fizikai szemle

2010/12

jég

por

vízpára

szén-dioxid

Fizikai SzemleMAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

megjelenését anyagilag támogatják: Nemzeti Kulturalis Alap Nemzeti Civil Alapprogram

ÁNYM OO SD •U AT K• AR DA ÉY MG

IA A

M ••

18 52A FIZIKA BARÁTAI

T. Áalai: Áverhnovxe zvezdx kak iátoöniki pxli v koámoáe

F. Vojnaroviö: Dvióenie pruóinx koneönoj maááx? û I.

A. Tõl, T. Tõl: Beznadéónoj kaóuwaüáy problema upravleniü na grane meódu

klaááiöeákoj i áovremennoj fizik

OBUÖENIE FIZIKE

L. Videmann: Analiz demonátracionnxh õkáperimentov po fizike v árednih skolah

P. Balo: Áad fizika ili óe novxj podhod k obuöeniú mehaniki

PROIÁHODÍWIE ÁOBXTIÍ

Antal Somodi, 1920û2010 (G. Õrdés, K. Keökemeti, P. Kiraj)

Tibor Toro, 1931û2010 (I. Deói)

J. Nemet: Tibor Toro

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulathavonta megjelenô folyóirata.

Támogatók: A Magyar TudományosAkadémia Fizikai Tudományok Osztálya,

a Nemzeti Erôforrás Minisztérium,a Magyar Biofizikai Társaság,a Magyar Nukleáris Társaság

és a Magyar Fizikushallgatók Egyesülete

Fôszerkesztô:

Szatmáry Zoltán

Szerkesztôbizottság:

Bencze Gyula, Czitrovszky Aladár,Faigel Gyula, Gyulai József,

Horváth Gábor, Horváth Dezsô,Iglói Ferenc, Kiss Ádám, Lendvai János,Németh Judit, Ormos Pál, Papp Katalin,

Simon Péter, Sükösd Csaba,Szabados László, Szabó Gábor,

Trócsányi Zoltán, Turiné Frank Zsuzsa,Ujvári Sándor

Szerkesztô:

Füstöss László

Mûszaki szerkesztô:

Kármán Tamás

A folyóirat e-mail címe:

szerkesztok@fizikaiszemle.huA lapba szánt írásokat erre a címre kérjük.

A folyóirat honlapja:

http://www.fizikaiszemle.hu

A címlapon:

Az EPOXI szonda 700 km távolságbólkészített felvétele a Hartley 2-üstökös

magjáról. A 2010. november 4-énkészült képen meglepetésre a Nap által

nem melegített oldalon is láthatókporkilövellések. A mindössze 2 kmhosszú és 0,5 km vastag Hartley 2

az eddigi legkisebb üstökös, amelyetûrszondával közelrôl vizsgáltak.

(NASA/JPL–Caltech)

TARTALOM

Szalai Tamás: Porgyártó(?) szupernóvák 399

Woynarovich Ferenc: Hogyan is mozog egy tömeges rugó? – I. 404

Tél András, Tél Tamás: Egy reménytelennek tûnô vezérlési probléma

a klasszikus és modern fizika határán 409

A FIZIKA TANÍTÁSAWiedemann László: Középiskolai demonstrációs kísérletek elemzése 416

Baló Péter: A fizikus kertje, avagy a mechanika tanításának

egy új megközelítése 423

Az Országos Szilárd Leó Fizikaverseny meghirdetése

a 2010/2011. tanévre 425

HÍREK – ESEMÉNYEKSomogyi Antal, 1920–2010 (Erdôs Géza, Kecskeméty Károly, Király Péter) 427

Toró Tibor, 1931–2010 (Dézsi István) 428

Németh Judit: Búcsú Toró Tibortól 429

T. Szalai: Supernova stars as sources of cosmic dust

F. Woynarovich: What kind of motion will a spring of finite mass display? – I.

A. Tél, T. Tél: A seemingly hopeless problem of control at the border

between classical and modern physics

TEACHING PHYSICSL. Wiedemann: Analysis of secondary school physics demonstration experiments

P. Baló: The physicist’s garden – a new way of teaching mechanics

EVENTSAntal Somogyi, 1920–2010 (G. Erdôs, K. Kecskeméty, P. Király )

Tibor Toró, 1931–2010 (I. Dézsi )

J. Németh: Tibor Toró

T. Szalai: Supernova-Sterne als Staubquellen im Weltall

F. Woynarovich: Wie eigentlich bewegt sich eine Feder endlichen Masse? – I.

A. Tél, T. Tél: Ein hoffnunglos erscheinendes Problem der Steuerung an der Grenze

zwischen klassischer und moderner Physik

PHYSIKUNTERRICHTL. Wiedemann: Eine Analyse von Demonstrationsexperimenten der Mittelschulphysik

P. Baló: Der Garten des Physikers – eine neue Art, Mechanik zu lehren

EREIGNISSEAntal Somogyi, 1920–2010 (G. Erdôs, K. Kecskeméty, P. Király )

Tibor Toró, 1931–2010 (I. Dézsi )

J. Németh: Tibor Toró

Fiz ikai SzemleMAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

A Mathematikai és Természettudományi Értesítõt az Akadémia 1882-ben indította

A Mathematikai és Physikai Lapokat Eötvös Loránd 1891-ben alapította

LX. évfolyam 12. szám 2010. december

PORGYÁRTÓ(?) SZUPERNÓVÁK SZTE Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék

A kutatásokat az OTKA 76816 sz. pályázata támogatta.

Szalai Tamás

Régóta közismert, hogy a szupernóva-robbanásokalapvetô szerepet játszanak a kozmikus nukleoszinté-zisben és a csillagfejlôdésben; emellett a nagyenergiá-jú fizikai folyamatok ûrbeli „laboratóriumaiként” ésa kozmikus távolságmérés alappilléreiként is nagyfo-kú tudományos érdeklôdésre tartanak számot [1, 2].Ennek megfelelôen a csillagrobbanások napjainkasztrofizikájának kiemelt fontossággal vizsgált jelen-ségei közé tartoznak – ezzel együtt számos tulajdon-ságukat továbbra is homály fedi.

Bevezetés

Jelenlegi tudásunk szerint a szupernóvák két fô kate-góriába sorolhatóak. Az egyik esetben (Ia típus) egykettôs rendszerben lévô – a társobjektumtól valóanyagelszívás miatt a Chandrasekhar-féle kritikustömeghatárt átlépô – fehér törpecsillag termonukleá-ris robbanását látjuk, míg a másik esetben egy nagytömegû (a Napénál legalább nyolcszor nagyobb kez-deti tömegû) csillag magjának gravitációs összeomlá-sa (kollapszusa) a végsô robbanás kiváltó oka – utób-biakat összefoglaló néven kollapszár szupernóvák -nak is nevezzük (színképi besorolásuk Ib, Ic vagy II,lásd [1, 2]). Bár úgy tûnik, hogy az alapvetô informá-ciók a birtokunkban vannak, rengeteg még a tisztá-zandó részlet; például, hogy van-e átmenet az egyeskollapszár-kategóriák között, vagy hogy léteznek-e aleírtaktól eltérô módon – például fehér törpék össze-olvadása révén – bekövetkezô robbanások.

A fentebb vázolt kérdések mellett hosszú ideje tarta vita arról, hogy vajon a számos asztrofizikai folya-matban (a molekulaképzôdésben, a fény-anyag köl-csönhatásokban vagy a bolygókeletkezésben) fontostényezônek számító csillagközi porszemcsék kialaku-lásában is szerepet játszanak-e a szupernóvák, és haigen, mekkora mértékben.

Porból lettünk, porrá leszünk…De honnan lett a por?

A csillagközi térben lévô por (amelyet jellemzôennéhány tized és néhány mikrométer közötti átmérôjû,szilikátokból, amorf szénbôl, grafitból, illetve fém-oxidokból álló szemcsék alkotnak) mennyisége azintersztelláris anyagnak nem elhanyagolható része(mintegy 1 százaléka), kialakulása azonban külsôhatás nélkül nem megy végbe. A szûkebb kozmikuskörnyezetünkben végzett megfigyelések alapján acsillagközi porszemcsék elsôdleges forrásai a Na-punkhoz hasonló, kis tömegû csillagok késôi fejlôdésiszakaszában, a Hertzsprung–Russell-diagramon azaszimptotikus óriáságnak (asymptotic giant branch,AGB) megfelelô állapotban lévô égitestek. Ezekben acsillagokban rendkívül intenzívek a konvekciós folya-matok, amelyek révén a fúziós reakciók során kiala-kult szén- és oxigénatomok egy része a csillaglégkör-be, onnan pedig – az atmoszféra nagy kiterjedésemiatt fellépô, folyamatos anyagkiáramlás révén – acsillag körüli térbe kerül, ahol a megfelelôen alacsony(legfeljebb 2500 K) hômérsékleten megtörténhet aszemcseképzôdés. Egyedüli, jelentôs porforrásokkéntbetöltött szerepük mindazonáltal erôsen kérdéses.Számos megfigyelés utal arra, hogy már a fiatal, né-hány százmillió éves galaxisok portartalma is jelentôs,ami viszont nehezen kapcsolható az AGB-csillagok-hoz; ezen állapot eléréséhez ugyanis a kis tömegûcsillagoknak legalább egymilliárd évre van szüksé-gük.

Eszerint tehát további forrásoknak is létezniük kell,amelyek közül jelenleg a kollapszár szupernóvák tûn-nek a legígéretesebb jelölteknek. A csillagrobbanásokés a porképzôdés lehetséges kapcsolata – a szupernó-vák sugárzásában kimutatott infravörös sugárzásitöbblet magyarázataként – már évtizedekkel ezelôttfelvetôdött. A korai hipotéziseket késôbb saját Nap-rendszerünkön belüli bizonyítékokkal sikerült alátá-

SZALAI TAMÁS: PORGYÁRTÓ(?) SZUPERNÓVÁK 399

masztani: egyes meteoritokban talált anomális izotóp-

1. ábra. Az NGC 2403 jelû spirálgalaxisban feltûnt SN 2004dj szu-pernóva a Hubble-ûrtávcsô felvételén.

arányok arra engedtek következtetni, hogy a bolygó-közi tér porszemcséinek egy része jóval Naprendsze-rünk keletkezése elôtt, szupernóva-robbanások kör-nyezetében jött létre. A kollapszár szupernóvakéntfelrobbanó, nagy tömegû csillagok átlagos élettartamajóval rövidebb (1–100 millió év), mint kisebb tömegûtársaiké, így ezek a csillagrobbanások jelentôs szere-pet tölthettek be a korai Univerzum (és talán a késôb-bi idôszakok) porképzôdési folyamataiban. Vannakugyan más lehetôségek is a távoli galaxisok megle-pôen nagy portartalmának magyarázatára (például azúgynevezett aktív galaxismagok centrumaiban lévô,több milliárd naptömegû fekete lyukak környezetébôlkiáramló anyagban bekövetkezô szemcseképzôdés),de több esetben egyedül a szupernóvák feltételezettportermelési rátája tûnik elegendônek a megfigyelé-sekbôl interpretált pormennyiség magyarázatára.

Szupernóvák és porképzôdés

A legnagyobb probléma ugyanakkor éppen a szuper-nóvák környezetében becsült, illetve kimutatott pormennyiségével kapcsolatos. A különbözô elméletitanulmányok egységesen 0,1–1 naptömegnyi, frissenkeletkezô port jósolnak, ami – figyelembe véve azegyes galaxisokban felrobbanó szupernóvák becsültszámát – nagyjából fedezi a távoli galaxisok feltétele-zett pormennyiségét. Az újabb modellek esetében aztis figyelembe vették, hogy a kondenzálódó porszem-csék mekkora része marad meg, illetve szublimálódika robbanást követôen terjedô lökéshullámfrontok és acsillag körüli anyag kölcsönhatásai következtében.

A robbanás utáni porképzôdés elsô megfigyelésibizonyítékai a Nagy Magellán-felhôben felfénylett,híres SN 1987A szupernóvához köthetôek:

• az optikai színképvonalak fluxusának csökkené-se a robbanást követô 500. nap környékén;

• a középinfravörös tartományban mért fluxusérté-kek ezzel egyidejûleg bekövetkezô növekedése;

• az optikai emissziós vonalak növekvô kékeltoló-dása, illetve aszimmetrikussá válása (a színképvona-lak vörös oldali, a maradvány tôlünk távolodó részé-bôl származó komponense az újonnan képzôdô por-szemcsék általi abszorpciója, illetve szórása következ-tében gyengül).

Az utóbbi effektust késôbb két másik szupernóvaesetében is megfigyelték, de a valódi elôrelépést aSpitzer-ûrtávcsô 2003-as felbocsátása hozta meg. Azinfravörösben észlelô elsô, viszonylag jó felbontású ésnagy érzékenységû ûreszköz segítségével több szu-pernóva környezetében sikerült többletsugárzást de-tektálni a középinfravörös tartományban, ami legegy-értelmûbben porszemcsék hômérsékleti sugárzásávalmagyarázható. A meglepetést az okozta, hogy – akár-csak az SN 1987A esetében – a mért fluxusokból szá-molható portömegek több nagyságrenddel alacso-nyabbnak (~ 10−4–10−5 naptömeg) adódtak az elméle-tileg vártnál.

A friss portömeg becslésénél további bizonytalan-sági tényezô, hogy a felrobbanó csillagok környezeté-ben elvileg nem csak a közvetlenül a robbanás követ-kezményeként keletkezô port lehet megfigyelni. Egymásik lehetôség, hogy a robbanás elôtt, a szülôcsillagtömegvesztési folyamatai révén a csillag körüli térbekerülô anyag a szupernóva erôs sugárzása miatt felfû-tôdik, a benne lévô porszemcsék pedig az elnyeltplusz energiát infravörös tartományban sugározzákki. A jelenséget a szakirodalomban infravörös vissz-fénynek (IR echo ) is nevezik, amelyet néhány szuper-nóva esetében a detektált középinfravörös excesszus– egyedüli vagy részbeni – okaként jelöltek meg. Azutóbbi elmélet elfogadása azt a képet erôsíti, misze-rint nem maguk a szupernóva-robbanások, hanemazok szülôcsillagai tölthetnek be fontos szerepet aVilágegyetem portermelésében.

A kérdést – egyelôre – az idôsebb szupernóva-ma-radványok vizsgálata sem segített tisztázni. Ezekben atöbb száz, vagy akár több ezer éves, hatalmas, kihûltgázfelhôkben a porszemcsék hômérséklete már jóvalalacsonyabb, mint a robbanást követô idôszakban,ezért termális sugárzásuk detektálására távoli infravö-rös, illetve szubmilliméteres tartományban van esély.Az eddigi eredmények meglehetôsen ellentmondáso-sak, a becsült pormennyiségek 0,001 és 3 naptömegközött változnak. A feladatot nehezíti, hogy az idôsszupernóva-maradványok nagy mérete és inhomogénsûrûségeloszlása miatt bonyolult elválasztani egymás-tól a bennük, valamint a közöttünk húzódó csillagkö-zi térben lévô porszemcsék hozzájárulását az észleltsugárzáshoz.

Az elméleti munkák és a megfigyelések között fe-szülô ellentétek feloldására többféle elképzelés léte-zik. A modellek egy részében a szupernóvák környe-zetében lévô port nem homogén, hanem inhomogén(„csomós”) térbeli eloszlással kezelik – ez pedig leg-alább egy nagyságrenddel megnövelheti a korábbitömegbecslések eredményeit (ugyanakkor ezen mo-dellek megalkotása meglehetôsen bizonytalan). Fel-

400 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

vetôdött az is, hogy a fiatal Univerzumban a becsült-

2. ábra. Egy kollapszár szupernóva szülôcsillagának robbanáselôtti állapota. A különbözô fejlôdési szakaszokban kialakult ele-mek hagymahéjszerû rétegekben helyezkednek el – a robbanás le-folyása nagymértékben függ attól, hogy a hidrogén- és héliumrétegmekkora részét veszti el a csillag még a robbanás elôtt (forrás:en.wikipedia.org).

H

He

C

Ne

O

Si

Fe

nél több nagy tömegû csillag lehetett, s így több szu-pernóva robbanhatott fel. Az utóbbi idôkben ugyan-akkor megjelentek olyan cikkek is, amelyek rávilágí-tanak a távoli, halvány galaxisok – általában meglehe-tôsen alacsony jel/zaj arányú – megfigyelési adatainakbizonytalanságaira, egyúttal megkérdôjelezik a fiatalgalaxisokban becsült portartalom magas értékét is.

A fentiekbôl kiderült, hogy a szupernóvákhoz köt-hetô porkeletkezés izgalmas, ugyanakkor kérdôjelek-kel teli kutatási terület. Ebben nagy szerepet játszik arészletes analízisek alacsony száma, ezért mindenegyes objektum egyedi vizsgálata fontos információk-hoz juttathatja a kutatói közösséget. Csoportunkat ezarra ösztönözte, hogy részletesen vizsgálja az általunka kezdetektôl fogva tanulmányozott, SN 2004dj jelûszupernóva környezetében zajló porképzôdési folya-matokat [3].

Egy „állatorvosi ló”: az SN 2004dj

Az utóbbi 17 év legfényesebb, legközelebbi ismertszupernóváját, az SN 2004dj-t egy japán amatôrcsilla-gász, Koichi Itagaki fedezte fel 2004 júliusában (1.ábra ). Hamarosan kiderült, hogy a mintegy 11,4 mil-lió fényév távolságban lévô, NGC 2403 jelû galaxisbanfeltûnt szupernóva szülôcsillaga egy korábban azono-sított kompakt csillaghalmaz, a Sandage-96 egyik tag-ja. A halmaz és a 12 és 20 naptömeg közé esô szuper-óriás szülôcsillag fontosabb paramétereit a SzegediTudományegyetem szupernóva-kutató csoportjánakvezetésével sikerült meghatározni [4, 5].

Az SN 2004dj a IIP (platós ) szupernóvák közé tarto-zik, amelyeknél – jelenlegi ismereteink szerint – alegintenzívebb porképzôdés várható. Ezek a csillagoka robbanás elôtti idôszakban nagyrészt megôrizték akülsô hidrogén- és héliumrétegüket, így spektrumuk-ban erôsek a hidrogénvonalak. Felfényesedésükettöbb hétig tartó, közel konstans fényesség – a fény-görbén plató – követi, amely a robbanáskor ionizáló-dó hidrogénatomok folyamatos rekombinációjánakkövetkezménye (ekkor gyakorlatilag egy, a marad-vány belseje felé mozgó frontot – rekombinációs hul-lám – látunk; ennek közel állandó hômérséklete miattészlelünk állandó intenzitású sugárzást az adott idô-szakban). A IIP típusú szupernóváknál a szemcsekép-zôdésben részt vevô atomok (C, O, Si) mélyebbenlévô rétegekbôl származnak (2. ábra ); mivel a szu-pernóva-maradványok homológ módon tágulnak(azaz a rétegek sebessége a középpontól való távol-ság arányában nô), az említett elemek kidobódásisebessége relatíve alacsony, ami nagy arányú konden-zációt tesz lehetôvé. Az elméleti modellek alapján aIIP-szupernóvák környezetében nem csak a konden-zációs hatásfok, hanem – a szülôcsillagok kismértékûtömegvesztése miatti, az átlagosnál ritkább csillagkörüli anyagnak köszönhetôen – a szemcsék „túlélésirátája” is magas.

Az SN 2004dj közép-infravörös tartományba esôsugárzásának idôbeli fejlôdését a Spitzer több mérésiprogram során is nyomon követte; az elsô körülbelül150 nap adatainak elemzését publikálták is [6]. Cso-portunk a porképzôdés szempontjából fontosabbnakvélt késôbbi (jelen esetben egészen a robbanást köve-tô 1381. napig terjedô) idôszak adatait is elemezte.Ehhez a Spitzer mindhárom detektorának (IRAC –InfraRed Array Camera; MIPS – Multiband ImagingPhotometer for Spitzer; IRS – InfraRed Spectrograph)adatait felhasználtuk, amelyeket az infravörös-ûrtáv-csô publikus adatbázisából [7] töltöttünk le. A Spitzer-munkacsoport által fejlesztett, valamint egyéb, kon-vencionális csillagászati szoftverekkel történt kiérté-kelés révén csaknem négy éven átívelô fotometriai (ötkeskeny és egy széles sávú csatorna, 3,6–24 μm) ésspektroszkópiai (5–14 μm, λ/Δλ ~ 100) adatsorokatkaptunk, amelyek több szempontból is alátámasztjákaz SN 2004dj körüli porképzôdést.

Az IRAC 3,6, 5,8 és 8,0 μm-es csatornáin felvettfénygörbéken a 400. nap környékén egyértelmû „pú-pok” jelennek meg (3. ábra ). Az ilyen jellegû, késôiidôszakban megfigyelhetô középinfravörös többletsu-gárzás a por jelenlétének igen erôs bizonyítéka. Atöbbletet jelzô csúcsok idôben eltolódva jelennekmeg a rövidebbtôl a hosszabb hullámhosszak feléhaladva, ami jól leírható a maradványban frissen kép-zôdô, folyamatosan hûlô porszemcsék hômérsékletisugárzásával. Sajnos a MIPS-adatok között nem szere-pel az ebben a kritikus idôszakban történt mérés, bára 24 μm-en, a 800. nap után mért fluxusoknál is meg-figyelhetô egy csekély többlet a 100–300. nap közöttmért értékekhez képest. Ugyanakkor a 4,5 μm-es csa-tornán felvett fénygörbe nem mutat semmilyen ki-

SZALAI TAMÁS: PORGYÁRTÓ(?) SZUPERNÓVÁK 401

emelkedést. Ennek legvalószínûbb magyarázata a

3. ábra. Az SN 2004dj fénygörbéi: IRAC (3,6 μm – üres négyzetek,4,5 μm – telt négyzetek, 5,8 μm – üres körök, 8,0 μm – telt körök), IRSPeak-up Imaging 13–18,5 μm (üres háromszögek) és MIPS 24,0 μm(telt háromszögek).

0,01

0,1

1

10

100

1000

200 400 600 800 1000 1200 1400

skál

ázo

ttfl

uxu

s(e

rg/s

/cm

/Å)

robbanás óta eltelt idõ (nap)

4. ábra. Az SN 2004dj nebuláris fázisából származó színképek aSpitzer/IRS detektor mérései alapján.

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

6 8 10 12 14 16

Flu

xus

+ko

nst

ans

(Jy)

hullámhossz ( m)m

HH

CO

[NiII][ArII]

H+[NiI][CoII] H+[NiI] [NiII]+[NeII]

SiO

+115 nap

+139 nap

+261 nap

+291 nap

+510 nap

+661 nap

+868 nap

korai IRS-spektrumokon (4. ábra ) jól látszó CO 1-0vibrációs átmenet (4,65 μm), ami jelentôs hozzájáru-lást ad a 4,5 μm-en mért fluxushoz. Körülbelül 500nap után a CO emissziós vonala eltûnik, és a 4,5 mik-ronos fénygörbe alakja is hasonlóvá válik a többiIRAC-csatornán felvett görbééhez.

A középinfravörös színképek teljesen megfelelneka tipikus IIP-szupernóvák úgynevezett nebuláris fázi-sára jellemzô színképeinek: a lapos kontinuum, azemisszióban lévô hidrogénvonalak és tiltott vonalak([Ni I], [Ni II], [Co II], [Ar II]) jelenléte hasonlít a pla-netáris ködök színképére, azaz egyre ritkuló, tágulógázfelhôben jönnek létre (innen a nebuláris elneve-zés). Az SN 1987A-hoz hasonlóan, a ~ 300. nap utánaz emissziós vonalak nagy része kezd eltûnni, amiszintén magyarázható a friss porképzôdéssel (egészenpontosan az optikai átlátszóság emiatt bekövetkezôcsökkenésével). Érdekesség, hogy a korábbiakbanvizsgált, hasonló szupernóvákkal ellentétes módon azSN 2004dj spektrumában nyoma sincs a 8–10 μm kör-nyékén várt, erôs SiO-sávnak; ez a hiány pedig fontoslépésként szolgált a porösszetétel meghatározásáravégzett késôbbi munkában.

Azokra az idôszakokra, amelyeken belül mind azIRAC, mind a MIPS detektorral készült mérés, elôál-lítottuk az SN 2004dj középinfravörös sugárzásánakspektrális energiaeloszlásait (SED); az értékeketmind az intersztelláris anyag okozta fénygyengüléshatásaira, mind a szülôhalmaz járulékának levonásá-val korrigáltuk. Hogy meg tudjuk becsülni a por fizi-kai paramétereit és össztömegét, analitikus és nume-rikus modellekbôl származó, elméleti görbéket illesz-

tettünk a mérésekbôl származó SED-ekre. Az analiti-kus modellben [8, 9] a porkeletkezési területet egyhomogén, konstans sûrûségû gömbként kezeltük,amelynek luminozitása a következô formulával adha-tó meg:

ahol R a porkeletkezés helyét jelzô gömb sugara egy

Lν = 2 π 2 R 2 Bν(T )2 τ 2

ν 1 (2 τν 1) exp( 2τν)

τ 2ν

,

adott idôpontban, Bν(T ) a Planck-függvény T átlagosporhômérsékleten véve, τν pedig az optikai mélységértéke ν frekvencián. A porszemcsék méreteloszlásáradn = ka−m da hatványfüggvény alakú eloszlást [10]alkalmaztunk, ahol dn az a és a+da közötti sugarúszemcsék számsûrûsége, k pedig konstans. Modellje-inkben a port – a már említett szilikáthiány okán – aszintén gyakori összetevôként ismert amorf szén-szemcsék halmazának, míg a porképzôdési zónátegyenletesen, homológ módon táguló gömbnek te-kintettük (ennek a különbözô idôpontokra vett suga-rát a táguló maradvány nebuláris fázisban mért maxi-mális sebességébôl – körülbelül 3250 km/s – számol-tuk ki).

