1

MEHANIČKI RAD

Rad je skalarna veličina koja opisuje razmenu energije putem dejstva sile na tela u kretanju. Rad se definiše kao skalarni proizvod sile pod čijim se dejstvom telo pomera i pomeraja koji tom prilikom načini:

))r,F((rFrFArrrr

∆∠∆=∆⋅= cos Pogledajmo najjednostavniji slučaj kada je sila konstantna

const=Fr

i pralalena pomeraju tela duž x pravca xFrr

.

U ovom slučaju ugao između vektora Fr

i vektora xr

iznosi nula stepeni pa je rad jednak proizvodu intenziteta sile i pomeraja Jedinica rada je Džul (J) i on se definiše kao rad sile od 1N na putu od 1m. Sila u opštem slučaju može delovati na neko telo u različitim pravcima (kao na slici pored). Neka je ugao između sile i pravca kretanja tela θ. Po definiciji je rad θcosFxxFA =⋅=

rr, a sa slike je očigledno

θcosFFx = pa je rad tj. jednak je proizvodu pomeraja koji načini telo i komponente sile paralelne pomeraju. Komponenta sile

ne vrši rad jer zaklapa ugao

x

θ

FA x ⋅=

sinFFy =

2π sa pomerajem. Sa obzirom na to da su intenziteti sile i pređenog puta uvek pozitivne veličine ( 0>= FF

r i 0>= xx

r)

možemo razlikovati sledeće slučajeve:

Fr

xr

x

[ ][JNmFxA = ]

xFr

xr

x

Fr

yFr

θ

Fr F

r

A >0 ( motorni rad) [ ]20 πθ ,∈

A = 0 ( kod Lorencove sile) 2πθ =

A <0 (otporni rad, kod sile trenja npr.) [ ]πθ π ,2∈

Pojam mehaničkog rada se jako razlikuje od našeg svakodnevnog pojma rada. Pogledajmo sledeći primer. Prenosimo neki teret. Teret podižemo (A) i vršimo pozitivan rad. Prenosimo teret (B), nema rada. Spuštamo teret (C), vršimo negativan rad. Na celom putu, ukupan izvršen rad jednak je nuli.

Ap00A f

A=0 B

Elementaran rad Šta ako je sila koja deluje na telo promenljivog intenziteta i pravca duž puta, što je mnogo realnija situacija? U tom slučaju se uvodi pojam elementarnog rada na sledeći način. Putanja tela se podeli na beskonačno male delove, tako da se može smatrati: a) da su ti elementarni delići pravolinijski sr

rrd≈d i b) da se vektor sile na tim elementarnim delićima puta može smatrati

konstantnim. Ovime se problem svodi na izražunavanje elementarnog rada d na pojedinim elementarnim delićima puta

Arsrr

d≈d :

2

2

Fr

srrr

dd ≈

rr

r ′r

2Fr

1

( ) drFdrrd,FcosFrdFdA r=∠=⋅=

rrrr

Fr je komponenta sile na pravac puta. Ukupan rad Ako predstavimo grafički zavisnost komponente promenljive sile u pravcu x komponente puta (Fx) od pređenog puta, očigledno je da elementarni rad na deliću puta dx predstavlja površinu išrafiranog dijagrama, Fxdx. Sabiranjem svih tih površina od tačke 1 do tačke 2 dobija se ukupan rad na tom putu koji je jednak površini ispod krive (xF )

r (tačkasta površina). Na identičan način bi dobili

komponente duž y i z pravca.

Fx

2 1

Fx

dx

x

Uopšteno se ukupan rad koji izvrši sila F

rnad telom na putu od

tačke 1 do tačke 2 dobija sabiranjem radova na svim elementarnim delićima puta između te dve tačke odakle se dobija konačan izraz:

( )∫∫∫ ∠===2

1

2

1

2

112 drrd,FcosFrdFdAA

rrrr

Prethodni izraz predstavlja opšti izraz za rad i konzistentan je sa svim prethodnim relacijama. Integrali ovakvog tipa se nazivaju linijskim integralima jer ne zavise samo od početnog (1) i krajnjeg (2) položaja tela već i od oblika putanje duž koje se telo kreće. Ako na telo istovremeno deluje više sila čija je rezultanta ∑=

ii

ex FFrez

rr, tada rad rezultantne sile iznosi:

∑∑ ∫∫ ∑∫∫ ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

ii

ii

iirez ArdFrdFrdFdAA

2

1

2

1

2

1

2

112

rrrrrr

Dobili smo da je rad rezultantne sile jednak sumi radova pojedinačnih sila – osobina superpozicije radova. SNAGA

Srednja snaga je rad koji se izvrši u jedinici vremena [ ]WsJ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∆∆

=tAPsr . Jedinica za snagu je vat (W)

Trenutna snaga definiše brzinu vršenja rada υrrrrrr

⋅=⋅=⋅

== FdtrdF

dtrdF

dtdAP .

MEHANIČKA ENERGIJA Energija predstavlja sposobnost tela da izvrši rad. Energija se javlja u raznim oblicima – toplotna, hemijska, energija kretanja, položajna energija itd. Pod pojmom mehaničke energije podrazumevaju se isključivo kinetička i potencijalna energija nekog tela. Kinetička energija Kinetička energija predstavlja sposobnost tela da izvrši rad zahvaljujući svom kretanju (brzi tokovi reka, vetar vrše rad zahvaljujući kretanju).

Zamenom izraza za silu na osnovu II Njutnovog zakona (dtpdFrez

rr= ) u izraz za elementarni rad dobiće

se, υrr

rrr

rrr

⋅=⋅=⋅=⋅= pddtrdpdrd

dtpdrdFdA rez . Dobijena je opštevažeća relacija: . υ

rr⋅= pddA

Ako se tela kreću brzinama mnogo manjim od brzine svetlosti – u oblasti klasične fizike dobijamo da je

3

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===⋅=

221 2

2 υυυυυυ mddmdmmddArrrr 1.

Dobijeno je:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡===⇒=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= JNm

smkg

22 2

222 υυ mEdEmddA kk ,

Dobro vam je već poznato da izraz 221 υm predstavlja kinetičku energiju tela. Opštiji izraz za kinetičku

energiju može se dobiti preko impulsa te je 222 υυ mpmp =⇒=

mpEk 2

2=

Još jedna veoma bitna stvar je dobijena a to je da je elementaran rad neke spoljašnje rezultantne sile jednak elementarnoj promeni kinetičke energije kdEdA = . Integracijom poslednje jednačine na putu

1→2 , dobija se: ∫∫ =2

1

2

1kdEdA

kkk EmmEEA ∆=−=−=22

21

22

1212υυ

Rad rezultantne spoljašnje sile koja deluje na neko telo jednak je promeni kinetičke energije tog tela. Ako je rezultantna spoljašnja sila jednaka nuli (takvi sistemi tela se nazivaju izolovani sistemi) njen rad je jednak nuli pa je

const0012 =⇒=∆⇒= kk EEA Formulacija je: u izolovanom sistemu ukupna kinetička energija ostaje konstantna. Konzervativne sile Pre nego što definišemo potencijalnu energiju tela, objasnićemo pojam konzervativnih sila. Rekli smo da tela deluju jedna na druga silama. Skrenućemo pažnju na dva tipa sila.

1. Ako se sile ne menjaju u toku vremena za njih kažemo da su stacionarne2.

2. Sa druge strane, ako sile koje deluju na neko telo zavise od rastojanja između tela a pravci im prolaze kroz zajednički centar, takve sile su centralne. Ove sile se mogu matematički izraziti kao

gde je r rastojanje od centra sila a r( ) 0rrFFrr

⋅= Fr

Fr

Fr

Fr

FrF

r

0rr

0rr F

r 0rr

0v

je jedinični vektor u radijalnom pravcu. Tipičan primer ovih sila i centralnog polja je gravitaciono polje Zemlje (kao na slici). Ovom tipu polja pripadaju i polja odbojne sile – usmerene od centra.

rr0 0rr

0rr

Šta je karakteristika konzervativnih sila? Dva ravnopravna načina definisanja ovih sila su: 1. Rad konzervativnih sila ne zavisi od oblika puta koji telo prelazi već

samo od početnog i krajnjeg položaja tela A1a2= A1b2; 2. Rad konzervativnih sila po zatvorenoj putanji je jednak nuli

∫ =⋅= 0121 sdFArr

(ovde je pravilnije ići na prirodno opisivanje kretanja, duž elementa stvarno pređenog puta s

rd ).

1

2 а b

(matematika: integral po zatvorenoj putanji ∫ ⋅ sdFrr

se zove cirkulacija vektora Fr

) Centralne i stacionarne sile su i konzervativne sile. Primer: gravitaciona sila je konzervativna – dokazati.

1 Matematički podsetnik ( ) ( ) ( ) ( )222

21

212 adadadaadaadaaadaadad ==⋅⇒⋅=⋅+⋅=⋅=

rrrrrrrrrrrr

2 Bilo koja veličina koja se ne menja u toku vremenu naziva se stacionarnom.

4

Sile koje nisu konzervativne nazivaju se disipativnim silama. Primer: sila trenja je disipativna sila – dokazati. Potencijalna energija Potencijalna energija predstavlja sposobnost tela da izvrši rad zahvaljući svom položaju, zbog čega je neki nazivaju položajnom energijom. Prema samoj svojoj definiciji ona predstavlja neku funkciju prostornih koordinata pa je možemo obeležiti kao U(x,y,z). Sa obzirom na to da rad konzervativnih sila zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja tela možemo zapisati (povezujte sa definicijom potencijalne energije):

)z,y,x(U)z,y,x(U)z,y,x(UrdFAkonz ∆−=−== ∫ 21

2

112

rr Potencijalna energija se često označava i sa Ep. Još jednom

pkonz EA ∆−=12

Rad konzervativnih sila je jednak negativnoj promeni potencijalne energije tela. OPCIONO (za one koji žele više da znaju) Vratimo se na izraz p

konz dErdFdA −==rr

. Prepisaćemo ovaj izraz u sledećem obliku: Poslednja relacija se interpretira kao: konzervativna sila jednaka je negativnom gradijentu potencijalne energije. Naime, potencijalna energija je skalar, a tražimo prvi izvod skalara po vektorskoj veličini. Svi izvodi takvog tipa (izvod skalara po vektoru) nazivaju se gradijentom neke veličine – npr. temperatura je skalar ali može postojati temperaturna promena duž različitih pravaca u prostoru pa ćemo uvek tražiti gradijent temperature. Gradijent se može napisati u sledećem obliku – razložen duž pravaca: Uvedeni su parcijalni izvodi koji se rešavaju tako što se traži samo izvod po naznačenoj promenljivoj dok se ostale smatraju konstantnom.

rddE

F pr

r−=

ppppp EEk

zE

jy

Ei

xE

F −∇=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−= grad

rrrr

Za razliku od kinetičke energije koja je dosledno izvedena, kod potencijalne energije nema opšteg izraza već oni zavise od

a) tipova polja (sila) koja deluju b) izbora nultog nivoa potencijalne energije

Videćemo kasnije kako izgledaju izrazi za potencijalnu energiju u polju gravitacione sile (u zavisnosti od izabranog nultog nivoa potencijalne energije, izraz za potencijalnu energiju elastične deformacije opruge itd. Ne zaboravite da uvek prilikom rešavanja zadataka postavite neki referentni nivo na kome je potencijalna energija jednaka nuli!

PRIMERI

• GRAVITACIONA POTENCIJALNA ENERGIJA Ovaj primer je veoma ilustrativan za određivanje potencijalne energije. Rekli smo da potencijalnu energiju računamo uvek u odnosu na neki proizvoljno izabran referentni nivo na kome je potencijalna energija jednaka nuli (Ep=0). Pogledajmo izraze koje ćemo dobiti za potencijalnu energiju tela u polju gravitacione sile ako se referentni nivo izabere: a) u beskonačnosti i b) na površini Zemlje.

5

a) Referentni nivo u beskonašnosti (E p(∞)=0). Zanima nas koliko iznosi potencijalna energija tela mase m2 na nekom konačnom rastojanju r od tela mase m1. Prema Njutnovom zakonu opšte gravitacije, telo mase m1 privlači telo mase m2 gravitacionom silom (podsetiti se):

0221 r

r

mmFg

rrγ−= 0r

r m2

gFr

Rekli smo da je gravitaciona sila konzervativna, a rad konzervativnih sila jednak je negativnoj promeni potencijalne energije: m1 r

)r))r,r((rrrr(rrr

mmrFA g

konz ddcosddddd 0000221 =∠=−==

rrrrrrrrrrγ

1

221221 ddddd

rrmmEr

r

mmEA pp

konz γγ =⇒−==−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∫∫∫

∞xx

xr

rmmErE

p

p 1ddd2221

0γ

Konačno se za potencijalnu energiju tela koje ima nultu potencijalnu energiju u beskonačnosti dobija:

r~

rmm

Er

mmE pp111 21

21 −−=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞−−= γγ

Grafik zavisnosti potencijalne energije tela od rastojanja Dobili smo da je u slučaju privlačne sile F< 0 (znak »minus«) Ep tela negativna (~ − 1/r) Kvalitativno bi taj grafik izgledao:

Ako bi sila bila odbojna F> 0 (znak »plus«) Ep tela bi bila veća od nule i opadala bi sa rastojanjem. Kvalitativno bi taj grafik izgledao:

b) Referentni nivo na površini Zemlje (E p(Rz)=0). Posmatrajmo telo na nekoj visini h iznad površine Zemlje. Potencijalna energija tela mase m u ovom slučaju je jednaka nuli na površini Zemlje. Koliko iznosi njegova potencijalna energija na visini h? Primenjujući identičan rezon kao u prethodnom slučaju (primenjujući samo adekvatne oznake kao na slici), dobijamo: Ako je dobija se zRh << dobro poznat izraz još iz srednje škole.

0rr

h

Rz

m

Mz

∫∫+

=hR

Rz

E

pz

z

p

mME0

d γr

r2

d

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+z

zR

1⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−= z

zzz

zzzp h

hR

mM)hR(R

hmMRhR

mME 1112

γγγ

=g

mghE p =

Ep

r

F >0 Ep>0

F <0 Ep<0

Ep

r

6

• POTENCIJALNA ENERGIJA ELASTIČNE OPRUGE

Rad konzervativnih sila je jednak negativnoj promeni potencijalne energije, a elastična sila opruge je konzervativna sila, pa je

2dddddd

2

0

kxExkxExkxxFAE pxE

op

konzp

p=⇒=⇒−===

− ∫∫

rr

ZAKONI ODRŽANJA

Zakon o održanju količine kretanja (dobija se na osnovu II Njutnovog zakona)

Posmatrajmo izolovan sistem, koji se sastoji od n tela. Sistem je izolovan ako je rezultantna spoljašnja sila koja deluje na njega jednaka nuli - 0=ex

rezFr

. Svako od tela mase m1, m2, m3 ..., mi, ..., mn

ima vektor količine kretanja . Ukupan vektor količine kretanja ovog sistema jednak je zbiru pojedinačnih vektora količine kretanja svih tela

ipr

Ako je rezultantna sila koja deluje na posmatrani sistem jednaka nuli

tada je prema II Njutnovom zakonu 0dd

=tpr

, što je ispunjeno ako je 0d =pr

. Setimo se da oznaka »d»

ispred vektora količine kretanja predstavlja beskonačno malu promenu veličine ispred koje stoji. Ako je promena količine kretanja jednaka nuli znači da je količina kretanja izolovanog sistema konstantna

const=pr

. Ovo predstavlja još jedan opštevažeći zakon – zakon o održanju količine kretanja:

ipr

ipr

ipr

ipr

ipripr

ipr

1pr 2pr

3pr

∑=

=++++++=n

iini pp...p...pppp

1321

rrrrrrr

Ukupan vektor količine kretanja izolovanog sistema je konstantan. Zakon o održanju količine kretanja je jedan od najosnovnijih i najopštijih zakona u fizici. Važi i u kvantnoj i u relativističkoj fizici gde ne važe više Njutnovi zakoni mehanike. Zakon o održanju energije Podsetimo se da je dAkonz=−dEp i dA=dEk. Ako na telo deluju samo konzervativne sile, tada je:

( ) 0d0d0dddd

dd

dd=⇒=+⇒=+⇒−=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

−=mehpkpkpk

k

pkonz

EEEEEEEEA

EA (Zbir kinetičke energije Ek i potencijalne energije Ep je jednak ukupnoj mehaničkoj energiji Emeh) . Gornja relacija predstavlja Zakon o održanju mehaničke energije (ZОМЕ) : Ukupna mehanička energija sistema na koji deluju samo konzervativne sile ne menja se u toku vremena. Drugim rečima, ako na sistem ili telo deluju samo konzervativne sile, doći će samo do pretvaranja kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto (Npr. spuštanje tela niz strmu ravan u odsustvu sile trenja). Konzervativne sile su upravo i dobile takvo ime jer čuvaju (konzerviraju) mehaničku energiju. Međutim, šta se dešava ako na tela deluju i nekonzervativne sile (sila trenja, sila otpora sredine,...) Polazimo od činjenice da je ukupan elementarni rad nad sistemom jednak elementarnoj promeni kinetičke energije sistema i da je rad konzervativnih sila jednak negativnoj promeni

