1

1

Física 3 – ECyT – UNSAM2015

Introducción al electromagnetismoDocentes:Diego RubíSalvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clases 4

Potencial Eléctrico

2

Trabajo para mover una carga

∫∫ −==

2

1

2

1

2,1.. ldEqldFWrrrr

∫−=≡

2

1

2,1

12. ldE

q

WV

rr

Diferencia de Potencial= Trabajo por unidad de carga

Eqr

.Eqr

.Eqr

.

F F F1 2

3

Trabajo para mover una carga

Eqr

.Eqr

.Eqr

.

F F F

lEqWrr

∆=∆ ..

Potencial= Trabajo por unidad de carga

lEq

WV

rr∆−=

∆=∆ .

xEVx

∆−=∆ . x

VE

x ∂

∂−=

y

VE

y ∂

∂−=

z

VE

z ∂

∂−=

max

∂

∂−=

l

VE VE ∇−=

rr

2

4

Trabajo para mover una carga

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinito

y

VE

y ∂

∂−=

z

VE

z ∂

∂−=

VE ∇−=rr

x

VE

x ∂

∂−=

∫−=≡

2

1

2,1

12. ldE

q

WV

rr

Si conocemos el potencial, podemos calcular el campo y si sabemos el campo, podemos calcular el potencial

5

Carga Puntual

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=

rr

∫−=≡

2

1

2,1

12. ldE

q

WV

rr

2

04

1

r

QE

πε=

=∆12

V

=−=−=−=∆ ∫∫∫2

1

2

1

2

0

2

1

124

r

r

r

rr

drQdrErdEV

πε

rr

−=−=∆

210

1212

11

4

1

rrVVV

πε

∞−=−=

11

4 20

122r

QVVV

πε

6

Potencial

� En general:

� El trabajo para mover una carga de 1 a 2 no depende del camino.

� La fuerza eléctrica (el potencial electrico) es conservativo

0.1,1

=−=∆ ∫C ldEWrr

3

7

Carga Puntual

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=

rr

∫−=≡

2

1

2,1

12. ldE

q

WV

rr

2

0

1

4

1

rE

πε=

No se puede mostrar la imagen en este momento.

r

QrV

04

1)(

πε=

∫∫∫=v r

dqrV

04

1)(

πεPor el teorema de superposición

rr

rdqkr

r

qkE

eii

i

i

e

rr

r∫∑ ⋅==

→

3

)(3 SUMA

VECTORIAL

SUMA Escalar

8

Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y

trayectoria no rectilínea

Debemos dividir la trayectoria

en pequeños desplazamientosinfinitesimales, de forma que

∫∫ ⋅−=⋅=B

Ao

B

A ext

ext

ABrdEqrdFWrrrr

∫ ⋅−==−B

Ao

ext

AB

ABrdE

q

WVV

rrEl potencial en este caso

será

B

AEr

Fr

rdr

Eqor

qo

9

Dipolo en campo Uniforme

-

+d

q

F=q.E θθτ senEdqsendF ..... == Eprrr

×=τ

θθθθ dsenEdqdsendFdW ⋅=⋅= .....

EpUrr

.)( =θ)(cos.. θdEpdW −=

EErF

r

Fr θ

θ

U

0 180º

Er

4

10

DÍPOLO ELÉCTRICOEs un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia

Momento dipolar

Energía de un dipolo eléctrico

Trabajo necesario para girarlo en

contra de un campo eléctrico

Dipolo en un campo eléctrico uniforme

Eprrr

×=τ

EpUrr

⋅−=

11

Polarización Eléctrica

� Cuando se coloca una carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo

� Se rompe la simetría original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva introducida. Ep

rr⋅= α α= Polarizabilidad

12

Dipolos

� Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado.

� Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo.

� Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.

� Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos.

5

13

POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

�Para una distribución discreta de cargas

∑ ∑==n n n

n

n r

qVV

04

1

πε

�Para una distribución continua de cargas

⇔

�Ley de Gauss

∫ ∫==r

dqdVV

oπε4

1

netaS

QSdE =⋅∫rr

0εEn un dado problema, ¿qué ley uso o qué calculo primero, el campo E o el potencial V(r)?

VE ∇−=rr

∫∞

−=r

ldErVrr

.)(

14

Cascarón Esférico hueco

=

0

)(2

r

Qk

rE eR

Q

r ≥ R

r ≤ R

E(r)

Hay simetría ���� Ley de Gauss

Primero el campo E

15

Potencial eléctrico

en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga.

Cascarón Esférico hueco

=

R

Qk

r

Qk

rV

e

e

)(

r ≥ R

∫∞−=r

drrErV ').'()(

=

0

)(2

r

Qk

rE e

r ≤ R

Después el potencial

6

16

Recordando la definición de

momento dipolar eléctricoqap ⋅= 2

22

ˆ.

4

1 cos

4

1

r

rp

r

pV

oo

r

πε

θ

πε=

⋅=

�V = 0 para α = 90º

No se requiere trabajo para llevaruna carga de prueba desde elinfinito hasta el dipolo a lo largode la línea perpendicular al puntomedio entre las dos cargas.

Dipolo - +

2a

P=2a.q-q q

- +

rθ

r1r1

rarrvr

+=1 θcos2

222

1⋅⋅−+= rarar

)cos)/(1(1

θ⋅−≈ rarr

)cos)/(1(2

θ⋅+≈ rarr

No hay simetría – Primero V(r)

17

Campo creado por un dipolo

� Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( d = 2a ).