A 849–883. nap közötti idôszakra vonatkozó, leg-jobb SED-illesztés az 5. ábrán szerepel. Jól látható,hogy az egy komponensû Planck-görbe nem illeszke-

402 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

dik jól a megfigyelt adatokra, mivel a 24 μm-es pon-

1. táblázat

Az SN 2004dj spektrális energiaeloszlásaira legjobban illeszkedôanalitikus modellek paraméterei

Epocha(nap)

Tmeleg

(K)Rmeleg

(1016 cm)Thideg

(K)Rhideg

(1016 cm)Portömeg(10−5 MNap)

267–275 710 0,75 186 1,5 0,31

849–883 530 2,48 120 4,3 1,11

1006–1016 462 2,85 110 4,6 1,32

1236–1246 424 3,88 103 6,2 1,39

5. ábra. Az adatokra legjobban illeszkedô, kétkomponensû analiti-kus pormodell a robbanást követô 849–883. nap közötti idôszakraszámolva. A pontok hibái (körülbelül 10%) a körök méretén belülvannak. Az üres körrel jelölt, széles sávú fotometriai érték (IRS PUI)a nagy bizonytalanság miatt az illesztésekben nem szerepelt.

0,01

0,1

1

10

100

2 3 5 10 20 30

flu

xus

(10

erg/

s/cm

/Å)

–18

2

hullámhossz ( m)m

6. ábra. Az SN 2004dj geometriai modellje a 850. nap környékén: abelsô, szürke tartomány a meleg, a külsô, négyzetrácsos tartománya hideg porkomponens elhelyezkedését jelöli; a CSE a csillagászatiegység (1 CSE = 149,6 millió km).

3000 CSE

toknál szisztematikus alábecslést kapunk. Ezért egyhidegebb, nagyobb sebességgel táguló térrészbenlévô komponenst is belevettünk az illesztésekbe,amelyek így már jó eredményeket szolgáltattak. Alegjobban illeszkedô modellgörbék paramétereit és akiszámolt portömegeket az 1. táblázatban gyûjtöttükössze. A frissen keletkezô, meleg port tartalmazózóna átlagos hômérséklete folyamatos csökkenést, apor tömege pedig – a vizsgált idôszak vége felé lassu-ló ütemû – növekedést mutat, ami jól összeegyeztet-hetô a fénygörbék alakjából feltételezett, a 400–500.nap környékén kezdôdô intenzív porképzôdéssel,illetve a szemcsék termális sugárzásának elméletilegvárt idôbeli változásával.

Mivel az analitikus modellbôl származó portöme-gek (az optikailag vékony közeget feltételezô közelí-tés miatt) alsó tömeghatárnak tekinthetôk, a pormennyiségét numerikus módszerekkel is megbecsül-tük. Számításainkhoz egy háromdimenziós radiatívtranszfer kódot, a MOCASSIN-t (MOnte CArlo Simula-tionS of Ionized Nebulae ) használtuk [11]. A kód egyadott pontforrásból származó fotonok terjedését mo-dellezi egy gömb alakú, ismert összetételû zónán ke-resztül, a megadott koordináta-rendszer pontjai men-tén figyelembe véve a lehetséges fény-anyag kölcsön-hatásokat (abszorpció, szóródás, újra kisugárzódás).

A szimulációk során többféleszemcsesugarat (0,005–0,1 μm)és sûrûségeloszlást alkalmaz-tunk; az eredményül kapottportömegek 10−5–8 10−4 nap-tömeg tartományba estek. Alegjobb illeszkedéseket – össz-hangban az elméleti jóslatok-kal – akkor kaptuk, amikor anagyobb (0,05–0,1 μm suga-rú) porszemcsék jelenléte do-minált.

A táguló maradványban kondenzálódó szemcsék-nél távolabb elhelyezkedô, hidegebb komponenseredetének legvalószínûbb magyarázata a hideg, sûrûhéjban (cool dense shell, CDS) végbemenô szemcse-kondenzáció. Korábbi tanulmányok feltételezték,hogy ebben, a robbanás következtében nagy sebes-séggel terjedô lökéshullámfrontok közötti, vékonytérrészben a lökéshullámok és a csillag körüli anyagkölcsönhatásai szintén elôidézhetik a kondenzációt.Jelen esetben a feltevést megerôsíti, hogy korábbi,spektroszkópiai vizsgálatok [12] alapján a CDS-tarto-mány tágulási sebessége igen jól összeegyeztethetô ami modelljeink hideg porkomponensének méretével(1. táblázat ).

Modellezéseink eredményei tehát megerôsítik,hogy az SN 2004dj középinfravörös SED-jei megfele-lôen magyarázhatóak a szupernóva környezetébenzajló, robbanás utáni porképzôdési folyamatokkal. Akapott portömegek hasonlóak a más kollapszár szu-pernóvák esetében megállapított alacsony értékek-hez. A kép teljességéhez ugyanakkor hozzátartozik,hogy – a modellek bonyolultsága miatt – egyelôrenem végeztünk a porfelhôk már említett, csomós el-oszlását is figyelembe vevô számításokat; de a koráb-

SZALAI TAMÁS: PORGYÁRTÓ(?) SZUPERNÓVÁK 403

bi eredmények alapján ezzel együtt is legfeljebb né-hány ezred naptömeget kapnánk a por mennyiségére,ami továbbra is jóval kisebb az elméleti tanulmányok-ban prognosztizált tömegeknél.

✧Tanulmányunk összességében azt sugallja, hogy aszupernóva-robbanások – bár elméletileg a legmeg-alapozottabb jelöltjei a kozmikus portermelésnek –, amegfigyelések alapján nem a várt mértékben járulnakhozzá az Univerzum portartalmának gyarapításához.Az elôttünk álló években mind a szupernóvák vizsgá-latában, mind a precíziós infravörös csillagászat terü-letén ugrásszerû fejlôdés bekövetkezését várjuk, amisegíthet végleg eldönteni a kérdést: vajon ténylegnem keletkezik sok por a szupernóvák környezeté-ben, vagy csak eddig nem voltunk rá képesek, hogymindet megtaláljuk.

Irodalom1. Vinkó J., Kiss L. L., Sárneczky K., Fûrész G., Csák B., Szatmáry

K.: Szupernóvák. Meteor Csillagászati Évkönyv 2001, 218.http://astro.u-szeged.hu/ismeret/szuperno/szuperno.html

2. Vinkó J.: Távolságmérés szupernóvákkal: tények és talányok.Fizikai Szemle 56/7 (2006) 221.http://www.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0607/vinko0607.html

3. Szalai T., Vinkó J., Balog Z., Gáspár A., Block, M., Kiss L. L. A&A(2010) közlésre beküldve

4. Vinkó J. és mtsai, MNRAS 369 (2006) 1780.5. Vinkó J. és mtsai, ApJ, 695 (2009) 619.6. Kotak, R. és mtsai, ApJ 628 (2005) L123.7. http://irsa.ipac.caltech.edu/applications/Spitzer/SHA/8. Lucy, L. B., Danziger, I. J., Gouiffes, C., Bouchet, P., in Structure

and Dynamics of the Interstellar Medium. (ed. G. Tenorio-Tagle et al.) Springer, Berlin, 1989, 164.

9. Meikle, W. P. S. és mtsai, ApJ 665 (2007) 608.10. Mathis, J. S., Rumpl, W., Nordsieck, K. H., ApJ 217 (1977) 425.11. http://mocassin.world-traveller.org/12. Chugai, N. N., Chevalier, R. A., Utrobin, V. P., ApJ 662 (2007)

1136.

HOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? – I.Woynarovich Ferenc

MTA SZFKI

A villanyvasutat gyerekjátéknak találták ki, mégis sokanfelnôtt fejjel is szívesen játszanak vele. Valahogy ígyvagyok én a tömeges rugó problémájával, ami egytipikus tankönyvpélda lehetne, amennyiben a megol-dásához szükséges meggondolások és módszerekrészei a standard mechanika- és analíziskurzusoknak,mégis „felnôtt fizikusként” is örömmel foglalkozom aproblémával. Elôször 1976-ban játszottam vele: kidol-goztam magamnak a normál módusokra alapozottmegoldást. Ez annyira megtetszett, hogy Ortvay-példátis gyártottam hozzá (amire egyébként nem jött teljesmegoldás). Ezzel a dolog el is lett volna intézve, ha tánkét éve egy KöMaL-példa kapcsán újra elô nem kerül.Többekkel beszélgettünk róla, aminek eredménye –jórészt Groma István (ELTE, TTK, Anyagfizikai Tan-szék) ötlete alapján – egy újabb, a mozgó hullámfron-tokat leíró megoldás lett. Mondanom sem kell, ehhez isszületett egy Ortvay-példa (2009-ben, amire sajnosmegint nem érkezett teljes megoldás). A jelen kéziratösszeállítása közben tudtam meg, hogy a történet ittnem állt meg, a feladat többnek bizonyult mint egynívós rejtvény: egyes elemei beépültek a fizikusok kon-tinuummechanika kurzusának anyagába. Nem tudom,hogy az érintett hallgatók mennyire szeretik, de remé-lem, meglátják szépségét, mint ahogy azok a kollégákis, akik elolvassák ezt a munkát.

Bevezetés

Az évtizedek óta tartó tananyagcsökkentésnek szeren-csére (még) nem esett áldozatul a harmonikus rezgô-mozgás oktatása. E mozgás iskolapéldája az egyik

végénél rögzített, elhanyagolható tömegû rugó általmozgatott, véges tömegû test rezgése. Elvárás, hogy atanulók tudják, ha a test tömege M, a rugóállandópedig D, akkor a rezgésidô:

A jobb diákok azt is tudják, hogy ha a rugónak is van

T = 2π MD

.

mondjuk m tömege (ami azért jóval kisebb mint M ),azt úgy lehet figyelembe venni, hogy a rendszer ef-fektív tömegének Meff = M+m/3-at veszünk. A magya-rázat nagyon szemléletes: feltételezve, hogy a rugómegnyúlása a mozgás során végig egyenletes, a rugómentén a sebesség lineárisan nô, így ha az M tömegsebessége v, a rugó kinetikus energiája mv2/6, amiolyan, mintha M helyén M+m/3 tömeg mozogna.Ugyanakkor az is nyilvánvaló, hogy meggondolásunkalapfeltevése, azaz a rugó egyenletes megnyúlásacsak közelítés lehet: az egyenletesen megnyújtottvagy összenyomott rugó bármely darabjára mindkétirányban ugyanakkora erô hat, így az, mivel végestömegû, nem gyorsulhatna. Az ellentmondás feloldásatermészetesen az, hogy a tömeges rugó megnyúlása amozgás során nem egyenletes, és a rendszer mozgásaáltalában annál összetettebb, mint hogy egy paramé-terrel (az M kitérésével) jellemezhetô legyen. Valójá-ban a pontos leíráshoz a rugót mint egy egy-dimen-ziós, végtelen sok szabadsági fokú rugalmas közegetkell kezelnünk. Jelen cikk célja ennek bemutatása.Látni fogjuk, hogy a rendszer saját rezgései (normálmódusai) állóhullámok, amelyek közül a legelsô tény-leg tág határok között jól közelíthetô a fenti effektív

404 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

tömeges leírással, de ez a közelítés az egész mozgásra

1. ábra. A (8) egyenlet grafikus reprezentációja.

3

2

1

00 p/2 p 3 /2p 2p

k ktg

m M/

csak akkor elfogadható, ha a magasabb módusokcsak kis súllyal gerjednek. Ez azonban a kezdeti felté-telektôl elég erôsen függ, ahogy azt két egyszerû pél-dán részletesebben is bemutatjuk. A rendszer hullám-egyenlettel történô leírása lehetôvé teszi a „tranzien-sek” vizsgálatát is, nevezetesen annak nyomon köve-tését, hogy egy adott kezdeti feltételbôl idôben ho-gyan fejlôdik a mozgás. A vizsgált példák egyikét eb-bôl a szempontból is elemezzük.

A kétféle leírás, azaz a normál módusok megadása,illetve a mozgás idôfejlôdésének követése, technikai-lag nagymértékben különbözik egymástól, ez termé-szetes módon kínálja az anyag – terjedelme általamúgy is indokolt – két részre bontását.

A mozgásegyenletek

Tegyük fel, hogy a D direkciós erejû, m tömegû és lhosszúságú rugó sima, vízszintes talajon fekszik,egyik vége egy falhoz van rögzítve, és a másik végénlévô M tömegû test a rugó tengelye irányában a rugó-val együtt súrlódásmentesen mozoghat. Paraméterez-zük a rugó egyes pontjait a rögzített végtôl mérhetô xegyensúlyi távolsággal, és jelöljük az egyes pontok(longitudinális) elmozdulását a t idôpillanatbans (x, t )-vel! A rugó egészére jellemzô m és D helyett azezeknek megfelelô lokális mennyiségeket, azaz azegy dimenzióban értelmezett ρ = m /l sûrûséget, és aYoung-modulus egydimenziós analogonjának megfe-lelô ε = Dl mennyiséget kell használnunk. Ez utóbbijelentése: ha az x pontban a rugó relatív megnyúlása∂s /∂x, akkor abban a pontban a rugóban F (x ) =ε∂s /∂x erô hat, azaz a rugónak az x -ben találkozókét darabja ekkora erôvel húzza egymást (lásd pél-dául Widemann László cikkét ebben a lapszámban).Ennek segítségével már felírható a rugó x és x+Δxközötti szakaszára vonatkozó Newton-egyenlet:

ami végülis a

F (x Δx ) F (x ) = ρ Δx s (x, t ),

hullámegyenletet adja.

(1)1c 2

∂2 s (x, t )∂t 2

∂2 s (x, t )∂x 2

= 0

Ebben a hangsebesség

A peremfeltételek az elrendezésbôl adódnak: egyrészt

(2)c = ε

ρ= D l 2

m.

az x = 0 vég rögzített, azaz

másrészt az M tömeg mozgása követi Newton II. tör-

(3)s (x=0, t ) = 0,

vényét, tehát

Ez utóbbi az (1) hullámegyenlet miatt ekvivalens a

(4)ε ∂s (x, t )∂x x = l

= M ∂2 s (l, t )∂t 2

.

egyenlettel.

(5)ρM

∂s (x, t )∂x x = l

= ∂2 s (x, t )∂x 2 x = l

A normál módusok

A megoldásokat

állóhullámalakban keressük. Ez kielégíti az (1) hul-

(6)s (x, t ) = sin(kx ) sin(ω t φ )

lámegyenletet, ha

megfelel a rögzített végre vonatkozó (3) peremfelté-

(7)ω 2 = c 2 k 2

telnek, és az M -re vonatkozó (4) Newton-egyenlet isteljesül, ha

Ez a két egyenlet – (7) és (8) – határozza meg a saját-

(8)κ tgκ = mM

, ahol κ = k l.

frekvenciákat.Ahogy az az 1. ábrán látható, a megoldások az M →

0 limeszbem megfelelnek az egyik végén szabad ru-galmas rúd longitudinális rezgéseinek (κn = [n+1/2]π),az M → ∞ határeset pedig olyan, mintha mindkét végrögzített lenne (κn = nπ). Nyilván a közbülsô esetekaz érdekesek, amikor 0 < ξn = κn −nπ < π/2. Ezekbena megoldások akár numerikusan,1 akár m /M szerinti

1 A ξn (i 1) = arctg ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

m/Mnπ ξn (i )

rekurzió igen jól konvergál.

hatványsorok formájában megadhatók.2 Különösen

i2 Ha a ξn-t m/M szerinti hatványsor alakjában keressük, (8) ξn

szerinti hatványsora segítségével az együtthatók tagról tagra tetszô-leges rendig meghatározhatók.

jól kezelhetô az m << M eset, amikoris elég ezen hat-ványsorok elsô néhány tagját meghatározni.

WOYNAROVICH FERENC: HOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? – I. 405

Ekkor

2. ábra. A rugó (longitudinális) deformációjának alakja az elsônéhány normál módusban m/M = 0,6 esetén.

1

0

–1

0 lxsi

nk

xn

m M/ = 0,6

(9)κ20 = m

M13

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

mM

2445

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

mM

3

…,

A nulladik módus A0 „amplitúdóval”:

(10)κn = nπ 1

nπmM

1(nπ )3

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

mM

2

…

(n = 1, 2, …).

Itt (2), (7) és (9) alapján

(11)s0(x, t ) = A0 sink0 x sin(ω 0 t φ 0).

és

(12)ω 2

0 = Dm

κ20 = D

M m/3

⎧⎪⎨⎪⎩

⎫⎪⎬⎪⎭

1 O

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

mM

2

tehát

(13)sink0 x = xl

sinκ0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

1 O⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

mM

,

Ez valóban olyan, mint egy M+m /3 tömeg A0 ampli-

(14)s0 (x, t ) ≈ 0

xl

sin(ω 0 t φ ),

ahol 0 = A0 sinκ0.

túdójú rezgése egy D direkciós erejû ideális rugón,tehát a nulladik módus közelíthetô az effektív töme-ges leírással (mégpedig annál pontosabban minélkisebb az m /M tömegarány).

A többi (n ≥ 1) módus alakja

ahol

(15)sn (x, t ) = An sinkn x sin(ωn t φn),

Ezek olyan állóhullámok, amelyekben rendre n cso-

(16)kn = n πl

1n π l

mM

O

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

mM

2

és ωn = c kn.

mópont van, de a rugó x = l vége sem nem csomó-pont, sem nem duzzadási hely (2. ábra ). Ezért a sinhullám amplitúdója nem azonos az M mozgásánakamplitúdójával: ha az elôbbi An, az utóbbi An =An sinκn. Megjegyzendô, hogy minél kisebb az m /Mhányados, ezek a módusok annál jobban hasonlítanaka mindkét végén rögzített rugón lehetséges állóhullá-mokra.

Bár használni fogom ezt a kifejezést, tisztázni kell,hogy az egyes módusok a szokásos értelemben nemfelharmonikusai egyik alacsonyabbnak sem, hiszen afrekvenciák hányadosa (esetleges véletlenektôl elte-kintve) irracionális szám. Ebbôl következôen többmódus gerjesztése esetén a rugó mozgása csak közelí-tôleg lehet periodikus.

A kezdeti feltételek illesztése

A normál módusok teljes rendszert alkotnak, tehát arendszer minden mozgása leírható ezek szuperpozí-ciójaként:

Az An -eket és a φn -eket úgy kell meghatározni, hogy

(17)s (x, t ) =∞

n = 0

An sinkn x sin(ωn t φn).

az

kezdeti feltételek teljesüljenek, azaz

(18)

s (x, t = 0) = s0 (x ),

∂s (x, t )∂ t t = 0

= v0 (x )

A sinkn x függvények az adott kn -ek mellett az 0 < x ≤ l

(19)s0 (x ) =∞

n = 0

An sinφn sin kn x,

(20)v0 (x ) =∞

n = 0

An ωn cosφn sinkn x.

szakaszon önmagukban nem, de a tömegekkel súlyoz-va ortogonálisok. Ez esetünkben azt jelenti, hogy

Fontos megjegyezni, hogy ugyanakkor a rugóban

(21)ρ ⌡

⌠l

0

sinkn x sinkm x dx M sinkn l sinkm l =

= δ nm

12

m M sin2κn .

lévô feszültségeket leíró deriváltak a tömeggel valósúlyozás nélkül ortogonálisok lényegében ugyanazzala normával:

A

A

A

A

(22)⌡⌠l

0

coskn x coskm x dx = δ nm

l2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 Mm

sin2κn

406 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

A (21) ortogonalitást kihasználva (19) és (20) az

és

(23)

An sinφn =

=

ρ ⌡⌠l

0

s0(x ) sinkn x dx M s0(l ) sinκn

12

m M sin2κn

egyenleteket adja.

(24)

An ωn cosφn =

=

ρ ⌡⌠l

0

v0(x ) sinkn x dx M v0(l ) sinκn

12

m M sin2κn

Megjegyzések:• Az s0(x ) olyan folytonos függvény, amelyre telje-

sül, hogy

hiszen a rugó nem szakadt el, és az egyes részei nem

x s0 (x ) > y s0 (y ), ha x > y,

is elôzhetik meg egymást.• v0(x )-nek nem kell folytonosnak lennie, de min-

den x -re teljesülnie kell, hogy

különben lökéshullámok alakulnak ki, amelyekre

v0 (x ) < c,

nem jó a hullámegyenlet.Ezen feltételek teljesülése ugyan szükséges, de

nem elegendô ahhoz, hogy a mozgás során ne fordul-jon elô valamilyen „katasztrófa”: ha például Mv2/2 >Dl 2/2, akkor biztos, hogy a rugó úgy deformálódik,hogy arra a jelen leírás nem lehet érvényes (a rugódeformációja biztos nem írható le a lineáris erôtör-vénnyel, hisz azt feltételezve még nulla hosszúságúraösszenyomva sem képes az M tömeg energiáját el-nyelni).

A módusok energiája

A teljes energia

Behelyettesítve, és a (21–22) ortogonalitásokat ki-

(25)E = ⌡

⌠l

0

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

ε2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂s (x, t )∂x

2 ρ2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂s (x, t )∂t

2

dx

12

M⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂s (l, t )∂t

2

.

használva megkapjuk, hogy ez az egyes módusokenergiájának az összege:

Speciálisan a nulladik módusra (kis m /M esetén) igaz:

(26)E =∞

n = 0

12

ω 2n

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

m2

M2

sin2κn A 2n.

így annak az energiája

(27)m2

M2

sin2κ0 ≈ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

m3

M sin2κ0 ,

Fontos megjegyezni, hogy (12–14) és (28) egyenletek

(28)E0 ≈ 12

ω 20

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

m3

M 20 ≈ 1

2D 2

0 .

csak a nulladik módusra vonatkoznak, és azt jelentik,hogy ez a módus jó közelítéssel (a különbözô meny-nyiségek esetében O (m /M ), illetve O ((m /M )2) relatívhibával) úgy írható le, mint egy M+m /3 tömeg A0

amplitúdójú rezgése egy D direkciós erejû ideális ru-gón. Viszont az, hogy a mozgás egésze mennyire jóközelítéssel helyettesíthetô az alapmódussal, az attólfügg, hogy az adott kezdeti feltételek mellett milyensúllyal vannak jelen a magasabb felharmonikusok.

Két példa

A kezdeti feltételek jelentôségének a bemutatásárakét esetet részletesen is elemezünk:

a) az M tömegnél fogva a rugót A -val kihúzzuk,majd magára hagyjuk, illetve,

b) az M tömegnek hirtelen (például ütközéssel) arugó irányába esô v sebességet adunk.

Megoldás az a) kezdeti feltétel mellett.Ebben az esetben

Ennek megfelelôen (23) és (24) szerint minden φn =

(29)s0 (x ) = A x

l,

v0 (x ) = 0.

π/2, és

Minden módushoz megadható az M tömeg rezgésé-

(30)An =2 m sinκn

m M sin2κn

1κ2

n

A.

nek az adott módushoz tartozó amplitúdója

Tekintettel arra, hogy a t = 0-ban ezek összege az M

(31)n = An sinκn =2 m sin2κn

m M sin2κn

1κ2

n

A.

tömeg aktuális, azaz A kitérése,

A A

A

A

(32)∞

n = 0

2 m sin2κn

m M sin2κn

1κ2

n

= 1

WOYNAROVICH FERENC: HOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? – I. 407

kell, hogy legyen. Speciálisan kis m /M esetén (egy

1. táblázat

Néhány adat a tömegarány függvényében

m/M 0,1 0,3 0,6 1,0

κ0 0,3111 0,5218 0,7051 0,8603

(T0 − Teff )/T0 0,01% 0,08% 0,29% 0,66%

[(E − E0)/E ]a 0,02% 0,17% 0,60% 1,39%

[(E − E0)/E ]b 3,26% 9,40% 17,6% 27,0%

elég fáradságos, éppen ezért itt nem részletezett sor-fejtés szerint)

illetve

(33)0 ≈

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

1 145

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

mM

2

A,

Érdemes megnézni az egyes módusokban tárolt ener-

(34)n ≈ 2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

mM

21

(nπ )4A, ha n≥1.

giát! Ha az An -eket behelyettesítjük az energiakép-letbe

adódik. Ebbôl, felhasználva, hogy

(35)E =∞

n = 0

12

ω 2n

2 m 2 sin2κn

m M sin2κn

1κ4

n

A 2

az

(36)ω 2

n m

κ2n

= D,

összefüggést kapjuk, tehát az egyes módusokra esô

(37)E =∞

n = 0

2 m sin2κn

m M sin2κn

1κ2

n

12

D A 2

energiahányad

Figyelemre méltó, hogy

(38)En

E=

2 m sin2κn

m M sin2κn

1κ2

n

.

(Fontos, hogy az En -ekben nem csak a rezgô M, ha-

(39)En

E= n

A.

nem a rugón kialakuló állóhullámok energiája is ben-ne van, ezért lehetséges, hogy az An -ek aránya azo-nos az En -ekével. Ilyen típusú azonosság csak speciá-lis kezdeti feltételek mellett várható.)

Megoldás a b) kezdeti feltétel mellett.Ez a kezdeti feltétel

Ennek megfelelôen φ = 0, és

(40)s0 (x ) ≡ 0, v0(x) =⎧⎨⎩

0, ha x < l,

v, ha x = l.

