ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium

– Biológia tagozat

Fizika 9. osztály

II. rész: Dinamika

Készítette: Balázs Ádám

Budapest, 2020. május 8.

2. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

II. rész: Dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

31. Newton I. törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

32. Newton II. törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

33. Feladatok a dinamika alapegyenletére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

34. Newton III. törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

35. Feladatok erő-ellenerőre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

36. A lendületmegmaradás törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

37. Mozgások dinamikai feltételei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

38. A kényszererők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

39. A rugalmas erőtörvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

40. Rugók kapcsolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

41. A súrlódás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

42. Feladatok súrlódásra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

43. A közegellenállás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

44. A Newton-féle gravitációs erőtörvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

45. Lejtő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

46. Feladatok lejtőre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

47. A transzlációs és a centrifugális tehetetlenségi erő . . . . . . . . . . . . 22

31. óra. Newton I. törvénye 3.

31. óra Newton I. törvénye

Az arisztotelészi dinamika: Arisztotelész1 úgy gondolta, hogy a testek mozgása egyfolyamat, melynek célja a nyugalom elérése. Szerinte a mozgás fenntartásához egy folya-matos hatás szükséges.

Newton paradigmaváltása: Newton azt állította2, hogy a mozgás egy állapot és amozgás fenntartásához nem kell erő. Ha nincs külső hatás (esetleg a hatások kioltjákegymást) akkor a testek ugyanúgy viselkednek, ahogy korábban is.

Newton I. törvénye – A tehetetlenség törvénye: Minden magára hagyott testnyugalomban marad, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez mindaddig, míg moz-gásállapotát a környezete meg nem változtatja.

Hétköznapi példák:

• A busz vagy a metró ha hirtelen fékez, akkor előre esel, de valójában az történik,hogy te mennél tovább előre, csak az alattad lévő jármű sebessége csökken.

• Induláskor az ülésbe nyomódsz, mert alapból maradnál egy helyben.

• A levesestányért vagy poharat ha meglököd, majd megállítod,a folyadék a mozdításirányába kilöttyen.

• Ha a bicikli kereke megakad, akkor te tovább repülsz előre.

• Jégkorcsolyapályán ha meglöknek téged, akkor tovább lendülsz.

Inerciarendszer: Egy vonatkoztatási rendszer, amelyben egy test mozgására teljesülNewton I. törvénye. Interciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletesen mozgó rend-szerek is inerciarendszerek3. Az állócsillagokhoz rögzített rendszer ilyen.

31. Házi feladat. Keress filmekben arisztotelészi/newtoni dinamikára utaló jeleket!

31. Szorgalmi feladat. Gyűjts mozgásokkal kapcsolatos kifejezéseket! Elemezd, hogymilyen mozgásképre utalnak! Pl.: A beszélgetés előrehaladt. Megállítjuk a vérzést.

1Görög tudós és filozófus (Kr. e. 384 - Kr. e. 322.)2A paradigma (vagy korszellem) a gondolkodásoknak, vélekedéseknek, értékeknek és módszereknek

egy adott társadalom vagy szűkebben egy közösség minden tagja által elfogadott összességét jelenti.3Ha az állandó sebességű metrón ülünk, és átgurítunk valakinek egy golyót, akkor az jó közelítéssel

egyenes vonalú egyenletes mozgással halad. A peronról nézve azonban más sebességgel és más iránybanmozog a golyó, ám kétségtelenül egyenes vonalú egyenletes mozgással.

4. 32. óra. Newton II. törvénye

32. óra Newton II. törvénye

A newtoni dinamika alapvetése: Nem a mozgásállapot fenntartásához kell hatás,mint ahogyan azt az arisztotelészi dinamika mondja, hanem a megváltoztatásához.

Az erő vektora: Amelyik irányba mutat, abba az irányba fog a test gyorsulni1 éskétszer akkora erő, kétszer jobban gyorsít egy adott testet, tehát: a ∼ F

A tömeg: Ha egy testet kicserélünk kettő ugyanolyan testre, de az erőhatás ugyanak-kora marad, akkor mivel mindkettőt kell gyorsítani, így a gyorsulás fele akkora lesz:

a ∼ 1

m

A test tömege megmutatja, hogy mennyire nehéz megváltoztatni a mozgásállapotot, vagy-is az mennyire tehetetlen2. Egy adott nagyságú erő a kisebb tömegű test mozgásállapotátjobban megváltoztatja, mint egy nagyobb tömegű testét.3.

1 newton értelmezése: 1 N az az erő, mely egy 1 kg tömegű testet 1m

s2-tel gyorsít.

Eredő erő: A testre ható erővektorok összegezhetők4 és egyetlen Fe-vel helyettesíthetők.A test mozgását már csak ezen egyetlen erő alapján vizsgáljuk5.

Newton II. törvénye – A dinamika alapegyenlete: Egy test gyorsulása egyenesenarányos a testre ható erővel. Az arányossági tényező a test tömege.

~Fe =∑i=1

~Fi = m · ~a

32. Házi feladat. Milyen mozgásnál mutat a sebesség és az erő eltérő irányba?

32. Szorgalmi feladat. Sportcipők sarkában szokott lenni egy ún. légbuborék. NewtonII. törvénye segítségével magyarázd meg, miért előnyösebb légbuborékos sarkú cipőbenugrálni (a kemény talpú cipőhöz képest)!

