folhas ebii-2014
TRANSCRIPT
Introdução
Estas folhas de apoio às aulas têm como objectivo facilitar o seu acompanhamento e
correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição incluindo, ainda, a
resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta de
restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia proposta, onde deve ser realçado o
recente livro sobre Estruturas de Betão da autoria do Prof. Júlio Appleton.
Estes apontamentos resultaram da experiência de ensino e de textos anteriores da
disciplina para os quais contribuíram os docentes que têm vindo a leccionar o Betão
Estrutural, sob a orientação do Prof. Júlio Appleton, que foi, nesta escola, nos últimos 30
anos e até ao ano lectivo 2010/2011, o responsável por esta área da engenharia de
estruturas.
Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Júlio Appleton com a Engª Carla Marchão,
organizaram a 1ª versão destas folhas de apoio às aulas. A estas foram sendo
introduzidas várias contribuições, mais directamente, dos Profs. José Camara, António
Costa, João Almeida, e Sérgio Cruz.
Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do
conhecimento sobre as características do comportamento estrutural e fundamentação
dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois, naturalmente, nas
prescrições normativas, com algumas variações.
Ao longo destes últimos anos têm sido referidas na disciplina, em geral, as normas
europeias (Eurocódigos), já aprovadas na versão definitiva (EN) tendo algumas sido já
implementadas como normas portuguesas. Refira-se que, no entanto, não houve ainda
uma implementação formal a nível legislativo, sendo possível utilizar, no âmbito
profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP – Regulamento de
Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia
(Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão).
IST, Fevereiro de 2014
ÍNDICE
1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS.................................................................................................... 1
1.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1
VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................. 3
1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO ........................................................................................... 3
1.2.1. Pré-esforço por pré-tensão ..................................................................................................... 3
1.2.2. Pré-esforço por pós-tensão ..................................................................................................... 4
1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................. 5
1.3.1. Armaduras de pré-esforço ....................................................................................................... 5
1.3.2. Ancoragens de pré-esforço ...................................................................................................... 8
1.3.3. Bainhas de pré-esforço............................................................................................................ 8
1.3.4. Sistemas de Injecção ............................................................................................................... 9
1.4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO ................................................................................................................. 9
A – ACÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO ISOLADO ............................................................................................ 10
1.4.1. Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço................... 11
1.4.2. Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de estruturas de
betão armado e de betão pré-esforçado ................................................................................................. 12
1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO ......................................................... 15
1.5.1. Pré-dimensionamento da secção ........................................................................................... 15
1.5.2. Traçado do cabo ................................................................................................................... 15
1.5.3. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço ............................... 15
1.5.4. Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil ............................................................... 16
1.6. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS .......................................................... 17
1.6.1. Força máxima de tensionamento .......................................................................................... 17
1.6.2. Perdas de pré-esforço ........................................................................................................... 17
1.6.3. Definição dos cabos .............................................................................................................. 18
1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS .......................................................................... 24
1.7.1. Equação da parábola ............................................................................................................ 24
1.7.2. Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos ....................................... 25
1.7.3. Determinação do ponto de concordância troço parabólico – troço recto ............................ 25
1.8. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO ...................................................................................... 25
1.8.1. Acções exercidas sobre o cabo ............................................................................................. 25
1.8.2. Acções exercidas sobre o betão............................................................................................. 25
1.8.3. Determinação das cargas equivalentes ................................................................................. 26
1.9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS ..................................................... 33
1.9.1. Estado limite último de flexão ............................................................................................... 33
1.9.2. Estado limite último de esforço transverso ........................................................................... 35
1.10. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................................... 41
1.10.1. Perdas por Atrito ................................................................................................................... 41
1.10.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) ................................................................. 42
1.10.3. Perdas por deformação instantânea do betão ....................................................................... 43
1.10.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço .................................................. 43
1.10.5. Perdas por retracção do betão .............................................................................................. 47
1.10.6. Perdas por fluência do betão ................................................................................................ 47
1.10.7. Perdas por relaxação da armadura ...................................................................................... 47
1.11. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ........................................................ 50
1.11.1. Verificação da segurança ao esmagamento do betão ........................................................... 50
1.11.2. Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens .................................... 51
1.12. PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL ........................................................................... 60
1.12.1. Consideração do efeito do pré-esforço ................................................................................. 60
1.13. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS .......................................................... 62
2. INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO ....................... 70
2.1. CLASSIFICAÇÃO DE LAJES ............................................................................................................... 70
2.1.1. Tipo de Apoio ........................................................................................................................ 70
2.1.2. Constituição .......................................................................................................................... 71
2.1.3. Modo de flexão dominante .................................................................................................... 71
2.1.4. Modo de fabrico .................................................................................................................... 71
2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO ................................................................................................................ 72
2.3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA ....................................................................................................... 72
2.3.1. Estados Limites Últimos ........................................................................................................ 72
2.3.2. Estados Limites de Utilização ............................................................................................... 75
2.3.3. Deformação ........................................................................................................................... 76
2.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS ............................................................................................ 78
2.4.1. Recobrimento das armaduras ............................................................................................... 78
2.4.2. Distâncias entre armaduras .................................................................................................. 79
2.4.3. Quantidades mínima e máxima de armadura ....................................................................... 79
2.4.4. Posicionamento das armaduras ............................................................................................ 80
2.5. MEDIÇÕES E ORÇAMENTOS ............................................................................................................ 80
2.6. LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA DIRECÇÃO .................................................................................. 81
2.6.1. Definição ............................................................................................................................... 81
2.6.2. Pré-dimensionamento............................................................................................................ 82
2.6.3. Pormenorização de armaduras ............................................................................................. 82
2.7. LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES ............................................................................ 88
2.7.1. Métodos de Análise e Dimensionamento ............................................................................... 88
2.7.2. Método das bandas ............................................................................................................... 96
2.8. PRÉ-DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................. 101
2.9. PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS............................................................................................. 102
2.9.1. Disposição de armaduras .................................................................................................... 102
2.9.2. Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição................................. 102
2.10. DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES ...................................................................................... 102
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L2 .................................................................................................................. 104
2.11. ARMADURAS DE CANTO ............................................................................................................... 107
2.12. SISTEMAS DE PAINÉIS CONTÍNUOS DE LAJES – COMPATIBILIZAÇÃO DE ESFORÇOS NOS APOIOS DE
CONTINUIDADE .......................................................................................................................................... 108
2.13. ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS ................................................................................................. 110
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L3 .................................................................................................................. 115
ALÍNEA A) .................................................................................................................................................. 115
ALÍNEA B) .................................................................................................................................................. 119
2.14. COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DOS MODELOS ELÁSTICO E PLÁSTICO .......................................... 122
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L4 .................................................................................................................. 124
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L6 .................................................................................................................. 128
2.15. ABERTURAS EM LAJES .................................................................................................................. 130
2.16. DISCUSSÃO DO MODELO DE CÁLCULO DE LAJES COM GEOMETRIAS DIVERSAS .............................. 133
2.17. PORMENORIZAÇÃO COM MALHAS ELECTROSSOLDADAS ............................................................... 137
2.17.1. Representação gráfica das malhas ...................................................................................... 137
2.17.2. Exemplo de aplicação de malhas electrossoldadas ............................................................ 137
2.18. LAJES FUNGIFORMES .................................................................................................................... 140
2.18.1. Vantagens da utilização de lajes fungiformes ..................................................................... 140
2.18.2. Problemas resultantes da utilização de lajes fungiformes .................................................. 140
2.18.3. Tipos de lajes fungiformes ................................................................................................... 140
2.18.4. Principais características do comportamento para acções verticais .................................. 141
2.18.5. Análise qualitativa do cálculo de esforços numa laje fungiforme ....................................... 141
2.18.6. Concepção e pré-dimensionamento de lajes fungiformes ................................................... 142
2.18.7. Modelos de análise de lajes fungiformes ............................................................................. 143
2.18.8. Método dos Pórticos Equivalentes (EC2 - Anexo I) ............................................................ 143
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L7 .................................................................................................................. 146
2.18.9. Modelo de grelha ................................................................................................................ 148
2.18.10. Modelos de elementos finitos de laje ................................................................................... 149
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L8 .................................................................................................................. 153
ALÍNEA A) .................................................................................................................................................. 153
ALÍNEA B) .................................................................................................................................................. 155
2.19. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO ................................................................................ 157
2.19.1. Mecanismos de rotura de punçoamento .............................................................................. 157
2.19.2. Mecanismos de resistência ao punçoamento ...................................................................... 157
2.19.3. Verificação da segurança ao punçoamento ........................................................................ 158
2.19.4. Cálculo do esforço de corte solicitante ............................................................................... 158
2.19.5. Perímetro básico de controlo .............................................................................................. 159
2.19.6. Resistência ao punçoamento de lajes sem armadura específica de punçoamento .............. 160
2.19.7. Verificação ao punçoamento em lajes com capiteis ............................................................ 160
2.19.8. Armaduras de punçoamento ................................................................................................ 161
2.19.9. Valor de cálculo do máximo esforço de corte ..................................................................... 162
2.19.10. Punçoamento excêntrico ..................................................................................................... 162
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
1
1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS
1.1. INTRODUÇÃO
O pré-esforço é uma tecnologia que permite introduzir numa estrutura um estado de
tensão e deformação por meio de cabos de aço de alta resistência que possibilita o
controlo do seu comportamento no que se refere à fendilhação e à deformação.
Como é sabido o menor desempenho das estruturas de betão no que se refere ao
comportamento em serviço resulta, em grande parte, da fraca resistência do betão à
tracção. Portanto se, em serviço, as tensões de tracção no betão forem controladas a
nível reduzido o desempenho das estruturas melhorará substancialmente.
Os efeitos do pré-esforço podem ser entendidos recorrendo aos exemplos a seguir
apresentados que traduzem o comportamento de vigas submetidas à acção de cargas no
vão.
A actuação das cargas gera na viga um estado de tensão indicado na figura. Na zona
inferior as tensões de tracção originam a fendilhação do betão e a consequente perda de
rigidez da viga e aumento das flechas.
compressão
tracção
Este comportamento pode ser melhorado se for introduzida uma força de compressão
que vai originar uma redução das tensões de tracção e consequentemente uma menor
fendilhação e perda de rigidez da viga.
Essa força de compressão pode ser conseguida por meio de um cabo de aço tensionado
que transmite a força de tensionamento ao betão nas extremidades da viga.
A figura seguinte ilustra o efeito da força de compressão introduzida no betão por cabo de
pré-esforço colocado segundo o eixo da viga. O estado de tensão associado a esta força
de compressão é, portanto, uniforme.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
2
compressão
tracção
efeito do pré-esforço
P
P
P
O cabo de aço pode ter diferentes posicionamentos na secção da viga e diferente
geometria os quais têm consequências ao nível do comportamento da viga conforme
ilustrado na figura seguinte onde se representam as tensões na secção de meio vão
devidas ao pré-esforço P e à carga actuante q.
esforço axial centrado
esforço axial com excentricidade
esforço axial e transversal
No primeiro caso, em que o cabo está centrado na secção, o pré-esforço necessário para
anular a tensão de tracção provocada pela carga q é elevado, conduzindo a um estado
de tensão resultante com elevadas tensões de compressão na fibra superior.
No segundo caso, com um cabo recto localizado junto à face inferior da viga, o estado de
tensão introduzido pelo pré-esforço é mais eficiente para contrariar as tensões
provocadas pela carga q e as tensões resultantes são mais baixas. Neste caso importa
salientar que o pré-esforço introduz um estado de deformação contrário ao da carga q
pelo que se consegue controlar melhor a deformação da viga.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
3
No terceiro caso a forma do cabo faz com que para além do esforço axial do pré-esforço
seja introduzida na viga uma carga distribuída com sentido contrário ao da carga exterior
q. Com este traçado, para além dos efeitos referidos no caso anterior, existe também o
efeito de contrariar o esforço transverso provocado pela carga q. Refira-se que esta carga
distribuída no vão (carga equivalente ao pré-esforço no vão) gera efeitos, iguais mas de
sinal contrário, ao de um carregamento uniforme. Por exemplo, se esta carga equivalente
for igual às aplicadas a deformação da viga é nula.
A definição do valor do pré-esforço a introduzir na estrutura depende do objectivo que se
pretende atingir: controlo da fendilhação, controlo da deformação ou ambos.
Em geral, pretende-se que em serviço o nível das tensões de tracção na secção seja nulo
ou muito reduzido. Este nível de tensões é também condicionado por questões de
durabilidade pois os aços de alta resistência, por estarem fortemente tensionados, são
muito sensíveis à corrosão pelo que se deve evitar a formação de fendas ou, caso estas
venham a ocorrer, a sua abertura deve ser muito reduzida.
Importa ainda referir que a utilização e a exploração total dos aços de alta resistência na
capacidade resistente dos elementos estruturais só é viável se for introduzida uma
extensão inicial na armadura. Caso contrário não só a tensão resistente da armadura
dificilmente seria atingida por destruição prematura da aderência, como o comportamento
em serviço não seria aceitável devido à elevada abertura de fendas induzida pelas muito
altas extensões na armadura.
VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO
Vencer vãos maiores
Maiores esbeltezas para vãos equivalentes
Diminuição do peso próprio
Melhoria do comportamento em serviço
Utilização racional dos betões e aços de alta resistência
1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO
1.2.1. Pré-esforço por pré-tensão
As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão;
A transferência de força é realizada por aderência;
É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços de
amarração).
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
4
Neste sistema de pré-esforço os cabos são rectos.
1.2.2. Pré-esforço por pós-tensão
As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência
necessária;
A transferência de força é realizada quer nas extremidades, através de
dispositivos mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longo
das armaduras.
Nos sistemas de pós-tensão o cabo de pré-esforço pode ter uma geometria curva a qual
é mais adequada para vigas contínuas.
Nos sistemas de pós-tensão aderentes as bainhas dos cabos são injectadas com calda
de cimento.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
5
Bainha
Fios ou cordões
Calda de cimento
Cabo de pré - esforço Secção A-A
1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO
1.3.1. Armaduras de pré-esforço
As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter as
seguintes formas:
fios Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm
cordões (compostos por 7 fios)
Designação
Secção
nominal
[cm2]
Diâmetro
[mm]
0.5” 0.987 12.7
0.6”N 1.4 15.2
0.6”S 1.5 15.7
varões
Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm
(podem ser lisos ou roscados)
Os cordões são compostos por fios, sendo os mais correntes os cordões de 7 fios obtidos
por 6 fios enrolados em torno de um fio central recto.
Na figura seguinte apresentam-se diagramas tensão-deformação de fios, cordões e
varões de pré-esforço e comparam-se com os diagramas de varões de aço corrente.
Verifica-se que a resistência dos aços de pré-esforço é significativamente superior à dos
aços correntes. Esta elevada resistência é conseguida à custa de um maior teor em
carbono, de processos de tratamento térmico e, também, no caso dos fios, por um
processo de trefilagem.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
6
A composição do aço e o processo de fabrico dos fios de pré-esforço penalizam a sua
capacidade de deformação constatando-se que a sua ductilidade é significativamente
inferior à dos varões de aço laminados a quente.
Uma vez que os aços de resistência mais elevada não apresentam patamar de cedência,
a tensão de cedência é caracterizada pelo valor característico da tensão limite
convencional de proporcionalidade a 0,1%, fp0,1k.
7
varão de pré-esforço 32 mm
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
7
No quadro seguinte apresentam-se algumas características de aços de alta resistência
correntemente utilizados em armaduras de pré-esforço:
fp0,1k [Mpa] fpk [Mpa] Ep [Gpa]
fios e cordões 1670 1860 195 10
varões 835 1030 170
O diagrama idealizado e de cálculo para os aços de pré-esforço é o definido na figura
seguinte.
Os aços de pré-esforço devem garantir um valor mínimo da extensão à força máxima uk
de 3,5%.
A norma prEN 10138 define as propriedades e requisitos dos aços de pré-esforço. A
designação dos aços de pré-esforço segundo esta norma é a seguinte: Y fpk
Exemplo: Y 1860 – aço de pré-esforço com valor nominal da tensão de rotura à tracção
igual a 1860 MPa
Em Portugal os requisitos relativos às características das armaduras de pré-esforço são
definidos nas Especificações LNEC: E452 (fios); E453 (cordões); E459 (varões).
Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha)
Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos “standard” dos sistemas de
pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem).
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
8
1.3.2. Ancoragens de pré-esforço
Activas
Permitem o tensionamento
Passivas
Ficam embebidas no betão
De continuidade
(acoplamentos)
Parte passiva, parte activa
1.3.3. Bainhas de pré-esforço
Metálicas
Plásticas
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
9
1.3.4. Sistemas de Injecção
Materiais rígidos (ex: calda de cimento)
Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras)
cera
bainha plástica cordão
1.4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO
O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicação
em estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais.
Embora o pré-esforço não introduza esforços em estruturas isostáticas surgem tensões
nas secções dos elementos: tensões no betão e nas armaduras e tensões no cabo de
pré-esforço. Essas tensões são autoequilibradas e, portanto, têm resultante nula.
O mesmo não se passa nas estruturas hiperestáticas, situação em que as deformações
estão restringidas. Nestes casos surgem esforços associados ao pré-esforço resultantes
das forças que se desenvolvem nos apoio e que restringem a livre deformação do
elemento.
Para ilustrar o efeito do pré-esforço considere-se a seguinte viga pré-esforçada:
pp
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
10
Apresentam-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada
(secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para as
seguintes situações:
A – acção do pré-esforço isolado
B – acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio)
C – situação após a aplicação do pré-esforço
eP0
+
-
A
P0
+
B
-
+
+ Mpp = -
C
+P0
Como se verifica, o estado de deformação induzido pelo pré-esforço é contrário ao
estado de deformação provocado pelo peso próprio.
Partindo de uma situação em que a viga está apoiada numa cofragem, a aplicação do
pré-esforço irá originar uma deformação para cima da viga (diagrama A). Nessa altura é
mobilizado o peso próprio da viga (diagrama B). O diagrama de deformação final C
resulta da sobreposição dos diagramas A e B.
O estado de tensão numa viga pré-esforçada é caracterizado pelos diagramas da figura
seguinte em que P é o pré-esforço aplicado e M é o momento das cargas exteriores.
As tensões actuantes nas fibras inferior e superior são:
inf = - P A
- P e
winf +
M winf
sup = - P A
+ P e wsup
- M wsup
(-)
P
M
P / A
+
(+)
(-)
P x e
(-)
(+)
M
+ e
diagramas de tensões
diagramas de extensões
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
11
1.4.1. Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço
Considere o tirante de betão pré-esforçado, cuja secção transversal se apresenta.
0.50
0.50
Materiais:C25/30 ( = 2.5)
A400NR
A1600/1800
Para os dois tipos de aço indicados e admitindo que se pretende aplicar uma força de
pré-esforço P0’ = 3000 kN, calcule a área de aço necessária, bem como a força que ficará
instalada a longo prazo, considerando o efeito da fluência do betão.
1. Determinação da área de aço necessária
P0' = 0.75 fpk As As = P0'
0.75 fpk
Armadura ordinária: As = 3000
0.75 400 103 104 = 100 cm2
Armadura de alta resistência: As = 3000
0.75 1800 103 104 = 22.2 cm2
2. Cálculo da perda de tensão nas armaduras, por efeito da fluência do betão
(i) Cálculo do encurtamento instantâneo do betão devida à aplicação do pré-esforço
c(t0) = P Ac
= 3000
0.5 0.5 = 12000 kN/m2 = 12 MPa c(t0) =
c Ec
= 12
31 103 = 0.39 ‰
(ii) Determinação do encurtamento devido à fluência
c(t,t0) = cc(t,t0) = c(t0) = 2.5 0.39 = 0.975 ‰
(iii) Perda de tensão nas armaduras
s = c(t,t0) Es = 0.975 10-3 200 106 = 195 MPa
3. Cálculo da força de pré-esforço a longo prazo
Armadura ordinária: P = s As = 195 103 100 10-4 = 1950 kN P =1050 kN
Armadura de alta resistência: P = 195 103 22.2 10-4 = 432.9 kN P = 2567 kN
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
12
1.4.2. Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de
estruturas de betão armado e de betão pré-esforçado
Considere o tirante de betão, cuja secção transversal está representada na figura, e os
seguintes casos:
Caso 1 – tirante de betão armado (armadura ordinária)
Caso 2 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 500 kN)
Caso 3 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 1000 kN)
0.40
0.40
Materiais:C25/30
A400NR
A1600/1800
Para um esforço normal de dimensionamento Nsd = 1395 kN, calcule a área de armadura
necessária para verificar o estado limite último de tracção. Para cada solução calcule o
esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr).
Caso 1
(i) Determinação da área de armadura necessária
As = Nsd fyd
= 1395
348 103 10-4 = 40 cm2
(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr)
Ncr = Ah fctm = (Ac + As) fctm = 0.42 + 200 31
40 10-4 2.6 103 = 483.1 kN
Caso 2
(i) Determinação da área de armadura necessária
Ap = Nsd fpyd
= 1395
1600 103 / 1.15 10-4 = 10 cm2
(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr)
Ncr Ah
- P Ac
= fctm Ncr = Ah fctm + P Ah Ac
Ncr = 0.42 + 200 31
10 10-4 2.6 103 + 500
0.42 + 200 31
10 10-4
0.42 = 952.9 kN
Caso 3
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
13
(i) Determinação da área de armadura necessária
Ap = Nsd fpyd
= 1395
1600 103 / 1.15 10-4 = 10 cm2
(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr).
Ncr = 0.42 + 200 31
10 10-4 2.6 103 + 1000
0.42 + 200 31
10 10-4
0.42 = 1473.1 kN
Conclusão: A capacidade resistente do tirante é igual nos três casos. No que se refere à
fendilhação, verifica-se um melhor comportamento dos tirantes pré-esforçados
relativamente ao tirante de betão armado, e em particular no caso 3 em que a força de
pré-esforço é maior.
Os aços de pré-esforço por apresentarem elevada resistência permitem também uma
pormenorização de armaduras mais compacta o que pode influenciar a geometria dos
elementos como ilustrado na figura seguinte.
Vigas em betão pré-esforçado e em betão armado com igual resistência à flexão
Nas figuras seguintes compara-se o comportamento de uma viga de betão armado e de
uma viga de betão pré-esforçado sujeita à flexão com a mesma capacidade última.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
14
Diagrama momento-curvatura
Diagrama carga deslocamento
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
15
Tensões no betão e nas armaduras
1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO
1.5.1. Pré-dimensionamento da secção
A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h L
15 a 20
Refira-se que esta estimativa é da ordem de 1.5 a 2 vezes superior ao corrente para uma
viga de betão armado, devido ao melhor controlo das deformações e facilidade de
pormenorização de armaduras, como atrás já referido.
1.5.2. Traçado do cabo
A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços das
cargas permanentes. Em geral o cabo de pré-esforço deve estar situado na zona
traccionada das secções ao longo da viga.
1.5.3. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço
0.35L a 0.5L
L
0.05L a 0.15L
1.5 Øbainha
1.5 Øbainha
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
16
Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau)
Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota)
Sempre que possível, nas extremidades, os cabos deverão situar-se dentro do núcleo
central da secção
O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade da
secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes (mas
só de uma forma qualitativa)
Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limites
correspondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessários
para resistir às forças de ancoragem
Notas:
i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para as
bainhas dos cabos de pré-esforço, deve ter em consideração que em vigas, o
recobrimento mínimo das bainhas é : cmin = min ( bainha; 8 cm);
ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos de
excentricidade máxima;
iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que,
simplificadamente pode ser obtido pela expressão Rmin [m]= 3 Pu (onde Pu
representa a força última em MN).
1.5.4. Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil
O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimado através dos seguintes critérios:
Critério do balanceamento das cargas
qeq (0.8 a 0.9) qcqp
ou, de uma forma mais rigorosa,
Critério da limitação da deformação
pe = (0.8 a 0.9) cqp, tal que no final total = (1 + ) ( cqp – pe) admissível
com admissível L
500 a
L 1000
(dependente da utilização da obra)
Critério da limitação da fendilhação
EC2 – parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
17
Tabela 7.1N Valores recomendados para wmáx (mm)
Classe de
exposição
Elementos de betão armado ou pré-
esforçado (p.e. não aderente)
Elementos de betão pré-esforçado
(p.e. aderente)
Comb. quase-permanente de acções Combinação frequente de acções
X0, XC1 0.4 0.2
XC2, XC3, XC4
0.3
0.2(1)
XD1, XD2,
XS1, XS2, XS3 Descompressão
(1) Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções
A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita se, nas
secções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no interior da zona
comprimida e a uma distância de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m relativamente à zona
traccionada, para estruturas de edifícios ou pontes, respectivamente.
Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem tracções
ao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por efeito
dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço.
1.6. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS
1.6.1. Força máxima de tensionamento
De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pela
seguinte expressão
Pmáx = Ap p,máx
onde,
p,máx = min (0.8 fpk; 0.9 fp0,1k) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordões
na altura da aplicação do pré-esforço.
Após a transmissão da força para a ancoragem as tensões admissíveis são as seguintes:
p,máx = min (0.75 fpk; 0.85 fp0,1k)
1.6.2. Perdas de pré-esforço
Perdas instantâneas (8% – 15%)
Pós-tensão
Perdas por atrito
Perdas por reentrada de cabos
Perdas por deformação instantânea do betão
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
18
Pré-tensão
Relaxação da armadura até à betonagem
Escorregamento nas zonas de amarração
Deformação instantânea do betão
Perdas diferidas (12% – 15%)
Perdas por retracção do betão
Perdas por fluência do betão
Perdas por relaxação da armadura
P0’ (força de tensionamento) 8% – 15%
P0 12% – 15%
P
P0 – força de pré-esforço após perdas imediatas
P – força de pré-esforço útil ou a tempo infinito
1.6.3. Definição dos cabos
Realizado o pré-dimensionamento da força útil de pré-esforço é possível estimar os
cabos a adoptar assumindo valores correntes das perdas de pré-esforço.
Este cálculo tem interesse, por exemplo, para aferir se as dimensões adoptadas para as
secções são suficientes para conduzir a uma pormenorização adequada das armaduras de
pré-esforço.
Supondo que para um determinado traçado de cabo se assumia na secção condicionante
para as perdas diferidas um valor de 14% e para as perdas imediatas um valor de 10%, o
valor da força de tensionamento dos cabos seria o seguinte:
P0 = P
0.86
P0’ = P0 0.9
Considerando que os cabos eram tensionados a 75% da força de rotura, a área de
armadura de pré-esforço necessária e o número de cordões seria:
P0' = 0.75 Fpk Ap = P0'
0.75 1860 103
nº de cordões = Ap
Acordão
Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas de
pré-esforço.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
19
EXERCÍCIO PE1
Considere a viga indicada na figura seguinte.
e1 = 0.15 e2 = 0.38 e5e3 e4 = -0.22 e6 = -0.10
8.00 8.00 4.00 1.00 4.00
Parábola Parábola ParábolaParábola Recta
A B C D
Secção Transversal da Viga:
1.50
0.20
0.50
0.20
0.30
0.80
0.53
0.37
Propriedades geométricas da secção:
A = 0.61 m2
I = 0.0524 m4
Materiais:C30/37
A400NR
A1670/1860 (baixa relaxação)
Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções:
Q
q
pp + rcp
- Cargas permanentes ( g = 1.35): pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m
- sobrecargas ( q = 1.5; 1 = 0.6; 2 = 0.4): q = 20 kN/m e Q = 100 kN
Nota: q e Q actuam em simultâneo
a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quase
permanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kN.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
20
b) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a descompressão para a
combinação quase permanentes de acções, nas secções B e C?
c) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a condição c < fctk para
combinação frequente de acções nas secções B e C?
d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura.
e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço para uma força de pré-esforço de
1000 kN.
f) Qual o valor de P que seria necessário para contrariar 80% de deformação máxima
para a combinação de acções quase-permanentes?
g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P = 0.86 P0 e
P0 = 0.90 P’0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 fpk.
h) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança em
relação ao estado limite último de flexão.
i) Calcule a área de armadura transversal.
j) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformação
instantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos.
l) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação das
armaduras).
m) Verifique a segurança na zona das ancoragens.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
21
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1
ALÍNEA A)
1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes
pcqp = cp + 2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 20 = 38 kN/m
Qcpq = 2 Q = 0.4 100 = 40 kN
pcqp
Qcqp
R1 R2
20.00 5.00
DEV
[kN]
DMF
[kNm] 8.00
(+)
1554.0
(-)
675.0
(+) (+)
(-)
346.3
413.8
230.0
40.0
MC = 0 – R1 20 + 38 20 10 – 40 5 – 38 5 2.5 = 0 R1 = 346.3 kN
R2 = 38 (20 + 5) + 40 – 346.3 = 643.8 kN
2. Cálculo das tensões na secção B
(i) Características geométricas da secção B
0.37
0.530.38
1.50
G
A = 0.61 m2
I = 0.0524 m2
winf = I
vinf =
0.0524 0.53
= 0.09886m3
wsup = I
vsup =
0.0524 0.37
= 0.1416m3
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
22
(ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço
(-)
P
Mcqp
P / A
+
(+)
(-)
P x e
(-)
(+)
Mcqp
+
inf = - P A
- P e
winf +
Mcqp winf
= - 1000 0.61
- 1000 0.38
0.09886 +
1554 0.09886
= 10.2MPa
sup = - P A
+ P e
wsup -
Mcqp wsup
= - 1000 0.61
+ 1000 0.38
0.1416 -
1554 0.1416
= - 9.9MPa
ALÍNEA B)
1. Secção B
(+)
+
(-)
(-)
(+)
+
P / A
MB
P
(-)
MB P x e
inf < 0 - P A
- P e
w +
MB w
< 0 - P
0.61 -
P 0.38 0.09886
+ 1554
0.09886 < 0
P > 2866.8 kN
2. Secção C
MC (-) + +
(+)
P
(-)
MC P x eP / A
(+)(-)
sup < 0 - P A
- P e
w +
MC w
< 0 - P
0.61 -
P 0.22 0.1416
+ 675
0.1416 < 0
P > 1492.9 kN
P > 2866.8 kN
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
23
ALÍNEA C)
1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente
pfr = cp + 1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 20 = 42 kN/m
Qfr = 1 Q = 0.6 100 = 60 kN
pfr
20.00
DMF
[kNm] 8.00
1686.0
(+)
R1
825.0
(-)
5.00
R2
Qfr
MB = 0 – R1 20 + 42 20 10 – 60 5 – 42 5 2.5 = 0 R1 = 378.8 kN
R2 = 42 (20 + 5) + 60 – 378.8 = 731.3 kN
2. Secção B
inf < fctk - P A
- P e
w +
MB w
< fctk - P
0.61 -
P 0.38 0.09886
+ 1686
0.09886 < 2 103
P > 2745.6 kN
3. Secção C
sup < fctk - P A
- P e
w +
MC w
< fctk - P
0.61 -
P 0.22 0.1416
+ 825
0.01416 < 2 103
P > 1198.3 kN
P > 2745.6 kN
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
24
1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS
1.7.1. Equação da parábola
Equação geral da parábola: y = ax2 + bx + c
(para determinar os parâmetros a, b e c é necessário conhecer 3 pontos)
x1 x3 x2
y1
y2
y3
Caso se utilize um referencial local:
1) x
y
y = ax2 + c
(y’ (0) = 0 b = 0)
2)
x
y
y = ax2
(y’ (0) = 0 b = 0 e y (0) = 0 c = 0)
Determinação do parâmetro a
f
f
L/2L/2
tg = 2f L/2
= 4f L
i) y’ (- L/2) = 2a L/2 = tg a = 4f L2
ou
ii) y (L/2) = f a L 2
2
= f a = 4f L2
Determinação da curvatura da parábola
1 R
= - y" (L/2) = 2a = 8f L2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
25
1.7.2. Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos
e1f1
L1 L2
e2f2
O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo,
f1 L1
= e1 + e2 L1 + L2
f1 = L1
L1 + L2 (e1 + e2) e f2 = (e2 + e1) – f1
1.7.3. Determinação do ponto de concordância troço parabólico – troço recto
L1
ff
e
L2
tg = e - f
L1 =
e + f L2
(e – f) L2 = (e + f) L1 e L2 – f L2 = e L1 + f L1
f L1 + f L2 = e L2 – e L1 f (L1 + L2) = e (L2 – L1) f = e (L2 - L1)
L1 + L2
1.8. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO
A acção do pré-esforço pode ser simulada através de cargas – cargas equivalentes de
pré-esforço.
1.8.1. Acções exercidas sobre o cabo (situação em que se aplica a tensão nos
cabos simultaneamente nas duas extremidades)
Forças nas ancoragens;
Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão.
1.8.2. Acções exercidas sobre o betão
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
26
Forças nas ancoragens;
Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamente
opostas às que o betão exerce sobre o cabo.
1.8.3. Determinação das cargas equivalentes
1.8.3.1. Zona das ancoragens
P P
P tg
P e
e
Nota: tg sen e cos 1
1.8.3.2. Traçado parabólico
Considere-se o seguinte troço infinitesimal de cabo de pré-esforço, e as acções que o
betão exerce sobre este,
R
P+dPP
d
q* ds
ds
d /2
ds = R d d ds
= 1 R
P d 2
+ (P + dP) d 2
= q* ds
P d = q* ds q* = P d ds
ou q* = P
R
Notas:
- ângulo muito pequeno sen d 2
d 2
tg d 2
e cos d 2
1;
- consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio.
Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado,
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
27
f
f
L/2 L/2
tg = d
2 = 2 f L/2
= 4 f L
d = 8 f L
(1)
ds L (2)
A partir de (1) e (2), obtém-se
d ds
= 8 f L2 q* =
8 f P
L2
1.8.3.3. Traçado poligonal
L1
fQ*
Q*
q*
s
tg = f
L1
Q* = P tg = P f
L1
q* = Q* / s
Nas figuras seguintes apresentam-se as cargas e os esforços equivalentes para dois
traçados de cabo diferentes.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
28
Cabo com traçado parabólico
Cabo com traçado rectilíneo
O pré-esforço introduz no elemento um conjunto de esforços em cada secção designados
por esforços isostáticos definidos da seguinte forma:
Esforços
equivalentes
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
29
N = - P
M = - P e
V = - P tg
Ilustra-se seguidamente um exemplo interessante que mostra as potencialidades do pré-
esforço e o modo como o engenheiro pode explorar essas potencialidades para controlar
o comportamento estrutural.
No exemplo mostra-se uma forma de anular a flexão, esforço transverso e torção
induzidos por uma carga exterior na extremidade de uma consola com as forças
equivalentes ao pré-esforço.
A resultante dos esforços é apenas o esforço axial com valor igual a 2P
P.tg = Q
P
P e
P tg
P
G
e x
y
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
30
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO)
ALÍNEA D)
8.008.00
Parábola 1
e2 = 0.38
Parábola 3
4.00
Parábola 2 RectaParábola 4
4.001.00
e4 = -0.22 e6 = -0.10e1 = 0.15
(i) Parábola 1
8.00
0.23
x
y
y = ax2
y(8) = 0.23 a 82 = 0.23
a = 3.59375 10-3
y(x) = 3.59375 10-3 x2
(ii) Parábola 2
1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão
12.00
0.6
8.00
x
12 8
= 0.6
x x = 0.4
2. Determinação da equação da parábola
8.00
x
y
0.4
y = ax2
y (8) = 0.4 a = 6.25 10-3
y (x) = 6.25 10-3 x2
(iii) Parábola 3
x
y4.00
0.2
y = ax2
y (4) = 0.2 a = 0.0125
y (x) = 0.0125 x2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
31
(iv) Parábola 4 e troço recto
x
yx
y 1.00 4.00
0.12
1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância
ff
1.0
y’ (1) = tg = 2 f
tg = 0.12 + f
5
2 f = 0.12 + f
5 10 f = 0.12 + f f = 0.01333 m
2. Determinação das equações da parábola e do troço recto
Parábola 4: y (1) = 0.01333 y (x) = 0.01333 x2
Troço recto: y = mx + b = 2 0.01333 x y (x) = 0.02667 x
ALÍNEA E)
1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P = 1000
kN)
q = 8 f P
L2
Parábola f (m) L (m) q (kN/m)
1 0.23 16 7.2 2 0.4 16 12.5 3 0.2 8.0 25.0 4 0.0133 2.0 26.6
2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo
Extremidade Esquerda
tg = y’ (8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575
P tg = 57.5 kN
P e = 1000 0.15 = 150.0 kNm
Extremidade Direita
tg = y’ (1) = 0.02667
P tg = 26.7 kN
P e = 1000 0.10 = 100.0 kNm
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
32
1.008.00
26.6 kN/m
8.00
25.0 kN/m
12.5 kN/m7.2 kN/m
4.00 4.00
57.5 kN
1000 kN
150.0 kNm1000 kN
26.7 kN
100.0 kNm
Repare-se que o somatório das cargas verticais é nulo
Feq = - 57.5 + 7.2 8 + 12.5 8 - 25.0 4 - 26.6 1 + 26.7 0
ALÍNEA F)
1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quase-
permanentes
Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão do
tramo apoiado é dada por:
= 1 EI
5pL4 384
+ L2 16
( )M1 + M2
onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e entram
na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de materiais.
Deste modo,
= 1
33 106 0.0524
5 38 204 384
+ 202 16
( )0 - 675.0 = 0.036 m
2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço
A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação
das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P = 1000 kN (cargas
equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada:
= 0.010 m
3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% da
deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes
pe = 0.8 cqp = 0.8 0.036 = 0.029 m
P = 1000 0.029/0.010 = 2900 kN
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
33
1.9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS
1.9.1. Estado limite último de flexão
1.9.1.1. Pré-esforço do lado da resistência
Pelo método do diagrama rectangular simplificado,
Msd = g Mg + q Mq
x
Msd
LN
Ap
As
Fp
Fs
0.8x
0.85fcd
Fc
b
Fc = 0.85 fcd 0.8 x b
Fp = Ap fpd = Ap fp0,1k 1.15
Fs = As fyd
Através das equações de equilíbrio,
(i) Equilíbrio de momentos ( MAs = Msd x = ...)
Forças exteriores: Msd
Forças interiores: MAs = Fc (ds – 0.4x) - Fp (ds - dp)
(ii) Equilíbrio de forças ( F = 0 Fc = Fp + Fs As = ...)
Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) fpd = p = P Ap
1.9.1.2. Pré-esforço do lado da acção
Pelo método do diagrama rectangular simplificado,
Msd = g Mg + q Mq + Mpe
b
Fc
0.85fcd
0.8x
Fs
Fp
As
Ap
LN
Msd
x
e
P
Fc = 0.85 fcd 0.8 x b
Fp = Ap (fpd - p) = Ap fpd - P Ap
Fs = As fyd
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
34
Através das equações de equilíbrio,
(i) Equilíbrio de momentos (MAs)
Forças exteriores: MAs = Msd + P (ds - h/2)
Forças interiores: MAs = Fc (ds - 0.4x) - Fp (ds - dp)
Msd + P (ds - h/2) = Fc (ds - 0.4x) - Fp (ds - dp) x = ...
(ii) Equilíbrio de forças ( F = P Fc = Fp + Fs + P As = ...)
Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) (fpd - p) = 0 Fp = 0
Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de extensões
na rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de pré-esforço são as de
cálculo.
Msd
Fp
Fs
0.8x
0.85fcd
Fc
As
Ap
LN
b
x
c
s
p0p
p = p + p0, com p0 = P
Ap Ep
Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo fpd, será necessário adoptar um método
iterativo (método geral)
As
Ap
LN
b
x
p ( p0 + p)
M
c
s
p0p
c ( c)
s ( s)
N
Por exemplo, determina-se x tal que N 0. Então M = MRd.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
35
1.9.2. Estado limite último de esforço transverso
O efeito do pré-esforço na resistência ao esforço transverso da viga é traduzido pela
componente vertical da força do cabo conforme esquematizado na figura seguinte.
Em geral, considera-se o pré-esforço do lado da acção. A verificação da segurança é
realizada de acordo com o seguinte formato.
VRd VSd - P tg
(i) Cálculo da armadura transversal: Asw
s =
VSd - P tg
z cotg fyd
(ii) Verificação da tensão de compressão: c = Vsd - P tg
z bw sen cos 0.6 1 -
fck 250
fcd
(iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no apoio
As fyd (Vsd - P tg ) cotg 1)
Notas:
Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados) 22 a 26 ;
Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes num
determinado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deve
considerar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetros
das bainhas.
Bainhas metálicas injectadas:
bw,nom = bw – 0.5 Ø
Bainhas não injectadas, bainhas plásticas injectadas e armaduras não aderentes:
bw,nom = bw – 1.2 Ø
Estes requisitos resultam do efeito do cabo na redução da resistência à compressão da
alma. A figura seguinte ilustra o esmagamento da alma de uma viga ao longo do cabo de
pré-esforço por acção do esforço transverso.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
37
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.)
