föreläsning 5: geometri¶reläsning 5 matematik 1.pdfcylinder. kon. klot. 13. avbildningar....
TRANSCRIPT
![Page 1: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/1.jpg)
Föreläsning 5: Geometri•Geometri i skolan•Grundläggande begrepp•Former i omvärlden•Plangeometriska figurer•Symmetri och tessellering•Tredimensionell geometri och geometriska kroppar•Omkrets, area, volym •Längdskala•(enheter och enhetsomvandlingar)
![Page 2: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/2.jpg)
”GEOMETRI” från grekiska: geo = "jord", metria = "mäta")
3-K: Kultur
Kommunikation Kreativitet
Varför undervisar vi i geometri?
![Page 3: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/3.jpg)
Geometri, kultur och kommunikation: Med vilka former konstruerar människan sin fysiska värld? Med vilka begrepp kan den fysiska världens former beskrivas? Vilka är relationerna mellan begreppen?
![Page 4: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/6.jpg)
Bron mellan Replot och fastlandet
![Page 7: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/7.jpg)
Bro över Zambezi-floden
![Page 8: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/8.jpg)
Cameroon, västra Central-Afrika
![Page 9: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/9.jpg)
Rätblock
Kvadrat
Rektangel
Cirkel
Cylinder
Former i vardagen
![Page 10: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/10.jpg)
Former i naturen?
![Page 11: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/13.jpg)
A. Plangeometri (planimetri)
Behandlar geometriska egenskaper hos figurer i två dimensioner dvs. i ett plan
1. Punkt, sträcka, linje, stråle, normal
2. Polygoner (månghörningar); Omkrets. Area.
3. Vinklar; Bisektris. Vinkelsumma i triangel och fyrhörning
4. Cirkeln; radie, diameter, omkrets (periferi), korda, medelpunkt, tangent, sekant, sektor
![Page 14: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/14.jpg)
5. Kongruens. Avbildning.
6. Symmetri. Mönster. Tessellering.
7. Koordinatsystem. Koordinataxlar. Spegling i axlar. Koordinater.
8. Likformighet; Skala (längdskala)
9. Omkrets och area av oregelbundna figurer
![Page 15: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/15.jpg)
5. Kongruens och avbildning
I kongruenta figurer är sträckor, areor och vinklar lika stora. De har samma form (likformiga) och samma storlek .
Avbildning (ändring) i skala 1:1 ger kongruenta figurer (symmetriska)
- spegling i linje och i punkt- vridning- parallellförskjutning
![Page 16: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/16.jpg)
Spegling i en linje (reflektion)Motsvarande punkters vinkelräta avstånd till linjen är lika
Vridning (rotation) kring en punkt
Alla punkter i figuren vrids lika mycket runt en fixpunkt
fixpunkt
Spegling i en punkt dåvridningen är 180°
![Page 17: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/17.jpg)
Parallellförskjutning (translation): Alla punkter i figuren flyttas lika långt i samma riktning
![Page 18: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/18.jpg)
6. Symmetri. Mönster. Tessellering
Mönster med symmetri är upprepning av kongruenta figurer, bilden kan inte urskiljas från originalet.
Höger och vänster halva är varandras spegelbilder
TesselleringNär samma figur upprepas så att ett heltäckande mönster bildas. Figuren tessellerar.
(Jämför: Palindromiska tal ex. 1991; palindromiska ord och texter ex. oro)
Symmetrilinjer
![Page 19: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/19.jpg)
Exempel på tesselleringar:
4* 90° = 360°6*60°=360°
3*120°=360°Vid plana tesselleringar 360° i mötespunkterna
![Page 20: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/20.jpg)
Tessellering med en sk pentomino-bit
![Page 21: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/21.jpg)
Arabiskt mönster
![Page 22: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/22.jpg)
Escher 1
![Page 23: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/23.jpg)
Escher 2
![Page 24: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/24.jpg)
Escher 3
![Page 25: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/26.jpg)
8. Likformighet och skala
Längdskala. Kartskalor
Förstoring. Förminskning
Rita i skala. Figurerna likformiga: har samma form
![Page 27: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/27.jpg)
Orienteringskartans skala 1 : 15 000
1cm ? 7 cm? i verkligheten? Hur lång är banan fågel-vägen?
