8/18/2019 Freq_14_10

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Departamento de Matem´ atica da Universidade de Coimbra

Análise Matem ática III

M.I. Engenharia Mec ânica e L. em Engenharia e Gest˜ao Industrial

1a Frequência – 1h30m 14/10/2015

A resolução completa de cada exerćıcio inclui a justica¸cão do racioćınio e a apresenta¸cão doscálculos efectuados.

1. Calcule o integral duplo D

1y3

dA , onde D = {(x, y ) ∈R 2 : 1 ≤ y ≤ 3 e 1 ≤ x ≤ y}.

2. Esboce a região de integra ção e inverta a ordem de integra¸cão do integral iterado

1

0

√ x

−√ xf (x, y )dy dx +

4

1

2−x

−√ xf (x, y )dy dx.

3. Estabele ça um integral duplo iterado, em coordenadas polares, que permita calcular o valor do

integral D 1 x 2 + y2dA , onde

D = {(x, y ) ∈R 2 : y ≥ 0, x 2 + y2 ≥ 1 e y ≤ x ≤ 3}.

4. Considere o sólido E no primeiro octante limitado pelo paraboloide eĺıptico z = 1 − x 2 − y2 .

(a) Descreva o s ólido E em coordenadas ciĺındricas.

(b) Determine o valor do integral triplo E

(x 3 + xy 2 ) dxdydz .

5. Considere o sólido E , de densidade ϕ(x,y,z ) = z , descrito, em coordenadas esféricas, por

E ∗ = (ρ,θ,φ ) : 0 ≤ ρ ≤ 2, − π ≤ θ ≤ π e 0 ≤ φ ≤ π4

.

Esboce o sólido e estabeleça um integral triplo iterado que permita calcular a sua massa.

• Cota ção: 1: 1.0 2: 1.25 3: 1.0 4: 1.5 5: 1.25

• Tabela de primitivas:Fun ção f f n (n = − 1) ef f f /f f cos f f sin f

Primitiva f n +1

n +1 ef ln |f | sin f − cos f .

• Igualdades trigonométricas: cos 2 x = 1 + cos(2x)

2 sin2 x =

1 − cos(2x)2

.