ALÍNEA G)
P = 2866.8 kN (valor resultante da verificação da descompressão)
P0 = P
0.86 =
2866.8 0.86
= 3333.5 kN
P0’ = P0 0.9
= 3333.5
0.9 = 3703.9 kN
P0' = 0.75 Fpk Ap = P0'
0.75 1860 103 104 = 26.6 cm2
nº de cordões = Ap
Acordão =
26.6 1.4
= 19 cordões 2 cabos de 10 cordões de 0.6"
P0’ = 10 2 1.4 10-4 1860 103 0.75 = 3906 kN
ALÍNEA H)
psd = 1.35 (15.25 + 14.75) + 1.5 20 = 70.5 kN/m
Qsd = 100 1.5 = 150 kN
20.00
R1
5.00
R2
150
70.5
CA
MC = 0 - R1 20 + 70.5 25 7.5 – 150 5 = 0 R1 = 623.4 kN
MB = 2731.5 kNm
Secção B
1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular
Hipótese: LN no banzo da secção
Fs
Fp
Fc0.85fcd
0.8x
Msd
1.50
LN
Fp = Ap fp0,1k 1.15
= 28 10-4 1670 1.15
103 = 4066.1 kN
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
38
Fs = As fyd = As 348 103
Fc = 1.5 0.8x 0.85 20 103 = 20400x
(i) Equilíbrio de momentos ( MAs = Msd)
Fc (0.85 - 0.4x) - Fp 0.10 = Msd 20400x (0.85 - 0.4x) = 2731.5 + 4066.1 0.10
x = 0.20 m
Fc = 20400 0.20 = 4080 kN
(ii) Equilíbrio de forças ( F = 0)
Fc – Fp – Fs = 0 4080 – 4066.1 – As 348 103 = 0 As = 0.4 cm2
(iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras
LN
p p0
s
c
0.20
Hipótese: c = 3.5‰
Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias
s 0.85 - 0.20
= 3.5‰ 0.20
s = 11.4‰
Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço
p 0.75 - 0.20
= 3.5‰ 0.20
p = 9.6‰
p0 = P
Ap Ep =
3050
28 10-4 195 106 = 5.6‰
p = p0 + p = 15.2‰ > pyd = fpyd Ep
= 1670 / 1.15
195 103 = 7.4‰
2. Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado)
Hipótese: deq dp = 0.75 m
= Msd
b d2 fcd =
2731.5
1.5 0.752 20 103 = 0.162 = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm2
As = As,tot – Asp, eq = 117.3 - 28 1670 400
= 0.4 cm2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
39
deq 0.75 20 1.4 1670 + 0.4 0.85 400
20 1.4 1670 + 0.4 400 = 0.75 m
ALÍNEA I)
20.00
DEV
[kN]
623.4
(+)
623.4
(-)
786.6
5.00
502.5
(+)
1289.1
150
150
70.5
DEVp
[kN]
164.8
286.4
76.5 76.5(-)
(+)(-)
786.6
502.5DEVtotal
[kN](+)
458.6
(-)
73.5(+)
355.5
Notas:
- O diagrama de esforço transverso devido ao pré-esforço foi obtido considerando
P = 2866.8 kN;
- Para a verificação da segurança ao esforço transverso utiliza-se DEVtotal
Apoio A
= 25 z cotg = 0.9 0.85 cotg 25 = 1.64m
Vsd (z cotg ) = 458.6 – 49.9 1.64 = 376.8 kN
Considerando dois cabos de 10 cordões cujas bainhas têm 80 mm de diâmetro cada,
bainha balma
8 =
0.30 8
= 0.038 m bw =0.30 - 0.08 / 2 = 0.26 m
1. Cálculo da armadura transversal
Asw s
= Vsd
z cotg fyd =
376.8
1.64 348 103 104 = 6.6 cm2/m
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
40
2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas
c = Vsd
z bw sen cos =
376.8
0.9 0.85 0.26 sen 25 cos 25 = 4946 kN/m2 4.9 MPa
0.6 1 - fck
250 fcd = 0.6 1 -
30 250
20 103 = 10560 kN/m2 = 10.6MPa
3. Cálculo da armadura longitudinal no apoio de extremidade
As fyd = V cotg 1 As = Vsd cotg 1
fyd =
458.6 cotg 37
348 103 104 = 17.6 cm2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
41
1.10. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO
1.10.1. Perdas por Atrito
d /2
Pq* ds
d
P+dP
q* ds = P d
ds
(Fa = N)
q* ds = P d
Por equilíbrio de forças horizontais,
P - P - dP – P d = 0 dP = – P d dP P
= – d
P0'
P0
1 P
dP = 0
- d Log P0 - Log P0' = - Log P0 P0'
= –
P0 P0'
= e- P0 = P0’ e-
Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento,
P0 (x) = P0’ e- ( +kx)
onde,
representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20);
representa a soma dos ângulos de desvio;
k representa o desvio angular parasita (valor máximo 0.01 m-1; geralmente 0.004 a
0.005m-1), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento dos
cabos de pré-esforço.
Esta expressão também pode aparecer com a forma,
P0 (x) = P0’ e-( + k’x) (neste caso k’ = k e representa o coeficiente de atrito em recta)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
42
1.10.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)
P
P0'
P0(x)
x
P
L
L – comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm)
– comprimento até onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas
Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo com
curvatura aproximadamente constante),
L = 0
dx = 0
Ep
dx = 1
Ep Ap
0 P dx Adiagrama = L Ep Ap
P
2 = L Ep Ap
(1)
Como P 2
= p P = 2 p
(2)
onde p representa a perda de pré-esforço por atrito, por metro (declive do diagrama)
Substituindo (2) em (1) obtém-se,
2 p 2
= L Ep Ap = L Ep Ap
p
1.10.2.1. Casos particulares
(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.)
x
P
P0'
P
L Ep Ap
L
P L = L Ep Ap
P = L Ep Ap
L
L – comprimento do cabo
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
43
(ii) Se > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pré-esforço
mais condicionante)
P
P0'
P
L x
p L
L Ep Ap
P L–p L L= L Ep Ap
P = L
L Ep Ap + p L
L – comprimento do cabo
1.10.3. Perdas por deformação instantânea do betão
A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do
betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão:
Pel = Ap Ep j c(t) Ecm(t)
onde,
Ecm(t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do pré-
esforço;
j = (n-1) / 2n , onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos,
tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal;
c(t) representa a tensão no betão, ao nível do centro de gravidade dos cabos de
pré-esforço, para a totalidade do efeito do pré-esforço (após perdas por atrito e
reentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes.
1.10.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço
L = 0
L dz = 0
L
P Ap Ep
dz = 1
Ap Ep
0
L P dz
Papós atrito
[kN]
P0'
L x [m]
Papós at. (L)
L P0' + Papós atrito (L)
2 Ap Ep L
Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
44
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.)
ALÍNEA J)
1. Cálculo das perdas por atrito
P0 (x) = P0’ e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)
4.008.00
e1 = 0.15
8.00
e2 = 0.38 e4 = -0.22
4.00 1.00
e6 = -0.10
21 3 4 5 6
Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Par. 4 Recta
e3 = -0.02 e5 = -0.21
Cálculo dos ângulos de desvio
(i) Parábola 1
y’(8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575
(ii) Parábola 2
y’(8) = 6.25 10-3 2 8 = 0.1
(iii) Parábola 3
y’(4) = 2 0.0125 4 = 0.1
(iv) Parábola 4
y’(1) = 2 0.01333 = 0.02666
Secção x
(m) (rad)
Papós atrito
(kN) % perdas
1 0 0 3906.0 0
2 8 0.0575 3836.7 1.8
3 16 0.1575 3736.7 4.3
4 20 0.2575 3651.0 6.5
5 21 0.2842 3628.7 7.1
6 25 0.2842 3617.1 7.4
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
45
2. Cálculo das perdas por reentrada das cunhas
(i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas ( )
1ª Iteração
3000
3200
3400
3600
3800
4000
0 5 10 15 20 25
Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito
x = 8.0m p = 3906 - 3836.7
8 = 8.66 kN/m
= L Ep Ap
p =
0.006 195 106 20 1.4 10-4 8.66
= 19.4 m
2ª Iteração
3000
3200
3400
3600
3800
4000
0 5 10 15 20 25
x = 20.0m p = 3906 - 3651
20 = 12.75 kN/m (admitindo que a perda por atrito é
aproximadamente linear)
= 0.006 195 106 20 1.4 10-4
12.75 = 16.03 m
(ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas
P = 2p = 2 12.75 16.03 = 408.8 kN
408.8
0 8 16.0316
204.8
0.8
408.8 x
= 16.03 8.03
x = 204.8 kN
408.8 x
= 16.03 0.03
x = 0.8 kN
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
46
Secção x
(m)
Papós atrito
(kN)
Preentrada
(kN)
Papós reentrada
(kN) % perdas
1 0 3906.0 408.8 3497.2 10.5
2 8 3836.7 204.8 3631.9 7.0
3 16 3736.7 0.8 3735.9 4.4
4 20 3651.0 0 3651.0 6.5
5 21 3628.7 0 3628.7 7.1
6 25 3617.1 0 3617.1 7.4
3. Cálculo das perdas por deformação instantânea do betão
Admitindo que o pré-esforço é aplicado aos 28 dias,
Ecm(t = 28) = 33 GPa ; Ep = 195 GPa
Pel = Ap Ep j c(t) Ecm(t)
= Ap Ep n - 1 2n
c(t) Ecm(t)
Secção 2
8.00
143.0
Mpp
15.25
Mpp = 656 kNm
Mpe = P e = 3631.9 0.38 = 1380.1 kNm
+
P / A
(-)+
I
Mpp v
(+)
(-)
(-)
(+)
Mpe v
I
c = Mpp v
I -
P A
- Mpe v
I =
656 0.38 0.0524
- 3631.9
0.61 -
1380.1 0.38 0.0524
= - 11.2 MPa
Pel = 20 1.4 10-4 195 106 2 - 1
2 2
11.2
33 103 =46.3 kN
P0 (secção 2) = 3631.9 – 46.3 = 3585.6 kN % perdas 8.2%
4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos
L = 1
Ap Ep
0
L P dx
1
28 10-4 195 106
3906 + 3617.1 2
25 = 0.172m
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
47
1.10.5. Perdas por retracção do betão
= Ep cs P
Ap = Ep cs P = – Ep Ap cs
cs – extensão de retracção do betão ( 3.0 10-4)
1.10.6. Perdas por fluência do betão
c = c c
Ecm
= Ep c P
Ap =
Ep c c Ecm
P = – Ap Ep c c
Ecm
c – tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às cargas permanentes e ao efeito
do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas).
1.10.7. Perdas por relaxação da armadura
Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são da
ordem de:
Aços de relaxação normal P < 15%
Aços de baixa relaxação P < 6%
Aços de muito baixa relaxação P = 2 a 4%
Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de alta
resistência agrupam-se em três classes:
Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal ( 1000 = 8%)
Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação ( 1000 = 2.5%)
Classe 3: aço em barra ( 1000 = 4%)
O parâmetro 1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provete
tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20 C.
A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes expressões,
consoante a classe da armadura:
(i) Classe 1: pr = 0.8 5.39 1000 e6.7
t1000
0.75 (1- )
pi 10-5
(ii) Classe 2: pr = 0.8 0.66 1000 e9.1
t1000
0.75 (1- )
pi 10-5
(iii) Classe 3: pr = 0.8 1.98 1000 e8
t1000
0.75 (1- )
pi 10-5
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
48
onde,
pi representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdas
imediatas;
t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de pré-
esforço por relaxação (poderá considerar-se t = 500000 horas 57 anos);
= pi / fpk
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
49
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.)
ALÍNEA L)
1. Perdas por retracção do betão
Considerando cs = - 3.0 10-4,
P = Ep Ap cs = 195 106 28 10-4 3.0 10-4 = 163.8 kN
2. Perdas por fluência do betão
Secção 2
Considerando c = 2.5
P = Ap Ep c c
Ecm =
28 10-4 195 106 6.4 103 2.5
33 106 = 264.7 kN
Cálculo de c
8.00
281.3
15.25+14.75=30
Mcp
Mcp = 1290 kNm
Mpe = 3585.6 0.38 = 1362.5 kNm
c = Mcp v
I -
P A
- Mpe v
I =
1290 0.38 0.0524
- 3585.6
0.61 -
1362.5 0.38 0.0524
= - 6.40 MPa
3. Perdas por relaxação das armaduras
Secção 2
Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, 1000 = 2.5%.
pr = 0.8 0.66 1000 e9.1
t1000
0.75 (1- )
pi 10-5 =
= 0.8 0.66 2.5 e9.1 0.69 500000
1000
0.75 (1-0.69)
1280.6 10-5 = 38.2MPa
pi = 3585.6
28 10-4 = 1280.6MPa
= pi fpk
= 1280.6
1860 = 0.69
Ppr = 38.2 103 28 10-4 = 107.0 kN
Pp,r+s+c = 163.8 + 264.7 + 107.0 = 535.5 kN P secção 2 = 3585.6 - 535.5 = 3050 kN
% perdas diferidas 14.9%
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
50
1.11. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS
Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas as
hipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada é
transmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da placa
de distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção de
aplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta zona,
devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de tracção nas
direcções transversais.
Trajectórias das tensões Tracção Compressão
Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em limitar
as tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para absorção
das forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada.
1.11.1. Verificação da segurança ao esmagamento do betão
Imediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões de
compressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensões
admissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o mesmo
esteja correctamente confinado.
De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada, aplicada
com uma distribuição uniforme numa determinada área Ac0, pode ser determinado
através da expressão:
FRdu = Ac0 fcd Ac1 Ac0
3.0 fcd Ac0
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
51
onde,
Ac0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa de
ancoragem);
Ac1 representa a maior área homotética a Ac0, contida no contorno da peça, com o
mesmo centro de gravidade de Ac0 e cuja dimensão dos lados não pode exceder em
três vezes a dimensão dos lados correspondentes de Ac0. No caso da existência de
várias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias forças não se
devem sobrepor.
Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a
idade de 28 dias, o valor de fcd deve ser substituído por fck,j / c, representando fck,j o valor
característico da tensão de rotura à compressão aos j dias.
1.11.2. Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens
De acordo com o parágrafo 8.10.3 do EC2, a avaliação das forças de tracção que surgem
devido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a modelos de
escoras e tirantes.
A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima de
300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controlo da fendilhação, e tem em conta a
dificuldade de garantir uma boa amarração.
1.11.2.1. Modelos de escoras e tirantes
Os modelos de escoras e tirantes (“strut-and-tie models”) identificam os campos de
tensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras aos
campos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
52
Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de descontinuidade,
como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados (zonas de aplicação
de cargas localizadas).
Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da zona
estrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor energia
de deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes, sendo assim
necessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em linha de conta
com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de tracção e,
consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta deverá ser a mais
conveniente do ponto de vista construtivo.
Trajectórias das tensões
Tracção
Compressão
Modelo
Tirantes
Escoras
1.11.2.2. Caso de uma só ancoragem
Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível obter o
valor da força de tracção.
P/2
P/2
P/2
P/2
De acordo com o Eurocódigo 2, a força de tracção para a qual as armaduras devem ser
dimensionadas, é dada pela expressão:
Ft1sd = 0.25 Fsd 1 - a0 a1
(com Fsd = 1.35 P0’)
onde,
a1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor distância
entre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão;
a0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da ancoragem.
a0 a1
Trajectórias das tensões Tracção Compressão
Modelo Tirantes Escoras
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
53
1.11.2.3. Disposição das armaduras
As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a1 e ser
repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a1 e a1, tendo em consideração que a
resultante se situa à cota 0.4a1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a
garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1.
F
0.1a1
a1
a0
a1
b
A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensão
correspondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno da
peça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção normal à
direcção considerada.
No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragem
excêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto à
superfície do elemento, destinada a absorver na direcção em causa uma força de
tracção, como em baixo se ilustra
P
Ft = Fc2
e
Fc2
Fc1 = P
O valor da força de tracção pode ser obtido através da expressão:
Ft0sd = Fsd e a
- 1 6
(com Fsd = 1.35 P0’)
1.11.2.4. Caso de várias ancoragens
1.11.2.4.1. Ancoragens muito próximas
Um grupo de ancoragens muito próximas pode ser tratado considerando uma só
ancoragem equivalente, sendo válidos os princípios indicados no ponto anterior. Deve no
a
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
54
entanto verificar-se a segurança para a actuação de cada força, isoladamente. As áreas
de influência a considerar são as seguintes:
F
F
F
área de influência para
uma ancoragem individual
área de influência do
grupo de ancoragens
1.11.2.4.2. Ancoragens muito afastadas
No caso de duas forças concentradas afastadas entre si de uma distância superior à
distância entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de
tensões normais, surgem forças de tracção junto à face de aplicação das cargas, como
se indica:
P
P
P
P
P
P
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
55
Deste modo, além das armaduras necessárias para cada ancoragem individual, deve
dispor-se uma armadura junto à face do elemento, na direcção em causa, destinada a
absorver uma força de tracção igual a 0.2P.
É de notar que desde que existam vários cabos, estes não são pré-esforçados
simultaneamente, variando os esforços locais ao longo das operações de pré-esforço. O
plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforços momentâneos
exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta que podem existir
estados provisórios mais desfavoráveis do que o que surge no sistema final.
1.11.2.5. Aspectos particulares em estruturas pré-esforçadas
1.11.2.5.1. Ancoragens interiores
No caso de uma ancoragem interior, além das tensões transversais atrás mencionadas,
surgem tracções longitudinais atrás da ancoragem como resultado da deformação local
do betão. A resultante das tensões de tracção depende da relação entre a dimensão da
zona carregada e a largura da difusão dos efeitos localizados.
Considerando uma análise elástica que assuma igual rigidez do betão atrás e à frente da
ancoragem, a força de tracção deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a
experiência mostra que a força de tracção longitudinal pode ser considerada igual a P/4
pois, devido à fendilhação, a rigidez do betão atrás da ancoragem diminui, diminuindo
também a tensão instalada.
Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com um
comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da secção.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
56
CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL
1.11.2.5.2. Forças de desvio
Sempre que um cabo de pré-esforço muda de direcção, são introduzidas forças radiais
no betão quando o cabo é tensionado. Estas forças radiais actuam no plano de curvatura
e têm uma intensidade igual ao quociente entre a força de pré-esforço e o raio de
curvatura.
Embora estas forças sejam na generalidade das situações muito úteis, podem no entanto
causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do betão.
Nos casos em que os cabos estejam junto à face das peças e a sua curvatura provoque
forças de desvio dirigidas para o exterior é necessário dimensionar armadura transversal
para a absorção destas forças, devendo ser disposta em toda a zona em que actuem,
como se indica na planta abaixo.
eixo do cabo
armadura para resistir
à força de desvio
armadura para resistir
à força de desvio
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
57
1.11.2.6. Disposições Construtivas
Nas zonas de aplicação de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposição de
armaduras em várias camadas, constituídas por varões de pequeno diâmetro. Estas
armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a
dispersão dos efeitos localizados.
A solução geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais
ramos, como se exemplifica a seguir.
PORMENOR TRANSVERSAL
PORMENOR LONGITUDINAL
No caso em que a carga actue fora do núcleo central, as armaduras dimensionadas para
este efeito devem ser dispostas junto à face do betão ao longo de toda a sua dimensão e
convenientemente amarradas.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
58
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO)
ALÍNEA M)
Extremidade do lado esquerdo
0.37
0.30
0.23
0.30
0.38
Força de puxe: P0’ = 10 1.4 10-4 1860 103 0.75 = 1953 kN
1. Verificação da pressão local do betão
(i) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré-esforço
(considerando a geometria inicial da viga)
FRdu = 1.35 P0’ = 1.35 1953 = 2636.6 kN
FRdu = Ac0 fcd Ac1 Ac0
fcd = FRdu
Ac0 Ac1 / Ac0 =
2636.6
0.252 0.32 / 0.252 = 35155 kPa
fck = 35155 1.5 = 52.7 MPa
(ii) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré-esforço
(considerando um espessamento da alma da viga junto às extremidades)
0.33
0.38
0.190.38
fcd = FRdu
Ac0 Ac1 / Ac0 =
2636.6
0.252 0.382 / 0.252 = 27754 kPa
fck = 27754 1.5 = 41.6 MPa
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
59
2. Cálculo das armaduras de reforço na zona das ancoragens
(i) Direcção horizontal
Ft1sd = 0.25 Fsd 1 - a0 a1
= 0.25 2636.6 1- 0.25 0.4
= 247.2 kN As = 247.2
30 = 8.24 cm2
(i) Direcção horizontal
Tensionamento do primeiro cabo (cabo superior)
Ft1sd = 0.25 2636.6 1- 0.25
2 0.33 = 409.4 kN As =
409.4 30
= 13.65 cm2
Ambos os cabos tensionados
Ft1sd = 0.25 2636.6 1- 0.25 0.38
= 225.5 kN As = 225.5
30 = 7.52 cm2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
60
1.12. PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL
1.12.1. Consideração do efeito do pré-esforço
Considere-se a viga pré-esforçada representada na figura seguinte, bem como os
diagramas de momentos flectores e esforço transverso devido ao pré-esforço (diagramas
de momentos flectores e esforço transverso isostáticos).
e1 e2
DMF pe
(-) P e1
P e2
DEV pe
(-)
(+)
P tg
P tg
O facto da altura da secção transversal ser variável, originando diferentes excentricidades
dos cabos de pré-esforço ao longo do seu desenvolvimento, mesmo para um traçado dos
cabos recto, faz com que o diagrama de momentos isostáticos não seja constante.
Apresentam-se em seguida dois modos de considerar o efeito do pré-esforço entrando
em linha de conta com a variação da secção transversal.
1) Modelação da viga através da linha do centro de gravidade das secções transversais e
consideração das cargas equivalentes de extremidade referentes ao traçado dos cabos
P e1
P
P e1
P
2) Modelação da viga sem considerar a variação da linha do centro de gravidade e
introdução de cargas equivalentes que traduzem a posição relativa entre o traçado dos
cabos e a linha do centro de gravidade.
P e1
P
P e1
P
P tg P tg2P tg
Outros exemplos:
1) Linha do centro de gravidade com variação parabólica
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
61
e1 e2
P e2
P
P e1
P
P
P e2
P tg q = P / R
P
P e1
ou
2)
xG2 xG1
xG2 - xG1
P(xG2 - xG1) P(xG2 - xG1)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
62
1.13. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Os esforços hiperestáticos em elementos pré-esforçados surgem devido ao facto da
estrutura estar impedida de se deformar livremente.
Exemplos
1) Considere-se a seguinte viga pré-esforçada.
Caso não existisse o apoio central (sistema base), a deformada da viga seria a abaixo
ilustrada.
Devido ao facto do deslocamento vertical a meio da viga estar restringido surgem
reacções verticais (reacções hiperestáticas), correspondendo a do apoio central à força
que seria necessário aplicar nesse ponto para que o deslocamento fosse nulo.
Apresentam-se em seguida o diagrama de esforço transverso e momentos flectores
hiperstáticos, bem como o diagrama de momentos flectores isostáticos.
