formelsamling i fysik

FORMELSAMLING I FYSIK

Institutionen for teoretisk fysik, KTH, 2006

Institutionen for teoretisk fysik, KTH, 2006

1 Vektoranalys

Foljande formler galler i ett ortogonalt, kroklinjigt koordinatsystem med koordinaternau1, u2, u3, basvektorerna e1, e2, e3 och skalfaktorerna h1, h2, h3 :

dr = h1 du1 e1 + h2 du2 e2 + h3 du3 e3 (1.1)

gradφ =1

h1

∂φ

∂u1

e1 +1

h2

∂φ

∂u2

e2 +1

h3

∂φ

∂u3

e3 (1.2)

divA =1

h1h2h3

[

∂

∂u1

(h2h3A1) +∂

∂u2

(h3h1A2) +∂

∂u3

(h1h2A3)

]

(1.3)

rotA =1

h1h2h3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

h1e1 h2e2 h3e3

∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(1.4)

div gradφ = ∇2φ =1

h1h2h3

[

∂

∂u1

(

h2h3

h1

∂φ

∂u1

)

+∂

∂u2

(

h3h1

h2

∂φ

∂u2

)

+∂

∂u3

(

h1h2

h3

∂φ

∂u3

)]

(1.5)

A1, A2 och A3 ar de kroklinjiga komponenterna av vektorfaltet A:

A = A1e1 + A2e2 + A3e3 (1.6)

Specialfall

Cylinderkoordinater ( hρ = 1, hϕ = ρ, hz = 1):

∇2 =∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂

∂ρ+

1

ρ2

∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2(1.7)

Sfariska koordinater ( hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ):

∇2 =1

r2

∂

∂r

(

r2 ∂

∂r

)

+ +1

r2

1

sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2(1.8)

1

2 Speciella funktioner

Legendres polynom och funktioner

Definitioner: Legendrepolynom Pℓ, ℓ = 0, 1, 2, . . . ,∞:

Pℓ(u) =1

2ℓ ℓ!

dℓ

duℓ(u2 − 1)ℓ. (2.1)

Pℓ ar ett polynom av graden ℓ, pariteten (−)ℓ, med ℓ nollstallen i intervallet (−1, 1).

Legendrefunktionerna Pmℓ , ℓ = 0, 1, 2, . . . ,∞ och m = 0, 1, 2, . . . , ℓ, definieras ur mot-

svarande polynom:

Pmℓ (u) = (1 − u2)m/2 dm

dumPℓ(u). (2.2)

Pmℓ ar produkten av (1 − u2)m/2 med ett polynom av graden ℓ − m och med pariteten

(−)ℓ−m, med ℓ − m nollstallen i intervallet (−1, 1).

Speciellt:

m = ℓ P ℓℓ (u) = (2ℓ − 1)!! (1 − u2)ℓ/2, (2.3)

m = 0 P 0ℓ (u) = Pℓ(u). (2.4)

Genererande funktioner:

(1 − 2tu + t2)−1/2 =∞

∑

ℓ=0

tℓPℓ(u), |t| < 1, (2.5)

(2m − 1)!! (1 − u2)m/2 tm(1 − 2tu + t2)−m−1/2 =∞

∑

ℓ=m

tℓPmℓ (u). (2.6)

Differentialekvation:(

d

du

(

(1 − u2)d

du

)

+ ℓ(ℓ + 1) − m2

1 − u2

)

Pmℓ (u) = 0. (2.7)

Rekursionsformler (Formlerna galler aven for ℓ = m med konventionen Pmm−1 = 0.):

(2ℓ + 1)uPmℓ (u) = (ℓ + 1 − m)Pm

ℓ+1(u) + (ℓ + m)Pmℓ−1(u), (2.8)

(1 − u2)d

duPm

ℓ (u) = −ℓuPmℓ (u) + (ℓ + m)Pm

ℓ−1(u)

= (ℓ + 1)uPmℓ (u) − (ℓ + 1 − m)Pm

ℓ+1(u). (2.9)

2

Ortonormeringsrelation:

∫ 1

−1

Pmk Pm

ℓ du =2

2ℓ + 1

(ℓ + m)!

(ℓ − m)!δkℓ. (2.10)

Speciella varden:

m = 0 Pℓ(1) = 1, Pℓ(−1) = (−1)ℓ, (2.11)

m 6= 0 Pmℓ (1) = Pm

ℓ (−1) = 0, (2.12)

Pmℓ (0) =

(−1)p (2p + m)!

2ℓp!(p + m)!om ℓ − m = 2p,

0 om ℓ − m = 2p + 1.

(2.13)

Tabell over de forsta Legendrefunktionerna:

P 00 = 1, P 0

1 = u, P 11 =

√1 − u2,

P 02 =

1

2(3u2 − 1), P 1

2 = 3u√

1 − u2, P 22 = 3(1 − u2),

P 03 =

1

2(5u3 − 3u), P 1

3 =3

2(5u2 − 1)

√1 − u2, P 2

3 = 15u(1 − u2),

P 33 = 15(1 − u2)3/2, P 0

4 =1

8(35u4 − 30u2 + 3).

Legendrefunktionerna Pmℓ (cos θ). r(θ)) visar (P

|m|ℓ (cos θ))2, ℓ = 1, 2 i riktningen θ.

