física 2serie de masas unidas entre si, formando una red elástica, es decir, un sistema de...

Profesor: Ignacio J. GeneralEscuela de Ciencia y Tecnología

UNSAM

Física 2Física 2

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Física 2Física 2

Movimiento Armónico SimpleMovimiento Armónico SimpleAmortiguación y ResonanciaAmortiguación y Resonancia

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Movimiento armónico simpleOscilador (resorte):

Ecuación de movimiento:

Soluciones de la ecuación:

F elastica=−kx

x (cm)0 x

∑i F i=ma ⇒ −kx=md2 xdt 2

⇒ d2 x

dt 2+ω0

2 x=0 (ω0=√k /m)

k = constante elástica del resorte

(frecuencia angular)

T= 2πω0 =2π √m/k

ω0=√k /m

(período)

x (t)=A cos(ω0 t+ϕ) (Φ = fase)

v(t )=−Bω0 sin(ω0 t+ϕ)

a(t)=−C ω02 cos(ω0 t+ϕ)

posi

ción

velo

cida

dac

eler

ació

n

0 xm

A B C

A

B

C

-xm

f =ω0/2π (frecuencia)

Física 2 – Ondas, óptica y electromagnetismo – UNSAM

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Movimiento armónico simpleOscilador (péndulo):

Ecuación de movimiento en dirección tangencial (aproximando sen(θ) ~ θ):

Por lo tanto, las soluciones son las mismas:

F g=mg

−mg sen(θ)=m L d2θ

dt2⇒ d

2θdt2

+ gL

θ=0 ⇒ d2θ

dt2+ω0

2θ=0 (ω0=√g /L)

(frecuencia angular)

T= 2πω0 =2π √L/g

ω0=√g/L

(período)

f =ω0/2π (frecuencia)


θ F gF g , radial

F g , tangencial

θ

Esta es la misma ecuación que para el resorte (ambas tienen una fuerza restaurativa)

L (longitud)T (tensión de la cuerda)

θ(t )=A cos(ω0 t+ϕ)

v(t )=−Bω0 sin(ω0 t+ϕ)

a(t)=−C ω02 cos(ω0 t+ϕ)

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Movimiento armónico simple amortiguadoSe agrega una fuerza disipativa que amortigua el movimiento (más real):


Soluciones de la ecuación:

F elastica=−kx

x (cm)0 x

−kx−bv=m d2 x

dt 2⇒ d

2 xdt 2

+γ dxdt

+ω02 x=0

Fdis, cuando es causada por la resistencia de un medio, es proporcional a la velocidad y se aplica en sentido contrario a ella.

x (t)=A 0 e−γ t /2 cos(ω t+ϕ)

F dis=−bv

ω0=√k /mγ=b /m

ω=√ω02− γ24 =√ km− b24 m2Asumimos que ω es real

Grafico de oscilación subamortiguada por: StarLight [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]

Oscilación subamortiguadaOscilación subamortiguadaω0

2 > γ2/4

La oscilación decae exponencialmente con t.


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Movimiento armónico simple amortiguadoEnergía en la oscilación subamortiguada:

La energía total en el MAS es, en términos de la amplitud de la oscilación:

(¿por qué?)(¿por qué?)

En el caso subamortiguado, la amplitud decae exponencialmente, ,

por lo que tendremos: o

La energía de la oscilación subamortiguada decae exponencialmente con el tiempo. Esto era de esperar, ya que el sistema se mueve bajo una fuerza disipativa.

E=12

k A2

A (t )=A0 e−γ t /2

E(t)=12

k A02 e−γ t E(t)=E0 e

−γ t


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Movimiento armónico simple amortiguado

PREGUNTA: PREGUNTA: ¿Depende el período del movimiento subamortiguado del tiempo?


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Movimiento armónico simple amortiguado

PREGUNTA:PREGUNTA: ¿Depende el período del movimiento subamortiguado del tiempo?

RESPUESTA:RESPUESTA: No.

T= 2πω


El período tiene que ver con la periodicidad del coseno, la cual viene dada por ω:

ω=√ km− b24 m2


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Movimiento armónico simple amortiguado¿Y si la amortiguación es muy grande? → SobreamortiguamientoSobreamortiguamiento

Habíamos visto que la solución del oscilador amortiguado era:

donde:

Si ω02 > γ2/4, teníamos el caso subamortiguado. Si ahora ω0

2 < γ2/4, o sea, mayor amortiguación, ω se convierte en imaginaria. Pero el coseno de algo imaginario es una exponencial real, por lo que el movimiento deja de ser oscilatorio.

La solución es:

ω=√ω02− γ24


x (t)=A 1 e−(γ /2+β) t+ A2 e

−(γ/2−β) t

ω=iβ β=√ γ24 −ω02=√ b24 m2− km


cos(θ)= 12

(e iθ+e−iθ )

sin (θ)= 12 i

(eiθ−e−iθ )

La disipación es suficientemente grande como La disipación es suficientemente grande como para evitar que el sistema oscile siquiera una vezpara evitar que el sistema oscile siquiera una vez

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Movimiento armónico simple amortiguado¿Y el caso intermedio, donde ω0

2 = γ2/4?

