ELM207 Analog Elektronik

Bir Fourier serisi periyodik bir f (t) fonksiyonunun,

kosinüs ve sinüslerin sonsuz toplamı biçiminde

bir açılımdır.

Giriş

1

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

T

2

Başka deyişle, herhangi bir periyodik fonksiyon

sabit bir değer, kosinüs ve sinüs

fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir:

1

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

)sincos( 11 tbta2

0a

)2sin2cos( 22 tbta

)3sin3cos( 33 tbta

Fourier serisi hesaplamaları harmonik analiz

olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi

basit terimlere ayrılarak, ayrık terimler olarak

çözülmesi ve yeniden birleştirilip orjinal

problemin çözümü için oldukça kullanışlı bir

yoldur. Böylelikle problem istenilen ya da

pratik olan bir yaklaşıklıkta çözülebilir.

=

+ +

+ + + …

Periodik Fonksiyon

2

0a

ta cos1

ta 2cos2

tb sin1

tb 2sin2

f(t)

t

1

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

burada

T

dttfT

a0

0 )(2

frekans Temel2

T

T

n tdtntfT

a0

cos)(2

T

n tdtntfT

b0

sin)(2

*integral limiti olarak

T

dttfT

a0

0 )(2

2/

2/

T

T

kullanabiliriz

Örnek 1

Aşağıdaki dalga biçiminin Fourier serisi

gösterimini bulunuz.

Çözüm

İlk önce, fonksiyonun periyodu ve tanımı belirlenir:

T = 2

21,0

10,1)(

t

ttf )()2( tftf

Sonra, a0, an ve bn katsayıları bulunur :

10101)(2

2)(

22

1

1

0

2

00

0 dtdtdttfdttfT

a

T

Ya da,

b

a

dttf )( [a,b] aralığı boyunca grafiğin

altındaki toplam alan olduğundan

1)11(2

2],0[ 2)(

2

0

0alan

boyuncaT

Tdttf

Ta

T

n

n

n

tndttdtn

tdtntfT

an

sinsin0cos1

cos)(2

1

0

2

1

1

0

2

0

n tamsayıdır ve,

olduğundan

0sin n

03sin2sinsin

Dolayısıyla, .0na

n

n

n

tndttdtn

tdtntfT

bn

cos1cos0sin1

sin)(2

1

0

2

1

1

0

2

0

15cos3coscos 16cos4cos2cos

Dolayısıyla,çift ,0

tek,/2)1(1

n

nn

nb

n

n

Ya da nn )1(cos

ttt

tnn

tnbtnaa

tf

n

n

n

nn

5sin5

23sin

3

2sin

2

2

1

sin)1(1

2

1

)sincos(2

)(

1

1

0

Sonuçta,

Bazı faydalı tanımlar

n tamsayı olduğundan,nn )1(cos0sin n

02sin n 12cos n

xx sin)sin( xx cos)cos(

Fourier serisi terimlerinin toplamı orjinal dalga

biçimini verir

Örnek 1’den,

ttttf 5sin5

23sin

3

2sin

2

2

1)(

Toplamın kare dalga vereceği gösterilebilir:

tttt 7sin7

25sin

5

23sin

3

2sin

2ttt 5sin

5

23sin

3

2sin

2

tt 3sin3

2sin

2tsin

2

(a) (b)

(c) (d)

ttttt 9sin9

27sin

7

25sin

5

23sin

3

2sin

2

ttt 23sin23

23sin

3

2sin

2

2

1

(e)

(f)

Kare dalga Testere dişli dalga

Üçgen dalgaYarı çember

Örnek 2

,)( ttf 11 t

)()2( tftf

f (t)’nin grafiğini çiziniz, .33 t

f (t)’nin Fourier serisini hasaplayınız.