DEV hip
(+)
DMF isost
(-)
P e
DMF hip
(+)
(-)
DEV hip
(+)
DMF isost
(-)
P e
DMF hip
(+)
(-)
2) Para um traçado dos cabos de pré-esforço parabólico, o raciocínio é semelhante.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
63
Deformada no sistema base
Deformada real
Reacções hiperestáticas
Diagramas de esforços hiperestáticos
DMF hip
(+)
DEV hip
(+)
(-)
Diagramas de esforços isostáticos
DMF isost
(-)P e
(-)
(+)
DEV isost
(+)
(-)(-)
(+)
P tg
Os esforços hiperestáticos deverão ser considerados não só no cálculo de tensões
normais devidas ao pré-esforço, mas também para a verificação da segurança aos
estados limites últimos de flexão e esforço transverso.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
64
EXERCÍCIO PE2
Considere a viga pré-esforçada representada na figura, bem como o diagrama de
momentos flectores devido à acção do pré-esforço.
2.00
e = 0.352 m
7.00
e = 0.10 m
5.00
g, q
14.00
e = 0.188 m
2.00
14.00
1.00
7.00
0.482
0.40
5.00
0.20
0.60
Acções: g = 40 kN/m Materiais: Betão C30/37
q = 12 kN/m ( 1 = 0.4; 2 = 0.2) Aço A400NR
( g = 1.35; q = 1.5) A1670/1860
Características geométricas da secção transversal da viga: A = 0.44 m2; I = 0.02 m
4.
(-)
(+)
0.354P
0.293P
(-)
5.00
0.1P
a) Calcule e represente as cargas equivalentes ao efeito do pré-esforço para o traçado de
cabos indicado (constituído por troços parabólicos), considerando uma força de
pré-esforço genérica P.
b) Estime o valor da força de pré-esforço útil necessária para garantir a descompressão
da viga, para a combinação quase-permanente de acções. Indique o número de cabos e
cordões que adoptaria, justificando todos os pressupostos.
c) Calcule as perdas por atrito ao longo da viga considerando que o tensionamento é
efectuado em ambas as extremidades (adopte =0.20 e k = 0.004 m-1).
d) Verifique a segurança ao estado limite último de flexão da viga.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
65
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE2
ALÍNEA A)
e = 0.188 m
Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3
e = 0.352 me = 0.10 m
7.005.00 2.00
1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas
q = 8 f P
L2
Parábola f (m) L (m) q (kN/m)
1 0.252 10.0 0.0202
2 0.420 14.0 0.0171
3 0.120 4.0 0.060
Determinação da coordenada do ponto de inflexão entre as parábolas 2 e 3
0.352 + 0.188 7 + 2
= x 7
x = 0.42 m
2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo
P tg = 2 f L
P = 2 0.252
5 P = 0.1008 P
P e = P 0.10
7.000.10 P
P
5.00
0.1008 P 0.0202 P
2.00
0.0171 P
0.060 P
ALÍNEA B)
1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanente
(i) Diagramas de esforços para uma carga p
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
66
(+)
5.00
A
B
13.75 p
24.5 p
(-)
(+)
p
14.00 14.00
(ii) Momentos flectores para a combinação de acções quase-permanente
pcqp = cp + 2 sc = 40 + 0.2 12 = 42.4 kN/m
Mcqp,A = 13.75 42.4 = 583.0 kNm ; Mcqp,B = 24.5 42.4 = 1038.8 kNm
2. Verificação da descompressão
(i) Características geométricas da secção transversal
0.482
0.318
0.80
0.40
1.00
A = 0.44 m2 ; I = 0.020 m
2
winf = I
vinf =
0.020 0.482
= 0.0415 m3
wsup = I
vsup =
0.020 0.318
= 0.063 m3
(ii) Secção A
MA
(+)
+
(-)
(-)
(+)
+
P / A
(-)
MA
P
Mpe
inf = - P A
- Mpe winf
+ MA winf
< 0 - P
0.44 -
0.293 P 0.0415
+ 583
0.0415 < 0 P > 1505.2 kN
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
67
(iii) Secção B
MB
(+)
+
(-)
(-)
(+)
+
P / A
(-)
MB
P
Mpe
sup = - P A
- Mpe
w +
MB w
< 0 - P
0.44 -
0.354 P 0.063
+ 1038.8 0.063
< 0 P > 2089.4 kN
P > 2089.4 kN
3. Cabos e cordões a adoptar
Considerando 10% de perdas imediatas e 15% de perdas diferidas,
P0' = - P
0.90 0.85 =
2089.4
0.90 0.85 = 2731.2 kN
Ap = - P0'
0.75 fpk =
2731.2
0.75 1860 103 104 = 19.58 cm2
nº de cordões = Ap
A1 cordão =
19.58 1.4
= 14 cordões
Adoptam-se 2 cabos com 7 cordões de 0.6”
ALÍNEA C)
1. Cálculo das perdas por atrito
P0 (x) = P0’ e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)
7.00
Parábola 2
5.00
Parábola 1
e = 0.10 m e = 0.352 m
2.00
Par. 3
e = 0.188 m
Par. 3 Parábola 2 Parábola 1
7.00 5.002.00
1 2 34
5 6 7
Cálculo da força de tensionamento
P0’ = 14 1.4 10-4 0.75 1860 103 = 2734.2 kN
Cálculo dos ângulos de desvio
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
68
(i) Parábola 1
1 tan 1 = 2f L
= 2 0.252
5 = 0.101
(ii) Parábola 2
2 = 2f L
= 2 0.42
7 = 0.120
Secção x
(m) (rad)
Papós atrito
(kN)
1 0 0 2734.2
2 5.0 0.101 2668.8
3 12.0 0.221 2591.0
4 14.0 0.341 2525.5
5 12.0 0.221 2591.0
6 5.0 0.101 2668.8
7 0 0 2734.2
ALÍNEA D)
1. Determinação dos esforços de dimensionamento
psd = 1.35 40 + 1.5 12 = 72 kN/m
Msd = 13.75 72 = 990.0 kNm
2. Determinação do momento hiperestático devido ao pré-esforço
(i) Diagrama de momentos isostáticos (Misost = P e)
0.188P5.00
0.1P (-)
0.352P
(+)
(-)
(ii) Diagrama de momentos hiperestáticos (Mhip = Mpe – Misost )
0.166P
(+)
5.00
0.059P
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
69
3. Cálculo das armaduras de flexão
M’sd = Msd + Mhip = 990.0 + 0.059 2089.4 = 1113.3 kNm
Fc0.85fcd
0.8x
Fs
Fp
M'sd
LN
Ap
As
b
x
Fp = Ap fp0,1k 1.15
= 19.6 10-4 1670 1.15
103 = 2846.3 kN
Fs = As fyd = As 348 103
Fc = 1.0 0.8x 0.85 20 103 = 13600x
(i) Equilíbrio de momentos ( MAs = Msd)
Fc (0.75 - 0.4x) - Fp 0.08 = Msd 13600x (0.75 - 0.4x) = 1113.3 + 2846.3 0.08
x = 0.142 m
Fc = 13600 0.142 = 1931.2 kN < Fp
não é necessária armadura ordinária para verificar o estado limite último de flexão.
4. Cálculo da armadura mínima de flexão
As,min = 0.26 fctm fyk
bt d = 0.26 2.6 400
0.40 0.75 104 = 5.07 cm2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
70
2. Introdução ao Dimensionamento de Lajes de Betão Armado
As lajes são elementos estruturais que constituem os pisos e coberturas dos edifícios e
as plataformas de outro tipo de construções cuja função é formar superfícies planas
horizontais ou inclinadas possibilitando a circulação e a colocação de equipamentos.
As lajes são normalmente solicitadas por cargas perpendiculares ao seu plano médio.
Tratando-se de elementos em que as dimensões em planta são muito superiores à
espessura apresentam um comportamento bidimensional.
2.1. CLASSIFICAÇÃO DE LAJES
Uma classificação de lajes não é, em si, necessária e, em situações concretas, é, por
vezes, difícil classificar uma dada solução. No entanto, em termos de ensino e de
compreensão inicial das características do seu comportamento é muito útil. É assim que
se apresenta, seguidamente, as denominações usuais para as lajes consoante o tipo de
apoio, constituição, modo de flexão dominante e forma de fabrico.
2.1.1. Tipo de Apoio
Lajes vigadas (apoiadas em vigas)
Lajes fungiformes (apoiadas directamente em pilares)
Lajes em meio elástico (apoiadas numa superfície deformável –
ensoleiramentos, por exemplo)
Nas figuras seguintes apresentam-se soluções tipo de lajes vigada e fungiforme (esta
com capiteis).
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
71
Refira-se também que há muitas situações práticas em que as lajes nalgumas zonas se
apoiam em vigas e, noutras, directamente em pilares.
2.1.2. Constituição
Monolíticas (só em betão armado)
Maciças (com espessura constante ou de variação contínua)
Aligeiradas
Nervuradas
Mistas (constituídas por betão armado, em conjunto com outro material)
Vigotas pré-esforçadas
Perfis metálicos
2.1.3. Modo de flexão dominante
Lajes “armadas numa direcção” (comportamento predominantemente
unidireccional)
Lajes “armadas em duas direcções” (comportamento bidireccional)
Saliente-se, como se verá adiante, que as lajes têm sempre armaduras nas duas
direcções. Esta denominação usual tem a ver, como referido, com a forma principal de
comportamento.
2.1.4. Modo de fabrico
Betonadas “in situ”
Pré-fabricadas
Totalmente (exemplo: lajes alveoladas)
Parcialmente (exemplo: pré-lajes)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
72
2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO
A espessura das lajes é condicionada por:
Resistência – flexão e esforço transverso
Características de utilização – Deformabilidade, isolamento sonoro, vibrações,
protecção contra incêndio, etc.
A espessura das lajes varia em função do vão. No que se refere a lajes maciças, em
geral, a sua espessura varia entre 0.12 m e 0.30 m. O valor inferior é, em geral
desaconselhável, até porque com as exigências actuais de recobrimento a sua eficiência
à flexão é muito reduzida, como se compreende. Por outro lado, para espessuras acima
dos 0.30 m, o recurso a soluções aligeiradas é quase obrigatório, no sentido de aliviar o
peso da solução. Excluem-se as zonas de capiteis onde o efeito do peso dessas zonas
na flexão é reduzido.
2.3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA
2.3.1. Estados Limites Últimos
2.3.1.1. Flexão
O funcionamento das lajes relativamente à flexão é idêntico ao das vigas. A diferença
reside no facto das vigas, sendo elementos lineares, apresentarem um comportamento
unidirecional, enquanto as lajes, sendo elementos bidimensionais, apresentam um
comportamento bidirecional.
Viga Laje
Numa laje, as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura, ou seja,
considerando uma secção com 1 m de base, e altura igual à da laje.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
73
Nas lajes a ordem de grandeza dos momentos é, claramente, inferior ao das vigas, pois
como se compreende os esforços podem se distribuir por larguras maiores. O momento
flector reduzido ( ) nas secções mais esforçadas estará, em geral, contido no intervalo
0.10 < 0.20. Nalguns casos poderá ser mesmo inferior a 0.10, sem inconveniente.
Relativamente ao valor superior não deverá ser ultrapassado, excluindo-se, nalgumas
situações, a zona de momentos negativos sobre os apoios directos em pilares (solução
fungiforme). Verifica-se, assim, que a ductilidade das lajes é uma característica intrínseca
da solução o que, como sabemos, representa uma mais valia importante do
comportamento, com vantagens conhecidas na verificação da segurança à rotura.
2.3.1.2. Esforço Transverso
Em lajes, a transmissão de cargas para os apoios faz-se por efeito de arco e de consola,
conforme ilustrado nas figuras seguintes.
(i) Efeito de arco e consola
P
R
T
Efeito de arco
Efeito de consola
T T+ T
T
VD1
1
VD2
2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
74
A participação relativa dos dois mecanismos na resistência ao esforço transverso
depende da esbelteza da laje. Para esbeltezas baixas, ou para cargas mais importantes
próximas do apoio, o efeito de arco é mobilizável, mas para as situações correntes de
esbeltezas mais elevadas e cargas distribuídas a participação do efeito de arco tende a
ser pequena como se compreende pela figura acima indicada.
A avaliação do comportamento das lajes através de ensaios experimentais indica que,
para atender aos efeitos da alguma sobreposição destes mecanismos resistentes, é
indicado que se adoptem na pormenorização das armaduras estas duas recomendações:
Através de uma translação do diagrama de momentos flectores de aL = d;
“Atirantando o arco”, prolongando até aos apoios, pelo menos, ½ da armadura
a meio vão.
Estas indicações são tidas em conta nas disposições de dispensa de armaduras.
(ii) Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso
De acordo com o EC2, para elementos que não necessitam de armadura de esforço
transverso, adopta-se uma verificação com base numa expressão, validada
experimentalmente, mas que não é deduzível directamente de um mecanismo resistente,
como no caso das vigas, tal que:
Vsd VRd,c = [ ]CRd,c k ( )100 L fck1/3 + k1 cp bw d ( )0.035 k3/2 fck
1/2 + k1 cp bw d
onde,
CRd,c = 0.18
c
k = 1 + 200d
≤ 2 , com d em mm
1 = AsL
bw d 0.02 (AsL representa a área de armadura de tracção, prolongando-se
não menos do que d + lb,d para além da secção considerada)
k1 = 0.15
cp = Nsd Ac
em MPa (Nsd representa o esforço normal devido a cargas aplicadas ou
ao pré-esforço, e deve ser considerado positivo quando for de compressão)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
75
2.3.2. Estados Limites de Utilização
2.3.2.1. Fendilhação
A verificação ao estado limite de fendilhação pode ser efectuada de forma directa ou
indirecta tal como no caso das vigas.
A verificação directa consiste no cálculo da abertura característica de fendas e
comparação com os valores admissíveis.
Esta matéria foi abordada na disciplina de Estruturas de Betão I para o caso das vigas.
Os procedimentos de cálculo para as lajes são idênticos, sendo, desde já, de referir que a
fendilhação, por flexão, das lajes é pouco condicionante devido à pequena altura da zona
traccionada.
O controlo indirecto da fendilhação, de acordo com o EC2, consiste, como discutido na
disciplina de Estruturas de Betão I, em :
Adopção de armadura mínima
Imposição de limites ao diâmetro máximo dos varões e/ou afastamento máximo
dos mesmos (Quadros 7.2 e 7.3).
Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões *s para controlo da fendilhação
1
Tensão no aço2
[MPa]
Diâmetros máximos dos varões [mm]
wk= 0,4 mm wk= 0,3 mm wk= 0,2 mm
160 40 32 25
200 32 25 16
240 20 16 12
280 16 12 8
320 12 10 6
360 10 8 5
400 8 6 4
450 6 5 -
NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses:
c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0;
kt = 0,4
2. Para as combinações de acções apropriadas
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
76
Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1
Tensão no aço2
[MPa]
Espaçamento máximo dos varões [mm]
wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm
160 300 300 200
200 300 250 150
240 250 200 100
280 200 150 50
320 150 100 -
360 100 50 -
Para as Notas, ver o Quadro 7.2N.
O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir:
Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão):
s s (fct,eff /2,9) k h
( h - d )
c cr
2 (7.6N)
Tracção (tracção simples):
s = s (fct,eff/2,9)hcr/(8(h-d)) (7.7N)
em que:
s diâmetro modificado máximo dos varões;
s diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N;
h altura total da secção;
hcr altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores
característicos do pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de
acções;
d altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras;
Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras à
face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas faces).
2.3.3. Deformação
A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites para diferentes
tipos de utilização dos pisos. Para os casos correntes de edifícios de escritórios,
comerciais ou de habitação, o EC2 seguindo as recomendações da norma acima
referida, define os seguintes objectivos máximos de deformação, em função do vão:
L250
para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
77
L500
para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das
divisórias. Este limite será mais ou menos importante face à sensibilidade da solução
construtiva.
Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e
apoio e o ponto de flecha máxima, segundo um dado alinhamento. É importante salientar
que, se para as esbeltezas correntes nas vigas (valores da ordem de l/h = 8 a 14) a
deformabilidade é reduzida e, garante-se em geral, com folga, estes limites, para o caso
das lajes, com esbeltezas num leque alargado entre 20 a 40, a limitação ou contolo do
nível de deformação pode ser crítica no dimensionamento.
Tal como acontece para o caso da fendilhação, a verificação ao estado limite de
deformação pode ser efectuada de forma directa ou indirecta.
A forma directa consiste no cálculo da flecha a longo prazo (pelo Método dos
Coeficientes Globais, por exemplo) e comparação com os valores admissíveis.
Conforme preconizado no EC2, o cálculo das flechas poderá ser omitido, desde que se
respeitem os limites da relação vão / altura útil estabelecidos no Quadro 7.4N. Na
interpretação deste quadro, deve ter-se em atenção que:
Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo os cálculos revelar
frequentemente que é possível utilizar elementos menos espessos;
Os elementos em que o betão é fracamente solicitado são aqueles em que
0.5%, podendo na maioria dos casos admitir-se que as lajes são fracamente
solicitadas (o betão é fortemente solicitado se 1.5% e estas percentagens de
armadura não são das lajes).
Para lajes vigadas armadas em duas direcções, a verificação deverá ser
efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-
se o maior vão. Estas indicações serão melhor compreendidas com a melhor
apreensão dos diferentes tipos de comportamento das lajes.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
78
Quadro 7.4N – Valores básicos da relação vão/altura útil (l/d) para elementos de betão
armado sem esforço normal de compressão
Sistema estrutural
K
Betão fortemente solicitado
Betão levemente solicitado
= 0,5 %
Viga simplesmente apoiada, laje
simplesmente apoiada armada numa ou
em duas direcções
Vão extremo de uma viga contínua ou de
uma laje contínua armada numa direcção
ou de uma laje armada em duas
direcções contínua ao longo do lado
maior
Vão interior de uma viga ou de uma laje
armada numa ou em duas direcções
Laje sem vigas apoiada sobre pilares
(laje fungiforme) (em relação ao maior
vão)
Consola
1,0
1,3
1,5
1,2
0,4
14
18
20
17
6
20
26
30
24
8
NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é
possível utilizar elementos mais esbeltos.
NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor
vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.
NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma
limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.
2.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS
2.4.1. Recobrimento das armaduras
Em lajes, por se tratar de elementos laminares (de pequena espessura), podem adoptar-
se recobrimentos inferiores, em 5 mm, aos geralmente adoptados no caso das vigas, ou
seja, 0.02 m a 0.04 m (caso de lajes em ambientes muito agressivos).
É necessário ter em atenção que o recobrimento adoptado não deve ser inferior ao
diâmetro das armaduras ordinárias (ou ao diâmetro equivalente dos seus agrupamentos).
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
79
2.4.2. Distâncias entre armaduras
2.4.2.1. Espaçamento máximo da armadura
A imposição do espaçamento máximo da armadura tem por objectivo o controlo da
fendilhação e a garantia de uma resistência local mínima, nomeadamente se existirem
cargas concentradas aplicadas.
i) Armadura principal
s min (1.5 h; 0.35 m)
Em geral, não é aconselhável utilizar espaçamentos superiores a 0.25 m.
ii) Armadura de distribuição
s 0.35 m
2.4.2.2. Distância livre mínima entre armaduras
A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a betonagem
em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e as necessárias
condições de aderência.
No caso de armaduras ordinárias,
Smin = ( )maior, eq maior, 2 cm
Na prática, para situações correntes, não é recomendável adoptar espaçamentos
inferiores a 10 cm de modo a criar as condições para uma adequada colocação e
compactação do betão.
2.4.3. Quantidades mínima e máxima de armadura
A quantidade mínima de armadura a adoptar numa laje na direcção principal pode ser
calculada através da expressão seguinte:
As,min = 0.26 fctm fyk
bt d
onde bt representa a largura média da zona traccionada.
A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada por:
As,máx = 0.04 Ac
onde Ac representa a área da secção de betão.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
80
2.4.4. Posicionamento das armaduras
O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes
elementos:
Espaçadores – para posicionamento da armadura inferior
c
A distância a adoptar entre espaçadores varia em função do diâmetro da armadura
a posicionar: armadura 12 mm, s = 0.50 m
armadura > 12 mm, s = 0.70 m
s
Cavaletes – para posicionamento da armadura superior da laje
h
O diâmetro do varão que constitui os cavaletes é função da sua altura h. Deste
modo:
Para h < 0.15 m, cavalete = 8 mm
Para 0.15 m < h < 0.30 m, cavalete = 10 a 12 mm
2.5. MEDIÇÕES E ORÇAMENTOS
Indicam-se as unidades de medição e o custo aproximado dos materiais e cofragens
utilizados na execução das lajes que permitem realizar uma estimativa de custo destes
elementos estruturais.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
81
Unidade de medição Custo unitário
Cofragem m2 15 € /m2
Armadura kg 0.90 € /kg
Betão m3 100 € /m3
(i) Critérios de medição: a definir no Caderno de Encargos
No que se refere à medição das armaduras, é importante estabelecer critérios para os
seguintes aspectos:
Desperdícios (5% a 7% da quantidade total) – em geral não são
considerados na medição, mas sim no preço unitário;
Comprimentos de emenda ou sobreposição;
Varões com comprimento superior a 12 m.
(ii) Taxas de armadura
As quantidades de armadura em lajes dependem do tipo de apoio, da esbelteza e do
nível de carga actuante. Em geral, podem tomar-se como referência os seguintes valores
de taxas de armaduras.
Lajes vigadas – 60 a 80 Kg/m3
Lajes fungiformes – 80 a 120 Kg/m3
2.6. LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA DIRECÇÃO
2.6.1. Definição
Considera-se que as lajes são armadas numa direcção (ou funcionam
predominantemente numa direcção) se:
As condições de apoio o exigirem
A relação entre vãos respeitar a condição Lmaior Lmenor
2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
82
2.6.2. Pré-dimensionamento
Para sobrecargas correntes em edifícios (sc 5 kN/m2), a espessura das lajes armadas
numa direcção pode ser determinada a partir da seguinte relação:
h L
25 a 30
Esta expressão tem por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na
laje.