1De egyáltalán nem biztos, hogy ebbe az irányba mozogni a test.2Ez úgy is kifejezhető, hogy a tömeg a tehetetlenség mértéke.3Ez nem csak a sebesség növekedésre, hanem a csökkentésre is igaz.4A vektorösszeadás szabályai szerint.5Ennek az erők feletti (latinul: super) egyetlen erőnek a bevezetését a szuperpozíció elvének hívjuk.

33. óra. Feladatok a dinamika alapegyenletére 5.

33. óra Feladatok a dinamika alapegyenletére

1. Feladat. Az AK-47-es gépkarabély 715 m/s-mal lövi ki a 7,9 grammos lövedéket.Mekkora erő lassította a lövedéket, ha tudjuk, hogy 50 cm mélyen fúródott a falba?

2. Feladat. Egy egyenes pályán mozgó testre 0,1 s-ig 60 N erő hatott, emiatt sebessége3 m/s-mal növekszik. Mekkora a tömege?

3. Feladat. Csúzli két gumiszálai derékszöget zárnak be egymással és mindkettőben 10N nagyságú erő hat. Ha egy 50 grammos lövedéket kilövünk vele, mekkora gyorsulássalkezd mozogni?

4. Feladat. Egy 13742

kg tömegű testre vízszintesen 8 N nagyságú erő hat. Hat rá mégegy olyan erő, ami 5 N nagyságú és irányát úgy írhatjuk le, hogy a 8 N-os erő irányába 3lépés, majd arra merőlegesen 4 lépés. Adjuk meg a gyorsulás nagyságát és irányát!

33. Házi feladat. Egy autó 36 km/h-ról 54 km/h-ra gyorsított fel 8 s alatt, ha a közeg-ellenállás átlagosan 450 N. Mekkora a 1500 kg tömegű autó motorjának húzóereje?

33. Szorgalmi feladat. Egy 3,75 kg tömegű test álló helyzetből egy 8 méteres útongyorsult állandó 15 N erő hatására. Mennyi ideig tartott a folyamat?

6. 34. óra. Newton III. törvénye

34. óra Newton III. törvénye

Kísérlet. Engedjünk el egy felfújt lufit! Tegyünk vízzel teli lufit egy hajlékony lemezre!Mi a közös a két kísérletben?

Kísérlet. Gördeszkákon álló diákon egymás felé húzzák magukat kötél segítségével. Vajonmi történik, ha csak az egyik diák húzza a kötelet?

Kísérlet. Egymásba akasztunk erőmérőket és hol az egyiket, hol a másikat, hol mindket-tőt húzzuk. Mit mutatnak az erőmérők?

Newton III. törvénye: Az A test által B testre kifejtett erő és a B test által az Atestre kifejtett erő egyenlő nagyságú, ellentétes irányú és közös hatásvonalú.

~FAB = −~FBA

5. Feladat. Mondj hétköznapi példákat Newton III. törvényére!

• Ha megütsz valamit, az ugyanakkora erőt fejt ki a kezedre.

• Eldobsz valamit, hátralökődsz tőle (fegyver visszarúgása).

• A medúza is tudja a hatás-ellenhatás törvényét. (rakéta működése)

• Medencében a falra erőt fejtesz ki, így előrelökődsz.

34. Házi feladat. Egy asztalra helyezett könyvre 20 N gravitációs erőt fejt ki a Föld.Mi ennek az erőnek az ellenereje? Mekkora erőt fejt ki a könyvre az asztal és ennek azerőnek mi az ellenereje?

34. Szorgalmi feladat. Egy rakéta indítási tömege 590 tonna, amiből 500 tonnát tett ki akésőbbiekben elégő, és nagy sebességgel kiáramló üzemanyag. A rakéta 126 másodpercenát működik. Mekkora sebességgel áramlana ki a gyorsítórakétából az égéstermék, havákuumban működtetnénk?

35. óra. Feladatok erő-ellenerőre 7.

35. óra Feladatok erő-ellenerőre

6. Feladat. A füzeten lévő toll lezuhanását az akadályozza meg, hogy a füzet felfelé erőtfejt ki a tollra. Mi akadályozza meg a füzet leesését?

7. Feladat. A ló húzza a kocsit, a kocsi visszatartja (húzza) a lovat. Kölcsönösen erővelhatnak egymásra. Melyik erő nagyobb?

8. Feladat. Két darab, nyugalomban lévő, 3 kg tömegű tégla fekszik egymáson. Mekkoraerővel nyomja az alsó tégla a felsőt? Mekkora erővel nyomja az alsó tégla az asztalt?

9. Feladat. Egy puska 800 ms sebességgel lő ki egy 30 g tömegű lövedéket. Mekkora a

fegyver tömege, ha 4 m/s-mal rúg vissza?

10. Feladat. Egy asztalon nyugvó testre 20 N gravitációs erőt fejt ki a Föld. Mi ennekaz erőnek az ellenereje?

35. Házi feladat. Ha nagyot rúgunk egy medicinlabdába a Földön, megfájdul a lábunk.Mi történne, ha a Holdon rúgnánk bele ugyanakkora erővel?

35. Szorgalmi feladat. Egy cikk szerint 750 kg-os lövedék viselkedhet az autó tetejénszállított karácsonyfa, mely 30 kg-os, de 50 km/h-ról való hirtelen megállás esetén elszaba-dulva komoly károkat okozhat. Hogyan értelmezhető fizikailag a cikk fő állítása? Mennyiidő alatt kell megállnia az autónak, hogy teljesüljön a felvázolt eset?