Çözüm

T = 2

T

2

Katsayıları hesaplayalım:

02

11

22

2

)(2

1

1

21

1

1

1

0

ttdt

dttfT

a

0coscos

)cos(cos0

cos)]sin([sin

sinsin

coscos)(2

22

22

1

1

22

1

1

1

1

1

1

1

1

n

nn

n

nn

n

tn

n

nn

dtn

tn

n

tnt

tdtnttdtntfT

an

xx cos)cos(

nnn

n

n

nn

n

n

n

tn

n

nn

dtn

tn

n

tnt

tdtnttdtntfT

b

nn

n

1

22

1

1

22

1

1

1

1

1

1

1

1

)1(2)1(2cos2

)sin(sincos2

sin)]cos([cos

coscos

sinsin)(2

ttt

tnn

tnbtnaa

tf

n

n

n

nn

3sin3

22sin

2

2sin

2

sin)1(2

)sincos(2

)(

1

1

1

0

Sonuçta,

Örnek 3

42,0

20,2)(

t

tttv

)()4( tvtv

v (t) grafiğini çiziniz, .120 t

v (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız.

Çözüm

2

2

T

T = 4

0 2 4 6 8 10 12t

v (t)

2

Katsayılar:

12

22

1)2(

2

1

0)2(4

2

)(2

2

0

22

0

4

2

2

0

4

0

0

ttdtt

dtdtt

dttvT

a

222222

2

0

22

2

0

2

0

4

2

2

0

4

0

])1(1[2)cos1(2

2

2cos1

cos

2

10

sin

2

1sin)2(

2

1

0cos)2(2

1cos)(

2

nn

n

n

n

n

tn

dtn

tn

n

tnt

tdtnttdtntvT

a

n

n

nnn

n

n

n

tn

n

dtn

tn

n

tnt

tdtnttdtntvT

bn

21

2

2sin1

sin

2

11

cos

2

1cos)2(

2

1

0sin)2(2

1sin)(

2

22

2

0

22

2

0

2

0

4

2

2

0

4

0

0sin2sin nn

122

1

0

2sin

2

2cos

])1(1[2

2

1

)sincos(2

)(

n

n

n

nn

tn

n

tn

n

tnbtnaa

tv

Sonuçta,

Simetri

Simetri fonksiyonları:

(i) çift simetri

(ii) tek simetri

Çift simetri

Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey

eksenine göre simetrik ise çifttir, yani

)()( tftf

Çift simetri (devam)

çift fonksiyonlara örnek:2)( ttf

t t

t

||)( ttf

ttf cos)(

Çift simetri (devam)

−A dan +A ya çift bir fonksiyonun integrali 0

dan +A ya integralinin iki katıdır

t

AA

A

dttfdttf0

ee )(2)(

−A +A

)(e tf

Tek simetri

Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey

eksenine göre asimetrik ise tektir, yani

)()( tftf

Tek simetri (devam)

Tek fonksiyonlara örnek:3)( ttf

t t

t

ttf )(

ttf sin)(

Tek simetri (devam)

−A dan +A ya tek bir fonksiyonun integrali

sıfırdır

0)(o

A

A

dttft−A +A

)(o tf

Çift ve tek fonksiyonlar

(çift) (çift) = (çift)

(tek) (tek) = (çift)

(çift) (tek) = (tek)

(tek) (çift) = (tek)

Çift ve tek fonksiyonların çarpım özellikleri:

Simetri

çift ve tek fonksiyonların özelliklerinden:

çift periyodik bir fonksiyon için;

2/

0

cos)(4

T

n tdtntfT

a 0nb

tek periyodik bir fonksiyon için;2/

0

sin)(4

T

n tdtntfT

b00 naa

Çift fonksiyon

2/

0

2/

2/

cos)(4

cos)(2

TT

T

n tdtntfT

tdtntfT

a

(çift) (çift)

| |

(çift)

0sin)(2

2/

2/

T

T

n tdtntfT

b

(çift) (tek)

| |

(tek)

