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SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 1/...
Fitting einfacher geometrischer Modelle
Linien, Kurven und Transformationsmatrizen
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 2/...
Gliederung
● Einleitung
● Hough-Transformation
● Fitting von Linien mittels eines Maximum Likelihood / Least Squares Ansatz
● Fitting von Kurven
● Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 3/...
Einleitung
Definition Fitting: Einpassen mathematisch beschriebener, geometrischer Figuren wie Linien, Kreise, Ellipsen usw. in eine Familie oder Gruppe von Symbolen / Zeichen / Merkmalen (Token, z.B. aus Edge/Corner - Detektoren)
Allgemeiner:Einpassen von Matrizen, Vektoren oder anderen mathematischen Beschreibungen in einen Satz von Daten.
- Fitting als Segmentierungsprozess, kompakte Repräsentation der relevanten Bildstruktur
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 4/...
Generelle Aufgaben/Probleme beim Fitting
1. Zählen der Strukturen/geom. Figuren
- Anzahl und Art (2 Kreise, 1 Ellipse, 1 Linie)
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 5/...
Generelle Aufgaben/Probleme beim Fitting
1. Zählen der Strukturen/geom. Figuren
- Anzahl und Art (2 Kreise, 1 Ellipse, 1 Linie)
2. Zuordnung Token Struktur- Annahme: 1. ist bekannt- Token gruppieren und Struktur bestimmen
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 6/...
Generelle Aufgaben/Probleme beim Fitting
1. Zählen der Strukturen/geom. Figuren
- Anzahl und Art (2 Kreise, 1 Ellipse, 1 Linie)
2. Zuordnung Token Struktur- Annahme: 1. ist bekannt- Token gruppieren und Struktur bestimmen
3. Parameter Schätzung- Annahme: 1. und 2. ist bekannt- für jede Gruppe von Token Parameterwerte der Struktur schätzen, sodass Struktur optimal in Token passt
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 7/...
Generelle Aufgaben/Probleme beim Fitting
- 1. und 2. sind generell schwierige Probleme in der Praxis
- 1. Zählen: - Ergebnisse abhängig von Modellwahl
Beispiel mit Linien (Art der Struktur fest): geg: Menge von Punkten ges: Menge von Linien die gut „fitten“
extrem gutes Fitting, mangelnde Repräsentation (zu viele Strukturen gezählt)
Fitting schlechter, Repräsentation besser
Vereinfachtes Beispiel zeigt Schwierigkeiten
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 8/...
Generelle Aufgaben/Probleme beim Fitting
- 2. Zuordnung Token Struktur
- riesiger kombinatorischer Suchraum (alle möglichen Gruppen von Token)
- isolierte Token:K-means Clustering oder EM Algorithmus zur Gruppierung
- zusammenhängende Token:- Token mit Nachbarschaftsgraph - inkrementelles Fitting: beruht auf Idee, dass Token durch Qualität des Fitting der Struktur gruppiert werden
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 9/...
Inkrementelles Fitting von Linien
- geg: Pixel aus Kantendetekor mit Nachbarschaftsgraph = Kurve von Pixeln
- beginnend vom Startpixel, sukzessive benachbarte Pixel hinzunehmen u. Linie fitten
- ist Qualität des Fitting zu schlecht, d.h Summe d. Abstände der Pixel zur Linie zu groß → letzten Pixel verwerfen, verworfener Pixel ist neuer Startpixel
- Wiederholen bis keine Kurvenpixel mehr übrig
- Resultat: Gruppierung und Zuordnung der Token(Pixel) zur Struktur(Linie)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 10/...
Inkrementelles Fitting von Linien
- geg: Pixel aus Kantendetekor mit Nachbarschaftsgraph = Kurve von Pixeln
- beginnend vom Startpixel, sukzessive benachbarte Pixel hinzunehmen u. Linie fitten
- ist Qualität des Fitting zu schlecht, d.h Summe d. Abstände der Pixel zur Linie zu groß → letzten Pixel verwerfen, verworfener Pixel ist neuer Startpixel
- Wiederholen bis keine Kurvenpixel mehr übrig
- Resultat: Gruppierung und Zuordnung der Token(Pixel) zur Struktur(Linie)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 11/...
Inkrementelles Fitting von Linien
- geg: Pixel aus Kantendetekor mit Nachbarschaftsgraph = Kurve von Pixeln
- beginnend vom Startpixel, sukzessive benachbarte Pixel hinzunehmen u. Linie fitten
- ist Qualität des Fitting zu schlecht, d.h Summe d. Abstände der Pixel zur Linie zu groß → letzten Pixel verwerfen, verworfener Pixel ist neuer Startpixel
- Wiederholen bis keine Kurvenpixel mehr übrig
- Resultat: Gruppierung und Zuordnung der Token(Pixel) zur Struktur(Linie)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 12/...