3

Klotytfunktioner (spherical harmonics

Rorelsemangdsmomentsoperatorerna Lx, Ly, Lz ar hermiteska differentialoperatorer,definierade genom

L = −i~(r ×∇). (2.14)

Man valjer z-axeln som polaraxel for de sfariska koordinaterna (r, θ, ϕ), ϕ = 0 ar xz-planet, ϕ = π/2 ar yz-planet, Ω = (θ, ϕ) ar en sammanfattande beteckning for vinkelko-ordinaterna. Rymdvinkelelementet, dΩ, definieras:

dΩ = sin θ dθ dϕ. (2.15)

I sfariska koordinater blir L:s kartesiska komponenter (~ = Plancks konstant divideradmed 2π satts i vissa sammanhang = 1):

Lz = −i~∂

∂ϕ, (2.16)

L± = Lx ± iLy = ~e±iϕ

(

± ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

)

, (2.17)

L2 = L2x + L2

y + L2z = −~

2

(

1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

)

. (2.18)

Klotytfunktionerna Yℓm(θ, ϕ) definieras som de gemensamma egenfunktionerna till ope-ratorerna L2 och Lz:

L2Yℓm = ~2ℓ(ℓ + 1)Yℓm, (2.19)

LzYℓm = ~mYℓm, (2.20)

ℓ = 0, 1, 2, . . . ,∞, m = −ℓ,−ℓ + 1, . . . , ℓ.

Definitionen blir fullstandig om man tillfogar, atta) Yℓm ar normerade till 1 pa enhetssfaren,

∫

Y ∗ℓmYℓ′m′ dΩ =

=

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sin θ dθ Y ∗ℓm(θ, ϕ)Yℓ′m′(θ, ϕ) = δmm′δℓℓ′ . (2.21)

b) Yℓm:s faser valjs sa att foljande rekursionsformel ar satisfierad och Yℓ0(0, 0) ar reelloch positiv.

L±Yℓm = ~

√

ℓ(ℓ + 1) − m(m ± 1) Yℓ,m±1. (2.22)

4

Paritet (−)ℓ.

Reflexion i origo (θ, ϕ) → (π − θ, ϕ + π):

Yℓm(π − θ, ϕ + π) = (−1)ℓYℓm(θ, ϕ). (2.23)

Komplexkonjugering:

Y ∗ℓm(θ, ϕ) = (−1)mYℓ,−m(θ, ϕ). (2.24)

Relationer med Legendrefunktionerna:

Yℓm(θ, ϕ) = (−1)(m+|m|)/2

√

2ℓ + 1

4π

(ℓ − |m|)!(ℓ + |m|)! P

|m|ℓ (cos θ)eimϕ. (2.25)

Speciellt:

m = 0 Yℓ0 =

√

2ℓ + 1

4πPℓ(cos θ), (2.26)

m = ℓ Yℓℓ = (−1)ℓ

√

2ℓ + 1

4π

(2ℓ)!

22ℓ(ℓ!)2sinℓ θ eiℓϕ. (2.27)

Tabell over de forsta klotytfunktionerna:

Y00 =1√4π

, Y10 =

√

3

4πcos θ, Y20 =

√

5

16π(3 cos2 θ − 1),

Y30 =

√

7

16π(5 cos3 θ − 3 cos θ),

Y11 = −√

3

8πsin θ eiϕ, Y21 = −

√

15

8πsin θ cos θ eiϕ,

Y31 = −√

21

64πsin θ(5 cos2 θ − 1)eiϕ,

Y22 =

√

15

32πsin2 θ e2iϕ, Y32 =

√

105

32πsin2 θ cos θ e2iϕ,

Y33 = −√

35

64πsin3 θ e3iϕ.

5

Tillampningar innehallande Pm

ℓoch Yℓm

Additionsteorem:

2ℓ + 1

4πPℓ(cos α) =

ℓ∑

m=−ℓ

Y ∗ℓm(θ1, ϕ1)Yℓm(θ2, ϕ2), (2.28)

α ar vinkeln mellan riktningarna (θ1, ϕ1) och (θ2, ϕ2).

Greenfunktion for Laplaceoperatorn:

1

|r1 − r2|=

∞∑

ℓ=0

rℓ<

rℓ+1>

Pℓ(cos α), (2.29)

α ar vinkeln mellan r1 och r2, r< och r> = den minsta respektive den storsta av r1 ochr2.

Utveckling av plan vag i sfariska vagor:

eik·r =∞

∑

ℓ=0

iℓ(2ℓ + 1)jℓ(kr)Pℓ(cos θ). (2.30)

θ ar vinkeln mellan k och r.

Besselfunktioner

Besselfunktion av forsta slaget Jν(z):

Jν(z) =(z

2

)ν∞

∑

m=0

(−1)m

m! Γ(ν + m + 1)

(z

2

)2m

, (2.31)

om ν = n heltal:

J−n(z) = (−1)nJn(z). (2.32)

Besselfunktion av andra slaget, Webers funktion, Neumanns funktion Yν(z):

Yν(z) =Jν(z) cos νπ − J−ν(z)

sin νπ, (2.33)

om ν = n heltal:

Yn(z) = limν→n

Yν(z) =2

πJn(z) ln

(z

2

)

+∞

∑

k=0

ank

(z

2

)2k−n

, n ≥ 0 (2.34)

an0 = −(n − 1)!