2.6.3. Pormenorização de armaduras
2.6.3.1. Disposição de armaduras
As armaduras principais devem ser colocadas por forma a funcionarem com o maior
braço, tal como se encontra ilustrado nas figuras seguintes.
As+
As,dist+
As,distAs- -
Determinação da altura útil: d = h - c - long
2 h – (0.025 a 0.03) m
2.6.3.2. Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição
Ver Folhas da Cadeira, Volume I, págs. 17, 18, 19 e 20
2.6.3.3. Armadura de bordo simplesmente apoiado
Pelo facto das vigas de bordo impedirem a livre rotação da laje quando esta se deforma,
surgem tracções na face superior, nas zonas de ligação entre os dois elementos. Em
x
y
lx
ly lx / ly 2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
83
geral, estas tracções não são contabilizadas no cálculo já que se despreza a rigidez de
torção das vigas no cálculo dos esforços em lajes. Caso não seja adoptada armadura
específica para este efeito podem surgir fendilhações, conforme se ilustra na figura
seguinte.
Deste modo, é necessário dispor de armadura na face superior da laje junto às vigas de
bordo, na direcção perpendicular às mesmas, cuja disposição se apresenta.
0.2As,apoioAs,apoio
L/4
- -
A quantidade de armadura a adoptar deverá respeitar a seguinte condição:
As,apoio
–
= máx { }As,min, 0.25 As,vão
+
2.6.3.4. Armadura de bordo livre
Num bordo livre de uma laje deve ser adoptada armadura longitudinal e transversal,
conforme ilustrado na figura seguinte.
2h
12
h
Para o reforço longitudinal do bordo livre pode ser utilizada a armadura longitudinal
superior ou inferior da laje.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
84
EXERCÍCIO L1
Verifique a segurança aos estados limite últimos da escada representada na figura.
1.402.701.40
0.17
0.20
1.53
A'
A
0.30
1.40
0.20
Corte A-A'
Considere as seguintes acções:
- peso próprio;
- revestimento: 1.50 kN/m2;
- sobrecarga de utilização: 3.00 kN/m2;
Adopte para materiais o betão C20/25 e a armadura A400NR.
Desenhe a distribuição de armaduras em corte longitudinal e transversal à escala 1:25 na
folha anexa.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
85
Resolução do Exercício L1
Laje armada numa direcção
1. Modelo de cálculo
1.40 2.70 1.40
sc
rev
pplaje
pdegraus
pdegraus
sc
rev
1.401.40 2.70
pp
pp /cos
= arctg 1.53 2.7
= 29.5
2. Cálculo das Acções
2.1. Cargas permanentes
Peso próprio
ppLaje = betão h = 25 0.20 = 5.0 kN/m2
pdegraus = betão hdegrau
2 = 25
0.17 2
= 2.13 kN/m2
Zona do patim: pp = 5.0 kN/m2
Zona dos degraus: pp = ppLaje
cos + pdegraus =
5.0
cos 29.5 + 2.13 = 7.9 kN/m2
Revestimento = 1.5 kN/m2
2.2. Sobrecarga
Sobrecarga de utilização = 3.0 kN/m2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
86
3. Acções solicitantes de dimensionamento
psd2
1.401.40 2.70
psd1
psd1 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )5.0 + 1.5 + 3.0 = 14.3 kN/m2
psd2 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )7.9 + 1.5 + 3.0 = 18.6 kN/m2
4. Determinação dos esforços
45.1
25.1
45.125.1
(+)
(-)
DEV
[kN/m]
DMF
[kNm/m]
49.1
66.0
49.1
(+)
5. Cálculo das armaduras (verificação da segurança ao E.L.U. de flexão)
Armadura principal
Msd = 66.0 kNm/m = Msd
b d2 fcd =
66.0
1.0 0.172 13.3 103 = 0.172 ; = 0.195
As = b d2 fcd fyd
= 0.195 1.0 0.17 13.3 348
104 = 12.67 cm2/m
Adoptam-se 16//0.15 (13.4 cm2/m).
Armadura de distribuição
As,d = 0.20 As,princ. = 0.20 12.67 = 2.53 cm2/m
Adoptam-se 8//0.20
Armadura mínima
As,min = 0.26 fctm fyk
bt d = 0.26 2.2 400
0.17 104 = 2.43 cm2/m
Armadura de bordo simplesmente apoiado
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
87
As,apoio
–
= máx { }As,min, 0.25 As,vão
+
= 3.17 cm2/m Adoptam-se 8//0.15
0.25 0.25 As,vão
+
= 0.25 12.67 = 3.17 cm2/m
6. Verificação da segurança ao E.L.U. de esforço transverso
Vsd VRd,c = [ ]CRd,c k ( )100 L fck1/3 + k1 cp bw d ( )0.035 k3/2 fck
1/2 bw d
Como não existe esforço normal de compressão,
VRd,c = CRd,c k (100 1 fck)1/3 bw d =
0.18 1.5
2.0 (100 0.008 20)1/3 1000 170 10-3 = =
102.8 kN
K = 1 + 200d
= 1 + 200170
= 2.08 ≥ 2.0 k = 2.0
1 = AsL
bw d =
13.4 10-4 0.17
= 0.008
VRd,c ≥ 0.035 k3/2 fck1/2 bw d = 0.035 2.03/2 201/2 1000 170 10-3 = 75.3 kN
Dado que Vsd,máx = 45 kN/m, está verificada a segurança ao E.L.U. de esforço transverso.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
88
2.7. LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES
2.7.1. Métodos de Análise e Dimensionamento
A análise e dimensionamento das lajes vigadas pode ser efectuada recorrendo a modelos
elásticos ou a modelos plásticos.
2.7.1.1. Análise elástica (Teoria da Elasticidade)
A análise elástica das lajes baseia-se na teoria da elasticidade e resume-se à integração
da equação diferencial de Lagrange que relaciona o campo de deslocamentos w(x,y) com
a carga actuante q.
Este tipo de análise foi abordado na disciplina de Análise de Estruturas I. Indicam-se aqui
as principais equações da análise elástica de lajes finas.
Equação de Lagrange
4 w(x,y)
x4 + 2
4 w(x,y)
x2 y2 +
4 w(x,y)
y4 = q D
Equações de equilíbrio
(V e M) vx = mx(q)
x +
mxy(q)
y ; vy =
my(q)
y +
mxy(q)
y
(V e q) vx(q)
x +
vy(q)
y = q
(M e q) 2 mx(q)
x2 +
2 my(q)
y2 +
2 2 mxy(q)
x y = q
Foram desenvolvidas soluções da equação de Lagrange para painéis de laje com
geometria simples que resultaram na publicação de tabelas de cálculo de lajes com
diferentes condições de apoio.
q
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
89
Uma avaliação dos esforços elásticos nas lajes pode ser efectuada recorrendo a estas
tabelas de esforços ou a métodos numéricos como, por exemplo, o método dos
elementos finitos.
Nas figuras seguintes ilustram-se o tipo de tabelas que fornecem os valores dos
momentos flectores máximos no vão e nos apoios para lajes com diferentes condições de
apoio e diferentes relações de vãos, admitindo apoios indeformáveis. Refira-se que esta
é uma hipótese razoável, no caso do apoio das lajes em vigas mas tem as suas
limitações pois as vigas são necessariamente deformáveis.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
90
Ilustra-se na figura seguinte a distribuição de esforços elásticos em painéis de laje com
diferentes condições de apoio.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
91
Painel interior
Painel apoiado no contorno
Painel de bordo
Painel de canto
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
92
Na figura seguinte ilustra-se a distribuição de esforços elásticos num painel de 4 lajes
vigadas recorrendo a um programa de análise estrutural baseado no método dos
elementos finitos, considerando a deformabilidade das vigas, indicando-se a distribuição
de momentos nas direcções x e y e dos momentos torsores.
6.00
6.00
4.00
6.00
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
93
No dimensionamento pode efectuar-se uma redistribuição dos esforços elásticos, não
devendo esta ultrapassar mais ou menos 25% do valor dos momentos elásticos nos
apoios de modo a assegurar que o comportamento em serviço não seja afectado. Refira-
se que o tomar uma distribuição de esforços não muito afastada da elástica não afecta as
deformações e tem uma influência limitada na abertura máxima de fendas, que como se
referiu anteriormente, não é condicionante no comportamento à flexão de lajes.
Importa salientar que na análise elástica a carga actuante é equilibrada com momentos
flectores e momentos torsores, conforme a equação de equilíbrio (M e q) atrás
apresentada.
No dimensionamento das armaduras das lajes este aspecto deve ser tido em conta, e
pode sê-lo de uma forma simplificada realizando o cálculo das armaduras para os
seguintes momentos flectores corrigidos:
m'sd, x = msd, x + |msd, xy| 0 A+
sx
m'sd, y = msd, y + |msd, xy| 0 A+
sy
m'sd,x = msd, x - |msd, xy| 0 A-
sx
m'sd, y = msd, y - |msd, xy| 0 A-
sy
Verifica-se que os momentos torsores são nulos nas secções onde o momento flector é
máximo o que significa que as armaduras máximas são, em geral, calculadas apenas
para os momentos flectores, mas nas outras secções é necessário ter em conta a
presença dos momentos torsores.
Importa, ainda, referir que as tabelas de esforços elásticos fornecem soluções elásticas
considerando os apoios indeformáveis, como atrás mencionado. Todavia, estas
condições de apoio são pouco frequentes na prática e os esforços elásticos em lajes com
apoios deformáveis podem diferir significativamente dos esforços fornecidos pelas
tabelas.
No entanto, esta situação não se traduz num problema no dimensionamento das lajes
pois as soluções fornecidas satisfazem o equilíbrio e é sempre possível considerar a
redistribuição de esforços desde que a ductilidade seja assegurada, o que nas lajes é, em
geral, o caso.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
94
2.7.1.2. Análise plástica (Teoria da Plasticidade)
A análise plástica pode ser aplicada quando a ductilidade do comportamento à flexão é
garantida, ou seja, quando o dimensionamento das armaduras de flexão é efectuado por
forma a que a posição da L.N. correspondente a este E.L.U. seja tal que: x d
0.25.
O dimensionamento, recorrendo à Teoria da Plasticidade, pode ser efectuado por dois
métodos distintos:
Método cinemático: o valor da carga associado a um mecanismo cinematicamente
admissível é um valor superior da carga última – exemplo: método das linhas de
rotura.
A aplicação deste método deve ser realizada com cuidado pois é necessário
determinar o mecanismo de colapso que conduz à carga de rotura mínima.
Método estático: o valor da carga que satisfaz as equações de equilíbrio, de forma a
que em nenhum ponto seja excedida a capacidade resistente, é um valor inferior da
carga última (método conservativo) – exemplo: método das bandas.
A figura seguinte ilustra a relação das soluções estática e cinematicamente admissíveis
face à carga de rotura de uma laje. Refira-se que ambas as soluções convergem para a
carga de rotura real da laje qu,r. Enquanto o método estático está do lado da segurança o
método cinemático está do lado contrário.
O método estático apresenta grande utilidade na avaliação e no dimensionamento de
lajes de betão como se ilustra e discute no exemplo seguinte.
Considere-se a laje, sujeita a uma carga uniformemente distribuída q, indicada na figura
seguinte com armaduras nas direcções x e y a que correspondem momentos resistentes
mRx e mRy.
q
qu,r
Campo das soluções
cinematicamente admissíveis
Campo das soluções estaticamente
admissíveis
Campo dos momentos
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
95
Assumindo que a distribuição dos momentos segundo x e y apresenta uma forma
parabólica tem-se:
mx = mx0 (1 - ax2); my = my0 (1 - by2)
nos apoios: mx = 0 ; my = 0
x = lx/2 mx = 0 a = 4 / lx2
y = ly/2 my = 0 b = 4 / ly2
donde
mx = mx0 (1- 4x2/lx2); my = my0 (1- 4y2/ly
2)
Recorrendo à equação de equilíbrio das lajes (M e q)
2 mx(q)
x2 +
2 my(q)
y2 +
2 2 mxy(q)
x y = q
obtém-se
q = (8 / lx2) mx0 + (8 / ly
2) my0
Considerando a condição de base do teorema estático m(q) mR, a capacidade
resistente da laje é atingida quando mx0 = mRx e my0 = mRy pelo que a máxima capacidade
de carga da laje é
qmax = (8 / lx2) mRx + (8 / ly
2) mRy
isto é, a carga máxima é obtida pelo somatório da parcela da carga equilibrada segundo x
e y pelos momentos mRx e mRy, respectivamente:
qmax = qRx + qRy
mx0
lx
ly x
y
my0
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
96
com: qRx = (8 / lx2) mRx; qRy = (8 / ly
2) mRy
Recorrendo agora às equações de equilíbrio (V e M)
vx = mx(q)
x +
mxy(q)
y ; vy =
my(q)
y +
mxy(q)
y
obtém-se o esforço transverso
vx = - 8 mRx x/lx2 ; vy = - 8 mRy x/ly
2
nos apoios tem-se
x = lx/2 vap,x = 4 mRx / lx
y = ly/2 vap,y = 4 mRy / ly
ou
vap,x = qRx lx/2
vap,y = qRy ly/2
Este método pode ser aplicado quer à avaliação da capacidade de carga de lajes
existentes quer ao dimensionamento das armaduras de lajes novas. No entanto, é
necessário ter presente que a sua aplicação pressupõe que existe ductilidade suficiente
das secções e que não ocorrem problemas de deficiente comportamento em serviço
nomeadamente no que se refere à fendilhação.
2.7.2. Método das bandas
O método das bandas é uma aplicação simples do método estático ao dimensionamento
de lajes. A sua fundamentação foi apresentada atrás mas pode, também, ser explicada
da seguinte forma.
Considere-se a equação de equilíbrio das lajes (M e q):
2 mx(q)
x2 +
2 my(q)
y2 +
2 2 mxy(q)
x y = q
e uma distribuição de armaduras tal que em nenhum ponto a distribuição de esforços
equilibrada excede a capacidade resistente da laje, m(q) mR,
onde, m(q) - momento da distribuição equilibrada de esforços devido à carga q;
mR - momento resistente da laje
Se não se quiser considerar os momentos torsores para equilibrar a carga actuante q (mxy
= 0), a equação de equilíbrio toma a forma
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
97
2 mx
x2 +
2 my
y2 = q
Pode então admitir-se que a carga é suportada em bandas nas direcções x e y, ou seja,
2 mx
x2 = q
2 my
y2 = (1 ) q
0 1
Momentos flectores de dimensionamento a meio vão:
mx = q lx2/8; my = (1- q ly
2/8
Esforço transverso nos apoios:
vx = q lx/2; vy = (1- q ly/2
Efectuando a comparação com o exemplo anteriormente apresentado tem-se a seguinte
correspondência:
q = qRx; (1- q = qRy
É de notar que, se a distribuição equilibrada de esforços adoptada no dimensionamento
diferir significativamente dos esforços em serviço (estes próximos de uma distribuição
elástica), podem acontecer situações deficientes em termos do comportamento em
serviço, da laje. De qualquer modo, a segurança em relação ao estado limite último está
assegurada.
Em geral, um bom comportamento em serviço pode ser garantido através da
conveniente:
escolha do modelo de cálculo e dos caminhos de carga a adoptar por forma a não
se afastar significativamente do comportamento elástico da laje;
lx
ly
(1- ) q
q
q
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
98
escolha dos coeficientes de repartição de carga ( ) de acordo com o mesmo
critério;
pormenorização adequada de armaduras.
Indicações qualitativas quanto à escolha dos coeficientes de repartição ( )
Para Lmaior/Lmenor 2 e visto tratar-se de flexão cilíndrica, = 1;
Para iguais condições de fronteira nas duas direcções, o valor de a considerar
para a menor direcção (Lx) deve variar entre 0.5 e 1, para relações de vãos entre
1 e 2. Sendo os momentos mx dados por k Lx2. Deve verificar-se que Lx
2 >
(1 - ) Ly2;
As direcções com condições de fronteira mais rígidas absorvem mais carga
maior.
Nas figuras seguintes apresentam-se exemplos de aplicação do método das bandas ao
dimensionamento de lajes
Aplicação do método das bandas a uma laje rectangular com lx > 2 ly
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
99
Aplicação do método das bandas a uma laje com bordo livre
Como se percebe a aplicação do método estático ao dimensionamento das lajes dá
grande liberdade ao engenheiro na forma como define o encaminhamento das cargas e
como dispõe as armaduras. É, todavia, necessário assegurar a ductilidade necessária a
estes elementos. Um aspecto que importa analisar é relativo a situações em que possam
ocorrer roturas prematuras por esforço transverso sem que se atinja primeiro a
capacidade resistente à flexão. Trata-se de situações raras relativas a lajes sujeitas a
cargas muito elevadas mas que importa ter em atenção.
Como as lajes não são, em geral, armadas transversalmente para o esforço transverso,
as roturas associadas a este tipo de esforço são frágeis. Se para uma determinada
situação se atinge primeiro a capacidade resistente ao esforço transverso a possibilidade
de redistribuição de esforços é praticamente nula e a aplicação do teorema estático deixa
de ser válida.
Considerando as formulações para determinar a resistência ao esforço transverso e a
resistência à flexão é possível para diferentes casos de lajes avaliar as situações em que
é previsível ocorrer primeiro a rotura por esforço transverso.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
100
Nas figuras seguintes ilustram-se estas situações para lajes com percentagens de
armadura entre 0.5% e 1.2% para um betão corrente C30/37 e aço A500 considerando os
três sistemas estáticos básicos.
Nos gráficos apresenta-se a relação MV/MF em função do relação l/d, em que:
MV – momento correspondente à rotura por esforço transverso;
MF – momento correspondente à rotura por flexão;
l – vão da laje;
d – altura útil.
Como de pode verificar se a relação l/d é baixa ocorre primeiro a rotura por esforço
transverso (razão MV/MF inferior a um). Verifica-se que à medida que aumenta a
quantidade de armadura maior será o valor de l/d abaixo do qual ocorrem roturas por
esforço transverso.
Interessa, assim, na concepção destes elementos evitar, na medida do possível, as
relações l/d que configurem roturas prematuras por esforço transverso. Caso não seja
viável esta opção então será prudente proceder-se ao dimensionamento com base nos
esforços elásticos.
Importa, no entanto, ter presente que no caso de se recorrer a tabelas de esforços
elásticos para o dimensionamento das lajes, a situação acima indicada também se coloca
pois, como referido anteriormente, a este tipo de dimensionamento está também
associada a redistribuição de esforços.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
101
Relação MV/MF em função de l/d para diferentes níveis de armadura
2.8. PRÉ-DIMENSIONAMENTO
Para sobrecargas correntes em edifícios (sc 5 kN/m2), a espessura das lajes armadas
em duas direcções pode ser determinada a partir da seguinte relação:
h L
25 a 35
Esta expressão tem por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na
laje.
Indicações mais detalhadas em relação ao valor de L/h podem ser vistas no Quadro 7.4N
do EC2.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
102
2.9. PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS
2.9.1. Disposição de armaduras
Armadura colocada segundo a direcção do maior momento
2.9.2. Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição
Ver Folhas da Cadeira, Volume I – Capítulo II, páginas 37 a 43.
2.10. DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES
Ver Folhas da Cadeira, Volume I – Capítulo II, página 35.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
103
EXERCÍCIO L2
O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a
0.15 m e encontra-se submetido às seguintes acções:
- peso próprio;
- revestimento: 1.5 kN/m2;
- sobrecarga de utilização: 4.0 kN/m2;
6.00 6.00
5.00
5.00
Dimensione e pormenorize as armaduras das lajes do piso recorrendo ao método das
bandas.
Adopte para materiais betão C25/30 e aço A400NR.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
104
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L2
1. Cálculo das acções
Peso próprio pp = betão h = 25 0.15 = 3.8 kN/m2
Revestimentos rev = 1.5 kN/m2
Sobrecarga sc = 4.0 kN/m2
psd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )3.8 + 1.5 + 4.0 = 13.9 kN/m2
2. Modelo de cálculo
Lmaior Lmenor
= 6 5
= 1.2 2 Laje armada nas duas direcções
6.00
5.00
0.7q
0.3q
x
y
(0.3 62 = 10.8 0.7 5
2 = 17.5)
3. Cálculo dos esforços
(i) Direcção x
6.00
3pL/8 5pL/8
0.3 x 13.9 = 4.2 kN/m2
DMF
[kNm/m]
DEV
[kN/m](+)
(-)
(-)
(+)
9.5
15.8
10.6
18.9
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
105
(ii) Direcção y
0.7 x 13.9 = 9.7 kN/m
5.00
18.2
(+)
DMF
[kNm/m]
DEV
[kN/m]
17.1
(+)
3pL/8
30.3
30.3
(-)
(-)
2
5pL/8
4. Cálculo das armaduras
Armaduras principais (d = 0.12 m)
Direcção Msd
[kNm/m]
As
[cm2/m]
Armadura adoptada
x -18.9 0.079 0.083 4.81
10.6 0.044 0.046 2.65
y -30.3 0.126 0.138 7.96
17.1 0.071 0.075 4.33
Armadura mínima
As,min = 0.26 fctm fyk
bt d = 0.26 2.6 400
0.12 104 = 2.03 cm2/m
Esta armadura deve ser colocada em todas as zonas (e direcções) onde a laje possa
estar traccionada.
