ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium ésKollégium – Komplex természettudományi tagozat

Fizika 11. osztály

IV. rész:Mechanikai rezgések és hullámok

Készítette: Balázs Ádám

Budapest, 2019.

2. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

IV. rész: Mechanikai rezgések és hullámok . . . . 4

113. A harmonikus rezgőmozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

114. A rezgőmozgás kinematikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

115. A rezgőmozgás grafikonjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

116. A rezgőmozgás dinamikai leírása . . . . . . . . . . . . . . . . 10

117. A rezgő rendszer energiája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

118. Feladatmegoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

119. A fonálinga lengésidejének mérése . . . . . . . . . . . . . . . 16

120. A fonálinga mozgásegyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

121. Csillapított rezgés: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

122. Kényszerrezgés, rezonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

123. A hullámmozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

124. A hullámok visszaverődése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

125. A hullámok törése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

126. A hullámok interferenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

127. Az állóhullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Tartalomjegyzék 3.

128. A hullámok elhajlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

129. Hangtan alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

130. Hangtani jelenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

131. Hangtan a hétköznapokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

132. Feladatmegoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

133. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. 113. óra. A harmonikus rezgőmozgás

113. óra A harmonikus rezgőmozgás

Rezgés: Minden változás, amely időbeli ismétlődést mutat1.

Rezgőmozgás: A test egyensúlyi helyzetéből kimozdul, és két szélsőhelyzet között szimmetrikusan periodikus mozgást végez, mely lehetcsillapítatlan2 és csillapított3.

Kísérlet. Hogyan változik a rugóra felfüggesztett test rezgésideje kü-lönböző nagyságú kitérítés esetén?

Kicsi és nagy kitérés esetén is a rezgésidő ugyanannyinak adódik.

Kísérlet. Mérd meg egy rugóra felfüggesztett test rezgésidejét külön-böző tömegek esetén!

Tömeg 10 periódus Rezgésidő Rezgésidő négyzete0g 0 s 0 s 0 s 2

50g 7,2 s 0,72 s 0,5184 s 2

100g 9,6 s 0,96 s 0,9216 s 2

150g 12 s 1,2 s 1,44 s 2

200g 13,6 s 1,36 s 1,8496 s 2

250g 15,2 s 1,52 s 2,3104 s 2

300g 16,3 s 1,63 s 2,6569 s 2

113.1. táblázat. A tömeg és a rezgésidő négyzete között van lineárisösszefüggés. Adott tömeg esetén mindig ugyanazt a periódusidőt kap-juk, ez a rendszer egy jellemző adata.

1Ez az általános definíció a fizika minden területén megállja a helyét.2Ez az idealizált eset.3A csillapított rezgőmozgásnak több típusa is van, ezekről később lesz szó.

113. óra. A harmonikus rezgőmozgás 5.

A rezgésidő és a tömeg összefüggése: A mérési adatokat grafi-konon ábrázolhatjuk, és láthatjuk, hogy nem egyenes arányosság van akét mennyiség között.

0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3m( kg)

T ( s)

1. ábra. A rugó rezgésideje a rákasztott tömeg függvényében. A kétmennyiség között négyzetgyökös összefüggést fedezhetünk fel.

113. Házi feladat. Ábrázold a tömeg függvényében a rezgősidő négy-zetét! Határozd meg az egyenes egyenletét!

113. Szorgalmi. Hogyan változik egy rugó rezgésideje, ha függőlegeshelyett vízszintes irányban rezeg, illetve ha a Holdon rezeg?

6. 114. óra. A rezgőmozgás kinematikája

114. óra A rezgőmozgás kinematikája

A rezgőmozgás fizikai mennyiségei:

• Egyensúlyi helyzet: A testre ható erők eredője itt nulla.

• Kitérés: Az egyensúlyi helyzetből a tömegpont pillanatnyi he-lyébe mutató helyvektor. Jele általában: ~y

• Amplitudó: A maximális kitérés nagysága. Jele: A

• Rezgésidő: Egy teljes rezgés időtartama. Jele: T

• Rezgésszám: Egységnyi idő alatti rezgések száma. Jele: f

Kísérlet. Próbáljuk meg szinkronba hozni egy egyenletes körmozgástvégző test és egy rezgő teste mozgását!

Némi kísérletezés után be lehet állítani, hogy a rezgést végző test és akörpályán mozgó másik test oldalról nézve egyszerre mozogjon.

Referencia körmozgás: A rezgéshez egy ω szögsebességű körmozgásrendelhető, melynek α szögelfordulásnál vett vetülete fedésbe hozhatóa rezgéssel. A körpálya sugara amplitudó nagyságú.

ω =2π

Tα = ω · t r = A

Harmonikus rezgőmozgás: A test mozgása összhangban van1 egyegyenletes körmozgást végző test vetületének mozgásával.

1Az összhang miatt nevezik harmonikusnak.

114. óra. A rezgőmozgás kinematikája 7.

Kitérés-idő: Ha a referencia körmozgást végző test α = ω · t fázis-szögű, akkor a rezgési síkra vett vetülete adja rezgő test helyét.

α~y~yA sin(α) =

y

A

y(t) = A · sin (ω · t)

Sebesség-idő: A referencia körmozgás kerületi sebességére igaz, hogyvk = ω · r = ω · A, ennek vetülete lesz a rezgés sebessége:

α

~vk ~v ~vα· cos(α) =

v

vk

v(t) = A · ω · cos (ω · t)

Gyorsulás-idő: A körmozgás A ·ω2 nagyságú centripetális gyorsulá-sának a rezgés síkjára vett merőleges vetületét tekintjük.

α

~acp ~aα ~a sin(α) =a

acp

a(t) = −A · ω2 · sin (ω · t)

114. Házi feladat. Vezesd le a rezgés gyorsulás-idő függvényét!

114. Szorgalmi. Deriválással ellenőrizd a házi feladatot!

8. 115. óra. A rezgőmozgás grafikonjai

115. óra A rezgőmozgás grafikonjai

1. Feladat. Írjuk fel egy rezgőmozgás kitérés-idő, sebesség-idő és gyorsulás-idő függvényeit! Legyen A = 1 cm és T = 2π s

−1

0

1

π2

π 3π2

2π 5π2

3π 7π2

4πt(s)

y( cm)

−1

0

1

π2

π 3π2

2π 5π2

3π 7π2

4πt(s)

v( cms )

−1

0

1

π2

π 3π2

2π 5π2

3π 7π2

4πt(s)

a( cms2 )

2. ábra. A harmonikus rezgőmozgást végző test kitérés-idő, sebesség-idő, gyorsulás idő grafikonjai. Vegyük észre, hogy ahol az egyik függ-vény szinte nem változik, az alatta lévő ugyanakkor nulla, ahol pedignövekedés van, ott az alatta lévő pozitív, ahol csökkenés van, ott azalatta lévő negatív.

115. óra. A rezgőmozgás grafikonjai 9.

A maximális sebesség: A rezgő test sebessége akkor a legnagyobb,amikor az egyensúlyi helyzeten áthalad, értéke:

vmax = A · ω

Egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor a gyorsulás értéke zérus.

A maximális gyorsulás: A harmonikus rezgőmozgást végző testgyorsulása a két szélső helyzetben a legnagyobb, értéke:

amax = A · ω2

Ezekben a szélső helyzetekben pedig a sebesség értéke zérus.

115. Házi feladat. Egy harmonikus rezgőmozgás maximális kitérése3 cm, periódusideje 2 másodperc. Ábrázold a kitérést, a sebességet ésa gyorsulást az idő függvényében!

115. Szorgalmi. Van-e olyan helyzet, amikor a kitérés, a sebesség,vagy a gyorsulás mérőszáma mind azonos? Esetleg olyan, amikor kettőazonos?

10. 116. óra. A rezgőmozgás dinamikai leírása

116. óra A rezgőmozgás dinamikai leírása

2. Feladat. Milyen lehet egy test mozgása, ha nem hat rá erő, vagy ará ható erők eredője nulla, vagy ha állandó erő hat rá?

Ha az eredő erő nulla, akkor egyenes vonalú egyenletes mozgást végez,vagy nyugalomban van. Állandó erő esetén egyenletesen gyorsul az erővektorának irányába1.

A rezgőmozgás dinamikai feltétele: Minden test harmonikus rez-gőmozgást végez az egyensúlyi helyzete körül, ha a kitérítésével egye-nesen arányos visszahúzó erő hat rá. Egyensúlyban a kitérítés nulla,így az eredő erő is. Ha kimozdítjuk innen a testet, akkor a rugó mi-att rá egy ellentétes, de a kitéréstől lineárisan függő erő hat rá2. Azarányossági tényező a rugóállandó3.

~F = −D · ~y

Ezt az erőtörvényet írhatjuk be Newton II. törvényébe, a dinamikaalapegyenletébe:

n∑i

~Fi = m · ~a

A gyorsulásba a kitérést tartalmazó összefüggést írhatjuk be, amit fel-ismertünk4.

−D · ~y = −m · ω2 · ~y

1A test nem feltétlenül mozog ténylegesen az erő irányába.2Ez a Hooke-törvény, de más erőtörvény is tud rezgőmozgást létrehozni.3Ha D = 42 N

m , akkor a rugót 42 N erővel lehet 1 m-rel nagyobbra kihúzni.4A gyorsulásra felírt ~a = −ω2 · ~y kinematikai összefüggést használjuk fel.

116. óra. A rezgőmozgás dinamikai leírása 11.

Az ~y vektor előtti skalárok meg kell, hogy egyezenek, így:

D = m · ω2 ⇐⇒ ω =

√D

m

A körfrekvencia és a periódusidő közötti ω = 2·πT

összefüggést felhasz-nálva a harmonikus rezgőmozgás periódusideje:

T = 2 · π ·√m

D

A rugó effektív tömege: Pontos mérések és elméleti számítások-ból levezethető, hogy a tömeghez hozzá kell adni a rugó tömegénekharmadát, ez a rugó effektív tömege. Ennek alapján:

T = 2 · π ·

√m+

mrugó3

D

116. Házi feladat. Mekkora a rugóállandója annak a rugónak, ame-lyen 20 kg tömegű test 2 másodperces periódusidővel rezeg. Mekkora amaximális sebesség és a maximális gyorsulás, ha a legnagyobb kitérés8 cm?

116. Szorgalmi. Igazold a rugó effektív tömegére vonatkozó összefüg-gést a mérési adatokból!

12. 117. óra. A rezgő rendszer energiája

117. óra A rezgő rendszer energiája

3. Feladat. Igazold, hogy rugó rezgésidejének összefüggése mértékegy-ség szerint másodperc!

T = 2 · π ·√m

D−→

[mD

]=

kgNm

=kg

kg· ms2

m

= s2

4. Feladat. Igazold, hogy vízszintesen és függőlegesen rugóra rögzítetttest mozgása is harmonikus rezgőmozgás!

Ha µ = 0, akkor a vízszintes rugón lévő test mozgásegyenlete:

−D · x = m · a

Függőleges rugó új egyensúlyi helyzetében Newton II. törvénye:

D · y0 −m · g = 0 −→ D =m · gy0

Az új egyensúlyi helyzettől mérve y-et, felírható a mozgásegyenlet:

D · (y0 − y)−m · g = m · a −→ −D · y = m · a

Rezgő test energiája: A kinetikus és rugalmas energia összege:

Eteljes = Ekin + Erug =1

2·m · v2 +

1

2·D · x2

Szélső helyzetekben a kinetikus energia nulla és a rugalmas energiamaximális. Egyensúlyi helyzetben fordítva.

117. óra. A rezgő rendszer energiája 13.

5. Feladat. Igazoljuk az energiamegmaradás tételével a rezgésekre fel-írt összefüggéseket!

1

2·m · v2 +

1

2·D · x2 =

1

2·D · A2 −→ x2

A2+m

D· v

2

A2= 1

Felhasználva a sin2 α + cos2 α = 1 összefüggést:

x

A= sinα −→ x = A · sinα

√m√D· vA

= cosα −→ v = A ·√m√D· cosα

6. Feladat. Mekkora a rezgő test frekvenciája, amplitudója és melyikidőpillanatban vagyunk éppen?

x = 7, 3625 · 10−5 m

v = −0, 5114092ms

a = −562, 7175ms2

117. Házi feladat. Készíts Excellben (vagy Geogebrában) egy prog-ramot, mely a rezgőmozgás grafikonjait rajzolja ki!

117. Szorgalmi. Módosítsd a programot, hogy a kezdő időpont bár-hova állítható legyen!

14. 118. óra. Feladatmegoldás

118. óra Feladatmegoldás

7. Feladat. Egy tetoválógép tűje 2 mm-es amplitúdóval rezeg. A meg-hajtó motor fordulatszáma 7000 percenként.

a) Mekkora a tű rezgésének frekvenciája és periódusideje?

b) Mekkora a tű maximális sebessége és maximális gyorsulása?

c) Egyensúlyi helyzeten áthaladás után 8 s-mal hol a tű?

d) Az egyensúlyi helyzeten áthaladást követően mennyi idő múlvalesz a tű kitérése először 1,5 mm?

e) Mekkora lesz a tű sebessége az egyensúlyi helyzeten való áthaladásután 6 másodperccel?

f) Az egyensúlyi helyzeten való áthaladást követően mikor lesz a tűsebessége először 5 mm/s?

g) Mekkora lesz a tű gyorsulása az egyensúlyi helyzeten áthaladásután 3 másodperccel?

h) Az egyensúlyi helyzeten való áthaladást követően mikor lesz a tűgyorsulása először 4 cm/s2?

8. Feladat. Egy felfüggesztett, nyújtatlan rugót egy ráakasztott test 5cm-rel nyújt meg. A testet 3 cm-rel az egyensúlyi helyzet alá visszük,

118. óra. Feladatmegoldás 15.

és ott elengedjük. Mekkora lesz a rezgés periódusideje, a rezgő testmaximális sebessége és maximális gyorsulása?

118. Házi feladat. Egy varrógép tűje harmonikus rezgőmozgást végez.Mozgása legalsó és legfelső pontja között 4 cm a távolság. A gép 9 salatt 24 öltést ejt.

a) Mekkora a tű max. sebessége és max. gyorsulása?

b) A cérna egy 1 cm átmérőjű lassan elforduló cérnaorsóról tekeredikle. Hányat fordul 1 perc alatt a cérnaorsó, ha egy öltéshez 4 mmcérnára van szükség?

118. Szorgalmi. A víz alá nyomott fakocka mozgása vajon harmonikusrezgőmozgásnak tekinthető? Mi a helyzet a labdával?

16. 119. óra. A fonálinga lengésidejének mérése

119. óra A fonálinga lengésidejének mérése

Matematikai inga: Elhanyagolható tömegű, ` hosszú fonalra füg-gesztett, m tömegű pontszerű test, mely egy erőtérben mozog.

Lengésidő: Az inga egy teljes lengésének időtartama. Jele: T

Kísérlet. Hogyan függ az inga lengésideje a kitérítés nagyságától?

Kis kitérítésekre a lengésidő ugyanaz marad. Nagy kitérítés eseténvárható eltérés.

Kísérlet. Hogyan függ az inga lengésideje az inga tömegétől?

Bármekkora tömeget rakunk az ingára, a lengésidő ugyanannyi.

Kísérlet. Hogyan függ az inga lengésideje az inga hosszától?