potencijalne energije sistema . Setimo se da je rad aditivna fizička veličina, pa je ukupan rad jednak zbiru radova konzervativnih i nekonzervativnih sila:

kEA dd =

pEA dd konz −=

nekonzkonz AAA ddd += nekonz pk AEE ddd +−=

7

( ) nekonzpkpk AEEEE dddd =+=+

nekonzmeh AE dd =

nekonzAEE =− 12 Ako na tela deluju i nekonzervativne sile, promena mehaničke energije sistema jednaka je radu nekonzervativnih sila. Ukupna mehanička energija sistema nije konstantna i ne važi više zakon o održanju mehaničke energije sistema. Upravo smo formulisali zakon o održanju energije (ZOE): mehanička energija sistema može da prelazi u druge oblike energije (toplotnu npr.), ali se ne može uništiti. Do sada još uvek nije pronađen ni jedan izuzetak od ovog pravila.

ZAPAMTITI:

EA)EEE(EA

EAEA

EAEA

nekonzpk

nekonzp

konzp

konzkk

∆=+==

∆−=−=

∆==

ilidd

ilidd

ilidd Prilikom rešavanja zadataka ako niste sigurni da li je u pitanju konzervativna ili nekonzervativna sila uvek je bolje poći od najopštijeg, a to je: izvršiti identifikaciju sila koje deluju na neko telo, izračunati pojedinačne radove tih sila, sabrati ih i poći od toga da je ukupan rad jednak promeni kinetičke energije tela. ENERGIJA HARMONIJSKOG OSCILOVANJA

• KINETIČKA ENERGIJA

Po definiciji je 2

2υ

cos

mEk = , a brzina harmonijskog

oscilovanja je )t(x 00 ϕωωυ += , pa je:

• POTENCIJALNA ENERGIJA

Dobili smo da je potencijalna energija opruge 2

2kxEp =

a kod harmonijskog oscilovanja je trenutno udaljenje tela od ravnotežnog položaja dato sa x(t)= x0 sin(ωt+ϕ0), pa je:

• UKUPNA ENERGIJA Ukupna energija predstavlja zbir kinetičke i potencijalne energije

3π 2π π

E

ωt π 2π 3π

Ep

π 2π 3π

)t(xmEk 0222

0 cos21 ϕωω +=

)t(xmEp 0222

0 sin21 ϕωω += ωt

ωt

Ek

)km(kxxmE

)t(xm)t(xm

EEE pk

===

+++=

+=

220

220

0222

00222

0

22

sin21cos

21

ωω

ϕωωϕωω

8

Na slici ispred su grafički predstavljene kinetička energija, potencijalna energija kao i ukupna energija harmonijskog oscilovanja. U odsustvu sile trenja, ukupna mehanička energija je očuvana – pogledati grafik. Ako raste kinetička energija potencijalna energija opada i obrnuto, ali ukupna energija ima stalno konstantnu vrednost. PRIMER - sudari Sudari su tipičan primer zakona o održanju energije sistema (bilijarske kugle, bejzbol, golf, automobili...) Sudar predstavlja interakciju između tela (ili čestica videćemo kasnije) pri čemu dolazi do razmene količine kretanja među interagujućim telima i do promene njihove energije. U opštem slučaju pod sudarom se ne podrazumeva samo neposredan kontakt između tela, već se kaže da je potrebno da samo da tela (čestice) budu »dovoljno blizu«, što ćemo takođe videti kasnije. Prilikom svakog sudara važi zakon o održanju količine kretanja (ZOKK) i zakon o održanju energije (ZOE). (ZOKK) Ukupna količina kretanja sistema pre i posle sudara ostaje konstantna,

2121 pppp ′+′=+rrrr

gde su primovima označene veličine posle sudara. ČEONI ELASTIČNI SUDAR. Ovo je najjednostavniji slučaj sudara. Pri ovom sudaru čestice zadržavaju svoj pravac kretanja i ukupna kinetička energija čestica se ne menja – važi zakon o održanju kinetičke energije. Telo koje naleće naziva se projektil, a pogođeno telo je meta.