Armaduras de distribuição
Armadura inferior: não é necessária
Armadura superior: As,d- = 0.20 7.96 = 1.59 cm2/m (direcção y)
As,d- = 0.20 4.81 = 0.9 cm2/m (direcção x)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
106
Armadura de bordo simplesmente apoiado
As,apoio
–
= máx { }As,min, 0.25 As,vão
+
= 2.03 cm2/m
(i) Direcção x
0.25 As,vão
+
= 0.25 2.65 = 0.66 cm2/m
(ii) Direcção y
0.25 As,vão
+
= 0.25 4.33 = 1.08 cm2/m
5. Verificação da segurança ao E.L.U. de esforço transverso
VRd,c = CRd,c k (100 1 fck)1/3 bw d =
0.18 1.5
2.0 (100 0.007 25)1/3 1000 120 10-3 = =
74.8 kN
K = 1 + 200d
= 1 + 200120
= 2.29 ≥ 2.0 k = 2.0
1 = AsL
bw d =
7.96 10-4 0.17
= 0.007
VRd,c ≥ 0.035 k3/2 fck1/2 bw d = 0.035 2.03/2 251/2 1000 120 10-3 = 59.4 kN
Dado que Vsd,máx = 30.3 kN/m, está verificada a segurança ao E.L.U. de esforço
transverso.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
107
2.11. ARMADURAS DE CANTO
Considere-se um painel de laje apoiado no contorno. Se não estiver impedido o
levantamento da laje, e o referido painel for solicitado por uma carga no seu interior,
conforme indicado, os cantos terão tendência a levantar.
P
R0
R0 R0
R0
Como, nas situações usuais, o deslocamento dos cantos está impedido (por vigas ou
paredes), surgem forças de reacção (R0), associadas a momentos torsores nas direcções
dos bordos.
A acção deste esforço produz uma superfície torsa “tipo sela de cavalo”, com curvatura
nas duas direcções, de sinais contrários.
Na figura seguinte apresenta-se a deformação de um canto de uma laje apoiada no
contorno (com deslocamentos verticais impedidos em dois dos bordos e rotação livre). A
acção da reacção de canto produz uma curvatura negativa segundo a direcção AA’,
enquanto o carregamento distribuído vertical provoca uma curvatura positiva segundo a
direcção BB’.
A B'
B
A'
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
108
Este efeito é equivalente à aplicação de momentos flectores segundo as direcções
principais de inércia do elemento (as quais fazem um ângulo de 45 com a direcção do
momento torsor), um positivo e outro negativo, de igual valor.
Mxy'
Mxy'
Mxy'
Mxy'
My Mx
MyMxx y
x, y - direcções principais
Mxy'
Mxy'
M ij
M ii
MxMy
|Mxy'| = |Mx| = |My|
Este comportamento provoca fendilhação nas faces superior e inferior das lajes, junto aos
cantos, conforme se ilustra na figura seguinte.
M+
M -
a) Face inferior da laje b) Face superior da laje
Para absorver as tracções e controlar a fendilhação, é necessário adoptar armadura
específica para este efeito, junto às duas faces da laje (armadura de canto), segundo a
direcção das tensões de tracção ou, simplesmente, uma malha ortogonal.
Importa referir que no caso do dimensionamento das lajes com base em métodos
plásticos, como o método das bandas, os momentos flectores atrás referidos não são
necessários ao equilíbrio das cargas pelo que podem ser desprezados na verificação da
segurança aos estados limites últimos. Todavia, é conveniente dispor-se de uma
armadura nestas zonas para efeito do controlo da fendilhação em serviço.
2.12. SISTEMAS DE PAINÉIS CONTÍNUOS DE LAJES – COMPATIBILIZAÇÃO DE ESFORÇOS NOS
APOIOS DE CONTINUIDADE
Considerem-se dois painéis de laje adjacentes com vãos diferentes, LA e LB, na direcção
x.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
109
ABM
A
LA
B
LB
Se o método utilizado para a análise de sistemas de lajes contínuas consistir na análise
isolada de cada painel, obtêm-se momentos diferentes MA e MB, no bordo de
continuidade, conforme ilustrado na figura abaixo.
A B
DMF MAMB
MA MB
Dado que a rigidez de torção da viga não é significativa, o momento MAB terá que ser o
mesmo, à esquerda e à direita. O momento MAB será intermédio entre MA e MB e
dependente da rigidez dos painéis adjacentes:
MAB = B MA + A MB
com,
A = KA
KA + KB
1/LA 1/LA + 1/LB
e B = KB
KB + KA
1/LB 1/LB + 1/LA
Simplificadamente, poderá considerar-se
MAB = máx
MA + MB 2
0.8 máx (MA, MB)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
110
Refere-se que não é necessária grande precisão no cálculo do momento MAB pois é
sempre possível explorar a redistribuição de esforços nas lajes. No entanto, a satisfação
do equilíbrio é essencial.
Obtém-se então o seguinte diagrama de momentos flectores final
DMF
MB
MA
MAB
M/2
M
É de referir que no tramo onde se diminui o momento negativo é necessário, por
equilíbrio, aumentar o momento positivo.
2.13. ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS
Conforme se referiu anteriormente, para o cálculo dos esforços em sistemas contínuos de
lajes, pode proceder-se à análise isolada de cada painel. Todavia, é necessário
considerar no dimensionamento a possibilidade da sobrecarga poder actuar em zonas
distintas da laje dado que estes casos conduzem a distribuições de esforços diferentes
dos actuantes na situação em que todos os painéis são solicitados pela sobrecarga.
Trata-se de um problema semelhante ao que ocorre nas vigas e que foi abordado na
disciplina de Estruturas de Betão I.
Nos casos correntes não é necessário proceder-se à determinação da envolvente de
esforços associada às várias hipóteses de actuação da sobrecarga e dimensionar a laje
para os esforços máximos dessa envolvente. Refere-se que este tipo de
dimensionamento não é económico pois não tira partido da capacidade de redistribuição
de esforços das lajes, a qual está normalmente assegurada.
Em geral, é suficiente ter-se em atenção os efeitos que a alternância de sobrecargas tem
no andamento dos diagramas de esforços os quais se vão repercutir essencialmente em
alguns cuidados adicionais na definição da secção de dispensa das armaduras.
Recorrendo a uma análise plástica facilmente se percebe que o momento global máximo
a equilibrar em cada painel de laje é igual qualquer que seja o carregamento dos painéis
adjacentes. As únicas questões que se podem colocar, e que devem ser analisadas caso
a caso, são relativas ao comportamento em serviço e à definição das secções de
dispensa de armaduras anteriormente referidas.
Quanto maior for a amplitude de variação do diagrama de momentos actuante maior será
o cuidado a ter na análise dos aspectos acima definidos. Essa amplitude de variação é
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
111
traduzida pelo valor da relação entre a sobrecarga e a carga permanente. Quanto maior
for este valor maior será a variação do diagrama de momentos e, por conseguinte,
maiores serão os cuidados necessários na pormenorização das armaduras.
Importa, no entanto, referir que para os casos correntes de edifícios de habitação e de
serviços em que as sobrecargas actuantes são moderadas, os efeitos da alternância de
sobrecargas no dimensionamento não são relevantes.
Para ilustrar estes aspectos considere-se o exemplo de uma laje constituída por dois
painéis armados em uma direcção. Analisa-se uma faixa de laje com 1m de largura.
Acções: pp = 5 kN/m2; rcp = 2 kN/m2; sc = 5 kN/m2
Os possíveis casos de carga actuantes na laje são os seguintes:
sc
cp 1
sc
cp 2
sc
cp 3
5.0 5.0
e = 0.20
m
1.
0
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
112
Representam-se os diagramas de momentos relativos aos vários casos de carga
Diagrama envolvente dos momentos
Explorando a redistribuição de esforços é possível evitar o dimensionamento para o
diagrama envolvente. É suficiente realizar o dimensionamento para um diagrama de
momentos equilibrado considerando a totalidade das cargas actuando nos dois tramos e
ter em atenção a definição das secções de dispensa de armaduras conforme se explica a
seguir.
Considerando para efeito do dimensionamento um diagrama de momentos intermédio
adoptando, por exemplo, o momento no apoio igual a pl2/10 tem-se:
Este diagrama corresponde a uma redistribuição de momentos do apoio para o vão de
20%, valor que é aceitável.
1
2
3
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
113
Haverá que ter em atenção a dispensa das armaduras superiores de modo a contemplar
os casos de carga 2 e 3. O diagrama envolvente contemplando os vários casos de carga
é o seguinte
Por exemplo, para o caso de carga 2 ter-se-ia:
Verifica-se que o problema da dispensa das armaduras superiores surge no vão
adjacente ao da actuação da sobrecarga. Esta situação de carga leva a que, em geral, a
dispensa de armaduras não possa ser realizada a ¼ do vão, como nos casos correntes, e
a armadura tenha de ser prolongada mais um pouco.
No entanto, caso se adopte uma malha de armadura mínima superior, como é
conveniente, poderá em geral realizar-se a dispensa de armadura também a ¼ de vão.
No exemplo em causa o momento resistente conferido pela armadura mínima é cerca de
19 kNm/m o que permite efectivamente fazer a dispensa das armaduras superiores a ¼
de vão.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
114
EXERCÍCIO L3
O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a
0.15 m e encontra-se submetido às seguintes acções:
- peso próprio;
- revestimento: 1.5 kN/m2;
- sobrecarga de utilização: 4.0 kN/m2;
6.00
6.00
4.00
6.00
Dimensione as armaduras das lajes do piso, adoptando para materiais o betão C25/30 e
a armadura A400NR, das seguintes formas:
a) recorrendo a tabelas, para o cálculo dos esforços elásticos.
b) pelo método das bandas.
c) Pormenorize de acordo com os resultados obtidos na alínea a).
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
115
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L3
Alínea a)
1. Cálculo das acções
Peso próprio pp = betão h = 25 0.15 = 3.8 kN/m2
Revestimentos rev = 1.5 kN/m2
Sobrecarga sc = 4.0 kN/m2
psd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )3.8 + 1.5 + 4.0 = 13.9 kN/m2
2. Painéis a calcular
Painel 1
6.00
4.00
Lmaior Lmenor
= 6 4
= 1.5 2
Laje armada nas duas direcções
Painel 2
6.00
6.00
Lmaior Lmenor
= 6 6
= 1.0 2
Laje armada nas duas direcções
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
116
3. Cálculo dos esforços de dimensionamento
3.1.Esforços elásticos
Painel 1
a = 6.0
b = 4.0
x
y
Mys
Mxs Mxvmin
minMyv
= a b
= 6 4
= 1.5
p a2 = 13.9 62 = 500.4 kN
p b2 = 13.9 42 = 222.4 kN
Mxs = 0.01 500.4 = 5.0 kNm/m
Mxvmin = -0.0358 500.4 = -17.9 kNm/m
Mys = 0.0473 222.4 = 10.5 kNm/m
Myvmin = -0.1041 222.4 = -23.2 kNm/m
Painel 2
y
x
Myvmin
minMxvMxs
Mys
a = 6.0
b = 6.0
= a b
= 6 6
= 1.0
p a2 = p b2 = 500.4 kN
Mxs = Mys = 0.0269 500.4 = 13.5 kNm/m
Mxvmin = Myv
min = -0.0699 500.4 = -35.0 kNm/m
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
117
3.2. Compatibilização de esforços no bordo de continuidade
M-y, painel 1 + M
-y, painel 2
2 =
35 + 23.2 2
= 29.1 kNm/m
My- 0.8 máx { } M
-y, painel 1 , M
-y, painel 2 = 0.8 35 = 28.0 kNm/m My
- = 29.1 kNm/m
DMF
M/2
M
Painel 1 – diagrama sobe (pode optar-se por não alterar M+)
Painel 2 – diagrama desce (é necessário calcular M+)
M 2
= 35 - 29.1
2 = 3.0 kNm/m
3.3. Esforços finais
10.5
5.0 17.9
29.1
13.5
16.5
35.0
4. Cálculo das armaduras
Painel 1
Direcção Msd
[kNm/m]
As
[cm2/m]
Armadura adoptada
x -17.9 0.074 0.079 4.54
5.0 0.021 0.022 1.25
y -29.1 0.121 0.132 7.61
10.5 0.044 0.046 2.63
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
118
Armadura mínima
As,min = 0.26 fctm fyk
bt d = 0.26 2.6 400
0.12 104 = 2.03 cm2/m
Armaduras de distribuição
Armadura inferior: não é necessária
Armadura superior: Ad,x- = 0.20 4.54 = 0.91 cm2/m
Ad,y- = 0.20 7.61 = 1.52 cm2/m
Armadura de bordo simplesmente apoiado
As,apoio
–
= máx { }As,min, 0.25 As,vão
+
= 2.03 cm2/m
Armadura de canto
As,canto = As, máx+ = 2.63 cm2/m
Painel 2
Direcção Msd
[kNm/m]
As
[cm2/m]
Armadura adoptada
x -35.0 0.146 0.162 9.31
13.5 0.056 0.059 3.38
y -29.1 0.121 0.132 7.61
16.5 0.069 0.072 4.17
Armaduras de distribuição
Armadura inferior: não é necessária
Armadura superior: Ad,x- = 0.20 9.31 = 1.86 cm2/m
Ad,y- = 0.20 7.61 = 1.52 cm2/m
Armadura de bordo simplesmente apoiado
As,apoio
–
= máx { }As,min, 0.25 As,vão
+
= 2.03 cm2/m
(i) Direcção x
0.25 As,vão
+
= 0.25 3.38 = 0.85 cm2/m
(ii) Direcção y
0.25 As,vão
+
= 0.25 4.17 = 1.04 cm2/m
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
119
Armadura de canto
As,canto = As, máx+ = 4.17 cm2/m
Alínea b)
1. Modelo de cálculo
Painel 1
y
x
0.8q
0.2q
Painel 2
0.5q
0.5q
x
y
2. Cálculo dos esforços de dimensionamento
Painel 1
(i) Direcção x
6.00
3pL/8 5pL/8
0.2 x 13.9 = 2.8 kN/m2
DMF
[kNm/m]
DEV
[kN/m](+)
(-)
(-)
(+)
6.3
10.4
7.0
12.5
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
120
(ii) Direcção y
4.00
DEV
[kN/m]
DMF
[kNm/m]
/85pL
(+)
12.5
(+)
27.8
/83pL
(-)
(-)
16.722.2
20.8 x 13.9 = 11.1 kN/m
Painel 2
(i) Direcções x e y
17.7
(+)
DMF
[kNm/m]
DEV
[kN/m](+)
15.8
(-)
(-)
26.3
31.5
6.00
3pL/8
2
5pL/8
0.5 x 13.9 = 7.0 kN/m
2.1. Compatibilização de esforços no bordo de continuidade
M-y, painel 1 + M
-y, painel 2
2 =
31.5 + 22.2 2
= 26.8 kNm/m
My- 0.8 máx { } M
-y, painel 1 , M
-y, painel 2 = 0.8 31.5 = 25.2 kNm/m My
- = 26.8 kNm/m
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
121
DMF
M/2
M
Painel 1 – diagrama sobe (pode optar-se por não alterar M+)
Painel 2 – diagrama desce (é necessário calcular M+)
M 2
= 31.5 - 26.8
2 = 2.4 kNm/m
2.2. Esforços finais
12.5
31.5
20.1
17.7
26.8
12.5
7.0
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
122
2.14. COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DOS MODELOS ELÁSTICO E PLÁSTICO
1º Caso: LAJE QUADRADA, SIMPLESMENTE APOIADA NO CONTORNO
Modelo elástico
M+ = 0.0368pL2 ( = 0)
M+ = 0.0423pL2 ( = 0.15)
Modelo plástico
M+ =
P L2
16 = 0.0625PL2
Mplástico Melástico
=
1.7 ( = 0)
1.5 ( = 0.15)
2º Caso: LAJE QUADRADA, ENCASTRADA NO CONTORNO
Modelo elástico
M- = 0.0515pL2
M+ = 0.0176pL2
0.0691pL2
Modelo plástico
M- =
P L2
24 = 0.0417PL2
M+ = p L2
48 = 0.0208pL2
(pL2/ 16) 0.0625pL2
Melástico Mplástico
= 0.0691 0.0625
= 1.11
Conclusões:
Conforme se pode observar no 1º caso, o momento positivo obtido através do modelo
plástico é significativamente superior ao obtido pelo modelo elástico, devido ao facto de,
no primeiro, o equilíbrio da laje ser feito apenas por momentos flectores nas duas
direcções ortogonais, enquanto no segundo também existe momento torsor;
Relativamente ao 2º caso, embora os momentos positivos sejam maiores no modelo
plástico, pela razão anteriormente referida, os momentos negativos obtidos através do
modelo elástico são maiores. Esta situação deve-se ao facto do momento elástico
negativo não ser constante ao longo do bordo da laje e as tabelas fornecerem o valor
de pico, enquanto o modelo plástico considera que este é constante ao longo do bordo.
Este facto também se pode observar através da soma dos momentos positivo e
negativo que, no modelo elástico não corresponde a pL2/ 16.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
123
EXERCÍCIO L4
O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a
0.20 m e encontra-se submetido às seguintes acções:
- peso próprio;
- revestimento: 1.5 kN/m2;
- sobrecarga de utilização: 4.0 kN/m2;
6.00
5.00
5.00
6.00
Dimensione e pormenorize as armaduras das lajes do piso recorrendo ao método das
bandas.
Adopte para materiais betão C25/30 e aço A400NR.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
124
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L4
1. Cálculo das acções
Peso próprio pp = betão h = 25 0.20 = 5.0 kN/m2
Revestimentos rev = 1.5 kN/m2
Sobrecarga sc = 4.0 kN/m2
psd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 ( )5.0 + 1.5 + 4.0 = 15.8 kN/m2
2. Modelo de cálculo
6.00
5.00 0.3p
0.7pp
C B
A
Banda A
5.25
R
0.3 p
Banda B
5.00
0.7 p
Banda C
5.00
p + R/1.5
3. Determinação dos esforços
Banda psd [kN/m2] Msd
+ [kNm/m] Msd
- [kNm/m] R [kN/m]
A 0.3 15.8 = 4.7 9.1 -16.3 9.3
B 0.7 15.8 = 11.1 19.5 -34.7 -
C 15.8 + 9.3 / 1.5 = 22.0 38.7 -68.8 -
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
125
4. Cálculo das armaduras (d = 0.165 m)
Banda Msd [kNm/m] As [cm2/m] Armadura adoptada
A 9.1 0.020 0.021 1.66
-16.3 0.036 0.037 2.96
B 19.5 0.043 0.045 3.55
-34.7 0.076 0.081 6.41
C 38.7 0.085 0.091 7.18
-68.8 0.151 0.169 13.35
Armadura mínima
As,min = 0.26 fctm fyk
bt d = 0.26 2.6 400
0.165 104 = 2.79 cm2/m
Armaduras de distribuição
Armadura inferior: não é necessária
Armadura superior: Ad,A- = 0.20 2.96 = 0.59 cm2/m
Ad,B- = 0.20 6.41 = 1.28 cm2/m
Ad,C- = 0.20 13.35 = 2.67 cm2/m
Armadura de bordo simplesmente apoiado
As,apoio
–
= máx { }As,min, 0.25 As,vão
+
= 2.79 cm2/m
Armadura de canto
As,canto = As,min = 2.79 cm2/m
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
126
EXERCÍCIO L5
O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a
0.13 m e encontra-se submetido às seguintes acções:
- peso próprio;
- revestimento: 1.5 kN/m2;
- paredes divisórias: 1.5 kN/m2
- sobrecarga de utilização: 2.0 kN/m2;
5.005.001.50 2.00
4.00
4.00
Dimensione e pormenorize as armaduras das lajes do piso recorrendo ao método das
bandas.
Adopte para materiais betão C20/25 e aço A400NR.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
127
EXERCÍCIO L6
Considere a laje representada na figura, bem como as armaduras que se encontram
indicadas e que constituem a sua armadura principal.
7,00 4,00
1,001,00
8//0.10
4,0
0
7,00
6//0.20
Planta superior
Planta inferior
6//0.20
4,0
0
6//0.20
4,00
0,80,8
10
//0
.12
5
8//0
.15
Considerando que a laje tem uma espessura de 0.13 m e que é constituída por um betão
C20/25 e que as armaduras são em A400, determine a máxima sobrecarga que pode
actuar na laje, por forma a que esteja verificada a segurança ao estado limite último de
flexão.
Considere que a restante carga permanente é de 2.0 kN/m2.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
128
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L6
1. Cálculo dos momentos resistentes (d = 0.10 m)
Painel Direcção face Armadura
existente
As
[cm2/m]
MRd
[kNm/m]
1 x
superior 8//0.10 5.03 0.132 0.121 16.1
inferior 6//0.10 2.83 0.074 0.070 9.3
y inferior 10//0.125 6.28 0.164 0.148 19.7
2 x
superior 8//0.10 5.03 0.132 0.121 16.1
inferior 6//0.10 2.83 0.074 0.070 9.3
y inferior 8//0.15 3.35 0.087 0.082 10.9
2. Determinação da carga solicitante máxima
Painel 1
(i) Direcção x
DMF
MRd
MRd
+
-
pl /82
MRd-
2 + MRd
+ = p1,x L2
8
16.1 2
+ 9.3 = p1,x 72
8 p1,x = 2.8 kN/m2
(ii) Direcção y
MRd+ =
p1,y L2 8
19.7 = p1,y 42
8 p1,y = 9.9 kN/m2
psd,1 = p1,x + p1,y = 12.7 kN/m2
Painel 2
(i) Direcção x
MRd-
2 + MRd
+ = p2,x L2
8
16.1 2
+ 9.3 = p2,x 42
8 p2,x = 12.7 kN/m2
(ii) Direcção y
MRd+ =
p1,y L2 8
10.9 = p2,y 42
8 p2,y = 5.5 kN/m2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
129
psd,2 = p2,x + p2,y = 18.2 kN/m2
psd = min (psd,1; psd,2) = 12.7 kN/m2
3. Determinação da máxima sobrecarga que pode actuar na laje
psd = 1.5 (cp + sc) = 12.7 kN/m2
Peso próprio pp = betão h = 25 0.13 = 3.3 kN/m2
Revestimentos rev = 2.0 kN/m2
psd = 1.5 (3.3 + 2.0 + sc) = 12.7 kN/m2 scmáx = 3.2 kN/m2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
130
2.15. ABERTURAS EM LAJES
Quando as dimensões das aberturas não excederem determinados limites, podem
adoptar-se regras simplificadas para a pormenorização das zonas próximas das
aberturas.