8. 36. óra. A lendületmegmaradás törvénye

36. óra A lendületmegmaradás törvénye

Impulzus: A test tömegének és sebességének szorzata. Vektormennyiség, jele: ~I, ~p.

Impulzusmegmaradás tétele: Zárt rendszer1 összimpulzusa állandó.

n∑i=1

~pi = m1 · ~v1 +m2 · ~v2 + ... = állandó

11. Feladat. Egy 250 g és egy 500 g tömegű álló kiskocsit rugóval szétlöketünk. A kisebbtömegű kocsi lökés utáni sebessége 2 m/s. Mekkora és milyen irányú lesz a nagyobbtömegű kocsi sebessége?

12. Feladat. Egy 500 kg-os motoros 30 m/s-mal egy 2000 kg tömegű 5 m/s-mal haladóautóba hátulról belerohan. Mekkora lehet a két járműből összeragadt roncs sebessége?

13. Feladat. Egy 50 kg tömegű rakétából 1 kg üzemanyag 25000 m/s sebességgel áramlikki. Mekkorának becsülhető a rakéta sebessége?

14. Feladat. Egy kilövő szerkezetből függőlegesen felfelé v0 = 60 m/s sebességgel kilőtt 18kg tömegű robbanó lövedék pályájának felszálló ága félmagasságában két darabra robbantszét. Ennek következtében az m1 = 12 kg-os darab a pálya egyenesére merőleges, I = 120

Ns nagyságú impulzust kapott. Milyen távol lesznek egymástól a darabok, amikor mindkétrész a talajba csapódik?

15. Feladat. Légpuskalövedék torkolati sebességének megállapítására a következő kísér-letet végezték: h = 1 m magas asztal szélére helyezett M = 0, 2 kg-os fakockába alégpuskából egy m = 1, 8 g tömegű lövedéket vízszintesen belelőttek, amely a fában ben-ne is maradt. Ennek hatására a fakocka lerepült az asztal széléről, majd annak lábátóld = 0, 4 m-re esett a talajra. Mekkora volt a lövedék sebessége?

36. Házi feladat. Egy 200 kg tömegű csónakban egy 50 kg-os gyerek ül. A csónak 2m/s-mal sodródik. A gyerek kiugrik 4 m/s-mal előre. Mekkora az üres csónak sebessége?Ha hátra ugrott volna, mekkora lenne a csónak sebessége?

36. Szorgalmi feladat. Egy 6 kg-os gránát a földön három darabra robbant szét. Egy 1kg-os darab észak felé, egy 2 kg-os nyugathoz képest 30 fokban dél felé eső irányba repültel, egyaránt 3 m/s-mal. Merre repült el a harmadik darab és mekkora sebességgel?

1Ekkor csak a rendszert alkotó pontszerű testek közötti kölcsönhatásokat vesszük figyelembe.

37. óra. Mozgások dinamikai feltételei 9.

37. óra Mozgások dinamikai feltételei

Nyugalom, egyenes vonalú egyenletes mozgás: Ha a testre nem hat erő, vagy ere-dőjük nulla, akkor a megmarad a mozgásállapot. A nyugalomban lévő test nyugalombanmarad, a mozgó test ugyanúgy mozog tovább. Pl. az űrben eldobott kő repül tovább, azasztalon lévő könyvet húzza le a Föld nehézségi ereje, de az asztal nyomja felfelé. Nagymagasságból zuhanó testek mozgása is ilyen.

Egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás: Ha a testre állandó nagyságú ésirányú erő hat, akkor abba az irányba kezd gyorsulni. A sebesség nem feltétlenül mutatugyanebbe az irányba, akár ellentétes is lehet, pl. a fékezés esetén.

Körmozgás: Ha a testre állandó nagyságú erő hat, de annak iránya mindig egy adottpontba mutat, akkor a test egyenletes v sebességű R sugarú körpályán mozog. Ekkor adinamika alapegyenlete:

F = m · acp = m · v2

R

16. Feladat. Egy testre két, egymással 120 fokos bezáró 50 N nagyságú erő hat. A testtömege 5 kg. Mekkora a test gyorsulása?

a =Fe

m=

50

5= 10

ms2

17. Feladat. 30 cm hosszúságú parittyába egy 10 dkg-os kavicsot tettünk. A parittyát3 s alatt hatszor megforgattuk és kilőttük a követ. Mekkora az erő, amivel tartottuk aparittya szárát forgatás közben?

• 3 s alatt 6-szor fordul, így 1 fordulat időtartama: T = 0, 5 s

• A kerületi sebesség: v =2 · πrT

= 9, 42ms

• A dinamika alapegyenlete: F = m · v2

r= 29, 6 N

37. Házi feladat. Egy csigán átvetett kötél egyik végére egy 8 kg-os, míg a másik végénegy 10 kg-os testet rögzítettünk. Hogyan mozog a rendszer?

37. Szorgalmi feladat. Mekkora a max fordulatszám, amivel 1 kg tömegű testet 50 cmhosszú zsinegen vízszintes irányban megforgathatunk, ha 20 N erőt bír ki?

10. 38. óra. A kényszererők

38. óra A kényszererők

Kényszererők: Azok az erőhatások, amelyek egy testet meghatározott pályán történőmozgásra kényszerítenek. Ilyen a tartóerő, mely mindig merőleges arra a felületre, amiazt kifejti. A kötél pedig csak kötélirányú húzóerőt tud kifejteni.