Inkrementelles Fitting von Linien
- geg: Pixel aus Kantendetekor mit Nachbarschaftsgraph = Kurve von Pixeln
- beginnend vom Startpixel, sukzessive benachbarte Pixel hinzunehmen u. Linie fitten
- ist Qualität des Fitting zu schlecht, d.h Summe d. Abstände der Pixel zur Linie zu groß → letzten Pixel verwerfen, verworfener Pixel ist neuer Startpixel
- Wiederholen bis keine Kurvenpixel mehr übrig
- Resultat: Gruppierung und Zuordnung der Token(Pixel) zur Struktur(Linie)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 13/...
Inkrementelles Fitting von Linien
- geg: Pixel aus Kantendetekor mit Nachbarschaftsgraph = Kurve von Pixeln
- beginnend vom Startpixel, sukzessive benachbarte Pixel hinzunehmen u. Linie fitten
- ist Qualität des Fitting zu schlecht, d.h Summe d. Abstände der Pixel zur Linie zu groß → letzten Pixel verwerfen, verworfener Pixel ist neuer Startpixel
- Wiederholen bis keine Kurvenpixel mehr übrig
- Resultat: Gruppierung und Zuordnung der Token(Pixel) zur Struktur(Linie)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 14/...
Inkrementelles Fitting von Linien
- geg: Pixel aus Kantendetekor mit Nachbarschaftsgraph = Kurve von Pixeln
- beginnend vom Startpixel, sukzessive benachbarte Pixel hinzunehmen u. Linie fitten
- ist Qualität des Fitting zu schlecht, d.h Summe d. Abstände der Pixel zur Linie zu groß → letzten Pixel verwerfen, verworfener Pixel ist neuer Startpixel
- Wiederholen bis keine Kurvenpixel mehr übrig
- Resultat: Gruppierung und Zuordnung der Token(Pixel) zur Struktur(Linie)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 15/...
Inkrementelles Fitting von Linien
- geg: Pixel aus Kantendetekor mit Nachbarschaftsgraph = Kurve von Pixeln
- beginnend vom Startpixel, sukzessive benachbarte Pixel hinzunehmen u. Linie fitten
- ist Qualität des Fitting zu schlecht, d.h Summe d. Abstände der Pixel zur Linie zu groß → letzten Pixel verwerfen, verworfener Pixel ist neuer Startpixel
- Wiederholen bis keine Kurvenpixel mehr übrig
- Resultat: Gruppierung und Zuordnung der Token(Pixel) zur Struktur(Linie)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 16/...
Inkrementelles Fitting von Linien
- geg: Pixel aus Kantendetekor mit Nachbarschaftsgraph = Kurve von Pixeln
- beginnend vom Startpixel, sukzessive benachbarte Pixel hinzunehmen u. Linie fitten
- ist Qualität des Fitting zu schlecht, d.h Summe d. Abstände der Pixel zur Linie zu groß → letzten Pixel verwerfen, verworfener Pixel ist neuer Startpixel
- Wiederholen bis keine Kurvenpixel mehr übrig
- Resultat: Gruppierung und Zuordnung der Token(Pixel) zur Struktur(Linie)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 17/...
Gliederung
● Einleitung
● Hough-Transformation
● Fitting von Linien mittels eines Maximum Likelihood / Least Squares Ansatz
● Fitting von Kurven
● Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
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Hough-Transformation
- Technik zur Extraktion geometrischer Merkmale (Linien,Kreise,usw.) aus einer Menge von Token
- Problemklasse Parameterschätzung
- Grundprinzip: - Abstimmung/Voting Prozess- für jeden Token t
i : jede geometrische Figur die durch t
i läuft erhält eine Stimme
- geom. Figuren mit vielen Stimmen sind potenzielle Fittings
- konkret für Linien: - für jeden interessanten Pixel p
i: für Linien, die durch p
i laufen, abstimmen
- Linien mit vielen Stimmen passen am besten in die Punkte pi
- Prinzip auf beliebige andere geom. Figuren anwendbar
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Hough-Transformation - Linien
- Hough-Transformation für Linien:
- für jeden interessanten Pixel pi=(x
i,y
i): für Linien, die durch p
i laufen, abstimmen
- Linien mit vielen Stimmen passen am besten in die Punkte pi
- Darstellung von Linien im Bildraum: Anstieg/Y-Achsenabschnitt Form: y=f(x)=mx+n
BildraumHough-Raum / Akkumulator
x
y
n
m
?Pixel
Stimmenbehälter/ Anzahl der Stimmen für Linie (m,n)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 20/...
Hough-Transformation - Linien
- Betrachtung eines festen Pixel x,y
- alle Linien die durch x,y laufen:
- im Hough-Raum müssen also Stimmen entlang der Linie (m,n)=( ) akkumuliert werden
- Wiederholen des Prozesses für jeden Pixel x,y
- idealisiertes Beispiel:
f x : y=mxn ⇔ mn:m=−1xn y
x
−1x, yx
x
y
n
m
11
11
1
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 21/...
Hough-Transformation - Linien
- Betrachtung eines festen Pixel x,y
- alle Linien die durch x,y laufen:
- im Hough-Raum müssen also Stimmen entlang der Linie (m,n)=( ) akkumuliert werden
- Wiederholen des Prozesses für jeden Pixel x,y
- idealisiertes Beispiel:
f x : y=mxn ⇔ mn:m=−1xn y
x
−1x, yx
x
y
n
m
21
11
11
11
1
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 22/...
Hough-Transformation - Linien
- Betrachtung eines festen Pixel x,y
- alle Linien die durch x,y laufen:
- im Hough-Raum müssen also Stimmen entlang der Linie (m,n)=( ) akkumuliert werden
- Wiederholen des Prozesses für jeden Pixel x,y
- idealisiertes Beispiel:
f x : y=mxn ⇔ mn:m=−1xn y
x
−1x, yx
x
y
n
m
31
11
11
11
11
11
1
11
1
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 23/...
Hough-Transformation - Linien
- Betrachtung eines festen Pixel x,y
- alle Linien die durch x,y laufen:
- im Hough-Raum müssen also Stimmen entlang der Linie (m,n)=( ) akkumuliert werden
- Wiederholen des Prozesses für jeden Pixel x,y
- idealisiertes Beispiel:
f x : y=mxn ⇔ mn:m=−1xn y
x
−1x, yx
x
y
n
m
31
11
11
11
11
11
1
11
1
Schnittpunkt d. Linien -> Anzahl max. Stimmen -> Fitting
Anz. Stimmen -> Aussage über Anz. der Punkte durch die Linie läuft
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Hough-Transformation - Linien
- Darstellung der Linie ist problematisch
- z.B. vertikale Linien :
- um alle Linien zu beschreiben: Hough-Raum/Akkumulator unbegrenzt
- Abhilfe schafft diese Darstellung: Linienbeschreibung durch kürzesten Abstand d zum Ursprung dem Winkel zwischen Linie u. Y-Achse
f x : y=mxn
m=∞
m∈[−∞ ,∞] n∈[−∞ ,∞]
d : cos xsin y=d
y=mxn
⇔ y=− 1tan
x dsin
⇔ y=− cos sin
x dsin
⇔cos xsin y=dx
y
d
a
a
n
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Hough-Transformation - Linien
- Liniendarstellung:
- Hough-Raum/ Akkumulator nun begrenzt: W,H – Bildraumbreite/-höhe
- statts Linien nun Kurven der Form im Hough-Raum
- Prinzip bleibt gleich: - zu festen x,y korrespondiert Kurve im Hough-Raum - jedes Paar m,n der Kurve im Akkumulator beschreibt Linie im Bildraum durch x,y
d : cos xsin y=d
∈[0 ,2] n∈[0,W 2H 2]
x
y
a
d
11
11
1
d =cos xsin y
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 26/...
Hough-Transformation - Linien
- Liniendarstellung:
- Hough-Raum/ Akkumulator nun begrenzt: W,H – Bildraumbreite/-höhe
- statts Linien nun Kurven der Form im Hough-Raum
- Prinzip bleibt gleich: - zu festen x,y korrespondiert Kurve im Hough-Raum - jedes Paar m,n der Kurve im Akkumulator beschreibt Linie im Bildraum durch x,y
d : cos xsin y=d
∈[0 ,2] d∈[0,W 2H 2]
d =cos xsin y
x
y
a
d
11
11
1
Schnittpunkt vieler Kurven→ max. Stimmen→ Fitting
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Hough-Transformation - Probleme
- Praktische Probleme beim Fitting:
- Wahl der Rastergröße / Quantisierung des Akkumulators:
- Lösung: Systematisches Ausprobieren
Zu fein: - Fitting genau- Houghlinien von nicht kollinearer Punkten fallen in verschiedene Stimmenbehälter- keine oder viele kleine Stimmenmaxima
x
y
n
m
n
m
x
y
x
y Zu grob: - Fitting ungenau- Houghlinien von Punkten fallen in gleiche Stimmenbehälter- evtl. zu hohe Stimmenmaxima
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Hough-Transformation - Probleme
- Praktische Probleme beim Fitting:
- „Phantom“-Fittings
- Stärke der Hough-Transformation: Verbindung weitverteilter Punkte, gleichzeitig eine Schwäche: annähernd uniform verteilte Punkte
(Bildrauschen, Texturen) → viele mögliche Linien („Phantom“-Fitting)
- kann im Akkumulator zu hohen Werten führen, übersteigen evtl. Maxima von gewünschten Fittings
- Lösung: - Belichtung bei Bildaufnahme → kontrastreiche Kanten- Vorverarbeitung: Glättung, Kantendetektoren Texturen verwischen lassen
- Trotz Probleme, Hough Transformation populär in Praxis
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 29/...