Minden módushoz rendelhetô egy sebesség, ami az M

(41)An = 1ωn

2 M sinκn

m M sin2κn

v.

tömeg rezgésének az adott módushoz tartozó sebes-ségamplitúdója:

Mivel a t = 0-ban ezek összege az M tömeg aktuális v

(42)Vn = An ωn sinκn =2 M sin2κn

m M sin2κn

v.

sebessége, most a

összefüggésnek kell teljesülnie. Speciálisan kis m /M

(43)∞

n = 0

2 M sin2κn

m M sin2κn

= 1

esetén

és

(44)V0 ≈ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 13

mM

v,

Ha az An -eket behelyettesítjük az energiaképletbe,

(45)Vn ≈ 2 mM

1π 2

1n 2

v, ha n > 0.

adódik, tehát a teljes energia az egyes módusokon

(46)E =∞

n = 0

2 M sin2κn

m M sin2 κn

12

M v 2

arányban oszlik el. Ebben az esetben

(47)En

E=

2 M sin2κn

m M sin2κn

A

A

A

A

A két eset összehasonlítására az 1. táblázatban fog-

(48)En

E=

Vn

v.

laltuk össze néhány mennyiség értékét különbözôtömegarányok mellett. A második sorban a κ0 értékecsak a teljesség kedvéért szerepel. A harmadik sorbanT0 az alapmódus rezgésideje, míg Teff az Meff = M+m /3effektív tömeggel számolt érték. [(E−E0)/E ]a és[(E−E0)/E ]b a rezgés teljes energiájából a felharmoni-kusokra esô rész relatív súlya az a), illetve b) kezdetifeltétel mellett. (A relatív eltéréseket, illetve súlyokatszázalékban adtuk meg.) Szembetûnô, hogy a nulla-dik módus rezgésidejének Teff -fel való közelítéseegész nagy tömegarányig igen jó, még m = M mellettis kisebb mint 1% relatív hibát okoz. Hasonló módontág határokig jó közelítésnek látszik az a) esetben a

408 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

teljes mozgás helyett csak a nulladik módussal szá-molni: még azonos tömegek esetén is több mint 98%súllyal a nulladik módus gerjed. Nem ez a helyzet a b)kezdeti feltételnél, amikor már m ∼ 0,1M mellett istöbb mint 3%, m ≤ 0,3M esetén pedig már közel 10% afelharmonikusok súlya. Annak, hogy egy adott tö-megarány mellett a b) esetben nagyobb súllyal gerjed-nek a felharmonikusok, mint az a)-ban, igen szemlé-letes oka van: az a) kezdeti feltétel „hasonlít” a nulla-dik módusra, míg a b) nem. A nulladik módushoztartozó elmozdulás közelít az egyenletesen növekvô-höz, így az a) esetben a magasabb módusoknak csakazért kell megjelenniük, hogy a kettô közötti kis elté-rést kompenzálják. Ugyanakkor az alapmódushoz egyközel egyenletesen növekvô sebességeloszlás tarto-zik, így a b) esetben a felharmonikusoknak olyansúllyal kell gerjedniük, hogy az alapmódus sebességéta végpont kivételével mindenütt nullára egészítsék ki.Ha itt is lenne egy vx /l sebességeloszlás a rugó men-tén, az a) esethez hasonlóan nagy súllyal gerjedne anulladik módus.

Összefoglalandó az eddigieket

Elmondhatjuk: az egyik végén rögzített, tökéletesen ru-galmas, de véges tömegû rugóból és egy hozzá erôsí-tett testbôl álló rendszer mozgását egy egy-dimenziósrugalmas közeg problémájaként tárgyaltuk. A rugótmodellezô rugalmas közeg mozgását egy szokásos hul-lámegyenlet írja le, amelyhez az egyik vég rögzítése,illetve a másik véghez csatlakozó test mozgását leíróNewton egyenlet peremfeltételként jelenik meg. Meg-határoztuk a rendszer normál módusait és azt a sza-bályt, amellyel ezek a kezdeti feltételekhez illeszthetôk.Két egyszerû, de lényegesen különbözô kezdeti felté-telt jelentô feladatban az alapharmonikus és a felhar-monikusok viszonyát részletesen elemeztük. A mozgá-sok leírása azzal lett volna teljes, ha a normál móduso-kat felösszegezzük. Ez az összegzés numerikusan bár-mikor, de analitikusan, zárt alakban csak extrém kis ru-gótömeg határesetben végezhetô el. Szerencsére a rugóés a test mozgásának részletei más módon is felderíthe-tôk. Ez lesz munkánk második részének tárgya.

EGY REMÉNYTELENNEK TÛNÔ VEZÉRLÉSI PROBLÉMAA KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN

Tél András, BME, Mechatronika alapszak, III. évfolyam

Tél Tamás, ELTE, Elméleti Fizikai Tanszék

A modern mûszaki problémákban, így például a ro-botok tervezésekor gyakran lépnek fel irányítási, ve-zérlési feladatok. Ezek közül különösen érdekesekazok, amelyek során egy eredendôen instabil álla-potba kell eljuttatni a rendszert. Az alábbiakban be-mutatunk egy elsô látásra reménytelennek tûnô me-chanikai feladatot, amelynek megoldásához a mo-dern fizika mára már klasszikussá vált eredményeiadnak segítséget.

A vezérlési feladat

Tekintsünk egy egyenes mentén harmonikus rezgô-mozgást végzô m tömegû testet, amelynek rugóállan-dója egy elôírt D (t ) függvény szerint változik idôben.Az x (t ) kitérés-idô függvényt meghatározó mozgás-egyenlet [1]

ahol a pont az idô szerinti deriválást jelöli. Az ennek

(1)m x (t ) = D (t ) x (t ),

az egyenletnek eleget tevô rendszer manapság érzé-kelôk (szenzorok) és beavatkozó egységek (aktuáto-rok) segítségével könnyen megépíthetô, bármilyen isa D (t ) függvény. A rugóra ható erô most tehát nem

csak a kitéréstôl függ, hanem az idôfüggô rugóállan-dó pillanatnyi értékétôl is.1 Az (1) egyenlet jobb olda-

1 A rugóállandó szóhasználat annyiban jogos, hogy D (t ) továbbrais független a kitéréstôl.

la expliciten is függ az idôtôl, a differenciálegyenletnem autonóm, vagyis a mozgás folytatását nem csaka test pillanatnyi helyzete és sebessége határozzameg, hanem egy külsô hatás is. Az egyenlet olyantípusú, mint a gerjesztett rezgéseket leíró egyenletek[1], csak az idôfüggés nem egy külsô erôben, hanem arugóállandóban jelenik meg. A mechanikai összener-gia a súrlódás hiányában sem állandó, hiszen a rugó-állandó idôbeli változása miatt a rendszer energiátnyerhet vagy veszíthet.

Tegyük föl ráadásul, hogy a rugóállandó idôbenmonoton módon csökken, egy idô után elôjelet vált, sattól kezdve végig negatív marad. Az egyszerûségkedvéért egységnyi tömeget tekintve, s alkalmasanmegválasztott idôegységet használva, ezt kifejezhet-jük úgy is, hogy a mozgásegyenletet az

alakba írjuk. Itt d > 0 a nulla pillanathoz tartozó kez-

(2)x (t ) = d k (t ) x (t )

deti rugóállandó, és k (t ) az idôbeli változást leíró

TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TUNO VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 409

rugófüggvény, amely nulláról indul és monoton mó-

1. ábra. A konkrét példaként választott k (t ) rugófüggvény alakja. Akritikus tc = tanh−1(d/A )1/2 értéknél a rugófüggvény értéke meg-egyezik a kezdeti rugóállandóval, az eredô rugóállandó itt zérus,ennél nagyobb idôkre negatív. A rugó tehát t > tc -re taszítóvá válik.

A

d

00 tc

t

kk t A t( ) = tanh ( )2

2. ábra. A numerikusan meghatározott kitérés-idô függvény külön-bözô d kezdeti rugóállandókkal. Az egyes görbék mellett a hozzá-juk tartozó d értéket tüntettük fel. A d = 55 értéknél megvalósul avezérlés: a test megáll az origóban. A kis fekete négyzetek a tc pilla-natokat jelölik, amelyek egyben az x (t ) görbe inflexiós pontjai,hiszen itt x = 0. A d = 55,5 és 55 értékekre tc =3,05, illetve 2,70.

2

–2

–1

0

1

100 1 2 3 4 5 6 7 8 9

54,99

54,9999

55,0001

55,0155,5

55

t

x

don tart a d -nél nagyobb A értékhez. Konkrétan vá-lasszuk a k (t ) rugófüggvényt

alakúnak, amely egy egyszerû, folytonos átváltást ír le

(3)k (t ) = A tanh2 t = A sinh2 t

cosh2 t

0 és A > d között. A rugófüggvény alakját és a d kez-deti értékhez való viszonyát az 1. ábra mutatja.

A (2) egyenlethez tartozó vezérlési probléma2 a

2 A vezérlés olyan beavatkozási forma, amelyben a betáplált adatután a rendszernek – szemben a szabályozással – nincs visszahatásaönmagára.

következô: véges kezdeti kitéréssel indítva, adott Amellett, elérhetô-e d alkalmas megválasztásával, hogya test hosszú idô után megálljon?

Mivel a kezdeti rugóállandó az A nagyságú inter-vallumban változhat, ezt az intervallumot az operá-ciós tartománynak nevezzük. Egy vezérlési feladatsorán az A értéket rögzítjük. A megoldás azért tûnikelsô ránézésre reménytelennek, mert az eredô rugó-állandó egy idô után (t > tc -re) negatív, a rugó taszí-tó, s a taszító rugók általános tulajdonsága, hogyegyre távolabbra juttatják a testet, amely formálisantehát kifut a végtelenbe. A vezérlés lehetôségébenazonban mégis reménykedhetünk, ha egy speciálisfeltétel teljesül. Ha a tc pillanatban a test nem távolo-dik az origótól, hanem közeledik hozzá, méghozzáelegendôen nagy sebeséggel, akkor elôfordulhat,hogy tehetetlensége miatt ezt a közeledést megtartja,s ámbár az eredô rugóállandó abszolútértéke nô, azeredô erô nagysága,

csökkenhet, ha |x (t )| elegendôen kicsi és megfelelô

k (t ) d x (t )

ütemben csökken. Így tehát egészen kivételes esetek-ben, bizonyos d értékek mellett, lehetséges az, hogy atest hosszú idô után az origóhoz tartson, megálljon.

Numerikus eredmények

A speciális d értékek megtalálásához általában csak nu-merikus módszerekkel juthatunk. Rögzítsük ezért elô-ször a kezdôfeltételt oly módon, hogy a mozgás mindigegységnyi kitéréssel indul, kezdôsebesség nélkül:

Az, hogy a kezdeti kitérés egységnyi, nem jelent meg-

(4)x (0) = 1,

x (0) = v (0) = 0.

szorítást, mert a hosszegység szabadon választható(más szóval, azt a távolságot tekintjük hosszegység-nek, amelybôl a test indul). A vezérlés ezek utánegyetlen mennyiség, a d kezdeti rugóállandó megvá-lasztásával végezhetô el. A mozgás numerikus integ-rálásához a Newton-egyenlet szimulálására jól beváltnegyedrendû Runge–Kutta-módszert [2] választottuk,rögzített h lépésközzel. A negyedrendû jelzô arra utal,hogy egy iterációs lépés h4 értékig pontos (a hibanagyságrendje h5). Ez elegendô pontosságot biztosít,viszonylag rövid futási idôkkel, a h = 0,01 választás-sal. Mivel nagyobb d értékek mellett a kritikus tc idônagyobb, a test hosszabb ideig rezeg, érdemes azA -hoz közeli d értékek vizsgálatával kezdeni.

Az A = 56, 55 < d < 56 választás mellett a kritikuspillanathoz körülbelül másfél rezgés után érünk el (afrekvencia közben lassan csökken, hiszen a [d−k (t )]rugóállandó is csökken). Ekkor d < 55,5-re, a kitérésnegatív, a sebesség pozitív, de annyira nagy, hogy atest a negatív rugóerô ellenére jelentôs sebességgelhalad át az origón, s attól kezdve gyorsulva fut a vég-telenbe (2. ábra ). A d = 55 érték felé közeledve ez akifutás egyre lassul. d = 55,0001 mellett az x (t ) függ-vény már közelít a t -tengelyhez, de kis szög alatt át-metszi. A d = 55 értékre a görbe numerikus pontos-sággal belesimul a t -tengelybe, amint a 2. ábrán isláthatjuk. Ekkor tehát sikeres a vezérlés! Az, hogy az

410 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

ilyen d értékek mennyire kivételesek, jól látszik abból

3. ábra. Az origó (nyeregpont) és környezete a fázistérben, a jelleg-zetes keresztalakzat. A mozgás a vonalakon a nyilakkal jelölt irány-ba történik. Az origóba bejutni csak a stabil sokaság mentén lehet.

stabil sokaság

instabil sokaság

v sx=

v sx= –

0

0

x

v

is, hogy d = 54,9999 és d = 54,99-ra a kitérés a negatívvégtelenbe tart. A tc értéknél fellépô sebesség ekkormár nem elég ahhoz, hogy a test a negatív iránybóleljusson az origóig, s miután azt megközelítve vissza-fordul, a taszító rugó egyre messzebbre távolítja.

Az instabil állapot vizsgálata, a fázistér

Ez a tapasztalat jól mutatja, hogy az origó erôsen in-stabil állapot. Vizsgálatára érdemes használni a dina-mikai rendszerek módszertanából ismert eszközöket[3]. Tekintsük elôszöris a (2) mozgásegyenlet hosszúidô elteltével érvényes alakját. Mivel t → ∞-re k (t ) az Akonstans értékhez tart, az egyenlet jobb oldalán(A−d )x áll. Mivel A > d, a zárójel pozitív, érdemes ezts2-ként jelölni:

Az s mennyiség a taszítási paraméter. A mozgásegyen-

(5)s = A d .

let ezzel a rövidített jelöléssel

alakú, és egy idôben konstans állandójú taszító rugó ha-

(6)x = s 2 x

tását írja le. Hosszú idô elteltével a kitérés általában nagy.A sikeres vezérléshez közeli esetekben azonban a (6)egyenlet érvényes |x| << 1 esetén is. Tegyük fel, hogyilyen esettel van dolgunk, s indítsuk újra az idôszámítástakkor, amikor a test már egy kis x0 koordinátájú és kis v0

sebességû állapotba került. Célunk ezzel annak megérté-se, hogy milyen a mozgás az origó környékén.

Vegyük észre, hogy a (6) egyenlet autonóm, ráadá-sul (éppen ezért) megoldható analitikusan. Mint min-den lineáris, állandó együtthatós, homogén differen-ciálegyenletnek, megoldása kereshetô exponenciálisalakban. Az x = exp(λt ) feltevéssel a λ = ±s megszorí-tásra jutunk, vagyis a λ kitevô csak a taszítási paramé-ter, s, vagy annak ellentettje, −s lehet. Az általánosmegoldás ezen alapmegoldások lineáris kombináció-ja. Könnyen ellenôrizhetô, hogy a (6) egyenlet x (0) =x0, v (0) = v0 kezdôfeltételt kielégítô megoldása

alakú. A megoldás tehát két exponenciális összege,

(7)x (t ) =s x0 v0

2 se s t

s x0 v0

2 se s t

amelyek közül egy idô után a pozitív kitevôjû,exp(s t ) tag válik dominánssá. Ez írja le a végtelenheztartást. Mindez azonban csak akkor igaz, ha az sx0 +v0

együttható nem nulla. Bizonyos kezdôfeltételekreazonban fennállhat, hogy sx0 +v0 = 0, s ekkor

Ilyenkor tehát a test egyre csökkenô sebességgel az

(8)x (t ) = x0 e s t.

origóhoz tart. Ennek az esetnek kell tehát megvaló-sulnia sikeres vezérlés esetén.

Az origó körüli viselkedésrôl áttekintô képet a fá-zistérben kaphatunk, ahol a v = sebességet ábrázol-xjuk az x kitérés függvényében. Fenti eredményünk aztmutatja, hogy a

egyenes mentén elhelyezkedô pontok éppen eljutnak

(9)v = s x

az origóba, ha |x| << 1. Vagyis, ha jól meghatározottsebeséggel lökjük az instabil állapot felé a testet, ak-kor az megáll. A nulla sebesség elérése elvileg végte-len hosszú ideig tart, de gyakorlatilag az 1/s idô né-hányszorosa után a test már nagyon jó közelítésselmegközelíti a nyugalmi állapotot. Az egyenesen kívülikezdôfeltételek mind a végtelenbe vezetnek. A v = sxegyenes mentén levô pontoknak megvan az a sajátostulajdonsága, hogy esetükben sx0 −v0 = 0, és ôk egyet-len exponenciálisan növekvô függvény szerint távo-lodnak, x (t ) = x0 est.

A fázistér v = −sx egyenese a fentiek szerint azt aspeciális mozgást írja le, amely az origóba történô el-jutásnak felel meg. Ezt a görbét ezért az origó stabilgörbéjének, a dinamikai rendszerek szóhasználatávalstabil sokaságának [3] hívjuk. A v = sx egyenes,amelynek mentén az eltávolodás a leggyorsabb, azorigó instabil sokasága. A 3. ábrán is látható, hogy afázissíkot a stabil és instabil sokaságok négy síkne-gyedre osztják.

3 A stabil sokaságra szorítkozva az origó stabilnak mutatkozik, ateljes fázissíkon azonban instabil.

Általában is igaz [3], hogy a mechanikában elôfordulóminden autonóm rendszer instabil állapota ilyen típusú.A keresztalakzat megjelenése azt fejezi ki, hogy az insta-bilitás sohasem tökéletes. A fázistér egy elhanyagolha-tóan csekély mértékû tartományából (a teljes sík egy vo-nalából) mindig el lehet jutni az instabil állapotba. (Ahegyére állított ceruza állapotát instabilnak mondjuk,pedig kezdeti kitérítés esetén ott is találhatunk egy meg-felelô kezdôsebességet, amellyel meglökve az éppenmegáll a függôleges helyzetben.) Az instabil állapotoktehát mindig nyeregpontok a fázistérben, olyan pontok,amelyekhez tartozik stabil és instabil sokaság.3

TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TUNO VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 411

Számunkra a stabil sokaság bír különös jelentôség-

4. ábra. A d = 50 és a d = 50±10−4 értékekhez tartozó megoldásokképe a fázistérben. Ezek jó közelítéssel kirajzolják az origóba tartóstabil sokaságot, de mivel d = 50+10−4 mellett a megoldás hosszúidô után a pozitív, d = 50−10−4-re viszont a negatív végtelenbe tart,az instabil sokaság egy darabja is jól láthatóvá válik. Pontozott vo-nallal berajzoltuk a v = ±s x egyeneseket is, amelyek a sokaságokorigó körül érvényes alakjait adják meg. A v = s x instabil ágtól anumerikus megoldás nem különböztethetô meg, hiszen hosszú idôután a (6) egyenlet nagy x -ekre is érvényes. A v = −s x görbe vi-szont valóban csak az origó környékén érinti a szimulálással kapottstabil sokaságot.

–

–

–

–

–

– – – – –

8

4

0

–4

–8–2 –1 0

x

1 2

v

5. ábra. A d = 7 (a), 31 (b) és 47 (c) vezérlést biztosító értékekhez tartozó megoldások képe a fázis-térben. Alattuk a megfelelô x (t ) függvény látható. A két ábrázolás közötti kapcsolat bemutatására akitérés-idô függvényt elforgattuk, hogy a két x tengely párhuzamos legyen. A kritikus idôk rendretc = 0,37, 0,96 és 1,56. Pontozott vonallal a fázistéren berajzoltuk a v = ±s x egyeneseket is.

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

– – – – –

– – – – –

8

4

0

–4

–8

0

1

2

3

4

5

–2 –1 0 1 x 2

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

– – – – –

– – – – –

8

4

0

–4

–8

0

1

2

3

4

5

–2 –1 0 1 x 2

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

– – – – –

– – – – –

8

4

0

–4

–8

0

1

2

3

4

5

–2 –1 0 1 x 2

vt

vt

vt

a) b) c)

gel, hiszen a vezérlés csak ezen görbe mentén lehetsikeres. Örülhetünk annak, hogy alakját a (9) össze-függés szerint egzaktul ismerjük, de ez csak akkorigaz, ha a test már közel került az origóhoz. Mitmondhatunk az origótól távol esô pontok vezérlésiesélyérôl? A folytonosság miatt feltételezhetjük, hogyaz origó stabil sokasága a teljes (2) egyenlet fázisteré-ben is létezik. Ha tehát nem kötjük magunkat a t >> 1feltételhez, az eredeti nem autonóm egyenlet fáziste-rében is találunk egy olyangörbét, amely hosszú idôután befut a (9) egyenesbe, sazon keresztül az origóba.Ezt a stabil sokaságot numeri-kusan kell megkeresni, s akérdés az, hogy a (4) kezdô-feltétel adott d mellett rá-esik-e az origó stabil sokasá-gára. Azon d értékek, ame-lyekre ez teljesül, a vezérléstbiztosító d értékek. A 4. ábramutatja, hogy d = 55 eseténaz (1,0) pont valóban rajtavan az origóba vezetô stabilsokaságon. Autonóm rend-szerekben a stabil sokaságnem metszheti önmagát. Mi-vel azonban rendszerünknem autonóm, több metszés-pontot is megfigyelhetünk.

(Azt is mondhatjuk, hogy az igazi fázistér 3 dimen-ziós, amelyet x, v és a rugóállandóban megjelenô idôfeszít ki, s mi az igazi, önmagát nem metszô sokaság-nak az (x,v ) síkra vett vetületét látjuk.)

A rugóállandó-spektrum

Vizsgáljuk ezek után, létezik-e még másik, vezérlésrealkalmas d érték A = 56 mellett. Ezt numerikusan úgytehetjük meg, hogy programot írunk, amely az összesd értéket megvizsgálja Δd = 0,01 lépésenként a 0 < d< A operációs tartományban. Minden egyes d -heznumerikusan meghatározza az x (t ) függvényt, s rög-zíti annak értékét egy késô idôpontban (például t =30-ban). A program, amely a LabView grafikus prog-ramnyelven íródott [4], újabb és újabb d értékeketvesz mindaddig, amíg azt nem érzékeli, hogy a ké-sôbbi idôpontban felvett x érték elôjele különbözik azelôzô d -hez tartozó elôjelétôl. Ekkor megáll és kiírjaaz utolsó d értéket, amelynek környékén léteznie kellegy vezérlést megvalósító értéknek, hiszen itt simulhozzá az x (t ) függvény a t -tengelyhez (vagyis ugyan-az zajlik le, mint a 2. ábrán, csak más d -re).

Ezzel a módszerrel összesen még három vezérlés-re alkalmas d értéket találunk, amelyek 7, 31, és 47.A kitérés-idô függvény ezekre rendre negyed, há-romnegyed és ötnegyed rezgés után tart az origóba.A fázistérbeli képen ennek megfelelôen az origó el-érése elôtti rajzolat egyre bonyolultabb, és egyretöbb metszéspont figyelhetô meg (5. ábra ). Vegyükészre, hogy az alacsonyabb d értékekre az origóegyre instabilabb, az (5) taszítási paraméterre rendrea 7, 5 és 3 értékeket kapjuk. Ennek megfelelôen anyeregpontra jellemzô keresztalakzat egyre merede-kebb a fázissíkon.

Az A = 56 paraméter esetén tehát összesen négyvezérlést biztosító kezdeti rugóállandó értéket talál-tunk a (4) kezdôfeltétellel. Az ilyen típusú feladatok a

412 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

sajátérték-problémák körébe tartoznak: megoldások

1. táblázat

A rugóállandó-spektrum különbözô A-kra

A λ dn nmax

12 4 3, 11 1

30 6 5, 21, 29 2

56 8 7, 31, 47, 55 3

csak bizonyos diszkrét dn = d0, d1, …, értékekdnmax

mellett találhatók.Az A paraméter más értékei mellett is ugyanezt a

jelleget látjuk. A tapasztalat az, hogy A növelésével nôa sajátértékek száma. Az 1. táblázatban összefoglal-juk néhány jellegzetes A paraméter mellett a talált dn

sajátértékeket, a rugóállandó-spekrumokat.A táblázatból több érdekes szabályosság olvasható

ki. Adott A mellett az (n+1)-edik és az n -edik sajátér-ték különbsége például 8 egész számú többszöröse.Egyszerû összefüggésre jutunk, ha észrevesszük,hogy a vizsgált A értékek két egymás utáni egészszám szorzataként írhatók,

ahol λ > 1. Az adott λ-hoz tartozó elsô sajátérték min-

(10)A = λ (λ 1),

dig λ−1, és dn+1 −dn = 4λ−8(n+1). Ezek után köny-nyen felismerhetô az általános szabály:

amely n = 0-tól a maximális nmax = [(λ−1)/2] értékig

(11)dn = λ (λ 1) (λ 2 n 1)2,

érvényes, ahol a szögletes zárójel az egész részt jelöli.A dn sajátértékhez tartozó (5) taszítási paraméter: sn =λ−2n−1, amibôl látszik, hogy minél kisebb n, annálinstabilabb a probléma. Mivel minden pozitív számírható a (10) alakban, érthetô és numerikusan is ellen-ôrizhetô, hogy a (11) rugóállandó-spektrum tetszôle-ges valós λ-ra is érvényes.

Mi a kapcsolat a modern fizikával?

Térjünk most át egy másik kérdéskörre, a kvantumme-chanikai energiasajátérték-problémára (a figyelmes Olva-só bizonyára már amúgyis észrevette a két feladat ha-sonlóságát). Mint ismert, az egydimenziós, sima V(x)potenciálban mozgó m tömegû részecske E energiáját a

stacionárius Schrödinger-egyenlet határozza meg

(12)2

2mψ″(x ) = E V (x ) ψ(x )

[5–7], ahol a Planck-állandó és a vesszô az x hely-koordináta szerinti deriválást jelöli. A ψ(x ) hullám-függvénynek folytonosan differenciálhatónak kell len-nie, és kötött állapotban nagy távolságokban nulláhozkell tartania. Ez az egyenlet mikroszkopikus részecs-

kékre vonatkozik, és idôtôl független. Hogyan vethe-tô össze a (2) makroszkopikus vezérlési problémával,amely a klasszikus fizika Newton-egyenlete?

Az ilyen távolesô problémák közötti lehetségeskapcsolat felderítésében nélkülözhetetlen segítség azegyenletek dimenziótlanítása [3]. A módszer nagyonegyszerû, és sok más esetben (például egyenleteknumerikus megoldásra alkalmas alakjának megtalálá-sában) is hasznos. Az alapgondolat az, hogy mindenproblémának megvan a saját jellegzetes hosszúság-vagy idôskálája. A Schrödinger-egyenlet esetén ilyenjellegzetes skála lehet a potenciál jellemzô mérete,például félszélessége. Tekintsük távolságegységnekezt az a mikroszkopikus hosszat az SI-rendszer méter(vagy nanométer) egysége helyett. Ez formálisan aztjelenti, hogy elvégezzük az x → ax transzformációt. Azúj x változó a dimenziótlan helykoordináta, amelymegadja, hogy a távolság hányszorosa a a hosszegy-ségnek. A bonyolult jelölésváltás elkerülése érdeké-ben jelöljük V (x ), ψ(x )-szel a potenciál- és a hullám-függvény dimenziótlan helykoordinátával kifejezettalakját is. Ha ennek szellemében vesszôvel kívánjukjelölni a dimenziótlan x szerinti deriváltat is, akkorfigyelembe kell venni, hogy minden egyes eredeti xszerinti deriválás egy a -val való osztást hoz be. Mivelkétszeres deriválásról van szó, a dimenziótlan hely-változóban érvényes Schrödinger-egyenlet

Most mindkét oldal energia mértékegységû. A bal

(13)2

2 m a 2ψ″(x ) = E V (x ) ψ(x ).

oldalon álló E ✽ = 2/(2ma2) konstans tekinthetô aprobléma jellegzetes energiaértékének. Ha a jobboldalon levô energiát és potenciált ebben az E ✽ egy-ségben mérjük, akkor helyettük az e = E /E ✽, ∨(x ) =V (x )/E ✽ dimenziótlan energia- és dimenziótlan po-tenciálfüggvény jelenik meg, és a

egyenletre jutunk. Az atomi méretekre jellemzô a =

(14)ψ″(x ) = e ∨(x ) ψ(x )

10−10 m-rel, m = 9 10−31 kg elektrontömeggel és a =10−34 Js Planck-állandóval számolva az energiaegységE ✽ = 5 10−19 J ≈ 3 eV, ami valóban atomi kötésekrejellemzô energiaérték. Az E összenergia ennek né-hányszorosa, így a dimenziótlan egyenlet már nemfügg az eredeti skáláktól, nem maradt benne semmi-lyen mikroszkopikus paraméter.