18. Feladat. Mekkora erőt fejt ki a lift padlója a bent álló 50 kg-os emberre, ha azttudjuk, hogy a lift...

a.) nem mozog?

b.) egyenletesen mozog felfelé 0.314 m/s-mal?

c.) felfelé állandó 2 ms2 -tel kezd gyorsulni?

d.) lefelé állandó 2 ms2 -tel kezd gyorsulni?

e.) elszakad az acélsodrony és zuhan a lift?

19. Feladat. 15 kg tömegű vödröt a padlóról egyenletesen gyorsítva függőlegesen feleme-lünk 9 m magasra. Mekkora erő hat az emelést végző kötélben, ha az elért sebessége 6m/s lett? (180 N)

20. Feladat. Egy csigán átvetett fonál egyik végén egy 0,2 kg tömegű test van, kötélben1,5 N erő hat. Mekkora a másik test tömege és gyorsulás? (2 m

s2 ; 0,12 kg)

21. Feladat. Legfeljebb mekkora gyorsulással mászhat felfelé a 840 N szakítószilárdságúkötélen egy 70 kg-os ember? (2 m

s2 )

22. Feladat. Mekkora erő feszíti a csigán átvetett kötelet, ha egyik végén 12 kg-os, má-sikon 18 kg-os test lóg? Mekkora lenne a kötélerő, ha a könnyebb testet valaki megfogná?(144 N; 180 N)

38. Házi feladat. Egy 5 kg-os testet kötéllel rögzítettünk a lift plafonjához. A testhezalulról rögzítettünk egy másik kötéllel egy 8 kg-os testet. Mekkora erő feszíti a köteleketha a lift 1, 5 m

s2 -os gyorsulással halad felfelé?

38. Szorgalmi feladat. 0,5 m hosszúságú fonálinga 1,5 ms sebességgel halad át a pályája

legmélyebb pontján. Mekkora erő terheli ekkor a fonalat, ha az inga tömege 0,4 kg?

39. óra. A rugalmas erőtörvény 11.

39. óra A rugalmas erőtörvény

Erőtörvény: Megadjuk matematikai formulával, hogy a testre ható erő a kölcsönhatásjellemzőitől1 hogyan függ.

Kísérlet. Vizsgáljuk meg, hogy milyen összefüggés van egy ` hosszúságú rugóra ható Ferő és a rugó ∆` megnyúlása között!

F(

0,5 N 1 N 1,5 N 2 N

∆`(

1,5 cm 3 cm 4,5 cm 6 cm

D =F

∆`

(66.67 N

m 66.67 Nm 66.67 N

m 66.67 Nm

39.1. táblázat. Egy mérés adatainak táblázata.

Rugóállandó: Az alakváltozást okozó erő és a hosszváltozás hányadosa. Szemléletesenez az egységnyi megnyúláshoz szükséges erő. Direkciós állandónak is nevezik.

D =F

∆`[D] =

Nm

Hooke-törvény: A rugóban fellépő rugalmas erő nagysága egyenesen arányos a meg-nyúlással, iránya a megnyúlással ellentétes. Az arányossági tényező a rugóállandó.

~Fr = −D ·∆~̀

Rugalmassági határ: A törvény csak egy bizonyos pontig igaz, nagyobb megnyúlásnálaz alakváltozás megmarad, további megnyúlásnál elszakad a rugó.

39. Házi feladat. Rajzold grafikonon az erőt a megnyúlás függvényében!

39. Szorgalmi feladat. Mi a szakítószilárdság fogalma?

1Ilyenek lehetnek a test vagy a környezet jellemzői, konstansok.

12. 40. óra. Rugók kapcsolása

40. óra Rugók kapcsolása

Párhuzamosan kapcsolt rugók: Ha kettő (vagy több) rugót összefogunk, akkor mindazonos megnyúlást szenved, azaz: ∆`1 = ∆`2 = ∆`. A rugókban fellépő erők ekkor:

F1 = −D1 ·∆`1 és F2 = −D2 ·∆`2

Mivel mindegyik rugóban fellép erő, így az eredő rugóerő az egyes rugóerők összege:

Fe = F1 + F2 = −(D1 +D2) ·∆`

Tehát az eredő rugóállandó párhuzamos kapcsolás esetén az egyes rugóállandók összege:

De = D1 +D2 + ...

Sorosan kapcsolt rugók: Egymás után kapcsolt rugók esetén az erősebb rugók kevésbényúlnak meg, így az egyes hosszváltozások és a rugóállandók közötti összefüggés:

∆`1∆`2

=D2

D1

⇐⇒ ∆`1 =D2

D1

·∆`2

A teljes megnyúlást az egyes megnyúlások adják, azaz: ∆`1 + ∆`2 = ∆`. Emiatt:

∆`1 =D2 ·∆`D1 +D2

Az egymás után kötött rugókban azonos erő lép fel, így felhasználva az előzőt:

Fe = F1 = F2 = −D1 ·∆`1 = − D1 ·D2

D1 +D2

·∆`

A rugókat egymás után elhelyezve az eredő rugóállandó az ún. replusz művelettel kapható:

De =D1 ·D2

D1 +D2

Több rugónál:1

De

=1

D1

+1

D2

+ ...

23. Feladat. Adott egy 10 Nm és egy 30 N

m direkciós erejű rugó. Összefogva a két rugótpárhuzamosan mennyi erő kell 5 cm-es megnyújtáshoz? Mekkora az eredő D?