Gliederung
● Einleitung
● Hough-Transformation
● Fitting von Linien mittels eines Maximum Likelihood / Least Squares Ansatz
● Fitting von Kurven
● Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
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Maximum Likelihood/Least Squares
- Technik zur Parameterschätzung von geometrischen Modellen (Statistik)
- Maximum Likelihood Schätzung:- statistische Untersuchungen oftmals nur Stichproben ( Aufwand)- Kennwerte wie Erwartungswert, Varianz usw. für gesamte stat. Sachverhalt gesucht- welche Kennwerte (→ Verteilung) machen Stichprobe am wahrscheinlichsten- Annahme: Art der Verteilung bekannt
- auf Linien übertragen:Suchen von Kennwerten einer Linie die durch die Stichprobe (Konstellation von Punkten) läuft, bzw. am besten zu den Punkten passt
- Was heißt passen?- Summe der Quadrate der Äbstande der Punkte zur Linie minimal → Least Squares , 2 Verfahren Total Least Squares, Least Squares
- Notwendigkeit eines generativen Modells bei ML Schätzung:- beschreibt Generierung/Verteilung der Punkte um Linie → liefert Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, benötigt für ML Schätzung
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Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Fit-Kriterium:Kürzester Abstand Punkt zur Linie
- Liniendarstellung:
- Vereinfachung, cos() sin() nichtlineare Funktion- 3 statts 2 Parameter, 1 überflüssig → ergibt Constraint
- Kürzester Abstand Punkt zur Linie:Behauptung:
Beweis:
cos xsin yd=0 ⇒ axbyd=0
a2b2=1⇔a2b2=1
dist u , v =∣aubvd∣ wenn a2b2=1
r
v
distu , v
v=ab r=x−uy−vdist u ,v =∣projv r∣=
∣vr∣∣v∣=∣aubvd∣a2b2
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Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Beweis
r= x−uy−vaxby−d=0 ⇒ y=−a
bx−d
b ⇒ x−ab x−d
b =0−db −1
b −ba x ⇒ −ba ∥L ⇒ −ba .ab=0 ⇒ ab⊥ L ⇒ v=abdist u ,v =∣projv r∣=
∣v r∣∣v∣
=∣a x−ub y−v∣a2b2
=∣ax−auby−bv∣a2b2
=∣−au−bv−d∣a2b2
=∣aubvd∣a2b2
⇒ dist u , v=∣aubvd∣ wenn a2b2=1
r
v
dist
u , v
L
DarstellungAufpunkt/Richtungsvektor
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Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Generatives Modell für ML Schätzung: Punkte entlang Linie gleichverteilt, orthogonal zur Linie normalverteilt
- Einsetzen Abstandsterm in Normalverteilung, Betrag entfällt wegen Quadrierung
f norm x=1
2e−1
2 x−
2
⇒ f normx , y =1
2e−1
2 axbyd
2
=0=2
a=12
a2b2=1
b=12
d=1=2
Aussage über Wahrscheinlichkeit für einen Punkt x,y, dass er auf der Linie a,b,d liegtAbweichung vomErwartungswert⇒ Abstand Punkte zur Linie
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Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Wahrscheinlichkeitsfunktion mehrerer Punkte:
- Prinzip der stochastischen Unabhängigkeit:-für statistisch unabhängige Erreignisse gilt (bei Punkten gegeben)
- auf Wahrscheinlichkeitsfunktionen übertragbar
- bei ML Schätzung wird in den unbekannten der Linie neu interpretiert
f norm x , y=1 2
e−1
2axbyd
2
f norm x1, y1, x2, y2,... , xn , y n=∏i=1
n 1 2
e−1
2ax iby id
2 Aussage über Wahrscheinlichkeit
wie gut die Punkte xi,y
i zur Linie
a,b,d passen
P A∩B=P A∗P B
f norm
L a ,b ,d =∏i=1
n 12
e−1
2axiby id
2
Aussage über Wahrscheinlichkeit wie gut eine Linie a,b,d in die geg. Punkte x
i,y
i passt
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 35/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Likelihoodfunktion L
- ges: Linie a,b,c die am besten in die Punkte xi,y
i passt → Linie mit maximaler
Wahrscheinlichkeit → Maximum von L(a,b,d) → Extremwertaufgabe
- zuvor mathematische Vereinfachungen an L(a,b,c):
...
L a ,b ,d =∏i=1
n 1 2
e−1
2axiby id
2
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 36/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Likelihoodfunktion
- Log-Likelihoodfunktion ln(L), monotone Transformation, ln() monoton stetig→ Extrempunkte an selber Stelle→ Stelle des Extrempunkts interresant,
nicht das Ausmaß
L a ,b ,d =∏i=1
n 1 2
e−1
2axiby id
2
=1 2 n
∏i=1
n
e−1
2ax ibyid
2
=1 2 n
e∑i=1
n
−12axiby id
2
=1 2 n
e−
122∑
i=1
n
ax ibyid 2
L loga ,b , d =ln1 2 n
e−
122∑
i=1
n
axiby id 2
=ln1 2 nlne−1
22∑i=1
n
ax iby id 2=ln1 2
n−122∑
i=1
n
ax ibyid 2
=−∑i=1
n
ax iby id 2
2 2 C
e xe y=e x y
ln ab=ln a ln bML-Schätzer
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 37/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Extremstellen d. Log-Likelihoodfunktion / ML Schätzer bestimmen unter einer Randbedingung → Lagrange Multiplier
- Lagrange Multiplier: Maxima/Minima von multivariaten Funktionen f unter Randbedingung g
- Geometrische Veranschaulichung:
...
