Preurile forward i futures

Preurile forward i futuresVom discuta despre legtura care exist ntre preurile forward i futures pe de-o parte i preul activului de baz pe de alt parteContractele forward sunt, n general, mai uor de analizat dect contractele futures pentru c nu avem marcare la pia zilnic. Ne vom opri mai nti la determinarea preului contractelor forward (se poate arta foarte uor c preurile la cele dou tipuri de contracte sunt, n general, foarte apropiate cnd scadenele sunt aceleai). Prin urmare, rezultatele obinute pentru contractele forward pot fi considerate ca fiind adevrate i pentru futures.

Preurile forward i futuresSe vor analiza:Titluri care nu aduc nici un venitTitluri care aduc un ctig bine cunoscutTitluri care aduc un dividend yield cunoscut

Preurile forward i futuresVom considera adevrate urmtoarele aspecte:Nu exist costuri de tranzacieToate ctigurile se supun aceleiai taxe de impozitareParticipanii la pia pot lua cu mprumut bani la aceeai rat fr risc la care pot da cu mprumut baniParticipanii la pia vor valorifica orice oportunitate de arbitraj

Cunotine preliminare- dobnda continu -Fie A o sum investit pe o perioad de n ani la o rat R pe an. Dac rata se compune o singur dat pe an valoarea final (valoarea viitoare) va fi:A (1+R)nDac o vom compune de m ori pe an, valoarea final va fi:

Cunotine preliminare- dobnda continu -Dac presupunem A= 100$, R=10% pe an i n=1 (un an), la o singur compunere pe an (m=1) vom avea:100$ x 1,1=110$La o compunere de dou ori pe an (m=2) vom avea:100$x 1,05x1,05=110,25$La o compunere de 4 ori pe an (m=4), vom avea:100$x1,0254=110,38$

Cunotine preliminare- dobnda continu -Efectul creterii frecvenei de compunere asupra valorii viitoare de 100$ de la sfritul anului, la o rat a dobnzii de 10% pe an

Cunotine preliminare- dobnda continu -Limita acestei expresii, cnd m tinde la infinit se numete compunere continu a dobnzii. Astfel, o sum A investit pentru o perioad de n ani la o rat R va ajunge la valoarea de:AeRnUnde e = 2,71828182 baza logaritmului naturalCnd A = 100, n = 1 i R = 0,1 la o compunere continu avem:100e0,1 = 110,52Dup cum vedem, este valoarea care se obine pentru o compunere zilnic, de aceea compunerea continu este deseori asimilat compunerii zilnice a dobnzii.

Cunotine preliminare- dobnda continu -Valoarea viitoare a unei sume de bani, determinat printr-o compunere continu se obine prin nmulirea acelei sume de bani cu eRn.Valoarea actualizat (prezent) a unei sume de bani prin actualizare continu se obine prin nmulirea cu e Rn.

Cunotine preliminare- dobnda continu -Dac R1 este rata dobnzii pentru o compunere continu, iar R2 este rata dobnzii la o compunere de m ori pe an, atunci:

Cunotine preliminare- dobnda continu -Prin urmare:

Aceste relaii se pot folosi pentru a converti o rat cu frecven de compunere de m ori pe an ntr-o rat cu compunere continu i invers.

Cunotine preliminare- vnzri scurte -Short selling = vnzarea unor titluri pe care operatorul nu le deine n momentul tranzaciei i pe care urmeaz s le cumpere mai trziuBrokerul mprumut titlurile de la un alt client i le vinde pe pia n mod normalClientul vizeaz un ctig din reducerea valorii titlurilor vndute (mai nti vinde scump i apoi cumpr mai ieftin)

Cunotine preliminare- vnzri scurte -Ex.:Un investitor contacteaz brokerul su pentru un short pe 500 de aciuni IBM. Brokerul mprumut imediat titlurile de la un alt client i le vinde pe pia urmnd s depun ctigurile n contul investitorului.Dac vor exista mereu titluri pentru a putea fi mprumutate, investitorul poate s-i pstreze poziia short ct timp dorete.