π,

Y−n(z) = (−1)nYn(z). (2.35)

6

Genererande funktion:

exp

(

z

2(t − 1

t)

)

=∞

∑

n=−∞

Jn(z)tn. (2.36)


d2

dz2+

1

z

d

dz+ 1 − ν2

z2

)

fν(z) = 0. fν = Jν el. Yν (2.37)

Wronskirelationer:

Jν(z)J ′−ν(z) − J ′

ν(z)J−ν(z) = −2 sin νπ

πz, (2.38)

Jν(z)Y ′ν(z) − J ′

ν(z)Yν(z) =2

πz. (2.39)

Rekursionsformler:

Jν−1(z) + Jν+1(z) =2ν

zJν(z), (2.40)

Jν−1(z) − Jν+1(z) = 2J ′ν(z), (2.41)

d

dz(zνJν(z)) = zνJν−1(z), (2.42)

d

dz(z−νJν(z)) = −z−νJν+1(z). (2.43)

Ortonormeringsrelationer:∫ 1

0

Jν(µνi x)Jν(µ

νkx)x dx = Ciδik; (2.44)

a) om µνi , µν

k ar positiva rotter till ekvationen Jν(x) = 0, ν > −1:

Ci =1

2(Jν+1(µ

νi ))

2 ; (2.45)

b) om µνi , µν

k ar positiva rotter till ekvationen αJν(x)+βxJ ′ν(x) = 0, ν > −1, α/β+ν > 0:

Ci =1

2

(

1 +

(

α2

β2− ν2

)

1

(µνi )

2

)

(Jν(µνi ))

2 . (2.46)

Asymptotiskt uppforande:

Jν(x) =

√

2

πxcos(x − (2ν + 1)

π

4) + O(x−3/2), (2.47)

Yν(x) =

√

2

πxsin(x − (2ν + 1)

π

4) + O(x−3/2), (2.48)

om ν reell, x → ∞. (2.49)

7

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

J0(x)

J1(x)

J2(x)

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

Y0(x)

Y1(x)

Y2(x)

Besselfunktionerna Jn(x), n = 0, 1, 2. Neumannfunktionerna Yn(x), n = 0, 1, 2.

Sfariska Besselfunktioner

jℓ(z) =

√

π

2zJℓ+1/2(z) = (−1)ℓzℓ

(

d

z dz

)ℓsin z

z=

=1

z(pℓ(z) sin z − qℓ(z) cos z), (2.50)

nℓ(z) =

√

π

2zYℓ+1/2(z) = (−1)ℓ+1zℓ

(

d

z dz

)ℓcos z

z=

= −1

z(pℓ(z) cos z + qℓ(z) sin z). (2.51)


d2

dz2+

2

z

d

dz+ 1 − ℓ(ℓ + 1)

z2

)

fℓ(z) = 0, fℓ = jℓ el. nℓ. (2.52)

Tabell over de forsta sfariska Besselfunktionerna:

n pn(z) qn(z)

0 1 0

11

z1

23

z2− 1

3

z

315

z3− 6

z

15

z2− 1

8

Modifierade Besselfunktioner

Definitioner:

Modifierad Besselfunktion av forsta slaget Iν(z):

Iν(z) = e−iνπ/2Jν(zeiπ/2) =

(z

2

)ν∞

∑

m=0

1

m! Γ(ν + m + 1)

(z

2

)2m

, (2.53)

om ν = n heltal:

I−n(z) = In(z). (2.54)

Modifierad Besselfunktion av andra slaget Kν(z):

Kν(z) =π

2

I−ν(z) − Iν(z)

sin νπ, (2.55)

K−ν(z) = Kν(z), (2.56)

om ν = n heltal:

Kn(z) = limν→n

Kν(z) = (−1)n+1In(z) ln(z

2

)

+∞

∑

k=0

ank

(z

2

)2k−n

, n ≥ 0, (2.57)

an0 =(n − 1)!

2,

K−n(z) = Kn(z). (2.58)


d2

dz2+

1

z

d

dz− 1 − ν2

z2

)

fν(z) = 0, fν = Iν el. Kν . (2.59)

Wronskirelation:

Iν(z)K ′ν(z) − I ′

ν(z)Kν(z) = −1

z. (2.60)

Rekursionsformler:

Iν−1(z) − Iν+1(z) =2ν

zIν(z), (2.61)

Kν−1(z) − Kν+1(z) = −2ν

zKν(z), (2.62)

Iν−1(z) + Iν+1(z) = 2I ′ν(z), (2.63)

Kν−1(z) + Kν+1(z) = −2K ′ν(z). (2.64)

9

Asymptotiskt uppforande da x → ∞:

Iν(x) =ex

√2πx

(

1 + O(

1

x

))

, (2.65)

Kν(x) =

√

π

2xe−x

(

1 + O(

1

x

))

. (2.66)

0 1 2 3 4 5 6

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

e-x

I0(x)

e-x

I1(x)

e-x

I2(x)

0 1 2 3 4 5 6

x

0

1

2

3

4

5

exK

0(x)

exK

1(x)

exK

2(x)

Den modifierade Besselfunktionen Den modifierade Besselfunktionenav forsta slaget In(x), n = 0, 1, 2. av andra slaget Kn(x), n = 0, 1, 2.