L loga ,b ,d =−∑i=1
n
ax iby id 2
22 C a2b2=1
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 38/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Lagrange Multiplier:
- geg: f(x,y) g(x,y)=0 ges: Extrempunkte von f(x,y) unter g(x,y)=0
- f(x,y) lineare Funktion
x
y
f(x,y)
x
y
f(x,y)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 39/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Lagrange Multiplier:
- geg: f(x,y) g(x,y)=0 ges: Extrempunkte von f(x,y) unter g(x,y)=0
- f(x,y) lineare Funktion, g(x,y) quadratisch g(x,y)=0 → implizite Funktion→ Nulldurchgang beschreibt alle zulässigen x,y (Randbedingung),
in denen f(x,y) maximiert,minimiert wird
x
y
f(x,y)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 40/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Lagrange Multiplier:
- geg: f(x,y) g(x,y)=0 ges: Extrempunkte von f(x,y) unter g(x,y)=0
- f(x,y) lineare Funktion, g(x,y) quadratisch g(x,y)=0 → implizite Funktion→ Nulldurchgang beschreibt alle zulässigen x,y (Randbedingung),
in denen f(x,y) maximiert,minimiert wird
x
y
f(x,y)
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 41/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Lagrange Multiplier:
- geg: f(x,y) g(x,y)=0 ges: Extrempunkte von f(x,y) unter g(x,y)=0
- f(x,y) lineare Funktion, g(x,y) quadratisch g(x,y)=0 → implizite Funktion→ Nulldurchgang beschreibt alle zulässigen x,y (Randbedingung),
in denen f(x,y) maximiert,minimiert wird
x
y
f(x,y)
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 42/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Lagrange Multiplier:
- geg: f(x,y) g(x,y)=0 ges: Extrempunkte von f(x,y) unter g(x,y)=0
- f(x,y) lineare Funktion, g(x,y) quadratisch g(x,y)=0 → implizite Funktion→ Nulldurchgang beschreibt alle zulässigen x,y (Randbedingung),
in denen f(x,y) maximiert,minimiert wird
x
y
f(x,y)
x
y
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 43/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Lagrange Multiplier:
- geg: f(x,y) g(x,y)=0 ges: Extrempunkte von f(x,y) unter g(x,y)=0
- Betrachtung der Gradienten (Vektor partieller Ableitungen von f(x,y) u. g(x,y))- Gradienten zeigen immer in Richtung des größten Anstiegs
x
y
x
y
f(x,y)
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 44/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Lagrange Multiplier:
- geg: f(x,y) g(x,y)=0 ges: Extrempunkte von f(x,y) unter g(x,y)=0
- Lösung: Stellen an denen Gradienten gleiche Richtung haben sind Extrempunkteunabhängig der Skalierung der Vektoren
x
y
x
y
f(x,y)
∇ f x , y= ∇ g x , y
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 45/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Extremstellen d. Log-Likelihoodfunktion / ML Schätzer bestimmen unter einer Randbedingung → Lagrange Multiplier
f : L log a ,b ,d =−∑i=1
n
ax iby id 2
2 2 C g a ,b ,d =0a2b2=1 ⇒ a2b2−1=0
⇒ g a ,b ,d =a2b2−1=0
∇ f x , y , z ,...= ∇ g x , y , z , ...
∇ Llog a ,b ,d = ∇ g a ,b ,d
−12 ∑i=1
n
a x i2b x i y id x i
∑i=1
n
a x i y ib y i2d yi
∑i=1
n
a x ib y id=2a
2b0 ⇒ − 1
2 ∑i=1
n
x i2 ∑
i=1
n
x i yi ∑i=1
n
xi
∑i=1
n
x i y i ∑i=1
n
yi2 ∑
i=1
n
y i
∑i=1
n
x i ∑i=1
n
yi n abd=2a2b0
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 46/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Extremstellen d. Log-Likelihoodfunktion / ML Schätzer bestimmen unter einer Randbedingung → Langrange Multiplier
- Lösung: 3 Gleichungen + Randbedingung g(a,b,d) = 4 Gl.4 unbekannte a,b,d,l → lösbarLösung enthält Maxima und Minima!
∇ f x , y , z ,...= ∇ g x , y , z , ...
∇ Llog a ,b ,d = ∇ g a ,b , d
−12 ∑i=1
n
x i2 ∑
i=1
n
x i y i ∑i=1
n
x i
∑i=1
n
xi y i ∑i=1
n
y i2 ∑
i=1
n
yi
∑i=1
n
x i ∑i=1
n
y i n abd=2a2b0 ⇒ x2 x y x
x y y2 yx y 1abd=−2n2a
2b0
u=1n∑i=1
n
ui
'Skalierung unwichtig
SS/09 Proseminar Aufgabenstellungen der Bildanalyse und Mustererkennung
Fitting einfacher geometrischer Modelle 47/...