12
3
Sträckan motsvarar 360 km i verkligheten
Skalan? Kortaste avståndet Utsjoki –Helsingfors?
Skalan anges somförhållandet mellan bild och verklighet.
![Page 28: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/28.jpg)
B. Rymdgeometri (stereometri)
Behandlar geometriska egenskaper hos geometriska kroppar
10. Polyedrar (sidoytorna är månghörningar). Prisma. Rätblock. Kub. Pyramid.
11. De fem platonska kropparna (regelbundna polyedrar): Tetraeder. Kub (Hexader). Oktaeder. Dodekaeder. Ikosaeder.
12. Cylinder. Kon. Klot.
13. Avbildningar. Perspektivritning
14. Volym
![Page 29: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/29.jpg)
10. Polyeder
Är en geometrisk kropp som begränsas av ett ändligt antal månghörningar som kallas sidoytor.
Hos rätblock, kub, prisma och pyramid brukar man skilja mellan basyta och sidoytor.
![Page 30: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/30.jpg)
11. Platonska kropparna
Är regelbundna polyedrar: sidoytorna är kongruenta regelbundna månghörningar
Tetraedern
Kuben; Hexaedern
Oktaedern
Dodekaedern
Ikosaedern
![Page 31: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/31.jpg)
Antal sidoytor: Sidoytornabegränsas av regelbundna:
Liksidig pyramid; Tetraeder 4 trianglar
Kub; Hexaeder 6 kvadrater
Oktaeder 8 trianglar
Dodekaeder 12 femhörningar
Ikosaeder 20 trianglar
![Page 32: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/32.jpg)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Hexahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Dodecahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gif
Varför finns inte fler än dessa fem??
![Page 33: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/33.jpg)
Några väsentliga lärandemål för längd, omkrets, area och volym
•skilja mellan begreppen längd, omkrets, område, yta, area och volym
•uppskatta och beräkna både omkrets och area av följande typer av områden: trianglar och fyrhörningar (kvadrat, romb, rektangel, parallellogram)
•uppskatta och beräkna både begränsningsarea och volym för rätblock och (specialfallet) kub
•skilja mellan längdenhet, areaenhet och volymenhet, klara av enhetsbyten med dessa enheter samt välja lämpliga enheter
Eleverna skall kunna:
• uppskatta och mäta längd
![Page 34: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/34.jpg)
•Vilka är nödvändiga färdigheter och aritmetiska förkunskaper?
•Vad är relevanta tillämpningar?
•Vilken är relationen mellan skolgeometrin och elevernas vardag och kulturella miljö?
•Valet av arbetssätt
Läraren bör begrunda
![Page 35: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/35.jpg)
ENHETER
SI-enheter (Système International d’Unités).
Totalt sju grundenheter varav meter, kilogram och sekundingår i F-6.
Längd: mil, km, (hm, dam), m, dm, cm, mm
Area: km2, ha, a, m2, dm2, cm2, mm2
Volym: m3, dm3, cm3, mm3 (kl), hl, (dal), l, dl, cl, ml
Massa: t, kg, hg, (dag), g, (dg, cg), mg
Tid: a, mån, d, h, min, s
Storheter Enheter
![Page 36: Föreläsning 5: Geometri¶reläsning 5 Matematik 1.pdfCylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym 10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042407/5f22b4e32c2b151bb2749238/html5/thumbnails/36.jpg)
Viktigt att kunna:
mätredskap
olika enheter
samband mellan enheter; relationstal, enhetsbyten
uppskattningar; tillämpningar
Gamla enheter:
Kroppsenheter; famn, fot, tum, aln, spann
1 famn = 3 alnar = 1,781 m
1 fot = 12 tum = 29,69 cm
1 tum = 2, 54 cm
1 spann = 1/4 aln = 148,4505 mm.
1 tunnland = 4936,5 m2
Anglosaxiska enheter: inch, foot, mile, ounce, pound ....