Az inga lengésidejének négyzete arányos a hosszával.

120. óra. A fonálinga mozgásegyenlete 17.

120. óra A fonálinga mozgásegyenlete

Az inga próbál visszatérni az egyensúlyi helyzetébe, tehát úgy viselke-dik, mint egy rugó. Meghatározzuk a visszatérítő erőt és a kitérést,ebből kiszámítjuk a "rugóállandót", amit behelyettesítjük a rugóállanóösszefüggésébe.

α

K

Gr

Gr

G

α

Az ingára hat a K kötélerő, amelymindig a kötél irányába mutat, to-vábbá a lefelé mutató G nehézségierő. A nehézségi erőt kötélirányú(radiális1) és arra merőleges (tan-genciális2) komponensre bontjuk:

~G = ~Gr + ~Gt

A visszatérítő erőt a nehézségi erő radiális komponensének tekintjük,a kitérést pedig közelítjük az egyensúlyi helyzettől mért vízszintes tá-volsággal. Ez a két állítás csak nagyon kis kitérés esetén, azaz kb. 5foknál kisebb esetben használható. Ez után hasonló háromszöget ke-resve felírhatjuk a következő összefüggést:

sinα =Gt

G⇐⇒ Gt = G · sinα

Az inga kitérése közelíthető az egyensúlyi helyzettől vízszintesen mérttávolsággal:

sinα =x

l⇐⇒ x = l · sinα

1azaz sugárirányú2azaz érintő irányú

18. 120. óra. A fonálinga mozgásegyenlete

Ezek után felírhatjuk a "rugóállandót", mely az erő és a kitérés hánya-dosa:

D =F

x=G · sinαl · sinα

=G

l=m · gl

A lengésidőre a következő összefüggést kapjuk a behelyettesítés után:

T = 2π

√m

D= 2π

√mm·gl

= 2π

√m · l

m · gT = 2 · π ·

√l

g

Ebben nem szerepel a tömég és a maximális kitérítés, a kísérletekkelösszhangban.

9. Feladat. Az olyan fonálingát, melynek a lengésideje 2 s, tehát odaés vissza is 1-1 s alatt lendül át, másodpercingának szokás nevezni.Milyen hosszú a másodpercinga?

10. Feladat. Milyen hosszú lenne a másodpercinga a Holdon, ha otta nehézségi gyorsulás a földi értéknek kb. a hatodrésze?

11. Feladat. Mennyi a lengésideje annak a fonálingának, amelynek 40cm a hossza?

12. Feladat. Mekkora az előbbi ingának a lengésideje a Holdon?

13. Feladat. Mekkora a lengésideje egy 3 kg-os, 140 cm-es kötélen lógótestnek?

119. Házi feladat. Egy hosszú kötélre felkötött test 1 perc alatt 12teljes lengést végez. Milyen hosszú kötélen függ a test? Milyen nehéza test?

120. Házi feladat. Fejezzük ki a lengésidő összefüggéséből a g-t. Amérési eredményeink alapján határozzuk meg a nehézségi gyorsulás ér-tékét!

g =4 · π2 · lT 2

120. óra. A fonálinga mozgásegyenlete 19.

119. Szorgalmi. Mennyi a g értéke ott, ahol a 4 m hosszú fonálinga40 másodperc alatt végez 20 teljes lengést? Lehet-e ez a hely a Földfelszínén?

20. 121. óra. Csillapított rezgés:

121. óra Csillapított rezgés:

Csillapítatlan rezgés: Az amplitudó nagysága nem csökken. A kez-deti 1

2DA2 rugalmas energia átalakul 1

2mv2max kinetikus energiává, majd

vissza. Az ilyen rezgést szabad rezgésnek is nevezik.

Sajátfrekvencia: A szabad rezgés frekvenciája, mely a másodper-cenkénti rezgéseket jelenti és csak a rendszer jellemzőitől függ. Jele:f0

Csillapított rezgések: Az amplitudó nagysága idővel csökken. Azenergia a súrlódás és a közegellenállás miatt disszipálódik1 a rendszer-ből. A hangszálak rezgését csillapítja a levegő, cserébe a levegő jönrezgésbe.

Közegellenállással csillapított rezgés: Az amplitudók csökkennekés egy csökkenő exponenciális függvényt rajzolnak ki.

Súrlódással csillapított rezgés: Az amplitudók csökkennek és egycsökkenő lineáris függvényt rajzolnak ki.

1Visszafordíthatatlanul hőenergiává alakul a test energiája

122. óra. Kényszerrezgés, rezonancia 21.

122. óra Kényszerrezgés, rezonancia

Kényszerrezgés: Egy f frekvenciájú, periodikus külső erő hat a test-re. A testet a gerjesztő erő f frekvenciájú rezgésre kényszeríti.

Kísérlet. Egy rugóval rögzített testre különböző frekvenciájú külsőerőt fejtünk ki. Milyen mozgást végez a test?

Rezonancia: Maximális amplitudó f = f0-nál várható. Az f ger-jesztő frekvencia függvényében ábrázoljuk az amplitudót. A maximumértéke függ a csillapítás mértékétől is.

Csatolt rezgés: Két rezgő test között az energia oda-vissza áramlik,egymást hozzák rezgésbe. Egyenlő hosszúságú ingák esetén a változásszabályos, eltérő hossz esetén kevésbé.