Maximum Likelihood/Total Least Squares
Total Least Squares
- Extremstellen d. Log-Likelihoodfunktion / ML Schätzer bestimmen unter einer Randbedingung → Langrange Multiplier
- alternativ umformen in Eigenwertproblem
- Lösung: Linie aus Eigenvektoren(a,b) und Eigenwerte egal, Vorsicht: Lösungen können Maxima/Minima sein → nur Maxima sind Fittings
∇ f x , y , z ,...= ∇ g x , y , z , ...
x2 x y xx y y2 yx y 1abd=2a
2b0 ⇒ d=−a x−b y
⇒ a x2b xyd x=2a
a xyb y2d y=2b ⇒ a x
2b xy−a x x−b y x=2aa xyb y2−a x y−b y y=2b
⇒ x2− x x xy−x yxy− x y y2− y yab=ab
u=1n∑i=1
n
ui
Achtung :u v≠uv
∑i=1
n
u i∑i=1
n
v i≠∑i=1
n
ui v i
d=−a x−b y
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 48/...
Maximum Likelihood/Least Squares
Least Squares
- selbe Vorgehensweise wie ML/Total Least Squares
- Unterschied: - mathematisch simpler, Lösung ohne Lagrange Multiplier- Liniendarstellung y=mx+n- Fit-Kriterium: Abstand Punkt Linie nur in y Koordinate - Generatives Modell: Gauss Rauschen / Normalverteilung nur in Y Richtung,
Gleichverteilung in X
- ML Schätzer
- Problem: - „ärmliches“ Modell , vertikale Linien → unendlich große Abstände→ seltsame Fittings
- nur bedingt geeignet
y=mxnd ⇔ d= y−mx−n ⇒ dist u , v =d= y−mx−n d~N 0,
L logm ,n=−∑i=1
k
y−mx−n2
2 2 C ∇ Llog m ,n=0 y2
y =x2 xx 1mn
u=1n∑i=1
n
ui
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 49/...
Gliederung
● Einleitung
● Hough-Transformation
● Fitting von Linien mittels eines Maximum Likelihood / Least Squares Ansatz
● Fitting von Kurven
● Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
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Fitting von Kurven
- Unterschied zu Linien Fitting gering, Ansatz wieder ML Schätzung
- Generatives Modell: Punkte entlang Kurve uniform verteilt, normal/orthogonal zur Kurve normalverteilt
- nur Repräsentation und Distanzbestimmung von Kurven von Interesse
- Fitten von impliziten Kurven:Distanz Punkte zur Kurve liefert Ausdruck für ML Schätzer → Lösung analog
- implizite Kurven, parametrische Kurven
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Fitting von Kurven - implizite Kurven
Implizite Kurven:
- beschrieben durch implizite Funktionen , oftmals Polynome
- Bsp: allgemeine Kegelschnittgleichung (höherwertige Polynome unüblich → Stabilität d. Fittings)
x , y=0
x
y
f(x,y)
ax22bxycy22dx2ey f =0
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt
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Fitting von Kurven - implizite Kurven
Distanz von Punkten zu impliziten Kurven:
- kürzeste Distanz Punkt (dx,d
y) zu Kurvenpunkt (u,v):
ges: alle u,v für die gilt
- Normalenrichtung, Kurve am schnellsten verlassen
1. u , v=0
2. d x−ud y−v= N u , v ⇔ d x−u
d y−v. T=0
(dx,d
y)
(u,v)
N u , v
N= ∇u , v=∂∂ x u , v ∂∂ yu , v T . N=0 ⇒ T=∂∂ y u , v−∂
∂ xu , v
d x−ud y−v. T=0 ⇒ ∂
∂ yu , v d x−u−
∂∂ xu , vd y−v =0
dist d x , d y=mind x−uid y−v i
x
yf(x,y)
T u , v
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Fitting von Kurven - implizite Kurven
Distanz von Punkten zu impliziten Kurven:
- 2 Gleichungen in 2 Unbekannten u,v → lösbar, jedoch analytische Lösungenschwierig
- Anzahl Lös. steigt mit zunehm. Grad der Polynome quadratisch → Approximationen
- algebraische Distanz:
- keine exakte Distanz, Maß, Eigenschaften einer Distanzfunktion- auf Kurve Abstand = 0- orthogonal zur Kurve fällt/steigt Distanz - tangential zur Kurve Abstand gleichbleibend
→ Isolinien
∂∂ yu , v d x−u−
∂∂ xu , vd y−v=0
u , v=0
dist d x , d y=d x , d y
x
yf(x,y)
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Fitting von Kurven - implizite Kurven
Distanz von Punkten zu impliziten Kurven:
- algebraische Distanz:
- Problem: d.h implizite Funktionen mit unterschiedl. Parametern beschreiben gleiche
Kurven → Normalisierung der Polynomkoeffizienten
- bei ML/LS:
- 2 approximative Distanz: Normalisieren mitGradientenbetrag → Anstiege in x,y überall 1,
- 1 Schritt in x = Abstand 1→ eigentlich exakte Distanz
dist d x , d y=d x , d y
x
yf(x,y)
d x , d y =0⇔d x , d y=0
L loga ,b ,d =−∑i=1
n
ax iby id 2
22 C a2b2=1
dist d x , d y=d x , d y
∣∇d x , d y ∣
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 55/...