Este es el caso de amortiguamiento críticoamortiguamiento crítico, y se puede probar que la solución es:

x (t)=( A+Bt )e−γ t /2

Nmnogueira at en.wikipedia [CC BY-SA 2.5 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5)]

no amortiguado

subamortiguado

amortiguación critica

sobreamortiguado


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Movimiento armónico simple forzadoSi se quiere obtener un movimiento oscilatorio que no se detenga, hay que suministrar una fuerza externa para compensar la disipación → Movimiento armónico forzadoMovimiento armónico forzado


Como un término depende explícitamente de t, la solución no es tan simple. Pero se puede encontrar que ciertas soluciones cumplen la siguiente relación para su amplitud:

F elastica=−kx

x (cm)0 x

F0 cos(ωext t )−kx−bv=md2 xdt2

⇒ d2 x

dt 2+γ dx

dt+ω0

2 x=F0 cos(ωext t)

La fuerza externa suministra la energía disipada, de manera que la energía total se mantiene constante

F dis=−bv

ω0=√k /mγ=b /m

F externa=F 0 cos(ωext t)

A=F0/m

√(ω02−ωext2 )2+(γωext)2

Geek3 [CC BY 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)]

A

ωext/ω0


D es γ, el factor de amortiguamiento.Cuando es muy bajo, el sistema entra en resonanciaresonancia

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Movimiento armónico simple forzado

Cuando ωext ~ ω0 las dos fuerzas (la oscilación natural y la forzada) actúan de manera coordinada, por lo que su intensidad se suma.

Al tener valores muy distintos, las fuerzas actúan descoordinadas: algunas veces ambas empujan para el mismo lado, otras veces lo hacen en direcciones opuestas, por lo que en promedio se cancelan (por ejemplo, ver ωext/ω0 = 3 en la figura).

A

ωext/ω0


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Ejemplos de resonanciaEjemplos de resonancia

By Acs272 - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=75907306

Hamacas:Hamacas: dejadas a oscilar libremente, sus oscilaciones disminuyen de amplitud hasta pararse por efecto de la resistencia del aire. Si le aplicamos repetidamente una fuerza en instantes precisos (frecuencia cercana a su frecuencia cercana a su frecuencia naturalfrecuencia natural), conseguimos que las oscilaciones sean cada vez más amplias.

Cantante rompiendo una copa con su voz:Cantante rompiendo una copa con su voz: La frecuencia de un soprano puede alcanzar la frecuencia natural del cristal de una copa, causando su quiebre. Las fotos muestran este efecto, cuando el sonido fue emitido por un altavoz.

Microondas:Microondas: La frecuencia de las microondas de un horno tiene la frecuencia natural de oscilación de las moléculas de agua, por lo que hace que ellas oscilen muy fuertemente, así subiendo su temperatura.


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Puentes:Puentes: El Tacoma Narrows Bridge era un puente en Estados Unidos que colapsó en 1940, cuatro meses después de haber sido abierto. Vientos de unas 40 millas por hora (64 km/h) hicieron que el puente empiece a torcerse en torno a un eje a lo largo de su extensión, hasta que la estructura cedió. Se cree que el colapso se debió a que la frecuencia del viento coincidió con la de la estructura, causando el efecto de resonancia. By Source, Fair use,

https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=17357547

Screenshot taken from 16MM Kodachrome motion picture film by Barney Elliott.

Hay discusiones sobre si la resonancia con el viento fue la verdadera causa del colapso del puente.


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Técnicas biofísicas:Técnicas biofísicas: Existen varias técnicas experimentales que usan la respuesta resonante de sistemas atómicos o nucleares para generar imágenes de muestras biológicas: ● Resonancia magnética nuclear (RMN)● Resonancia de espín electrónico (o resonancia paramagnética electrónica)

Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=63042


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Osciladores acoplados

Ejemplos de osciladores acoplados:Ejemplos de osciladores acoplados:

● Los osciladores se llaman acoplados si están conectados entre si, es decir, sus movimientos no son independientes.

● Se pueden acoplar distintas masas, como en las figuras de arriba, o se pueden acoplar distintos modos de movimiento de una misma masa (ej. péndulo de Wilberforce)

● Los osciladores (o sus modos) intercambian energía entre ellos.


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Péndulo de WilberforcePéndulo de Wilberforce: tiene dos modos de oscilación, traslacional y rotacional

● La oscilación vertical se amortigua, mientras la rotación se incrementa.

● El proceso se repite cada ~ 30 s.

● La energía asociada a un modo de movimiento es transferida al otro.

● La disipación es despreciable.

● Para obtener este efecto, las frecuencias de las dos oscilaciones deben ser muy cercanas.


Péndulo: By Petteri Aimonen - Own work, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8095309Graficos: https://www.lepla.edu.pl/en/index.php

ángu

loal

tura

(m

)

Rotación

Traslación

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8095309

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Modos NormalesModos Normales: son aquellos modos de movimiento en el que todos los componentes del sistema (átomos, moléculas, aminoácidos, bloques) se mueven con la misma frecuencia.


http://dx.doi.org/10.1016/j.jmb.2017.06.011

ω1 ω2 ω3

3 masas con movimiento lineal tienen 3 modos de movimiento,cada uno con su frecuencia natural:

Aplicación:

Una proteína puede ser analizada como si fuera un sistema de masas unidas por resortes. El cálculo de sus modos normales permite predecir, entre otras cosas, sus cambios conformacionales.

Ejemplo) IFNAR1 (receptor de interferón tipo 1): Ejemplo) IFNAR1 (receptor de interferón tipo 1): Estudiando los modos normales de este receptor se puede predecir la forma en que el sistema se curva para pasar de un estado ligado al interferón, a uno no ligado.

sitio de ligamiento

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Osciladores acoplados● La transferencia de energía entre osciladores permite crear ondasondas.

● Si el medio es no disipativo, entonces la onda será permanente.

● Cualquier medio macroscópico sólido o semi-sólido puede ser modelado como una serie de masas unidas entre si, formando una red elástica, es decir, un sistema de osciladores acoplados. El estudio de sus modos normales permite entender como se propagan las señales (ondas) en dicho medio.

● Entonces, las ondas son fenómenos de transferencia de energíaondas son fenómenos de transferencia de energía, no de materia.


t

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