Cunotine preliminare- vnzri scurte -La un anumit moment, totui, investitorul va da ordin brokerului pentru nchiderea poziiei.Brokerul va folosi fondurile existente n contul clientului pentru cumprarea celor 500 de aciuni IBM care vor fi returnate n contul clientului de unde au fost mprumutate.Dac brokerul va rmne fr titluri necesare mprumutului investitorul este ceea ce se numete short squeezed i va fi obligat s-i nchid poziia imediat.

Cunotine preliminare- vnzri scurte -De obicei se permite vnzarea scurt a aciunilor dac piaa este n uptick (a avut loc o cretere a preului);Brokerii solicit marje iniiale destul de mari pentru vnzrile scurte i, la micri adverse ale preului (creteri) se fac apeluri n marj;Cel care deine o poziie short pe titluri este obligat s plteasc brokerului su orice fel de venit, de genul dividendelor sau dobnzilor. Brokerul va transfera aceste venituri n contul clientului de unde titlurile au fost mprumutate.

Cunotine preliminare- vnzri scurte -Relum exemplul:Un investitor vinde scurt 500 aciuni IBM n aprilie la 120$ pe aciune i i nchide poziia prin recumprarea lor n iulie cnd preul este 100$ pe aciune.Dac n mai s-a acordat un dividend de 4$ pe aciune, investitorul primete500x120$=60.000$n aprilie, cnd este iniiat poziia short.

Cunotine preliminare- vnzri scurte -Plata dividendului nseamn 500x4$=2.000$Investitorul pltete, de asemenea, 500x100$=50.000$ la nchiderea poziiei din iuliePrin urmare, ctigul net este:60.000$ - 2.000$ - 50.000$ = 8.000$

Cunotine preliminare- Contractul Repo -Un aranjament de recumprare repurchase agreement (repo) este o tranzacie n care deintorul unor titluri de valoare le vinde unei alte persoane urmnd s le cumpere de la aceasta la un anumit moment n viitor la un pre puin mai mare.

Cunotine preliminare- Contractul Repo -Din perspectiva vnztorului repo reprezint un mijloc de finanare. Costul finanrii este rata repo, care difer de la un instrument la altul.Din perspectiva cumprtorului un repo inversat (reverse repo) este un mijloc de investire sau un mijloc de obinere de titluri pentru realizarea unei vnzri scurte pe activul de baz.

Cunotine preliminare- Contractul Repo -Diferena dintre preul la care titlurile sunt vndute i preul la care sunt recumprate este ctigul obinut de contraparte. mprumutul nu are, n principiu, nici un risc deoarece, n cazul n care vnztorul nu i respect obligaia contractual, contrapartea poate s pstreze titlurile.Rata repo este numai cu puin mai mare dect rata de la bonurile de tezaur.Cea mai uzual rat repo este de la overnight repo unde angajamentele sunt renegociate n fiecare zi.

NotaiiT: Scadena contractului forward (ani)t: Momentul actual (ani)S: Preul activului de baz al contractului forward la momentul tST: Preul activului de baz al contractului forward la momentul T (necunoscut n prezent)K: Preul de livrare n contractul forwardf: Valoarea unei poziii long forward la momentul tF: Preul forward la momentul tr: Rata dobnzii risk-free pe an la momentul t, cu compunere continu, pentru o investiie scadent la momentul T

NotaiiEste important nelegerea diferenei dintre preul forward (F) i valoarea contractului forward (f )Preul forward la un anumit moment este preul de livrare care va face ca valoarea contractului s fie 0. La lansarea unui contract forward preul de livrare este n mod normal egal cu preul forward astfel nct F = K i f = 0. - este preul de livrare la care s-ar putea deschide acum un nou contract forward.F i f se modific odat cu trecerea timpului.

