flores chevalier karla lorena
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Portafolio de CalculoTRANSCRIPT
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Instituto de Investigación y Enseñanza
Iberoamericano A.C
Portafolio Digital Calculo
Karla Lorena Flores Chevalier 3º “B” Ingenierías
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Primer Parcial
Relaciones y funciones
Guía de primer parcial
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Segundo Parcial
Aplicación de la definición de
limites
Limites en el infinito
Función por partes
Casos de limites
Guía del segundo parcial
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Tercer Parcial
Limites de funciones exponenciales
Razón de cambio promedio
Razón de cambio instantánea
Identidades trigonométricas fundamentales
Derivada de funciones
Guía de examen 3
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Cuarto Parcial
Trabajo especial de investigación
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Introducción
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si;
generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una
regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también
dominio e imagen respectivamente o dominio y rango.
Se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable x corresponden uno o varios
valores determinados de la variable y.
El estudio de las funciones es un tema muy amplio que requiere especial énfasis en la
definición propia de lo que es una función. Sin embargo, dentro de los temas planteados,
existen algunos temas como la clasificación de las funciones, que pretenden servir de
conocimiento general en diversas aplicaciones.
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Índice
Máximos y Mínimos de una función ………………………………….…P.4
Ejemplos analíticos de cómo hallar puntos máximos y mínimos……..P.5
Puntos de inflexión y concavidad…………………………………………P.8
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Máximos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))
Mínimos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b). Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
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Ejemplos Analíticos de cómo hallar puntos máximos y minimos de una
función
Calcular los máximos y mínimos de las funciones:
1 f(x) = x3 − 3x + 2
f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = − 1 x = 1
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 < 0 Máximo
f''(1) = 6 > 0 Mínimo
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
2
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f"( − 1) = 6 > 0 Mínimo
f"(1) = − 6 < 0 Máximo
f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2
f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2
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Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)
3
Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.
f(−2) = (−2)4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13
f(0) = 04 − 8 · 0² + 3 = 3
f(2) = 2 4 − 8 · 2² + 3 = − 13
Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)Mínimo(0, 3)
4
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Candidato a extremo: 7/5.
5
Candidatos a extremos: 1 y − 7/2.
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Puntos de Inflexión de una función y concavidad de la curva
Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad. Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c). Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.
En F(x) = x4 - 4·x
2 = x
2·(x
2 - 1) puede observarse que su derivada:
F'(x) = 4·x3 - 8·x = 4·x·(x
2 - 2) presenta un máximo y un mínimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde
la función presenta puntos de inflexión.
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Ejemplos:
1.
El punto es un punto de inflexión de la curva con ecuación , pues
es positiva si , y negativa si , de donde f es cóncava hacia
arriba para , y cóncava hacia abajo para . Gráficamente se tiene:
2.
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Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación
Se tiene que por lo que
Resolvamos las desigualdades
3. f(x) = x3 − 3x + 2
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 .
Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
4.
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Conclusión
El concepto de función matemática simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa.
El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que
acontecen a nuestro alrededor. Así, podemos nombrar fenómenos sociales relacionados con
crecimientos demográficos, con aspectos económicos, como la inflación o la evolución de los
valores bursátiles, con todo tipo de fenómenos físicos, químicos o naturales, como la variación
de la presión atmosférica, la velocidad y la aceleración, la gravitación universal, las leyes del
movimiento, la función de onda de una partícula a escala cuántica, la desintegración de
sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales. Casi todo es
susceptible de ser tratado a través del planteamiento y estudio de una o varias funciones que
gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles.
Otra cosa bien distinta y mucho más difícil, es determinar cuáles son las funciones que
intervienen en cada proceso en concreto. Esta, en suma, es la tarea de los científicos:
descubrir la dinámica rectora de cada fenómeno y expresarla en términos de una función.
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Referencias
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferencial/funciones.htm
http://www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/gra-fun-45-46.htm
http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm
http://www.vitutor.com/fun/5/i_e.html
A. Baldor (1974) Algebra Elemental ( Pág. 282)
http://fp.educarex.es/fp/pruebas_acceso/gs_contenidos_matematicas/U6_Funciones.pdf
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