1
FOTONICKÉ KRYSTALY
Jiří Čtyroký[email protected]
Ústav fotoniky a elektroniky AV ČR, v.v.i.
1
3
E. Yablonovitch: „Inhibited spontaneous emission in solid-state physicsand electronics“, Phys. Rev. Lett., vol. 58, pp. 2059–2062, 1987
J. D. Joannopoulos et al.: Photonic Crystals: molding the flow of light,Princeton University Press 1995
S. G. Johnson, J. D. Joannopoulos: Photonic Crystals, The road from theory to practice,Kluwer Academic Publishers 2003
J.-M. Lourtioz et al.: Photonic Crystals : Towards Nanoscale Photonic Devices, Springer 2005…
Fotonické krystaly1D, 2D nebo 3D periodické struktury s velkým kontrastem permitivity
2
4
Fotony se v periodickém dielektrickém prostředí pohybují„podobně“ jako elektrony v periodickém potenciálovém poli
Za jistých podmínek existuje zakázaný pás energií fotonů.Fotony s energií uvnitř zakázaného pásu se v periodickémprostředí nemohou šířit, záření se tudíž totálně odráží zpět
Z pohledu vlnové optiky jdeo braggovský odraz vlnyod periodického prostředí.Totální odraz je možno využítk vytvoření optických vlnovodůve fotonických krystalech
Vytvořit trojrozměrné periodické prostředí je však technologicky obtížné.
5
“Pohybové rovnice” pro elektrony a fotony v krystalech
Schrödingerova rovnice pro elektron v periodickém potenciálu:
( ) ( ) ( )
2
2 *e
V Em
y yé ùê ú- D+ =ê úë û
r r r
periodický potenciál vlnová funkce energie fotonu
( ) ( )
( ) ( ) imm
m
V V
u ey ⋅
+ =
=å K r
r a r
r r
(Floquetova)-Blochova vlna,
2K
p=a
“Vlnová rovnice” pro fotony v periodické permitivitě
( )
( )( ) ( )
0 0
21
, ,i i
c
wm we e
we
´ = ´ =-
æ ö æ ö÷ç ÷ç´ ´ =÷ ÷ç ÷ç÷ç è øè ø
E H H r E
H r H rr
Rovnice pro vlastní hodnoty energie fotonů a F-B funkce
Tento přístup je relativně jednoduchý a fyzikálně průzračný,
ale (v této formě) nebere v úvahu disperzi permitivity e(r,w).
Aproximativní (jednočásticové) přiblížení
Přesná(“mnohočásticová”)
teorie
3
6
Periodická vrstevnatá struktura jakojednorozměrný fotonický krystal
7
Jednorozměrný fotonický krystal
1n
2n
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
TE TM
2 2
2 2
2 2, ,
, ,
, ,( , ) / , ( , ) / ,
( , ) , ( , ) / ,
( , ) / ( ) , ( , ) /
( ) ( )
( )
)
)
(
(
) ( ,x l l x
y l li i
l l l
i il l l
i iz l l l z l
y l
l l
l
l
l l
x z k Z N e x z k Y N e
x z k Y N e x z k Z N e
H x z
E p
k Y N p e E x z
H p
k Z N
q E
p e
H q
gx gx
gx gx
gx gx
z z
z z
e
e
g z e g z
= =
= - =
= = -
z
x
( )0 00 1 2, , , ,l lk N l Lg= + =k x z
0 0 0 2, , /k x k z kx z p l= = =
212 2
22
l l
nN
ng e
ìïïï+ = = íïïïîyE
xH
zH
TE
yHxE
zE
TM
Elektromagnetické pole je popsánokomplexními amplitudami ( ) ( ),l lp qz z
Existence zakázaného pásu – odvození metodou přenosové matice(„fotonická analogie“ Kronigova - Penneyova modelu krystalu)
00
0
00
0
,Z
Y
m
e
e
m
=
=
L2
L1
L Normalizace souřadnic a vln. vektorů:
konst. šířeníln
g – příčná konst.šíření stejná
1 1 2 2sin sinn ng q q= =
4
8
Elektromagnetické Floquetovy – Blochovy vidy – 1
( )
( )
( )
( );
cos sin,
sin cos
l l l l
l ll lll
p p N i N
i N Nqq
z z z z z
z zzz z
æ ö æ ö æ ö+D D D÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= ⋅ =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷D Dç ç+D ÷ç÷÷ çç è øè øè øA A
„Průchod“ l-tou vrstvou je popsán vztahy
průchod rozhraním l l +1 a l +1 l lze analogicky popsatpřenosovými maticemi
1
1
0
0 1
1 0
0
,
,
,/
/
l l
l l
r
r
r
r
+
+
æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è øæ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø
A
A
pro TE polarizaci a
pro TM polarizaci.
