( 12

= سء س .2جا2 ( 13

= سء ( . 2س + 5جتا)3 ( 14

= سء س( .2 – 3جتا) 2 ( 15

قا 5 ( 162 = سء ( .1س + 2)

قا 3 ( 172 = سء س .3

سء (( . 2س + 5جا ) 2 –س 2) (18

سء (( . 3 –س 2جتا ) 3–س 2 – 1) (19

2- ≠س ، سء . ( 20

0 ≠س ، ( 21

-1 3

-1 2

1 2

-1 2

2

( 2 –س 3)5

2 3

8+ 3س 2س +

سء

5س

Full Mark 200/200 0798016746

6الصفحة

غير المحدود العالقة بين المشتقة والتكامل*

المشتقة والتكامل هما عمليتان عكسيتان حيث كل تكامل - يلغي مشتقة وكل مشتقة تلغي التكامل.

: حل كال من المسائل التالية: 4سؤال

اقترانا قابال لالشتقاق وكان قإذا كان (1

جد 20( = 2) ق، وكان 5س + 2 – 2س3)س( = ~ق

.ق االقترانقاعدة

اقترانا قابال لالشتقاق وكان قإذا كان (2

0 ≠س )س( = ، ~ق

.ق جد قاعدة االقتران 12( = 1 ) قوكان

اقترانـــا قــابال لــالشـتــقــاق وكــــــان قإذا كان (3

.(1)قجد ، 4( = 2 ) قوكان 5 –س 2)س( = ~ق

اقترانـــا قــابال لــالشـتــقــاق وكــــــان قإذا كان (4

، 1-(= 2)قوكان 3س 4س( + 5 – 6س) 3)س(= ~ق

.(1)ق قيمة جد

وكــــــان قــابال لــالشـتــقــاقإذا كان ل اقترانـــا (5

مةقي جدف س،2 – 3س6 – 2س6 )س(= ~ل

.(3ل) –( 3ل)

3س 8س + 6+ 2س س

Full Mark 200/200 0798016746

7الصفحة

تطبيقات هندسية على التكامل*

(س)~قتذكر أن * ميل المماس =

ميل المماس =*

: 1سؤال

عند النــقطة ) س ، ص ( قإذا كان ميل المماس لمنحنى

جد قاعدة االقتران س 8 – 2س3= (س)~قيعطى بالعالقة

.( 3، 1 -علما بأنه يمر بالنقطة ) ق

: 2سؤال

عند (س) قإذا كان ميل المماس لمنحنى االقتران ص=

، فجد 2س9س +2 – 6= (س)~قالنــقطة ) س ، ص (

. 5= (0)قعلما بأن ققاعدة االقتران

:3سؤال

عند النــقطة ل إذا كان ميل المماس لمنحنى االقتران

( س3 – 4س )2= (س)~يعطى بالقاعدة ل ) س ، ص (

(. 3، 0بأنه يمر بالنقطة )علما ، فجد قاعدة االقتران ل

:4سؤال

( علما بأن مــيل الـمـمـاس للـمـنـحـنـى 1) قجد قيمة

)س( عند الــنـقـطــة ) س ، ص ( يســـاوي ق ص =

( 4س + 5) 25يمر بالنقطة ق، وأن منحنى االقتران 4

(-1 ،7 . )

Full Mark 200/200 0798016746

8الصفحة

:5سؤال

يعطى بالقاعدة إذا كان ميل المماس لمنحنى االقتران هـ

( 2هـ ) فجد ،0 ≠س ، = (س)~هـ

(. 5، 1-يمر بالنقطة ) بأن منحنى االقتران هـعلما

:6سؤال

عند النــقطة(س) قإذا كان ميل المماس لمنحنى ص=

6= (س)~ق) س ، ص ( يعطى بالقاعدة 3 1 –س 2

(. 5، 0،علما بأن منحناه يمر بالنقطة ) (0)قجد

س 5 – 2س2 س

Full Mark 200/200 0798016746

9الصفحة

على التكامل فيزيائيةتطبيقات

المسافة السرعة التسارع

*الموقع

ف)ن( ع)ن( ت)ن(

ن ء ت)ن(. ن ع)ن(= ء ع)ن(.ف)ن(=

: يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث تعطى 1سؤال

م / ث ، جد ( 4ن + 8 )سرعته حسب العالقة ع)ن(=

المسافة التي يقطعها الجسيم بعد مرور ن ثانية منذ بدء

.م 7( = 0الحركة علما بأن موقعه االبتدائي ف)

: يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث انطلق من 2سؤال

م ، إذا كانت سرعته بعد مرور 4( = 0الموقع االبتدائي ف)

( م / ث، 2ن6ن + 2 – 6ن ثانية تعطى بالعالقة ع)ن(=)

فجد موقعه بعد مرور ثالث ثواني من بدء الحركة.

: يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث تعطى 3سؤال

( م / ث ،حيث ن 5 –ن 2سرعته حسب العالقة ع)ن(=)

الزمن بالثواني، جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء

م. 3( = 0الحركة علما بأن موقعه االبتدائي ف)

: يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث أن سرعته 4سؤال

:تعطى بالعالقة بعد مرور )ن( ثانية

، جد موقعه بعد مرور ثانية ( م / ث2ن(2 – 1)6ع)ن(=)

( = 0واحدة من بدء الحركة علما بأن موقعه االبتدائي ف)

م. 5


تعطى بالعالقة من بدء الحركة بعد مرور )ن( ثانية

القاعدة التي م / ث ، جد ( (1 –ن 2جتا ) 12ع)ن(=)

.تمثل موقع الجسيم بعد مرور ن ثانية

Full Mark 200/200 0798016746

10الصفحة

: تتحرك نقطة مادية على خط مستقيم بحيث أن 6سؤال

( م / ث ، جد 8ن + 4سرعتها تعطى بالعالقة ع)ن(=)

النقطة المادية بعد مرور أربع ثوان من بدء حركتها، موقع

م.2( = 0االبتدائي ف) اعلما بأن موقعه


بعد مرور )ن( ثانية من بدء الحركة تعطى بالعالقة

( م / ث ، جد: 1ن + 4() 1 –ن 3ع)ن(=)

القاعدة التي تمثل موقع الجسيم بعد مرور ن ثانية (أ

من بدء الحركة.

موقع الجسيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة، (ب

م. 7= (0)ف علما بأن موقعه االبتدائي

: تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم بتسارع ثابت 8سؤال

، جد سرعتها بعد 2ث( م/ 2ن + 6مقداره ت)ن( = )

ة بأن سرعتها االبتدائي مرور ثانيتين من بدء الحركة ، علما

م / ث . 7( = 0ع )

: تتحرك نقطة مادية على خط مستقيم بحيث أن 9سؤال

بالعالقة:تسارعها بعد مرور )ن( ثانية يعطى

إذا علمت أن موقعها االبتدائي ،2ث( م/6 –ن 12)= ت)ن(

م / ث. جد: 3= ( 0م، وسرعتها االبتدائية ع )2( =0ف)

سرعة النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من (أ

انطالقها.

من ثالث ثوان بعد مرور نقطة المادية موقع ال (ب

انطالقها.

Full Mark 200/200 0798016746

11الصفحة

: يتحرك جسيم على خط مستقيم بتسارع ثابت 10سؤال

م، 3( = 0ف) ،وكانت 2ث( م/ 12–مقداره ت)ن( = )

م / ث. جد: 5( = 0ع ) و

.( ثواني4)بعد مرور الجسيم سرعة (أ

.ثالث ثوانبعد مرور الجسيمموقع (ب

إذا كان تسارع جسيم :11سؤال

م، 3( = 0ف) ،وكانت 2ثم/ 3( ن2–1) 48ت)ن( =

م / ث. جد: 2 ( =0ع ) و

ثانية واحدة من بدء بعد مرور الجسيم سرعة (أ

.الحركة

.ثانيتين من بدء الحركةبعد مرور الجسيمموقع (ب

: تتحرك نقطة مادية بتسارع مقداره 12سؤال

، إذا علمت أن موقعها 2ثن( م/ –1)ن12ت)ن( =

م، وسرعتها االبتدائية2( =0االبتدائي ف)

م / ث. جد: 3( = 0ع )

.( ثواني4)بعد مرور النقطة سرعة (أ

.ثانيتين من بدء الحركةبعد مرور النقطةموقع (ب

Full Mark 200/200 0798016746

12الصفحة

*كل مشتقة تلغي تكامل وكل تكامل يلغي مشتقه

واالشتقاق عكسيان لبعضهما*التكامل

س، ء ( . 5+ 2)س= (س) ق : إذا كان1سؤال

. (س)~قجد

س، ء ( . 2 – 3)س= (س) ق : إذا كان2سؤال

. (2)~قجد

5+ 2س2 – 3س3= سء . (س)~ق: إذا كان3سؤال

.(س)~ق جد

2+ 2س – 3= س سء . (س)~ق: إذا كان4سؤال

.(3)~ق جد

5س + 6 – 3س4= سء . (س)~ق: إذا كان5سؤال

.(1)~ق جد

س2 – 3س2+ 4= سسء . (س) ق: إذا كان6سؤال

.(س)~ق جد

س5+ 2س2+ 3= سسء . (س) ق: إذا كان7سؤال

.(2)~ق جد

: إذا كان:8سؤال

س2 – 3+ س 4= س سء (. 3س 4+ (س)~ق)

.(2)~ق جد

: إذا كان:9سؤال

س 5+ 2س ة – 3س2= سء (. 2س 3+ (س)~ق)

. ة، جد قيمة الثابت 4 = (1)~قوكان

0 ≠، س سء . : إذا كان ص = 10سؤال

. جد

. س، جد ء س .5جا : إذا كان ص = 11سؤال

. س، جد ء . (س)~ق : إذا كان ص = 12سؤال

. س، جد ء . س : إذا كان ص = 13سؤال

2 2س

Full Mark 200/200 0798016746

13الصفحة

: جد كل من التكامالت التالية:1سؤال

1)

3

1

= س ء .س 2

2 )

5

2

= س ء . 2

3 )

2

1

= س ء . ( 5س + 4 – 2س3)

4 )

3

1

= س ء . ( 2س + 4 – 2س6)

5 )

1

0

= س ء . (س + س )

6 )

4

1

= س ء . س + س ( 2)

7 )

1

0

3 = س ء . س

8 )

1

4

= س ء .

9 )

1

0

= س ء . ) س (14

10 )

2

2

= س ء . ( 1() س+ 2 –س 3)

11 )

2

2

= س ء . ( 3+ 2س 6 –س 4)

6 س

4 3

Full Mark 200/200 0798016746

14الصفحة

*إيجاد المجاهيل

:2سؤال

إذا علمت أن (1

3

1

، جد قيمة الثابت ك28= سء ك.

(إذا كان 2

6

2

، جد قيمة الثابت ب12= سء ب .

إذا كان (3

4

2

، جد قيمة ب36= سء ب .3

إذا كان (4

3

ب

، جد قيمة ب 0= سء س .2

إذا كان (5

0

ج

، جد قيمة جـ 8= سء س .

إذا كان (6

1

ج

، جد قيمة جـ 0= سء ( . 3س + 2)

إذا كان (7

1

ب

، جد قيمة ب 0= سء ( . 1 –س 2)

إذا كان (8

0

ل

، جد قيمة ل 6= سء ( . 1 –س 2)

إذا كان (9

3

م

، جد قيمة م 0= سء س ( .4 – 2)

Full Mark 200/200 0798016746

15الصفحة

العالقة بين المشتقة والتكامل المحدود *

ب

أ

( ) أ ق –) ب( ق= سء س ( . ) ~ق

:3سؤال

2( = 1) ق، 7( = 3) قإذا علمت أن (1

جد

3

1

= سء ) س ( . ~ق

3-( = 1) ق، 15( = 2-) قإذا علمت أن (2

جد

2

1

= سء ) س ( . ~ق

2( = 2) ق، 5( = 1) قإذا علمت أن (3

جد

1

2

= سء ) س ( . ~ق5

4( = 5) ق، 12( = 3) قإذا علمت أن (4

جد

1

3

= سء ( . 2) س + ~ق

2( = 4) ق، 8( = 2) قإذا علمت أن (5

وكان

2

4

جد قيمة الثابت أ 24= سء ) س ( . ~قأ

1-( = 1) ق، 4( = 2) قإذا كان (6

جد

1

2

سء ( . 3 –س 2) س( + ~ق3)

إذا كان (7

2

5

13= سء ) س ( . ~ق

. ( 2) ق جد ، 17-( = 5) ق وكان

،وكان [ 5، 1]معرفا على الفترة قإذا كان االقتران (8

، فجد قيمة 1س + 2= سء ) س ( . ~ق

(. 1) ق –( 5) ق

Full Mark 200/200 0798016746

16الصفحة

*مشتقة التكامل المحدود دائما صفر

لكل من : جد :4سؤال

ص = (1

1

3

سء . ( 3+ 5س3 – 3س4)

ص = (2

1

3

سء . ( 2 –س 4س()3)

( + 2س2) ص =) (3

2

3

سء . ( ( 4س+5)

جد قيمة كل من : :5سؤال

1)

1

3

سء . ( 2 –س() س 3)

2)

1

1

( 3 –س 2) 2 سء .

