دودحملا ريغ...
TRANSCRIPT
145
التكامل غير المحدود
،ألصناف عدة من التوابع والتفاضلالمشتقات ،ستمراراال، النهاياتدرسنا في المحاضرات السابقة
لهذه التوابع.التكامل غير المحدد وسندرس في هذه المحاضرة
المعطاة. أما الحساب إن الوظيفة األساسية للحساب التفاضلي تكمن في حساب تفاضل أو مشتق الدالة
التي يطلب تعيينها. F(x)ي لمشتق الدالة المجهولة التكاملي فيحل المسألة المعاكسة للتفاضل وبالتال
)يطلب في كثير من المسائل الهندسية والفيزيائية إيجاد دالة )F x بحيث يكون مشتقها دالة معطاة مثل( )f x .
)على سبيل المثال, لنفرض أن ) dva tdt
وهي تمثل تسارع جسم متحرك في اللحظة دالة معطاةt أي:
( )a t f x والمطلوب إيجاد السرعة اللحظية ( )v t F x أو قانون حركة الجسم:
( ) dvs tdt
)كامل الدالة إن هذه المسألة معاكسة لمسألة اشتقاق دالة وتسمى ت )f xوتتلخص بإيجاد جميع الدوال ,( )F x
)التي مشتق كل منها يساوي الدالة )f x.إن هذا يقودنا إلى تعريف ما يسمى بالدالة األصلية .
:تعريف الدالة األصلية 10.1 -
)لتكن )f x دالة معرفة ومستمرة على المجال[ , ]a b نسمي الدالة .( )F x دالة أصلية للدالة( )f x على
]المجال , ]a b إذا كان مشتق الدالة( )F x هو( )f x:أي أن ،
( ) ( ) ; [ , ] 1
dF xF x f x x a b
dx
) أو ) ( )dF x f x dx
)من الواضح أنه إذا كانت الدالة )F x دالة أصلية للدالة( )f x على المجال[ , ]a b فإن الدالة ،( )F x c هي
)أيضا دالة أصلية للدالة )f x حيث يمثل ،c ثابتا عدديا ما. وذلك ألنه بحسب العالقة 1 :فإن
( ( ) ) ( ) ( ) ( )F x c F x c F x f x
العاشرةالمحاضرة
146
)ومنه نستنتج وجود أسرة من الدوال األصلية للدالة المعطاة )f x، .تختلف عن بعضها البعض بأعداد ثابتة
)1وبالعكس، إذا كان )F x 2و( )F x دالتين أصليتين للدالة( )f x على المجال[ , ]a b فإنهما تختلفان عن ،
]على المجال cبعضيهما بمقدار ثابت , ]a b:أي أن ،
2 1 2( ) ( )F x F x c
في الحقيقة، بحسب العالقة 1 :نكتب
1 2 1 2( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x F x F x F x f x f x
بحيث: cهذا يعني وجود عدد ثابت 1 2( ) ( )F x F x c :أي أن
1 2( ) ( )F x c F x
)الدالة األصلية :(1) مثال )F x لدالة ( ) 2f x x هي:
2 2 2 2( ) 1 4 .............F x x x x x c
)الدالة األصلية )F x لدالة ( ) cosf x x هي ( ) sinF x x الدالة األصليةو( )F x للدالة
1( ) , 0f x x
x هي ( ) lnF x x.
تعريف التكامل غير المحدد10.2 -
)إذا كانت )F x دالة أصلية للدالة( )f x على المجال[ , ]a b فإن التكامل غير المحدد للدالة ،( )f x
)ويرمز له بالرمز )f x dx يعرف بالعالقة:
3 ( ) ( )f x dx F x c (c – )عدد ثابت كيفي.
)نسمي )f x و تكملة،الدالة المس( )f x dx المقدار المستكمل, ويسمىx و متحول التكاملdx .تفاضل التكامل
الخواص األساسية للتكامل غير المحدد: 10.3 -
)بفرض )F x التابع األصلي للدالة ( )f x وc ثابت اختياري , عندئذ لدينا:
1) ( ) ( )cf x dx c f x dx 3) ( ) ( )d f x dx f x dx
1 2 1 22) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x f x dx f x dx f x dx 4) ( ) ( )F x dx F x c
147
األولية، والتي تنتج مباشرة من عملية اشتقاق الدوال سوف نورد في البداية قائمة التكامالت لبعض الدوال
األولية، ويمكن التحقق من صحة كل منها باالشتقاق.
األساسية: جدول التكامالت10.4 -
1
; 11
nn x
x dx c nn
2) 1.dx x c 1)
sin cosxdx x c 4) lndx
x cx
3)
2
tancos
dxx c
x 6) cos sinxdx x c 5)
tan ln cosxdx x c 8) 2
cotsin
dxx c
x 7)
x xe dx e c 10) cot ln sinxdx cx 9)
2 2
1arctan
dx xc
a x a a
12) ln
xx a
a dx ca
11)
13)2
arctan1
dxx c
x
14)
2arcsin
1
dxx c
x
2 2
arcsindx x
caa x
15)
[إلى أحد المجالين xفي الدستور الثالث يمكن أن ينتمي المتحول :مالحظة ,0[ أو]0, [ ولكي تكون ،
0xالدالة المستكملة مستمرة يجب أن يكون .
0xفإذا كان فإنln | | ln( )x x 1، ومشتقها يساويx 0، أما إذا كانx فإنln | | ln( )x x ومشتقها ،
1يساوي x.بهذا الشكل فإن الدستور الثاني يشمل الحالتين .
تكامل غير المحدود طرق حساب ال 10.4 -
الطريقة المباشرة:10.4.1 -
يمكن حساب عدد كبير من التكامالت مباشرة باالعتماد على خواص التكامل غير المحدد، وجدول
التكامالت األساسية. سنورد عددا من األمثلة التي توضح كيفية حساب التكامالت مباشرة.
148
3احسب التكامل: :(2) مثال 2(5 3 2 7)x x x dx
: اعتمادا على الخاصتين األولى والثانية، نكتب:الحل
3 2 3 2
3 2
4 3 2
(5 3 2 7) 5 3 2 7
5 3 2 7
57
4
x x x dx x dx x dx xdx dx
x dx x dx xdx dx
x x x x c
احسب التكامل :(3) مثال2(3cos 4 )xx e dx .
:الحل 2 2 23cos 4 3 cos 4 3sin 2x x xx e dx xdx e dx x e c
لكيفية هو أن نتيجة كل تكامل غير محدد يعطي ثابتا للتكامل، وحيث أن مجموع عدد من الثوابت ا :1مالحظة
في النتيجة النهائية للتكامل. cثابت كيفي، لذا فقد كتبنا ثابتا واحدا
2احسب التكامل :)4(مثال 3(2 )x dx.
:الحل
2 3 2 4 6
2 4 6 3 5 7
(2 ) (8 12 6 )
6 18 12 6 8 4
5 7
x dx x x x dx
dx x dx x dx x dx x x x x c
احسب التكامل :)5(مثال dx
x a.
: بتطبيق الخاصة الثالثة، نجد:الحل
ln | |dx
x a cx a
احسب كل من التكاملين :)6(مثال :
sin ax dx , cos ax dx
:الحل
1 1sin sin ( ) cos ; 0ax dx ax d ax ax c a
a a
1 1cos cos ( ) sin ; 0ax dx ax d ax ax c a
a a
149
احسب التكاملين :)7(مثال 2 2
dx
a x و
2 2
dx
a x:
:الحل
2 2 2
1arcsin
1 xa
dx dx xc
a aa x
2 2 2
1 ( / ) 1arctg
1 ( / )
dx d x a xc
a x a x a a a
sinاحسب التكامل :)8(مثال cosx x dx:
: يمكن حساب هذا التكامل باستخدام دساتير التحويل المثلثية، ويكتب هذا التكامل بالشكل اآلتي:الحل
1 1sin cos sin 2 sin 2 (2 )
2 4
1cos 2
4
x x dx x dx x d x
x c
:بطريقة ثالثةمكن حساب هذا التكامل وي
21sin cos sin (sin ) sin
2x x dx x d x x c
:بطريقة ثالثةوأيضا
21sin cos cos (cos ) cos
2x x dx x d x x c
لتكامل واحد، وهي: (ظاهرا )من المالحظ أننا حصلنا على ثالثة أجوبة مختلفة
1cos 2
4x c ،21
sin2
x c ،21cos
2x c
إال أنه يمكن بسهولة التأكد أن هذه األجوبة تختلف عن بعضها بمقدار ثابت.