Fitting von Kurven - implizite Kurven
Distanz von Punkten zu impliziten Kurven:
- Fazit:
- Analytische Lösungen schwierig
- Approximationen: algebraische Distanz, normalisierte algebraische Distanz
- beide seltsames Verhalten für weit entfernte Punkte , zu große Abweichungen
- algebraische Distanz vorrangig in Praxis, - weniger numerische Probleme - Eignung für höherdimensionale implizite Funktionen
z.B. implizite Flächen
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Fitting von Kurven - parametrische Kurven
Parametrische Kurven:
- beschrieben durch 2 Funktionen in t als Komponenten des Kurvenvektors
- sukzessives Einsetzen von Werten zwischen t
min und t
max durchläuft Kurve
- typische parametrische Kurven
C t =x t y t t∈[tmin , tmax ]
∀ t∈[tmin , tmax] : C t Ortsvektor zu Kurvenpunkt
x
y
t
x
t
y
tmin tmax
y0
y1
y0
y1
x0
x0
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Fitting von Kurven - parametrische Kurven
Parametrische Kurven:
- Fitting von parametrischen Kurven - Maximum Likelihood / Least Squares - Abstände Punkte zur Kurve minimieren, - Finden der Kennwerte der Kurve, die die Punkte am wahrscheinlichsten durchläuft
- Abstand zu parametrischen Kurven: - kürzeste Distanz Punkt (d
x,d
y) zu Kurvenpunkt
- Vektor Punkt zu Kurvenpunkt = Kurvennormale bzw. Vektor Punkt zu Kurvenpunkt orthogonal zur Kurventangente
- möglich: Punkt weit entfernt von Kurve → Abstand zum Anfang/Ende der Kurve
minimal
C t =x t y t t∈[tmin , tmax ]
C
(dx,d
y)N
C
T
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Fitting von Kurven - parametrische Kurven
Parametrische Kurven:
- Abstand zu parametrischen Kurven: - kürzeste Distanz Punkt (d
x,d
y) zu Kurvenpunkt
- 1 Gleichung, 1 Unbekannte → lösbar, Nullstellen
C t =x t y t t∈[tmin , tmax ]
T=∂∂ t x ∂∂ y
y d x− x d y− y . T=0
⇒ ∂ x∂ td x− x −
∂ y∂ t d y− y =0
C
∈[tmin , tmax]
∈[tmin , tmax] ⇒ dist d x , d y =min∣d−C i∣=min∣d x−x id y− y i∣
∉[ tmin , tmax] ⇒ dist d x , d y=min∣d−C tmin∣,∣d−C tmax∣
(dx,d
y)N
C
T
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Fitting von Kurven - parametrische Kurven
Parametrische Kurven:
- Fazit:
- oftmals große Anzahl an Nullstellen / Lösungen
- Kurven mit unterschiedl. Parametern/Koeffizienten beschreiben evtl. gleiche Kurven
- Distanzbestimmungsproblem abh. von Klasse der parametr. Kurve
- parametr. Kurven unpopulär
C t =x t y t t∈[tmin , tmax ]
x t y t t∈[0,1] ⇔ 2x t 2yt t∈[0, 1
2]
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Gliederung
● Einleitung
● Hough-Transformation
● Fitting von Linien mittels eines Maximum Likelihood / Least Squares Ansatz
● Fitting von Kurven
● Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 61/...
Homographieschätzung
Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
Beispiel: - Aufnahme Kalibrierfeld (Schachbrettmuster)- Koordinaten der Ecken X
i ,Y
i ,Z
i
des Schachbretts bekannt (im Objektkoordinatensystem)- Ecken im Bild x
i ,y
i messbar
(Hough-Transformation) → Punktkorrespondenzen- Bezug zwischen Objekt- und Bildraum durch Korrespondenzen herstellbar: → Transformationsmatrix → Aufnahmesituation
reproduziert, Kalibrierung
Nachteil: - Kalibrierfeldpunkte müssen bekannt sein, - dürfen nicht in einer Ebene liegen
xy1=M⋅ XYZ1 M=P⋅R⋅T
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 62/...
Homographieschätzung
Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
Besser: - mehrere Aufnahmen eines ebenen Kalibrierfelds- Koordinaten X
i ,Y
i ,Z
i unötig
- Ecken in Bildern xi ,y
i messen
→ nur noch 2D Punktkorrespondenzen
- Bezug zwischen beiden Aufnahmen herstellbar:
→ Homographie H (Abbildung proj. Ebene auf Ebene
mit 2D Punktkorrespondenzen)
xy1=M⋅ XYZ1 x 'y '1 =M '⋅XYZ1 M −1xy1=M ' −1x 'y '1 xy1=H
x 'y '1
M=P⋅R⋅T
H=M⋅M ' −1=P⋅R⋅T⋅T ' −1⋅R ' −1⋅P ' −1
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 63/...