24. Feladat. Az előző feladatban szereplő rugókat kössük egymás után sorba!

40. Házi feladat. Cseréld ki a rugókat 15 Nm és 25 N

m direkciós erejű rugókra és válaszoljaz előző két feladat kérdéseire!

40. Szorgalmi feladat. Elemezd egy anyag nyújtási diagramját!

41. óra. A súrlódás 13.

41. óra A súrlódás

Csúszási súrlódás: Az érintkező felületek sosem tökéletesen simák, így ha két anyagegymáshoz nyomódva csúszik, akkor függetlenül a relatív sebességtől, egy erőhatás lép fel.

Fs = µ · Fny~Fs ⊥ ~Fny

Ahol µ a csúszási súrlódási tényező, mely megmutatja, hogy a fellépő erő hányszorosa atestre ható, felületre merőleges irányú nyomóerőnek.

25. Feladat. Egy 15 kg tömegű szánkón egy 60 kg-os gyerek ül. Mekkora erővel lehetegyenletesen húzni, ha µhó,acél = 0, 02 ?

F − µ ·m · g = m · 0 −→ F = 0, 02 · 75 · 10 = 15 N

26. Feladat. 5 kg-os test 45 N-nal húzva csak 6 ms2 -tel gyorsul Mekkora a µ?

45− µ · 5 · 10 = 5 · 6 −→ µ = 0, 3

Tapadási súrlódás: Egy felület és a rajta lévő test között tapadási súrlódási erő léphetfel, mely a relatív elmozdulást akadályozza. Értéke nullától egy maximumig növekedhet.

Ft,max = µ0 · Fny µ0 > µ

Ahol µ0 a tapadási súrlódási tényező, mely megmutatja, hogy a tapadási súrlódási erőmaximuma hányszorosa a testre ható, felületre merőleges nyomóerőnek.

27. Feladat. 50 kg-os testet húzunk vízszintesen 100 N erővel, de nem mozdul. Mekkora atapadási súrlódási erő és milyen irányú? Mekkora a µ0, ha a test 200 N erőnél megcsúszik?

41. Házi feladat. Egy 5 kg-os testet lelógatunk egy kötélen és a kötél másik végén egym tömegű test található, ami az asztalon van. A tapadási súrlódási tényező µ0 = 0, 25.Mekkora kell legyen m, hogy a rendszer nyugalomban maradjon?

41. Szorgalmi feladat. Vízszintes talajon kettő darab 3-3 kg-os téglát helyezünk elegymáson. Az alsót vízszintes irányban állandó nagyságú erővel húzzuk úgy, hogy a kéttégla egymáson maradva együtt gyorsul 2 m

s2 gyorsulással. Az alsó tégla és a talaj közötticsúszási súrlódási együttható 0,4. Mekkora erővel kell az alsó téglát húzni és legalábbmekkora a tapadási súrlódási tényező a téglák között?

14. 42. óra. Feladatok súrlódásra

42. óra Feladatok súrlódásra

28. Feladat. A hétköznapi éleben milyen esetekben hasznos illetve káros a súrlódás?

Hasznos a talpunk és a talaj, a járművek kerekei és az úttest, az asztalra helyezett tárgyakés az alátámasztás közötti, illetve a cipőfűző, nyakkendő, kötelek súrlódása. Hidegbenhőfejlesztésre használható a tenyereink közötti súrlódás, tűzgyújtáshoz a forgatott pálcaés a fatömb közötti súrlódás. Szánkózáskor a lábunk és a hó közötti súrlódás.

Káros a szánkó húzásakor a szánkó talpa és a hó között ébredő súrlódás, eleséskor atestünk és a padló, útfelület közötti súrlódás (ami lenyúzza a bőrünket).

29. Feladat. Hogyan lehet a súrlódás nagyságát növelni, illetve csökkenteni?

Az érintkező felület méretének csökkentése révén (tűállvány, tűcsapágy), a felület sima-ságának növelése révén (csiszolás, polírozás), a felületek közé juttatott folyós (síkosító)anyag segítségével (szappanos víz, olaj, gél) csökkenthető a súrlás.

Érdesítéssel (lépcsőknél), az érintkező felület nagyságának növelése révén (Forma-1 autókszéles kerekei), a felületek közé juttatott "tapadást segítő" anyagok segítségével (szertor-nászoknál, súlyemelőknél a tenyérre felhordott "magnézia" por1; villamosok vészfékezése-kor a kerekek és a sín közé szórt homok), nagy vontatóerő biztosítása érdekében a vontatójármű tömegét (a jármű és az úttest közötti nyomóerőt) megnövelik rá helyezett beton-tömbökkel (repülőtereken vontatók; lerobbant járművek vontatására szánt teherautók).

30. Feladat. Alumínium asztalra ráhelyezünk egy 4 cm élhosszúságú tömör alumíniumkockát. A két alumíniumfelület között a tapadási tényező 0,6 és ρAl = 2700 kg

m3 . Mekkoraa tapadási erő? Mekkora erővel lehet maximum húzni, hogy ne csússzon meg?

31. Feladat. Egy hokiütőgyártó cég megmérte a hokiütő és a jég közötti csúszási súr-lódási tényező, és 0,0071 értéket kapott. Építettek egy szánkót hokiütők lapjaiból, amitmegterheltek lapátonként 53 kg-mal, és 1,8 m/s kezdősebességgel mozgatva elengedték.Megmérték a megállásig megtett útját. Mekkora utat tett meg a szánkó?