Ezen a ponton felismerhetjük, hogy a (14) dimen-ziótlan Schrödinger-egyenlet a már eddig is vizsgált(2) egyenlethez hasonló, sôt alakjuk az x ↔ t csereután teljesen megegyezik!

Érdemes megjegyezni, hogy a vezérlés dimenziós (1)egyenletét, amelyet a D (t )= D−K (t ) felbontással az

alakban írhatunk, hasonló eljárással hozhatjuk a (2)

(15)m x (t ) = D K (t ) x (t )

alakra. A rugóállandó idôbeli változásának nyilván

TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TUNO VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 413

van egy jellegzetes ideje τ,

6. ábra. A 2. ábra d = 55 értékhez tartozó x (t ) függvénye páros kiterjesztésével kapott ψ(x )függvény. Ez a ∨(x ) = 56 tanh2x potenciálhoz (felsô görbe) tartozó Schrödinger-egyenlet hetediksajátfüggvénye (n = 6), amely az e6 = d3 = 55 sajátértékhez tartozik. Az xc = tc kritikus távolságotis feltüntettük. Ez a klasszikus fordulópont, amelyen túl a hullámfüggvény már sohasem hul-lámzik.

–

–

–

–

–

– – – – – – –

–

–

–

–

–

2

1

0

–1

–2

60

30

0

–30

–60

–6 –4 –2 0x

2 4 6xc–xc

Y(

)x

vx(

)

e6 = 55

2. táblázatA vezérlési és a kvantummechanikai feladat megfeleltetése

Newton-egyenlet Schrödinger-egyenlet

karakterisztikus idô τ karakterisztikus távolság a

kitérés függvény x (t ) hullámfüggvény ψ(x )

rugófüggvény K (t ) potenciálfüggvény V (x )

dimenziótlan idô t dimenziótlan távolság x

rugóállandó egység D ✽ energiaegység E ✽

az operációs intervallumhossza A

a ∨(x ) potenciálgödörmélysége A

rugóállandó-spektrum dn =Dn /D✽

energiaspektrum en = En /E ✽

sikeres vezérlés sajátállapot megtalálása

amely lehet például az az idô,amely alatt a rugóállandó ér-téke a felére csökken. Az idôtτ egységeiben mérve, a D ✽ =m/τ2 rugóállandó-egységet kap-juk, amellyel (15)-bôl (2)-rejutunk.4

4 Makroszkopikus m = 1 kg, τ = 1 s adatokkal D✽ = 1 kg/s2 = 1 N/m.5 Ezeket az x (0) = 0, v (0) = 1 kezdôfeltétellel kaphatnánk meg avezérlési problémában, de ezzel a kezdôfeltétel-családdal a terje-delmi korlátok miatt nem foglalkozunk.6 Ennek dimenziótlan energiaspektruma egzaktul ismert az en =λ(λ−1)−(λ−n−1)2 alakban, 0 ≤ n ≤ (λ−1).

A dimenziótlan egyenletekekvivalenciájának felismeréseután természetesen vizsgálnunkkell a kezdeti és peremfeltétele-ket is. A vezérlés feltételekéntmegkövetelt x(t→∞) = 0 megkö-tés teljesen megfelel a hullám-függvény normálhatóságávalkapcsolatos ψ(|x|→∞) = 0 pe-remfeltételnek. A vezérlési prob-léma kezdôfeltételének kvantummechanikai megfelel-tetése több figyelmet igényel. A Schrödinger-egyenlet ateljes V (x ) potenciált vizsgálja, s nem szorítkozikannak csak a pozitív (x > 0) koordinátákhoz tartozófelére. Páros potenciálfüggvények, azaz V (x ) = V (−x )esetén, a szimmetria miatt tudjuk, hogy létezniük kellpáros hullámfüggvényeknek, s ezek a függvények azorigóban vízszintes érintôjûek. Ôk, az x ↔ t csere ér-telmében pontosan megfelelnek a (4) mechanikaikezdôfeltételnek. A páros sajátfüggvényekhez a teljesen energiaspektrum páros n indexû értékei rendelhe-tôk. A páratlan indexû energiaértékek az origóbaneltûnô pontszimmetrikus hullámfüggvényekhez tar-toznak.5 A két probléma közötti megfeleltetés tehátaz, hogy ha azonos alakú a dimenziótlan k (t ) és ∨(x )függvény, azaz, ha k (t ) = ∨(x= t ) és ha ∨(x ) páros,akkor a dimenziótlan spektrumok megfelelnek egy-másnak; a (4) kezdôfeltételhez tartozó vezérlési prob-léma dimenziótlan spektruma a

szabály szerint kapható meg az en dimenziótlan kvan-

(16)dn = e2n

tummechanikai spektrumból. A példaként használt(3) függvénycsalád a kvantummechanikában a

dimenziótlan potenciálnak felel meg, az úgynevezett

∨(x) = λ (λ 1) ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 1cosh2x

Rosen–Morse-potenciálnak [7, 8].6

Még egyszerûbb példát kapunk a parabolikus k (t)= t 2 rugófüggvény, ∨(x ) = x2 dimenziótlan potenciálesetén, amely a V (x ) = 1/2mω2x2 harmonikus oszcil-látor problémának felel meg az E ✽ = ω/2, a2 =/(mω) egységválasztással. A rugóállandó-spektrum

az ismert [5, 6] lineáris En = ω(n+1/2), en = 2n+1spektrumból következôen dn = 4n+1 alakú.7

7 Ha k (t ) = λ2t 2, ∨(x ) = λ2x2, ahol λ > 0 tetszôleges szám, akkor azE ✽ = ω/(2λ), a2 = λ/(mω) választással az en = (2n+1)λ dimenziót-lan spektrumra jutunk, amelybôl dn = (4n +1)λ. Ugyanez következik(11)-bôl is a nagy λ határesetben, véges n -ekre. Ennek oka az,hogy a (3) rugófüggvény parabolikusan indul: k (t ) = λ(λ−1)t 2, ésnagy λ-ra λ(λ−1) ≈ λ2.

Sajnos, az egzaktul megoldható kvantummechani-kai problémák száma csekély [6, 7], ezért csak nagyonritkán számíthatunk arra, hogy a dn spektrum kifejez-hetô egyszerû képlettel. A vázolt numerikus eljárásazonban mindig célhoz vezet.

Feltehetô az a kérdés is, hogy milyen kvantumme-chanikai feladatot oldunk meg a k (t ) függvény meg-választásával. Mivel az idô pozitív, a potenciálnakpedig negatív x koordinátákra is értelmezettnek kelllennie, azt mondhatjuk, hogy ∨(x ) = k(t=x ), negatívx -ekre pedig ∨(x ) = ∨(−x ). Vagyis, a (4) kezdôfelté-telnek eleget tevô vezérlési feladat a k (t )-nak megfe-lelô potenciál páros kiterjesztését tartalmazó energia-sajátérték-problémának felel meg, és abban is a párossajátértékeket adja meg dn. Így a dn -hez tartozó vezé-relt x (t ) kitérés-idô függvény páros kiterjesztése a t →x helyettesítés után a ∨(x ) potenciál 2n -edik sajátálla-potához tartozó hullámfüggvényt adja meg (6. ábra ).

414 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

A tc kritikus idô megfelelôje az xc kritikus távolság. Ez

7. ábra. Sikeres vezérlés v0 = 1 kezdôfeltétel mellett a d0 = 9,526paraméterrel. A fázistérbeli kép alatt a kitérés-idô függvény látható.Szaggatott vonallal a v0 = 0, d0 = 7 eset görbéit is berajzoltuk az ösz-szehasonlíthatóság érdekében, s kisebb tartományban, mint az 5.aábrán.

–

–

–

–

–

–

–

– – – – –

3

2

1

0

–1

–2

–3

–

–

–

–

–

– – – – –

0

1

2

–1 0 1x

tv

3. táblázat

Kezdôsebesség-függô rugóállandó sajátértékekA = 56-ra (λλ = 8)

v0 dn (v0)

2 11,389; 33,063; 48,035; 55,305

1 9,526; 32,087; 47,539; 55,163

0 7,000; 31,000; 47,000; 55,000

−1 3,575; 29,851; 46,438; 54,823

−2 –; 28,708; 45,877; 54,637

az a helykoordináta, ahol az összenergia megegyezika potenciális energiával, vagyis, ahol a klasszikus fizi-ka törvényeinek eleget tevô részecske visszafordulna.Az, hogy a kvantummechanikai feladatban a részecs-ke véges valószínûséggel lehet az xc -nél nagyobbtávolságban is, az alagúteffektus jelensége. Éppen ezaz a tartomány, ahol a vezérlési feladatban a rugóál-landó negatív! A vezérlési és a kvantummechanikaiprobléma megfeleltetésének legfontosabb gondolataitfoglalja össze a 2. táblázat.

A vezérlési feladat általánosabb, minta kvantummechanikai feladat

Vizsgáljuk most meg, hogyan alakul a vezérlési feladat,ha az x (0) = 1 helyzetbôl nullától eltérô v0 ≠ 0 kezdôse-bességgel indítjuk a testet. A v0 = 1 értékkel A = 56-ra anumerikus megoldást követve azt tapasztaljuk, hogyd = 7 körül nem sikeres a vezérlés, de d = 9,526-ra si-keressé válik. Ez szemléletesen is érthetô, hiszen, ha atest kezdetben határozottan távolodik az origótól,akkor a kritikus idô (amely független v0-tól) eltelte utánmég viszonylag messze van az origótól, így a taszítóerô d = 7 körül még kiveti a pozitív végtelenbe. Azorigó pozitív irányból való lassú elérése csak valame-lyik nagyobb d értéknél válik lehetôvé. A 7. ábrán akitérés-idô függvényen kívül a fázistérbeli rajzolatot isláthatjuk, amely topológiailag azonos a d = 7, v0 = 0

értékhez tartozóval (5.a ábra ). Az (1,v0) kezdôponttermészetesen rajta van az origó stabil sokaságán, had = 9,526.

Ez a megfigyelés azt sugallja. hogy minden egyes v0

dimenziótlan sebességhez tartozhat egy dn(v0) rugóállan-dó-spektrum. A numerikus tapasztalat ezt alátámasztja,amint azt a 3. táblázat néhány esetre bemutatja.

Az a szabály olvasható le, hogy pozitív kezdôsebes-ségek az eredeti sajátértékeket növelik, a negatívakcsökkentik. Különösen érdekes a v0 = −2 eset, amikornem találunk sajátértéket a 0 < d < 7 tartományban. Akezdôsebesség ekkor olyan nagy negatív szám már,hogy a pozitív értékek felôl oszcillálás nélkül az ori-góba tartó megoldás már nem is létezhet. Nagyobbn -ekre a kezdôsebesség hatása egyre kisebb, a függvé-nyek egyre késôbb csengenek le, és rájuk a kezdetimeredekség-változás kisebb hatással van.

A vezérlési és a kvantummechanikai probléma fentiösszehasonlítása alapján felmerül a kérdés: mondhatjukezek után, hogy a v0 ≠ 0 esetekkel a ∨(x ) = k (t=x ) po-tenciál újabb kvantummechnikai sajátértékeket fedez-tünk fel? Semmiképpen sem! A vezérlés véges mere-dekséggel induló x (t ) függvényének x tengelyre vetttükrözésével kapott páros kiterjesztése ugyanis megtö-rik az origóban. Ez nem feleltethetô meg kvantumme-chanikai hullámfüggvények, hiszen ψ-nek differenciál-hatónak kell lennie (különben például nem lenne egy-értelmûen értelmezhetô rá az impulzusoperátor: a deri-válási operátor hatása). A levonható konklúzió az, hogya vezérlési probléma bôvebb, mint a kvantummechani-kai,8 mert több megoldása létezik, mint a kvantumme-

8 Hacsak nem tételezünk fel az origóban még egy v0-val arányosDirac-delta potenciált is. Az azonban, hogy az amúgyis mikroszko-pikus eredeti problémában egy még sokkal kisebb hatótávolságúkölcsönhatást is beépítsünk, nehezen motiválható.

chanikainak, hiszen minden v0 értékhez (nem csak v0 =0-hoz) tartozhat egy rugóállandó-spektrum. Ennek oka,hogy a klasszikus x (t ) függvényre kevesebb megszorí-tás létezik, mint a hullámfüggvényre. Ugyanakkorazonban a vezérlési probléma minden egyes v0-nálugyanolyan (akár analitikus) módszerekkel oldandómeg, mint a Schrödinger-egyenlet.

Annak más oldalról történô megvilágítására, hogy akvantummechanikai probléma megoldása bonyolul-tabb, több megkötésnek tesz eleget, mint a mechani-kai, érdemes röviden kitérni az általános, azaz nem

TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TUNO VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 415

páros, egyetlen minimumú ∨(x ) potenciál esetére. Vá-lasszuk az origót a potenciál minimumának. A pozitívés a negatív x értékekhez tartozó potenciálból pozitívidôkre két különbözô rugófüggvény definiálható k1(t ) =∨(t=x>0) és k2(t) = ∨(t=−x>0). Mivel a hullámfüggvény-nek mind a pozitív, mind a negatív végtelenben el kelltûnnie, a megfelelô vezérlési feladatban két különbözôdifferenciálegyenletet kell megoldanunk, mindkettôtpozitív idôkre, s ugyanazzal a d -vel:

A kezdôfeltétel az, hogy az 1-es esetben x1(0) = 1, v1(0)

xi (t ) = d ki (t ) xi (t ), i = 1, 2. (17)

= v0, a másik esetben viszont x2(0) = 1, v2(0) = −v0,ugyanis az x2 megoldás x -tengelyre való tükrözésévelkapott teljes megoldás: ψ(x>0) = x1(t=x ), ψ(x<0) =x2(t=−x ) csak így lehet folytonosan deriválható az ori-góban. Az energiaspektrum megtalálása azt jelenti, hogyminden egyes véges v0 és d mellett végig kell próbál-nunk, hogy vezérelhetô-e mindkét feladat egyszerre.

Összefoglalás

Megmutattuk, hogy létezik egy idôfüggô vezérlésifeladat, amely szoros hasonlóságot mutat az egydi-menziós kvantummechanikai energiasajátérték-prob-lémával, amennyiben a helykoordinátában páros po-tenciálokat vizsgálunk. Még ekkor is, a vezérlési fel-adatnak jóval több diszkrét megoldása létezik, mint a

kvantummechanikainak, mert a vezérelt részecskéneklehet kezdôsebessége is. A sikeres vezérlés mindig egyinstabil pont (az origó) elérését jelenti, ami csakis a sta-bil sokaság mentén lehetséges. A vezérlés feltétele te-hát úgy fogalmazható meg, hogy a kezdôfeltétel essenrá az origó stabil sokaságára. A dinamikai rendszerekszemlélete új megvilágításba helyezi a klasszikus kvan-tummechanikai energiasajátérték-problémát is.

KöszönetnyilvánításKöszönjük Varga Balázs tanár úrnak (Eötvös Jó-

zsef Gimnázium, Budapest), hogy olyan modern fizi-kai órákat tartott, amelyek alapján a 11-edikes diák-ban felmerült a kérdés: mi lehet a Schrödinger-egyen-let idôbeli megfelelôje. Ez vezetett el a bemutatottgondolatmenethez.

Irodalom1. Nagy Károly: Elméleti Mechanika. Nemzeti Tankönyvkiadó,

Budapest, 2002.2. W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling:

Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cam-bridge University Press, 2002.

3. Tél Tamás, Gruiz Márton: Kaotikus Dinamika. Nemzeti Tan-könyvkiadó, Budapest, 2002.

4. http://ni.com/labview5. Marx György: Kvantummechanika. Mûszaki Könyvkiadó, Buda-

pest, 1971.6. F. Constantinescu, E. Magyari: Kvantummechanika Feladatok.

Tankönyvkiadó, Budapest, 1972.7. L. D. Landau, E. M. Lifsic: Kvantummechanika. Tankönyvkiadó,

Budapest, 1978.8. N. Rosen, P. M. Morse, Phys. Rev. 15 (1932) 210.

A FIZIKA TANÍTÁSA

KÖZÉPISKOLAI DEMONSTRÁCIÓS KÍSÉRLETEK ELEMZÉSEWiedemann László

Budapest

A görög filozófiai felfogás szerint az axiomatikus gon-dolkodás és annak eredményei bírnak csupán igaz-ságtartalommal. Az empíriával szemben arisztokrati-kus módon elzárkóztak, szinte lenézték azt.

A megismerés folyamata az újkorban épül tovább,és kellô filozófiai súlyt kap Bacon és Hume munkás-sága által, amikor az empíria is a megismerés hitelesmódszerévé, hiteles eszközzé válik. Az empíria anya-ga adja az axiomatikus gondolkodás tartópilléreit ésfrissíti az axiómákat, ahogy ezt manapság elképzel-jük. Galileinél tetôzik ez a kettôsség a módszeresenvégigvitt kísérletezésben és elméletalkotásban. Ezáltalbôvülnek a természettudományban az igazságkritériu-mok. Megfigyelés és kísérlet az egyik oldalon, elmé-letalkotás a másik oldalon.

Fizikatörténeti elôadásaiban Simonyi Károly pro-fesszor mindig nyomatékkal emelte ki a kísérletezés

fontosságát; úgy mondta gyakran, hogy „Galilei vettegy lejtôt”, vagyis nemcsak elképzelte, vagy az ideá-ját tekintette, hanem kézbevette és méréseket vég-zett vele.

A sorra kerülô kísérletek nem kutatás célúak,hanem igazoló, illetve a törvény érvényességét alátá-masztó kísérletek. A tanításban fôleg ilyenek szere-pelnek, de elôfordulnak fizikai mérések, mérô-kísér-letek is. Itt sohasem felfedezésrôl van szó, hanemvezetésrôl. Naivitás felfedezésként aposztrofálni aziskolai fizikai méréseket. Inkább utánérzésrôl van szó,jelentôs kutatók eljárásait ismételjük meg célirányosmódszertani egyszerûsítésben.

Empíria és kísérlet elôzetes, vonatkozó elméletiismeretek nélkül semmit sem ér. A dolog értelméhezkell eljutni. Ezt nem nyerhetjük a látványosság szép-ségével vagy egyszerû manipulációval. A látottak mö-

416 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

gé kell nézni, távolabbi szintetizálás, vagyis valami-

1. ábra. Kísérleti összeállítás a vasmag leemeléséhez-leszakításához.

leemelhetõ záróvas

zsebizzó

4,5 V

lyen szemléletalkotás érdekében. A kísérleti eredmé-nyeket kell beilleszteni már ismert elméleti rendszer-be. Amikor ez nem megy, ott állunk a nagy felfedezé-sek küszöbén.

A kísérletek ilyen értelmezése sorrendet jelöl ki. Azelôbbiek szerint elsôként a kísérlet mélyebb értelme-zése, ezután viszont visszatérés az alapszituációra, demás oldalról való közelítéssel. Ezáltal megvalósul atapasztalat és elmélet erôsebb összekapcsolása. Mind-ezt a matematika fokozott bevonásával tesszük. A kí-sérlet és elmélet egységében egy új igazságkritériumjelenik meg. Sok esetben az elemzések differenciál-egyenletek alkalmazását is szükségessé teszik. Ilyen-kor mindig tanári szintre kell gondolni, de kellô mód-szertani tudással vissza lehet térni egyszerûbb magya-rázatra is.

Ellenpontként itt belép egy ismert didaktikai ag-gály. Vannak, akik az egyszerûség bûvöletében élnek,e vélemény a naivitásig mehet. Mondják, a természetolyan egyszerû és világos, csak követni kell. A kísérle-tek és a magyarázatok is legyenek egyszerûek, min-den más túlbonyolítás. Úgy gondolják, ha a látványszórakoztató, már érthetô is a kísérlet. Lebilincselniajánlatos, de nem elegendô. Hasonló ez a feleletvá-lasztós kérdések attrakcióihoz; felszínességet hordoza konstrukciójuk, ezt preferálják, holott valójában akérdések jók és tartalmasak.

Tehát vigyázzunk a túlzott analizálással, de a túl-zott egyszerûsítéssel is. Härtlein Károly barátom(BME Fizikai Intézet) gyakorta szokta emlegetni be-szélgetéseinkben Einstein egyik ominózus kitételét,amely szerint „egyszerûsítsük le a tudományos ma-gyarázatokat, amennyire lehet, de annál jobban sem-miképpen”.

Lássunk néhány példát a problémakezelés egymás-ra épülô szintjeire.

Vasmag leemelése-leszakításaáramjárta tekercsrôl

Az iskolai demonstrációs transzformátorkészletbôlveszünk egy tekercset (1200 menetes), ezt ráhúzzuk avasmagra és zárt vasmagot hozunk létre. Ezután egy-szerû egyenáramú áramkört létesítünk 4,5 voltos te-leppel a tekercs és egy zsebizzó sorba kötésével (1.ábra ). A kísérlet most annyi, hogy a vasmag felsôrészét (elég nagy erôvel) leszakítjuk az alsóról. Eköz-ben azt látjuk, hogy az izzó erôteljesen felvillan, majdismét visszanyeri eredeti fényerejét. De még ki is ég-het. Ha a vasmag leszakított részét, a felsô leemeltrészt ráejtjük az alsó részre – így ismét zárt vasma-gunk lesz –, a ráesés rövid idôtartamára az izzó fényeteljesen elhalványodik, majd rövidesen ismét vissza-nyeri eredeti fényerejét. A kísérlet látványos, a magya-rázat az elektromágneses indukció nem szokványosmegjelenésére utal, amikor egy mágneses kör mágne-ses ellenállása változik. Az értelmezés, egyre mélyeb-ben, három lépcsôben lehetséges.

Kvalitatív magyarázat. A leszakítás ideje alatt azizzón átfolyó áram megnô, mivel fényereje nagyobblett. Ez csak úgy lehetséges, hogy fellépett egy beikta-tott ellenfeszültség. Ez éppen a körben keletkezettindukált feszültség, ami fluxusváltozás eredménye.Úgy vehetjük, hogy leemeléskor zárt vasmag helyettlégréssel bíró vasmagos tekercsünk lesz. Minthogy aB -tér forrásmentes (divB = 0), és a B -vonalak merôle-gesek a vas-levegô elválasztó felületre, a légrésselbíró mágneses körben mindenhol ugyanannyi éskönnyen kiszámítható B -vonal halad. Ezen B -vonalakszáma a légrés miatt most jóval kevesebb, mint zártvasmag esetén, tehát a (BA ) fluxus csökkent, így avasmagot körbefogó tekercsben indukált feszültségkeletkezik a leemelés ideje alatt, amely az áramkör-ben a telepfeszültséghez elôjelesen hozzáadódik. ALenz-törvény következtében viszont az indukált fe-szültség a fluxus csökkenését akarja akadályozni, azeredeti fluxust akarja fenntartani, tehát a kör összesfeszültségét növeli, ezáltal növeli a kör áramát, hogyaz eredeti fluxus kevésbé csökkenjen. Ezért az indu-kált feszültség növeli a kör összes feszültségét.

A vasmag ráejtésekor éppen a fordított zajlik; itt azindukált feszültség a már kisebb fluxust akarja fenn-tartani, így most a telepfeszültséggel ellentétes, ami-nek következtében kevesebb áram folyik a körben,mint az eredeti teljes fluxus esetén.

A kísérleti elrendezést egy x vastagságú légréssel ellá-tott toroid tekerccsel modellezhetjük. Írjuk fel a ger-jesztési törvényt a körre, amikor figyelembe vesszük,hogy B = μH, ahol μ =μ0μr. Ezzel egyúttal kijelöltük azegyszerûsítés egy körét, amennyiben a hiszterézisgör-be helyett B és H között lineáris kapcsolatot tétele-zünk fel.

Kihasználjuk, hogy a mágneses körben B minden-hol ugyanaz, mivel a B -tér forrásmentes, továbbáB -nek normál komponense a vas-levegô elválasztófelületen maga a teljes B -érték. A számítás vonalinteg-rál helyett most szorzatösszegre redukálódik:

ahol az elsô tagban a vas permeabilitása szerepel, a

Bμ1

(l x ) Bμ2

x = n I,

második tagban a levegôé, továbbá l a toroid közép-vonalának hossza, n a tekercs menetszáma, I a köráramerôssége. Mivel a vas relatív permeabilitása ∼

A FIZIKA TANÍTÁSA 417

5000, a levegôé viszont 1, ezért jó közelítéssel az Akeresztmetszetû vasmag fluxusa

A légrés növelésével a fluxus láthatóan csökken. En-

Φ = μ2

n I Ax

.

nél a közelítésnél a hiszterézisgörbét kiiktattuk, mivelezáltal a jelenséget meghatározó hatás a légrésre kon-centrálódik.