La momentul iniierii contractului preul de livrare este ales astfel nct valoarea contractului forward s fie 0 pentru ambele pri aceasta nseamn c nu cost nimic pentru a lua o poziie long sau short.Ulterior contractul forward poate lua valori pozitive sau negative n funcie de evoluia preului activului de baz. (Ex.: dac valoarea activului crete imediat dup lansarea contractului atunci valoarea unei poziii long va fi pozitiv i cea a poziiei short va fi negativ.

Preul forward pentru un anumit contract este preul de livrare care face ca valoarea contractului s fie zero. Preul forward i preul de livrare sunt, prin urmare, egale la momentul iniierii contractului forward.La trecerea timpului preul forward este posibil s se schimbe, n timp ce preul de livrare va rmne acelai.Cele dou preuri nu sunt egale dect din ntmplare la un anumit moment dup lansarea contractului.n general preul forward la un anumit moment variaz n funcie de scadena contractului n cauz. De ex., preul forward pentru un contract cu scadena la 3 luni difer de cel al unui contract cu scadena la 6 luni.

Forward pe un titlu care nu aduce venitPentru a nu exista nici o oportunitate de arbitraj legtura dintre preul forward F i preul spot S pentru un titlu care nu aduce venit trebuie s fie:F = Se r(T t)Pentru a demonstra acest lucru vom presupune dou situaii:F > Se r(T t)F < Se r(T t)

Forward pe un titlu care nu aduce venitDac F > Se r(T t) atunci un investitor ar putea mprumuta S dolari pentru o perioad de timp T t la rata risk-free, apoi poate cumpra activul i va lua o poziie short pe contractul forward. La momentul T, activul se va vinde n condiiile contractului pentru preul F i o suma de Se r(T t) va fi folosit pentru plata mprumutului. Se va realiza n acest fel, la momentul T, un ctig F Se r (T t).

Forward pe un titlu care nu aduce venitPresupunem c F < Se r(T t)Un investitor poate lua poziie short pe activ, apoi va investi ctigul obinut pentru perioada T t la rata r i va lua o poziie long pe contractul forward.La momentul T activul va fi achiziionat prin contractul forward la preul F, poziia short va fi nchis i se va obine un ctig de Se r(T t) F

Forward pe un titlu care nu aduce venitPentru o argumentaie mai formal vom lua n calcul dou portofolii:Portofoliul A: o poziie long forward pe un titlu plus o sum de bani egal cu Ke r (T t)Portofoliul B: un titlun portofoliul A, suma cash, presupunnd c este investit la rata risk-free, va deveni K la momentul T, cnd va putea fi folosit pentru plata titlului la scadena forward-ului.Ambele portofolii vor valora un titlu la momentul T.

Forward pe un titlu care nu aduce venitAvnd acelai rezultat la momentul T, rezult c cele dou portofolii sunt egale la momentul t. Dac acest lucru nu ar fi fost adevrat, orice investitor ar fi putut realiza un profit fr risc prin cumprarea portofoliului mai ieftin i vnzarea celui mai scump.Astfel:f + Ke r (T t)= S

f = S Ke r (T t)

Forward pe un titlu care nu aduce venitLa lansarea unui contract forward preul forward este egal cu preul de livrare specificat n contract i este ales n aa fel nct valoarea contractului s fie zero.Prin urmare, preul forward (F) este acea valoare a lui K pentru care f = 0 n relaia de mai sus:F = Se r(T t)

Forward pe un titlu care aduce un venit cunoscutTitluri cu venit cunoscut aciuni care pltesc an anumit dividend bine determinat i obligaiunile care pltesc cupoane.I = valoarea actualizat a ctigului ce urmeaz s fie obinut pe durata de existen a forward-ului.Pentru ca s nu existe oportunitate de arbitraj relaia dintre F i S trebuie s fie:F = (S I)e r(T t) Vom folosi acelai raionament:F > (S I)e r(T t) F < (S I)e r(T t)

Forward pe un titlu care aduce un venit cunoscutPresupunem F > (S I)e r(T t)Un arbitrajeur va mprumuta bani, va cumpra activul i va lua o poziie short pe contractul forward. Dac venitul obinut este folosit pentru plata unei pri din mprumut, o sum de (S I)e r(T t) din mprumut urmeaz s fie pltit la momentul T. Va rezulta un profit de F (S I)e r(T t) la T.