1υr

2υr m2 m1

1υ′r 2υ ′r

pre sudara posle sudara x Pretpostavimo da su date brzine tela pre sudara i njihove mase. Zanima nas kolike su njihove brzine posle sudara. (ZOKK): (1) 22112211 υυυυ ′+′=+ mmmm

(ZOE): 2222

222

211

222

211 υυυυ ′

+′

=+mmmm (2)

Iz (1)⇒ )(m)(m 222111 υυυυ −′=′−

Iz (2)⇒ )(m)(m 22

222

21

211 υυυυ −′=′−

Deobom poslednje dve jednačine dobija se 1222121 υυυυυυυυ −+′=′⇒′−′−=− )( što zamenom u jed.(1) daje:

)mm(

)mm(m

)mm(

)mm(m

21

221112

21

121221

2

2

+

−−=′

+

−+=′

υυυ

υυυ

Ako telo 2 (meta) miruje pre sudara ( 02 =υ ), dobija se :

121

121

21

211

2υυυυ

)mm(

m

)mm(

)mm(

+=′

+

−=′

9

• Pri kakvom odnosu masa projektila i mete je maksimalan prenos kinetičke energije sa projektila na metu u ovom slučaju?

22

222

2

211

1υυ ′

=′=m

E;m

E kk , zamenom u poslednju jednačinu i neznatnim sređivanjem se

dobija da je:

22υ′

21

2

2

1

2

2

1

2

1

221

21

1

2

14smena

1

44

)t(t

EE

tmm

,

)mm

(

mm

)mm(

mmEE

k

k

k

k

+=

′⇒=

+

=+

=′

1

2

k

kEE ′

2

1mm21 mm =

1

Na grafiku desno predstavljena je dobijena funkcija. Proanalizirajmo poslednju jednačinu. Ako je m1<<m2 , t =0, E′k2¸/Ek1=0. Ako je m1=m2 , t =1, E′k2¸/Ek1=1. Najveći prenos kinetičke energije sa projektila na metu je kada su projektil i meta jednakih masa.

• Pri kakvom odnosu masa projektila i mete je maksimalan prenos količine kretanja?

222111 υυ ′=′= mp;mp . Na potpuno identičan način kao u prethodnom slučaju dobijamo da je:

tpp

tmm

,

mmmm

mpp

+=

′⇒=

+

=+

=′

12smena

1

22

1

2

2

1

2

121

2

1

2 Na grafiku desno predstavljena je dobijena funkcija. Proanalizirajmo poslednju jednačinu. Ako je m1<<m2 , t =0, p′2¸/p1=2. Ako je m1=m2 , t =1, p′2¸/p1=1. Najveći prenos količine kretanja sa projektila na metu je kada je projektil mnogo manje mase od mete. ELASTIČNI SUDAR SA RAŠTRKAVANJEM. I pri ovom sudaru ukupna kinetička energija čestica se ne menja – važi zakon o održanju kinetičke energije kao i zakon o održanju količine kretanja.

1

2pp ′

2

2

1mm

(ZOKK): 22112211 υυυυ

rrrr ′+′=+ mmmm (1)

(ZOE): 2222

222

211

222

211 υυυυ ′

+′

=+mmmm (2)

Kao što se vidi sa slike, tela posle sudara ne ostaju na istom pravcu. Neka se projektil rasejao pod uglom β, a meta pod uglom α.

β1υr

2υr

pre sudara

m1 m2 1υ′r

2υ ′rα x

y

posle sudara

10

Prilikom rešavanja ovakvih problema prvo se najpre postavi koordinatni sistem (obično se postavlja kao na slici radi jednostavnosti), a onda se brzine projektuju na odgovarajuće pravce, čime zakon o održanju količine kretanja zapisan u skalarnom obliku izgleda: x-osa: αυβυυυ coscos 22112211 ′+′=+ mmmm

y-osa: αυβυ sinsin0 2211 ′+′= mm Dalje je sve principski isto kao i kod čeonog elastičnog sudara. NEELASTIČAN SUDAR. Ovo je slučaj sudara pri kome dolazi do promene unutrašnje energije (Q) sistema tela. Ovo znači da pri ovakvim sudarima ne važi zakon o održanju kinetičke energije, već zakon o održanju ukupne energije (ZOE):

(ZOE): Qmmmm+

′+

′=+

2222

222

211

222

211 υυυυ

• IDEALNO NEELASTIČAN SUDAR bio bi sudar pri kome tela ostaju spojena u jedno telo posle

sudara i kreću se nekom zajedničkom brzinom. Naravno, u realnim situcijama ne postoji ni idealno elasičan ni idealno neelastičan sudar (sudar dva automobila npr.).