Az elôbbi leírás ugyan már kvantitatív, de csak közelí-tô jellegû, ugyanis x növelésével maga a gerjesztô Iáram is változik, így I magának x -nek is függvénye. Atovábbi számoláshoz x változását elô kell írnunk, pél-dául állandó sebességgel emeljük le a vasmagot. Ez alegegyszerûbb eset: x = v t, v a leemelés sebessége, taz idô. Ha most így az x (t ) függvényt ismerjük, akkora körre felírt huroktörvény segítségével ez a bonyolultfolyamat differenciálegyenlettel leírható:

ahol R a kör teljes ohmos ellenállása, a jobb oldal a

I R dΦdt

= Ue ,

telepfeszültség és Φ deriváltját az elsô képletbôl kellelôállítani oly módon, hogy az áramot is az idô függ-vényének tekintjük. Tehát ezt a deriváltat törtfügg-vény deriváltjaként kell elôállítani. Ezáltal I (t )-re dif-ferenciálegyenletet kapunk. A részletek megtalálha-tók a szerzô egyik cikkében: Fizikai Szemle 1970/3.szám. Ezúttal tájékozódásképpen egyszerûbb közelí-tést veszünk. Mivel a légrés vastagsága kicsi, és állan-dó sebességgel mozgatjuk a vasmagot, azért vegyükmost x átlagát, ami egy állandó érték és ezt a tört-függvény idô szerinti deriváláskor a végén vesszükfigyelembe:

ahol k jelenti x átlagát, vagyis a résszélesség felét és v

d⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Ix

d t= I ′ k I v

k 2,

a már mondott mozgatási sebesség. Ezt a fenti hurok-törvénybe helyettesítve kapunk egy elsôrendû, inho-mogén differenciálegyenletet az I (t ) függvényre:aI ′+b I = Ue, ahol a és b állandók. b = R−λv, λ szin-tén állandó. Az áramerôsségre a partikuláris megoldás

Ha az eredeti, légrés nélküli állapotban számolnánk

Ip =Ue

R λ v.

az áramerôsséget, Ohm törvénye alapján

értéket kapnánk. Világosan látszik, hogy az elôbbi

I =Ue

R

áram – mikor a vasmagot leszakítjuk – nagyobb minta stacionárius áram, és pedig nagyobb szakítási sebes-ség esetén nagyobb lesz.

Felfüggesztett rugó anyageloszlása

Nagy átmérôjû (∼ 10 cm), sûrû menetû, laza spirálru-gót (slimky) egyik végénél fogva felemelünk és nyu-galomban tartjuk. Függôlegesen lóg, a másik végeszabad. Az egyes menetek távolsága mérvadó a helyianyageloszlásra (2. ábra ). Azt tapasztaljuk, hogy amenetek egymás közti távolsága a felfüggesztés köze-lében a legnagyobb. Úgy mondhatnánk, hogy ez aspirálrugó-alakzat a felfüggesztés körül a legritkább.Nem a rugó anyagának a sûrûségérôl van szó! Hatá-rozzuk meg számolással és méréssel ebben az állapo-tában anyageloszlását. Hasznos lehet a vonalsûrûségfogalmának bevezetése. A ρ vonalsûrûségen az egy-ségnyi hosszúságra esô tömeget értjük.

A középiskolai gyakorlatban, ha a Hooke-törvényelôfordul, akkor azt többnyire a szál végére írjuk fel.E problémában általánosítva felhasználjuk, hogy aHooke-törvény a rugalmas szál belsô pontjaira is ér-vényes, egyben differenciális formában is. A spirálru-gó-alakzatot egészében rugalmas szálnak tekintjük. Adifferenciális Hooke-törvény alkalmazásakor határát-menettel a vonalsûrûség helyfüggése meghatározha-tó: ρ = ρ(x ), ahol x a megnyúlt szál mellett képzeltnyújtatlan szálon – az úgynevezett referenciaszál – abefogástól számított távolság. A 2. ábra alapján okos-kodunk, de elôször általánosságban, vagyis a szálatnem feltétlenül gravitációs erô terheli. Hasson F erô aszál végére a szál egyenesében! Vizsgáljuk a belsôpontok elmozdulásait a referenciaszálhoz képest!Legyen P1 pont x1 távolságra a befogástól, P2 legyenx2-re a referenciaszálon mérve! Az F erô hatására P1

eltolódik és az x1 szakasz megnyúlása y1, az x2 szaka-szé y2, így a Δx szakasz átmegy Δx′-be. Mennyi ez?

Az y érték a helyi megnyúlás, Δy a Δx hosszúságú

Δx′ = x2 y2 x1 y1 = Δx Δ y .

szakasz megnyúlása, ahogy a referenciaszálon elôrehaladunk. Mi a kapcsolat ρ és y között? Ez abból azészrevételbôl adódik, hogy bárhol is tekintünk egy Δxdarabot a referenciaszálon, a benne foglalt tömegugyanaz, mint a valódi, vagyis a megnyúlt szálon ta-lálható Δx′-ben. Ezért az m = ρl definíciós képlettel,ρΔx′= ρ0Δx, ahol ρ0 a nyújtatlan szál vonalsûrûsége,ρ a nyújtott szálé. Δx′ értékét helyettesítve, ρ-ra kap-juk, hogy

Végül határátmenettel azt kapjuk, hogy

ρ = ρ0

ΔxΔx Δ y

= ρ0

1

1 Δ yΔx

.

Ez eddig általánosságban igaz. Ha tehát ismerjük az y

ρ =ρ0

1 dydx

.

helyi megnyúlás x -függését, a megnyúlt szál ρ(x) anyag-

418 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

eloszlása meghatározható. A jelen esetben y(x) megha-

2. ábra. A rugó és a referenciaszál megnyúlása.

x1

P1 P2

y1

x2 y2

Dx

Dx�

referenciaszál

valódi szál

3. ábra. Kísérleti összeállítás a léggömb vákuumos felfújásához.

kezdõ állapotüvegbúra

p0p pk = 0 p pk < 0

pb

szivattyúhoz

tározása most már azon alapul, hogy a Hooke-törvényt aszál belsô pontjaira írjuk fel. A Hooke-törvényben F(x) aszál egyik belsô pontjában fellépô erôt jelenti. Alkalmaz-zuk ρ(x) képletét a felfüggesztett szálra! A referenciaszálP pontjában a húzóerô a P alatti szálrész súlya. Tekintsükezután a Δx hosszúságú, A keresztemetszetû szakaszmegnyúlását! Erre írjuk fel a Hooke-törvényt:

Ezután képezzük a Δy /Δx hányadost, majd határérték-

Δ y = 1E

Δx (L x ) ρ0 g

A.

re térünk és ezzel az y helyi megnyúlásra kapunk egydifferenciális formulát:

Az egész szálra vonatkozó Hooke-törvénybôl számol-

y ′ =ρ0 g

E A(L x) .

ható, hogy EA = DL, ahol D az egész szál direkciósereje, L a referenciaszál hossza. Így

Ha ezt behelyettesítjük ρ fenti általános képletébe,

y ′ =ρ0 g

D L(L x) .

megkapjuk a megnyúlt szál keresett anyageloszlását:

Látható, ha x = 0, vagyis a felfüggesztésnél ρ a legki-

ρ =ρ0

1ρ0 g

D L(L x)

.

sebb, míg x = L -nél ρ a legnagyobb, éppen ρ0. Ígyρ(x ) megadja a rugalmas szál anyageloszlását.

Meghatározhatjuk a szál teljes megnyúlását is. Mi-vel dy a dx szakasz megnyúlása, azért a szál teljesmegnyúlása

vagy

Δ = ⌡⌠L

0

dy =ρ0 g

D L⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

L x x 2

2

L

0

=ρ0 g L

2D,

ahol m a szál tömege. A képletnek szemléletes jelen-

Δ = 12

m gD

,

tése van: mintha D direkciós erejû súlytalan rugalmas

szálra m tömegû testet függesztenénk, ekkor Δ jelentiaz itteni megnyúlás felét.

A mérést itt úgy végezzük, hogy a nyújtott szálonegyenlô szakaszokat tekintve, feljegyezzük, hogyhány menet esik egy-egy szakaszra. A menetek számaközelítôen követi a sûrûségre adott anyageloszlást.

Léggömb felfúvódása evakuált térben

Kis lufit veszünk – ne fújjuk fel –, jól lekötjük, és he-lyezzük el lazán az iskolai demonstrációs légszivattyúüvegharangja alá. Ezután kezdjük a leszívást. A lufikigömbölyödik, dagad, nagyra nô, akár szét is puk-kanhat (3. ábra ). Vizsgáljuk a lufi sugarát az evakuálttér nyomásának függvényében, és igyekszünk feltételttalálni arra, hogy még éppen ne pukkadjon szét.

A jelenséget lényegében a lufi anyagának E rugal-massági modulusza és a nyomáskülönbség határozzameg. Mint érdekesség említhetô, hogy leszívás köz-ben az evakuált tér pk nyomásának csökkenésével alufi belsejének pb nyomása is csökken, holott elsôpillanatra azt várnánk, hogy nagyobb nyomás feszíti.

Két formulát használunk fel: a mûszaki mechaniká-ból ismert úgynevezett kazánformulát és a differenciálisHooke-törvényt. Az elsô esetben, ha a kazán terében pb

nyomás uralkodik, a kazán falában σ feszültség ébred.Hengeres vagy gömb alakú kazánnál egy kettes faktor-tól eltekintve a képletek azonosak. A kazánformula:

ahol R a gömb (lufi) sugara, v a falvastagság, amit ezút-

σ = R p2 v

,

tal állandónak veszünk – egyébként még a Poisson-szá-mot is figyelembe kellene vennünk. Végül p a gömbbe-li – értelemszerûen a pk -hoz viszonyított – nyomást,vagyis a relatív nyomást jelenti: pb −pk. Jogos még aztfeltételezni, hogy a lufiban lévô levegô izotermikusantágul. Mindezekbôl adódik egy egyenletrendszer:

(1)

pk

2 σ vR

= pb ,

pb =p0 V0

V,

V = 4 R 3 π 13

,

(2)σ = ε E ,

differenciálisan: dσ = E dRR

.

A FIZIKA TANÍTÁSA 419

Az utolsó képlethez részletesebb megjegyzés kí-

4. ábra. A hûtôszekrény és környezete.

1. tér

2. tér

T1 T2

Q1

Q2

Q2

vánkozik.Tekintsünk egy analóg helyzetet. Rugalmas szálat

nyújt a végén ható F erô. Tetszôleges x helyen az ymegnyúlás

ha F minden x helyen ugyanaz. Ekkor ε = y /x, tehát a

y = 1E A

F x,

relatív megnyúlás is mindenhol ugyanaz. Ha viszontaz F erô x -nek függvénye, például ha az egyik végé-nél fogva felakasztjuk a szálat, akkor y már integrállalszámítandó, mint az elôzô fejezetben. Az y /x hánya-dos így sem adja a helyi relatív megnyúlást, mert y ateljes x szakasz megnyúlásának függvénye, függx -tôl. Ugyanígy, ha jelenleg a gömbre

képletet vennénk (R0 a kezdô sugár), nem a helyi

ε =R R0

R0

ε-értéket kapnánk. Tehát mindig az aktuális R helyenkell a relatív megnyúlást számítani:

a helyes. Hasonlóan az elôbbiekben is adott Δx sza-

ε = ΔRR

kasznak vettük a Δy megnyúlását és így ott

Ha F állandó, ε független a helytôl, de x -tôl függô F

ε = Δ yΔx

, valamint ε = FE A

.

esetén

lesz. Valójában a differencia- és a differenciálhánya-

ε = F (x )E A

dos fizikailag értelmezett különbségérôl van szó.Visszatérve az (1) alapegyenletre, amikor e jelenség-ben a σ feszültséget a Hooke-törvénybôl vesszük: σ =εE, az úgy lesz helyes, ha ε-ra való tekintettel infinite-zimálisan írjuk fel tetszôleges R helyen és ε-banR -hez viszonyítunk. Tehát

Határátmenetben, felhasználva egy függvény differen-

Δ pk

2 v σR

= Δ pb és σ = E ΔRR

.

ciáljának felírását, a megoldandó egyenlet végül akövetkezô lesz:

ahol a vesszô R szerinti deriváltat jelent. A jobb oldali

(3)pk′2 v E

R 2= pb′ ,

derivált pb képletébôl nyerhetô. A már mondottakszerint

pb =3 p0 V0

4 π1R 3

, azaz pb = K

R 3.

(3)-ból a pk(R ) függvény egyszerûen kiintegrálható:

ahol a C állandó a kezdeti feltételekbôl határozható

pk = K

R 3

v ER

C ,

meg; R = R0, pk = p0 = pb. A keresett pk függvény, ami aprobléma megoldása, így szól:

R0 a sugár kezdô értéke és R > R0, R növekedtével

pk = p0 K⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1R 3

0

1R 3

v E ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1R0

1R

.

pk egyértelmûen csökken. Fizikailag az inverz függ-vény bír szemléletes jelentéssel: a leszívással, vagyispk csökkentésével a luftballon sugara növekszik.

A háztartási hûtôszekrény energiaviszonyai

A hûtôszekrény mûködését kell szemügyre venni és astacionárius állapotot. A hûtô mûködését a szakiroda-lom szerint a fordított, reverzibilis Carnot-körfolyamat-tal modellezzük. Ennek lényege, hogy energiaközlésárán az alacsonyabb hômérsékletû hôtartályból hôtjuttathatunk a magasabb hômérsékletû hôtartályba.Spontán ez lehetetlen, tiltja a hôtan második fôtétele.

Tekintsük a hûtô belsô, hûtendô terét. A hûtôszek-rényben lévô szerkezet ciklusonként Q2 hôt vesz ki ahûtött térbôl és W munka árán Q1 > Q2 hôt ad le a kör-nyezetnek. A mechanikai szerkezet, amely a Carnot-ciklust fenntartja, például egy villanymotor által mû-ködtetett kompresszor, amely zárt térben cseppfolyósítés elpárologtat valamilyen freont helyettesítô gázt. Így aCarnot-ciklust végzô anyag a gáz, a befektetett Wmunka a motor által végzett munka. A környezet mostaz a helyiség, ahol a hûtô áll. (Ne vegyük számításba,hogy a helyiség – például konyha – a falán keresztültermikus kapcsolatban van a Tk állandó hômérsékletûkülsô környezettel.) Továbbá vegyük figyelembe, hogya hûtô hôcserélô bordái annak hátsó falán vannak fel-szerelve, vagyis a Q1 hô – a 4. ábra szerint az 1-es jelûtérnek – a helyiségnek adódik le. Az ismert termodina-mikai számítások szerint a ciklusonként végzendô me-chanikai munka: W = Q1 −Q2, a hûtés jósági tényezôje

420 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

η = Q2/W. Elôírhatjuk a hûtés két jellemzô hômérsékle-tét. Legyen az egyes tér állandó hômérséklete T1, a ket-tes téré az állandó T2. Ez utóbbit akarjuk fenntartani, astacionárius állapotot itt kell majd kifejezésre juttatni.Szintén a számítások szerint η kifejezhetô az elôbbi jel-legzetes hômérsékletekkel:

A hûtô fala nem tökéletesen hôszigetelt, így az

(1)η =T2

T1 T2

.

egyes térbôl, valamelyes hô a Carnot-ciklustól függet-lenül a hûtött térbe visszaáramlik. Stacionárius állapotakkor uralkodik a kettes, vagyis a hûtött térben, ami-kor ciklusonként az abból kivett Q2 hô a hûtô falán átaz egyes térbôl oda visszaáramlik, miközben az egyestér Q1 hôt kap. Mindebbôl az is látszik, hogy Q1 −Q2

hô fûti az egyes teret, vagyis éppen a befektetett Wmechanikai munka. Ha Q2 nem áramolna vissza ciklu-sonként, akkor a hûtött tér hômérséklete állandóancsökkenne. Ez a visszaáramló hô Newton hôátadásitörvényébôl számolható:

ahol α a hûtô falának hôátbocsátási tényezôje, A a

(2)Q2 = α A T1 T2 Δ t,

hôátadó összes felület, Δt egy ciklus ideje. T1 és T2

állandóságát biztosítani kell.A továbbiak kedvéért fontos megjegyzést kell ten-

nünk. Hangsúlyoztuk, hogy a T1 hômérsékletet elô kellírni. De ez azt jelenti, hogy fenn kell tartani. Példáultélen a helyiséget külön fûtjük, így állítva elô az egyestér állandó hômérsékletét. Ezt Newton lehûlési törvényealapján kiszámolhatjuk. Legyen a fûtôtest, vagy kályhateljesítménye P és a külsô környezet állandó hômérsék-lete Tk, akkor stacionárius állapotban a helyiség általfelvett és leadott teljesítmény egyenlô, amibôl T1 megha-tározható: P = αA (T1 −Tk ). Ha például α = 2 Jm−2 s−1 K−1,akkor egy 5 méter élû, kocka alakú helyiség 6 kW-oskályhával 0 °C hômérsékletû környezetben 20 °C-rafûthetô fel. Továbbá fontos kiemelni, hogy a számolásalapját képezô reverzibilis fordított Carnot-ciklus jó tájé-kozódásra szolgál csupán, mivel a valóságos körfolya-mat irreverzibilis. Ezért a reverzibilis tárgyalás közelítôeredményt szolgáltat.

Fontos továbbá, hogy a falak α hôátbocsátási té-nyezôje valójában nem állandó, csak kis hômérsékletitartományban vehetô állandónak. Hô- és áramlásihasonlósági kritériumok segítségével különféle fizikaiszituációkban meghatározható α hômérsékletfüggése.A jelen helyzetben α a hômérséklet-különbség negye-dik gyökével arányos. Ennek meghatározására a Gras-hoff-, Nusselt- és a Prandtl-féle hasonlósági kritériu-mokat kell felhasználni. Mivel α értékét számításaink-ban állandónak vesszük, az eredmények e tekintet-ben is közelítô érvényûek.

Ezt a modellt tekintve mekkora hûtést lehet elérni?T2-nek van alsó limitje. Egyik tényezô α hômérséklet-függése. Ha ugyanis T1 −T2 nagy, úgy α is egyre na-gyobb, tehát romlik a hôszigetelés a környezet (a he-

lyiség) és a hûtött tér között. Egészen más technika,amikor megközelítik az abszolút zérus fokot.

E kitérô után határozzuk meg stacionárius állapot-ban a hûtôgép által befektetendô P mechanikai telje-sítményt. Mivel az egy ciklus alatt végzett munka W =PΔt, továbbá felhasználva a jósági tényezô formulájátés Q2 elôbbi képletét,

másrészt;

η =Q2

W=

α A T1 T2 Δ t

P Δ t,

Végül

η =T2

T1 T2

.

Jól látható, hogy nagyobb hûtés eléréséhez négyze-

P =α A T1 T2

2

T2

.

tesen növekvô mechanikai teljesítmény szükséges.Példaként határozzuk meg a szükséges relatív telje-

sítménytöbbletet a nyári és téli üzem között, ha a hû-tött térben ugyanazt a hômérsékletet kívánjuk fenn-tartani. Legyen például T2 mindig −10 °C, vagyis 263K, míg a helyiségben télen 18 °C és nyáron 27 °C.Keressük tehát a δ = ΔP /P1 hányadost. ΔP elôbbi kép-letébôl kapjuk, hogy

ahol T12 és T11 T1 értéke nyáron, illetve télen. Végül a

ΔP = α AT2

T12 T22 T11 T2

2 ,

relatív teljesítménytöbblet

Numerikusan:

δ =⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

T12 T2

T11 T2

2

1.

δ =⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

300 263291 263

2

1 = 74,6%.

A klímaberendezésrôl

A hûtéshez tartozik egy nálunk is elterjedt eljárás he-lyiségek hûtésére, illetve klimatizálására. A mûködéselve itt is a fordított reverzibilis Carnot-ciklus. Mostazonban a hôcserélôt – ahol leadódik egy-egy ciklus-ban az elvont hô – nem a hûtendô helyiségben he-lyezték el, hanem a lakáson kívül, például a külsôfalon. Így a gép, rendszerint elektromos energia be-táplálásával mûködô párologtató-áramoltató berende-zés a helyiségbôl elvont hôt a környezetnek adja át,amit állandó hômérsékletûnek tekintünk. Például afreont helyettesítô gázzal zárt csôrendszerben végez-

A FIZIKA TANÍTÁSA 421

tetjük a fordított Carnot-ciklust. E gépek érdekessége,hogy egy kapcsolóval fûtésre is átállíthatók. A kap-csolóval ugyanis – a zárt csôrendszerben áramoltatottközeg áramlási irányának megváltoztatásával – a pá-rologtató és az úgynevezett kondenzátor szerepe fel-cserélôdik. Ezáltal a gép a környezettôl von el hôt ésazt a helyiségnek adja le. A csôrendszerben lévô hal-mazállapot-változások külsô munka árán mennekvégbe, és ennek révén jut hô az alacsonyabb hômér-sékletû környezetbôl a melegebb helyiségbe. De„nem magától” megy végbe e folyamat. A jósági té-nyezô viszont más, mint amikor ugyanezt a gépethûtésre használjuk. Minket ugyanis fûtéskor nem azelvont Q2 hô, hanem a leadott Q1 hô érdekel. A befek-tetett W munkát ehhez kell viszonyítani. Ezért most ajósági tényezô (hatásfok):

átírva:

η =Q1

Q1 Q2

,

Hûtéskor viszont

η =T1

T1 T2

.

volt a jósági tényezô.

η =T2

T1 T2

Periodikus hôátadás sík falon keresztül

A probléma egyszerûsített modellen igen szemlélete-sen tárgyalható, a diszkusszió jól rámutat a jelenséglefolyására.

Gondoljunk egy vékony falu házra, annak egyikszobájára. A fal ugyan tégla, de gyengén tartja a mele-get. Ilyen lehet például egy nyaraló. Ez esetben a kör-nyezeti hômérséklet ingadozása a különbözô napsza-kokat tekintve, erôsen befolyásolja a szoba belteré-nek hômérsékletét.

Modellszerûen írjuk le a jelenséget. Tudjuk, a mo-dell akkor jó, ha a jelenség lényeges vonásait tükrözi.Emellett még az is szerencsés, hogy egyszerûbb mate-matikai tárgyalást tesz lehetôvé. Ezért az alábbi felté-teleket szabjuk: a hôátmenet a falra merôlegesen tör-ténik, akár be, akár kiáramlásról van szó. A fal átbo-csátását az α hôátbocsátási tényezôvel vesszük figye-lembe, ami egyszerre írja le a fal két oldalán a hôát-adást és a véges vastagságú falban a hôvezetést. Így αmegadásával sík, vékony falat tekinthetünk. Úgy vesz-szük továbbá, hogy a helyiségben bárhol a pillanatnyihômérséklet ugyanaz. Ezáltal a hôvezetés parciálisdifferenciálegyenlete helyett közönséges differenciál-egyenletet kell megoldani. Ha pontosabb elemzéstkövetnénk, arra jutnánk, hogy hômérsékleti hullámokfutnának végig a helyiségen lecsengô amplitúdóval. A

szemközti falról részben visszaverôdve, állóhullám-hoz hasonló állapot alakulna ki. Ha elég hosszú rúdhôvezetését vizsgálnánk, ahol visszaverôdésrôl nincsszó, ez a számítás alapját képezné a híres Ångström-féle mérôeljárásnak. Ezzel lehet ugyanis nagy pontos-sággal mérni fémek hôvezetô-képességét. De köves-sük most az egyszerûbb modellt.

Fûtsük a helyiséget P teljesítménnyel is, legyen aszobában az összes anyag tömege m, az átlagos fajhôc, a hôcserélô-felület A, a szoba pillanatnyi hômérsék-lete T. Legyen továbbá T0 a környezeti alaphômérsék-let és R a környezeti hômérséklet-ingadozás maximu-ma. Végül a környezet hômérsékletét írja le az alábbi,ω frekvenciájú periodikus idôfüggvény:

Az elôbbiek alapján a szoba hôcseréjére felírhatunk

Tk = T0 R sinω t .

egy energiaegyenletet Newton hôátadási törvényénekfigyelembe vételével:

A szögletes zárójeles kifejezés t -tôl függôen lehet

c m dT = α A T Tk (t ) dt P dt.

pillanatnyilag pozitív vagy negatív. Ezért lehetségespillanatnyi hôkiáramlás vagy -beáramlás. A megol-dandó differenciálegyenlet:

Abban a speciális esetben ha dT /dt = 0 feltételt

(1)dTdt

= α Ac m

T T0 R sinω t Pc m

.

írjuk elô, (1)-bôl adódik, hogy P már nem lehet állan-dó, mert akkor T idôfüggô lenne, ami a tett feltevésselellenkezik. Ekkor tehát periodikusan kellene fûteni,hogy T állandó legyen. Ha viszont a külsô hômérsék-let nem periodikusan változik, tehát ω = 0 is fennáll, Pmár lehet állandó és kapjuk a közvetlenül is nyerhetôT egyensúlyi hômérsékletet. Ilyenkor – elemi meg-gondolással – a leadott teljesítmény egyenlô a kime-nôvel. Ez adódik a mondott feltevéssel, ami (1)-bôl iskövetkezik. Tehát

Visszatérve (1) megoldására, átrendezés után a

T = T0

Pα A

.

megoldandó differenciálegyenlet:

Megoldás: Az inhomogén egyenlet egy partikuláris

(2)

dTdt

λ T = γ λ R sinω t,

ahol λ = α Ac m

és γ = λ T0

Pc m

.

megoldásához hozzá kell adni a megfelelô homogénegyenlet általános megoldását. Ez utóbbi Thom = Ke−λt,ahol K egy állandó. A (2) egyenlet egy partikulárismegoldását próbafüggvény alakjában keressük. Le-gyen ez

422 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

ahol B, C, D meghatározandó állandók. A (3) feltételt

(3)Tpart = B sinω t C cosω t D,

a (2) egyenletbe tesszük és együttható összehasonlí-tással határozzuk meg az elôbbi állandókat. Erre néz-ve egyenletrendszert kapunk:

Ezt az egyenletrendszert megoldva, kapjuk az elôbbi

B ω C λ = 0,

C ω B λ R λ = 0,

D λ = γ .

állandók konkrét értékeit:

Stacionárius állapotban (jelenleg hosszú idôre néz-

B = λ2 R

ω 2 λ2,

C = λ ω R

ω 2 λ2,

D = γλ

.

ve) a homogén egyenlet megoldása lecseng és ezért(2) stacionárius megoldása:

A (4) megoldás diszkussziója tartalmazza a jelenség

(4)T = B sinω t C cosω t T0

Pα A

.

érdekességét. Ha az elsô két tagból kiemelünk(B 2 +C 2)1/2-t, és alkalmazzuk az egyik trigonometrikusaddíciós tételt, úgy ismét szinusz-függvénnyel írhatóle a helyiség periodizáló hômérséklete. Ez a függvényB, C, D fenti képleteivel ilyen lesz:

lesz, ahol

(5)T = R λ

ω 2 λ2sin(ω t ϕ ) T0

Pα A

,

tgϕ = ωλ

.