Hermitepolynom

Definition:

Hermitepolynom Hn(z), n = 0, 1, 2, . . . ,∞:

Hn(z) = (−1)nez2 dn

dzne−z2

. (2.67)

Hn ar polynom av graden n, paritet (−)n, med n nollstallen i (−∞,∞).


e−t2+2tz =∞

∑

n=0

Hn(z)tn

n!. (2.68)


d2

dz2− 2z

d

dz+ 2n

)

Hn(z) = 0. (2.69)

Rekursionsformler:

H ′n(z) = 2nHn−1(z), (2.70)

2zHn(z) = Hn+1(z) + 2nHn−1(z). (2.71)

10

Tabell over de forsta Hermitepolynomen:

H0 = 1, H1 = 2z,

H2 = 4z2 − 2, H3 = 8z3 − 12z,

H4 = 16z4 − 48z2 + 12, H5 = 32z5 − 160z3 + 120z.

Laguerrepolynom

Definition:

Laguerrepolynom Lkn(z), k, p = 0, 1, 2, . . . ,∞:

Lkn(z) =

1

n!ezz−k dn

dzn(e−zzn+k) =

n∑

m=0

(

n + k

n − m

)

(−z)m

m!. (2.72)

Lkn ar polynom av graden n, med n nollstallen i (0,∞).

Speciellt:

Lk0(z) = 1. (2.73)


1

(1 − t)k+1exp

(

zt

t − 1

)

=∞

∑

n=0

Lkn(z)tn, |t| < 1. (2.74)


zd2

dz2+ (k + 1 − z)

d

dz+ n

)

Lkn(z) = 0. (2.75)


∫ ∞

0

LkmLk

n e−xxk dx =(k + n)!

n!δmn. (2.76)

11

Greenfunktioner

Fundamentallosningar i tva dimensioner

Ekvation Losning

∆G0(r) = −δ(r) − 1

2πln

(

r

r0

)

∆G0(r) + µ2G0(r) = −δ(r) −1

4Y0(µr)

∆G0(r) − µ2G0(r) = −δ(r)1

2πK0(µr)

(∆ − 1

c2

∂2

∂t2)G0(r, t) = −δ(r)δ(t)

1

2π√

t2 − r2/c2Θ(t − r/c)

(D∆ − ∂

∂t)G0(r, t) = −δ(r)δ(t)

1

4πDte−r2/(4Dt) Θ(t)

Fundamentallosningar i tre dimensioner

Ekvation Losning

∆G0(r) = −δ(r)1

4πr

∆G0(r) + µ2G0(r) = −δ(r)eiµr

4πr,

e−iµr

4πr

∆G0(r) − µ2G0(r) = −δ(r)e−µr

4πr

(∆ − 1

c2

∂2

∂t2)G0(r, t) = −δ(r)δ(t)

1

4πrδ(

r

c− t) Θ(t)

(D∆ − ∂

∂t)G0(r, t) = −δ(r)δ(t)

1

(4πDt)3/2e−r2/(4Dt) Θ(t)

12

3 Elektrodynamik

Definition av D- och H-falten

Allmant Linjara material

D = ǫ0E + P D = ǫrǫ0E P = (ǫr − 1)ǫ0E (3.1)

H =1

µ0

B − M H = 1µrµ0

B M = (µr − 1)H (3.2)

Maxwells ekvationer

div D = ρ rot E = −∂B∂t

(3.3)

div B = 0 rot H = J + ∂D∂t

(3.4)

Potentialer

E = ∇V − ∂A

∂toch B = rotA (3.5)

Lorentz kraftekvation

F = q(E + v × B) (3.6)

Faltenergin

U =1

2

∫∫∫

dV (E · D + B · H) (3.7)

Rorelsemangden

p = ǫ0

∫∫∫

dV (E × B) (3.8)

Poyntingvektorn

S =1

µ0

(E × B) (3.9)

13

4 Relativitetsteori

Hyperboliska funktioner

sinh x =1

2

(

ex − e−x)

, cosh x =1

2

(

ex + e−x)

, tanh x =sinh x

cosh x(4.1)

cosh2 x − sinh2 x = 1, tanh(x + y) =tanh x + tanh y

1 + tanh x tanh y(4.2)

Vid relativistiska transformationer ar tanh θ = v/c, dar θ ar den hyperboliska rota-tionsvinkeln.

Elektromagnetiska falt

F = (F µν) =

0 E1 −E2 −E3

E1 0 −cB3 cB2

E2 cB3 0 −cB1

E3 −cB2 cB1 0

(4.3)

F µν = ∂µAν − ∂νAµ, A = (Aµ) = (φ, cA) (4.4)

Maxwells ekvationer:

∂µFµν = Jν , J = (Jµ) = (ρ/ǫ0, cµ0j) (4.5)

∂µF νλ + ∂νF λµ + ∂λF µν = 0 (4.6)

Lorentz kraftekvation:

m0c2xµ(s) = qxν(s)F

µν(x(s)) (4.7)

Differentialgeometri

Γkij =

1

2gkl (∂igjl + ∂jgil − ∂lgij)

Rmkij = ∂iΓ

mjk − ∂jΓ

mik + Γp

jkΓmip − Γp

ikΓmjp

T kij = Γk

ij − Γkji

Allman relativitetsteorei

Einsteins ekvationer:

Gµν = Rµν −1

2gµνR = 8π

G

c4Tµν (4.8)

Schwarzschildmetriken:

ds2 =

(

1 − 2GM

c2r

)

(dx0)2 −(

1 − 2GM

c2r

)−1

dr2 − r2dΩ2 (4.9)

14

5 Kvantummekanik

Schrodingerekvationen: i~∂Ψ

∂t= HΨ =

(

− ~2

2m∇2 + V

)

Ψ (5.1)