1υr

2υr m2 m1 υ ′r m1+m2

pre sudara posle sudara x

(ZOKK): υυυ ′+=+ )mm(mm 212211

(ZOE): Qmmmm+

′+

′=+

2222

222

211

222

211 υυυυ

Ovde smo dali primer tri najčešća tipa sudara sa kojima se srećemo prilikom rešavanja zadataka. Naravno, konkretne jednačine zavise od konkretnih sudara, pa ćemo ih detaljnije obraditi na vežbama. ZAPAMTITI

• Uvek važi zakon o održanju količine kretanja.

• Kod elastičnih sudara važi zakon o održanju mehaničke energije

• Kod neelastičnih sudara važi zakon o

održanju energije sistema.

11

ROTACIONO KRETANJE Kinetička energija rotacije Posmatrajmo materijalnu tačku mase m koja rotira brzinom rωυ = , (vektori υ

r i r

rsu međusobno

normalni za sve tačke na kružnici), gde je r poluprečnik kružnice. K inetička energija materijalne tačke je:

( ) ( ) 222221

21

21 ωωυ mrrmmEk ===

U prethodnoj jednačini zagradom je označena skalarna veličina koja se naziva moment inercije materijalne tačke 2mrI = Jedinica momenta inercije je kgm2 .

Dobili smo da je kod rotacionog kretanja 221 ωIEk =

Moment sile Moment sile je od posebne važnosti za kretanje krutih tela. Obzirom da se on ne vezuje isključivo za rotaciju, daćemo najpre generalni smisao momenta sile a potom ćemo se ograničiti na rotaciono kretanje. Moment sile se uvek računa u odnosu na neku proizvoljno izabranu referentnu tačku (kod rotacionog kretanja se ta tačka najčešće bira na osi rotacije iz praktičnih razloga kao što ćemo videti na kasnijim primerima). Moment sile jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja napadne tačke sile r

r i ve tora sk ile F

r

Uveden je još jedan pseudovektor – moment sile, čiji je pravac uvek normalan na ravan koju obrazuju vektori r

r i F

r, a smer se određuje pravilom desnog zavrtnja idući

najkraćim rastojanjem od prvog ka drugom vektoru. Intenzitet momenta sile iznosi M , gde d=rsinα predstavlja normalno rastojanje od napadne linije sile do izabrane referentne tačke i naziva se krak sile.

FdFr ⋅=⋅= αsin

Jedinica momenta sile u SI sistemu je (Nm)3.

Moment sile karakteriše sposobnost sile da okrene telo oko tačke u odnosu na koju se računa. U tom slučaju, ako se telo može slobodno obrtati u svim pravcima oko tačke O, pod dejstvom sile F

r obrtaće se

uvek oko ose koja je normalna na ravan u kojoj leže vektor sile i tačka O tj., oko ose čiji se pravac poklapa sa pravcem vektora momenta sile u odnosu na datu tačku. Sila F

r se može razložiti na dve komponente – radijalnu rF

r, u pravcu

vektora rr

i tangencijalnu komponentu τFr

, normalnu na rr

. asno je da radijalna komponenta sile ne može da izazove okretanje (da li je moguće otvoriti vrata ako delujemo silom koja je paralelna ravni vrata?), već do rotacije dolazi pod dejstvom tangencijalne komponente

J

τFr

. Moment sile se u tom slučaju svodi na

α rr

Fr

Mr

O

z

τFr

rFr

FrMrrr

×=

τFrM ⋅=

α Fr

Mr

rr

O d

z

i ukazuje na činjenicu da je manju silu potrebno primeniti na većem rastojanju od referentne tačke O. (Da li je većom silom potrebno delovati na vrata u blizini šarki ili kod kvake?)

3 Primetimo da jedinica Nm u stvari predstavlja džul (J). Poznato je da džul predstavlja jedinicu rada i energije i moglo bi se zaključiti da moment sile ima tu osobinu. Međutim, moment sile nema nikakav smisao energije i rada i ne sme se poistovećivati sa ovim veličinama. Upravo se iz tog razloga on nikada ne izražava džulima – isključivo Nm.