2

T

2

T

)(tf

t

Tek fonksiyon

2/

0

2/

2/

sin)(4

sin)(2

TT

T

n tdtntfT

tdtntfT

b

(tek) (tek)

| |

(çift)

0cos)(2

2/

2/

T

T

n tdtntfT

a

(tek) (çift)

| |

(tek)

2

T

2

T

)(tf

t

0)(2

2/

2/

0

T

T

dttfT

a

(tek)

Örnek 4

21,1

11,

12,1

)(

t

tt

t

tf

)()4( tftf

f (t)‘nin grafiğini çiziniz, .66 t

f (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız

Çözüm

2

2

T

T = 4

0−4−6 2 4 6t

f (t)

−2

1

−1

Katsayıları hesaplayalım. f (t) tek fonksiyon

olduğundan,

0)(2

2

2

0 dttfT

a

0cos)(2

2

2

tdtntfT

an

ve

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

tn

n

n

n

tndt

n

tn

n

tnt

tdtntdtnt

tdtntfT

tdtntfT

bn

cos2sin2cos

cos2cossincos

coscoscos

sin1sin4

4

sin)(4

sin)(2

22

1

0

22

2

1

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

2

2

0sin2sin nn

1

1

1

1

0

2sin

)1(2

2sin

cos2

)sincos(2

)(

n

n

n

n

nn

tn

n

tn

n

n

tnbtnaa

tf

Sonuçta,

Örnek 5

f (t)‘nin Fourier serisi açlımını hesaplayınız.

Çözüm

Fonksiyonu tarif edelim;

3

22

T

ve

32,1

21,2

10,1

)(

t

t

t

tf

)()3( tftfT = 3

T = 3

Katsayıları hesaplayalım.

3

81

2

32)01(

3

421

3

4)(

4)(

22/3

1

1

0

2/3

0

3

0

0 dtdtdttfT

dttfT

a

3

8)23()12(2)01(

3

2121

3

2)(

23

2

2

1

1

0

3

0

0 dtdtdtdttfT

a

Ya da, f (t) çift bir fonksiyon olduğundan,

Veya, basitçe

3

84

3

2

alan toplam

boyunca periyodBir 2)(

23

0

0T

dttfT

a

3

2sin

2

3

2sinsin2

2

sin2

3sin2

3

4

sin2

3sin2sin

3

4

sin2

3

4sin

3

4

cos2cos13

4

cos)(4

cos)(2

2/3

1

1

0

2/3

1

1

0

2/3

0

3

0

n

n

nn

n

nn

n

nn

nn

n

tn

n

tn

tdtntdtn

tdtntfT

tdtntfT

an

;3

2

1

1

1

0

3

2cos

3

2sin

12

3

4

3

2cos

3

2sin

2

3

4

)sincos(2

)(

n

n

n

nn

tnn

n

tnn

n

tnbtnaa

tf

Sonuçta,

ve 0nb f (t) çift bir fonksiyon olduğundan.

Parseval Teoremi

Parserval teoremi periyodik bir sinyaldeki

ortalama gücün, sinyalin DC bileşenindeki

ortalama güç ve harmoniklerindeki ortalama

güçlerin toplamına eşit olduğunu ifade eder.

=

+ +

+ + + …

2

0a

ta cos1

ta 2cos2

tb sin1

tb 2sin2

f(t)

t

Pavg

Pdc

Pa1 Pb1

Pa2 Pb2

Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),

R

V

R

V

R

VP

2

peak

2

peak2

rms

2

12

Sadelik açısından sıklıkla, R = 1Ω, olarak

alırız,

2

peak2

1VP

Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),

2

2

2

2

2

1

2

1

2

0

dcavg

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2211

babaa

PPPPPP baba

1

222

0avg )(2

1

4

1

n

nn baaP

Üstel Fourier serileri

Euler eşitliğinden,

xjxe jx sincos

dolayısıyla

2cos

jxjx eex

2sin

j

eex

jxjx

ve

Fourier serisi gösterimi aşağıdaki gibi olur;

11

0

1

0

1

0

1

0

1

0

222

222

222

222

)sincos(2

)(

n

tjnnn

n

tjnnn

n

tjnnntjnnn

n

tjntjn

n

tjntjn

n

n

tjntjn

n

tjntjn

n

n

nn

ejba

ejbaa

ejba

ejbaa

eejb

eea

a

j

eeb

eea

a

tnbtnaa

tf

Burada,

11

0

222)(

n

tjnnn

n

tjnnn ejba

ejbaa

tf

2

nnn

jbac ,

2

nnn

jbac

Dolayısıyla,

n

tjn

n

n

tjn

n

n

tjn

n

n

tjn

n

n

tjn

n

n

tjn

n

n

tjn

n

ececcec

ececc

ececc

1

0

1

11

0

11

0

Diyelim ve2

00

ac

c0c−ncn

Sonra, cn katsayısı,

T

tjn

T

TT

TT

nnn

dtetfT

dttnjtntfT

tdtntfjtdtntfT

tdtntfT

jtdtntf

T

jbac

0

0

00

00

)(1

]sin)[cos(1

sin)(cos)(1

sin)(2

2cos)(

2

2

1

2

Çoğu durumda kompleks Fourier serileri

trigonometrik Fourier serilerinden daha kolay

elde edilir.

Özetle, kompleks ve trigonometrik Fourier

serileri arasındaki ilişki:

2

nnn

jbac

2

nnn

jbac

T

dttfT

ac

0

00 )(

1

2

T

tjn

n dtetfT

c0

)(1

nn ccYa da

Örnek 6

Aşağıdaki fonksiyonun kompleks Fourier serisini

bulunuz

2 44 2 0

2e

1

)(tf

t

Dolayısıyla

Çözüm

2

1

2

1

2

1

)(1

22

0

2

0

0

0

ee

dte

dttfT

c

t

t

T

12T

)1(2

1

)1(2

1

)1(2

1

12

1

2

1

2

1

)(1

222)1(2

2

0

)1(

2

0

)1(

2

0

0

jn

e

jn

ee

jn

e

jn

e

dtedtee

dtetfT

c

njjn

tjn

tjnjntt

T

tjn

n

dolayısıyla1012sin2cos2 njne nj

jnt

nn

tjn

n ejn

eectf

)1(2

1)(

2

Sonuçta,

0

2

0

2

0 2

1

)1(2

1c

e

jn

ec

n

nn

*Not: c0 , cn de n = 0 konularak hesaplanabilirse de,

bazen bu mümkün olmayabilir. Dolayısıyla, c0‘ı tek

başına hesaplamak daha iyi olabilir.

2

2

12

1

n

ecn

cn kompleks bir terimdir, ve nω’ye bağlıdır.

Dolayısıyla, nω ‘ye karşılık |cn| grafiğini çizebiliriz.

Başka deyişle, (t) zaman bölgesindeki f (t) fonksiyonunu,

(nω) frekans bölgesindeki cn fonksiyonuna dönüştürdük.

Örnek 7

Örnek 1’deki fonksiyonun kompleks

Fourier serisini hesaplayınız.

Çözüm

2

11

2

1)(

11

00

0 dtdttfT

c

T

)1(22

1

012

1)(

1

1

0

2

1

1

00

jntjn

tjn

T

tjn

n

en

j

jn

e

dtedtetfT

c

)1(2

jn

n en

jc

Fakat njn nnjne )1(cossincos

Böylece,

çift ,0

tek,/]1)1[(

2 n

nnj

n

j n

Dolayısıyla,

tek0

2

1)(

nn

n

tjn

n

tjn

n en

jectf

*Burada .00cc

nn

1, tek

0, çiftn

nc n

n

Grafik çizimi aşağıdadır,

2

10c

0.5