Fundamental komutatorrelation: [x, p] = i~ (5.2)

Rorelsemangdsoperatorn: p = −i~∇ (5.3)

Harmoniska oscillatorns egenfunktioner

φn(x) = |n〉 =(mω

~

)1/4 1√√

π 2nn!exp

(

−mω

2~x2

)

Hn

(√

mω

~x

)

(5.4)

-5 0 5

0

-5 0 5

0

-5 0 5

0

-5 0 5

0

-5 0 5

0

-5 0 5

0n=0

n=1

n=2

n=3 n=4 n=5

Den harmoniska oscillatorns egenfunktioner un(ξ), n = 0, 1, . . . , 5, ξ = x√

mω/~. Denhorisontella linjen anger for varje n svangningsintervallet for en klassisk harmonisk oscil-lator med motsvarande energi.

15

Stegoperatorer for den harmoniska oscillatorn

a =

√

mω

2~

(

x + ip

mω

)

(5.5)

a+ =

√

mω

2~

(

x − ip

mω

)

(5.6)

[a, a+] = 1 (5.7)

H = ~ω

(

a+a +1

2

)

(5.8)

a|n〉 =√

n |n − 1〉 (5.9)

a+|n〉 =√

n + 1 |n + 1〉 (5.10)

Schrodingers egenfunktioner for vateliknande atomer

Energiegenvarden:

En = − Z2e2

2(4πε0)a0n2, a0 =

4πε0~2

µe2. (5.11)

Egenfunktioner normerade till 1:

φnℓm(r, θ, ϕ) =1

a3/2NnℓFnℓ

(

2

n

r

a

)

Yℓm(θ, ϕ), (5.12)

Fnℓ(x) = xℓe−x/2L2ℓ+1n−ℓ−1(x), (5.13)

Nnℓ =2

n2

√

(n − ℓ − 1)!

(n + ℓ)!. (5.14)


∫ ∞

0

Fnℓ

(

2ρ

n

)

Fsℓ

(

2ρ

s

)

ρ2 dρ = δsnn4(n + ℓ)!

4(n − ℓ − 1)!. (5.15)

n = 1, 2, . . . ,∞, ℓ = 0, 1, 2, . . . , n − 1, m = −ℓ,−ℓ + 1, . . . , ℓ.

16

Tabell over de forsta radialfunktionerna:

ρ =r

a, gnℓ(ρ) = NnℓFnℓ

(

2ρ

n

)

, (5.16)

n = 1 : g1s = 2e−ρ, (5.17)

n = 2 : g2s =1√2

(

1 − ρ

2

)

e−ρ/2, g2p =1

2√

6ρe−ρ/2, (5.18)

n = 3 : g3s =2

3√

3

(

1 − 2

3ρ +

2

27ρ2

)

e−ρ/3, g3p =4√

6

81

(

ρ − 1

6ρ2

)

e−ρ/3,(5.19)

g3d =2√

30

1215ρ2e−ρ/3. (5.20)

0 5 10 15r (10

−8 cm)

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.40 2 4 6 8

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15r (10

−8 cm)

−0.05

0

0.05

0.10 2 4 6 8

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15r (10

−8 cm)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.060 2 4 6 8

0

0.05

0.1

0.15

0.2

n=1l=0

n=2l=0

n=2l=1

n=3l=0

n=3l=1

n=3l=2

Radialdelen av vatets egenfunktioner gnℓ(ρ), ρ = r/a for n = 1, 2, 3. Radien formotsvarande bohrbana ar angiven med ett vertikalt streck pa r-axeln. Observera attkurvorna ar ritade i skilda skalor for olika n.

17

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1s

2p 2s

3d 3p

3s

Radiell sannolikhetstathet for vate ρ2g2nℓ(ρ), ρ = r/a, n = 1, 2, 3.

Sannolikhetsstromtatheten

J(r) = − i~

2m(Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗) (5.21)

Paulis spinnmatriser

σx =

(

0 11 0

)

, σy =

(

0 −ii 0

)

, σz =

(

1 00 −1

)

(5.22)

S =~

2(σx, σy, σz) (5.23)

Storningsrakning, icke degenererade energinivaer

I nedanstaende formler har siffrorna 0, 1, 2,. . . foljande betydelse: 0: ostort problem,1: forsta ordningens approximation, 2: andra ordningens approximation.

Ostort problem:

Hu0n = E0nu0n. (5.24)

Stort problem:

(H + H ′)un = Enun. (5.25)

18

E1n = H ′nn, E2n =

∑

k 6=n

|H ′kn|2

E0n − E0k

(5.26)

un = u0n +∑

k 6=n

H ′kn

E0n − E0k

u0k (5.27)

Storningsrakning, degenererade energinivaer

Energinivan E0 ar n-faldigt degenererad och har ortonormala egenfunktioneru0k, k = 1, 2,. . . n. Ett godtyckligt tillstand pa energinivan E0 ar

v =n

∑

k=1

cku0k (5.28)

Forsta ordningens storning E1:

H ′11 − E1 H ′

12 · · · H ′1n

H ′21 H ′

22 − E1 · · · H ′2n

.... . .