42. Házi feladat. Hányszor és hány méterrel nagyobb út megtételével áll meg satufékkelaz autó 60 km/h sebességről vizes esetben a száraz esethez képest, ha a gumi és az aszfaltközötti csúszási súrlódási tényező vizes úton µs=0,15 míg száraz úton µs=0,9 értékű?

42. Szorgalmi feladat. A kocsmáros 0,9 másodpercig tartó, 14 N nagyságú lökésselküldi a sört éppen János elé. Mekkora sebességre gyorsul a 2 kg össztömegű söröskorsó,ha pult és a korsó közötti csúszási súrlódási tényező 0,2? Mekkora utat tett meg a korsó?

1Magnézium karbonát, MgCO3

43. óra. A közegellenállás 15.

43. óra A közegellenállás

Kísérlet. Ejtsünk le különböző tárgyakat, pl. vattát, kartonlapot, követ stb...

Kísérlet. Ejtsünk egy papírlapot, majd gyűrjük galacsinná és úgy is ejtsük le!

Kísérlet. Ejtsünk le közel azonos méretű fagolyót, fémgolyót és egy hungarocell golyót

Kísérlet. Ejtsünk le különböző homlokfelületű, de azonos tömegű lapokat!

Kísérlet. Végezzünk úszó mozdulatokat és hasonlítsuk összes azzal, hogy milyen ugyan-ezeket víz alatt elvégezni!

Kísérlet. Leves főzése közben mozgassuk a főzőkanalat különböző irányokba!

Kísérlet. Biciklizzünk gyorsabban és nézzük meg, miként változik a közegellenállási erő!

Kísérlet. Ejtsünk le 1, 2, 3, ... 9 db papírkúpot és mérjük az esési időt! Határozzuk mega kúpok számának függvényében a sebességet!

Kísérlet. Mérjük meg mekkora a közegellenállási erő, mely a különböző alakú, de azonoshomlokfelületű testekre hat.

1. ábra. A közegellenállási erő mérése rugós erőmérővel.

Közegellenállási erő: Egy % sűrűségű közeghez képest v relatív sebességgel mozgó Ahomlokfelületű testre erő hat, melynek iránya v-vel ellentétes, nagysága:

FK =1

2· C · A · % · v2

16. 43. óra. A közegellenállás

Közegellenállási alaktényező: Különböző formájú testeknél a közeg áramlása más-más módon hat a testre, így a közegellenállási erő egy C alaktényezőtől is függ. Ez csakkísérletileg határozható meg a kialakuló örvények összetettsége miatt.

2. ábra. Gyakori formák C alaktényezői

43. Házi feladat. Egy autó 10 mssebességgel halad, a közegellenállási tényezője 0,3 és a

homlokfelülete 2 m2. Mekkora a közegellenállási erő? A levegő sűrűsége 1,29 kgm3 .

43. Szorgalmi feladat. Egy utazási irodát hirdető, 80 cm sugarú földgömb nagyméretű,kör alakú lapos talpra van szerelve. A 40 kg tömegű szerkezet vízszintes kövezetű nagytéren helyezkedik el. A talp és a kövezet közötti tapadási súrlódási tényező értéke 0,5.Egy alkalommal változó erősségű, vízszintes irányú szél fúj, amely időnként megmozdítjaa reklámgömböt. Mekkora szélsebességnél indul meg a szerkezet? A gömb alaktényezőjeC = 0, 45. A talpra ható közegellenállási erő elhanyagolható. A szerkezet nem borul fel.

44. óra. A Newton-féle gravitációs erőtörvény 17.

44. óra A Newton-féle gravitációs erőtörvény

Gravitáció: Két pontszerű, m1 és m2 tömegű testek, melyek egymástól r távolságravannak vonzóerőt tapasztalunk, melynek nagysága:

F1;2 = γ · m1 ·m2

r2γ = 6, 67 · 10−11

Nm2

kg2

Kísérlet. Newton 1687-ben megalkotott modelljét a gravitáció leírására 1798-ban igazol-ta Cavendish1. Ehhez torziós inga rúdjára m tömegű golyókat helyeztük és közelítünkhozzájuk M tömegű testek, melynek hatására a szál elcsavarodik. A szálon lévő tüköregy fénysugarat vetít a falra, a fényfolt mozgásából következtethetünk az erőre2.

3. ábra. Cavendish kísérletének összeállítása.

Árapályjelenségek: A Földön a tengerek szintjének periodikus emelkedése (dagály) éssüllyedése (apály), amit a Hold és a Nap gravitációja okoz. Dagály és apály közt kb. 6óra 12 perc telik el.

4. ábra. Különlegesen magas dagály következik be, ha a Hold és a Nap egy irányban foglalhelyet. Teliholdkor és újholdkor figyelhető meg, angolul Spring Tide.

1Henry Cavendish (1731-1810) angol fizikus és kémikus2Ugyanezt a kísérleti elrendezést használta Coulomb (1736 – 1806) francia fizikus az elektrosztika

törvényszerűségeinek megállapításakor.

18. 44. óra. A Newton-féle gravitációs erőtörvény

Gravitációs gyorsulás: Szabadon eső testre csak a gravitáció hat, így mozgásegyenlet:

γ · m ·MF

r2= m · g −→ g = γ · MF

r2

A Földön elejtett testek g gyorsulással kezdenek mozogni. Ebben az összefüggésben aFöld forgását nem vesszük figyelembe, mely kicsivel az értéken változatna. Ha azt isbelevennénk, akkor a nehézségi gyorsulásról beszélünk.

