fourier serileri (1)
TRANSCRIPT
Bir Fourier serisi periyodik bir f (t) fonksiyonunun,
kosinüs ve sinüslerin sonsuz toplamı biçiminde
bir açılımdır.
Giriş
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
T
2
Başka deyişle, herhangi bir periyodik fonksiyon
sabit bir değer, kosinüs ve sinüs
fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir:
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
)sincos( 11 tbta2
0a
)2sin2cos( 22 tbta
)3sin3cos( 33 tbta
Fourier serisi hesaplamaları harmonik analiz
olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi
basit terimlere ayrılarak, ayrık terimler olarak
çözülmesi ve yeniden birleştirilip orjinal
problemin çözümü için oldukça kullanışlı bir
yoldur. Böylelikle problem istenilen ya da
pratik olan bir yaklaşıklıkta çözülebilir.
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
burada
T
dttfT
a0
0 )(2
frekans Temel2
T
T
n tdtntfT
a0
cos)(2
T
n tdtntfT
b0
sin)(2
*integral limiti olarak
T
dttfT
a0
0 )(2
2/
2/
T
T
kullanabiliriz
Sonra, a0, an ve bn katsayıları bulunur :
10101)(2
2)(
22
1
1
0
2
00
0 dtdtdttfdttfT
a
T
Ya da,
b
a
dttf )( [a,b] aralığı boyunca grafiğin
altındaki toplam alan olduğundan
1)11(2
2],0[ 2)(
2
0
0alan
boyuncaT
Tdttf
Ta
T
n
n
n
tndttdtn
tdtntfT
an
sinsin0cos1
cos)(2
1
0
2
1
1
0
2
0
n tamsayıdır ve,
olduğundan
0sin n
03sin2sinsin
Dolayısıyla, .0na
n
n
n
tndttdtn
tdtntfT
bn
cos1cos0sin1
sin)(2
1
0
2
1
1
0
2
0
15cos3coscos 16cos4cos2cos
Dolayısıyla,çift ,0
tek,/2)1(1
n
nn
nb
n
n
Ya da nn )1(cos
Fourier serisi terimlerinin toplamı orjinal dalga
biçimini verir
Örnek 1’den,
ttttf 5sin5
23sin
3
2sin
2
2
1)(
Toplamın kare dalga vereceği gösterilebilir:
Örnek 2
,)( ttf 11 t
)()2( tftf
f (t)’nin grafiğini çiziniz, .33 t
f (t)’nin Fourier serisini hasaplayınız.
0coscos
)cos(cos0
cos)]sin([sin
sinsin
coscos)(2
22
22
1
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
n
nn
n
nn
n
tn
n
nn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntfT
an
xx cos)cos(
nnn
n
n
nn
n
n
n
tn
n
nn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntfT
b
nn
n
1
22
1
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
)1(2)1(2cos2
)sin(sincos2
sin)]cos([cos
coscos
sinsin)(2
Örnek 3
42,0
20,2)(
t
tttv
)()4( tvtv
v (t) grafiğini çiziniz, .120 t
v (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız.
222222
2
0
22
2
0
2
0
4
2
2
0
4
0
])1(1[2)cos1(2
2
2cos1
cos
2
10
sin
2
1sin)2(
2
1
0cos)2(2
1cos)(
2
nn
n
n
n
n
tn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntvT
a
n
n
nnn
n
n
n
tn
n
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntvT
bn
21
2
2sin1
sin
2
11
cos
2
1cos)2(
2
1
0sin)2(2
1sin)(
2
22
2
0
22
2
0
2
0
4
2
2
0
4
0
0sin2sin nn
Çift simetri
Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre simetrik ise çifttir, yani
)()( tftf
Çift simetri (devam)
−A dan +A ya çift bir fonksiyonun integrali 0
dan +A ya integralinin iki katıdır
t
AA
A
dttfdttf0
ee )(2)(
−A +A
)(e tf
Tek simetri
Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre asimetrik ise tektir, yani
)()( tftf
Çift ve tek fonksiyonlar
(çift) (çift) = (çift)
(tek) (tek) = (çift)
(çift) (tek) = (tek)
(tek) (çift) = (tek)
Çift ve tek fonksiyonların çarpım özellikleri:
Simetri
çift ve tek fonksiyonların özelliklerinden:
çift periyodik bir fonksiyon için;
2/
0
cos)(4
T
n tdtntfT
a 0nb
tek periyodik bir fonksiyon için;2/
0
sin)(4
T
n tdtntfT
b00 naa
Çift fonksiyon
2/
0
2/
2/
cos)(4
cos)(2
TT
T
n tdtntfT
tdtntfT
a
(çift) (çift)
| |
(çift)
0sin)(2
2/
2/
T
T
n tdtntfT
b
(çift) (tek)
| |
(tek)
2
T
2
T
)(tf
t
Tek fonksiyon
2/
0
2/
2/
sin)(4
sin)(2
TT
T
n tdtntfT
tdtntfT
b
(tek) (tek)
| |
(çift)
0cos)(2
2/
2/
T
T
n tdtntfT
a
(tek) (çift)
| |
(tek)
2
T
2
T
)(tf
t
0)(2
2/
2/
0
T
T
dttfT
a
(tek)
Örnek 4
21,1
11,
12,1
)(
t
tt
t
tf
)()4( tftf
f (t)‘nin grafiğini çiziniz, .66 t
f (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız
Katsayıları hesaplayalım. f (t) tek fonksiyon
olduğundan,
0)(2
2
2
0 dttfT
a
0cos)(2
2
2
tdtntfT
an
ve
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
tn
n
n
n
tndt
n
tn
n
tnt
tdtntdtnt
tdtntfT
tdtntfT
bn
cos2sin2cos
cos2cossincos
coscoscos
sin1sin4
4
sin)(4
sin)(2
22
1
0
22
2
1
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
2
2
0sin2sin nn
Katsayıları hesaplayalım.