H ′n1 H ′

n2 · · · H ′nn − E1

c1

c2...cn

= 0 (5.29)

Tidsberoende storningsrakning

H(r, t) = H0(r) + H ′(r, t) (5.30)

Ψ(r, t) =∑

k

ck(t)uk(r) exp

(

−iEk

~t

)

(5.31)

cm =1

i~

∑

k

ck(t)H′mk(t)e

iωmkt, ωmk =Em − Ek

~(5.32)

Om c0n = 1 och c0k = 0, k 6= n:

c1m =1

i~

∫ t

0

H ′mne

iωmnτdτ (5.33)

19

6 Atomfysik

Braggs lag. Villkoret for konstruktiv interferens for rontgenstralning med vaglangd λ,som infaller mot en kristallyta under vinkeln θ, om avstandet ar d mellan gitterplanen:

∆ = 2d sin θ = nλ. (6.1)

Rutherfords spridningsformel. n stycken partiklar med massa m och hastighet v0

infaller mot ett folium med tjocklek D och atomnummer Z varvid antalet som sprids ivinkelintervallet θ och θ + dθ ges av

dn(θ, dθ)

n=

Z2e2DN

(4πǫ0)2m2v40 sin4(θ/2)

dΩ. (6.2)

Stefan-Boltzmanns lag. Totala stralningen fran en svart kropp med temperaturen T(σ = Stefan-Boltzmanns konstant):

S = 2

∫ ∞

0

P (ν, T )tot dν = σT 4. (6.3)

Plancks stralningslag. Spektralfordelningen av stralningen utsand i frekvensinterval-let ν och ν + dν fran en svart kropp:

u(ν, T )dν =8πhν3

c3

1

ehν/kT − 1dν. (6.4)

Sambandet mellan einsteinkoefficienterna for spontan emission, A21, och for absorption,B12:

A21 =8πhν3

c3B12. (6.5)

Comptonskift. Vaglangdsskiftet av elektromagnetisk stralning som infaller undervinkeln θ mot en godtycklig yta:

|∆λ| =h

m0c(1 − cos θ) = λc(1 − cos θ). (6.6)

Moseleys lag. Vagtalen for Kα (K–L) respektive Lα (L–M) rontgenstralning:

νKα=

3

4R(Z − 1)2 ≡ R(Z − 1)2

(

1

12− 1

22

)

, (6.7)

νLα=

5

36R(Z − 7,4)2 ≡ R(Z − 7,4)2

(

1

22− 1

32

)

. (6.8)

Sambandet mellan magnetiskt moment och banrorelsemangdsmoment:

µℓ = − e

2me

L = −γℓL (6.9)

20

som definierar det gyromagnetiska forhallandet:

γℓ =1

2

e

me

= gℓµB/~, (6.10)

dar gℓ = 1 och Bohrmagnetonen, µB definieras:

µB =e~

2me

= 9, 274 · 10−24JT−1 = 5, 788 · 10−5eVT−1. (6.11)

For spinnmagnetism galler:

γs = 1,00116e

me

= gsµB/~ = 2,0023 µB/~, (6.12)

Spinn-ban-koppling beskrivs av hamiltonoperatorn:

H ′sb =

(

e2

8πǫ0

)

1

m2c2r2S · L (6.13)

som ger energierna:

E1sb =

(En)2

mc2

n[j(j + 1) − ℓ(ℓ + 1) − 3/4]

ℓ(ℓ + 1/2)(ℓ + 1). (6.14)

Den relativistiska korrektionen ges av hamiltonoperatorn:

H ′r = − p4

8m3c2med energierna E1

r = −(En)2

mc2

(

4n

ℓ + 1/2− 3

)

(6.15)

Total finstruktur, som bestar av spinn-ban-koppling samt relativistisk korrektion, blirda:

E1fs =

(En)2

mc2

(

3 − 4n

j + 1/2

)

(6.16)

Zeemaneffekt beskrivs av hamiltonoperatorn

H ′Z = −µ · B =

e

2me

(

L + 2S)

· B. (6.17)

Om mℓ och ms ar goda kvantal galler:

E1Z = µBB(mℓ + 2ms). (6.18)

Om istallet j ar det goda kvanttalet blir energin

E1Z = µBBgjmj (6.19)

dar Landefaktorn ar

gj = 1 +j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)

2j(j + 1). (6.20)

21

Hyperfinstruktur beskrivs av hamiltonoperatorn:

H ′HFS =

(

µ0gpe2

8πmpme

)

[

3(Sp · r)(Se · r)r5

− (Se · Sp)

r3+

8π

3(Se · Sp)δ(r)

]

. (6.21)

Hyperfinuppsplittringen av 1s tillstandet blir da:

∆EHFS =4gp~

4

3mpm2ec

2a4. (6.22)

22

7 Termodynamik

1:a huvudsatsen

dU = δQ + δW, (7.1)

U = inre energi, δW = tillfort arbete, δQ = tillfort varme.

δWrev = X dx Allmant, X = generaliserad kraft,x = termodynamisk variabel.

= −P dV Tryck-volymsarbete pa gas.= F dL Strackning av trad, F = kraft, L = langd.

= γdA Andring av yta, γ = ytspanning, A = yta= µ0V H dM Magnetisering (utan hysteres)

M = (µr−1)H = χH = magnetisering per volymsenhet.µr = relativ permeabilitet, χ = susceptibilitet,V = provets volym.

= V E dP Polarisering,P = (ǫr − 1)ǫ0E = polarisering per volymsenhet,ǫr = relativ dielektricitetskonstant, V =provets volym.

2:a huvudsatsen

δQ ≤ T dS, (7.2)

S = entropi. Likhet galler endast for reversibla processer.

