formelsammlung numerische stroemungsmechanik kull

Numerische Strömungsmechanik Kullick - Hupperich MME WS 2009

1

1 Navier-Stokes Gleichungen

0

z

w

y

v

x

uVorr. .const

z

y

x

fz

w

y

w

x

w

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

fz

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

fz

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

v

pp cz

T

y

T

x

T

cz

Tw

y

Tv

x

Tu

t

T

2

2

2

2

2

2

2 Potentialströmungen

zusätzlich 0

y

u

x

vwrot

3 Strömung im Spalt

Stationäre, eindimensionale, ausgebildete, ebene,inkompressible Strömung ohne äußeres Kraftfeld mit

)(0)( xppwvyuu

x

p

y

ubzw

x

p

y

u

1.

12

2

2

2

21

2

2

1)( CyC

y

dx

dpyu

3.1 Couette-Strömung

Mit den RB: .)(0)0( constpUhuu folgt:

yh

Uyu )(

Viskosität geht nicht ein gültig für alle Medien

Anfahrvorgang:

2

2

y

u

t

u

mit AB 0)0,( yu , RB Uthutu ),(0),0(

th

nn

eyh

n

n

Uy

h

Utyu

2

22

sin)1(2

),(0

Reihenentwicklung und Abweichungen siehe Skript!

3.2 Poiseuille-Strömung

Mit den RB:l

p

dx

dphuu

0)(0)0( folgt:

h

y

h

y

h

y

h

yh

Ul

p

U

yu14

2

11)(2

22

Volumenstrom:m

h

bhubhUdyyubV

3

2)(

0

; Uum3

2

Druckabfall bei Kanal der Länge l mit

humRe

Re

24

22

h

lup m

3.3 Strömung mit Druckgradient und bewegterWand

Mit den RB:1)(0)0( Uhuu folgt:

yh

U

h

y

h

yh

dx

dpyu 1

2

22

2

1)(

Rückströmung bei21

2

hU

dx

dp

Volumenstrom:

212

1)( 1

3

0

hU

h

dx

dpbdyyubV

h

3.4 Cavity-Problem

0)(0

h

dyyubV

3.5 Schichtenströmung mit Querströmung:

.)( 0 constpvvyuu

0

y

v2

2

y

u

y

uv

00

2

2

y

uv

y

u

DGL 2.Ord.

Lösung: Exp.ansatz: yeCu Charak. Gl: 002

v

00

v

0

21 0v

y

v

eCCu

0

21

mit RB: Uhuu )(0)0( und

hvhU

0

0ReRe

0

0

0

0

Re

Re

1

1

1

1)(

e

e

e

e

U

yu h

y

hv

yv

für Re0 = 0 Couette

4 Rayleigh-Stokes-Problem

Mit: det)(0.0),( ausgebilx

uconstpwvtyuu

und den AB/RB:00),(),0(00),( tfürtuUtutfürtyu folgt:

2

2

y

u

t

u

Partielle DGL

Lösung:

t

yerfc

t

yerf

U

tyu

221

),(

Wie verhält sich δ=1% mit der Zeit?

Lösung:

t

yerf

U

tyu

2101,0

),( 82,12

t

y

ty 282,1

Plötzlich gestoppte Platte:

t

yerf

U

tyu

2

),(

5 StromlinienStromlinie = Tangente an GeschwindigkeitsvektorIn stationären Strömungen sind Stromlinien undTeilchenbahnen identisch.

dx

dyxv

dy

dyxu

),(),( dyyxu ),(


2

6 Grenzschicht

Vorr.:y

u

x

uuvl

lu

1Re

0

y

v

x

u

y

p

y

u

x

p

y

uv

x

uu

0

12

2

p(x) wird durch die Außenströmung aufgeprägt:

dx

dUU

x

p

1 in der Regel (ebene Platte) ist dp/dx = 0

Grenzschichtdicke (Tabelle 1):

xxux Re

Ist dp/dx = 0, so ergibt sich:

2

2 )(

U

xw

x

S.69

6.1 Impulssatz

Verdrängungsdicke:

0

1 1 dyU

u

Blasius-Platte: )( 111

f

U

x

Impulsverlustdicke:

0

2 1 dyU

u

U

u

Blasius-Platte: )0(21 ''''2 f

U

xdff

U

x

Formparameter:

2

1

H )(4,2;)(5,3 turbHlamH

6.2 Reibungswiderstand der Plattengrenzschicht

lokaler Reibungsbeiwert:

x

fcRe

664,0

normierter Reibungswiderstand:Re

328,1Fc

6.3 Pohlhausenverfahren

Angenähertes Verfahren, nach dem auch Tragflügelentworfen werden. Darstellung des Geschwindigkeitsprofilsin der Grenzschicht durch ein Polynom 4. Grades.

7 Leistung, Kraft, Spannungen

ubluAuFP

dn

dv

hy

wdy

du

Wandschubspannung:

t

Uw

8 Volumenstrom

h

bhUdyyubV0 3

2)(

12

bV

9 Kugel-UmströmungRe < 1 Stokesche SchichtenströmungKugelkoordinaten sinnvoll NS-Gleichungen:

)(0

0sin

1sin

)(0

12

Re

2

22

2

DrallsonstitchwindigkeUmfangsgeskeinev

rr

trischaxialsymme

Ru

Dimensionslose Geschwindigkeiten:

sin4

1

4

31

cos2

1

2

31

3

3

r

R

r

R

U

v

r

R

r

R

U

vr

Schubspannungen:

sin2

34

r

R

R

ur

Druck:

sin2

34

0

r

R

R

upp

Stromfunktion:

22

3

sin2

1

4

34

1

),(

rwrRwr

Rwr

Re

24wc

Stoke’sches Widerstandsgesetz:

wRFFF TNw 6

22

2Rw

Fc N

D

22

2Rw

Fc T

N

22

2Rw

FFc RN

w

Potentialströmung um Kugel:


3

2

3

32 sin1

2

1

r

Rrw

10 Tragflügel

Aw

Fc A

A

2

2

Kutta- Jukowski Formel:

Auftrieb~Zirkulation: sdw

Ebene Platte mit Anstellung:

sin2 Ac

11 Dimensionslose Größenw = GeschwindigkeitL = Länge

Lw Re

Re < 2320: laminare RohrströmungRe < 3000-4000: ebene Spaltströmung (couette, Poiseuille)Re < 1: stokesche SchichtenströmungRe > 10^5: Grenzschicht-Strömung (L. Prandtl)Bei Strömungskörpern ist die Bezugslänge die Länge desKörpers in Strömungsrichtung. Bei Widerstandskörpern dieBreite oder Höhe quer zur Strömungsrichtung.

pc

kPr

12 Sonstiges

Bernoulli-Gleichung: .2

2 constvgzp

Dynamische Viskosität:

13 Turbulenzmodelle- Prandtlscher Mischungswegansatz- Wirbelviskositätsmodell- k-ε-Modell - k-ω-Modell - SST-Modell


4

Strömungskräfte


5

Euler Gleichungen:

bzw.

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