3
81
2
32)01(
3
421
3
4)(
4)(
22/3
1
1
0
2/3
0
3
0
0 dtdtdttfT
dttfT
a
3
8)23()12(2)01(
3
2121
3
2)(
23
2
2
1
1
0
3
0
0 dtdtdtdttfT
a
Ya da, f (t) çift bir fonksiyon olduğundan,
Veya, basitçe
3
84
3
2
alan toplam
boyunca periyodBir 2)(
23
0
0T
dttfT
a
3
2sin
2
3
2sinsin2
2
sin2
3sin2
3
4
sin2
3sin2sin
3
4
sin2
3
4sin
3
4
cos2cos13
4
cos)(4
cos)(2
2/3
1
1
0
2/3
1
1
0
2/3
0
3
0
n
n
nn
n
nn
n
nn
nn
n
tn
n
tn
tdtntdtn
tdtntfT
tdtntfT
an
;3
2
1
1
1
0
3
2cos
3
2sin
12
3
4
3
2cos
3
2sin
2
3
4
)sincos(2
)(
n
n
n
nn
tnn
n
tnn
n
tnbtnaa
tf
Sonuçta,
ve 0nb f (t) çift bir fonksiyon olduğundan.
Parseval Teoremi
Parserval teoremi periyodik bir sinyaldeki
ortalama gücün, sinyalin DC bileşenindeki
ortalama güç ve harmoniklerindeki ortalama
güçlerin toplamına eşit olduğunu ifade eder.
Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
R
V
R
V
R
VP
2
peak
2
peak2
rms
2
12
Sadelik açısından sıklıkla, R = 1Ω, olarak
alırız,
2
peak2
1VP
Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
dcavg
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2211
babaa
PPPPPP baba
1
222
0avg )(2
1
4
1
n
nn baaP
Üstel Fourier serileri
Euler eşitliğinden,
xjxe jx sincos
dolayısıyla
2cos
jxjx eex
2sin
j
eex
jxjx
ve
Fourier serisi gösterimi aşağıdaki gibi olur;
11
0
1
0
1
0
1
0
1
0
222
222
222
222
)sincos(2
)(
n
tjnnn
n
tjnnn
n
tjnnntjnnn
n
tjntjn
n
tjntjn
n
n
tjntjn
n
tjntjn
n
n
nn
ejba
ejbaa
ejba
ejbaa
eejb
eea
a
j
eeb
eea
a
tnbtnaa
tf
Burada,
11
0
222)(
n
tjnnn
n
tjnnn ejba
ejbaa
tf
2
nnn
jbac ,
2
nnn
jbac
Dolayısıyla,
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
ececcec
ececc
ececc
1
0
1
11
0
11
0
Diyelim ve2
00
ac
c0c−ncn
Sonra, cn katsayısı,
T
tjn
T
TT
TT
nnn
dtetfT
dttnjtntfT
tdtntfjtdtntfT
tdtntfT
jtdtntf
T
jbac
0
0
00
00
)(1
]sin)[cos(1
sin)(cos)(1
sin)(2
2cos)(
2
2
1
2
Çoğu durumda kompleks Fourier serileri
trigonometrik Fourier serilerinden daha kolay
elde edilir.
Özetle, kompleks ve trigonometrik Fourier
serileri arasındaki ilişki:
2
nnn
jbac
2
nnn
jbac
T
dttfT
ac
0
00 )(
1
2
T
tjn
n dtetfT
c0
)(1
nn ccYa da
)1(2
1
)1(2
1
)1(2
1
12
1
2
1
2
1
)(1
222)1(2
2
0
)1(
2
0
)1(
2
0
0
jn
e
jn
ee
jn
e
jn
e
dtedtee
dtetfT
c
njjn
tjn
tjnjntt
T
tjn
n
dolayısıyla1012sin2cos2 njne nj
jnt
nn
tjn
n ejn
eectf
)1(2
1)(
2
Sonuçta,
0
2
0
2
0 2
1
)1(2
1c
e
jn
ec
n
nn
*Not: c0 , cn de n = 0 konularak hesaplanabilirse de,
bazen bu mümkün olmayabilir. Dolayısıyla, c0‘ı tek
başına hesaplamak daha iyi olabilir.
2
2
12
1
n
ecn
cn kompleks bir terimdir, ve nω’ye bağlıdır.
Dolayısıyla, nω ‘ye karşılık |cn| grafiğini çizebiliriz.
Başka deyişle, (t) zaman bölgesindeki f (t) fonksiyonunu,
(nω) frekans bölgesindeki cn fonksiyonuna dönüştürdük.
Çözüm
2
11
2
1)(
11
00
0 dtdttfT
c
T
)1(22
1
012
1)(
1
1
0
2
1
1
00
jntjn
tjn
T
tjn
n
en
j
jn
e
dtedtetfT
c
)1(2
jn
n en
jc
Fakat njn nnjne )1(cossincos
Böylece,
çift ,0
tek,/]1)1[(
2 n
nnj
n
j n
Dolayısıyla,
tek0
2
1)(
nn
n
tjn
n
tjn
n en
jectf
*Burada .00cc
nn