5. ábra. A gravitáció a távolság négyzetével fordítottan arányos. Olyan ez, mint a hangvagy a fény terjedése. Ha egy forrásból sugárirányban jön kifelé valami, akkor kétszernagyobb sugár esetén négyszer nagyobb felületen oszlik szét a jel, tehát egységnyi felületrenegyedannyi jut.

32. Feladat. Ismert, hogy Budapesten a g = 9, 81 ms2 . Mekkora a Föld tömege? Mekkora

magasságban lenne a gravitációs gyorsulás ennek az értéknek a hatoda? A Föld sugaraBudapesten 6366,683 km.

33. Feladat. Számítsuk ki a Nap tömegét, ha tudjuk, hogy 150 millió km-re van a Földtőlés a Föld keringési ideje 365,25 nap!

34. Feladat. A Mars tömege tized része a Földének. Sugara fele akkora. Mekkora anehézségi gyorsulás a Marson? Mekkora a súlya a 410 kg tömegű Phoenix űrszondának aMars talaját nyomva?

35. Feladat. A Hold átmérője 3400 km, a tömege 7, 5 · 1022 kg. Az Apollo-11 űrhajója100 km magasan kering a holdfelszín felett. Mekkora az űrhajó keringési ideje?

44. Házi feladat. Mekkora a Napon a gravitációs gyorsulás, ha a sugara 700 000 km?

44. Szorgalmi feladat. Rajzold fel a gravitációs erő nagyságát a Föld középpontjátólmért távolság függvényében!

45. óra. Lejtő 19.

45. óra Lejtő

36. Feladat. Mekkora a 45 fokos lejtőn lecsúszó test gyorsulása?

mg

F‖ F⊥

T

45°

6. ábra. A 45 fokos lejtőn lecsúszó testre ható gravitációs erő és a tartóerő. A zölddel jelölterőt felbonthatjuk egy lejtővel párhuzamos és egy arra merőleges komponensre. Mivel alejtőre merőlegesen nem gyorsulhat a test, ezért a tartóerő és a gravitáció lejtőre merőlegeskomponense egyenlő kell legyen. A testet a lejtő irányú erő gyorsítja.

F‖ =mg√

2=

√2

2·mg T = F⊥ =

mg√2

=

√2

2·mg −→ a =

√2

2· g

37. Feladat. Mekkora a 30 fokos lejtőn lecsúszó test gyorsulása?

mg

F‖

F⊥

T

30°

30°

7. ábra. A 30 fokos lejtőn lecsúszó testre ható gravitációs erő és a tartóerő. A felbon-tás során a lejtőhöz hasonló, kisebb háromszöget használunk fel. Mivel egy félszabályosháromszögről van szó, így a lejtő hosszának fele éppen akkora, mint a magasság és alejtő szélessége éppen a lejtőhossz

√3/2-szerese. Az erőkre vonatkozó háromszögben az

arányokat felítva megkapjuk a lejtővel párhuzamos és arra merőleges erőkomponenseket.

F‖ =mg

2T = F⊥ =

√3

2·mg −→ a =

√3

2· g

20. 45. óra. Lejtő

Súrlódásmentes csúszás d szélességű, h magasságú lejtőn: A tömegpontra hat alejtő által kifejtett kényszererő és a nehézségi erő. Utóbbit két részre bontjuk: a lejtővelpárhuzamos és az arra merőleges komponensére. A hasonlóságot felhasználva meghatá-rozhatók a komponensek. A lejtő hossza a Pitagorasz-tétel alapján határozható meg:

F‖ = m · g · h`

T = F⊥ = m · g · d`

` =√d2 + h2

A merőleges komponens egyenlő a lejtő által kifejtett kényszererővel, ezért a test csak alejtővel párhuzamosan gyorsul1.

Nem súrlódásmentes lejtő: A lejtő hossza `, szélessége d, magassága h. A lejtő és atest közötti csúszási súrlódási tényező µ.

mg

F‖

FS

F⊥

T

α

α

8. ábra. Lejtőn lecsúszó test a súrlódás figyelembevételével.

F‖ − µ · F⊥ = m · g · h`− µ ·m · g · d

`T = F⊥ = m · g · d

`

Így a lecsúszó test gyorsulása a súrlódás figyelembe vétele esetén:

a = g ·(h

`− µ · d

`

)45. Házi feladat. Egy lejtőn lecsúszik egy test és tudjuk, hogy µ =0,1. Mennyi idő alattér le, ha tudjuk, hogy a lejtő vízszintesen 6 méter szélességű és a magassága 8 méter?

45. Szorgalmi feladat. Mekkora sebességgel ér le egy 6 m hosszúságú 30 fokos lejtőaljára egy test, ha a csúszási súrlódási tényező 0,2?

1Érdemes meggondolni, hogy 0 fokos lejtőn a talajon nyugvó test, 90 fokos lejtő esetén a szabadon esőtest esetét kapjuk meg.

46. óra. Feladatok lejtőre 21.

46. óra Feladatok lejtőre

38. Feladat. Mekkora a tapadási súrlódási tényező, ha a h magasságú és d szélességűlejtőn egy test nem mozdul meg, de kicsit növelve a dőlésszöget rögtön megcsúszik?

a = g ·(h

`− µ0 ·

d

`

)= 0 −→ µ0 =

h

d

39. Feladat. Mekkora a 20 kg tömegű test gyorsulása egy 30 fokos hajlásszögű lejtőnlefelé csúszva? Mekkora erőt fejt ki a testre a lejtő? A súrlódástól tekintsünk el!