12

Moment sprega sila Spregom sila nazivamo dve sile istog intenziteta i pravca a suprotnih smerova. Ukupni moment koje stvaraju ove dve sile iznosiće

d

2rr

1rr 1F

r

2Fr

21 FFrr

−=

12rr

Odnosno, kako je 21 FF

rr−=

2211 FrFrMrrrrr

×+×=

2122221 F)rr(FrFrMrrrrrrrr

×−=×+×−= O

212 FrMrrr

×= Primećujemo da prethodna jednačina ne zavisi od izbora tačke O, što znači da će moment sprega sila u odnosu na bilo koju tačku uvek imati istu vrednost. Moment sprega sila normalan je na ravan u kojoj leže sile 1F

r2Fr

i , a po intenzitetu je jednak proizvodu normalnog rastojanja između sila d i intenzitetu jedne od njih

FdM ⋅= Moment količine kretanja Moment količine kretanja L

r predstavlja još jedan pseudovektor i kao i

moment sile, nije vezan isključivo za rotaciono kretanje tela. Generalno se uvodi kao pojam kod krivolinijskog kretanja tela oko neke unapred izabrane referentne tačke. Moment količine kretanja L

r

oko tačke O za česticu mase m koja se kreće brzinom υr definisan je vektorskim proizvodom

α rr

υrLr

O

A Arr

ALr

υrrrrr

mrprL ×=×= Jedinica momenta količine kretanja u SI sistemu je kg m2/s.

Lr

rrυrm

Lr

z

O

rmυr

⊥rr

τυrm

Sa slike je važno primetiti da će moment količine kretanja u odnosu na neku drugu referentnu tačku A biti različit čak i za isto telo sa istom količinom kretanja p

r.

Intenzitet momenta količine kretanja iznosi αυ sinrmL = . Obzirom da se radi o vektorskom proizvodu, sve što je rečeno kod momenta sile važi i ovde te se na detaljima nećemo ponovo zadržavati. Navešćemo samo da se intenzitet momenta količine kretanja može određivati i preko komponenti vektora položaja i brzine na sledeći način τυυ rmmrL == ⊥Dinamika rotacije Vratimo se opštoj definiciji momenta količine kretanja materijalne tačke prL

rrr×= . Diferenciranjem

ove jednačine po vremenu dobija se

Sa obzirom na to da je 0=×=×=× )(mmp υυυυυrrrrrr

, a exrezF

dtpd rr

dtpdrp

dtrd

dtLd

rrr

rr

×+×=

dtpdrp

dtLdr

rrr×+×= υ

r

ostaje =

exrezFr

dtLd rrr

×= Član sa desne strane predstavlja moment rezultantne eksterne sile, te je konačno

exrezM

dtLd rr

= Poslednja jednačina predstavlja osnovni zakon dinamike rotacije ili II Njutnov zakon za obrtno kretanje i glasi

13

Brzina promene momenta količine kretanja čestice jednaka je momentu rezultantne spoljašnje sile koja deluje na česticu.

Skrećemo pažnju da se moment količine kretanja i moment sile moraju računati u odnosu na istu referentnu tačku. Kod rotacionog kretanja materijalne tačke je . ωωυ ImrrmL === 2

Zakon o održanju momenta količine kretanja Pretpostavimo da je moment rezultantne spoljašnje sile jednak nuli,

const0 =⇒= LdtLd rr

Dobijen je zakon o održanju momenta količine kretanja koji glasi

Ako je moment rezultantne spoljašnje sile jednak nuli, ukupni moment količine kretanja tela se ne menja u toku vremena. U slučaju rotacije materijalne tačke L=Iω te zakon o održanju momenta količine kretanja

glasi const=ωI PARALELA IZMEĐU TRANSLATORNOG I ROTACIONOG KRETANJA

TRANSLATORNO KRETANJE ROTACIONO KRETANJE (FIKSIRANA OSA ROTACIJE)

Položaj Brzina Ubrzanje Masa Drugi Njutnov zakon Rad Kinetička energija Snaga

x υ=dx/dt a=dυ /dt m F=ma A=∫ Fdx Ek=½mυ2

P=Fυ

Ugaoni položaj Ugaona brzina Ugaono ubrzanje Moment inercije Drugi Njutnov zakon Rad Kinetička energija Snaga

θ ω=dθ /dt α=dω/dt I M=Iα A=∫ Mdθ Ek=½Iω2

P=Mω