Fractali. Teorie, graficFractali. Teorie, graficăă computerizatcomputerizatăă şşi aplicai aplicaţţiiii

Curs opCurs opţţional ional

Anul IIIAnul III

MatematicMatematicăă şşi i

MatematicMatematicăă-Informatic-Informaticăă

Lector dr. StLector dr. Stăănicnicăă Daniel (sem. I) Daniel (sem. I) şşi i LLector dr. Mihail ector dr. Mihail Alexandru (sem. II) Alexandru (sem. II)

Obiectiv: Obiectiv:

AAcest curs cest curs îşîşi propune si propune săă ofere at ofere atâât o t o perspectivperspectivăă “grafic “graficăă”, c”, câât t şşi una teoretici una teoreticăă asupra unui domeniu care s-a dovedit a asupra unui domeniu care s-a dovedit a avea aplicaavea aplicaţţii ii îîn toate ramurile n toate ramurile şştiintiinţţei, ei,

anume teoria fractalilor. anume teoria fractalilor. Cursul este conceput astfel Cursul este conceput astfel îîncncâât st săă

poatpoatăă fi frecventat at fi frecventat atâât de ct de căătre tre studentstudentţţiiii care au drept principal care au drept principal

domeniu de interes matematica, cdomeniu de interes matematica, câât t şşi de i de cei pasionacei pasionaţţi de informatici de informaticăă..

Termenul fractal provine din latinescul fractus, care înseamnă "spart“, "fracturat". Acest termen a fost introdus de Benoît Mandelbrot, în 1975.

Un fractal este un obiect matematic care are o structură detaliată la orice scară. În structura unui fractal, fiecare parte este asemănătoare cu fractalul întreg (este autosimilar).

Ce sunt fractalii?

Fractalii, aceste deosebite obiecte matematice, de o mare complexitate, sunt generaţi printr-un procedeu matematic relativ simplu.

Dimensiunea geometrică a unui fractal se bazează pe dimensiunea Hausdorff, care este o extensie a dimensiunii euclidiene. Dacă în geometria euclidiana un obiect nu are decât o dimensiune întreagă, în geometria fractală dimensiunile sunt, în general, numere reale neîntregi pozitive.

Exemple de fractaliExemple de fractali

Curba lui KochCurba lui Koch

perimetrul = 3 perimetrul = 4 perimetrul = 5.33 perimetrul = 7.11

Şi, continuând, perimetrul = infinit, pentru această figură geometrică inclusă într-o mulţime cu aria finită.

Curba lui HilbertCurba lui Hilbert

Curba lui Hilbert este un exemplu de curbCurba lui Hilbert este un exemplu de curbă ă continucontinuă,ă, de lungime infinitde lungime infinită,ă, f fărăără autointersec autointersecţţiiii,, care “umple” un care “umple” un ppăătrat.trat.

Covorul lui SierpinskyCovorul lui Sierpinsky

Covorul lui Sierpinsky este un exeplu de obiect geometric despre care nu putem preciza dacă este o curbă sau o suprafaţă.

Bazinele de atracBazinele de atracţţie ie pentru metoda lui pentru metoda lui NewtonNewton

de aproximare a solude aproximare a soluţţiilor ecuaiilor ecuaţţiei iei zz33+1=0+1=0

Un fractal clasicUn fractal clasic::MulMulţţimea Mandelbrotimea Mandelbrot

Dacă privim în profunzimea unui fractal, observăm structura sa complexă şi autosimilaritatea.

AplicaAplicaţţii: ii: Interpolare fractalInterpolare fractalăă ((codarea imaginii)codarea imaginii)

ŞŞtitiţţi ci cââte ecuate ecuaţţii liniare ii liniare (y=ax+b) sunt necesare (y=ax+b) sunt necesare pentru a descrie complet pentru a descrie complet aceastaceastă ă imagine fractalimagine fractală, ă, adică pentru adică pentru a o memora a o memora

şşi a o reconstrui?i a o reconstrui?

Doar 4!

Exemple de fractali Exemple de fractali îîn naturn natură: ă: nori, munţi, sol lunar, plante nori, munţi, sol lunar, plante

etc.etc.