Kísérlet. Wilberforce-ingát hozzunk kitérésbe! Mi történik?

121. Házi feladat. Hogyan lehet védekezni a földrengések ellen?

120. Szorgalmi. Tervezz Wilberforce-ingát!

22. 123. óra. A hullámmozgás

123. óra A hullámmozgás

Hullám: Egy rendszer állapotának megváltozása (zavar) a térben to-vaterjed. A terjedés irányába anyag nem szállítódik előre.

A hullámok csoportosítása a terjedő hatás típusa szerint:

• Mechanikai hullámok: Rugalmas közegben egy deformáció ter-jedhet tova, vagyis a részecskék rezgésállapota terjed.

• Elektromágneses hullámok: A térerősség zavarai terjednektova. Közeg sem kell hozzá, vákuumban is terjedhet.

• Gravitációs hullámok: Einstein a gravitáció magyarázatára ké-szített egy modellt, a téridőt. A téridő görbületének hullámszerűváltozását jósolta meg 1915-ben. Rengeteg kutatás után 2015.szeptember 14-én észlelték először.

A hullámok csoportosítása a dimenziószám alapján:

• Vonal menti hullámok: Rugalmas pontsoron, kötélen, gumi-szalagon, dróton, húron, bármilyen egy dimenziós közegben ter-jedő hullámok. Példa

• Felületi hullámok: A víz hullámai, a dob és a cintányér, illetvebármilyen két dimenziós membrán rezgései. Példa

• Térbeli hullámok: A levegőben terjedő hanghullámok, pontsze-rű fényforrás által keltett gömbhullámok, síkhullámok, továbbá aföldrengések. Példa

123. óra. A hullámmozgás 23.

A hullámok csoportosítása a rezgés iránya szerint:

• Transzverzális hullámok: A rezgés merőleges a terjedés irányá-ra. Folyadékokban és gázokban nincsenek ilyen hullámok. Hul-lámhegyek és hullámvölgyek váltogatják egymást. Pl.: fény, akötélen terjedő hullámok, mexikói hullám

• Longitudinális hullámok: A rezgés iránya megegyezik a terje-dés irányával. Minden halmazállapotban létrejöhet. Sűrűsödésekés ritkulások követik egymást. Pl.: hang, autók megindulása azöld lámpánál.

• A kettő kombinációja: A víz hullámaiban a víz felszíni részecs-kéi körmozgást végeznek, csak fáziseltéréssel.

Amplitúdó: A rezgőmozgás legnagyobb kitérése. Jele: A

Hullámhossz: Legközelebbi, azonos fázisú pontok távolsága. Jele: λ

Periódusidő: Az egyensúly körül rezgő pont rezgésideje. Jele: T

Rezgésszám: A hullámforrás rezgésszámával egyenlő. Jele: f

Terjedési sebesség: Egy kiszemelt fázis sebessége. Jele: c

Kiszámítása: c =∆s

∆t=λ

T= λ · f

122. Házi feladat. Értelmezd a fogalmakat transzverzális hullámon!

121. Szorgalmi. Értelmezd a fogalmakat longitudinális hullámon!

24. 124. óra. A hullámok visszaverődése

124. óra A hullámok visszaverődése

Egydimenziós hullámok visszaverődése:

• Rögzített végről: A hullám ellentétes fázisban verődik vissza,mert amikor a hullám a rögzített véghez érkezik, akkor a gumi-kötél erőt fejt ki a falra, a fal ugyanilyen nagyságú, de ellentétesirányú erőt fejt ki a gumikötélre, mely erő ellentétes fázisba lendítiát.

• Szabad végről: Ekkor a hullám azonos fázisban verődik vissza,mert amikor a zavar elérkezik a szabad véghez, nem lép fel erő,amely fázisugrást okozna.

Kétdimenziós hullámok leírásához használt fogalmak:

• Hullámfront: az azonos fázisban lévő pontok összessége, távol-ságuk λ.

• Körhullám: az azonos fázisú pontok koncentrikus körökön men-tén találhatók

• Egyenes hullám: az azonos fázisú helyek párhuzamos egyene-seken vannak.

• Sugár: hullámfrontra merőleges vektor, erre halad a hullám.

Visszaverődési törvény: A bejövő hullám eléri a közeghatárt. Me-rőlegest állítunk a határra a beesési ponton át. Ehhez képest mérjük azα beesési szöget és a α′ visszaverődési szöget. A bejövő és visszaverődőhullám normálisai és a beesési merőleges egy síkban vannak továbbáα = α′.

124. óra. A hullámok visszaverődése 25.

A tükör-módszer: Egy körhullám vagy egyeneshullám a közegha-tárra ér. Vegyünk fel egy fiktív hullámforrást úgy, hogy tükrözzük avalódi forrást a közeghatárra. Ekkor a fiktív pontból jövő hullámokadják a visszavert hullámot. Példa

Háromdimenziós hullámok visszaverődése:

• Gömbhullám: Az azonos fázisban rezgő pontok egy gömbfelü-leten vannak, melyek középpontja a pontszerű forrás. A gömbfe-lületek távolsága λ.