� Aproximación r>> l

- +-a a

rr-a

r+a

)()(33

arar

qkar

ar

qkE

rrrr

rrrr

r+

+

−+−

−=

dqprr

= Momento dipolar - +

−

⋅=

⋅∇−=∇−= p

r

r

r

rp

r

k

r

pkVE

rrrr

rrr )(3

cos32

θ

X

Z

Y

dr

18

CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO

Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas

libres que pueden moverse en su interior.

Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su cargalibre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En

estas condiciones se dice que el conductor está en EquilibrioElectrostático (E’ = Eo).

+++++++++++++ oE

r

'Er

Cualquier exceso de carga se colocará enla superficie del conductor, ya que el campoeléctrico externo no es lo suficientementeintenso como para vencer las fuerzas deligadura.

7

19

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

I

Toda la carga libre de un conductor se coloca en su

superficie.

Dado un conductor, supongamos unasuperficie gaussiana justo en el interior dela superficie del conductor. Como E =0dentro del conductor, también será nuloen todos los puntos de la superficiegaussiana. Por lo tanto el flujo a través dela superficie del conductor es cero.

Por el Teorema de Gauss

o

q

ε=Φ int

Como 0=Φ 0int =q

Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor

Conductor

20

El campo eléctrico en la superficie del conductor es

perpendicular a dicha superficie y valeoε

σ

Para hallar el campo eléctrico en lasuperficie del conductor consideremosun elemento infinitesimal plano, con

densidad superficial de carga σ. Comosuperficie gaussiana tomamos uncilindro con una cara en el exterior yotra en el interior del conductor

Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficiedebe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través dela cara superior.

o

intqs

ε==⋅=Φ ∫ EsdE

rr

s q σ=into

Eε

σ=

Er

21

Distribución esférica, r ≥R

Distribución uniforme, r ≤R

2

04

1

r

QE

πε=

3

04

1

R

rQE

⋅=

πε

Esfera cargada

R

E(r)

8

22

Distribución esférica, r ≥R

Carga uniforme, campo r ≤R

2

04

1

r

QE

πε=

3

04

1

R

rQE

⋅=

πε

Esfera cargada

r

QrV

04

1)(

πε=

)(2

1

4

1)(

3

2

0

RVR

rQrV +

⋅−=

πε

−=

2

2

0 22

3

4

1)(

R

r

R

QrV

πεR

23

Ejercicio: Ley de Gauss:

Cascarón Esférico

Calcular Campo y Potencial en todo el espacio

R1 R2

r

24

2

04

1

r

qE

πε=

Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:

Para r ＜ R2

0=EEntre a r ＜ R2

Para r >R1

rrr

E0

3

2

033

4

4

1

ε

ρπρ

πε==

)(433

2

3

1RRq −= πρ

9

25

Electrostática

Campo electrostático y potencial

26

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un

campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. Eltrabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo,una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneasserá

En términos de incrementos

rEVrr

∆⋅−=∆E alar perpendicu rr

r∆ 0=∆V V constante

E a paralelo rr

r∆ Variación máxima de

potencial

27

Superficies equipotenciales

Es el lugar geométrico de todos los puntos que se

encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición deencontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico

El trabajo desarrollado para mover una partícula de un

punto A a otro punto B a lo largo de una superficieequipotencial es nulo, ya que

o

ABAB

q

WVV =−

A lo largo de una

superficie equipotencial

BA VV = 0=ABW

10

28

Ejemplos de superficies equipotenciales

29

Conductor en un campo eléctrico

� El campo interior siempre es nulo.

� Deforma las líneas de campo exterior.

� Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.

� Sobre la superficie del conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie

30

Potencial eléctrico

� La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.

� Por ser conservativa

� Potencial eléctrico

� Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctrico

� Unidades : el Voltio

)()( rEqrFrr

= )(rUFrrr

∇−=

q

UV =

Energía potencial

Carga

)(rVErrr

∇−=

[ ] [ ]CJVV /==

Se puede elegir el origen de potencial

11

31

Superficies equipotenciales

�El potencial es constante en todos sus puntos.

�El vector gradiente�es ortogonal a S.

�El gradiente va de �menores a mayores �valores de V.

1U

ctezyxV =),,(

V0

V1

V2

VN

0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrErrrr

ij

ij

VV

VVrVrE

>

<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(rrrr

Vectores campo eléctrico

32

Superficies equipotenciales

Campo producido por un dipolo

Campo producido por una carga puntual

Campo uniforme

Superficie equipotencial Campo eléctrico

33

Referencias� Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.

Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992).� Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed.

CENGAGE LEARNING- Mexico 2003 � Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley

Longman, México D.F., 1999). � G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. � Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México,

1997.� Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill

México, 1996� http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html

� http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/

12

34

Problema 1� Calcular Campo y Potencial para:� Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del

problema)

+Q

a

b

ra b

r

E

V(r)a b

Dentro del conductor E=0

+

+

+

+

+

++

+

+

+-

-

-

-

-

-

-

-

-

35

Problema 2

[ ]

−≈+=

−

2

22/122

42

11

1)2/(

1

x

d

xdx

r

-2Q

+Q

+Q

d/2

d/2

r

x

E

−=+

−=

xrkQ

r

Qk

x

QkxV

1122

2)(

222 )2/(dxr +=

2

2

2

2

8

1

42

11

111

x

d

xx

d

xxr−=−

−=≈−

3

2

82)(

x

QdkxV −=

4

2

43)(

x

QdkxE −=

36

Problema 3

13

37

38

Agradecimiento

Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas de:

� Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina

� Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile

� Ángel López

FIN