Ezek szerint a helyiségben ugyanazzal a periódus-sal ingadozik a hômérséklet, de csökkent amplitúdó-val, mivel (5)-ben R szorzója mindig egynél kisebb.Ami külön érdekesség, hogy a fal hatása még abban isjelentkezik, hogy ϕ fáziskésést hoz létre a hômérsék-let ingadozásában. Minél nagyobb ω, annál nagyobblesz ϕ és ugyanakkor annál kisebb a hômérsékletiamplitúdó. A fal mintegy ellenáll, nem tudja követniaz ingadozásokat. Úgy viselkedik, mintha tehetetlen-sége lenne. Viszont λ által, ha α nagy, érthetô módona belsô térben alig csökken a hômérsékleti amplitúdóés ϕ is egyre kisebb, vagyis egyre zavartalanabbulengedi át a fal a külsô ingadozásokat. Végül ω = 0esetén visszakapjuk az alapesetet, ha a környezetihômérséklet állandó.

Ajánlható mérés itt az lehet, hogy a nap folyamántöbbször mérjük a külsô és belsô hômérsékletet. Ez-után felvehetünk egy diagramot ezek idôfüggésére,így szemléltetve a kétféle amplitúdót és a két, közelí-tôen szinusz-görbe ϕ szögû eltolódását.

Megjegyzendô, hogy az amplitúdócsökkenés nema falban lévô energiadisszipáció következménye, azaznem a fal nyeli el a beáramlott energia egy részét,hanem stacionárius állapotban úgy hat a fal α révén,hogy kevesebb energiát enged át. Más kérdés, hogykülön meghatározható a fal energiasûrûsége. Ugyan-akkor a periodizáló hômérséklettôl függetlenül hôát-menet csak hômérséklet-különbség esetén lehetséges,amit az (1) egyenlet ír le. Jelenleg idôfüggô a hômér-sékleti gradiens.

✧A demonstrációs kísérletek elônyösen tovább fejleszt-hetôk fizikai mérésekké, ahogy erre történt már uta-lás. Ezáltal tevôlegesen belenyúlunk egy megismerésifolyamatba, bár itt sem valami újnak a felfedezésérôlvan szó, hanem például a vonatkozó törvényekbenszereplô paraméterek konkrét mérésérôl, mint a hôát-bocsátási tényezô, vagy rugalmas szál vonalsûrûsége.Ha a jelenség idôbeli lefolyását vizsgáljuk, akkor améréssel a folyamat megragadása jelent mélyebbmegértést. Tág tere nyílik a különbözô szintû megkö-zelítésnek a tanulók tehetsége szerint.

A FIZIKUS KERTJE – AVAGY A MECHANIKATANÍTÁSÁNAK EGY ÚJ MEGKÖZELÍTÉSE Tóth Árpád Gimnázium, Debrecen

Baló Péter

Sok éve már, hogy az általános iskolától a középisko-lán át az egyetemig ugyanolyan felépítésben tanítják amechanikát. Kinematikával kezdôdik, és ezen belülvalamennyi speciális mozgást bemutatják, velük ajellemzésükhöz szükséges fogalmakat és törvényeketis. Ezután következik a dinamika. A magára hagyotttest mozgása alapján eljutunk Newton I. törvényéhez.A lendület, a lendületmegmaradás törvénye vezeti be

az erô fogalmát. Megtárgyalják az egyes erôk erôtör-vényét, majd Newton II. törvénye segítségével meg-kezdôdik a mozgások dinamikai tárgyalása. Egyenesvonalú egyenletesen változó mozgás, szabadesés,hajítások, egyenletes körmozgás – megannyi speciáliseset, amelyek elemzéséhez a már megtárgyalt kine-matikai ismeretekre lenne szükség. Mivel a diákokrégebben tanulták és túl sok a hozzájuk tartozó for-

A FIZIKA TANÍTÁSA 423

mula, nehezen boldogulnak. Súrlódás, tapadás, kö-zegellenállás, és újra szükség lenne a kinematikára.Normál osztályokban ez bizony nem egyszerû feladat.A dinamika zárása után kezdôdik a munka-energiafejezet. A munka fogalma, a gravitációs erô és a rugó-erô munkájának kiszámítása, valamint a mozgásienergia bevezetése után a munkatétel megismeréselenne a következô lépés. Érdekes módon a jelenlegikövetelményrendszer szerint a munkatétel emelt szin-tû tudás. Érthetetlen, hiszen minden ismeret, ami ben-ne van, az a középszinthez tartozik. Ráadásul sokfeladat a munkatétel segítségével oldható meg a leg-egyszerûbben. A munkák kiszámításához egyébkéntkellenek az erôtörvények, amelyek megint túl régenvoltak már, nehéz gyorsan felidézni azokat. Ezt követia helyzeti energia, a rugalmas energia bevezetése és amechanikai energiák megmaradásának törvénye.Most már elvileg mindent tudnak a gyerekek, lehetneelmélyíteni az ismereteket – de itt az év vége, errenincs lehetôség.

A nehézségeket elsôsorban az okozza, hogy szoro-san összekapcsolódó fogalmakat és törvényeket idô-ben egymástól távol tanítunk, s ráadásul a szöveg-környezet is más. Pedig ez a szétválasztás mestersé-ges és erôltetett. Pontosan olyan, mintha a fizikus akertjében lévô gyönyörû növényeket részenként mu-tatná meg a látogatóknak. Egyik sarokban lennéneka levelek, egymás hegyén-hátán az összes fajta levél.Egy másik sarokban tartaná a szárakat, egy harma-dikban a gyökereket. A virágzatok egy negyedik he-lyen lennének felhalmozva. A látogató pedig, miutánmind a négy sarkot megtekintette, hazamehet s meg-próbálhatja magának összerakni ezek alapján azegyes növényeket. Képzelhetjük, hogy mekkora si-kerrel!

Sokkal természetesebb lenne, ha egy kertészrôlvennénk példát. Tegyünk a látogatók elé egy nö-vényt s engedjük, hogy azt teljesen körbejárják ésalaposan megismerjék. Ezután következhet egyújabb növény, majd még egy s még egy. Egészen ad-dig, amíg a kertünket teljesen be nem mutattuk. Ven-dégünk minden növény vizsgálatánál egyre tapasz-taltabb és ügyesebb lesz.

Most nézzük meg, hogyan lehet ezt megvalósítani!A most következô vázlat a középszintû mechanikaiismeretekbôl építkezik. Nem nehéz az olvasónakebben a rendszerben elhelyezni az emelt szintû isme-reteket sem.

Magára hagyott test viselkedéseElsôként mutassuk meg, hogyan adhatjuk meg a

testek helyét és mondjuk meg, mi a nyomkép, apálya és az út! Majd jellemezzük a mozgás gyorsasá-gát az átlagsebességgel és a pillanatnyi sebességgel!Ezután foglalkozzunk az egyenletes, majd az egyenesvonalú egyenletes mozgással! Eddig tiszta kinematikavolt, de ez utóbbi speciális mozgás tárgyalásánál tel-jesen természetes a kérdés: „Mikor mozog így egytest?” és hasonlóan természetes a válasz is, azaz New-ton I. törvénye.

PárkölcsönhatásEzután vizsgáljuk meg a testek párkölcsönhatását!

Vezessük be a tömeget (mint azt a fizikai mennyisé-get, amely megszabja párkölcsönhatás során a testeksebességváltozásainak arányát), ezután definiáljuk alendületet és mondjuk ki a lendületmegmaradás tör-vényét! Az ütközések osztályozásához vegyük elô amozgási energia fogalmát. Nem kell tôle most félni,hiszen általános iskolában már hallottak róla a gyere-kek, ismerôs lesz nekik. Az egyes testek lendületvál-tozása segítségével vezessük be az erô fogalmát ésmáris kimondhatjuk Newton III. törvényét. Az ütkö-zés elôtt, illetve ütközés után a testek egyenes vonalúegyenletes mozgást végeznek, a feladatmegoldásoksorán gyakorolni lehet az idetartozó kinematikai is-mereteket.

Gravitációs kölcsönhatásEzt követi a gravitációs kölcsönhatás vizsgálata,

ezen belül az egyenes vonalú egyenletesen változómozgás tárgyalása és a gravitációs erôtörvény megis-merése. Az erô munkájának bevezetése után, mivel amozgási energiát már ez elôzô részben átismételték,következhet a munkatétel, még csak szigorúan a gra-vitációs erô munkájával. Ez utóbbi elvezet a helyzetienergia bevezetéséhez és a mechanikai energiákmegmaradása egy egyszerûsített változatának kimon-dásához. Egy fejezeten belül egy kis kinematika ésdinamika, a munkatétel és energiamegmaradás egy-mást támogatják. Sokféle feladat megfogalmazhatómár, és többségük olyan, amelyet akár kinematikai-lag, akár munkatétellel, illetve a mechanikai energiákmegmaradási törvényének egyszerû alakjával megtudnak oldani a tanulók.

Rugalmas kölcsönhatásEzután a rugalmas kölcsönhatás tárgyalása követ-

kezhet. A rugó erôtörvénye után már meg lehet vizs-gálni az egyszerre két erô hatása alatt mozgó testekviselkedését is – azaz Newton II. törvénye, a dinamikaalaptörvénye, és azon belül a mozgásegyenlet bemu-tatása a cél. A rugóerô munkájának kiszámítása után amunkatétel gyakorlásának újabb lehetôségei tárulnakfel. Majd a rugalmas energia bevezetése után a me-chanikai energiák megmaradásának törvénye mond-ható ki teljesen általánosan. Ebben a fejezetben me-gint szorosan összekapcsolódva gyakorolhatók a ki-nematikai, a dinamikai és az energetikai ismeretek. Atanulók ekkora már nagyon jártasak lesznek a külön-bözô problémák elemzésében és a mechanika törvé-nyeinek az alkalmazásában.

Súrlódás, tapadás, közegellenállásMost következhet a súrlódási erô, a tapadási erô és

a közegellenállási erô bemutatása. Segítségükkel gaz-dagíthatók a már megismert esetek és újabb lehetôségnyílik a mozgásegyenlet, valamint a munkatétel gya-korlására. Akár egyenletes, akár egyenletesen gyorsu-ló mozgást vizsgálunk, a tanulók nagyon ügyesenalkalmazzák a megtanult összefüggéseket.

424 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

Körmozgás, bolygómozgás, általános tömegvonzásAz egyenes vonalú mozgások után tárgyalhatjuk az

egyenletes körmozgást. Elég csak most bevezetni aszögsebességet, valamint a centripetális gyorsulást, ésújabb lehetôségek nyílnak a dinamikai és energetikaiismeretek gyakorlására. Most érdemes foglalkozni azáltalános tömegvonzás törvényével, majd tágítani akört és az ellipszis alakú bolygópályák megemlítéseután bemutatni a Kepler-törvényeket.

Forgatónyomaték, merev test egyensúlya, egyszerû gépekMár csak a forgatónyomaték, a merev testek egyen-

súlyának kérdése és az egyszerû gépek áttekintésevan hátra.

A tanulók december közepére a legfontosabb dolgo-kat megismerik és év végéig alaposan begyakorolhat-ják azokat. Heti másfél órában is kényelmesen tartha-tó ez az ütem. Heti két óra esetén pedig még a hôtantananyag elsô fele (hôtágulás, gázok állapota és álla-potváltozása) is tárgyalható a kilencedik osztályban.

Ezt a felépítést elôször a korábbi évek érettségireelôkészítô foglalkozásain alkalmaztam a mechanikatananyag ismétlésére, megszilárdítására. A sikerenfelbuzdulva a tavalyi, 2009/2010-es tanévben két ki-lencedikes osztályomban már az új anyagot is eszerinttanítottam és így tanítom a jelenlegi kilencedikes osz-tályomban is.

A cikk elején felsorolt nehézségeket – tapasztala-taim szerint – teljesen ki lehet küszöbölni. Szinte telje-sen megszûnt az említett anyagrészek újratanításánakszükségessége. Másrészt a tanulók jobban látják a fizi-kai ismeretek közötti összefüggéseket, és év végérenagy gyakorlatot szereznek az elméleti és számításifeladatok megoldásában.

A jelenleg kapható fizika tankönyvek közül egyelô-re egyetlen tankönyvben található meg ez a felépítés[1]. Ez a kötet egy több szempontból is újszerû tan-könyvcsalád elsô darabja.

Irodalom1. Baló Péter: Fizika 9. Apáczai Kiadó, 2010.

AZ ORSZÁGOS SZILÁRD LEÓ FIZIKAVERSENYMEGHIRDETÉSE A 2010/2011. TANÉVRE

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, a Szilárd Leó Te-hetséggondozó Alapítvány és a paksi EnergetikaiSzakközépiskola és Kollégium a 2010/2011. tanévremeghirdeti az Országos Szilárd Leó fizikaversenyt azáltalános és a középiskolák tanulói számára.

A versenyre

I. kategóriában a versenykiírás tanévében a rendesérettségi vizsgát tevô évfolyam vagy az azt közvetle-nül megelôzô évfolyam tanulói,

II. kategóriában az általános és középiskolák 7–10.osztályos tanulói vagy a 13. évfolyammal befejezôdôközépiskolai képzésben a 11. évfolyamos tanulóknevezhetnek.

A versenyre a hazai és határon túli iskolák nevezé-sét egyaránt várjuk. Nevezési díj nincs, a versenyen arészvétel ingyenes.

Az iskolák a versenyre 2011. január 15-ig jelent-kezhetnek a www.szilardverseny.hu honlapon vagylevélben a Szilárd Leó Tehetséggondozó Alapítvány-nál (7030 Paks, Dózsa György út 95., tel.: 75-519-326) a versenyzôk kategóriánkénti létszámának, va-lamint az iskolai kapcsolattartó fizikatanár elérhetô-ségeinek (név, postai cím, telefonszám, e-mail cím)megadásával.

A verseny kétfordulós. Az elsô forduló idôpontja2011. február 21. 14–17 óráig.

A feladatlapokat a javítókulccsal együtt a Verseny-bizottság küldi meg a benevezô iskoláknak a jelentke-zések számának megfelelôen.

A versenyen való részvétel kizáró okai

A versenyfeltételek be nem tartása a versenybôl valókizárást eredményezheti. Például:

– A versenykiírásban kiírt kategóriától eltérô kate-góriában való indulás.

– Nem megengedett segédeszköz használata.

A verseny témája, ismeretanyaga,felkészüléshez felhasználható irodalomA verseny a középiskolás tananyag modern fizikai – el-sôsorban magfizikai-sugárvédelmi fejezeteinek alkal-mazás szintû tudását és környezetvédelmi alapismere-teket kér számon. A kijelölt témakörök a következôk:

Mikrorészecskék leírásának alapjai, az anyag kettôstermészete

Hômérsékleti sugárzás törvényei, fotonok, fény-elektromos jelenség, Compton-jelenség.

De Broglie-összefüggés, elektronok interferenciája.Heisenberg-féle határozatlansági összefüggés.A hidrogénatom hullámmodellje.A kvantumszámok szemléletes jelentése: ’s’, ’p’, és

’d’ állapotok.

A FIZIKA TANÍTÁSA 425

Az elemek periódusos rendszerének atomszerkeze-ti magyarázata.

Az atommag és szerkezete: proton, neutron. Rend-szám és tömegszám. Magerôk és kötési energia. Radio-aktivitás: felezési idô, gamma-, béta- és alfabomlás.

Maghasadás, neutron-láncreakció. Atombomba.atomreaktor, atomerômû. Atomenergia felhasználásá-nak lehetôségei, szükségessége és kockázata. Sugár-védelmi alapismeretek. Magfúzió, a Nap energiater-melése.

Hevesy György (radioaktív nyomjelzés), SzilárdLeó, Wigner Jenô (atomreaktor) munkássága.

Részecskegyorsítók mûködési elvei.Környezetvédelmi alapismeretek: például CO2 és

az üvegházhatás, ózonlyuk, radon-probléma, radioak-tív hulladék elhelyezése.

A felkészülésre javasolt segédanyagok

Országos Szilárd Leó Fizikaverseny feladatai és meg-oldásai 1998–2004.

Marx György: Atommagközelben. MOZAIK Oktatá-si Stúdió, Szeged, 1996.

Marx György: Életrevaló atomok (Atomfizika bioló-gusoknak). Akadémiai Kiadó, Budapest, 1978.

Tóth Eszter, Holics László, Marx György: Atomkö-zelben. Gondolat Kiadó, Budapest, 1981.

Radnóti Katalin (szerk.): Így oldunk meg atomfizikaifeladatokat. MOZAIK Oktatási Stúdió, Szeged, 1995.

Radnóti Katalin (szerk.): Modern fizika emberkö-zelben. Feladatok és megoldások CD-n.

A továbbjutás feltétele, a továbbjutottak értesítésénekmódja az egyes fordulókbólA feladatlapokat a javítókulccsal együtt a Versenybi-zottság küldi meg a benevezô iskoláknak a jelentke-zések számának megfelelôen.

Az I. forduló írásbeli dolgozatainak megírására aversenyre jelentkezô iskolákban kerül sor, amelynekidôtartama 3 óra. A versenyzôk minden szokásos se-gédeszközt (füzetek, könyvek és zsebszámológépek)használhatnak.

Az elsô forduló dolgozatait a megküldött javítási-értékelési útmutató alapján értékelik a szaktanárok. Atovábbküldési ponthatárt elért dolgozatokat, valamintaz értékelô és összesítô lapot legkésôbb 2011. feb-ruár 28-ig postázzák a Budapesti Mûszaki és Gazda-

ságtudományi Egyetem Nukleáris Technikai Intézete(1521 Budapest, Mûegyetem rkp. 9.) címére.

Ponthatárok: I. kategória: a maximális pontszám60%-a, II. kategória a maximális pontszám 40%-a. Aversenybizottság a beküldött dolgozatokat ellenôrzi,majd az elsô forduló eredményérôl az értesítést legké-sôbb 2011. március 19-ig postázza a döntôbe jutotttanulók iskoláinak.

A versenybizottság a II. fordulóra az I. kategóriábólmaximum 20 tanulót, míg a II. kategóriából maximum10 tanulót hív be.

A 2. forduló (döntô) 2011. április 8–10. közöttkerül megrendezésre az Energetikai Szakközépiskolaés Kollégiumban, Pakson.

A 2. fordulóban a tanulók elméleti, mérési és szá-mítógépes feladatokat oldanak meg.

Az eredmények közzétételének módja

A döntôben a nyertes versenyzôk a díjaikat a versenytközvetlenül követô ünnepélyes eredményhirdetésenvehetik át, amelyre a helyi média képviselôi is meghí-vást kapnak. Az egyes fordulók eredményei megtekint-hetôk a www.szilardverseny.hu honlapon. A verseny-rôl beszámoló cikk készül a Fizikai Szemle részére.

Díjazás

Az országos döntôbe bejutott tanulók könyvjutalom-ban részesülnek. Kategóriánként 1–3. helyezettet aSzilárd Leó Tehetséggondozó Alapítvány egyszeriösztöndíjban részesíti.

A legeredményesebb felkészítô tanár – a versenyhonlapján megtekinthetô pontverseny alapján – Szi-lárd Leó Tanári Delfin-díjban részesül. A versenyen alegjobb eredményt elért iskola Marx György Vándor-díjban részesül.

A szervezôk elérhetôsége

A versenybizottság vezetôje: Sükösd Csaba tanszékveze-tô egyetemi docens, BME Nukleáris Technika Tanszék,1521 Budapest, Mûegyetem rkp. 9., e-mail: sukosd@reak.bme.hu, tel.: 1-463-2523, fax: 1-463-1954.

A verseny felelôse: Csajági Sándor, az EnergetikaiSzakközépiskola és Kollégium tanára, 7030 Paks, Dó-zsa Gy. u. 95., e-mail: Csajagi@eszi.hu, tel.: 75-519-326, fax: 75-414-282.

A szerkesztôbizottság fizika tanításáért

felelôs tagjai kérik mindazokat, akik a

fizika vonzóbbá tétele, a tanítás

eredményességének fokozása

érdekében új módszerekkel,

elképzelésekkel próbálkoznak, hogy

ezeket osszák meg a Fizikai Szemle

hasábjain az olvasókkal!

426 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

HÍREK – ESEMÉNYEK

SOMOGYI ANTAL (1920–2010)

Hosszan tartó, türelemmel viselt betegség után 90.életévében, 2010. október 8-án elhunyt a kozmikussugárzás és az ûrkutatás hazai doyenje, SomogyiAntal professzor. Tanári, kutatói, valamint hazai ésnemzetközi kutatásszervezôi tevékenységét egyarántnagyra értékelik tanítványai és volt munkatársai. Min-dig korrekt, segítôkész egyénisége sokunk emlékei-ben él tovább.

Késôbbi tudományos pályájára hazánk egyik leg-jobb gimnáziumában, a Kármán Mór (Kármán Tódorédesapja) által alapított Trefort utcaiMintagimnáziumban, majd a Páz-mány Péter Tudományegyetem ma-tematika-fizika szakán készült fel.Az itt tanuló legkiválóbb diákok azoktatásba, kutatásba már korán be-kapcsolódtak, és neves egyetemitanárok közvetlen irányítása mellettdolgoztak. 1943-ban Kicsiny görbü-letû folyadékfelszínek alakjánakvizsgálata címû diplomamunkájátkissé kibôvítve summa cum laudefokozatú egyetemi doktori címetszerzett.

1943-ban a budapesti Kölcseygimnáziumban kezdte tanári pálya-futását, majd 1945 ôszén visszatértaz alma materbe: a Trefort utcaiMintagimnázium tanára lett. Itt tanított egészen 1949-ig, de közben 1947 novemberétôl 1948 júliusáig Belgi-umban posztdoktorális képzésen vett részt, amelynekvégén kitüntetéses vizsgát tett. 1949 tavaszától 1950decemberéig tanársegéd volt az ELTE Fizikai Intézeté-ben. Késôbb is többször visszatért eredeti tanári hiva-tásához: 1958 és 1961 között a Miskolci NehézipariMûszaki Egyetem Fizikai Tanszékét irányította, majdaz ELTE fizikus, geofizikus és csillagász hallgatói szá-mára tartott különféle kurzusokat.

A KFKI megalakulása után a Jánossy Lajos vezetteKozmikus Sugárzási Osztályra került. Itt bontakozottki kutatói, késôbb vezetôi tevékenysége. Elôször anagy energiájú kozmikus részecskék keltette kiterjedtlégizáporok vizsgálatával foglalkozott, e témából írta1958-ban kandidátusi, majd 1964-ben akadémiai dok-tori értekezését. A tervezett nagy észlelôrendszer ki-fejlesztésére azonban végül anyagi okokból nem ke-rülhetett sor. Másik fontos, nagy nemzetközi érdeklô-dést kiváltó témája a müonok föld alatti vizsgálatáhozkapcsolódott. Az 1957–58-as Nemzetközi GeofizikaiÉv alkalmából a KFKI 4-es épülete melletti aknában18 méter mélységben müon-teleszkópot építettekirányításával, amely azután több mint két évtizeden át

mûködött, de már röviddel üzembehelyezése után kétfontos felfedezéshez vezetett: a nagy energiájú kozmi-kus sugárzás bolygóközi lökéshullámokon való szóró-dásának (Forbush-effektus) és a Nap tengely körüliforgásából eredô 27 napos kváziperiodicitásának akimutatásához.

Az elért sikerek nemzetközi elismeréshez és külön-féle tudományos testületekben és kooperációkbanvaló részvételhez is vezettek. A „szocialista” országokkozmikus sugárzási munkacsoportját 15 éven keresz-

tül vezette, az IUPAP Kozmikus Su-gárzási Bizottságának 6 évig volttagja, majd 3-3 évig titkára, illetve el-nöke. Ô szervezte 1969-ben Buda-pesten a 11. Kozmikus Sugárzási Vi-lágkonferenciát. Egyik kezdeménye-zôje volt az Európai Kozmikus Su-gárzási Szimpóziumok sorozatának.1974-tôl 1986-ig CosNews néven in-formációs bulletint szerkesztett azegész kozmikus sugárzási közösségszámára.

Az elsô fontos nemzetközi együtt-mûködés, amelyet szervezett, a koz-mikus sugárzás anizotrópiájánakmérésére irányult. Bulgáriában, a2925 méter magas Muszala csúcsonsikerült a magyar–bolgár csoportnak

elôször kimutatnia az 50 és 100 TeV közötti kozmikussugárzás anizotrópiáját. Késôbb szovjet kooperáció-ban a Tien-san hegységben is hasonló méréseket kez-deményezett.

A 70-es évek végétôl érdeklôdése egyre inkább azûrkutatás és a kozmikus sugárzásnál kisebb energiájúrészecskék felé fordult. A Halley üstökös 1986-osvisszatérésekor vezetô kutatója volt a Vega szondá-kon elhelyezett magyar „TÜNDE” mûszernek, amelyetnagyrészt ô maga tervezett, és nagy szerepe volt többmás ûrküldetés elôkészítésében és a mérések kiérté-kelésében is.

Tevékenységét több hazai és nemzetközi díjjal is-merték el. 1963-ban Bródy Imre-díjat, 1976-ban aKFKI Intézeti Díj 1. fokozatát, majd a Bolgár Tudomá-nyos Akadémia centenáriumi érmét, 1980-ban aMunka Érdemrend arany fokozatát ítélték neki. 1986-ban Ciolkovszkij-érmet, 1987-ben Jánossy-díjat ka-pott, 1994-ben a Magyar Tudományos Akadémia Eöt-vös József-koszorújával tüntették ki, majd még ugyan-ebben az évben a COSPAR „Distinguished ServiceMedal” kitüntetését kapta.

Somogyi Antal mindig tisztelettel beszélt és írtazokról, akiknek tevékenységét nagyra értékelte. A

HÍREK – ESEMÉNYEK 427

kozmikus sugárzás hazai kutatásának úttörôit, Barnó-thy Jenô t és Forró Magdolná t már egyetemi hallgatókorából ismerte, és büszkén tekintette ôket elôdjének,sôt Fenyves Ervinnel együtt nekrológjukat is ô írta.De nagy tisztelettel emlékezett meg Jánossy Lajosról

is, akitôl a modern kutatásszervezési és méréskiérté-kelési módszereket tanulta. Azokról, akik megbántot-ták vagy mellôzték, keveset beszélt. Úriember volt.