• Síkhullám: A hullámfrontok egymástól λ távolságra lévő párhu-zamos síkok.

123. Házi feladat. Hullámtanilag sűrű, illetve ritka köteleket össze-ragasztunk és hullámot indítunk el egyik végén. Milyen jelenségeketfigyelhetünk meg? 1. Ritkából sűrűbe. 2. Sűrűből ritkába.

122. Szorgalmi. Írj 1 oldalas esszét a földrengésekről!

26. 125. óra. A hullámok törése

125. óra A hullámok törése

A közeg sűrűsége: Hullámtani értelemben ez a a benne haladó hul-lámok terjedési sebességével kapcsolatos. Sűrű1 közegben a hullámgyorsabban tud a haladni.2

Snellius–Descartes-törvény: A beeső hullám, a beesési merőlegesés a megtört hullám egy síkban van. Azonos sűrűségnél nincs törés.Ha sűrűbb közegbe hatol be a hullám - vagyis ahol lassabban halad - abeesési szögnél kisebb lesz a törési szög.

c1c2

=sinα

sin β= n2:1

Relatív törésmutató: Ha hullám az 1. közegből a 2.-ba halad, akkora második közeg elsőre vonatkozó3 törésmutatója:

n2:1 =c1c2

14. Feladat. A hanghullám terjedési sebessége levegőben 340 ms, víz-

ben 1490 ms. Mekkora szögben törik meg az a hanghullám, ha 10 fokos

beesési szögben érkezik?

1Nincs köze a hagyományos ρ = mv sűrűséghez

2Két különböző közeg akár azonos sűrűségű is lehet, amennyiben bennük a fá-zissebesség azonos.

3Ebből következik, hogy n2:1 = 1n1:2

125. óra. A hullámok törése 27.

15. Feladat. Fénynél a víz levegőre vonatkoztatott törésmutatója

nvíz:levegő = 1, 33

Mekkora szögben törik meg a 30 fokban érkező fénysugár?

Totálreflexió: Ha a hullám egy sűrűbb közegből egy hullámtanilagritkább közeg határához érkezik, továbbá a beesési szög elég nagy, akkora teljes hullám visszaverődik a határfelületről.

Határszög: Azt határozza meg, hogy a hullám egy hullámtanilag sű-rűbb közegből egy hullámtanilag ritkább közeg határához érkezve ho-gyan halad tovább: megtörik, vagy teljes visszaverődés történik.

124. Házi feladat. Mekkora a határszög a vízből levegőbe haladófénysugár esetén?

123. Szorgalmi. Készits rövid PPT-t, vagy esszét a totálreflexió al-kalmazásairól!

28. 126. óra. A hullámok interferenciája

126. óra A hullámok interferenciája

Szuperpozíció elve:

Hullámok találkozása:

Interferencia jelensége:

A tartós interferencia feltétele:

Konstruktív interferencia:

Destruktív interferencia:

16. Feladat. Írjuk fel a maximális erősítés illetve gyengítés feltételét!

125. Házi feladat. Rajzoljuk le a víz felszínén kialakuló két forrásáltal keltett hullámok interferenciaképét!

124. Szorgalmi. Egy 5 Hz frekvenciájú haladó hullámok 2 m/s se-bességgel folyamatosan haladnak az Y alakú gumizsinór 1 m hosszúszárain. Hány hullámhossznyi hullámvonulat figyelhető meg a szára-kon?

127. óra. Az állóhullámok 29.

127. óra Az állóhullámok

Az állóhullám létrejötte: Interferenciajelenség jön létre két egy-mással szemben haladó, azonos amplitúdójú (és azonos frekvenciájú)hullám hatására.

Duzzadó hely és csomópont: Duzzadó helyeknél az amplitúdó ma-ximális, csomópontnál a pontok nyugalomban vannak, ezek felváltvakövetik egymást és távolságuk állandó. 2 csomópont között a fázis azo-nos és a pontok egyszerre haladnak át az egyensúlyi helyzeten. Egycsomópont két oldalán a fázisok ellentétesek.

Szimmetrikus eset: A mindkét végén rögzített és a mindkét végénszabad rugalmas pontsoroknál az L hosszúságú hullámtér a hullámhosszfelének egész számú többszöröse:

L =λ

2· k ahol k ∈ N

Aszimmetrikus eset: Egyik végén rögzített és a másik végén sza-bad rugalmas pontsornál az L hosszúságú hullámtér a λ negyedénekpáratlan számú többszöröse:

L =λ

4· (2k + 1) ahol k ∈ N

30. 127. óra. Az állóhullámok

17. Feladat. Egy 38 cm-es mindkét végén nyitott síp 440 Hz-es hangotbocsájt ki.

a.) Ha befogjuk az egyik végét, mekkora lesz a hang frekvenciája?

b.) Ha befogjuk a másik végét is, mekkora lesz a hang frekvenciája?

c.) Ha kettévágjuk középen és mindkét végét nyitva hagyjuk?

d.) Ha 2:3 arányban vágjuk szét és a kisebbik darab egyik végét le-zárjuk?

18. Feladat. Mekkora frekvenciájú hullámforrást kelt az 1 méter hosszúkifeszített dróton 4 duzzadóhellyel rendelkező állóhullámot, ha a fázis-sebesség 6 m/s?