3)

0

2

سء .

4)

4

1

سء . ( – )

5)

2

6

سء .

6)

0

2

، جد قيمة الثابت ب 21-= سء (. 2+ 2)ب س

7)

2

ب

ب، جد قيمة الثابت ب5= سء س (.4 – 1)

7 –س 6+ 2س 1 –س

1 س

1 2س

10 6س + 5

Full Mark 200/200 0798016746

17الصفحة

خصائص التكامل المحدود *

: إذا علمت أن1سؤال

1

3

، 5= سء ) س ( . ق

1

3

، جد ناتج ما يلي : 2 –= سء هـ ) س ( .

1)

1

3

سء ) س ( . ق 4

2)

1

3

سء هـ ) س ( . 3

3)

1

3

سء .

4 )

1

3

سء ) س ( + هـ ) س (( . ق)

5 )

1

3

سء هـ ) س (( . -) س ( ق)

6 )

1

3

سء هـ ) س (( . 3 –) س ( ق2)

7 )

1

3

سء ( .3س + 2 –) س ( ق2)

8 )

1

3

سء ( . 4 – 2س3هـ ) س (+ 3)

) س ( ق 2

3

Full Mark 200/200 0798016746

18الصفحة


0

2

، 8= سء ) س ( . ق 2

0

2

، جد ناتج ما يلي : 1 –= سء .

1)

0

2

سء ) س ( . ق 3

2 )

0

2

سء هـ ) س (( .2 –) س ( ق)

3 )

0

2

سء .( 3س + 2 –

4 )

0

2

سء ( . 2س3 – هـ ) س (2)

: إذا علمت أن 3سؤال

1

3

4= سء ( .3 –)س( ق 2)

جد

1

3

سء ( . 1س + 2 –)س( ق 3)


0

2

2= سء س( .2 –)س( ق 2)

، وأن

0

2

4= سء هـ)س(( . – 3)

جد

0

2

سء س ( .2 – هـ)س(2)س( + ق 3)

هـ) س ( 3

) س ( ق

2

Full Mark 200/200 0798016746

19الصفحة

المحدود األخرىخصائص التكامل

ال يشترط في هذه الخاصية ) اإلضافة ( ) التجزئة (

أن تكون قيمة ب بين أ و جـ .

: جد كل من:1سؤال

1)

2

2

سء .( 5) س +

2)

3

3

سء ( .5س + 2 – 2س2)

3)

ب

ب

سء ( .5 –س 2 – 2س4)

، جد قيمة 0= سء .)س( ق : إذا كان2سؤال

الثابت أ.

، جد قيمة 0= سء .)س( ق : إذا كان 3سؤال

الثابت م.


الثابت أ.


.بالثابت

( التشابه)

) القلب (

4 – 2أ

+ أ 2

- 7

1+ 3م

- 7

1+ 3م

7أ + 5

1 –أ

- 7

1+ 3م

3ب + -

+ ب 2ب

Full Mark 200/200 0798016746

20الصفحة


1

7

6= سء .)س( ق

جد

7

1

سء .)س( ق


2

5

7-= سء .هـ )س(

جد

5

2

سء .هـ )س(


ج

أ

= سء .)س( ق

جد

أ

ج

سء .)س( ق


1

3

، 3= سء .)س( ق

3

1

5= سء .هـ )س(

جد ناتج ما يلي:

1 )

3

1

سء .)س( ق 5

2)

1

3

سء .هـ )س( 2

3)

1

3

سء .( 3س + 2هـ )س( + 2)

4)

3

1

سء .( 5 – 2س3)س( + ق 3)


1

2

، 12= سء .)س( ق3

2

1

1-= سء .

جد

1

2

سء . س (2هـ)س( + 3+ )س( ق 2)


1

3

2-= سء (.س2 - )س(ق2)

جد

3

1

سء . )س( ق 5

3 4

هـ) س ( 2

Full Mark 200/200 0798016746

21الصفحة


1

2

، 4= سء .)س(ق

2

5

، جد 3= سء . )س( ق

1

5

سء . )س( ق


0

1

، 5= سء .)س(ق

1

3

، جد 12= سء . )س( ق

0

3

سء . )س( ق


ب

أ

، 7= سء .)س(ق

ج

ب

، جد 5= سء . )س( ق

ج

أ

سء . )س( ق


1

3

، 4= سء .)س(ق

3

2

، جد 7= سء . )س( ق

1

2

سء . )س( ق5


1

3

، 7= سء .)س(ق

5

3

، جد 12= سء . )س( ق

1

5

سء . )س( ق


1

2

، 4-= سء .هـ )س(

3

2

، جد 6-= سء . هـ )س(

1

3

سء . هـ )س( 2


1

3

، 4= سء .)س( ق

2

3

، جد3= سء . )س(ق

1

3

سء .(3س+2+ )س(ق2)