Termodynamiska potentialer

For ett system med en komponent och endast tryck-volymsarbete galler vid jamvikt(µ = kemiska potentialen, N = partikelantal):Inre energi:

U,dU = T dS − P dV + µ dN.

(7.3)

Helmholtz fria energi (fri energi):

F = U − TS,dF = −S dT − P dV + µ dN.

(7.4)

Entalpi:

H = U + PV,dH = T dS + V dP + µ dN.

(7.5)

Gibbs fria energi (fri entalpi):

G = U − TS + PV = H − TS,dG = −S dT + V dP + µ dN.

(7.6)

23

Stora potentialen:

Φ = F − µN = −PV,dΦ = −S dT − P dV − Ndµ.

(7.7)

Om vi betraktar differentialerna dF och dG, far vi foljande samband:

S = −(

∂F

∂T

)

V,N

= −(

∂G

∂T

)

P,N

, (7.8)

P = −(

∂F

∂V

)

T,N

och V =

(

∂G

∂P

)

T,N

, (7.9)

µ =

(

∂F

∂N

)

V,T

=

(

∂G

∂N

)

P,T

. (7.10)

Manga andra liknande samband kan harledas.

Maxwells relationer kan harledas fran korstermer av andraderivatorna.Allmant galler:

(

∂S

∂x

)

T

= −(

∂X

∂T

)

x

och

(

∂S

∂X

)

T

=

(

∂x

∂T

)

X

. (7.11)

For tryck-volymsarbete fas:

(

∂S

∂V

)

T

=

(

∂P

∂T

)

V

och

(

∂S

∂P

)

T

= −(

∂V

∂T

)

P

. (7.12)

Aven har kan manga andra liknande samband harledas.

Tillstandsekvationer

Ideal gas:

PV = NkBT. (7.13)

van der Waals-gas:

(

P +aN2

V 2

)

(V − bN) = NkBT. (7.14)

Curies lag:

M =C

TB. (7.15)

24

Kemisk termodynamik

G =∑

i

Niµi (7.16)

Gibbs-Duhems relation:

∑

i

Ni dµi = −S dT + V dP (7.17)

Ideal blandningsentropi (xi ar molbrak):

Sbideal = −kB

∑

i

Ni ln xi (7.18)

Massverkans lag for kemiska reaktioner:

−ν1A1 − ν2A2 − · · · νnAn + νn+1An+1 + · · · (7.19)∏

j

xνj

j = Kx = e−∆G0/kBT (7.20)

∆G0 =∑

j

νjµ0j (7.21)

25

8 Statistisk mekanik

Mikrokanonisk ensemble

Isolerat system dar E, V och N ar konstanta.Grundbegrepp: Ω(E, ∆) = antal tillgangliga tillstand.

Klassisk teori

Ω =1

N !hf· (Volym i fasrummet med E ≤ H(ω) ≤ E + ∆), (8.1)

f = antal frihetsgrader for hela systemet = 3N . Alla tillstand i denna fasrumsvolym arlika sannolika och motsvaras i fasrummet av en cell med volym hf .

Kvantmekanisk teori

Ω = (antal kvanttillstand med energi i intervallet [E,E + ∆]). (8.2)

Alla tillstand med dessa energivarden ar lika sannolika.

Koppling till termodynamiken

Statistisk entropi:

S = kB ln Ω(E). (8.3)

Statistisk temperatur:

1

T=

∂S

∂E. (8.4)

Kanonisk ensemble

Kallas aven Maxwell-Boltzmann-fordelningen. System dar T , V och N ar konstanta,medan E varierar. Grundbegrepp: Z = tillstandssumman.

Klassisk teori

ZN =1

N !h3N

∫

e−H(ω)/kBT dω, (8.5)

dω = fasrumselement, ω = (x1, . . . , x3N , p1, . . . , p3N) = vektor i fasrummet, integralentas over hela fasrummet, 3N = antal frihetsgrader for hela systemet.Med

H(ω) =3N∑

i=1

pi2

2m+ Φ(x1, ..., x3N )

26

blir tillstandssumman

ZN =1

N !

(

2πmkBT

h2

)3N/2 ∫

· · ·∫

e−Φ(x1,...,x3N )/kBT d3Nx. (8.6)

Medelvardet av en storhet A:

〈A〉 =1

ZN

1

N !h3N

∫

A(ω)e−H(ω)/kBT dω. (8.7)

Specialfall 1:For en ideal gas i ett rum med potentiell energi Φ(r) galler:

P (r) =1

Qe−Φ(r)/kBT Q =

∫∫∫

e−Φ(r)/kBT d3r (8.8)

P (r) d3r = sannolikheten att en partikel befinner sig i d3r,Q = konfigurationstillstandssumman.

Specialfall 2:Maxwells hastighetsfordelning.Sannolikhetstathetsfunktionen for partiklars hastighet i klassiska system:

P (v) =

(

m

2πkBT

)3/2

e−m|v|2/2kBT , (8.9)

P (v) d3v = sannolikheten att en partikels hastighet ligger i hastighetselementet d3vkring v.

Kvantmekanisk teori

ZN =∑

e−Ei/kBT , (8.10)

Ei = energiegenvarde.Medelvardet av en operator A:

〈A〉 =1

ZN

∑

Ai e−Ei/kBT =

1

ZN

Tr(Ae−H/kBT ), (8.11)

Tr(B) =∑

Bii = sparet av operatorn B, dar summan ar over ett fullstandigt basfunk-tionssystem. Ai ar medelvardet av A i tillstand i.