Forward pe un titlu care aduce un venit cunoscutF < (S I)e r(T t).Un arbitrajeur poate lua o poziie short pe activ, va investi rezultatul i va lua o poziie long pe contractul forward.Astfel, se va obine un ctig de F (S I)e r(T t).

Forward pe un titlu care aduce un venit cunoscutMai formal, putem lua n considerare acelai portofoliu A, n timp ce portofoliul B ar putea fi format din un titlu plus o sum I mprumutat la rata risk-free.Venitul adus de titlu poate fi folosit pentru a se rambursa suma mprumutat astfel nct acest portofoliu s aib valoarea unui titlu la momentul T. Portofoliul Aare aceeai valoare la momentul T i atunci au aceeai valoare la momentul t:

Forward pe un titlu care aduce un venit cunoscutf + Ke r (T t)= S Isauf = S I Ke r (T t)Preul forward F este, ca i nainte, acea valoare a lui K pentru care f = 0. Prin urmare:F = (S I)e r (T - t)

Forward pe un titlu care aduce o rat de dividend cunoscutO rat de dividend cunoscut (known dividend zield) nseamn c se cunoate proporia pe care o reprezint venitul ce urmeaz a fi obinut din preul titlului. Ex.: dac rata dividendului este q = 0,05 (rat anual 5%), la un pre al titlului de 10$ dividendele ce urmeaz s fie pltite n perioada urmtoare reprezint 50 ceni pe an; cnd preul titlului ajunge la 100$ dividendele pe intervalul urmtor vor fi pltite la o rat de 5$ pe an.

Forward pe un titlu care aduce o rat de dividend cunoscutPentru determinarea preului vom modifica din nou portofoliul B , care va fi format din e q(T t) din valoarea titlului cu reinvestirea tuturor ctigurilor aduse de titlu.Valoarea portofoliului B crete ca urmare a dividendelor ce vor fi pltite, astfel nct la momentul T portofoliul va fi constituit dintr-un singur titlu. Portofoliile A i B au aceeai valoare la momentul T, deci vor avea aceeai valoare i la momentul t.

Forward pe un titlu care aduce o rat de dividend cunoscutf + Ke r (T t)= Se q(T t)sauf = Se q(T t) Ke r (T t)i preul forward F este determinat de valoarea lui K pentru care f este zero:F = Se (r q)(T t) n cazul n care dividend yield variaz pe parcursul contractului forward relaia de mai sus este corect dac se calculeaz o medie a lui q

n generalUn rezultat cu aplicare general este:f = (F K)e r (T t)Aceasta din cauz c dac f > (F K)e r (T t)Sau f < (F K)e r (T t)Vor exista posibiliti de arbitraj

n generalf > (F K)e r (T t)Putem s lum o poziie long pe un contract forward cu un pre de licrare F i scaden T i o poziie short ntr-un contract forward cu un pre de livrare K i scaden T. Cum primul contract are valoarea zero, aceast strategie genereaz un cash flow iniial egal cu f. Cash flow-ul final va fi(ST F) + (K - ST) = - (F K)Prin urmare investiia va determina fixarea unui cash flow cu o valoare actualizat pozitiv:f - (F K)e r (T t)

n generalf < (F K)e r (T t)Vom lua o poziie short pe un contract forward cu un pre de livrare F i scaden T i o poziie long pe un contract forward cu pre de livrare K i scaden T.Se fixeaz astfel un cash flow pozitiv de valoare(F K)e r (T t) f