1

1

، 3= سء . هـ )س(

2

1

، جد2-= سء . هـ )س(

1

2

سء (.2س3+ )س(هـ3)

Full Mark 200/200 0798016746

22الصفحة


0

2

، 3= سء .ع)س(

2

3

، جد :5-= سء .ع)س(3

1 )

3

2

سء . ع )س(

2 )

2

2

سء . ع )س(

3 )

0

3

سء . ع )س(


1

2

، 2-= سء .)س( ق 2

2

3

، 11= سء .س (2+ )س( ق 2)

جد

1

3

سء . (3س +2 – )س( ق2)


1

1

، 4= سء .)س(( ق -3)

2

1

، 2= سء .

جد

1

2

سء . (1س +2 –)س( ق3)

) س ( ق

2

Full Mark 200/200 0798016746

23الصفحة

التكامل بالتعويض*

الحالة األولى: وجود قوس مرفوع لقوة وما داخل

القوس ليس خطيا

: جد كل من :1سؤال

(5+ 2)س س2( 17 سء .

( 5+ س 4 – 2)س (4 –س 2)( 23 سء .

( 1+ 2س – 3)س (2س 3 –س 2)( 32 سء .

( 2س2+ 3)س س(4+ 2س 3)21( 47 سء .

( 2س2+ 3)س س(4+ 2س 3)21( 57 سء .

(3+س 4 – 3س2) (2 – 2س 3) ( 6-5

سء .

س ء . ( 7

سء . 5+ س + 2س ( 1س +2) ( 8

3 –س 2 7( 5س + 3 – 2)س

Full Mark 200/200 0798016746

24الصفحة

0س ، س < ء . (س2+ 2س3) 2+ س 3س 3 ( 9

1 ≠ س س ،ء . ( 10

*الحالة الثانية: إذا كانت زاوية جا ، جتا ، قا2

غير

خطية

: جد كل من :2سؤال

سء .( 5س +3 – 2)س ( جا 3 –س 2) ( 1

سء .( 5س +3 – 3)س ( جتا 2س3 – 3) ( 2

سء .( 5س +2 – 3)س 2( قا 4 – 2س 6) ( 3

س ء . ( 4

4 – 2س3

3س + 4 – 3س 5

2س + 4

(5+ س + 2) س 2جتا

Full Mark 200/200 0798016746

25الصفحة

: جد نتج كل من:3سؤال

1)

0

1

سء . 2(1++ س 2( )س1س +2)

2)

0

4

سء . 9+ 2س س2

6-( = 27)ق ، 5( = 8-)ق : إذا علمت أن 4سؤال

جد قيمة

2

2

سء ( .3س) ~ق 2س3

7( = 4)ق ، 3( = 1)ق : إذا علمت أن 5سؤال

جد قيمة

1

2

سء ( .2س) ~قس 6


5

2

، 3= سء ( .س) ق

قيمةجد

1

2

سء ( .1+ 2س)قس 8

)س( علما بأن ميل ق: جد قاعدة االقتران ص = 7سؤال

المماس لمنحناه عند النقطة )س ، ص( يعطى بالقاعدة

( تقع 1، 4-، وأن النقطة ) 9+ 2س = س

على منحنى االقتران ص.

المماس )س( إذا كان ميل ق: جد قاعدة االقتران 8سؤال

كان ، و =( س) ~قيعطى بالقاعدة

.(4، 0النقطة )يمر ب قمنحنى

س 2

8+ 2س 3

Full Mark 200/200 0798016746

26الصفحة

*المساحة

يوجد حالتان في هذا الدرس -

الحالة األولى: جد مساحة المنطقة المحصورة بين

)س( ومحور السينات والمستقيمين قمنحنى

[ أ ، ب]س = أ ، س = ب ، أو الفترة

خطوات الحل:

مساواة االقتران بالصفر؛ إليجاد قيم س. (1

[ ب ، أ ] ∋( هل س 2

نجزئ التكامل إال في حالة األطرافإذا نعم

إذا ال ، ال نجزئ التكامل

( إيجاد المساحة ) م (3

م =

ب

أ

سء . ┃( س) ق┃

: جد مساحة المنطقة المغلقة بين منحنى االقتران 1سؤال

ومحور السينات والمستقيمين س 4س + 2)س( = ق

.4س = 1=

: جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى 2سؤال

ومحور السينات 12 – 2س3)س( = قاالقتران ص =

.2، س = 1-والمستقيمين س =


س ومحور السينات 2 – 2)س( = س قاالقتران ص =

.[ 4 ، 1 ]على الفترة


س ومحور السينات على 4 - 12)س( = قاالقتران

.[ 4 ، 1 ]الفترة

Full Mark 200/200 0798016746

27الصفحة


[2، 0]س على الفترة12– 3س3)س( = قاالقتران

ومحور السينات .


ومحور [4، 1]س على الفترة2– 6)س( = قاالقتران

السينات .


2،س = 1-والمستقيمين س = 12)س( = قاالقتران



، 2-المستقيمين س = س2– 5)س( = قاالقتران

ومحور السينات . 2س =


والمستقيمين 3 – 2س3)س( = قاالقتران ص =

ومحور السينات . 4 -،س = 2-س =


[0، 2-]على الفترة 2س6– 6)س( = قاالقتران


Full Mark 200/200 0798016746

28الصفحة


على الفترةومحور السينات ، 3س4)س( = قاالقتران

[-1 ،1].


على ومحور السينات ،48 – 2س3)س( = قاالقتران

.[5، 3]الفترة


على ومحور السينات ،4 – 2س -)س( = قاالقتران

.[1، 1-]الفترة

الحالة الثانية: جد مساحة المنطقة المحصورة بين

)س( ومحور السينات.قمنحنى

خطوات الحل :

مساواة االقتران بالصفر إليجاد قيم س حيث قيم س (1

التكامل .هي حدود

( إيجاد المساحة ) م ( حيث :2

م =

ب

أ

سء . ┃( س) ق┃

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى : 1سؤال

ومحور السينات. س ،2 – 2)س( = س قاالقتران


السينات.ومحور س ،3+ 2)س( = س قاالقتران

Full Mark 200/200 0798016746

29الصفحة


ومحور السينات. ، 3 –س 2 – 2)س( = س قاالقتران


ومحور ، 6 – س4 – 2س2)س( = قاالقتران

السينات.


ومحور السينات. ، 2س2 –س 4)س( = قاالقتران


ومحور السينات. ، 9 – 2)س( =س قاالقتران


ومحور السينات. ، 2س12 – 3س4)س( = قاالقتران

Full Mark 200/200 0798016746

30الصفحة

*المساحة عن طريق الرسم

4= 2، م 7= 1: إذا علمت أن م1سؤال

جد

ب

أ

سء ( .س) ق

6= 2، م 11= 1: إذا علمت أن م2سؤال

جد

2

4

سء ( .س) ق


1

2

، 10= سء ( .س) ق

2

3

جد مساحة المنطقة المظللة، 3-= سء ( .س) ق

، جد: 5= 2، م 8= 1: إذا علمت أن م4سؤال

1)

ب

أ

سء ( .س) ق

2)

ج

ب

سء ( .س) ق

3)

ج

أ

سء ( .س) ق

قمنحنى االقتران ( مساحة المنطقة المحصورة بين4

[أ ، جـ] الفترة ومحور السينات في

: يمثل الشكل المجاور المنطقة المغلقة المحصورة 5سؤال

ومحور السينات في الفترة قبين منحنى االقتران

، 6= 1إذا علمت أن م ،[ ب ، أ ]

ب

أ

.2م، جد 4-= سء ( .س) ق

Full Mark 200/200 0798016746

31الصفحة

: يمثل الشكل المجاور نافذة على شكل مستطيل 6سؤال

م ، يعلوه منحنى يعطى 1م ، وارتفاعه 2طول قاعدته

، إذا أردنا وضع زجاج 2س – 2بالقاعدة ص = )س( =

عىل النافذة وكانت تكلفة المتر المربع الواحد منه خمسة

دنانير فما التكلفة الكلية لزجاج النافذة.

: اعتمادا على الشكل المجاور الذي يمثل منحنى 7سؤال

، جد [ 4 ، 0 ]( المعرف على الفترة س) قاالقتران

4

0

. سء ( .س) ق

full mark 200/200§لفصل...full mark 200/200 0798016746 7 ةحفصلا لماكتلا ىلع...

Documents