5xeاحسب التكامل :)9(مثال dx .
:الحل
5 5 51 1( 5 )
5 5
x x xe dx e d x e c
150
احسب التكامل :)10(مثال 7 2
dx
x .
:الحل
1 7 1ln | 7 2 |
7 2 7 7 2 7
dx dxx c
x x
احسب التكامل : )11(ال مث23 5 1
1
x xdx
x
.
:الحل
223 5 1 9 3
3 8 8 9ln | 1|1 1 2
x xdx x dx x x x c
x x
.
: بشكل عام، إذا كانت الدالة المستكملة كسرية، وفيها البسط هو مشتق للمقام فإن:مالحظة
( )
ln | ( ) |( )
f xdx f x c
f x
tgاحسب التكامل :)12(مثال x dx.
:الحل
sintg ln | cos |
cos
xx dx dx x c
x
احسب التكامل :)13(مثال 2
3
1
3 1
xdx
x x
.
:الحل
2 23
3 3
1 1 3 3 1ln | 3 1|
3 1 3 3 1 3
x xdx dx x x c
x x x x
التكامل بطريقة تغيير المتحول: 10.4.2 -
)ليكن المطلوب حساب التكامل )f x dxنفرض متحوال جديدا ، ولم يكن باإلمكان حسابه مباشرة. ل
( )t g x وتكون الدالة ،( )x t حيث ، ، دالة قابلة لالشتقاق ومستمرة، عندئذ( )dx t dt:وبالتالي ،
( ) [ ( )] ( ) ( )f x dx f t t dt F t c
لتكامل األصلي بالعالقة: وبالتالي، يمكن حساب ا
)4( ( ) [ ( )]f x dx F g x c
151
واألمثلة اآلتية توضح عملية حساب التكامل بطريقة تغيير المتحول.
3cosاحسب التكامل :)14(مثال sinx xdx.
cost: نفرض أن الحل x فيكون ،sindt xdx ،:وبالتعويض في التكامل نجد
43 3cos sin
4
tx xdx t dt c
وبالعودة إلى المتحول األصلي، نجد:
43 cos
cos sin4
xx xdx c
احسب التكامل :)15(مثال ln
dx
x x.
lnt: أيضا ، نفرض هنا الحل x وبالتالي ،/dt dx x:وبالتعويض، نجد ،
ln | | ln | ln |ln
dxt c x c
x x
احسب التكامل :)16(مثال cos(ln )x
dxx.
lnt: نفرض الحل x وبالتالي ،/dt dx x:وبالتعويض، نجد ،
cos sin sin(ln )tdt t c x c
)2احسب التكامل :)17( مثال ) ; 1nax b xdx n :
2t: نفرض الحل ax b 2، وبالتاليdt axdx:وبالتعويض، نجد ،
2 1
2 1
1 1( )
2 2 ( 1)
1( )
2 ( 1)
n n n
n
ax b xdx t dt t ca a n
ax b ca n
احسب التكامل : )18(مثال 2
34 2
x dx
x :
3: نفرض الحل 2t x 23، وبالتاليdt x dx:وبالتعويض، نجد ،
152
21/ 4 3/ 4
434
1 1 4
3 3 92
x dx dtt dt t c
tx
وبالعودة إلى المتحول األصلي، نجد:
23 34
34
4( 2)
92
x dxx c
x
sin(3 احسب التكامل :)19(مثال 1)x dx.
3: نفرض أن الحل 1t x ، 1فيكون3
dx dt:وبالتعويض، نجد ،
1 1sin(3 1) sin cos
3 3x dx tdt t c
، نجد:xوبالعودة إلى المتحول األصل
1sin(3 1) cos(3 1)
3x dx x c
احسب التكامل :)20(مثال 2 2cos ( 1)
xdx
x .
