fiziko - Сетевая школа НИЯУ МИФИad rawny sootwet stwenn erez weriny b d i c pro...

69

Upload: others

Post on 04-Feb-2020

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

federalxneoe agentstwo po obrazowani�nacionalxnyj issledowatelxskij

qdernyj uniwersitet �mifi�

zadaniq otraslewojfiziko�matemati�eskojolimpiady �kolxnikow�rosatom� po matematike

���� G�

mOSKWA ����

Page 2: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

udk ��bbk ����aWT� ZNAK z���

zADANIQ OTRASLEWOJ FIZIKO�MATEMATI�ESKOJ OLIMPIADY�KOLXNIKOW �rOSATOM� PO MATEMATIKE� � m� mifi ���� G� � � S�

sOSTAWITELI a�w�bASKAKOW s�g�kLIMANOW d�g�oRLOWSKIJw�m�pROSTOKI�IN d�s�tELQKOWSKIJ�

sBORNIK SODERVIT ZADANIQ OTRASLEWOJ FIZIKO�MATEMATI�ES�KOJ OLIMPIADY �KOLXNIKOW �rOSATOM� ZA ���� GOD PO MATEMATI�KE� pREDNAZNA�EN DLQ �KOL I LICEEW S UGLUBL�NNYM IZU�ENIEMMATEMATIKI�

rECENZENT D�R FIZ��MAT� NAUK PROF� n�a�kUDRQ�OW

rEKOMENDOWANO K IZDANI� REDSOWETOM mifi

c� nACIONALXNYJ ISSLEDOWATELXSKIJQDERNYJ UNIWERSITET �mifi� ����

Page 3: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

fIZIKO�MATEMATI�ESKAQ OLIMPIADA PAMQTI

i�w�sAWELXEWA� �� KLASS

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWA A��

x� �� �� B� �

x� �� ��

x� �� � ��

�� rE�ITE URAWNENIQ A� � � cos �x� � cos x � �B�p�ctg x � �� � cos �x� � cos x� � ��

�� uPROSTITE WYRAVENIE

�px� � �x� �

x� �� �

px� � �x� �

x� ��

p���x� ���� �x�p� x� x� � ���

�� oKRUVNOSTX KASAETSQ STORON UGLA S WER�INOJ O W TO�KAH AI B� pRQMAQ PROHODQ�AQ �EREZ O PERESEKAET OKRUVNOSTXW TO�KE F � tO�KI O I F LEVAT PO ODNU STORONU OT PRQMOJAB� rASSTOQNIQ OT TO�KI F DO PRQMYH OA I OB RAWNY�� I �� SOOTWETSTWENNO� nAJDITE RASSTOQNIE OT TO�KI F DOPRQMOJ AB�

�� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA p KASATELXNAQ K GRAFIKUFUNKCII y � cos �x� p�� �p�� W TO�KE x � p NE PERESE��T

GRAFIKI y � ��x� � I y � x��

�x�

�� u PRQMOGO PARALLELEPIPEDA ABCDA�B�C�D� STORONY OS�NOWANIQ AB I AD RAWNY SOOTWETSTWENNO �� I ��� �EREZWER�INY B D I C� PROWEDENA PLOSKOSTX OTSEKA��AQ OTPARALLELEPIPEDA PIRAMIDU OB��MOM ���

p��� nAJDITE PLO�

�ADX SE�ENIQ BDC� ESLI IZWESTNO �TO DIAGONALX OSNOWA�NIQ BD PERPENDIKULQRNA STORONE AB�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWA A��

���x � �� B� �

x�� ��

x���� � ��

Page 4: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rE�ITE URAWNENIQ A� �� cos� x� � sin� x� sin �x � �B�p� sinx��� cos� x� � sin� x� sin �x� � ��

�� uPROSTITE WYRAVENIE

�px� � �x� ��

x� �� �

px� � �x� �

x� ��

p��x� ��x�px� x�

�� oKRUVNOSTX KASAETSQ STORON UGLA S WER�INOJO W TO�KAH CI D� pRQMAQ PROHODQ�AQ �EREZ O PERESEKAET OKRUVNOSTXW TO�KE E� tO�KIO IE LEVAT PO RAZNYE STORONY OT PRQMOJCD� rASSTOQNIQ OT TO�KI E DO PRQMYH OC I CD RAWNY� I �� SOOTWETSTWENNO� nAJDITE RASSTOQNIE OT TO�KI E DOPRQMOJ OD�

�� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA p KASATELXNAQ K GRAFIKUFUNKCII y � sin �x� p� ��p� � W TO�KE x � p NE PERESE��T

GRAFIKI y � �x� � I y � �x� �

�x�

�� u PRQMOGO PARALLELEPIPEDAMNPQM�N�P�Q� STORONY OS�NOWANIQ MN I NP RAWNY SOOTWETSTWENNO �� I � � �EREZWER�INY M P I N� PROWEDENA PLOSKOSTX� iZWESTNO �TOPLO�ADX SE�ENIQMPN� RAWNA ���� nAJDITE WYSOTU PARAL�LELEPIPEDA ESLI IZWESTNO �TO DIAGONALX OSNOWANIQ PMPERPENDIKULQRNA STORONE PQ�

fIZIKO�MATEMATI�ESKAQ OLIMPIADA PAMQTI

i�w�sAWELXEWA� �� KLASS

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIQA� ��x� ��� � ���x � ��� �� � �B� ��x� ��� � �

p��x� ��� � �� � �

W� ��x� ��� � ��p�x� ��� � �� � ��

Page 5: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rE�ITE URAWNENIE

�x� ���x� ���

x�x� ���

p��x� �x� � ��p�x� x� � �

� ��

�� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ A� y � �� jx� �jB� y � maxf���� jx� �j��� x��g�

�� nAJDITE MAKSIMALXNOE I MINIMALXNOE ZNA�ENIQ FUNKCIIy � �p�x� x� � �� NA OTREZKE ����

p�� ���

p��� pOSTROJTE

GRAFIK �TOJ FUNKCII�

�� cENTRY OKRUVNOSTEJ RADIUSOW � I � UDALENY NA RASSTOQ�NIE �� nAJDITE DLINU OB�EJ HORDY �TIH OKRUVNOSTEJ�

�� nAJDITE WSE NESOKRATIMYE DROBI WIDA m�nm�n � N KOTO�RYE POSLE UWELI�ENIQ �ISLITELQ NA � A ZNAMENATELQ NA ��UMENX�A�TSQ W � RAZA�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIQA� ��x� ��� � ��x� ��� � � �B� ��x� ��� �

p��x� ��� � � � �

W� ��x� ��� � �p�x� ��� � � � ��

�� rE�ITE URAWNENIE

�x� ���x� ���

x�x� ���

p��� ��x� �x�p�� �x� x�

� ��

�� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ A� y � jx� �j � �B� y � maxf

��jx� �j � ������xg�

�� nAJDITE MAKSIMALXNOE I MINIMALXNOE ZNA�ENIQ FUNKCIIy �

p��� �x� x� NA OTREZKE ��� � �

p���� � �

p���� pO�

STROJTE GRAFIK �TOJ FUNKCII�

Page 6: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oKRUVNOSTI RADIUSOW � I � PERESEKA�TSQ� dLINA OB�EJHORDY RAWNA �� �EMU RAWNO RASSTOQNIE MEVDU CENTRAMIOKRUVNOSTEJ�

�� nAJDITE WSE NESOKRATIMYE DROBI WIDA m�n m�n � N KO�TORYE PRI UWELI�ENII �ISLITELQ NA �� A ZNAMENATELQ NA �WOZRASTA�T W � RAZA�

fIZIKO�MATEMATI�ESKAQ OLIMPIADA PAMQTI

i�w�sAWELXEWA� � KLASS

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWA A� � ��

�x � ���� �

���x� ��

B� jx� �j � �� � �x� x�� � ��

�� pUSTX ZADANY DWE FUNKCII f�x�� �x� x� I g�x�� x� ��A� pRI KAKIH ZNA�ENIQH x PERWYJ GRAFIK LEVIT WY�E WTO�ROGO� B� rE�ITE NERAWENSTWO minff�x�� g�x�g � ��

�� w �KOLE RABOTA�T SEKCII WOLEJBOLA I ORIENTIROWANIQ�sEKCI� WOLEJBOLA POSE�A�T �� �ELOWEK SEKCI� ORIENTI�ROWANIQ � ��� �ELOWEK� sKOLXKO U�A�IHSQ W �KOLE ESLIIZWESTNO �TO KAVDYJ �KOLXNIK HODIT HOTQ BY W ODNU SEK�CI� I ��� �KOLXNIKOW POSE�A�T OBE SEKCII�

�� sTORONY TREUGOLXNIKA LEVAT NA PRQMYH l� x��y�� � �l� �x�y��� � � l� �x��y��� � �� nAJDITE A� WER�INYTREUGOLXNIKA B� PLO�ADX TREUGOLXNIKA W� OTNO�ENIE WKOTOROM DELIT STORONY TREUGOLXNIKA PRQMAQ PROHODQ�AQ�EREZ NA�ALO KOORDINAT I PARALLELXNAQ PRQMOJ l��

�� sUMMA DWUH NATURALXNYH �ISEL RAWNA ���� eSLI ZA�ERK�NUTX POSLEDN�� CIFRU PERWOGO �ISLA TO POLU�ITSQ WTOROE�ISLO DEL�NNOE NA � nAJDITE �TI �ISLA�

Page 7: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWA A� � � ��

�x � �

�� �

��x� ��

B� jx� �j�x� � x� ��� � ��

�� pUSTX ZADANY DWE FUNKCII f�x��x�� �x I g�x�� �x� �A� pRI KAKIH ZNA�ENIQH x PERWYJ GRAFIK LEVIT NIVE WTO�ROGO� B� rE�ITE NERAWENSTWO maxff�x�� g�x�g � ���

�� w �KOLE RABOTA�T SEKCII L�GKOJ ATLETIKI I BASKETBOLA�sEKCI� L�GKOJ ATLETIKI POSE�A�T �� �ELOWEKA SEKCI�BASKETBOLA � � �ELOWEK� sKOLXKO U�A�IHSQ W �KOLE ES�LI IZWESTNO �TO KAVDYJ �KOLXNIK HODIT HOTQ BY W ODNUSEKCI� I ��� �KOLXNIKOW POSE�A�T OBE SEKCII�

�� sTORONY TREUGOLXNIKA LEVAT NA PRQMYH l� x� y� � � �l� �x� �y � �� � � l� �x � y � ��� nAJDITE A� WER�INYTREUGOLXNIKA B� PLO�ADX TREUGOLXNIKA W� OTNO�ENIE WKOTOROM DELIT STORONY TREUGOLXNIKA PRQMAQ PROHODQ�AQ�EREZ NA�ALO KOORDINAT I PARALLELXNAQ PRQMOJ l��

�� sUMMA DWUH NATURALXNYH �ISEL RAWNA �� � eSLI ZA�ERK�NUTX POSLEDN�� CIFRU PERWOGO �ISLA TO POLU�ITSQ WTOROE�ISLO DEL�NNOE NA �� nAJDITE �TI �ISLA�

fIZIKO�MATEMATI�ESKAQ OLIMPIADA PAMQTI

i�w�sAWELXEWA� � KLASS

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE � � ��x� �x� � �� � ���� x� �x�� � ��

�� rE�ITE A� NERAWENSTWO �x � � � �x � �� B� SISTEMU NERA�

WENSTW

��x� � � �x� ��

jx� �j � ��

�� uPROSTITE A��a� � �

�a� �� a�

�� B� �

p �

p��p

��� �p���

Page 8: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� pLO�ADX PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA RAWNA ��� A ODINIZ KATETOW NA �� DLINNEE DRUGOGO� nAJDITE GIPOTENUZU TRE�UGOLXNIKA�

�� pROIZWODITELXNOSTX PERWOGO RABO�EGO NA ��� BOLX�E PRO�IZWODITELXNOSTI WTOROGO� wMESTE ONI WYPOLNQ�T WS� RA�BOTU ZA � � ��MIN� zA KAKOE WREMQ WTOROJ RABO�IJ ODINWYPOLNIT WS� RABOTU�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE ������x���x���� �

���x��x����� � ��

�� rE�ITE A� NERAWENSTWO �x � � � �x � �� B� SISTEMU NERA�

WENSTW

��x� � � �x� ��

jx� �j � ��

�� uPROSTITE A���� ��a�

��a� ���

�a�

�� B� �

p� � ��

p��� �

p��

�� pLO�ADX PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA RAWNA � � A OTNO��ENIE DLIN GIPOTENUZY I B�OLX�EGO IZ KATETOW � ������nAJDITE M�ENX�IJ KATET�

�� pROIZWODITELXNOSTX PERWOGO RABO�EGO NA ��� MENX�E PRO�IZWODITELXNOSTI WTOROGO� wMESTE ONI WYPOLNQ�T WS� RA�BOTU ZA � � ��MIN� zA KAKOE WREMQ PERWYJ RABO�IJ ODINWYPOLNIT WS� RABOTU�

fIZIKO�MATEMATI�ESKAQ OLIMPIADA PAMQTI

i�w�sAWELXEWA� � KLASS

wARIANT � �

�� wY�ISLITE NE ISPOLXZUQ KALXKULQTOR

�������� �

�� �

�� ����

�� ���

Page 9: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oTEC STAR�E SYNA W � RAZA� sUMMA IH WOZRASTOW RAWNA�� GODAM� �EREZ SKOLXKO LET OTEC STANET WTROE STAR�E SY�NA�

�� kOGDA AWTOBUS PROEHAL ��� PUTI I E�� �� KM EMU OSTALOSXPOEHATX ��� PUTI BEZ � KM� nAJDITE DLINU PUTI�

�� wELOSIPEDIST PROEZVAET � KM ZA �MIN �� S� nA SKOLXKO SE�KUND BYSTREE EMU NADO PROEZVATX � KM �TOBY SKOROSTX UWE�LI�ILASX NA � KM���

�� pRI DELENII NATURALXNOGO �ISLA A NA NATURALXNOE �IS�LO B W �ASTNOM POLU�AETSQ � I W OSTATKE � rAZNOSTX �ISELA I B RAWNA ���� nAJDITE �TI �ISLA�

wARIANT � �

�� wY�ISLITE NE ISPOLXZUQ KALXKULQTOR

���� �

�� �

� ���

�����

��� ��

��

��

�� oTEC STAR�E SYNA NA �� GODA� sUMMA IH WOZRASTOW RAW�NA �� GODAM� �EREZ SKOLXKO LET SYN STANET WDWOE MLAD�EOTCA�

�� kOGDA AWTOBUS PROEHAL ��� PUTI BEZ � KM EMU OSTALOSX PO�EHATX ���� PUTI I E�� � KM� nAJDITE DLINU PUTI�

�� mOTOCIKLIST PROEZVAET � KM ZA �� S� nA SKOLXKO SEKUNDMEDLENNEE EMU NADO PROEZVATX � KM �TOBY UMENX�ITX SKO�ROSTX NA �� KM���

�� pRI DELENII NATURALXNOGO �ISLA A NA NATURALXNOE �IS�LO B W �ASTNOM POLU�AETSQ � I W OSTATKE ��� sUMMA �ISELA I B RAWNA ���� nAJDITE �TI �ISLA�

Page 10: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

pREDWARITELXNYJ TUR W FORME eg�� �

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO jx� �j � ���� x � ������� �� x � ���� �� � ������� �� x � ���� ����� x � ��� ��� �� x � R�

A�� nAJDITE KORNI URAWNENIQ x� �� �x�

x� � ��� ��

�� f������g� ��n��� �

p�

o� �� f�������g� �� f����g�

��n��� �

p�

���

o�

A�� rE�ITE NERAWENSTWO�

�� �x� ���

�� x � ����� ��� �� x � ������� �� x � ���� ���� � ��������� x � ���� ��� �� ��

A�� rE�ITE URAWNENIE log ����x� � �� � ���

�� ��� �� �p

���� �� �� �� ��� �� ��B�� rE�ITE URAWNENIE

p� cos x�sin� x� sinx� cos� x� � ��

B�� rE�ITE NERAWENSTWO��x � �

�x� ��

��x � �

�x� ��

B�� rE�ITE URAWNENIE ��x��� x�����p�x�������x� � ��

C�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a URAWNENIE� sin� x�p� sin �x� �a

p�����

p� sinx�cosx� � ��ap� � �

IMEET ROWNO DWA RE�ENIQ NA OTREZKEh� �

�����

i�

��

Page 11: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO j�� xj � ���� x � ������� �� x � �������� ������� �� x � ���������� x � ���� ��� �� ��

A�� nAJDITE KORNI URAWNENIQ�x� ��� �x�

x� � �� ��

�� f���g� ��n��p

��

o� �� f������g� �� f�� ���g� �� ��

A�� rE�ITE NERAWENSTWO�

�x� �� ��

��

�� x � ����� ���� �� x � ���� ����� �� x � ����� ����� �� ���� x � ���� ���� � ����� ����

A�� rE�ITE URAWNENIE log��x� � ����� � ���

�� �� �� ���� �� �p

���� �� ����� ��p

�����

B�� rE�ITE URAWNENIEp�ctg x�cos �x� cos x� � ��

B�� rE�ITE NERAWENSTWO� x � �

�x� ��

� x � �

�x� ��

B�� rE�ITE URAWNENIE � x� ��� ��x���p�x� � � �x� �� � ��

C�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a URAWNENIEp� sin �x� cos �x� �

p�� a��

p� sinx� cos x� � �� a

p� � �

IMEET ROWNO DWA RE�ENIQ NA INTERWALE����

�� �

��

��

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO jx� �j � ���� x � ����� �� ������� �� x � ����� �� �� x � ��������� x � �� � ��� �� x � R�

��

Page 12: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

A�� nAJDITE KORNI URAWNENIQ�� �x� � x

x� � �� ��

�� f��� ���g� �� f��������g� �� f���g� �� f��� ��������g� �� ��

A�� rE�ITE NERAWENSTWO�

�x� �� ���

�� x � ���� �� � ����� ���� �� x � ������� �� x � ���� ����� x � ��� ����� �� x � ���� ���� � ����� ����

A�� rE�ITE URAWNENIE log ����x� � � � ���

�� �� �� �� �� ����� �� ��� �� ����

B�� rE�ITE URAWNENIEp� sinx��� � sin �x� � sin� x� � ��

B�� rE�ITE NERAWENSTWO����x � ��

�x� ��

���x � ��

x� ��

B�� rE�ITE URAWNENIE �x� ��� �x���p�x� � � �x� �� � ��

C�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a URAWNENIEsin �x � �a�sinx � cosx� � � � �

p�a � � IMEET ROWNO DWA

RE�ENIQ NA PROMEVUTKEh����

���

��

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO jx� �j � ���� x � ������� � ������� �� x � ������� �� x � ���� ����� x � �������� �� x � R�

A�� nAJDITE KORNI URAWNENIQ�� x� �x�

x� � �� ��

�� f���� �g� �� f���� �g� �� f����g� �� f������g� �� f����g�

A�� rE�ITE NERAWENSTWO�

x� �� ��

�� x � ������� ���� �� x � ������� � �������� �� x � R��� x � ����������� �� x � ������� � ������� ����

��

Page 13: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

A�� rE�ITE URAWNENIE log����x� � ��� � ���

�� �� �� �� �� �p����� �� ��� ��

p�����

B�� rE�ITE URAWNENIEptg x�sin� x� � cos� x� � cos x� � ��

B�� rE�ITE NERAWENSTWO�x � �

�x� ��

�x � �

�x� ��

B�� rE�ITE URAWNENIE ���x� ��� �x���p�x� � � �� x� � ��

C�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a URAWNENIE� cos� x�p� sin �x� ��a�p���sinx�p� cos x�� �a

p��� � �

IMEET ROWNO TRI RE�ENIQ NA PROMEVUTKE� ���

���

i�

pREDWARITELXNYJ TUR W FORME eg��

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO x� � �x� � � � ���� ������� � ������� �� ������� �� ������� � ��������� �������

A�� nAJDITE OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f�x��p

����x� ��� ���� ��� �� ���� ��� �� �������� �� ������� � ������

A�� nAJDITE MNOVESTWO ZNA�ENIJ FUNKCII f�x� � �� � cos� �x��� ���� ��� �� ��� ��� �� ��� ��� �� ���� ���

A�� sTORONY TREUGOLXNIKA AB � � BC � �� AC � �� nAJDITEcos�BAC��� ���� �� ������ �� ����� �� ����

A�� nAJDITE SUMMU KORNEJ URAWNENIQx� � �

��x

��

� UMNO�

VENNU� NA ���

A�� dLQ FUNKCII f�x� � �x� cos �x�� NAJDITE ZNA�ENIE PRO�IZWODNOJ W TO�KE x � �����

��

Page 14: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

A � rE�ITE URAWNENIE log ���log���� x� � ��

A�� pUSTX a�� a�� � � � � an � ARIFMETI�ESKAQ PROGRESSIQ�nAJDITE a�� ESLI a� � ��� I a� � ��

B�� rE�ITE URAWNENIEpx� ��p

�x� �� � ��

B�� rE�ITE NERAWENSTWOp� � ��x � �

p�� � �x � �x � � � ��

C�� pRI WSEH ZNA�ENIQH PARAMETRA a OPREDELITE KOLI�ESTWO RE��ENIJ URAWNENIQ

��jx� �j � ��� � jx� �aj� ��

C�� tO�KA D LEVIT NA STORONE CB PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLX�NIKA ABC ��C � ���� PRI��M �ADC � arccos ��

p��

jBDj � �p���� jABj � �� nAJDITE PLO�ADX TREUGOLXNI�

KA ABC�

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO �x� � x� � �� � ���� ���� ��� �� ������� � ������� �� ������� � ��������� ���� ���

A�� nAJDITE OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f�x� �p

�x��x � ���� ������� � ������� �� ���� ��� �� ������� � ��������� �������

A�� nAJDITE MNOVESTWO ZNA�ENIJ FUNKCII f�x��� cos �x����� ��� �� �� ���� �� �� ���� ��� �� �� � ���

A�� sTORONY TREUGOLXNIKA PQ��� QR��� PR��� nAJDITEcos�PRQ��� ����� �� ������ �� �������� �� ���������

A�� nAJDITE SUMMU KORNEJ URAWNENIQx� � �

�� x

��

� UMNO�

VENNU� NA ���

��

Page 15: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

A�� dLQ FUNKCII f�x� � � sin x�� � �x�� � NAJDITE ZNA�ENIEPROIZWODNOJ W TO�KE x � ���

A � rE�ITE URAWNENIE log� log�����x� ���� � ���

A�� pUSTX a�� a�� � � � � an � ARIFMETI�ESKAQ PROGRESSIQ� nAJDI�TE a�� ESLI a � �� I a� � ���

B�� rE�ITE URAWNENIEpx� �� �

p�x� � � ��

B�� rE�ITE NERAWENSTWO ��x �p� � ��x �p

� � �x �p�� � ��

C�� pRI WSEH ZNA�ENIQH PARAMETRA a OPREDELITE KOLI�ESTWO RE��ENIJ URAWNENIQ

���� jx� �j�� � j�x� aj � ��

C�� tO�KA D LEVIT NA STORONE BC RAWNOBEDRENNOGO TRE�UGOLXNIKA ABC �jABj � jBCj� PRI��M jCDj � �

� jCBj�ACB � arccos

p��� jADj � ���� nAJDITE PLO�ADX TRE�

UGOLXNIKA ABC�

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO x� � �x� � � � ���� ���� ��� �� ������� � ������� �� ������� � ��������� ���� ���

A�� nAJDITE OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f�x��p

�������x� ��� ���� ��� �� ��p��

p��� �� ������� � ������� �� �������

A�� nAJDITE MNOVESTWO ZNA�ENIJ FUNKCII f�x� � � sin� x������� ���� ��� �� ���� ��� �� ��� ��� �� ���� ���

A�� sTORONY TREUGOLXNIKA MN � ��� NK � �� MK � � nAJ�DITE cos�MKN ��� ���� �� �������� �� ����� �� ����

��

Page 16: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

A�� nAJDITE SUMMU KORNEJ URAWNENIQx� � �

��x

�� ��

� UMNO�

VENNU� NA ���

A�� dLQ FUNKCII f�x� � �x � � sin �x � �� NAJDITE ZNA�ENIEPROIZWODNOJ W TO�KE x � ���

A � rE�ITE URAWNENIE log ���log��x� �� � ���

A�� pUSTX a�� a�� � � � � an � ARIFMETI�ESKAQ PROGRESSIQ� nAJDI�TE a� ESLI a�� � �� I a� � ���

B�� rE�ITE URAWNENIEpx� � �

p�x� � � ��

B�� rE�ITE NERAWENSTWOp� � ��x � � � ��x � � � �x � ��

p� � ��

C�� pRI WSEH ZNA�ENIQH PARAMETRA a OPREDELITE KOLI�ESTWO RE��ENIJ URAWNENIQ

��jx� �j � ��� � jx��� aj�

C�� tO�KAD LEVIT NA STORONE AC PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNI�KA ABC ��C����� PRI��M jABj � � �BDC � arccos ��

p�

jADj � p�� nAJDITE PLO�ADX TREUGOLXNIKA ABC�

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO x� � x� � �� � ���� ������� � ������� �� ������� � ������� �� ���� ����� ���� ���

A�� nAJDITE OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f�x��p

�x���x������ ������� � ������� �� ������� � ������� �� ��������� ���� ���

A�� nAJDITE MNOVESTWO ZNA�ENIJ FUNKCII f�x� � � cos x��� ���� ���� ��� �� ���� ��� �� �������� �� ��������

��

Page 17: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

A�� sTORONY TREUGOLXNIKA AB � ��� BC � � AC � �� nAJDITEcos�ABC��� ������ �� ����� �� ������ �� ��������

A�� nAJDITE SUMMU KORNEJ URAWNENIQx� � �

��x

��

� UMNO�

VENNU� NA ���

A�� nAJDITE ZNA�ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII f�x� � � cos x�����x� � W TO�KE x � �����

A � rE�ITE URAWNENIE log� log�������� �x� � ��

A�� pUSTX a�� a�� � � � � an � ARIFMETI�ESKAQ PROGRESSIQ� nAJDI�TE a�� ESLI a�� � � I a�� � ���

B�� rE�ITE URAWNENIEp�x� ��p

x� � � ��

B�� rE�ITE NERAWENSTWO ��x� �p� � �x� ��

p� � �x���

p�� � ��

C�� pRI WSEH ZNA�ENIQH PARAMETRA a OPREDELITE KOLI�ESTWO RE��ENIJ URAWNENIQ

��jx� �j � ���� jx� aj � ��

C�� tO�KA D LEVIT NA STORONE AB RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLX�NIKA ABC �jABj � jBCj� PRI��M �BAC � arccos

p��

jADj � � jABj jCDj � � nAJDITE PLO�ADX TREUGOLXNI�

KA ABC�

pREDWARITELXNYJ TUR W FORME eg��

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO�� �x

x� ��x� �

x� ��

�� ������� � ���� ��� �� ���� ��� �� ������� � ��������� ���� ���

A�� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII f�x� � �cos x��� R� �� ������� �� ���� ��� �� ����� ���

Page 18: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

A�� rE�ITE URAWNENIE cos� x��

�cos x � ��

�� ����� � ��n n � Z� �� ��� � �k ����� � ��n k� n � Z��� �k ����� � ��n k� n � Z� �� ��� � �n ���� � ��kk� n � Z�

B�� dLQ FUNKCII f�x��q

log����x� �� � � NAJDITE OBLASTX

OPREDELENIQ�

B�� nAJDITE RADIUS OKRUVNOSTI OPISANNOJ WOKRUG PRQMO�UGOLXNOGO TREUGOLXNIKA S KATETAMI AB � � BC � ���

B�� nAJDITE ZNA�ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII f�x���x��� sin�xW TO�KE x����

B�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�x� � � �

p�x� x� � � � �x�

�p� sin y � x�

B�� iME�TSQ DWA KUSKA SPLAWOW MEDI S CINKOM� w PERWOM KUS�KE MASSY METALLOW SOOTNOSQTSQ KAK �� A WO WTOROM � KAK��� sPLAWIW �TI DWA KUSKA POLU�ILI TRETIJ SPLAW W KOTO�ROM MASSY METALLOW SOOTNOSQTSQ KAK �� � nAJDITE MASSUTRETXEGO SPLAWA ESLI IZWESTNO �TO MASSA PERWOGO KUSKA NA� KG MENX�E MASSY WTOROGO�

C�� pRI KAVDOM ZNA�ENII PARAMETRA a RE�ITE NERAWENSTWO

log���x� ��� � log� x

jx� �j � a� ��

C�� oSNOWANIEM TREUGOLXNOJ PIRAMIDY SABC QWLQETSQ RAWNO�STORONNIJ TREUGOLXNIK ABC SO STORONOJ �� oSNOWANIE HWYSOTY SH PIRAMIDY LEVIT NA STORONE AB �AH � �SH � ��� nAJDITE PLO�ADX POLNOJ POWERHNOSTI PIRAMI�DY�

��

Page 19: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO� � �x

�� x�

�x� �

�� x�

�� ���� ��� �� ������� � ������� �� ���� �� � ��������� ��������

A�� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII f�x� ����

�sin� x�

�� ������� �� ������� �� ��� ��� �� ����� ���

A�� rE�ITE URAWNENIE sin� x�p�

�sinx � ��

�� ����n�����n n � Z� �� �����n ����m������m n�m �� Z� �� �n ����m���� �m n�m � Z� �� ��n ����k ����kn� k � Z�

B�� dLQ FUNKCII f�x��p

�� log��x� �� NAJDITE OBLASTX OPRE�DELENIQ�

B�� nAJDITE RADIUS OKRUVNOSTI OPISANNOJ WOKRUG PRQMO�UGOLXNOGO TREUGOLXNIKA S KATETAMI MN � �� NK � ���

B�� nAJDITE ZNA�ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII f�x� ��x� �

�x� �W

TO�KE x� � ���

B�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�y� � �y � �

py� � �y � � � ��

�p� sinx � �y�

B�� iME�TSQ DWA KUSKA SPLAWOW MEDI S CINKOM� w PERWOM KUSKESODERVITSQ ��� MEDI A WO WTOROM � ���� sPLAWIW �TIDWA KUSKA POLU�ILI TRETIJ SPLAW W KOTOROM SODERVITSQ��� MEDI� nAJDITE MASSU TRETXEGO SPLAWA ESLI IZWESTNO�TO MASSA PERWOGO KUSKA NA � KG BOLX�E MASSY WTOROGO�

��

Page 20: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

C�� pRI KAVDOM ZNA�ENII PARAMETRA a RE�ITE NERAWENSTWO

� log� x� log���x� ��

jx� �j � a� ��

C�� oSNOWANIEM TREUGOLXNOJ PIRAMIDY SABC QWLQETSQ RAW�NOBEDRENNYJ TREUGOLXNIK ABC S OSNOWANIEM AB � � IBOKOWOJ STORONOJ �� oSNOWANIE H WYSOTY SH PIRAMIDYLEVIT NA STORONE AB �AH � � SH � ���� nAJDITE PLO��ADX POLNOJ POWERHNOSTI PIRAMIDY�

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO�x� �

�x� ��

�x� �

�x� ��

�� ������ ���� �� ������������ �� ��������� � ������ ������ ����������� � ������ ����

A�� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII f�x� � �sin �x��� ���� ��� �� ����� ��� �� ������� �� ���� ���

A�� rE�ITE URAWNENIE cos� x�p�

�cos x � ��

�� �����n ������m n�m � Z� �� �k �������n k� n � Z��� ���� �n ����� ��m n�m � Z� �� ����� �m m � Z�

B�� dLQ FUNKCII f�x��q

log�����x����� NAJDITE OBLASTX

OPREDELENIQ�

B�� nAJDITE RADIUS OKRUVNOSTI OPISANNOJ WOKRUG PRQMO�UGOLXNOGO TREUGOLXNIKA S KATETAMI PR � �� RQ � �

B�� dLQ FUNKCII f�x� � ��x� �� cos ��x NAJDITE ZNA�ENIE PRO�

IZWODNOJ W TO�KE x� � ��

��

Page 21: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

B�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ

��x� � �x�

px� � �x� � � ���

� sin y � x� ��

B�� iME�TSQ DWA KUSKA SPLAWOW MEDI S CINKOM� w PERWOM KUSKEMASSY METALLOW SOOTNOSQTSQ KAK �� A WO WTOROM� KAK ���sPLAWIW �TI DWA KUSKA POLU�ILI TRETIJ SPLAW W KOTOROMMASSY METALLOW SOOTNOSQTSQ KAK ������� nAJDITE MASSUTRETXEGO SPLAWA ESLI IZWESTNO �TO MASSA PERWOGO KUSKANA � KG BOLX�E MASSY WTOROGO�

C�� pRI KAVDOM ZNA�ENII PARAMETRA a RE�ITE NERAWENSTWO

log���x� ��� � � log� x

�jx� �j � a��x� ��� ��

C�� oSNOWANIEM TREUGOLXNOJ PIRAMIDY SABC QWLQETSQ RAWNO�STORONNIJ TREUGOLXNIK ABC SO STORONOJ �� oSNOWANIE HWYSOTY SH PIRAMIDY LEVIT NA STORONE AB �AH � �SH � ���� nAJDITE PLO�ADX POLNOJ POWERHNOSTI PIRAMI�DY�

wARIANT � �

A�� rE�ITE NERAWENSTWO�x� �

�� x�

�� �x

�� x�

�� ���� ��� �� ���� ��� � ������� �� ���� �� � ��������� ���� ����

A�� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII f�x� ����

�� sin x�

�� ���� ��� �� ������� �� ����� ��� �� ��� ���

��

Page 22: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

A�� rE�ITE URAWNENIE sin� x�

p�

�sinx � ��

�� �����n ����k�������k n� k � Z� �� ����k �����k k � Z��� �n ����k������ �k n� k � Z� �� �n ����k���� � �kn� k � Z�

B�� dLQ FUNKCII f�x� �plog��x� ��� � NAJDITE OBLASTX

OPREDELENIQ�

B�� nAJDITE RADIUS OKRUVNOSTI OPISANNOJ WOKRUG PRQMO�UGOLXNOGO TREUGOLXNIKA S KATETAMI AB � �� BC � ��

B�� nAJDITE ZNA�ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII f�x� ��x� �

�x� �W

TO�KE x� � ���B�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�

�y� � �y �py� � �y � � � ��

� sinx �p��y � ���

B�� iME�TSQ DWA KUSKA SPLAWOW MEDI S CINKOM� w PERWOM KUSKESODERVITSQ ��� MEDI A WO WTOROM � ���� sPLAWIW �TIDWA KUSKA POLU�ILI TRETIJ SPLAW W KOTOROM SODERVITSQ��� MEDI� nAJDITE MASSU TRETXEGO SPLAWA ESLI IZWESTNO�TO MASSA PERWOGO KUSKA NA � KG BOLX�E MASSY WTOROGO�

C�� pRI KAVDOM ZNA�ENII PARAMETRA a RE�ITE NERAWENSTWO

� log� x� log���x� ��

�jx� �j � a��x� ��� ��

C�� oSNOWANIEM TREUGOLXNOJ PIRAMIDY SABC QWLQETSQ RAW�NOBEDRENNYJ TREUGOLXNIK ABC S OSNOWANIEM AB � � IBOKOWOJ STORONOJ ��� oSNOWANIE H WYSOTY SH PIRAMIDYLEVIT NA STORONE AB �BH � � SH � ��� nAJDITE PLO�ADXPOLNOJ POWERHNOSTI PIRAMIDY�

��

Page 23: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

pREDWARITELXNYJ TUR� �

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO

p� � x

x� ��

�� x

x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin �x�p� cos �x �

�jx� ����jx� ����

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH x WELI�INY � � �x���px� � � I �� � ��x QWLQ�TSQ POSLEDOWATELXNYMI �LE�NAMI ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII�

�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�sinx � sin �y�

� sin��x� �y� sin��x� ��y� � � cos� x� �y� � ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a PERESE�ENIEMNOVESTW �x� a� ��� � �y � �a� ��� � �� I �x� �a� ������y � �a� ��� � ��a� PREDSTAWLQET SOBOJ KRUG� pOSTROJTE�ERT�V PRI a � ��

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD ��ETYR�HUGOLXNIKOSNOWANIQ ABCD WYPUKLYJ� BOKOWYE R�BRA SA SB ISC PERPENDIKULQRNY I IME�T DLINU �� dLINA REBRA SDRAWNA �� nAJDITE �� UGOL NAKLONA REBRA SD K PLOSKOS�TI OSNOWANIQ� �� NAIBOLX�IJ WOZMOVNYJ OB��M PIRAMI�DY SABCD�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO�p�� x

x� ��

� � x

x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin �x� cos �x �

p�jx� ����j����� x

��

Page 24: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH x WELI�INY �� � �x��p�� x� I � � ��x QWLQ�TSQ POSLEDOWATELXNYMI �LENA�MI ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII�

�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�cos �x � cos y�

� cos��x� �y� � � sin���x� �y� � ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a OB�EDINENIEMNOVESTW �x � a � ��� � �y � a � ��� � �� I �x � �a � ������y � �a� ��� � ��a� PREDSTAWLQET SOBOJ KRUG� pOSTROJTE�ERT�V PRI a � ��

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD ��ETYR�HUGOLXNIKOSNOWANIQ ABCD WYPUKLYJ� BOKOWYE R�BRA SA SB ISC PERPENDIKULQRNY I IME�T DLINU �� oB��M PIRAMI�DY SABCD RAWEN �� nAJDITE �� PLO�ADX TREUGOLXNI�KA ACD� �� NAIMENX�U� WOZMOVNU� DLINU REBRA SD�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO

p� � x

x� ��

�� �x

x� ��

�� rE�ITE URAWNENIEp� sin�x� cos �x �

�jx� �����jx� �����

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH x WELI�INY �� � �x���px� � � I � � ��x QWLQ�TSQ POSLEDOWATELXNYMI �LENA�MI ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII�

�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�sin �x � sin y�

� sin���x� �y� sin��x� �y� � �� cos���x� �y� � ��

��

Page 25: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a PERESE�ENIEMNOVESTW �x� a� ��� � �y � �a� ��� � �� I �x� �a� ������y � �a� ��� � ��a� PREDSTAWLQET SOBOJ KRUG� pOSTROJTE�ERT�V PRI a � ���

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD ��ETYR�HUGOLXNIKOSNOWANIQ ABCD WYPUKLYJ� BOKOWYE R�BRA SA SB ISC PERPENDIKULQRNY I IME�T DLINU �� uGOL �ADC RA�WEN ����� nAJDITE �� UGOL NAKLONA REBRA SD K PLOSKOS�TI OSNOWANIQ� �� NAIBOLX�IJ WOZMOVNYJ OB��M PIRAMI�DY SABCD�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO�p��� x

x� ��

�� � x

x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE cos �x� sin �x � �p�jx� ��jx� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH x WELI�INY � �����x���px� � � I �� ��x QWLQ�TSQ POSLEDOWATELXNYMI �LENAMIARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII�

�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ

�cos x � cos �y�

� cos��x� ��y� � �� sin��x� ��y� � ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a OB�EDINENIEMNOVESTW �x�a������y��a� ���� � ��� I �x� �a� ������y � �a� ��� � ��a� PREDSTAWLQET SOBOJ KRUG� pOSTROJTE�ERT�V PRI a � ���

��

Page 26: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD ��ETYR�HUGOLXNIKOSNOWANIQ ABCD WYPUKLYJ� BOKOWYE R�BRA SA SB ISC PERPENDIKULQRNY I IME�T DLINU �� oB��M PIRAMI�DY SACD RAWEN ��� nAJDITE �� PLO�ADX OSNOWANIQ PI�RAMIDY ABCD� �� NAIMENX�U� WOZMOVNU� SUMMU DLINBOKOWYH REBER PIRAMIDY SABCD�

zAKL��ITELXNYJ TUR OLIMPIADY �rOSATOMA � �

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE�p�� x��

�� x�

lg�x� ���

log����x� ��� ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO�x

� � ��

x�x� ��� ��

�� rE�ITE URAWNENIEp� cos x� � � �p� sinx�

�� rE�ITE NERAWENSTWOr� cos

�x

�� � cos�

�x

�� �

�log ���

� � �x

x� �

�� ��

�� A� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a SISTEMAURAWNENIJ IMEET EDINSTWENNOE RE�ENIE��

�jy � jxj � �j � ��

�x� a�� �

�y � �� �a

��

��

��

B� POSTROJTE GRAFIKI URAWNENIJ PRI ZNA�ENII PARAMETRAa � ��

�� bOKOWYE R�BRA DA DB I DC TREUGOLXNOJ PIRAMIDYDABC OBRAZU�T S PLOSKOSTX� OSNOWANIQ ABC UGOL ��� ISUMMA IH DLIN RAWNA ��� rEBRO DC PERPENDIKULQRNO REBRU

��

Page 27: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

AB� nAJDITE A� WYSOTU PIRAMIDY OPU�ENNU� IZ WER�I�NY D� B� NAIBOLX�EE PRI �TIH USLOWIQH ZNA�ENIE OB��MAPIRAMIDY DABC�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE�px� ���

�� x�

log���� x��

log����� x�� ���

�� rE�ITE NERAWENSTWO ���

�x���� �

�� � x��x� ��� ��

�� rE�ITE URAWNENIEp�� � cos x � �

p� sinx�

�� rE�ITE NERAWENSTWOr�p� sin

�x

�� � sin�

�x

�� �

�log���

�x� ��

�x� ��

�� ��

�� A� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a SISTEMAURAWNENIJ IMEET EDINSTWENNOE RE�ENIE��

�jy � jxj � �j � ��

�x� a�� �

�y � ��� �a

��

� ��

B� POSTROJTE GRAFIKI URAWNENIJ PRI ZNA�ENII PARAMETRAa � ��

�� dLINY BOKOWYH R�BER DA DB I DC TREUGOLXNOJ PIRA�MIDY DABC RAWNY �� rEBRO DC PERPENDIKULQRNO REB�RU AB I NAKLONENO K PLOSKOSTI OSNOWANIQ POD UGLOM ����nAJDITE A� WYSOTU PIRAMIDY OPU�ENNU� IZ WER�INY D�B� NAIBOLX�EE PRI �TIH USLOWIQH ZNA�ENIE OB��MA PIRAMI�DY DABC�

Page 28: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE

� �px� ���

x� �� lg�x� ��

log����x� ��� ���

�� rE�ITE NERAWENSTWO

�x��� � �

���� x��x� ��

� ��

�� rE�ITE URAWNENIEp�� sinx �

p� cos x�

�� rE�ITE NERAWENSTWO

�log�

� x

�x� ��

�s�sin

�x

�� cos

�x

��

� � � ��

�� A� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a SISTEMAURAWNENIJ IMEET EDINSTWENNOE RE�ENIE��

�jy � jxj � �j � ��

�x� a�� �

�y � �� �a

��

��

��

B� POSTROJTE GRAFIKI URAWNENIJ PRI ZNA�ENII PARAMETRAa � ��

�� dLINY BOKOWYH R�BER DA DB I DC TREUGOLXNOJ PIRA�MIDY DABC RAWNY �� wYSOTA PIRAMIDY OPU�ENNAQ IZWER�INY D RAWNA �� nAJDITE A� UGOL NAKLONA REBRA DCK PLOSKOSTI OSNOWANIQ� B� NAIBOLX�EE PRI �TIH USLOWIQHZNA�ENIE OB��MA PIRAMIDY DABC�

��

Page 29: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE

�p�� x��

�� x� lg��x� ���

log���� � x�

� ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO

�x��� � ��

�� � x��x� ��� ��

�� rE�ITE URAWNENIEp�� � �� sinx � �p�� cos x�

�� rE�ITE NERAWENSTWOr�p� sin

�x

�cos

�x

��� cos� �x

�� sin�

�x

�log�

x��

����x�� ��

�� A� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a SISTEMAURAWNENIJ IMEET EDINSTWENNOE RE�ENIE���

�jy � jxj � �j � ��

�x� a�� �

�y � �� �a

��

��

��

B� POSTROJTE GRAFIKI URAWNENIJ PRI ZNA�ENII PARAMETRAa � ��

�� dLINY BOKOWYH R�BER DA DB I DC TREUGOLXNOJ PIRAMI�DY DABC RAWNY �� uGOL MEVDU R�BRAMI DA I DB RAWEN��� A PLOSKOSTX GRANI DAB NAKLONENA K PLOSKOSTI GRANIABC POD UGLOM ���� nAJDITE A� WYSOTU PIRAMIDY OPU��ENNU� IZ WER�INY D� B� NAIBOLX�EE PRI �TIH USLOWIQHZNA�ENIE OB��MA PIRAMIDY DABC�

��

Page 30: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

zAKL��ITELXNYJ TUR OLIMPIADY �rOSATOMA �

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWOjx� �j � �

x� ��x� �

x� ��

�� rE�ITE URAWNENIEq

logpx��x� � log x � ���

�� sUMMA TRETXEGO I DEWQTOGO �LENOW ARIFMETI�ESKOJ PRO�GRESSII RAWNA �� nAJDITE SUMMU PERWYH �� �LENOW �TOJPROGRESSII�

�� rE�ITE NERAWENSTWO cos�x

�� log�

��

�� � �x� x�� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA k SISTEMA

���x� � �y�

x� k�y � �k� � � � ��

�y � x� � � �

IMEET ROWNO DWA RE�ENIQ�

�� w PRAWILXNOJ �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD �TO�KAS � WER�INA� R�BRA OSNOWANIQ IME�T DLINU � A WYSOTA Wp� DLINNEE R�BER OSNOWANIQ� tO�KA E � SEREDINA APOFEMY

GRANI ASB� nAJDITE �� OB��M PIRAMIDY SABCD� �� UGOLMEVDU PRQMOJ DE I PLOSKOSTX� ASC�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO� � jx� �jx� �

��� x

x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE � log�x x � � logx x��

��

Page 31: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� pROIZWEDENIE WTOROGO I �ESTOGO �LENOW GEOMETRI�ESKOJPROGRESSII RAWNO �� nAJDITE PROIZWEDENIE KWADRATOW PER�WYH �LENOW �TOJ PROGRESSII�

�� rE�ITE NERAWENSTWO sin��x

�� log���

��

��x� �� x�� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA k SISTEMA

���x� � ��y�y � k�x� � � �k� � ��

y � x� � � �

IMEET ROWNO ODNO RE�ENIE�

�� w PRQMOUGOLXNOM PARALLELEPIPEDE ABCDA�B�C�D� TO��KI E I G � SEREDINY OTREZKOW A�B� I DC� SOOTWETSTWEN�NO TO�KA F LEVIT NA OTREZKE BE PRI�EM �jBF j � jBEjjABj � jADj � � jAA�j �

p��jABj� nAJDITE �� OB��M

PIRAMIDY A�B�D�A� �� UGOL MEVDU PRQMOJ FG I PLOSKOS�TX� AA�C��

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO�� jx� �jx� �

��� x

x� ��

�� rE�ITE URAWNENIEq

log �px� x

�� � log� x � ���

�� sUMMA PQTOGO I WOSXMOGO �LENOW ARIFMETI�ESKOJ PROGRES�SII RAWNA �� nAJDITE SUMMU PERWYH �� �LENOW �TOJ PRO�GRESSII�

�� rE�ITE NERAWENSTWO tg�x

�� log�

���x� � �x� �

� ��

��

Page 32: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA k SISTEMA���x� � �y�

y � k�x� � � k� � ��

�y � x� �� � �

IMEET ROWNO DWA RE�ENIQ�

�� w PRAWILXNOJ TREUGOLXNOJ PIRAMIDE SABC �TO�KA S �WER�INA� R�BRA OSNOWANIQ IME�T DLINU � A WYSOTA W ��

p

DLINNEE R�BER OSNOWANIQ� tO�KA D � SEREDINA APOFEMYGRANI ASC� nAJDITE �� OB��M PIRAMIDY SABC� �� UGOLMEVDU PRQMOJ BD I PLOSKOSTX� PROHODQ�EJ �EREZ REB�RO SC I SEREDINU REBRA AB�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO�� jx� �jx� �

�� � x

x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE � log�x x� � � log�x x�

�� pROIZWEDENIE TRETXEGO I WOSXMOGO �LENOW GEOMETRI�ESKOJPROGRESSII RAWNO �� nAJDITE PROIZWEDENIE PERWYH �� �LE�NOW �TOJ PROGRESSII�

�� rE�ITE NERAWENSTWO sin�x

�� log���

��

�� � �x� x�� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA k SISTEMA���x� � ��y�x� k�y � � � �k� � ��

�y � x� �� � �

IMEET ROWNO ODNO RE�ENIE�

��

Page 33: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� u PRAWILXNOJ TREUGOLXNOJ PRIZMY ABCA�B�C� DLINY R��BER OSNOWANIQ RAWNY � A WYSOTA W � RAZA DLINNEE R��BER OSNOWANIQ� tO�KA D � SEREDINA REBRA A�B� TO�KI EI F LEVAT NA OTREZKAH AD I CB� SOOTWETSTWENNO PRI�EMjAEj � �

� jADj jCF j � �� jCB�j� nAJDITE �� OB��M PIRAMI�

DY A�B�C�A� �� UGOL MEVDU PRQMOJ EF I PLOSKOSTX� PRO�HODQ�EJ �EREZ REBRO BB� I SEREDINU REBRA AC�

wYEZDNOJ TUR� �

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE j�x� �j � �jx� �j � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWOpx� � �x� � � ��x� ���

�� rE�ITE NERAWENSTWO ���� sin �x�� cos� x� log�� sinx��

�� ��

�� iZ MOLOKA VIRNOSTX KOTOROGO SOSTAWLQET �� IZGOTAWLI�WA�T TWOROG VIRNOSTX� � I SMETANU VIRNOSTX� ����pRI �TOM OSTA�TSQ SYWOROTKA VIRNOSTX� ���� sKOLXKOTWOROGA POLU�AETSQ IZ � T MOLOKA ESLI IZWESTNO �TO SME�TANY PROIZWODITSQ NA ��� MENX�E �EM TWOROGA� oTWETOKRUGLITE W MENX�U� STORONU S TO�NOSTX� DO � KG�

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � ��� IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� nAZOW�M PIRAMIDU OPISANNOJ OKOLO CILINDRA ESLI NIV�NEE OSNOWANIE CILINDRA LEVIT W OSNOWANII PIRAMIDY AOKRUVNOSTX WERHNEGO OSNOWANIQ CILINDRA KASAETSQ WSEH BO�KOWYH GRANEJ� rADIUS OSNOWANIJ CILINDRA R � � A WYSOTACILINDRA h � �� nAJDITE MINIMALXNO WOZMOVNYJ OB��MOPISANNOJ OKOLO CILINDRA PRAWILXNOJ TREUGOLXNOJ PIRA�MIDY�

��

Page 34: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE j�� �xj � �jx� �j � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWOpx� � �x� � �

p��x� ���

�� rE�ITE NERAWENSTWO ���� cos� x�� sin �x� log ���

��� cos x�

���

�� iZ MOLOKA VIRNOSTX KOTOROGO SOSTAWLQET �� IZGOTAWLI�WA�T TWOROG VIRNOSTX� �� I SMETANU VIRNOSTX� ����pRI �TOM OSTA�TSQ SYWOROTKA VIRNOSTX� ���� sKOLXKOTWOROGA POLU�AETSQ IZ ��� KG MOLOKA ESLI IZWESTNO �TOSMETANY PROIZWODITSQ NA ��� MENX�E �EM TWOROGA� oT�WET OKRUGLITE W MENX�U� STORONU S TO�NOSTX� DO � KG�

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � �

�IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� nAZOW�M PIRAMIDU OPISANNOJ OKOLO CILINDRA ESLI NIV�NEE OSNOWANIE CILINDRA LEVIT W OSNOWANII PIRAMIDY AOKRUVNOSTX WERHNEGO OSNOWANIQ CILINDRA KASAETSQ WSEH BO�KOWYH GRANEJ� rADIUS OSNOWANIJ CILINDRA R � � A WYSO�TA CILINDRA h � �� nAJDITE MINIMALXNO WOZMOVNYJ OB���M OPISANNOJ OKOLO CILINDRA PRAWILXNOJ �ETYR�HUGOLX�NOJ PIRAMIDY�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE j�x� �j� �jx� �j � �

�� rE�ITE NERAWENSTWOpx� � �x� � � ���x� ���

�� rE�ITE NERAWENSTWO ���� sin� x�� sin �x� log�� sinx��

�� ��

��

Page 35: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� iZ MOLOKA VIRNOSTX KOTOROGO SOSTAWLQET �� IZGOTAWLI�WA�T TWOROG VIRNOSTX� ��� I SMETANU VIRNOSTX� ����pRI �TOM OSTA�TSQ SYWOROTKA VIRNOSTX� ���� sKOLXKOTWOROGA POLU�AETSQ IZ ��� KG MOLOKA ESLI IZWESTNO �TOSMETANY PROIZWODITSQ NA ��� MENX�E �EM TWOROGA� oT�WET OKRUGLITE W MENX�U� STORONU S TO�NOSTX� DO � KG�

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � �

�IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� nAZOW�M PIRAMIDU OPISANNOJ OKOLO CILINDRA ESLI NIV�NEE OSNOWANIE CILINDRA LEVIT W OSNOWANII PIRAMIDY AOKRUVNOSTX WERHNEGO OSNOWANIQ CILINDRA KASAETSQ WSEH BO�KOWYH GRANEJ� rADIUS OSNOWANIJ CILINDRA R � � A WYSOTACILINDRA h � �� nAJDITE MINIMALXNO WOZMOVNYJ OB��MOPISANNOJ OKOLO CILINDRA PRAWILXNOJ TREUGOLXNOJ PIRA�MIDY�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE j� � �xj� �jx� �j � �

�� rE�ITE NERAWENSTWOpx� � �x� � � �p��x� ���

�� rE�ITE NERAWENSTWO

��� sin� x� �� sin �x� �� log ��

�� � cos x

�� ��

�� iZ MOLOKA VIRNOSTX KOTOROGO SOSTAWLQET ��� IZGOTAWLI�WA�T TWOROG VIRNOSTX� �� I SMETANU VIRNOSTX� ����pRI �TOM OSTA�TSQ SYWOROTKA VIRNOSTX� ���� sKOLXKOTWOROGA POLU�AETSQ IZ ��� KG MOLOKA ESLI IZWESTNO �TOSMETANY PROIZWODITSQ NA ��� MENX�E �EM TWOROGA� oT�WET OKRUGLITE W MENX�U� STORONU S TO�NOSTX� DO � KG�

��

Page 36: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � ��� IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� nAZOW�M PIRAMIDU OPISANNOJ OKOLO CILINDRA ESLI NIV�NEE OSNOWANIE CILINDRA LEVIT W OSNOWANII PIRAMIDY AOKRUVNOSTX WERHNEGO OSNOWANIQ CILINDRA KASAETSQ WSEH BO�KOWYH GRANEJ� rADIUS OSNOWANIJ CILINDRA R � � A WYSO�TA CILINDRA h � �� nAJDITE MINIMALXNO WOZMOVNYJ OB���M OPISANNOJ OKOLO CILINDRA PRAWILXNOJ �ETYR�HUGOLX�NOJ PIRAMIDY�

wYEZDNOJ TUR�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE �x� � �x�� � ��x� ��� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE �log ���

�x�� �

log �����x���x��

�� rE�ITE URAWNENIE jpx� �� �j� jpx� �� �j � ��

�� nAJDITE �ISLO KORNEJ URAWNENIQ cos �x � sin��� LEVA�IHNA OTREZKE ������� ������

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a FUNKCIQf�x� � ��� � �a�x� �a��� sin �x� �� sinx� a� IMEET NA IN�TERWALE

��������� EDINSTWENNU� KRITI�ESKU� TO�KU �MI�NIMUM��

�� w TREUGOLXNOJ PIRAMIDE ABCD DLINA REBRA AB � �� tRE�UGOLXNIKI ABC I ABD � RAWNOBEDRENNYE �AC � CBAD � DB� S WYSOTAMI CH � � I DH � �� pLOSKOSTI ABCI ABD WZAIMNO PERPENDIKULQRNY� nAJDITE MINIMALXNU�PLO�ADX SE�ENIQ PIRAMIDY KOTOROE PROHODIT �EREZ SRED�N�� LINI�MN TREUGOLXNIKA ABC �MN k AB� I PERESE�KAET GRANX ABD�

��

Page 37: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE �x� � �x�� � ��x� ��� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE ��log ��

���x � �

log �����x��x��

�� rE�ITE URAWNENIE jpx� �� �j� j��px� �j � ��

�� nAJDITE �ISLO KORNEJ URAWNENIQ sin �x � cos ��� LEVA�IHNA OTREZKE ������� ������

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a FUNKCIQf�x� � ���a � ��x � �a � �� sin �x � � cos x � ��a � �� IMEETNA INTERWALE

������ ��� EDINSTWENNU� KRITI�ESKU� TO��KU �MAKSIMUM��

�� w TREUGOLXNOJ PIRAMIDE ABCD DLINA REBRA AB � �� tRE�UGOLXNIKI ABC I ABD � RAWNOBEDRENNYE �AC � CBAD � DB� S WYSOTAMI CH �

p�� I DH � �� pLOSKOS�

TI ABC I ABD WZAIMNO PERPENDIKULQRNY� nAJDITE MI�NIMALXNU� PLO�ADX SE�ENIQ PIRAMIDY KOTOROE PROHODIT�EREZ SREDN�� LINI�MN TREUGOLXNIKA ABC �MN k AB�I PERESEKAET GRANX ABD�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE �x� � �x�� � ��x� ��� � ���

�� rE�ITE URAWNENIE ��log ���

�x�� � �

log ����x���x��

�� rE�ITE URAWNENIE jpx� �� �j� jpx� �� �j � ��

�� nAJDITE �ISLO KORNEJ URAWNENIQ cos �x � sin � � LEVA�IHNA OTREZKE ������� ������

Page 38: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a FUNKCIQf�x� � ������a�x���a��� sin �x��� sin x��a���� IMEETNA INTERWALE

��������� EDINSTWENNU� KRITI�ESKU� TO�KU�MAKSIMUM��

�� w TREUGOLXNOJ PIRAMIDE ABCD DLINA REBRA AB � �� tRE�UGOLXNIKI ABC I ABD � RAWNOBEDRENNYE �AC � CBAD � DB� S WYSOTAMI CH �

p�� I DH � �� pLOSKOS�

TI ABC I ABD WZAIMNO PERPENDIKULQRNY� nAJDITE MI�NIMALXNU� PLO�ADX SE�ENIQ PIRAMIDY KOTOROE PROHODIT�EREZ SREDN�� LINI�MN TREUGOLXNIKA ABC �MN k AB�I PERESEKAET GRANX ABD�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE �x� � ��x�� � ��x� ��� � ���

�� rE�ITE URAWNENIE �log ���

��x � ��

log ������x���x��

�� rE�ITE URAWNENIE jpx� �� �j� j��px� �j � ��

�� nAJDITE �ISLO KORNEJ URAWNENIQ sin �x � cos ��� LEVA�IHNA OTREZKE ������� ������

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a FUNKCIQf�x� � ��� �a� sin �x � � sinx � �x � �a � ��� IMEET NA IN�TERWALE

������� ��EDINSTWENNU� KRITI�ESKU� TO�KU �MI�

NIMUM��

�� w TREUGOLXNOJ PIRAMIDE ABCD DLINA REBRA AB � �� tRE�UGOLXNIKI ABC I ABD � RAWNOBEDRENNYE �AC � CBAD � DB� S WYSOTAMI CH � �

p� I DH � � pLOSKOS�

TI ABC I ABD WZAIMNO PERPENDIKULQRNY� nAJDITE MI�NIMALXNU� PLO�ADX SE�ENIQ PIRAMIDY KOTOROE PROHODIT�EREZ SREDN�� LINI�MN TREUGOLXNIKA ABC �MN k AB�I PERESEKAET GRANX ABD�

��

Page 39: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wYEZDNOJ TUR�

wARIANT � �

�� rE�ITE SISTEMU��y� � ��y � � � ��

jx� yj� j�x� yj � �y�

�� rE�ITE NERAWENSTWO log���x� � �� � ���

�� rE�ITE URAWNENIE

�� sin� �x� sin �x�cos� �x���

�p�x� �� � �x�px� �� � x�

��x�

� ��

�� A� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII y � ���sin x�

B� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO

���sin x � ��a� ���

��sin x � �a� � � �

WYPOLNQETSQ PRI WSEH x�

�� iZ MOLOKA VIRNOSTX KOTOROGO SOSTAWLQET �� IZGOTAWLI�WA�T TWOROG VIRNOSTX� �� I SMETANU VIRNOSTX� ����pRI �TOM OSTA�TSQ SYWOROTKA VIRNOSTX� ����� sKOLXKOTWOROGA POLU�AETSQ IZ ��� KG MOLOKA ESLI IZWESTNO �TOSMETANY PROIZWODITSQ NA ��� MENX�E �EM TWOROGA� oT�WET OKRUGLITE W MENX�U� STORONU S TO�NOSTX� DO � KG�

�� nAZOW�M PIRAMIDU OPISANNOJ OKOLO CILINDRA ESLI NIV�NEE OSNOWANIE CILINDRA LEVIT W OSNOWANII CILINDRA AOKRUVNOSTX WERHNEGO OSNOWANIQ CILINDRA KASAETSQ WSEH BO�KOWYH GRANEJ� rADIUS OSNOWANIQ CILINDRA R � � A WYSOTACILINDRA H � �� nAJDITE MINIMALXNO WOZMOVNYJ OB���M OPISANNOJ OKOLO CILINDRA PRAWILXNOJ �ETYR�HUGOLX�NOJ PIRAMIDY�

��

Page 40: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE SISTEMU��y� � �y � �� � ��

jx� yj� j�x� �yj � ��y�

�� rE�ITE NERAWENSTWO log ����x� � �� � �����

�� rE�ITE URAWNENIE

�cos �x� � cos �x� ��

�p�x� ��� �x�px� �� x�

� �x�

� ��

�� A� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII y ����

���cosx�

B� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO

���

���cosx� ��a� ��

���

���cos x � a � �

WYPOLNQETSQ PRI WSEH x�

�� iZ MOLOKA VIRNOSTX KOTOROGO SOSTAWLQET �� IZGOTAWLI�WA�T TWOROG VIRNOSTX� ��� I SMETANU VIRNOSTX� ����pRI �TOM OSTA�TSQ SYWOROTKA VIRNOSTX� ����� sKOLXKOTWOROGA POLU�AETSQ IZ ��� KG MOLOKA ESLI IZWESTNO �TOSMETANY PROIZWODITSQ NA ��� MENX�E �EM TWOROGA� oT�WET OKRUGLITE W MENX�U� STORONU S TO�NOSTX� DO � KG�

�� nAZOW�M PIRAMIDU OPISANNOJ OKOLO CILINDRA ESLI NIV�NEE OSNOWANIE CILINDRA LEVIT W OSNOWANII CILINDRA AOKRUVNOSTX WERHNEGO OSNOWANIQ CILINDRA KASAETSQ WSEH BO�KOWYH GRANEJ� wYSOTA CILINDRAH � � A RADIUS OSNOWANIQCILINDRA R � �� nAJDITE MINIMALXNO WOZMOVNYJ OB��MOPISANNOJ OKOLO CILINDRA PRAWILXNOJ TREUGOLXNOJ PIRA�MIDY�

��

Page 41: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE SISTEMU��y� � y � �� � ��

jy � xj� j�y � xj � �y � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO log ����x� � �� � ���

�� rE�ITE URAWNENIE

�cos� �x� cos �x� � cos �x� ��

�p��x������x�p

�x���x� � �x�

� ��

�� A� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII y � ���sin x�

B� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO

���sin x � ��a� ���

��sin x � � � a � �

WYPOLNQETSQ PRI WSEH x�

�� iZ MOLOKA VIRNOSTX KOTOROGO SOSTAWLQET �� IZGOTAWLI�WA�T TWOROG VIRNOSTX� ��� I SMETANU VIRNOSTX� ����pRI �TOM OSTA�TSQ SYWOROTKA VIRNOSTX� ����� sKOLXKOTWOROGA POLU�AETSQ IZ ��� KG MOLOKA ESLI IZWESTNO �TOSMETANY PROIZWODITSQ NA ��� MENX�E �EM TWOROGA� oT�WET OKRUGLITE W MENX�U� STORONU S TO�NOSTX� DO � KG�

�� nAZOW�M PIRAMIDU OPISANNOJ OKOLO CILINDRA ESLI NIV�NEE OSNOWANIE CILINDRA LEVIT W OSNOWANII CILINDRA AOKRUVNOSTX WERHNEGO OSNOWANIQ CILINDRA KASAETSQ WSEH BO�KOWYH GRANEJ� rADIUS OSNOWANIQ CILINDRA R � � A WYSOTACILINDRA H � �� nAJDITE MINIMALXNO WOZMOVNYJ OB���M OPISANNOJ OKOLO CILINDRA PRAWILXNOJ �ETYR�HUGOLX�NOJ PIRAMIDY�

��

Page 42: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE SISTEMU��x� � x� �� � ��

jy � xj� j�y � xj � ��x� ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO log ���x� � �� � �����

�� rE�ITE URAWNENIE

�sin �x� cos �x� ��

�p���x� ��� ��x�p

�x� �� x�����

�x�� ��

�� A� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII y ����

���cosx�

B� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO

���

���cos x � ��a� �����

���cosx � � � a � �

WYPOLNQETSQ PRI WSEH x�

�� iZ MOLOKA VIRNOSTX KOTOROGO SOSTAWLQET ���� IZGOTAWLI�WA�T TWOROG VIRNOSTX� �� I SMETANU VIRNOSTX� ����pRI �TOM OSTA�TSQ SYWOROTKA VIRNOSTX� ����� sKOLXKOTWOROGA POLU�AETSQ IZ ��� KG MOLOKA ESLI IZWESTNO �TOSMETANY PROIZWODITSQ NA ��� MENX�E �EM TWOROGA� oT�WET OKRUGLITE W MENX�U� STORONU S TO�NOSTX� DO � KG�

�� nAZOW�M PIRAMIDU OPISANNOJ OKOLO CILINDRA ESLI NIV�NEE OSNOWANIE CILINDRA LEVIT W OSNOWANII CILINDRA AOKRUVNOSTX WERHNEGO OSNOWANIQ CILINDRA KASAETSQ WSEH BO�KOWYH GRANEJ� wYSOTA CILINDRAH � � A RADIUS OSNOWANIQCILINDRA R � �� nAJDITE MINIMALXNO WOZMOVNYJ OB��MOPISANNOJ OKOLO CILINDRA PRAWILXNOJ TREUGOLXNOJ PIRA�MIDY�

��

Page 43: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wYEZDNOJ TUR� �

wARIANT � �

�� nAJDITE WSE KORNI URAWNENIQj�x� �j � �

jx� �j � �� j � �j�

�� rE�ITE SISTEMU NERAWENSTW��� log��x� �� � � log ���

p��x� �� � ��

j��px� �j � x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin x cos �x� sin �x cos �x � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO

�x� ��p��� x log���sin x �x� ��

x� �� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � ��� IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� rADIUS OSNOWANIQ KONUSA RAWEN R� nAJDITE MAKSIMALXNU�PLO�ADX SE�ENIQ KONUSA PROHODQ�EGO �EREZ WER�INU KO�NUSA PRI WSEH ZNA�ENIQH EGO OBRAZU��EJ l�

wARIANT � �

�� nAJDITE WSE KORNI URAWNENIQjx� �j � �x

�jx� �j � �x� �� j � �j�

�� rE�ITE SISTEMU NERAWENSTW�� log�x� �� � � log�

p��x� �� � ��

�� x �p

�� j�� xj�

��

Page 44: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rE�ITE URAWNENIE cos �x cos x� sin �x sin �x � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWOp� � x log���cos x ��� x�

x� � �x� �� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � ��� IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� oBRAZU��AQ KONUSA RAWNA l� nAJDITE MAKSIMALXNU� PLO��ADX SE�ENIQ KONUSA PROHODQ�EGO �EREZ WER�INU KONUSAPRI KAVDOM ZNA�ENII � UGLA NAKLONA OBRAZU��EJ K PLOS�KOSTI OSNOWANIQ�

wARIANT � �

�� nAJDITE WSE KORNI URAWNENIQj�x� �j

jx� �j� �x� �� �

�����

������ rE�ITE SISTEMU NERAWENSTW�

�� log��x� �� � �� log ���p��x� �� � ��

jpx� �� �j � x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin �x cos �x� sinx cos �x � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO

�x� ��p�� x log���sin x �x� ��

x� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � �

�IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

��

Page 45: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oBRAZU��AQ KONUSA RAWNA l� nAJDITE MAKSIMALXNU� PLO��ADX SE�ENIQ KONUSA PROHODQ�EGO �EREZ WER�INU KONUSAPRI WSEH ZNA�ENIQH EGO RADIUSA OSNOWANIQ R�

wARIANT � �

�� nAJDITE WSE KORNI URAWNENIQjx� �j � �x� �

jx� �j� �x� �� j � �j�

�� rE�ITE SISTEMU NERAWENSTW��� log

p��x� �� � � log ����

�x� �� � ��p � j�� xj � x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin �x sin �x� cos �x cos �x � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWOp� � x log���cos x ��� x�

x� �� x�� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � ��� IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� rADIUS OSNOWANIQ KONUSA RAWEN R� nAJDITE MAKSIMALXNU�PLO�ADX SE�ENIQ KONUSA PROHODQ�EGO �EREZ WER�INU KO�NUSA PRI KAVDOM ZNA�ENII � UGLA KOTORYJ OBRAZUET OSXKONUSA S EGO OBRAZU��EJ�

wYEZDNOJ TUR� �

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO �jx� �j � ��p��� x� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin�� cos x� � ����

��

Page 46: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rE�ITE URAWNENIE ��x � �x � ��x � � � � � ����x � ������

�� rE�ITE URAWNENIE

sin��x

�� ��jx� �j� �� sin

�x

�� ��jx � �j� ��� � ��

�� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWOr� cos

�x

�� � cos�

�x

�� � � log���

a� �x

x� ��� �

IMEET ROWNO � RE�ENIQ�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD DLINY R�BER SA �� SB � � SC � SD � � UGLY ASB I CSD RAWNY ���R�BRA AB I CD PARALLELXNY� A� kAKOE NAIBOLX�EE ZNA�E�NIE PRI �TIH USLOWIQH MOVET PRINIMATX OB��M PIRAMIDY�B� pODS�ITAJTE PLO�ADX OSNOWANIQ PIRAMIDY PRI USLOWII�TO GRANX CSD PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI OSNOWANIQ�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO �jx� �j � ��p��� x� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE cos�� sinx� � �p����

�� rE�ITE URAWNENIE ��x � ��x � ��x � � � � � ����x ����

�����

�� rE�ITE URAWNENIE

� cos����x����� �jx��j��� cos���x�������jx��j���� � ��

�� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWOr�sin

�x

�� cos

�x

��� � � log�

� x

�x� a� �

IMEET ROWNO � RE�ENIQ�

��

Page 47: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD DLINY R�BER SA �� SB � �� SC � SD � �� UGLY ASB I CSD RAWNY ���R�BRA AB I CD PARALLELXNY� A� kAKOE NAIBOLX�EE ZNA�E�NIE PRI �TIH USLOWIQH MOVET PRINIMATX OB��M PIRAMIDY�B� pODS�ITAJTE PLO�ADX OSNOWANIQ PIRAMIDY PRI USLOWII�TO GRANX ASB PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI OSNOWANIQ�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO �jx� �j � ��p��� x� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin�� cos x� � ����� rE�ITE URAWNENIE �x � ��x � �x � � � � � ��x � ����

�� rE�ITE URAWNENIE

� sin�������x�

����jx��j��� sin

������x�

����jx��j�������

�� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWOr�p� sin

�x

�� � sin�

�x

�� � � log ���

�x� a

��� x� �

IMEET ROWNO � RE�ENIQ�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD DLINY R�BER SA �� SB � � SC � SD � �� UGLY ASB I CSD RAWNY ���R�BRA AB I CD PARALLELXNY� A� kAKOE NAIBOLX�EE ZNA�E�NIE PRI �TIH USLOWIQH MOVET PRINIMATX OB��M PIRAMIDY�B� pODS�ITAJTE PLO�ADX OSNOWANIQ PIRAMIDY PRI USLOWII�TO GRANX ASB PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI OSNOWANIQ�

Page 48: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO ��� jx� �j�p�� x� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE cos�� sinx� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE �x � �x � �x � � � � � ����x �� �

����

�� rE�ITE URAWNENIE

� cos����x�������jx��j��� cos���x�������jx��j���� � ��

�� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWOr�sin

�x

�� cos

�x

��� � � log��

�� x

�x� a� �

IMEET ROWNO � RE�ENIQ�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD DLINY R�BER SA �� SB � �� SC � SD � �� UGLY ASB I CSD RAWNY ���R�BRA AB I CD PARALLELXNY� A� kAKOE NAIBOLX�EE ZNA�E�NIE PRI �TIH USLOWIQH MOVET PRINIMATX OB��M PIRAMIDY�B� pODS�ITAJTE PLO�ADX OSNOWANIQ PIRAMIDY PRI USLOWII�TO GRANX ASB PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI OSNOWANIQ�

wYEZDNOJ TUR� �

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWOjx� �j � jxjp

�� x�� ��

�� rE�ITE URAWNENIE � sinx� � sin� x� cos �x � ��

�� nAJDITE WSE ZNA�ENIQ x PRI KOTORYH �ISLA �px� �

�p�x� � WZQTYE W UKAZANNOM PORQDKE QWLQ�TSQ POSLEDO�

WATELXNYMI �LENAMI ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII�

��

Page 49: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� nAJDITE log�x�x� x� � �x� � �x�� ESLI � � �x� � �x� � ��

�� pRI KAVDOM POLOVITELXNOM ZNA�ENII PARAMETRA a NAJDI�TE �ISLO KORNEJ URAWNENIQ

��j�xj � ��� � jx� � aj�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD DLINY R�BER SA �� SB � � SC � SD � � UGLY ASB I CSD RAWNY ���R�BRA AB I CD PARALLELXNY� A� kAKOE NAIBOLX�EE ZNA�E�NIE PRI �TIH USLOWIQH MOVET PRINIMATX OB��M PIRAMIDY�B� pODS�ITAJTE PLO�ADX OSNOWANIQ PIRAMIDY PRI USLOWII�TO GRANX CSD PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI OSNOWANIQ�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWOjx� �j � jx� �jp

��� x�� ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin �x� � cos� �x� � � ��

�� nAJDITE WSE ZNA�ENIQ x PRI KOTORYH �ISLA �p��� �x

�p � x �� WZQTYE W UKAZANNOM PORQDKE QWLQ�TSQ POSLE�

DOWATELXNYMI �LENAMI ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII�

�� nAJDITE logx�x � �x� � x�� ESLI x� � �x� � � � ��

�� pRI KAVDOM POLOVITELXNOM ZNA�ENII PARAMETRA a NAJDI�

TE �ISLO KORNEJ URAWNENIQ

���������x���� �

���� � jx� � aj�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD DLINY R�BER SA �� SB � �� SC � SD � �� UGLY ASB I CSD RAWNY ���R�BRA AB I CD PARALLELXNY� A� kAKOE NAIBOLX�EE ZNA�E�NIE PRI �TIH USLOWIQH MOVET PRINIMATX OB��M PIRAMIDY�B� pODS�ITAJTE PLO�ADX OSNOWANIQ PIRAMIDY PRI USLOWII�TO GRANX ASB PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI OSNOWANIQ�

��

Page 50: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWOjx� �j � jx� �jp

�� x�� ��

�� rE�ITE URAWNENIE � cos� x� � cos x� � sin� x� � � ��

�� nAJDITE WSE ZNA�ENIQ x PRI KOTORYH �ISLApx� �� �p

x� � WZQTYE W UKAZANNOM PORQDKE QWLQ�TSQ POSLEDOWA�TELXNYMI �LENAMI ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII�

�� nAJDITE log�x��x � �x� � �x�� ESLI � � �x� �x� � ��

�� pRI KAVDOM POLOVITELXNOM ZNA�ENII PARAMETRA a NAJDI�

TE �ISLO KORNEJ URAWNENIQ

���������x���� �

���� � jx� � aj�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD DLINY R�BER SA �� SB � � SC � SD � �� UGLY ASB I CSD RAWNY ���R�BRA AB I CD PARALLELXNY� A� kAKOE NAIBOLX�EE ZNA�E�NIE PRI �TIH USLOWIQH MOVET PRINIMATX OB��M PIRAMIDY�B� pODS�ITAJTE PLO�ADX OSNOWANIQ PIRAMIDY PRI USLOWII�TO GRANX ASB PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI OSNOWANIQ�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWOjx� �j � jx� �jp

��� x�� ��

�� rE�ITE URAWNENIE sin x� �� � cos� �x � ��

�� nAJDITE WSE ZNA�ENIQ x PRI KOTORYH �ISLApx��

p�x��

�� WZQTYE W UKAZANNOM PORQDKE QWLQ�TSQ POSLEDOWATELX�NYMI �LENAMI ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII�

�� wY�ISLITE logx��x� �x� ���x�� ��x�� ESLI �� �x��x����x� � ��

��

Page 51: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� pRI KAVDOM POLOVITELXNOM ZNA�ENII PARAMETRA a NAJDI�TE �ISLO KORNEJ URAWNENIQ

��j�xj � ��� � jx� � aj�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD DLINY R�BER SA �� SB � �� SC � SD � �� UGLY ASB I CSD RAWNY ���R�BRA AB I CD PARALLELXNY� A� kAKOE NAIBOLX�EE ZNA�E�NIE PRI �TIH USLOWIQH MOVET PRINIMATX OB��M PIRAMIDY�B� pODS�ITAJTE PLO�ADX OSNOWANIQ PIRAMIDY PRI USLOWII�TO GRANX ASB PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI OSNOWANIQ�

wYEZDNOJ TUR� �

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIEp

�x� ��� � j�� �xj � �x� ��

�� rE�ITE NERAWENSTWOlog���

��� x� � �

x� � �x�� ��

�� sUMMA WTOROGO I PQTOGO �LENOW WOZRASTA��EJ CELO�ISLEN�NOJ ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII RAWNA �� A PROIZWEDENIEPERWOGO I TRETXEGO RAWNO ������ nAJDITE SUMMU WSEH POLO�VITELXNYH TR�HZNA�NYH �LENOW PROGRESSII�

�� w TREUGOLXNIKE ABC DLINY STORON AB � � I BC � ��

sINUS UGLA ACB RAWEN

p��

�� oKRUVNOSTX KASAETSQ STORO�

NY AC I PRODOLVENIJ STORON AB I BC W TO�KAH D I E�nAJDITE A� DLINU STORONY AC� B� DLINU OTREZKA DE�

�� a� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII y � ���sin x�

B� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO

���sin x � ��a� ���

��sin x � �a� � � �

WYPOLNQETSQ PRI WSEH x�

��

Page 52: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rADIUS OSNOWANIQ KONUSA RAWEN R� nAJDITE MAKSIMALXNU�PLO�ADX SE�ENIQ KONUSA PROHODQ�EGO �EREZ WER�INU KO�NUSA PRI WSEH ZNA�ENIQH OBRAZU��EJ l�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIEp

��x� ��� � jx� �j � �� x�

�� rE�ITE NERAWENSTWO�log���x� ��� ���

x� � �x� ��

�� nAJDITE SUMMU POLOVITELXNYH TR�HZNA�NYH �LENOW WOZ�RASTA��EJ CELO�ISLENNOJ ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII ES�LI IZWESTNO �TO SUMMA WTOROGO I UDWOENNOGO �ESTOGO �LE�NOW RAWNA � A PROIZWEDENIE TRETXEGO I PQTOGO RAWNO ������

�� w TREUGOLXNIKE PQR DLINY STORON PQ � �� I QR � ��sINUS UGLA QRP RAWEN

p���� oKRUVNOSTX KASAETSQ STO�

RONY PR I PRODOLVENIJ STORON PQ I QR W TO�KAHM I N �nAJDITE A� DLINU STORONY PR� B� DLINU OTREZKA MN �

�� A� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII y ����

���cosx�

B� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO

���

���cosx� ��a� ��

���

���cos x � a � �

WYPOLNQETSQ PRI WSEH x�

�� oBRAZU��AQ KONUSA RAWNA l� nAJDITE PLO�ADX MAKSIMALX�NOGO SE�ENIQ KONUSA PROHODQ�EGO �EREZ WER�INU PRI KAV�DOM ZNA�ENII � UGLA NAKLONA OBRAZU��EJ K PLOSKOSTI OS�NOWANIQ�

��

Page 53: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE j�x� �j �p��� x�� � ��� �x�

�� rE�ITE NERAWENSTWOlog���

��� x� � �

x� � �x� � x� ��

�� sUMMA WTOROGO I UDWOENNOGO �ETW�RTOGO �LENOW WOZRASTA���EJ CELO�ISLENNOJ ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII RAWNA � APROIZWEDENIE TRETXEGO I �ESTOGO �LENOW RAWNO ��� �� nAJ�DITE SUMMU WSEH POLOVITELXNYH TR�HZNA�NYH �LENOW PRO�GRESSII�

�� w TREUGOLXNIKE ABC DLINY STORON AB � �� I BC � ��sINUS UGLA ACB RAWEN �

p���� oKRUVNOSTX KASAETSQ STO�

RONY AC I PRODOLVENIJ STORON AB I BC W TO�KAHM I N �nAJDITE A� DLINU STORONY AC� B� DLINU OTREZKA MN �

�� a� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII y � ���sin x�

B� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO

���sinx � ��a� ���

��sinx � �a� �� � �

WYPOLNQETSQ PRI WSEH x�

�� oBRAZU��AQ KONUSA RAWNA l� nAJDITE MAKSIMALXNU� PLO��ADX SE�ENIQ KONUSA PROHODQ�EGO �EREZ WER�INU KONUSAPRI KAVDOM ZNA�ENII R RADIUSA OSNOWANIQ KONUSA�

wARIANT � �

�� rE�ITE URAWNENIE j�� xj�p

��� �x�� � �x� ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO�log���� �x�� ���

x� � x� �� ��

��

Page 54: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rAZNOSTX MEVDU SEDXMYM I UTROENNYM �ETW�RTYM �LENOMWOZRASTA��EJ CELO�ISLENNOJ ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSIIRAWNA A PROIZWEDENIE WTOROGO I PQTOGO �LENOW RAW�NO ������ nAJDITE SUMMU WSEH POLOVITELXNYH TR�HZNA��NYH �LENOW PROGRESSII�

�� w TREUGOLXNIKE PQR DLINY STORON PQ � �� I QR � ��sINUS UGLA PRQ RAWEN �

p��� oKRUVNOSTX KASAETSQ STO�

RONY PR I PRODOLVENIJ STORON PQ I QR W TO�KAHM I N �nAJDITE A� DLINU STORONY PR� B� DLINU OTREZKA MN �

�� A� nAJDITE OBLASTX ZNA�ENIJ FUNKCII y ����

���cosx�

B� pRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO

���

���cos x� ���� a�

���

���cosx� a� � � �

WYPOLNQETSQ PRI WSEH x�

�� rADIUS OSNOWANIQ KONUSA RAWEN R� nAJDITE MAKSIMALXNU�PLO�ADX SE�ENIQ KONUSA PROHODQ�EGO �EREZ WER�INU KO�NUSA PRI WSEH ZNA�ENIQH � UGLA KOTORYJ OBRAZUET OBRAZU���AQ S OSX� KONUSA�

wYEZDNOJ TUR� �

wARIANT � �

�� rE�ITE SISTEMU

��x� � ��x � � � ��

jx� yj� j�x� yj � �x�

�� rE�ITE NERAWENSTWO log���x� � �� � ���

��

Page 55: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rE�ITE URAWNENIE

���� sin� �x� sin �x�cos� �x�

�p�x� �� � �x�px� �� � x�

��x�

� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � ��� IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� tO�KA D � SEREDINA STORONY AC TREUGOLXNIKA ABC� tO��KA E RASPOLOVENA NA PRQMOJ AB TAK �TO AE BE � � ��pRQMAQ CE PERESEKAET PRQMU� BD W TO�KE O� pLO�ADXTREUGOLXNIKA BCO RAWNA ��� nAJDITE PLO�ADX TREUGOLX�NIKA ABC�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD ��ETYR�HUGOLXNIKOSNOWANIQ ABCD WYPUKLYJ� BOKOWYE R�BRA SA SB I SCPOPARNO PERPENDIKULQRNY I IME�T DLINU �� dLINA REBRASD RAWNA �� nAJDITE A� UGOL NAKLONA REBRA SD K PLOSKOS�TI OSNOWANIQ� B� NAIBOLX�EE WOZMOVNOE PRI �TIH USLOWIQHZNA�ENIE OB��MA PIRAMIDY SABCD�

wARIANT � �

�� rE�ITE SISTEMU��x� � �x� �� � ��

jx� yj� j�x� �yj � ��x�

�� rE�ITE NERAWENSTWO log ����x� � �� � �����

�� rE�ITE URAWNENIE

�� � cos �x� � cos� �x� � sin �x�

�p�x� ��� �x�px� �� x�

� �x�

� ��

��

Page 56: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � ��� � IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

�� tO�KA D � SEREDINA STORONY AC TREUGOLXNIKA ABC� tO��KA E RASPOLOVENA NA PRQMOJ AB TAK �TO AE BE � � ��pRQMAQ CE PERESEKAET PRQMU� BD W TO�KE O� pLO�ADXTREUGOLXNIKA BCO RAWNA ��� nAJDITE PLO�ADX TREUGOLX�NIKA ABC�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD ��ETYR�HUGOLXNIKOSNOWANIQ ABCD WYPUKLYJ� BOKOWYE R�BRA SA SB I SCPOPARNO PERPENDIKULQRNY I IME�T DLINU �� oB��M PIRA�MIDY SABCD RAWEN �� nAJDITE A� PLO�ADX TREUGOLX�NIKA ACD� B� NAIMENX�EE WOZMOVNOE PRI �TIH USLOWIQHZNA�ENIE DLINY REBRA SD�

wARIANT � �

�� rE�ITE SISTEMU��x� � x� �� � ��

jy � xj� j�y � xj � �x� ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO log ����x� � �� � ���

�� rE�ITE URAWNENIE

�cos �x�cos� �x�� sin �x���

�p��x������x�p

�x���x� ����

�x�� ��

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������x� a

���� � �� � IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

��

Page 57: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� tO�KA D � SEREDINA STORONY AC TREUGOLXNIKA ABC� tO��KA E RASPOLOVENA NA PRQMOJ AB TAK �TO AE BE � ��pRQMAQ CE PERESEKAET PRQMU� BD W TO�KE O� pLO�ADXTREUGOLXNIKA BCO RAWNA ��� nAJDITE PLO�ADX TREUGOLX�NIKA ABC�

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD ��ETYR�HUGOLXNIKOSNOWANIQ ABCD WYPUKLYJ� BOKOWYE R�BRA SA SB I SCPOPARNO PERPENDIKULQRNY I IME�T DLINU �� uGOL �ADCRAWEN ����� nAJDITE A� UGOL NAKLONA REBRA SD K PLOSKOS�TI OSNOWANIQ� B� NAIBOLX�EE WOZMOVNOE PRI �TIH USLOWIQHZNA�ENIE OB��MA PIRAMIDY SABCD�

wARIANT � �

�� rE�ITE SISTEMU��y� � x� �� � ��

jy � xj� j�y � xj � ��y � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO log ���x� � �� � �����

�� rE�ITE URAWNENIE

�sin �x�sin� �x�cos �x���

�p������x���x�p

���x�x� ����

�x�� ��

�� tO�KA D � SEREDINA STORONY AC TREUGOLXNIKA ABC� tO��KA E RASPOLOVENA NA PRQMOJ AB TAK �TO AE BE � � ��pRQMAQ CE PERESEKAET PRQMU� BD W TO�KE O� pLO�ADXTREUGOLXNIKA BCO RAWNA �� nAJDITE PLO�ADX TREUGOLX�NIKA ABC�

�� oPREDELITE PRI KAKIH ZNA�ENIQH PARAMETRA a NERAWENSTWO��������� a

���� � ����� IMEET ROWNO � CELO�ISLENNYH RE�ENIQ�

Page 58: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� w �ETYR�HUGOLXNOJ PIRAMIDE SABCD ��ETYR�HUGOLXNIKOSNOWANIQ ABCD WYPUKLYJ� BOKOWYE R�BRA SA SB I SCPOPARNO PERPENDIKULQRNY I IME�T DLINU �� oB��M PIRA�MIDY SACD RAWEN ���� nAJDITE A� PLO�ADX OSNOWANIQ PI�RAMIDY ABCD� B� NAIMENX�EE WOZMOVNOE PRI �TIH USLO�WIQH ZNA�ENIE SUMMY DLIN BOKOWYH R�BER SABCD�

�KZAMEN NA PLATNOE OTDELENIE

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO ��� � �x�� ��� � x�

�� x� �

�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�x� y � ��

jx� �yj � ��

�� rE�ITE URAWNENIE cos �x� sinx � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO �x� ����x � �

�� ��

�� kATET AB PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA ABC RAWEN �� AGIPOTENUZA AC RAWNA ��� nAJDITE A� tg�BAC� B� RADIUSWPISANNOJ W TREUGOLXNIK ABC OKRUVNOSTI�

�� wELOTRENAV�R W SPORTIWNOM MAGAZINE STOIL �� TYS� RUB�LEJ A W SUPERMARKETE TAKOJ VE TRENAV�R� �� TYS� RUBLEJ�pOSLE WYHODNYH CENY NA WSE TOWARY W SPORTIWNOM MAGAZI�NE WOZROSLI NA ��� A W SUPERMARKETE CENY NA TRENAV�RYPONIZILISX NA x�� pRI KAKOM ZNA�ENII x CENY OKAVUTSQRAWNYMI�

��

Page 59: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO ��x� � �

x� �

�� ���x� �� � ����

�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�x� y � ��

j�x� yj � ���

�� rE�ITE URAWNENIE cos �x� cos x � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO �x� ����x � �

�� ��

�� kATETY AB I BC PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA ABC RAW�NY �� I � SOOTWETSTWENNO� nAJDITE A� sin�BAC� B� RADIUSWPISANNOJ W TREUGOLXNIK ABC OKRUVNOSTI�

�� sTOIMOSTX PROEZDA IZ GORODA A W GOROD B NA POEZDE ���� RUBLEJ A NA AWTOBUSE � ��� RUBLEJ� pOSLE PRAZDNIKOWCENY NA BILETY NA VELEZNODOROVNYJ TRANSPORT UMENX�I�LISX NA ��� A NA AWTOTRANSPORT � POWYSILISX NA x��pRI KAKOM ZNA�ENII x CENY OKAVUTSQ RAWNYMI�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO ���x� ��� �x� � �

x� �� ���

�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�x� y � ���j�x� �yj � ���

�� rE�ITE URAWNENIE cos �x� cos x � ��

��

Page 60: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rE�ITE NERAWENSTWO �x� ���� x � �

�� ��

�� kATET AB PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA ABC RAWEN �� AGIPOTENUZA AC RAWNA ��� nAJDITE A� tg�BAC� B� RADIUSWPISANNOJ W TREUGOLXNIK ABC OKRUVNOSTI�

�� wELOTRENAV�R W SPORTIWNOM MAGAZINE STOIL �� TYS� RUB�LEJ A W SUPERMARKETE TAKOJ VE TRENAV�R� �� TYS� RUBLEJ�pOSLE WYHODNYH CENY NA WSE TOWARY W SPORTIWNOM MAGAZI�NE PONIZILI NA ��� A W SUPERMARKETE CENY NA TRENAV�RYPONIZILI NA x�� pRI KAKOM ZNA�ENII x CENY OKAVUTSQRAWNYMI�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO ��x� � �

x� �

�� ���x � �� � ���

�� rE�ITE SISTEMU URAWNENIJ�y � x � ��

j�x� �yj � ��

�� rE�ITE URAWNENIE cos �x� sinx � ��

�� rE�ITE NERAWENSTWO �x� ����x � �� � ��

�� kATETY AB I BC PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA ABC RAW�NY �� I SOOTWETSTWENNO� nAJDITE A� sin�BAC� B� RADIUSWPISANNOJ W TREUGOLXNIK ABC OKRUVNOSTI�

�� sTOIMOSTX PROEZDA IZ GORODA A W GOROD B NA POEZDE ���� RUBLEJ A NA AWTOBUSE � ��� RUBLEJ� pOSLE PRAZDNIKOWCENY NA BILETY NA VELEZNODOROVNYJ TRANSPORT UMENX�I�LISX NA ��� A NA AWTOTRANSPORT � POWYSILISX NA x��pRI KAKOM ZNA�ENII x CENY OKAVUTSQ RAWNYMI�

��

Page 61: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wSTUPITELXNYJ �KZAMEN W LICEI PRI mifi �� KLASS�

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO

�x� � �

�x� �� ��x� � �� � �

�� �x�

� � �x� ��

�� rE�ITE URAWNENIE

��x� � y � ��� � jxy � �x� �j � ��

�� nAJDITE ZNA�ENIE FUNKCII f�x� � �x� � �x � � W TO�KE

x� ����p

��

��

�� dWA AWTOMOBILQ WYEZVA�T ODNOWREMENNO IZ DWUH GORODOWNAWSTRE�U DRUG DRUGU I WSTRE�A�TSQ �EREZ � � ��MIN� rAS�STOQNIE MEVDU GORODAMI ��� KM� iZWESTNO �TO �� KM WTOROJPROEZVAET NA ��MIN BYSTREE PERWOGO� nAJDITE SKOROSTXPERWOGO AWTOMOBILQ�

�� A� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ f�x� � jx � �j I g�x� �

��

�x�K PRI K � ��

B� pRI KAKOM ZNA�ENII PARAMETRA K PLO�ADX FIGURYOGRANI�ENNOJ GRAFIKAMI FUNKCIJ y � f�x� I y � g�x�RAWNA � �

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO

x� � �

�� x� ���� x�� �

�� ��x�

� � �x� � � ��

��

Page 62: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rE�ITE URAWNENIE

��x� � �y � ��� � jxy � �x� �j � ��

�� nAJDITE ZNA�ENIE FUNKCII f�x� � �x� � �x � � W TO�KE

x� ���p

��

��

�� dWA AWTOMOBILQ WYEZVA�T ODNOWREMENNO IZ DWUH GORODOWNAWSTRE�U DRUG DRUGU I WSTRE�A�TSQ �EREZ � � ��MIN� rAS�STOQNIE MEVDU GORODAMI ��� KM� iZWESTNO �TO �� KM WTOROJPROEZVAET NA ��MIN BYSTREE PERWOGO� nAJDITE SKOROSTXWTOROGO AWTOMOBILQ�

�� A� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ f�x� � jx � �j I g�x� �

��

�x�K PRI K � ��

B� pRI KAKOM ZNA�ENII PARAMETRA K PLO�ADX FIGURYOGRANI�ENNOJ GRAFIKAMI FUNKCIJ y � f�x� I y � g�x�RAWNA ��

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO

�x� � �

�x� �� ��x� � �

�� �x� ��x� � �� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE

��x� �y � ��� � jxy � �x� �j � ��

�� nAJDITE ZNA�ENIE FUNKCII f�x� � �x� � �x � � W TO�KE

x� ��� �p

��

��

��

Page 63: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� dWA AWTOMOBILQ WYEZVA�T ODNOWREMENNO IZ DWUH GORODOWNAWSTRE�U DRUG DRUGU I WSTRE�A�TSQ �EREZ � � ��MIN� rAS�STOQNIE MEVDU GORODAMI ��� KM� iZWESTNO �TO �� KM WTO�ROJ PROEZVAET NA �MIN BYSTREE PERWOGO� nAJDITE SKOROSTXPERWOGO AWTOMOBILQ�

�� A� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ f�x� � jx � �j I g�x� �

� ��

�x�K PRI K � ��

B� pRI KAKOM ZNA�ENII PARAMETRA K PLO�ADX FIGURYOGRANI�ENNOJ GRAFIKAMI FUNKCIJ y � f�x� I y � g�x�RAWNA ��

wARIANT � �

�� rE�ITE NERAWENSTWO

��x� � �

�x� ��

�x� � ��

�x� �� ���x� � �� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE

��x� y � ��� � j�xy � �y � �j � ��

�� nAJDITE ZNA�ENIE FUNKCII f�x� � �x� � �x � � W TO�KE

x� ����p

��

�� dWA AWTOMOBILQ WYEZVA�T ODNOWREMENNO IZ DWUH GORODOWNAWSTRE�U DRUG DRUGU I WSTRE�A�TSQ �EREZ � � ��MIN� rAS�STOQNIE MEVDU GORODAMI ��� KM� iZWESTNO �TO �� KM PER�WYJ PROEZVAET NA ��MIN BYSTREE WTOROGO� nAJDITE SKO�ROSTX WTOROGO AWTOMOBILQ�

�� A� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ f�x� � jx � �j I g�x� �

� ��

�x�K PRI K � ��

��

Page 64: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

B� pRI KAKOM ZNA�ENII PARAMETRA K PLO�ADX FIGURYOGRANI�ENNOJ GRAFIKAMI FUNKCIJ y � f�x� I y � g�x�RAWNA ���

wSTUPITELXNYJ �KZAMEN W LICEI PRI mifi �� KLASS�

wARIANT � �

�� rE�ITE A� NERAWENSTWO �x� ��x� �� � ��

���x� ���

B� SISTEMU ��x� ��x� �� � �

���x� ���

x� ��� x� � ��

�� rE�ITE URAWNENIE

�x� � �x� �� ��x� � �� � ��� �x�

� � �x� ��

�� nAJDITE ZNA�ENIE FUNKCII f�x� � �x� � �x � � W TO�KE

x� ����p

��

��

�� nAJDITE DWUZNA�NOE NATURALXNOE �ISLO ESLI IZWESTNO �TORAZNOSTX MEVDU SAMIM �ISLOM I UPQTER�NNOJ SUMMOJ CIFRRAWNA � A PRI DELENII PROIZWEDENIQ CIFR NA IH SUMMU W�ASTNOM POLU�AETSQ � I W OSTATKE ���

�� A� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ f�x� � jx � �j I g�x� �

��

�x�K PRI K � ��

B� pRI KAKOM ZNA�ENII PARAMETRA K PLO�ADX FIGURYOGRANI�ENNOJ GRAFIKAMI FUNKCIJ y � f�x� I y � g�x�RAWNA � �

��

Page 65: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

wARIANT � �

�� rE�ITE A� NERAWENSTWO ��x� �� � �� ��x� ���B� SISTEMU �

��x� �� � �� ��x� ���

�x� x� � � � ��

�� rE�ITE URAWNENIE

��x� � �x� ��� ���� x�� ��� ��x�

� � �x� ��

�� nAJDITE ZNA�ENIE FUNKCII f�x� � �x� � �x � � W TO�KE

x� ���p

��

��

�� nAJDITE DWUZNA�NOE NATURALXNOE �ISLO ESLI IZWESTNO �TORAZNOSTX MEVDU SAMIM �ISLOM I UTROENNOJ SUMMOJ CIFRRAWNA A PRI DELENII PROIZWEDENIQ CIFR NA IH SUMMU W�ASTNOM POLU�AETSQ � I W OSTATKE ��

�� A� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ f�x� � jx � �j I g�x� �

��

�x�K PRI K � ��

B� pRI KAKOM ZNA�ENII PARAMETRA K PLO�ADX FIGURYOGRANI�ENNOJ GRAFIKAMI FUNKCIJ y � f�x� I y � g�x�RAWNA ��

wARIANT � �

�� rE�ITE A� NERAWENSTWO �� ��x� �� � �� �x� ���B� SISTEMU �

�� ��x� �� � �� �x� ���

x� x� � � � ��

��

Page 66: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� rE�ITE URAWNENIE

�x� � �x� �� ��x� � �

�� �x� ��x� � ��� � ��

�� nAJDITE ZNA�ENIE FUNKCII f�x� � �x� � �x � � W TO�KE

x� ��� �p

��

��

�� nAJDITE DWUZNA�NOE NATURALXNOE �ISLO ESLI IZWESTNO�TO RAZNOSTX MEVDU SAMIM �ISLOM I U�ETWER�NNOJ SUMMOJCIFR RAWNA � A PRI DELENII PROIZWEDENIQ CIFR NA IH SUM�MU W �ASTNOM POLU�AETSQ � I W OSTATKE ��

�� A� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ f�x� � jx � �j I g�x� �

� ��

�x�K PRI K � ��

B� pRI KAKOM ZNA�ENII PARAMETRA K PLO�ADX FIGURYOGRANI�ENNOJ GRAFIKAMI FUNKCIJ y � f�x� I y � g�x�RAWNA ��

wARIANT � �

�� rE�ITE A� NERAWENSTWO ��x� �� � ��

���x� ���

B� SISTEMU ���x� �� � �

���x� ���

��� x� � �x � ��

�� rE�ITE URAWNENIE

��x� � �x� �� �x� � ��

�x� �� ���x� � �� � ��

�� nAJDITE ZNA�ENIE FUNKCII f�x� � �x� � �x � � W TO�KE

x� ����p

��

��

Page 67: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

�� nAJDITE DWUZNA�NOE NATURALXNOE �ISLO ESLI IZWESTNO �TORAZNOSTX MEVDU SAMIM �ISLOM I UPQTER�NNOJ SUMMOJ CIFRRAWNA � A PRI DELENII PROIZWEDENIQ CIFR NA IH SUMMU W�ASTNOM POLU�AETSQ � I W OSTATKE ��

�� A� pOSTROJTE GRAFIKI FUNKCIJ f�x� � jx � �j I g�x� �

� ��

�x�K PRI K � ��

B� pRI KAKOM ZNA�ENII PARAMETRA K PLO�ADX FIGURYOGRANI�ENNOJ GRAFIKAMI FUNKCIJ y � f�x� I y � g�x�RAWNA ���

Page 68: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

sODERVANIE

fIZIKO�MATEMATI�ESKAQ OLIMPIADA PAMQTI i�w�sAWELXEWA�� KLASS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� KLASS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� KLASS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� KLASS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KLASS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

pREDWARITELXNYJ TUR W FORME eg � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

pREDWARITELXNYJ TUR W FORME eg � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

pREDWARITELXNYJ TUR W FORME eg � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

pREDWARITELXNYJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

zAKL��ITELXNYJ TUR OLIMPIADY �rOSATOMA� � � � � � � � � � � � � � ���

zAKL��ITELXNYJ TUR OLIMPIADY �rOSATOMA� � � � � � � � � � � � � � ���

wYEZDNOJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

wYEZDNOJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

wYEZDNOJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

wYEZDNOJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

wYEZDNOJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

wYEZDNOJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

wYEZDNOJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

wYEZDNOJ TUR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

KZAMEN NA PLATNOE OTDELENIE � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

wSTUPITELXNYJ �KZAMEN W LICEI PRI mifi� KLASS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� KLASS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Page 69: fIZIKO - Сетевая школа НИЯУ МИФИAD RAWNY SOOTWET STWENN EREZ WERINY B D I C PRO WE ENA PL OSK OSTX OT SEKAA Q PARALL EL EPIP E DA PIRAMIDU OBM O M p nAJDIT EPL

zadaniq otraslewoj fiziko�matemati�eskojolimpiady kolxnikow �rosatom�

po matematike� ���� G�

kORREKTOR e�e�UMAKOWAoRIGINAL�MAKET IZGOTOWLEN d�s�tELQKOWSKIM

pODPISANO W PE�ATX ����������� fORMAT ����� ���pE�� L� ��� u���IZD� L� ��� tIRAV ��� �KZ�

iZD� � ������ zAKAZ �

nACIONALXNYJ ISSLEDOWATELXSKIJ QDERNYJ UNIWERSITET�mifi� ������ mOSKWA kA�IRSKOE �� D� ���

tIPOGRAFIQ mifi