F = −kBT ln ZN . (8.12)

27

Storkanonisk ensemble

Kallas aven Gibbs-fordelningen. System dar T , V och µ ar konstanta, medan E och Nvarierar. Grundbegrepp: Ξ = stora tillstandssumman.Allmant galler:

Ξ =∑

N

ZNeNµ/kBT . (8.13)

Fermi-Dirac- och Bose-Einstein-statistik:

ln Ξ = ∓∑

ln(1 ∓ e−(ǫi−µ)/kBT ) −BE+FD (8.14)

Maxwell-Boltzmann-statistik:

ln Ξ =∑

e−(ǫi−µ)/kBT . (8.15)

µ = kemisk potential, ǫi = energier for enpartikeltillstand.


kBT ln Ξ = G − F = PV = −Φ. (8.16)

Kombinatorisk entropi

S = −kB

∑

i

Pi ln Pi (8.17)

oberoende av ensemble, for Maxwell-Boltzmann-statistik. Pi = sannolikheten for tillstandi.

Vanliga approximationer

Integralapproximation

∑

f(ǫi)P (ǫi) =

∫

f(α)P (α)ρ(α)dα, (8.18)

P (α) = sannolikhetstathet,

ρ(α) = tatheten av enpartikeltillstand =dσ

dα,

σ(α) = antal enpartikeltillstand med energi ≤ α.

kBT ln Ξ =

∫ ∞

0

σ(α)

e(α−µ)/kBT ∓ 1dα −BE

+FD (8.19)

N =

∫ ∞

0

ρ(α)


+FD (8.20)

U =

∫ ∞

0

αρ(α)


+FD (8.21)

28

Energin oberoende av laget

Om ǫ kan ses som oberoende av r, och bara beroende av rorelsemangden p eller avvagvektorn k = p/~ galler:

σ(α) = η(s)

∫

ǫp≤α

V d3p

h3, (8.22)

η(s) = spinnfaktor, normalt lika med 2s + 1, dar s ar spinnet. For fotoner ar η = 2.

Specialfall 1:For fotoner fas (µ = 0, α = cp = hν):

σ(α) =8π

3V

( α

hc

)3

, ρ(α) = 8πVα2

(hc)3. (8.23)

Specialfall 2:For partiklar med enbart rorelseenergi, ǫp = p2/2m fas:

σ(α) = η(s)4πV

3

(

2mα

h2

)3/2

, ρ(α) = η(s)2πV

(

2m

h2

)3/2 √α. (8.24)

Stark degeneration

Vid laga temperaturer kan foljande approximationer goras:

Fermi-Dirac-statistik: µ ≫ kBT

∫ ∞

0

f(α)

e(α−µ)/kBT + 1dα ≈

∫ µ

0

f(α)dα +(πkBT )2f ′(µ)

6, (8.25)

µ ≈ ǫF − (πkBT )2ρ′(ǫF )

6ρ(ǫF ). (8.26)

Bose-Einstein-statistik:

∑

f(ǫi) = f(0) +

∫

f(α)ρ(α)dα, µ = O(

1

N

)

. (8.27)

Andra beteckningar

Dimensionslos entropi: σ ≡ S

kB

.

Fundamental temperatur: τ ≡ 1

β≡ kBT .

Antal tillgangliga tillstand: Ω ≡ g.

Stora tillstandssumman: Ξ ≡ ζ.

29

Stora potentialen: Φ ≡ ΩG.

Aktivitet: λ ≡ exp

(

µ

kBT

)

.

Nagra vanliga matematiska formler i statistisk mekanik

∫ ∞

0

xa

ex − 1dx = ζ(a + 1)Γ(a + 1), (8.28)

∫ ∞

0

xa

ex + 1dx = ζ(a + 1)Γ(a + 1)(1 − 2−a). (8.29)

Gaussintegraler∫ ∞

0

e−t2 tmdt =1

2Γ[(m + 1)/2]. (8.30)

Specialfall:

∫ ∞

0

e−t2dt =1

2

√π,

∫ ∞

0

e−t2 t2dt =1

4

√π,

∫ ∞

0

e−t2 t4dt =3

8

√π,

∫ ∞

0

e−t2 t dt =1

2,

∫ ∞

0

e−t2 t3dt =1

2,

∫ ∞

0

e−t2 t5dt = 1.(8.31)

Stirlings formel

ln p! = p(ln p − 1) + ln√

2πp +1

12p + . . . (8.32)

ln

(

n

m

)

= −m ln(m

n

)

− (n − m) ln

(

n − m

n

)

− 1

2ln

(

2πm(n − m)

n

)

+ . . .(8.33)

Gamma- och zeta-funktionerna

Γ(a + 1) = a Γ(a) = a! Γ(1

2) =

√π (8.34)

ζ(a) =∞

∑

n=1

n−a ζ(2) =π2

6ζ(4) =

π4

90(8.35)

s : 1,5 2 2,5 3ζ(s) : 2,612 1,645 1,341 1,202

30

9 Fysikaliska konstanter

Denna tabell ar hamtad fran http://physics.nist.gov/constants dar aven mer utforligatabeller kan hittas. Kallan ar Peter J. Mohr och Barry N. Taylor, CODATA Recom-mended Values for the Fundamental Physical Constants: 2002, publicerad i Review ofModern Physics 77, 1 (2005).

31

formelsamling i fysik

Documents