(i) Laje armada numa direcção
L2
b
L1
Limites máximos:
b < L1 5
b < L2 4
(para uma abertura isolada)
(ii) Laje armada em duas direcções
b2
b1
L1
L2
Limite máximo:
máx (b1, b2) min (L1, L2)
5
Se estes limites não forem excedidos, o dimensionamento das lajes pode ser efectuado
admitindo que não existem aberturas. As armaduras que forem interrompidas na zona da
abertura deverão ser colocadas como se indica em seguida.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
131
(i) Lajes armadas numa direcção
As As/2
armadura principal de reforço
prolongada até aos apoios;
reforçar armadura de distribuição
junto ao bordo.
(ii) Lajes armadas em duas direcções
Asx
Asy
Asx/2
Asy/2
ax
ay
by
bx
ay = bx 2
+ lb,d
ax = by 2
+ lb,d
Em aberturas de dimensões relativamente grandes (superiores a 0.5m), é conveniente
dispor uma armadura suplementar junto aos cantos, segundo a diagonal, para controlar
uma eventual fendilhação.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
132
Quando os limites atrás referidos são excedidos, as zonas adjacentes às aberturas
poderão ser analisadas pelo método das bandas.
R R
ou
R2 R2
R1
p
R1
R1 R2
R2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
133
2.16. DISCUSSÃO DO MODELO DE CÁLCULO DE LAJES COM GEOMETRIAS DIVERSAS
1)
8.30 2.70
4.2
02.3
0
2) 4.0
0
1.501.50 6.00
3)
6.00
4.0
0
4.00
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
134
4)
2.50 5.00 2.50
1.5
04.0
01.5
0
5)
2.301.85
2.3
01.5
01.5
0
1.85
6)
5.00
4.0
01
.50
1.50
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
135
7)
8)
15.00
15.0
0
5.0
0
5.00
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
136
9)
6.0
0
10)
6.0
0
2.50
3.0
0
4.00
11)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
137
2.17. PORMENORIZAÇÃO COM MALHAS ELECTROSSOLDADAS
2.17.1. Representação gráfica das malhas
Empalme das armaduras
ls
ls
Sobreposição tipo
2.17.2. Exemplo de aplicação de malhas electrossoldadas
Armaduras superiores
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
139
Armaduras inferiores
Colocação das malhas
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
140
2.18. LAJES FUNGIFORMES
Definição: Lajes apoiadas directamente em pilares
2.18.1. Vantagens da utilização de lajes fungiformes
Menor espessura menor altura do edifício
Tectos planos instalação de condutas mais fácil
Facilidade de colocação de divisórias
Simplicidade de execução menor custo
2.18.2. Problemas resultantes da utilização de lajes fungiformes
(muitas vezes associadas ao facto dos apoios terem dimensões reduzidas)
Concentração de esforços nos apoio
Flexão
Punçoamento
Concentração de deformações nos apoios e deformabilidade em geral
Maior deformabilidade para as acções horizontais
Comportamento sísmico
A laje fungiforme é calculada quer para as acções verticais, quer para as acções
horizontais.
2.18.3. Tipos de lajes fungiformes
Maciças
Aligeiradas
com moldes recuperáveis ou embebidos
com ou sem capitel (ou espessamento)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
141
2.18.4. Principais características do comportamento para acções verticais
LxLx
Ly
Ly
Faixas mais rígidas
Ly < Lx
As cargas encaminham-se para as zonas mais rígidas
As lajes fungiformes funcionam predominantemente na maior direcção.
2.18.5. Análise qualitativa do cálculo de esforços numa laje fungiforme
Considere-se o modelo de cálculo para a laje fungiforme que se ilustra na figura seguinte:
1
2
2
q
Lx34
q
4
34 4
1
2
2
Ly
qSecção 1-1
Rx Rx
Secção 2-2
Lx
Ry
Secção 3-3
Ry Ry
(1 - q
RxSecção 4-4
Ly
com
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
142
Rx = q Lx 2
e Ry = (1 – ) q Ly 2
No quadro seguinte apresenta-se a parcela de carga transmitida em cada direcção nas
zonas do vão, das bandas entre pilares e na totalidade da laje (soma da parcela
transmitida na zona do vão com a da zona das bandas).
Direcção x Direcção y
Vão q Ly (1 - ) q Lx
Bandas 2 (1 - ) q Ly/2 2 q Lx/2
Total q Ly q Lx
Como se pode observar, numa laje fungiforme é necessário equilibrar a totalidade da
carga em cada uma das direcções.
2.18.6. Concepção e pré-dimensionamento de lajes fungiformes
Para sobrecargas correntes em edifícios (sc 5 kN/m2), a espessura das lajes
fungiformes pode ser determinada a partir das seguintes relações:
Lajes maciças: h = Lmaior
25 a 30 ( + < 0.18 ; - < 0.30)
Lajes aligeiradas: h = Lmaior
20 a 25
Estas expressões têm por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços
na laje (nomeadamente no que se refere ao punçoamento e flexão).
No quadro seguinte apresenta-se quer a gama de vãos em que se utiliza cada um dos
tipos de lajes fungiformes, quer as espessuras adoptadas em cada situação.
Laje fungiforme tipo Esbelteza
(L / h)
h [m]
L [m]
4 5 6 7 8 9 10 12 20
Laje maciça 25 a 30 0.15 | 0.20 0.25
Laje maciça com capitel 35 a 40 0.15 | 0.20 0.25
Laje aligeirada 20 a 25 0.225 | 0.25 0.30 0.35
Laje aligeirada com capitel 25 a 30 0.225 | 0.25 0.30 0.35
Laje maciça pré-esforçada 40 0.20 0.25 0.30
Laje aligeirada pré-esforçada 35 0.225 0.25 0.30 0.35 0.60
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
143
2.18.7. Modelos de análise de lajes fungiformes
2.18.8. Método dos Pórticos Equivalentes (EC2 - Anexo I)
O método dos pórticos equivalentes é um método de dimensionamento de lajes
fungiformes que se baseia no teorema estático e que pode ser aplicado em situações em
que a distribuição dos pilares não apresenta grandes irregularidades.
Processo simplificado para a determinação dos esforços actuantes nas lajes
fungiformes
Pode considerar-se o efeito das acções horizontais e verticais.
1) Considerar a estrutura, constituída pela laje e pelos pilares de apoio, dividida em dois
conjuntos independentes de pórticos em direcções ortogonais;
L1
L1
L1 /2
L2 L2
L2 /2 L2 /2 L2 /2 L2 /2
L1 /2
L1 /2
L1 /2
2) As cargas actuantes em cada pórtico correspondem à largura das suas travessas (não
se considera qualquer repartição de cargas entre pórticos ortogonais);
L2
psd x L1
L2
(pórtico na direcção x)
3) Após a determinação dos momentos flectores, estes devem ser distribuídos nas faixas
central e lateral, de acordo com as seguintes regras:
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
144
Momentos flectores Faixa central da
travessa
Faixas laterais da
travessa
Momentos positivos 55% (50 – 70%) 45% (50 – 30%)
Momentos negativos 75% (60 – 80%) 25% (40 – 20%)
min(L1;L2) /4
min(L1;L2) /4
FAIXA LATERAL
FAIXA LATERAL
FAIXA CENTRAL
Esta repartição tem em consideração, de forma simplificada, a distribuição real dos
esforços.
Nota: Para a análise às acções horizontais utiliza-se apenas 40% da largura da travessa
(40% da rigidez), por forma a reduzir os momentos flectores transmitidos entre a laje e o
pilar (modelo mais realista).
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
145
EXERCÍCIO L7
Considere a laje fungiforme representada na figura.
6.00 6.00
5.00
5.00
0.50
0.50
0.30
0.30
h = 0.25 m
Dimensione e pormenorize as armaduras da laje recorrendo ao método dos pórticos
equivalentes. Adopte para materiais betão C25/30 e aço A400NR.
(acções: rcp = 2.0 kN/m2; sobrecarga = 4.0 kN/m2)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
146
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L7
(i) Direcção x
1. Divisão em pórticos
6.006.00
5.00
5.00
2.50
2.50
5.00
Pórt
ico Inte
rmédio
Pórt
ico L
ate
ral
Pórt
ico L
ate
ral
2. Modelo de cálculo
psd x Lpórtico
6.00 6.00
DMF
[kNm]
(+)
(-)
pl /82
(+)
pl /14.22
pl /14.22
3. Cálculo dos momentos de dimensionamento
Pórtico Lpórtico [m] psd [kN/m] Msd+ [kNm] Msd
- [kNm]
Lateral 2.50 46.0 116.7 207.0
Intermédio 5.00 92.0 233.3 414.0
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
147
4. Distribuição de momentos
Pórtico Sinal Faixa Lfaixa
[m]
Coef.
repartição
Msd
[kNm]
Msd
[kNm/m]
Lateral
M+
(116.7)
Central 1.25 0.55 64.2 51.3
Lateral 1.25 0.45 52.5 41.9
M-
(-207.0)
Central 1.25 0.75 -155.3 -124.2
Lateral 1.25 0.25 -51.8 -41.4
Intermédio
M+
(233.3)
Central 2.50 0.55 128.3 51.3
Laterais 2.50 0.45 104.9 41.9
M-
(-414.0)
Central 2.50 0.75 -310.5 -124.2
Laterais 2.50 0.25 -103.5 -41.4
5. Cálculo das armaduras
Faixa Sinal Msd
[kNm/m]
Armadura
cm2/m
Central M
+ 51.3 0.063 0.067 7.05
M- -124.2 0.154 0.171 18.09
Lateral M
+ 41.9 0.052 0.054 5.70
M- -41.4 0.051 0.053 5.63
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
148
2.18.9. Modelo de grelha
Vantagens
Permite obter directamente o valor dos esforços por nó
Desvantagens
Apenas permite a análise para cargas verticais
É difícil conseguir uma boa simulação da rigidez de torção da laje
(i) Discretização
d1 d2
Lx
A
Ly
Secção transversal da barra A
b = d1/2 + d2/2
h laje
(ii) Simulação da rigidez de torção da laje
Em geral, para que não surjam momentos torsores nas barras (equilíbrio apenas com
momentos flectores), atribui-se às barras rigidez de torção nula (GJ = 0). Como
consequência, o modelo é mais flexível o que leva à obtenção de maiores deslocamentos
verticais do que os que na realidade se verificam.
Caso se pretenda simular mais aproximadamente a deformabilidade da laje, deverá
atribuir-se às barras, uma inércia de torção J = bh3
6
bh3
6 =
1 2
bh3
3
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
149
(iii) Obtenção dos momentos flectores
Mx
My My
Mx
mx = My / b e my = Mx /b
2.18.10. Modelos de elementos finitos de laje
Este tipo de modelos permite:
i) Análise do sistema global com a consideração das acções horizontais e da
interacção laje – pilares
ii) Análise do pavimento, sendo o efeito dos pilares tido em conta nas condições
de fronteira
Vantagem
Melhor simulação da deformabilidade da laje, relativamente aos modelos
de grelha
Desvantagem
Os esforços são fornecidos por nó e por elemento, ou seja, num mesmo
nó existem diferentes valores dos esforços por elemento (os elementos
finitos de laje são compatíveis em termos de deslocamentos, mas não de
esforços) é necessário fazer a média dos vários momentos no mesmo
nó
(i) Discretização
a
Lx
Ly
b
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
150
Dimensões de um elemento finito
hlaje
b
a
(ii) Obtenção dos momentos flectores
Visto surgirem momentos torsores, simplificadamente, as armaduras de flexão são
dimensionadas para os seguintes valores de momento:
m'sd, x = msd, x + |msd, xy| 0 A+
sx
m'sd, y = msd, y + |msd, xy| 0 A+
sy
m'sd,x = msd, x - |msd, xy| 0 A-
sx
m'sd, y = msd, y - |msd, xy| 0 A-
sy
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
151
EXERCÍCIO L8
Para a laje fungiforme do Exercício L7, considere o seguinte modelo de elementos finitos:
1 2 3 5 64
151413 181716
272625 302928
393837 424140
515049 545352
636261 666564
654321 7
14 15 16 17 18 19 20
27 28 29 30 31 32 33
40 41 42 43 44 45 46
53 54 55 56 57 58 59
66 67 68 69 70 71 72
79 80 81 82 83 84 85
0.75 0.75 1.50 1.50 0.750.75
0.7
50.7
51.0
01.0
00.7
50.7
5
Foram admitidas as seguintes hipóteses de cálculo:
- Elementos finitos de laje com 0.25 m de espessura;
- laje simplesmente apoiada nos pilares (sem transmissão de momentos);
- acções: rcp = 2.0 kN/m2; sobrecarga = 4.0 kN/m2.
Os valores dos esforços obtidos nos nós, apresentam-se no quadro da página seguinte.
a) Verifique a qualidade dos resultados obtidos.
b) Dimensione as armaduras de flexão. Adopte para materiais B30 e A400NR.
c) Execute a pormenorização (planta e cortes)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
152
Nó mxx [kNm/m] myy [kNm/m] mxy [kNm/m] vxz [kN/m] vyz [kN/m] Reacções[kN]
1 -1,3 -1,4 31,4 -42,9 -40,7 88,4
2 35,2 0,5 24,3 -31,2 -22,3
3 50,2 0,1 11,9 -10,8 -17,0
4 52,5 0,2 -4,8 10,2 -15,1
5 16,3 0,2 -22,0 33,8 -19,9
6 -17,1 1,4 -34,7 119,1 -41,0
7 -168,1 -3,5 0,0 0,0 -82,8 254,5
14 0,5 32,8 23,3 -26,7 -27,2
15 26,0 22,0 18,4 -22,2 -18,2
16 42,8 17,6 9,7 -9,1 -13,8
17 45,1 15,6 -3,5 10,0 -11,6
18 9,2 20,0 -16,9 32,4 -17,9
19 -31,5 26,4 -22,1 32,9 -34,7
20 -57,1 43,3 0,0 0,0 -47,4
27 0,0 44,0 9,7 -22,3 -7,2
28 22,6 35,0 8,2 -18,9 -7,1
29 38,4 28,3 4,9 -7,9 -5,3
30 40,6 24,7 -1,1 9,7 -3,4
31 4,4 33,7 -7,5 22,5 -7,4
32 -20,4 43,3 -7,5 16,9 -13,0
33 -30,8 46,3 0,0 0,0 -4,8
40 0,2 44,6 -5,4 -21,7 8,2
41 21,9 35,4 -4,5 -18,4 7,4
42 37,5 28,7 -2,4 -7,6 6,1
43 39,7 23,8 2,1 10,6 5,8
44 1,7 33,1 4,9 20,6 13,1
45 -19,0 39,8 3,7 14,2 16,2
46 -27,8 42,9 0,0 0,0 17,3
53 0,1 25,9 -20,3 -24,1 26,9
54 23,8 18,4 -16,4 -22,8 26,4
55 42,4 13,3 -8,7 -11,5 14,6
56 45,6 10,4 3,8 13,7 8,9
57 0,8 7,3 15,3 35,9 30,9
58 -35,6 14,7 15,0 28,4 55,9
59 -51,3 16,2 0,0 0,0 44,9
66 1,4 -1,6 -33,1 -44,0 112,0
67 29,1 -16,2 -21,5 -39,0 28,3
68 50,0 -3,9 -8,3 -17,7 11,4
69 50,1 0,8 2,8 15,5 5,5
70 7,9 -23,4 14,9 60,2 24,2
71 -53,6 -42,3 26,0 77,8 73,8
72 -103,3 -13,9 0,0 0,0 185,6
79 -3,4 -147,9 0,0 -84,5 0,0 249,4
80 45,4 -39,1 0,0 -51,2 0,0
81 52,3 -11,4 0,0 -9,8 0,0
82 52,1 -3,5 0,0 16,1 0,0
83 9,1 -37,1 0,0 48,7 0,0
84 -25,0 -90,4 0,0 189,5 0,0
85 -246,6 -234,1 0,0 0,0 0,0 843,8
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
153
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L8
Alínea a)
1. Somatório das reacções verticais
Pilar Nó Rsd [kN]
P1 1 88.4
P2 7 254.5
P3 79 249.4
P4 85 843.8
Pi = 4 P1 + 2 P2 + 2 P3 + P4 = 4 88.4 + 2 254.5 + 2 249.4 + 843.8 2205 kN
psd = 1.5 (cp + sc) = 1.5 (25 0.25 + 2 + 4) = 18.38 kN/m2
NTOT = psd ATOT = 18.38 12 10 = 2205 kN NTOT = Pi
2. Verificação dos momentos
i) Direcção x
Alinhamento Nós mxx
[kNm/m]
Linfluência
[m]
Msd
[kNm]
Msd, TOTAL
[kNm]
½ vão
4 52.5 0.375 19.7
225.7
17 45.1 0.75 33.8
30 40.6 0.875 35.5
43 39.7 1.0 39.7
56 45.6 0.875 39.9
69 50.1 0.75 37.6
82 52.1 0.375 19.5
Apoio
7 -168.1 0.375 -63.0
-375.5
20 -57.1 0.75 -42.8
33 -30.8 0.875 -27.0
46 -27.8 1.0 -27.8
59 -51.3 0.875 -44.9
72 -103.3 0.75 -77.5
85 -246.6 0.375 -92.5
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
154
DMF
6.00
375.5
225.7
pl /82
p L2
8 =
375.5 2
+ 225.7 = 413.5 kNm/m
p 62
8 = 413.5 p = 91.9 kN/m
6.00
18.38 x 5.0 = 91.9 kN/m
ii) Direcção y
Alinhamento Nós myy
[kNm/m]
Linfluência
[m]
Msd
[kNm]
Msd, TOTAL
[kNm]
½ vão
40 44.6 0.375 16.7
194.5
41 35.4 0.75 26.6
42 28.7 1.125 32.3
43 23.8 1.5 35.7
44 33.1 1.125 37.2
45 39.8 0.75 29.9
46 42.9 0.375 16.1
Apoio
79 -147.9 0.375 -55.5
-300.2
80 -39.1 0.75 -29.3
81 -11.4 1.125 -12.8
82 -3.5 1.5 -5.3
83 -37.1 1.125 -41.7
84 -90.4 0.75 -67.8
85 -234.1 0.375 -87.8
p L2
8 =
300.2 2
+ 194.5 = 344.6 kNm/m p 52
8 = 344.6 p = 110.3 kN/m
110.3 / 6 = 18.38 kN/m2
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
155
Alínea b)
1. Zonas consideradas para o dimensionamento das armaduras
X3
X2
X1
2.7
53.00
Y2Y1
1.50
Y31.1
25
1.501.1
25
2. Determinação dos momentos de dimensionamento
(i) Direcção x
Zona Sinal Nó Linfluência
[m]
msd, x
[kNm/m]
msd, xy
[kNm/m]
m’sd, x
[kNm/m]
Msd,x
[kNm]
Msd,xtotal
[kNm]
Lzona
[m]
Msd,x
[kNm/m]
1
M+
4 0.375 52.5 -4.8 57.3 21.5 58.0 1.125 51.6
17 0.75 45.1 -3.5 48.6 36.5
M-
7 0.375 -168.1 0.0 -168.1 -63.0 -105.8 1.125 -94.0
20 0.75 -57.1 0.0 -57.1 -42.8
2
M+
30 0.875 40.6 -1.1 41.7 36.5
121.5 2.75 44.2 43 1.0 39.7 2.1 41.8 41.8
56 0.875 45.6 3.8 49.4 43.2
M-
33 0.875 -30.8 0.0 -30.8 -27.0
-99.7 2.75 -36.3 46 1.0 -27.8 0.0 -27.8 -27.8
59 0.875 -51.3 0.0 -51.3 -44.9
3
M+
69 0.75 50.1 2.8 52.9 39.7 59.2 1.125 52.6
82 0.375 52.1 0.0 52.1 19.5
M-
72 0.75 -103.3 0.0 -103.3 -77.5 -170.0 1.125 -151.1
85 0.375 -246.6 0.0 -246.6 -92.5
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
156
(ii) Direcção y
Zona Sinal Nó Linfluência
[m]
msd, y
[kNm/m]
msd, xy
[kNm/m]
m’sd, y
[kNm/m]
Msd,y
[kNm]
Msd,ytotal
[kNm]
Lzona
[m]
Msd,y
[kNm/m]
1
M+
40 0.375 44.6 -5.4 50.0 18.8
60.4 1.5 40.3 41 0.75 35.4 -4.5 39.9 29.9
42 0.375 28.7 -2.4 31.1 11.7
M-
79 0.375 -147.9 0.0 -147.9 -55.5
-89.1 1.5 -59.4 80 0.75 -39.1 0.0 -39.1 -29.3
81 0.375 -11.4 0.0 -11.4 -4.3
2
M+
42 0.75 28.7 -2.4 31.1 23.3
90.7 3.0 30.2 43 1.5 23.8 2.1 25.9 38.9
44 0.75 33.1 4.9 38.0 28.5
M-
81 0.75 -11.4 0.0 -11.4 -8.6
-41.7 3.0 -13.9 82 1.5 -3.5 0.0 -3.5 -5.3
83 0.75 -37.1 0.0 -37.1 -27.8
3
M+
44 0.375 33.1 4.9 38.0 14.3
63.0 1.5 42.0 45 0.75 39.8 3.7 43.5 32.6
46 0.375 42.9 0.0 42.9 16.1
M-
83 0.375 -37.1 0.0 -37.1 13.9
-169.5 1.5 -113.0 84 0.75 -90.4 0.0 -90.4 67.8
85 0.375 -234.1 0.0 -234.1 87.8
3. Cálculo das armaduras
Direcção Zona Sinal Msd
[kNm/m]
Armadura
cm2/m
X
1 M
+ 51.6 0.064 0.067 7.10
M-
-94.0 0.116 0.127 13.40
2 M
+ 44.2 0.055 0.057 6.03
M-
-36.3 0.045 0.047 4.95
3 M
+ 52.6 0.065 0.069 7.24
M-
-151.1 0.187 0.215 22.70
Y
1 M
+ 40.3 0.050 0.052 5.47
M-
-59.4 0.073 0.078 8.22
2 M
+ 30.2 0.037 0.039 4.13
M-
-13..9 0.017 0.018 3.30
3 M
+ 42.0 0.052 0.054 5.72
M-
-113.0 0.140 0.155 16.34
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
157
2.19. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO
Definição: tipo de rotura de lajes sujeitas a forças distribuídas em pequenas áreas.