Emlékét megôrizzük.Erdôs Géza, Kecskeméty Károly, Király Péter

TORÓ TIBOR (1931–2010)„Aki megért és megértet, egy népet megéltet”

Kányádi Sándor

2010. október 17-én délelôtt, életének 80. esztendejében elhunyt Toró Tibor atomfizikus, nyugalmazottegyetemi tanár, a Magyar Tudományos Akadémia külsô tagja. Kívánsága szerint testét elhamvasztják,hamvait pedig a család az általa megnevezett, szívéhez közel álló helyeken – Énlakán, Magyarhermány-ban, Kányádban, Etéden, Székelyudvarhelyen, Nagyváradon és Temesváron – szórja szét.

„…Szeretem a neutrínót, a reménnyeljósoltat, extázisban születettet, a

gyengédséggel kereszteltet…Szeretem a neutrínót, s mindenen

átsurranó csöppséget, amely nevetveszalad át az egész Galaktikán…

Szeretem a neutrínót…”Galina Nikolajeva

Toró Tibor professzor halálát gyászolja a fizikus kö-zösség. Az elméleti fizika professzora volt a Temes-vári Egyetem Fizikai Tanszékén, 2007-tôl a SzegediTudományegyetem címzetes tanára. A Magyar Tudo-mányos Akadémia külsô tagja, a Román AkadémiaTudománytörténeti és Tudományfilozófiai Bizottságá-nak tagja, Bolyai-kutató, az Erdélyi Bolyai Akadémiatiszteletbeli elnöke, az Eötvös Loránd Fizikai Társulattiszteletbeli tagja.

A Hargita megyei Énlakán született. Egyetemi ta-nulmányait a Temesvári Tudományegyetem matema-tika-fizika szakán végezte.

Jelentôs eredményeket ért el több érdekes témában.Az elméleti részecskefizikában elsôsorban a neutrínótulajdonságainak megismerése motiválta. Eredményei-rôl számos könyvet, tudományos és ismeretterjesztôközleményt írt, több nyelven. Könyvet írt a neutrínóról,amelynek elsô kiadása románul jelent meg 1969-ben,bôvített változata 1976-ban magyarul a Gondolat Ki-adónál. A könyv világosan foglalja össze a neutrínókutatásának elsô, közel 45 év alatt elért eredményeit. Akutatások 1966-tól felgyorsultak, ezért is idôszerû volt akönyv ismételt megjelentetése. Bemutatja a kísérletieredményeket és részletesen foglalkozik a neutrínó ésa gyenge kölcsönhatás elméletével. Még azt is megem-líti, hogy volt idô, amikor jelentôs elméleti fizikusokfeltételezték, hogy a béta-bomlás során esetleg sérül azenergiamegmaradás tétele. Természetesen ezt a felte-vést a megfigyelések során észlelt, akkor egészen szo-katlan eredmények váltották ki. A neutrínófizika többkozmológiai aspektusáról is írt, az anyag és antianyag

kapcsolatát is taglalta, amit a neutrínó és antineutrínóléte vetett fel. A könyv utolsó mondatában kifejezi,hogy az Univerzum megismerésében a neutrínó is atöbbi elemi részecskéhez hasonlóan az ember szolgála-tába fog állni. Ebben teljesen igaza lett, hiszen a könyvmegjelenése után a neutrínókutatás felgyorsult és igenfontos új eredmények jelentek meg. Ide tartoznak elsô-sorban azok, amelyek a neutrínó tömegével kapcsola-tosak. 1998-ban a Super-Kamiokande detektorral tény-legesen kimutatták a íz-oszcillációt, amely a tömeg-négyzetek különbségének függvénye. 2009-ben 1,5 eVtömeget jósoltak a neutrínónak. 2010-ben a CERN-benészlelték elôször a neutrínó átalakulásait és azt, hogybiztosan van tömege. 2010 júliusában a fényes vörösgalaxisok 3-D MegaZDR7 adatai megmutatták, hogy ahárom neutrínó tömegének összege kisebb 280 meV-nál. A neutrínók vizsgálata továbbra is fontos. A kistömeg miatt szerepük van a Standard modell kiterjesz-tésében, a neutrínó negyedik generációjának megtalá-lását illetôen, és a kvantumgravitációs hatások megis-merésében. Utóbbi ténylegesen az Univerzum megis-meréséhez is igen fontos.

428 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

Toró Tibor nagyon fontosnak tartotta Bolyai Jánosmunkásságának ismertetését, amely a nem-euklideszigeometria korszakát nyitotta meg. Ôt tekintette a leg-nagyobb magyar tudósnak. Számos mûvet írt ezzelkapcsolatban, rámutatva Bolyai indító munkájára aRiemann utáni differenciálgeometria, a nem-ábelimértékelmélet és a gravitáció megismerésének folya-matában. Kiemelte, hogy Bolyai János megoldott egykétezer éves geometriai problémát. Bár a geometrianem természettudomány, hanem önálló logikai konst-rukció, mégis alkalmazásának elsôdleges célja a körü-löttünk lévô világ leírása a matematika nyelvén.

Toró Tibor legtöbb közleménye természetesen aneutrínó megismerésével és a gravitációs hatásokkalfoglalkozik. Kiemelhetô itt a neutrínó négy spinorkomponensû egyenletében a gravitációtól való függésmeghatározása nemlokális spinkölcsönhatás esetén.

Számos cikke jelent meg a spinor és a gravitációs térnemlokális kölcsönhatásáról. Az elemi részek kozmo-lógiai szerepével több közleményben is foglalkozott.

Szakmai tevékenysége mellett kiemelkedô többévtizedig tartó közéleti munkássága, amellyel hozzá-járult a magyar és az erdélyi természettudományi ésmatematikai kultúra megismertetéséhez és terjesztésé-hez. Nagyszámú közleményben foglalkozott jelenlegiismereteink történeti, filozófiai és ismeretelméletivonatkozásaival.

Jelentôs sikere volt a Bolyai Díj felújítása.A székely fizikus végül hazatért. Kívánságához híven

Énlakán, Magyarhermányban, Kányádban, Etéden,Székelyudvarhelyen és Nagyváradon szórták szét ham-vait, valamint Temesváron helyezték el mûvei mellett.

Emlékét ôrizzük.Dézsi István, KFKI RMKI

BÚCSÚ TORÓ TIBORTÓL ELTENémeth Judit

Toró Tibor, az MTA külsô tagja, az erdélyi magyar fizi-kusok egyik legkiválóbb képviselôje volt. Utoljára azAkadémia májusi közgyûlésén találkoztam vele, amikora betegségébôl még semmi sem látszott, sôt tele volttervekkel. A nyár vége felé Csíkszeredán terveztek fizi-katanárok számára a Bolyaiakról egy kisebb nyári isko-lát tartani, és engem is megkért, hogy tartsak egy elô-adást Németh László és a Bolyaiak címmel. Én rögtönmondtam, hogy Csíkszeredára elmenni nem tudok, deírok a témáról egy-két oldalt és e-mailen majd elkül-döm neki azzal a kéréssel, hogy ha egyetért vele, valakiolvassa fel a szöveget az összejövetelen.

A nyár folyamán vártam Tibor válaszát, hogy egyet-ért-e vele, de nem kaptam semmit. A szöveget azértelküldtem, hátha tudják használni. A válasz néhányhét múlva a feleségétôl érkezett: Tibor meghalt.

Nem tudom, el tudta-e olvasni még a rövid kis cik-ket, vagy sem. Felolvasni az összejövetelen már biztosnem tudta, ebben a sors meggátolta. Itt a Szemlében azô tiszteletére és az ô emlékének adózva közöljük le azanyagot, hiszen nélküle ez sohasem íródott volna meg.

Hiányozni fog a jövô májusi közgyûlésen.

Németh László és a Bolyaiak

Németh László természetesen kora gyerekkorától is-merte a Bolyaiak nevét és sorsát, hiszen nagyapám,aki földrajz-történelem szakos tanár volt, 13 éves ko-ráig (ennyi idôs volt apám, amikor nagyapámat behív-ták katonának) beszélt neki róluk. A késôbbiekbenazonban rendkívül kiterjedt érdeklôdése dacára rész-letesen nem foglalkozott velük. Az 1932–36 között írtegyszemélyes folyóiratában, a Tanúban, ahol min-denrôl és mindenkirôl ír (például már 1932-ben az

Einstein-féle relativitáselméletrôl, valamint a Világ-egyetem Hubble által 1925-ben felfedezett és a húszasévek végén publikált tágulásáról) Bolyai Jánosrólnincs cikk. A háború után, vásárhelyi tanársága alatttermészetesen a diákjainak beszél róluk, de részlete-sebben ott se foglalkozik velük.

A Bolyai-problémára, mint irodalmi témára egyfiatal erdélyi tanárnô hívta fel a figyelmét, aki legépel-te és elküldte neki néhány levelüket. A levelek hangjamegfogta szívét és képzeletét. Ezen elsô levelek egyrésze még János göttingai tartózkodása alatt íródott,más részük akkor, amikor a fiú már visszatért Erdély-be, és apa és fia gyakorlatilag alig beszélt egymással.Németh László elsô perctôl a „csodálatos mód össze-akaszkodott emberpár drámáját” látta ezekben a leve-lekben. „Arra, hogy egy szakmában dolgozó két em-bert ilyen drámaivá váló pedagógiai szenvedély ékeltvolna egymásba, példát én nem tudok, s ez az, ami aBolyaiak ügyét általános emberi érdekûvé teszi.”

A két ember nagyon különbözött egymástól. Apámegy tanulmányában leírja, milyen volt a külsejük.Fôleg Farkas leírásával foglalkozik részletesen. Rend-kívül jóképûnek írja le, sokoldalúnak, sármôrnek. Atársaságnak még öregkorában is kedvence, a nagy-urak is befogadják maguk közé, tanítványai szeretik, anôk rajonganak érte. „Alighanem a legsokoldalúbbember volt, aki magyar földön élt… ô szinte mindenirányba, amelyben emberi tehetség kifejlôdni szokott,alkotásra törôen bizonyította képességét” írja rólaNémeth László. Hihetetlen nyelvtudása volt, nyolcnyelven beszélt folyékonyan. Erôs technikai érzékevolt (egy idôben kemencerakással is foglalkozott,megoldotta az önhajtású kocsi problémáját stb.). Ti-zennégy számjegyre vont négyzet- és köbgyököt fej-ben. E hihetetlen sokoldalú tudás megszerzése idôn-

HÍREK – ESEMÉNYEK 429

ként káros hatással van egészségére. Fiatalkori barát-jának, Gaussnak írt leveleibôl sok mindent lehet meg-tudni Farkasról, a fiához való viszonyáról, és a kora-beli Erdélyben egy zseniális ember sorsáról.

János ezzel szemben egészen más természetû: ko-mor, barátságtalan, az emberekkel nem találja meg ahangot. Míg Farkas még öregen is a társaság központ-ja, János már fiatalon megkeseredik, mogorvává válik.Farkas hihetetlen sokoldalú, János csak két iránybatehetséges: a matematikában és a zenében. (Ezenkí-vül kiváló vívó is, számos párbajt vívott, nemegyszerhalálos végût, és ô maga sohase sérült meg.) Fiatalkorában Paganini darabjaival kápráztatta el a közön-séget, Bécsben az operában egy szóló résznél állítólaga császár is megkérdezte, ki az, aki ilyen kiválóanhegedül. Természetesen ô is több nyelven beszélt, depéldául az irodalmi, vagy a technikai hajlam teljesenhiányzott belôle.

Az író Németh László képzeletét megfogták az apa-fiú levelek. Ezek két korszakra választhatók szét. Azelsô a göttingai levélváltás, a gondoskodó apa hangja,aki Erdélybôl minden téren próbálja irányítani fiát,félti egészségét, félti a nôktôl, de legfôképpen félti akelepcétôl, amibe ô maga is beleesett: a parallelo-grammák problémájától.

A másik megható levélváltás-szakasz az öreg Bolyaiés már idôsödô fia között van. Apa és fia számos ok mi-att összevesztek, szinte már nem beszélnek egymással,de a matematikai problémák még ekkor is közös témátjelentenek, hiszen ehhez egész Erdélyben jóformáncsak ketten értenek. Már nem leveleket, csak cédulákatírnak egymásnak, apám eredetileg azt a címet akartaadni egyik darabjának, hogy címezetlen cédulák.

Azt hiszem, nem vitás, hogy apámat Farkas egyéni-sége vonzotta jobban, de ô íróként mindig tárgyilagosmaradt: mûveibôl kiérzôdik, hogy János a zseniális.

Mielôtt befejeznénk ezt a visszaemlékezést, idéz-zük fel egy pillanatra, mi volt a parallelogramma-probléma. A geometria a görögök idejében vált tudo-mánnyá, de nem a tapasztalatból, hanem néhány, aszemlélet számára nyilvánvaló igazságból vont le kö-vetkeztetéseket: ezeket nevezték posztulátumoknak.Ilyen például a következô: minden pontból mindenpontba húzható egyenes. Más ilyen igazságokat axió-máknak neveztek, például azt, hogy: az egész na-gyobb, mint a része. Van azonban egy posztulátum,ami nem ilyen egyszerû, az ötödik (vagy a Bolyaiakáltal tizenegyediknek nevezett) posztulátum. Ez Euk-lidész megfogalmazásában úgy hangzik, hogy ha kétpárhuzamos egyenest metszünk egy harmadikkal, saz egyik oldali belsô szögeinek összege kisebb 180°-nál, a két egyenes metszi egymást. Ezt a tételt azon-ban a szemlélet nem tudja közvetlenül igazolni. Afeltevést azért fogadták el, mert a tér szerkezetérôlvaló ismereteinkkel egyezik. A tizenegyedik posztulá-tumot számosan próbálták igazolni, Bolyai Farkas is,sôt állítólag Gauss is, de nem sikerült nekik. Ezértóvja Farkas annyira Jánost a parallelogrammáktól(még jobban, mint a nôktôl). „Az Istenre kérlek, hagyjbékén a paralleláknak, úgy irtózz tôle, mint akármi-csoda feslett társaságtól…”

Farkas nem oldotta meg ezt a problémát, és egészéletében szenvedett attól, hogy Jánost nem tudta lebe-szélni arról, hogy ezzel foglalkozzon. János megoldot-ta a problémát, és egész életében szenvedett attól,hogy ezt nem ismerték el.

A TÁRSULATI ÉLET HÍREI

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat díjai, 2010Ebben az évben az ELFT díjainak kiosztására a pécsiVándorgyûlésen került sor.

Andrási Andor, a Központi Fizikai Kutatóintézet nyu-galmazott fômunkatársa munkásságáért Bozóky-díjatkapott.

Andrási Andor 1960-tól kezdôdôen foglalkozott azemberi szervezetbe került radioizotópok által okozottbelsô sugárterhelés meghatározására irányuló korsze-rû mérô és értékelô módszerek kifejlesztésével és al-kalmazásával. Ennek eredményeként a kifejlesztettegésztestszámláló mérôberendezés kiépítettsége és azalkalmazott mérô-értékelô módszerek a laboratóriumtevékenységét a témán belül az ország legelismertebbés nemzetközileg is nagyra tartott szakmai központjá-vá tették. A Paksi Atomerômû létesítése során kidol-gozta az erômû dolgozói belsô sugárterhelésénekmeghatározási rendszerét. A csernobili atomerômû-

balesetet követôen részt vett a hazai lakosság belsô su-gárterhelésének meghatározásában. Nemzetközi pro-jektek keretében a belsô sugárterhelés méréstechnikaiés dózisszámítási módszereinek továbbfejlesztésévelés ezek Európai Uniós egységesítésével foglalkozott.25 éven keresztül a Nemzetközi Atomenergia Ügynök-ség megbízásából számos országban vállalt szakértôiés tanfolyam vezetési tevékenységet, valamint résztvett a NAÜ szakmai kiadványainak elkészítésében.

52 cikkére 75 hivatkozás ismeretes.A Sugárvédelmi Szakcsoport alapító tagja. Több

cikluson keresztül a Szakcsoport vezetôségi tagja, azIRPA-val (International Radiation Protection Associa-tion) és a külföldi szakegyesületekkel való kapcsolatfelelôse, az IRPA egyes szakbizottságaiban a Sugárvé-delmi Szakcsoport megbízottja, a Sugárvédelmi hírekelektronikus információs tájékoztató levelének szer-kesztôje.

430 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

Az ELFT Biri Sándort, a debreceni AtommagkutatóIntézet Részecskegyorsító Centruma vezetôjét mun-kásságáért Selényi Pál-díjjal tüntette ki.

Biri Sándor a magyar ciklotronrezonanciás (ECR)ionforrás-program vezetôjeként munkatársaival meg-tervezte, megépítette és üzembe helyezte Magyaror-szág egyetlen, erôsen lefosztott plazmákat és nagytöl-tésû ionnyalábokat szolgáltató berendezését.

A debreceni ECR ionforrás és a köré épült laborató-rium mára nemzetközi hírnevet szerzett, vonzó hely-színné vált kutatók, oktatók, diákok és látogatók szá-mára. Biri Sándor az ECR-plazmák vizsgálatával és azionforrás alkalmazásával több területen figyelemre-méltó eredményeket ért el a nehézion-fizikai kutatá-sok területén. Nagytöltésû plazmák tulajdonságaitvizsgálta mind kísérleti (röntgen-diagnosztika, plazmafotók, elektrosztatikus szondák), mind elméleti számí-tógépes szimulációs módszerekkel. Fullerénbôl plaz-mákat, világrekord intenzitású ionnyalábokat és fulle-rénekre alapozott új anyagokat (endohedrális fulleré-neket) állított elô. Eddig publikált 103 tudományoscikkére 275 hivatkozást kapott.

Az ELFT Gál János t – MTA Atomki – munkásságáértSzalay Sándor-díjjal tüntette ki.

Gál János a kísérleti magfizikát támogató elektroni-kai rendszerek fejlesztésében ért el kiváló eredmé-nyeket. A nukleáris spektroszkópia területén több újmódszert dolgozott ki az energia-, idô- és intenzitás-mérés pontosságának javítása céljából. Ezeket a mód-szereket az általa tervezett nukleáris mérôberendezé-sekben alkalmazta. A kísérleti magfizikában elenged-hetetlen vákuumtechnikához kapcsolódóan egy vá-kuummérô család, valamint kvadrupól tömegspektro-méterek elektronikus egységeit fejlesztette ki. Nagygammadetektor-rendszerek (EUROBALL, EXOGAM,AFRODITE) mellett használnak PIN fotodiódából ésCsI(Tl) kristályból álló szcintillációs részecskedetek-tor-rendszert. Ehhez kapcsolódóan részecske diszkri-minációs célra kidolgozta a ballisztikus deficit elvénmûködô impulzusalak diszkriminációs módszert, va-lamint a CsI(Tl) detektorok lassú jeleihez egy speciálisúgynevezett non-delay line állandó arányú idôzítôt.Részt vett a CERN-beli NA49 kísérletben: a BudapestFal triggerrendszerét fejlesztette. Eddigi 247 publiká-ciójára 3168 hivatkozást kapott.

Az ELFT Juhász Róbertet – MTA Szilárdtestfizikai ésOptikai Kutatóintézet – munkásságáért Jánossy Lajos-díjjal tüntette ki.

Juhász Róbert inhomogén rendszerek dinamikájá-nak vizsgálatával foglalkozik.

Reális fizikai rendszerek mindig tartalmaznak inho-mogenitásokat, amelyeknek fontos szerepük van arendszerek kollektív viselkedésében. Juhász Róbertkülönbözô soktestrendszereket, így kvantum spinmo-delleket és nemegyensúlyi, sztochasztikus folyamato-kat (bolyongás, kizárási folyamat stb.) elméleti mód-szerekkel vizsgált különbözô inhomogenitások (pont-hibák, rendezetlenség stb.) jelenlétében. Egyik leg-

fontosabb eredménye a rendezetlen kvantumrendsze-reknél használatos úgynevezett erôs rendezetlenségirenormálási csoport módszer sztochasztikus folyama-toknál való alkalmazása, és annak megmutatása, hogyaz erôs rendezetlenségi fixpont-koncepció ezenklasszikus transzportfolyamatok esetén is alkalmazha-tó. Az elért eredmények értékét jelzi, hogy azokat atémakör legfontosabb folyóirataiban, többek között aPhysical Review Lettersben közölte. Eddigi 25 cikkére216 hivatkozást kapott.

Juhász Róbert többször is elôadást tartott a Statiszti-kus Fizika Szakcsoport által szervezett StatisztikusFizikai Napon.

Az ELFT Lévay Péter t – BME Fizikai Intézet – munkás-ságáért Novobátzky Károly-díjjal tüntette ki.

2006 januárjában M. J. Duff észrevette, hogy a húr-elméleti kompaktifikációkból ismert effektív 4 dimen-ziós szupergravitácós (STU) modell fekete lyuk meg-oldásainak makroszkopikus entrópiaformulája ele-gáns alakba írható a kvantum információelméletbôlismert Cayley-hiperdetermináns segítségével. Felvetô-dött a kérdés, vajon a fenti matematikai egybeeséscsupán a véletlen mûve, vagy valami mélyebb fizikaikapcsolatot is sejtet az extremális fekete lyukak fiziká-ja és a kvantum információelmélet között?

Lévay Péter hozzávetôleg 2003-tól kvantum informá-cióelméleti kutatásokkal foglalkozik, kiemelt tekintettela kvantumos összefonódottság geometriájának vizs-gálatára. Ezirányú tapasztalatát felhasználva kvantuminformációelméleti analógiák segítségével megvizsgál-ta, vajon az M. J. Duff által talált formális matematikaiegybeeséseken kívül vannak-e további, a dinamikát isérintô analógiák? A meglepô válasz: igen! Megmutatta,hogy a fekete lyukak fizikájából jól ismert attraktormechanizmus, amelynek során az elmélet modulustereistabilizálódnak az eseményhorizonton, a kvantum in-formációelmélet és a hibajavító kódok nyelvén elegán-san megfogalmazható. A késôbbiek során rámutatott,hogy a várakozással ellentétben a „fekete lyukak fiziká-ja – kvantum információelmélet” analógia messze túl-mutat az eredetileg vizsgált nagyon speciális STU-mo-dellen. Jóllehet az analógia fizikai alapjai egyelôre is-meretlenek, Lévay Péter meglepô eredményei élénkérdeklôdést váltottak ki mindkét terület kutatóiból:2007. június 18–22. között meghívott elôadóként vettrészt a „School on Attractor Mechanism” címû iskolán(Frascati, Olaszország). Ezt az évenként megrendezésrekerülô iskolát korábban kizárólag a húrelmélet szakem-berei látogatták. Eredményeirôl az elmúlt években ran-gos egyetemeken meghívott elôadóként számos elô-adást tartott (Torun 2006, Imperial College London2008, Brisbane 2009, Princeton University 2009). A te-rület matematikai vonatkozásai további érdeklôdéstváltottak ki a véges geometriával foglalkozó szakembe-rek körében is. Ennek eredményeként 2009-ben avéges geometria fizikai alkalmazásával foglalkozó Fi-nite Projective Ring Geometry elnevezésû ZIF kooperá-ciós csoport tagja volt (Bielefeld 2009). Lévay Pétereddigi 41 cikkére 275 hivatkozás kapott.

HÍREK – ESEMÉNYEK 431

Az ELFT Osvay Margitot – MTA Izotópkutató Inté-zet – munkásságáért Szigeti-díjjal tüntette ki.

Osvay Margit a sugárrezisztens félvezetô-detektorokfejlesztése gamma dózisteljesítmény mérésére, valamintalumíniumoxid-kerámia termolumineszcens dózismé-rôk elôállítása és alkalmazása területén ért el kiválóeredményeket. Nagy aktivitású gamma sugárforrásokdózisintenzitásainak mérésére szilícium félvezetô-de-tektorokat fejlesztett. A bór és foszfor diffúzióval elôál-lított detektorok sokszorosan sugárellenállóbbak, minta korábban használt típus (több hazai alkalmazást istalálunk, és a svéd Therados cég a gyártástechnológiátis átvette). Másik sikeres fejlesztése a lumineszcenciakutatáshoz kapcsolódik. Kezdeményezôje lett a termo-lumineszcens (TL) módszer kiterjesztésének a sugár-technológiai dozimetria területére. Hazai alapanyagbólalumíniumoxid-kerámia TL dózismérôket állított elô(Magyar Szabadalom). A 10 mGy – kGy dózistartományátfogására alkalmas Al2O3:MgY kerámia dózismérôketitthon és külföldön is sikeresen használják, így példáulaz 1999–2008. években 1-1 évre kihelyezett több százdózismérôvel feltérképezték a gamma dóziseloszlást aPaksi Atomerômû I–IV. blokkjának hermetikus terében,magas hômérsékleten. A szerzôdést Osvay Margit aSiemens céggel való versenyben nyerte el. Eddigi 140publikációjára 130 hivatkozást kapott.

Az ELFT Vida József – Eszterházy Károly Fôiskola, Eger –eddigi tevékenységét Prométeusz-éremmel ismerte el.

Vida József az EKF Fizika Tanszékének fôiskolaitanára, több önálló fizikai szakkiadvány, könyv, tan-könyv szerkesztôje, írója. A Sulinet Internetes honlap-ján Kedvenc kísérleteim címmel kísérleti gyûjteményetalálható. Ezt a könyvét a Nemzeti Tankönyvkiadó iskiadta 1995-ben.

Publikációinak száma hatvan feletti, amelyek közülkettô külföldi szaklapban, több a Fizikai Szemlében,A Fizika Tanításában és a Fizika Módszertani La-pokban jelent meg.

Megyei és országos fizikai rendezvények szervezô-je, az Öveges József Országos Fizikaverseny elnöke, averseny feladat-összeállító bizottságának vezetôje. AHeves Megyei Általános Iskolai Fizikaversenyek fel-adatszerkesztô bizottságának is tagja.

Az ELFT Heves megyei Csoportjában több mint egyévtizeden keresztül mûködött megyei titkárként.

Az Eszterházy Károly Fôiskola épületében létesítettVarázstorony tervezôje, megvalósítója és vezetôje.Évek óta rendszeres elôadója az általános iskolai fizi-katanári ankétoknak és rendszeres kiállítója az anké-tokhoz kapcsolódó eszközkiállításoknak. Sikeresenképviselte Magyarországot a Science on Stage nem-zetközi fizikatanári bemutatón.