ConţinutulConţinutul cursului cursului

Semestrul ISemestrul I NoNoţţiuni introductive despre fractali iuni introductive despre fractali şşi dimensiune fractali dimensiune fractală;ă; Un proces de dinamicUn proces de dinamicăă a popula a populaţţiei iei şşi reprezentarea sa fractali reprezentarea sa fractalăă (modelul (modelul

Robert May)Robert May);; Bazine de atracBazine de atracţţie ale unor metode iterative de aproximare a soluie ale unor metode iterative de aproximare a soluţţiilor iilor

ecuaecuaţţiilor neliniare iilor neliniare şşi reprezentarea lor fractali reprezentarea lor fractalăă (metoda Lin, metoda (metoda Lin, metoda Bairstrow, metoda Newton,Bairstrow, metoda Newton, metoda secantei, metoda parabolei, metoda metoda secantei, metoda parabolei, metoda Ostrowski, metoda CebOstrowski, metoda Cebâşâşev, metoda Halley)ev, metoda Halley);;

ConstrucConstrucţţiiee şşi algoritmi de reprezentare grafici algoritmi de reprezentare graficăă pentru unele tipuri de fractali pentru unele tipuri de fractali (curba lui Koch, curba lui Peano, curba lui Sierpinsky, covorul lui Sierpinsky, (curba lui Koch, curba lui Peano, curba lui Sierpinsky, covorul lui Sierpinsky, curba lui Hilbert, plante Lindenmayer, curba dragonului, curba Ccurba lui Hilbert, plante Lindenmayer, curba dragonului, curba C etcetc..));;

MulMulţţimi fractale obimi fractale obţţinute iterativ: exemple si reprezentinute iterativ: exemple si reprezentăări grafice (mulri grafice (mulţţimi imi Julia, mulJulia, mulţţimi Mandelbrot)imi Mandelbrot);;

Fractali Fractali fără fără iteraiteraţţie: exemple si reprezentie: exemple si reprezentăări graficeri grafice;; Interpolare fractalInterpolare fractală;ă; AplicaAplicaţţii ale teoriei fractalilor (modelarea unor elemente din naturii ale teoriei fractalilor (modelarea unor elemente din naturăă: plante, : plante,

nori, bazine hidrografice, galaxii etcnori, bazine hidrografice, galaxii etc.., prelucrarea imaginilor:compresia , prelucrarea imaginilor:compresia fractalfractalăă, meteorologie: , meteorologie: eefectul flutureluifectul fluturelui etcetc..))..

Bibliografie:Bibliografie: Karl-Heinz Becker, Michael DorflerKarl-Heinz Becker, Michael Dorfler, , Dynamical systems and fractalsDynamical systems and fractals, ,

Cambridge University Press, 1991.Cambridge University Press, 1991. BenoBenoîît Mandelbrott Mandelbrot,, Obiectele fractaleObiectele fractale, Editura Nemira, 1998., Editura Nemira, 1998. Dick OlivierDick Olivier, , FractaliFractali, Editura Teora, 1996. , Editura Teora, 1996.

Semestrul Semestrul al al IIII- lea- lea MMăăsura sura şşi dimensiunea Hausdorff (definii dimensiunea Hausdorff (definiţţie, proprietie, proprietăţăţi, legatura i, legatura

cu mcu măăsura Lebesgue)sura Lebesgue);; Exemple (mulţimea lui Cantor, triunghiul lui Sierpinsky,Exemple (mulţimea lui Cantor, triunghiul lui Sierpinsky, curba lui curba lui

Koch, funcKoch, funcţţia lui Weierstrass, funcia lui Weierstrass, funcţţia dinte, funcia dinte, funcţţia ia llui Lebesgue)ui Lebesgue);; Sisteme iterative de funcSisteme iterative de funcţţii (principiul contracii (principiul contracţţiei al lui Banach, iei al lui Banach,

distandistanţţaa Hausdorff-Pompeiu, spaHausdorff-Pompeiu, spaţţiul fractalilor, atractorii iul fractalilor, atractorii sistemelor iterative)sistemelor iterative);;

Sisteme iterative cu probabilitSisteme iterative cu probabilităţăţii;; Dimensiunea atractorilor sistemelor iterativeDimensiunea atractorilor sistemelor iterative;; MulMulţţimi Juliaimi Julia;; ProprietProprietăţăţile topologice ale mulile topologice ale mulţţimilor fractaleimilor fractale;; Familii de mulFamilii de mulţţimi fractale - mulimi fractale - mulţţimi Mandelbrotimi Mandelbrot;; Exemple de sisteme dinamice discrete (funcExemple de sisteme dinamice discrete (funcţţia cort).ia cort).Bibliografie:Bibliografie: M.F. BarnsleyM.F. Barnsley,, Fractals everywhereFractals everywhere, , Academic Press, 1988Academic Press, 1988 K.J. FalconerK.J. Falconer, , The geometry of fractal setsThe geometry of fractal sets, , John Wiley and Sons, John Wiley and Sons,

Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1990.Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1990. Nicolae-Adrian SeceleanNicolae-Adrian Secelean,, MMăăsursurăă si fractali si fractali, , , , Editura Editura

Universităţii "Lucian Blaga" din Sibiu, 2002Universităţii "Lucian Blaga" din Sibiu, 2002

În concluzie, În concluzie, cchiarhiar şi extratereştrii cunosc şi extratereştrii cunosc

fractalii:fractalii: