1

FOTONICKÉ KRYSTALY

Jiří Čtyrokýctyroky@ufe.cz

Ústav fotoniky a elektroniky AV ČR, v.v.i.

1

3

E. Yablonovitch: „Inhibited spontaneous emission in solid-state physicsand electronics“, Phys. Rev. Lett., vol. 58, pp. 2059–2062, 1987

J. D. Joannopoulos et al.: Photonic Crystals: molding the flow of light,Princeton University Press 1995

S. G. Johnson, J. D. Joannopoulos: Photonic Crystals, The road from theory to practice,Kluwer Academic Publishers 2003

J.-M. Lourtioz et al.: Photonic Crystals : Towards Nanoscale Photonic Devices, Springer 2005…

Fotonické krystaly1D, 2D nebo 3D periodické struktury s velkým kontrastem permitivity

2

4

Fotony se v periodickém dielektrickém prostředí pohybují„podobně“ jako elektrony v periodickém potenciálovém poli

Za jistých podmínek existuje zakázaný pás energií fotonů.Fotony s energií uvnitř zakázaného pásu se v periodickémprostředí nemohou šířit, záření se tudíž totálně odráží zpět

Z pohledu vlnové optiky jdeo braggovský odraz vlnyod periodického prostředí.Totální odraz je možno využítk vytvoření optických vlnovodůve fotonických krystalech

Vytvořit trojrozměrné periodické prostředí je však technologicky obtížné.

5

“Pohybové rovnice” pro elektrony a fotony v krystalech

Schrödingerova rovnice pro elektron v periodickém potenciálu:

( ) ( ) ( )

2

2 *e

V Em

y yé ùê ú- D+ =ê úë û

r r r

periodický potenciál vlnová funkce energie fotonu

( ) ( )

( ) ( ) imm

m

V V

u ey ⋅

+ =

=å K r

r a r

r r

(Floquetova)-Blochova vlna,

2K

p=a

“Vlnová rovnice” pro fotony v periodické permitivitě

( )

( )( ) ( )

0 0

21

, ,i i

c

wm we e

we

´ = ´ =-

æ ö æ ö÷ç ÷ç´ ´ =÷ ÷ç ÷ç÷ç è øè ø

E H H r E

H r H rr

Rovnice pro vlastní hodnoty energie fotonů a F-B funkce

Tento přístup je relativně jednoduchý a fyzikálně průzračný,

ale (v této formě) nebere v úvahu disperzi permitivity e(r,w).

Aproximativní (jednočásticové) přiblížení

Přesná(“mnohočásticová”)

teorie

3

6

Periodická vrstevnatá struktura jakojednorozměrný fotonický krystal

7

Jednorozměrný fotonický krystal

1n

2n

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

TE TM

2 2

2 2

2 2, ,

, ,

, ,( , ) / , ( , ) / ,

( , ) , ( , ) / ,

( , ) / ( ) , ( , ) /

( ) ( )

( )

)

)

(

(

) ( ,x l l x

y l li i

l l l

i il l l

i iz l l l z l

y l

l l

l

l

l l

x z k Z N e x z k Y N e

x z k Y N e x z k Z N e

H x z

E p

k Y N p e E x z

H p

k Z N

q E

p e

H q

gx gx

gx gx

gx gx

z z

z z

e

e

g z e g z

= =

= - =

= = -

z

x

( )0 00 1 2, , , ,l lk N l Lg= + =k x z

0 0 0 2, , /k x k z kx z p l= = =

212 2

22

l l

nN

ng e

ìïïï+ = = íïïïîyE

xH

zH

TE

yHxE

zE

TM

Elektromagnetické pole je popsánokomplexními amplitudami ( ) ( ),l lp qz z

Existence zakázaného pásu – odvození metodou přenosové matice(„fotonická analogie“ Kronigova - Penneyova modelu krystalu)

00

0

00

0

,Z

Y

m

e

e

m

=

=

L2

L1

L Normalizace souřadnic a vln. vektorů:

konst. šířeníln

g – příčná konst.šíření stejná

1 1 2 2sin sinn ng q q= =

4

8

Elektromagnetické Floquetovy – Blochovy vidy – 1

( )

( )

( )

( );

cos sin,

sin cos

l l l l

l ll lll

p p N i N

i N Nqq

z z z z z

z zzz z

æ ö æ ö æ ö+D D D÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= ⋅ =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷D Dç ç+D ÷ç÷÷ çç è øè øè øA A

„Průchod“ l-tou vrstvou je popsán vztahy

průchod rozhraním l l +1 a l +1 l lze analogicky popsatpřenosovými maticemi

1

1

0

0 1

1 0

0

,

,

,/

/

l l

l l

r

r

r

r

+

+

æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è øæ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø

A

A

pro TE polarizaci a

pro TM polarizaci.

Přenosová matice celé jedné periody je 12 212 1

.L = ⋅ ⋅ ⋅A A A A A

1/l lN Nr +=

1 1/l l l lN Nr e e+ +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

exp exp ,

exp exp ,l l l l l

l l l l l

p a iN b iN

q a iN b iN

z z z z z z

z z z z z z

+D = D + - D

+D = D - - D

nebo alternativně přenosovou maticí lA

2

2

, ( ) ,

, ( ) ,l l l l

l l l l

p a b a p q

q a b b p q

= + = +

= - = -

9

Elektromagnetické Floquetovy – Blochovy vidy – 2

Floquetův-Blochův „vid“ (vlna) je definován pomocí vlastního vektoru matice ,LA

( ) ( )1 1

1 1

, exp exp , ,F F

F F F FF F

p ps s i ik k

q qj jL

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç⋅ = = = L = L÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øA

je konstanta šíření F-B vidu.Fk

kF je určena až na aditivní konstantu 2 / :K p= L

Proto stačí určit kF v intervalu 2 2/ /FK k K- < £ první Brillouinova zóna.

( ) 2exp( ) exp exp( )exp( )F F Fik i k K ik ipé ùL = + L = Lê úë û

5

10

Vlastní hodnoty a fotonický zakázaný pás

1 2 1 0 1 1 2 0 2 2, , ,L L k N L k N Lj jL = + = =Označme

2

2 22 21 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 11

2 2cos cos sin sin cos cos sin sin .s j j r j j j j r j j

r r

é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= - + - + -÷ ÷ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷è ø è øë û1,s =FB vid se „šíří“ , jen pokud t.j., pokud

221 2 1 2

1 11

2cos cos sin sin .j j r j j

r

æ ö÷ç- + £÷ç ÷ç ÷è ø

Normovaná konstanta šíření je pak

221 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1

2 2arccos cos cos sin sin .

/

FF k

k N L N L N L N LK c c c c

w w w wr

p r

é ùæ öæ ö æ ö æ ö æ ö÷çê ú¢ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= = - + ÷ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ê úç ÷è ø è ø è ø è øè øë û

Pokud 221 2 1 2

1 11

2cos cos sin sin ,j j r j j

r

æ ö÷ç- + >÷ç ÷ç ÷è ø

kF je komplexní, a vlna se nemůže šířit podél nekonečně dlouhého krystalu.Tak vzniká fotonický zakázaný pás.

matice LA má pak vlastní čísla

11

Pásová struktura jednorozměrného krystalu

1

2

1

3 5

0

.

º

n

n

q

=

=

=1

2

1

1 5

0

.

º

n

n

q

=

=

=

TE

74ºq =

TM

74ºq =

“valenční”

“vodivostní”

“dielektrický”

“vzduchový”

pás

pás

6

12

1

2

1

3 5

0 6

.

/ .B

n

n

l l

=

=

=

1 0/ .Bl l =

1 5/ .Bl l =

1 75/ .Bl l =

“dielektr.”pás

“vzduch.”pás

uvnitřzakázaného

pásu

blízko okrajeBrillouinovy

zóny

Elektromagnetické Floquetovy – Blochovy vidy

13

Spektrální reflektance

1

2

1

1 5

20

.

per

n

n

n

=

=

=

1

2

1

3 5

5

.

per

n

n

n

=

=

=

1

2

1

3 5

20

.

per

n

n

n

=

=

=

nízkýkontrast,

vícperiod

velkýkontrast,

máloperiod

1

2

1

1 5

5

.

per

n

n

n

=

=

=

nízkýkontrast,

máloperiod

Fotonické krystaly odpovídají často spíše „nanokrystalům“

velkýkontrast,

víceperiod

7

14

Dvojrozměrné „fotonické krystaly“

a d 1e 2e

1a

2a

Periodické uspořádání otvorů;Blochův – Floquetův teorém

1b2b

Elementární vektory reciproké mřížky

( )

( ) ( ) ( )1 2

1 2; celé

,

,

z ik r iG r

kz

k k k

Eu r e e

H

u r u r a u r a

G mb nb m n

⋅ ⋅üïï =ýïïþ= + = +

= +

1 20 2 3 2( , ); ( / , / )a a a a a= =

Elementární vektory prostorové mřížky

( ) ( )1 21 1 2

03 3

, , ,b ba a a

= =

15

Pásový diagram energií fotonů2D krystalu s trojúhelníkovou mřížkou

Γ K

M

prvníBrillouinova

zónaprostoru

vlnových vektorů

xk

yk

zakázaný pás

8

16

a

freq

uenc

yω

(2πc

/a)

= a

/ λ

Γ X M Γ0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Photonic Band Gap

TM bandsTE band

Pásový diagram energií fotonů2D krystalu se čtvercovou mřížkou

ΓX

M

xk

yk

17

Odraz rovinné vlny od 2D fotonického krystalus trojúhelníkovou mřížkou otvorů v InP

Uvnitř zakázaného pásu Vně zakázaného pásu

(Ing. Jiří Petráček, Dr., VUT Brno)

9

18

Příklady trojdimenzionálních fotonických krystalů

19

„2.5-dimenzionální fotonické krystaly“

10

22

Realizace 2D fotonických krystalů: 2D krystal v planárním vlnovodu

(PICCO)

planární vlnovod

vlastní vid planárního vlnovodu

periodická struktura vyleptaných otvorů

„3D“ kanálkový vlnovod

vlastní vid kanálkového vlnovodu ve fotonickém krystalu

Zásadní problém: ztráty vyzařováním z roviny vlnovodu

Photonic Crystals:Periodic Surprises in Electromagnetism

Steven G. Johnson

MIT

http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/