126. Házi feladat. Hasonlítsd össze a longitudinális és transzverzálisállóhullámokat a következő szimuláció segítségével. Készíts rajzot azegyik olyan felharmonikushoz, mely nincs a szimulációban és határozdmeg a hullámhosszát!

125. Szorgalmi. Adj kvalitatív magyarázatot a Chladni-féle porábrákmintázataira!

128. óra. A hullámok elhajlása 31.

128. óra A hullámok elhajlása

Hullámelhajlás: A hullám egy réshez érve behatol az árnyéktérbe.Minél kisebb a rés (a hullámhosszhoz képest) ez annál nagyobb.

Huygens-elv: Christiaan Huygens (1629–1695) szerint a hullámtérminden pontja elemi hullámok kiindulópontja és a később kialakulóhullámfront ezek burkológörbéje.

19. Feladat. Magyarázzuk meg a hullámterjedést egyenes és körhullá-mok esetén, illetve a visszaverődés, a hullámtörés és a hullámelhajlásjelenségét is!

A hullámtér pontjai kibocsátják a kis elemi körhullámokat és ezek hoz-zák létre a következő hullámfrontot. A hullámtörés esetén az új kö-zegben más a hullámhossz. A visszaverődés során pedig a felületrőlindulnak ki az elemi hullámok. Elhajlás esetén a rés pontjaiből indulki a hullám.

Kísérlet. Irányítsunk lézersugarat egy rácsra. Mi történik?

Huygens–Fresnel-elv: Augustin-Jean Fresnel francia fizikus (1788-1829) a burkoló fogalmát interferenciára cserélte, ezzel magyarázvaa kétrés-kísérlet eredményét.

20. Feladat. Adott d rácsállandójú rács és egy λ hullámhosszúságúhullám jut rá.

Az erősítés feltétele, hogy az úthosszkülönbsége a λ egész számú több-szöröse.

sinα =∆s

d=λ · nd

−→ d =n · λsinα

ahol n ∈ N

32. 128. óra. A hullámok elhajlása

127. Házi feladat. Egy lézersugár 22,92 fokban hajlik el egy d =

1, 67 · 10−6m rácsállandójú rácson. Milyen hullámhosszúságú a fény?

126. Szorgalmi. Írd fel a maximális kioltás helyeit egy d rácsállandójúrács, és egy λ hullámhosszúságú hullám esetén!

129. óra. Hangtan alapjai 33.

129. óra Hangtan alapjai

Kísérlet. Telefon rezeg a kezünkben, majd az asztalon. Hallunk-ekülönbséget?

A levegő részecskéi rezgésbe jönnek, nagyobb felület esetén több rezeg,így hangosabb.

Kísérlet. Milyen mozgást végez a hangvilla?

Egy késsel megmutathatjuk, hogy harmonikus rezgőmozgást végez. Arezgést láthatóvá tehetjük, ha a hangvillát végighúzunk kormozott üve-gen, mert láthatjuk a hullámokat.

Kísérlet. Pohár peremén végighúzzuk az ujjunkat. Mi történik?

A pohár egésze rezgésbe jön, és egy szép hangot hallunk.

Kísérlet. Fújjunk bele egy üvegbe. Mi történik?

A nyomás bent megnő, a részecskék elindulnak kifelé, bent lecsökken anyomás, ezért újra befelé mennek, végeredményben ide-oda mozognak,rezegnek, ezt halljuk hangként.

Hang: Egy rugalmas közegben kialakuló mechanikai hullám (azaz arezgésállapot tovaterjedése), mely longitudinális és az ember a fülévelképes érzékelni.

Hangmagasság: Magas vagy mély, fizikailag a rezgés frekvenciája.20 Hz és 20 kHz között észleljünk a hangot, alatta infrahangokról, fe-lette ultrahangokról beszélünk.

34. 129. óra. Hangtan alapjai

Hangteljesítmény és hangerősség: A hullám által szállított ener-gia másodpercenként a hangteljesítmény, jele: P . Ha egy adott felületremeghatározzuk, kapjuk a hangerősséget, melynek jele: I. A hangerős-ség lehet hangos és halk. Az emberi hallásküszöb értéke egy 1000 Hz-eshangra: I0 = 10−12W/m2, a fájdalomküszöb 1W/m2.

Decibel: Amegadott intenzitás és a referencia hányadosának lg-jének10-szerese:

LI = 10 · log10

(I

I0

)21. Feladat. Hány decibelnek felel meg a fájdalomküszöb?

128. Házi feladat. Jancsi 100 dB-el ordít és Julcsi is. Hány dB-elordítanak egyszerre?

127. Szorgalmi. Egy béka 60 dB-el brekeg. 5 béka hány dB-el brekeg?

130. óra. Hangtani jelenségek 35.