Přenosová matice celé jedné periody je 12 212 1
.L = ⋅ ⋅ ⋅A A A A A
1/l lN Nr +=
1 1/l l l lN Nr e e+ +=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
exp exp ,
exp exp ,l l l l l
l l l l l
p a iN b iN
q a iN b iN
z z z z z z
z z z z z z
+D = D + - D
+D = D - - D
nebo alternativně přenosovou maticí lA
2
2
, ( ) ,
, ( ) ,l l l l
l l l l
p a b a p q
q a b b p q
= + = +
= - = -
9
Elektromagnetické Floquetovy – Blochovy vidy – 2
Floquetův-Blochův „vid“ (vlna) je definován pomocí vlastního vektoru matice ,LA
( ) ( )1 1
1 1
, exp exp , ,F F
F F F FF F
p ps s i ik k
q qj jL
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç⋅ = = = L = L÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øA
je konstanta šíření F-B vidu.Fk
kF je určena až na aditivní konstantu 2 / :K p= L
Proto stačí určit kF v intervalu 2 2/ /FK k K- < £ první Brillouinova zóna.
( ) 2exp( ) exp exp( )exp( )F F Fik i k K ik ipé ùL = + L = Lê úë û
5
10
Vlastní hodnoty a fotonický zakázaný pás
1 2 1 0 1 1 2 0 2 2, , ,L L k N L k N Lj jL = + = =Označme
2
2 22 21 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 11
2 2cos cos sin sin cos cos sin sin .s j j r j j j j r j j
r r
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= - + - + -÷ ÷ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷è ø è øë û1,s =FB vid se „šíří“ , jen pokud t.j., pokud
221 2 1 2
1 11
2cos cos sin sin .j j r j j
r
æ ö÷ç- + £÷ç ÷ç ÷è ø
Normovaná konstanta šíření je pak
221 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1
2 2arccos cos cos sin sin .
/
FF k
k N L N L N L N LK c c c c
w w w wr
p r
é ùæ öæ ö æ ö æ ö æ ö÷çê ú¢ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= = - + ÷ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ê úç ÷è ø è ø è ø è øè øë û
Pokud 221 2 1 2
1 11
2cos cos sin sin ,j j r j j
r
æ ö÷ç- + >÷ç ÷ç ÷è ø
kF je komplexní, a vlna se nemůže šířit podél nekonečně dlouhého krystalu.Tak vzniká fotonický zakázaný pás.
matice LA má pak vlastní čísla
11
Pásová struktura jednorozměrného krystalu
1
2
1
3 5
0
.
º
n
n
q
=
=
=1
2
1
1 5
0
.
º
n
n
q
=
=
=
TE
74ºq =
TM
74ºq =
“valenční”
“vodivostní”
“dielektrický”
“vzduchový”
pás
pás
6
12
1
2
1
3 5
0 6
.
/ .B
n
n
l l
=
=
=
1 0/ .Bl l =
1 5/ .Bl l =
1 75/ .Bl l =
“dielektr.”pás
“vzduch.”pás
uvnitřzakázaného
pásu
blízko okrajeBrillouinovy
zóny
Elektromagnetické Floquetovy – Blochovy vidy
13
Spektrální reflektance
1
2
1
1 5
20
.
per
n
n
n
=
=
=
1
2
1
3 5
5
.
per
n
n
n
=
=
=
1
2
1
3 5
20
.
per
n
n
n
=
=
=
nízkýkontrast,
vícperiod
velkýkontrast,
máloperiod
1
2
1
1 5
5
.
per
n
n
n
=
=
=
nízkýkontrast,
máloperiod
Fotonické krystaly odpovídají často spíše „nanokrystalům“
velkýkontrast,
víceperiod
7
14
Dvojrozměrné „fotonické krystaly“
a d 1e 2e
1a
2a
Periodické uspořádání otvorů;Blochův – Floquetův teorém
1b2b
Elementární vektory reciproké mřížky
( )
( ) ( ) ( )1 2
1 2; celé
,
,
z ik r iG r
kz
k k k
Eu r e e
H
u r u r a u r a
G mb nb m n
⋅ ⋅üïï =ýïïþ= + = +
= +
1 20 2 3 2( , ); ( / , / )a a a a a= =
Elementární vektory prostorové mřížky
( ) ( )1 21 1 2
03 3
, , ,b ba a a
= =
15
Pásový diagram energií fotonů2D krystalu s trojúhelníkovou mřížkou
Γ K
M
prvníBrillouinova
zónaprostoru
vlnových vektorů
xk
yk
zakázaný pás
8
16
a
freq
uenc
yω
(2πc
/a)
= a
/ λ
Γ X M Γ0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Photonic Band Gap
TM bandsTE band
Pásový diagram energií fotonů2D krystalu se čtvercovou mřížkou
ΓX
M
xk
yk
17
Odraz rovinné vlny od 2D fotonického krystalus trojúhelníkovou mřížkou otvorů v InP
Uvnitř zakázaného pásu Vně zakázaného pásu
(Ing. Jiří Petráček, Dr., VUT Brno)
9
18
Příklady trojdimenzionálních fotonických krystalů
19
„2.5-dimenzionální fotonické krystaly“
10
22
Realizace 2D fotonických krystalů: 2D krystal v planárním vlnovodu
(PICCO)
planární vlnovod
vlastní vid planárního vlnovodu
periodická struktura vyleptaných otvorů
„3D“ kanálkový vlnovod
vlastní vid kanálkového vlnovodu ve fotonickém krystalu
Zásadní problém: ztráty vyzařováním z roviny vlnovodu
Photonic Crystals:Periodic Surprises in Electromagnetism
Steven G. Johnson
MIT
http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/