Gyakran tart kísérleti bemutatókat, amelyeken min-dig telt ház van.

Vida József fáradhatatlan és odaadó lelkesedéssel,kimagasló szakmai hozzáértéssel, kimeríthetetlengazdagságú kreativitással munkálkodik a fizika nép-szerûsítésén és professzionális megismertetésén.Egész lényébôl a fizika iránti szeretete árad.

Az ELFT Blészer Jenô, a pécsi Széchenyi István Gim-názium és Szakközépiskola Mikola-díjas nyugalma-zott középiskolai fizikatanára, volt szaktanácsadóeddigi tevékenységét Eötvös Plakettel ismerte el.

Blészer Jenô az ELTE matematika-fizika szakánvégzett 1951-ben. Pályáját a dombóvári gimnázium-ban kezdte, majd Pécsre került a Széchenyi Gimná-zium és Szakközépiskolába. 1975-tôl Megyei FizikaSzakfelügyelôként segítette a fizikatanárokat az újtantervi reformok megvalósításában. Támogatta Bara-nya megye középiskoláiban a fizikaszertárok eszköz-parkjának fejlesztését. Számos demonstrációs eszközttervezett, terveztetett és terjesztett el a megye közép-iskoláiban. Mint szakfelügyelô rendszeresen szerve-zett és vezetett évente 2-3 alkalommal tanári tovább-képzéseket. 10 éven át szervezte a Megyei KözpontiFizikai Klubot középiskolások számára. Hosszú éve-ken át vett részt az OKTV Bizottságában a szakközép-iskola szekcióban. Kiemelkedô oktató-nevelô és szer-vezô munkája mellett tudott idôt szakítani publikációstevékenységre is. Elsôsorban a módszertani folyóirat-ban, A Fizika Tanításában jelentek meg cikkei, detöbb cikke jelent meg a Fizikai Szemlében is.

Az ELFT Patkós András – ELTE Atomfizikai Tanszék –eddigi tevékenységét ELFT Éremmel ismerte el, amely-nek átadására az ELFT idei Közgyûlésén került sor.

HÍREK ITTHONRÓL

Tanári és tudományos kitüntetésekEbben az évben Rátz Tanár Úr Életmûdíjat kapott fizi-katanárok: Vida József, Eszterházy Károly TanárképzôFôiskola Fizika Tanszéke, Eger és Várnagy István,Árpád Gimnázium, Tatabánya.

Ericsson-díj a fizika tehetségeinek gondozásáért ki-tüntetettjei: Bülgözdi László, Batthyányi Kázmér Gim-

názium, Szigetszentmiklós és Somogyi Sándor, RévaiMiklós Gimnázium és Kollégium, Gyôr

Ericsson-díjasok a fizika népszerûsítéséért: JarosievitzBeáta, SEK Budapest Általános Iskola és Gimnázium,Ady Endre Fôvárosi Gyakorló Kollégium és GáborDénes Fôiskola, Budapest; Wöller Lászlóné, Magyar–

432 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 12

A FIZIKAI SZEMLE LX. ÉVFOLYAMÁNAKTARTALOMJEGYZÉKE

Abonyi Iván: Hell Miksáról, aki 1769-ben elsôként mértemeg a Nap–Föld-távolságot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Bajsz József: Nukleáris energia: vele vagy nélküle? . . . . . . 156Balázs Lajos: Az ûrcsillagászat európai útiterve . . . . . . . . . 325Balla Márta, Szatmáry Zoltán: A holt-tengeri tekercsek

és a fizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Beleznay Ferenc: Fél Nobel-díj – félvezetô-fizika . . . . . . . 109Berényi Dénes: Aktuális kutatási témák a

természettudományokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Blahó Miklós, Horváth Gábor, Hegedüs Ramón, Kriska

György, Farkas Róbert, Susanne Åkesson: A lovakfehérségének egy nem várt elônye . . . . . . . . . . . . . . . 145

Büki Gergely: A földben termett energia hasznosítása . . . . 181Dani Árpád, Tóth Eszter, Kovács Anna, Kovács Izolda,

Berta Katalin: Adatminôsítés az orvosieszközfejlesztés szolgálatában . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Egri Ádám, Horváth Gábor, Horváth Ákos, Kriska György:Beégethetik-e napsütésben a leveleket a rájuk tapadtvízcseppek? Egy tévhitekkel terhes biooptikaiprobléma tisztázása – I.–II. rész . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 41

Emlékezés Paál Györgyre (Lukács Béla, Illés Erzsébet) . . . 49Farkas Alexandra: Halójelenségek: a magas szintû felhôk

légköroptikai állapotjelzôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Gál Vilmos: Világkiállító magyar fizikusok . . . . . . . . . . . . . 17Gyürky György: Az asztrofizikai p-folyamat – a nehéz

elemek protongazdag izotópjainak keletkezése . . . . . 37Hargittai István: Nehéz és izgalmas – Teller-életrajzot írni 230Hárs György: Impulzusok nélkül mûködô, folyamatos

üzemû repülési idô tömegspektrométer . . . . . . . . . . . 160Holl András: A tudományos cikkek és adatok akadálytalan

és hosszú távú elérhetôségérôl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Horváth Dezsô: A világ keletkezése: Ôsrobbanás =

teremtés? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Hraskó Péter: Jánossy Lajos relativitáselmélet-felfogásáról . 77Kovács László: Henry Cavendish, a kísérletezô ember . . . 167Kövér Ákos: Elektrosztatikus elektronspektrométerek

fejlesztése az ATOMKI-ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339Martinás Katalin, Radnóti Katalin: Epizódok Madame

Curie életébôl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Németh Judit, Szabados László: Természetes, hogy a

Világegyetem alkalmas az élet számára? . . . . . . . . . . . 73Oláh-Gál Róbert: Bolyai János hôelméleti vázlata . . . . . . . 82Palló Gábor: Polányi kontra Einstein: vita az adszorpcióról 377Patkós András: Puskin utcai kvarkok – I.–II. . . . . . . . 331, 370Radnai Gyula: Nobel-díjas családok I.–II. . . . . . . . . . 300, 343Rékai János: Adalékok a tranzisztor elôtörténetéhez . . . . . 191Sávoly Zoltán: Totálreflexiós röntgenfluoreszcencia

spektrometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Slíz Judit: Helyfüggô amplitúdóval gerjesztett harmonikus

oszcillátor kaotikus viselkedése . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Szabó Gábor: Kolmogorov és a relatív gyakoriság . . . . . . 241Szabó M. Gyula: Ütközések a Naprendszerben . . . . . . . . . 289Szalai Tamás: Porgyártó(?) szupernóvák . . . . . . . . . . . . . . 399Szatmáry Károly: A szegedi csillagvizsgáló . . . . . . . . . . . . 252Szatmáry Zoltán: Fogytán az urán a Földön? . . . . . . . . . . . 122

Szepes László: A kémiai kötés tanulmányozása gázfázisúfotoelektron-spektroszkópiával . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Tar Domokos: A mennydörgés és a lökéshullámok szerepea villámgömb kialakulásában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Tél András, Tél Tamás: Egy reménytelennek tûnôvezérlési probléma a klasszikus és modern fizikahatárán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Vetô Balázs: Gravitáció és gravitomágnesség (javítottközlés novemberben) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Woynarovich Ferenc: Hogyan is mozog egy tömegesrugó? – I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A FIZIKA TANÍTÁSAAz Eötvös Loránd Fizikai Társulat állásfoglalása a

természettudományos közoktatásról és a tanárokhelyzetérôl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Az Országos Szilárd Leó Fizikaverseny meghirdetése a2010/2011. tanévre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

Baló Péter: A fizikus kertje, avagy a mechanikatanításának egy új megközelítése . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Bartos-Elekes István: A szabadesés kísérleti tanítása anagyváradi Ady Endre Líceumban . . . . . . . . . . . . . . . 204

Bartos-Elekes István: Az elektron fajlagos töltésénekmeghatározása magnetron módszerrel . . . . . . . . . . . . 266

Beke Tamás: Elektromosan fûtött Rijke-csôtermoakusztikus modellje (javított közlésnovemberben) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Bigus Imre: Becslési verseny az Árpád Vezér Gimnáziumés Kollégiumban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Eötvös Loránd: A fizika tanításáról az Egyetemen(közreadja: Papp Katalin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Hargittai István: Hogy elkerüljük az ipari katasztrófákat… 395Holics László: Észrevétel egy megoldáshoz a KöMaL P.

4225. feladata kapcsán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Jaloveczki József: Fizika kísérleti bemutató . . . . . . . . . . . . 215Jendrék Miklós: Jobb ma egy Deprez, mint holnap egy multi,

avagy mutatós kísérletek mutatós mûszerekkel . . . . . . 390Jendrék Miklós: Kísérletezzünk hétköznapi eszközökkel! . 260Juhász Nándor, Ôsz György, Vida József: A XX. Öveges

József Fizikaverseny országos döntôje . . . . . . . . . . . . 311Kovács László: Szubjektív tanszéktörténet . . . . . . . . . . . . . 91Petróczi Gábor: Jubileumi Fizikaverseny a kazincbarcikai

Ságvári Gimnáziumban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Radnóti Katalin, Adorjánné Farkas Magdolna: Mit

tanítsunk fizikából az általános iskolában? . . . . . . . . . 84Radnóti Katalin: A fizikai fogalmak alakulása . . . . . . . . . . 255Radnóti Katalin: Analógiák a fizikában és szerepük a

fizika oktatásában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Sándor-Kerestély Ferenc: Wigner Jenô Országos Fizikai

Feladatmegoldó Verseny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Sükösd Csaba: XII. Szilárd Leó Nukleáris Tanulmányi

Verseny – beszámoló, I.–II. rész . . . . . . . . . . . . . . . 25, 56Tömpe Péter: Bolyai Zentán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Tudósítás az Eötvös-verseny eredményhirdetésérôl

(Zagyva Tiborné) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A FIZIKAI SZEMLE LX. ÉVFOLYAMÁNAK TARTALOMJEGYZÉKE

Vannay László, Fülöp Ferenc: A Fizika OKTV harmadikfordulója az elsô kategória részére (javított közlésnovemberben) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Vida József: Az egri Varázstorony Miskolcon debütált . . . . 175Vida József: Izgalmak a Varázstorony vetélkedô döntôjén . 207Wiedemann László: Középiskolai demonstrációs

kísérletek elemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Wiedemann László: Problémamegoldás a fizikában . . . . . 200XVII. Newton-kupa (Farkas László) . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Zátonyi Sándor: Gyakorlati példák és feladatok az

általános iskolai fizikaoktatásban . . . . . . . . . . . . . . . . 385

VÉLEMÉNYEKEgyed Sándor: Hol kezdôdik a metafizika? . . . . . . . . . . . . 209Makai Mihály: Színe és fonákja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Papp Zoltán: Sugárvédelem a középiskolában és az

érettségin: jól van úgy, ahogy van? . . . . . . . . . . . . . . . 95Tél Tamás: Bologna vagy tanárképzés? . . . . . . . . . . . . . . . 100

ÁLFIZIKAI SZEMLELaczik Bálint: Szabadalmazott paramechanika – az inercia

hajtómûvek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Pálinkás József: Védnöki szavak a tudományért . . . . . . . . 139

KÖNYVESPOLCBerényi Dénes: Tudomány és kultúra (Füstöss László ) . . . 279Fehér István, Deme Sándor (szerk.): Sugárvédelem

(Gáspárdy Géza, Kerekes Andor) . . . . . . . . . . . . . . . . 359Gorzkowski Waldemar, Tichy-Rács Ádám (szerk.): List of

winners in 1st – 40th International Physics Olympiads . 281Hraskó Péter: A relativitáselmélet alapjai (Bokor Nándor) 66Nukleon (Radnóti Katalin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Szemenyei István (fôszerk.): Világhírû tudósok jelenrôl és

jövôrôl (Berényi Dénes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

PÁLYÁZATOKA 2010. évi Öveges József díj pályázati felhívása . . . . . . . . 173

HÍREK – ESEMÉNYEK14. Európai Szkeptikus Kongresszus . . . . . . . . . . . . . . . . . 287A hetedik Budapesti Szkeptikus Konferencia (Füstöss

László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A hosszútávú döntéseket hivatott segíteni az MTA újonnan

felállított Stratégiai Tanácsadó Testülete . . . . . . . . . . . 144A legtöbb csillag ikerként születik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A legújabb csillagászati nagymûszerek (Szabados László) . 72A Pentagon a kutatási pénzeket átirányítja az alkalmazott

kutatásokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Amikor a határ valóban a csillagos ég (Kiss László, Kôvári

Zsolt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Az atomoktól a csillagokig – fizikai elôadássorozat az

ELTE TTK-n (Cserti József) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat 2010. évi

Küldöttközgyûlése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 143, 283Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat díjai, 2010 . . . . . . . . . . . 430Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat Közhasznúsági jelentése

a 2009. évrôl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Az óriás lézer mérföldkôhöz ért a fúziós kutatásokban . . . 71Az ûrállomás 2028-ig képes lesz mûködni . . . . . . . . . . . . . 144Búcsú Biczó Gézától (Ladik János ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Csákány Antal (1933–2010) (Bencze Gyula) . . . . . . . . . . . 360Dióhéjban a SPICE = FÛSZER projektrôl (Jarosievitz

Beáta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Eötvös-verseny 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285EURODIM 2010 – 11th Europhysical Conference on

Defects in Insulating Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Felhívás javaslattételre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Fizikai díjak és a Dr. Hegedûs Zoltán Alapítvány (Faigel

Gyula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Füstöss László: „száraz halból készült málét ehetsz” –

225 éve halt meg Sajnovics János . . . . . . . . . . . . . . . . 322Háromdimenziós tévéközvetítés szemüveg nélkül? (Barna

Angéla, Barna Norbert, Kis János Benedek, KissLászló, Mathesz Anna, Molnár Dániel, VizsnyiczaiGaszton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

Hazai kutatómûhelyekbôl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144HTP2010 – Tanártovábbképzés fizikatanároknak a CERN-

ben (Sükösd Csaba) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Idegenek a Tejútrendszerben (Kovács József) . . . . . . . . . . 180Jégrétegek a Hold északi pólusvidékén (Tóth Imre) . . . . . 180Kálmán professzor az Óbudai Egyetem tiszteletbeli

doktora (Gáti József) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Kanyargó lávacsatorna a vörös bolygón (Derekas Aliz) . . 108Kitüntetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70, 143, 178Kozmikus részecskegyorsítókat figyelt meg a Fermi

(Szalai Tamás) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Középiskolai fizikatudás nélkül is lehetünk fizikában

nyilatkozó akadémikusok! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Kvantumos repedés a kriptográfia páncélján . . . . . . . . . . . 179Lentrôl felfelé havazik a Hartley 2-üstökösön (Molnár

Péter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432Mágneses egér (Gasparics Antal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Magyar kutatók is részt vettek a kvark-gluon folyadék

hômérsékletének meghatározásában . . . . . . . . . . . . . 214Marx Emlékelôadás 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Mayer Farkas (1929–2010) (Radnai Gyula) . . . . . . . . . . . . 104Multimédiás alkalmazások a középiskolai

természettudományos oktatásban . . . . . . . . . . . . . . . . 36Németh Judit: Búcsú Toró Tibortól . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429Pályázat kísérleti fizikából . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Segítsen Ön is a napviharok elôrejelzésében! (Szalai

Tamás) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Sólyom Jenô köszöntése (Iglói Ferenc) . . . . . . . . . . . . . . . 398Somogyi Antal, 1920–2010 (Erdôs Géza, Kecskeméty

Károly, Király Péter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Szédítô törpekeringô (Kovács József) . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Tanári és tudományos kitüntetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432Tapasztó Levente: Fizikai Nobel-díj 2010 . . . . . . . . . . . . . . 396Telbisz Ferenc (1932–2010) (Zimányi Magdolna) . . . . . . . 105Természettudomány-tanítási fesztivál

Magyarországon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180, 288Toró Tibor, 1931–2010 (Dézsi István) . . . . . . . . . . . . . . . . 428Új CCD-kamera a Piszkéstetôi Obszervatóriumban . . . . . . 324Új helyre költözik az Eötvös Loránd Fizikai Társulat . . . . . 360Ütközô részecskék fekete lyukakat hozhatnak létre . . . . . 71Vákuumfizikai, felületkémiai, nanoszerkezeti

szemináriumok 2010 második félévében . . . . . . . . . . 213Varga Dezsô 70 éves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285XIV. Magfizikus Találkozó – 2009. szeptember 3–4. (Fülöp

Zsolt, Horváth Ákos, Lévai Péter) . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A FIZIKAI SZEMLE LX. ÉVFOLYAMÁNAK TARTALOMJEGYZÉKE

vízjégés por

A szublimáló szén-dioxid a kitörés elõtti útjánjégdarabokat és porszemeket sodor magával.

CO2

Hartley 2 magja

Német Óvoda, Általános Iskola és Gimnázium, Gyôr;

A hóvihar kialakulása az üstökös felszínén

Bigus Imre, Árpád Vezér Gimnázium, Sárospatak.

Zsigó Zsolt fizikatanár MTA pedagógus kutatói pálya-díjat kapott november 30-án.

Díjakat adtak át december 3-án a Magyar NukleárisTársaság Ünnepi Közgyûlésén Pakson:

Csajági Sándor paksi fizikatanár kapta a MagyarNukleáris Társaság idei Szilárd Leó Díját.

Zsigó Zsolt nyíregyházi fizikatanár nyerte a MagyarNukleáris Társaság idei Öveges-díját.

Szepesi Tamás, a KFKI RMKI fiatal kutatója kapta aMagyar Nukleáris Társaság Simonyi Károly Emlékpla-kettjét, amelyet fúziós kutatásokban elért kiemelkedôeredményért ítélnek oda évente.

HÍREK AZ UNIVERZUMBÓL

Lentrôl felfelé havazik a Hartley 2-üstökösönA mélyben fagyott állapotban levô, majd a naphôhatására szublimáló szén-dioxid fagyott vizet és por-anyagot juttat az üstökös felszíne fölé.

A NASA Deep Impact szondája 2010. november4-én alig 700 km távolságban száguldott el a Hartley2-üstökös magja mellett. A megközelítés során a kuta-tóknak eleinte csak a kométa igen sok és igen aktívgázkilövellése tûnt fel, amelyek feltûnô szén-dioxid-felhôket fújnak ki a felszín tucatnyi pontján. Azonbana további vizsgálatok során kiderült, hogy a közeli ûris ragyogó jég- és hótörmelékkel tarkított, amelyeknémelyike akár kosárlabda méretû is lehet.

Mind ez idáig négy másik üstököst sikerült ûrszon-dáknak megfigyelniük. A meglátogatott kométák(Halley, Borrelly, Wild 2 és Tempel 1) egyikénél semsikerült hasonló ûrbéli hógolyókat megfigyelni. Ezkülönösen a Tempel 1 esetében fontos, mivel ezt azüstököst ugyanez a szonda kereste fel, és az ugyanaz-zal a kamerával, ugyanolyan felbontással készítettképek esetében nem voltak megfigyelhetô a hólab-dák. Mindezek alapján a Hartley 2 egyik eddig ismertüstököshöz sem hasonlítható.

A hóviharban kidobódott jég- és porszemcsék egyközelítôleg gömb alakú térrészt töltenek be, amelynekközéppontja a Hartley 2 forgó magjában van. A sza-bálytalan, súlyzóra emlékeztetô, alig 2 km-es mag jóvalkisebb, mint a környezô, több tíz kilométer átmérôjûhóviharfelhô. A Deep Impact mûszerei egyértelmûenkimutatták, hogy a mag környezetében lebegô részecs-kék fagyott vízbôl, azaz jégbôl állnak. A mikrométeresmérettartományba esô szemcsék néhány centiméter-deciméter méretû, lazán összetapadó csomókba tömö-rülnek. Ezek a csomók olyan lazák, hogy puszta kézzelis könnyen összeroppanthatnánk ôket. Törékenységük,sûrûségük és állaguk alapján a földi magashegységek-ben található hóhoz hasonlíthatók.

Még egy ilyen roppant laza hógolyó is hatalmaskárokat okozhatott volna a szondának, amennyibenkörülbelül 12 km/s (43 ezer km/óra!) sebességgeleltalálja. Egy ilyen ütközés a súlyos károk mellett va-lószínûleg bukdácsoló mozgást is elôidézett volna,amely miatt a szonda képtelen lett volna antennáit aFöld felé fordítani, így adatokat továbbítani és szüksé-

ges parancsokat fogadni. Egy ilyen baleset után azirányítást végzô mérnökök még abban sem lehettekvolna teljesen biztosak, mi is történt. Szerencsére 700km-es távolságig a hólabdák felhôje már nem nyúlikel: a Nap sugárzása már jóval e távolság elérése elôttszublimáltatja a darabokat.

E darabok forrásai pedig ugyanazok a kilövellések,amelyek elôször is megragadták a kutatók figyelmét.Az üstökös magjának kérgében szárazjégtömbök talál-hatók. A Nap sugárzása miatt ezek a tömbök igen gyor-san párolognak, a keletkezô gáz a kôzet helyi szerkeze-tét követve tör a felszínre, útja során pedig a kéreganyagába ágyazódott vízjégdarabokat is magával sodor.

A hatás miatt az üstökösmagon szokatlan módonnem fentrôl lefelé, hanem éppen ellenkezô iránybanhavazik. Sebességük ekkor még csak alig néhányméter másodpercenként, így egy leszállóegység szá-mára nem jelentenének komoly veszedelmet. Azon-ban a mag megközelítése során, a nagyobb távolság-ban, sokkal nagyobb sebességgel száguldó darabokjelentette veszélyt az üstökösök megközelítésére ter-vezett késôbbi szondák tervezôinek is figyelembe kellmajd venniük.

A felfedezés alapjául szolgáló adatsorok mellettmég több gigabájtnyi adat vár a kutatók elemzésére,így a Hartley 2-üstökössel kapcsolatban a következôhetekben-hónapokban további érdekes eredményekvárhatóak.

Forrás: NASA Science News, 2010. november 18.Molnár Péter

Szerkesztõség: 1121 Budapest, Konkoly Thege Miklós út 29–33., 31. épület, II.emelet, 315. szoba, Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Telefon/fax: (1) 201-8682A Társulat Internet honlapja http://www.elft.hu, e-postacíme: mail.elft@gmail.comKiadja az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, felelõs: Szatmáry Zoltán fõszerkesztõ.

Kéziratokat nem õrzünk meg és nem küldünk vissza. A szerzõknek tiszteletpéldányt küldünk.Nyomdai elõkészítés: Kármán Tamás, nyomdai munkálatok: OOK-PRESS Kft., felelõs vezetõ: Szathmáry Attila ügyvezetõ igazgató.

Terjeszti az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, elõfizethetõ a Társulatnál vagy postautalványon a 10200830-32310274-00000000 számú egyszámlán.Megjelenik havonta, egyes szám ára: 780.- Ft + postaköltség.

HU ISSN 0015–3257 (nyomtatott) és HU ISSN 1588–0540 (online)

9 7 7 0 0 1 5 3 2 5 0 0 9 21001

ISSN 0 0 1 5 3 2 5 - 7

1. ábra. Példák színes hologramokra. A színinformációt egymásra felvett három monokromatikus(kék, piros, zöld) hologrammal kódolják.

2. ábra. Balra: a 3D távjelenlét-rendszer egyik képe. Jobbra: egy mûködô 12×12 hüvelykesmegjelenítô egység.

HÍREK A NAGYVILÁGBÓL

Háromdimenziós tévéközvetítés szemüveg nélkül?Az 1977-es Csillagok háborújamozifilm óta nagy érdeklôdésövezi a háromdimenziós táv-jelenlét (telepresence) lehetô-ségét: a más helyen zajló ese-mények holografikus videó-technikával történô közvetí-tése nagy gyakorlati jelentôsé-gû lehet az élet számos terü-letén, például távolról történôsebészeti beavatkozások so-rán. Az utóbbi években a szó-rakoztatóiparban elôretörteka háromdimenziós filmek, deezek nem holografikus technikával készülnek, megte-kintésükhöz pedig speciális szemüveg szükséges.

A tárgyakról visszavert fény intenzitását és fázisátrögzítô hologramok a lézerek megjelenése óta egy-szerûen elôállíthatók. Mindeddig azonban megoldat-lan volt a mozgó objektumok valós idejû holografikusmegjelenítése. A legfôbb nehézségeket a megfelelôsebességgel frissíthetô és a környezeti hatásokra érzé-ketlen kijelzôk hiánya, illetve a hologramok továbbí-tásához szükséges nagy mennyiségû információ haté-kony feldolgozása okozta.

Jelentôs elôrelépésrôl számolt be P. A. Blanche(University of Arizona) és csoportja a Nature maga-zin 2010. november 4-i (Nature 468, 80) számában.

A kutatóknak elôször sikerült megvalósítaniuk egyvalós idejût megközelítô sebességgel frissíthetô ésszínes térbeli képeket továbbító holografikus távje-lenlét-rendszert. Eszközük lelke egy speciális poli-merréteg két, indium-ón-oxid bevonatú üveglemezközött. A bonyolult összetételû anyag optikai visel-kedését elektromos tér és lézer egyidejû alkalmazá-sával vezérelhetjük. A hologramot képelemenként(holografikus pixelenként, úgynevezett hogelen-ként) egy 6 ns impulzushosszú, 50 Hz-es ismétlésifrekvenciájú lézerrel rögzítik a polimerben. Az im-pulzushossz rövidsége miatt a rendszer érzéketlen akörnyezeti zajokra, így hétköznapi használata is lehet-séges. A kísérletekben egy 10×10 cm-es kijelzôt 1×1

mm-es színes hogelekkel 2 másod-percenként frissítettek, ami még tá-vol áll a mozifilmek másodpercen-kénti 26 képkockájától, de már ez isnagy ugrás a korábbi eredmények-hez képest.

A meglévô technológia tovább-fejlesztésével a jövôben új alkalma-zások valósulhatnak meg a távgyó-gyászatban, mûszaki tervezésben,reklám- és szórakoztatóiparban. Eh-hez elsôsorban a képfrissítési frek-venciát kell egy-két nagyságrenddelnövelni.

Barna Angéla, Barna Norbert,Kis János Benedek, Kiss László,Mathesz Anna, Molnár Dániel,

Vizsnyiczai Gaszton