130. óra Hangtani jelenségek

Hanglebegés: Két közel azonos frekvenciájú hanghullám találkozá-sakor kioltás és erősítés felváltva tapasztalható. A hangmagasság és azhangerőváltozás frekvenciája:

fhang =f1 + f2

2fbeat = |f1 − f2|

Doppler-effektus: Ha a forrás közeledik az észlelőhöz, a hullámokfeltorlódnak, így magasabbnak tűnik a hang. Távolodás esetén mélyebblesz, mert a hullámok ritkulnak.

f =c+ vészlelő

c+ vforrás· f0

Kísérlet. Mérjük meg a hang sebességét állóhullám segítségével!

c = λ · f = 4 · L · f Pontos érték: c =

(331, 5 + 0, 6 · t

°C

)m

s

Diatónikus hangsor: Bizonyos hangok együttes, vagy egymás utánihangzása kellemes érzetet okoz, ez a konszonancia. Ellenkező esetbendisszonanciáról beszélünk.

Kiegyenlített hangolás: A hangok mértani sorozatot alkotnak, aholq = 12

√2. Itt a hangközök a következők: c, cisz, d, eisz, e, f, fisz, g,

gisz, a, aisz, h, c’. Ezek nevei: prím, kis szekund, nagy szekund, kisterc, nagy terc, kvart, szűkített kvint, kvint, kis szext, nagy szext, kisszeptim, nagy szeptim és oktáv.

129. Házi feladat. Számítsuk ki a kiegyenlített hangolás esetén azegyes hangok frekvenciáját, ha az a hang 440 Hz-es!

36. 130. óra. Hangtani jelenségek

Hangköz Elnevezés Arány Frekvenciac prím 1 264 Hzd szekund 9/8 297 Hze terc 5/4 330 Hzf kvart 4/3 352 Hzg kvint 3/2 396 Hza szext 5/3 440 Hzh szeptim 15/8 495 Hzc’ oktáv 2 528 Hz

130.1. táblázat. A természetes diatónikus hangskála hangközei.

128. Szorgalmi. Rajzold le a következő hangok amplitudóját az időfüggvényében: tiszta zenei hang, négyszögjel, fűrészfogjel, zörej, dörej,összetett periódikus hang.

131. óra. Hangtan a hétköznapokban 37.

131. óra Hangtan a hétköznapokban

Emberi hallás: Rezgésbe jön a dobhártya, melyhez belülről kapcso-lódik a kalapács. Ez további hallócsontocskáknak adja tovább a rezgést,mely a folyadékkal teli csigába jut. A Corti-féle szervben lévő szőrszálaktovábbítják az agyba az ingerületet.

22. Feladat. A bronzharang 78%-a réz és 22%-a ón. Ütéskor kiadegy rövid, fémes hangot, majd megjelenik a zúzóhang, melynek részeialaphang, alsó és felső oktáv, terc és kvint. Ábrázoljuk az egyes hangokintenzitását egy olyan harangnál, melynek az alaphangja 200 Hz és amagasabb hangjai halkabbak!

A hangszín-spektrum: A hangforrás által kibocsájtott hangok ésfelhangok magasságának intenzitásának részletes megadása. Az emberesetében a különböző felhangok

Hangrobbanás: A hangsebességnél gyorsabb forrás által kibocsáj-tott hangok konstruktívan összeadódnak. Például szuperszonikus re-pülő, csattanó ostor, dörgés hangja. A hanghatás mellett a nyomásnö-vekedés a levegőben lévő víz kicsapódását is okozhatja.

vtest =c

sinα

130. Házi feladat. Add meg egy harang hangszín-spektrumát, haalaphangja 300 Hz és 100 dB és a magasabbak hangok az előzőhözképest fele akkora intenzitásúak!

129. Szorgalmi. Keress filmekben, rajzfilmekben Mach-kúpot, mérdle a szöget és számíts ki az adott test sebességét!

38. 132. óra. Feladatmegoldás

132. óra Feladatmegoldás

23. Feladat. A tengervízben 1500 m/s-mal halad a hang. Egy 30kHz-es ultrahanghullám 3 másodperc alatt ér vissza a tengerfenékről.Milyen mély a tenger? Mekkora idő alatt érne vissza a hullám, ha ahajó 36 km/h-val halad?

24. Feladat. Egy hanghullám érkezik a vízfelszínre 34 fokos beesésiszögben. Mekkora szögben törik meg?

25. Feladat. János mellett 72 km/h-val elhalad egy autó, miközbenvégig dudál. Jánosnak abszolút hallása van és megállapította, hogy mi-lyen hangköznek felel meg a közeledő és a távolodó autó frekvenciájánakaránya. Milyen hangközt hallott János? (chang = 340m/s)

26. Feladat. Mekkora egy 3 méter hosszúságú inga lengésideje a Hol-don?

27. Feladat. Adjuk meg a gitár A2 húrjának kitérését az idő függvényé-ben, ha 3 mm a maximális kitérés! Ábrázoljuk grafikonon a sebességétés a gyorsulást is!

28. Feladat. Milyen gyorsan rezeg egy 10 másodperc rezgésidejű rugóaz elindításától számított 3. másodpercben, ha az egyensúlyi helyzeté-ből indítottuk.

29. Feladat. Egy méhecske hangja 5 méterről 15 dB hangerőnek felelmeg. Micimackótól 5 méterre egy 45 dB-el zümmögő méhkas van. Hányméhecske van ott?

30. Feladat. Egy 9 méter hosszú rugót másodpercenként 2-szer lendí-tünk meg és három teljes hullám fér rá a kötélre. Mekkora a fázisse-besség a rugóban?

133. óra. Összefoglalás 39.

133. óra Összefoglalás