2: نفرض أن الحل 1t x 2، فيكونdt xdx،نجد: ، وبالتعويض في التكامل
2
2 2 2
1 1 1tg tg ( 1)
cos ( 1) 2 cos 2 2
xdx dtt c x c
x t
احسب التكامل :)21(مثال ln(ln )
ln
xI dx
x x .
lnt: نفرض أن الحل x ،عندئٍذ ،/dt dx x:وبالتالي .
ln(ln ) ln
ln
x tI dx dt
x x t
وبتغير المتحول مرة أخرى، فنفرض:
lndt
u t dut
وبالتعويض، نجد:
2ln 1
2
tI dt udu u c
t
153
، نجد:tو بالعودة إلى المتحول
21ln
2I t c
21 ، نجد:xومن ثم بالعودة إلى المتحول (ln(ln ))
2I x c
ln(lnوأيضا نشير إلى أنه من الممكن مباشرة فرض )t x .لحساب التكامل المعطى
- 10.4.3 ً :التكامل بطريقة التجزئة -ثالثا
)لتكن الدالتين )u x و( )v x فاضل جداء دالتين، نكتب:قابلتين للمفاضلة على مجال ما. فحسب قاعدة ن
( )d u v udv vdu :وبالتالي
( )udv d u v vdu
بمكاملة طرفي العالقة األخيرة، نجد:
( )udv d u v vdu
udv )5( أو u v vdu
تسمى العالقة األخيرة دستور التكامل بالتجزئة.
lnxحسب التكاملا :)22( مثال x dx.
lnu: نفرض أن الحل x وdv xdx ومنه ،/du dx x 2و / 2v x عندئٍذ، بالتعويض في عبارة .
التكامل بالتجزئة، نجد:
2 2 21ln ln ln
2 2 2 4
x x xx x dx x xdx x c
arctgاحسب التكامل: :)23(ال مث xdx.
arctgu : نفرض أن:الحل x وdv dx :فيكون
21
dxdu
x
v و x
بتطبيق دستور التكامل بالتجزئة،
نجد:
154
2
2
arctg arctg1
1arctg ln(1 )
2
xdxx dx x x
x
x x x c
ارة إلى أنه يتطلب أحيانا التكامل بالتجزئة مرات متتالية، والمثال اآلتي يوّضح ذلك:تجدر اإلش
:احسب التكامل :)24(مثال
3( 1)sin 2x x dx.
: نفرض أن:الحل3 1u x وsin 2dv xdx
ومنه: 23du x dx 1و
2cos2v x
3 )1(وبالتالي: 3 21 3( 1)sin 2 ( 1)cos 2 cos 2
2 2x x dx x x x xdx
نكامل األخير بالتجزئة أيضا ، فنفرض من جديد:2u x وcos2dv xdx
:ومنـه2u xdx و
12sin 2v x،
)2( وبالتالي:
2 21cos 2 sin 2 sin 2
2x x dx x x x xdx
u كذلك نحسب التكامل األخير بالتجزئة، فنفرض: x وsin 2dv xdx
du ومنه dx و12cos2v x ،
وبالتالي:
1 1sin 2 cos 2 cos 2
2 2x x dx x x xdx
)3( 1 1
cos 2 sin 22 4
x x x
2 ، فيكون:)2(نعوض الناتج في 21 1 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
2 2 4x x dx x x x x x
، فنجد:(1)نعوض الناتج أيضا في
155
23 31 3 cos 2 sin 2
( 1)sin 2 ( 1)cos 2 sin 22 2 2 2 4
x x x xx x dx x x x c
لنبين بعض أشكال التكامالت التي تتم مكاملتها بطريقة التجزئة، ولنحاول تصنيفها بنماذج مختلفة نبين فيها كيفية
تسهيال لعملية التكامل: dvو uاختيار
:التكامالت من الشكل
( ) cos , ( )sin , ( ) axp x ax dx p x ax dx p x e dx
)حيث )p x كثيرة حدود للمتحولx، وa .ثابت ما
)يجب هنا اختيار )u p x وكل من ،cos ax dx ،sin ax dx وaxe dx يجب اختيارهdv.