Homographieschätzung
Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
- geg: xi ,y
i , x'
i ,y'
i
- Homogene Koordinaten, da Projektion nicht linear Lochkameramodell: Division durch Tiefe (nicht linear)
- Matrixschreibweise nicht mögl. - Abhilfe homogene Koordinaten - zusätliche Dimension,
w Komponente:für Vektoren 0, Punkte 1 (Vektoren werden nicht transliert)
Homogener Raum → euklidischer Raum
xy1=H x 'y '1
x= f XZ
y= f YZ
xhyhw =f 0 0 00 f 0 00 0 1 0XYZ1 = fXfYZ
Quelle: Multiple View Geometry in Computer Vision x=xhw= f X
Z y=
y hw= f Y
Z
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Homographieschätzung
Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
- geg: xi ,y
i , x'
i ,y'
i
- 2 Punkte sind gleich wenn Kreuzprodukt 0
x iy i1 =H x i 'y i '1 ⇔ x iy i1 ×H
x i 'y i '1 =0 ∣u×v∣=∣u∣∣v∣sin
x iy i1 ×h1 h2 h3
h4 h5 h6
h7 h8 h9x i 'yi '1 =0 x iy i1×
h1 x i 'h2 y i 'h3
h4 x i 'h5 yi 'h6
h7 x i 'h8 y i 'h9=0
h7 x i ' y ih8 y i ' y ih9 y i−h4 x i '−h5 y i '−h6
h1 x i 'h2 yi 'h3−h7 x i ' x i−h8 yi ' x i−h9 x ih4 x i ' x ih5 yi ' x ih6 x i−h1 xi ' yi−h2 y i ' y i−h3 yi=0
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 65/...
Homographieschätzung
Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
- geg: xi ,y
i , x'
i ,y'
i
h7 x i ' y ih8 y i ' y ih9 yi−h4 xi '−h5 y i '−h6
h1 xi 'h2 y i 'h3−h7 x i ' x i−h8 y i ' xi−h9 x ih4 x i ' x ih5 y i ' x ih6 x i−h1 x i ' y i−h2 yi ' yi−h3 y i=0
0 0 0 −xi ' −y i ' −1 x i ' y i yi ' yi y ixi ' yi ' 1 0 0 0 −x i ' xi − yi ' x i −x i
−x i ' y i −y i ' y i −y i x i ' x i yi ' x i x i 0 0 0 h1
h2
h3
h4
h5
h6
h7
h8
=01.Zeile⋅−xi2.Zeile⋅−y i=3.Zeile lineare Abhängigkeit /Rang 2
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 66/...
Homographieschätzung
Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
- geg: xi ,y
i , x'
i ,y'
i
- homogenes Gleichungsystem , für jede Korrespondenz 2 Gleichungen- A ist 2*Nx9 Matrix
- Problem: - triviale Lösung → Normalisierung - A überbestimmt, nicht invertierbar (Pseudoinverse, bestmögliche Inverse)
0 0 0 −x i ' − y i ' −1 xi ' yi y i ' y i y ixi ' y i ' 1 0 0 0 −x i ' x i −y i ' xi −x i
h1
h2
h3
h4
h5
h6
h7
h8
=0 ⇔ A⋅h=0
h=0 ∣h∣=1
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 67/...
Homographieschätzung
Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
- homogenes GS unter im Least Squares Sinne lösen,d.h unter minimieren → Singulärwertzerlegung von A, Singulärvektor korrespondierend zum kleinsten
Singulärwert ist Lösung der Homographie (Kameraparameter, Relative Orientierung)
- Singulärwertzerlegung von A in - orthonormale Matrizen U,V ( normierte Singulärvektoren bilden Basis, stehen
orthogonal aufeinander, linear unabhängig ) - Diagonalmatrix D ( Diagonalelemente Singulärwerte, Rest 0)
- Eigentwertzerlegung für M=ATA in Matrix P mit orthonormalen Eigenvektoren u. Diagonalmatrix S ( Diagonalelemente Eigenwerte)
→ liefert Singulärvektoren in V und Singulärwerte in D
∣h∣=1A⋅h=0
A=U⋅D⋅V T U⋅U T= I V⋅V T=I
AT⋅A=U⋅D⋅V T T⋅U⋅D⋅V T=V⋅D⋅UT⋅U⋅D⋅V T=V⋅D 2⋅V T
A⋅AT=U⋅D 2⋅U T
∣A⋅h∣ ∣h∣=1
M=P⋅⋅P−1 ⇒ V=P D 2=
mxn mxm mxnnxn= . .
quadratisch
h
i2=i⇔ i=h=vi i=minii
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Fitting einfacher geometrischer Modelle 68/...
Homographieschätzung
Schätzen einer Homographie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
Warum ist Singulärvektor v zum kleinsten Singulärwert s eine Lösung fürunter bzw. warum minimiert er unter ?
- Singulärwertproblem ist verallgemeinertes Eigenwertproblem,Abbildunng Singulärvektoren v durch A auf Singulärvektoren u einerAnderen Basis
da orthonormal, Länge 1, kleinster Singulärwert →
- SVD also universiell zur Lösung von überbestimmten homogenen GS
∣h∣=1A⋅h=0
M=P⋅⋅P−1 ⇐ M v=v A=U⋅D⋅V T ⇔ Av=u
∣A⋅h∣ ∣h∣=1
u ,v u≈0
Av=u ⇒ Av≈0 ⇒ h=v
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Literatur
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Danke für die Aufmerksamkeit !
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Fragen ?