2.19.1. Mecanismos de rotura de punçoamento
Fendas anteriores à rotura
Fendas na rotura
1.5d a 2d
Mecanismo de colapso local associado a uma rotura frágil (essencialmente
condicionada pela resistência à tracção e à compressão do betão)
Pode gerar um colapso progressivo da estrutura (rotura junto a um pilar implica um
incremento da carga nos pilares vizinhos).
As acções sísmicas, em sistemas estruturais com lajes fungiformes, aumentam a
excentricidade da carga a transmitir ao pilar agravando as características resistentes
por punçoamento.
2.19.2. Mecanismos de resistência ao punçoamento
(1)
(2)
(3)
Força de compressão radial (1)
Atrito entre os inertes (2)
Efeito de ferrolho (3)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
158
(3)
(2)
(1)
Forças que equilibram a força de punçoamento:
Componente vertical da compressão radial
Componente vertical da força atrito entre os inertes na fenda
Componente vertical da força do efeito de ferrolho
2.19.3. Verificação da segurança ao punçoamento
A verificação da segurança ao punçoamento, de acordo com o EC2, consiste na
verificação dos pontos seguintes:
1. Não é necessário adoptar armaduras específicas para resistir ao punçoamento caso
vsd vRd,c, ao longo do perímetro de controlo considerado;
2. Se vsd vRd,c, será necessário adoptar armaduras específicas de punçoamento ou um
capitel, por forma a satisfazer o critério 1.;
3. Caso se adoptem armaduras, será necessário verificar a condição vsd vRd,max
(considerando o perímetro do pilar ou o perímetro da área carregada).
Indicações para o dimensionamento
Tentar que as dimensões da laje e pilar sejam tais que não haja necessidade de
armadura (vsd < vRd,c), em particular para as cargas verticais totais.
Se não for possível, prever capiteis (caso sejam esteticamente aceitáveis) por forma a
garantir que vsd < vRd,c.
O dimensionamento de armaduras só deverá ser adoptado para a combinação de
acções sísmicas.
2.19.4. Cálculo do esforço de corte solicitante
(i) Carga centrada: vsd = Vsd
u1 d , u1 – perímetro básico de controlo
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
159
(ii) Carga excêntrica: vsd = Vsd
ui d , ui – perímetro de controlo considerado
2.19.5. Perímetro básico de controlo
Definição: linha fechada que envolve a área carregada a uma distância não inferior a 2d e
cujo perímetro é mínimo.
Exemplos:
2d
2d
2d
2d
2d
2d
Consideração de aberturas junto ao pilar
Uma abertura localizada junto a um pilar pode reduzir substancialmente o valor da
capacidade resistente ao punçoamento, Deverá então reduzir-se o perímetro de controlo
de acordo com as indicações da figura abaixo.
2d
6d L1 L2
L2
caso L1 > L2 substituir L2 por
L1 L2
d – altura útil da laje
Caso a abertura se encontre a uma distância superior a 6d, não é necessário considerá-
la para efeitos de verificação da segurança ao punçoamento.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
160
2.19.6. Resistência ao punçoamento de lajes sem armadura específica de
punçoamento
vRd,c = CRd,c k (100 l fck)1/3 + k1 cp vmin + k1 cp
onde,
CRd,c = 0.18 / c (valor recomendado);
k = 1 + 200 d
2.0 com d em mm;
l = ly lz 0.02 (os valores ly e lz devem ser calculados como valores
médios, considerando uma largura de laje igual à largura do pilar mais 3d para
cada lado);
fck em MPa;
k1 = 0.1 (valor recomendado);
cp = ( cy + cz) / 2
vmin = 0.035 k3/2 fck1/2
2.19.7. Verificação ao punçoamento em lajes com capiteis
2.19.7.1. Perímetros de controlo para capiteis de forma cónica
a) lH 2(d + hH) ( 26.6 )
h H
d
c
l H
rcont
b) lH 2(d + hH) ( 26.6 )
d
rcont,intrcont,ext
h H
l H
c
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
161
2.19.7.2. Perímetros de controlo para espessamentos
d1d2
2.5 d1
rcont,ext rcont,int
2.19.8. Armaduras de punçoamento
(i) Cálculo das armaduras de punçoamento
vRd,cs = 0.75 vRd,c + Asp fywd,ef 1
u1 d sen Asp =
( )vRd,cs - 0.75 vRd,c
fywd,ef sen u1 d
onde,
Asp representa a área total de armadura de punçoamento necessária;
fywd,ef = 250 + 0.25 d (mm) fywd representa a tensão de cálculo efectiva da
armadura de punçoamento
(ii) Pormenorização das armaduras
A armadura de punçoamento pode ser constituída por varões inclinados ou por estribos,
sendo esta última a solução mais utilizada.
varões inclinados estribos
Esta armadura deve ser distribuída conforme ilustram as figuras seguintes:
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
162
d/2 d
0.75d
d/2 d
(iii) Armadura longitudinal inferior junto ao pilar (de colapso progressivo)
É conveniente adoptar uma armadura inferior sobre o pilar, por forma a gerar um
mecanismo secundário de resistência, e evitar uma rotura em cadeia, caso se verifique
uma rotura por punçoamento num dos pilares.
2.19.9. Valor de cálculo do máximo esforço de corte
vsd = Vsd
u0 d vRd,máx = 0.5 fcd
onde representa um factor de redução da resistência ao corte do betão fendilhado,
podendo ser calculado através da expressão
= 0.6 1 - fck
250
com fck em MPa.
2.19.10. Punçoamento excêntrico
Conforme referido, o valor de cálculo do esforço de corte solicitante pode ser obtido pela
expressão
vsd = Vsd
u1 d
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
163
onde u1 representa o perímetro de controlo considerado e pode ser calculado através
das expressões que se apresentam em seguida.
Pilares interiores
(i) Pilares rectangulares com excentricidade numa direcção
= 1 + k Msd Vsd
u1 W1
onde,
k é um coeficiente que depende da relação entre as dimensões c1 e c2 da
secção transversal do pilar, e cujos valores se indicam no quadro seguinte:
c1 / c2 0.5 1.0 2.0 3.0
k 0.45 0.60 0.70 0.80
W1 é função do perímetro básico de controlo e corresponde à distribuição do
esforço de corte ao longo desse perímetro. Genericamente, W1 = 0
u1 |e| dl
Para pilares interiores rectangulares,
W1 = c1
2 2
+ c1 c2 + 4c2 d + 16d2 + 2 d c1
onde c1 e c2 representam as dimensões do pilar nas direcções paralela e perpendicular à
excentricidade da carga.
(ii) Pilares circulares
= 1 + 0.6 e
D + 4d
onde D representa o diâmetro do pilar.
(iii) Pilares rectangulares com excentricidades nas duas direcções
= 1 + 1.8 ey bz
2
+ ez by
2
onde,
ey e ez representam as excentricidades Msd / Vsd segundo os eixos y e z,
respectivamente;
by e bz representam as dimensões do perímetro de controlo.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
164
Pilares de bordo
(i) Excentricidade para o interior (na direcção perpendicular ao bordo da laje)
1. Excentricidade numa direcção
Simplificadamente, pode considerar-se a força de punçoamento uniformemente
distribuída ao longo do perímetro de controlo equivalente u1*, (ver figura seguinte), ou
seja, = u1 / u1*.
2d
c1
a
a = min (1.5d; 0.5c1)c2
2. Excentricidade nas duas direcções
= u1 u1*
+ k u1 W1
epar
onde,
epar representa o valor da excentricidade na direcção paralela ao bordo da laje;
k é um coeficiente que depende da relação entre as dimensões c1 e c2 da
secção transversal do pilar, e cujos valores se indicam no quadro seguinte:
c1 / 2c2 0.5 1.0 2.0 3.0
k 0.45 0.60 0.70 0.80
Para pilares rectangulares,
W1 = c2
2 4
+ c1 c2 + 4c1 d + 8d2 + 2 d c2
(ii) Excentricidade para o exterior (na direcção perpendicular ao bordo da laje)
= 1 + k Msd Vsd
u1 W1
Neste caso, W1 deverá ser calculado considerando a excentricidade em relação ao centro
de gravidade do perímetro de controlo.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
165
Pilares de canto
(i) Excentricidade para o interior
Simplificadamente, pode considerar-se a força de punçoamento uniformemente
distribuída ao longo do perímetro de controlo equivalente u1*, (ver figura seguinte), ou
seja, = u1 / u1*.
a = min (1.5d; 0.5c1)
2d
c1
c2
a
b b = min (1.5d; 0.5c2)
(ii) Excentricidade para o exterior
= 1 + k Msd Vsd
u1 W1
Neste caso, W1 deverá ser calculado considerando a excentricidade em relação ao centro
de gravidade do perímetro de controlo.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
166
EXERCÍCIO L9
Considere a laje fungiforme do exercício L7, representada na figura.
6.00 6.00
5.00
5.00
0.50
0.50
0.30
0.30
h = 0.25 m
a) Verifique a segurança ao punçoamento. Caso seja necessário:
a.1) adopte um capitel;
a.2) coloque armaduras específicas de punçoamento
b) Admitindo a continuidade nas ligações laje-pilar e considerando vãos diferentes
segundo x (5.0 m e 7.0 m, respectivamente), obtiveram-se os seguintes esforços:
Pilar Nsd [kN] Msd, x [kNm] Msd, y [kNm]
central 708.0 75.0 0.0
bordo 280.0 58.0 0.0
canto 108.0 29.0 24.0
Verifique a segurança ao punçoamento.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
167
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L9
Alínea a)
Pilar central (Vsd = 857.2 kN)
u1 = 4a + 4 d = 4 0.5 + 4 0.22 = 4.76 m
vRd,c = CRd,c k (100 l fck)1/3 = 0.12 1.95 (100 0.0096 25)1/3 = 0.67 MPa
k = 1 + 200 220
= 1.95 2.0
l = ly lz = 0.0108 0.0085 = 0.0096 0.02
ly = 23.7 10-4
0.22 = 0.0108 ; lz =
18.8 10-4 0.22
= 0.0085
VRd,c = vRd,c u1 d = 670 4.76 0.22 = 701.6 kN 857.2 kN
é necessário adoptar um capitel ou armaduras específicas para a resistência ao
punçoamento.
Pilar de bordo (Vsd = 259.8 kN)
u1 = 0.3 2 + 0.5 + 2 0.22 = 2.48 m
vRd,c = CRd,c k (100 l fck)1/3 = 0.12 1.95 (100 0.0029 25)1/3 = 0.45 MPa
l = ly lz = 0.0015 0.0058 = 0.0029 0.02
ly = 3.3 10-4
0.22 = 0.0015 ; lz =
12.7 10-4 0.22
= 0.0058
VRd,c = vRd,c u1 d = 450 2.48 0.22 = 245.5 kN 259.8 kN
é necessário adoptar um capitel ou armaduras específicas para a resistência ao
punçoamento.
Pilar de canto (Vsd = 78.3 kN)
u1 = 0.3 2 + 0.22 = 1.29 m
vRd,c = CRd,c k (100 l fck)1/3 = 0.12 1.95 (100 0.0015 25)1/3 = 0.36 MPa
VRd,c = vRd,c u1 d = 102.2 kN Vsd
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
168
Alínea a.1) – adopção de espessamento da laje
Pilar central
VRd Vsd vRd,c u1 d Vsd
0.12 1+200d
100 2.37 1.88
d 25
1/3
(4 500 + 4 d) d 857.2 103
d 265 mm h 0.30 m
ly = 2370
1000 d =
2.37 d
; lz = 1.88
d l = ly lz =
2.37 1.88d
Pilar de bordo
Hipótese: espessamento de 0.05 m relativamente à espessura corrente da laje
u1 = 0.5 + 2 0.3 + 2 0.26 = 2.73 m
vRd,c = CRd,c k (100 l fck)1/3 = 0.12 1.88 (100 0.0025 25)1/3 = 0.416 MPa
k = 1 + 200 260
= 1.88 2.0
l = ly lz = 0.0013 0.0049 = 0.0025 0.02
ly = 3.3 10-4
0.26 = 0.0013 ; lz =
12.7 10-4 0.26
= 0.0049
VRd,c = vRd,c u1 d = 295.3 kN Vsd
Alínea a.2) – adopção de armadura específica
Pilar central
(i) Cálculo da área de armadura necessária
Asp = ( )vRd,cs - 0.75 vRd,c
fywd,ef sen u1 d =
857.2 - 0.75 701.6
305 103 104 = 10.9 cm2
fywd,ef = 250 + 0.25 d = 250 + 0.25 220 = 305 MPa fywd = 348 MPa
(ii) Verificação do máximo esforço de corte
vRd,máx = 0.5 fcd = 0.5 0.54 16.7 103 = 4509 kN/m2
= 0.6 1 - fck
250 = 0.6 1 -
25 250
= 0.54
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
169
VRd,max = 4509 (0.5 4) 0.22 = 1984 kN Vsd
Pilar de bordo
(i) Cálculo da área de armadura necessária
Asp = ( )vRd,cs - 0.75 vRd,c
fywd,ef sen u1 d =
259.8- 0.75 245.5
305 103 104 = 2.48 cm2
(ii) Verificação do máximo esforço de corte
vRd,máx = 0.5 fcd = 0.5 0.54 16.7 103 = 4509 kN/m2
= 0.6 1 - fck
250 = 0.6 1 -
25 250
= 0.54
VRd,max = 4509 (0.5 + 0.3 2) 0.22 = 1091.2 kN Vsd
Alínea b)
Pilar central (Vsd = 708 kN; Msd, x = 75 kNm)
u1 = 4a + 4 d = 4 0.5 + 4 0.22 = 4.76 m
= 1 + k Msd Vsd
u1 W1
= 1 + 0.6 75 708
4.76 2.28
= 1.13
W1 = c1
2 2
+ c1 c2 + 4c2 d + 16d2 + 2 d c1 =
= 0.52
2 + 0.52 + 4 0.5 0.22 + 16 0.222 + 2 0.22 0.5 = 2.28 m2
vsd = Vsd
ui d = 1.13
708
4.76 0.22 = 764.0 kN/m2 vRd,c = 670 kN/m2
é necessário adoptar um capitel
Hipótese: espessamento de 0.10 m relativamente à espessura corrente da laje
vRd,c = CRd,c k (100 l fck)1/3 = 0.12 1.80 (100 0.0068 25)1/3 = 0.555 MPa
k = 1 + 200 310
= 1.80 2.0
l = ly lz = 0.0076 0.0061 = 0.0068 0.02
ly = 23.7 10-4
0.31 = 0.0076 ; lz =
18.8 10-4 0.31
= 0.0061
u1 = 0.5 4 + 2 2 0.31 = 5.90 m
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
170
= 1 + k Msd Vsd
u1 W1
= 1 + 0.6 75 708
5.9 3.51
= 1.11
W1 = c1
2 2
+ c1 c2 + 4c2 d + 16d2 + 2 d c1 =
= 0.52
2 + 0.52 + 4 0.5 0.31 + 16 0.312 + 2 0.31 0.5 = 3.51 m2
vsd = Vsd
ui d = 1.11
708
5.9 0.31 = 387.1 kN/m2 vRd,c = 555 kN/m2
Pilar de bordo (Vsd = 280 kN; Msd, x = 58 kNm )
(i) Cálculo da armadura longitudinal de flexão
msd = 0.75 Msd
Lfaixa central = 0.75
58 2.5
= 17.4 kNm/m
= 0.022; = 0.023 As = 2.42 cm2/m As,min = 3.3 cm2/m
(ii) Verificação da segurança ao punçoamento
u1* = 0.5 + 2 0.22 + 0.3 = 2.18 m
vsd = Vsd
u1* d =
280
2.18 0.22 = 583.8 kN/m2
vRd,c = 450 kN/m2
é necessário adoptar um capitel
VRd Vsd vRd,c u1* d Vsd
0.12 1+200d
100 1.27 0.33
d 25
1/3
(500 + 2 d + 300) d 280 103
d 276 mm h 0.35 m
Pilar de canto (Vsd = 108 kN; Msd, x = 29 kNm; Msd, y = 24 kNm)
(i) Cálculo da armadura longitudinal de flexão
msd = 0.75 Msd
Lfaixa central
Direcção Lfaixa central
[m]
msd, x
[kNm/m]
As
[cm2/m]
x 1.25 17.4 0.022 0.023 3.3
y 1.5 12.0 0.015 0.016 3.3
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
171
(ii) Verificação da segurança ao punçoamento
u1* = 0.3 + 2
2 0.22 = 0.99 m
vsd = Vsd
u1* d =
108
0.99 0.22 = 495.9 kN/m2
vRd,c = 360 kN/m2
é necessário adoptar um capitel
VRd Vsd vRd,c u1* d Vsd
0.12 1+200d
100 0.33
d 25
1/3
( d + 300) d 108 103
d 287 mm h 0.35 m
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
172
EXERCÍCIO L10
Considere a laje fungiforme do exercício L7.
Admitindo que a solução vazada corresponde a uma laje com 0.30 m de espessura e de
igual peso (relativamente à solução maciça), dimensione e pormenorize as armaduras
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
173
BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA
Bibliografia Principal e Geral
Appleton, J. 2013 : “ Estruturas de Betão – Volumes 1 e 2”, Edições Orion, Amadora
fib : “Structural Concrete – Textbook on Behaviour Design and Performance” 2009,
Volume 1: Design of concrete structures, conceptual design, materials (fib bulletins 51),
International Federation for Structural Concrete, Lausanne.
fib : “Structural Concrete – Textbook on Behaviour Design and Performance” 2009,
Volume 2: Basis of design (fib bulletins 52), International Federation for Structural
Concrete, Lausanne.
fib : “Post-tensioning in buildings” 2005, (fib bulletins 31), International Federation for
Structural Concrete, Lausanne.
Renaud Favre, Jean-Paul Jaccoud, Olivier Burdet, Hazem Charif, 1997 :
“Dimensionnement des Structures en Béton” – Volume 8. Traité de Génie Civil de l’École
Polytechnique Fédérale de Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires
Romandes
Muttoni, A., Schwartz, J., Thürlimann, B. 1998 : “Design of Concrete Structures With
Stress Fields”, Birkhäuser, Basel.
Almeida, J., Lourenço, M. 2011 : “Modelos de Campos de Tensões – Zonas D”,
Apresentação preparada para a disciplina Betão Estrutural, Mestrado em Engenharia de
Estruturas, Instituto Superior Técnico, Lisboa (link).
Schlaich, J., Schäfer, K., Jennewein, M. 1987 : “Toward a consistent design for structural
concrete”, PCI-Journ. Vol.32, No. 3, pp. 75-150.
Documentos Normativos
NP EN 1990 2009: Eurocódigo: “Bases para o projecto de estruturas”, IPQ, Lisboa.
EN 1991-1-1 2009: “Acções em estruturas – Acções Gerais – Pesos volúmicos, pesos
próprios, sobrecargas em edifícios”, IPQ, Lisboa.
EN1992-1-1 2010 : “Projecto de estruturas de betão – Parte 1-1: Regras gerais e regras
para edifícios”, IPQ, Lisboa.
NP EN 13670: 2011 – Execução de Estruturas de Betão, IPQ, 2011.
NP EN 206 -1: 2005 – Betão – Parte 1: Especificação, desempenho, produção e
conformidade
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II
174
Especificação LNEC E464 – Betões. Metodologia Prescritiva para a Vida Útil de Projecto
de 50 e de 100 anos face às Acções Ambientais.
Especificação LNECE465 – Betões. Metodologia para estimar as propriedades de
desempenho que permitem satisfazer a vida útil de projecto de estruturas de betão
armado e pré-esforçado sob as exposições ambientais XC e XS.
Especificação LNEC E461 – Metodologias para prevenir reacções expansivas internas.