:التكامالت من الشكل
( ) arcsin , ( ) arccos , ( ) arctgp x x dx p x x dx p x x dx
( ) arcctg , ( ) lnnp x x dx p x x dx
)في هذه الحالة نفرض )dv p x dx وكل من ،arcsin x ،arccos x ،arctg x ،arcctg x وlnn x فجيب
.uاختباره
:من التكامالت التي يجب إجراؤها بالتجزئة مرتين متتاليتين، نذكر التكاملين اآلتيين
1 2cos , sin ,ax axI e bx dx I e bx dx
axdvنفرض أن e dx وcosu bx 1في عبارةI:ومنه ،
1 axv ea
و sindu b bxdx
نطبق دستور التكامل بالتجزئة، نجد:
1 2
1cosax b
I e bx Ia a
156
وبالمثل، نجد:
2 1
1sinax b
I e bx Ia a
نعوض العالقة الثانية في األولى 1I. فإذا أردنا حساب 2Iو 1Iهما بهذا الشكل حصلنا على معادلتين بمجهولين،
نعوض العالقة األولى في الثانية. 2Iوإذا أردنا حساب
سنورد عددا من األمثلة التي توضح ما سبق.
sinxاحسب التكامل: :)52(مثال x dx.
u : نفرض أن:الحل x وsindv xdx
ومنه:
du dx وcosv x بتطبيق دستور التكامل بالتجزئة، نجد:و
sin cos cos cos sinx x dx x x xdx x x x c
3التكامل:احسب :)26(مثال lnx x dx.
: نفرض هنا أن:الحل
ln ,dx
u x dux
3 41,
4dv x dx v x
وباستخدام دستور التكامل بالتجزئة، نجد:
3 4 3 4 41 1 1 1ln ln ln
4 4 4 16x x dx x x x dx x x x c
arcsinاحسب التكامل :)27(مثال x dx.
arcsinuهنا أن: : نفرضالحل x وdv dx:ومنه ،
2,
1
dxv x du
x
عندئذ، بالتعويض في عبارة التكامل بالتجزئة، نجد:
2
2arcsin arcsin arcsin 1
1
xdxx dx x x x x x c
x
cosاحسب التكامل :)28(مثال 2xI e x dx .
157
xu: نفرض أن الحل e وcos2dv x dx:ومنه ،
12sin 2 , xv x du e dx
بتطبيق دستور التكامل بالتجزئة، نجد:
)1( 1 1
sin 2 sin 22 2
x xI e x e x dx
sin لنحسب التكامل األخير بالتجزئة أيضا، فنفرض: 2 , xdv xdx u e
12cos 2 , xv dx du e dx :وبالتالي
1 1 1 1sin 2 cos2 cos2 cos2
2 2 2 2
x x x xe x dx e x e x dx e x I
، فنجد:)1(نعوض في
1 1 1 1sin 2 cos 2
2 2 2 2
x xI e x e x I
ومنه:
2sin 2 cos 25
xeI x x c
cos(lnاحسب التكامل: :)29(مثال )I x dx .
cos(lnالحل: نفرض أن )u x وdv dx:ومنه ،
, sin(ln )dx
v x du xx
عندئذ، بالتعويض في عبارة التكامل التجزئة، نجد:
)2( cos (ln ) sin (ln )I x x x dx
نحسب التكامل األخير بالتجزئة أيضا:
1 sin (ln )I x dx
sinنفرض أن (ln )u x وdv dx:ومنه ،
, cos (ln )dx
v x du xx
وبالتالي: 1 .sin(ln ) cos ln .sin lnI x x x dx x x I
158
، فنجد:)2(نعوض في
cos (ln ) sin (ln )
cos (ln ) sin (ln )2
I x x x x I
xI x x c
تمارين غير محلولة10.5 -
احسب التكامالت اآلتية بالطريقة المباشرة: (1
1
0 1 1( )n n
n na x a x a x a dx
, 4(1 )x dx ,dx
x a , cos ax dx ,
2 lnx xe dx
, ,
2( 1)( 1)x x
x
e edx
e
,
2
61
x dx
x ,
21
xdx
x , cot gxdx.
2)
احسب التكامالت اآلتية بطريقة تغيير المتحول.
312 2 3
4 3
2 2
1) (2 20) , 2) , 3) ,4) . 4 31 2 5
25) , 6) , 7) , 8)
(1 ) ln ln(ln )1 4 1
x
x x
xdx dxx dx x x dx
x x
dx dx dx dx
x x x xe
a) :احسب التكامالت اآلتية بطرية التجزئة
3 2 2 3
3 2
1) arctg , 2) (2 2 5) , 3) ( 1)sin 2 ,
ln(ln )4) ln , 5) , 6) sin 2
x
x
x xdx x x x e dx x xdx
xx xdx dx e xdx
x
159
إضافـات مـدرس المقـرر
160