40. Feladat. Mekkora sebességgel ér le egy 5 m hosszú 42 fokos lejtő aljára egy test?

41. Feladat. Egy lejtő 16 m hosszú és 8 m magas. Mennyi idő alatt ér le egy 1, 93 kgtömegű test, ha µ = 0, 2?

42. Feladat. Egy 60 fokos lejtőn 2 ms2 gyorsulással mozog lefelé egy m tömegű test, ami

egy kötéllel egy 0,2 kg tömegű testhez van rögzítve. A kötél a lejtő tetején lévő csigánvan átvetve. Mekkora a test tömege és mekkora a kötélerő? (0,15 kg; 1,6 N)

46. Házi feladat. Mérd meg 3 anyagpár esetén a tapadási súrlódási tényezőt!

46. Szorgalmi feladat. Mekkora lenne az ismeretlen test tömege a 42. feladatban, hafelfelé mozogna ugyanekkora nagyságú gyorsulással?

22. 47. óra. A transzlációs és a centrifugális tehetetlenségi erő

47. óra A transzlációs és a centrifugális tehetetlenségi erő

Kísérlet. Álló helyzetből hirtelen elinduló autóban ülve azt érezzük, mintha belenyomód-nánk az ülésbe. Értelmezzük a jelenséget külső megfigyelő szemszögéből és az autóból!

Kívülről úgy tűnik, mintha mi ugyanott maradnánk a tehetetlenség törvényével össz-hangban, de nekünk nyomódik az elinduló autó ülése. Ezzel szemben az autóban ülve úgyérezzük, mintha hátrafelé elkezdene hatni egy erő, ami beleprésel minket az ülésbe.

Kísérlet. Mozogjon a0 gyorsulással egy kocsi, melyen rugóval rögzítettünk egy testet.Értelmezzük a mozgást az előzőhöz hasonlóan!

A külső megfigyelő szemszögéből a rugó elkezd nyúlni egy adott értékig, majd húzni kezdia testet, ami így gyorsul. Ezzel szemben kocsin ülő szerint a golyó egyszer csak megindulhátra, majd megáll, de mégis állandó erőt jelez a rugós erőmérő.

9. ábra. Egyenletesen gyorsuló vonatban a felfüggesztett test hátra kitér, de a vonatbólnézve nyugalomban marad. A Newton-törvények szerint ez csak úgy lehetséges, hogy atestre ható erők eredője nulla, így be kell vezetnünk a transzlációs erő fogalmát. A testrenem hat valójában ez az erő, csak a gyorsuló megfigyelő így tudja értelmezni a látottakat.

Transzlációs tehetetlenségi erő: Ha egy inerciarendszerhez képest egy vonatkozatásirendszer ~a0 gyorsulással mozog, akkor onnan nézve egy fiktív erővel egészül ki a dinamikaalapegyenlete:

~Ftran = −m · ~a0∑

Fi −m · a0 = m · a

43. Feladat. Gyűjtsünk olyan hétköznapi jelenségeket, melyben a transzlációs tehetet-lenségi erő hatását megtapasztalhatjuk!

Fékezés, gyorsítás, inga és lufi az autóban.

47. óra. A transzlációs és a centrifugális tehetetlenségi erő 23.

Kísérlet. Egy ω szögsebességgel forgó zsámolyon rögzítsünk rugóval egy testet. Értel-mezzük a mozgást az előbbiekhez hasonlóan! Keressünk további hasonló példákat!

Frug

vk

R

Frug Fcf

R

ω

10. ábra. Külső megfigyelő szerint a test egyenletes körmozgást végez, a rugó ereje tartjakörpályán a testet. Forgó rendszerből nézve a rugó húzza befelé a testet, mégis nyuga-lomban van, mintha lenne egy kifelé mutató erő, mely biztosítja a dinamikai feltételt.

Centrifugális tehetetlenségi erő: Inerciarendszerből nézve állandó ω szögsebességgelforgó rendszerben a testekre sugárirányban kifelé egy fiktív erő hat, melynek nagysága:

Fcf = m ·R · ω2

Nehézségi erő: A forgó Földön a gravitációs vonzás és a centrifugális erő eredője.

Fcf

R

Fgr

Fneh

ω

r

11. ábra. A forgó Földön a testekre ható centrifugális erő nagysága függ a földrajziszélességtől: az egyenlítőnél legnagyobb, a sarkoknál nulla. A testre ható gravitációs erőmeghatározásakor a Föld tömegközéppontjától kell mérni r nagyságát, míg a centrifugáliserőnél lévő R a forgástengelytől értendő. Ezen két erő eredője a nehézségi erő.

47. Házi feladat. Mekkora az egyenlítőnél a gravitációs és a nehézségi gyorsulás aránya?

47. Szorgalmi feladat. Szimuláld a centrifugális erő hatását bolygónk alakjára nézve!

24. Irodalomjegyzék

Irodalomjegyzék

[1] Netfizika

[2] Dr. Halász Tibor: Fizika 9. Mozgások, energiaváltozások

[3] Csajági Sándor, Fülöp Ferenc: Fizika 9. a középiskolák számára

[4] Prof. N. Harnew: More on rockets - Non-intertial frames

[5] Nagy Károly: Elméleti mechanika

[6] Bérces György - Skrapits Lajos - Dr. Tasnádi Péter: Mechanika I. - Általános fizika